Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica

[Claudio Buffara]

Se a reta for perpendicular a MN, intersectando o segmento no ponto P, digamos, 
então a solução é Q = P.
Isso pode ser visto sem cálculo. Apenas comPitágoras  e algebra 
(especificamente, a identidade:
 raiz(a) - raiz(b) = (a - b)/(raiz(a) +  raiz(b))

Pro caso da reta ser oblíqua, Pitágoras é substituído pela lei dos cossenos e a 
álgebra fica mais chatinha.

Abs

Enviado do meu iPhone

Em 17 de jul de 2019, à(s) 23:36, Rodrigo Ângelo  
escreveu:

> Acho que neste caso dá pra usar hipérboles 
> 
> Uma sequência de hipérboles que passam por M e N, com um foco em Q1, Q2, 
> ..., Qn tenderia à Q que maximiza a diferença entre distâncias quando as 
> retas que passam por MQ e NQ são perpendiculares, certo?
> 
>> On Tue, Jul 16, 2019, 1:50 PM Vanderlei Nemitz  wrote:
>> Com certeza! É que nesse caso os pontos estão em semiplanos opostos. 
>> Talvez seria isso que eu gostaria de perguntar. Será que nesse caso sim?
>> Mas e sem derivadas? Será possível resolver? Preciso apresentar a 
>> solução para alunos que não estudaram derivadas...
>> 
>> Muito obrigado!
>> 
>> Em ter, 16 de jul de 2019 Ã s 13:30, Claudio Buffara 
>>  escreveu:
>>> A resposta da 2a questão é NÃO. Pense em M e N próximos um do outro e 
>>> tão distantes da reta que o ângulo MQN é sempre agudo.
>>> 
>>> Abs
>>> 
>>> Enviado do meu iPhone
>>> 
>>> Em 16 de jul de 2019, Ã (s) 15:44, Vanderlei Nemitz  
>>> escreveu:
>>> 
>>> > Pessoal, é possível resolver a seguinte questão sem utilizar 
>>> > derivadas?
>>> > 
>>> > Determinar as coordenadas de um ponto Q pertencente à reta de 
>>> > equação y = 3x - 1 tal que a diferença de suas distâncias aos 
>>> > pontos M(4, 1) e N(0, 4) seja máxima.
>>> > 
>>> > A resposta mostra que o triângulo MQN é retângulo em Q, para que 
>>> > a diferença seja máxima. Isso ocorre sempre?
>>> > 
>>> > 
>>> > Muito obrigado!
>>> > 
>>> > Vander
>>> > 
>>> > -- 
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica

[Rodrigo Ângelo]

Acho que neste caso dá pra usar hipérboles

Uma sequência de hipérboles que passam por M e N, com um foco em Q1, Q2,
..., Qn tenderia à Q que maximiza a diferença entre distâncias quando as
retas que passam por MQ e NQ são perpendiculares, certo?

On Tue, Jul 16, 2019, 1:50 PM Vanderlei Nemitz 
wrote:

> Com certeza! É que nesse caso os pontos estão em semiplanos opostos.
> Talvez seria isso que eu gostaria de perguntar. Será que nesse caso sim?
> Mas e sem derivadas? Será possível resolver? Preciso apresentar a solução
> para alunos que não estudaram derivadas...
>
> Muito obrigado!
>
> Em ter, 16 de jul de 2019 às 13:30, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> A resposta da 2a questão é NÃO. Pense em M e N próximos um do outro e tão
>> distantes da reta que o ângulo MQN é sempre agudo.
>>
>> Abs
>>
>> Enviado do meu iPhone
>>
>> Em 16 de jul de 2019, à(s) 15:44, Vanderlei Nemitz 
>> escreveu:
>>
>> > Pessoal, é possível resolver a seguinte questão sem utilizar
>> derivadas?
>> >
>> > Determinar as coordenadas de um ponto Q pertencente à reta de
>> equação y = 3x - 1 tal que a diferença de suas distâncias aos pontos
>> M(4, 1) e N(0, 4) seja máxima.
>> >
>> > A resposta mostra que o triângulo MQN é retângulo em Q, para que a
>> diferença seja máxima. Isso ocorre sempre?
>> >
>> >
>> > Muito obrigado!
>> >
>> > Vander
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica

[Vanderlei Nemitz]

Com certeza! É que nesse caso os pontos estão em semiplanos opostos. Talvez
seria isso que eu gostaria de perguntar. Será que nesse caso sim?
Mas e sem derivadas? Será possível resolver? Preciso apresentar a solução
para alunos que não estudaram derivadas...

Muito obrigado!

Em ter, 16 de jul de 2019 às 13:30, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> A resposta da 2a questão é NÃO. Pense em M e N próximos um do outro e tão
> distantes da reta que o ângulo MQN é sempre agudo.
>
> Abs
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 16 de jul de 2019, à(s) 15:44, Vanderlei Nemitz 
> escreveu:
>
> > Pessoal, é possível resolver a seguinte questão sem utilizar
> derivadas?
> >
> > Determinar as coordenadas de um ponto Q pertencente à reta de equação
> y = 3x - 1 tal que a diferença de suas distâncias aos pontos M(4, 1) e
> N(0, 4) seja máxima.
> >
> > A resposta mostra que o triângulo MQN é retângulo em Q, para que a
> diferença seja máxima. Isso ocorre sempre?
> >
> >
> > Muito obrigado!
> >
> > Vander
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria analítica

[Claudio Buffara]

A resposta da 2a questão é NÃO. Pense em M e N próximos um do outro e tão 
distantes da reta que o ângulo MQN é sempre agudo.

Abs

Enviado do meu iPhone

Em 16 de jul de 2019, à(s) 15:44, Vanderlei Nemitz  
escreveu:

> Pessoal, é possível resolver a seguinte questão sem utilizar derivadas?
> 
> Determinar as coordenadas de um ponto Q pertencente à reta de equação y = 
> 3x - 1 tal que a diferença de suas distâncias aos pontos M(4, 1) e N(0, 4) 
> seja máxima.
> 
> A resposta mostra que o triângulo MQN é retângulo em Q, para que a 
> diferença seja máxima. Isso ocorre sempre?
> 
> 
> Muito obrigado!
> 
> Vander
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Geometria analítica

[Vanderlei Nemitz]

Pessoal, é possível resolver a seguinte questão sem utilizar derivadas?

Determinar as coordenadas de um ponto Q pertencente à reta de equação y =
3x - 1 tal que a diferença de suas distâncias aos pontos M(4, 1) e N(0, 4)
seja máxima.

A resposta mostra que o triângulo MQN é retângulo em Q, para que a
diferença seja máxima. Isso ocorre sempre?


Muito obrigado!

Vander

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Francisco Barreto]

perdão

On Tue, 22 Aug 2017 at 20:04 Ralph Teixeira  wrote:

> Usando Geometria: seja M o ponto medio de AB. Note que M eh fixo.
>
> O Teorema de Apolonio
>  diz que
>
> PA^2+PB^2 = 2(PM^2+a^2)
>
> (obs: isso vale mesmo que P esteja na reta AB). Entao PM^2=k^2/2 - a^2 eh
> fixo. Assim, tipicamente o lugar geometrico de P eh um circulo de centro M
> e raio quadrado k^2/2 - a^2...
>
> Digo "tipicamente" porque temos que analisar se esse raio existe mesmo...
> Entao:
> a) Se k^2<2a^2, entao o L.G. serah vazio
> b) Se k^2=2a^2, entao o L.G. serah apenas o ponto M.
> c) Se k^2>2a^2, entao realmente dah aquele circulo que eu citei -- mas
> tecnicamente tem que ver se os pontos onde esse circulo corta a reta AB
> tambem servem, porque PAB nao seria tecnicamente um triangulo (resposta:
> sim, servem!).
>
> Usando Vetores: (uso  para produto interno)
> +=k^2
> 2-2-2++=k^2
> -=(k^2--)/2
> Agora complete quadrados
> -2+<(A+B)/2,(A+B)/2> = (k^2
> --)/2+<(A+B)/2,(A+B)/2>
>  = k^2/2  -<(A-B)/2,(A-B)/2> = k^2/2 - a^2
> ||P - (A+B)/2|| ^ 2 = k^2/2 - a^2
> Ou seja, a distancia de P a M=(A+B)/2 eh fixa e igual a k^2/2-a^2
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2017-08-22 19:31 GMT-03:00 André Lauer :
>
>> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema:
>> São dados dois pontos A e B. Determine o lugar geométrico de P tal que
>> d(A,P)^2 + d(P,B)^2 = k^2 onde k é uma constante dada.
>> Se d(A,B) = 2a, determine para que valores de k o problema tem solução.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Ralph Teixeira]

Usando Geometria: seja M o ponto medio de AB. Note que M eh fixo.

O Teorema de Apolonio 
diz que

PA^2+PB^2 = 2(PM^2+a^2)

(obs: isso vale mesmo que P esteja na reta AB). Entao PM^2=k^2/2 - a^2 eh
fixo. Assim, tipicamente o lugar geometrico de P eh um circulo de centro M
e raio quadrado k^2/2 - a^2...

Digo "tipicamente" porque temos que analisar se esse raio existe mesmo...
Entao:
a) Se k^2<2a^2, entao o L.G. serah vazio
b) Se k^2=2a^2, entao o L.G. serah apenas o ponto M.
c) Se k^2>2a^2, entao realmente dah aquele circulo que eu citei -- mas
tecnicamente tem que ver se os pontos onde esse circulo corta a reta AB
tambem servem, porque PAB nao seria tecnicamente um triangulo (resposta:
sim, servem!).

Usando Vetores: (uso  para produto interno)
+=k^2
2-2-2++=k^2
-=(k^2--)/2
Agora complete quadrados
-2+<(A+B)/2,(A+B)/2> = (k^2
--)/2+<(A+B)/2,(A+B)/2>
 = k^2/2  -<(A-B)/2,(A-B)/2> = k^2/2 - a^2
||P - (A+B)/2|| ^ 2 = k^2/2 - a^2
Ou seja, a distancia de P a M=(A+B)/2 eh fixa e igual a k^2/2-a^2

Abraco, Ralph.

2017-08-22 19:31 GMT-03:00 André Lauer :

> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema:
> São dados dois pontos A e B. Determine o lugar geométrico de P tal que
> d(A,P)^2 + d(P,B)^2 = k^2 onde k é uma constante dada.
> Se d(A,B) = 2a, determine para que valores de k o problema tem solução.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Francisco Barreto]

acho que faltou dr nome aos bois, as coordenadas.

On Tue, 22 Aug 2017 at 19:45 Francisco Barreto 
wrote:

> a hipotenusa tem que ser d(A,B), não? Se for o caso vale k ao quadrado e
> 2a.
>
> On Tue, 22 Aug 2017 at 19:37 André Lauer 
> wrote:
>
>> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema:
>> São dados dois pontos A e B. Determine o lugar geométrico de P tal que
>> d(A,P)^2 + d(P,B)^2 = k^2 onde k é uma constante dada.
>> Se d(A,B) = 2a, determine para que valores de k o problema tem solução.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Francisco Barreto]

a hipotenusa tem que ser d(A,B), não? Se for o caso vale k ao quadrado e 2a.

On Tue, 22 Aug 2017 at 19:37 André Lauer  wrote:

> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema:
> São dados dois pontos A e B. Determine o lugar geométrico de P tal que
> d(A,P)^2 + d(P,B)^2 = k^2 onde k é uma constante dada.
> Se d(A,B) = 2a, determine para que valores de k o problema tem solução.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Geometria Analítica

[André Lauer]

Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema:
São dados dois pontos A e B. Determine o lugar geométrico de P tal que d(A,P)^2 
+ d(P,B)^2 = k^2 onde k é uma constante dada.
Se d(A,B) = 2a, determine para que valores de k o problema tem solução.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Geometria Analítica em 3 dimensões

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá pessoal alguém sabe como provar que a equação da reta é
(x_1-x_0)²+(y_1-y_0)²+(z_1-z_0)²=r²? onde r é o comprimento da reta

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica em 3 dimensões

[Sávio Ribas]

Mas isso eh uma esfera de raio r (assumindo que x_1, y_1 e z_1 são
variáveis). Eh soh uma aplicação de Pitagoras...

Em 30 de outubro de 2015 14:57, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal alguém sabe como provar que a equação da reta é
> (x_1-x_0)²+(y_1-y_0)²+(z_1-z_0)²=r²? onde r é o comprimento da reta
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] [obm-l] Geometria Analítica em 3 dimensões

[Rígille Scherrer Borges Menezes]

Vc quer dizer de segmento de reta talveZ? Acho que uma boa ideia é usar a
desigualdade triangular.

Em sexta-feira, 30 de outubro de 2015, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com
> escreveu:

> Olá pessoal alguém sabe como provar que a equação da reta é
> (x_1-x_0)²+(y_1-y_0)²+(z_1-z_0)²=r²? onde r é o comprimento da reta
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica em 3 dimensões

[Rígille Scherrer Borges Menezes]

Hmmm, me confundi. Mas a equação de um segmento de reta com certeza é:
d(a, x) + d(x, b) = d(a, b)
Onde x é a variável e d(x, y) é a distância entre x e y.

Em sexta-feira, 30 de outubro de 2015, Rígille Scherrer Borges Menezes <
rigillesbmene...@gmail.com> escreveu:

> Vc quer dizer de segmento de reta talveZ? Acho que uma boa ideia é usar a
> desigualdade triangular.
>
> Em sexta-feira, 30 de outubro de 2015, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal alguém sabe como provar que a equação da reta é
>> (x_1-x_0)²+(y_1-y_0)²+(z_1-z_0)²=r²? onde r é o comprimento da reta
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica em 3 dimensões

[Sávio Ribas]

Acho que esse livro pode te ajudar:
https://www.dropbox.com/s/jj3xq0hjv2z39zp/gaalt0.pdf

Em 30 de outubro de 2015 15:13, Rígille Scherrer Borges Menezes <
rigillesbmene...@gmail.com> escreveu:

> Vc quer dizer de segmento de reta talveZ? Acho que uma boa ideia é usar a
> desigualdade triangular.
>
> Em sexta-feira, 30 de outubro de 2015, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal alguém sabe como provar que a equação da reta é
>> (x_1-x_0)²+(y_1-y_0)²+(z_1-z_0)²=r²? onde r é o comprimento da reta
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica em Três dimensões

[Israel Meireles Chrisostomo]

Ogrigado Ralph, vc sempre respondendo rápido, obrigado mesmo!Vlw, era isso
mesmo o t era fixovlw

Em 23 de julho de 2015 23:04, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Hm, pera, tem 4 variaveis ai. A letra t representa um numero fixo, e as
 variaveis sao x, y e z? Vou supor que sim, senao eh uma superficie em 4
 dimensoes.

 Bom, entao a resposta eh sim, representa. Se esta figura tem nome proprio,
 bom, ok, nao sei. :)

 Mas notei que se voce botar x=t.sina, y=t.sinb e z=t.sinc e ignorar alguns
 sinais chatos, voce fica com tana.tanb+tanb.tanc+tana.tanc=1, ou seja,
 tana=(tanb.tanc-1)/(tanb+tanc)=-cot(b+c)=tan(b+c-pi/2). Entao sua equacao
 eh quase equivalente a

 a=k.pi+b+c-pi/2.

 E isto eh um plano... Ou seja, sua superficie seria tomar um plano do tipo
 a-b-c=k.pi=pi/2 (ou alguns planos, variando k, e mais alguns variando os
 sinais ali) no espaco abc e entao senificar as coordenadas.

 Abraco, Ralph.

 2015-07-23 21:15 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com:

 Alguém sabe se a equação abaixo representa alguma figura geométrica em 3
 dimensões?

 xy/(sqrt{t²-x²}sqrt{t²-y²})+xz/(sqrt{t²-x²}sqrt{t²-z²})+yz/(sqrt{t²-y²}sqrt{t²-z²})=1

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica em Três dimensões

[Ralph Teixeira]

Hm, pera, tem 4 variaveis ai. A letra t representa um numero fixo, e as
variaveis sao x, y e z? Vou supor que sim, senao eh uma superficie em 4
dimensoes.

Bom, entao a resposta eh sim, representa. Se esta figura tem nome proprio,
bom, ok, nao sei. :)

Mas notei que se voce botar x=t.sina, y=t.sinb e z=t.sinc e ignorar alguns
sinais chatos, voce fica com tana.tanb+tanb.tanc+tana.tanc=1, ou seja,
tana=(tanb.tanc-1)/(tanb+tanc)=-cot(b+c)=tan(b+c-pi/2). Entao sua equacao
eh quase equivalente a

a=k.pi+b+c-pi/2.

E isto eh um plano... Ou seja, sua superficie seria tomar um plano do tipo
a-b-c=k.pi=pi/2 (ou alguns planos, variando k, e mais alguns variando os
sinais ali) no espaco abc e entao senificar as coordenadas.

Abraco, Ralph.

2015-07-23 21:15 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com:

 Alguém sabe se a equação abaixo representa alguma figura geométrica em 3
 dimensões?

 xy/(sqrt{t²-x²}sqrt{t²-y²})+xz/(sqrt{t²-x²}sqrt{t²-z²})+yz/(sqrt{t²-y²}sqrt{t²-z²})=1

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] geometria analítica

[Jefferson Franca]

Olá ! Realmente esta questão está tirando meu sono. Será que alguém pode ter 
uma iluminação divina e me ajudar?
Seja M um ponto de uma elipse com
centro O e focos F1 e F2. A reta r é tangente à elipse no
ponto M e s é uma reta , que passa por O, paralela a r. As retas suportes dos
raios vetores MF1 e MF2 intersectam a reta s em H1 e H2, respectivamente. 
Sabendo que o segmento F1H1 mede 2 cm, calcule o comprimento de F2H2.
Abs

[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica

[Vinícius Harlock]

Desculpa. Importunei-os com um problema besta (no fundo estava com preguiça
de desenvolver a expressão), embora seja muito interessante obter uma
hiperbólica desses dois jeitos.

[obm-l] RE: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica

[Eduardo Wilner]

Talvez não seja a solução mais elegante , mas enquanto 
isso...Seja r = |AC| e 2B o ângulo que r forma com Ox.Lei dos senos: sen 3B = 3 
(sen B}/r  ou  r = 3 / (3 - 4 sen² B) ;

Adotemos o parâmetro t = sen² B :

x = r(1-2t)=3(1-2t)/(3-4t)    y² =4r²t(1-t)=36 t(1-t)/(3-4t)². 

Eliminado o parâmetro t obtemos a equação da elipse

(x-2)² - y²/3 = 1 .



  


Date: Thu, 24 Feb 2011 15:15:59 -0300
Subject: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica
From: cortes...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Os extremos da base de um triângulo são A(0,0) e B(3,0). Determinar a 
equação do lugar geométrico do vértice oposto C se este se move de 
maneira que o ângulo da base CAB é sempre igual a duas vezes o ângulo da
 base CBA.


  

[obm-l] RE: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica

[Eduardo Wilner]

Desculpem: Hiperbole . 

--- Em sex, 25/2/11, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br escreveu:

De: Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br
Assunto: RE: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 25 de Fevereiro de 2011, 12:02








Talvez não seja a solução mais elegante , mas enquanto 
isso...Seja r = |AC| e 2B o ângulo que r forma com Ox.Lei dos senos: sen 3B = 3 
(sen B}/r  ou  r = 3 / (3 - 4 sen² B) ;

Adotemos o parâmetro t = sen² B :

x = r(1-2t)=3(1-2t)/(3-4t)    y² =4r²t(1-t)=36 t(1-t)/(3-4t)². 

Eliminado o parâmetro t obtemos a equação da elipse

(x-2)² - y²/3 = 1 .



  


Date: Thu, 24 Feb 2011 15:15:59 -0300
Subject: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica
From: cortes...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Os extremos da base de um triângulo são A(0,0) e B(3,0). Determinar a 
equação do lugar geométrico do vértice oposto C se este se move de 
maneira que o ângulo da base CAB é sempre igual a duas vezes o ângulo da
 base CBA.




   


  

RE: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, 

Esse lugar geométrico me lembrou de outro. Seja construir 
o triângulo ABC dados (A,r,m_a). 

Podemos construir o vértice A, o incentro I e o incírculo W. 
Construindo o ponto M_a (médio de BC) o triângulo fica 
determinado pela tangente por M_a a W (reta do lado a). 

O ponto M_a está em dois lugares: 

1) círculo U=(A,m_a) 

2) hipérbole H

Quem sabe apelando-se pro Geogebra dá pra determinar H? 
Alguém sabe fazer isso ? 

Aí fica o problema de construir com régua e compasso a interseção 
U,H. Neste caso em particular isto é possível. 

[]'s 
Luís 


From: thiago_...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica
Date: Thu, 24 Feb 2011 22:57:16 -0300








Bom, eu tentei resolver. Eu não consegui, mas cheguei numa solução apelando pro 
geogebra. Se voce quiser saber, só pra  verificar quando acabar, ou sei lá, 
selecione tudo que está dentro do parentesis:
(A equação que determina o lugar geométrico de C(x,y) é a da hiperbole 3x² - y² 
- 12x + 9 = 0ou   (x - 2)² - y²/3 = 1)
Eu vou tentar mais, quem sabe não mando aqui depois uma resolução!Thiago

Date: Thu, 24 Feb 2011 15:15:59 -0300
Subject: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica
From: cortes...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Os extremos da base de um triângulo são A(0,0) e B(3,0). Determinar a 
equação do lugar geométrico do vértice oposto C se este se move de 
maneira que o ângulo da base CAB é sempre igual a duas vezes o ângulo da
 base CBA.

[obm-l] Geometria Analítica

[Vinícius Harlock]

Os extremos da base de um triângulo são A(0,0) e B(3,0). Determinar a
equação do lugar geométrico do vértice oposto C se este se move de maneira
que o ângulo da base CAB é sempre igual a duas vezes o ângulo da base CBA.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Ralph Teixeira]

Como o titulo eh Geometria Analitica -- seja C=(x,y). Note que o
triangulo tem que ser agudo em B -- entao x3.

Agora
tan CAB = y/x
tan CBA = y/(3-x)

Agora use que tan2z=2tanz/(1-(tanz)^2). Entao se CAB=2CBA faca as contas

...dah uma hiperbole.

Abraco,
 Ralph

2011/2/24 Vinícius Harlock cortes...@gmail.com:
 Os extremos da base de um triângulo são A(0,0) e B(3,0). Determinar a
 equação do lugar geométrico do vértice oposto C se este se move de maneira
 que o ângulo da base CAB é sempre igual a duas vezes o ângulo da base CBA.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Ralph Teixeira]

(Tecnicamente, soh o ramo com x3)

2011/2/24 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:
 Como o titulo eh Geometria Analitica -- seja C=(x,y). Note que o
 triangulo tem que ser agudo em B -- entao x3.

 Agora
 tan CAB = y/x
 tan CBA = y/(3-x)

 Agora use que tan2z=2tanz/(1-(tanz)^2). Entao se CAB=2CBA faca as 
 contas

 ...dah uma hiperbole.

 Abraco,
         Ralph

 2011/2/24 Vinícius Harlock cortes...@gmail.com:
 Os extremos da base de um triângulo são A(0,0) e B(3,0). Determinar a
 equação do lugar geométrico do vértice oposto C se este se move de maneira
 que o ângulo da base CAB é sempre igual a duas vezes o ângulo da base CBA.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] [obm-l] Geometria Analítica

[Vinícius Harlock]

Os extremos da base de um triângulo são A(0,0) e B(3,0). Determinar a
equação do lugar geométrico do vértice oposto C se este se move de maneira
que o ângulo da base CAB é sempre igual a duas vezes o ângulo da base CBA.

RE: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica

[Thiago Tarraf Varella]

Bom, eu tentei resolver. Eu não consegui, mas cheguei numa solução apelando pro 
geogebra. Se voce quiser saber, só pra  verificar quando acabar, ou sei lá, 
selecione tudo que está dentro do parentesis:
(A equação que determina o lugar geométrico de C(x,y) é a da hiperbole 3x² - y² 
- 12x + 9 = 0ou   (x - 2)² - y²/3 = 1)
Eu vou tentar mais, quem sabe não mando aqui depois uma resolução!Thiago

Date: Thu, 24 Feb 2011 15:15:59 -0300
Subject: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica
From: cortes...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Os extremos da base de um triângulo são A(0,0) e B(3,0). Determinar a 
equação do lugar geométrico do vértice oposto C se este se move de 
maneira que o ângulo da base CAB é sempre igual a duas vezes o ângulo da
 base CBA.

[obm-l] Geometria analítica

[Manoel P G Neto Neto]

Alguém poderia sugerir uma ideia para a questão:

De qual ângulo é preciso girar os eixos coordenados de modo que a função

f(x,y) = 3 x² + 2 sqrt(3xy) + y² ,

depois da transformação não contenha termos do produto das novas variáveis?




  

[obm-l] geometria analítica

[Robério Alves]

Como é que resolve essa questão ?


Encontre o foco da parábola y = x^2 + 2x + i





  

Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

[obm-l] geometria analítica

[Robério Alves]

Como é que resolve essa questão ?


Encontre o foco da parábola y = x^2 + 2x + i



  

Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica

[Luciana Rodrigues]

 
Carpe Dien
Em 31/10/2009 08:19, Robério Alves  prof_robe...@yahoo.com.br  escreveu:




Como é que resolve essa questão ?Encontre o foco da parábola y = x^2 + 2x + i





Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes 
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Geometria Analítica - Transformação de Coordenas.

[Luís Junior]

Olá,


Estou tentando praticar Rotação e Translação de eixos coordenados e por isso
procurei exaustivamente na internet por uma lista de exercícios sobre o tema
e não encontrei. Alguém poderia me indicar uma lista com váaaarios
exercícios e se possível teoria também?



~Carpe Diem~

Luís Jr.

[obm-l] Geometria Analítica

[Rhilbert Rivera]

 

Solicito uma ajuda nessa questão:

 

Ache todas as coordenadas de x, distintas dos pontos de encontro do plano, 
dados pelas curvas x^2=x+y+4 e y^2 = y - 15x +36.

 

Obrigado

 

(-_-)

 

 

_
Windows Live Messenger. O melhor em multitarefa.
http://www.microsoft.com/windows/windowslive/products/messenger.aspx

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[silverratio]

Olá Manuela,

Problema 1:

Se v = (a, b, c), e v é ortogonal ao eixo Z, então c = 0, pois  v, k  = c,
onde k = ( 0, 0, 1 ).

Além disso, w = ( 0, 2, 3 ), e da equação  v, w  = 6 tiramos que b = 3.

Resta a condição sobre a norma de v. Como agora sabemos que v = ( a, 3, 0 ),

| v | = raiz{ a^2 + 9 + 0 } = 5, o que implica a^2 + 9 = 25, ou seja, a = +4
ou a = -4.

Portanto existem na verdade duas possibilidades para o vetor v: ( 4, 3, 0 )
ou ( -4, 3, 0 ).


Problema 2:

Seja w = (x, y, z). Primeiro, se queremos w ortogonal a v, basta resolver a
equação:

 w, v  = 0, que é simplesmente 2x -y +z = 0.

Tome uma solução não-nula qualquer, por exemplo, x = 0, y = z = 1.

O vetor ( 0, 1, 1 ) é ortogonal a v. Ele só não é unitário, mas isso sempre
pode ser

resolvido divivindo-o pela sua norma, ou seja, escolhendo: ( 0, 1/raiz{2} ,
1/raiz{2} ).


Problema 3:

Vou assumir que estamos falando da projeção ortogonal aqui.

A projeção ortogonal é dada por: (  u, v  /  v, v  ) * v. Basta
calcular.

Espero ter ajudado.

Abraço,

- Leandro.

RE: [obm-l] Geometria Analítica

[Rhilbert Rivera]

Obrigado a todos!
 



Date: Thu, 7 Aug 2008 20:46:16 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: 
Re: [obm-l] Geometria Analítica
Oi, Rafael,De fato... obrigado pela correção. Leitura 
desatenta.Abraços,NehabRafael Ando escreveu: 

Legal, gostei da sua soluçao... mas note que AB = 4 sqrt(5), e nao sqrt(5)...
 
Entao teriamos:
 
d² + 20 = 51 -- d² = 31. 
On 8/5/08, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: 

Oi, Rhilbert Alguns exercícios de Geometria Analítica - por exemplo, este - 
exigem um pouco de malandragem para se evitar contas em excesso ou até 
impossíveis numa prova...  Em alguns exercícios, a saída é buscar uma solução 
quase que puramente geométrica; em outros, apenas um pouco de malícia e/ou o 
conhecimento de uma ou outra ridícula formuleta útil.  Como eu jamais 
conseguiria fazer as contas propostas pelo Bouskela sem errá-las, eu faria 
assim (correndo menos risco de errar nas contas): 1) A reta procurada pode ser 
escrita na forma  4x - 3y + k = 0 , pois possui coeficiente angular 4/3, onde k 
é desconhecido;2) A distância entre uma reta ax + by + c = 0 e um ponto (X; Y) 
é dada pela formuleta d =   |  aX + bY + c |  /  raiz(a^2 + b^2)   Mas do 
enunciado é imediato calcular a distância do centro do círculo (9; 8) à reta: 
um triangulozinho retângulo resolve:  d^2 +  5/4 = 51; logo,  d^2 =  199/4.Daí 
e da formuleta mágica, teos: raiz(199/4) = |  4.9 - 3.8 + k | / 5; Logo, se as 
contas estiverem corretas, k = -12 +- 5.raiz(199)/2 .  Portanto, duas soluções, 
como o Bouskela já havia assinalado. Abraços,NehabEsquentando os motores, 
depois de uma longuérrima e frustrante ausência da Lista - viu, Rogério, 
Salhab, Fernando 'et muitos alli '...Rhilbert Rivera escreveu: 

Colegas faltou um dado. Segue completo:  
Uma reta r intercepta uma circunferência nos pontos A e B e, forma com o eixo x 
um ângulo teta. A distância AB vale  4 vezes a  raiz quadrada de 5. Dada 
equação da circunferência   x^2 +y^2 – 18x – 16y +94 = 0. Determine a equação 
da reta. Dado: tangente de teta = 4/3 Desculpem e obrigado

From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Geometria AnalíticaDate: 
Mon, 4 Aug 2008 13:30:43 +Agradeço qualquer ajuda no problema abaixo: 
Uma reta r intercepta uma circunferência nos pontos A e B e, forma com o eixo x 
um ângulo teta. A distância AB vale  4 vezes a  raiz quadrada de 5. Dada 
equação da circunferência   x^2 +y^2 – 18x – 16y +94 = 0. Determine a equação 
da reta.
 
Obrigado
(^_^)

Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver 
offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! 

Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver 
offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o 
seu!= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= -- 
Rafael 
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 
_
Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o 
Messenger! É GRÁTIS!
http://www.msn.com.br/emoticonpack

Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Carlos Nehab]

Oi, Rafael,

De fato... obrigado pela correção. Leitura desatenta.

Abraços,
Nehab

Rafael Ando escreveu:

  Legal, gostei da sua soluçao... mas note que AB = 4 sqrt(5), e
nao sqrt(5)...
   
  Entao teriamos:
   
  d² + 20 = 51 -- d² = 31.
  
 
  On 8/5/08, Carlos
Nehab [EMAIL PROTECTED]
wrote:
  
Oi,
Rhilbert 

Alguns exercícios de Geometria Analítica - por exemplo, este - exigem
um pouco de malandragem para se evitar "contas" em excesso ou até
impossíveis numa prova...  Em alguns exercícios, a saída é buscar uma
solução quase que puramente geométrica; em outros, apenas um pouco de
malícia e/ou o conhecimento de uma ou outra ridícula formuleta útil.  

Como eu jamais conseguiria fazer as contas propostas pelo Bouskela sem
errá-las, eu faria assim (correndo menos risco de errar nas contas): 

1) A reta procurada pode ser escrita na forma  4x - 3y + k = 0 , pois
possui coeficiente angular 4/3, onde k é desconhecido;
2) A distância entre uma reta ax + by + c =
0 e um ponto (X; Y) é dada pela formuleta d =   |  aX + bY + c |  / 
raiz(a^2 + b^2)   

Mas do enunciado é imediato calcular a
distância do centro do círculo (9; 8) à reta: um triangulozinho
retângulo resolve:  d^2 +  5/4 = 51; logo,  d^2 =  199/4.

Daí e da formuleta mágica, teos: raiz(199/4) = |  4.9 - 3.8 + k | / 5; 
Logo, se as contas estiverem corretas, k = -12 +- 5.raiz(199)/2 . 
Portanto, duas soluções, como o Bouskela já havia assinalado. 

Abraços,
Nehab
Esquentando os motores, depois de uma longuérrima e frustrante ausência
da Lista - viu, Rogério, Salhab, Fernando 'et "muitos" alli '...

Rhilbert Rivera escreveu:

Colegas faltou um dado. Segue completo:  
  Uma reta r intercepta uma circunferência nos
pontos A e B e, forma com o eixo x um ângulo teta. A distância AB vale 
  4 vezes a  raiz quadrada de 5. Dada equação
da circunferência   x^2 +y^2 – 18x – 16y +94
= 0. Determine a equação da reta. 
  
Dado: tangente de teta = 4/3
 
Desculpem e obrigado
  
  
  
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Geometria Analítica
Date: Mon, 4 Aug 2008 13:30:43 +
  
Agradeço qualquer ajuda no problema abaixo:
 
  
  Uma reta r intercepta uma circunferência nos
pontos A e B e, forma com o eixo x um ângulo teta. A distância AB vale 
  4 vezes a  raiz quadrada de 5. Dada equação
da circunferência   x^2 +y^2 – 18x – 16y +94
= 0. Determine a equação da reta.
   
  Obrigado
  (^_^)
  
  
Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você
estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! 
  
Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você
estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu!


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
  
  
  
  
  
-- 
Rafael 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Carlos Nehab]

Oi, Rafael,

De fato... obrigado pela correção. Leitura desatenta.

Abraços,
Nehab

Rafael Ando escreveu:

  Legal, gostei da sua soluçao... mas note que AB = 4 sqrt(5), e
nao sqrt(5)...
   
  Entao teriamos:
   
  d² + 20 = 51 -- d² = 31.
  
 
  On 8/5/08, Carlos
Nehab [EMAIL PROTECTED]
wrote:
  
Oi,
Rhilbert 

Alguns exercícios de Geometria Analítica - por exemplo, este - exigem
um pouco de malandragem para se evitar "contas" em excesso ou até
impossíveis numa prova...  Em alguns exercícios, a saída é buscar uma
solução quase que puramente geométrica; em outros, apenas um pouco de
malícia e/ou o conhecimento de uma ou outra ridícula formuleta útil.  

Como eu jamais conseguiria fazer as contas propostas pelo Bouskela sem
errá-las, eu faria assim (correndo menos risco de errar nas contas): 

1) A reta procurada pode ser escrita na forma  4x - 3y + k = 0 , pois
possui coeficiente angular 4/3, onde k é desconhecido;
2) A distância entre uma reta ax + by + c =
0 e um ponto (X; Y) é dada pela formuleta d =   |  aX + bY + c |  / 
raiz(a^2 + b^2)   

Mas do enunciado é imediato calcular a
distância do centro do círculo (9; 8) à reta: um triangulozinho
retângulo resolve:  d^2 +  5/4 = 51; logo,  d^2 =  199/4.

Daí e da formuleta mágica, teos: raiz(199/4) = |  4.9 - 3.8 + k | / 5; 
Logo, se as contas estiverem corretas, k = -12 +- 5.raiz(199)/2 . 
Portanto, duas soluções, como o Bouskela já havia assinalado. 

Abraços,
Nehab
Esquentando os motores, depois de uma longuérrima e frustrante ausência
da Lista - viu, Rogério, Salhab, Fernando 'et "muitos" alli '...

Rhilbert Rivera escreveu:

Colegas faltou um dado. Segue completo:  
  Uma reta r intercepta uma circunferência nos
pontos A e B e, forma com o eixo x um ângulo teta. A distância AB vale 
  4 vezes a  raiz quadrada de 5. Dada equação
da circunferência   x^2 +y^2 – 18x – 16y +94
= 0. Determine a equação da reta. 
  
Dado: tangente de teta = 4/3
 
Desculpem e obrigado
  
  
  
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Geometria Analítica
Date: Mon, 4 Aug 2008 13:30:43 +
  
Agradeço qualquer ajuda no problema abaixo:
 
  
  Uma reta r intercepta uma circunferência nos
pontos A e B e, forma com o eixo x um ângulo teta. A distância AB vale 
  4 vezes a  raiz quadrada de 5. Dada equação
da circunferência   x^2 +y^2 – 18x – 16y +94
= 0. Determine a equação da reta.
   
  Obrigado
  (^_^)
  
  
Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você
estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! 
  
Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você
estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu!


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
  
  
  
  
  
-- 
Rafael 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Rafael Ando]

Legal, gostei da sua soluçao... mas note que AB = 4 sqrt(5), e nao
sqrt(5)...

Entao teriamos:

d² + 20 = 51 -- d² = 31.


On 8/5/08, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Oi, Rhilbert

 Alguns exercícios de Geometria Analítica - por exemplo, este - exigem um
 pouco de malandragem para se evitar contas em excesso ou até impossíveis
 numa prova...  Em alguns exercícios, a saída é buscar uma solução quase que
 puramente geométrica; em outros, apenas um pouco de malícia e/ou o
 conhecimento de uma ou outra ridícula formuleta útil.

 Como eu jamais conseguiria fazer as contas propostas pelo Bouskela sem
 errá-las, eu faria assim (correndo menos risco de errar nas contas):

 1) A reta procurada pode ser escrita na forma  4x - 3y + k = 0 , pois
 possui coeficiente angular 4/3, onde k é desconhecido;
 2) A distância entre uma reta ax + by + c = 0 e um ponto (X; Y) é dada
 pela formuleta d =   |  aX + bY + c |  /  raiz(a^2 + b^2)

 Mas do enunciado é imediato calcular a distância do centro do círculo (9;
 8) à reta: um triangulozinho retângulo resolve:  d^2 +  5/4 = 51; logo,  d^2
 =  199/4.

 Daí e da formuleta mágica, teos: raiz(199/4) = |  4.9 - 3.8 + k | / 5;
 Logo, se as contas estiverem corretas, k = -12 +- 5.raiz(199)/2 .
 Portanto, duas soluções, como o Bouskela já havia assinalado.

 Abraços,
 Nehab
 Esquentando os motores, depois de uma longuérrima e frustrante ausência da
 Lista - viu, Rogério, Salhab, Fernando 'et muitos alli '...

 Rhilbert Rivera escreveu:

 Colegas faltou um dado. Segue completo:

 Uma reta r intercepta uma circunferência nos pontos A e B e, forma com o
 eixo x um ângulo teta. A distância AB vale  4 vezes a  raiz quadrada de 5.
 Dada equação da circunferência   x^2 +y^2 – 18x – 16y +94 = 0. Determine a
 equação da reta.
 Dado: tangente de teta = 4/3

 Desculpem e obrigado

 --

 From: [EMAIL PROTECTED]
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Geometria Analítica
 Date: Mon, 4 Aug 2008 13:30:43 +

 Agradeço qualquer ajuda no problema abaixo:


 Uma reta r intercepta uma circunferência nos pontos A e B e, forma com o
 eixo x um ângulo teta. A distância AB vale  4 vezes a  raiz quadrada de 5.
 Dada equação da circunferência   x^2 +y^2 – 18x – 16y +94 = 0. Determine a
 equação da reta.



 Obrigado

 (^_^)

 --
 Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver
 offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o 
 seu!http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
 --
 Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver
 offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o 
 seu!http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=




-- 
Rafael

[obm-l] Geometria Analítica

[Rhilbert Rivera]

Agradeço qualquer ajuda no problema abaixo:
 
Uma reta r intercepta uma circunferência nos pontos A e B e, forma com o eixo x 
um ângulo teta. A distância AB vale  4 vezes a  raiz quadrada de 5. Dada 
equação da circunferência   x^2 +y^2 – 18x – 16y +94 = 0. Determine a equação 
da reta.
 
Obrigado
(^_^)
_
Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver 
offline. Conheça  o MSN Mobile!
http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br

RE: [obm-l] Geometria Analítica

[Rhilbert Rivera]

Colegas faltou um dado. Segue completo:
 
Uma reta r intercepta uma circunferência nos pontos A e B e, forma com o eixo x 
um ângulo teta. A distância AB vale  4 vezes a  raiz quadrada de 5. Dada 
equação da circunferência   x^2 +y^2 – 18x – 16y +94 = 0. Determine a equação 
da reta.
 
Dado: tangente de teta = 4/3
 
Desculpem e obrigado



From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Geometria AnalíticaDate: 
Mon, 4 Aug 2008 13:30:43 +


Agradeço qualquer ajuda no problema abaixo: 
Uma reta r intercepta uma circunferência nos pontos A e B e, forma com o eixo x 
um ângulo teta. A distância AB vale  4 vezes a  raiz quadrada de 5. Dada 
equação da circunferência   x^2 +y^2 – 18x – 16y +94 = 0. Determine a equação 
da reta.
 
Obrigado
(^_^)

Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver 
offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! 
_
Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver 
offline. Conheça  o MSN Mobile!
http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br

RE: [obm-l] Geometria Analítica

[Albert Bouskela]

Bom dia!
 
Tal como proposto, não é possível determinar uma única reta, mas sim uma 
família de retas. Para determinar essa família de retas siga as seguintes 
etapas:
 
1]   pto A = (xa, ya)   ;   pto B = (xb, yb)
2]   Os ptos A e B pertencem à circunferência, logo:
Eq. 1:   xa^2 + ya^2 - 18xa - 16ya + 94 = 0
Eq. 2:   xb^2 + yb^2 - 18xb - 16yb + 94 = 0
3]   AB = 4sqrt(5), logo:
Eq. 3:   (xb - xa)^2 + (yb - ya)^2 = [4sqrt(5)]^2 = 80
4]   Os pontos A e B pertencem à reta, logo:
Eq. 4.1:   (y - ya)/(x - xa) = (yb - ya)/(xb - xa) ... esta eq. só terá 
serventia mais tarde...
Eq. 4.2:   (yb - ya)/(xb - xa) = tan(theta) = m
 
Tal como proposto, não é possível saber se theta é uma cte. ou uma variável. 
Supondo que seja uma cte. (e acho que realmente é!), tem-se um sistema de 4 
eqs. (1, 2, 3 e 4.2) e 4 incógnitas (xa, ya, xb e yb). Resolvendo o sistema, as 
4 incógnitas ficarão expressas em função de theta [ou da tan(theta)]. A partir 
daí, é só usar a eq. 4.1 para determinar a família de retas em função de theta, 
ou da tan(theta).
 
Divirta-se...
 
Sds.,[EMAIL PROTECTED]



From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Geometria AnalíticaDate: 
Mon, 4 Aug 2008 13:30:43 +


Agradeço qualquer ajuda no problema abaixo: 
Uma reta r intercepta uma circunferência nos pontos A e B e, forma com o eixo x 
um ângulo teta. A distância AB vale  4 vezes a  raiz quadrada de 5. Dada 
equação da circunferência   x^2 +y^2 – 18x – 16y +94 = 0. Determine a equação 
da reta.
 
Obrigado
(^_^)

Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver 
offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! 
_
Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos 
com até 6,000 fotos!
http://www.amigosdomessenger.com.br

FW: [obm-l] Geometria Analítica

[Albert Bouskela]

Boa tarde!
 
Considerando o novo dado que você esqueceu-se de fornecer [ tan(theta) = 4/3 ], 
basta seguir os seguintes passos:
1]   pto A = (xa, ya)   ;   pto B = (xb, yb)2]   Os ptos A e B pertencem à 
circunferência, logo:Eq. 1:   xa^2 + ya^2 - 18xa - 16ya + 94 = 0Eq. 2:   xb^2 + 
yb^2 - 18xb - 16yb + 94 = 03]   AB = 4sqrt(5), logo:Eq. 3:   (xb - xa)^2 + (yb 
- ya)^2 = [4sqrt(5)]^2 = 804]   Os pontos A e B pertencem à reta, logo:Eq. 4.1: 
  (y - ya)/(x - xa) = (yb - ya)/(xb - xa) ... esta eq. só será usada mais 
tarde...Eq. 4.2:   (yb - ya)/(xb - xa) = tan(theta) = 4/3 Assim, tem-se um 
sistema de 4 eqs. (1, 2, 3 e 4.2) e 4 incógnitas (xa, ya, xb e yb).
 
Você, agora, precisa resolver este sistema de equações e determinar xa, ya, xb 
e yb (resolva! Verifique que há 2 soluções possíveis!). A partir daí, é só usar 
a eq. 4.1 para determinar a eq. da reta. Divirta-se...
Uma solução mais elegante é fazer o seguinte:
 
1]   A eq. da cicunferência pode ser escrita assim:
(x-9)^2 + (y-8)^2 = 51   ...   verifique!
Esta é a eq. de uma circunferência com centro em (9, 8) e raio=sqrt(51).
2]   Faxendo a seguinte translação: x=x'+9 e y=y'+8 , tem-se:
x'^2 + y'^2 = 51
Daí: 
Eq. 1:   xa'^2 + ya'^2 = 51
Eq. 2:   xb'^2 + yb'^2 = 51
3]   Apesar da translação, a distância AB é invariante.
Daí:
Eq. 3:   (xb' - xa')^2 + (yb' - ya')^2 = [4sqrt(5)]^2 = 80
4]   A inclinação da reta tb é invariante.
Daí:
Eq. 4:   (yb' - ya')/(xb' - xa') = tan(theta) = 4/3
 
É um sistema de 4 eqs e 4 incógnitas: xa', ya', xb' e yb'
 
Resolva! Repare que há 2 soluções possíveis!
 
5]   xa=xa'+9 e ya=ya'+8   ;   xb=xb'+9 e yb=yb'+8
 
Determine xa, ya, xb e yb
 
Usando a eq. 4.1:   (y - ya)/(x - xa) = (yb - ya)/(xb - xa)
 
encontre, finalmente, a eq. da reta (são 2 soluções possíveis!)
[EMAIL PROTECTED]



From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: RE: [obm-l] Geometria 
AnalíticaDate: Mon, 4 Aug 2008 12:38:05 -0300


Bom dia! Tal como proposto, não é possível determinar uma única reta, mas sim 
uma família de retas. Para determinar esta família de retas siga as seguintes 
etapas: 1]   pto A = (xa, ya)   ;   pto B = (xb, yb)2]   Os ptos A e B 
pertencem à circunferência, logo:Eq. 1:   xa^2 + ya^2 - 18xa - 16ya + 94 = 0Eq. 
2:   xb^2 + yb^2 - 18xb - 16yb + 94 = 03]   AB = 4sqrt(5), logo:Eq. 3:   (xb - 
xa)^2 + (yb - ya)^2 = [4sqrt(5)]^2 = 804]   Os pontos A e B pertencem à reta, 
logo:Eq. 4.1:   (y - ya)/(x - xa) = (yb - ya)/(xb - xa) ... esta eq. só terá 
serventia mais tarde...Eq. 4.2:   (yb - ya)/(xb - xa) = tan(theta) = m Tal como 
proposto, não é possível saber se theta é uma cte. ou uma variável. Supondo que 
seja uma cte. (e acho que realmente é!), tem-se um sistema de 4 eqs. (1, 2, 3 e 
4.2) e 4 incógnitas (xa, ya, xb e yb). Resolvendo o sistema, as 4 incógnitas 
ficarão expressas em função de theta [ou da tan(theta)]. A partir daí, é só 
usar a eq. 4.1 para determinar a família de retas em função de theta, ou da 
tan(theta). Divirta-se... Sds.,[EMAIL PROTECTED]



From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Geometria AnalíticaDate: 
Mon, 4 Aug 2008 13:30:43 +

Agradeço qualquer ajuda no problema abaixo: 
Uma reta r intercepta uma circunferência nos pontos A e B e, forma com o eixo x 
um ângulo teta. A distância AB vale  4 vezes a  raiz quadrada de 5. Dada 
equação da circunferência   x^2 +y^2 – 18x – 16y +94 = 0. Determine a equação 
da reta.
 
Obrigado
(^_^)

Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver 
offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! 

Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o 
Messenger! É GRÁTIS! 
_
Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger!
http://www.amigosdomessenger.com.br/

Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Carlos Nehab]

Oi, Rhilbert 

Alguns exercícios de Geometria Analítica - por exemplo, este - exigem
um pouco de malandragem para se evitar "contas" em excesso ou até
impossíveis numa prova...  Em alguns exercícios, a saída é buscar uma
solução quase que puramente geométrica; em outros, apenas um pouco de
malícia e/ou o conhecimento de uma ou outra ridícula formuleta útil.  

Como eu jamais conseguiria fazer as contas propostas pelo Bouskela sem
errá-las, eu faria assim (correndo menos risco de errar nas contas): 

1) A reta procurada pode ser escrita na forma  4x - 3y + k = 0 , pois
possui coeficiente angular 4/3, onde k é desconhecido;
2) A distância entre uma reta ax + by + c =
0 e um ponto
(X; Y) é dada pela formuleta d =   |  aX + bY + c |  /  raiz(a^2 +
b^2)   

Mas do enunciado é imediato calcular a
distância do centro do círculo (9; 8) à reta: um triangulozinho
retângulo resolve:  d^2 +  5/4 = 51; logo,  d^2 =  199/4.

Daí e da formuleta mágica, teos: raiz(199/4) = |  4.9 - 3.8 + k | / 5; 
Logo, se as contas estiverem corretas, k = -12 +- 5.raiz(199)/2 . 
Portanto, duas soluções, como o Bouskela já havia assinalado. 

Abraços,
Nehab
Esquentando os motores, depois de uma longuérrima e frustrante ausência
da Lista - viu, Rogério, Salhab, Fernando 'et "muitos" alli '...

Rhilbert Rivera escreveu:

  Colegas faltou um dado. Segue completo:  
  Uma reta r intercepta uma
circunferência nos pontos A e B e, forma com o eixo x um ângulo teta. A
distância AB vale  4 vezes a  raiz quadrada
de 5. Dada equação da circunferência   x^2
+y^2 – 18x – 16y +94 = 0. Determine a equação da reta. 
  
Dado: tangente de teta = 4/3
 
Desculpem e obrigado
  
  
  
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Geometria Analítica
Date: Mon, 4 Aug 2008 13:30:43 +
  
  
  
Agradeço qualquer ajuda no problema abaixo:
 
  
  Uma reta r intercepta uma
circunferência nos pontos A e B e, forma com o eixo x um ângulo teta. A
distância AB vale  4 vezes a  raiz quadrada
de 5. Dada equação da circunferência   x^2
+y^2 – 18x – 16y +94 = 0. Determine a equação da reta.
   
  Obrigado
  (^_^)
  
  
Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você
estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! 
  Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando
você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu!


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Geometria Analítica

[araketu]

Deparei-me com a seguinte questão:

Determinar, no eixo Ox, um ponto P que seja eqüidistante dos pontos A(-1,-2) e 
B(5,-4).
Solução do livro: O ponto pocurado é do tipo P(x,0). Deve-se ter:

d(P,A)=d(P,B) =|PA|=|PB|

Minha dúvida é: Se o ponto P é eqüidistante dos pontos A e B. Logo, ele deve 
estar entre A e B. Isso implicaria em : d(AP)=d(PB). Só que fiz por esse método 
e não cheguei a solução dada pelo livro que é: x=3.
Gostaria de saber se essa dúvida foi conceitual ou errei na interpretação da 
questão.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[João Luís Gomes Guimarães]

O problema pede um ponto que pertença ao eixo das abcissas e que também seja 
equidistante de A e B;

Então, de todos os pontos que  que sejam equidistantes de A e B (e que você 
encontrou ao resolver a equação d(AP)=d(BP)), basta que você escolha aquele que 
tem ordenada zero (pois se pertence ao eixo das abcissas, tem coordenadas 
(x,0))!

Essa é a interpretação do problema.

Com relação às implicações que você falou, olha só: você disse que Se o ponto 
P é eqüidistante dos pontos A e B. Logo, ele deve estar entre A e B. Isso 
implicaria em : d(AP)=d(PB). Vamos escrever isso assim:

P equidistante de A e B = P está entre A e B = d(AP) = d(PB)

Primeiramente, é necessário definir bem aqui o conceito de estar entre.  
Assim a primeira implicação fica clara. mas a segunda implicação é falsa, 
concorda?  Se P está entre A e B = d(AP) = d(PB) não é verdade!!!

Ficou claro? 
  - Original Message - 
  From: araketu 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, November 04, 2007 11:44 AM
  Subject: [obm-l] Geometria Analítica


  Deparei-me com a seguinte questão:

  Determinar, no eixo Ox, um ponto P que seja eqüidistante dos pontos A(-1,-2) 
e B(5,-4).
  Solução do livro: O ponto pocurado é do tipo P(x,0). Deve-se ter:

  d(P,A)=d(P,B) =|PA|=|PB|

  Minha dúvida é: Se o ponto P é eqüidistante dos pontos A e B. Logo, ele deve 
estar entre A e B. Isso implicaria em : d(AP)=d(PB). Só que fiz por esse método 
e não cheguei a solução dada pelo livro que é: x=3.
  Gostaria de saber se essa dúvida foi conceitual ou errei na interpretação da 
questão.

Re: [obm-l] Geometria analítica

[cleber vieira]

Aldo, muito obrigadopelo artigo isso era mais do que eu precisava.Valeu!Cleber
		 
Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. 

Re: [obm-l] Geometria analítica

[cleber vieira]

Amigo Aldo,desculpe estar respondendo só agora mas estive fora e apenas hoje consegui verificar minhas correspondências,este é o problema 10 da RPM Nº2 queaté agora algebricamentenão conseguiprovar.  Abraços  CleberAldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Olá, Cleber,Onde você viu que as coordenadas são estas.Pelo que eu saiba a circunferência inscrita no triângulo fica no incentro, que é o encontro das bissetrizes dos ângulos do triângulo.A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes das retas que formam o ângulo. De que forma, você teria que usar a equação de distância entre ponto e reta para determinar, ao menos, duas das bissetrizes.Depois que encontrasse as equações das bissetriz, vc teria que
 encontrar o ponto de intersecção entre elas, que é o incentro.É um trabalho extremamente algébrico, mas não consegui chegar ao resultado que você pediu. A equação é muitíssimo mais complicada.Tente seguir estes passos e confira.Se puder dizer onde encontrou estas coordenadas, vai ser interessante.Abraços,Aldocleber vieira wrote: Olá amigos, alguém poderia dar uma solução analítica para este problema.Sejam dadas as coordenadas dos pontos não alinhados A = (x1,y1), B =(x2,y2) eC = (x3,y3). Prove que as coordenadas do centro do círculo inscrito no triângulo ABCsão dadas pelas expressões:X = (ax1+ bx2 + cx3) / (a + b + c)Y = (ay1+ by2 + cy3) / (a + b + c)onde a, b e c são os compriment!
os dos
 lados do triângulo, opostos aos vértices A, B e C, respectivamente.Muito obrigado.  Cleber  Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = 
		 
Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz. 

[obm-l] Geometria analítica

[cleber vieira]

Olá amigos, alguém poderia dar uma solução analítica para este problema.Sejam dadas as coordenadas dos pontos não alinhados A = (x1,y1), B =(x2,y2) eC = (x3,y3). Prove que as coordenadas do centro do círculo inscrito no triângulo ABCsão dadas pelas expressões:X = (ax1+ bx2 + cx3) / (a + b + c)Y = (ay1+ by2 + cy3) / (a + b + c)onde a, b e c são os comprimentos dos lados do triângulo, opostos aos vértices A, B e C, respectivamente.Muito obrigado.  Cleber
		 
Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

[obm-l] Geometria analítica

[cleber vieira]

Olá amigos, alguém poderia dar uma solução analítica para este problema.Sejam dadas as coordenadas dos pontos não alinhados A = (x1,y1), B =(x2,y2) eC = (x3,y3). Prove que as coordenadas do centro do círculo inscrito no triângulo ABCsão dadas pelas expressões:X = (ax1+ bx2 + cx3) / (a + b + c)Y = (ay1+ by2 + cy3) / (a + b + c)onde a, b e c são os comprimentos dos lados do triângulo, opostos aos vértices A, B e C, respectivamente.Muito obrigado.  Cleber
		 
Yahoo! Acesso Grátis  
Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!

[obm-l] Geometria Analítica

[Marcelo Augusto Pereira]

Alguém poderia 
me ajudar com esse exercício?Um paralelogramo de vértices A, B, C 
e D, tem lados AB e CD paralelos à reta de equação r: X=(0,0,0)+l(3,4,5) e os 
outros dois paralelos ao plano PI: x+y+3z=0. Conhecendo os vértices A e D, 
determine os vértices B e C. Dados: A=(0,0,0) e 
D=(1,1,1).

Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Fabio Dias Moreira]

Leonardo Cardoso said:
 [...]
 2) Mostre analiticamente que o lugar geometrico cuja soma do quadrado
 das distâncias a dois pontos fixos é constante, é uma
 circunferência.
 [...]

Se A = (1, 0) e B = (-1, 0) são os tais pontos, então um ponto pertence a
este L.G. se e somente se

(x-1)^2 + y^2 + (x+1)^2 + y^2 = 2a^2, onde 2a^2 é a constante.

2x^2 + 2y^2 + 2 = 2a^2
x^2 + y^2 = a^2 - 1.

Logo, desde que a^2  1, este lugar geométrico é, realmente, uma
circunferência (se a^2 = 1, ele é um ponto. Se a^2  1, não existem pontos
que satisfaçam ao enunciado).

[]s,

-- 
Fábio ctg \pi Dias Moreira


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Geometria Analítica

[Claudio]

Pessoal nesta questão simples de GA, posso usar o 
baricentro para calcular o ponto equidistante?

Veja.

O Unico ponto que é equidistante de (0,0) (1,2) e 
(3,-1) é?

Desde ja agradeço.

Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Nao.
Circuncentro!

Em Tue, 28 Oct 2003 09:33:21 -0200, Claudio [EMAIL PROTECTED] disse:

 Pessoal nesta questão simples de GA, posso usar o baricentro  para calcular o ponto 
 equidistante?
 
 Veja.
 
 O Unico ponto que é equidistante de (0,0) (1,2) e (3,-1) é?
 
 Desde ja agradeço.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Cláudio \(Prática\)]

Oi, chará:

Não, pois este ponto não é o baricentro (em geral), 
mas sim o circumcentro.

Talvez seja mais fácil calcular o ponto de 
interseccção das mediatrizes de dois dos lados do triângulo que tem estes pontos 
como vértices.

Um abraço,
Cláudio.

  - Original Message - 
  From: 
  Claudio 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Tuesday, October 28, 2003 9:33 
  AM
  Subject: [obm-l] Geometria 
Analítica
  
  Pessoal nesta questão simples de GA, posso usar o 
  baricentro para calcular o ponto equidistante?
  
  Veja.
  
  O Unico ponto que é equidistante de (0,0) (1,2) e 
  (3,-1) é?
  
  Desde ja 
agradeço.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Daniel Melo Wanzeller]

Claudio,

 Não é possivel usar o 
baricentro, pois apesar de formar um triangulo, seria necessario que todas as 
medianas tivessem o mesmo comprimento, o que acontece no triangulo 
equilatero.
 Fazendo a distancia entre os 
pontos e um ponto generico (x,y), tem-se:
 x^2 + y^2 = (x-1)^2 + 
(y-2)^2
 x^2 + y^2 = (x-3)^2 + 
(y+1)^2

tem-se que x= 3/14 e y = 9/14, o que não é o mesmo 
que o baricentro do trinagulo.

 Espero ter ajudado

  Daniel 
Wanzeller

  - Original Message - 
  From: 
  Claudio 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Tuesday, October 28, 2003 9:33 
  AM
  Subject: [obm-l] Geometria 
Analítica
  
  Pessoal nesta questão simples de GA, posso usar o 
  baricentro para calcular o ponto equidistante?
  
  Veja.
  
  O Unico ponto que é equidistante de (0,0) (1,2) e 
  (3,-1) é?
  
  Desde ja 
agradeço.

[obm-l] Geometria Analítica e Plana

[paraisodovestibulando]

Olá Pessoal,

Gostaria que alguém me ajudasse nesses dois exercícios:

exercício 1 (geometria analitica)

http://www.paraisodovestibulando.kit.net/questoes/exercic
io_geometria_analitica.htm


exercicio 2 (geometria plana)

http://www.paraisodovestibulando.kit.net/questoes/exercic
io_geometria_area3.htm



Grato

Mr. Crowley

   (`-''-/).___..--''`-._   
`6_ 6  )   `-.  ().`-.__.`)
(_Y_.)'  ._   )  `._ `.``-..-' 
  _..`--'_..-_/  /--'_.' ,'   
 (il),-''  (li),'  ((!.-'

 
__
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - É grátis!
http://antipopup.uol.com.br/


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica e Plana

[Artur Costa Steiner]

Estes enderecos nao existem.
Artur

Olá Pessoal,

Gostaria que alguém me ajudasse nesses dois exercícios:

exercício 1 (geometria analitica)

http://www.paraisodovestibulando.kit.net/questoes/exercic
io_geometria_analitica.htm


exercicio 2 (geometria plana)

http://www.paraisodovestibulando.kit.net/questoes/exercic
io_geometria_area3.htm



Grato

Mr. Crowley

(`-''-/).___..--''`-._
`6_ 6 ) `-. ( ).`-.__.`)
(_Y_.)' ._ ) `._ `.``-..-'
_..`--'_..-_/ /--'_.' ,'
(il),-'' (li),' ((!.-'


__
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - É grátis!
http://antipopup.uol.com.br/


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


OPEN
Internet
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica

[Cláudio \(Prática\)]

Oi, Fael (e demais colegas):

Eu tenho sempre te aconselhado a desenhar os 
gráficos e tentar visualizar a situação do problema antes de sair escrevendo 
equações a torto e a direito. 

Estes dois problemas são uma boa ilustração. Espero 
que o Morgado me apoie nesse ponto


(FUVEST) A reta y= mx (m0) é tangente à 
circunferência (x-4)^2 + y^2=4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com 
o eixo x. 
Circunferência: C(4,0); R = 2
Desenhe o gráfico e veja que o seno desejado é igual a R/D, onde D = 
distância do centro à origem = 4

Logo, seno = 2/4 = 1/2.
resp: 1/2 
**
(U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y 
+1=0 e o ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda 
pelo ponto P é: 
Complete os quadrados e reduza à forma normal:
x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = -1 + 1 + 4 ==
(x+1)^2 + (y-2)^2 = 2^2 == C(-1,2); R = 2

A reta tangente por P é normal ao raio CP. 
Mas C e P têm a mesma abscissa == 
CP é vertical == 
a tangente por P é horizontal ==
Equação da tangente: y = 4.

resp: y=4 

Um abraço,
Claudio.


  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Tuesday, March 11, 2003 6:27 
  PM
  Subject: [obm-l] geometria 
analítica
  Olá Morgado, Como resolver estas: (FUVEST) A reta 
  y= mx (m0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4. Determine o seno 
  do ângulo que a reta forma com o eixo x. resp: 1/2 (U.E. 
  Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o ponto 
  P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo ponto P 
  é: resp: y=4 

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica

[leandro]

Fael,



O Claudio apresentou uma
otima solucao e assim voce pode ver que tem diversas formas de resolver o
problema. A ilustracao que o Claudio se referiu e muito boa e as vezes num
vestibular onde o quesito tempo e super-importante voce pode sair na frente. 



Leandro. 



-Original Message-
From:
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Cláudio (Prática)
Sent: Wednesday, March 12, 2003
12:13 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] geometria
analítica





Oi, Fael (e demais colegas):











Eu tenho sempre te aconselhado a
desenhar os gráficos e tentar visualizar a situação do problema antes de sair
escrevendo equações a torto e a direito. 











Estes dois problemas são uma boa
ilustração. Espero que o Morgado me apoie nesse ponto

















(FUVEST) A reta y= mx (m0) é
tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4. Determine o seno do ângulo que a
reta forma com o eixo x. 





Circunferência: C(4,0); R = 2





Desenhe o gráfico e veja que o seno
desejado é igual a R/D, onde D = distância do centro à origem = 4











Logo, seno = 2/4 = 1/2.






resp: 1/2 





**






(U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o
ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo
ponto P é: 





Complete os quadrados e reduza à
forma normal:





x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = -1 + 1
+ 4 ==





(x+1)^2 + (y-2)^2 = 2^2 ==
C(-1,2); R = 2











A reta tangente por P é normal ao
raio CP. 





Mas C e P têm a mesma abscissa
== 





CP é vertical == 





a tangente por P é horizontal ==





Equação da tangente: y = 4.











resp: y=4 











Um abraço,





Claudio.













- Original Message - 





From: [EMAIL PROTECTED] 





To: [EMAIL PROTECTED]






Sent: Tuesday,
March 11, 2003 6:27 PM





Subject: [obm-l]
geometria analítica









Olá Morgado, 

Como resolver estas: 


(FUVEST) A reta y= mx (m0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4.
Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x. 

resp: 1/2 

(U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o
ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo
ponto P é: 

resp: y=4 

[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica (circunferências)

[Cláudio \(Prática\)]

Oi, Fael:

(UFRS) A circunferência de centro (10, -6), tangente ao eixo dos y, 
intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas: 
Como ela é tangente ao eixo y, a distância do centro a este eixo (dada pelo 
valor absoluto da abscissa do centro) é igual ao raio == raio = 10.

Equação: (x - 10)^2 + (y + 6)^2 = 10^2.

Intercepta o eixo x == y = 0 == 
(x-10)^2 + 6^2 = 100 == 
(x-10)^2 = 64 == 
x-10 = 8 ou x-10 = - 8 == 
x = 18 ou x = 2
resp: 2 e 18 
*
(U.C. SALVADOR) A reta r, de equação y= 2x +1, e a circunferência C, de 
equação x^2 + y^2=1 interceptam-se nos pontos A e B. A medida do segmento AB é: 

Substitua y = 2x+1 na equação da circunferência a fim de achar a(s) 
abscissa(s) do(s) ponto(s) de interseção

Em seguida, substitua o(s) valor(es) de x achado(s) acimaem y = 2x + 
1 para determinar o valor da(s) ordenada(s) correspondente(s).

Agora, é só usar a fórmula da distância entre dois pontos.
resp: 4*raiz(5)/5 
***
(PUCCAMP) Considere as circunferências (lambda_1): x^2 + y^2 - 8x - 4y 
+ 15=0 e (lambda_2): x^2 + y^2 + 4x + 2y - 75=0; concluímos que: 
Normalize a equações, completando os quadrados. Você terá:

Lambda 1: x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4 = -15 + 16 + 4 ==
(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 5 == C1(4,2); R1 = raiz(5)

Lambda 2: x^2 + 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = 75 + 4 + 1 ==
(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 80 == C2(-2,-1); R2 = raiz(80) = 
4*raiz(5).

Distância entre os centros = raiz[(4+2)^2 + (2+1)^2] = raiz(36+9) = 
3*raiz(5) = R2 - R1 == 
Lambda 1 e Lambda 2 são tangentes internamente.
resp: (lambda_1) e (lambda_2) se tangenciam-se internamente 

*
Um abraço,
Claudio.

[obm-l] geometria analítica

[Faelccmm]

Olá Morgado,

Como resolver estas:


(FUVEST) A reta y= mx (m0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x.

resp: 1/2

(U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo ponto P é:

resp: y=4

[obm-l] RE: [obm-l] geometria analítica

[leandro]

Fael,



No numero 1) eu substitui
o valor y=mx na equacao da circunferencia e dai voce encontra a seguinte
equacao do 2o grau 



(m^2+1)x^2  8x +
12 = 0. Como foi dito que m  0, entao temos que a intersecao da reta com a
circunferencia deve produzir somente 1 ponto, portanto, fazendo o discriminante
da equacao encontrada igual a zero a gente encontra 



64  4(12)(m^2+1) =
0 = mod(m) = ½ =  m=1/2 (pois m  0). Agora, m e o coeficiente
angular da reta , ou seja, e a tangente do angulo que estamos querendo
encontrar. O valor do seno do angulo pode ser encontrado pela formula 



tg^2(alfa) + 1 = sec^2(alfa) = sec^2(alfa)
= 5/4 = sen^2(alfa) = 1/5. = sen(alfa) = 1/sqr(5). 



Eu nao encontrei esse
resultado ½ que voce me forneceu. Sera que errei em algum lugar ? 



Leandro. 



-Original Message-
From:
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, March
 11, 2003 1:27 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] geometria
analítica



Olá Morgado, 

Como resolver estas: 


(FUVEST) A reta y= mx (m0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4.
Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x. 

resp: 1/2 

(U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o
ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo
ponto P é: 

resp: y=4 

Re: [obm-l] RE: [obm-l] geometria analítica

[A. C. Morgado]

Um errinho de conta!
Onde esta mod(m) = 1/2 deveria estar mod(m) = 1/sqrt(3).
Daih, seguir-se-ia
tg^2(alfa) + 1
= sec^2(alfa) = sec^2(alfa) = 4/3 = sen^2(alfa) = 1/4. = sen(alfa)
= 1/2. 


leandro wrote:
   
  
   
  
  
  

  Fael,
  
  
  
  No
numero 1) eu substitui o valor y=mx na equacao da circunferencia e dai voce
encontra a seguinte equacao do 2o grau 
  
  
  
  (m^2+1)x^2
 8x + 12 = 0. Como foi dito que m  0, entao temos que a intersecao da
reta com a circunferencia deve produzir somente 1 ponto, portanto, fazendo
o discriminante da equacao encontrada igual a zero a gente encontra 
  
  
  
  64
 4(12)(m^2+1) = 0 = mod(m) =  =  m=1/2 (pois m  0). Agora,
m e o coeficiente angular da reta , ou seja, e a tangente do angulo que estamos
querendo encontrar. O valor do seno do angulo pode ser encontrado pela formula
  
  
  
  
  tg^2(alfa) + 1
= sec^2(alfa) = sec^2(alfa) = 5/4 = sen^2(alfa) = 1/5. = sen(alfa)
= 1/sqr(5). 
  
  
  
  Eu
nao encontrei esse resultado  que voce me forneceu. Sera que errei em algum
lugar ? 
  
  
  
  Leandro.
  
  
  
  
  -Original
Message-
 From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED]
 Sent: Tuesday, March  11, 2003 1:27 PM
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: [obm-l] geometria 
analtica
  
  
  
  Ol Morgado,
  
 
 Como resolver estas: 
 
 
 (FUVEST) A reta y= mx (m0)  tangente  circunferncia (x-4)^2 + y^2=4. 
Determine o seno do ngulo que a reta forma com o eixo x. 
 
 resp: 1/2 
 
 (U.E. Londrina) Sejam a circunferncia (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0
e o ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equao da reta tangente lambda
pelo ponto P : 
 
 resp: y=4 
  
  

[obm-l] RE: [obm-l] geometria analítica

[Artur Costa Steiner]

Olá Morgado, 

Como resolver estas:

Mesmo não sendo o Morgado, vou tentar ajudar
 


(FUVEST) A reta y= mx (m0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4.
Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x. 

resp: 1/2 

Por ser tangente à circunferencia, a reta intercepta-a em um, e apenas um,
ponto. Logo, a equação (x-4)^2 + (mx)^2 =4 tem uma, e apenas uma, raiz real.
Esta equação é equivalente a (1+ m^2)x^2 -8x + 12 =0, e apresentará uma
única solução real se, e somente se, seu discriminante for zero. Logo, 64 -
48 (1+ m^2) = 16 -48m^2 = 0, cuja solução é m = + ou - 1/raiz(3). Como, por
hipótese, m0, apenas a solução positiva interessa. A reta, portanto, forma
com o eixo dos x um ângulo a  cuja tangente é 1/raiz(3). Segue-se que
sec(a)^2 = 1+ tan(a)^2 = 1+ 1/3 = 4/3. Logo, cos(a)^2 = 3/4 (o ângulo é do
primeiro quadrante) e sen(a)^2 = 1/4. Finalmente, concluímos que sen(a) =
1/2.  


(U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o
ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo
ponto P é: 
resp: y=4

Calculando-se implicitamente a derivada de y com rel. a x, y', temos pela
regra da cadeia que 2x + 2y y' +2 -4 y'=0 - y'= (-2x -2)/(2y -4) =
(x+1)/(2-y), y2. No ponto dado, temos que y' = 0, logo a tangente é
horizontal. E como esta tangente intercepta a circunferência em um ponto de
ordenada 4 segue-se que sua equação é y =4. 
Vc poderioa chegar rapidamente a esta mesma conclusão observado que a
equação da circunferência pode ser escrita como (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4, a
qual tem centro em (-1, 2) e raio 2. Logo, (-1, 4) é ponto mais alto da
intersecção com a circunferência da vertical de abcissa -1, a qual passa
pelo centro de lambda. Como a tangente é perpendicular a esta vertical, a
conclusão é imediata. 

Um abraço
Artur 
attachment: winmail.dat

Re: [obm-l] geometria analítica

[A. C. Morgado]

Uma soluao sem derivadas para o problema 2:
 x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 
(x+1)^2 + (y-2)^2 = 4
O centro eh C ( - 1, 2) e o raio vale 2.
CP (raio) eh uma reta vertical (C e P tem a mesma abscissa). Logo, a tangente
eh horizontal. 
A reta horizontal por ( - 1, 4) eh y = 4.
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Ol Morgado, 
 
Como resolver estas: 
 
 
(FUVEST) A reta y= mx (m0)  tangente  circunferncia (x-4)^2 + y^2=4.
Determine o seno do ngulo que a reta forma com o eixo x. 
 
resp: 1/2 
 
(U.E. Londrina) Sejam a circunferncia (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0
e o ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equao da reta tangente lambda
pelo ponto P : 
 
resp: y=4 
  

[obm-l] geometria analítica (circunferências)

[Faelccmm]

Olá pessoal,

Como resolver estas:

(UFRS) A circunferência de centro (10, -6), tangente ao eixo dos y, intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas:

resp: 2 e 18

(U.C. SALVADOR) A reta r, de equação y= 2x +1, e a circunferência C, de equação x^2 + y^2=1 interceptam-se nos pontos A e B. A medida do segmento AB é:

resp: 4*raiz(5)/5

(PUCCAMP) Considere as circunferências (lambda_1): x^2 + y^2 - 8x - 4y + 15=0 e (lambda_2): x^2 + y^2 + 4x + 2y - 75=0; concluímos que:

resp: (lambda_1) e (lambda_2) se tangenciam-se internamente

[obm-l] geometria analítica

[Faelccmm]

Olá pessoal,

Como resolver estas duas:

(UF UBERLÂNDIA) O valor de m, para que a equação 2x + 3y + m= 0 forme com os eixos coordenados um triângulo de 5 unidades de área é:

resp: +/- 2*raiz(15)

(FGV-SP) Os pontos A(-1;4) e B(3;2) são extremidades de um diâmetro de um circunferência. A equação dessa circunferência é:

resp: (x-1)^2 + (y-3)^2 = 5

Obs: Para ter a equação da circunferência precisamos das coordenadas do raio e do centro. A coordenada do centro é o ponto médio de AB, pois AB é diâmetro. Já no caso do raio como faço para achar as coordenadas neste caso ? Sei que R^2= a^2 + b^2 - p. O a e o b pode ser encontrado, pois são coordenadas do centro e o termo independente ?

Re: [obm-l] geometria analítica

[Rafael]

Olá!

A primeira você deve escever as coordenadas em função
de m. Como o triângulo é formado pela reta dada e os
eixos coordenados, um dos vértices é a origem (0, 0)
os outros dois pontos são dados quando x = 0 e quando
y = 0, colocando na equação dada você achará:
(0, -m/3) e (-m/2, 0)

Com esses 3 pontos você achará a área usando o
determinante da matriz 3 x 3 formada com as
coordenadas em cada linha, compeltando com 1 na última
coluna e esse determinante tem que dar 5.

Na segunda, como você já sabe o centro, o raio é a
metade da distância entre A e B ou então a distância
de A ou B até o centro. Aí você já tem tudo.

Abraços,

Rafael.

 --- [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Olá pessoal,
 
 Como resolver estas duas:
 
 (UF UBERLÂNDIA) O valor de m, para que a equação 2x
 + 3y + m= 0 forme com os 
 eixos coordenados um triângulo de 5 unidades de área
 é:
 
 resp: +/- 2*raiz(15)
 
 (FGV-SP) Os pontos A(-1;4) e B(3;2) são extremidades
 de um diâmetro de um 
 circunferência. A equação dessa circunferência é:
 
 resp: (x-1)^2 + (y-3)^2 = 5
 
 Obs: Para ter a equação da circunferência precisamos
 das coordenadas do raio 
 e do centro. A coordenada do centro é o ponto médio
 de AB, pois AB é 
 diâmetro. Já no caso do raio como faço para achar as
 coordenadas neste caso ? 
 Sei que R^2= a^2 + b^2 - p. O a e o b pode ser
 encontrado, pois são 
 coordenadas do centro e o termo independente ?

___
Busca Yahoo!
O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
http://br.busca.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

Re: [obm-l] geometria analítica

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Uma correçaozinha: onde estah o determinante tem que dar 5 deveria estar a metade 
desse determinante tem que dar + -5 .


Em Sun, 9 Mar 2003 14:30:56 -0300 (ART), Rafael [EMAIL PROTECTED] disse:

 Olá!
 
 A primeira você deve escever as coordenadas em função
 de m. Como o triângulo é formado pela reta dada e os
 eixos coordenados, um dos vértices é a origem (0, 0)
 os outros dois pontos são dados quando x = 0 e quando
 y = 0, colocando na equação dada você achará:
 (0, -m/3) e (-m/2, 0)
 
 Com esses 3 pontos você achará a área usando o
 determinante da matriz 3 x 3 formada com as
 coordenadas em cada linha, compeltando com 1 na última
 coluna e esse determinante tem que dar 5.
 
 Na segunda, como você já sabe o centro, o raio é a
 metade da distância entre A e B ou então a distância
 de A ou B até o centro. Aí você já tem tudo.
 
 Abraços,
 
 Rafael.
 
  --- [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Olá pessoal,
  
  Como resolver estas duas:
  
  (UF UBERLÂNDIA) O valor de m, para que a equação 2x
  + 3y + m= 0 forme com os 
  eixos coordenados um triângulo de 5 unidades de área
  é:
  
  resp: +/- 2*raiz(15)
  
  (FGV-SP) Os pontos A(-1;4) e B(3;2) são extremidades
  de um diâmetro de um 
  circunferência. A equação dessa circunferência é:
  
  resp: (x-1)^2 + (y-3)^2 = 5
  
  Obs: Para ter a equação da circunferência precisamos
  das coordenadas do raio 
  e do centro. A coordenada do centro é o ponto médio
  de AB, pois AB é 
  diâmetro. Já no caso do raio como faço para achar as
  coordenadas neste caso ? 
  Sei que R^2= a^2 + b^2 - p. O a e o b pode ser
  encontrado, pois são 
  coordenadas do centro e o termo independente ?
 
 ___
 Busca Yahoo!
 O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
 http://br.busca.yahoo.com/
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
 =
 
 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

[obm-l] geometria analítica

[Faelccmm]

Olá pessoal,

Como resolver estas:

(UFPA) O maior valor inteiro de p para que a equação x^2 + y^2 -6x + 4y +p=0 represente uma circunferência é:

resp: 12

(UE-CE) A distância do ponto P(-3,8) à circunferência cuja equação é x^2 + y^2 -10x -4y +13 =0, está compreendido entre :

resp: 5 e 7 

Re: [obm-l] geometria analítica

[guilherme S.]

(UFPA) O maior valor inteiro de p para que a equação
 x^2 + y^2 -6x + 4y +p=0 
 represente uma circunferência é:

(x-3)^2+(y+2)^2=9+4-p
13-p0 = p=12 

(UE-CE) A distância do ponto P(-3,8) à
 circunferência cuja equação é x^2 + 
 y^2 -10x -4y +13 =0, está compreendido entre :

(x-5)^2+(y-2)^2=16
 menor distância: dmin=sqrt(36+64)-4=6
 maiordistÂncia:dmáx=sqrt{[(8-2)^2+(-3-2)^2]-16}=
   =sqrt(84)~9
 = 6=d=9

--- [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Olá pessoal,
 
 Como resolver estas:
 
 (UFPA) O maior valor inteiro de p para que a equação
 x^2 + y^2 -6x + 4y +p=0 
 represente uma circunferência é:
 
 resp: 12
 
 (UE-CE) A distância do ponto P(-3,8) à
 circunferência cuja equação é x^2 + 
 y^2 -10x -4y +13 =0, está compreendido entre :
 
 resp: 5 e 7  
  

___
Busca Yahoo!
O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
http://br.busca.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica

[Henrique P. Sant'Anna Branco]

- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, March 09, 2003 6:09 PM
Subject: [obm-l] geometria analítica

 (UFPA) O maior valor inteiro de p para que a equação x^2 + y^2 -6x + 4y
+p=0 represente uma circunferência é:

Completando os quadrados, temos:
(x^2 - 6*x + 9) + p - 9+ (y^2 + 4y + 4) - 4 = 0
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = -p + 13

Temos que o sqrt(-p+13) é o raio da circunferência centrada em (3, -2).
Sabemos que a função raiz quadrada é definida em [0, +infinito), portanto, o
maior valor para que a sqrt(-p+13) fosse definida nos reais seria 13, mas
isso nos daria 0 para o raio da circunferência. Portanto, o menor valor
inteiro é 12 = sqrt(-12+13) = sqrt(1) = 1.

A resolução do outro eu mando depois.

Abraços,
Henrique.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

Re: [obm-l] geometria analítica

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Ha um erro de interpretaçao. Distancia de um ponto a uma circunferencia significa 
menor das distancias aos pontos da circunferencia. Portanto, a distancia do ponto a 
circunferencia eh 6. 



Em Sun, 9 Mar 2003 20:29:30 -0300 (ART), guilherme S. [EMAIL PROTECTED] disse:

 (UFPA) O maior valor inteiro de p para que a equação
  x^2 + y^2 -6x + 4y +p=0 
  represente uma circunferência é:
 
 (x-3)^2+(y+2)^2=9+4-p
 13-p0 = p=12 
 
 (UE-CE) A distância do ponto P(-3,8) à
  circunferência cuja equação é x^2 + 
  y^2 -10x -4y +13 =0, está compreendido entre :
 
 (x-5)^2+(y-2)^2=16
  menor distância: dmin=sqrt(36+64)-4=6
  maiordistÂncia:dmáx=sqrt{[(8-2)^2+(-3-2)^2]-16}=
=sqrt(84)~9
  = 6=d=9
 
 --- [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Olá pessoal,
  
  Como resolver estas:
  
  (UFPA) O maior valor inteiro de p para que a equação
  x^2 + y^2 -6x + 4y +p=0 
  represente uma circunferência é:
  
  resp: 12
  
  (UE-CE) A distância do ponto P(-3,8) à
  circunferência cuja equação é x^2 + 
  y^2 -10x -4y +13 =0, está compreendido entre :
  
  resp: 5 e 7  
   
 
 ___
 Busca Yahoo!
 O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
 http://br.busca.yahoo.com/
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
 =
 
 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica e losango

[Cláudio \(Prática\)]

Caro Fael:
(UFPA) As equações de dois lados de um losango são dadas por 2x - y + 
5=0 e x + 3y -1=0, se os outros dois lados tem como vértice comum (-1, -2), 
então suas equações são: 
Um losango tem lados opostos paralelos (além de terem o mesmo comprimento, 
mas isso não é necessário ao problema).
Assim, as equações dos outros dois lados terão a forma:
2x - y = a
e
x + 3y = b

(-1,-2) pertence a estas duas retas ==

2(-1) - (-2) = a
e
-1 + 3(-2) = b ==

a = 0 e b = -7 ==

Portanto, as equações são:
2x - y = 0
e
x + 3y = -7

resp: 2x -y=0 e x + 3y +7=0 
Um abraço,
Claudio.

Re: [obm-l] geometria analítica

[A. C. Morgado]

1) (B+C)/2 = (3,1) ; (A+C)/2 = (0,5) ;(A+B)/2 = (2,3)
  B+C = (6,2);   A+C = (0, 10)  ;A+B = (4,6)
 2(A+B+C) = (10; 18)   ;   A+B+C = (5, 9)
  A = ( - 1, 7)   ;  B= (5, - 1);  C = (1, 3) 
y - 3 = [(3 - -1) / (1 - 5)] (x - 1)
y - 3 = - (x-1)
y + x = 4

2) r: x+y =1
s: 3x - 2y + 6 = 0.
Resolvendo o sistema, x = - (4/5)   y = 9/5

[EMAIL PROTECTED] wrote:
Ol pessoal,  
 
Como resolver estas: 
 
  
(FAAP-SP) Sejam as 0xy um sistema cartesiano ortogonal e o tringulo ABC,
para o qual os pontos M_A= (3,1), M_B= (0,5) e M_C= (2,3) so os pontos mdios
dos lados, opostos aos vrtices A, B e C, respectivamente. Pede-se : 
a) achar as coordenadas do vrtice A 
b) achar a equao da reta suporte do lado BC 
 
resp:  
a) A(-1;7) 
b) x + y -4= 0 
 
(UFRS) As retas r e s da figura interceptam-se no ponto de ordenada: 
 
resp: 9/5 
 
obs: Na figura a reta s est sobre os pontos (-2;0) e (0,3). J a reta r
est sobre os pontos (1;0) e (0;1) 
  

[obm-l] geometria analítica e losango

[Faelccmm]

Olá pessoal,

Como resolver esta:

(UFPA) As equações de dois lados de um losango são dadas por 2x - y + 5=0 e x + 3y -1=0, se os outros dois lados tem como vértice comum (-1, -2), então suas equações são:

resp: 2x -y=0 e x + 3y +7=0

[obm-l] geometria analítica

[Faelccmm]

Olá pessoal, 

Como resolver estas:

((UF UBERLÂNDIA) O ângulo agudo formado pelas retas y=x e y= raiz (3)*(x-5) é:

Obs: Se relacionarmos y-y_0= m*(x-x_0) com y= raiz (3)*(x-5), iremos deduzir que y_0= 0; x_0= 5 e que o coeficiente angular m=raiz (3). Logo a segunda reta está sobre o eixo das abscissas pois y_0=0. A primeira reta é a bissetriz do primeiro quadrante, logo o ângulo formada pelas duas retas é de 45º. Onde errei ? Pois segundo o gabarito a resposta é 15º.

(FAAP-SP) Sejam as 0xy um sistema cartesiano ortogonal e o triângulo ABC, para o qual os pontos M_A= (3,1), M_B= (0,5) e M_C= (2,3) são os pontos médios dos lados, opostos aos vértices A, B e C, respectivamente. Pede-se :
a) achar as coordenadas do vértice A
b) achar a equação da reta suporte do lado BC

resp: 
a) A(-1;7)
b) x + y -4= 0

(UFRS) As retas r e s da figura interceptam-se no ponto de ordenada:

resp: 9/5

obs: Na figura a reta s está sobre os pontos (-2;0) e (0,3). Já a reta r está sobre os pontos (1;0) e (0;1)

[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica

[Henrique P. Sant'Anna Branco]

A reta y=x, no primeiro quadrante, é a bissetriz desse quadrante, formando
45 graus com o eixo x (e também o y, claro, mas esse não nos interessa).
A outra reta tem como coeficiente angular sqrt(3), o que nos dá o ângulo de
60 graus (arc tan (sqrt(3))). Veja que essa reta fica à esquerda da reta da
reta y=x, no sentido anti-horário. O ângulo feito entre elas vai ser o
ângulo com o eixo x formado pela reta y=raiz(3)*(x-5) menos o ângulo formado
pela reta x=y com o mesmo eixo: 60-45 = 15 graus.
Faz o desenho das duas que você vai entender direitinho.

Abraço,
Henrique.

- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, March 05, 2003 4:34 PM
Subject: [obm-l] geometria analítica


((UF UBERLÂNDIA) O ângulo agudo formado pelas retas y=x  e y=raiz (3)*(x-5)
é:

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

Re: [obm-l] geometria analítica

[Carlos Victor]

Olá ,
Determine a área do triângulo ABC e
multiplique por 2 , ok ?. É interessante
também tentar calcular os valores de m e n
, ok ? 
[]´s Carlos Victor

At 02:29 21/1/2003 -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá,

Como resolver esta questão: 
(PUC) Os pontos A(1;2), B(4,3) C(3,1) e D(m,n), nesta ordem, formam um
paralelogramo. A área do paralogramo ABCD é igual a : 
Gabarito: 5 

[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica

[Felipe Villela Dias]

Olá a todos,
Me parece que apenas achando os vetores AB (3,1) e BC (-1,-2) e 
calculando o módulo do determinante dessa matriz você encontra a sua 
resposta.
| +3 +1| = -6 +1= -5 como a resposta é em módulo, 
+5.
| -1 -2|

Abraços a todos.

  
  - Original Message - 
  From: 
  Carlos 
  Victor 
  To: [EMAIL PROTECTED] ; [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Tuesday, January 21, 2003 8:20 
  AM
  Subject: Re: [obm-l] geometria 
  analítica
  Olá ,Determine a área do triângulo 
  ABC e multiplique por 2 , ok ?. É 
  interessante também tentar calcular os valores 
  de m e n , ok ? []´s Carlos 
  VictorAt 02:29 21/1/2003 -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
  
Olá, Como resolver esta questão: 
(PUC) Os pontos A(1;2), B(4,3) C(3,1) e D(m,n), nesta ordem, formam 
um paralelogramo. A área do paralogramo ABCD é igual a : Gabarito: 5 

  ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by 
AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 
6.0.443 / Virus Database: 248 - Release Date: 
10/1/2003

[obm-l] geometria analítica

[Faelccmm]

Olá, 

Como resolver esta questão:

(PUC) Os pontos A(1;2), B(4,3) C(3,1) e D(m,n), nesta ordem, formam um paralelogramo. A área do paralogramo ABCD é igual a :

Gabarito: 5 

Re: [obm-l] geometria analítica

[Carlos Victor]

Olá ,
A distância de P ao ponto A é dado
por sqrt[(x-1)^2 + y^2 ] = d1 e, a distância de P ao
eixo das ordenadas é d2 = módulo de x . Do
enunciado d1 d2 e você encontrará a resposta
elevando ambos os membros da desigualdade ao quadrado ,
ok ?
[]´s Carlos Victor


At 23:39 17/1/2003 -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá
pessoal, 
Vejam a questão: 
(UFMG) O ponto P= (x,y) está mais próximo do ponto A= (1,0) que do eixo
das ordenadas. Pode-se afirmar que: 
Resp: y^22x-1 
As outras alternativas eram parecidas com essa, mas como proceder para
chegar neste resultado (correto)? 

[obm-l] Re:[obm-l] geometria analítica

[arakelov]

 Olá pessoal,
 
 Vejam a questão:
 
 (UFMG) O ponto P= (x,y) está mais próximo do ponto A= (1
,0) que do eixo das 
 ordenadas. Pode-se afirmar que:
 
 Resp: y^22x-1
 
 As outras alternativas eram parecidas com essa, mas como
 proceder para chegar 
 neste resultado (correto)?  
 basta vc calcular pela formula de distancia entre dois 
pontos ,primeiro calcule distancia de P ate A e depois vc 
vai obter apenas modulo de x para outra distancia ai e so 
resolver a desigualdade,espero ter ajudado,um abraço alex

 
__
E-mail Premium BOL
Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já!
http://email.bol.com.br/


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

[obm-l] geometria analítica

[Faelccmm]

Olá pessoal,

Vejam a questão:

(UFMG) O ponto P= (x,y) está mais próximo do ponto A= (1,0) que do eixo das ordenadas. Pode-se afirmar que:

Resp: y^22x-1

As outras alternativas eram parecidas com essa, mas como proceder para chegar neste resultado (correto)? 

[obm-l] Geometria analítica

[Faelccmm]

Olá pessoal,

Vejam a questão:

A reta y – 2x + 5 = 0 tangencia, no ponto M, a circunferência C de equação x^2 + y^2 = 5. A reta y = – x + p intercepta C nos pontos M e Q.

Determine o valor de p ?

Resolução:

y = 2x - 5 x^2 + y^2 = 5 , portanto x^2 + (2x – 5)^2 = 5x^2+ 4x^2 – 20x + 20 = 0 5 x^2 – 20x + 20 = 0 
 
x= 2 
y= – 1 

Logo, M (2,– 1)y = – x + p – 1 = – 2 + p 
p = 1 

Dúvida: Substituindo o x=2 em x^2+ y^2 = 5 temos y=1 e y= -1, então porque só foi considerado o -1 em M (2,– 1)? Por que não considerar M (2, 1) se a eq. do 2º da dois valores o -1 e também o 1?  

[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica

[David Ricardo]

3/2 * |  x8 |   +  2/3 * |  y  6|=  |   7  16 |
 | 10   y || 12   x+4 ||   23 13 |


3/2x + 2/3y = 7
3/2y + 2/3(x+4) = 13

É só resolver o sistema.

x = 2 e y = 6.

[]s
David

- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, January 04, 2003 4:11 AM
Subject: [obm-l] geometria analítica


Olá pessoal,

Observem as matrizem abaixo:

M=  x8  N=y 6
  P=7   16
  10   y 12x+4
23 13

Elas satisfazem a igualdade (3/2) M + (2/3) N = P. Logo x-y é igual a:
Ps:a resposta é 4. Como chegar até ela ?

___
Busca Yahoo!
O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
http://br.busca.yahoo.com/

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

[obm-l] geometria analítica

[Faelccmm]

Olá pessoal,

Observem as matrizem abaixo:

M= x 8 N= y 6 P= 7 16
 10 y 12 x+4 23 13

Elas satisfazem a igualdade (3/2) M + (2/3) N = P. Logo x-y é igual a:
Ps:a resposta é 4. Como chegar até ela ?


 
 

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica

[larryp]

A mediana desejada une o vértice B (4,5) ao 
ponto médio de AC (4,3).

Repare que ambos os pontos têm a mesma abscissa 
(coordenada x). Assim, a reta que os une é: x = 4.

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, January 02, 2003 5:13 
  AM
  Subject: [obm-l] Geometria 
analítica
  
  Determine a equação da mediana relativa ao lado 
  AC de um triângulo cujos vértices são os pontos A(1,2) , B(4,5) e C(7,4). 
  Resposta 
  A equação da mediana é x=4. Como operar para chegar na 
  equação da mediana como nessa questão ? 
  

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica

[Eder]

Seja P(a,b) o ponto médio do segmento 
AC.Calculam-se a e b facilmente:

a = (1+7)/2=4
b = (2+4)/2=3

Basta achar a equação da reta que passa por B(4,5) 
e por P(4,3).Como a reta será da formaax+by+c=0 e para x=4 temos dois 
valores correspondentes,tá na cara que só podemos ter a=1,b=0 e c=-4 ,ou 
seja,x=4.Na dúvida,tire a reta pelo método do determinante.

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, January 02, 2003 5:13 
  AM
  Subject: [obm-l] Geometria 
analítica
  
  Determine a equação da mediana relativa ao lado 
  AC de um triângulo cujos vértices são os pontos A(1,2) , B(4,5) e C(7,4). 
  Resposta 
  A equação da mediana é x=4. Como operar para chegar na 
  equação da mediana como nessa questão ? 
  

[obm-l] Geometria analítica

[Faelccmm]

Determine a equação da mediana relativa ao lado AC de um triângulo cujos vértices são os pontos A(1,2) , B(4,5) e C(7,4).
Resposta
A equação da mediana é x=4.

Como operar para chegar na equação da mediana como nessa questão ?