RE: [obm-l] IME (Q2) correcao
From: "Daniel Faria" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] IME (Q2) Date: Thu, 06 Nov 2003 04:09:41 -0200 Eu tentei assim: P( x ) = x^3 + 0x^2 + ax + b Girard: x1 + x2 + x3 = 0 (1) x2 + x3 = -x1 a = x1( x2 + x3 ) + x2.x3, de (1): (2) a = - (x1)^2 + x2.x3 equacao (1) elevada ao quadrado: (x2)^2 + (x3)^2 + 2.x2.x3 = (x1)^2 (x2)^2 + (x3)^2 + x2.x3 = (x1)^2 - x2.x3 repare que 2.o membro eh igual a -a eq. (2) (x2)^2 + (x3)^2 + x2.x3 = -a Sabemos que x1<>0 ; x2<>0; x3<>0, pois b<>0. E tb que: (x2)^2 + (x3)^2 > [(x2)^2 + (x3)^2]/2 >= - x2.x3 que vem de: (x2 + x3)^2 >= 0 [( 1.o e 2.o ) Um numero positivo eh sempre maior que sua metade] Assim pelo 1.o e 3.o membro, temos: (x2)^2 + (x3)^2 + x2.x3 > 0(EU TINHA ERRADO COLOCANDO O SINAL DE IGUAL) -a > 0 e finalmente: a < 0. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] IME (Q2)
Eu tentei assim: P( x ) = x^3 + 0x^2 + ax + b Girard: x1 + x2 + x3 = 0 (1) x2 + x3 = -x1 a = x1( x2 + x3 ) + x2.x3, de (1): (2) a = - (x1)^2 + x2.x3 equacao (1) elevada ao quadrado: (x2)^2 + (x3)^2 + 2.x2.x3 = (x1)^2 (x2)^2 + (x3)^2 + x2.x3 = (x1)^2 - x2.x3 repare que 2.o membro eh igual a -a eq. (2) (x2)^2 + (x3)^2 + x2.x3 = -a Sabemos que x1<>0 ; x2<>0; x3<>0, pois b<>0. E tb que: (x2)^2 + (x3)^2 > [(x2)^2 + (x3)^2]/2 >= - x2.x3 que vem de: (x2 + x3)^2 >= 0 [( 1.o e 2.o ) Um numero positivo eh sempre maior que sua metade] Assim pelo 1.o e 3.o membro, temos: (x2)^2 + (x3)^2 + x2.x3 >= 0 -a > 0 e finalmente: a < 0. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
Pensei numa outra forma: 1) a + b + c = 0 2) P( a , b , c ) = a^3 + b^3 + c^3 Considerando em (1) a=0, temos c=-b. Em (2): P( 0 , b , -b ) = 0^3 + b^3 + (-b)^3 = 0 Assim P é da forma: 3) P( a , b , c ) = ( K1) . a Considerando em (1) b=0, temos c=-a. Em (2): P( a , 0 , -a ) = a^3 + 0^3 + (-a)^3 = 0 Assim P é da forma: 4) P( a , b , c ) = ( K2) . b Considerando em (1) c=0, temos b=-a. Em (2): P( a , -a , 0 ) = a^3 + (-a)^3 + 0^3 = 0 Assim P é da forma: P( a , b , c ) = ( K3) . c Concluo por (3),(4) e (5) que: 6) P( a , b , c ) = k.a.b.c Substituo quaisquer valores nao nulos em a, b e c: pode ser (a = b = c = n ) 2) P( n , n , n ) = n^3 + n^3 + n^3 = 3n^3 6) P( n , n , n ) = k.n.n.n = kn^3 Logo K=3 P ( a , b , c ) = 3abc e finalmente: a^3 + b^3 + c^3 = 3abc _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova do IME
1o- eu acho que estavam mais tranquilas... 2o- a questao um estah errada em www.teorema.mat.br/ime2004.pdf (nao lembro se era esse o endereço certinho, mas o site eh esse que vcs conhecem) o elemento da linha 1 coluna 3 estah '1' em vez de '0' hahaha, fiquei uma hora tentando fazer aquela questao e nao achava numero natural nenhum, chegava em uma equação assim: x^3 - x^2 - x - 31 = 0 daih que meu irmao chegou da prova hoje com a prova de ontem e eu vih q tava errada... On Wed, Nov 05, 2003 at 10:01:26PM +, leonardo mattos wrote: > Oq vcs acharam das questoes da prova do ime desse ano? Vcs acham q as > questoes do ano passado estavam mais tranquilas, no mesmo nivel ou mais > dificeis? > > > >From: [EMAIL PROTECTED] > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >To: [EMAIL PROTECTED] > >Subject: Re: [obm-l] Prova do IME > >Date: Wed, 5 Nov 2003 19:17:13 -0200 > > > > _ > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > X-Message-Info: HQbIehuYceShQnGMYKHIqZ22XJlIdrR7iw+2/Xc2Hkw= > From: [EMAIL PROTECTED] > Date: Wed, 5 Nov 2003 19:17:13 -0200 > To: [EMAIL PROTECTED] > Cc: > X-Originating-IP: [200.179.240.74] > X-Mailer: InMail by Insite - www.insite.com.br > X-user: [EMAIL PROTECTED] > Subject: Re: [obm-l] Prova do IME > Precedence: bulk > Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 21:20:13.0077 (UTC) FILETIME=[998FA450:01C3A3E2] > > Oi Paulo, tudo bem? > Ontem foi mesmo a prova de matematica do IME. Achei a prova bem legal > por sinal. Voce pode ve-la em www.pensi.com.br . La tem inclusive o gabarito > da prova. Uma opcao menos parcial eh o proprio site do ime: href="http://www.ime.eb.br";>www.ime.eb.br . Eles costumam deixar a prova > no site, mas nao sei se ja atualizaram. > Abracos, > Marcio > > Em 05 Nov 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: > >Ola Pessoal ! > > > >Todos devem ter notado que novamente estamos sendo agredidos > por um imbecil > >qualquer. Nao se responde a este tipo de gente. Vamos ignorar > as mensagens > >ofensivas e trata-las como sao : lixo produzido por lixo. > > > >Se nao me engano, ontem foi a prova de Matematica do IME. > Alguem tem a prova > >ou sabe onde encontra-la na Internet ? Seria interessante > disponibiliza-la > >aqui na nossa lista, para que pudessemos discutir algumas > questoes. > > > >Um Abraco a Todos ! > >Paulo Santa Rita > >4,1120,051103 > > > >_ > >MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. > http://www.hotmail.com > > > >Instruções > > >para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > > > >-- > > ___ > Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/ > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Prova do IME
Feio, nao. Mas em "Se P(x) possui 3 raízes reais, P(x) não é estritamente crescente ou > estritamente decrescente. Logo, P'(x) terá 2 raízes reais" a conclusao, embora correta, nao me parece justificada pelo arrgumento apresentado. []s Morgado -- Original Message --- From: João Gilberto Ponciano Pereira <[EMAIL PROTECTED]> > Já que é assim, para a segunda: > P(x) = x3 + ax + b e b<>0 e P(x) possui 3 raízes reais, prove que a<0 > > Se P(x) possui 3 raízes reais, P(x) não é estritamente crescente ou > estritamente decrescente. Logo, P'(x) terá 2 raízes reais. > > P'(x) = 3x2 + a, com raízes x = (-a/3) ^.5, logo a <=0. > > Entretanto, a=0 implica em P(x) sempre crescente com exceção do > ponto x=0, e como x=0 não é um ponto de raiz tripla (b<>0), podemos > concluir que a<0. > > Muito feio? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] BECO SEM SAÍDA!
É claro que você deve supor que as idades são inteiros positivos.. Senão a resposta do problema seria 1 hehe... -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] BECO SEM SAÍDA!
Chame de s a soma das idades das pessoas da equipe e de n o número de pessoas na equipe. Então o enunciado nos diz que: (s/n) = 14,625 ou ainda, s = n*(14,625) Mas s é um numero inteiro, logo devemos achar o menor inteiro n tal que n*(14,625) seja inteiro. Podemos prosseguir assim.. n*(14,625) = n * (14 + 625/1000) = n*14 + (n*625)/1000 n*14 sempre é inteiro para qualquer n inteiro, o problema é fazer com que (n*625)/1000 sejainteiro. Isto significa que n*625 deve ser um múltiplo de 1000. Fatorando 625 e 100 em primos temos : 625 = 5^4 1000 = 2^3 * 5^3 Para que n*625 seja múltiplo de 1000, n precisa ter um 2^3 em sua fatoração. O 5^3 já vem de brinde com o 625. Como queremos o menor n, n deve ser 2^3=8 pois qualquer outro inteiro quetenha 2^3 em sua fatoraçao será maior ou igual a 2^3. De fato, n*625 = 5000 é o MMC entre 625 e1000. Espero ter ajudado Ok! Daniel, valeu pela atenção de resposta, mas ainda continuo com dúvidas quanto à ampliação que devo considerar: se linear que vale 0,05 nanômetros ou se volumétrica com aproximadamente 2,61 nanômetros. Aproveitando a carona, gostaria da resolução de um probleminha da RPM que me pegou de surpresa! Grato! A média das idades dos elementos de uma equipe de uma feira de ciências é 14,625. Qual é o menor número de elementos que podem constituir a equipe? Resp: 8 elementos -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] BECO SEM SAÍDA!
Ok! Daniel, valeu pela atenção de resposta, mas ainda continuo com dúvidas quanto à ampliação que devo considerar: se linear que vale 0,05 nanômetros ou se volumétrica com aproximadamente 2,61 nanômetros. Aproveitando a carona, gostaria da resolução de um probleminha da RPM que me pegou de surpresa! Grato! A média das idades dos elementos de uma equipe de uma feira de ciências é 14,625. Qual é o menor número de elementos que podem constituir a equipe? Resp: 8 elementos Um abraço à todos e desculpem mais uma vez pelo baixo nível das minhas dúvidas! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Quadrado da Soma = Soma de Cubos
E ae pessoal... Na verdade se voce fizer a prova disso por indução, o motivo acaba aparecendo. (1+2+3+...+n)^2 = (1+2+3+..+(n-1))^2 + 2n(1+2+3+...+n-1).n + n^2 Ou seja, ao se acrescentar mais um termo na serie, a soma aumenta 2n(1+2+3+...+n-1) + n^2 como (1+2+3+...+n-1) = (n-1).n/2 (soma dos n-1 primeiros termos) 2n(1+2+3+...+n-1) + n^2 = n^2 (n-1) + n^2 = n^3 Entao, ao se acrescentar mais um termo na serie, a soma na verdade aumenta o ultimo termo elevado ao cubo. Abraços (Talvez alguem tenha visto algo mais simples)Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] Prova do IME
Oq vcs acharam das questoes da prova do ime desse ano? Vcs acham q as questoes do ano passado estavam mais tranquilas, no mesmo nivel ou mais dificeis? From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Prova do IME Date: Wed, 5 Nov 2003 19:17:13 -0200 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com --- Begin Message --- Oi Paulo, tudo bem? Ontem foi mesmo a prova de matematica do IME. Achei a prova bem legal por sinal. Voce pode ve-la em www.pensi.com.br . La tem inclusive o gabarito da prova. Uma opcao menos parcial eh o proprio site do ime: www.ime.eb.br . Eles costumam deixar a prova no site, mas nao sei se ja atualizaram. Abracos, Marcio Em 05 Nov 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: >Ola Pessoal ! > >Todos devem ter notado que novamente estamos sendo agredidos por um imbecil >qualquer. Nao se responde a este tipo de gente. Vamos ignorar as mensagens >ofensivas e trata-las como sao : lixo produzido por lixo. > >Se nao me engano, ontem foi a prova de Matematica do IME. Alguem tem a prova >ou sabe onde encontra-la na Internet ? Seria interessante disponibiliza-la >aqui na nossa lista, para que pudessemos discutir algumas questoes. > >Um Abraco a Todos ! >Paulo Santa Rita >4,1120,051103 > >_ >MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > >Instruções >para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > >-- ___ Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End Message ---
Re: [obm-l] Prova do IME
Como ele nao especifica quem divide quem a razao tambem poderia ser 95... From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Prova do IME Date: Wed, 5 Nov 2003 16:58:55 -0400 Eu encontrei! A pirâmide menor, cuja base é B, o médio de AB e o médio de BC, tem altura igual a h/4. Pois, ela é "levantada" em um quarto de OB. A área da base dessa pirâmide é 1/4 * área do triângulo ABC. A pirâmide cuja base é o hexágono tem área da base igual a 6*área do triângulo ABC. Pois a área do triângulo DOC é igual a do ABC, já que se transladando o vértice D para E, DE//OC, tem-se triângulo congruente ao ABC. Fazendo-se a diferença entre os dois volumes calculados acima, e posteriormente, dividindo-se tal diferença por aquele, achar-se-á a razão (1/16)/(6-(1/16))=1/95. Como sou café-com-leite, vou tentar outras. Isto, se tiver tempo. ATT. João. "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] Enviado Por: cc: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] Prova do IME .puc-rio.br 05/11/2003 14:55 Favor responder a obm-l ola Pessoal ! Alguem encontrou uma forma nao-GPI de fazer a questao tres ? Nao vou fazer, pois, pela regra que enunciei estou proibido de fazer isso ( e o Claudio tambem ) mas vou falar duas coisas : PRIMEIRO - Voces, sem duvida, conhecem aquela formula que - sendo dado tres pontos nao alinhados no plano cartesiano - nos permite encontrar a area do triangulo formado pelos tres pontos. A formula tem uma cara assim : Area do triangulo = (1/2)*DET, DET e o determinante da matriz formada pelos tres pontos que representam os vertices do triangulo. Se voces nao sabem, existe o analogo desta formula para a dimentao 3, isto e, sendo dados 4 pontos em R^3 nao coplanares, existe uma formula ( derivada por Lagrange ) que calcula o volume da piramide. Essa formula e assim : Volume = (1/3!)*DET, onde DET e o determinante da matriz formada pelos 4 pontos que representam a piramide. Entao, basta colocar a piramide regular no R^3 e determinar as coordenadas dos vertices do pequeno solido e, a seguir, aplicar a formula. SEGUNDO : Tem uma regrinha que diz, mais ou menos, o seguinte : INTEGRAL de area E VOLUME, isto e, se pudermos exprimir uma area variavel em funcao de sua distancia a um determinado ponto, ao integrarmos, obteremos o volume. Ora, a area de sucessivas secoes sobre o pequeno solido e facilmente calculavel em funcao da distancia ao vertice. A integracao vai dar o volume. Quem faz a questao 4 de forma nao-GPI ? Bom, e com prazer que participo, mas foi necessario fazer um esforço pra estar aqui com voces neste momento um tanto dificil, pois estou bastante atarefado. Eu vou ficar por aqui. O imbecil nao esta pertubando mais ( se a nossa lista fosse patrimonio publico, caberia denuncia aqui no MPF e a Policia Federal seria acionada pra prende-lo ) e deu pra mostrar que pra cada questao IME e possivel encontrar facilmente um montao de maneiras de faze-las. E so ter serenidade e pensar. As solucoes GPI sao muito boas, talvez as melhores. Com os melhores votos de Paz profunda, sou Paulo Santa Rita 4,1651,051103 >From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: [obm-l] Prova do IME >Date: Wed, 05 Nov 2003 17:30:47 + >MIME-Version: 1.0 >X-Originating-IP: [200.216.62.82] >X-Originating-Email: [EMAIL PROTECTED] >Received: from mc8-f18.hotmail.com ([65.54.253.154]) by mc8-s3.hotmail.com >with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 09:38:24 -0800 >Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc8-f18.hotmail.com >with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 09:33:01 -0800 >Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) >id PAA10632for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 15:31:29 -0200 >Received: from hotmail.com (sea2-f38.sea2.hotmail.com [207.68.165.38])by >sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA10626for ><[EMAIL PROTECTED]>; Wed, 5 Nov 2003 15:31:20 -0200 >Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; >Wed, 5 Nov 2003 09:30:47 -0800 >Received: from 200.216.62.82 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP;Wed, >05 Nov 2003 17:30:47 GMT >X-Message-Info: HQbIehuYceR9rXluJAING4jVYOm0CJrfxwG0pqmOl1o= >Message-ID: <[EMAIL PROTECTED]> >X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 17:30:47.0391 (UTC) >FILETIME=[8C92A6F0:01C3A3C2] >Sender: [EMAIL PROTECTED] >Precedence: bulk >Return-Path: [EMAIL PROTECTED] > >Ola Pessoal ! > >Vejam que agora ja temos tres solucoes para a questao 2. Quem faz a 3, de >uma forma diferente da do GPI ? Nao pode ser eu ou o Claudio. > >Um Abraco a Todos >Paulo Santa Rita >4,1531,051103 > >>From:
Re: [obm-l] Prova do IME
Eu supuz K sendo uma das raizes, abaixe o grau de P(x) por briot-ruffini e estudei o discriminante da equaçao do 2°...usando relacoes de girard sai mais rapido... From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] Prova do IME Date: Wed, 5 Nov 2003 15:08:53 -0200 - Original Message - From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, November 05, 2003 2:04 PM Subject: Re: [obm-l] Prova do IME > > Quem faz a questao 2, com solucao diferente da do GPI ? Para que todos > possam participar, voces aceitam que uma pessoa so possa fazer uma questao ( > nao duas ou mais ) ? > Questão: P(x) = x^3 + ax + b (b <> 0) tem 3 raízes reais. Prove que a < 0. A solução do GPI usou as relações de Girard. Aqui vai uma solução alternativa: Se a = 0, então P(x) tem uma única raiz real, igual a (-b)^(1/3). Se a > 0, então P'(x) = 3x^2 + a > 0, para todo x ==> P(x) é estritamente crescente ==> Como lim(x->-inf) P(x) = -inf e lim(x -> +inf) P(x) = +inf, P(x) tem uma única raiz real. Logo, só pode ser a < 0. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova do IME
Desconsiderem a minha ultima mensagem , segue corrigida abaixo: Ola colegas da lista OBM-L! Dando continuidade a ideia do Paulo, vou contribuir um pouco: A questao 9 da prova diz o seguinte: Em um campeonato esportivo, cada time participante jogou contra cada outro participante uma unica vez (sem returno), de maneira que ao term- mino do campeonato a soma dos pontos de todos times totalizou 35.Quantos jogos termin- aram empatados? Obs:(Vitoria = 3 pts ,derrota = 0 , empate = 1 pnt.) --- --- - Como cada jogo ou termina com empate ou com vitoria , o numero de jogos disputados coincide com o numero de jogos empatados + o numero de jogos com vitoria ,isso claro, contando o numero total de jogos do torneio. Como cada time jogou contra todos uma vez, o numero de jogos disputados é igual a combinaçao 2 a 2 de M onde M é o numero de times do torneio.Entao: M.(M - 1)/2 = V + E>E mpate + V itoria Sendo que em cada jogo com vitória só a um ganhador, e em cada jogo com empate à 2 empatados é correto afirmar que: 3.V + 2.E = 35. logo temos o sistema: !3.V + 2.E = 35. !! M.(M - 1)/2 = V + E. Para V, E, M pertecentes aos naturais. Fazendo uma inspeçao manual sem medir consequencias em ! verifi- camos que os possiveis valores para o par (V;E) sao:(11;1),(9;4),(7;7), (5;10),(3;13) e (1;16). Se (V;E) = (11;1) ,entao M.(M - 1)/2 = 12, o que nao é verdade; Se (V;E) = (9;4) ,entao M.(M - 1)/2 = 13, o que nao é verdade; Se (V;E) = (7;7) ,entao M.(M - 1)/2 = 14, o que nao é verdade; Se (V;E) = (5;10) ,entao M.(M - 1)/2 = 15, que é verdade para M=6; Se (V;E) = (3;13) ,entao M.(M - 1)/2 = 16, o que nao é verdade; Se (V;E) = (1;16) ,entao M.(M - 1)/2 = 17, o que nao é verdade. Logo (V;E;M) = (5;10;6)10 jogos terminaram empatados Ate mais! Felipe Mendonça Vitória-ES MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova do IME
Desconsiderem a minha ultima mensagem , segue corrigida abaixo: Ola colegas da lista OBM-L! Dando continuidade a ideia do Paulo, vou contribuir um pouco: A questao 9 da prova diz o seguinte: Em um campeonato esportivo, cada time participante jogou contra cada outro participante uma unica vez (sem returno), de maneira que ao term- mino do campeonato a soma dos pontos de todos times totalizou 35.Quantos jogos termin- aram empatados? Obs:(Vitoria = 3 pts ,derrota = 0 , empate = 1 pnt.) --- --- - Como cada jogo ou termina com empate ou com vitoria , o numero de jogos disputados coincide com o numero de jogos empatados + o numero de jogos com vitoria ,isso claro, contando o numero total de jogos do torneio. Como cada time jogou contra todos uma vez, o numero de jogos disputados é igual a combinaçao 2 a 2 de M onde M é o numero de times do torneio.Entao: M.(M - 1)/2 = V + E>E mpate + V itoria Sendo que em cada jogo com vitória só a um ganhador, e em cada jogo com empate à 2 empatados é correto afirmar que: 3.V + 2.E = 35. logo temos o sistema: !3.V + 2.E = 35. !! M.(M - 1)/2 = V + E. Para V, E, M pertecentes aos naturais. Fazendo uma inspeçao manual sem medir consequencias em ! verifi- camos que os possiveis valores para o par (V;E) sao:(11;1),(9;4),(7;7), (5;10),(3;13) e (1;16). Se (V;E) = (11;1) ,entao M.(M - 1)/2 = 12, o que nao é verdade; Se (V;E) = (9;4) ,entao M.(M - 1)/2 = 13, o que nao é verdade; Se (V;E) = (7;7) ,entao M.(M - 1)/2 = 14, o que nao é verdade; Se (V;E) = (5;10) ,entao M.(M - 1)/2 = 15, que é verdade para M=6; Se (V;E) = (3;13) ,entao M.(M - 1)/2 = 16, o que nao é verdade; Se (V;E) = (1;16) ,entao M.(M - 1)/2 = 17, o que nao é verdade. Logo (V;E;M) = (5;10;6)10 jogos terminaram empatados Ate mais! Felipe Mendonça Vitória-ES MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova do IME
Desconsiderem a minha ultima mensagem , segue corrigida abaixo: Ola colegas da lista OBM-L! Dando continuidade a ideia do Paulo, vou contribuir um pouco: A questao 9 da prova diz o seguinte: Em um campeonato esportivo, cada time participante jogou contra cada outro participante uma unica vez (sem returno), de maneira que ao term- mino do campeonato a soma dos pontos de todos times totalizou 35.Quantos jogos termin- aram empatados? Obs:(Vitoria = 3 pts ,derrota = 0 , empate = 1 pnt.) --- --- - Como cada jogo ou termina com empate ou com vitoria , o numero de jogos disputados coincide com o numero de jogos empatados + o numero de jogos com vitoria ,isso claro, contando o numero total de jogos do torneio. Como cada time jogou contra todos uma vez, o numero de jogos disputados é igual a combinaçao 2 a 2 de M onde M é o numero de times do torneio.Entao: M.(M - 1)/2 = V + E>E mpate + V itoria Sendo que em cada jogo com vitória só a um ganhador, e em cada jogo com empate à 2 empatados é correto afirmar que: 3.V + 2.E = 35. logo temos o sistema: !3.V + 2.E = 35. !! M.(M - 1)/2 = V + E. Para V, E, M pertecentes aos naturais. Fazendo uma inspeçao manual sem medir consequencias em ! verifi- camos que os possiveis valores para o par (V;E) sao:(11;1),(9;4),(7;7), (5;10),(3;13) e (1;16). Se (V;E) = (11;1) ,entao M.(M - 1)/2 = 12, o que nao é verdade; Se (V;E) = (9;4) ,entao M.(M - 1)/2 = 13, o que nao é verdade; Se (V;E) = (7;7) ,entao M.(M - 1)/2 = 14, o que nao é verdade; Se (V;E) = (5;10) ,entao M.(M - 1)/2 = 15, que é verdade para M=6; Se (V;E) = (3;13) ,entao M.(M - 1)/2 = 16, o que nao é verdade; Se (V;E) = (1;16) ,entao M.(M - 1)/2 = 17, o que nao é verdade. Logo (V;E;M) = (5;10;6) 5 jogos terminaram empatados Ate mais! Felipe Mendonça Vitória-ES MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova do IME
Oi Paulo, tudo bem? Ontem foi mesmo a prova de matematica do IME. Achei a prova bem legal por sinal. Voce pode ve-la em www.pensi.com.br . La tem inclusive o gabarito da prova. Uma opcao menos parcial eh o proprio site do ime: www.ime.eb.br . Eles costumam deixar a prova no site, mas nao sei se ja atualizaram. Abracos, Marcio Em 05 Nov 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: >Ola Pessoal ! > >Todos devem ter notado que novamente estamos sendo agredidos por um imbecil >qualquer. Nao se responde a este tipo de gente. Vamos ignorar as mensagens >ofensivas e trata-las como sao : lixo produzido por lixo. > >Se nao me engano, ontem foi a prova de Matematica do IME. Alguem tem a prova >ou sabe onde encontra-la na Internet ? Seria interessante disponibiliza-la >aqui na nossa lista, para que pudessemos discutir algumas questoes. > >Um Abraco a Todos ! >Paulo Santa Rita >4,1120,051103 > >_ >MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > >Instruções >para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > >-- ___ Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova do IME
Ola colegas da lista OBM-L! Dando continuidade a ideia do Paulo, vou contribuir um pouco: A questao 9 da prova diz o seguinte: Em um campeonato esportivo, cada time participante jogou contra cada outro participante uma unica vez (sem returno), de maneira que ao term- mino do campeonato a soma dos pontos de todos times totalizou 35.Quantos jogos termin- aram empatados? Obs:(Vitoria = 3 pts ,derrota = 0 , empate = 1 pnt.) --- --- Como cada jogo ou termina com empate ou com vitoria , o numero de jogos disputados coincide com o numero de jogos empatados + o numero de jogos com vitoria ,isso claro, contando o numero total de jogos do torneio. Como cada time jogou contra todos uma vez, o numero de jogos disputados é igual a combinaçao 2 a 2 de M onde M é o numero de times do torneio.Entao: M.(M - 1)/2 = V + E>E mpate + V itoria Sendo que em cada jogo com vitória só a um ganhador, e em cada jogo com empate à 2 empatados é correto afirmar que: 3.V + 2.E = 35. logo temos o sistema: !3.V + 2.E = 35. !! M.(M - 1)/2 = V + E. Para V, E, M pertecentes aos naturais. Fazendo uma inspeçao manual sem medir consequencias em ! verifi- camos que os possiveis valores para o par (V;E) sao:(1;11),(4;9),(7;7), (10;5),(13;3) e (16;1). Se (V;E) = (1;11) ,entao M.(M - 1)/2 = 12, o que nao é verdade; Se (V;E) = (4;9) ,entao M.(M - 1)/2 = 13, o que nao é verdade; Se (V;E) = (7;7) ,entao M.(M - 1)/2 = 14, o que nao é verdade; Se (V;E) = (10;5) ,entao M.(M - 1)/2 = 15, que é verdade para M=6; Se (V;E) = (13;3) ,entao M.(M - 1)/2 = 16, o que nao é verdade; Se (V;E) = (16;1) ,entao M.(M - 1)/2 = 17, o que nao é verdade. Logo (V;E;M) = (10;5;6) 5 jogos terminaram empatados Ate mais! Felipe Mendonça Vitória-ES MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: PG_(questão_sem_propósito)
Concordo prof. Nicolau. Realmente o que torna uma questão interessante é o desafio que ela proporciona. Mas em termos didáticos continuo considerando-a com pouco propósito. De qualquer forma, gostaria de agradecer aos amigos que me deram uma força. E aproveito para agradecer ao Artur pela uma resposta que ele deu numa mensagem que eu postei no começo de outubro ("perguntas simplórias"), eu só vi a sua mensagem no arquivo da OBM e ela foi bem explicativa (tentei agradecer diretamente, em off, mas os e-mais retornavam).
P.S.: Errei no enunciado: onde tem 4/2 é na verdade 4/8, como disse o prof. Nicolau.
[]´s Nelson"Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Oi Nelson,> Muitas vezes fico frustado com a matemática quando encontro uma questão, fico> me matando resolvê-la a partir dos conceitos e definições expostos, e quando> vou ver a resolução, ela é resolvida através de pura tentativa e erro. Pois> bem, aí vai a questão:> > Calcule a soma da série 1 + 2/2 + 3/4 + 4/2 + 5/16 + ...> > Resolução:> Decompomos os termos da série e os colocamos na disposição a seguir, onde somamos coluna por coluna.> > 1 -> 1> 2/2 -> 1/2 + 1/2> 3/4 -> 1/4 + 1/4 + 1/4 > 4/8 -> 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8> 5/16 -> 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 > > Somas das colunas: 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2/(1 - 1/2) = 4Antes de mais nada acho que há um erro no enunciado.O enunciado tem o termo 4/2 que é incompatível com a
soluçãoapresentada, suponho que deveria ser 4/8.Se for mesmo 4/2 não é nada claro pelos poucos termos apresentadosqual seria a lei de formação.Mas eu gostaria principalmente de discordar da atitude que eu detecto,talvez incorretamente, nesta mensagem. Os problemas de olimpíadas sãointeressantes exatamente por exigirem que o aluno *procure* uma idéiapara resolvê-los. Este problema é interessante *apenas* para o alunoque ainda não conhece um método para resolvê-lo e exatamente por issoprecisa fazer um "truque" como este que você mostrou. Para um alunoque conheça um pouco mais de teoria (há montes deles nesta lista)este problema é absolutamente rotineiro e por isso mesmo *desinteressante*.Ou seja, o fato de a solução envolver o que você chama de "pura tentativae erro" é para mim exatamente o que torna o problema interessante.Acho que outras pessoas envolvidas com olimpíadas de matemática concordariamcomigo. Claro que nada
disso impede que se procure transformar o que um diafoi um truque em um método; afinal, a diferença é sutil: acho que foi oKnuth quem definiu um método como um truque que já foi usado com sucessopelo menos três vezes.[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] Prova do IME
Eu encontrei! A pirâmide menor, cuja base é B, o médio de AB e o médio de BC, tem altura igual a h/4. Pois, ela é "levantada" em um quarto de OB. A área da base dessa pirâmide é 1/4 * área do triângulo ABC. A pirâmide cuja base é o hexágono tem área da base igual a 6*área do triângulo ABC. Pois a área do triângulo DOC é igual a do ABC, já que se transladando o vértice D para E, DE//OC, tem-se triângulo congruente ao ABC. Fazendo-se a diferença entre os dois volumes calculados acima, e posteriormente, dividindo-se tal diferença por aquele, achar-se-á a razão (1/16)/(6-(1/16))=1/95. Como sou café-com-leite, vou tentar outras. Isto, se tiver tempo. ATT. João. "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] Enviado Por: cc: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] Prova do IME .puc-rio.br 05/11/2003 14:55 Favor responder a obm-l ola Pessoal ! Alguem encontrou uma forma nao-GPI de fazer a questao tres ? Nao vou fazer, pois, pela regra que enunciei estou proibido de fazer isso ( e o Claudio tambem ) mas vou falar duas coisas : PRIMEIRO - Voces, sem duvida, conhecem aquela formula que - sendo dado tres pontos nao alinhados no plano cartesiano - nos permite encontrar a area do triangulo formado pelos tres pontos. A formula tem uma cara assim : Area do triangulo = (1/2)*DET, DET e o determinante da matriz formada pelos tres pontos que representam os vertices do triangulo. Se voces nao sabem, existe o analogo desta formula para a dimentao 3, isto e, sendo dados 4 pontos em R^3 nao coplanares, existe uma formula ( derivada por Lagrange ) que calcula o volume da piramide. Essa formula e assim : Volume = (1/3!)*DET, onde DET e o determinante da matriz formada pelos 4 pontos que representam a piramide. Entao, basta colocar a piramide regular no R^3 e determinar as coordenadas dos vertices do pequeno solido e, a seguir, aplicar a formula. SEGUNDO : Tem uma regrinha que diz, mais ou menos, o seguinte : INTEGRAL de area E VOLUME, isto e, se pudermos exprimir uma area variavel em funcao de sua distancia a um determinado ponto, ao integrarmos, obteremos o volume. Ora, a area de sucessivas secoes sobre o pequeno solido e facilmente calculavel em funcao da distancia ao vertice. A integracao vai dar o volume. Quem faz a questao 4 de forma nao-GPI ? Bom, e com prazer que participo, mas foi necessario fazer um esforço pra estar aqui com voces neste momento um tanto dificil, pois estou bastante atarefado. Eu vou ficar por aqui. O imbecil nao esta pertubando mais ( se a nossa lista fosse patrimonio publico, caberia denuncia aqui no MPF e a Policia Federal seria acionada pra prende-lo ) e deu pra mostrar que pra cada questao IME e possivel encontrar facilmente um montao de maneiras de faze-las. E so ter serenidade e pensar. As solucoes GPI sao muito boas, talvez as melhores. Com os melhores votos de Paz profunda, sou Paulo Santa Rita 4,1651,051103 >From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: [obm-l] Prova do IME >Date: Wed, 05 Nov 2003 17:30:47 + >MIME-Version: 1.0 >X-Originating-IP: [200.216.62.82] >X-Originating-Email: [EMAIL PROTECTED] >Received: from mc8-f18.hotmail.com ([65.54.253.154]) by mc8-s3.hotmail.com >with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 09:38:24 -0800 >Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc8-f18.hotmail.com >with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 09:33:01 -0800 >Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) >id PAA10632for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 15:31:29 -0200 >Received: from hotmail.co
Re: [obm-l] Prova do IME
ola Pessoal ! Alguem encontrou uma forma nao-GPI de fazer a questao tres ? Nao vou fazer, pois, pela regra que enunciei estou proibido de fazer isso ( e o Claudio tambem ) mas vou falar duas coisas : PRIMEIRO - Voces, sem duvida, conhecem aquela formula que - sendo dado tres pontos nao alinhados no plano cartesiano - nos permite encontrar a area do triangulo formado pelos tres pontos. A formula tem uma cara assim : Area do triangulo = (1/2)*DET, DET e o determinante da matriz formada pelos tres pontos que representam os vertices do triangulo. Se voces nao sabem, existe o analogo desta formula para a dimentao 3, isto e, sendo dados 4 pontos em R^3 nao coplanares, existe uma formula ( derivada por Lagrange ) que calcula o volume da piramide. Essa formula e assim : Volume = (1/3!)*DET, onde DET e o determinante da matriz formada pelos 4 pontos que representam a piramide. Entao, basta colocar a piramide regular no R^3 e determinar as coordenadas dos vertices do pequeno solido e, a seguir, aplicar a formula. SEGUNDO : Tem uma regrinha que diz, mais ou menos, o seguinte : INTEGRAL de area E VOLUME, isto e, se pudermos exprimir uma area variavel em funcao de sua distancia a um determinado ponto, ao integrarmos, obteremos o volume. Ora, a area de sucessivas secoes sobre o pequeno solido e facilmente calculavel em funcao da distancia ao vertice. A integracao vai dar o volume. Quem faz a questao 4 de forma nao-GPI ? Bom, e com prazer que participo, mas foi necessario fazer um esforço pra estar aqui com voces neste momento um tanto dificil, pois estou bastante atarefado. Eu vou ficar por aqui. O imbecil nao esta pertubando mais ( se a nossa lista fosse patrimonio publico, caberia denuncia aqui no MPF e a Policia Federal seria acionada pra prende-lo ) e deu pra mostrar que pra cada questao IME e possivel encontrar facilmente um montao de maneiras de faze-las. E so ter serenidade e pensar. As solucoes GPI sao muito boas, talvez as melhores. Com os melhores votos de Paz profunda, sou Paulo Santa Rita 4,1651,051103 From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Prova do IME Date: Wed, 05 Nov 2003 17:30:47 + MIME-Version: 1.0 X-Originating-IP: [200.216.62.82] X-Originating-Email: [EMAIL PROTECTED] Received: from mc8-f18.hotmail.com ([65.54.253.154]) by mc8-s3.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 09:38:24 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc8-f18.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 09:33:01 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA10632for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 15:31:29 -0200 Received: from hotmail.com (sea2-f38.sea2.hotmail.com [207.68.165.38])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA10626for <[EMAIL PROTECTED]>; Wed, 5 Nov 2003 15:31:20 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Wed, 5 Nov 2003 09:30:47 -0800 Received: from 200.216.62.82 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP;Wed, 05 Nov 2003 17:30:47 GMT X-Message-Info: HQbIehuYceR9rXluJAING4jVYOm0CJrfxwG0pqmOl1o= Message-ID: <[EMAIL PROTECTED]> X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 17:30:47.0391 (UTC) FILETIME=[8C92A6F0:01C3A3C2] Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] Ola Pessoal ! Vejam que agora ja temos tres solucoes para a questao 2. Quem faz a 3, de uma forma diferente da do GPI ? Nao pode ser eu ou o Claudio. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1531,051103 From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] Prova do IME Date: Wed, 5 Nov 2003 15:08:53 -0200 MIME-Version: 1.0 Received: from mc1-f9.hotmail.com ([64.4.50.16]) by mc1-s3.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Wed, 5 Nov 2003 09:04:07 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc1-f9.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Wed, 5 Nov 2003 09:03:13 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA09707for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 15:02:04 -0200 Received: from ns3bind.bindtech.com.br ([200.230.34.5])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA09702for <[EMAIL PROTECTED]>; Wed, 5 Nov 2003 15:02:03 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224])by ns3bind.bindtech.com.br (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id hA5H0Xl06494for <[EMAIL PROTECTED]>; Wed, 5 Nov 2003 15:00:33 -0200 X-Message-Info: HQbIehuYceTqLXMEyHBvn7Pw6Fl0HXM8zdhH8t2Jk4M= Message-ID: <[EMAIL PROTECTED]> References: <[EMAIL PROTECTED]> X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2600. X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600. Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 17:03:14.0593 (UTC) FILETIME=[B36DB110:01C3A3BE] - Original
Re: [obm-l] Prova do IME
Ola Pessoal ! Vejam que agora ja temos tres solucoes para a questao 2. Quem faz a 3, de uma forma diferente da do GPI ? Nao pode ser eu ou o Claudio. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1531,051103 From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] Prova do IME Date: Wed, 5 Nov 2003 15:08:53 -0200 MIME-Version: 1.0 Received: from mc1-f9.hotmail.com ([64.4.50.16]) by mc1-s3.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Wed, 5 Nov 2003 09:04:07 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc1-f9.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Wed, 5 Nov 2003 09:03:13 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA09707for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 15:02:04 -0200 Received: from ns3bind.bindtech.com.br ([200.230.34.5])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA09702for <[EMAIL PROTECTED]>; Wed, 5 Nov 2003 15:02:03 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224])by ns3bind.bindtech.com.br (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id hA5H0Xl06494for <[EMAIL PROTECTED]>; Wed, 5 Nov 2003 15:00:33 -0200 X-Message-Info: HQbIehuYceTqLXMEyHBvn7Pw6Fl0HXM8zdhH8t2Jk4M= Message-ID: <[EMAIL PROTECTED]> References: <[EMAIL PROTECTED]> X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2600. X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600. Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 17:03:14.0593 (UTC) FILETIME=[B36DB110:01C3A3BE] - Original Message - From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, November 05, 2003 2:04 PM Subject: Re: [obm-l] Prova do IME > > Quem faz a questao 2, com solucao diferente da do GPI ? Para que todos > possam participar, voces aceitam que uma pessoa so possa fazer uma questao ( > nao duas ou mais ) ? > Questão: P(x) = x^3 + ax + b (b <> 0) tem 3 raízes reais. Prove que a < 0. A solução do GPI usou as relações de Girard. Aqui vai uma solução alternativa: Se a = 0, então P(x) tem uma única raiz real, igual a (-b)^(1/3). Se a > 0, então P'(x) = 3x^2 + a > 0, para todo x ==> P(x) é estritamente crescente ==> Como lim(x->-inf) P(x) = -inf e lim(x -> +inf) P(x) = +inf, P(x) tem uma única raiz real. Logo, só pode ser a < 0. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Prova do IME
Já que é assim, para a segunda: P(x) = x3 + ax + b e b<>0 e P(x) possui 3 raízes reais, prove que a<0 Se P(x) possui 3 raízes reais, P(x) não é estritamente crescente ou estritamente decrescente. Logo, P'(x) terá 2 raízes reais. P'(x) = 3x2 + a, com raízes x = (-a/3) ^.5, logo a <=0. Entretanto, a=0 implica em P(x) sempre crescente com exceção do ponto x=0, e como x=0 não é um ponto de raiz tripla (b<>0), podemos concluir que a<0. Muito feio? -Original Message- From: Paulo Santa Rita [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, November 05, 2003 1:05 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Prova do IME Ola Prof Morgado e demais colegas desta lista ... OBM-L, Deu uma olhada no site do GPI. A prova esta la, questao por questao. Mas ... FEITA ! Que pena, nao vamos ter a alegria de descobrir as solucoes. Mas eu proponho o seguinte : Vamos encontrar, pra cada questao, uma maneira diferente de fazer ( mesmo que seja mais feia ou longa ) ? Eu começo : 1 QUESTAO ) Existe uma regra, chamada regra de Chio, que permite abaixar a ordem de uma matriz. Basta que A11=1 ( se nao me falha a memoria ). Entao, aplicando a regra de Chio duas vezes vamos cair numa matriz 2x2, cujo determinante e facil calcular. Calculando o determinante em funcao de N, igualamos a 5 e resolvemos a equacao. Quem faz a questao 2, com solucao diferente da do GPI ? Para que todos possam participar, voces aceitam que uma pessoa so possa fazer uma questao ( nao duas ou mais ) ? Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1403,051103 >From: "Augusto Cesar de Oliveira Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: [obm-l] Prova do IME >Date: Wed, 5 Nov 2003 14:22:54 -0200 >MIME-Version: 1.0 >Received: from mc2-f14.hotmail.com ([65.54.237.21]) by mc2-s17.hotmail.com >with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 07:25:29 -0800 >Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc2-f14.hotmail.com >with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 07:24:22 -0800 >Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) >id NAA07638for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 13:23:26 -0200 >Received: from gorgo.centroin.com.br (gorgo.centroin.com.br >[200.225.63.128])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id >NAA07634for <[EMAIL PROTECTED]>; Wed, 5 Nov 2003 13:23:25 -0200 >Received: from centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134])by >gorgo.centroin.com.br (8.12.10/8.12.9) with ESMTP id hA5FMtad007873for ><[EMAIL PROTECTED]>; Wed, 5 Nov 2003 13:22:55 -0200 (EDT) >X-Message-Info: HQbIehuYceSUWy5LlRlpF6fIONaJJTv2iApCFDJ/N8U= >Message-Id: <[EMAIL PROTECTED]> >In-Reply-To: <[EMAIL PROTECTED]> >References: <[EMAIL PROTECTED]> >X-Mailer: CIP WebMail 2.10 experimantal 20030731a >X-OriginatingIP: 200.141.90.78 (morgado) >Sender: [EMAIL PROTECTED] >Precedence: bulk >Return-Path: [EMAIL PROTECTED] >X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 15:24:23.0275 (UTC) >FILETIME=[E41663B0:01C3A3B0] > >www.gpi.g12.br > > >-- >CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 >CentroIn Internet Providerhttp://www.centroin.com.br >Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 >Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 > > >-- Original Message --- >From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> >To: [EMAIL PROTECTED] >Sent: Wed, 05 Nov 2003 13:20:15 + >Subject: [obm-l] Prova do IME > > > Ola Pessoal ! > > > > Todos devem ter notado que novamente estamos sendo agredidos por um > > imbecil qualquer. Nao se responde a este tipo de gente. Vamos > > ignorar as mensagens ofensivas e trata-las como sao : lixo produzido > > por lixo. > > > > Se nao me engano, ontem foi a prova de Matematica do IME. Alguem tem > > a prova ou sabe onde encontra-la na Internet ? Seria interessante > > disponibiliza-la aqui na nossa lista, para que pudessemos discutir > > algumas questoes. > > > > Um Abraco a Todos ! > > Paulo Santa Rita > > 4,1120,051103 > > > > _ > > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > > > >= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > >= >--- End of Original Message --- > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
Re: [obm-l] Prova do IME
Ola Pessoal e demais colegas desta lista ... OBM-L, Alguem encontrou uma forma de resolver a questao 2 diferente da forma apresentada so Site do GPI ? Eu nao vou fazer por fidelidade a regra que propus, segundo a qual uma pessoa so pode fazer uma questao ( diferente da solucao GPI ). Mas vou ajudar falando sobre algo que, muito provavelmente, nem todos os estudantes sabem : Numa equacao da forma : x^3 + ax + b=0 , a expressao : (b/2)^2 + (a/3)^3 e chamada DISCRIMINANTE. Prova-se que a equacao so tem tres raizes reais nao nulas se o DISCRIMINANTE e negativo ... Dai ... Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1509,051103 From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Prova do IME Date: Wed, 05 Nov 2003 16:04:30 + MIME-Version: 1.0 X-Originating-IP: [200.142.58.18] X-Originating-Email: [EMAIL PROTECTED] Received: from mc3-f23.hotmail.com ([64.4.50.159]) by mc3-s2.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Wed, 5 Nov 2003 08:06:32 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc3-f23.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Wed, 5 Nov 2003 08:06:28 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA08497for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 14:05:13 -0200 Received: from hotmail.com (sea2-f19.sea2.hotmail.com [207.68.165.19])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA08493for <[EMAIL PROTECTED]>; Wed, 5 Nov 2003 14:05:10 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Wed, 5 Nov 2003 08:04:34 -0800 Received: from 200.142.58.18 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP;Wed, 05 Nov 2003 16:04:30 GMT X-Message-Info: HQbIehuYceQPI18leHWRVRTadU7O9EmVASR5S6iv19Q= Message-ID: <[EMAIL PROTECTED]> X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 16:04:34.0594 (UTC) FILETIME=[81587820:01C3A3B6] Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] Ola Prof Morgado e demais colegas desta lista ... OBM-L, Deu uma olhada no site do GPI. A prova esta la, questao por questao. Mas ... FEITA ! Que pena, nao vamos ter a alegria de descobrir as solucoes. Mas eu proponho o seguinte : Vamos encontrar, pra cada questao, uma maneira diferente de fazer ( mesmo que seja mais feia ou longa ) ? Eu começo : 1 QUESTAO ) Existe uma regra, chamada regra de Chio, que permite abaixar a ordem de uma matriz. Basta que A11=1 ( se nao me falha a memoria ). Entao, aplicando a regra de Chio duas vezes vamos cair numa matriz 2x2, cujo determinante e facil calcular. Calculando o determinante em funcao de N, igualamos a 5 e resolvemos a equacao. Quem faz a questao 2, com solucao diferente da do GPI ? Para que todos possam participar, voces aceitam que uma pessoa so possa fazer uma questao ( nao duas ou mais ) ? Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1403,051103 From: "Augusto Cesar de Oliveira Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Prova do IME Date: Wed, 5 Nov 2003 14:22:54 -0200 MIME-Version: 1.0 Received: from mc2-f14.hotmail.com ([65.54.237.21]) by mc2-s17.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 07:25:29 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc2-f14.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 07:24:22 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA07638for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 13:23:26 -0200 Received: from gorgo.centroin.com.br (gorgo.centroin.com.br [200.225.63.128])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA07634for <[EMAIL PROTECTED]>; Wed, 5 Nov 2003 13:23:25 -0200 Received: from centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134])by gorgo.centroin.com.br (8.12.10/8.12.9) with ESMTP id hA5FMtad007873for <[EMAIL PROTECTED]>; Wed, 5 Nov 2003 13:22:55 -0200 (EDT) X-Message-Info: HQbIehuYceSUWy5LlRlpF6fIONaJJTv2iApCFDJ/N8U= Message-Id: <[EMAIL PROTECTED]> In-Reply-To: <[EMAIL PROTECTED]> References: <[EMAIL PROTECTED]> X-Mailer: CIP WebMail 2.10 experimantal 20030731a X-OriginatingIP: 200.141.90.78 (morgado) Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 15:24:23.0275 (UTC) FILETIME=[E41663B0:01C3A3B0] www.gpi.g12.br -- CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Providerhttp://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 -- Original Message --- From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wed, 05 Nov 2003 13:20:15 + Subject: [obm-l] Prova do IME > Ola Pessoal ! > > Todos devem ter notado que novamente estamos sendo agredidos por um > imbecil qualquer. Nao se responde a este tipo de gente. Vamos > ignorar as mensagens ofensivas e trata-las como sao : lixo produzido > por lixo. > > Se nao me engano, ontem foi a prova de Matematica do
Re: [obm-l] Prova do IME
- Original Message - From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, November 05, 2003 2:04 PM Subject: Re: [obm-l] Prova do IME > > Quem faz a questao 2, com solucao diferente da do GPI ? Para que todos > possam participar, voces aceitam que uma pessoa so possa fazer uma questao ( > nao duas ou mais ) ? > Questão: P(x) = x^3 + ax + b (b <> 0) tem 3 raízes reais. Prove que a < 0. A solução do GPI usou as relações de Girard. Aqui vai uma solução alternativa: Se a = 0, então P(x) tem uma única raiz real, igual a (-b)^(1/3). Se a > 0, então P'(x) = 3x^2 + a > 0, para todo x ==> P(x) é estritamente crescente ==> Como lim(x->-inf) P(x) = -inf e lim(x -> +inf) P(x) = +inf, P(x) tem uma única raiz real. Logo, só pode ser a < 0. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova do IME
Ola Prof Morgado e demais colegas desta lista ... OBM-L, Deu uma olhada no site do GPI. A prova esta la, questao por questao. Mas ... FEITA ! Que pena, nao vamos ter a alegria de descobrir as solucoes. Mas eu proponho o seguinte : Vamos encontrar, pra cada questao, uma maneira diferente de fazer ( mesmo que seja mais feia ou longa ) ? Eu começo : 1 QUESTAO ) Existe uma regra, chamada regra de Chio, que permite abaixar a ordem de uma matriz. Basta que A11=1 ( se nao me falha a memoria ). Entao, aplicando a regra de Chio duas vezes vamos cair numa matriz 2x2, cujo determinante e facil calcular. Calculando o determinante em funcao de N, igualamos a 5 e resolvemos a equacao. Quem faz a questao 2, com solucao diferente da do GPI ? Para que todos possam participar, voces aceitam que uma pessoa so possa fazer uma questao ( nao duas ou mais ) ? Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1403,051103 From: "Augusto Cesar de Oliveira Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Prova do IME Date: Wed, 5 Nov 2003 14:22:54 -0200 MIME-Version: 1.0 Received: from mc2-f14.hotmail.com ([65.54.237.21]) by mc2-s17.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 07:25:29 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc2-f14.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 07:24:22 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA07638for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 13:23:26 -0200 Received: from gorgo.centroin.com.br (gorgo.centroin.com.br [200.225.63.128])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA07634for <[EMAIL PROTECTED]>; Wed, 5 Nov 2003 13:23:25 -0200 Received: from centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134])by gorgo.centroin.com.br (8.12.10/8.12.9) with ESMTP id hA5FMtad007873for <[EMAIL PROTECTED]>; Wed, 5 Nov 2003 13:22:55 -0200 (EDT) X-Message-Info: HQbIehuYceSUWy5LlRlpF6fIONaJJTv2iApCFDJ/N8U= Message-Id: <[EMAIL PROTECTED]> In-Reply-To: <[EMAIL PROTECTED]> References: <[EMAIL PROTECTED]> X-Mailer: CIP WebMail 2.10 experimantal 20030731a X-OriginatingIP: 200.141.90.78 (morgado) Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 15:24:23.0275 (UTC) FILETIME=[E41663B0:01C3A3B0] www.gpi.g12.br -- CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Providerhttp://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 -- Original Message --- From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wed, 05 Nov 2003 13:20:15 + Subject: [obm-l] Prova do IME > Ola Pessoal ! > > Todos devem ter notado que novamente estamos sendo agredidos por um > imbecil qualquer. Nao se responde a este tipo de gente. Vamos > ignorar as mensagens ofensivas e trata-las como sao : lixo produzido > por lixo. > > Se nao me engano, ontem foi a prova de Matematica do IME. Alguem tem > a prova ou sabe onde encontra-la na Internet ? Seria interessante > disponibiliza-la aqui na nossa lista, para que pudessemos discutir > algumas questoes. > > Um Abraco a Todos ! > Paulo Santa Rita > 4,1120,051103 > > _ > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] a^3+b^3+c^3 = 3abc
Sua resoluçao esta certissima.Alias isto ja e meio famoso, mas que historia e essa de caminho inverso?Daniel Faria <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Gostaria de tentar uma resoluçao sobre o enunciado, só que fazendo um caminho inverso:Dado a+b+c=0,quero chegar ema^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0.Partindo de:a^3 + b^3 + c^3 - 3abcFarei a linha acima por determinante:a b cc a bb c aA soma de cada linha deste deteminante eh a+b+c que como jah eh sabido eh zero.logo o determinante acima eh igual a zero.Assim temos:a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0ea^3 + b^3 + c^3 = 3abcPor favor me corrijam se eu estiver errado.Obrigado.>-- Mensagem original -->> >Ola pessoal,> >> >Depois de alguns meses afastado da lista e ssem estudar matematica, pois>> >estava estudando para um concurso e acabei de faze-lo. Agora eh esperar>ansioso> >> >pelo resultado que sairah em menos de 2 semanas. Para nao ficar off-topic> >vou> >re-comecar a postar minhas duvidas. Vamos la:> >> >1) Prove que se a + b + c = 0, entao a^3 + b^3 + c^3 = 3abc> >> >Obs: Como estou voltando agora, desculpem me se o problema for trivial.>> >Preciso me desenferrujar aos poucos ;-) em matematica e pegar o ritmo de> >novo.> >> >> >-->Use o melhor sistema de busca da Internet>Radar UOL - http://www.radaaruol.com.br=>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>=_MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] Prova do IME
www.gpi.g12.br -- CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Providerhttp://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 -- Original Message --- From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wed, 05 Nov 2003 13:20:15 + Subject: [obm-l] Prova do IME > Ola Pessoal ! > > Todos devem ter notado que novamente estamos sendo agredidos por um > imbecil qualquer. Nao se responde a este tipo de gente. Vamos > ignorar as mensagens ofensivas e trata-las como sao : lixo produzido > por lixo. > > Se nao me engano, ontem foi a prova de Matematica do IME. Alguem tem > a prova ou sabe onde encontra-la na Internet ? Seria interessante > disponibiliza-la aqui na nossa lista, para que pudessemos discutir > algumas questoes. > > Um Abraco a Todos ! > Paulo Santa Rita > 4,1120,051103 > > _ > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Quadrado da Soma = Soma de Cubos
Induçao.Daniel Faria <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Vi a pouco tempo isto e me chamou a atençao:( 1 )^2 = 1^3( 1 + 2 )^2 = 1^3 + 2^3( 1 + 2 + 3 )^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3.. .. .. ...( 1 + 2 + 3 + 4 + + n )^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + .+ n^3Série iniciada por 1 com todos os termos naturais.Gostaria de uma demonstraçao simples deste fato.Obrigado._MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
[obm-l] Re: [obm-l] Re: PG (questão sem propósito)
Uma solucao mais formal e menos criativa de acharmos a soma desta serie eh observando que, para cada n, o termo da série eh o valor para x=1/2 de a_n = n*x^(n-1). Observamos que cada a_n eh a derivada com relacao a x de x^n. A serie de potencias (no caso, uma serie geometrica) Soma (x^n), n=0,1,... converge, para |x|<1, para o conhecido limte 1/(1-x). Pelas propriedades das series de potencia, isto acarreta que, tambem para |x|<1, a serie obtida derivando-se termo a termo a serie original (que eh justamente a serie em questao) convirja para d/dx[1/(1-x)] = [1/(1-x])^2. Como |1/2|<1, o resultado procurado eh obtido fazendo-se x=2 nesta ultima expressao, o que leva ao valor de 4. Acho que aqui tambem hah alguma criatividade ao se observar que a soma procurada eh a derivada de uma soma geometrica... Contrariamente ao titulo da mensagem, acho que esta questao tem proposito. E a solucao apresentada pelo colega eh muito bonita. Talvez sem se dar conta, ele usou algumas propriedades interessantes de series absolutamente convergentes., ao tomar limites de subseries e achar o limite da serie dos mesmos. Um abraco Artur Um abraco Artur Oi Nelson, > Muitas vezes fico frustado com a matemática quando encontro uma questão, fico > me matando resolvê-la a partir dos conceitos e definições expostos, e quando > vou ver a resolução, ela é resolvida através de pura tentativa e erro. Pois > bem, aí vai a questão: > > Calcule a soma da série 1 + 2/2 + 3/4 + 4/2 + 5/16 + ... > > Resolução: > Decompomos os termos da série e os colocamos na disposição a seguir, onde somamos coluna por coluna. > > 1 -> 1 > 2/2 -> 1/2 + 1/2 > 3/4 -> 1/4 + 1/4 + 1/4 > 4/8 -> 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 > 5/16 -> 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 > > Somas das colunas: 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2/(1 - 1/2) = 4 Antes de mais nada acho que há um erro no enunciado. O enunciado tem o termo 4/2 que é incompatível com a solução apresentada, suponho que deveria ser 4/8. Se for mesmo 4/2 não é nada claro pelos poucos termos apresentados qual seria a lei de formação. Mas eu gostaria principalmente de discordar da atitude que eu detecto, talvez incorretamente, nesta mensagem. Os problemas de olimpíadas são interessantes exatamente por exigirem que o aluno *procure* uma idéia para resolvê-los. Este problema é interessante *apenas* para o aluno que ainda não conhece um método para resolvê-lo e exatamente por isso precisa fazer um "truque" como este que você mostrou. Para um aluno que conheça um pouco mais de teoria (há montes deles nesta lista) este problema é absolutamente rotineiro e por isso mesmo *desinteressante*. Ou seja, o fato de a solução envolver o que você chama de "pura tentativa e erro" é para mim exatamente o que torna o problema interessante. Acho que outras pessoas envolvidas com olimpíadas de matemática concordariam comigo. Claro que nada disso impede que se procure transformar o que um dia foi um truque em um método; afinal, a diferença é sutil: acho que foi o Knuth quem definiu um método como um truque que já foi usado com sucesso pelo menos três vezes. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova do IME
A prova está em http://www.teorema.mat.br/ime2004.pdf Paulo --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Um site interessante
Ola Pessoal ! No Site : http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/ Click em : MacTutor history of Mathematics Archive La existem muitas informaçoes interessantes, tais como um aruivo de curvas notaveis e os Principais Matematicos ( com omissoes ! ) por paises. Vale a pena dar uma olhada. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1139,051103 From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Prova do IME Date: Wed, 05 Nov 2003 13:20:15 + MIME-Version: 1.0 X-Originating-IP: [200.142.58.18] X-Originating-Email: [EMAIL PROTECTED] Received: from mc2-f20.hotmail.com ([65.54.237.27]) by mc2-s16.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 05:28:10 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc2-f20.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 05:24:06 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA04832for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 11:20:57 -0200 Received: from hotmail.com (sea2-f50.sea2.hotmail.com [207.68.165.50])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA04828for <[EMAIL PROTECTED]>; Wed, 5 Nov 2003 11:20:52 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Wed, 5 Nov 2003 05:20:17 -0800 Received: from 200.142.58.18 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP;Wed, 05 Nov 2003 13:20:15 GMT X-Message-Info: HQbIehuYceT6VeKGoNWA63UYML5cWlLPc1N/atNLXfQ= Message-ID: <[EMAIL PROTECTED]> X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 13:20:17.0135 (UTC) FILETIME=[8DD797F0:01C3A39F] Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] Ola Pessoal ! Todos devem ter notado que novamente estamos sendo agredidos por um imbecil qualquer. Nao se responde a este tipo de gente. Vamos ignorar as mensagens ofensivas e trata-las como sao : lixo produzido por lixo. Se nao me engano, ontem foi a prova de Matematica do IME. Alguem tem a prova ou sabe onde encontra-la na Internet ? Seria interessante disponibiliza-la aqui na nossa lista, para que pudessemos discutir algumas questoes. Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1120,051103 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Prova do IME
Ola Pessoal ! Todos devem ter notado que novamente estamos sendo agredidos por um imbecil qualquer. Nao se responde a este tipo de gente. Vamos ignorar as mensagens ofensivas e trata-las como sao : lixo produzido por lixo. Se nao me engano, ontem foi a prova de Matematica do IME. Alguem tem a prova ou sabe onde encontra-la na Internet ? Seria interessante disponibiliza-la aqui na nossa lista, para que pudessemos discutir algumas questoes. Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1120,051103 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] a^3+b^3+c^3 = 3abc
Uma variante interessante dessa expressao eh a fatoracao: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) Nao soh eh imediata a implicacao original, mas tambem se supusermos que a, b, c sao positivos, concluiremos que ambos os fatores do lado direito serao nao-negativos (com igualdade se e somente se a = b = c). Isso implica que a^3 + b^3 + c^3 - 3abc >= 0, com igualdade <==> a = b = c. Fazendo a^3 = x, b^3 = y e c^3 = z, obteremos: x + y + z - 3*(xyz)^(1/3) >= 0 ==> (x + y + z)/3 >= (xyz)^(1/3), com igualdade <==> x = y = z. Essa eh a demonstracao mais simples que eu conheco pro caso n = 3 desigualdade MA >= MG. Um abraco, Claudio. on 05.11.03 10:21, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Ola Daniel e demais > colegas desta lista ... OBM-L, > > Muito legal a prova por determinante. Vou tentar produzir uma prova > diferente : > > a + b + c= 0 => a + b = -c => (a+b)^3 = (-c)^3 > a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2) + b^3 = -c^3 > a^3 + b^3 + c^3 = -3(a^2)b - 3a(b^2) > a^3 + b^3 + c^3 = -3ab(a + b) > como a + b = -c : > a^3 + b^3 + c^3 = -3ab(-c) => a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 > > um outro legal, bem simples, na mesma linha de raciocinio : > > Se A + B > CeD + E > F entao ( A,B,C,D,E,F sao reais positivos ) : > > raiz_quad(A^2 + E^2) + raiz_quad(B^2 + D^2) > raiz_quad(C^2 + F^2) > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 11...1222...25
On Wed, Nov 05, 2003 at 12:24:06PM +, leonardo mattos wrote: > "Em geral essa prova do ime nao foi mt dificil nao" Me diz um ano em q a > prova do ime foi mt dificil nos ultimos 10 anos...Houve provas dificeis mas > mt dificeis nao... =] Desculpem eu me meter em um assunto sobre o qual eu afinal sei tão pouco, mas vocês viram a prova de MAT1 do IME de 1980 (a que eu fiz)? Era bem difícil para um vestibular. Algumas questões: Prove que ((3+4i)/5)^n é diferente de 1 para todo inteiro positivo n. Prove que não existem matrizes quadradas A e B com AB - BA = I. Tinha também uma de combinatória em que o professor Sá Bido convidada uns alunos para jantar mas não me lembro do enunciado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: PG_(questão_sem_propósito)
Oi Nelson, > Muitas vezes fico frustado com a matemática quando encontro uma questão, fico > me matando resolvê-la a partir dos conceitos e definições expostos, e quando > vou ver a resolução, ela é resolvida através de pura tentativa e erro. Pois > bem, aí vai a questão: > > Calcule a soma da série 1 + 2/2 + 3/4 + 4/2 + 5/16 + ... > > Resolução: > Decompomos os termos da série e os colocamos na disposição a seguir, onde somamos > coluna por coluna. > > 1 ->1 > 2/2 ->1/2 + 1/2 > 3/4 ->1/4 + 1/4 + 1/4 > 4/8 ->1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 > 5/16 -> 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 > > Somas das colunas: 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2/(1 - 1/2) = 4 Antes de mais nada acho que há um erro no enunciado. O enunciado tem o termo 4/2 que é incompatível com a solução apresentada, suponho que deveria ser 4/8. Se for mesmo 4/2 não é nada claro pelos poucos termos apresentados qual seria a lei de formação. Mas eu gostaria principalmente de discordar da atitude que eu detecto, talvez incorretamente, nesta mensagem. Os problemas de olimpíadas são interessantes exatamente por exigirem que o aluno *procure* uma idéia para resolvê-los. Este problema é interessante *apenas* para o aluno que ainda não conhece um método para resolvê-lo e exatamente por isso precisa fazer um "truque" como este que você mostrou. Para um aluno que conheça um pouco mais de teoria (há montes deles nesta lista) este problema é absolutamente rotineiro e por isso mesmo *desinteressante*. Ou seja, o fato de a solução envolver o que você chama de "pura tentativa e erro" é para mim exatamente o que torna o problema interessante. Acho que outras pessoas envolvidas com olimpíadas de matemática concordariam comigo. Claro que nada disso impede que se procure transformar o que um dia foi um truque em um método; afinal, a diferença é sutil: acho que foi o Knuth quem definiu um método como um truque que já foi usado com sucesso pelo menos três vezes. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 11...1222...25
"Em geral essa prova do ime nao foi mt dificil nao" Me diz um ano em q a
prova do ime foi mt dificil nos ultimos 10 anos...Houve provas dificeis mas
mt dificeis nao... =]
From: "Renato Lira" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Re: [obm-l] 11...1222...25
Date: Tue, 4 Nov 2003 20:25:07 -0200
vc tem ...111.25 -- (n-1) vezes 1 ... e n
vezes
2...
vc separa em: 1...1 x 10^(n+1) = 10^(n+1)[1 + 10 + 100 + ... +
10^(n-2)]
22 x 10 = 20x( 1 + 10 + 100 + +
10^(n-1))
5
Se voce reparar, fomam PGs.
O numero fica: {[10^(n-1) -1]/10-1]10^(n+1)} + 20[(10^n -1)/10-1] + 5
= 1/9[10^2n + 2x5x10^n + 25] = [(10^n + 5)/3]^2
Logo, eh quadrado pefeito. Em geral essa prova do ime num foi
mto dificil nao.
Renato Lira.
- Original Message -
From: "Luís Guilherme Uhlig" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Tuesday, November 04, 2003 9:54 PM
Subject: Re: [obm-l] 11...1222...25
>
> > Esse numero eh igual ao quadrado de (10^n+5)/3.
>
> Isso é o de menos, quero saber como vc fez =]
>
> Até ;]
>
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] a^3+b^3+c^3 = 3abc
Ola Daniel e demais colegas desta lista ... OBM-L, Muito legal a prova por determinante. Vou tentar produzir uma prova diferente : a + b + c= 0 => a + b = -c => (a+b)^3 = (-c)^3 a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2) + b^3 = -c^3 a^3 + b^3 + c^3 = -3(a^2)b - 3a(b^2) a^3 + b^3 + c^3 = -3ab(a + b) como a + b = -c : a^3 + b^3 + c^3 = -3ab(-c) => a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 um outro legal, bem simples, na mesma linha de raciocinio : Se A + B > CeD + E > F entao ( A,B,C,D,E,F sao reais positivos ) : raiz_quad(A^2 + E^2) + raiz_quad(B^2 + D^2) > raiz_quad(C^2 + F^2) From: "Daniel Faria" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] a^3+b^3+c^3 = 3abc Date: Wed, 05 Nov 2003 03:06:56 -0200 MIME-Version: 1.0 X-Originating-IP: [200.173.170.47] X-Originating-Email: [EMAIL PROTECTED] Received: from mc2-f38.hotmail.com ([65.54.237.45]) by mc2-s6.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Tue, 4 Nov 2003 21:10:26 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc2-f38.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Tue, 4 Nov 2003 21:09:12 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id DAA29324for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 03:07:29 -0200 Received: from hotmail.com (bay8-f8.bay8.hotmail.com [64.4.27.8])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id CAA29320for <[EMAIL PROTECTED]>; Wed, 5 Nov 2003 02:07:28 -0300 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Tue, 4 Nov 2003 21:06:56 -0800 Received: from 200.173.170.47 by by8fd.bay8.hotmail.msn.com with HTTP;Wed, 05 Nov 2003 05:06:56 GMT X-Message-Info: HQbIehuYceSItGGrcCSeWiDHpA256mgG71rW/dGB/hs= Message-ID: <[EMAIL PROTECTED]> X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 05:06:56.0697 (UTC) FILETIME=[A29B3290:01C3A35A] Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] Gostaria de tentar uma resoluçao sobre o enunciado, só que fazendo um caminho inverso: Dado a+b+c=0, quero chegar em a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0. Partindo de: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc Farei a linha acima por determinante: a b c c a b b c a A soma de cada linha deste deteminante eh a+b+c que como jah eh sabido eh zero. logo o determinante acima eh igual a zero. Assim temos: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 e a^3 + b^3 + c^3 = 3abc Por favor me corrijam se eu estiver errado. Obrigado. -- Mensagem original -- >Ola pessoal, > >Depois de alguns meses afastado da lista e sem estudar matematica, pois >estava estudando para um concurso e acabei de faze-lo. Agora eh esperar ansioso > >pelo resultado que sairah em menos de 2 semanas. Para nao ficar off-topic >vou >re-comecar a postar minhas duvidas. Vamos la: > >1) Prove que se a + b + c = 0, entao a^3 + b^3 + c^3 = 3abc > >Obs: Como estou voltando agora, desculpem me se o problema for trivial. >Preciso me desenferrujar aos poucos ;-) em matematica e pegar o ritmo de >novo. > > > -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 11...1222...25
eh...pa demonstrar isso eh soh abrir o numero em fatores de 10 e depois usar conceitos de soma de pg para chegar nesse resultado From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] 11...1222...25 Date: Tue, 04 Nov 2003 19:49:54 -0200 on 04.11.03 20:04, Luís Guilherme Uhlig at [EMAIL PROTECTED] wrote: > 11...1222...25 onde 1 aparece (n - 1) vezes, 2 aparece 'n' vezes > Prove que esse número é um quadrado perfeito. > Esse numero eh igual ao quadrado de (10^n+5)/3. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Parabola
On Tue, Nov 04, 2003 at 07:38:29PM -0200, Angelo Barone Netto wrote: > Citando Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>: > > Eh sabido que 5 pontos determinam uma conica univocamente. > E igualmente sabido (mesma prova) que dados 4 pontos coplanares > (3 a 3 nao colineares) ha uma infinidade de conicas por eles, > das quais UMA UNICA e parabola. Acho que isto é verdade *quase* sempre mas certamente não é verdade sempre. Se os quatro pontos forem os vértices de um quadrado (ou mais geralmente, de um paralelogramo) não existe parábola nenhuma passando pelos quatro. A menos que você considere um par de retas paralelas como uma parábola degenerada, mas neste caso existem *duas* parábolas, e não uma. Uma parábola é uma cônica tangente à reta no infinito. Assim dar quatro pontos e exigir que uma parábola passe por eles é equivalente a dar quatro pontos e uma reta e procurar uma cônica que passe pelos quatro e seja tangente à reta. É parecido com dar 5 pontos, mas o caso especial que precisa ser excluído não é apenas "3 a 3 nao colineares". []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Lixo
Como vocês devem ter percebido, voltamos a receber lixo na lista. A lista está passando a partir de agora a filtrar (= jogar fora) mensagens diagnosticadas como "suspeitas". Isto pode implicar em algumas mensagens legítimas serem indevidamente barradas. Se isto acontecer, entrem em contato comigo. Fora isso, por favor não respondam ao idiota pela lista, é perda de tempo para vocês e para os outros que usam a lista. E também não tentem responder diretamente, ele esconde o próprio endereço, o que aparece é forjado. Tratem as mensagens dele da mesma forma como vocês tratam aquelas mensagens nigerianas com subject "Urgent business proposal", ou seja, ou instalem um filtro ou joguem fora sem ler. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Quadrado da Soma = Soma de Cubos
On Wed, Nov 05, 2003 at 03:58:24AM -0200, Daniel Faria wrote: > Vi a pouco tempo isto e me chamou a atençao: > > ( 1 )^2 = 1^3 > > ( 1 + 2 )^2 = 1^3 + 2^3 > > ( 1 + 2 + 3 )^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 > > .. .. .. ... > > ( 1 + 2 + 3 + 4 + + n )^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + > .+ n^3 > > Série iniciada por 1 com todos os termos naturais. > > Gostaria de uma demonstraçao simples deste fato. Se você quer pura e simplesmente uma demonstração, é fácil dar uma por indução. Você já verificou sozinho até o caso n=3. Suponha (1+2+...+n)^2 = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 e agora faça (1+2+...+n+(n+1))^2 = (1+2+...+n)^2 + 2*(1+2+...+n)*(n+1) + (n+1)^2 = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + n(n+1)^2 + (n+1)^2 = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 Usei aqui a identidade 1+2+...+n = n(n+1)/2 Assim se a identidade que você quer valer para n vale também para n+1... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] hahahahahahha
Caro amigo, Observa o objeto a partir do qual retiras prazer. Julgas-te sadio? Corrigi-te rápido, para teu próprio bem. ATT. João. "Cláudio\(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]Para: <[EMAIL PROTECTED]> .com.br> cc: Enviado Por: Assunto: [obm-l] hahahahahahha [EMAIL PROTECTED] .puc-rio.br 05/11/2003 00:19 Favor responder a obm-l Essa lista me mata de rir.O Lalau não sabe resolver o problema sozinho HAHAHAHHAAHAHAHAHAHAHHHAHHAHHA LALAU IDIOTA,TAPADO VCS Q ESCREVEM ESSAS BABOSEIRAS NESSA LISTA TB SÃO UNS RETARDADOS = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
