[obm-l] Coisas de alunos
Amigos, Nossos alunos fazem coisas que imprevisíveis. Uma ajuda nessa correção. A questão era de exponencial: 3^(x+2)-3^(x)=24 Muitos alunos descobriram que 24 = 27 - 3 ou 3^3 - 3^1 E montaram a equação: x + 2 = 3 então x = 1. Como discutir essa correção com eles? Alguma sugestão? Grato
RE: [obm-l] Coisas de alunos
Olá! Não há o que discutir: a solução está correta! Seus alunos simplesmente inferiram que x=1 é uma solução da equação proposta. Não obstante, a solução dos seus alunos não está completa! É necessário verificar que esta solução é única - e, de fato, é! Para verificar a unicidade da solução [ x=1 ] basta verificar que as funções f(x)=3^(x+2) e g(x)=3^x + 24 se interceptam uma única vez (quando, é óbvio, x=1) - é muito fácil verificar isto: basta traçar o gráfico destas funções para x compreendido entre 0 e 2[EMAIL PROTECTED] Date: Wed, 20 Aug 2008 13:33:08 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Coisas de alunos Amigos, Nossos alunos fazem coisas que imprevisíveis. Uma ajuda nessa correção. A questão era de exponencial: 3^(x+2)-3^(x)=24 Muitos alunos descobriram que 24 = 27 - 3 ou 3^3 - 3^1 E montaram a equação: x + 2 = 3 então x = 1. Como discutir essa correção com eles? Alguma sugestão? Grato _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
Re: [obm-l] Coisas de alunos
Olá Walter, Não sei se entendi bem sua colocação, mas acho que uma caminho é convencê-los que a solução de equações não se está relacionada a tentativas numéricas de soluções. Dependem sim, do devido desenvolvimento algébrico da solução (ps:crieo que se a questão do desenvolvimento não estava explícita no enunciado, aí eles terão com argumentar com vc) Abs. --- Em qua, 20/8/08, Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Coisas de alunos Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 20 de Agosto de 2008, 13:33 Amigos, Nossos alunos fazem coisas que imprevisíveis. Uma ajuda nessa correção. A questão era de exponencial: 3^(x+2)-3^(x)=24 Muitos alunos descobriram que 24 = 27 - 3 ou 3^3 - 3^1 E montaram a equação: x + 2 = 3 então x = 1. Como discutir essa correção com eles? Alguma sugestão? Grato Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
Re: [obm-l] Coisas de alunos
Acredito que seja interessante incentivar o raciocínio de pesquisa e de experimentação que esses alunos mostraram, antes de proceder a qualquer outra crítica. Contudo, a Matemática não é (apenas) empirismo, ou seja, tentativa e erro. Não é só porque foi encontrada uma solução que esta deve ser a única solução. Por exemplo, um aluno poderia afirmar que o número 1 é a solução de x^2 + 2 = 3x, embasando a resposta no fato de que 1^2 + 2 = 3*1, o que, porém, é obviamente falso, pois 2 também é raiz. Ainda que um aluno conseguisse notar, de antemão, que também 2^2 + 2 = 3*2, ou seja, que 1 e 2 são soluções, ainda é incorreto afirmar que são as únicas. A não ser que: I. testasse todos os números reais (o que é, claramente, ridículo) ou II. soubesse a priori que equações polinomiais de 2º grau têm no máximo duas raízes (reais). Por conseguinte, é conveniente mostrar ao aluno a imprescindível necessidade do raciocínio matemático em casos como este, bem como em outras situações de conjecturas, por vezes formuladas pelos próprios alunos. Sem o conhecimento, sem as técnicas ou sem o rigor matemático, não há garantias de que determinada teoria não poderá ser derrubada no futuro, como acontece na Física e na Química, por exemplo. Essa é uma das belezas da Matemática: a certeza de que, em dada hipótese, o resultado obtido (corretamente) é inquestionável. Espero ter ajudado. Abraços, Márcio. --- Em qua, 20/8/08, Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Coisas de alunos Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 20 de Agosto de 2008, 13:33 Amigos, Nossos alunos fazem coisas que imprevisíveis. Uma ajuda nessa correção. A questão era de exponencial: 3^(x+2)-3^(x)=24 Muitos alunos descobriram que 24 = 27 - 3 ou 3^3 - 3^1 E montaram a equação: x + 2 = 3 então x = 1. Como discutir essa correção com eles? Alguma sugestão? Grato Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
Re: [obm-l] Coisas de alunos
Albert, se eu resolvesse esta equação por via normal encontraria x = 1. Então eu teria que verificar a unicidade desta solução? Em 20/08/08, Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá! Não há o que discutir: a solução está correta! Seus alunos simplesmente inferiram que x=1 é uma solução da equação proposta. Não obstante, a solução dos seus alunos não está completa! É necessário verificar que esta solução é única - e, de fato, é! Para verificar a unicidade da solução [ x=1 ] basta verificar que as funções f(x)=3^(x+2) e g(x)=3^x + 24 se interceptam uma única vez (quando, é óbvio, x=1) - é muito fácil verificar isto: basta traçar o gráfico destas funções para x compreendido entre 0 e 2. AB [EMAIL PROTECTED] -- Date: Wed, 20 Aug 2008 13:33:08 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Coisas de alunos Amigos, Nossos alunos fazem coisas que imprevisíveis. Uma ajuda nessa correção. A questão era de exponencial: 3^(x+2)-3^(x)=24 Muitos alunos descobriram que 24 = 27 - 3 ou 3^3 - 3^1 E montaram a equação: x + 2 = 3 então x = 1. Como discutir essa correção com eles? Alguma sugestão? Grato -- Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu!http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
RE: [obm-l] Coisas de alunos
Bem... em primeiro lugar, eu não tolheria esta descoberta deles. Isto precisa, na verdade, ser valorizado. E, afinal de contas, não podemos considerar errada uma resposta certa! Então, o papel que o prof pode exercer nesse momento é o de formular perguntas mais quentes para que os proprios alunos descubram as vantagens e desvantagens de utilizar um certo método de resolução. Vc pode sugerir que eles resolvam, então a equação: 3^(x+2)-3^(x)=8*sqrt(3) Dificilmente algum aluno vai resolver por tentativa, ou de cabeça. Se sim, ótimo.. aí vc pode exigir questões de niveis cada vez mais altos. Caso contrário, seria o perfeito ensejo para introduzir a resolução por manipulações algébricas. :) Abraços, FH. Date: Wed, 20 Aug 2008 13:33:08 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Coisas de alunos Amigos, Nossos alunos fazem coisas que imprevisíveis. Uma ajuda nessa correção. A questão era de exponencial: 3^(x+2)-3^(x)=24 Muitos alunos descobriram que 24 = 27 - 3 ou 3^3 - 3^1 E montaram a equação: x + 2 = 3 então x = 1. Como discutir essa correção com eles? Alguma sugestão? Grato _ Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o Messenger! É GRÁTIS! http://www.msn.com.br/emoticonpack
FW: [obm-l] Coisas de alunos
Olá, novamente! Lendo os comentários dos meus colegas, com os quais concordo, resolvi complementar minha resposta anterior (ver abaixo). Em primeiro lugar, é necessário admitir que a solução dos seus alunos está correta! Faltou (apenas) verificar a unicidade da solução encontrada (ver, novamente, abaixo a minha resposta anterior). O “x” da questão está, entretanto, no fato de que raciocínios do tipo “tentativa e erro” (tal como o adotado pelos seus alunos) algumas vezes são enganosos e omitem a solução completa do problema! Um exemplo emblemático: Considere a seguinte equação, onde “x” é a incógnita e “a” é um número constante, real e positivo: x^a = a^x Um raciocínio do tipo “tentativa e erro” concluiria imediatamente que a solução desta equação é x=a . Contudo, está não é única solução! Vejamos: x^4 = 4^x admite 2 soluções: “2” e “4” . É óbvio que x^2 = 2^x admite as mesmas soluções ( “2” e “4” ) . Em ambos os casos deve-se verificar que estas duas soluções são as únicas possíveis – de fato, são! O mais interessante: apenas para um único caso particular a equação x^a = a^x admite uma e somente uma solução: quando a=e . Neste caso a única solução possível é x=e (verifique!). Sds., [EMAIL PROTECTED] From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: RE: [obm-l] Coisas de alunosDate: Wed, 20 Aug 2008 15:36:32 -0300 Olá! Não há o que discutir: a solução está correta! Seus alunos simplesmente inferiram que x=1 é uma solução da equação proposta. Não obstante, a solução dos seus alunos não está completa! É necessário verificar que esta solução é única - e, de fato, é! Para verificar a unicidade da solução [ x=1 ] basta verificar que as funções f(x)=3^(x+2) e g(x)=3^x + 24 se interceptam uma única vez (quando, é óbvio, x=1) - é muito fácil verificar isto: basta traçar o gráfico destas funções para x compreendido entre 0 e 2[EMAIL PROTECTED] Date: Wed, 20 Aug 2008 13:33:08 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Coisas de alunos Amigos, Nossos alunos fazem coisas que imprevisíveis. Uma ajuda nessa correção. A questão era de exponencial: 3^(x+2)-3^(x)=24 Muitos alunos descobriram que 24 = 27 - 3 ou 3^3 - 3^1 E montaram a equação: x + 2 = 3 então x = 1. Como discutir essa correção com eles? Alguma sugestão? Grato Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
Re: FW: [obm-l] Coisas de alunos
Apenas de passagem, o Artur recentemente mandou um problema muito interessante sobre essa equação que vc usou como exemplo, o x^y = y^x. Vale a pena procurar nos arquivos. Bruno 2008/8/20 Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED] Olá, novamente! Lendo os comentários dos meus colegas, com os quais concordo, resolvi complementar minha resposta anterior (ver abaixo). Em primeiro lugar, é necessário admitir que a solução dos seus alunos está correta! Faltou (apenas) verificar a unicidade da solução encontrada (ver, novamente, abaixo a minha resposta anterior). O x da questão está, entretanto, no fato de que raciocínios do tipo tentativa e erro (tal como o adotado pelos seus alunos) algumas vezes são enganosos e omitem a solução completa do problema! Um exemplo emblemático: Considere a seguinte equação, onde x é a incógnita e a é um número constante, real e positivo: x^a = a^x Um raciocínio do tipo tentativa e erro concluiria imediatamente que a solução desta equação é x=a . Contudo, está não é única solução! Vejamos: x^4 = 4^x admite 2 soluções: 2 e 4 . É óbvio que x^2 = 2^x admite as mesmas soluções ( 2 e 4 ) . Em ambos os casos deve-se verificar que estas duas soluções são as únicas possíveis – de fato, são! O mais interessante: apenas para um único caso particular a equação x^a = a^x admite uma e somente uma solução: quando a=e . Neste caso a única solução possível é x=e (verifique!). Sds., AB [EMAIL PROTECTED] -- From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Coisas de alunos Date: Wed, 20 Aug 2008 15:36:32 -0300 Olá! Não há o que discutir: a solução está correta! Seus alunos simplesmente inferiram que x=1 é uma solução da equação proposta. Não obstante, a solução dos seus alunos não está completa! É necessário verificar que esta solução é única - e, de fato, é! Para verificar a unicidade da solução [ x=1 ] basta verificar que as funções f(x)=3^(x+2) e g(x)=3^x + 24 se interceptam uma única vez (quando, é óbvio, x=1) - é muito fácil verificar isto: basta traçar o gráfico destas funções para x compreendido entre 0 e 2. AB [EMAIL PROTECTED] -- Date: Wed, 20 Aug 2008 13:33:08 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Coisas de alunos Amigos, Nossos alunos fazem coisas que imprevisíveis. Uma ajuda nessa correção. A questão era de exponencial: 3^(x+2)-3^(x)=24 Muitos alunos descobriram que 24 = 27 - 3 ou 3^3 - 3^1 E montaram a equação: x + 2 = 3 então x = 1. Como discutir essa correção com eles? Alguma sugestão? Grato -- Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu!http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br -- Notícias direto do New York Times, gols do Lance, videocassetadas e muitos outros vídeos no MSN Videos! Confira já! http://video.msn.com/?mkt=pt-br -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0
[obm-l] RE: [obm-l] Coisas de alunos - Complementação final
Olá, novamente e novamente! 1] Leia as minhas duas respostas anteriores (estão abaixo). Em particular, leia os meus comentários a respeito da equação x^a = a^x . Repare que em TODOS os casos, exceto em um único ( quando a=e ), esta equação tem 2 soluções. Quando a=e , a solução é única: x=e . 2] Não sei exatamente o que você chama de via normal para resolver uma equação exponencial. De qualquer forma é sempre importante verificar se estamos omitindo ou introduzindo soluções quando resolvemos equações não-triviais. Alguns exemplos: 2.1] (x+1)/(-x-1) = 1 Logo: x+1 = -x-1 , daí x=-1 ; um absurdo! A equação proposta não tem solução! Verifique! 2.2] x(x-1) = 2x Logo: x-1 = 2 , daí x=3 ; neste caso, foi omitida a raiz 0. Verifique! Sds.,[EMAIL PROTECTED] Olá, novamente! Lendo os comentários dos meus colegas, com os quais concordo, resolvi complementar minha resposta anterior (ver abaixo). Em primeiro lugar, é necessário admitir que a solução dos seus alunos está correta! Faltou (apenas) verificar a unicidade da solução encontrada (ver, novamente, abaixo a minha resposta anterior). O “x” da questão está, entretanto, no fato de que raciocínios do tipo “tentativa e erro” (tal como o adotado pelos seus alunos) algumas vezes são enganosos e omitem a solução completa do problema! Um exemplo emblemático: Considere a seguinte equação, onde “x” é a incógnita e “a” é um número constante, real e positivo: x^a = a^x Um raciocínio do tipo “tentativa e erro” concluiria imediatamente que a solução desta equação é x=a . Contudo, está não é única solução! Vejamos: x^4 = 4^x admite 2 soluções: “2” e “4” . É óbvio que x^2 = 2^x admite as mesmas soluções ( “2” e “4” ) . Em ambos os casos deve-se verificar que estas duas soluções são as únicas possíveis – de fato, são! O mais interessante: apenas para um único caso particular a equação x^a = a^x admite uma e somente uma solução: quando a=e . Neste caso a única solução possível é x=e (verifique!). Sds., [EMAIL PROTECTED] From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: RE: [obm-l] Coisas de alunosDate: Wed, 20 Aug 2008 15:36:32 -0300 Olá! Não há o que discutir: a solução está correta! Seus alunos simplesmente inferiram que x=1 é uma solução da equação proposta. Não obstante, a solução dos seus alunos não está completa! É necessário verificar que esta solução é única - e, de fato, é! Para verificar a unicidade da solução [ x=1 ] basta verificar que as funções f(x)=3^(x+2) e g(x)=3^x + 24 se interceptam uma única vez (quando, é óbvio, x=1) - é muito fácil verificar isto: basta traçar o gráfico destas funções para x compreendido entre 0 e 2[EMAIL PROTECTED] Date: Wed, 20 Aug 2008 16:43:47 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Coisas de alunosAlbert, se eu resolvesse esta equação por via normal encontraria x = 1. Então eu teria que verificar a unicidade desta solução? Em 20/08/08, Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá! Não há o que discutir: a solução está correta! Seus alunos simplesmente inferiram que x=1 é uma solução da equação proposta. Não obstante, a solução dos seus alunos não está completa! É necessário verificar que esta solução é única - e, de fato, é! Para verificar a unicidade da solução [ x=1 ] basta verificar que as funções f(x)=3^(x+2) e g(x)=3^x + 24 se interceptam uma única vez (quando, é óbvio, x=1) - é muito fácil verificar isto: basta traçar o gráfico destas funções para x compreendido entre 0 e 2[EMAIL PROTECTED] Date: Wed, 20 Aug 2008 13:33:08 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Coisas de alunos Amigos, Nossos alunos fazem coisas que imprevisíveis. Uma ajuda nessa correção. A questão era de exponencial: 3^(x+2)-3^(x)=24 Muitos alunos descobriram que 24 = 27 - 3 ou 3^3 - 3^1 E montaram a equação: x + 2 = 3 então x = 1. Como discutir essa correção com eles? Alguma sugestão? Grato Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
Re: FW: [obm-l] Coisas de alunos
Olá de novo, Fico muito feliz em poder discutir essas questões com colegas de opiniões muito fundamentadas. Não considerei errado, pois concordo que a questão propiciou a tentativa e ela deu certo. Mas fico mais tranquilo com a decisão. Obrigado. Em 20/08/08, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] escreveu: Apenas de passagem, o Artur recentemente mandou um problema muito interessante sobre essa equação que vc usou como exemplo, o x^y = y^x. Vale a pena procurar nos arquivos. Bruno 2008/8/20 Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED] Olá, novamente! Lendo os comentários dos meus colegas, com os quais concordo, resolvi complementar minha resposta anterior (ver abaixo). Em primeiro lugar, é necessário admitir que a solução dos seus alunos está correta! Faltou (apenas) verificar a unicidade da solução encontrada (ver, novamente, abaixo a minha resposta anterior). O x da questão está, entretanto, no fato de que raciocínios do tipo tentativa e erro (tal como o adotado pelos seus alunos) algumas vezes são enganosos e omitem a solução completa do problema! Um exemplo emblemático: Considere a seguinte equação, onde x é a incógnita e a é um número constante, real e positivo: x^a = a^x Um raciocínio do tipo tentativa e erro concluiria imediatamente que a solução desta equação é x=a . Contudo, está não é única solução! Vejamos: x^4 = 4^x admite 2 soluções: 2 e 4 . É óbvio que x^2 = 2^x admite as mesmas soluções ( 2 e 4 ) . Em ambos os casos deve-se verificar que estas duas soluções são as únicas possíveis – de fato, são! O mais interessante: apenas para um único caso particular a equação x^a = a^x admite uma e somente uma solução: quando a=e . Neste caso a única solução possível é x=e (verifique!). Sds., AB [EMAIL PROTECTED] -- From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Coisas de alunos Date: Wed, 20 Aug 2008 15:36:32 -0300 Olá! Não há o que discutir: a solução está correta! Seus alunos simplesmente inferiram que x=1 é uma solução da equação proposta. Não obstante, a solução dos seus alunos não está completa! É necessário verificar que esta solução é única - e, de fato, é! Para verificar a unicidade da solução [ x=1 ] basta verificar que as funções f(x)=3^(x+2) e g(x)=3^x + 24 se interceptam uma única vez (quando, é óbvio, x=1) - é muito fácil verificar isto: basta traçar o gráfico destas funções para x compreendido entre 0 e 2. AB [EMAIL PROTECTED] -- Date: Wed, 20 Aug 2008 13:33:08 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Coisas de alunos Amigos, Nossos alunos fazem coisas que imprevisíveis. Uma ajuda nessa correção. A questão era de exponencial: 3^(x+2)-3^(x)=24 Muitos alunos descobriram que 24 = 27 - 3 ou 3^3 - 3^1 E montaram a equação: x + 2 = 3 então x = 1. Como discutir essa correção com eles? Alguma sugestão? Grato -- Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu!http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br -- Notícias direto do New York Times, gols do Lance, videocassetadas e muitos outros vídeos no MSN Videos! Confira já!http://video.msn.com/?mkt=pt-br -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0 -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira www.professorwaltertadeu.mat.br
Re: [obm-l] Coisas de alunos
Se a questao era: Resolva a equacao eu diria que a solucao estah incorreta. Digo isso pois, para mim resolva significa encontre todas as solucoes e deixe claro que voce achou todas. Agora, se a questao fosse: Encontre uma solucao da equacao... entao eu diria que o raciocinio estah 100% correto. Isso dito, concordo com os colegas que experimentacao deve ser encorajada, e eu daria uns pontos parciais pelo que foi feito. Para eles entenderem o que estah errado, eu colocaria o seguinte raciocinio para eles: Resolva a equacao x^3-x=0 e eu faria x^3-x=0^3-0 x=0 o que dah uma solucao, mas nao sao todas. Eu tentaria dizer que a primeira linha NAO IMPLICA NECESSARIAMENTE na segunda. Que, se x=0, entao x^3-x=0, mas nao vice-versa. Abraco, Ralph 2008/8/20 Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED] Amigos, Nossos alunos fazem coisas que imprevisíveis. Uma ajuda nessa correção. A questão era de exponencial: 3^(x+2)-3^(x)=24 Muitos alunos descobriram que 24 = 27 - 3 ou 3^3 - 3^1 E montaram a equação: x + 2 = 3 então x = 1. Como discutir essa correção com eles? Alguma sugestão? Grato
