Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...).Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n)possui um numero infinito de elementos. [...] Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n)contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem N naturais compostos consecutivos. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira Uma ideia que resolve este problema , é a mesma que resolve aquele velho probleminha : Qual conjunto é maior , dos números Inteiros ou dos Naturais? Abraço Luiz H. Barbosa === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida
Qualquer valor para x nao ! Pois x = 0 eh impossivel, porque ele esta no denominador. Talvez a resolucao seria:
Primeiramente x 0
| (x+1)/(-x)| =0
| -(x+1)/(x)| =0
x+1 =0
x= - 1
S = {x e R| x = -1 e x0}
Em uma mensagem de 25/4/2004 02:43:41 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
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De: [EMAIL PROTECTED]
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Cc:
Data: Sat, 24 Apr 2004 23:31:13 -0300
Assunto: [obm-l] dúvida
como é que eu resolvo este inequação de maneira
inteligente!!!
| (x+1)/(-x)| =0
a expresão acima está em módulo.
outra dúvida é:
a x b = 1998 .Sabendo que "a" e "b" são tais números
que a diferença entre eles seja a menor possível.
===
Na desigualdade ,qualquer valor para x é válido .
Já na segunda questão , se a e b puderem ser
complexos , então a = b = i*[sqrt(1998)] .Sendo a
menor difereça igual a zero.
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n) contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem N naturais compostos consecutivos. Isso Rick... acho que é isso mesmo... É certo que eu consigo formar intervalos de numeros composto tão grandes quanto se queira... EX: entre 6!+2 e 6!+6 existes 5 numeros compostos, pois os numeros serão divisiveis por 2,3,4,5e6 respectivamente... analogamente, entre n!+2 e n!+n existem n compostos ... obs: isso não quer dizer que 6!+1 e 6!+7 são primos... só quer dizer que todos os numeros entre 6!+1 e 6!+7 são compostos... Acho que o problema pede para demonstrar que existem infinitos primos com distâncias tão grandes quanto se queira (como no exemplo acima) ... ou seja, o conjunto formado pela diferença de dois primos consecutivos é infinito... Ou seja, como existem infinitos primos e podemos obter intervalos de numeros ompostos tão grandes quanto se queira entre dois primos, então o conjunto formado pela diferença entre dois primos é infinito! Agora basta formalizar... isso é só uma idéia! - Original Message - From: rickufrj [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 2:54 AM Subject: Re: [obm-l] DUVIDA - Primo Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...).Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n)possui um numero infinito de elementos. [...] Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n)contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem N naturais compostos consecutivos. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira Uma ideia que resolve este problema , é a mesma que resolve aquele velho probleminha : Qual conjunto é maior , dos números Inteiros ou dos Naturais? Abraço Luiz H. Barbosa === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
Isso mesmo Thiago esse deve ser o caminho da demonstração. Essa deve ser mais uma das provas que existem infinitos primos. So não entendi que vc fez. n!+2 e n!+n = existem n compostos Tá, beleza. Mas entre 6!+2 e 6!+6 = tem 5 numeros compostos O que entra em contradição com a sua generalização. Deveria ter 6 pela generalização mas na prática são 5 então deve ser n - 1 numeros compostos na fórmula. Mas e a formalização da prova? hehehe alguem? alguem? GustavoThiago Ferraiol [EMAIL PROTECTED] wrote: "Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n)contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem Nnaturais compostos consecutivos."Isso Rick... acho que é isso mesmo... É certo que eu consigo formarintervalos de numeros composto tão grandes quanto se queira...EX: entre 6!+2 e 6!+6 existes 5 numeros compostos, pois os numeros serãodivisiveis por 2,3,4,5e6 respectivamente... analogamente, entre n!+2 e n!+nexistem n compostos ... obs: isso não quer dizer que 6!+1 e 6!+7 sãoprimos... só quer dizer que todos os numeros entre 6!+1 e 6!+7 sãocompostos...Acho que o problema pede para demonstrar que existem infinitos primos com"distâncias" tão grandes quanto se queira (como no exemplo acima) ... ouseja, o conjunto formado pela diferença de dois primos consecutivos éinfinito... Ou seja, como existem infinitos primos e podemos obterintervalos de numeros ompostos tão grandes quanto se queira entre doisprimos, então o conjunto formado pela diferença entre dois primos éinfinito!Agora basta formalizar... isso é só uma idéia!- Original Message -From: "rickufrj" <[EMAIL PROTECTED]>To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Sunday, April 25, 2004 2:54 AMSubject: Re: [obm-l] DUVIDA - Primo Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...).Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n)possui um numero infinito de elementos. [...] Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n)contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem N naturais compostos consecutivos. []s, -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira Uma ideia que resolve este problema , é a mesma que resolve aquele velho probleminha : Qual conjunto é maior , dos números Inteiros ou dos Naturais? Abraço Luiz H. Barbosa === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Teoria Analitica Elementar dos Numeros
Quer dizer que esse real e unico?Acho que nao...Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 24.04.04 09:52, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: O que voces acham? Acho que você poderia ter explicado pq é crescente e limitada... Com um pouco de reflexão vemos que ela é crescente, pois no fundo a(n+1) = lg ( lg( ... lg(p(n+1)) ...)) lg ( lg( ... lg(2^p(n)) ...)) = lg ( lg( ... lg(p(n)) ...)) = a(n) também temos a(n+1) = lg ( lg( ... lg(p(n+1)) ...)) lg ( lg( ... lg(2^[p(n)+1]) ...)) [n+1 logs] = lg ( lg( ... lg(p(n)+1) ...)) [n logs] Dá pra ver que quando n é grande lg(p(n)+1) fica bem perto de lg(p(n)), se aplicarmos outro ln e outro, e outro... a diferença fica tão pequena que a(n+1) é praticamente igual a a(n) (ou seja, a convergência disso é fantástica). Gostaria, no entanto, de ver uma prova mais formal desse tipo de resultado já que isso é algo completamente fora do que eu faço... Temos que mostrar também que p(n) a(n) p(n)+1. p(n) = 2^2^...2^a(n) e 2^2^...2^a(n) 2^2^2^2^a ? veja que a primeira desigualdade é verdadeira, mas a segunda não foi mostrada... [ ]'s OK! Entao, vamos lah!Pra facilitar a notacao, vou escrever:L[k](x) = log(log(...(log(x))...)) (k logs na base 2)p(0) = 2 e p(1) = 5.log(p(1)+1) = log(5+1) = log(6) 3Hipotese de Inducao: para n = 1, L[n-1](p(n-1)+1) 3Para n = 1, p(n) eh impar.Logo, podemos escrever:2^p(n-1) p(n) p(n) + 1 = 2^(p(n-1)+1) ==p(n-1) log(p(n)) log(p(n)+1) = p(n-1) + 1 ==L[n-1](p(n-1)) L[n](p(n)) L[n](p(n)+1) = L[n-1](p(n-1)+1) 3, pelaH.I.Logo, L[n](p(n)+1) 3.Claramente, para n = 1, a(n) = L[n](p(n)) L[n](p(n)+1) 3, ou seja:(a(n)) eh limitada superiormente.Repare que tambem demonstramos que a sequencia (b(n)), dada por:b(0) = 3b(n) = L[n](p(n)+1), para n = 1,eh monotona decrescente e limitada inferiormente por cada a(m) (m=0).Em suma, temos a seguinte sequencia de intervalos encaixados:[a(0),b(0)] = [2,3];[a(1),b(1)] = [log(5),log(6)];...[a(n),b(n)] = [L[n](p(n)),L[n](p(n)+1)]Agora, resta provar que lim (b(n) - a(n)) = 0.Mas isso eh consequencia do fato que se, para cada n, x(n) ehsuficientemente grande (de forma que L[n](x) esteja definido),L[n](x(n)+1) - L[n](x(n)) - 0, quando n - +infinito.Pelo teorema dos intervalos encaixados, existe um unico numero real a quepertence a cada um dos intervalos [a(n),b(n)].Esse eh o a que resolve o problema, pois, para cada n,a(n) = L[n](p(n)) a L[n](p(n)+1) = b(n) ==p(n) 2^2^...^2^a p(n) + 1 ==p(n) = [2^2^...^2^a][]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Exercício
Nossa, QUE HORRIVELEu entendi numero real!!! Mas existe uma demo bem mais geral: Se ab e nao existe racional entre a e b, o que acontecera? Simplesmente nao existira racionais entre 0 e b-a.Mas e so tomar n grande o bastante para que 1/nb-a.Absurdo![EMAIL PROTECTED] wrote: Eh verdade, Para isso ocorrer deveriamos ter r[1] = r[2], o que nao eh o caso do problema. Prova: Media geometrica de x[1] e x[2]: sqrt(r[1]*r[2]) = x Elevando ao quadrado: r[1]*r[2] = x x^2 = r[1]*r[2] x*x = r[1]*r[2] x = r[1] x = r[2] Logo, r[1] = r[2] CQD. Em uma mensagem de 24/4/2004 22:06:24 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Epa, quem disse que essa media geometrica eh racional? == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sat, 24 Apr 2004 19:26:53 -0300 (ART) Subject: Re: [obm-l] Exercício E realmente necessario intervir? Ta, pegue a media geometrica deles se os dois forem positivos, o 0 se tiverem sinais contrarios, a media geometrica dos miodulos se os dois forem negativos, e se um deles for zero pegue a metade do outro. Marcelo Augusto Pereira [EMAIL PROTECTED] wrote: Mostrar que se r1 e r2 são racionais e r1r2, então existe um racional r tal que r1rr2. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] Re: Alerta de spam:Re: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida
Creio que há um erro.
Como estamos trabalhando com um módulo, não faz
sentido analisar os sinais da equação, basta excluirmos o x=0; Visto que não há
problema algum em a fração resultar em um número negativo pois temos o
módulo...
S={x pertence a R*)
Abraços,
Rossi
- Original Message -
From:
[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, April 25, 2004 2:59
AM
Subject: Alerta de spam:Re: [obm-l]
Re:[obm-l] dúvida
Qualquer
valor para x nao ! Pois x = 0 eh impossivel, porque ele esta no denominador.
Talvez a resolucao seria: Primeiramente x 0 |
(x+1)/(-x)| =0 | -(x+1)/(x)| =0 x+1 =0 x=
- 1 S = {x e R| x = -1 e x0} Em uma
mensagem de 25/4/2004 02:43:41 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
-- Início da mensagem original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Cc: Data: Sat, 24
Apr 2004 23:31:13 -0300 Assunto: [obm-l] dúvida como é que
eu resolvo este inequação de maneira inteligente!!! |
(x+1)/(-x)| =0 a expresão acima está em módulo.
outra dúvida é: a x b = 1998 .Sabendo que "a" e
"b" são tais números que a diferença entre eles seja a menor possível.
=== Na desigualdade ,qualquer valor
para x é válido . Já na segunda questão , se a e b puderem ser
complexos , então a = b = i*[sqrt(1998)] .Sendo a menor difereça
igual a zero.
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
Essa e mais facil do que parece! Vasmos provar que e sempre possivel arranjar dois primos tao distantes quanto se queia, provando que e possivel arranjar uma sequencia de compostos, todos consecutivos, tao grande quanto se queira. Vamos usar oTeorema Chines dos Restos (ou no manuscrito origimal Teolema Chines dos Lestos).Para tal tome i grande o bastante.Agora veja so... N+0=0 (mod 2) N+1=0 (mod 3)N+2=0 (mod 5) N+3=0 (mod 7) N+4=0 (mod 9)N+5=0 (mod 11) N+6=0 (mod 13) . . . N+i=0 (mod p(i)) Pelo TCR (ou TCL) esse sistema de congruencias e soluvel (em agua, em leite, e em N).Entao esse N serve! E acabou! Ass.:Johann João Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguem pode me dar uma ajuda nesta questão: Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...). Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n) possui um numero infinito de elementos. Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Banco de Dados de Provas
Ah cara, quanto a provas de olimpiadas deixa comigo que o pessoal da USP de Sao Carlos resolveu criar um site nos servidores da USP que fala so de olimpiadas.Quanto a provas de vestibulares, ce pode falar com a turma do grupo Ezatas do Yahoo! que eles colaborarao com certeza! Enfim e isso! Ass.:Johann Daniel Melo Wanzeller [EMAIL PROTECTED] wrote: Prezados colegas da lista, Estou fazendo um site que disponibilize as provas de vestibulares e olimpiadas. Por isso, peço a todos os que tiverem materal desse tipo, enviem para o meu e_mail ([EMAIL PROTECTED]) diretamente para que eu posso disponibilizá-las o mais rápido possível. Grato pela cooperação de vocês Daniel Wanzeller TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida
No caso, não entendi o porque do i*(raiz de 1998), visto que ao elevarmos ao quadrado, i^2= -1 e a expressão seria -1998 Creio que apenas (raiz de 1998) seja mais correto. Porém a questão não deve ser apenas isto, a e b devem pertencer a algum conjunto específico como os Inteiros... Abraços, Rossi - Original Message - From: rickufrj [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 2:40 AM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Sat, 24 Apr 2004 23:31:13 -0300 Assunto: [obm-l] dúvida como é que eu resolvo este inequação de maneira inteligente!!! | (x+1)/(-x)| =0 a expresão acima está em módulo. outra dúvida é: a x b = 1998 .Sabendo que a e b são tais números que a diferença entre eles seja a menor possível. === Na desigualdade ,qualquer valor para x é válido . Já na segunda questão , se a e b puderem ser complexos , então a = b = i*[sqrt(1998)] .Sendo a menor difereça igual a zero. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
on 24.04.04 22:55, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguem pode me dar uma ajuda nesta questão: Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...). Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n) possui um numero infinito de elementos. [...] Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n) contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem N naturais compostos consecutivos. []s, Pegando um gancho na ideia do Fabio: um conjunto de inteiros positivos eh infinito se e somente se eh ilimitado. Assim, dado um inteiro positivo n qualquer, precisamos mostrar que existem primos consecutivos p e q tais que q - p n. Por exemplo, sejam: p = maior primo que eh menor do que (n+1)! + 2; q = menor primo que eh maior do que (n+1)! + (n+1). Como (n+1)! + 2, (n+1)! + 3, ..., (n+1)! + (n+1) sao n numeros compostos consecutivos, temos que q - p n e que, se p m q, entao m eh composto. Pra essa ideia funcionar, eh preciso que exista uma infinidade de primos, mas isso pode ser provado independentemente (alem da demonstracao ultra-tradicional de Euclides, a qual jah foi amplamente discutida aqui na lista, uma outra interessante eh provar que se m e n sao inteiros positivos distintos, entao os numeros 2^(2^m) + 1 e 2^(2^n) + 1 sao primos entre si) []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria Analitica Elementar dos Numeros
Title: Re: [obm-l] Teoria Analitica Elementar dos Numeros Uma vez que voce fixa a sequencia de primos, acho que a eh unico sim, uma vez que o comprimento dos intervalos [a(n),b(n)] = [L[n](p(n)),L[n](p(n)+1)] tende a zero. No entanto, existe uma infinidade de sequencias de primos que podem ser fixadas. Lembre-se de que eu tomei p(0) = 2 e p(n) = menor primo tal que: 2^p(n-1) p(n) 2^(p(n)+1). Se eu tivesse tomado, por exemplo, p(0) = 3, teriamos [a] = 3 e, em geral, [a] = p(0). Alem disso, se nao me engano, para m = 22, existem pelo menos 5 primos entre m e 2m, de forma que existe uma infinidade de maneiras de se definir a sequencia (p(n)). []s, Claudio. on 25.04.04 09:50, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Quer dizer que esse real e unico?Acho que nao... Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 24.04.04 09:52, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: O que voces acham? Acho que você poderia ter explicado pq é crescente e limitada... Com um pouco de reflexão vemos que ela é crescente, pois no fundo a(n+1) = lg ( lg( ... lg(p(n+1)) ...)) lg ( lg( ... lg(2^p(n)) ...)) = lg ( lg( ... lg(p(n)) ...)) = a(n) também temos a(n+1) = lg ( lg( ... lg(p(n+1)) ...)) lg ( lg( ... lg(2^[p(n)+1]) ...)) [n+1 logs] = lg ( lg( ... lg(p(n)+1) ...)) [n logs] Dá pra ver que quando n é grande lg(p(n)+1) fica bem perto de lg(p(n)), se aplicarmos outro ln e outro, e outro... a diferença fica tão pequena que a(n+1) é praticamente igual a a(n) (ou seja, a convergência disso é fantástica). Gostaria, no entanto, de ver ! uma prova mais formal desse tipo de resultado já que isso é algo completamente fora do que eu faço... Temos que mostrar também que p(n) a(n) p(n)+1. p(n) = 2^2^...2^a(n) e 2^2^...2^a(n) 2^2^2^2^a ? veja que a primeira desigualdade é verdadeira, mas a segunda não foi mostrada... [ ]'s OK! Entao, vamos lah! Pra facilitar a notacao, vou escrever: L[k](x) = log(log(...(log(x))...)) (k logs na base 2) p(0) = 2 e p(1) = 5. log(p(1)+1) = log(5+1) = log(6) 3 Hipotese de Inducao: para n = 1, L[n-1](p(n-1)+1) 3 Para n = 1, p(n) eh impar. Logo, podemos escrever: 2^p(n-1) p(n) p(n) + 1 = 2^(p(n-1)+1) == p(n-1) log(p(n)) log(p(n)+1) = p(n-1) + 1 == L[n-1](p(n-1)) L[n](p(n)) L[n](p(n)+1) = L[n-1](p(n-1)+1) 3, pela H.I. Logo, L[n](p(n)+1) 3. Claramente, para n = 1, a(n) = L[n](p(n)) L[n](p(n)+1) 3, ou seja: (a(n)) eh limitada superiormente. Repare que tambem demonstramos que a sequencia (b(n)), dada por: b(0) = 3 b(n) = L[n](p(n)+1), para n = 1, eh monotona decrescente e limitada inferiormente por cada a(m) (m=0). Em suma, temos a seguinte sequencia de intervalos encaixados: [a(0),b(0)] = [2,3]; [a(1),b(1)] = [log(5),log(6)]; ... [a(n),b(n)] = [L[n](p(n)),L[n](p(n)+1)]. ... Agora, resta provar que lim (b(n) - a(n)) = 0. Mas isso eh consequencia do fato que se, para cada n, x(n) eh suficientemente grande (de forma que L[n](x) esteja definido), L[n](x(n)+1) - L[n](x(n)) - 0, quando n - +infinito. Pelo teorema dos intervalos encaixados, existe um unico numero real a que pertence a cada um dos intervalos [a(n),b(n)]. Esse eh o a que resolve o problema, pois, para cada n, a(n) = L[n](p(n)) a L[n](p(n)+1) = b(n) == p(n) 2^2^...^2^a p(n) + 1 == p(n) = [2^2^...^2^a] []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] CN 98
Um quadrilátero convexo Q tem diagonais respectivamente iguais a 4 e 6. Assinale, dentre as opções, a única possível para o perímetro de Q. 10 15 20 25 30 __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria Analitica Elementar dos Numeros
Agora ta bom...Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma vez que voce fixa a sequencia de primos, acho que "a" eh unico sim, uma vez que o comprimento dos intervalos [a(n),b(n)] = [L[n](p(n)),L[n](p(n)+1)] tende a zero.No entanto, existe uma infinidade de sequencias de primos que podem ser fixadas.Lembre-se de que eu tomei p(0) = 2 e p(n) = menor primo tal que:2^p(n-1) p(n) 2^(p(n)+1).Se eu tivesse tomado, por exemplo, p(0) = 3, teriamos [a] = 3 e, em geral, [a] = p(0).Alem disso, se nao me engano, para m = 22, existem pelo menos 5 primos entre m e 2m, de forma que existe uma infinidade de maneiras de se definir a sequencia (p(n)).[]s,Claudio.on 25.04.04 09:50, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Quer dizer que esse real e unico?Acho que nao...Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 24.04.04 09:52, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: O que voces acham? Acho que você poderia ter explicado pq é crescente e limitada... Com um pouco de reflexão vemos que ela é crescente, pois no fundo a(n+1) = lg ( lg( ... lg(p(n+1)) ...)) lg ( lg( ... lg(2^p(n)) ...)) = lg ( lg( ... lg(p(n)) ...)) = a(n) também temos a(n+1) = lg ( lg( ... lg(p(n+1)) ...)) lg ( lg( ... lg(2^[p(n)+1]) ...)) [n+1 logs] = lg ( lg( ... lg(p(n)+1) ...)) [n logs] Dá pra ver que quando n é grande lg(p(n)+1) fica bem perto de lg(p(n)), se aplicarmos outro ln e outro, e outro... a diferença fica tão pequena que a(n+1) é praticamente igual a a(n) (ou seja, a convergência disso é fantástica). Gostaria, no entanto, de ver ! uma prova mais formal desse tipo de resultado já que isso é algo completamente fora do que eu faço... Temos que mostrar também que p(n) a(n) p(n)+1. p(n) = 2^2^...2^a(n) e 2^2^...2^a(n) 2^2^2^2^a ? veja que a primeira desigualdade é verdadeira, mas a segunda não foi mostrada... [ ]'s OK! Entao, vamos lah!Pra facilitar a notacao, vou escrever:L[k](x) = log(log(...(log(x))...)) (k logs na base 2)p(0) = 2 e p(1) = 5.log(p(1)+1) = log(5+1) = log(6) 3Hipotese de Inducao: para n = 1, L[n-1](p(n-1)+1) 3Para n = 1, p(n) eh impar.Logo, podemos escrever:2^p(n-1) p(n) p(n) + 1 = 2^(p(n-1)+1) ==p(n-1) log(p(n)) log(p(n)+1) = p(n-1) + 1 ==L[n-1](p(n-1)) L[n](p(n)) L[n](p(n)+1) = L[n-1](p(n-1)+1) 3, pelaH.I.Logo, L[n](p(n)+1) 3.Claramente, para n = 1, a(n) = L[n](p(n)) L[n](p(n)+1) 3, ou seja:(a(n)) eh limitada superiormente.Repare que tambem demonstramos que a sequencia (b(n)), dada por:b(0) = 3b(n) = L[n](p(n)+1), para n = 1,eh monotona decrescente e limitada inferiormente por cada a(m) (m=0).Em suma, temos a seguinte sequencia de intervalos encaixados:[a(0),b(0)] = [2,3];[a(1),b(1)] = [log(5),log(6)];...[a(n),b(n)] = [L[n](p(n)),L[n](p(n)+1)]Agora, resta provar que lim (b(n) - a(n)) = 0.Mas isso eh consequencia do fato que se, para cada n, x(n) ehsuficientemente grande (de forma que L[n](x) esteja definido),L[n](x(n)+1) - L[n](x(n)) - 0, quando n - +infinito.Pelo teorema dos intervalos encaixados, existe um unico numero real a quepertence a cada um dos intervalos [a(n),b(n)].Esse eh o a que resolve o problema, pois, para cada n,a(n) = L[n](p(n)) a L[n](p(n)+1) = b(n) ==p(n) 2^2^...^2^a p(n) + 1 ==p(n) = [2^2^...^2^a][]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] A menor bissetriz e o maior lado de um triângulo
Acho que da para ir de trigonometria nao?Depois eu dou uma olhada...rafsanco [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá para todos !Deparei-me com um teorema de geometria euclidiana plana que dizia o seguinte: ao maior lado de um triângulo corresponde a menor bissetriz. Tentei prová-lo da seguinte forma (infelizmente não disponho de recursos visuais, então usem a imaginação ou esboçem o desenho num papel para compreenderem melhor o que digo): Seja ABC um triângulo qualquer, BC seu maior lado, I seu incentro, x a medida do angulo interno de vértice A, y a medida do ângulo interno de vértice B, z a medida do ângulo interno de vértice C, AM a bissetriz de x, BO a bissetriz de y e CN a bissetriz de z. Sabe-se que x y e x z uma vez que x é oposto a BC (suposto maior lado). Analisando o triângulo AIC, vê-se que x/2 z/2, logo CI AI. Observando o triângulo AIB é verdadeiro afirmar que x/2 y/2, portanto BI AI. Ora IM, IN e IO são segmentos de reta congruentes, visto que são raios da circunferência inscrita a ABC, então BI + IO AI + IM o que implica que BO AM (BI + IO = BO e AI + IM = AM), assim como CI + IN AI + IM o que implica que CN AM (CI + IN = CN e AI + IM = AM). Enfim, está demonstrada a tese AM BO e AM CN. A minha demonstração é válida ou há algo nela que a compromete (sei lá, algum argumento duvidoso, por exemplo) ? Vocês conhecem alguma outra maneira de se provar esse teorema ? Se sim, exponha-a por favor.Abraços,Rafael.__Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] DUVIDA - fisica
Alguem pode me ajudar no seguinte problema. Ainda continuo sem ter idéia de como resolve-lo: - Abandona-se do repouso, de uma certa altura "h" uma esfera de massa "Ma". A esfera atinge uma superfície lisa de uma rampa B, de massa "Mb", e inicialmente em repouso. A rampa suportada por roletes pode se mover livremente na direçao horizontal. Sabendo-se que a velocidade da esfera imediatamente após a colisao é horizontal e aponta para a direita, expressar o coeficiente de restituiçao "e" entre a esfera e a rampa, em termos de "Ma", "Mb", "z", onde "z" é o angulo de inclinaçao da rampa. -obs: A rampa pode ser considerada um triangulo retangulo de vertices S, T, U.^T é o angulo reto. TU é paralelo ao solo.Û é o angulo "z". SU éo segmento na qual a esfera se choca. Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re:[obm-l] CN 98
-- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Sun, 25 Apr 2004 10:46:30 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] CN 98 Um quadrilátero convexo Q tem diagonais respectivamente iguais a 4 e 6. Assinale, dentre as opções, a única possível para o perímetro de Q. 10 15 20 25 30 _ Olá Elton , acho que essa questão foi do ano que eu fiz , 2000 . Use teorema da envoltória e desigualdade triangular. Se as diagonais são x + y = 4 e w + z = 6 e os lados a , b , c e d , temos : a + b + c + d = 2 ( x + y + z + w ) , [ Desigualdade Triangular] 2p 20 E tb : x + z a + d + c z + y a + b + d w + y a + b + c w + x b + c + d, Somando tudo : 2( w + x + y + z) 2 ( a + b + c + d) , [ Teorema da Envoltória] 2p 10 Ou seja 10 2p 20 Abraços Luiz H . Barbosa ___ __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Re:[obm-l] CN 98 [off-topic]
CN = COLÉGIO NAVAL - Original Message - From: Fellipe Rossi [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 1:46 PM Subject: Re: Re:[obm-l] CN 98 [off-topic] O que significa CN? Pois eu vi uma questão quase idêntica a esta num vestibular da UNICAMP. Abraços - Original Message - From: rickufrj [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 12:26 PM Subject: Re:[obm-l] CN 98 -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Sun, 25 Apr 2004 10:46:30 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] CN 98 Um quadrilátero convexo Q tem diagonais respectivamente iguais a 4 e 6. Assinale, dentre as opções, a única possível para o perímetro de Q. 10 15 20 25 30 _ Olá Elton , acho que essa questão foi do ano que eu fiz , 2000 . Use teorema da envoltória e desigualdade triangular. Se as diagonais são x + y = 4 e w + z = 6 e os lados a , b , c e d , temos : a + b + c + d = 2 ( x + y + z + w ) , [ Desigualdade Triangular] 2p 20 E tb : x + z a + d + c z + y a + b + d w + y a + b + c w + x b + c + d, Somando tudo : 2( w + x + y + z) 2 ( a + b + c + d) , [ Teorema da Envoltória] 2p 10 Ou seja 10 2p 20 Abraços Luiz H . Barbosa ___ __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] dúvidas
POderiam explicar passo a passo cada questão Por favor!!! 1) A soma da sériee : 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/9 + ...+1/(2^n) + 1/(3^n) + 1/(2^n+1) + 1/(3^n+1)+... = Somatório n=variando 1 ao infinito ( 1/(2^n) + 1/(3^n) ) a)5/3 b)1 c)3/2 d)2 e)infinito está questão ´é do livro matemática elementar. td(132) 2) A soma dos termos da progressão 3^ -1 , 3 ^ -2 , 3^ -3,...e: a)1/2 b)2 c)1/4 d)4 3) a expressão 1+ 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + ... vale ? a)1/2 b)9/2 c)1/4 d)4
[obm-l] Re: [obm-l] A menor bissetriz e o maior lado de um triângulo
Bom Rafael, eu tentei por esse caminho. Esteja com lapis e papel para anotar direitinho hehehe eh meio grande. Seja ABC o triangulo, o angulo interno de A=2a, B=2b e C=2c, onde 2a2b2c, logo o maior lado é o lado BC. Agora tome I como incentro de ABC, M o pé da bissetriz relativa a BC, N o pé da bissetriz relativa a AC e P o pé da bissetriz relativa a AB. Olhando para o triângulo AIB, como ab podemos afirmar que BIAI Olhando para o triângulo AIC, como ac podemos afirmar que CIAI Agora, se conseguirmos provar que IMIN e IMIP, terminamos nossa demonstração. traçando os raios do círculo inscrito, formamos 3 triangulos retângulos com I e os pés das bissetrizes. analisando esses triangulos, podemos dizer, pela propriedade dos angulos extermos, que o angulo M vale a+2c e o ângulo N vale b+2c. como a+2c b+2c, então MINI (as hipotenusas são inversamente proporcionais aos ângulos, facilmente demonstrado pela relação de seno) Logo, ja sabemos que AMBN. tome o ângulo BPC, ele vale 2a+c. tome o angulo AMC que vale a+2b (ambos obtidos por ângulo externo) Como BPCAMC, o ângulo P do triângulo retângulo é menor do que o ângulo M, do outro triângulo retângulo. Logo IPMI então, CPAM Creio que está provado que AM (bissetriz relativa ao maior lado) é menos do que BN e CP. O que vocês acham (aqueles que tiveram paciencia de ler ate o fim eheh) PS: com um desenho seria bem mais simples explicar. Abraços do Rossi - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 11:41 AM Subject: Re: [obm-l] A menor bissetriz e o maior lado de um triângulo Acho que da para ir de trigonometria nao?Depois eu dou uma olhada...rafsanco [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá para todos !Deparei-me com um teorema de geometria euclidiana plana que dizia o seguinte: ao maior lado de um triângulo corresponde a menor bissetriz. Tentei prová-lo da seguinte forma (infelizmente não disponho de recursos visuais, então usem a imaginação ou esboçem o desenho num papel para compreenderem melhor o que digo): Seja ABC um triângulo qualquer, BC seu maior lado, I seu incentro, x a medida do angulo interno de vértice A, y a medida do ângulo interno de vértice B, z a medida do ângulo interno de vértice C, AM a bissetriz de x, BO a bissetriz de y e CN a bissetriz de z. Sabe-se que x y e x z uma vez que x é oposto a BC (suposto maior lado). Analisando o triângulo AIC, vê-se que x/2 z/2, logo CI AI. Observando o triângulo AIB é verdadeiro afirmar que x/2 y/2, portanto BI ! AI. Ora IM, IN e IO são segmentos de reta congruentes, visto que são raios da circunferência inscrita a ABC, então BI + IO AI + IM o que implica que BO AM (BI + IO = BO e AI + IM = AM), assim como CI + IN AI + IM o que implica que CN AM (CI + IN = CN e AI + IM = AM). Enfim, está demonstrada a tese AM BO e AM CN. A minha demonstração é válida ou há algo nela que a compromete (sei lá, algum argumento duvidoso, por exemplo) ? Vocês conhecem alguma outra maneira de se provar esse teorema ? Se sim, exponha-a por favor.Abraços,Rafael.__Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: Re:[obm-l] CN 98
Você poderia explicar este Teorema da Envoltória melhor ? Nunca ouvi falar. Victor. - Original Message - From: rickufrj [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 12:26 PM Subject: Re:[obm-l] CN 98 -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Sun, 25 Apr 2004 10:46:30 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] CN 98 Um quadrilátero convexo Q tem diagonais respectivamente iguais a 4 e 6. Assinale, dentre as opções, a única possível para o perímetro de Q. 10 15 20 25 30 _ Olá Elton , acho que essa questão foi do ano que eu fiz , 2000 . Use teorema da envoltória e desigualdade triangular. Se as diagonais são x + y = 4 e w + z = 6 e os lados a , b , c e d , temos : a + b + c + d = 2 ( x + y + z + w ) , [ Desigualdade Triangular] 2p 20 E tb : x + z a + d + c z + y a + b + d w + y a + b + c w + x b + c + d, Somando tudo : 2( w + x + y + z) 2 ( a + b + c + d) , [ Teorema da Envoltória] 2p 10 Ou seja 10 2p 20 Abraços Luiz H . Barbosa ___ __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Re:[obm-l] CN 98 [off-topic]
CN vem a ser Colégio Naval... para maiores informações visite: http://www.cnaval.cjb.net/ []'s Eurico Junior - Rumo ao ITA From: Fellipe Rossi [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Re:[obm-l] CN 98 [off-topic] Date: Sun, 25 Apr 2004 13:46:06 -0300 O que significa CN? Pois eu vi uma questão quase idêntica a esta num vestibular da UNICAMP. Abraços - Original Message - From: rickufrj [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 12:26 PM Subject: Re:[obm-l] CN 98 -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Sun, 25 Apr 2004 10:46:30 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] CN 98 Um quadrilátero convexo Q tem diagonais respectivamente iguais a 4 e 6. Assinale, dentre as opções, a única possível para o perímetro de Q. 10 15 20 25 30 _ Olá Elton , acho que essa questão foi do ano que eu fiz , 2000 . Use teorema da envoltória e desigualdade triangular. Se as diagonais são x + y = 4 e w + z = 6 e os lados a , b , c e d , temos : a + b + c + d = 2 ( x + y + z + w ) , [ Desigualdade Triangular] 2p 20 E tb : x + z a + d + c z + y a + b + d w + y a + b + c w + x b + c + d, Somando tudo : 2( w + x + y + z) 2 ( a + b + c + d) , [ Teorema da Envoltória] 2p 10 Ou seja 10 2p 20 Abraços Luiz H . Barbosa ___ __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Re:[obm-l] CN 98
Eu resolvi a questão sem e referido teorema. Usei a mesma relação de existencia dos triangulos para as 2 equações. []'s - Original Message - From: Victor Machado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 3:57 PM Subject: Re: Re:[obm-l] CN 98 Você poderia explicar este Teorema da Envoltória melhor ? Nunca ouvi falar. Victor. - Original Message - From: rickufrj [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 12:26 PM Subject: Re:[obm-l] CN 98 -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Sun, 25 Apr 2004 10:46:30 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] CN 98 Um quadrilátero convexo Q tem diagonais respectivamente iguais a 4 e 6. Assinale, dentre as opções, a única possível para o perímetro de Q. 10 15 20 25 30 _ Olá Elton , acho que essa questão foi do ano que eu fiz , 2000 . Use teorema da envoltória e desigualdade triangular. Se as diagonais são x + y = 4 e w + z = 6 e os lados a , b , c e d , temos : a + b + c + d = 2 ( x + y + z + w ) , [ Desigualdade Triangular] 2p 20 E tb : x + z a + d + c z + y a + b + d w + y a + b + c w + x b + c + d, Somando tudo : 2( w + x + y + z) 2 ( a + b + c + d) , [ Teorema da Envoltória] 2p 10 Ou seja 10 2p 20 Abraços Luiz H . Barbosa ___ __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]__A_menor_bissetriz_e_o_maior_lado_de_um_triângulo
Lembre-se de que geometria nao depende de desenho!Fellipe Rossi [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom Rafael, eu tentei por esse caminho. Esteja com lapis e papel para anotar direitinho hehehe eh meio grande. Seja ABC o triangulo, o angulo interno de A=2a, B=2b e C=2c, onde 2a2b2c, logo o maior lado é o lado BC. Agora tome I como incentro de ABC, M o pé da bissetriz relativa a BC, N o pé da bissetriz relativa a AC e P o pé da bissetriz relativa a AB. Olhando para o triângulo AIB, como ab podemos afirmar que BIAI Olhando para o triângulo AIC, como ac podemos afirmar que CIAI Agora, se conseguirmos provar que IMIN e IMIP, terminamos nossa demonstração. traçando os raios do círculo inscrito, formamos 3 triangulos retângulos com I e os pés das bissetrizes. analisando esses triangulos, podemos dizer, pela propriedade dos angulos extermos, que o angulo M vale a+2c e o ângulo N vale b+2c. como a+2c b+2c, então MINI (as hipotenusas são inversamente proporcionais aos ângulos, facilmente demonstrado pela relação de seno) Logo, ja sabemos que AMBN. tome o ângulo BPC, ele vale 2a+c. tome o angulo AMC que vale a+2b (ambos obtidos por ângulo externo) Como BPCAMC, o ângulo P do triângulo retângulo é menor do que o ângulo M, do outro triângulo retângulo. Logo IPMI então, CPAM Creio que está provado que AM (bissetriz relativa ao maior lado) é menos do que BN e CP. O que vocês acham (aqueles que tiveram paciencia de ler ate o fim eheh) PS: com um desenho seria bem mais simples explicar. Abraços do Rossi - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 11:41 AM Subject: Re: [obm-l] A menor bissetriz e o maior lado de um triângulo Acho que da para ir de trigonometria nao?Depois eu dou uma olhada...rafsanco [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá para todos !Deparei-me com um teorema de geometria euclidiana plana que dizia o seguinte: ao maior lado de um triângulo corresponde a menor bissetriz. Tentei prová-lo da seguinte forma (infelizmente não disponho de recursos visuais, então usem a imaginação ou esboçem o desenho num papel para compreenderem melhor o que digo): Seja ABC um triângulo qualquer, BC seu maior lado, I seu incentro, x a medida do angulo interno de vértice A, y a medida do ângulo interno de vértice B, z a medida do ângulo interno de vértice C, AM a bissetriz de x, BO a bissetriz de y e CN a bissetriz de z. Sabe-se que x y e x z uma vez que x é oposto a BC (suposto maior lado). Analisando o triângulo AIC, vê-se que x/2 z/2, logo CI AI. Observando o triângulo AIB é verdadeiro afirmar que x/2 y/2, portanto BI ! AI. Ora IM, IN e IO são segmentos de reta congruentes, visto que são raios da circunferência inscrita a ABC, então BI + IO AI + IM o que implica que BO AM (BI + IO = BO e AI + IM = AM), assim como CI + IN AI + IM o que implica que CN AM (CI + IN = CN e AI + IM = AM). Enfim, está demonstrada a tese AM BO e AM CN. A minha demonstração é válida ou há algo nela que a compromete (sei lá, algum argumento duvidoso, por exemplo) ? Vocês conhecem alguma outra maneira de se provar esse teorema ? Se sim, exponha-a por favor.Abraços,Rafael.__Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] A menor bissetriz e o maior lado de um triângulo
Olá Fellipe ! Compreendi sua demonstração, porém tenho comentários a fazer: no início você supôs que 2a 2b 2c e daí concluiu que BC seria o maior lado do triângulo. É lícito considerar 2a 2b 2c ? Penso que certo seria dizer primeiramente que BC é o maior lado, logo 2a 2b e 2a 2c (e assim nada poderíamos inferir a respeito de 2b e 2c, ou seja, quem é maior ou menor), não ? Outra coisa: 2a + c a + 2b ? Por quê ? Não entendi isso muito bem. De qualquer forma agradeço sua ajuda. Abraços, Rafael. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Rafaeis
Gente, nessa lista ha muitos Rafaeis, pelo menos 4. Se os chamamos de Rafael, instala-se a confusão. Fael Rafael Sampaio ou Rafael cyberhelp Rafael matdúvidas Rafael San O Rafael San podia nos informar o seu sobrenome (Santiago?). Morgado
[obm-l] Geometria para a galera!
Uma de geometriua para a galera se esbaldar!!! ABCD e um quadrilatero ciclico. AB e CD cortam-se em E. AD e BC cortam-se em F. AC e BD cortam-se em H. (Cultura inutil:EFH e o chamado triangulo diagonal de ABCD ; a denominaçao vale mesmo para outros quadrilateros). Prove que a altura por H de EHF passa pelo centro da circunferencia que passa por A,B,C,D. Ass.:Johann PS.:Mesmo nao sendo meu costume eu nao usei trigonometria e nem fiz contas! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Rafaeis
Realmente. Eu ja estava pensando que isto geraria uma certa confusao. No meu caso, apesar de nao estar muito tempo aqui na lista (comparado a outros), pois entrei no final de 2002. Dos que estao abaixo acho que sou o que esta a mais tempo, talvez o Rafael Matduvidas esteja a mais tempo, nao tenho certeza. Podem me chamar de Fael ou Faelccmm como antes mesmo. Em uma mensagem de 25/4/2004 17:21:16 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Gente, nessa lista ha muitos Rafaeis, pelo menos 4. Se os chamamos de Rafael, instala-se a confusão. Fael Rafael Sampaio ou Rafael cyberhelp Rafael matdúvidas Rafael San O Rafael San podia nos informar o seu sobrenome (Santiago?). Morgado
Re: [obm-l] CN 98
on 25.04.04 10:46, elton francisco ferreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: Um quadrilátero convexo Q tem diagonais respectivamente iguais a 4 e 6. Assinale, dentre as opções, a única possível para o perímetro de Q. 10 15 20 25 30 Oi, Elton: O que resolve esse problema eh observar que, num quadrilatero convexo cujos lados medem a, b, c, d e as diagonais medem m, n (com m = n), vale o seguinte: 1) a + b + c + d 2m (basta aplicar a desigualdade triangular aos dois triangulos que tem a diagonal maior em comum); 2) a + c m + n e b + d m + n (nesse caso, se as diagonais se intersectam em P e se os vertices do quadrilatero sao A, B, C, D, entao basta aplicar a desigualdade triangular nos triangulos ABP e CDP e somar as desigualdades obtidas; em seguida, fazer o mesmo com os triangulos BCP e ADP) No caso presente, teremos: a + b + c + d 2*6 = 12 a + c 6 + 4 = 10 b + d 10 == 12 a + b + c + d 20 == resposta = 15. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]__A_menor_bissetriz_e_o_maior_lado_de_um_triângulo
Eu quis dizer que tenho um desenho, explicar a demonstração seria mais simples, pois não precisaria descrever cada passo e ficaria menor.. não estava me referindo a provar com desenho geometrico :) - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 4:55 PM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]__A_menor_bissetriz_e_o_maior_lado_de_um_triângulo Lembre-se de que geometria nao depende de desenho!Fellipe Rossi [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom Rafael, eu tentei por esse caminho. Esteja com lapis e papel para anotar direitinho hehehe eh meio grande. Seja ABC o triangulo, o angulo interno de A=2a, B=2b e C=2c, onde 2a2b2c, logo o maior lado é o lado BC. Agora tome I como incentro de ABC, M o pé da bissetriz relativa a BC, N o pé da bissetriz relativa a AC e P o pé da bissetriz relativa a AB. Olhando para o triângulo AIB, como ab podemos afirmar que BIAI Olhando para o triângulo AIC, como ac podemos afirmar que CIAI Agora, se conseguirmos provar que IMIN e IMIP, terminamos nossa demonstração. traçando os raios do círculo inscrito, formamos 3 triangulos retângulos com I e os pés das bissetrizes. analisando esses triangulos, podemos dizer, pela propriedade dos angulos extermos, que o angulo M vale a+2c e o ângulo N vale b+2c. como a+2c b+2c, então MINI (as hipotenusas são inversamente proporcionais aos ângulos, facilmente demonstrado pela relação de seno) Logo, ja sabemos que AMBN. tome o ângulo BPC, ele vale 2a+c. tome o angulo AMC que vale a+2b (ambos obtidos por ângulo externo) Como BPCAMC, o ângulo P do triângulo retângulo é menor do que o ângulo M, do outro triângulo retângulo. Logo IPMI então, CPAM Creio que está provado que AM (bissetriz relativa ao maior lado) é menos do que BN e CP. O que vocês acham (aqueles que tiveram paciencia de ler ate o fim eheh) PS: com um desenho seria bem mais simples explicar. Abraços do Rossi - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 11:41 AM Subject: Re: [obm-l] A menor bissetriz e o maior lado de um triângulo Acho que da para ir de trigonometria nao?Depois eu dou uma olhada...rafsanco [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá para todos !Deparei-me com um teorema de geometria euclidiana plana que dizia o seguinte: ao maior lado de um triângulo corresponde a menor bissetriz. Tentei prová-lo da seguinte forma (infelizmente não disponho de recursos visuais, então usem a imaginação ou esboçem o desenho num papel para compreenderem melhor o que digo): Seja ABC um triângulo qualquer, BC seu maior lado, I seu incentro, x a medida do angulo interno de vértice A, y a medida do ângulo interno de vértice B, z a medida do ângulo interno de vértice C, AM a bissetriz de x, BO a bissetriz de y e CN a bissetriz de z. Sabe-se que x y e x z uma vez que x é oposto a BC (suposto maior lado). Analisando o triângulo AIC, vê-se que x/2 z/2, logo CI AI. Observando o triângulo AIB é verdadeiro afirmar que x/2 y/2, portanto BI ! ! AI. Ora IM, IN e IO são segmentos de reta congruentes, visto que são raios da circunferência inscrita a ABC, então BI + IO AI + IM o que implica que BO AM (BI + IO = BO e AI + IM = AM), assim como CI + IN AI + IM o que implica que CN AM (CI + IN = CN e AI + IM = AM). Enfim, está demonstrada a tese AM BO e AM CN. A minha demonstração é válida ou há algo nela que a compromete (sei lá, algum argumento duvidoso, por exemplo) ? Vocês conhecem alguma outra maneira de se provar esse teorema ? Se sim, exponha-a por favor.Abraços,Rafael.__Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI
Re: [obm-l] A menor bissetriz e o maior lado de um tri ângulo
on 24.04.04 21:36, rafsanco at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá para todos ! Deparei-me com um teorema de geometria euclidiana plana que dizia o seguinte: ao maior lado de um triângulo corresponde a menor bissetriz. Usando a relacao de Stewart e o teorema das bissetrizes internas, podemos calcular o comprimento das bissetrizes (um exercicio nao muito dificil, mas razoavelmente bracal). Sejam a, b, c os comprimentos dos lados, x(a), x(b) e x(c) os comprimentos das bissetrizes correspondentes e p o semi-perimetro. Entao: x(a) = 2*raiz(bcp(p-a))/(b+c) x(b) = 2*raiz(acp(p-b))/(a+c) x(c) = 2*raiz(abp(p-c))/(a+b) Suponhamos s.p.d.g. que a = b = c. Entao: 1/(b+c) = 1/(a+c) = 1/(a+b); p-a = p-b = p-c; bc = ac = ab. Logo, x(a) = x(b) = x(c). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] A menor bissetriz e o maior lado de um triângulo
Certamente, Não atribui valores, apenas considerei abc pra efeito de demonstração. Assim como eu poderia ter dito q bca e assim por diante Apenas tomei isto como ponto de partida. por exemplo, se eu tivesse considerado q bca o lado maior seria outro, e eu teria que provar que outra bissetriz seria a menor. Porém tem razão não provei que 2a+ca+2b. Então está furada minha demonstração :( Vou continuar tentando - Original Message - From: rafsanco [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 5:04 PM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] A menor bissetriz e o maior lado de um triângulo Olá Fellipe ! Compreendi sua demonstração, porém tenho comentários a fazer: no início você supôs que 2a 2b 2c e daí concluiu que BC seria o maior lado do triângulo. É lícito considerar 2a 2b 2c ? Penso que certo seria dizer primeiramente que BC é o maior lado, logo 2a 2b e 2a 2c (e assim nada poderíamos inferir a respeito de 2b e 2c, ou seja, quem é maior ou menor), não ? Outra coisa: 2a + c a + 2b ? Por quê ? Não entendi isso muito bem. De qualquer forma agradeço sua ajuda. Abraços, Rafael. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Re:[obm-l] CN 98
-- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Sun, 25 Apr 2004 15:57:52 -0300 Assunto: Re: Re:[obm-l] CN 98 Você poderia explicar este Teorema da Envoltória melhor ? Nunca ouvi falar. Victor. - Original Message - From: rickufrj [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 12:26 PM Subject: Re:[obm-l] CN 98 -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Sun, 25 Apr 2004 10:46:30 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] CN 98 Um quadrilátero convexo Q tem diagonais respectivamente iguais a 4 e 6. Assinale, dentre as opções, a única possível para o perímetro de Q. 10 15 20 25 30 _ Olá Elton , acho que essa questão foi do ano que eu fiz , 2000 . Use teorema da envoltória e desigualdade triangular. Se as diagonais são x + y = 4 e w + z = 6 e os lados a , b , c e d , temos : a + b + c + d = 2 ( x + y + z + w ) , [ Desigualdade Triangular] 2p 20 E tb : x + z a + d + c z + y a + b + d w + y a + b + c w + x b + c + d, Somando tudo : 2( w + x + y + z) 2 ( a + b + c + d) , [ Teorema da Envoltória] 2p 10 Ou seja 10 2p 20 Abraços Luiz H . Barbosa ___ Olá Victor O teorema é o seguinte : Sendo o triângulo ABO da figura e a o segmento comum , temos : x + yb + c + d Esse teorema da para demonstrar por desigualdade triangular , mas é muito útil usa-lo direto . Abraço Luiz H . Barbosa __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ attachment: imagem.GIF
[obm-l] probabilidade - duelo com dados.
Estou as voltas com esse problema já faz um tempo, mas resolvi aproveitar que estou cursando Probabilidade na PUC para tentar resolve-lo de vez. O problema original tem várias nuances que estou descartando, visando facilitar o entendimento. Vou tentar enunciar o problema de uma maneira inteligivel. 2 Jogadores (A e B) disputam um jogo de azar com dados de 6 lados, com faces equiprovaveis. Cada jogador começa com um certo número de pontos (Va e Vb) Não se trata de um problema usual de ruína, uma vez que ninguém ganha pontos. Perde quem ficar com zero ou menos pontos primeiro. Em cada rodada, os jogadores lançam um dado cada um. O resultado do jogador A, entre 1 e 6, chamamos de Ra. Somamos uma constante K ao resultado de B e esse resultado, entre K+1 e K+6, chamamos de Rb Se Rb Ra , o jogador A perde |Rb-Ra| pontos ( Va -- Va - |Rb-Ra| ) Se Rb Ra , o jogador B perde |Rb-Ra| pontos ( Vb -- Vb - |Rb-Ra| ) Se Rb = Ra , nada acontece. Se nenhum dos jogadores morreu , joga-se novamente, até a eventual morte de um dos jogadores. Uma vez exposto o problema, como faço para calcular P(A), a chance de A vencer B, em função de Va, Vb e K ? O problema que estou tentando modelar tem mais alguns complicadores, envolve lançamentos de dados com 300 lados de faces não equiprováveis e o dano inflingido a cada rodada varia entre 1 e |Rb-Ra| , mas isso por enquanto é o menor dos meus problemas... A constante K, no caso, representa a discrepância entre a perícia individual de cada duelista. É possível, com um K suficientemente grande, que B vença sempre, por exemplo. Se alguém se interessar, posso passar todo o algoritmo de duelo para a lista. Por agora fico contente se alguem tiver alguma pista de como modelo o que postei até agora. Pensei em funções geradoras, mas não consigo vislumbrar uma boa saída usando o que sei do assunto. Espero ter sido claro no enunciado, desde já agradeço Will = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Eureka 18 e Olimpiada Cearense
Alguem fez algum progresso nestes dois problemas?
Eureka 18:
Problema Proposto no. 83:
Seja N = {0,1,2,3, ..}.
Determine quantas funções de N em N satisfazem:
f(2003) = 2003,
f(n) = 2003 para todo n = 2003, e
f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) , para todo m,n pertence N.
*
Olimpiada Cearense - 2003:
Problema 4 - Um homem acha-se no centro de um círculo. A periferia deste
círculo é delimitada por uma cerca, que separa o homem de um cachorro.
Admitindo que o cachorro só pode correr ao longo da cerca.
Prove que o homem pode escapar pulando a cerca sem ser mordido pelo
cão se as velocidades máximas possíveis de serem desenvolvidas pelo cachorro
e pelo homem estiverem entre si na relação 4:1.
Determine as relações entre as velocidades máximas do cachorro e do
homem para as quais o homem pode escapar.
[]s,
Claudio.
=
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Re: [obm-l] Olimpiada Polonesa 1983
B2. There is a piece in each square of an m x n rectangle on an infinite
chessboard. An allowed move is to remove two pieces which are adjacent
horizontally or vertically and to place a piece in an empty square adjacent
to the two removed and in line with them (as shown below)
X X . to . . X, or . to XX.X
.
Show that if mn is a multiple of 3, then it is not possible to end up with
only one piece after a sequence of moves.
--- x ---
Ok, vou re-escrever a regra pois como texto puro não saiu.
Você tem um tabuleiro m x n com peças e você pode fazer uma peça comer outra
adjacente na horizontal ou vertical desde que haja um espaço para a peça que
está pulando...
por exemplo X X . - . . X
Lendo o livro do Engel (Problem Solving Strategies) eu reconheci
imediatamente que este é um problema que pede a existência de um invariante.
Imagine que estamos associando a cada quadrado do tabuleiro uma cor, vamos
utilizar 3 cores, digamos {0, 1, 2} da seguinte forma: primeiramente fixamos
um quadrado (0, 0) no tabuleiro e para todo quadrado (i, j) associamos a cor
i - j mod 3.
Utilizando tal coloração é possível ver que num retângulo m x n (3|m) o
número quadrados de cada cor é o mesmo:
Suponha que o retângulo seja formado por (0,0) a (m-1, n-1)
Considere S_k = {(i, j) : 0 = i m, 0 = j n, i - j ~ k (mod 3)}.
Tome o mapa f(i, j) = (i + 1 mod m, j).
Como m é múltiplo de 3 o mapa é uma bijeção f: S_k - S_{k+1 mod 3}, logo
|S_1| = |S_2| = |S_3|.
É simples ver que f é injetora, para mostrar que f(S_k) = S_{k+1 mod 3},
basta ver que se i m - 1, então f(i, j) = (i + 1, j) e i + 1 - j = (i-j) +
1 (mod 3)
se i = m - 1, f(i, j) = f(m-1, j) = (0, j) e -j = [(m - 1) - j] + 1 (mod 3)
pois m = 0 (mod 3).
Agora a sacada final:
no início temos |S_1| = |S_2| = |S_3| (mod 2)
a cada passo, quando uma peça é comida, dois quadrados de cores distintas
perdem peças e um quadrado com a terceira cor recebe uma peça, ou seja, ao
final de um passo, o invariante |S_1| = |S_2| = |S_3| (mod 2) continua
válido.
Note que a situação de apenas 1 peça no tabuleiro implica que existe uma cor
que é 1 mod 2 e as demais são 0, o que é absurdo.
O que provamos acima mostra ainda que se é possível chegar a uma redução de
duas peças elas devem estar em quadrados de mesma cor!
A propósito, no livro que eu mencionei tem um problema similar, ele mostra
que se tivermos um quadrado n x n com n não múltiplo de 3 é possível restar
apenas 1 peça com as mesmas regras de jogo... tentem mostrar isso.
[ ]'s
Domingos.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] outra duvida de probabilidade
Seja X1,X2,X3 v.a i.i.d com distribuicao uniforme U[0,1]
Seja Z = max(X1,X2,X3)
Ai pede-se P(Z = z) (com z entre 0 e 1)
O livro resolve assim
P(Z=z) = (P(X1=z))^3 = z^3
Na primeira olhada, eu aceitei...
mas depois eu começei a me perguntar por que isso não é valido
P(Z = z) = P({Z = X1 e X1 = z} ou {Z = X2 e X2 = z} ou {Z = X3 e X3
= z})
e isso daria
((1/3)*z)^3 = (1/27)*z^3
Onde é que eu raciocinei errado?
Muito obrigado
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
[upon losing the use of his right eye]
Now I will have less distraction
Leonhard Euler
=
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=
Re: [obm-l] Eureka 18 e Olimpiada Cearense
Alguem fez algum progresso nestes dois problemas?
Eureka 18:
Problema Proposto no. 83:
Seja N = {0,1,2,3, ..}.
Determine quantas funções de N em N satisfazem:
f(2003) = 2003,
f(n) = 2003 para todo n = 2003, e
f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) , para todo m,n pertence N.
*
f(f(0)) = f(0 + f(0)) = f(f(0)) + f(0) = f(0) = 0
f(m) = f(m + f(0)) = f(f(m)) + f(0) = f(f(m)) para todo m em N.
seja k = f(1), então
k = f(1) = f(f(1)) = f(k)
portanto f(2k) = f(k + k) = f(k + f(k)) = f(f(k)) + f(k) = 2f(k) = 2k
por indução vemos que f(j*k) = j*k para todo j = 0.
seja n = q*k + r, com 0 = r k, temos
f(n) = f(r + q*k) = f(r + f(q*k)) = f(f(r)) + f(q*k) = f(r) + q*k
f(1 + qk) = f(1) + qk = (q+1)k
= f(qk + 1) = f((q+1)k)
f(2 + qk) = f(1 + qk + 1) = f(1 + f((q+1)k)) = f(f(1)) + f((q+1)k) = (q+2)k
e, de forma geral (por indução)
f(r + qk) = (q+r)k
então parece que fixando f(1) estamos definindo toda f, vamos ver se
qualquer valor fixado serve:
seja
m = uk + v
n = sk + t
com 0 = v, t k
f(m + f(n)) = f(uk + v + (s + t)k) = f((u + s + t)k + v) = (u + s + t + v)k
f(f(m)) + f(n) = f((u+v)k) + (s + t)k = (u + v + s + t)k
então parece que qualquer valor de k serve, mas f(1) = 2003, então temos
2004 valores para f(1), cada um determinando uma função diferente.
acho que é isso...
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Eureka 18 e Olimpiada Cearense
então parece que qualquer valor de k serve, mas f(1) = 2003, então temos 2004 valores para f(1), cada um determinando uma função diferente. acho que é isso... opa, mas f(2003) = 2003 2003 = q*k + r = f(2003) = f(q*k + r) = (q + r)k = r = 0 = k|2003 então temos que tomar f(1) como divisor de 2003 desculpem pelo erro bobo, espero que agora sim esteja correto! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] outra duvida de probabilidade
on 25.04.04 22:32, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja X1,X2,X3 v.a i.i.d com distribuicao uniforme U[0,1]
Seja Z = max(X1,X2,X3)
Ai pede-se P(Z = z) (com z entre 0 e 1)
O livro resolve assim
P(Z=z) = (P(X1=z))^3 = z^3
Na primeira olhada, eu aceitei...
mas depois eu começei a me perguntar por que isso não é valido
P(Z = z) = P({Z = X1 e X1 = z} ou {Z = X2 e X2 = z} ou {Z = X3 e X3
= z})
e isso daria
((1/3)*z)^3 = (1/27)*z^3
Mas entao P(Z=1) seria igual a 1/27
Onde é que eu raciocinei errado?
Muito obrigado
Z = z se e somente se X1 = z, X2 = z e X3 = z.
Como elas sao i.i.d. a solucao do livro estah correta.
[]s,
Claudio.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Progressão Aritmética..onde errei??
Pessoal, Aqui vai um probleminha simples de PA que não consigo encontrar a mesma resposta dada no livro..então alguém, por favor, poderia me dizer onde errei ?? (n + 5) Se S 4(x - 3) = An^2 + Bn + C, calcule o valor de A + B (x = 5) 4(5 - 3) + 4(6 - 3) + 4(7 - 3) + ... + 4(n + 5 - 3) = An^2 + Bn + C 8 + 12 + 16 + ... + 4(n + 2) = An^2 + Bn + C S(n + 5) = [(n + 5)(8 + 4n + 8)]/2 = An^2 + Bn + C [(n + 5)(4n + 16)]/2 = An^2 + Bn + C (4n^2 + 36n + 80)/2 = An^2 + Bn + C 2n^2 + 18n + 40 = An^2 + Bn + C A + B = 20 No livro a resposta dada foi A + B = 12 Daniel S. BrazYahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] outra duvida de probabilidade
Z = z se e somente se X1 = z, X2 = z e X3 = z.
Como elas sao i.i.d. a solucao do livro estah correta.
Poisé, mas eu nao consigo entender porque o meu raciocinio de decompor
o evento
{Z = z} em ({Z = X1 e X1 = z} ou {Z = X2 e X2 = z} ou {Z = X3 e X3 =
z}) seja falacioso. Para mim falar Z =z ou o evento Z = X1 e X1 =z ...
sao a mesma coisa e portanto as probabilidades associadas deveriam ser
iguais.
Você tem alguma ideia?
obs: obrigado pelos comentarios de analise, ainda nao tive tempo de ler
com cuidado.
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
[upon losing the use of his right eye]
Now I will have less distraction
Leonhard Euler
=
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Re: [obm-l] Eureka 18 e Olimpiada Cearense
Não consegui resolver, mas andei um tanto...
Mais abaixo...
- Original Message -
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Eureka 18:
Problema Proposto no. 83:
Seja N = {0,1,2,3, ..}.
Determine quantas funções de N em N satisfazem:
f(2003) = 2003,
f(n) = 2003 para todo n = 2003, e
f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) , para todo m,n pertence N.
*
Passo a passo, pra não ficar impossível de entender.
Afirmação 1: f(0) = 0
Dem:
f(0 + f(0)) = f(f(0)) + f(0)
f(f(0)) = f(f(0)) + f(0)
0 = f(0)
Afirmação 2: f(n) = f(f(n)) para todo n natural
Dem:
f(n + f(0)) = f(f(n)) + f(0)
f(n) = f(f(n))
Afirmação 3: Se f(n) = k para algum k natural , Então f(k)=k
Dem:
f(n) = f(f(n))
f(n) = f(k)
Afirmação 4: Se f(n) = n para algum n natural, Então f(kn) = kn para todo k
natural
Dem: (indução em k)
hipotese: f((k-1)n) = (k-1)n
f(n + f((k-1)n)) = f(n) + f((k-1)n)
f(n + (k-1)n) = n + (k-1)n
f(kn) = kn
Afirmação 5: f(1) = 0 ou 1 ou 2003
Dem:
Suponha f(1) = b , onde 1 b 2003
Então f(b) = b (afir 3)
e também f(kb) = kb (afir 4)
Seja k o maior inteiro tal que kb 2003
f(1 + f(kb)) = f(1) + f(kb)
f(1 + kb) = b + kb 2003 (absurdo)
Afirmação 6: Se f(1) = 1 , então f(n) = n para todo n
Dem: Decorre diretamente da afirmação 4.
Suspeito que as outras possibilidades são arranjos de 0´s e 2003´s , o que
dariam mais umas 2^2002 funçoes, mas tá tarde e eu tenho uma prova pra fazer
amanhã de manhã e a cabeça tá pifando. (além do que, acaba de chegar um mail
do Domingos, vou olhar a solução dele e matar a curiosidade...)
Saudações
Will
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Progressão Aritmética..onde errei??
Ola,
Veja:
Se SOMATORIO(de x=5 a (n+5)) [4(x - 3)] = An^2 + Bn + C, calcule o valor de A+B
4(5 - 3) + 4(6 - 3) + 4(7 - 3) + ... + (n + 5) = An^2 + Bn + C
8 + 12 + 16 + ... + (n + 5) = An^2 + Bn + C
S(n + 5) = {[(8 + [(n + 5) + 5)]]*(n + 5)}/2 = An^2 + Bn + C
S(n + 5) = n^2/2 + 23n/2 + 45 = An^2 + Bn + C
A = 1/2 e B = 23/2
A + B = 1/2 + 23/2 = 24/2 = 12
Em uma mensagem de 25/4/2004 23:36:20 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Pessoal,
Aqui vai um probleminha simples de PA que não consigo encontrar a mesma resposta dada no livro..então alguém, por favor, poderia me dizer onde errei ??
(n + 5)
Se S 4(x - 3) = An^2 + Bn + C, calcule o valor de A + B
(x = 5)
4(5 - 3) + 4(6 - 3) + 4(7 - 3) + ... + 4(n + 5 - 3) = An^2 + Bn + C
8 + 12 + 16 + ... + 4(n + 2) = An^2 + Bn + C
S(n + 5) = [(n + 5)(8 + 4n + 8)]/2 = An^2 + Bn + C
[(n + 5)(4n + 16)]/2 = An^2 + Bn + C
(4n^2 + 36n + 80)/2 = An^2 + Bn + C
2n^2 + 18n + 40 = An^2 + Bn + C
A + B = 20
No livro a resposta dada foi A + B = 12
Daniel S. Braz
[obm-l] Re: [obm-l] Progressão Aritmética..onde errei??
Daniel, O seu erro está na contagem do número de termos que está somando. De 5 a (n+5), você tem (n+5)-5+1 termos, isto é, (n+1). S(n+1) = (n+1)(8+4n+8)/2 = (n+1)(2n+8) = 2n^2 + 10n + 8 Logo, A = 2 e B = 10. []s, Rafael - Original Message - From: Daniel Silva Braz To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 11:32 PM Subject: [obm-l] Progressão Aritmética..onde errei?? Pessoal, Aqui vai um probleminha simples de PA que não consigo encontrar a mesma resposta dada no livro..então alguém, por favor, poderia me dizer onde errei ?? (n + 5) Se S 4(x - 3) = An^2 + Bn + C, calcule o valor de A + B (x = 5) 4(5 - 3) + 4(6 - 3) + 4(7 - 3) + ... + 4(n + 5 - 3) = An^2 + Bn + C 8 + 12 + 16 + ... + 4(n + 2) = An^2 + Bn + C S(n + 5) = [(n + 5)(8 + 4n + 8)]/2 = An^2 + Bn + C [(n + 5)(4n + 16)]/2 = An^2 + Bn + C (4n^2 + 36n + 80)/2 = An^2 + Bn + C 2n^2 + 18n + 40 = An^2 + Bn + C A + B = 20 No livro a resposta dada foi A + B = 12 Daniel S. Braz
[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas
- Original Message - From: TSD To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 2:54 PM Subject: [obm-l] dúvidas POderiam explicar passo a passo cada questão Por favor!!! 1) A soma da sériee : 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/9 + ...+1/(2^n) + 1/(3^n) + 1/(2^n+1) + 1/(3^n+1)+... = Somatório n=variando 1 ao infinito ( 1/(2^n) + 1/(3^n) ) a)5/3 b)1 c)3/2 d)2 e)infinito está questão ´é do livro matemática elementar. td(132) 2) A soma dos termos da progressão 3^ -1 , 3 ^ -2 , 3^ -3,...e: a)1/2 b)2 c)1/4 d)4 3) a expressão 1+ 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + ... vale ? a)1/2 b)9/2 c)1/4 d)4
Re: [obm-l] Rafaeis
De fato, Morgado. Creio que a referência aos sobrenomes seja a forma mais viável. Parece-me incoveniente guardar logins e repeti-los na lista, devido à quantidade enorme de mensagens do tipo spam. - Original Message - From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 6:16 PM Subject: [obm-l] Rafaeis Gente, nessa lista ha muitos Rafaeis, pelo menos 4. Se os chamamos de Rafael, instala-se a confusão. Fael Rafael Sampaio ou Rafael cyberhelp Rafael matdúvidas Rafael San O Rafael San podia nos informar o seu sobrenome (Santiago?). Morgado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] COMBINATÓRIA
DISPOMOS DE SEIS CORES DIFERENTES. CADA FACE DE UM CUBO SERÁ PINTADA COM UMA COR DIFERENTE, DE FORMA QUE AS SEIS CORES SEJAM UTILIZADAS. DE QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES ISSO PODE SER FEITO, SE UMA MANEIRA É CONSIDEADA IDÊNTICA A OUTRA, DESDE QUE POSSA SER OBTIDA A PARTIR DESTA POR ROTAÇÃO DO CUBO. Ps¹: peço muita paciência na hora da explicação Ps²: a resposta do problema é 30 Grato, Junior
Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas
Para a 1) S = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/9 + ...+1/(2^n) + 1/(3^n) + 1/(2^n+1) + 1/(3^n+1)+... S = (1/2 + 1/4 + 1/8 ...) + (1/3 + 1/9 + 1/27 ...) S = 1 + 1/2 = 3/2 Para a 2) S = 3^ -1 + 3 ^ -2 + 3^ -3 + ...3^-n S = 1/3 + 1/3^2 + 1/27 + ...+1/3^n Como trata-se de uma P.G infinita: S = a[1] / 1 - q S = 1/3 / 1 - 1/3 S = 1/2 Para 3) S = 1+ 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + ... Eh uma P.G infinita. Ela pode ser vista como: 1/1 1/2 + 1/2 1/4 + 1/4 + 1/4 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 . . . Vamos somar a 1o coluna, depois a 2o coluna, depois a 3o coluna e veremos uma P.G cuja soma eh igual a S s[1] = (1/1) / (1 - 1/2) = 2 s[2] = (1/2) / (1 - 1/2) = 1 s[3] = (1/4) / (1 - 1/2) = 1/2 Pronto ! Ja temos uma P.G, cujos termos sao 2,1,1/2 e cuja soma eh S = 2 / (1 - 1/2) = 4 Em uma mensagem de 26/4/2004 00:49:48 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: - Original Message - From: TSD To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 2:54 PM Subject: [obm-l] dúvidas POderiam explicar passo a passo cada questão Por favor!!! 1) A soma da sériee : 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/9 + ...+1/(2^n) + 1/(3^n) + 1/(2^n+1) + 1/(3^n+1)+... = Somatório n=variando 1 ao infinito ( 1/(2^n) + 1/(3^n) ) a)5/3 b)1 c)3/2 d)2 e)infinito está questão ´é do livro matemática elementar. td(132) 2) A soma dos termos da progressão 3^ -1 , 3 ^ -2 , 3^ -3,...e: a)1/2 b)2 c)1/4 d)4 3) a expressão 1+ 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + ... vale ? a)1/2 b)9/2 c)1/4 d)4
Re: [obm-l] COMBINATÓRIA
Se planificarmos o cubo teremos o que voce esta vendo na figura. Vamos chamar de 1,2,3,4,5,6 as 6 cores diferentes. Para escolher as cores da horizontal (2,3,4 e 5) temos C(6 cores, 4 cores) = C (6,4) = 15 Para escolher as cores da vertical (1 e 6) temos 2 possibilidades. Por que ? Porque 4 foram escolhidas ! Logo ha 15*2 = 30 possibilidades Em uma mensagem de 26/4/2004 01:14:02 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: DISPOMOS DE SEIS CORES DIFERENTES. CADA FACE DE UM CUBO SERÁ PINTADA COM UMA COR DIFERENTE, DE FORMA QUE AS SEIS CORES SEJAM UTILIZADAS. DE QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES ISSO PODE SER FEITO, SE UMA MANEIRA É CONSIDEADA IDÊNTICA A OUTRA, DESDE QUE POSSA SER OBTIDA A PARTIR DESTA POR ROTAÇÃO DO CUBO. Ps¹: peço muita paciência na hora da explicação Ps²: a resposta do problema é 30 Grato, Junior inline: Cubo.gif
