[obm-l] RES: [obm-l] equação

[Ralph Teixeira]

Fiz no 
braço mesmo. Seja s=senx, c=cosx, tgx=s/c. Então temos:
 
4s+2c-3s/c-2=0
4sc+2c^2-3s-2c=0
s(4c-3)=2c(1-c)
s=2c(1-c)/(4c-3)
 
Substituo em s^2=1-c^2... fica feio, mas podia ser 
pior:
 
4c^2(1-c)^2=(4c-3)^2(1-c^2)
 
c=1 ou 
4c^2(1-c)=(4c-3)^2(1+c)
 
Se 
c=1, s=0, t=0 dá as soluções x=2KPi.
 
Senão...
 
4c^2-4c^3=(16c^2-24c+9)(1+c)
20c^3-12c^2-15c+9=0
5c(4c^2-3)-3(4c^2-3)=0
(5c-3)(4c^2-3)=0
 
c=3/5 
implica s=2c(1-c)/(4c-3)=-4/5 e s/c=-4/3. Dá 
x=-arctan(4/5)+2KPi.
c=+-sqrt(3)/2 implica s=2c(1-c)/(4c-3)=1/2 e 
s/c=+-sqrt(3)/3. Dá x=Pi/6+2Kpi e x=5Pi/6+2Kpi
 
Abraço,
    
Ralph

  -Mensagem original-De: Eder 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Enviada em: quinta-feira, 24 de 
  outubro de 2002 15:00Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: 
  [obm-l] equação
  Olá,
   
  Gostaria de uma ajudinha na equação 
  abaixo:
   
  4senx + 2cosx - 3tgx - 2=0
   
  Já tentei uma monte de coisa aqui e 
  nada...

[obm-l] Res: [obm-l] Equação Funcional

[Klaus Ferraz]

Olá Saulo,
  não entendi a passagem: 
" segue entao que f(g(x1))=f(g(x2)) como f e função, entao segue que
g(x1)=g(x2) contradição, logo g  injetora."
Por que vc igualou g(x1)=g(x2)? Vc ainda num provou q f eh injetora.



- Mensagem original 
De: saulo nilson <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 24 de Julho de 2007 18:30:04
Assunto: Re: [obm-l] Equação Funcional


se o dominio de f for reais, temos que f e sobrejetora ja que ax+b cobre todo o 
campo dos reais, ja se g nao for injetora, temos, 
x1=x2
g(x1) difere de g(x2)
entao
f(g(x1))=ax1+b
f(g(x2))=ax2+b
mas x1=x2
segue entao que
f(g(x1))=f(g(x2)) como f e função, entao segue que
g(x1)=g(x2) contradição, logo g  injetora.
f(x0)=ax1+b=0
x1=-b/a
g(-b/a)=x0
como a difere de 0 e  dominio de g e reais, entao existe x0.
f e injetora
y1=y2
f(y1)=f(y2)
ax1+b=ax2+b
x1=x2
f(g(x1))=f(g(x2))
g(x1)=g(x2) g e injetora
hipotese: se f e sobrejetora
tese: g e sobrejetora
imagem de f e R, logo g(x) cobre reais, como ax+b e continua, logo , x cobre 
todo os reais,  resultando:
g(reais)-> reais, f e sobrejetora.
 
On 7/24/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 
Por que quando tenho f(g(x)) = ax+b , a<>0 eu posso garantir que f(x) é 
sobrejetora e g(x) é injetora. E também que existe x0 tal que f(x0)=0? E por 
que q se f for bijetora g tb é?
Grato. 

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Re: [obm-l] Res: [obm-l] Equação Funcional

[saulo nilson]

Segue da definição de função, quando vc quer saber se uma função em um
gráfico é função ou não vc tem que passar uma linha vertical sobre o
gráfico, caso a linha toque dois pontos então o gráfico não é função. Então
se f(g(x1))=f(g(x2)) vc não pode ter dois valores de f para um mesmo valor
de x1=x2,já que fog e uma reta, disto segue que f(x1)=g(x2), logo g e
injetora. A partea de definição de função não se aplicou neste caso.

On 7/25/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


 Olá Saulo,
  não entendi a passagem:
" *segue entao que **f(g(x1))=f(g(x2)) como f e função, entao segue que*
*g(x1)=g(x2) contradição, logo g  injetora."*
Por que vc igualou g(x1)=g(x2)? Vc ainda num provou q f eh injetora.



- Mensagem original 
De: saulo nilson <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 24 de Julho de 2007 18:30:04
Assunto: Re: [obm-l] Equação Funcional

se o dominio de f for reais, temos que f e sobrejetora ja que ax+b cobre
todo o campo dos reais, ja se g nao for injetora, temos,
x1=x2
g(x1) difere de g(x2)
entao
f(g(x1))=ax1+b
f(g(x2))=ax2+b
mas x1=x2
segue entao que
f(g(x1))=f(g(x2)) como f e função, entao segue que
g(x1)=g(x2) contradição, logo g  injetora.
f(x0)=ax1+b=0
x1=-b/a
g(-b/a)=x0
como a difere de 0 e  dominio de g e reais, entao existe x0.
f e injetora
y1=y2
f(y1)=f(y2)
ax1+b=ax2+b
x1=x2
f(g(x1))=f(g(x2))
g(x1)=g(x2) g e injetora
hipotese: se f e sobrejetora
tese: g e sobrejetora
imagem de f e R, logo g(x) cobre reais, como ax+b e continua, logo , x
cobre todo os reais,  resultando:
g(reais)-> reais, f e sobrejetora.

On 7/24/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>  Por que quando tenho f(g(x)) = ax+b , a<>0 eu posso garantir que f(x) é
> sobrejetora e g(x) é injetora. E também que existe x0 tal que f(x0)=0? E por
> que q se f for bijetora g tb é?
> Grato.
>
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mais.
>
>




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mais.

[obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau

[Albert Bouskela]

Escrevendo de forma mais elegante:

 

Olá!

 

Você deve usar a Fórmula de De Moivre:

 

[ r (cos(A) + i sin(A) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cos((A+2kpi)/n) + i
sin((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)

   [ r (cis(A)) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cis((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)

 

Então:

 

x = 1^(1/7)

 

Escrevendo 1 na forma polar: 1 = 1 [ cos(0) + i sin(0) ]

   1 = 1 cis(0)

 

Logo: 1^(1/7) = 1^(1/7) [ cos((0+2kpi)/7) + i sin((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ...
6

   1^(1/7) = 1^(1/7) [ cis((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6

 

Simplificando: 1^(1/7) = cos(2kpi/7) + i sin(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6

   1^(1/7) = cis(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6

 

Daí: x = { 1, cos(2pi/7) + i sin(2pi/7), cos(4pi/7) + i sin(4pi/7),
cos(6pi/7) + i sin(6pi/7), cos(8pi/7) + i sin(8pi/7), cos(10pi/7) + i
sin(10pi/7), cos(12pi/7) + i sin(12pi/7) } 

 

Albert Bouskela

  bousk...@msn.com

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de João Maldonado
Enviada em: 3 de fevereiro de 2011 19:00
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Equação de sétimo grau

 

Há algum  jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos
complexos? 
 
[]'s
João

[obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau

[Albert Bouskela]

Olá!

 

Você deve usar a Fórmula de De Moivre:

 

[ r (cos(A) + i sin(A) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cos((A+2kpi)/n) + i
sin((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)

 

Então:

 

x = 1^(1/7)

 

Escrevendo 1 na forma polar: 1 = 1 [ cos(0) + i sin(0) ]

Logo: 1^(1/7) = 1^(1/7) [ cos((0+2kpi)/7) + i sin((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ...
6

Simplificando: 1^(1/7) = cos(2kpi/7) + i sin(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6

Daí: x = { 1, cos(2pi/7) + i sin(2pi/7), cos(4pi/7) + i sin(4pi/7),
cos(6pi/7) + i sin(6pi/7), cos(8pi/7) + i sin(8pi/7), cos(10pi/7) + i
sin(10pi/7), cos(12pi/7) + i sin(12pi/7) } 

 

Albert Bouskela

  bousk...@msn.com

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de João Maldonado
Enviada em: 3 de fevereiro de 2011 19:00
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Equação de sétimo grau

 

Há algum  jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos
complexos? 
 
[]'s
João

[obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau

[João Maldonado]

 Peimeirament, obrigado pela solução =D
 
Nunca tinha ouvido falar dessa fórmula de De Moivre, achei muito interessante
 
cis(A)^n = cis(n.A), Há algum jeito fácil de provar isso?
 
[]'s
João
 
 
 
 
 


From: bousk...@msn.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
Date: Thu, 3 Feb 2011 20:23:53 -0200






Escrevendo de forma mais elegante:
 
Olá!
 
Você deve usar a Fórmula de De Moivre:
 
[ r (cos(A) + i sin(A) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cos((A+2kpi)/n) + i sin((A+2kpi)/n) 
] , k=0, 1 ... (n-1)
   [ r (cis(A)) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cis((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)
 
Então:
 
x = 1^(1/7)
 
Escrevendo 1 na forma polar: 1 = 1 [ cos(0) + i sin(0) ]
   1 = 1 cis(0)
 
Logo: 1^(1/7) = 1^(1/7) [ cos((0+2kpi)/7) + i sin((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6
   1^(1/7) = 1^(1/7) [ cis((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6
 
Simplificando: 1^(1/7) = cos(2kpi/7) + i sin(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
   1^(1/7) = cis(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
 
Daí: x = { 1, cos(2pi/7) + i sin(2pi/7), cos(4pi/7) + i sin(4pi/7), cos(6pi/7) 
+ i sin(6pi/7), cos(8pi/7) + i sin(8pi/7), cos(10pi/7) + i sin(10pi/7), 
cos(12pi/7) + i sin(12pi/7) } 
 

Albert Bouskela
bousk...@msn.com
 



De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
João Maldonado
Enviada em: 3 de fevereiro de 2011 19:00
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Equação de sétimo grau
 
Há algum  jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos 
complexos? 
 
[]'s
João  

[obm-l] RES: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau

[Albert Bouskela]

Olá!

 

A Fórmula de De Moivre é decorrente da Fórmula de Euler:

 

e^(ix) = cis(x)

Lado esquerdo = Lado direito

 

Fazendo:  x = A/n

 

Lado esquerdo:  e^(iA/n) = (e^(iA))^(1/n)

Sabe-se que:  e^(iA) = cis(A)  ...  Fórmula de Euler

Logo:  (e^(iA))^(1/n) = (cis(A))^(1/n)

 

Lado direito:  cis(A/n)

 

Logo:  (cis(A))^(1/n) = cis(A/n) 

 

Albert Bouskela

 <mailto:bousk...@msn.com> bousk...@msn.com

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de João Maldonado
Enviada em: 4 de fevereiro de 2011 21:15
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau

 

 Peimeirament, obrigado pela solução =D
 
Nunca tinha ouvido falar dessa fórmula de De Moivre, achei muito
interessante
 
cis(A)^n = cis(n.A), Há algum jeito fácil de provar isso?
 
[]'s
João
 
 
 
 
 

  _  

From: bousk...@msn.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
Date: Thu, 3 Feb 2011 20:23:53 -0200

Escrevendo de forma mais elegante:

 

Olá!

 

Você deve usar a Fórmula de De Moivre:

 

[ r (cos(A) + i sin(A) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cos((A+2kpi)/n) + i
sin((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)

   [ r (cis(A)) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cis((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)

 

Então:

 

x = 1^(1/7)

 

Escrevendo 1 na forma polar: 1 = 1 [ cos(0) + i sin(0) ]

   1 = 1 cis(0)

 

Logo: 1^(1/7) = 1^(1/7) [ cos((0+2kpi)/7) + i sin((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ...
6

   1^(1/7) = 1^(1/7) [ cis((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6

 

Simplificando: 1^(1/7) = cos(2kpi/7) + i sin(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6

   1^(1/7) = cis(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6

 

Daí: x = { 1, cos(2pi/7) + i sin(2pi/7), cos(4pi/7) + i sin(4pi/7),
cos(6pi/7) + i sin(6pi/7), cos(8pi/7) + i sin(8pi/7), cos(10pi/7) + i
sin(10pi/7), cos(12pi/7) + i sin(12pi/7) } 

 

Albert Bouskela

 <mailto:bousk...@msn.com> bousk...@msn.com

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de João Maldonado
Enviada em: 3 de fevereiro de 2011 19:00
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Equação de sétimo grau

 

Há algum  jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos
complexos? 
 
[]'s
João

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau

[Albert Bouskela]

Olá!
 
A Fórmula de De Moivre é decorrente da Fórmula de Euler:
 
e^(ix) = cis(x)
Lado esquerdo = Lado direito
 
Fazendo:  x = A/n
 
Lado esquerdo:  e^(iA/n) = (e^(iA))^(1/n)
Sabe-se que:  e^(iA) = cis(A)  ...  Fórmula de Euler
Logo:  (e^(iA))^(1/n) = (cis(A))^(1/n)
 
Lado direito:  cis(A/n)
 
Logo:  (cis(A))^(1/n) = cis(A/n) 
 
Albert Bouskela
bousk...@msn.com
 



 


From: joao_maldona...@hotmail.com
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Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
Date: Fri, 4 Feb 2011 21:15:21 -0200




 Peimeirament, obrigado pela solução =D
 
Nunca tinha ouvido falar dessa fórmula de De Moivre, achei muito interessante
 
cis(A)^n = cis(n.A), Há algum jeito fácil de provar isso?
 
[]'s
João
 
 
 
 
 


From: bousk...@msn.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
Date: Thu, 3 Feb 2011 20:23:53 -0200





Escrevendo de forma mais elegante:
 
Olá!
 
Você deve usar a Fórmula de De Moivre:
 
[ r (cos(A) + i sin(A) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cos((A+2kpi)/n) + i sin((A+2kpi)/n) 
] , k=0, 1 ... (n-1)
   [ r (cis(A)) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cis((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)
 
Então:
 
x = 1^(1/7)
 
Escrevendo 1 na forma polar: 1 = 1 [ cos(0) + i sin(0) ]
   1 = 1 cis(0)
 
Logo: 1^(1/7) = 1^(1/7) [ cos((0+2kpi)/7) + i sin((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6
   1^(1/7) = 1^(1/7) [ cis((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6
 
Simplificando: 1^(1/7) = cos(2kpi/7) + i sin(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
   1^(1/7) = cis(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
 
Daí: x = { 1, cos(2pi/7) + i sin(2pi/7), cos(4pi/7) + i sin(4pi/7), cos(6pi/7) 
+ i sin(6pi/7), cos(8pi/7) + i sin(8pi/7), cos(10pi/7) + i sin(10pi/7), 
cos(12pi/7) + i sin(12pi/7) } 
 

Albert Bouskela
bousk...@msn.com
 



De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
João Maldonado
Enviada em: 3 de fevereiro de 2011 19:00
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Equação de sétimo grau
 
Há algum  jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos 
complexos? 
 
[]'s
João  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau

[Pedro Angelo]

nunca tentei provar de nenhum jeito elementar... sempre usei que e^ix = cis(x)

mas talvez indução resolva : )

cis(x)^1 = cis(1x)

assumindo cis(x)^n = cis(nx), podemos começar multiplicando dos dois
lados por cis(x), e aí vai dar:

cis(x)^n * cis(x) = cis(x) * cis(nx)
cis(x)^(n+1) = [ cos(x) + i sen(x) ]*[ cos(nx) + i*sen(nx) ]
cis(x)^(n+1) = [ cos(x)*cos(nx) - sen(x)*sen(nx) ] + i*[
cos(x)*sen(nx) + cos(nx)*sen(x) ]

as expressões dentro de cada colchetes são as expansões do cossendo da
soma cos(x+nx) e do seno da soma sen(x+nx).

cis(x)^(n+1) = cos(x+nx) + i*sen(x+nx) = cis(x+nx) = cis((n+1)x)

pronto!

pra quem não sabe, demonstração por indução é um método que se usa
quando se quer demonstrar que uma certa propriedade vale pra todos os
números naturais. Nesse caso, por exemplo, queremos mostrar que,
qualquer que seja o número natural "n", vale a fórmula
cis(x)^n=cis(nx). O método consiste em mostrar que se a propriedade
valer para algum número natural "n", então ela também vale para o seu
sucessor, "n+1". Aí, basta só mostrar que vale para n=1, e então segue
que vale para n=2, e portanto vale também para n=3, etc, etc.

abraço

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau

[Alessandro Andrioni]

Utilizando a fórmula de Euler¹ sai facilmente, não?

[1]: e^(ix) = cis (x)

2011/2/4 João Maldonado :
>  Peimeirament, obrigado pela solução =D
>
> Nunca tinha ouvido falar dessa fórmula de De Moivre, achei muito
> interessante
>
> cis(A)^n = cis(n.A), Há algum jeito fácil de provar isso?
>
> []'s
> João
>
>
>
>
>
> 
> From: bousk...@msn.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
> Date: Thu, 3 Feb 2011 20:23:53 -0200
>
> Escrevendo de forma mais elegante:
>
>
>
> Olá!
>
>
>
> Você deve usar a Fórmula de De Moivre:
>
>
>
> [ r (cos(A) + i sin(A) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cos((A+2kpi)/n) + i
> sin((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)
>
>    [ r (cis(A)) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cis((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)
>
>
>
> Então:
>
>
>
> x = 1^(1/7)
>
>
>
> Escrevendo 1 na forma polar: 1 = 1 [ cos(0) + i sin(0) ]
>
>    1 = 1 cis(0)
>
>
>
> Logo: 1^(1/7) = 1^(1/7) [ cos((0+2kpi)/7) + i sin((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ...
> 6
>
>    1^(1/7) = 1^(1/7) [ cis((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6
>
>
>
> Simplificando: 1^(1/7) = cos(2kpi/7) + i sin(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
>
>    1^(1/7) = cis(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
>
>
>
> Daí: x = { 1, cos(2pi/7) + i sin(2pi/7), cos(4pi/7) + i sin(4pi/7),
> cos(6pi/7) + i sin(6pi/7), cos(8pi/7) + i sin(8pi/7), cos(10pi/7) + i
> sin(10pi/7), cos(12pi/7) + i sin(12pi/7) }
>
>
>
> Albert Bouskela
>
> bousk...@msn.com
>
>
>
> De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
> de João Maldonado
> Enviada em: 3 de fevereiro de 2011 19:00
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] Equação de sétimo grau
>
>
>
> Há algum  jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos
> complexos?
>
> []'s
> João

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau

[Tiago]

Não precisa usar exponencial complexa. A fórmula decorre das propriedades de
seno e cosseno. Tente mostrar isso:

 (cos a + i sen a)(cos b + i sen b) = cos(a+b) + i sen(a+b)

A fórmula segue daí.

2011/2/4 Albert Bouskela 

> Olá!
>
>
>
> A Fórmula de De Moivre é decorrente da Fórmula de Euler:
>
>
>
> e^(ix) = cis(x)
>
> Lado esquerdo = Lado direito
>
>
>
> Fazendo:  x = A/n
>
>
>
> Lado esquerdo:  e^(iA/n) = (e^(iA))^(1/n)
>
> Sabe-se que:  e^(iA) = cis(A)  ...  Fórmula de Euler
>
> Logo:  (e^(iA))^(1/n) = (cis(A))^(1/n)
>
>
>
> Lado direito:  cis(A/n)
>
>
>
> Logo:  (cis(A))^(1/n) = cis(A/n)
>
>
>
> *Albert Bouskela*
>
> bousk...@msn.com
>
>
>
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
> nome de *João Maldonado
> *Enviada em:* 4 de fevereiro de 2011 21:15
>
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
>
>
>
>  Peimeirament, obrigado pela solução =D
>
> Nunca tinha ouvido falar dessa fórmula de De Moivre, achei muito
> interessante
>
> cis(A)^n = cis(n.A), Há algum jeito fácil de provar isso?
>
> []'s
> João
>
>
>
>
>
> --
>
> From: bousk...@msn.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
> Date: Thu, 3 Feb 2011 20:23:53 -0200
>
> Escrevendo de forma mais elegante:
>
>
>
> Olá!
>
>
>
> Você deve usar a Fórmula de De Moivre:
>
>
>
> [ r (cos(A) + i sin(A) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cos((A+2kpi)/n) + i
> sin((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)
>
>[ r (cis(A)) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cis((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)
>
>
>
> Então:
>
>
>
> x = 1^(1/7)
>
>
>
> Escrevendo 1 na forma polar: 1 = 1 [ cos(0) + i sin(0) ]
>
>1 = 1 cis(0)
>
>
>
> Logo: 1^(1/7) = 1^(1/7) [ cos((0+2kpi)/7) + i sin((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1
> ... 6
>
>1^(1/7) = 1^(1/7) [ cis((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6
>
>
>
> Simplificando: 1^(1/7) = cos(2kpi/7) + i sin(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
>
>1^(1/7) = cis(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
>
>
>
> Daí: x = { 1, cos(2pi/7) + i sin(2pi/7), cos(4pi/7) + i sin(4pi/7),
> cos(6pi/7) + i sin(6pi/7), cos(8pi/7) + i sin(8pi/7), cos(10pi/7) + i
> sin(10pi/7), cos(12pi/7) + i sin(12pi/7) }
>
>
>
> *Albert Bouskela*
>
> bousk...@msn.com
>
>
>
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
> nome de *João Maldonado
> *Enviada em:* 3 de fevereiro de 2011 19:00
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Equação de sétimo grau
>
>
>
> Há algum  jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos
> complexos?
>
> []'s
> João
>



-- 
Tiago J. Fonseca
http://legauss.blogspot.com

[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau

[Albert Bouskela]

Olá!

Sim, pela Fórmula de Euler chega-se à Fórmula de De Moivre (está em uma das
minhas mensagens para essa Lista). Entretanto, o melhor é ver a
interpretação geométrica, no Plano de Argand, da Fórmula de Moivre. Eu a
enviei para o João Maldonado.

João, você recebeu um arquivo PDF, no qual eu lhe mostrei a interpretação
geométrica da Fórmula de Moivre?

Albert Bouskela
bousk...@msn.com

> -Mensagem original-
> De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em
> nome de Alessandro Andrioni
> Enviada em: 4 de fevereiro de 2011 23:22
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo
grau
> 
> Utilizando a fórmula de Euler¹ sai facilmente, não?
> 
> [1]: e^(ix) = cis (x)
> 
> 2011/2/4 João Maldonado :
> >  Peimeirament, obrigado pela solução =D
> >
> > Nunca tinha ouvido falar dessa fórmula de De Moivre, achei muito
> > interessante
> >
> > cis(A)^n = cis(n.A), Há algum jeito fácil de provar isso?
> >
> > []'s
> > João
> >
> >
> >
> >
> >
> > 
> > From: bousk...@msn.com
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
> > Date: Thu, 3 Feb 2011 20:23:53 -0200
> >
> > Escrevendo de forma mais elegante:
> >
> >
> >
> > Olá!
> >
> >
> >
> > Você deve usar a Fórmula de De Moivre:
> >
> >
> >
> > [ r (cos(A) + i sin(A) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cos((A+2kpi)/n) + i
> > sin((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)
> >
> >    [ r (cis(A)) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cis((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)
> >
> >
> >
> > Então:
> >
> >
> >
> > x = 1^(1/7)
> >
> >
> >
> > Escrevendo 1 na forma polar: 1 = 1 [ cos(0) + i sin(0) ]
> >
> >    1 = 1 cis(0)
> >
> >
> >
> > Logo: 1^(1/7) = 1^(1/7) [ cos((0+2kpi)/7) + i sin((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1
...
> > 6
> >
> >    1^(1/7) = 1^(1/7) [ cis((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6
> >
> >
> >
> > Simplificando: 1^(1/7) = cos(2kpi/7) + i sin(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
> >
> >    1^(1/7) = cis(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
> >
> >
> >
> > Daí: x = { 1, cos(2pi/7) + i sin(2pi/7), cos(4pi/7) + i sin(4pi/7),
> > cos(6pi/7) + i sin(6pi/7), cos(8pi/7) + i sin(8pi/7), cos(10pi/7) + i
> > sin(10pi/7), cos(12pi/7) + i sin(12pi/7) }
> >
> >
> >
> > Albert Bouskela
> >
> > bousk...@msn.com
> >
> >
> >
> > De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br]
> Em nome
> > de João Maldonado
> > Enviada em: 3 de fevereiro de 2011 19:00
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Assunto: [obm-l] Equação de sétimo grau
> >
> >
> >
> > Há algum  jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos
> > complexos?
> >
> > []'s
> > João
> 
> ===
> ==
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> ===
> ==


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau

[LEANDRO L RECOVA]

A exponencial complexa deixa a prova mais compacta e elegante. Tambem pode-se 
usar o desenvolvimento de Taylor. Leandro Los Angeles, California. Sent from my 
HTC Touch Pro2 on the Now Network from Sprint®.


-Original Message-
From: Tiago
Sent: 2/5/2011 2:31:56 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de 
sétimo grau
Não precisa usar exponencial complexa. A fórmula decorre das propriedades de 
seno e cosseno. Tente mostrar isso:

 (cos a + i sen a)(cos b + i sen b) = cos(a+b) + i sen(a+b)

A fórmula segue daí.

2011/2/4 Albert Bouskela mailto:bousk...@msn.com>>
Olá!

A Fórmula de De Moivre é decorrente da Fórmula de Euler:

e^(ix) = cis(x)
Lado esquerdo = Lado direito

Fazendo:  x = A/n

Lado esquerdo:  e^(iA/n) = (e^(iA))^(1/n)
Sabe-se que:  e^(iA) = cis(A)  ...  Fórmula de Euler
Logo:  (e^(iA))^(1/n) = (cis(A))^(1/n)

Lado direito:  cis(A/n)

Logo:  (cis(A))^(1/n) = cis(A/n)

Albert Bouskela
bousk...@msn.com<mailto:bousk...@msn.com>

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br<mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br> 
[mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br<mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br>] Em nome 
de João Maldonado
Enviada em: 4 de fevereiro de 2011 21:15

Para: obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau

 Peimeirament, obrigado pela solução =D

Nunca tinha ouvido falar dessa fórmula de De Moivre, achei muito interessante

cis(A)^n = cis(n.A), Há algum jeito fácil de provar isso?

[]'s
João






From: bousk...@msn.com<mailto:bousk...@msn.com>
To: obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
Date: Thu, 3 Feb 2011 20:23:53 -0200
Escrevendo de forma mais elegante:

Olá!

Você deve usar a Fórmula de De Moivre:

[ r (cos(A) + i sin(A) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cos((A+2kpi)/n) + i sin((A+2kpi)/n) 
] , k=0, 1 ... (n-1)
   [ r (cis(A)) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cis((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)

Então:

x = 1^(1/7)

Escrevendo 1 na forma polar: 1 = 1 [ cos(0) + i sin(0) ]
   1 = 1 cis(0)

Logo: 1^(1/7) = 1^(1/7) [ cos((0+2kpi)/7) + i sin((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6
   1^(1/7) = 1^(1/7) [ cis((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6

Simplificando: 1^(1/7) = cos(2kpi/7) + i sin(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
   1^(1/7) = cis(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6

Daí: x = { 1, cos(2pi/7) + i sin(2pi/7), cos(4pi/7) + i sin(4pi/7), cos(6pi/7) 
+ i sin(6pi/7), cos(8pi/7) + i sin(8pi/7), cos(10pi/7) + i sin(10pi/7), 
cos(12pi/7) + i sin(12pi/7) }

Albert Bouskela
bousk...@msn.com<mailto:bousk...@msn.com>

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br<mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br> 
[mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br<mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br>] Em nome 
de João Maldonado
Enviada em: 3 de fevereiro de 2011 19:00
Para: obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Equação de sétimo grau

Há algum  jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos 
complexos?

[]'s
João



--
Tiago J. Fonseca
http://legauss.blogspot.com