[obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares
Caro João Carlos: A fórmula geral para o determinante de uma matriz A (n x n) é a seguinte: det(A) = SOMATÓRIO sgn(p) * A(1,p(1)) * A(2,p(2)) * ... * A(n,p(n)) p em Sn onde A(i,j) é o elemento da linha i e coluna j, sgn(p) = sinal da permutação p (+1 se p é par, -1 se p é ímopar) e onde a soma é tomada sobre cada permutação p dos números 1, 2, ..., n (o conjunto de todas estas permutações é comumente denominado Sn) ou seja, é uma soma de n! termos, cada um deles igual ao produto de n elementos da matriz. Assim, para n = 4 esta fórmula, apesar de correta (é, de fato, a definição de determinante) é muito trabalhosa de se aplicar. No entanto, existem alguns teoremas sobre determinantes - tais como expansão de Laplace ou sobre o efeito de operações elementares com linhas e colunas - que permitem que você reduza o problema ao cálculo de determinantes de ordem menor. O que deve estar acontecendo é que, com n = 4, o número de termos é = 24 e talvez você esteja esquecendo algum termo ou trocando algum sinal. Espero que isso ajude. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 03, 2003 4:08 PM Subject: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares No volume 3, A Matemática do Ensino Médio da SBM, p. 137, há regra de cálculo determinantes por meio de permutações pares e ímpares. Porém, não estou conseguindo aplicá-la para matrizes quadradas de ordem maior ou igual a 4. Expliquem-me. ATT. João Carlos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia
Caro Matteus: O algoritmo abaixo cria uma sequência X tal que X(1) = 1 ( = 2^0 * 3^0 * 5^0 ) e X(N) = N-ésimo inteiro positivo da forma 2^a * 3^b * 5^c. A ordenação é a usual (m n == X(m) X(n) ) Input N a = 0 b = 0 c = 0 K = 1 (***) X(K) = 1 P = 2^(a+1) * 3^b * 5^c Flag = 1 Se P 2^a * 3^(b+1) * 5^c então ( P = 2^a * 3^(b+1) * 5^c e Flag = 2 ) Se P 2^a * 3^b * 5^(c+1) então ( P = 2^a * 3^b * 5^(c+1) e Flag = 3 ) Se Flag = 1 então a = a+1 Se Flag = 2 então b = b+1 Se Flag = 3 então c = c+1 K = K+1 Se K = N então Retorna para (***) Fim Espero que isso ajude. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: matteus barreto [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 03, 2003 6:04 PM Subject: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Sera que alguem poderia me sugerir, se nao uma forma fechada, um passo a passo (um algoritmo) para se encontrar o k-esimo numero da sequencia: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15..., ou seja, os números da forma (2^a)*(3^b)*(5^c), com a, b, c pertencentes ao conjunto dos inteiros nao negativos. Ja pensei bastante a respeito mas sem resultados mais concludentes. ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Triângulos
Olá pessoal, Vejam a questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC (angulo). Determine a área do triângulo. Resp: 6V3 ou 10V3 m^2 Obs: O triângulo citado possui base BC e a figura não possui aquele quadrado em um dos vertices indicando a perpendicularidade. Eu tentei aplicar a lei da área S=a*b*sen(alfa)/2, mas não consegui achar o valor de AB... Daí eu pensei, se um dos angulos mede 60º o outro angulo da base mede 30º e aplicando a lei da área neste angulo chegarei no resultado, só que eu estava contando com o fato do triângulo ser retângulo, mas fiz a prova e não deu o resultado acima . ICQ: 337140512
[obm-l] Re: [obm-l] Taxas relacionadas e problemas de otimização
Caro Marcos Reynaldo: Aqui vão alguns comentários. 1) Um depósito esférico está recoberto uniformemente por uma camada de gelo de 5 cm de espessura. À medida que o gelo derrete, a taxa na qual o volume de gelo diminui é diretamente proporcional à taxa em qua a área da superfície decresce. Mostre que o diâmetro externo está decrescendo a uma taxa constante. (página 204) R = raio do depósito (constante) x = espessura da camada de gelo (variável) V(gelo) = (4/3)*Pi*(R+x)^3 - (4/3)*Pi*R^3 A(gelo) = 4*Pi*(R+x)^2 dV/dt = k * dA/dt == dV/dx * dx/dt = k * dA/dx * dx/dt == dV/dx = k * dA/dx == 4*Pi*(R+x)^2 = k * 8*Pi*(R+x) == (R+x)^2 = k * 2*(R+x) == R+x = 2*k == x é constante == Dexterno = 2*(R+x) é constante == dDexterno/dt = 0 Realmente, nas condições do problema (dV/dt = k*dA/dt) o diâmetro esté decrescendo a uma taxa constante e igual a zero == a camada de gelo está fixa. Na verdade, o que acontece é o seguinte: Expressando V(gelo) em função de A(gelo), teremos: A = 4*Pi*(R+x)^2 == (A/(4*Pi))^(3/2) = (R+x)^3 == (4/3)*Pi*(R+x)^3 = (4/3)*Pi*[A/(4*Pi)]^(3/2) = 1/(6*raiz(Pi))*A^(3/2) == V = 1/(6*raiz(Pi))*A^(3/2) - (4/3)*Pi*R^3 == dV/dA = 1/(4*raiz(Pi))*raiz(A) dV/dt = (dA/dt) / (dV/dA) == 4*raiz(Pi) * (1/raiz(A)) * dA/dt Ou seja, a taxa de variação no volume é diretamente proporcional à taxa de variação da Área e INVERSAMENTE PROPORCIONAL À RAIZ QUADRADA DA ÁREA. ** 2)Um muro tem 3 m de altura, é paralelo à parede de um edifício, e está a 0,30m desta. Determine o comprimento da menor escada que vá do chão à parede do edifício, tocando o muro. (página 274) Eu não tenho o livro mas do jeito que você colocou o enunciado, eu diria que o comprimento mínimo é de 0,30 m - escada paralela ao chão tocando o muro e a parede.Será que não tem alguma figura ou alguma restrição adicional? *** 3) A lei de Boyle para gases confinados afirma que, se a temperatura permanece constante, então p.v=c , onde é a pressão, v o volume e c uma constante. A certo instante, o volume é 1,230 cm^3 , a pressão é de 206 k/cm^2 e a pressão decresce à razão de 1 km/cm^2. Em que taxa está variando o volume nesse instante ? (página 203) Realmente, as unidades estão esquisitas, pra dizer o mínimo (pressão variando a 1 km/cm^2 ) - mesmo que este seja um um livro de cálculo e não de física é duro de perdoar De qualquer forma, supondo que as unidades sejam: Pressão = kgf/cm^2, Volume = cm^3 e Taxa de Variação da Pressão = kgf/(cm^2 * seg), teremos: P*V = c == 206 * 1.230 = c == c = 253.380 kgf * cm V = c/P == dV/dt = - (c/P^2) * dP/dt = - (253.380/206^2) * (-1) = 5,97 kgf/(cm^2*seg) (o volume está aumentando) O que diz seu gabarito? Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_sequências_e_mais_sequências
Sendo assim, la vai. Nao vou provar as coisas que podem ser achadas em um livro que trate de equacoes em diferencas finitas, por exemplo o do Elon de Algebra linear. Como a equacaoe de ordem 2 seu conjunto solucao e um espaco vetorial de dimensao 2. O polinomio caracteristico da equacao e: x^2-2a(1)x+1=0 Exigindo-se a existencia de solucao real, concluimos o item a).Observe que,sendo r e s solucoes do polinomio acima. a(n)=r^n e solucao (basta substituir na equacao) a(n)=s^n tambem e. Essas solucoes sao LI logo qualquer outra solucao e da forma: a(n)=Pr^n+Qs^n, onde P,Q sao coeficientes a determinar, para isso precisamos de duas condicoes iniciais. a(0)=100 ajuda, porem a(100)=0, gera muita conta. Provalvemente tem alguma coisa que nao vi. Erasmo de Souza Dias [EMAIL PROTECTED] wrote: valeu pela resposta mas houve um erro no enunciado...] é como o Bruno disse mesmo... a(n+1)=2*a1*a(n)-a(n-1).. O resultado do Claudio é muito bem elaborado, mas a condiçao do item (a) é para esse enunciado aqui! Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria
1) Cescem-1968 - Uma urna contem uma bola preta e 9 brancas.Uma segunda urna contem x bolas pretas e as restantes brancas num total de 10 bolas .Um primeiro experimento consiste em retirar , ao acaso, uma bola de cada urna.num segundo experimento , as bolas das duas urnas são reunidas e destas , duas bolas são retiradas ao acaso.O valor mínimo de x a fim de que a probabilidade de sairem duas bolas pretas seja maior no segundo do que no primeiro experimento é : Exp 1: P(2 pretas) = (1/10) * (x/10) = x/100 Exp 2: P(2 pretas) = ((1+x)/20) * (x/19) = (x^2 + x)/380 (x^2+x)/380 x/100 == 5*x^2 - 14*x 0 == x 0 ou x 14/5 == x min = 3. * 2) Numa entrevista comparecem 5 candidatos para serem avalidados por 7 entrevistadores, cada entrvistador deverá escolher um candidato.de quantos maneiras as escolhas podem ser distribuidas? O primeiro entrevistador tem 5 escolhas: 5 O segundo entrevistador tem 5 escolhas: 5 . O sétimo entrevistador tem 5 escolhas: 5 Total = 5*5*...*5 = 5^7. - Original Message - From: amurpe [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 03, 2003 8:00 PM Subject: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria Antes de mais nada , muito abrigado pela ajuda que voce s me deram na resolução dos problemas de combinatoria. vi dois problemas que cairam nos vestibulares da cescem - 1968 e da santa vcasa- 1977, se voces puderem me dar uma ajuda, ficarei muito grato.Aí vão eles. 1) Cescem-1968 - Uma urna contem uma bola preta e 9 brancas.Uma segunda urna contem x bolas pretas e as restantes brancas num total de 10 bolas .Um primeiro experimento consiste em retirar , ao acaso, uma bola de cada urna.num segundo experimento , as bolasdas duas urnas são reunidas e destas , duas bolas são retiradas ao acaso.O valor mínimo de x a fim de que a probabilidade de sairem duas bolas pretas seja maior no segundo do que no primeiro experimento é : Resp: 3. um outro problema que vi numa apostila e não consrgui entender é o seguinte: Numa entrevista comparecem 5 candidatos para serem avalidados por 7 entrevistadores, cada entrvistador deverá escolher um candidato.de quantos maneiras as escolhas podem ser distribuidas? mais uma vez , obrigado. Amurpe ___ ___ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Fw: [obm-l] polinômios
Olá, == ehidêntidade Pela 1ª divisão mencionada: f(x) == (x+2).(x^2 -1) + x-3 f(x) == x^3 + 2x^2 -5 Agora é só dividir pelo método da chave ou pelo difpositivo Briot-Ruffini, acha-se a resposta -2. Até mais... "Bruno - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 03, 2003 5:57 PM Subject: [obm-l] polinômios Olá pessoal, Como resolver está questão: (FCC-BA) Dividindo o polinômio f por x^2- 1, obtém-se quociente x+2 e resto x-3. O resto da divisão de f por x-1 é: resp: -2 ICQ: 337140512
[obm-l] Re: [obm-l] Matrizes Simétricas e Inversíveis
A única maneira de provar que a afirmativa é falsa é exibindo um contra exemplo. Isso ocorre porque há casos onde P^(-1) * A * P também é simétrica. Seria possível uma prova geral se a afirmativa fosse falsa sempre (nesse caso a sua negação seria um teorema). Um exercício pode ser determinar todas as matrizes simétricas A tais que P^(-1)*A*P é simétrica, qualquer que seja a matriz inversível P, ou então, dada uma matriz simétrica A, determinar todas as matrizes inversíveis P tais que P^(-1)*A*P é simétrica. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 03, 2003 4:32 PM Subject: [obm-l] Matrizes Simétricas e Inversíveis Sejam as matrizes A e P inversíveis. Seja B igual a P^-1 A P. Há forma de provar, sem contra-exemplo, a falsidade: se A é simétrica, então B também o é. ATT. João Carlos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Monótona, contínua, derivável, etc... (continuação)
Caros Domingos Jr., Artur e demais colegas: Acho que dá pra eliminar a necessidade de termos f' contínua. Basta que f'(x) seja positiva para todo x em algum intervalo [c,d] com a = c d = b. Nesse caso, como f é contínua, será crescente em [c,d]. Minha dúvida é: Supondo que f' exista mas seja descontínua em todo ponto de [a,b], será que a condição f(a) f(b) é suficiente para garantir que exista um sub-intervalo [c,d] (a = c d = b) onde f é crescente? Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Domingos Jr. To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 02, 2003 3:07 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação acho que sem a hipótese de f diferenciável realmente isso não é verdadeiro... dê uma olhada nessas funções que, apesar de serem contínuas, devem conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo é maior que o outro e no entanto elas não possuem nenhum intervalo estritamente crescente ou decrescente (é um palpite, não estudei essas funções a fundo): http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html assumindo f diferenciável, seja f' sua derivada tb contínua no intervalo [a, b] se f'(x) 0 para algum valor de x em [a, b] na região em torno a x as derivadas também são maiores que 0 pois f' é contínua, logo existe um intervalo em [a, b] em que f é estritamente crescente. para suponha que f'(x) = 0 para todo x em [a, b], temos que f(b) = f(a), que não pode ocorrer. acho que é só, às 2 da manhã é só o que eu consigo pensar :-) - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 01, 2003 8:35 PM Subject: [obm-l] prova de uma afirmação Boa noite a todos, Pediram-se para demonstrar a seguinte afirmação, que, embora intiuitivamente pareça ser verdadeira, está me causando grande dificuldade: Seja f: [a, b] - R contínua em [a, b] e tal que f(a) f(b). Existe então um sub-intervalo de [a, b] no qual f é estritamente crescente. Estou começando a achar que, embora aparentemente faça sentido, esta afirmação é falsa. Mas também não consegui dar um contra exemplo. Talvez exista um não trivial, sendo f dada pelo limite de uma série de funções ou por combinações de outras funções. Mesmo relaxando o caráter estritamente crescente e admitindo que f seja apenas crescente, ainda asim não consegui chegar a qualquer conclusão. Algúem tem alguma idéia a este respeito? Um abraço. Artur
[obm-l] Quadrados em um Quadriculado - parte 2
Caro Paulo: A parte 2 do problema pede para determinar todos os inteiros p, para os quais existe um inteiro positivo n tal que: n * (n+1)^2 * (n+2) / 12 = 10^p == n * (n+1)^2 * (n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^p No entanto, eu achei que a única solução é p = 0 == n = 1. Será que eu errei em algum lugar? E dividi o problema em 3 casos: n ímpar, n = 0 (mod 4) e n = 2 (mod 4): CASO 1: n é ímpar n é ímpar == n+1 é par e n+2 é ímpar. Assim, (n+1)^2 = 2^(p+2) * 3^x * 5^y e n*(n+2) = 3^(1-x) * 5^(p-y) com 0 = x = 1 e 0 = y = p (n+1)^2 é quadrado == p+2 é par, x = 0 e y é par p+2 é par == p é par == p = 2q y é par == y = 2z == p-y = 2q-2z Assim: n+1 = 2^(q+1) * 5^ze n*(n+2) = 3 * 5^(2q-2z) Temos dois sub-casos a considerar: 5 divide n+1 ou 5 não divide n+1: Sub-caso 1: 5 | n+1 5 | n+1 == (5,n) = (5,n+2) = 1 == z = q == n+1 = 2^(q+1) * 5^q e n*(n+2) = 3 == n = 1 == q = 0 == p = 0 Sub-caso 2: 5 não | n+1 5 não | n+1 == (5,n+1) = 1 == z = 0 == n+1 = 2^(q+1) e n*(n+2) = 3 * 5^(2q) == n = 2^(q+1) - 1, n+2 = 2^(q+1) + 1 == n*(n+2) = 2^(2q+2) - 1 = 4 * ^(2q) - 1 == 3 * 5^(2q) = 4 * 2^(2q) - 1 == 4 * 2^(2q) - 3 * 5^(2q) = 1 == q = 0 == n+1 = 2 e n*(n+2) = 3 == n = 1 == p = 0 CASO 2: n = 0 (mod 4) n = 0 (mod 4) == n+1 é ímpar e n+2 = 2 (mod 4) == (n+1)^2 = 3^x * 5^y en*(n+2) = 2^(p+2) * 3^(1-x) * 5^(p-y) com 0 = x = 1 e 0 = y = p (n+1)^2 é quadrado == x = 0 e y = 2z == n+1 = 5^z e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^(p-2z) Sub-Caso 1: 5 | n+1 5 | n+1 == (5,n) = (5,n+2) = 1 == n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 Sub-Caso 1.1: 5 | n+1 e 3 | n 3 | n == (3,n+1) = (3,n+2) = 1 == n = 2^(p+1) * 3 e n+2 = 2 == XXX Sub-Caso: 1.2: 5 | n+1 e 3 não | n 3 não | n == 3 | n+1 == n = 2^(p+1) e n+2 = 2*3 = 6 == Q(n) = 196 10^p == XXX Sub-Caso 2: 5 não | n+1 5 não | n+1 == n+1 = 1 == XXX CASO 3: n = 2 (mod 4) n = 2 (mod 4) == n+1 é ímpar e n+2 = 0 (mod 4) == (n+1)^2 = 3^x * 5^y en*(n+2) = 2^(p+2) * 3^(1-x) * 5^(p-y) com 0 = x = 1 e 0 = y = p (n+1)^2 é quadrado == x = 0 e y = 2z == n+1 = 5^z e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^(p-2z) Sub-Caso 1: 5 | n+1 5 | n+1 == (5,n) = (5,n+2) = 1 == n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 Sub-Caso 1.1: 5 | n+1 e 3 | n 3 | n == (3,n+1) = (3,n+2) = 1 == n = 2*3 = 6 == Q(n) = 196 10^p == XXX Sub-Caso: 1.2: 5 | n+1 e 3 não | n 3 não | n == 3 | n+1 == n = 2 == Q(n) = 6 10^p == XXX Sub-Caso 2: 5 não | n+1 5 não | n+1 == n+1 = 1 == XXX ** Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re:probabilidade e combinatoria
oi Pessoal , mais uma vez obrigado pela ajuda que voces tem me prestado.Ao claudio/pratica/, em especial um grande abraço , as soluções que voce me envia vem todas explicadas e isso me facilita bastante na hora de estudar e compreender o problema. Tenho muita dificuldade em problemas de combinatoria e pr obabilidade.na primeira vez que enviei o arquivo ficou mu ito grande, de sorte que ficou faltando um problema. um abraço em todos. Amurpe 2) Santa casa - 1977- Dispoe-se de um mapa (anexo).Dispoe-se tambem de um dado com 3 faces vermelhas e 3 faces azuis. i) partindo do quadro1 , pode-se caminhar , no sentido indicado pelas setas para os demais quadros , a cada lançamento do dado. ii) lançando-se o dado , se sair face azul, segue-se pela seta da direita até o quadro seguinte. iii)lançando-se o dado , se sair face vermelha , segue- se pela seta da esquerda até o quadro seguinte. A probabilidade de chegar ao quadro 13 , partindo de 1 é: resp: 6/16. ___ ___ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ prob.zip Description: Binary data
Re: [obm-l] dupla desigualdade
Caro Rafael: Seguem-se meus comentários. Por que quando você chegou em: a/(a + b + c) = r/h(a) você fez a constante para calcular os valores máximo e mínimos de a/(a + b + c)? *** Eu deveria ter sido mais explícito, mas a minha idéia era simplesmente achar, em função de a, os valores de b e c que maximizam ou minimizam a/(a+b+c). Repare que esta expressão é adimensional (comprimento/comprimento). Logo, o problema poderia ser re-expresso como: Achar os valores extremos de 1/(1 + (b/a) + (c/a)), sujeito a: 0 b/a 1 0 c/a 1 (b/a)^2 + (c/a)^2 = 1. E nesse caso teríamos que (b/a) e (c/a) seriam independentes de a (e também de b e c). Veja tambem que os valores máximo (1/2) e mínimo (raiz(2)-1) de a/(a+b+c) independem de a. Sei que ficaria mais complicado, mas então você poderia considerar b constante também? *** Sem dúvida. O problema ficaria: Achar os valores extremos de (a/b) / ( 1 + (a/b) + (c/b) ), sujeito a: a/b 1 0 c/b a/b (a/b)^2 - (c/b)^2 = 1 Mas, como você disse, mais complicado Para determinarmos b + c mínimo, será que não poderíamos considerar direto que b + c a, pela condição de existência dos triângulos? *** Sim. No limite (quando o triângula degenera), teremos b+c = a == a/(a+b+c) = 1/2. Como não admitimos um trângulo degenerado, vale a desigualdade estrita a/(a+b+c) 1/2. E de onde você tirou que: (b+c) é máximo == b = c = a/raiz(2) Eu pensei que você pudesse ter feito isso: De (b + c)² = a² + 2bc, sabemos que (b + c) será máximo quando bc for máximo, já que a está constante. *** Aqui você poderia ter feito uma simplificação usando a desigualdade entre as médias geométrica e aritmética de b e c, que é a seguinte: raiz(b*c) = (b+c)/2, com igualdade == b = c. Ou seja: b*c = (b+c)^2/4 == (b+c)^2 = a^2 + 2*b*c = a^2 + (b+c)^2/2 == (b+c)^2 = 2*a^2 == b+c é máximo e igual a a*raiz(2) == b = c = a/raiz(2). Então precisamos ter só b ou só c numa expressão para achar seu valor máximo. Isolando b em função de c no teorema de Pitágoras: b² + c² = a² b² = a² - c² b = raiz(a² - c²) Agora fazendo bc: bc = raiz(a² - c²) . c bc = raiz(a².c² - c^4) E agora bc terá valor máximo quando a².c² - c^4 for máximo. Transformando isso numa função quadrática, fazemos x = c² e achamos o valor máximo que é o vértice: = a².c² - c^4 = a²x - x² Que tem valor mínimo para o x do vértice: x = -(a²)/2.(-1) x = a²/2 E como x = c²: x = a²/2 c² = a²/2 c = a/raiz(2) Mas não sei se posso fazer essa transformação de uma função de grau quatro para uma função quadrática para fins de achar valores máximo e mínimos. Se puder me ajudar mais um pouco, agradeço. *** Você fez tudo certinho, só que deu muito mais trabalho Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_sequências_e_mais_sequências
Caro Bruno: Só uma observação: A solução geral deuma equação de recorrência linear homogênea de ordem 2 só é dada pela fórmula: A(n) = P*r^n + Q*s^n com r e s raízes do polinômio característico (p.c.) == r e s forem distintas. Com raízes iguais (a r), a solução geral é da forma: A(n) = (P + Q*n)*r^n. Além disso, r e s não precisam ser reais. Por exemplo, considere a equação de recorrência: B(n) - 2*B(n-1) + 2*B(n-2) = 0 com as condições iniciais: B(1) =0 e B(2) = 4. P.C.: p(x) = x^2-2*x + 2 == raízes: 1 + i e 1 - i == B(n) = P*(1+i)^n + Q*(1-i)^n B(1) = (1+i)*P +(1-i)*Q= 0 e B(2) = 2*i*P - 2*i*Q =4 == P = -1- i e Q = -1 + i == B(n) = (-1-i)*(1+i)^n - (-1+i)*(1-i)^n = (1-i)^(n+1) - (1+i)^(n+1) Ou seja, uma fórmula envolvendo números complexos que só produz números reais !!! A sequência dos B(n) seria: 0, 4, 8, 8, 0, -16, -32, -32, 0, 64, 128, 128, 0, Voltando ao problema original: Se A(1) = 1, a equação seria: A(n) = 2*A(n-1) - A(n-2), e o polinômio característico: x^2 - 2x + 1 = 0 == (x-1)^2 = 0 == Solução geral: A(n) = P + Q*n A(0) = 100 e A(100) = 0 == P = 100 eQ = -1 Portanto: A(n) = 100 - n == A(2003) = -1903. Também, se A(1) = -1, o p.c. seria p(x) = (x+1)^2 == A(n) = (P + Q*n)*(-1)^n A(0) = 100 e A(100) = 0 == P = 100 e Q = -1 == A(n) = (100 - n)*(-1)^n == A(2003) = 1903. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Bruno Lima To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 04, 2003 9:46 AM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_sequências_e_mais_sequências Sendo assim, la vai. Nao vou provar as coisas que podem ser achadas em um livro que trate de equacoes em diferencas finitas, por exemplo o do Elon de Algebra linear. Como a equacaoe de ordem 2 seu conjunto solucao e um espaco vetorial de dimensao 2. O polinomio caracteristico da equacao e: x^2-2a(1)x+1=0 Exigindo-se a existencia de solucao real, concluimos o item a).Observe que,sendo r e s solucoes do polinomio acima. a(n)=r^n e solucao (basta substituir na equacao) a(n)=s^n tambem e. Essas solucoes sao LI logo qualquer outra solucao e da forma: a(n)=Pr^n+Qs^n, onde P,Q sao coeficientes a determinar, para isso precisamos de duas condicoes iniciais. a(0)=100 ajuda, porem a(100)=0, gera muita conta. Provalvemente tem alguma coisa que nao vi. Erasmo de Souza Dias [EMAIL PROTECTED] wrote: valeu pela resposta mas houve um erro no enunciado...] é como o Bruno disse mesmo... a(n+1)=2*a1*a(n)-a(n-1).. O resultado do Claudio é muito bem elaborado, mas a condiçao do item (a) é para esse enunciado aqui! Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Quadrados em um Quadriculado - parte 2
Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, A Resposta esta correta. Eu nao acompanhei todos os seus argumentos, tanto por falta de tempo quanto porque ha outras formas mais diretas de resolve-lo. Eu bolei esta questao especificamente para a OBM, nivel medio. Nao sei porque a banca nao aceitou propo-la. Nao e uma questao dificil, exige apenas um insight para o item 1 e, no item 2, exige conhecimentos bem divulgados. Segue abaixo uma questao questao que eu propus para o pessoal da OBM de nivel 2 ( setima/oitava series do 1 grau ) : Num conjunto de 100 numeros naturais, dois a dois distintos, verifica-se que quaisquer 3 numeros ( iguais ou nao ) podem ser os lados de um triangulo nao obtusangulo ( que nao tem um angulo maior que 90 graus ). Seja A a soma de todos os perimetros de todos os triangulos ( isosceles, equilateros e escalenos ) que podem ser construidos com estes 100 numeros. Qual o valor minimo que A pode ter ? Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1243,040203 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Quadrados em um Quadriculado - parte 2 Date: Tue, 4 Feb 2003 12:02:33 -0200 Caro Paulo: A parte 2 do problema pede para determinar todos os inteiros p, para os quais existe um inteiro positivo n tal que: n * (n+1)^2 * (n+2) / 12 = 10^p == n * (n+1)^2 * (n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^p No entanto, eu achei que a única solução é p = 0 == n = 1. Será que eu errei em algum lugar? E dividi o problema em 3 casos: n ímpar, n = 0 (mod 4) e n = 2 (mod 4): CASO 1: n é ímpar n é ímpar == n+1 é par e n+2 é ímpar. Assim, (n+1)^2 = 2^(p+2) * 3^x * 5^y e n*(n+2) = 3^(1-x) * 5^(p-y) com 0 = x = 1 e 0 = y = p (n+1)^2 é quadrado == p+2 é par, x = 0 e y é par p+2 é par == p é par == p = 2q y é par == y = 2z == p-y = 2q-2z Assim: n+1 = 2^(q+1) * 5^ze n*(n+2) = 3 * 5^(2q-2z) Temos dois sub-casos a considerar: 5 divide n+1 ou 5 não divide n+1: Sub-caso 1: 5 | n+1 5 | n+1 == (5,n) = (5,n+2) = 1 == z = q == n+1 = 2^(q+1) * 5^q e n*(n+2) = 3 == n = 1 == q = 0 == p = 0 Sub-caso 2: 5 não | n+1 5 não | n+1 == (5,n+1) = 1 == z = 0 == n+1 = 2^(q+1) e n*(n+2) = 3 * 5^(2q) == n = 2^(q+1) - 1, n+2 = 2^(q+1) + 1 == n*(n+2) = 2^(2q+2) - 1 = 4 * ^(2q) - 1 == 3 * 5^(2q) = 4 * 2^(2q) - 1 == 4 * 2^(2q) - 3 * 5^(2q) = 1 == q = 0 == n+1 = 2 e n*(n+2) = 3 == n = 1 == p = 0 CASO 2: n = 0 (mod 4) n = 0 (mod 4) == n+1 é ímpar e n+2 = 2 (mod 4) == (n+1)^2 = 3^x * 5^y en*(n+2) = 2^(p+2) * 3^(1-x) * 5^(p-y) com 0 = x = 1 e 0 = y = p (n+1)^2 é quadrado == x = 0 e y = 2z == n+1 = 5^z e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^(p-2z) Sub-Caso 1: 5 | n+1 5 | n+1 == (5,n) = (5,n+2) = 1 == n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 Sub-Caso 1.1: 5 | n+1 e 3 | n 3 | n == (3,n+1) = (3,n+2) = 1 == n = 2^(p+1) * 3 e n+2 = 2 == XXX Sub-Caso: 1.2: 5 | n+1 e 3 não | n 3 não | n == 3 | n+1 == n = 2^(p+1) e n+2 = 2*3 = 6 == Q(n) = 196 10^p == XXX Sub-Caso 2: 5 não | n+1 5 não | n+1 == n+1 = 1 == XXX CASO 3: n = 2 (mod 4) n = 2 (mod 4) == n+1 é ímpar e n+2 = 0 (mod 4) == (n+1)^2 = 3^x * 5^y en*(n+2) = 2^(p+2) * 3^(1-x) * 5^(p-y) com 0 = x = 1 e 0 = y = p (n+1)^2 é quadrado == x = 0 e y = 2z == n+1 = 5^z e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^(p-2z) Sub-Caso 1: 5 | n+1 5 | n+1 == (5,n) = (5,n+2) = 1 == n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 Sub-Caso 1.1: 5 | n+1 e 3 | n 3 | n == (3,n+1) = (3,n+2) = 1 == n = 2*3 = 6 == Q(n) = 196 10^p == XXX Sub-Caso: 1.2: 5 | n+1 e 3 não | n 3 não | n == 3 | n+1 == n = 2 == Q(n) = 6 10^p == XXX Sub-Caso 2: 5 não | n+1 5 não | n+1 == n+1 = 1 == XXX ** Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria
Caro Amurpe: É um prazer poder ajudar. Quanto ao problema: As setas não apareceram, mas eu estou supondo que você só possa ir de um quadro para os dois mais próximos na linha de baixo (por exemplo, do 2 só para o 4 ou o 5; do 9 só para o 13 ou o 14, etc..) Nesse caso, o dado é como se fosse uma moeda não viciada: P(azul) = P(vermelho) = 1/2. Uma forma de atacar este problema é ir de trás pra frente. Você só chega no 13 a partir do 8 ou do 9. Além, disso, estando no 8, a probabilidade de se chegar no 13 é igual a 1/2. Da mesma forma, estando no 9, P(13|9) = 1/2 (estou chamando P(M|N) = probabilidade de se chegar em M a partir de N) Usando uma propriedade das probabilidades condicionais (acho que se chama teorema da probabilidade total, ou algo assim), você chega à equação: P(13) = P(13|8)*P(8) + P(13|9)*P(9) = P(8)*1/2 + P(9)*1/2. Agora, o problema é calcular P(8) e P(9). Raciocinando de forma análoga, você obtém: P(8) = P(5)*1/2 + P(4)*1/2 P(9) = P(5)*1/2 + P(6)*1/2 == P(13) = P(4)*1/4 + P(5)*1/2 + P(6)*1/4 Prosseguindo: P(4) = P(2)*1/2 (você consegue ver porque?) P(5) = P(2)*1/2 + P(3)*1/2 P(6) = P(3)*1/2== P(13) = [P(2)*1/2]*1/4 + [P(2)*1/2+P(3)*1/2]*1/2 + [P(3)*1/2]*1/2, ou seja: P(13) = P(2)*3/8 + P(3)*3/8 Finalmente: P(2) = P(3) = 1/2 == P(13) = 1/2*3/8 + 1/2*3/8 = 3/8 = 6/16. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: amurpe [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 04, 2003 12:06 PM Subject: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria oi Pessoal , mais uma vez obrigado pela ajuda que voces tem me prestado.Ao claudio/pratica/, em especial um grande abraço , as soluções que voce me envia vem todas explicadas e isso me facilita bastante na hora de estudar e compreender o problema. Tenho muita dificuldade em problemas de combinatoria e pr obabilidade.na primeira vez que enviei o arquivo ficou mu ito grande, de sorte que ficou faltando um problema. um abraço em todos. Amurpe 2) Santa casa - 1977- Dispoe-se de um mapa (anexo).Dispoe-se tambem de um dado com 3 faces vermelhas e 3 faces azuis. i) partindo do quadro1 , pode-se caminhar , no sentido indicado pelas setas para os demais quadros , a cada lançamento do dado. ii) lançando-se o dado , se sair face azul, segue-se pela seta da direita até o quadro seguinte. iii)lançando-se o dado , se sair face vermelha , segue- se pela seta da esquerda até o quadro seguinte. A probabilidade de chegar ao quadro 13 , partindo de 1 é: resp: 6/16. ___ ___ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Fw: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria
Amurpe: Você consegue ver a relação entre este problema e o problema de se determinar a probabilidade de se obter 2 caras e 2 coroas (em qualquer ordem) lançando-se uma moeda honesta 4 vezes? (Moeda honesta == P(cara) = P(coroa) = 1/2) Pense no problema geral: Lançando-se uma moeda honesta N vezes, qual a probabilidade de se obter K caras (portanto, N-K coroas) em qualquer ordem? E se a moeda for viciada, com P(cara) = p e P(coroa) = 1-p ? Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 04, 2003 2:37 PM Subject: Re: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria Caro Amurpe: É um prazer poder ajudar. Quanto ao problema: As setas não apareceram, mas eu estou supondo que você só possa ir de um quadro para os dois mais próximos na linha de baixo (por exemplo, do 2 só para o 4 ou o 5; do 9 só para o 13 ou o 14, etc..) Nesse caso, o dado é como se fosse uma moeda não viciada: P(azul) = P(vermelho) = 1/2. Uma forma de atacar este problema é ir de trás pra frente. Você só chega no 13 a partir do 8 ou do 9. Além, disso, estando no 8, a probabilidade de se chegar no 13 é igual a 1/2. Da mesma forma, estando no 9, P(13|9) = 1/2 (estou chamando P(M|N) = probabilidade de se chegar em M a partir de N) Usando uma propriedade das probabilidades condicionais (acho que se chama teorema da probabilidade total, ou algo assim), você chega à equação: P(13) = P(13|8)*P(8) + P(13|9)*P(9) = P(8)*1/2 + P(9)*1/2. Agora, o problema é calcular P(8) e P(9). Raciocinando de forma análoga, você obtém: P(8) = P(5)*1/2 + P(4)*1/2 P(9) = P(5)*1/2 + P(6)*1/2 == P(13) = P(4)*1/4 + P(5)*1/2 + P(6)*1/4 Prosseguindo: P(4) = P(2)*1/2 (você consegue ver porque?) P(5) = P(2)*1/2 + P(3)*1/2 P(6) = P(3)*1/2== P(13) = [P(2)*1/2]*1/4 + [P(2)*1/2+P(3)*1/2]*1/2 + [P(3)*1/2]*1/2, ou seja: P(13) = P(2)*3/8 + P(3)*3/8 Finalmente: P(2) = P(3) = 1/2 == P(13) = 1/2*3/8 + 1/2*3/8 = 3/8 = 6/16. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: amurpe [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 04, 2003 12:06 PM Subject: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria oi Pessoal , mais uma vez obrigado pela ajuda que voces tem me prestado.Ao claudio/pratica/, em especial um grande abraço , as soluções que voce me envia vem todas explicadas e isso me facilita bastante na hora de estudar e compreender o problema. Tenho muita dificuldade em problemas de combinatoria e pr obabilidade.na primeira vez que enviei o arquivo ficou mu ito grande, de sorte que ficou faltando um problema. um abraço em todos. Amurpe 2) Santa casa - 1977- Dispoe-se de um mapa (anexo).Dispoe-se tambem de um dado com 3 faces vermelhas e 3 faces azuis. i) partindo do quadro1 , pode-se caminhar , no sentido indicado pelas setas para os demais quadros , a cada lançamento do dado. ii) lançando-se o dado , se sair face azul, segue-se pela seta da direita até o quadro seguinte. iii)lançando-se o dado , se sair face vermelha , segue- se pela seta da esquerda até o quadro seguinte. A probabilidade de chegar ao quadro 13 , partindo de 1 é: resp: 6/16. ___ ___ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Combinatoria na IMO
Turma,to tentando resolve esse problema da IMO da Alemanha: Chame uma permutaçao dos elementos 1,2,3,...,2n de legal se existe pelo menos um par de elementos consecutivos cuja diferença seja n.Mostre que ha mais legais do que nao-legais nessas permutaçoes. Tentei achar soluçoes assim: 1)Defina uma funçao que transforma uma permutaçao legal numa ilegal,de modo que ela seja injetiva(duas permutaçoes legais cujas correspondentes ilegais sao iguais sao necessariamente iguais) e nao-sobrejetiva(e possivel escolher pelo menos uma permutaçao ilegal que nao e correspondente de nenhuma legal).Desse jeito acabou! 2)Calcule o numero de permutaçoes ilegais explicitamente e verifique que o total e menor que (2n)!/2.Minha ideia era usar inclusao e exclusao(e um teorema poderoso sobre uniao de conjuntos finitos e seus numero de elementos).Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Re: [obm-l] circunferências tangentes
Pitagoras,oras!Trace os raios ortogonais a reta e voce tera a figura. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] circunferências tangentes Date: Mon, 3 Feb 2003 14:56:55 EST Olá pessoal, Vejam a questão: Na figura, calcule o comprimento x da tangente comum externa às circunferências. Resp: 24 Obs: A figura é a seguinte: Esbocem duas circunferências de tamanhos diferentes sendo que estas sejam tangentes externas. O raio da maior vale 18 e o da menor 8. Agora esboce o um segmento que vai de uma circunferência a outra, ou seja, o comprimento desta tangente é a incógnita. A figura é bem simples, é muito parecido com uma polia onde o comprimento de x é como se fosse o cordame da polia. ICQ: 337140512 MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. smart spam protection and 2 months FREE* = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Combinatoria na IMO
Turma,to tentando resolve esse problema da IMO da Alemanha: Chame uma permutaçao dos elementos 1,2,3,...,2n de legal se existe pelo menos um par de elementos consecutivos cuja diferença seja n.Mostre que ha mais legais do que nao-legais nessas permutaçoes. Tentei achar soluçoes assim: 1)Defina uma funçao que transforma uma permutaçao legal numa ilegal,de modo que ela seja injetiva(duas permutaçoes legais cujas correspondentes ilegais sao iguais sao necessariamente iguais) e nao-sobrejetiva(e possivel escolher pelo menos uma permutaçao ilegal que nao e correspondente de nenhuma legal).Desse jeito acabou! 2)Calcule o numero de permutaçoes ilegais explicitamente e verifique que o total e menor que (2n)!/2. Minha ideia era usar inclusao e exclusao(e um teorema poderoso sobre uniao de conjuntos finitos.O caso de dois conjuntos e facil.A uniao de dois conjuntos e o primeiro mais o segundo menos a intersecçao deles.A generalizaçao e imediata). O primeiro parece facil mas nao achei a tal funçao.O segundo eu nao consigo arquitetar as contas direito.Sou muito lerdo e ainda to meio enrolado.Quem puder ajudar,valeu!!!TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Desigualdade de Schur(nao acredito!!!)
Primeiro vou me auto-responder x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y) nao e negativo e so e nulo quando os 3 caras sao iguais ou dois sao iguais e outro e nulo. Basta supor x=y=z=0 e fatorar o x-y na expressao.E so analisar os sinais.E como nao percebi isso antes?Valeu Emanuel Essa aqui eu to na viagem mas nao vejo Schur em nada. Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2. Mostre que 3(a+b+c+d)=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd). Alias tem alguma sugestao para desigualdades e coisas do genero?Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Truângulos não-obtusângulos
Caro Paulo:
Segue minha solução para o seguinte problema. Acho que a minha idéia inicial
é correta, mas posso ter me enrolado nas somas no final...
Num conjunto de 100 numeros naturais, dois a dois distintos, verifica-se que
quaisquer 3 numeros ( iguais ou nao ) podem ser os lados de um triangulo nao
obtusangulo ( que nao tem um angulo maior que 90 graus ). Seja A a soma de
todos os perimetros de todos os triangulos ( isosceles, equilateros e
escalenos ) que podem ser construidos com estes 100 numeros. Qual o valor
minimo que A pode ter ?
Chame o conjunto de X, e suponha que seus elementos estão ordenados:
a1 a2 ... a100.
O triângulo com lados (a1,a1,a100) é não-obtusângulo == todos os outros
triângulos são não-obtusângulos e, além disso:
a100^2 = a1^2 + a1^2 - 2*a1^2*cos(A) = a1^2 + a1^2 - 2*a1^2*cos(Pi/2) =
a1^2 + a1^2 ==
a100 = a1*raiz(2)
A menor soma dos perímetros irá corresponder aos menores lados. Isso implica
que os elementos de X são naturais consecutivos e a1 é o menor natural N tal
que N+99 = N*raiz(2) ==
(N+99)^2 = 2*N^2 ==
N^2 - 198*N - 9801 = 0 ==
N = 99 + 99*raiz(2) == N = 240
Assim, X = {240, 241, ..., 339 } ==
S = soma dos elementos de X = 28.950.
Sejam:
E = soma dos perímetros dos equiláteros
I = soma dos perímetros dos isósceles não-equiláteros
C = soma dos perímetros dos escalenos
Então:
E = 3*S = 86.850
I = 99*2*S + 100*S - S = 297*S = 8.598.150
C = C(99,2)*S = 4.851*S = 140.436.450
Logo, A = E + I + C = 149.121.450
Um abraço,
Claudio.
=
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[obm-l] Re: [obm-l] Truângulos não-obtusângulos
Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
O que importa e a ideia ... Como se pode observar abaixo, o unico
conhecimento realmente necessario e saber - como sabem todos os bons alunos
da 7 serie - que NUM TRIANGULO NAO OBTUSANGULO O QUADRADO DE QUALQUER LADO
E, NO MAXIMO, IGUAL A SOMA DOS QUADRADOS DOS OUTROS DOIS LADOS.
Alem disso, so e necessario ter a coragem de pensar e errar tantas vezes
quantas forem necessarias ate esclarecer o enigma. Nunca e vergonhoso errar,
quando estamos tentamos acertar. Claramente que so nao erram Deus e os
Imbecis. Como diria Schiller : Oh discipulo covarde ! Rompe a inercia e a
sonolencia e engolfa-te brioso no arrebol que anteves !
A questao seguinte foi proposta pelo *Conway em outra lista :
Seja f(x)=x^2 + x + 1. Prove que para todo numero natural N 1, os numeros
f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), f(f(f(f(N, ... sao dois a dois primos entre
si.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1752,040203
*Ou foi pelo Conway ou foi pelo Katz. Nao me lembro ao certo.
From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Truângulos não-obtusângulos
Date: Tue, 4 Feb 2003 17:10:04 -0200
Caro Paulo:
Segue minha solução para o seguinte problema. Acho que a minha idéia
inicial
é correta, mas posso ter me enrolado nas somas no final...
Num conjunto de 100 numeros naturais, dois a dois distintos, verifica-se
que
quaisquer 3 numeros ( iguais ou nao ) podem ser os lados de um triangulo
nao
obtusangulo ( que nao tem um angulo maior que 90 graus ). Seja A a soma de
todos os perimetros de todos os triangulos ( isosceles, equilateros e
escalenos ) que podem ser construidos com estes 100 numeros. Qual o valor
minimo que A pode ter ?
Chame o conjunto de X, e suponha que seus elementos estão ordenados:
a1 a2 ... a100.
O triângulo com lados (a1,a1,a100) é não-obtusângulo == todos os outros
triângulos são não-obtusângulos e, além disso:
a100^2 = a1^2 + a1^2 - 2*a1^2*cos(A) = a1^2 + a1^2 - 2*a1^2*cos(Pi/2) =
a1^2 + a1^2 ==
a100 = a1*raiz(2)
A menor soma dos perímetros irá corresponder aos menores lados. Isso
implica
que os elementos de X são naturais consecutivos e a1 é o menor natural N
tal
que N+99 = N*raiz(2) ==
(N+99)^2 = 2*N^2 ==
N^2 - 198*N - 9801 = 0 ==
N = 99 + 99*raiz(2) == N = 240
Assim, X = {240, 241, ..., 339 } ==
S = soma dos elementos de X = 28.950.
Sejam:
E = soma dos perímetros dos equiláteros
I = soma dos perímetros dos isósceles não-equiláteros
C = soma dos perímetros dos escalenos
Então:
E = 3*S = 86.850
I = 99*2*S + 100*S - S = 297*S = 8.598.150
C = C(99,2)*S = 4.851*S = 140.436.450
Logo, A = E + I + C = 149.121.450
Um abraço,
Claudio.
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Re: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria
Caro amigo, Uma possivel sugesto para o seu problema Consideremos que tanto as bolas da primeira urna quanto as da segunda so distinguveis somente pela cor. Chamando de P1 a probabilidade pedida no primeiro experimento e de P2 a do segundo, tem-se : Do primeiro experimento, P1 = Do segundo experimento, P2 = Por outro lado, para que tenhamos P2 > P1, devemos ter : Da segue-se que x+1 > 3,8 , ou seja x > 2,8. Portanto, sendo x um nmero inteiro, o valor mnimo de x para que tenhamos P2 > P1 Isto , x > 2,8, 3. PONCE amurpe wrote: > Antes de mais nada , muito abrigado pela ajuda que voce s > me deram na resoluo dos problemas de combinatoria. > vi dois problemas que cairam nos vestibulares da cescem - > 1968 e da santa vcasa- 1977, se voces puderem me dar uma > ajuda, ficarei muito grato.A vo eles. > > 1) Cescem-1968 - Uma urna contem uma bola preta e 9 > brancas.Uma segunda urna contem x bolas pretas e as > restantes brancas num total de 10 bolas .Um primeiro > experimento consiste em retirar , ao acaso, uma bola de > cada urna.num segundo experimento , as bolasdas duas > urnas so reunidas e destas , duas bolas so retiradas > ao acaso.O valor mnimo de x a fim de que a > probabilidade de sairem duas bolas pretas seja maior no > segundo do que no primeiro experimento : > > Resp: 3. > > > um outro problema que vi numa apostila e no consrgui > entender o seguinte: > > Numa entrevista comparecem 5 candidatos para serem > avalidados por 7 entrevistadores, cada entrvistador > dever escolher um candidato.de quantos maneiras as > escolhas podem ser distribuidas? > > mais uma vez , obrigado. > > Amurpe > > > > ___ ___ > E-mail Premium BOL > Antivrus, anti-spam e at 100 MB de espao. Assine j! > http://email.bol.com.br/ > __ E-mail Premium BOL Antivrus, anti-spam e at 100 MB de espao. Assine j! http://email.bol.com.br/ = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Função Iterada
Caro Paulo:
Acho que o enunciado abaixo não está correto, pois encontrei um
contra-exemplo: N = 4
Seja f(x)=x^2 + x + 1. Prove que para todo numero natural N 1, os numeros
f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), f(f(f(f(N, ... sao dois a dois primos entre
si.
N = 4 ==
f(4) = 4^2 + 4 + 1 = 21 ==
f(f(4)) = 21^2 + 21 + 1 = 463 ==
f(f(f(4))) = 463^2 + 463 + 1 = 214.833
Mas MDC( f(4) , f(f(f(4))) ) = MDC( 21, 214.833 ) = 3
Você chegou a olhar o problema da Loteria Matemática?
Escolha 9 subconjuntos de 6 elementos de {1, 2, ..., 36 } tais que, qualquer
que seja T - subconjunto de 6 elementos de { 1, 2, ..., 36 } - a interseção
de T com pelo menos um dos 9 subconjuntos escolhidos é vazia.
Eu achei que tinha resolvido, mas descobri um furo na minha solução.
Um abraço,
Claudio.
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Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_sequências_e_mais_sequências
Vc esta certo, mas nao entendi uma coisa, pq no final vc supos |a1|=1 ? Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Bruno: Só uma observação: A solução geral deuma equação de recorrência linear homogênea de ordem 2 só é dada pela fórmula: A(n) = P*r^n + Q*s^n com r e s raízes do polinômio característico (p.c.) == r e s forem distintas. Com raízes iguais (a r), a solução geral é da forma: A(n) = (P + Q*n)*r^n. Além disso, r e s não precisam ser reais. Por exemplo, considere a equação de recorrência: B(n) - 2*B(n-1) + 2*B(n-2) = 0 com as condições iniciais: B(1) =0 e B(2) = 4. P.C.: p(x) = x^2-2*x + 2 == raízes: 1 + i e 1 - i == B(n) = P*(1+i)^n + Q*(1-i)^n B(1) = (1+i)*P +(1-i)*Q= 0 e B(2) = 2*i*P - 2*i*Q =4 == P = -1- i e Q = -1 + i == B(n) = (-1-i)*(1+i)^n - (-1+i)*(1-i)^n = (1-i)^(n+1) - (1+i)^(n+1) Ou seja, uma fórmula envolvendo números complexos que só produz números reais !!! A sequência dos B(n) seria: 0, 4, 8, 8, 0, -16, -32, -32, 0, 64, 128, 128, 0, Voltando ao problema original: Se A(1) = 1, a equação seria: A(n) = 2*A(n-1) - A(n-2), e o polinômio característico: x^2 - 2x + 1 = 0 == (x-1)^2 = 0 == Solução geral: A(n) = P + Q*n A(0) = 100 e A(100) = 0 == P = 100 eQ = -1 Portanto: A(n) = 100 - n == A(2003) = -1903. Também, se A(1) = -1, o p.c. seria p(x) = (x+1)^2 == A(n) = (P + Q*n)*(-1)^n A(0) = 100 e A(100) = 0 == P = 100 e Q = -1 == A(n) = (100 - n)*(-1)^n == A(2003) = 1903. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Bruno Lima To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 04, 2003 9:46 AM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_sequências_e_mais_sequências Sendo assim, la vai. Nao vou provar as coisas que podem ser achadas em um livro que trate de equacoes em diferencas finitas, por exemplo o do Elon de Algebra linear. Como a equacaoe de ordem 2 seu conjunto solucao e um espaco vetorial de dimensao 2. O polinomio caracteristico da equacao e: x^2-2a(1)x+1=0 Exigindo-se a existencia de solucao real, concluimos o item a).Observe que,sendo r e s solucoes do polinomio acima. a(n)=r^n e solucao (basta substituir na equacao) a(n)=s^n tambem e. Essas solucoes sao LI logo qualquer outra solucao e da forma: a(n)=Pr^n+Qs^n, onde P,Q sao coeficientes a determinar, para isso precisamos de duas condicoes iniciais. a(0)=100 ajuda, porem a(100)=0, gera muita conta. Provalvemente tem alguma coisa que nao vi. Erasmo de Souza Dias [EMAIL PROTECTED] wrote: valeu pela resposta mas houve um erro no enunciado...] é como o Bruno disse mesmo... a(n+1)=2*a1*a(n)-a(n-1).. O resultado do Claudio é muito bem elaborado, mas a condiçao do item (a) é para esse enunciado aqui! Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Desigualdade de Schur(nao acredito!!!)
Temum livro de Polya Hardy chamado Inequalities, nunca estudei mais e bem popular. Tem tb um artigo na Eureka nº5 (eu acho). Ou entao o livro de Bartle Analise I, tb tem alguns exemplos. Quanto a pre requisitos:pra ler o Bartle, precisa de pelo menos calculo em uma variavel, o artigo da eureka acho que e nivel 3, ja o Inequalities eu nao tenho a menor ideia. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote: Primeiro vou me auto-responder x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y) nao e negativo e so e nulo quando os 3 caras sao iguais ou dois sao iguais e outro e nulo. Basta supor x=y=z=0 e fatorar o x-y na expressao.E so analisar os sinais.E como nao percebi isso antes?Valeu Emanuel Essa aqui eu to na viagem mas nao vejo Schur em nada. Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2. Mostre que 3(a+b+c+d)=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd). Alias tem alguma sugestao para desigualdades e coisas do genero? Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Re: [obm-l] Loteria Matemática / olimpiada
Caro Rafael:
A minha solução anterior para o item (a) estava errada. Segue abaixo a
solução revisada.
A do item (b) continua valendo, mas seria legal se alguém conferisse.
SOLUÇÃO REVISADA DE (a):
Suponha que cada cartão é um subconjunto de 6 elementos de {1,2,3,...,36}.
Considere os seguintes cartões:
C1 = {1,2,3,4,5,6}
C2 = {4,5,6,7,8,9}
C3 = {1,2,3,7,8,9}
C4 = {10,11,12,13,14,15}
C5 = {16,17,18,19,20,21}
C6 = {22,23,24,25,26,27}
C7 = {25,26,27,28,29,30}
C8 = {22,23,24,28,29,30}
C9 = {31,32,33,34,35,36}
Forme os conjuntos:
A = C1 U C2 U C3 U C4 U C5
B = C6 U C7 U C8
Seja T um subconjunto qualquer de {1,2,...,36} com 6 elementos.
Se T intercepta A em no máximo 3 elementos ou B em no máximo 1 elemento,
então um dos cartões componentes de A ou de B é disjunto de T.
Se T intercepta A em 4 ou mais elementos e B em 2 ou mais elementos, então T
intercepta A em exatamente 4 elementos e B em exatamente 2 elementos
== T é disjunto de C9.
Conclusão: um destes 9 cartões é ganhador.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Rafael [EMAIL PROTECTED]
To: OBM [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, January 24, 2003 7:28 PM
Subject: [obm-l] olimpiada
Não consigo resolver essa questão que me disseram que
foi aplicada pela OBM. Se alguém souber me explicar ou
se esta resposta já estiver em algum lugar da Internet
que não achei, agradeceria.
5 - O cartão da Loteria Matemática é um tabuleiro 6
x 6. O apostador marca 6 cruzes em seis casas do
cartão e envia ao concurso. O cartão oficial é
publicado no jornal, com seis cruzes marcadas que
indicam as seis casas perdedoras. O apostador ganha se
não marcou nenhuma cruz em uma casa perdedora.
a) Marcar e demonstrar que o jogador pode
preencher 9 cartões de modo que pelo menos um deles
seja ganhador.
b) Demonstrar que 8 cartões não são suficientes
para ter certeza de ganhar.
E se o tabuleiro for 10 x 10. O apostador marca 20
cruzes em 20 casas do cartão e envia ao concurso. O
cartão oficial é publicado no jornal, com 20 cruzes
marcadas que indicam as 20 casas perdedoras. O
apostador ganha se não marcou nenhuma cruz em uma casa
perdedora.
c) Marcar e demonstrar quantos cartões deve
preencher o jogador de modo que pelo menos um deles
seja ganhador.
d) Demonstrar quantos cartões não são suficientes
para ter certeza de ganhar.
Abraços,
Rafael.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_sequências_e_mais_sequências
Caro Bruno: Desculpe se eu dei a impressão errada, mas eu não supuz nada. Só quis mostrar o que aconteceria se | a(1) | = 1. De fato, ainda não provei que a fim de que a(0) = 100 e a(100) = 0 é necessário que | a(1) | = 1. Um caminho poderia ser por absurdo, talvez separando os casos a(1) 1 e a(1) -1. Se eu conseguir algo, te falo. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Bruno Lima To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 04, 2003 7:45 PM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_sequências_e_mais_sequências Vc esta certo, mas nao entendi uma coisa, pq no final vc supos |a1|=1 ? Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Bruno: Só uma observação: A solução geral deuma equação de recorrência linear homogênea de ordem 2 só é dada pela fórmula: A(n) = P*r^n + Q*s^n com r e s raízes do polinômio característico (p.c.) == r e s forem distintas. Com raízes iguais (a r), a solução geral é da forma: A(n) = (P + Q*n)*r^n. Além disso, r e s não precisam ser reais. Por exemplo, considere a equação de recorrência: B(n) - 2*B(n-1) + 2*B(n-2) = 0 com as condições iniciais: B(1) =0 e B(2) = 4. P.C.: p(x) = x^2-2*x + 2 == raízes: 1 + i e 1 - i == B(n) = P*(1+i)^n + Q*(1-i)^n B(1) = (1+i)*P +(1-i)*Q= 0 e B(2) = 2*i*P - 2*i*Q =4 == P = -1- i e Q = -1 + i == B(n) = (-1-i)*(1+i)^n - (-1+i)*(1-i)^n = (1-i)^(n+1) - (1+i)^(n+1) Ou seja, uma fórmula envolvendo números complexos que só produz números reais !!! A sequência dos B(n) seria: 0, 4, 8, 8, 0, -16, -32, -32, 0, 64, 128, 128, 0, Voltando ao problema original: Se A(1) = 1, a equação seria: A(n) = 2*A(n-1) - A(n-2), e o polinômio característico: x^2 - 2x + 1 = 0 == (x-1)^2 = 0 == Solução geral: A(n) = P + Q*n A(0) = 100 e A(100) = 0 == P = 100 eQ = -1 Portanto: A(n) = 100 - n == A(2003) = -1903. Também, se A(1) = -1, o p.c. seria p(x) = (x+1)^2 == A(n) = (P + Q*n)*(-1)^n A(0) = 100 e A(100) = 0 == P = 100 e Q = -1 == A(n) = (100 - n)*(-1)^n == A(2003) = 1903. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Bruno Lima To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 04, 2003 9:46 AM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_sequências_e_mais_sequências Sendo assim, la vai. Nao vou provar as coisas que podem ser achadas em um livro que trate de equacoes em diferencas finitas, por exemplo o do Elon de Algebra linear. Como a equacaoe de ordem 2 seu conjunto solucao e um espaco vetorial de dimensao 2. O polinomio caracteristico da equacao e: x^2-2a(1)x+1=0 Exigindo-se a existencia de solucao real, concluimos o item a).Observe que,sendo r e s solucoes do polinomio acima. a(n)=r^n e solucao (basta substituir na equacao) a(n)=s^n tambem e. Essas solucoes sao LI logo qualquer outra solucao e da forma: a(n)=Pr^n+Qs^n, onde P,Q sao coeficientes a determinar, para isso precisamos de duas condicoes iniciais. a(0)=100 ajuda, porem a(100)=0, gera muita conta. Provalvemente tem alguma coisa que nao vi. Erasmo de Souza Dias [EMAIL PROTECTED] wrote: valeu pela resposta mas houve um erro no enunciado...] é como o Bruno disse mesmo... a(n+1)=2*a1*a(n)-a(n-1).. O resultado do Claudio é muito bem elaborado, mas a condiçao do item (a) é para esse enunciado aqui! Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Re: [obm-l] Dominó: reformulação
Caro Tertuliano:
Se você ainda estiver interessado neste problema,
talvez uma idéia que funcione seja uma simulação por computador.
Como as regras são simples, dominó deve ser um jogo
que é facilmente programável. Com um pouco mais de trabalho, talvez até dê pra
eliminar as tais jogadas esdrúxulas - ou seja, além de programar as regras, você
também pode programar algumas táticas básicas que evitem grandes besteiras por
parte de algum jogador.
Fora isso, você só precisa de um gerador de números
aleatórios para a distribuição inicial de peças e deixar o program rodar N vezes
(N bem grande), contando o número de vezes em que ocorre um "Chico
Romero"...
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From:
Tertuliano
Carneiro
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, January 31, 2003 11:58
AM
Subject: [obm-l] Dominó:
reformulação
Olá, todos da lista!
Há poucos dias eu coloquei aqui na lista um problema com dominó, o qual eu
já imaginava q fosse difícil de resolver, visto q o máximo q consegui
foicriar uma situação pouco provável (possível, portanto!) em q
umdos quatro jogadores ficaria sem "colar" uma peça sequer durante a
partida ("chico romero"). A saber: qual a probabilidade de um
jogadorlevar um "chico romero"?
Na relidade, quando eu pensei no problema, supus q os jogadores não
"conhecem" as estratégias vencedoras do jogo, pois, caso contrário, a resposta
iria depender da habilidade dos jogadores e, portanto, seria variável. Muito
embora ninguemseja obrigado a desprezar as habilidades dos jogadores, me
parecebastante razoável q coloquemos algumas restrições.
Suponhamos, p.ex.,uma partida entre os jogadores A, B, C e
D,dispostos nesta ordem na mesa. Tomemos o jogador C como alvo do nosso
"chico romero". Supondo q C jogue depois de B, devemos considerar, para
efeitos de simplificação, q B não é afetado pelo fato de saber quais peças C
não possui.Isso não querdizer, no entanto, qB não vá jogar
uma peça q ele saiba previamentenão pertencer a C. Essa será apenas uma
dentre asvárias possibilidades de jogadas de B,ainda q estejamos
interessados somente no fato de C não possuir a peça jogada por B. Desse modo,
acredito, não precisamos excluir as jogadas esdrúxulas, como quer o Claúdio. O
q irá acontecer é q a probabilidade tornar-se-ámuito menor (na
realidade,me parece ser pequeníssima).
Em verdade, o q queromesmo é criar uma discussãoacerca do
problema, ainda q não cheguemos a um resultadopreciso. Falando
honestamente,achoesse problema bastante interessante (muito
difícil, tb) e gostaria de discuti-lo mais com todos da lista. Espero ter
esclarecido melhor.
Um abraço a todos.
Tertuliano Carneiro.
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acessórios.
[obm-l] Função uniformemente diferenciável
Aos amigos que curtem Análise Real proponho o seguinte problema, que acho bastante interessante. Antes, porém, lembro o conceito não muito difundido de função uniformemente diferenciável. Dizemos que f é uniformemente diferenciável em um intervalo I se, dado qualquer eps0, existir d0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0 |x-y| d, então |[f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x)| eps. Observamos aqui a similaridade com continuidade uniforme. O delta depende apenas do eps, vale dizer, um mesmo delta é bom para todos os elementos do intervalo. Mostre que f uniformemnte diferenciável em um intervalo I se, e somente se, f' for uniformemente contínua em I. Ah, outra conclusão simples mas interessante. Mostre que se f for diferenciável em I, então f' é limitada em I se, e somente se, f satisfizer neste intervalo à condicão de Lipschitz. Lembro que f satisfaz à condicão de Lipschitz em I se existir uma constante K0 tal que |f(x) - f(y)| = K |x-y| para todos x e y em I. Ah, para terminar, espero não estar sendo chato... É imediato que se f satisfizer à condicão de Lipschitz em I então f é uniformemente contínua em I. Basta fazer delta = eps/K. Mas a recíproca não é verdadeira. Um contra exemplo interessante é f(x) = raiz(x) em [0, 1]. Abraços. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
HEHE = Re: [obm-l] nao estao chegando e-mails!!!
Pra vcs terem ideia , eu nem sabia q a msg do nicolau tinha sido enviada talvez ela chegue aqui daqui alguns dias ... Eu tinha olhado na pagina do arquivo e tive certeza de que muitos emails eu nao tinha recebido ! As vezes alguns estao chegando aqui fora de ordem e deveras atrasado ! heheh Jose Augusto Tavares - Original Message - From: Davidson Estanislau [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, January 31, 2003 2:48 PM Subject: Re: [obm-l] nao estao chegando e-mails!!! Estou recebendo normalmente. Davidson Estanislau -Mensagem Original- De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sexta-feira, 31 de Janeiro de 2003 14:25 Assunto: Re: [obm-l] nao estao chegando e-mails!!! On Fri, Jan 31, 2003 at 01:37:48AM -0200, Jose Augusto wrote: Nao sei se eh so comigo ... mas há e-mails que chegam so a resposta ( e por sorte as vezes sao reply, dando pra ver a pergunta) ... mas as vezes so a resposta da resposta ... esta havendo algum problema Não que eu saiba. Alguém mais tem notado algo de anormal? Pq você não dá uma olhada nos arquivos para ver se existem mensagens lá que você não recebeu? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
