[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações lineares

[Anderson Torres]

Para de spammar

Em dom., 17 de abr. de 2022 às 01:16, Felippe Coulbert Balbi
 escreveu:
>
> Eu tenho um sistema de equações lineares com 12 variaveis: x1, x2,...,x12. 
> Essas variaveis assumem valor somente no conjunto {0, 1, 1/2, 1/3}.
>
> Eu tenho 8 equações
>
> 4 equações é um sistema linear que pode ser escrito como:
>
> Ax= b
>
> A é uma matriz de 4 linhas e 12 colunas, b é uma matriz de 4 linhas e 1 coluna
>
> As outras 4 equações são:
>
> x1+x2+x3 = 1
>
> x4+x5+x6 = 1
>
> x7+x8+x9 = 1
>
> x10+x11+x12 = 1
>
> Para quais valores de A e b, esse sistema tem solucao? Quando a solucao desse 
> sistema é unica?
>
> Grato,
> Felippe
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pedro José]

Boa tarde!

Perdão.
Faltou uma restrição.
C1+C2= 2AB/3 - 4A^3/27.

Saudações.

Em 7 de fevereiro de 2017 11:20, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> A curiosidade estendida:
>
> Sejam os polinômios P1(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C1 e P2(x) = x^3 + Ax^2 + Bx
> + C2 com A, B, C1 e C2 reais e 4A^2<12B.
>
> A soma das raízes reais dos polinômios dará - 2A/3.
>
> Saudações
>
>
>
> Em 6 de fevereiro de 2017 20:36, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>>
>> Curiosidade: se os polinômios forem x^3 - 3x^2 +5x + c1 e y^3 - 3y^2 + 5y
>> +c2 e c1 +c2 = -6, a soma das raízes reais do polinômio dará 2.
>>
>> Saudações.
>>
>> Em 6 de fevereiro de 2017 16:37, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>>
>>> Bela solução.
>>>
>>> Já eu, fui para a grosseria.
>>>
>>> Achei as raízes reais das duas equações.
>>>
>>> x= (-1+ (35/27)^1/2)^1/3 + (-1 - (35/27)^1/2)^1/3 + 1
>>> y = (1 + (35/27)^1/2)^1/3 + (1 -(35/27)^1/2)^1/3 + 1
>>>
>>> x+ y =2.
>>>
>>> Não há outras raízes reais, pois ambos polinômios, x^3 -3x^2 + 5x e
>>> y^2-3y^2+5y, são monótonas crescentes em |R.
>>>
>>>
>>> A do Pacini é mais legal, fica (k-2) [3x^2-3kx + k^2-k+3]=0 e o
>>> determinante do termo entre colchetes é sempre negativo. Portanto k =2.
>>>
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>> Em 5 de fevereiro de 2017 09:44, Carlos Gomes 
>>> escreveu:
>>>
 Agora o enunciado faz sentido! Esse problema está resolvido nosso livro
 Olimpíadas de Matemática do Estado do Rio Grande do Norte - 1985 -
 2007.

 Abraço, Cgomes,


 Em 4 de fevereiro de 2017 14:35, Pacini Bores 
 escreveu:

>
>
>
>
>
> Oi Marcone, errei na digitação : digo 1
> Em 04/02/2017 10:34, Pacini Bores escreveu:
>
>
>
>
> Oi Marcone,
>
> Tome x+y=k e faça y = k-x na segunda equação. Observe que 0 0
> No final coloque (k-2) em evidencia e ficará (k-2).p(x)=0; onde p(x) é
> um polinômio do segundo grau em x que não se anulará  nas observações
> colocadas anteriormente.
>
> Logo k=2 , ok ? Confira as contas.
>
> Abraços
>
> Pacini
>
> Em 03/02/2017 17:47, marcone augusto araújo borges escreveu:
>
> Como nada foi afirmado, x e y devem ser números reais
>
>
>
> Se x^3 - 3x^2 + 5x = 1 e y^2 - 3y^2 + 5y = 5, calcule x+y
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pedro José]

Bom dia!

A curiosidade estendida:

Sejam os polinômios P1(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C1 e P2(x) = x^3 + Ax^2 + Bx
+ C2 com A, B, C1 e C2 reais e 4A^2<12B.

A soma das raízes reais dos polinômios dará - 2A/3.

Saudações



Em 6 de fevereiro de 2017 20:36, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
>
> Curiosidade: se os polinômios forem x^3 - 3x^2 +5x + c1 e y^3 - 3y^2 + 5y
> +c2 e c1 +c2 = -6, a soma das raízes reais do polinômio dará 2.
>
> Saudações.
>
> Em 6 de fevereiro de 2017 16:37, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Bela solução.
>>
>> Já eu, fui para a grosseria.
>>
>> Achei as raízes reais das duas equações.
>>
>> x= (-1+ (35/27)^1/2)^1/3 + (-1 - (35/27)^1/2)^1/3 + 1
>> y = (1 + (35/27)^1/2)^1/3 + (1 -(35/27)^1/2)^1/3 + 1
>>
>> x+ y =2.
>>
>> Não há outras raízes reais, pois ambos polinômios, x^3 -3x^2 + 5x e
>> y^2-3y^2+5y, são monótonas crescentes em |R.
>>
>>
>> A do Pacini é mais legal, fica (k-2) [3x^2-3kx + k^2-k+3]=0 e o
>> determinante do termo entre colchetes é sempre negativo. Portanto k =2.
>>
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em 5 de fevereiro de 2017 09:44, Carlos Gomes 
>> escreveu:
>>
>>> Agora o enunciado faz sentido! Esse problema está resolvido nosso livro
>>> Olimpíadas de Matemática do Estado do Rio Grande do Norte - 1985 - 2007.
>>>
>>> Abraço, Cgomes,
>>>
>>>
>>> Em 4 de fevereiro de 2017 14:35, Pacini Bores 
>>> escreveu:
>>>





 Oi Marcone, errei na digitação : digo 1>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pedro José]

Boa noite!

Curiosidade: se os polinômios forem x^3 - 3x^2 +5x + c1 e y^3 - 3y^2 + 5y
+c2 e c1 +c2 = -6, a soma das raízes reais do polinômio dará 2.

Saudações.

Em 6 de fevereiro de 2017 16:37, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Bela solução.
>
> Já eu, fui para a grosseria.
>
> Achei as raízes reais das duas equações.
>
> x= (-1+ (35/27)^1/2)^1/3 + (-1 - (35/27)^1/2)^1/3 + 1
> y = (1 + (35/27)^1/2)^1/3 + (1 -(35/27)^1/2)^1/3 + 1
>
> x+ y =2.
>
> Não há outras raízes reais, pois ambos polinômios, x^3 -3x^2 + 5x e
> y^2-3y^2+5y, são monótonas crescentes em |R.
>
>
> A do Pacini é mais legal, fica (k-2) [3x^2-3kx + k^2-k+3]=0 e o
> determinante do termo entre colchetes é sempre negativo. Portanto k =2.
>
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 5 de fevereiro de 2017 09:44, Carlos Gomes 
> escreveu:
>
>> Agora o enunciado faz sentido! Esse problema está resolvido nosso livro
>> Olimpíadas de Matemática do Estado do Rio Grande do Norte - 1985 - 2007.
>>
>> Abraço, Cgomes,
>>
>>
>> Em 4 de fevereiro de 2017 14:35, Pacini Bores 
>> escreveu:
>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Oi Marcone, errei na digitação : digo 1>>
>>> Em 04/02/2017 10:34, Pacini Bores escreveu:
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Oi Marcone,
>>>
>>> Tome x+y=k e faça y = k-x na segunda equação. Observe que 0>> 0>>
>>> No final coloque (k-2) em evidencia e ficará (k-2).p(x)=0; onde p(x) é
>>> um polinômio do segundo grau em x que não se anulará  nas observações
>>> colocadas anteriormente.
>>>
>>> Logo k=2 , ok ? Confira as contas.
>>>
>>> Abraços
>>>
>>> Pacini
>>>
>>> Em 03/02/2017 17:47, marcone augusto araújo borges escreveu:
>>>
>>> Como nada foi afirmado, x e y devem ser números reais
>>>
>>>
>>>
>>> Se x^3 - 3x^2 + 5x = 1 e y^2 - 3y^2 + 5y = 5, calcule x+y
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pedro José]

Boa tarde!

Bela solução.

Já eu, fui para a grosseria.

Achei as raízes reais das duas equações.

x= (-1+ (35/27)^1/2)^1/3 + (-1 - (35/27)^1/2)^1/3 + 1
y = (1 + (35/27)^1/2)^1/3 + (1 -(35/27)^1/2)^1/3 + 1

x+ y =2.

Não há outras raízes reais, pois ambos polinômios, x^3 -3x^2 + 5x e
y^2-3y^2+5y, são monótonas crescentes em |R.


A do Pacini é mais legal, fica (k-2) [3x^2-3kx + k^2-k+3]=0 e o
determinante do termo entre colchetes é sempre negativo. Portanto k =2.


Saudações,
PJMS


Em 5 de fevereiro de 2017 09:44, Carlos Gomes 
escreveu:

> Agora o enunciado faz sentido! Esse problema está resolvido nosso livro
> Olimpíadas de Matemática do Estado do Rio Grande do Norte - 1985 - 2007.
>
> Abraço, Cgomes,
>
>
> Em 4 de fevereiro de 2017 14:35, Pacini Bores 
> escreveu:
>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Oi Marcone, errei na digitação : digo 1>
>> Em 04/02/2017 10:34, Pacini Bores escreveu:
>>
>>
>>
>>
>> Oi Marcone,
>>
>> Tome x+y=k e faça y = k-x na segunda equação. Observe que 0> 0>
>> No final coloque (k-2) em evidencia e ficará (k-2).p(x)=0; onde p(x) é um
>> polinômio do segundo grau em x que não se anulará  nas observações
>> colocadas anteriormente.
>>
>> Logo k=2 , ok ? Confira as contas.
>>
>> Abraços
>>
>> Pacini
>>
>> Em 03/02/2017 17:47, marcone augusto araújo borges escreveu:
>>
>> Como nada foi afirmado, x e y devem ser números reais
>>
>>
>>
>> Se x^3 - 3x^2 + 5x = 1 e y^2 - 3y^2 + 5y = 5, calcule x+y
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Carlos Gomes]

Agora o enunciado faz sentido! Esse problema está resolvido nosso livro
Olimpíadas de Matemática do Estado do Rio Grande do Norte - 1985 - 2007.

Abraço, Cgomes,


Em 4 de fevereiro de 2017 14:35, Pacini Bores 
escreveu:

>
>
>
>
>
> Oi Marcone, errei na digitação : digo 1
> Em 04/02/2017 10:34, Pacini Bores escreveu:
>
>
>
>
> Oi Marcone,
>
> Tome x+y=k e faça y = k-x na segunda equação. Observe que 0 0
> No final coloque (k-2) em evidencia e ficará (k-2).p(x)=0; onde p(x) é um
> polinômio do segundo grau em x que não se anulará  nas observações
> colocadas anteriormente.
>
> Logo k=2 , ok ? Confira as contas.
>
> Abraços
>
> Pacini
>
> Em 03/02/2017 17:47, marcone augusto araújo borges escreveu:
>
> Como nada foi afirmado, x e y devem ser números reais
>
>
>
> Se x^3 - 3x^2 + 5x = 1 e y^2 - 3y^2 + 5y = 5, calcule x+y
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pacini Bores]

 

Oi Marcone, errei na digitação : digo 1 Oi Marcone, 
> 
> Tome x+y=k e faça y = k-x na segunda equação. Observe que 0 ou seja, 1 
> No final coloque (k-2) em evidencia e ficará (k-2).p(x)=0; onde p(x) é um 
> polinômio do segundo grau em x que não se anulará nas observações colocadas 
> anteriormente. 
> 
> Logo k=2 , ok ? Confira as contas. 
> 
> Abraços 
> 
> Pacini 
> 
> Em 03/02/2017 17:47, marcone augusto araújo borges escreveu: 
> 
>> Como nada foi afirmado, x e y devem ser números reais 
>> 
>> Se x^3 - 3x^2 + 5x = 1 e y^2 - 3y^2 + 5y = 5, calcule x+y 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pacini Bores]

 

Oi Marcone, 

Tome x+y=k e faça y = k-x na segunda equação. Observe que 0 Como nada foi afirmado, x e y devem ser números reais 
> 
> Se x^3 - 3x^2 + 5x = 1 e y^2 - 3y^2 + 5y = 5, calcule x+y 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pedro José]

Boa tarde!

Na verdade 0a1, 0b1 e 0c1.

(ii) ab+bc+ac =1
(v) a+b+c = abc

É fácil ver que pelo menos duas varíaveis devam ser menores que 1 para
atender (ii)

(v) e (ii) impedem que haja apenas uma das varíaveis maior ou igual a 1.

Já que o sistema é simétrico.

Vamos supor que a = 1== ab 1 pois caso contrário não teríamos como
atender ab + bc + ac =1; pois, ac0 e bc0.

Então abc 1  pois c1 e por (v) abc = a + b +c (absurdo pois a+ b + c  1).

Saudações,
PJMS

Em 3 de julho de 2015 18:43, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Bom, podemos mostrar que
 sen²x+sen²y+sen²z=1;
 x+y+z=pi/2
 implicam que algum dos ângulos x, y, z é múltiplo de pi/2 (em particular,
 não serão todos positivos). Serve para o que você quer?

 Em primeiro lugar, tome A=2x, B=2y e C=2z. Traduzimos tudo então para:
 (1-cosA)/2+(1-cosB)/2+(1-cosC)/2=1, isto é,
 cosA+cosB+cosC=1.
 A+B+C=pi
 E quero mostrar que A ou B ou C são múltiplos de pi, ou seja, que
 sinAsinBsinC=0.

 Oras, como A+B+C=pi, cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB. Jogando na primeira:

 sinA.sinB=1-cosA-cosB+cosAcosB=(1-cosA)(1-cosB)

 Se sinAsinB0, posso multiplicar isto por (1+cosA)(1+cosB)/(sinAsinB) dos
 dois lados:
 (1+cosA)(1+cosB)=sinA.sinB

 Igualando essas duas equações, tiro que cosA+cosB=0. Então cosC=1,
 portanto sinC=0.

 (Hmmm, que estranho... errei alguma conta?)

 ---///---

 Suponho que sua primeira condição seja análoga, fazendo a=tanx,
 b=tany,c=tanz, acertei?

 Abraço, Ralph.



 2015-07-03 16:01 GMT-03:00 Pedro José petroc...@gmail.com:

 Boa tarde!

 (i) a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 (ii) ab+bc+ac=1

 de (i) temos a^2(1+b^2)*(1+c^2) + b^2(1+a^2)*(1+c^2) +c^2*(1+a^2)*(1+b^2)
 = (1+a^2)*(1+b^2)*(1+c^2)

 2*a^2*b^2*c^2 +a^2*b^2 + b^2*c^2 + a^2*c^2 = 1 (iii)

 de (ii) 1 = a^2*b^2 + a^2*c^2+b^2*c^2 + 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) (iv)

 (iii) e (iv) == 2*a^2*b^2*c^2 = 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) == abc=
 a+ b +c (v)

 É fácil observar que a=b=c=0 atende (v)

 Seja y=abc e z = a+ b+ c

 a  0, b0 e c0 e (ii) == 0a1, 0b1 e c0c1. == ab1, bc  1 e
 ac1.


  δy/δa = bc, δy/δb = ac, δy/δc = ab e

 δz/δa = 1, δz/δb = 1, δz/δc = 1

 Logo y cresce a uma taxa menor z para 0a1, 0b1 e c0c1  e como para
 a=b=c =0   :  y=z  == y  z para 0a1, 0b1 e c0c1.

 É bem provável que exista uma solução mais elegante usando alguma
 desigualdade

 Sds,

 PJMS








 Em 2 de julho de 2015 14:54, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá pessoal, boa tarde.Será que alguém aí sabe se o problema abaixo
 existe em algum livro, olimpíada ou em qualquer outro lugar?Por favor, se
 souberem, me digam qual
 Prove que o sistema não possui soluções reais positivas:
 a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 ab+bc+ac=1
 Ou alguém conhece um problema com o seguinte enunciado:
 Prove que se sen²a+sen²b+sen²c=1 então a+b+c≠pi/2
 Se tiverem o livro/prova que tenham estes problemas, por favor, me digam
 qual.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pedro José]

Boa tarde!

(i) a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
(ii) ab+bc+ac=1

de (i) temos a^2(1+b^2)*(1+c^2) + b^2(1+a^2)*(1+c^2) +c^2*(1+a^2)*(1+b^2) =
(1+a^2)*(1+b^2)*(1+c^2)

2*a^2*b^2*c^2 +a^2*b^2 + b^2*c^2 + a^2*c^2 = 1 (iii)

de (ii) 1 = a^2*b^2 + a^2*c^2+b^2*c^2 + 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) (iv)

(iii) e (iv) == 2*a^2*b^2*c^2 = 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) == abc= a+
b +c (v)

É fácil observar que a=b=c=0 atende (v)

Seja y=abc e z = a+ b+ c

a  0, b0 e c0 e (ii) == 0a1, 0b1 e c0c1. == ab1, bc  1 e ac1.


 δy/δa = bc, δy/δb = ac, δy/δc = ab e

δz/δa = 1, δz/δb = 1, δz/δc = 1

Logo y cresce a uma taxa menor z para 0a1, 0b1 e c0c1  e como para
a=b=c =0   :  y=z  == y  z para 0a1, 0b1 e c0c1.

É bem provável que exista uma solução mais elegante usando alguma
desigualdade

Sds,

PJMS








Em 2 de julho de 2015 14:54, Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá pessoal, boa tarde.Será que alguém aí sabe se o problema abaixo existe
 em algum livro, olimpíada ou em qualquer outro lugar?Por favor, se
 souberem, me digam qual
 Prove que o sistema não possui soluções reais positivas:
 a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 ab+bc+ac=1
 Ou alguém conhece um problema com o seguinte enunciado:
 Prove que se sen²a+sen²b+sen²c=1 então a+b+c≠pi/2
 Se tiverem o livro/prova que tenham estes problemas, por favor, me digam
 qual.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pedro José]

Boa tarde!

Não havia visto o segundo.

a =b=pi/4 e c=0 atenfde e a+b+c = pi/2. Precisa ter outra restrição ou está
errada a proposição.

Sds,
PJMS

Em 3 de julho de 2015 16:01, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 (i) a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 (ii) ab+bc+ac=1

 de (i) temos a^2(1+b^2)*(1+c^2) + b^2(1+a^2)*(1+c^2) +c^2*(1+a^2)*(1+b^2)
 = (1+a^2)*(1+b^2)*(1+c^2)

 2*a^2*b^2*c^2 +a^2*b^2 + b^2*c^2 + a^2*c^2 = 1 (iii)

 de (ii) 1 = a^2*b^2 + a^2*c^2+b^2*c^2 + 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) (iv)

 (iii) e (iv) == 2*a^2*b^2*c^2 = 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) == abc= a+
 b +c (v)

 É fácil observar que a=b=c=0 atende (v)

 Seja y=abc e z = a+ b+ c

 a  0, b0 e c0 e (ii) == 0a1, 0b1 e c0c1. == ab1, bc  1 e ac1.


  δy/δa = bc, δy/δb = ac, δy/δc = ab e

 δz/δa = 1, δz/δb = 1, δz/δc = 1

 Logo y cresce a uma taxa menor z para 0a1, 0b1 e c0c1  e como para
 a=b=c =0   :  y=z  == y  z para 0a1, 0b1 e c0c1.

 É bem provável que exista uma solução mais elegante usando alguma
 desigualdade

 Sds,

 PJMS








 Em 2 de julho de 2015 14:54, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá pessoal, boa tarde.Será que alguém aí sabe se o problema abaixo
 existe em algum livro, olimpíada ou em qualquer outro lugar?Por favor, se
 souberem, me digam qual
 Prove que o sistema não possui soluções reais positivas:
 a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 ab+bc+ac=1
 Ou alguém conhece um problema com o seguinte enunciado:
 Prove que se sen²a+sen²b+sen²c=1 então a+b+c≠pi/2
 Se tiverem o livro/prova que tenham estes problemas, por favor, me digam
 qual.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pedro José]

Boa noite!

A primeira está completamente errada. Pode-se ter uma das variáveis maior
que um. O que não pode são duas delas.

Desculpe-me,
PJMS

Em 3 de julho de 2015 16:19, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 Não havia visto o segundo.

 a =b=pi/4 e c=0 atenfde e a+b+c = pi/2. Precisa ter outra restrição ou
 está errada a proposição.

 Sds,
 PJMS

 Em 3 de julho de 2015 16:01, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 (i) a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 (ii) ab+bc+ac=1

 de (i) temos a^2(1+b^2)*(1+c^2) + b^2(1+a^2)*(1+c^2) +c^2*(1+a^2)*(1+b^2)
 = (1+a^2)*(1+b^2)*(1+c^2)

 2*a^2*b^2*c^2 +a^2*b^2 + b^2*c^2 + a^2*c^2 = 1 (iii)

 de (ii) 1 = a^2*b^2 + a^2*c^2+b^2*c^2 + 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) (iv)

 (iii) e (iv) == 2*a^2*b^2*c^2 = 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) == abc=
 a+ b +c (v)

 É fácil observar que a=b=c=0 atende (v)

 Seja y=abc e z = a+ b+ c

 a  0, b0 e c0 e (ii) == 0a1, 0b1 e c0c1. == ab1, bc  1 e
 ac1.


  δy/δa = bc, δy/δb = ac, δy/δc = ab e

 δz/δa = 1, δz/δb = 1, δz/δc = 1

 Logo y cresce a uma taxa menor z para 0a1, 0b1 e c0c1  e como para
 a=b=c =0   :  y=z  == y  z para 0a1, 0b1 e c0c1.

 É bem provável que exista uma solução mais elegante usando alguma
 desigualdade

 Sds,

 PJMS








 Em 2 de julho de 2015 14:54, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá pessoal, boa tarde.Será que alguém aí sabe se o problema abaixo
 existe em algum livro, olimpíada ou em qualquer outro lugar?Por favor, se
 souberem, me digam qual
 Prove que o sistema não possui soluções reais positivas:
 a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 ab+bc+ac=1
 Ou alguém conhece um problema com o seguinte enunciado:
 Prove que se sen²a+sen²b+sen²c=1 então a+b+c≠pi/2
 Se tiverem o livro/prova que tenham estes problemas, por favor, me digam
 qual.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.





-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Ralph Teixeira]

Bom, podemos mostrar que
sen²x+sen²y+sen²z=1;
x+y+z=pi/2
implicam que algum dos ângulos x, y, z é múltiplo de pi/2 (em particular,
não serão todos positivos). Serve para o que você quer?

Em primeiro lugar, tome A=2x, B=2y e C=2z. Traduzimos tudo então para:
(1-cosA)/2+(1-cosB)/2+(1-cosC)/2=1, isto é,
cosA+cosB+cosC=1.
A+B+C=pi
E quero mostrar que A ou B ou C são múltiplos de pi, ou seja, que
sinAsinBsinC=0.

Oras, como A+B+C=pi, cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB. Jogando na primeira:

sinA.sinB=1-cosA-cosB+cosAcosB=(1-cosA)(1-cosB)

Se sinAsinB0, posso multiplicar isto por (1+cosA)(1+cosB)/(sinAsinB) dos
dois lados:
(1+cosA)(1+cosB)=sinA.sinB

Igualando essas duas equações, tiro que cosA+cosB=0. Então cosC=1, portanto
sinC=0.

(Hmmm, que estranho... errei alguma conta?)

---///---

Suponho que sua primeira condição seja análoga, fazendo a=tanx,
b=tany,c=tanz, acertei?

Abraço, Ralph.



2015-07-03 16:01 GMT-03:00 Pedro José petroc...@gmail.com:

 Boa tarde!

 (i) a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 (ii) ab+bc+ac=1

 de (i) temos a^2(1+b^2)*(1+c^2) + b^2(1+a^2)*(1+c^2) +c^2*(1+a^2)*(1+b^2)
 = (1+a^2)*(1+b^2)*(1+c^2)

 2*a^2*b^2*c^2 +a^2*b^2 + b^2*c^2 + a^2*c^2 = 1 (iii)

 de (ii) 1 = a^2*b^2 + a^2*c^2+b^2*c^2 + 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) (iv)

 (iii) e (iv) == 2*a^2*b^2*c^2 = 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) == abc= a+
 b +c (v)

 É fácil observar que a=b=c=0 atende (v)

 Seja y=abc e z = a+ b+ c

 a  0, b0 e c0 e (ii) == 0a1, 0b1 e c0c1. == ab1, bc  1 e ac1.


  δy/δa = bc, δy/δb = ac, δy/δc = ab e

 δz/δa = 1, δz/δb = 1, δz/δc = 1

 Logo y cresce a uma taxa menor z para 0a1, 0b1 e c0c1  e como para
 a=b=c =0   :  y=z  == y  z para 0a1, 0b1 e c0c1.

 É bem provável que exista uma solução mais elegante usando alguma
 desigualdade

 Sds,

 PJMS








 Em 2 de julho de 2015 14:54, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá pessoal, boa tarde.Será que alguém aí sabe se o problema abaixo
 existe em algum livro, olimpíada ou em qualquer outro lugar?Por favor, se
 souberem, me digam qual
 Prove que o sistema não possui soluções reais positivas:
 a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 ab+bc+ac=1
 Ou alguém conhece um problema com o seguinte enunciado:
 Prove que se sen²a+sen²b+sen²c=1 então a+b+c≠pi/2
 Se tiverem o livro/prova que tenham estes problemas, por favor, me digam
 qual.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais

[saulo nilson]

sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
e^x + e^y = 1
senxcosy+cosxseny=senx+seny
senx(1-cosy)=seny(cosx-1)
tgx/2=tgy/2
tgx/2=-tgy/2
x/2=y/2+npi
x=y+2npi
e^y=1/(e^2npi+1)
y=-ln(e^2npi+1)


2013/7/26 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com

 Verdade! Comi uma mosca nessa parte:

 sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi

 Na verdade, temos:

 sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi ou x + y = -
 2k . pi

 Obrigado, Nehab! Bom problema!


 Em 26 de julho de 2013 15:29, Artur Costa Steiner 
 steinerar...@gmail.comescreveu:

 Eu gostaria de elaborar um pouco mais, a partir do ponto em que o Marcos
 parou. Acho que há ainda outras soluções.

 O Marcos concluiu, da 1a equação, que

 sen(y/2) (cos(x + y/2) - cos(y/2)) = 0

 Aplicando uma conhecida identidade trigonométrica na linha da que ele
 usou, obtemos

 sen(y/2) (-2sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0

 sen(y/2) sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0

 Assim, sendo k um inteiro, a 1a equação será satisfeita se, e somente se,
 pelo menos uma das seguintes condições for satisfeita:

 sen(y/2) = 0, equivalente a y/2 = kπ, y= 2kπ
 sen(x/2) = 0, x = 2kπ
 sen(x + y) = 0, x + y = 2kπ

 As duas primeira condições já foram abordadas pelo Marcos

 Se vigorar a 3a condição, então y = 2kπ - x e a 2a equação implica que

 e^x + e^(2kπ - x) = 1

 (e^x)^2 - e^x + e^(2kπ) = 0

 Como estamos nos reais, uma condição necessária para haver solução é que
 esta equação quadrática em e ^x tenha pelo menos uma raiz real. Logo, uma
 condição necessária é que

 1 - 4 e^(2kπ) ≥ 0, ou seja, e^(2kπ) ≤ 1/4, k ≤ -ln(4)/(2kπ). Como k é
 inteiro, isto implica simplesmente que k ≤ -1. Neste caso, temos que e^x =
 (1 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2 e e^x = (1 + sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2. Em ambos
 os casos, o segundo membro é positivo, de modo que temos x = ln((4 - sqrt(1
 - 4 e^(2kπ)))/2) ou x = e^x = (4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) e y = 2kπ - x.

 Em suma, o conjunto solução desta equação é a união dos seguintes
 conjuntos

 A = {(x, y) em R^2 | x = ln(1 - e^(2kπ)), k  0, k inteiro, x ∈ R}

 B = {(x, y) em R^2 | x ∈ R, y = ln(1 - e^(2kπ)), k  0, k inteiro}

 C = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k
  0, k inteiro}

 D = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k
  0, k inteiro}

 Dê uma conferida.


 Artur Costa Steiner

 Em 26/07/2013, às 13:21, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com
 escreveu:

 Da segunda equação, devemos ter: x  0 e y  0 (*). Suponhamos, sem perda
 de generalidade, que x = 0 - e^x = 1 - e^y = (1 - e^x) = 0. Absurdo,
 pois e^y  0 para qualquer y real.

 I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) - sen (x + y) - sen(x) = sen(y) - 2 .
 sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas
 hipóteses:

 I.i) sen (y/2) = 0 - y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os
 valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação
 (*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 - x = ln(1
 - e^(- 2k . pi)).

 I.ii) sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi (com k
 natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y =
  ln(1 - e^(- 2k . pi)).

 Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 -
 e^(- 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.]


 Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M sc...@hotmail.com escreveu:

 Bom dia a todos

 Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida.

 Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema:

 sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
 e^x + e^y = 1

 Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente
 complicada.

 Obrigada.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais

[Marcos Martinelli]

Da segunda equação, devemos ter: x  0 e y  0 (*). Suponhamos, sem perda
de generalidade, que x = 0 - e^x = 1 - e^y = (1 - e^x) = 0. Absurdo,
pois e^y  0 para qualquer y real.

I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) - sen (x + y) - sen(x) = sen(y) - 2 .
sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas
hipóteses:

I.i) sen (y/2) = 0 - y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os
valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação
(*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 - x = ln(1
- e^(- 2k . pi)).

I.ii) sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi (com k
natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y =
 ln(1 - e^(- 2k . pi)).

Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 -
e^(- 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.]


Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M sc...@hotmail.com escreveu:

 Bom dia a todos

 Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida.

 Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema:

 sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
 e^x + e^y = 1

 Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente
 complicada.

 Obrigada.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais

[Artur Costa Steiner]

Eu gostaria de elaborar um pouco mais, a partir do ponto em que o Marcos parou. 
Acho que há ainda outras soluções.

O Marcos concluiu, da 1a equação, que

sen(y/2) (cos(x + y/2) - cos(y/2)) = 0

Aplicando uma conhecida identidade trigonométrica na linha da que ele usou, 
obtemos

sen(y/2) (-2sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0

sen(y/2) sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0

Assim, sendo k um inteiro, a 1a equação será satisfeita se, e somente se, pelo 
menos uma das seguintes condições for satisfeita:

sen(y/2) = 0, equivalente a y/2 = kπ, y= 2kπ
sen(x/2) = 0, x = 2kπ
sen(x + y) = 0, x + y = 2kπ

As duas primeira condições já foram abordadas pelo Marcos

Se vigorar a 3a condição, então y = 2kπ - x e a 2a equação implica que

e^x + e^(2kπ - x) = 1

(e^x)^2 - e^x + e^(2kπ) = 0

Como estamos nos reais, uma condição necessária para haver solução é que esta 
equação quadrática em e ^x tenha pelo menos uma raiz real. Logo, uma condição 
necessária é que 

1 - 4 e^(2kπ) ≥ 0, ou seja, e^(2kπ) ≤ 1/4, k ≤ -ln(4)/(2kπ). Como k é inteiro, 
isto implica simplesmente que k ≤ -1. Neste caso, temos que e^x = (1 - sqrt(1 - 
4 e^(2kπ)))/2 e e^x = (1 + sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2. Em ambos os casos, o segundo 
membro é positivo, de modo que temos x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) ou x = 
e^x = (4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) e y = 2kπ - x. 

Em suma, o conjunto solução desta equação é a união dos seguintes conjuntos 

A = {(x, y) em R^2 | x = ln(1 - e^(2kπ)), k  0, k inteiro, x ∈ R}

B = {(x, y) em R^2 | x ∈ R, y = ln(1 - e^(2kπ)), k  0, k inteiro}

C = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k  0, k 
inteiro}

D = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k  0, k 
inteiro}

Dê uma conferida.


Artur Costa Steiner

Em 26/07/2013, às 13:21, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com escreveu:

 Da segunda equação, devemos ter: x  0 e y  0 (*). Suponhamos, sem perda de 
 generalidade, que x = 0 - e^x = 1 - e^y = (1 - e^x) = 0. Absurdo, pois 
 e^y  0 para qualquer y real. 
 
 I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) - sen (x + y) - sen(x) = sen(y) - 2 . 
 sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas 
 hipóteses:
 
 I.i) sen (y/2) = 0 - y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os 
 valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação 
 (*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 - x = ln(1 - 
 e^(- 2k . pi)).
 
 I.ii) sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi (com k 
 natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y =  ln(1 
 - e^(- 2k . pi)).
 
 Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 - e^(- 
 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.]
 
 
 Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M sc...@hotmail.com escreveu:
 Bom dia a todos
 
 Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida.
 
 Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema:
 
 sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
 e^x + e^y = 1
 
 Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente 
 complicada.
 
 Obrigada.
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais

[Marcos Martinelli]

Verdade! Comi uma mosca nessa parte:

sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi

Na verdade, temos:

sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi ou x + y = - 2k
. pi

Obrigado, Nehab! Bom problema!


Em 26 de julho de 2013 15:29, Artur Costa Steiner
steinerar...@gmail.comescreveu:

 Eu gostaria de elaborar um pouco mais, a partir do ponto em que o Marcos
 parou. Acho que há ainda outras soluções.

 O Marcos concluiu, da 1a equação, que

 sen(y/2) (cos(x + y/2) - cos(y/2)) = 0

 Aplicando uma conhecida identidade trigonométrica na linha da que ele
 usou, obtemos

 sen(y/2) (-2sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0

 sen(y/2) sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0

 Assim, sendo k um inteiro, a 1a equação será satisfeita se, e somente se,
 pelo menos uma das seguintes condições for satisfeita:

 sen(y/2) = 0, equivalente a y/2 = kπ, y= 2kπ
 sen(x/2) = 0, x = 2kπ
 sen(x + y) = 0, x + y = 2kπ

 As duas primeira condições já foram abordadas pelo Marcos

 Se vigorar a 3a condição, então y = 2kπ - x e a 2a equação implica que

 e^x + e^(2kπ - x) = 1

 (e^x)^2 - e^x + e^(2kπ) = 0

 Como estamos nos reais, uma condição necessária para haver solução é que
 esta equação quadrática em e ^x tenha pelo menos uma raiz real. Logo, uma
 condição necessária é que

 1 - 4 e^(2kπ) ≥ 0, ou seja, e^(2kπ) ≤ 1/4, k ≤ -ln(4)/(2kπ). Como k é
 inteiro, isto implica simplesmente que k ≤ -1. Neste caso, temos que e^x =
 (1 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2 e e^x = (1 + sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2. Em ambos
 os casos, o segundo membro é positivo, de modo que temos x = ln((4 - sqrt(1
 - 4 e^(2kπ)))/2) ou x = e^x = (4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) e y = 2kπ - x.

 Em suma, o conjunto solução desta equação é a união dos seguintes
 conjuntos

 A = {(x, y) em R^2 | x = ln(1 - e^(2kπ)), k  0, k inteiro, x ∈ R}

 B = {(x, y) em R^2 | x ∈ R, y = ln(1 - e^(2kπ)), k  0, k inteiro}

 C = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k 
 0, k inteiro}

 D = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k 
 0, k inteiro}

 Dê uma conferida.


 Artur Costa Steiner

 Em 26/07/2013, às 13:21, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com
 escreveu:

 Da segunda equação, devemos ter: x  0 e y  0 (*). Suponhamos, sem perda
 de generalidade, que x = 0 - e^x = 1 - e^y = (1 - e^x) = 0. Absurdo,
 pois e^y  0 para qualquer y real.

 I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) - sen (x + y) - sen(x) = sen(y) - 2 .
 sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas
 hipóteses:

 I.i) sen (y/2) = 0 - y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os
 valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação
 (*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 - x = ln(1
 - e^(- 2k . pi)).

 I.ii) sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi (com k
 natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y =
  ln(1 - e^(- 2k . pi)).

 Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 -
 e^(- 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.]


 Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M sc...@hotmail.com escreveu:

 Bom dia a todos

 Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida.

 Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema:

 sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
 e^x + e^y = 1

 Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente
 complicada.

 Obrigada.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais

[Merryl M]

Ótimo, muito obrigada a todos.

Amanda

Date: Fri, 26 Jul 2013 13:21:46 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Da segunda equação, devemos ter: x  0 e y  0 (*). Suponhamos, sem perda de 
generalidade, que x = 0 - e^x = 1 - e^y = (1 - e^x) = 0. Absurdo, pois e^y 
 0 para qualquer y real. 

I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) - sen (x + y) - sen(x) = sen(y) - 2 . 
sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas 
hipóteses:
I.i) sen (y/2) = 0 - y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os valores 
positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação (*)). 
Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 - x = ln(1 - e^(- 2k 
. pi)).

I.ii) sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi (com k 
natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y =  ln(1 - 
e^(- 2k . pi)).

Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 - e^(- 
2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.]


Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M sc...@hotmail.com escreveu:




Bom dia a todos

Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida.

Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema:

sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
e^x + e^y = 1


Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente 
complicada.

Obrigada.
  

--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.





--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.

  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] sistema de equações modula res

[Vandelei Nemitz]

Prezado Paulo...

A intersecção das quatro desiguadades gera a área onde as soluções e
encontram, mas não podemos nos esquecer das igualdades em si. Não são todos
os pares desta região que são soluções do sistema.

Um abraço,

Vanderlei

2009/5/14 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com

 Ola Vanderlei e demais
 colegas desta lista ... OBM-L,

 Nao sei se vou conseguir atender as suas expectativas ...  Pelo que
 entendi, voce quer reduzir o espaco das solucoes. Supondo que voce
 esta pensando em x e y como numeros reais, as conhecidas
 propriedades entre modulos

 | A - B | = | B - A )
 | A | + | B | = |A + B|

 nos permitem, a principio, escrever :

 |x+y|+|1-x| = 6 = |x+y+1-x|  implica  |y+1| = 6  implica -7 = y = 5
 |x+y+1|+|1-y| = 4 = |x+y+1+1-y|  implica  |x+2| = 4 implica -6 = x = 2

 ou seja, o espaco das solucoes restringe-se ao quadradinho definido
 pelas duas inequacoes simultaneas acima. Isso, em si,  ja e uma
 restricao importante. Resta portanto apenas descobrir quais pares
 (x,y) interiores a este quadradinho nos interessam. Para ver como e
 possivel  discrimina-los, considere que :

 |x+y| + |1-x| = |x+y| + |x-1| = 6  = |2x+y-1|  = -6 = 2x+y-1 = 6
 = -2x-5 = y = -2x + 7
 |x+y+1| + |1-y| = |x+y+1| + |y-1| = 4 = |x+2y|  = -4 = x+2y = 4 =
 -x/2 - 2 = y = -x/2 + 2

 A interseccao entre essas 4 inequacoes simultaneas e a solucao.

 Um Abraco a todos !
 PSR, 51405091430

 2009/5/14 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br:
   Bom dia pessoal..será que alguém consegue resolver sem analisar todos
 os
  casos?
 
  |x + y| + |1 - x| = 6 e |x + y + 1| + |1 - y| = 4
 
  Eu fiz analisando todas as possibilidades de sinais, mas é muito
 trabalhoso.
 
  obrigado!
 
  Vanderlei

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

[obm-l] Re: [obm-l] sistema de equações modulares

[Vandelei Nemitz]

não, mas se vc conhecer uma solução via gráficos, manda bala!

2009/5/14 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br

 Vandelei,

 Você já estudou gráficos de planos  no R3, por exemplo ?

 Nehab

 Vandelei Nemitz escreveu:

 Bom dia pessoal..será que alguém consegue resolver sem analisar todos os
 casos?

 *|x + y| + |1 - x| = 6 e |x + y + 1| + |1 - y| = 4*
 **
 Eu fiz analisando todas as possibilidades de sinais, mas é muito
 trabalhoso.

 obrigado!

 Vanderlei

[obm-l] Re: [obm-l] sistema de equações

[Wagner]

Oi pessoal !

d = 8D + 24
D + d + 24 = 344 =

d - 8D = 24
d + D = 320

André T.




  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Sunday, January 19, 2003 3:54 
  AM
  Subject: [obm-l] sistema de 
equações
  Olá pessoal, Estou com dúvidas nesta questão da 
  FVG: (F.G.V-SP)Numa divisão, o quociente é 8 e o resto, 24. Sabe-se 
  que a soma do dividendo, do divisor e do resto é 344. Então, a diferença 
  dividendo menos divisor é: Resp: 248 Obs: Tentei aplicar a 
  divisão euclidiana (d=D*q + r) mas não consegui montar um sistema de equações, 
  pois como os exercícios do meu fascículo estão separados por tópicos, sei que 
  esta questão se resolve por sistema de equações, mas o problema está em 
  montá-la. 

[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Bruno]

Olá,
Como: {x,y} E reais
Então: um número ao quadrado dá no mínimo zero.
Para a equação proposta ser verdadeira, tem que acontecer o 
seguinte:
(4x+2y-5)^2= 0 e (3x-y+1)^2 = 0
4x+2y-5=0 e
3x-y+1=0
Resolvendo esse sistema sai: x=3/10 e y=19/10
Portanto: x+y=22/10= 11/5

Até mais...
"Bruno

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, January 16, 2003 3:44 
  AM
  Subject: [obm-l] Sistema de 
equações
  Olá pessoal, 
  Alguém pode me ajudar nesta questão: Os números reais x e y 
  para os quais (4x + 2y - 5)^2 + (3x - y + 1)^2 =0 são tais que x + y vale: 
  Resp: 11/5 Obs: Eu tentei produtos notáveis, mas não deu certo 
  pois são três parcelas nos parênteses, depois eu tentei multiplicar os 
  parenteses mas não deu para isolar o x e o y em um membro para eu conseguir o 
  resultado direto ao invés de descobrir o valor de x e depois de y. 

[obm-l] Re: [obm-l] sistema de equações

[Wagner]

Oi pessoal !

Se x + y = 0 = x = -y =
-(3/11)y + (8/7)y = 2 = ((-21 + 88)/77)y 
=(67/77)y = 2 = y = 154/67
e -(8/11)y + (1/7)y = -1 = ((-56 + 11)/77)y = 
(-45/77)y = -1 = y = 77/45
Logo x + y não é zero.

André T.

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Monday, January 06, 2003 3:33 
  AM
  Subject: [obm-l] sistema de 
equações
  Olá pessoal, 
  Estou resolvendo um sistema de equações e não estou chegando no 
  resultado (que segundo o gabarito é zero) de jeito nenhum. Eu vou mostrar a 
  questão e a maneira como eu conduzi para respondê-la, embora não 
  conseguindo chegar na resoposta correta. Vejam: (PUC-SP) 
  Se (3/11)*x + (8/7)*y = 2 (8/11)*x + 
  (1/7)*y = -1 então x + y = é igual a: Resolução 
  falaciosa: Primeiramente, dei a x/11 o valor de "a" e y/7 o valor de 
  "b", ficando (x/11)=a e (y/7)=b. Depois eu subtitui no sistema, ficando: 
  3a + 8b = 2 8a + b= -1 Multipliquei a 2ª equação por (-8) 
  ficando: 3a + 8b = 2 -64a -8 b= 8  Somando as duas 
  equações encontraremos: -61a = 10 , portanto a = (-10)/61, mas como eu 
  disse no início que (x/11)=a, então temos x= 11*a , que resulta em x= (-110)/61. 
  Substituindo este valor na primeira equação eu obtive y= 
  (791/122). Importantíssimo: O problema pede para calcular x 
  + y, e somando os vermelhos não chegamos ao resultado que o gabarito dá como 
  certo que é 1. Qual o erro que estou cometendo, em vista da resolução 
  acima?  
  

[obm-l] Re: [obm-l] sistema de equações

[Andre Linhares]

Na verdade, o que está isolado é (-b), e não (b). Para descobrir o 
valor de b, multiplicamos os dois membros por (-1).
-b=6a+1 = b=-6a-1
Substituindo na outra equação, temos:
3a+4b-10=0 = 3a+4(-6a-1)-10=0 = 3a-24a-4-10=0 = -21a-14=0 = -21a=14 = 
a=14/-21=-2/3

a=-2/3 = b=-6(-2/3)-1=12/3 -1=4-1=3
* a = -2/3 e b=3

a) a+b=1/3; a+b=-2/3 + 3=1/3 (Verdadeira)
b) a^b=-8/9; a^b=(-2/3)^3= -8/27 (Falsa)
c) b/a=-9/2; b/a=3/(2/3)=3×(3/2)=9/2 (Verdadeira)
d) a-b=11; a-b=-2/3 - 3=-2/3 - 9/3=-11/3 (Falsa)
e) a*b=2; a*b=(-2/3)*3=-2 (Falsa)

Eu cometi algum erro ou o enunciado está errado.







Original Message Follows
From: Marcelo Leitner [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] sistema de equações
Date: Sat, 4 Jan 2003 12:25:29 -0200

On Sat, Jan 04, 2003 at 12:25:56AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Olá pessoal,

 Observem o sistema abaixo e no final eu direi minha dúvida:

 3a + 4b - 10 = 0
 -b = 6a + 1

 Se o par (a, b) é solução do sistema, então:

 a) a+ b= 1/3 d)a - b= 11
 b) a^b= -8/9  e) a*b= 2
 c) b/a= -9/2

 A altenativa certa é a c, eu tentei o método da substituição e adição, 
mas
 não consegui chegar no resultado. Para resolver este tipo de questão é
 necessário olhar o gabarito, ou se chegaria ao mesmo resultado se não 
tivesse
 alternativas? Pois a resposta está com incógnita dupla.
---end quoted text---

Eu resolvi esse sistema por substituicao mesmo, jah q jah temos b
isolado e cheguei a resposta a = 2/3 e b = -3. Tendo isso eh calcular
o que ele pede nas alternativas e comprar os resultados:
a) a+b = 2/3 - 3 = (2-9)/3 = -7/3  (alternativa falsa)
b) a^b = (2/3)^(-3)  (falsa)
c) b/a = (-3)/(2/3) = (-3*3)/2 = -9/2  - verdadeira

[]'s
--
Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED]


_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=