[obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade
Ola' Vanderlei e pessoal da lista! Pediram-me para resolver o problema por inteiro. Ok, vamos la'! Em um pet shop ha' 3 gatos e 5 caes. Sabemos que 3 desses animais sao pretos, 4 sao brancos e 1 e' malhado. Alem disso, pelo menos 1 cachorro e' preto. Assinale o que for correto. 01) A probabilidade de haver exatamente 1 cachorro preto e' de 1/6. 02) A probabilidade de haver pelo menos 1 gato branco e pelo menos 2 cachorros brancos e' de 2/3. 04) A probabilidade de haver um cachorro malhado e' maior do que a probabilidade de haver um gato malhado. 08) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser um cachorro preto e' de 1/8. 16) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser um gato malhado e' de 1/16. Afirmacao 01) A probabilidade de haver exatamente 1 cachorro preto e' de 1/6. - O cachorro que ja' e' preto, deixaremos de lado, de modo que temos 3Gatos,4Caes para pintar com 2Preto,4Branco,1Malhado. Bem, dizer que existe exatamente 1 cachorro preto, significa dizer que as outras 2 pinturas pretas foram para os gatos, ou que existem exatamente 2 gatos pretos. Entao, vamos comecar a pintar com a tinta preta, e verificar de quantas formas podemos fazer isso. Repare que para ponderar corretamente as ocorrencias que interessam, eu considero todas as permutacoes possiveis, ou das tintas, ou dos animais. Assim, posso, por exemplo, fixar a ordem das tintas, e aplicar isso em todas as permutacoes possiveis entre os animais. A razao entre os casos que interessam e os casos possiveis e' justamente a probabilidade de ocorrencia de um caso que interessa. Como sao 2 pinturas pretas, temos um total de 7 escolhas de animal para a primeira pintura, e 6 escolhas para a segunda, com um total de 42 escolhas para a primeira e segunda pinturas pretas. Deste total, temos 3 gatos para a primeira escolha e 2 gatos para a segunda, com um total de 6 escolhas para termos 2 gatos pretos. Deste total, vamos escolher 1 entre 3 gatos para a primeira pintura, e 1 entre 2 gatos para a segunda pintura, com um total de 6 escolhas para pintarmos 2 gatos de preto. Assim, a probabilidade de termos exatamente 2 gatos pretos vale 6/42 = 1/7 Ou seja, a probabilidade de termos exatamente um cachorro preto vale 1/7, de modo que a afirmacao 01 esta' errada. OBS: note que, entre os gatos g1, g2 e g3 (por exemplo), mesmo que pintemos g1 e g2 de preto, a ordem e' importante, pois ordens diferentes correspondem a permutacoes diferentes. Pintar de preto o gato g1, e depois o gato g2, e' uma permutacao diferente daquela em que pintamos de preto primeiramente o gato g2, e depois o gato g1, embora o resultado final seja obtermos g1 e g2 pretos. Afirmacao 02) A probabilidade de haver pelo menos 1 gato branco e pelo menos 2 cachorros brancos e' de 2/3. - O cachorro que ja' e' preto pode ser deixado de lado. Seguindo agora com as 4 pinturas brancas, temos um total de 7 escolhas para o primeiro animal, 6 para o segundo, 5 para o terceiro, e 4 para o quarto, de modo que existem 7*6*5*4 escolhas diferentes para as pinturas brancas. Entre os animais que receberao as pinturas brancas, existem os seguintes casos: 1o caso: 4 caes brancos O numero de combinacoes de 4 caes entre 4 caes e' C(4,4)=1. Assim, considerando-se as permutacoes entre estes 4 animais brancos, obtemos um total de permutacoes diferentes igual a C(4,4)*4! = 1*4! = 24 2o caso: 3 caes e 1 gato brancos Como sao 3 caes de um total de 4 caes possiveis, e 1 gato de um total de 3 gatos possiveis, o numero total de permutacoes vale C(4,3) * C(3,1) * 4! = 4*3*4! = 288 3o caso: 2 caes e 2 gatos brancos o numero total de permutacoes vale C(4,2) * C(3,2) * 4! = 6*3*4! = 432 4o caso: 1 cao e 3 gatos brancos o numero total de permutacoes vale C(4,1) * C(3,3) * 4! = 4*1*4! = 96 Contabilizando-se o segundo e o terceiro casos (que sao os que nos interessam), temos um total de (288+432)=720 permutacoes, de um universo de 840 permutacoes, de modo que a probabilidade pedida vale 720/840 = 6/7 Portanto, a afirmacao 02 esta' errada. Afirmacao 04) A probabilidade de haver um cachorro malhado e' maior do que a probabilidade de haver um gato malhado. - Deixando de lado o cachorro que ja' e' preto, e seguindo agora com a pintura malhada, temos 7 escolhas de animais, das quais 4 sao de cachorros, e 3 sao de gatos. Assim, a probabilidade de haver um cachorro malhado e' 4/7 , e a probabilidade de haver um gato malhado e' 3/7. Portanto, a afirmacao 04 esta' correta. Afirmacao 08) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser um cachorro preto e' de 1/8. - Se houvesse apenas um cachorro preto - aquele que ja' seria mesmo preto, por definicao - a probabilidade de escolhermos um
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Otima explicacao! Obrigado, Ralph! PS: e sim, a provocacao foi pra voce mesmo! :) []'s Rogerio Ponce On Wed, Jun 22, 2022 at 1:00 PM Ralph Costa Teixeira wrote: > > Ponce está provocando a gente... senti que esta flecha tinha um bocado a > minha direção... :D :D :D > > Olha, tem duas "visões" sobre o que "probabilidade" significa. > > A primeira vai na linha de que só podemos falar de probabilidade sobre coisas > que ainda não aconteceram. Vai nessa linha: se os eventos estão no passado, > então já aconteceram, já estão definidos, e não faz sentido dizer que tinha x > de chance de ser assim ou y de ser assado. Se você já jogou a moeda justa, > não é mais 50/50 -- é 100% de ser cara, ou 100% de ser coroa, dependendo do > que ocorreu. Quem pensa assim vai dizer que dado um certo evento (sempre no > futuro), ele tem uma probabilidade dada; se duas pessoas diferentes derem > duas probabilidades diferentes para o mesmo evento, uma delas errou. > > Outra linha diz que podemos falar de probabilidade sempre que houver > incerteza; não interessa o que aconteceu ou o que vai acontecer, o que > interessa é o que você SABE sobre o acontecimento. Se você jogou a moeda > justa mas eu não sei nada mais sobre o lançamento, continua sendo 50/50 > **PARA MIM**. Probabilidade passa a ser um conceito sobre INFORMAÇÃO, não > sobre os fatos em si (a probabilidade não está na moeda, está no que você > sabe sobre a moeda). Quem pensa assim vai dizer que a probabilidade do evento > depende não apenas do evento em si, mas da informação que se tem em mãos. > Quem pensa assim admite que duas pessoas diferentes podem dar probabilidades > diferentes ao mesmo evento SE SOUBEREM FATOS DIFERENTES a respeito do evento, > ou seja, probabilidade passa a ser bastante "subjetivo". > > Eu talvez tenha descrito mal a primeira interpretação, pois sou ferrenho > defensor da segunda. Ela simplesmente engloba a primeira, porque você pode > ter informação parcial sobre fatos que ocorrem no futuro. E falar de > probabilidade para descrever incerteza presente ou passada é MUITO útil! Eu > quero poder expressar incerteza sobre fatos passados com frases do tipo > "fulano tem x% de probabilidade de ter cometido tal crime", ou "tem y% de > probabilidade de ter petróleo nesse poço", ou "tem z% de chance de eu ter > COVID"... Se você tem uma reação negativa a essas frases, lembre o que elas > realmente significam (na segunda interpretação): claro que ou o cara cometeu > o crime ou não, não faz sentido dizer que ele cometeu o crime x% das vezes em > que fizermos um experimento de ele cometer o crime... mas o que aquilo > significa é "com a informação que eu tenho, numa escala de 0 a 1, eu tenho > x/100 de certeza que fulano cometeu o crime". E "certeza baseada em informaç�! �es" é sim quantificável -- e satisfaz exatamente as leis das probabilidades com as quais concordamos. "Subjetivo" não significa "posso falar qualquer coisa", significa apenas que a conta pode variar de pessoa para pessoa... mas, de novo, SE ESSAS PESSOAS TIVEREM INFORMAÇÕES DIFERENTES sobre o evento. > > Abraço, Ralph. > > On Wed, Jun 22, 2022 at 12:09 PM Rogerio Ponce wrote: >> >> Olá Pedro e pessoal da lista! >> >> Segundo a opinião do Pedro, nao faz sentido perguntar qual a probabilidade >> de Jose ter conseguido um 6 ao jogar o dado ontem, pois isso ja' aconteceu, >> e, portanto, ja' esta' definido. >> >> Sera' que e' isso mesmo? >> >> []'s >> Rogerio Ponce >> >> >> On Mon, Jun 20, 2022 at 9:45 PM Pedro José wrote: >>> >>> Eu na minha humilde opinião creio que a probabilidade exista quando pode >>> ser uma coisa ou outra. No caso já é definido o que os animais são. Então >>> já está tudo errado. A questão seria viável se dessem esses limitantes para >>> uma criança que pintaria os desenhos dos animais. Aí sim há probabilidade. >>> >>> Em sáb., 18 de jun. de 2022 03:33, Rogerio Ponce >>> escreveu: Ola' Vanderlei e pessoal da lista! Sem perda de generalidade, podemos imaginar que vamos fazer o seguinte: - uma pintura preta em um dos caes, escolhido aleatoriamente - uma pintura "malhada" em um dos animais, escolhido aleatoriamente entre os 7 animais nao pintados - duas pintura pretas, em dois animais, escolhidos aleatoriamente entre os 6 animais restantes, - quatro pinturas brancas nos 4 animais restantes Analisando a afirmacao 04, por exemplo, verificamos que, no segundo passo (pintura malhada) existem 4 opcoes de cachorro e 3 opcoes de gato. Assim, a probabilidade de haver um cachorro malhado (4/7) e' maior que a probabilidade de haver um gato malhado (3/7). Portanto, a afirmacao 04 esta' correta. (e o gabarito esta' errado). []'s Rogerio Ponce On Wed, Mar 16, 2022 at 8:08 AM Professor Vanderlei Nemitz wrote: > > Bom dia! > Na questão a seguir, do vestibular da UEM,
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Ponce está provocando a gente... senti que esta flecha tinha um bocado a minha direção... :D :D :D Olha, tem duas "visões" sobre o que "probabilidade" significa. A primeira vai na linha de que só podemos falar de probabilidade sobre coisas que ainda não aconteceram. Vai nessa linha: se os eventos estão no passado, então já aconteceram, já estão definidos, e não faz sentido dizer que tinha x de chance de ser assim ou y de ser assado. Se você já jogou a moeda justa, não é mais 50/50 -- é 100% de ser cara, ou 100% de ser coroa, dependendo do que ocorreu. Quem pensa assim vai dizer que dado um certo evento (sempre no futuro), ele tem uma probabilidade dada; se duas pessoas diferentes derem duas probabilidades diferentes para o mesmo evento, uma delas errou. Outra linha diz que podemos falar de probabilidade sempre que houver incerteza; não interessa o que aconteceu ou o que vai acontecer, o que interessa é o que você SABE sobre o acontecimento. Se você jogou a moeda justa mas eu não sei nada mais sobre o lançamento, continua sendo 50/50 **PARA MIM**. Probabilidade passa a ser um conceito sobre INFORMAÇÃO, não sobre os fatos em si (a probabilidade não está na moeda, está no que você sabe sobre a moeda). Quem pensa assim vai dizer que a probabilidade do evento depende não apenas do evento em si, mas da informação que se tem em mãos. Quem pensa assim admite que duas pessoas diferentes podem dar probabilidades diferentes ao mesmo evento SE SOUBEREM FATOS DIFERENTES a respeito do evento, ou seja, probabilidade passa a ser bastante "subjetivo". Eu talvez tenha descrito mal a primeira interpretação, pois sou ferrenho defensor da segunda. Ela simplesmente engloba a primeira, porque você pode ter informação parcial sobre fatos que ocorrem no futuro. E falar de probabilidade para descrever incerteza presente ou passada é MUITO útil! Eu quero poder expressar incerteza sobre fatos passados com frases do tipo "fulano tem x% de probabilidade de ter cometido tal crime", ou "tem y% de probabilidade de ter petróleo nesse poço", ou "tem z% de chance de eu ter COVID"... Se você tem uma reação negativa a essas frases, lembre o que elas realmente significam (na segunda interpretação): claro que ou o cara cometeu o crime ou não, não faz sentido dizer que ele cometeu o crime x% das vezes em que fizermos um experimento de ele cometer o crime... mas o que aquilo significa é "com a informação que eu tenho, numa escala de 0 a 1, eu tenho x/100 de certeza que fulano cometeu o crime". E "certeza baseada em informações" é sim quantificável -- e satisfaz exatamente as leis das probabilidades com as quais concordamos. "Subjetivo" não significa "posso falar qualquer coisa", significa apenas que a conta pode variar de pessoa para pessoa... mas, de novo, SE ESSAS PESSOAS TIVEREM INFORMAÇÕES DIFERENTES sobre o evento. Abraço, Ralph. On Wed, Jun 22, 2022 at 12:09 PM Rogerio Ponce wrote: > Olá Pedro e pessoal da lista! > > Segundo a opinião do Pedro, nao faz sentido perguntar qual a probabilidade > de Jose ter conseguido um 6 ao jogar o dado ontem, pois isso ja' aconteceu, > e, portanto, ja' esta' definido. > > Sera' que e' isso mesmo? > > []'s > Rogerio Ponce > > > On Mon, Jun 20, 2022 at 9:45 PM Pedro José wrote: > >> Eu na minha humilde opinião creio que a probabilidade exista quando pode >> ser uma coisa ou outra. No caso já é definido o que os animais são. Então >> já está tudo errado. A questão seria viável se dessem esses limitantes para >> uma criança que pintaria os desenhos dos animais. Aí sim há probabilidade. >> >> Em sáb., 18 de jun. de 2022 03:33, Rogerio Ponce da Silva < >> abrlw...@gmail.com> escreveu: >> >>> Ola' Vanderlei e pessoal da lista! >>> >>> Sem perda de generalidade, podemos imaginar que vamos fazer o seguinte: >>> >>> - uma pintura preta em um dos caes, escolhido aleatoriamente >>> >>> - uma pintura "malhada" em um dos animais, escolhido aleatoriamente >>> entre os 7 animais nao pintados >>> >>> - duas pintura pretas, em dois animais, escolhidos aleatoriamente entre >>> os 6 animais restantes, >>> >>> - quatro pinturas brancas nos 4 animais restantes >>> >>> >>> Analisando a afirmacao 04, por exemplo, verificamos que, no segundo >>> passo (pintura malhada) existem 4 opcoes de cachorro e 3 opcoes de gato. >>> >>> Assim, a probabilidade de haver um cachorro malhado (4/7) e' maior que a >>> probabilidade de haver um gato malhado (3/7). >>> Portanto, a afirmacao 04 esta' correta. >>> (e o gabarito esta' errado). >>> >>> []'s >>> Rogerio Ponce >>> >>> >>> >>> On Wed, Mar 16, 2022 at 8:08 AM Professor Vanderlei Nemitz < >>> vanderma...@gmail.com> wrote: >>> Bom dia! Na questão a seguir, do vestibular da UEM, penso que o espaço amostral tem 105 elementos, pois um cachorro é preto (desconsideramos esse). Porém, com esse pensamento, não consigo obter o gabarito, que diz que 02 e 16 são corretas. Alguém poderia ajudar? Muito obrigado! *Em um pet shop há 3 gatos e 5 cães.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade
Olá Pedro e pessoal da lista! Segundo a opinião do Pedro, nao faz sentido perguntar qual a probabilidade de Jose ter conseguido um 6 ao jogar o dado ontem, pois isso ja' aconteceu, e, portanto, ja' esta' definido. Sera' que e' isso mesmo? []'s Rogerio Ponce On Mon, Jun 20, 2022 at 9:45 PM Pedro José wrote: > Eu na minha humilde opinião creio que a probabilidade exista quando pode > ser uma coisa ou outra. No caso já é definido o que os animais são. Então > já está tudo errado. A questão seria viável se dessem esses limitantes para > uma criança que pintaria os desenhos dos animais. Aí sim há probabilidade. > > Em sáb., 18 de jun. de 2022 03:33, Rogerio Ponce da Silva < > abrlw...@gmail.com> escreveu: > >> Ola' Vanderlei e pessoal da lista! >> >> Sem perda de generalidade, podemos imaginar que vamos fazer o seguinte: >> >> - uma pintura preta em um dos caes, escolhido aleatoriamente >> >> - uma pintura "malhada" em um dos animais, escolhido aleatoriamente entre >> os 7 animais nao pintados >> >> - duas pintura pretas, em dois animais, escolhidos aleatoriamente entre >> os 6 animais restantes, >> >> - quatro pinturas brancas nos 4 animais restantes >> >> >> Analisando a afirmacao 04, por exemplo, verificamos que, no segundo passo >> (pintura malhada) existem 4 opcoes de cachorro e 3 opcoes de gato. >> >> Assim, a probabilidade de haver um cachorro malhado (4/7) e' maior que a >> probabilidade de haver um gato malhado (3/7). >> Portanto, a afirmacao 04 esta' correta. >> (e o gabarito esta' errado). >> >> []'s >> Rogerio Ponce >> >> >> >> On Wed, Mar 16, 2022 at 8:08 AM Professor Vanderlei Nemitz < >> vanderma...@gmail.com> wrote: >> >>> Bom dia! >>> Na questão a seguir, do vestibular da UEM, penso que o espaço amostral >>> tem 105 elementos, pois um cachorro é preto (desconsideramos esse). Porém, >>> com esse pensamento, não consigo obter o gabarito, que diz que 02 e 16 são >>> corretas. >>> Alguém poderia ajudar? >>> Muito obrigado! >>> >>> *Em um pet shop há 3 gatos e 5 cães. Sabemos que 3 desses animais são >>> pretos, 4 são brancos e 1 é malhado. Além disso, pelo menos 1 cachorro é >>> preto. Assinale o que for correto. * >>> *01) A probabilidade de haver exatamente 1 cachorro preto é de 1/6. * >>> *02) A probabilidade de haver pelo menos 1 gato branco e pelo menos 2 >>> cachorros brancos é de 2/3.* >>> *04) A probabilidade de haver um cachorro malhado é maior do que a >>> probabilidade de haver um gato malhado. * >>> *08) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser um >>> cachorro preto é de 1/8. * >>> *16) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser um >>> gato malhado é de 1/16. * >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade
Eu na minha humilde opinião creio que a probabilidade exista quando pode ser uma coisa ou outra. No caso já é definido o que os animais são. Então já está tudo errado. A questão seria viável se dessem esses limitantes para uma criança que pintaria os desenhos dos animais. Aí sim há probabilidade. Em sáb., 18 de jun. de 2022 03:33, Rogerio Ponce da Silva < abrlw...@gmail.com> escreveu: > Ola' Vanderlei e pessoal da lista! > > Sem perda de generalidade, podemos imaginar que vamos fazer o seguinte: > > - uma pintura preta em um dos caes, escolhido aleatoriamente > > - uma pintura "malhada" em um dos animais, escolhido aleatoriamente entre > os 7 animais nao pintados > > - duas pintura pretas, em dois animais, escolhidos aleatoriamente entre os > 6 animais restantes, > > - quatro pinturas brancas nos 4 animais restantes > > > Analisando a afirmacao 04, por exemplo, verificamos que, no segundo passo > (pintura malhada) existem 4 opcoes de cachorro e 3 opcoes de gato. > > Assim, a probabilidade de haver um cachorro malhado (4/7) e' maior que a > probabilidade de haver um gato malhado (3/7). > Portanto, a afirmacao 04 esta' correta. > (e o gabarito esta' errado). > > []'s > Rogerio Ponce > > > > On Wed, Mar 16, 2022 at 8:08 AM Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> wrote: > >> Bom dia! >> Na questão a seguir, do vestibular da UEM, penso que o espaço amostral >> tem 105 elementos, pois um cachorro é preto (desconsideramos esse). Porém, >> com esse pensamento, não consigo obter o gabarito, que diz que 02 e 16 são >> corretas. >> Alguém poderia ajudar? >> Muito obrigado! >> >> *Em um pet shop há 3 gatos e 5 cães. Sabemos que 3 desses animais são >> pretos, 4 são brancos e 1 é malhado. Além disso, pelo menos 1 cachorro é >> preto. Assinale o que for correto. * >> *01) A probabilidade de haver exatamente 1 cachorro preto é de 1/6. * >> *02) A probabilidade de haver pelo menos 1 gato branco e pelo menos 2 >> cachorros brancos é de 2/3.* >> *04) A probabilidade de haver um cachorro malhado é maior do que a >> probabilidade de haver um gato malhado. * >> *08) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser um >> cachorro preto é de 1/8. * >> *16) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser um >> gato malhado é de 1/16. * >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade
Ola' Vanderlei e pessoal da lista! Sem perda de generalidade, podemos imaginar que vamos fazer o seguinte: - uma pintura preta em um dos caes, escolhido aleatoriamente - uma pintura "malhada" em um dos animais, escolhido aleatoriamente entre os 7 animais nao pintados - duas pintura pretas, em dois animais, escolhidos aleatoriamente entre os 6 animais restantes, - quatro pinturas brancas nos 4 animais restantes Analisando a afirmacao 04, por exemplo, verificamos que, no segundo passo (pintura malhada) existem 4 opcoes de cachorro e 3 opcoes de gato. Assim, a probabilidade de haver um cachorro malhado (4/7) e' maior que a probabilidade de haver um gato malhado (3/7). Portanto, a afirmacao 04 esta' correta. (e o gabarito esta' errado). []'s Rogerio Ponce On Wed, Mar 16, 2022 at 8:08 AM Professor Vanderlei Nemitz < vanderma...@gmail.com> wrote: > Bom dia! > Na questão a seguir, do vestibular da UEM, penso que o espaço amostral tem > 105 elementos, pois um cachorro é preto (desconsideramos esse). Porém, com > esse pensamento, não consigo obter o gabarito, que diz que 02 e 16 são > corretas. > Alguém poderia ajudar? > Muito obrigado! > > *Em um pet shop há 3 gatos e 5 cães. Sabemos que 3 desses animais são > pretos, 4 são brancos e 1 é malhado. Além disso, pelo menos 1 cachorro é > preto. Assinale o que for correto. * > *01) A probabilidade de haver exatamente 1 cachorro preto é de 1/6. * > *02) A probabilidade de haver pelo menos 1 gato branco e pelo menos 2 > cachorros brancos é de 2/3.* > *04) A probabilidade de haver um cachorro malhado é maior do que a > probabilidade de haver um gato malhado. * > *08) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser um > cachorro preto é de 1/8. * > *16) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser um > gato malhado é de 1/16. * > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade
Bela solução, Bruno! Muito obrigado! Em ter, 6 de nov de 2018 15:38, Bruno Visnadi Seja Pa a probabilidade de ocorrência de a. Defina Pb e Pc analogamente. > a = Pa(1-Pb)(1-Pc) > b = Pb(1-Pa)(1-Pc) > c = Pc(1-Pa)(1-Pb) > p = (1-Pa)(1-Pb)(1-Pc) > Queremos achar a razão Pa/Pc > Da equação (a - 2b)p = ab, obtemos: > (1-Pa)(1-Pb)(1-Pc)²(Pa(1-Pb) - 2Pb(1-Pa)) = PaPb(1-Pa)(1-Pb)(1-Pc)² > Pa(1-Pb) - 2Pb(1-Pa) = PaPb > Pa - 2Pb + PaPb = PaPb > Pa = 2Pb -> Pb = Pa/2 > Da equação (b - 3c)p = 2bc, obtemos: > (1-Pa)²(1-Pb)(1-Pc)(Pb(1-Pc) - 3Pc(1-Pb)) = 2PbPc(1-Pa)²(1-Pb)(1-Pc) > Pb(1-Pc) - 3Pc(1-Pb) = 2PbPc > Pb - 3Pc + 2PcPb = 2PbPc > Pb = 3Pc > Logo: Pa/2 = 3Pc > Pa/Pc = 6 > > > > > > Em ter, 6 de nov de 2018 às 12:43, Vanderlei Nemitz > escreveu: > >> Pessoal, alguém tem um ideia de como resolver a seguinte questão? Já >> tentei muita coisa, sem sucesso. >> Muito obrigado! >> >> Vanderlei >> >> Sejam três eventos independentes A, B e C. A probabilidade de que ocorra >> apenas o evento A é a, apenas o evento B é b e apenas o evento C é c. Seja >> p a probabilidade de que nenhum dos eventos A, B ou C ocorra. Sabendo que >> todas as probabilidades citadas são números no intervalo ]0, 1[ e que p >> satisfaz as equações (a - 2b).p = ab e (b - 3c).p = 2bc, a razão entre a >> probabilidade de ocorrência de A e a probabilidade de ocorrência de C é: >> a) 12 >> b) 3 >> c) 10 >> d) 5 >> e) 6 >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade
Seja Pa a probabilidade de ocorrência de a. Defina Pb e Pc analogamente. a = Pa(1-Pb)(1-Pc) b = Pb(1-Pa)(1-Pc) c = Pc(1-Pa)(1-Pb) p = (1-Pa)(1-Pb)(1-Pc) Queremos achar a razão Pa/Pc Da equação (a - 2b)p = ab, obtemos: (1-Pa)(1-Pb)(1-Pc)²(Pa(1-Pb) - 2Pb(1-Pa)) = PaPb(1-Pa)(1-Pb)(1-Pc)² Pa(1-Pb) - 2Pb(1-Pa) = PaPb Pa - 2Pb + PaPb = PaPb Pa = 2Pb -> Pb = Pa/2 Da equação (b - 3c)p = 2bc, obtemos: (1-Pa)²(1-Pb)(1-Pc)(Pb(1-Pc) - 3Pc(1-Pb)) = 2PbPc(1-Pa)²(1-Pb)(1-Pc) Pb(1-Pc) - 3Pc(1-Pb) = 2PbPc Pb - 3Pc + 2PcPb = 2PbPc Pb = 3Pc Logo: Pa/2 = 3Pc Pa/Pc = 6 Em ter, 6 de nov de 2018 às 12:43, Vanderlei Nemitz escreveu: > Pessoal, alguém tem um ideia de como resolver a seguinte questão? Já > tentei muita coisa, sem sucesso. > Muito obrigado! > > Vanderlei > > Sejam três eventos independentes A, B e C. A probabilidade de que ocorra > apenas o evento A é a, apenas o evento B é b e apenas o evento C é c. Seja > p a probabilidade de que nenhum dos eventos A, B ou C ocorra. Sabendo que > todas as probabilidades citadas são números no intervalo ]0, 1[ e que p > satisfaz as equações (a - 2b).p = ab e (b - 3c).p = 2bc, a razão entre a > probabilidade de ocorrência de A e a probabilidade de ocorrência de C é: > a) 12 > b) 3 > c) 10 > d) 5 > e) 6 > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade
Meu amigo Pedro, onde foi que você encontrou esse exercício? Na minha ignorância, e sei que sou muito ignorante!, não acredito que isso possa ter uma resposta. Mas se tiver resposta, devo aprender, com ela, muita matemática. Abraços Hermann - Original Message - From: Pedro Chaves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, January 18, 2015 11:25 AM Subject: [obm-l] Questão de probabilidade Caros Colegas, Dados três números reais positivos a, b e c, com a b c, qual é a probabilidade de que se tenha a b + c ? Abraços do Pedro Chaves. _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade
Eh, o Hermann tem razao, nao existe uma distribuicao de probabilidade nos reais positivos que funcione bem. O problema eh que existem varias maneiras de escolher um numero real positivo aleatoriamente, nenhuma delas completamente padrao, e elas dariam respostas diferentes para seu problema. ---///--- Por exemplo, UMA maneira de adaptar sua pergunta eh a seguinte: 1. Seja dado um N real positivo. Escolha x, y e z aleatoriamente e independentemente, com distribuicao uniforme, no intervalo [0,N]. Sabendo que z=y=x, qual a probabilidade de termos zx+y? 2. O que acontece com esta probabilidade quando N-+Inf? Geometricamente: voce escolhe um ponto (x,y,z) aleatoriamente (uniformemente) dentro da regiao R:0=x=y=z=N; qual a chance de ele estar na sub-regiao S:zx+y? O uniformemente indica que probabilidades sao proporcionais a volumes. Vejamos: R eh um tetraedro de vertices (0,0,0), (0,0,N), (0,N,N) e (N,N,N). O plano P:z=x+y passa pelos vertices (0,0,0) e (0,N,N) e corta a aresta que vai de (0,0,N) a (N,N,N) exatamente ao meio, em (N/2,N/2,N). Entao P corta R em dois pedacos de mesmo volume (pense em P como base dos tetraedros S e R-S; a area da base eh a mesma, e as distancias de (0,0,0) e de (N,N,N) a P sao iguais)! Isto eh: vol(S)=vol(R)/2. Assim, dado um ponto escolhido uniformemente em R, a probabilidade de ele estar em S eh 1/2. ---///--- Outra maneira: Tome uma vareta de comprimento L, e escolha nela dois pontos independentemente, de maneira aleatoria uniforme. Quebrando a vareta nestes dois pontos, qual a probabilidade de elas serem os lados de um triangulo? Esta jah apareceu na lista: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200706/msg00182.html. Agora dah 25%. :P (Alias, vide tambem http://www.mail-archive.com/obm-l%40mat.puc-rio.br/msg41301.html) Abraco, Ralph. 2015-01-18 12:41 GMT-02:00 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br: Meu amigo Pedro, onde foi que você encontrou esse exercício? Na minha ignorância, e sei que sou muito ignorante!, não acredito que isso possa ter uma resposta. Mas se tiver resposta, devo aprender, com ela, muita matemática. Abraços Hermann - Original Message - *From:* Pedro Chaves brped...@hotmail.com *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Sunday, January 18, 2015 11:25 AM *Subject:* [obm-l] Questão de probabilidade Caros Colegas, Dados três números reais positivos a, b e c, com a ** b ** c, qual é a probabilidade de que se tenha a b + c ? Abraços do Pedro Chaves. _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade (reformulação)
Ainda existe o problema: na hora de escolher uma solucao (x,y,z), qual a distribuicao de probabilidade a ser utilizada? Mas, agora que voce restringiu o problema, a interpretacao mais natural leva aa mesma solucao daquele de dividir uma vareta que eu pus no meu link, de uma olhada lah. Abraco, Ralph. 2015-01-18 14:45 GMT-02:00 Pedro Chaves brped...@hotmail.com: Creio que formulei mal a pergunta. Eu queria dizer o seguinte: Dada a equação x + y + z = S, onde x, y e z são variáveis reais positivas, com x=y=z, e S é uma constante real positiva, qual é a probabilidade de que se tenha a b +c, quando se escolhe aleatoriamente uma solução (a, b, c) dessa equação? From: brped...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Questão de probabilidade (correção) Date: Sun, 18 Jan 2015 16:45:16 +0300 Eu quis dizer: a = b = c . ___ From: brped...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Questão de probabilidade Date: Sun, 18 Jan 2015 16:25:53 +0300 Caros Colegas, Dados três números reais positivos a, b e c, com a b c, qual é a probabilidade de que se tenha a b + c ? Abraços do Pedro Chaves. _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Questão de probabilidade(dúvida sobre gabarito)
Certamente o primeiro homem pode sentar em 8 lugares. Mas o segundo só tem 3, e o terceiro 2, e o quarto 1. Faça a figura. e 4! para as mulheress, o que dá 0,0285714..., e a resposta é letra A. Antonio Olavo da Silva Neto From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Questão de probabilidade(dúvida sobre gabarito) Date: Sun, 25 Sep 2011 05:14:44 + Um grupo de pessoas,composto por 4 homens e 4 mulheres,compra 8 cadeiras consecutivas na mesma fila de um teatro.Se eles se sentarem aleatóriamente,nessas cadeiras,a probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras alternadas é aproximadamente: a) 2,86% b) 5,71% c) 1,43%d) 11,42% O primeiro homem pode sentar em 8 lugares.O segundo pode sentar em 6 lugares.O terceiro,em 4 lugares e o quarto,em 2 lugares.Como sobram 4 lugares,é só permutar as 4 mulheres.Então o número de possibilidades de que homens e mulheres sentem em cadeiras alternadas é 8x6x4x2x4x3x2x1.Dividindo esse número por 8!(que é o total de possibilidades) temos 5/35 = 0,2285. O que me intriga é que esse resultado é o dobro dos 11,42% do item d Alguem poderia esclarecer?
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade(dúvida sobre gabarito)
Ola' Marcone e colegas da lista, uma vez posicionada a 1a pessoa numa cadeira qualquer, as outras 3 pessoas do mesmo sexo tem apenas 3 cadeiras para se sentar, de um total de 7 cadeiras. Assim, o numero de arrumacoes favoraveis vale 3! (sao as outras 3 pessoas dispostas nas 3 cadeiras favoraveis). E o numero de arrumacoes possiveis vale 7*6*5 (7 escolhas para a primeira pessoa, 6 para a segunda e 5 para a terceira). Logo a probabilidade vale 1/35 (letra A). []'s Rogerio Ponce Em 25 de setembro de 2011 02:14, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Um grupo de pessoas,composto por 4 homens e 4 mulheres,compra 8 cadeiras consecutivas na mesma fila de um teatro.Se eles se sentarem aleatóriamente,nessas cadeiras,a probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras alternadas é aproximadamente: a) 2,86% b) 5,71% c) 1,43%d) 11,42% O primeiro homem pode sentar em 8 lugares.O segundo pode sentar em 6 lugares.O terceiro,em 4 lugares e o quarto,em 2 lugares.Como sobram 4 lugares,é só permutar as 4 mulheres.Então o número de possibilidades de que homens e mulheres sentem em cadeiras alternadas é 8x6x4x2x4x3x2x1.Dividindo esse número por 8!(que é o total de possibilidades) temos 5/35 = 0,2285. O que me intriga é que esse resultado é o dobro dos 11,42% do item d Alguem poderia esclarecer?
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade(dúvida sobre gabarito)
Mais uma idéia bem interessante. Date: Mon, 26 Sep 2011 14:25:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade(dúvida sobre gabarito) From: abrlw...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola' Marcone e colegas da lista, uma vez posicionada a 1a pessoa numa cadeira qualquer, as outras 3 pessoas do mesmo sexo tem apenas 3 cadeiras para se sentar, de um total de 7 cadeiras. Assim, o numero de arrumacoes favoraveis vale 3! (sao as outras 3 pessoas dispostas nas 3 cadeiras favoraveis). E o numero de arrumacoes possiveis vale 7*6*5 (7 escolhas para a primeira pessoa, 6 para a segunda e 5 para a terceira). Logo a probabilidade vale 1/35 (letra A). []'s Rogerio Ponce Em 25 de setembro de 2011 02:14, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Um grupo de pessoas,composto por 4 homens e 4 mulheres,compra 8 cadeiras consecutivas na mesma fila de um teatro.Se eles se sentarem aleatóriamente,nessas cadeiras,a probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras alternadas é aproximadamente: a) 2,86% b) 5,71% c) 1,43%d) 11,42% O primeiro homem pode sentar em 8 lugares.O segundo pode sentar em 6 lugares.O terceiro,em 4 lugares e o quarto,em 2 lugares.Como sobram 4 lugares,é só permutar as 4 mulheres.Então o número de possibilidades de que homens e mulheres sentem em cadeiras alternadas é 8x6x4x2x4x3x2x1.Dividindo esse número por 8!(que é o total de possibilidades) temos 5/35 = 0,2285. O que me intriga é que esse resultado é o dobro dos 11,42% do item d Alguem poderia esclarecer?
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade(dúvida sobre gabarito)
A minha deu item a, 2,86%. Veja só, existem duas maneiras de sentarem alternados: HMHMHMHM e MHMHMHMH Em cada um dessas maneiras, permuto os homens (4!) e as mulheres (4!) Resultado, são 2 x 4! x 4! casos favoráveis. Os casos possíveis são 8! Logo, a probabilidade é (2 x 4! x 4!)/8! =~ 2,86% Abraços. Hugo Em 25 de setembro de 2011 02:14, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Um grupo de pessoas,composto por 4 homens e 4 mulheres,compra 8 cadeiras consecutivas na mesma fila de um teatro.Se eles se sentarem aleatóriamente,nessas cadeiras,a probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras alternadas é aproximadamente: a) 2,86% b) 5,71% c) 1,43%d) 11,42% O primeiro homem pode sentar em 8 lugares.O segundo pode sentar em 6 lugares.O terceiro,em 4 lugares e o quarto,em 2 lugares.Como sobram 4 lugares,é só permutar as 4 mulheres.Então o número de possibilidades de que homens e mulheres sentem em cadeiras alternadas é 8x6x4x2x4x3x2x1.Dividindo esse número por 8!(que é o total de possibilidades) temos 5/35 = 0,2285. O que me intriga é que esse resultado é o dobro dos 11,42% do item d Alguem poderia esclarecer?
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade(dúvida sobre gabarito)
2011/9/25 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Um grupo de pessoas,composto por 4 homens e 4 mulheres,compra 8 cadeiras consecutivas na mesma fila de um teatro.Se eles se sentarem aleatóriamente,nessas cadeiras,a probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras alternadas é aproximadamente: a) 2,86% b) 5,71% c) 1,43% d) 11,42% Vou começar dizendo como eu tentei resolver o problema. É bem diferente... mas ambas deveriam dar certo, claro. Pense na primeira cadeira (a mais à esquerda, por exemplo). Quem pode sentar nela? Qualquer um! (ou uma!) Porque sentar alternadamente pode começar com H ou M. Muito bem, então isso é uma probabilidade de 1. A segunda cadeira, por sua vez, tem apenas espaço para uma pessoa do sexo oposto. Restam 7 ao todo, e 4 convém. Isso dá 4/7 de probabilidade. Para a terceira cadeira, tem que ser de novo do sexo oposto, e agora temos 3 e 3, o que dá 1/2. Assim por diante: 4a cadeira = 3/5, 5a cadeira = 1/2, 6a cadeira = 2/3, 7a cadeira = 1/2, 8a cadeira = 1 (só sobrou uma pessoa). Muito bem, isso dá: 1 * 4/7 * 1/2 * 3/5 * 1/2 * 2/3 * 1/2 * 1 = 4*3*2 / 7*2*5*2*3*2 = 1/35 que é um pouco menor do que 1/33... = 0.03, seria portanto 2.86 se a gente não errou as contas. Multiplicando 2.86 por 35 dá 100.10, ok, pode ser uma resposta. Vejamos a sua solução: O primeiro homem pode sentar em 8 lugares. Ok O segundo pode sentar em 6 lugares. Aqui tem um problema... Se o primeiro homem sentar no canto, realmente há 6 lugares para o seguinte. Mas se ele sentar numa das 6 outras cadeiras, ele bloqueia não apenas a que ele sentou, mas duas outras, e sobram apenas 5 para o segundo. Até aqui dá pra levar as contas... Se o primeiro sentou no canto (2 casos) há 6 para o segundo (total = 12) ; se o primeiro sentou no meio (6 casos) há 5 para o segundo (total = 30) e assim há 42 possibilidades para os dois primeiros homens. O que é ligeiramente menor do que 8*6 = 48. O terceiro,em 4 lugares e o quarto,em 2 lugares. O problema é fazer essa contas aqui... Porque depende de onde os dois primeiros sentaram, tem um monte de casos, etc. Com certeza, dá pra fazer, mas vai levar um bom tempo considerando tudo... Como sobram 4 lugares,é só permutar as 4 mulheres. Exato. Você podia ter feito isso desde o início!! Por exemplo, escolha par ou ímpar para as mulheres. (2 modos). Sente as 4 mulheres nas 4 cadeiras (pares ou ímpares) de acordo com a escolha (4!). Sente os homens nas 4 outras cadeiras (4!). Isso dá: 4! * 4! * 2 / 8! = 4*3*2*2 / 8*7*6*5 = 1 / 7*5. Então o número de possibilidades de que homens e mulheres sentem em cadeiras alternadas é 8x6x4x2x4x3x2x1.Dividindo esse número por 8!(que é o total de possibilidades) temos 5/35 = 0,2285. O que me intriga é que esse resultado é o dobro dos 11,42% do item d Alguem poderia esclarecer? Espero que tenha ajudado. Combinatória sempre tem uma boa dose de interpretação, então sempre tome bastante cuidado com os enunciados. Mas também preste bem atenção que tudo continue sempre equiprovável (ou então você vai ter que prestar muita atenção com as contas). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade(dúvida sobre gabarito)
Ajudou e muito. Eu cometi um erro bobo ao não diferenciar as situações em que alguem começa sentando na primeira ou última cadeira e as outras situações. Antes mesmo de ler a sua enriquecedora(como sempre)mensagem,já tinha percebido o erro. De fato,considerando que poderiamos ter h(homem),m(mulher),h,m,h,m,h,m ou m,h,m,h,m,h,m,h,faria: (4*3*2*1)*(4*3*2*1)*2,que dividido por 8!(total de possibilidades) dá 1/35. Muito interessante a sua solução,e nela eu não pensaria. Vou guardar com carinho suas preciosas recomendaçõs(orientações) no final. E muito obrigado. Abraços, Marcone Date: Sun, 25 Sep 2011 08:32:52 +0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade(dúvida sobre gabarito) From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/9/25 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Um grupo de pessoas,composto por 4 homens e 4 mulheres,compra 8 cadeiras consecutivas na mesma fila de um teatro.Se eles se sentarem aleatóriamente,nessas cadeiras,a probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras alternadas é aproximadamente: a) 2,86% b) 5,71% c) 1,43%d) 11,42% Vou começar dizendo como eu tentei resolver o problema. É bem diferente... mas ambas deveriam dar certo, claro. Pense na primeira cadeira (a mais à esquerda, por exemplo). Quem pode sentar nela? Qualquer um! (ou uma!) Porque sentar alternadamente pode começar com H ou M. Muito bem, então isso é uma probabilidade de 1. A segunda cadeira, por sua vez, tem apenas espaço para uma pessoa do sexo oposto. Restam 7 ao todo, e 4 convém. Isso dá 4/7 de probabilidade. Para a terceira cadeira, tem que ser de novo do sexo oposto, e agora temos 3 e 3, o que dá 1/2. Assim por diante: 4a cadeira = 3/5, 5a cadeira = 1/2, 6a cadeira = 2/3, 7a cadeira = 1/2, 8a cadeira = 1 (só sobrou uma pessoa). Muito bem, isso dá: 1 * 4/7 * 1/2 * 3/5 * 1/2 * 2/3 * 1/2 * 1 = 4*3*2 / 7*2*5*2*3*2 = 1/35 que é um pouco menor do que 1/33... = 0.03, seria portanto 2.86 se a gente não errou as contas. Multiplicando 2.86 por 35 dá 100.10, ok, pode ser uma resposta. Vejamos a sua solução: O primeiro homem pode sentar em 8 lugares. Ok O segundo pode sentar em 6 lugares. Aqui tem um problema... Se o primeiro homem sentar no canto, realmente há 6 lugares para o seguinte. Mas se ele sentar numa das 6 outras cadeiras, ele bloqueia não apenas a que ele sentou, mas duas outras, e sobram apenas 5 para o segundo. Até aqui dá pra levar as contas... Se o primeiro sentou no canto (2 casos) há 6 para o segundo (total = 12) ; se o primeiro sentou no meio (6 casos) há 5 para o segundo (total = 30) e assim há 42 possibilidades para os dois primeiros homens. O que é ligeiramente menor do que 8*6 = 48. O terceiro,em 4 lugares e o quarto,em 2 lugares. O problema é fazer essa contas aqui... Porque depende de onde os dois primeiros sentaram, tem um monte de casos, etc. Com certeza, dá pra fazer, mas vai levar um bom tempo considerando tudo... Como sobram 4 lugares,é só permutar as 4 mulheres. Exato. Você podia ter feito isso desde o início!! Por exemplo, escolha par ou ímpar para as mulheres. (2 modos). Sente as 4 mulheres nas 4 cadeiras (pares ou ímpares) de acordo com a escolha (4!). Sente os homens nas 4 outras cadeiras (4!). Isso dá: 4! * 4! * 2 / 8! = 4*3*2*2 / 8*7*6*5 = 1 / 7*5. Então o número de possibilidades de que homens e mulheres sentem em cadeiras alternadas é 8x6x4x2x4x3x2x1.Dividindo esse número por 8!(que é o total de possibilidades) temos 5/35 = 0,2285. O que me intriga é que esse resultado é o dobro dos 11,42% do item d Alguem poderia esclarecer? Espero que tenha ajudado. Combinatória sempre tem uma boa dose de interpretação, então sempre tome bastante cuidado com os enunciados. Mas também preste bem atenção que tudo continue sempre equiprovável (ou então você vai ter que prestar muita atenção com as contas). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] questão de probabilidade
O aluno acertou 4 das 8 questões. Ele tem 8!/(4!4!) = 70 jeitos de fazer isso. Para acertar 4 questões ele tem que errar 4 também. P = 70 (1/5)^4(4/5)^4 = 14.4^4/5^7 ~ 4,58% From: sswai...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] questão de probabilidade Date: Fri, 25 Feb 2011 21:50:20 + Um aluno não estudou para a prova. Decide então chutar todas as questões. A prova consiste de 8 questões com 5 alternativas cada. Qual a chance de ele acertar exatamente 4 quetões? Não seria 8 tomado 4 a 4 vezes 1/5? Mas fiquei pensando não tenho de considerar que ele erre todas as outra 4 questões? Esta quetão parece fácil, mas eu me embananei. Desde já agradeço. Samuel
[obm-l] Re: [obm-l] questão de probabilidade
É uma binomial com n = 8 e p = 1/5. Logo, é P(4) = C(8,4) (1/5)^4 (1/5)!^4. Artur Em fev 25, 2011 8:44 PM, Samuel Wainer sswai...@hotmail.comescreveu: Um aluno não estudou para a prova. Decide então chutar todas as questões. A prova consiste de 8 questões com 5 alternativas cada. Qual a chance de ele acertar exatamente 4 quetões? Não seria 8 tomado 4 a 4 vezes 1/5? Mas fiquei pensando não tenho de considerar que ele erre todas as outra 4 questões? Esta quetão parece fácil, mas eu me embananei. Desde já agradeço. Samuel
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de Probabilidade - CESPE
Salhab, agradeço a ajuda. No entanto, acho que vc cometeu um engano. Não podemos calcular a chance de A ser campeão por 2 casos favoráveis em um total de 5, posto que os 5 não são equiprováveis. Estou errado? Abraço. 2009/1/23 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Olá Fábio, dado que A perdeu o primeiro jogo, temos as seguinte possiveis configuracoes para os demais jogos: vamos convencionar: 1 = A venceu, 0 = B venceu (ou A perdeu). 0 (neste caso B é campeao) 11 (neste caso A é campeao) 100 (neste caso B é campeao) 1010 (neste caso B é campeao) 1011 (neste caso A é campeao) logo, temos 2/5 = 40% de chance de A ser campeão. Outra maneira seria calcular: P(A ser campeao | A perdeu a primeira partida) = P(A ser campeao e A perder a primeira partida)/P(A perder a primeira partida) P(A perder a primeira partida) = 1/2 P(A ser campeao e A perder a primeira partida) = 2/10 [basta ver que temos 2 casos favoraveis em 10, pois temos que considerar os casos em que A ganhou a primeira partida, que sao analogos aos acima] assim: P = (2/10)/(1/2) = 2/5 = 40% acho que é isso!! abraços, Salhab 2009/1/22 fabio henrique teixeira de souza fabiodja...@ig.com.br Senhores, ao fazer a questão abaixo, encontrei como probabilidade 5/16. De saída, o problema não deixa claro que as probabilidades de vitória de A e de B são iguais. Considerei-as iguais (a 1/2). No entanto, o gabarito oficial diz que a declaração é CERTA. Gostaria que alguém também a fizesse para que eu possa ter idéia se estou errando ou acertando. Aguardo o retorno. Analise em certo ou errado: A etapa final de um torneio de futebol será disputada entre os times A e B, e o campeão será o time que vencer duas partidas seguidas ou um total de três partidas. Considerando que os jogos que terminarem empatados serão decididos nos pênaltis, de forma que sempre haja um vencedor, julgue os itens que se seguem. 109 A chance de o time A ser campeão tendo perdido o primeiro jogo é de 20%.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de Probabilidade - CESPE
Olá Fábio, dado que A perdeu o primeiro jogo, temos as seguinte possiveis configuracoes para os demais jogos: vamos convencionar: 1 = A venceu, 0 = B venceu (ou A perdeu). 0 (neste caso B é campeao) 11 (neste caso A é campeao) 100 (neste caso B é campeao) 1010 (neste caso B é campeao) 1011 (neste caso A é campeao) logo, temos 2/5 = 40% de chance de A ser campeão. Outra maneira seria calcular: P(A ser campeao | A perdeu a primeira partida) = P(A ser campeao e A perder a primeira partida)/P(A perder a primeira partida) P(A perder a primeira partida) = 1/2 P(A ser campeao e A perder a primeira partida) = 2/10 [basta ver que temos 2 casos favoraveis em 10, pois temos que considerar os casos em que A ganhou a primeira partida, que sao analogos aos acima] assim: P = (2/10)/(1/2) = 2/5 = 40% acho que é isso!! abraços, Salhab 2009/1/22 fabio henrique teixeira de souza fabiodja...@ig.com.br Senhores, ao fazer a questão abaixo, encontrei como probabilidade 5/16. De saída, o problema não deixa claro que as probabilidades de vitória de A e de B são iguais. Considerei-as iguais (a 1/2). No entanto, o gabarito oficial diz que a declaração é CERTA. Gostaria que alguém também a fizesse para que eu possa ter idéia se estou errando ou acertando. Aguardo o retorno. Analise em certo ou errado: A etapa final de um torneio de futebol será disputada entre os times A e B, e o campeão será o time que vencer duas partidas seguidas ou um total de três partidas. Considerando que os jogos que terminarem empatados serão decididos nos pênaltis, de forma que sempre haja um vencedor, julgue os itens que se seguem. 109 A chance de o time A ser campeão tendo perdido o primeiro jogo é de 20%.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de Probabilidade
Desculpe, mas o número de solução da eq a+b+c+d+e =12 não seria C 16,4 = 1820 ou ainda fazendo ponto (p) barra (b), seria 12 pontos e 4 barras, por exemplo : ppbppbpppbbp que poderia ser também permutaçãode 16 elementos com repetição de um elemento 4 vz e de outro 12 vz . ? - Original Message - From: saulo nilson To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, March 06, 2008 8:25 PM Subject: Re: [obm-l] Questão de Probabilidade e o numero de soluçoes do sistema abaixo a+b+c+d+e=12 On 3/6/08, Joao Victor Brasil [EMAIL PROTECTED] wrote: Saulo, Pq C13,5??? On 3/6/08, Joao Victor Brasil [EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpa, não prestei atenção nesse fato. Achei que não havia reposição. On 3/6/08, Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] wrote: O enunciado informa que há reposição das bolas. Em outras palavras, a bola é recolocada na caixa depois do sorteio. -- Abraços, Maurício 2008/3/5 Joao Victor Brasil [EMAIL PROTECTED]: me desculpe, mas como posso selecionar selecionar 12 bolas se a urna só tem 5??? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de Probabilidade
vc permuta somente os bs entre os 13 espaços existentes entre os ps, senao ocorre repetiçao exemplo permutando p vc obtem bpp ppb mas depois vc permuta os dois ps de novo ai vc volta para configuraçao original. On 3/6/08, Gustavo Duarte [EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpe, mas o número de solução da eq a+b+c+d+e =12 não seria *C 16,4 *= 1820 ou ainda fazendo ponto (*p*) barra (*b*), seria 12 pontos e 4 barras, por exemplo : pp*b*pp*b*ppp*b**b*p que poderia ser também permutaçãode 16 elementos com repetição de um elemento 4 vz e de outro 12 vz . ? - Original Message - *From:* saulo nilson [EMAIL PROTECTED] *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Thursday, March 06, 2008 8:25 PM *Subject:* Re: [obm-l] Questão de Probabilidade e o numero de soluçoes do sistema abaixo a+b+c+d+e=12 On 3/6/08, Joao Victor Brasil [EMAIL PROTECTED] wrote: Saulo, Pq C13,5??? On 3/6/08, Joao Victor Brasil [EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpa, não prestei atenção nesse fato. Achei que não havia reposição. On 3/6/08, Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] wrote: O enunciado informa que há reposição das bolas. Em outras palavras, a bola é recolocada na caixa depois do sorteio. -- Abraços, Maurício 2008/3/5 Joao Victor Brasil [EMAIL PROTECTED]: me desculpe, mas como posso selecionar selecionar 12 bolas se a urna só tem 5??? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
