[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
> > Se a, b e c são positivos e a^2+b^2+c^2 = 1, qual o valor máximo de > (1-a)(1-b)(1-c)? > >> Desde já agradeço >> > Podemos usar multiplicadores de Lagrange. Seja f(a,b,c,L) = (1-a)(1-b)(1-c) -L(a^2 + b^2 + c^2 - 1) Tomando as derivadas parciais de f com relação a a, b, c e L e igualando a 0, obtemos 2a = L(1- b)(1 - c) 2b= L(1- a)(1 - c) 2c = L(1- a)(1 -c) a^2+b^2+c^2 = 1 Se L <> 0 e se nenhuma variável for 1, obtemos a/(1 - b) = b/(1 - a), sendo as outras 2 equações permutações circulares da 1a. Segue-se que a - a^2 = b - b^2 a - b = (a - b)(a + b) ==> a + b = 1. Considerando as outras 2 equações chegamos a a = b = c = raiz(3)/3. Isto leva a que a que (1 - a)(1-b)(1- c) = (1 - raiz(3)/3)^3 Se L = 0 as equações conduzem às ternas (1,0,0), (0,1,0) e a (0, 0, 1) para as quais (1 - a)(1-b)(1- c) = 0 < (1 - raiz(3)/3)^3 Como se trata de função contínua em conjunto compacto, as ternas acima dão o mínimo absoluto e (raiz(3)/3,raiz(3)/3), raiz(3)/3) dá o máximo absoluto no valor já citado Nesse problemas geralmente há tambén uma solução baseada em desugualdades como MA, MG, etc Artur Km -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
Essa equação é a de uma esfera (x-x0)²+(y-y0)²+(z-z0)²=r², no caso da sua ela estaria com centro em (0, 0, 0), e raio 1. Espero que ajude Em ter., 23 de nov. de 2021 21:54, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Se a, b e c são positivos e a^2+b^2+c^2 = 1, qual o valor máximo de > (1-a)(1-b)(1-c)? > Desde já agradeço > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
Em ter., 23 de nov. de 2021 às 21:54, marcone augusto araújo borges escreveu: > > Se a, b e c são positivos e a^2+b^2+c^2 = 1, qual o valor máximo de > (1-a)(1-b)(1-c)? Acho, só acho, que dá para simplesmente fazer assim: Se fixarmos c, temos que determinar o máximo de (1-a)(1-b) dado que a^2+b^2=Z^2(=1-c^2) Minha suspeita levemente mal fundada é que isso é máximo quando a e b são iguais. Com isso bastaria maximizar uma certa função em Z. Outra forma seria escrever a = cosF, b = sinF sinG, c=sinF cosG e usar um pouco de análise de uma variável, por exemplo fixando G e verificando F. > Desde já agradeço > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
Como ele é do terceiro grau, vai ter que cruzar o eixo dos x pelo menos uma vez. No ponto de máximo ele tangência o eixo dos x, não o cruza. Por isso tem uma raiz dupla no ponto de tangência. Em sábado, 3 de agosto de 2013, marcone augusto araújo borges escreveu: > Eu não entendi ´´esse polinomio deve ter uma raiz dupla´´.Pensei que o > polinomio poderia ter > uma raiz real e duas complexas,por exemplo.Obrigado pela atenção. > > -- > Date: Fri, 2 Aug 2013 14:07:43 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo > From: mffmartine...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Eu, de fato, não demonstrei nada... só quis justificar uma abordagem para > desvendar o mistério da inequação que eu propus. Por isso que falei "No > rascunho". Para esse caso, como existe o máximo absoluto entre - 1 e + 1, a > abordagem funcionou. Daí é só fazer a volta, com a inequação. > > Espero ter esclarecido de onde a ineq surgiu. > > Abs. > > > Em 2 de agosto de 2013 12:16, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > > A função h não poderia ter duas raízes complexas? > > -------------- > Date: Fri, 2 Aug 2013 01:07:37 -0300 > > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo > From: mffmartine...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > No rascunho, você pode tentar fazer o seguinte: vamos admitir que g(t) = - > 2t^3 + 2t possui um máximo M. Esse máximo deve ser positivo já que g(t) = > 2t . (1 - t^2) é positivo para 0 < t < 1. > > Agora você pode definir o seguinte polinômio h(t) = - 2t^3 + 2t - M. Essa > função de terceiro grau deve tocar o eixo dos x e não ultrapassá-lo quando > - 1 <= t <= + 1. Isso significa que esse polinômio deve ter uma raiz dupla. > Sejam, portanto, k, k e alpha as raízes do polinómio. Podemos calculá-las > usando as relações de Girard: > > i) k + k + alpha = 0 (o coeficiente de t^2 em h(t) é nulo) -> alpha = - 2k > ii) k.k + k.alpha + k.alpha = - 1 -> k^2 - 4k^2 = - 1. Há dois valores de > k mas, para termos M > 0, devemos tomar k = sqrt(3)/3. Assim: > ii) k.k.alpha = - M/2 -> 3/9 . - 2 . sqrt(3)/3 = - M/2 -> M = 4.sqrt(3)/9. > > Agora, vc pode colocar tudo isso em forma de inequação e deixar a solução > mais "elegante". > > Depois de estudar Cálculo, esse problema fica bem mais fácil de ser > resolvido também. > > Flw. > > Em quinta-feira, 1 de agosto de 2013, marcone augusto araújo borges > escreveu: > > Obrigado.Eu gostei.Por que escolher sqrt(3)/3 e a expressão (t - > sqrt(3))^2 . (t + 2srt(3)/3)? > Depois de feito agente entende,mas como vislumbrar um caminho para > questões do tipo? > > > -- > Date: Wed, 31 Jul 2013 15:34:29 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo > From: mffmartine...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > f(x) = sex(x) . sex(2x) = sen(x) . [2sen(x)cos(x)] = 2cos(x)sen^2(x) = > 2cos(x).(1-cos^2(x)). Fazendo cox(x) = t (- 1 <= t <= + 1), devemos > descobrir o máximo da seguinte função: g(t) = - 2t^3 + 2t. > > Sabemos que para t >= - 1, temos: t + 2sqrt(3)/3 >= 0 (- 2sqrt(3)/3 < - 1) > -> (t - sqrt(3)/3)^2 . (t + 2sqrt(3)/3) >= 0 -> t^3 - t + 2.sqrt(3)/9 >= 0 > -> -2.t^3 + 2t <= 4.sqrt(3)/9. > > Portanto o máximo é 4.sqrt(3)/9, que ocorre quando t = cos(x) = sqrt(3)/3. > > > Em 31 de julho de 2013 15:01, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > > Determinar o valor máximo de sen(x)sen(2x) > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de per > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
Eu não entendi ´´esse polinomio deve ter uma raiz dupla´´.Pensei que o polinomio poderia ter uma raiz real e duas complexas,por exemplo.Obrigado pela atenção. Date: Fri, 2 Aug 2013 14:07:43 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: mffmartine...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Eu, de fato, não demonstrei nada... só quis justificar uma abordagem para desvendar o mistério da inequação que eu propus. Por isso que falei "No rascunho". Para esse caso, como existe o máximo absoluto entre - 1 e + 1, a abordagem funcionou. Daí é só fazer a volta, com a inequação. Espero ter esclarecido de onde a ineq surgiu. Abs. Em 2 de agosto de 2013 12:16, marcone augusto araújo borges escreveu: A função h não poderia ter duas raízes complexas? Date: Fri, 2 Aug 2013 01:07:37 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: mffmartine...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br No rascunho, você pode tentar fazer o seguinte: vamos admitir que g(t) = - 2t^3 + 2t possui um máximo M. Esse máximo deve ser positivo já que g(t) = 2t . (1 - t^2) é positivo para 0 < t < 1. Agora você pode definir o seguinte polinômio h(t) = - 2t^3 + 2t - M. Essa função de terceiro grau deve tocar o eixo dos x e não ultrapassá-lo quando - 1 <= t <= + 1. Isso significa que esse polinômio deve ter uma raiz dupla. Sejam, portanto, k, k e alpha as raízes do polinómio. Podemos calculá-las usando as relações de Girard: i) k + k + alpha = 0 (o coeficiente de t^2 em h(t) é nulo) -> alpha = - 2kii) k.k + k.alpha + k.alpha = - 1 -> k^2 - 4k^2 = - 1. Há dois valores de k mas, para termos M > 0, devemos tomar k = sqrt(3)/3. Assim: ii) k.k.alpha = - M/2 -> 3/9 . - 2 . sqrt(3)/3 = - M/2 -> M = 4.sqrt(3)/9. Agora, vc pode colocar tudo isso em forma de inequação e deixar a solução mais "elegante". Depois de estudar Cálculo, esse problema fica bem mais fácil de ser resolvido também. Flw. Em quinta-feira, 1 de agosto de 2013, marcone augusto araújo borges escreveu: Obrigado.Eu gostei.Por que escolher sqrt(3)/3 e a expressão (t - sqrt(3))^2 . (t + 2srt(3)/3)?Depois de feito agente entende,mas como vislumbrar um caminho para questões do tipo? Date: Wed, 31 Jul 2013 15:34:29 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: mffmartine...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br f(x) = sex(x) . sex(2x) = sen(x) . [2sen(x)cos(x)] = 2cos(x)sen^2(x) = 2cos(x).(1-cos^2(x)). Fazendo cox(x) = t (- 1 <= t <= + 1), devemos descobrir o máximo da seguinte função: g(t) = - 2t^3 + 2t. Sabemos que para t >= - 1, temos: t + 2sqrt(3)/3 >= 0 (- 2sqrt(3)/3 < - 1) -> (t - sqrt(3)/3)^2 . (t + 2sqrt(3)/3) >= 0 -> t^3 - t + 2.sqrt(3)/9 >= 0 -> -2.t^3 + 2t <= 4.sqrt(3)/9. Portanto o máximo é 4.sqrt(3)/9, que ocorre quando t = cos(x) = sqrt(3)/3. Em 31 de julho de 2013 15:01, marcone augusto araújo borges escreveu: Determinar o valor máximo de sen(x)sen(2x) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
Eu, de fato, não demonstrei nada... só quis justificar uma abordagem para desvendar o mistério da inequação que eu propus. Por isso que falei "No rascunho". Para esse caso, como existe o máximo absoluto entre - 1 e + 1, a abordagem funcionou. Daí é só fazer a volta, com a inequação. Espero ter esclarecido de onde a ineq surgiu. Abs. Em 2 de agosto de 2013 12:16, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > A função h não poderia ter duas raízes complexas? > > -- > Date: Fri, 2 Aug 2013 01:07:37 -0300 > > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo > From: mffmartine...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > No rascunho, você pode tentar fazer o seguinte: vamos admitir que g(t) = - > 2t^3 + 2t possui um máximo M. Esse máximo deve ser positivo já que g(t) = > 2t . (1 - t^2) é positivo para 0 < t < 1. > > Agora você pode definir o seguinte polinômio h(t) = - 2t^3 + 2t - M. Essa > função de terceiro grau deve tocar o eixo dos x e não ultrapassá-lo quando > - 1 <= t <= + 1. Isso significa que esse polinômio deve ter uma raiz dupla. > Sejam, portanto, k, k e alpha as raízes do polinómio. Podemos calculá-las > usando as relações de Girard: > > i) k + k + alpha = 0 (o coeficiente de t^2 em h(t) é nulo) -> alpha = - 2k > ii) k.k + k.alpha + k.alpha = - 1 -> k^2 - 4k^2 = - 1. Há dois valores de > k mas, para termos M > 0, devemos tomar k = sqrt(3)/3. Assim: > ii) k.k.alpha = - M/2 -> 3/9 . - 2 . sqrt(3)/3 = - M/2 -> M = 4.sqrt(3)/9. > > Agora, vc pode colocar tudo isso em forma de inequação e deixar a solução > mais "elegante". > > Depois de estudar Cálculo, esse problema fica bem mais fácil de ser > resolvido também. > > Flw. > > Em quinta-feira, 1 de agosto de 2013, marcone augusto araújo borges > escreveu: > > Obrigado.Eu gostei.Por que escolher sqrt(3)/3 e a expressão (t - > sqrt(3))^2 . (t + 2srt(3)/3)? > Depois de feito agente entende,mas como vislumbrar um caminho para > questões do tipo? > > > -- > Date: Wed, 31 Jul 2013 15:34:29 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo > From: mffmartine...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > f(x) = sex(x) . sex(2x) = sen(x) . [2sen(x)cos(x)] = 2cos(x)sen^2(x) = > 2cos(x).(1-cos^2(x)). Fazendo cox(x) = t (- 1 <= t <= + 1), devemos > descobrir o máximo da seguinte função: g(t) = - 2t^3 + 2t. > > Sabemos que para t >= - 1, temos: t + 2sqrt(3)/3 >= 0 (- 2sqrt(3)/3 < - 1) > -> (t - sqrt(3)/3)^2 . (t + 2sqrt(3)/3) >= 0 -> t^3 - t + 2.sqrt(3)/9 >= 0 > -> -2.t^3 + 2t <= 4.sqrt(3)/9. > > Portanto o máximo é 4.sqrt(3)/9, que ocorre quando t = cos(x) = sqrt(3)/3. > > > Em 31 de julho de 2013 15:01, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > > Determinar o valor máximo de sen(x)sen(2x) > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
A função h não poderia ter duas raízes complexas? Date: Fri, 2 Aug 2013 01:07:37 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: mffmartine...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br No rascunho, você pode tentar fazer o seguinte: vamos admitir que g(t) = - 2t^3 + 2t possui um máximo M. Esse máximo deve ser positivo já que g(t) = 2t . (1 - t^2) é positivo para 0 < t < 1. Agora você pode definir o seguinte polinômio h(t) = - 2t^3 + 2t - M. Essa função de terceiro grau deve tocar o eixo dos x e não ultrapassá-lo quando - 1 <= t <= + 1. Isso significa que esse polinômio deve ter uma raiz dupla. Sejam, portanto, k, k e alpha as raízes do polinómio. Podemos calculá-las usando as relações de Girard: i) k + k + alpha = 0 (o coeficiente de t^2 em h(t) é nulo) -> alpha = - 2kii) k.k + k.alpha + k.alpha = - 1 -> k^2 - 4k^2 = - 1. Há dois valores de k mas, para termos M > 0, devemos tomar k = sqrt(3)/3. Assim: ii) k.k.alpha = - M/2 -> 3/9 . - 2 . sqrt(3)/3 = - M/2 -> M = 4.sqrt(3)/9. Agora, vc pode colocar tudo isso em forma de inequação e deixar a solução mais "elegante". Depois de estudar Cálculo, esse problema fica bem mais fácil de ser resolvido também. Flw. Em quinta-feira, 1 de agosto de 2013, marcone augusto araújo borges escreveu: Obrigado.Eu gostei.Por que escolher sqrt(3)/3 e a expressão (t - sqrt(3))^2 . (t + 2srt(3)/3)?Depois de feito agente entende,mas como vislumbrar um caminho para questões do tipo? Date: Wed, 31 Jul 2013 15:34:29 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: mffmartine...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br f(x) = sex(x) . sex(2x) = sen(x) . [2sen(x)cos(x)] = 2cos(x)sen^2(x) = 2cos(x).(1-cos^2(x)). Fazendo cox(x) = t (- 1 <= t <= + 1), devemos descobrir o máximo da seguinte função: g(t) = - 2t^3 + 2t. Sabemos que para t >= - 1, temos: t + 2sqrt(3)/3 >= 0 (- 2sqrt(3)/3 < - 1) -> (t - sqrt(3)/3)^2 . (t + 2sqrt(3)/3) >= 0 -> t^3 - t + 2.sqrt(3)/9 >= 0 -> -2.t^3 + 2t <= 4.sqrt(3)/9. Portanto o máximo é 4.sqrt(3)/9, que ocorre quando t = cos(x) = sqrt(3)/3. Em 31 de julho de 2013 15:01, marcone augusto araújo borges escreveu: Determinar o valor máximo de sen(x)sen(2x) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
No rascunho, você pode tentar fazer o seguinte: vamos admitir que g(t) = - 2t^3 + 2t possui um máximo M. Esse máximo deve ser positivo já que g(t) = 2t . (1 - t^2) é positivo para 0 < t < 1. Agora você pode definir o seguinte polinômio h(t) = - 2t^3 + 2t - M. Essa função de terceiro grau deve tocar o eixo dos x e não ultrapassá-lo quando - 1 <= t <= + 1. Isso significa que esse polinômio deve ter uma raiz dupla. Sejam, portanto, k, k e alpha as raízes do polinómio. Podemos calculá-las usando as relações de Girard: i) k + k + alpha = 0 (o coeficiente de t^2 em h(t) é nulo) -> alpha = - 2k ii) k.k + k.alpha + k.alpha = - 1 -> k^2 - 4k^2 = - 1. Há dois valores de k mas, para termos M > 0, devemos tomar k = sqrt(3)/3. Assim: ii) k.k.alpha = - M/2 -> 3/9 . - 2 . sqrt(3)/3 = - M/2 -> M = 4.sqrt(3)/9. Agora, vc pode colocar tudo isso em forma de inequação e deixar a solução mais "elegante". Depois de estudar Cálculo, esse problema fica bem mais fácil de ser resolvido também. Flw. Em quinta-feira, 1 de agosto de 2013, marcone augusto araújo borges escreveu: > Obrigado.Eu gostei.Por que escolher sqrt(3)/3 e a expressão (t - > sqrt(3))^2 . (t + 2srt(3)/3)? > Depois de feito agente entende,mas como vislumbrar um caminho para > questões do tipo? > > > ------ > Date: Wed, 31 Jul 2013 15:34:29 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo > From: mffmartine...@gmail.com 'mffmartine...@gmail.com');> > To: obm-l@mat.puc-rio.br 'obm-l@mat.puc-rio.br');> > > f(x) = sex(x) . sex(2x) = sen(x) . [2sen(x)cos(x)] = 2cos(x)sen^2(x) = > 2cos(x).(1-cos^2(x)). Fazendo cox(x) = t (- 1 <= t <= + 1), devemos > descobrir o máximo da seguinte função: g(t) = - 2t^3 + 2t. > > Sabemos que para t >= - 1, temos: t + 2sqrt(3)/3 >= 0 (- 2sqrt(3)/3 < - 1) > -> (t - sqrt(3)/3)^2 . (t + 2sqrt(3)/3) >= 0 -> t^3 - t + 2.sqrt(3)/9 >= 0 > -> -2.t^3 + 2t <= 4.sqrt(3)/9. > > Portanto o máximo é 4.sqrt(3)/9, que ocorre quando t = cos(x) = sqrt(3)/3. > > > Em 31 de julho de 2013 15:01, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com 'marconeborge...@hotmail.com');>> escreveu: > > Determinar o valor máximo de sen(x)sen(2x) > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
Obrigado.Eu gostei.Por que escolher sqrt(3)/3 e a expressão (t - sqrt(3))^2 . (t + 2srt(3)/3)?Depois de feito agente entende,mas como vislumbrar um caminho para questões do tipo? Date: Wed, 31 Jul 2013 15:34:29 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: mffmartine...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br f(x) = sex(x) . sex(2x) = sen(x) . [2sen(x)cos(x)] = 2cos(x)sen^2(x) = 2cos(x).(1-cos^2(x)). Fazendo cox(x) = t (- 1 <= t <= + 1), devemos descobrir o máximo da seguinte função: g(t) = - 2t^3 + 2t. Sabemos que para t >= - 1, temos: t + 2sqrt(3)/3 >= 0 (- 2sqrt(3)/3 < - 1) -> (t - sqrt(3)/3)^2 . (t + 2sqrt(3)/3) >= 0 -> t^3 - t + 2.sqrt(3)/9 >= 0 -> -2.t^3 + 2t <= 4.sqrt(3)/9. Portanto o máximo é 4.sqrt(3)/9, que ocorre quando t = cos(x) = sqrt(3)/3. Em 31 de julho de 2013 15:01, marcone augusto araújo borges escreveu: Determinar o valor máximo de sen(x)sen(2x) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
f(x) = sex(x) . sex(2x) = sen(x) . [2sen(x)cos(x)] = 2cos(x)sen^2(x) = 2cos(x).(1-cos^2(x)). Fazendo cox(x) = t (- 1 <= t <= + 1), devemos descobrir o máximo da seguinte função: g(t) = - 2t^3 + 2t. Sabemos que para t >= - 1, temos: t + 2sqrt(3)/3 >= 0 (- 2sqrt(3)/3 < - 1) -> (t - sqrt(3)/3)^2 . (t + 2sqrt(3)/3) >= 0 -> t^3 - t + 2.sqrt(3)/9 >= 0 -> -2.t^3 + 2t <= 4.sqrt(3)/9. Portanto o máximo é 4.sqrt(3)/9, que ocorre quando t = cos(x) = sqrt(3)/3. Em 31 de julho de 2013 15:01, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Determinar o valor máximo de sen(x)sen(2x) > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Valor máximo
Tenho que responder por aqui mesmo? From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Valor máximo Date: Wed, 31 Jul 2013 18:01:22 + Determinar o valor máximo de sen(x)sen(2x) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] valor máximo
Parece meio óbvio que, num círculo, o ponto mais distante de um ponto dado seja o de um diâmetro. Talvez uma desigualdade triangular? Em 24 de junho de 2013 22:30, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > (x-3)^2 + (y-3)^2 = 1.Determinar o valor máximo de x^2 + y^2 > > Fazendo x-3 = sen(a) e y-3 = cos(a),encontrei como resposta 19 + 6raiz(2) > Outro modo de resolver: > como x^2 + y^2 é o quadrado da distancia de um ponto à origem,considerei > que > o ponto da circunferencia de raio 1 e centro (3,3) mais distante da origem > pertence > à reta que passa pela origem e pelo centro(como provar?),ou seja,à reta de > equação y = x. > substituindo y por x na equação do enunciado achei x = (raiz(2) + 6)/2 e > x^2 + y^2 = 19 + 6raiz(2) > um colega foi informado de que esse problema poderia ser resolvido por > desigualdade das medias > e eu não vi uma solução por esse caminho. > Agradeço por um esclarecimento > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
Em 9 de novembro de 2012 20:58, Athos Couto escreveu: > a,b,c positivos mesmo, desculpa, esqueci disso... > E agora... preciso provar isso algebricamente! hahaha > > Outro problema que envolve os mesmos a, b e c que eu não consegui encarar > foi um da Eureka!: > Problema 152) > Sejam a; b; c n umeros reais positivos tais que a + b + c = 1. Prove que > (a - bc)/(a + bc) + (b - ac)/ (b + ac) + (c - ab)/(c + ab) =< 3/2 > Se tiver alguma luz... aprecio > Acredite: a luz é 'abra tudo com vontade'! Mas, primeiro, demonstre a seguinte forma equivalente: (aS - bc)/(aS + bc) + (bS - ac)/ (bS + ac) + (cS - ab)/(cS + ab) =< 3/2 em que S=a+b+c Substitua, faça as contas e seja feliz! Bem, eu vou te falar a verdade: minha solução não é bem neste formato, mas é essencialmente equivalente. Para facilitar as contas, eu basicamente tratei todas as expressões (depois de tirar o mínimo) como polinômios em S. > Obrigado pela ajuda, > Att. > Athos Cotta Couto > > > ____________ > Date: Fri, 9 Nov 2012 19:19:24 -0200 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo > From: ralp...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > H Você quer a,b,c positivos? > > Então eu aposto (por simetria) que o máximo é quando a=b=c=1/3, quando dá > 1/81. > > Aliás, roubei um pouquinho aqui: botei no Wolfram Alpha: > > "maximize a^2b^2c^2/(a^3+b^3+c^3) subject to a+b+c=1" > > e ele também acha que é (1/3,1/3,1/3). > > Link: > http://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+a%5E2b%5E2c%5E2%2F%28a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%29+subject+to+a%2Bb%2Bc%3D1 > > E agora? > > Abraço, > Ralph > > > > > On Fri, Nov 9, 2012 at 6:17 PM, Athos Couto wrote: > > Sendo a+b+c = 1: > Qual o valor máximo de: > (abc)²/(a³+b³+c³) ? > E quais as tríades de (a,b,c) que atingem esse valor? > > > -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
a,b,c positivos mesmo, desculpa, esqueci disso... E agora... preciso provar isso algebricamente! hahaha Outro problema que envolve os mesmos a, b e c que eu não consegui encarar foi um da Eureka!:Problema 152)Sejam a; b; c numeros reais positivos tais que a + b + c = 1. Prove que(a - bc)/(a + bc) + (b - ac)/ (b + ac) + (c - ab)/(c + ab) =< 3/2Se tiver alguma luz... aprecio Obrigado pela ajuda,Att.Athos Cotta Couto Date: Fri, 9 Nov 2012 19:19:24 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br H Você quer a,b,c positivos? Então eu aposto (por simetria) que o máximo é quando a=b=c=1/3, quando dá 1/81. Aliás, roubei um pouquinho aqui: botei no Wolfram Alpha: "maximize a^2b^2c^2/(a^3+b^3+c^3) subject to a+b+c=1" e ele também acha que é (1/3,1/3,1/3). Link: http://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+a%5E2b%5E2c%5E2%2F%28a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%29+subject+to+a%2Bb%2Bc%3D1 E agora? Abraço, Ralph On Fri, Nov 9, 2012 at 6:17 PM, Athos Couto wrote: Sendo a+b+c = 1: Qual o valor máximo de: (abc)²/(a³+b³+c³) ?E quais as tríades de (a,b,c) que atingem esse valor?
[obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
H Você quer a,b,c positivos? Então eu aposto (por simetria) que o máximo é quando a=b=c=1/3, quando dá 1/81. Aliás, roubei um pouquinho aqui: botei no Wolfram Alpha: "maximize a^2b^2c^2/(a^3+b^3+c^3) subject to a+b+c=1" e ele também acha que é (1/3,1/3,1/3). Link: http://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+a%5E2b%5E2c%5E2%2F%28a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%29+subject+to+a%2Bb%2Bc%3D1 E agora? Abraço, Ralph On Fri, Nov 9, 2012 at 6:17 PM, Athos Couto wrote: > Sendo a+b+c = 1: > Qual o valor máximo de: > (abc)²/(a³+b³+c³) ? > E quais as tríades de (a,b,c) que atingem esse valor? > > >
[obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo
Boa noite. Acredito que vc deva estudar essa equação do segundo grau em função de x ou y, ou seja, ache em função de y ou vice-versa, e depois analise as raízes. abs De: João Maldonado Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 20 de Fevereiro de 2012 21:23 Assunto: [obm-l] Valor máximo e mínimo Se a e b são respectivamente os valores máximos mínimos de y/x, com x, y>0 que satisfazem a quação 2x²+xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0 então, o valor de a + b é igual a : a) 3 b) sqrt(10) c) 7/2 d) 9/2 e) 2sqrt(14)
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo
sqrt() lembra o comando LaTeX, e as pessoas não pensam tanto em expoente fracionário. 2012/2/21 João Maldonado : > Por mim tanto faz, mas acho que as vezes o pessoal opta por sqrt(x) por > ser mais "limpo" > > Ex: Digamos sqrt( 2 + sqrt(3) ) e ( 2 + (3)^(1/2) )^(1/2) > > Na minha opinião o primeiro é mais fácil de enxergar > Mas isso é comigo, hehe > Acho que tanto faz na verdade, desde que dê para entender > > []'s , João > >> Date: Tue, 21 Feb 2012 11:22:02 -0200 >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo >> From: bardoni...@gmail.com >> To: obm-l@mat.puc-rio.br > >> >> Percebi que aqui na lista preferem a forma sqrt( ) em vez de ( )^1/2 >> ! Algum motivo especial? >> >> 2012/2/21 João Maldonado : >> > Valeu Bernardo, pelo jeito que eu tinha feito usava até derivada, >> > assim é >> > muito mais prático >> > >> > Fazendo y = kx, temos >> > >> > (3k²+k+2)x² +(-20k - 11)x + 40 = 0 >> > Delta = -80 k²+280 k-199 >> > >> > Como x e y são reais, Temos Delta>=0, ou seja, os valores máximos e >> > mínimos de k são as raízes da equação! >> > Logo a soma é -b/a = 7/2 >> > >> > Valeu Bernardo >> > >> > >> > []'s, João >> > >> > >> >> Date: Tue, 21 Feb 2012 08:45:20 +0100 >> >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo >> >> From: bernardo...@gmail.com >> >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> > >> >> >> >> 2012/2/21 João Maldonado : >> >> > Se a e b são respectivamente os valores máximos mínimos de y/x, com >> >> > x, >> >> > y>0 >> >> > que satisfazem a quação 2x²+xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0 então, o >> >> > valor >> >> > de a + b é igual a : >> >> > >> >> > a) 3 b) sqrt(10) c) 7/2 d) 9/2 e) 2sqrt(14) >> >> >> >> Mais um problema de retas tangentes! >> >> >> >> Repare que a equação acima é de uma elipse, eu espero que ela esteja >> >> bem longe da origem. Desta forma, y/x é a inclinação de uma reta >> >> passando pela origem, e os valores máximos e mínimos correspondem às >> >> inclinações das tangentes (isso supondo que a elipse não contém um >> >> quadrante inteiro, mas nesse caso y/x = +- infinito, e não tem um >> >> N.D.A. na questão). Daí, você pode substituir y = k*x na equação, e >> >> fazer como antes : Delta = 0. Vai dar uma equação provavelmente do >> >> segundo grau (tem k^2 tanto no "A" quanto no "B") e a soma das raízes >> >> você nem precisa resolver a equação! >> >> >> >> P.S.: Não é tão difícil de ver que (0,0) não está contido na elipse: >> >> quando você substitui, dá 40, que é > 0, logo está do lado de fora. >> >> Isso funciona que nem num círculo, você calcula x² + y², se for maior >> >> que R², está do lado de fora, se for menor, do lado de dentro. O que é >> >> importante é que o "sinal" na frente do coeficiente de segundo grau >> >> (homogêneo) seja "positivo" (como no caso do círculo) para você poder >> >> usar isso. Pensando de outra forma, você vê que (x,0) também não está, >> >> porque 2x² - 11x + 40 tem discriminante 11² - 4*2*40 = 121 - 320 < 0, >> >> nem (0,y), mais uma vez porque 3y² - 20y + 40 tem discriminante 400 - >> >> 4*3*40 = 4*(100 - 120) < 0. Assim, a elipse está contida em um único >> >> quadrante, e tudo que eu falei lá em cima é realmente verdade ;) >> >> >> >> Abraços, >> >> -- >> >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> >> >> >> >> = >> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> >> >> >> = >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo
Por mim tanto faz, mas acho que as vezes o pessoal opta por sqrt(x) por ser mais "limpo" Ex: Digamos sqrt( 2 + sqrt(3) ) e ( 2 + (3)^(1/2) )^(1/2) Na minha opinião o primeiro é mais fácil de enxergarMas isso é comigo, heheAcho que tanto faz na verdade, desde que dê para entender []'s , João > Date: Tue, 21 Feb 2012 11:22:02 -0200 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo > From: bardoni...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Percebi que aqui na lista preferem a forma sqrt( ) em vez de ( )^1/2 > ! Algum motivo especial? > > 2012/2/21 João Maldonado : > > Valeu Bernardo, pelo jeito que eu tinha feito usava até derivada, assim é > > muito mais prático > > > > Fazendo y = kx, temos > > > > (3k²+k+2)x² +(-20k - 11)x + 40 = 0 > > Delta = -80 k²+280 k-199 > > > > Como x e y são reais, Temos Delta>=0, ou seja, os valores máximos e > > mínimos de k são as raízes da equação! > > Logo a soma é -b/a = 7/2 > > > > Valeu Bernardo > > > > > > []'s, João > > > > > >> Date: Tue, 21 Feb 2012 08:45:20 +0100 > >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo > >> From: bernardo...@gmail.com > >> To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > >> > >> 2012/2/21 João Maldonado : > >> > Se a e b são respectivamente os valores máximos mínimos de y/x, com x, > >> > y>0 > >> > que satisfazem a quação 2x²+xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0 então, o > >> > valor > >> > de a + b é igual a : > >> > > >> > a) 3 b) sqrt(10)c) 7/2 d) 9/2 e) 2sqrt(14) > >> > >> Mais um problema de retas tangentes! > >> > >> Repare que a equação acima é de uma elipse, eu espero que ela esteja > >> bem longe da origem. Desta forma, y/x é a inclinação de uma reta > >> passando pela origem, e os valores máximos e mínimos correspondem às > >> inclinações das tangentes (isso supondo que a elipse não contém um > >> quadrante inteiro, mas nesse caso y/x = +- infinito, e não tem um > >> N.D.A. na questão). Daí, você pode substituir y = k*x na equação, e > >> fazer como antes : Delta = 0. Vai dar uma equação provavelmente do > >> segundo grau (tem k^2 tanto no "A" quanto no "B") e a soma das raízes > >> você nem precisa resolver a equação! > >> > >> P.S.: Não é tão difícil de ver que (0,0) não está contido na elipse: > >> quando você substitui, dá 40, que é > 0, logo está do lado de fora. > >> Isso funciona que nem num círculo, você calcula x² + y², se for maior > >> que R², está do lado de fora, se for menor, do lado de dentro. O que é > >> importante é que o "sinal" na frente do coeficiente de segundo grau > >> (homogêneo) seja "positivo" (como no caso do círculo) para você poder > >> usar isso. Pensando de outra forma, você vê que (x,0) também não está, > >> porque 2x² - 11x + 40 tem discriminante 11² - 4*2*40 = 121 - 320 < 0, > >> nem (0,y), mais uma vez porque 3y² - 20y + 40 tem discriminante 400 - > >> 4*3*40 = 4*(100 - 120) < 0. Assim, a elipse está contida em um único > >> quadrante, e tudo que eu falei lá em cima é realmente verdade ;) > >> > >> Abraços, > >> -- > >> Bernardo Freitas Paulo da Costa > >> > >> = > >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > >> = > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo
Percebi que aqui na lista preferem a forma sqrt( ) em vez de ( )^1/2 ! Algum motivo especial? 2012/2/21 João Maldonado : > Valeu Bernardo, pelo jeito que eu tinha feito usava até derivada, assim é > muito mais prático > > Fazendo y = kx, temos > > (3k²+k+2)x² +(-20k - 11)x + 40 = 0 > Delta = -80 k²+280 k-199 > > Como x e y são reais, Temos Delta>=0, ou seja, os valores máximos e > mínimos de k são as raízes da equação! > Logo a soma é -b/a = 7/2 > > Valeu Bernardo > > > []'s, João > > >> Date: Tue, 21 Feb 2012 08:45:20 +0100 >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo >> From: bernardo...@gmail.com >> To: obm-l@mat.puc-rio.br > >> >> 2012/2/21 João Maldonado : >> > Se a e b são respectivamente os valores máximos mínimos de y/x, com x, >> > y>0 >> > que satisfazem a quação 2x²+xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0 então, o >> > valor >> > de a + b é igual a : >> > >> > a) 3 b) sqrt(10) c) 7/2 d) 9/2 e) 2sqrt(14) >> >> Mais um problema de retas tangentes! >> >> Repare que a equação acima é de uma elipse, eu espero que ela esteja >> bem longe da origem. Desta forma, y/x é a inclinação de uma reta >> passando pela origem, e os valores máximos e mínimos correspondem às >> inclinações das tangentes (isso supondo que a elipse não contém um >> quadrante inteiro, mas nesse caso y/x = +- infinito, e não tem um >> N.D.A. na questão). Daí, você pode substituir y = k*x na equação, e >> fazer como antes : Delta = 0. Vai dar uma equação provavelmente do >> segundo grau (tem k^2 tanto no "A" quanto no "B") e a soma das raízes >> você nem precisa resolver a equação! >> >> P.S.: Não é tão difícil de ver que (0,0) não está contido na elipse: >> quando você substitui, dá 40, que é > 0, logo está do lado de fora. >> Isso funciona que nem num círculo, você calcula x² + y², se for maior >> que R², está do lado de fora, se for menor, do lado de dentro. O que é >> importante é que o "sinal" na frente do coeficiente de segundo grau >> (homogêneo) seja "positivo" (como no caso do círculo) para você poder >> usar isso. Pensando de outra forma, você vê que (x,0) também não está, >> porque 2x² - 11x + 40 tem discriminante 11² - 4*2*40 = 121 - 320 < 0, >> nem (0,y), mais uma vez porque 3y² - 20y + 40 tem discriminante 400 - >> 4*3*40 = 4*(100 - 120) < 0. Assim, a elipse está contida em um único >> quadrante, e tudo que eu falei lá em cima é realmente verdade ;) >> >> Abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo
Valeu Bernardo, pelo jeito que eu tinha feito usava até derivada, assim é muito mais prático Fazendo y = kx, temos (3k²+k+2)x² +(-20k - 11)x + 40 = 0Delta = -80 k²+280 k-199 Como x e y são reais, Temos Delta>=0, ou seja, os valores máximos e mínimos de k são as raízes da equação!Logo a soma é -b/a = 7/2 Valeu Bernardo []'s, João > Date: Tue, 21 Feb 2012 08:45:20 +0100 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo > From: bernardo...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > 2012/2/21 João Maldonado : > > Se a e b são respectivamente os valores máximos mínimos de y/x, com x, y>0 > > que satisfazem a quação 2x²+xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0 então, o valor > > de a + b é igual a : > > > > a) 3 b) sqrt(10)c) 7/2 d) 9/2 e) 2sqrt(14) > > Mais um problema de retas tangentes! > > Repare que a equação acima é de uma elipse, eu espero que ela esteja > bem longe da origem. Desta forma, y/x é a inclinação de uma reta > passando pela origem, e os valores máximos e mínimos correspondem às > inclinações das tangentes (isso supondo que a elipse não contém um > quadrante inteiro, mas nesse caso y/x = +- infinito, e não tem um > N.D.A. na questão). Daí, você pode substituir y = k*x na equação, e > fazer como antes : Delta = 0. Vai dar uma equação provavelmente do > segundo grau (tem k^2 tanto no "A" quanto no "B") e a soma das raízes > você nem precisa resolver a equação! > > P.S.: Não é tão difícil de ver que (0,0) não está contido na elipse: > quando você substitui, dá 40, que é > 0, logo está do lado de fora. > Isso funciona que nem num círculo, você calcula x² + y², se for maior > que R², está do lado de fora, se for menor, do lado de dentro. O que é > importante é que o "sinal" na frente do coeficiente de segundo grau > (homogêneo) seja "positivo" (como no caso do círculo) para você poder > usar isso. Pensando de outra forma, você vê que (x,0) também não está, > porque 2x² - 11x + 40 tem discriminante 11² - 4*2*40 = 121 - 320 < 0, > nem (0,y), mais uma vez porque 3y² - 20y + 40 tem discriminante 400 - > 4*3*40 = 4*(100 - 120) < 0. Assim, a elipse está contida em um único > quadrante, e tudo que eu falei lá em cima é realmente verdade ;) > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =
[obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo
2012/2/21 João Maldonado : > Se a e b são respectivamente os valores máximos mínimos de y/x, com x, y>0 > que satisfazem a quação 2x²+xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0 então, o valor > de a + b é igual a : > > a) 3 b) sqrt(10) c) 7/2 d) 9/2 e) 2sqrt(14) Mais um problema de retas tangentes! Repare que a equação acima é de uma elipse, eu espero que ela esteja bem longe da origem. Desta forma, y/x é a inclinação de uma reta passando pela origem, e os valores máximos e mínimos correspondem às inclinações das tangentes (isso supondo que a elipse não contém um quadrante inteiro, mas nesse caso y/x = +- infinito, e não tem um N.D.A. na questão). Daí, você pode substituir y = k*x na equação, e fazer como antes : Delta = 0. Vai dar uma equação provavelmente do segundo grau (tem k^2 tanto no "A" quanto no "B") e a soma das raízes você nem precisa resolver a equação! P.S.: Não é tão difícil de ver que (0,0) não está contido na elipse: quando você substitui, dá 40, que é > 0, logo está do lado de fora. Isso funciona que nem num círculo, você calcula x² + y², se for maior que R², está do lado de fora, se for menor, do lado de dentro. O que é importante é que o "sinal" na frente do coeficiente de segundo grau (homogêneo) seja "positivo" (como no caso do círculo) para você poder usar isso. Pensando de outra forma, você vê que (x,0) também não está, porque 2x² - 11x + 40 tem discriminante 11² - 4*2*40 = 121 - 320 < 0, nem (0,y), mais uma vez porque 3y² - 20y + 40 tem discriminante 400 - 4*3*40 = 4*(100 - 120) < 0. Assim, a elipse está contida em um único quadrante, e tudo que eu falei lá em cima é realmente verdade ;) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo para a soma dos senos
Considere que a soma dos senos é p/R. Fixe uma circunferência e considere todos os triângulos inscritos. A soma dos senos será máxima quando o perímetro for máximo. Ok. Fixe um lado do triângulo e varie sobre a circunferência o vértice oposto. O perímetro do triângulo será máximo quando os dois lados que estavam variando forem iguais. Repetindo o mesmo para os outros lados, o máximo do perímetro ocorre quando o triângulo inscrito for equilátero. A soma máxima dos senos é 3.sqrt(3)/2. Quoting Ralph Teixeira : Procure "derivadas parciais". :) 2011/11/24 João Maldonado Recentemente vi um problema na lista sobre como calcular a soma dos 3 senos de um triângulo, em que a resposta foi p/R Fiquei pensando então qual deveria ser o valor máximo para esta soma Fiz assim: Dada uma circunferência de raio R, e um dos lados do triângulo, que chamaremos de w, temos necessariamente que um ângulo (que chamaremos de W) já está determinado, o valor máximo de p então seria o valor máximo da soma dos outros lados. Como a² + b² - 2abcosW = w² -> (a+b)² - 2ab(1+co sW) = w² Como w.h/2 = a.b.senW/2, temos que ab = h.w/senW Logo (a+b)² = w² + 2hw(1+cosW)/senW Como o lado e o ângulo já estão determinados, e 1+cosW>0 e senW>0, o valor máximo de a+b se dá no valor máximo da altura, vem que o triângulo é isósceles E fazendo y = 90-w/2 Daí a soma dos 3 senos é 2sen(y) + sen(2y) que derivando dá 2(cos(y) + cos(2y) e igualando a 0 2cos²(y) + cos(y) - 1 = 0 -> cos(y) = 1/2 ou -1 Substituindo temos que o valor máximo é cos(y) = 1/2 e a soma vale 3(3)^(1/2)/2 Queria saber se há alguma derivada de 2 variáveis, no caso a e b que desse o valor máximo se sen(a) + sen(b) + sen(a+b) Já ouvi falar em integral dupla (na verdade só ouvi falar, não faço a mínima idéia do que seja, mas pensei que tivesse alguma coisa a ver com a integral de 2 variáveis) Entretanto procurei derivada dupla no google e não encontrei nada Existe isso? []'s João This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo para a soma dos senos
2011/11/24 João Maldonado : > > Queria saber se há alguma derivada de 2 variáveis, no caso a e b que > desse o valor máximo se sen(a) + sen(b) + sen(a+b) Acho que não, mas com certeza existem derivadas parciais (como disse o Ralph; dê uma olhada na Wikipédia, ou mesmo num livro de cálculo 2 se você tiver à mão). E anulando ambas as derivadas parciais, você obtem um ponto crítico, que pode ser máximo, mínimo ou "de sela". Existe uma bela zoologia de tudo isso. De certa forma, você pode pensar assim: você fixa "b", deriva com relação a "a", acha o máximo. Fixa "a", deriva com relação a "b", acha o máximo. O "máximo geral" com certeza é um máximo em "a" e em "b" *ao mesmo tempo*. Portanto você tem que achar a solução comum. No seu caso, você fica com cos(a) + cos(a+b) = 0 = cos(b) + cos(a+b) <=> cos(a) = cos(b) <=> a = b ou a = -b (absurdo pois ambos são positivos), portanto a = b. (você chegou nessa conclusão de forma mais ou menos geométrica) Agora, volte numa das equações: 0 = cos(a) + cos(a+b) = cos(a) + cos(2a) = cos(a) + 2*cos(a)^2 - 1 Então cos(a) é solução de 2 X^2 + X - 1 = 0 (você também tinha essa equação), portanto cos(a) = 1/2 ou -1 (essa é absurda porque 0 < 2a < pi, logo 1 > cos(a) > 0), e portanto a = arccos(1/2) = pi/3 e o triângulo é eqüiângulo (logo equilátero). Note que você podia também usar o raciocínio da altura "para o outro lado", e assim obter que quaisquer 2 pares de ângulo são iguais, ou então é possível aumentar a área. > Já ouvi falar em integral dupla (na verdade só ouvi falar, não faço a > mínima idéia do que seja, mas pensei que tivesse alguma coisa a ver com a > integral de 2 variáveis) > Entretanto procurei derivada dupla no google e não encontrei nada > > Existe isso? Uma coisa que derive "ao mesmo tempo", todas as variáveis? Existe a derivada exterior, mas não é isso que vai dar certo no teu caso... E, de certa forma, a derivada exterior nada mais é do que "escrever todas as derivadas parciais de uma forma ordenada". > []'s > > João Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo para a soma dos senos
Procure "derivadas parciais". :) 2011/11/24 João Maldonado > > > Recentemente vi um problema na lista sobre como calcular a soma dos 3 > senos de um triângulo, em que a resposta foi p/R > Fiquei pensando então qual deveria ser o valor máximo para esta soma > > Fiz assim: > > Dada uma circunferência de raio R, e um dos lados do triângulo, que > chamaremos de w, temos necessariamente que um ângulo (que chamaremos de > W) já está determinado, o valor máximo de p então seria o valor máximo > da soma dos outros lados. > > Como a² + b² - 2abcosW = w² -> (a+b)² - 2ab(1+co sW) = w² > > Como w.h/2 = a.b.senW/2, temos que ab = h.w/senW > Logo (a+b)² = w² + 2hw(1+cosW)/senW > > Como o lado e o ângulo já estão determinados, e 1+cosW>0 e senW>0, o > valor máximo de a+b se dá no valor máximo da altura, vem que o triângulo > é isósceles > > E fazendo y = 90-w/2 > > Daí a soma dos 3 senos é 2sen(y) + sen(2y) que derivando dá 2(cos(y) + > cos(2y) e igualando a 0 > > 2cos²(y) + cos(y) - 1 = 0 -> cos(y) = 1/2 ou -1 > > Substituindo temos que o valor máximo é cos(y) = 1/2 e a soma vale > 3(3)^(1/2)/2 > > > > > Queria saber se há alguma derivada de 2 variáveis, no caso a e b que > desse o valor máximo se sen(a) + sen(b) + sen(a+b) > Já ouvi falar em integral dupla (na verdade só ouvi falar, não faço a > mínima idéia do que seja, mas pensei que tivesse alguma coisa a ver com a > integral de 2 variáveis) > Entretanto procurei derivada dupla no google e não encontrei nada > > Existe isso? > > []'s > > João > >
[obm-l] Re: [obm-l] valor máximo
Harry. Acho q isso resolve. Forçar a soma de seno e cos ser o cosseno de uma soma. []'s Bart indo pra terra maravilhosa. Bom feriadao a todo! :P PARECE MALDITOS FASORES! Essa vai em homenagem ao Fi. y=3sen(x) +4cos(x) triangulo 3,4,5 => sen(fi)=3/5, cos(fi)=4/5. dividindo por sqrt(3^2+4^2) y/5=(3/5)sen(x)+(4/5)cos(x) y/5=sen(fi)sen(x)+cos(fi)cos(x) y/5=cos(x-fi) y=5*cos(x-fi) logo: função eh maxima quando x=fi => cos(x-fi)=1 Ymax = 5. Coisinha linda de Deus! - Original Message - From: Guilherme Neves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, November 09, 2005 6:35 PM Subject: [obm-l] valor máximo encontrar o valor máximo da função y=3sen(x) +4cos(x). Usando derivadas, achei que o valor máximo de uma função do tipo y=a.sen(x) + b.cos(x) é sqrt(a^2+b^2), mas essa questão foi de um vestibular e a resolução oferecida pela comissão não utilizava cálculo.Alguma sugestão?= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
