Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas]
Bom, eu vou tentar dar umas idéias para você fazer estas questões, qualquer coisa pergunte: Na primeira, note que sen 1 = cos 89, e portanto você pode agrupar os termos dos extremos dois a dois e obter algo como (sen 89)(cos 89) * (sen 87)(cos 87) * ... e prossiga usando fórmulas de somas e produtos, bem como arco duplo, etc. Na segunda, o truque é usar números complexos e somar as duas P.Gs que vão aparecer quando você escrever os cossenos. A terceira já responderam. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Wed, 6 Oct 2004 12:07:53 -0700 (PDT), Felipe Torres [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal. Ando uqebrando a cabeça com três problemas, se puderem me ajudar em algum deles eu agradeço: 1] sabendo que sen1º*sen3º*sen5º.sen87º*sen89º = 2^(-n) determine o valor de 2n 2] Mostre que: 1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx)= = sen[x(2n+1)/2] / 2*sen(x/2) 3] Os ângulos A, B, C de um triângulo satisfazem à equação (senA + senB + senC)*(senA + senB - senC)= 3*senA*senB Determine o ângulo C. Nos dois primeiros eu tentei aplicar a transformação da soma em produto mas não deu mto resultado. acho q me compliquei no desenvolvimento. No terceiro problema eu cheguei à um sistema q acho q n foi o melhor caminho: [senA- sen(A+C)]^2 + senA*sen(A+C) = sen^2C senA*cos(A+C) + sen(A+C)*cosA = senC ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 0! = 1
On Wed, Oct 06, 2004 at 05:42:33PM +, Paulo Santa Rita wrote: E vantajoso definir 0!=1 : isso e tudo que, com sinceridade, um Matematico pode justificadamente dizer ... Alem disso, nao ha nenhuma construcao bem estabelecida e aceita da qual possamos derivar esta convencao como uma necessidade logica, apodictica. Segue dai que, muito provavelmente, estamos tangenciando um objeto que ainda nao compreendemos bem e que devera nos trazer surpresas agradaveis, quem sabe, num futuro nao muito distante ... Nao faz muito tempo que descobriram uma construcao dos numeros binomiais que permite extender este conceito, preservando as qualidades que conhecemos como um caso particular de uma visao mais ampla e que trouxe uma imensa e antes insuspeitada flexibilidade ... Veja o livro do Prof Nicolau a esse respeito : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/papers/q/index.html Quem sabe se a flexibilidade ali introduzida nao pode ser util em outros contextos, em Q-triangulos de Pascal, onde a convencao 0!=1 surja como uma necessidade ? Uma outra maneira de se aproximar deste fenomeno e atraves da funcao gama. Muito ingenuamente afirma-se, com certa frequencia, que esta funcao e uma generalizacao do conceito de fatorial e justifica-se tal assercao apresentando uma propriedade daquela funcao. Ora, podemos contruir miriades de funcoes com esta propriedade e nao existe nenhuma razao mais forte para supormos que a gama e a que deve ser escolhida ... Antes de mais nada obrigado pela referência elogiosa. Mas com todo o respeito, eu não concordo com o tema central da sua mensagem. Acho que os argumentos que foram apresentados nesta lista para justificar a definição 0!=1 são muito fortes, e eu nunca vi nenhum argumento razoável a favor de qualquer outra definição. Quanto à função gama, ela é a única função que satisfaz g(x+1) = x g(x), [Notem que por alguma razão histórica estranha definimos a função gama de tal maneira que g(n) = (n+1)! ] g(1) = 1 e tal que a função log(g(x)) é convexa para x suficientemente grande: eu pelo menos considero esta uma razão mais forte para escolhermos a função gama como a generalização mais interessante da função fatorial. É verdade que existem outras funções, mas eu não conheço nenhuma que tenha uma caracterização de elegância comparável. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Divisores negativos
On Wed, Oct 06, 2004 at 05:30:33PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: A Prova de Matematica do ITA em 2003 apresentou a seguinte questao: Qual e o numero de divisores de 17 640 que, por sua vez, sao divisiveis por 3 ? A resposta correta, considerando divisores positivos e negativos, e 96. Porem nao tinha nenhuma alternativa com esta resposta, apenas com a resposta 48, ou seja, apenas considerando o numero de divisores positivos. Acredito que seja esta a questao a que o Prof. Nicolau esteja se referindo. Não, não era. Aliás eu acho a questão do ITA perfeitamente razoável dado que a resposta 96 não constava entre as opções; se existissem as *duas* opções (96 e 48), acho que a questão deveria ser anulada. A questão de que eu falava caiu no vestibular Cesgranrio de 1980-1981, não esclarecia se divisores negativos deveriam ser contados ou não, tinha as duas opções e foi anulada, como a meu ver deveria mesmo ser. Como já disse, acho bobagem falar de divisores negativos na escola. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] 0! = 1
Ola Prof Nicolau ! Mas com todo o respeito, eu não concordo com o tema central da sua mensagem. Acho que os argumentos que foram apresentados nesta lista para justificar a definição 0!=1 são muito fortes, e eu nunca vi nenhum argumento razoável a favor de qualquer outra definição. Eu tambem acho que 0!=1, mais, conforme voce sem duvida sabe, ARGUMENTAR NAO E PROVAR. Tambem com todo respeito, vou tentar colocar mais claramente o que eu acho. Dizer que 0! = 1 e uma convencao MUITO UTIL, pois todas as implicacoes que dai surgem sao corretas, a utilizacao que damos a elas sao verificaveis e as formulas ficariam muito complicadas se adotassemos uma posicao diferente. Alem disso, ha varias argumentos externos que reforcam a nossa fe nesta igualdade. Mas, convenhamos, e uma igualdade estranha ... Como era estranho o 5 postulado de Euclides, nao obstante ele ter sido por seculos, MUITO UTIL, pois todas as implicacoes que dele surgiam eram corretas, a utilizacao que faziamos eram verificaveis e as formulas ficariam muito complicadas se se adotasse uma posicao diferente. Alem disso, haviam varios argumentos externos que reforcam a nossa fe naquele postulado. Bom, o resto da historia acima voce conhece ... Tambem era estranho a coincidencia entre as massas inercial e gravitacional, nao obstante essa igualdade fosse MUITO UTIL, com todas as implicacoes que toda grande utilidade comporta, tal como descrevi acima. Tambem aqui, voce deve conhecer o resto da historia ... Em suma, a historia da Ciencia e da Matematica em particular, esta carregada de exemplos de PROGRESSOS ESPETACULARES que surgem quando buscamos uma compreensao mais profunda de alguma CONVENIENCIA ou ESTRANHEZA aceita sem maiores perguntas por muito tempo ...Eu sei que falar isso pra voce e querer ensinar o padre a rezar missa, mas estou apenas tentando tornar claro a minha posicao. 0! = 1 e muito estranho ! Eu tenho visto N argumentos que reforcam a nossa fe nesta igualdade, acredito nela, mas, voce vai concordar comigo, argumento nao e prova : e eu acho que e possivel derivar este resultado logicamente de uma teoria mais ampla, isto e, e possivel ter uma compreensao mais profunda sobre estes fatos de maneira que, longe de ser uma mera convencao, ele seja um teorema ou necessidade em uma teoria mais ampla ... E acho mais, acho que o desenvolvimento que voce fez sobre numeros quanticos pode ajudar muito neste sentido e e uma das razoes de eu ter entusiasmo por estas coisas. Quanto à função gama, ela é a única função que satisfaz g(x+1) = x g(x), [Notem que por alguma razão histórica estranha definimos a função gama de tal maneira que g(n) = (n+1)! ] g(1) = 1 e tal que a função log(g(x)) é convexa para x suficientemente grande: eu pelo menos considero esta uma razão mais forte para escolhermos a função gama como a generalização mais interessante da função fatorial. É verdade que existem outras funções, mas eu não conheço nenhuma que tenha uma caracterização de elegância comparável. Concordo ! E e esta elegancia e simetria a que voce se refere que mais reforcam a nossa FE de que a funcao gama e a generalizacao natural do fatorial. Mas - e aqui e um mas bem grande - nos nao podemos ficar so na FE ... Voce pode mostrar que nenhuma outra funcao imaginavel pode pretender ser a generalizacao do conceito de fatorial ? Voce SENTE que deve ser assim. Eu tambem sinto, mas tambem sinto que uma tal prova vai exigir um tratamento do conceito de fatorial no qual, entre outras coisas, a nossa tao discutida estranheza, 0! = 1, seja compreendida de uma maneira mais profunda ... ME PARECE que fica dificil produzir uma tal prova porque muitas coisas importantes relacionadas estao ainda muito soltas, tratadas e compreendidas ainda muito chao e sem as formalizacoes adeguadas. Pra voce, com os meus melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 5,1023,071004 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] raiz(a+raiz(a+raiz(....
Esta sequencia que estamos discutindo pode ser generalizada, conforme um dos colegas afirmou. Sendo a=0, definamos x[1] = raiz(a) x[n+1] = raiz(a+x[n]) Para todo u=0, raiz(a+u) =u - a+u u^2. Desta inequacao do 2o grau, resulta que raiz(a+u) = u - 0= u = r =(1+raiz(1+4a))/2. Temos que r = 1/2 +(1/2)(raiz(1+4a)), o que, pela desigualdade de Bernouille, implica que r = 1/2 + (1/2)(1+2a) = 1+a. Se 0=a=1, entao raiz(a) = 1 = 1 + a Se a1, entao raiz(a) a 1+a, de modo que raiz(a) = 1+a para todo a=0. Logo x[1]=1+a Se x[n]=1+a para algum n, entao x[n+1] =raiz(a+x[n]) = raiz(1+2a) = 1+(2a/2) = 1+a, pela desigualdade de Bernouille. Logo x[n] eh limitada superiormente por 1+a. E como x[n] =1+a = r para todo n, temos, conforme vimos, que x[n+1] = raiz(a+x[n]) = x[n], o que mostra que x[n] eh monotonicamente crescente. Logo, x[n] converge para a raiz postiva de raiz(a+u) =u, que jah vimos que eh r =(1+raiz(1+4a))/2. Se a0, temos uma interessante sequencia complexa. Serah que converge? Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Álgebra/Extensões finitas de Corpos
Pessoal,
Alguém poderia me ajudar com a seguinte problema:
Sejam K um corpo e F um subcorpo de K. Se a e b
são elementos de K algébricos sobre F com graus m
e n, respectivamente, (ou seja m e n são os graus
dos polinôminos irredutíveis que têm, respectivamente,
a e b com raízes) tais que mdc(m,n)=1 então a dimensão
da extensão simples F(a,b) sobre F é m*n (ou seja, a
dimensão de F(a,b) com espaço veotioral sobre F é m*n).
Já vi que se m e n não forem relativamente primos
então [F(a,b):F]m*n. O exemplo que usei foi:
K= R = conj. dos reais; F= Q conj. dos racionais.
\sqrt[2]{2}=Raiz quadrada de 2 tem polinômio mínimo
X^2+2 e F(\sqrt[2]{2})=[1,\sqrt[2]{2}] = gerado por
{1,\sqrt[2]{2}} com coeficientes em Q;
\sqrt[4]{2}= Raíz quarta de 2 tem polinômio minimo
X^4+2, F(\sqrt[4]{2})=[1,\sqrt[4]{2},\sqrt[4]{4},\sqrt
[4]{8}].
Naturalmente, F(\sqrt[2]{2} está contido em F(\sqrt[4]
{2}).
Agradeço por qualquer ajuda.
Um abraço,
Luiz Gustavo
__
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Re: [obm-l] Álgebra/Extensões finitas de Corpos
Basta provar que b tem grau n sobre F(a), pois nesse caso teremos
[F(a,b):F(a)] = n e, portanto,[F(a,b):F] = [F(a,b):F(a)]*[F(a):F] = n*m.
Suponhamos que [F(a,b):F(a)] = r e [F(a,b):F(b)] = s.
Entao, teremos:
[F(a,b):F] = [F(a,b):F(a)]*[F(a):F] = r*m
e tambem
[F(a,b):F] = [F(a,b):F(b)]*[F(b):F] = s*n.
Logo, r*m = s*n e, como mdc(m,n) = 1, concluimos que r = k*n e s = k*m, para
um dado inteiro positivo k.
Mas tambem eh verdade que o polinomio minimal de b sobre F(a) tem grau igual
ou inferior ao do polinomio minimal de b sobre F.
Ou seja, r = [F(a,b):F(a)] = [F(b):F] = n.
Dai temos que r = k*n = n ==
k = 1 ==
k = 1 ==
r = [F(a,b):F(a)] = n.
[]s,
Claudio.
on 07.10.04 13:34, lgita-2002 at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pessoal,
Alguém poderia me ajudar com a seguinte problema:
Sejam K um corpo e F um subcorpo de K. Se a e b
são elementos de K algébricos sobre F com graus m
e n, respectivamente, (ou seja m e n são os graus
dos polinôminos irredutíveis que têm, respectivamente,
a e b com raízes) tais que mdc(m,n)=1 então a dimensão
da extensão simples F(a,b) sobre F é m*n (ou seja, a
dimensão de F(a,b) com espaço veotioral sobre F é m*n).
Já vi que se m e n não forem relativamente primos
então [F(a,b):F]m*n. O exemplo que usei foi:
K= R = conj. dos reais; F= Q conj. dos racionais.
\sqrt[2]{2}=Raiz quadrada de 2 tem polinômio mínimo
X^2+2 e F(\sqrt[2]{2})=[1,\sqrt[2]{2}] = gerado por
{1,\sqrt[2]{2}} com coeficientes em Q;
\sqrt[4]{2}= Raíz quarta de 2 tem polinômio minimo
X^4+2, F(\sqrt[4]{2})=[1,\sqrt[4]{2},\sqrt[4]{4},\sqrt
[4]{8}].
Naturalmente, F(\sqrt[2]{2} está contido em F(\sqrt[4]
{2}).
Agradeço por qualquer ajuda.
Um abraço,
Luiz Gustavo
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[obm-l] vetores
Se alguém puder ajudar : Uma partícula partindo do ponto (1/sqrt(3),0) se move com vetor posição p(t)=(x(t),y(t)).Sabe-se que o vetor velocidade V(t)=(-y(t),3x(t)). a)Mostre que em cada instante t , o vetor aceleração é paralelo ao vetor posição. b)Determine o vetor posição p(t). c)Mostre que a curva descrita pela partícula é uma elipse. No item a, eu fiz : p(t)=(x(t),y(t)) p(t)=(x(t),y(t)) , mas V(t)=(-y(t),3x(t)) Igualando as componentes : x(t)= -y(t) x(t)= -y(t) = -3x(t) [i] , e y(t) = 3x(t) y(t) = 3x(t) = -3y(t) [ii] Como p(t) = A(t) = (x(t),y(t)) ,substituindo [i] e[ii] : A(t) = (-3x(t),-3y(t)) = (-3)*(x(t),y(t)) = (-3)*(p (t)) , assim eles são paralelos,pois A(t) é igual a p (t) vezes um escalar , -3 . Eu cheguei a ver uma outra solução utilizando produto vetorial e concluindo que o ângulo entre eles é 180. Alguma idéia esperta para os outros itens ? []'s Luiz H. Barbosa __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Matrizes
Prove que se uma matriz Anxn tiver suas colunas formando um subespaço vetorial , então ela é invertível . []'s Luiz H. Barbosa __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Provando que n^(1/p) eh irracional
Oi, Sabemos que se n1 e p1 sao inteiros tais que n nao eh uma potencia perfeita de p, entao n^(1/p) eh irracional. Eu conheco uma prova deste fato baseada em contradicao, a qual vem a ser uma extensao daquela classica prova de que raiz(2) eh irracional. Admitindo-se que n^(1/p) seja racional e sendo q1 e q20 inteiros primos entre si tais que q1/q2 = n^(1/p), acabamos chegando aa contradicao de que q1 e q2 tem divisores comums diferentes da unidade. Minha pergunta: serah que existe alguma outra prova que nao se baseie em contradicao e permita sentir melhor o porque de tal fato? Obrigada. Ana __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
on 07.10.04 16:06, Luiz H. Barbosa at [EMAIL PROTECTED] wrote: Prove que se uma matriz Anxn tiver suas colunas formando um subespaço vetorial , então ela é invertível . []'s Luiz H. Barbosa Esse enunciado nao estah legal, pois as colunas de qualquer matriz mxn gera (palavra usado normalmente, e nao forma) um subespaco vetorial de F^m, onde F eh o corpo dos coeficientes. Talvez voce queira dizer que se as colunas de uma matriz A nxn geram F^n entao esta matriz eh invertivel. Uma forma de provar isso eh a seguinte: as colunas de A geram F^n == o sistema Ax = b possui solucao qualquer que seja o vetor nx1 b == em particular, sejam x_1, x_2, ..., x_n solucoes dos sistemas: Ax = e_1, Ax = e_2, ..., Ax = e_n, onde e_i = vetor nx1 com 1 na i-esima linha e 0 nas demais linhas == a matriz C, cujas colunas sao x_1, x_2, ..., x_n, eh tal que AC = I == A eh invertivel e C eh sua inversa. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Provando que n^(1/p) eh irracional
Oi Ana, Lendo sua pergunta, me ocorreu a seguinte prova, que acho que nao eh muito difundida. Temos que n^(1/p) eh raiz do polinomio P dado por P(x) = x^p - n, cujos coeficientes sao reais inteiros. Se r eh racional, entao existem inteiros q1 e q20, primos entre si, tais que r = q1/q2. O teorema das raizes racionais nos diz entao que, se r eh raiz de P, entao q1 divide -n e q2 divide 1. Neste caso, temos entao, necessariamente, que q2 = 1 ou q2= -1, o que signfica que r = + ou - q1 eh e que r eh, portanto, um numero inteiro, divisor de n. Mas, por hipotese, nao existe nenhum inteiro q1 tal que q1^p = n, o que nos mostra que nenhum real racional pode ser raiz de P. Como n^(1/p) eh, efetivamente, uma raiz real de P, segue-se necessariamente que n^(1/p) eh irracional. Vc acha que esta prova permite ver melhor o que estah acontecendo? Observe que seria perfeitamente possivel manobrar as palavras de modo que esta mesma prova fosse por contradicao. Assim como tambem seria possivel manobrar as palavras de modo que as provas que vc citou nao fossem por contradicao Muitas vezes o que faz com que uma prova seja por contradicao, contraposicao, ou uma prova direta eh apenas a forma segundo a qual se colocam as palavras. Por exemplo, a prova do teorema de Euclides da infinitude dos primos eh usualmente apresentada por contradicao. Assume-se que existem um numero apenas finito de primos e chega-se a uma contradicao, geralmente a de que um primo p divide 1. Entretanto, utilizando-se exatamente os mesmos argumentos logicos, poderiamos modificar um pouco as palavras e mostrar que com um conjunto finito de numeros primos nao conseguimos expandir em fatores primos a totalidade dos numeros inteiros. Como o T. Fundamental da Aritmetica garante que isto eh possivel, concluimos, sem recorrer a contradicao, que tem que existir uma infinidade de numeros primos. E assim como este, hah muitos de teoremas na matematica cujas provas sao ou nao por contradicao dependendo apenas de como se colocam as palavras. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Provando que n^(1/p) eh irracional Data: 07/10/04 15:25 Oi, Sabemos que se n1 e p1 sao inteiros tais que n nao eh uma potencia perfeita de p, entao n^(1/p) eh irracional. Eu conheco uma prova deste fato baseada em contradicao, a qual vem a ser uma extensao daquela classica prova de que raiz(2) eh irracional. Admitindo-se que n^(1/p) seja racional e sendo q1 e q20 inteiros primos entre si tais que q1/q2 = n^(1/p), acabamos chegando aa contradicao de que q1 e q2 tem divisores comums diferentes da unidade. Minha pergunta: serah que existe alguma outra prova que nao se baseie em contradicao e permita sentir melhor o porque de tal fato? Obrigada. Ana OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Álgebra/Monomorfismo Corpos Primos
Alguém saberia esclarecer esta sutileza:
1)Seja K é um corpo de característica p0. Se f:K-K, f
(x)=(x)^{p} para todo elemento de K então f é um
monomorfismo.
Pensei ter entendido satisfatoriamente a demonstração
mas, lendo um pouco mais me deparei com:
2)Se K é um corpo primo e f é um monomorfismo então
f(x)=x.
Qual a sutileza? As duas afirmações acima me parecem
contraditórias se o corpo for de caracterísitca p0!
Em 2) eu conseguir porvar a identidade apenas no caso
do corpo primo ter característica zero (isomorfo a Q).
Minha demonstração está abaixo. Alguém poderia me
ajudar com o caso de corpo de característica p0??
Sei que essencialmente existem apenas dois corpos
primos: Q (racionais) e Z_{p}.
Para demonstrar em Q que f(q)=q fiz:
f(1)=1,
f(1+1)=f(1)+f(1)=1+1=2
Por indução
f(m)=m;
Ainda se n é diferente de zero temos que
f(n)!= 0 (diferente de zero) pois f é monomorfismo;
Assim, seja n um inteiro nao-nulo:
1=f(1)=f(n*n^(-1))=f(n)*f(n^(-1)) -
f(n^(-1))=f(n)^(-1)
Mas f(n)=n se n é inteiro = f(n^(-1))=1/n
Portanto, se f(m/n)=m/n o que termina a demonstraçao
no caso do corpo ter caracteristica zero (isomorfo a Q)
Para o caso de corpos de característica p0 não
consegui concluir nem perceber a sutileza com relação
a afirmação 1.
Um abraço,
Luiz Gustavo
__
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Re: [obm-l] 0! = 1
On Thu, Oct 07, 2004 at 01:24:17PM +, Paulo Santa Rita wrote: Ola Prof Nicolau ! A sua mensagem foi muito interessante e peço desculpas por dar uma resposta tão sucinta. Mas com todo o respeito, eu não concordo com o tema central da sua mensagem. Acho que os argumentos que foram apresentados nesta lista para justificar a definição 0!=1 são muito fortes, e eu nunca vi nenhum argumento razoável a favor de qualquer outra definição. Eu tambem acho que 0!=1, mais, conforme voce sem duvida sabe, ARGUMENTAR NAO E PROVAR. Tambem com todo respeito, vou tentar colocar mais claramente o que eu acho. Claro que não se trata de provar. Estamos discutindo qual é a definição mais natural, mais interessante. Dizer que 0! = 1 e uma convencao MUITO UTIL, pois todas as implicacoes que dai surgem sao corretas, a utilizacao que damos a elas sao verificaveis e as formulas ficariam muito complicadas se adotassemos uma posicao diferente. Alem disso, ha varias argumentos externos que reforcam a nossa fe nesta igualdade. Mas, convenhamos, e uma igualdade estranha ... É este o ponto em que parecemos discordar. Eu não vejo 0! = 1 como estranha. Não me parece mais estranha do que, digamos, (-1)*(-1) = 1, e certamente o famoso 0^0 = 1 tem mais motivos para gerar polêmica. Como já disse, não vejo nenhum argumento a favor de outra definição. Nem acho que devessemos dizer que 0! = 1 é uma convenção, a não ser que universalizássemos o uso da palavra convenção (tornando-a inútil) e disséssemos também que 0+0 = 0 é uma convenção. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] OBM - 03
oi. Eu acho q se fizer f(x)x^2 + 5x + 23 para x= -1 a gente acha 16 logo 2 divide 16 e é o menor primo positivo. --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote: Tem um modo bem esperto: tente fazer algo como f(y)=y^2+y+k=x^2+5x+23 e as cointas ficam faceis. Para mmelhor esperteza, calcule f(0),f(1),f(-1),... e voce percebe que aparecem muitos primos na sequencia. E ai o menor deles e 17. --- Marcelo Ribeiro [EMAIL PROTECTED] escreveu: Bom, acho que é mais simples observar que, para x=23, existe um primo (no caso o próprio 23) que divide x^2+5x+23. Bom, isso restringe bastante o nosso universo no problema, pois basta analisar os restos de x^2+5x+23 pelos primos menores que 23, ou seja, 2,3,5,7,11,13,17,19. Que não são muitos...fazendo essas contas, você confere que o cara onde existe x possível é o 17! =) Se lembro bem foi assim que fiz esse problema. ;) []'s, Marcelo A situação, o problema em si devem ser vistos como um todo. Não somente o aprendiz considera a situação como um todo, como o professor deve apresentar-lhe a situação como um todo, para, então, desmembrar o todo em partes, não o contrário Wertheimer João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] wrote: Não sei se esta foi a idéia do Cláudio, mas vamos tentar... f(x) = x2 + 5x + 23, para x inteiro, o menos valor de f(x) = 17 quando x=-2 seja d(x) = f(x+1) - f(x) = (x2 + 2x+1) - x2 + (5x + 5) - 5x +23 - 23 = 2x + 6 d(-2) = 2 d(-1) = 4 d(0) = 6 ... Logo, os possíveis valores de f(x) serão da forma 17 + (2+4+6++2*m) = 17 + 2*(1+2+3+...+m) = 17 + m*(m+1) daí, basta analisar os módulos ara cada primo tirando o módulo, temos: Termo1 Termo 2 mod(17) + mod(m) * mod(m+1) os valores possíveis para o termo 2 são: 0; 2; 6; 12; 20; 30 (0*1, 1*2, 2*3, ...) para primo 2, termo 1 = 1 e termo 2 = 0 para primo 3, termo 1 = 2 e termo 2 = 0 ou 2 para primo 5, termo 1 = 2 e termo 2 = 0, 2, 1 para primo 7, termo 1 = 3 e termo 2 = 0, 2, 6, 5 para primo 11, termo 1 = 6 e termo 2 = 0, 2, 6, 1, 9, 8 para primo 13, termo 1 = 4 e termo 2 = 0, 2, 6, 12, 7, 4, 3 Logo, 17 é o menor primo.. sds jg -Original Message- From: claudio.buffara [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, September 22, 2004 2:44 PM To: obm-l Subject: Re:[obm-l] OBM - 03 De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 22 Sep 2004 15:08:31 + Assunto: [obm-l] OBM - 03 Queria q vcs me ajudassem nessa aqui ... Determine o menor número primo positivo que divide x^2 + 5x + 23 para algum inteiro x. Dica: Inicialmente faça algumas explorações numéricas com valores inteiros de x em torno do ponto de mínimo de f(x) = x^2 + 5x + 23 a fim de obter uma conjectura. Para provar esta conjectura, lembre-se de que se, para algum inteiro x, f(x) é divisível por n, então se você tomar n valores inteiros consecutivos de x, algum dos f(x) correspondentes será divisível por n (por que?). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Messenger 6.0 - jogos, emoticons sonoros e muita diversão. Instale agora! ___ Yahoo! Messenger 6.0 - jogos, emoticons sonoros e muita diversão. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] numero primo para (x^2 + 5x+ 23)
n precisam nem comentar a msg anterior... hehehe foi mal. mas pelo menos eu achei isto; se fizermos x=23*3 temos x^2 + 5x+ 23 = 9*23*23 + 5*23 +23 = = (9*23 + 6)*23 = (207 + 6)*23 = 2*109 logo é divisível por 2 []s espero ter compensado a msg anterior __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] numero primo para (x^2 + 5x+ 23)
Um probleminha pra voce: Prove que x^2 + 5x + 23 eh sempre impar, qualquer que seja x inteiro. []s, Claudio. on 07.10.04 17:37, Felipe Torres at [EMAIL PROTECTED] wrote: n precisam nem comentar a msg anterior... hehehe foi mal. mas pelo menos eu achei isto; se fizermos x=23*3 temos x^2 + 5x+ 23 = 9*23*23 + 5*23 +23 = = (9*23 + 6)*23 = (207 + 6)*23 = 2*109 logo ? divis?vel por 2 []s espero ter compensado a msg anterior = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] numero primo para (x^2 + 5x+ 23)
From: Felipe Torres [EMAIL PROTECTED] n precisam nem comentar a msg anterior... hehehe foi mal. Ta bom... entao vou comentar so essa mas pelo menos eu achei isto; se fizermos x=23*3 temos x^2 + 5x+ 23 = 9*23*23 + 5*23 +23 = Aqui vc usou x=23*3 no primeiro termo e x=23 no segundo Corrigindo: x^2 + 5x+ 23 = 9*23*23 + 5*23*3 +23 = = (9*23 + 6)*23 = (207 + 6)*23 = 2*109 Aqui esta erro numero 2. Tanto o correto, que seria (207 + 16)*23, ou o que vc escreveu, (207 + 6)*23, sao impares e portanto NAO sao divisiveis por 2. logo é divisível por 2 []s espero ter compensado a msg anterior _ Dont just search. Find. Check out the new MSN Search! http://search.msn.click-url.com/go/onm00200636ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Álgebra/Monomorfismo Corpos Primos
on 07.10.04 17:06, lgita-2002 at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Alguém saberia esclarecer esta sutileza:
1)Seja K é um corpo de característica p0. Se f:K-K, f
(x)=(x)^{p} para todo elemento de K então f é um
monomorfismo.
Pensei ter entendido satisfatoriamente a demonstração
mas, lendo um pouco mais me deparei com:
2)Se K é um corpo primo e f é um monomorfismo então
f(x)=x.
Qual a sutileza? As duas afirmações acima me parecem
contraditórias se o corpo for de caracterísitca p0!
A sutileza eh que, em Z_p, x^p = x (isso nada mais eh do que o pequeno
teorema de Fermat).
Em 2) eu conseguir porvar a identidade apenas no caso
do corpo primo ter característica zero (isomorfo a Q).
Minha demonstração está abaixo. Alguém poderia me
ajudar com o caso de corpo de característica p0??
O corpo primo de caracteristica p eh Z_p.
Basta ver que, como f eh um monomorfismo, teremos:
f(0) = 0,
f(1) = 1,
f(2) = f(1+1) = f(1)+f(1) = 1+1 = 2
...
f(p-1) = f((p-2)+1) = f(p-2)+f(1) = (p-2)+1 = p-1
[]s,
Claudio.
Sei que essencialmente existem apenas dois corpos
primos: Q (racionais) e Z_{p}.
Para demonstrar em Q que f(q)=q fiz:
f(1)=1,
f(1+1)=f(1)+f(1)=1+1=2
Por indução
f(m)=m;
Ainda se n é diferente de zero temos que
f(n)!= 0 (diferente de zero) pois f é monomorfismo;
Assim, seja n um inteiro nao-nulo:
1=f(1)=f(n*n^(-1))=f(n)*f(n^(-1)) -
f(n^(-1))=f(n)^(-1)
Mas f(n)=n se n é inteiro = f(n^(-1))=1/n
Portanto, se f(m/n)=m/n o que termina a demonstraçao
no caso do corpo ter caracteristica zero (isomorfo a Q)
Para o caso de corpos de característica p0 não
consegui concluir nem perceber a sutileza com relação
a afirmação 1.
Um abraço,
Luiz Gustavo
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[obm-l] Cordas no grafico de uma funcao
A funcao f: R - R eh duas vezes diferenciavel e f''(x) 0 para todo x real. Prove que duas cordas quaisquer no grafico de f nao se bisectam. (uma corda eh um segmento de reta que une dois pontos distintos do grafico de f). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Semelhanca de Triangulos
Sao dados os triangulos ABC e PQR, com medianas AD e PS, respectivamente. Valem as seguintes igualdades de angulos: BAD = QPS e CAD = RPS. Prove que ABC e PQR sao semelhantes. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Nao-quadrados perfeitos
Prove que 2^n + 3^n nao eh quadrado perfeito para nenhum inteiro positivo n. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Nao-quadrados perfeitos
Claudio Buffara wrote: Prove que 2^n + 3^n nao eh quadrado perfeito para nenhum inteiro positivo n. 2^n + 3^n é ímpar, logo se x^2 = 2^n + 3^n então x^2 ~ 1 (mod 4). para n = 2, temos que x^2 ~ 3^n (mod 4), logo n é par. seja n = 2r. 2^(2r) + 3^(3r) = x^2 3^(2r) = (x - 2^r)(x + 2^r) como 3 é primo, devemos ter, para algum inteiro s x - 2^r = 3^s (1) x + 2^r = 3^(2r - s) (2) (1) + (2) : 2x = 3^s + 3^(2r - s) note que s 2r - s e, portanto, 3^s divide x mas se s 0 então 2^n = x^2 - 3^n e 3 divide o lado direito, o que é absurdo. se s = 0, então x - 2^r = 1 = x = 2^r + 1 x + 2^r = 2^(r + 1) + 1 3^(2r), absurdo. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas]
Vamos lá, primeiro vamos fazer a segunda: 2) Mostre que: D=1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx)= sen[x(2n+1)/2] / 2*sen(x/2) Essa igualdade é valida se, e somente se, 2*sen(x/2)*( 1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx))= sen[x(2n+1)/2]. Assim: D= 2*sen(x/2)*( 1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx)) = sen(x/2) + 2*sen(x/2)*cos(x) + 2*sen(x/2)*cos(2x) ++ 2*sen(x/2)*cos(nx). Note que 2*sen(x/2)*cos(kx)= sen((x/2)*(2k+1)) - sen((x/2)*(2k-1)) (utilizando a formula de produto em soma). Assim temos: D= sen(x/2) + sen((x/2)*3) - sen((x/2)) + sen((x/2)*5) - sen((x/2)*3) + sen((x/2)*7) - sen((x/2)*5) + ... + sen((x/2)*(2n+1)) - sen((x/2)*(2n-1)) Fazendo as devidas simplificaçoes temos: D= sen((x/2)*(2n+1)), como queriamos demontrar. Agora vamos ao primeiro problema: 1) sabendo que D= sen1º*sen3º*sen5º.sen87º*sen89º = 2^(-n) determine o valor de 2n Note que sen(89)=cos(1), sen(87)= cos(3), sen(85)= cos(5), sen(83)= cos(7),..., sen(47)=cos(43). Olhando para o produto D, de forma diferente temos: D= sen(45)*[sen(1)*sen(89)]*[sen(3)*sen(87)]*...[sen(43)*sen(47)]= sen(45)*[sen(1)*cos(1))]*[sen(3)*cos(3)]*...[sen(43)*cos43] Sabemos que sen(2x)= 2*sen(x)*cos(x), logo: D= (2^(-22))*sen(45)*sen(2)*sen(6)*sen(10)*...*sen(46) Porem sen(45)*sen(2)*sen(6)*sen(10)*...*sen(46) nao pode ser trivialmente calculado... e mesmo que pudesse ser calculado facilmente e ele nao seria potencia de 2, logo o enunciado deve estar errado. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] vetores
Se alguém puder ajudar : Uma partícula partindo do ponto (1/sqrt(3),0) se move com vetor posição p(t)=(x(t),y(t)).Sabe-se que o vetor velocidade V(t)=(-y(t),3x(t)). a)Mostre que em cada instante t , o vetor aceleração é paralelo ao vetor posição. b)Determine o vetor posição p(t). c)Mostre que a curva descrita pela partícula é uma elipse. b)(-y(t);3x(t))=(x'(t);y'(t)) -x'(t)=y(t) (I) y'(t)=3x(t) (II) Derivando I com relação a t, vem y'(t) = -x''(t) (III) Substituindo III em II, vem x''(t)+3x(t)=0 (Eq. dif. ord. linear homogênea) Para determinar x(t), basta portanto resolver o PVI: x''(t)+3x(t)=0 x(0)=1/sqrt(3) (supondo que o corpo parta da origem dos tempos) Dai basta resolver esta EDO linear pela meta-variação dos parâmetros, por exemplo, e substituir a condição de contorno para encontrar a constante (Essa parte deixo para você). Encontrado x(t) deriva-se com relação a t e substitua x'(t) em I para encontrar y(t). Assim você terá o vetor posição. Essa parte deixo para você. Até mais. Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] MELHOR PREDIÇÃO!
Ok! Pessoal! Grato pela atenção de resposta, pois desconhecia o porquê do 0!=1? Um departamento do governo cria cinco grupos para estudar o problema da discriminação de sexo em empregos. Os grupos contém 1, 2, 5, 1 e 6 mulheres e são encaminhados aleatoriamente a várias cidades. O prefeito de uma cidade contrata um consultor para predizer quantas mulheres estarão no grupo enviado à sua cidade. O consultor será remunerado com $100 mais um bônus de $200 se sua predição estiver certa. Qual predição maximiza a importância que o consultor pode ganhar? Suponha que o consultor receba $300 menos uma importância igual a 40 vezes o valor absoluto do seu erro. Que predição maximizará a importância que ele espera ganhar? Suponha que o consultor receba $300 menos uma importância igual a 20 vezes o quadrado do erro. Qual predição maximizará a quantia que ele pode esperar ganhar? Em cidades grandes é possível com uma amostragem pequena, 1000 eleitores, por exemplo, prever o resultado das eleições com certa segurança. Mas numa cidade pequena, com cerca de 2000 eleitores, digamos, é possível usar uma amostra de 30 pessoas e ter a mesma segurança? Existe uma proporcionalidade entre o tamanho da amostra e a população? Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas]
Eu nao concordo com sua solucao ! Voce ja partiu do resultado que queremos demonstrar. O resultado e verdadeiro e voce so fez provar a igualdade. A ideia e a seguinte: a) Substitua cos(kx)=[exp(ikx)+(exp(-ikx)]/2 b) Entao, agrupe em duas somas: S = (1/2) + S1 + S2, S1 = [exp(ix)+exp(i2x)+...+exp(inx)]/2 S2 = [exp(-ix)+exp(-i2x)+...+exp(-inx)]/2 c) Use a formula da soma de uma serie geometrica para S1 e S2. d) Fazendo umas breves manipulacoes chega ao resultado. Se nao conseguir, me avise, que eu mando a solucao completa para a lista. From: Edward Elric [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas] Date: Thu, 07 Oct 2004 23:20:53 + Vamos lá, primeiro vamos fazer a segunda: 2) Mostre que: D=1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx)= sen[x(2n+1)/2] / 2*sen(x/2) Essa igualdade é valida se, e somente se, 2*sen(x/2)*( 1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx))= sen[x(2n+1)/2]. Assim: D= 2*sen(x/2)*( 1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx)) = sen(x/2) + 2*sen(x/2)*cos(x) + 2*sen(x/2)*cos(2x) ++ 2*sen(x/2)*cos(nx). Note que 2*sen(x/2)*cos(kx)= sen((x/2)*(2k+1)) - sen((x/2)*(2k-1)) (utilizando a formula de produto em soma). Assim temos: D= sen(x/2) + sen((x/2)*3) - sen((x/2)) + sen((x/2)*5) - sen((x/2)*3) + sen((x/2)*7) - sen((x/2)*5) + ... + sen((x/2)*(2n+1)) - sen((x/2)*(2n-1)) Fazendo as devidas simplificaçoes temos: D= sen((x/2)*(2n+1)), como queriamos demontrar. Agora vamos ao primeiro problema: 1) sabendo que D= sen1º*sen3º*sen5º.sen87º*sen89º = 2^(-n) determine o valor de 2n Note que sen(89)=cos(1), sen(87)= cos(3), sen(85)= cos(5), sen(83)= cos(7),..., sen(47)=cos(43). Olhando para o produto D, de forma diferente temos: D= sen(45)*[sen(1)*sen(89)]*[sen(3)*sen(87)]*...[sen(43)*sen(47)]= sen(45)*[sen(1)*cos(1))]*[sen(3)*cos(3)]*...[sen(43)*cos43] Sabemos que sen(2x)= 2*sen(x)*cos(x), logo: D= (2^(-22))*sen(45)*sen(2)*sen(6)*sen(10)*...*sen(46) Porem sen(45)*sen(2)*sen(6)*sen(10)*...*sen(46) nao pode ser trivialmente calculado... e mesmo que pudesse ser calculado facilmente e ele nao seria potencia de 2, logo o enunciado deve estar errado. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] OBM - 03
Determine o menor número primo positivo que divide x^2 + 5x + 23 para algum inteiro x. Eu pensei assim: x^2 + 5x + 23 =(x+2)(x+2)+1.(x+2)+17=(x+2)(x+3)+17 Observe que x^2 + 5x + 23 é impar para qualquer x natural. A parcela (x+2)(x+3) é par e 17 é impar. É imediato que 2 não divide x^2 + 5x + 23 pelo fato desta ser sempre ímpar. Logo o menor primo que divide x^2 + 5x + 23 é um certo p ímpar. Nota se que p nunca divide (x+2)(x+3) pois o dividendo e o divisor têm paridades distintas. Já a segunda parcela é divisível por um único primo natural, 17. A partir dai encontrei resultados estranhos. Alguém tem uma ideia para continuar a partir daqui ? Até mais. Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas]
A prova do Edward me parece estar perfeita. Ele não usou hora alguma o que queria provar. Apenas demonstrou um resultado obviamente equivalente ao pedido (como ele mesmo mencionou). []s Marcio - Original Message - From: LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 07, 2004 9:42 PM Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas] Eu nao concordo com sua solucao ! Voce ja partiu do resultado que queremos demonstrar. O resultado e verdadeiro e voce so fez provar a igualdade. A ideia e a seguinte: a) Substitua cos(kx)=[exp(ikx)+(exp(-ikx)]/2 b) Entao, agrupe em duas somas: S = (1/2) + S1 + S2, S1 = [exp(ix)+exp(i2x)+...+exp(inx)]/2 S2 = [exp(-ix)+exp(-i2x)+...+exp(-inx)]/2 c) Use a formula da soma de uma serie geometrica para S1 e S2. d) Fazendo umas breves manipulacoes chega ao resultado. Se nao conseguir, me avise, que eu mando a solucao completa para a lista. From: Edward Elric [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas] Date: Thu, 07 Oct 2004 23:20:53 + Vamos lá, primeiro vamos fazer a segunda: 2) Mostre que: D=1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx)= sen[x(2n+1)/2] / 2*sen(x/2) Essa igualdade é valida se, e somente se, 2*sen(x/2)*( 1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx))= sen[x(2n+1)/2]. Assim: D= 2*sen(x/2)*( 1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx)) = sen(x/2) + 2*sen(x/2)*cos(x) + 2*sen(x/2)*cos(2x) ++ 2*sen(x/2)*cos(nx). Note que 2*sen(x/2)*cos(kx)= sen((x/2)*(2k+1)) - sen((x/2)*(2k-1)) (utilizando a formula de produto em soma). Assim temos: D= sen(x/2) + sen((x/2)*3) - sen((x/2)) + sen((x/2)*5) - sen((x/2)*3) + sen((x/2)*7) - sen((x/2)*5) + ... + sen((x/2)*(2n+1)) - sen((x/2)*(2n-1)) Fazendo as devidas simplificaçoes temos: D= sen((x/2)*(2n+1)), como queriamos demontrar. Agora vamos ao primeiro problema: 1) sabendo que D= sen1º*sen3º*sen5º.sen87º*sen89º = 2^(-n) determine o valor de 2n Note que sen(89)=cos(1), sen(87)= cos(3), sen(85)= cos(5), sen(83)= cos(7),..., sen(47)=cos(43). Olhando para o produto D, de forma diferente temos: D= sen(45)*[sen(1)*sen(89)]*[sen(3)*sen(87)]*...[sen(43)*sen(47)]= sen(45)*[sen(1)*cos(1))]*[sen(3)*cos(3)]*...[sen(43)*cos43] Sabemos que sen(2x)= 2*sen(x)*cos(x), logo: D= (2^(-22))*sen(45)*sen(2)*sen(6)*sen(10)*...*sen(46) Porem sen(45)*sen(2)*sen(6)*sen(10)*...*sen(46) nao pode ser trivialmente calculado... e mesmo que pudesse ser calculado facilmente e ele nao seria potencia de 2, logo o enunciado deve estar errado. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
O que é um SUBESPAÇO VETORIAL?? on 07.10.04 16:06, Luiz H. Barbosa at [EMAIL PROTECTED] wrote: Prove que se uma matriz Anxn tiver suas colunas formando um subespaço vetorial , então ela é invertível . []'s Luiz H. Barbosa Esse enunciado nao estah legal, pois as colunas de qualquer matriz mxn gera (palavra usado normalmente, e nao forma) um subespaco vetorial de F^m, onde F eh o corpo dos coeficientes. Talvez voce queira dizer que se as colunas de uma matriz A nxn geram F^n entao esta matriz eh invertivel. Uma forma de provar isso eh a seguinte: as colunas de A geram F^n == o sistema Ax = b possui solucao qualquer que seja o vetor nx1 b == em particular, sejam x_1, x_2, ..., x_n solucoes dos sistemas: Ax = e_1, Ax = e_2, ..., Ax = e_n, onde e_i = vetor nx1 com 1 na i-esima linha e 0 nas demais linhas == a matriz C, cujas colunas sao x_1, x_2, ..., x_n, eh tal que AC = I == A eh invertivel e C eh sua inversa. []s, Claudio. Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Múltiplos de 9 - problema de 5ª série
Na verdade um problema olmpico (Cone Sul), mas coloquei "problema de 5 srie" sem nenhuma ironia, mas apenas enfatizando a criatividade do examinador que ao criar este problema, que possui conceitos de Ens.Fun., faz com que at mesmo aqueles que fazem ps em Matemtica no saibam resolv-lo sem utilizar matemtica de superior. Acredito que haja alguma soluo de E.M (envolvendo binomiais), ou melhor, vou mais longe. Pelos elementos do enunciado, deve haver uma soluo bem mgica e elegante com conceitos de E.F (mltiplos, divisores, etc...). De qualquer forma, tentei resolver utilizando conceitos de E.M, mas no sei se est certo ou no. Vejam e, se possvel, me corrijam ... Em uma mensagem de 7/10/2004 01:16:55 Hora padro leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ol pessoal, O problema abaixo j passou pela lista, mas no tinha entendido a resoluo, foi a partir da que resolvi tentar uma outra resoluo para ele. Abaixo esta o problema e a resoluo. Se errei em algo, me digam por favor ! Seja n um nmero natural, n 3. Demonstrar que entre os mltiplos de 9 menores que 10^n h mais nmeros com a soma de seus dgitos igual a 9(n-2) que nmeros com a soma de seus dgitos igual a 9(n-1). Para n = 4 (caso 9(n-2)) mltiplos de 9 menores que 10^4 e soma dos dgitos igual a 9(4-2) = 18 x + y + z + w = 18 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (I) x + y + z = 18 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (II) x + y = 18 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (III) Por funes geratrizes tem-se que: O nmero de solues de (I) 670 O nmero de solues de (II) 55 O nmero de solues de (III) 1 TOTAL = 670 + 55 + 1 = 726 Para n = 4 (caso 9(n-1)) mltiplos de 9 menores que 10^4 e soma dos dgitos igual a 9(4-1) = 27 x + y + z + w = 27 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (I-a) x + y + z = 27 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (II-b) x + y = 27 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (III-c) Por funes geratrizes tem-se que: O nmero de solues de (I-a) 220 O nmero de solues de (II-b) 1 O nmero de solues de (III-c) 0 TOTAL = 220 + 1 + 0 = 221 Prova-se, pois, que para n = 4 (base da induo) a afirmao do enunciado est correta ! Vou tentar resolver por induo, atravs das etapas: Hiptese de induo: Admitir que valha para qualquer n (n 4) Provar: Vale para qualquer n + 1 (n 4) Admitindo que seja correto o caso: Para mltiplos de 9 menores que 10^n 9(n-2) 9(n-1) OU como preferirem: 9n 18 9n 9 n 2 n 1 (acho que eu deveria fazer isso no incio, pois iria facilitar... De qualquer forma vou continuar !) Temos que provar que: mltiplos de 9 menores que 10^(n+1) e ... Obs: 10^(n+1) = 10^n / 10 (=solues em II e III. E em II-b e III-c, ou seja, no contamos as solues I e I-a) ...e soma dos dgitos igual a 9((n+1) - 2) 9((n+1) - 2). Calculando: 9((n+1) - 2) 9((n+1) - 1) 9(n-1) 9n (dividindo por 9) n-1 n (somando (-1) em ambos os lados) n-2 n-1 (multiplicando por 9) 9(n-2) 9(n-1) HIPTESE DE INDUO Est certa esta resoluo?
Re: [obm-l] Matrizes
on 08.10.04 00:28, Igor Oliveira at [EMAIL PROTECTED] wrote: O que é um SUBESPAÇO VETORIAL?? Eh um subconjunto de um espaco vetorial que, por si soh, eh um espaco vetorial. Ou seja, se u e v pertencem ao subespaco e a eh um escalar qualquer, entao a*u + v pertence ao subespaco. Se isso nao ficou claro, o melhor eh pegar qualquer livro de algebra linear e dar uma olhada. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
