[obm-l] geometria....
Vcs podem me da uma ajuda neste prob. : As retas unindo os tres vertices do triangulo ABC a um ponto nesse plano corta os lados opostos aos verices A, B,C nos ponts K,L,M respectivamente.Uma reta por M paralela KL corta BC em V e AK em W. Prove que VM=MW. ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Como eu faço isso ??
Ae Galerinha.. Alguem poderia ajudar-me a resolver esse probleminha!! A funçao f(x;y) satisfaz: 1-) f(0;y) = y+ 1 2-) f (x+1;0) = f (x,1) 3-) f (x+1; y+1) = f (x ; f (x+1;y) para x, y inteiros nao-negativos Determine f (4;; 1981) OBRIGADO
Re: [obm-l] Mais indução...
É fácil...Faça T(n) = (2n)!*(n+1)/[ (n!)^2 * 4^n]. O que vc quer provar é que T(n) > 1. Agora calcule T(n+1) em função de T(n) :T(n+1) = (2(n+1))!*(n+2)/[ ((n+1)!)^2 * 4^(n+1)] = (2n+1)(n+2) * T(n)/2(n+1)^2. Agora veja que (2n+1)(n+2) > 2(n+1)^2, pois isso é equivalente a 2n^2+5n+2>2n^2+4n+2, que é verdade pois n>0. Logo T(n+1)>T(n). Como T(1)=1, a indução está feita.Villard = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questão
Title: Re: [obm-l] questão
on 06.09.03 18:43, Isaac FJV at [EMAIL PROTECTED] wrote:
1 ) Dado o conjunto A = { 1, 2, 3, 4, ,101, 102 } , pede-se o número de subconjuntos de A, com 3 elementos, tais que a soma destes seja um múltiplo de três.
Particione A em 3 subconjuntos: A0, A1 e A2, onde os elementos de Ai deixam resto i na divisao por 3.
Assim, A0 = {3,6,9,...,102}; A1 = {1,4,7,...,100}; A2 = {2,5,8,...,101}
Cada um destes subconjuntos tem 34 elementos.
Um subconjunto de 3 elementos terah soma divisivel por 3 quando (e somente quando) uma das 4 alternativas a seguir ocorrerem:
a) os 3 elementos vierem de A0: Binom(34,3)
b) os 3 elementos vierem de A1: Binom(34,3)
c) os 3 elementos vierem de A2: Binom(34,3)
d) cada elemento vier de um subconjunto distinto: 34^3
Logo, o numero de subconjuntos com soma divisivel por 3 eh igual a:
3*Binom(34,3) + 34^3 = 17.952 + 39.304 = 57.256.
Um abraco,
Claudio.
[obm-l] Re:[obm-l] questão
Oi Isaac,
Se voce tiver em mente que os elementos do conjunto sao das formas (3k ,3k +1 ,3k +2),
voce tem meio caminho andado, vejamos:
Um numero inteiro é multiplo de 3 quando ele é da forma 3k.
Um numero inteiro nao é multiplo de 3 quando ele é da forma 3k +1 ou 3k +2.
A soma dos 3 elementos de um subconjunto de A é da forma 3k (multiplo de 3), quando:
*Os 3 elementos sao da forma 3k.
ou
*Os 3 elementos sao da forma 3k +1.
ou
*Os 3 elementos sao da forma 3k +2.
ou
*Um dos 3 elementos é da forma 3k o outro 3k +1 e o outro 3k +2
---
Existem 34 numeros na forma 3k em A.
(Subconjunto de A na forma 3k)=W={3k1 , 3k2 , 3k3}
Existem (binominal de 34 sobre 3) subconjuntos W, pois vemos que W é um agrupamento de 3 elementos distintos na forma 3k, provenientes de um grupo de 34 numeros na forma 3k.
Existem 34 numeros na forma 3k +1 em A.
(subconjunto de A na forma 3k +1)=X={3k1 +1 , 3k2 +1 , 3k3 +1)
Existem (binominal de 34 sobre 3) subconjuntos X, pois vemos que X é um agrupamento de 3 elementos distintos na forma 3k +1, provenientes de um grupo de 34 numeros na forma 3k +1.
Existem 34 numeros na forma 3k +2 em A.
(subconjunto de A na forma 3k +2)=Y={3k1 +2 , 3k2 +2 , 3k3 +2}
Existem (binominal de 34 sobre 3) subconjuntos Y, pois vemos que Y é um agrupamento de 3 elementos distintos na forma 3k +2, provenientes de um grupo de 34 numeros na forma 3k +2.
(Subconjunto de A na tripla forma)=Z={3k(1) , 3k(2) +1 , 3k(3) +2}
Existem 34^3 subconjuntos Z.
Entao o numero de subconjuntos de A, com 3 elementos, em que a soma de seus 3 elementos é multiplo de 3, é [3(binominal de 34 sobre 3) + 34^3] = 57256 subconjuntos.
Um abraço
Felipe Mendonça Vitória-ES
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora.
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Re: [obm-l] questões chatasss!!!!
Fiquei curioso.
As questoes 5 e 6 sao de algum vestibular real ou livro didatico?
Em caso afirmativo, a alternativa (e) era mesmo aquela?
Um abraco,
Claudio.
on 06.09.03 15:20, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> olá. olhem algum probleminhas chatos!!1
>
> 1) Determine os polimônios P do terceiro grau que, para todo número real x,
> se tenha P(x)-P(x-1) = x^2
>
> 2) usando o resultado da parte a, calcule, em função de n:
>
> S = {E} i variando de 1 até n
> i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... n^2
>
>
> 3) Mostrar que é inteiro o número
> raiz cúbica [2 + 10/9 * raiz cúbica(3)] + raiz cúbica (2 - 10/9 * raiz
> cúbica(3)]
> observação = x é multiplicação
> raiz cúbica de tudo que estar dentro do colchetes
>
>
> 4) seja um número complexo Z = (2-2i)^n , onde n pertence aos naturais
> diferente de zero. se Z= 512 então n vale quanto ?
>
>
> 5) se P(x)= AnX^n + An-1X^(n-1) + ... + A1x + Ao é um polinômio. An + An-1 +
> .. A1 + Ao é a soma dos coeficientes do polinômios P(x). A soma dos
> coeficientes do polinômio (4x³ - 2x² -2x -1)^36 é
> a) 1 b)0 c)-36 d)-1 e) não sei, pois só burro!
>
> 6) SE P(x) é um polinômio do 5º grau que satifaz as confições
> 1=P(1)=P(2)=p(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0 , então temos:
>
> a) P(0)=4 b)P(0)=9 c)P(O)=3 d)P(0)=2 e) não sei, pois sou burro!
>
> _
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[obm-l] Mais indução...
Pessoal, Esse eu preciso mesmo resolvido por indução, mas não consigo ver uma saída de forma alguma. Se alguém puder ajudar... Prove que 4^n/(n+1) < (2*n)!/n!^2 para todo n >= 2. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] questões
18 O número de triângulos que podemos construir com lados medindo5, 8 e , , de tal forma que seu ortocentro seja interno ao triângulo é: (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 19 Para registrar o resultado da operação , o número de dígitos necessários é: (A) 96 (B) 97 (C) 98 (D) 99 (E) 100 ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] uma quetão difícil
Duas estradas que se cortam em formato de um T, Tem 2.940 m e 1.680 m respectivamente. Pretende-se colocar postes de iluminação ao longo das estradas, de modo que exista um poste em cada extremidade do trecho considerado e um no cruzamento das duas estradas. Exige-se que a distância entre cada dois postes seja a mesma e a maior possível? 12 11 10 9 8 ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] questão
1 ) Dado o conjunto A = { 1, 2,
3, 4, ,101, 102 } , pede-se o número de subconjuntos de A, com 3
elementos, tais que a soma destes seja um múltiplo de três.
[obm-l] probabilidade
ALGUÉM PODERIA ME AJUDAR NESSE AQUI? 1 ) Jogamos 10 dados comuns ( com 6 faces equiprováveis numeradas de 1 a 6 ). Calcule a probabilidade de que a soma dos 10 resultados seja igual a 20. Valeu pela atenção Isaac.
Re: [obm-l] questões INVOCADAS!!!!! AJUDA!!!!!
Bem, como há muito tempo não mando nada pra lista, vou ver se
respondo essas..1) Veja q se o grau de P é n,
então p(x)-p(x-1) tem grau n-1, logo n-1=2, então n=3. Veja que se
p(x)=ax^3+bx^2+cx+d, então p(x)-p(x-1)=3ax^2+(-3a+2b)x+(a-b+c) =
x^2Então a=1/3, b=1/2, c=1/6 e d é qualquer.2) Veja que i^2 = p(i)-p(i-1), logo
S=p(n)-p(0)=(1/3)n^3+(1/2)n^2+(1/6)n3) Eu acho
que vc se confundiu... essa raiz cúbica q tá dentro da outra raiz cúbica
deve ser raiz quadrada.Se for assim temos x^3=4+3*raiz_cúbica[8/27]*x,
logo x^3-2x-4=0. Temos que x=2 é raiz, logo vamos fatorar x-2 :
x^3-4x+2x-4=0, logo x(x^2-4)+2(x-2)=0... (x-2)(x^2+2x+2)=0. Como vc quer x
real, x=2.4) Se z=512, então seu módulo é 512,
logo |2^n(1-i)^n| = 512, logo 2^n * |1-i|^n=512, ou seja 2^((3n)/2)=512=2^9,
portanto n=6. Mas vc deve testar se n= 6 satisfaz : (2-2i)^6 = 2^6*(-2i)^3 =
2^6*2^3, ok !5) A soma dos coeficientes é P(1) =
(-1)^36=16) Os números 1,2,3,4,5 são as raízes
de P(x)-1, logo P(x)-1 = A(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Como P(6)=0, temos
A=-1/120, logo, P(0)-1=(-1/120)*(-120), logo P(0)=2Abraços, Villard
- Mensagem Original De:
[EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]"
<[EMAIL PROTECTED]>Assunto: [obm-l] questões INVOCADAS!
AJUDA!Data: 06/09/03 15:44olá. olhem algum probleminhas chatos!!11) Determine os
polimônios P do terceiro grau que, para todo número real x,se tenha
P(x)-P(x-1) = x^22) usando o resultado da parte a, calcule, em
função de n:S = {E} i variando de 1 até ni^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 +
... n^23) Mostrar que é inteiro o númeroraiz cúbica [2 +
10/9 * raiz cúbica(3)] + raiz cúbica (2 - 10/9 *
raizcúbica(3)]observação = x é multiplicaçãoraiz cúbica de tudo
que estar dentro do colchetes4) seja um número complexo Z =
(2-2i)^n , onde n pertence aos naturaisdiferente de zero. se Z= 512
então n vale quanto ?5) se P(x)= AnX^n + An-1X^(n-1) + ... + A1x
+ Ao é um polinômio. An + An-1 +... A1 + Ao é a soma dos coeficientes do
polinômios P(x). A soma doscoeficientes do polinômio (4x³ - 2x² -2x
-1)^36 éa) 1 b)0 c)-36 d)-1 e) não sei, pois só burro!6) SE P(x)
é um polinômio do 5º grau que satifaz as
confições1=P(1)=P(2)=p(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0 , então temos:a)
P(0)=4 b)P(0)=9 c)P(O)=3 d)P(0)=2 e) não sei, pois sou
burro!_Voce
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1) Determine os polimônios P do terceiro grau que, para todo número real x,
se tenha P(x)-P(x-1) = x^2
2) usando o resultado da parte a, calcule, em função de n:
S = {E} i variando de 1 até n
i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... n^2
3) Mostrar que é inteiro o número
raiz cúbica [2 + 10/9 * raiz cúbica(3)] + raiz cúbica (2 - 10/9 * raiz
cúbica(3)]
observação = x é multiplicação
raiz cúbica de tudo que estar dentro do colchetes
4) seja um número complexo Z = (2-2i)^n , onde n pertence aos naturais
diferente de zero. se Z= 512 então n vale quanto ?
5) se P(x)= AnX^n + An-1X^(n-1) + ... + A1x + Ao é um polinômio. An + An-1 +
.. A1 + Ao é a soma dos coeficientes do polinômios P(x). A soma dos
coeficientes do polinômio (4x³ - 2x² -2x -1)^36 é
a) 1 b)0 c)-36 d)-1 e) não sei, pois só burro!
6) SE P(x) é um polinômio do 5º grau que satifaz as confições
1=P(1)=P(2)=p(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0 , então temos:
a) P(0)=4 b)P(0)=9 c)P(O)=3 d)P(0)=2 e) não sei, pois sou burro!
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1) Determine os polimônios P do terceiro grau que, para todo número real x,
se tenha P(x)-P(x-1) = x^2
2) usando o resultado da parte a, calcule, em função de n:
S = {E} i variando de 1 até n
i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... n^2
3) Mostrar que é inteiro o número
raiz cúbica [2 + 10/9 * raiz cúbica(3)] + raiz cúbica (2 - 10/9 * raiz
cúbica(3)]
observação = x é multiplicação
raiz cúbica de tudo que estar dentro do colchetes
4) seja um número complexo Z = (2-2i)^n , onde n pertence aos naturais
diferente de zero. se Z= 512 então n vale quanto ?
5) se P(x)= AnX^n + An-1X^(n-1) + ... + A1x + Ao é um polinômio. An + An-1 +
.. A1 + Ao é a soma dos coeficientes do polinômios P(x). A soma dos
coeficientes do polinômio (4x³ - 2x² -2x -1)^36 é
a) 1 b)0 c)-36 d)-1 e) não sei, pois só burro!
6) SE P(x) é um polinômio do 5º grau que satifaz as confições
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[obm-l] sistema
Sistemas de equações
3x + 2y +3z + t = 1
2z t = 1
3x + 2y + 3z = 1 - k
2z = 1 + k
z = 1 + k
2
3x + 2y + 3(1 +k) = 1 - k
2
3x + 2y + 3 + 3k = 1 k
2
6x + 4y + 3 + 3k = 2 2k
2
6x + 4y = - 1 5k
6x = - 1 5k 4y
x = - 1 5k 4y
6
olá. Pessoal das lista. Eu quero saber se minha
resolução está correta e também o porque de no
gabarito eles terem o colocado desta forma: {(-1 5a
4b, b, 1 + a,a), a e b Î IR}.
6 2
Na verdade quero dizer que eu não consigo entender
porque y = b e z = a, o que diz o gabarito.
___
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RE: [obm-l] Logaritmo Irracional
Suponhamos que log(N) seja racional. Como log(N)>=0, pois N>=1, temos que log(N)= m/n, onde m>=0 e n>0 sao inteiros. Segue-se que N=10^(m/n) e que N^n =2^m*5^m. Logo, 2 e 5 sao os unicos primos que comparecem na fatoracao de N, do que deduzimos que N=2^k1*5^k2, sendo k1 e k2 inteiros nao negativos. Temos entao que N^n = 2^(nk1)*5^(nk2) = 2^m*5^m, o que implica que nk1=m, nk2=m => k1 = k2 = m/n = k = inteiro. Logo, N=2^k . 5^k =10^k => N eh potencia de 10. Tomando-se a contrapositiva desta conclusao,segue-se que se N nao for potencia de 10 entao log(N) eh irracional. Interessante que isto nao pode ser generalizado para inteira >1. 4 nao eh potencia de 16, mas log(4) (base 16) =1/2, racional. Pode, entretanto, ser generalizado se N for da forma N= (p1*..pk)^q, onde q eh inteiro positivo e p1,...pk sao primos. Um abraco Artur > Oi, pessoal: > > Eu me lembro de jah ter visto mais de 10 mensagens aqui na lista sobre a > irracionalide de raiz(2), raiz(p), p^(1/n), etc. mas nunca sobre a > irracionalidade de um logaritmo. Assim, aqui vai um problema: > > Prove que se N eh um inteiro positivo que nao eh uma potencia de 10, entao > log(N) (logaritmo na base 10) eh irracional. > > Dica: a demonstracao eh ateh mais curta do que o caso de raiz(2) e usa > apenas o teorema da unicidade da fatoracao dos numeros inteiros. > > > Um abraco, > Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Logaritmo Irracional
> Aproveito a oportunidade para acrescentar: > (a) Mostre que cos (5 graus ) , cos(10 graus ) e cos (20 graus ) são > irracionais. > (b) Podemos generalizar este fato de alguma forma? > > Abraços a todos. > ( Ah Cláudio, meu computador teve uma pane geral nesses últimos dias e > creio não ter recebido a tal correção da enquete, proposta pelo mOrgado, > você chegou a enviá-la? ) a lista também aparece na web: www.obm.org.br se você perder uma mensagem ela provavelmente vai ser encontrada na web. uma das possíveis maneiras de provar isso é: cos(nx) = constante onde x é o grau que você acredita ter a propriedade que cos x é irracional e nx é algum ilustre conhecido, por exemplo: cos(3*20) = cos60º = 1/2 chame x = 20 cos(3x) = 1/2 cos(x + 2x) = cosx*cos2x - senx*sen2x = cosx*[cos²x - sen²x] - senx[2senx cosx] agora expresse tudo em função de cosx (use o fato sen²x = 1 - cos²x). a partir daí tome y = cosx e temos uma equação envolvendo um polinômio, o grau desse polinômio é 3, se ele for irredutível (não continuei a conta para ver qual polinômio vai dar, mas não custa nada tentar usar o critério de Eisenstein e alguns outros) então o polinômio não tem raízes racionais, mas como cos(20) é raiz então cos(20) não pode ser racional. se o polinômio tivesse grau > 3 a coisa ficaria um pouco mais chata, isso porque ele poderia ser redutível e não possuir raízes racionais, mas se você mostrar que um polinômio qualquer de grau > 1 é irredutível (no corpo Q dos racionais) então ele não pode ter uma raiz racional, pois se tivesse r em Q raiz, então (y - r) dividiria o polinômio em Q[Y] e este não seria irredutível. --- vamos ver o problema do Cláudio, temos N inteiro, N != 10^k para todo k logN = r, suponha r em Q, r = a/b, b != 0 com mdc(a, b) = 1 10^(a/b) = [10^a]^(1/b) = N, inteiro então N^b = 10^a... se N != 10^k, então N = 2^u * 5^v * M, onde M não é divisível por 2 ou por 5 se M > 1, temos que existe um primo diferente de 2 e 5 na composição de N, logo N^b != 10^a se M = 1, então N^b = (2^u * 5^v)^b = 2^(ub)*5^(uv) = 10^a então ub = a = vb, mas então u = v => N = 2^u*5^u = 10^u provamos então que r não pode ser racional. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Logaritmo Irracional
Aproveito a oportunidade para acrescentar: (a) Mostre que cos (5 graus ) , cos(10 graus ) e cos (20 graus ) são irracionais. (b) Podemos generalizar este fato de alguma forma? Abraços a todos. ( Ah Cláudio, meu computador teve uma pane geral nesses últimos dias e creio não ter recebido a tal correção da enquete, proposta pelo mOrgado, você chegou a enviá-la? ) Frederico. From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] Logaritmo Irracional Date: Sat, 06 Sep 2003 08:54:23 -0300 Oi, pessoal: Eu me lembro de jah ter visto mais de 10 mensagens aqui na lista sobre a irracionalide de raiz(2), raiz(p), p^(1/n), etc. mas nunca sobre a irracionalidade de um logaritmo. Assim, aqui vai um problema: Prove que se N eh um inteiro positivo que nao eh uma potencia de 10, entao log(N) (logaritmo na base 10) eh irracional. Dica: a demonstracao eh ateh mais curta do que o caso de raiz(2) e usa apenas o teorema da unicidade da fatoracao dos numeros inteiros. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Logaritmo Irracional
Oi, pessoal: Eu me lembro de jah ter visto mais de 10 mensagens aqui na lista sobre a irracionalide de raiz(2), raiz(p), p^(1/n), etc. mas nunca sobre a irracionalidade de um logaritmo. Assim, aqui vai um problema: Prove que se N eh um inteiro positivo que nao eh uma potencia de 10, entao log(N) (logaritmo na base 10) eh irracional. Dica: a demonstracao eh ateh mais curta do que o caso de raiz(2) e usa apenas o teorema da unicidade da fatoracao dos numeros inteiros. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] primos e PA
on 06.09.03 02:37, guilherme S. at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Prove que todos os termos de uma PA podem ser primos > sss todos os termos forem iguais > Suponha que uma PA tem todos os termos primos. Seja r = razao (s.p.d.g. podemos supor que r >= 0. O caso r < 0 eh totalmente analogo) Seja p = termo qualquer dessa PA (primo eh claro). Entao, p + p*r eh um termo da PA e eh primo, por hipotese ==> p*(1 + r) eh primo ==> 1 + r = 1 ==> r = 0 ==> PA eh constante A volta eh evidente. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
