[obm-l] Topologia em R - pontos de condensação
Se S é um subconjunto de R, dizemos que x é ponto de condensação bilateral de S se, para todo eps 0, tanto (x -eps, x) como (x, x + eps) contiverem uma quantidade não enumerável de elementos de S. Quer dizer, os elementos de S condensam-se à esquerda e à direita de x. E dizemos que x é ponto de condensação unilateral de S se, para todo eps 0, um dos intervalos citados, mas não ambos, contiver uma quantidade não enumerável de elementos de S. Quer dizer, os elementos de S condensam-se ou à esquerda ou à direita de S, mas não em ambos os lados. Por esta definição, pontos de condensação bilaterais não são unilaterais. Se C é o conjunto dos pontos de condensação de S, então C é a união disjunta de B, o conjunto dos pontos de condensação bilaterais, com U, o dos pontos de condensação unilaterais. Por exemplo, todo elemento de (a, b), a e b reais, é ponto de condensação bilateral de [a, b]. a e b são seus únicos pontos de condensação unilaterais. Mostre que, se S não for enumerável, então S inter B não é enumerável e U é enumerável (considerando-se conjuntos finitos como enumeráveis). Já sabemos que S inter C não é enumerável. Desculpem se isto é um tanto off topic, mas acho interessante Abraços. Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Topologia aplicada aos puzzles mecânicos
Olá, pessoal. Este e-mail é para quem gosta de TOPOLOGIA e PUZZLES MECÂNICOS. Tenho um quebra-cabeça que comprei há algum tempo, mas não sei o nome. Penso em comprar outros quebra-cabeças mecânicos, mas gostaria de resolver primeiro esse e para isso gostaria de pesquisar a respeito, mas não sei seu nome. Vou descrever: A estrutura é formada pelos seguintes elementos: 2 peças de madeira + um anel + corda (Uma das peças de madeira é uma bolinha na extremidade da corda. A outra madeira é parecida com a peça maior do Gori [quadrado com círculo no meio. Vejam no site: http://www.legadoludico.com/CatalPreco.html], mas tem um orifício por onde passa a corda. O enlaçe da corda é idêntico ao anel africano). O objetivo é retirar o anel da estrutura. Se alguém se interessar pelo desafio de resolver, eu tiro uma foto e mando em pvt. Obs: Nem sei ao certo se ele é famoso. Ele pode ter sido inventado por alguém sem ter um nome ainda, ser uma variante de algum dos quebra-cabeças presentes no site acima, por exemplo. Regards, Rafael
[obm-l] Re: [obm-l] Topologia aplicada aos puzzles mecânico s
Rafael, o puzzle é esse: http://www.puzzlemaster.ca/browse/wood/16-easy-does-it http://www.puzzlemaster.ca/browse/wood/16-easy-does-itTem a solução no site, com tudo desenhado direitinho. Puzzles mecânicos são legais, mas eu prefiro os de madeira (wooden burr puzzles), são simétricos quando montados. http://www.puzzlemaster.ca/browse/wood/16-easy-does-it 2010/1/10 Rafael apolo_hiperbo...@terra.com.br Olá, pessoal. Este e-mail é para quem gosta de TOPOLOGIA e PUZZLES MECÂNICOS. Tenho um quebra-cabeça que comprei há algum tempo, mas não sei o nome. Penso em comprar outros quebra-cabeças mecânicos, mas gostaria de resolver primeiro esse e para isso gostaria de pesquisar a respeito, mas não sei seu nome. Vou descrever: A estrutura é formada pelos seguintes elementos: 2 peças de madeira + um anel + corda (Uma das peças de madeira é uma bolinha na extremidade da corda. A outra madeira é parecida com a peça maior do Gori [quadrado com círculo no meio. Vejam no site: http://www.legadoludico.com/CatalPreco.html], mas tem um orifício por onde passa a corda. O enlaçe da corda é idêntico ao anel africano). O objetivo é retirar o anel da estrutura. Se alguém se interessar pelo desafio de resolver, eu tiro uma foto e mando em pvt. Obs: Nem sei ao certo se ele é famoso. Ele pode ter sido inventado por alguém sem ter um nome ainda, ser uma variante de algum dos quebra-cabeças presentes no site acima, por exemplo. Regards, Rafael
Re: [obm-l] Topologia
Olá Kleber: Antes de demostrar, vou mudar um pouco o enunciado para ele ficar mais confortável (apenas substituir X por S e e Y por T, X vai ser meu espaço topológico). Sejam S, T contidos em R, S ( diferente de 0 ) e T ( diferente de 0 ).Mostrar que int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) Suponho que com int(S) vc queira dizer interior de S e com R você queira dizer conjunto (espaço topológico) dos reais. Neste caso, para resolver, é só lembrar a definição de ponto interior de um conjunto e aplicar os axiomas da teoria dos conjuntos para demonstrar. Pelo que me lembro, a definição mais geral de ponto interior é: Um ponto p é um ponto interior de um conjunto S de um espaço topológico X, se existe um subconjunto aberto A de S que contém p Substitua agora X por R e A por intervalo aberto. Agora é preciso lembrar antes de resolver, que o conjunto S pode ser qualquer coisa, inclusive um conjunto fractal como o conjunto de Cantor, com interior vazio. Estes casos (int (S) e int (T) vazios) podem ser considerados casos para uma demonstração por casos. Por exemplo: int(S) = O e int (T) = O == int (S) U int(T) = O que está contido em int (S U T), pois O (o conjunto vazio) está contido em qualquer conjunto eu posso concluir isso porque o enunciado diz que S U T é diferente de vazio (S != 0 e T != 0) Agora suponha int(S) != O == existe p em int (S) e existe A contido em S, A aberto, tal que p está em A. == como A está em S então A está também em S U T e como A é aberto então == A também está em int (S U T), note que int (S U T) é uma reunião de conjuntos abertos == e que este conjunto não pode ser vazio. == A contém p logo p está em int(S U T ) == int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) . Note que aparentemente o resultado é geral e vale para quaisquer espaços topológicos. Ooops... será que eu errei algo? Me corrijam por favor. Falando em topologia, alguém conhece algum livro de topologia algébrica que fale sobre quebra-cabeças de argolas? Daqueles problemas de tirar uma argola de dentro de outra? Abraços. Ronaldo. Kleber Bastos wrote: Sejam X, Y contidos em R, X ( diferente de 0 ) e Y ( diferente de 0 ). Mostrar que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) . -- Kleber B. Bastos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Topologia
Isto vale em todo espaco topologico sim. Basta ver que A e B estao contidos em A U B, o que implica automaticamente que seus interiores estejam contidos no interior de A U B. Logo int(A) U int(B) estah contido em int(A U B). No livro de topologia do Munkres talvez haja algo sobre o problema das argolas, vou dar uma olhada . Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de ralonso Enviada em: quarta-feira, 1 de agosto de 2007 09:11 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Topologia Olá Kleber: Antes de demostrar, vou mudar um pouco o enunciado para ele ficar mais confortável (apenas substituir X por S e e Y por T, X vai ser meu espaço topológico). Sejam S, T contidos em R, S ( diferente de 0 ) e T ( diferente de 0 ).Mostrar que int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) Suponho que com int(S) vc queira dizer interior de S e com R você queira dizer conjunto (espaço topológico) dos reais. Neste caso, para resolver, é só lembrar a definição de ponto interior de um conjunto e aplicar os axiomas da teoria dos conjuntos para demonstrar. Pelo que me lembro, a definição mais geral de ponto interior é: Um ponto p é um ponto interior de um conjunto S de um espaço topológico X, se existe um subconjunto aberto A de S que contém p Substitua agora X por R e A por intervalo aberto. Agora é preciso lembrar antes de resolver, que o conjunto S pode ser qualquer coisa, inclusive um conjunto fractal como o conjunto de Cantor, com interior vazio. Estes casos (int (S) e int (T) vazios) podem ser considerados casos para uma demonstração por casos. Por exemplo: int(S) = O e int (T) = O == int (S) U int(T) = O que está contido em int (S U T), pois O (o conjunto vazio) está contido em qualquer conjunto eu posso concluir isso porque o enunciado diz que S U T é diferente de vazio (S != 0 e T != 0) Agora suponha int(S) != O == existe p em int (S) e existe A contido em S, A aberto, tal que p está em A. == como A está em S então A está também em S U T e como A é aberto então == A também está em int (S U T), note que int (S U T) é uma reunião de conjuntos abertos == e que este conjunto não pode ser vazio. == A contém p logo p está em int(S U T ) == int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) . Note que aparentemente o resultado é geral e vale para quaisquer espaços topológicos. Ooops... será que eu errei algo? Me corrijam por favor. Falando em topologia, alguém conhece algum livro de topologia algébrica que fale sobre quebra-cabeças de argolas? Daqueles problemas de tirar uma argola de dentro de outra? Abraços. Ronaldo. Kleber Bastos wrote: Sejam X, Y contidos em R, X ( diferente de 0 ) e Y ( diferente de 0 ). Mostrar que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) . -- Kleber B. Bastos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Topologia
Só um comentário: A demonstração do Arthur é bem mais imediata. A minha é do tipo automatizada, do tipo gerada por provadores automáticos de teoremas (softwares em Prolog/Lisp, que partem dos axiomas e teoremas conhecidos para chegar aos resultados). Vale lembrar que tal tipo de automatismo não consegue demonstrar coisas onde entra muita intuição (a quantidade de combinações e buscas é muito grande). Ronaldo. Artur Costa Steiner wrote: Isto vale em todo espaco topologico sim. Basta ver que A e B estao contidos em A U B, o que implica automaticamente que seus interiores estejam contidos no interior de A U B. Logo int(A) U int(B) estah contido em int(A U B). No livro de topologia do Munkres talvez haja algo sobre o problema das argolas, vou dar uma olhada . Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de ralonso Enviada em: quarta-feira, 1 de agosto de 2007 09:11 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Topologia Olá Kleber: Antes de demostrar, vou mudar um pouco o enunciado para ele ficar mais confortável (apenas substituir X por S e e Y por T, X vai ser meu espaço topológico). Sejam S, T contidos em R, S ( diferente de 0 ) e T ( diferente de 0 ).Mostrar que int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) Suponho que com int(S) vc queira dizer interior de S e com R você queira dizer conjunto (espaço topológico) dos reais. Neste caso, para resolver, é só lembrar a definição de ponto interior de um conjunto e aplicar os axiomas da teoria dos conjuntos para demonstrar. Pelo que me lembro, a definição mais geral de ponto interior é: Um ponto p é um ponto interior de um conjunto S de um espaço topológico X, se existe um subconjunto aberto A de S que contém p Substitua agora X por R e A por intervalo aberto. Agora é preciso lembrar antes de resolver, que o conjunto S pode ser qualquer coisa, inclusive um conjunto fractal como o conjunto de Cantor, com interior vazio. Estes casos (int (S) e int (T) vazios) podem ser considerados casos para uma demonstração por casos. Por exemplo: int(S) = O e int (T) = O == int (S) U int(T) = O que está contido em int (S U T), pois O (o conjunto vazio) está contido em qualquer conjunto eu posso concluir isso porque o enunciado diz que S U T é diferente de vazio (S != 0 e T != 0) Agora suponha int(S) != O == existe p em int (S) e existe A contido em S, A aberto, tal que p está em A. == como A está em S então A está também em S U T e como A é aberto então == A também está em int (S U T), note que int (S U T) é uma reunião de conjuntos abertos == e que este conjunto não pode ser vazio. == A contém p logo p está em int(S U T ) == int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) . Note que aparentemente o resultado é geral e vale para quaisquer espaços topológicos. Ooops... será que eu errei algo? Me corrijam por favor. Falando em topologia, alguém conhece algum livro de topologia algébrica que fale sobre quebra-cabeças de argolas? Daqueles problemas de tirar uma argola de dentro de outra? Abraços. Ronaldo. Kleber Bastos wrote: Sejam X, Y contidos em R, X ( diferente de 0 ) e Y ( diferente de 0 ). Mostrar que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) . -- Kleber B. Bastos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Topologia
Sejam X, Y contidos em R, X ( diferente de 0 ) e Y ( diferente de 0 ). Mostrar que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) . -- Kleber B. Bastos
RES: [obm-l] Topologia
Seja u pertencente a int ( X ) U int ( Y ). Entao, u pertence a int ( X ) ou u pertence a ( Y ). Se u pertence a int ( X ), entao u pertence a int ( X U Y ), pois X eh subconjunto de X U Y. Analagomente, se u pertence a Int(Y) entao u pertence a int ( X U Y ). Logo, em qualquer caso u pertence a int ( X U Y ), do que concluimos que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) . Estah eh facil, nao eh? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos Enviada em: segunda-feira, 30 de julho de 2007 11:16 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Topologia Sejam X, Y contidos em R, X ( diferente de 0 ) e Y ( diferente de 0 ). Mostrar que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) . -- Kleber B. Bastos
[obm-l] Topologia(aparentemente quociente)
Oi tudo mundo.Estou precisando de uma ajudinha em topologia,no exercício
abaixo.
1-Seja f:X - Y, um homeomofismo local.A imagem inversa f^(-1)(y) de cada
ponto y de é um subespaço discreto de X.Dadas as aplicações contínuas g,h:Z
- X tais que fog=foh, então {z de Z :tais que g(z)=h(z){ é aberto
em Z.Umlevantamento de uma aplicação contínua g:Z - Y é uma aplicação
contínua L:Z
- X tal que foL=g.Mostre que se Z for conexo e Y for de hausdorff,dois
levantamentos que coincidam num ponto z_o de Z ,coincidiram em todos os
ponts de Z.
Se alguem puder me ajudar serei muito agradecido.Este exercício est na parte
de topologia quociente do livro do elon.
Obrigado
gabriel
[obm-l] Topologia em Rn
Alguém poderia me ajudar nessas duas abaixo? 1. Mostre diretamente a partir da definição que toda norma em Rn é uma fç convexa. Se f:Rn--R é uma norma proveniente de um produto interno, prove que para x0 e h qq em Rn, tem-se (d^2)(f(x)), h^2; = (|h|^2|x|^2-x,h^2), |x|^(-3) e observe que a convexidade de f é equivalente à desigualdae de Schwartz. 2. Mostre que uma fc duas vezes diferenciável f:U-R é convexa sss para cada x pertencenteà forma quadratica d^2f(x) é n-negativa. onde U é um subconjunto aberto de Rn. abraços Yahoo! Mail agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antivírus grátis!
Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
De:
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Para:
[EMAIL PROTECTED]
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Data:
Sat, 19 Jun 2004 13:18:12 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
Oi Claudio. Eu creio que naum, porque o T. de Bolzano Weierstrass naum se aplica a espacos metricos gerais, ainda que completos. Com uma metrica d generica, sequencias limitadas podem nao conter sequencias convergentes. Se vc tomar, por exemplo, R com a metrica discreta - d(x,y) = 1 se xy e d(x,x)=0, entaotoda sequencia eh limitada mas {1,2...n.} nao contem nenhuma sequencia convergente. E R continua sendo completo, as seq. de Cauchy sao as que se tornam constantes a partir de algum indice k.
*** Entendido. Acho que essa metrica discreta soh serve pracriar contra-exemplos!
Em um espaco metrico completo, o conjunto dos pontos de aderencia de uma seq. limitada eh fechado, logo completo, e limitado. Mas isto naum garante compacticidade, o T.de Heine Borel nao tem que vigorar.
*** A minha cabeca ainda eh de analise, onde um conjunto eh compacto == eh limitado e fechado. Eu sempre esqueco que a definicao geral eh aquela das coberturas abertas que tem uma subcobertura finita. Obrigado pela lembranca.
[]s,
Claudio.
A condicao, entretanto, eh sem duvida valida em espacos metricos compactos, que sao completos e totalmente limitados. Lembro que um espaco metrico X eh totalmente limitado se, para todo eps0, X for coberto por uma colecao finita de bolas abertas de raioeps.AbracosArturOi, Artur:Mas o resultado eh valido em qualquer espaco metrico completo, certo?[]s,Claudio.OPEN Internet@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
Vou admitir que se trate de uma sequencia em R^n ou nos complexos. Em
espacos metricos gerais, a afirmacao naum eh verdadeira.
Seja {x_n} uma sequencia limitada en um espaco Euclidiano e seja A o
conjunto de seus pontos de aderencia. Como {x_n} eh limitada, o T. de
Bolzano-Wierstrass garante que {x_n} contem uma subsequencia convergente.
Logo, A naum eh vazio.
Se x naum pertence a A, entao nenhuma subsequencia de {x_n} converge para x.
Logo, x possui uma vizinhanca V que contem termos de {x_n} para um numero
apenas finito de indices n. Como V eh uma vizinhanca de todos os seus
elementos, esta mesma condicao satisfeita por x eh iguamente satisfeita por
todo y de V. Logo, nenhum y de V e limite de alguma subsequencia de {x_n},
do que deduzimos que V estah contida no complementar de A. Todo elemento do
complementar de A eh, portanto, ponto interior dele, o que mostra que o
complementar eh aberto e que A eh fechado (esta conclusao vale em qualquer
espaco metrico - a sua prova naum usa a metrica Euclidiana).
Os pontos de aderencia de {x_n} estao no fecho do conjunto {x_n}. Como a
sequencia eh limitada, o conjunto {x_n} e seu fecho tambem o sao (o
diamentro do fecho de um conjunto eh igual ao diametro do conjunto). Logo, A
eh limitado eh, como eh fechado, o T. de Heine Borel garante que seja
compacto.
Artur
Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência
limitada é um conjunto compacto não vazio?
[ ]s
OPEN Internet
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
Title: Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
A demonstracao do Artur me fez rever a minha demonstracao e, como era de se esperar, achei um erro no 2o. paragrafo: um conjunto limitado soh com pontos isolados nao eh necessariamente finito e nem compacto.
Contra-exemplo: {1/n | n eh inteiro positivo}. Este conjunto estah contido no intervalo [0,1] e {1/n} inter (1/n - 1/(2n^2),1/n + 1/(2n^2)) = {1/n}.
Alem disso, 0 eh um ponto de acumulacao que nao pertence ao conjunto.
Mas, por sorte, o paragrafo era desnecessario pois, para provar que X eh fechado, bastava garantir que X contenha todos os pontos de acumulacao e isso foi feito no 3o. paragrafo.
[]s,
Claudio.
on 15.06.04 14:37, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja (x_n) a tal sequencia.
Como (x_n) eh limitada, o teorema de Bolzano-Weirstrass garante que ela tem alguma subsequencia convergente. Logo, o conjunto X dos valores de aderencia de (x_n) eh nao vazio.
Alem disso, X certamente eh limitado.
Se todos os pontos de X forem isolados, entao, como X eh limitado, X serah finito e, portanto, compacto.
Assim, seja a um ponto de acumulacao de X.
Cada conjunto aberto contendo a vai conter tambem um elemento de X distinto de a (de fato, uma infinidade de tais elementos).
Este elemento de X serah o limite de alguma subsequencia de (x_n).
Logo, cada conjunto aberto contendo a vai conter tambem termos da sequencia (x_n) com indices arbitrariamente grandes.
Isso significa que a serah o limite de alguma subsequencia de (x_n).
Em outras palavras, a pertence a X, o que implica que X eh fechado.
Como X eh limitado, concluimos que X eh compacto.
[]s,
Claudio.
on 15.06.04 12:04, Wellington at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência limitada é um conjunto compacto não vazio?
[ ]¹s
Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
Oi, Artur:
Mas o resultado eh valido em qualquer espaco metrico completo, certo?
[]s,
Claudio.
on 18.06.04 11:17, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Vou admitir que se trate de uma sequencia em R^n ou nos complexos. Em
espacos metricos gerais, a afirmacao naum eh verdadeira.
Seja {x_n} uma sequencia limitada en um espaco Euclidiano e seja A o
conjunto de seus pontos de aderencia. Como {x_n} eh limitada, o T. de
Bolzano-Wierstrass garante que {x_n} contem uma subsequencia convergente.
Logo, A naum eh vazio.
Se x naum pertence a A, entao nenhuma subsequencia de {x_n} converge para x.
Logo, x possui uma vizinhanca V que contem termos de {x_n} para um numero
apenas finito de indices n. Como V eh uma vizinhanca de todos os seus
elementos, esta mesma condicao satisfeita por x eh iguamente satisfeita por
todo y de V. Logo, nenhum y de V e limite de alguma subsequencia de {x_n},
do que deduzimos que V estah contida no complementar de A. Todo elemento do
complementar de A eh, portanto, ponto interior dele, o que mostra que o
complementar eh aberto e que A eh fechado (esta conclusao vale em qualquer
espaco metrico - a sua prova naum usa a metrica Euclidiana).
Os pontos de aderencia de {x_n} estao no fecho do conjunto {x_n}. Como a
sequencia eh limitada, o conjunto {x_n} e seu fecho tambem o sao (o
diamentro do fecho de um conjunto eh igual ao diametro do conjunto). Logo, A
eh limitado eh, como eh fechado, o T. de Heine Borel garante que seja
compacto.
Artur
Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência
limitada é um conjunto compacto não vazio?
[ ]s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Topologia - Conj Compactos
Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência limitada é um conjunto compacto não vazio? [ ]s --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.693 / Virus Database: 454 - Release Date: 5/31/2004
Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
Title: Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos Seja (x_n) a tal sequencia. Como (x_n) eh limitada, o teorema de Bolzano-Weirstrass garante que ela tem alguma subsequencia convergente. Logo, o conjunto X dos valores de aderencia de (x_n) eh nao vazio. Alem disso, X certamente eh limitado. Se todos os pontos de X forem isolados, entao, como X eh limitado, X serah finito e, portanto, compacto. Assim, seja a um ponto de acumulacao de X. Cada conjunto aberto contendo a vai conter tambem um elemento de X distinto de a (de fato, uma infinidade de tais elementos). Este elemento de X serah o limite de alguma subsequencia de (x_n). Logo, cada conjunto aberto contendo a vai conter tambem termos da sequencia (x_n) com indices arbitrariamente grandes. Isso significa que a serah o limite de alguma subsequencia de (x_n). Em outras palavras, a pertence a X, o que implica que X eh fechado. Como X eh limitado, concluimos que X eh compacto. []s, Claudio. on 15.06.04 12:04, Wellington at [EMAIL PROTECTED] wrote: Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência limitada é um conjunto compacto não vazio? [ ]¹s
[obm-l] Topologia
Por favor, alguém poderia me dar um exemplo de subconjunto de R^2 que seja conexo elocalmente conexo, mas que não seja conexo por caminhos. Obrigada, Ana Carolina.
Re:[obm-l] Topologia
Uma idéia:
Considere o quadrado unitário [0,1] x [0,1] e o conjunto A união B, onde:
A = União(n = 2) A_n;
A_n = {(x,1/2 + x/n) | 0 = x = 1/2};
B = {(x,1/2) | 1/2 = x =1}
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
"obm-l" [EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Fri, 28 May 2004 11:03:29 -0300
Assunto:
[obm-l] Topologia
Por favor, alguém poderia me dar um exemplo de subconjunto de R^2 que seja conexo elocalmente conexo, mas que não seja conexo por caminhos.
Obrigada,
Ana Carolina.
[obm-l] Topologia Geral
Eu fiz um problema, mas acho que dei voltas demais, talvez aparece uma ideia mais simples. Esta no Elon cap2 É o seguinte:
Sejam M={ (x,y) in R^2 / x =0 e y=0 } ou seja o primeiro quadrante
e N={ (x,y) in R^2 / y=0 } o semiplano superior.
Definir um homeomorfismo entre M e N.
Falow, valeu.Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] Topologia Geral
Title: Re: [obm-l] Topologia Geral
on 02.04.04 14:23, Bruno Lima at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Eu fiz um problema, mas acho que dei voltas demais, talvez aparece uma ideia mais simples. Esta no Elon cap2 É o seguinte:
Sejam M={ (x,y) in R^2 / x =0 e y=0 } ou seja o primeiro quadrante
e N={ (x,y) in R^2 / y=0 } o semiplano superior.
Definir um homeomorfismo entre M e N.
Que tal usar complexos?
M = {r*e^(i*t) | r = 0 e 0 = t = Pi/2}
N = {r*e^(i*t) | r = 0 e 0 = t = Pi}
Seja F: M - N dada por F(r*e^(i*t)) = r*e^(2*i*t).
[]s,
Claudio.
Re: [obm-l] Topologia -problema do Tertuliano
Concordo plenamente.Apesar de eu odiar imperialistas porcos capitalistas, existem exceçoes.Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote:
Eles tb sao gente, uai. Uns ate gente muito boa, outros um porre. Assim como brasileiros, japoneses, matematicos, membros de mailing list e qualquer outro grupo de seres humanos :)From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: Re: [obm-l] Topologia -problema do TertulianoDate: Tue, 30 Mar 2004 15:36:39 -0300 (ART)Nossa, ce tem amigos estadunidenses?Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>wrote:Bom dia,Hah alguns dias o Tertuliano enviou para a listaalguns problemas de Topologia bem interessantes queele disse que estavam virando pesadelo. Acho que 2deles ja foram resolvidos. Para o que faltava, oprimeiro, o Tertuliano comecou apresentando
umasolucao que me pareceu correta mas que nao chegou aofinal. Eu tentei prosseguir na linha dele mascomplicou.Eu ontem conversei com um amigo meu, americano, que emMatematica estah bilhoes de anos luz aa minha frente eele, apos ouvir o problema, disse "It's kinda obvious,man!" e alinhavou uma solucao obvia (nao deu paraentrar em muitos detalhes na hora porque era umaligacao internacional) que eu agora vou concluirfazendo a parte da transpiracao, jah que ele deu ainspiracao. Pelo menos, a sugestao inicial foi minha,ou seja, considerar que se um espaco metrico nao ehcompacto entao ele tem uma sequencia sem nenhumasubsequencia convergente. Grande! Ninguém sabia disto!Seja X um espaco metrico tal que, para toda funcao f:X-(0, inf), continua e positiva, tenhamos inf{f(x) | xestah em X} 0. Entao, X eh
compacto.Raciocinando por contraposicao, suponhamos que X naoseja compacto e vamos produzir uma funcao f, f:X -(0,inf), continua e positiva, mas tal que inf{f(x) | xestah em X} =0. Como X naum eh compacto, existe neleuma sequencia {x_n} que nao contem nenhumasubsequencia convergente. Como esta sequencia contemnecessariamente uma infinidade de termos distintos (outeria uma subseq. convergente), podemos admitir, semperda de generalidade, que seus termos sao distintos 2a 2.Seja E = {x_1, x_2...x_n...}. E nao possui pontos deacumulacao (se possuisse um deste pontos, ele seria,automaticamente, limite de alguma subseq. de {x_n},contrariamente aa hipotese estabelecida) e, destaforma, eh um conjunto fechado. Para cada n, definamosE_n = E/{x_n} (o complemento de {x_n} com relacao aE). Como cada {x_n} eh fechado, segue-se que cada
E_ntambem eh. E como E eh infinito, nenhum e_n eh vazio.Definamos agora, para cada natural n, f_n:X-[0,1) porf_n(x) = D(x,E_n)/(1+D(x,E_n)), d distancia definidaem X, e D, de um ponto a um conjunto nao vazio, dadapor D(x,E_n) = inf{d(x,u) | u estah em E_n}. Sabemosque a funcao D eh continua (uniformemente) em X.Sabemos tambem que a distancia de um ponto a umconjunto eh nula se, e somente se, o ponto pertencerao fecho do conjunto. Como cada E_n eh fechado,segue-se que a distancia de algum elemento de X a eleeh nula sse o o elemento pertencer a E_n. Dado que odenominador na definicao de f_n nunca se anula, temosentao que cada f_n eh continua em X. Alem disto,f_n(x)=0 sse x estiver em E_n. Eh tambem imedediatoque 0=f_n(x)1 para todo x de X.Definamos agora f:X-(0, inf) pela serie de funcoesdada por f(x) = Soma(n=1, inf)
2^(-n)*f_n(x). Paravermos que esta definicao faz sentido, observemos que,para todos naturais mn e todo x de X, Soma(k=n, m)2^(-k)*f_k(x) = Soma(k=n, m) 2^(-k) Soma(k=n, inf)2^(-k) = 2^(-n+1). Como esta desigualdade vale para ton e todo x de X, concluimos pelo criterio de Cauchyque a serie de funcoes Soma(n=1, inf) 2^(-n)f_nconverge uniformemente em X para uma funcao f, de modoque nossa definicao de f faz sentido. Alem disto, comocada f_n eh continua, segue-se que 2^(-n)*f_n tambemeh, disto decorrendo, em virtude da convergencia daserie ser uniforme, que a funcao limite f eh continuaem X. E da definicao da serie, eh imediato que f(x)=0para todo x de X.Para concluir, resta agora demonstrar que inf{f(x) | xestah em X} = 0. Em virtude da definicao dos conjuntosE_n, temos que cada x_k pertence a E_n se nk e naopertence se
n=k. Logo, D(x_k, E_n) = 0 se nk e 0 sen=k. A definicao de f acarreta entao que f(x_k) =2^(-k)*f_k(x_k) 2^(-k), pois 0Fazendo-se k - inf, f(x_k) -0, o que implica queinf{f(x) | x estah em X} = 0.Concluimos assim que, se X nao for compacto, entaoexiste uma f:X -(0, inf), continua e positiva, mastal que inf{f(x) | x estah em X} =0. Isto demonstra aproposicao.Artur__Do you Yahoo!?Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time.http://taxes.yahoo.com/filing.html=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=TRANSIRE SVVM
PECTVS MVNDOQVE POTIRICONGREGATI EX TOTO ORBE
Re: [obm-l] Topologia -problema do Tertuliano
Tem uma parte da familia do meu meio-irmao que e londrina, por exemplo...alias conheço uns caras (brasileiros)que estao estudando na Ecole Polythecnique da França.Quanto ao fato de eu falar "estadunidense",nao e apenas questao de erudiçao, mas de, digamos, justiça poetica. Por exemplo os paises de lingua espanhola recusam-se expressamente a falar "americano" (como um venezuelano se sentiria ao alguem falar de um pais citando um continente?) e"norte-americano" (como voce poderia falar isso a um mexicano?).E por exemplo eu mesmo me considero americano apesar de meu ingles ser um lixo. E so mais um exemplo: o que aconteceria se por exemlo os habitantes da Alemanha tivessem o nome de "europeus"? Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet<[EMAIL PROTECTED]>wrote: Nossa, ce tem amigos estadunidensses?Estadunidense! isto eh que eh erudicao! Tenho sim.Aposto que varios nesta lista tem amigos em outrospaises. Mas este meu amigo, embora muito legal, naumeh muito bom para ensinar. Para ele tudo eh obvio. Seum dia ele escrever um livro, eh bem possivel que nademonstracao de teroremas diga simplesmente: Prova:conclusao imediata das hipoteses feitas.ArturDo you Yahoo!?Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time.http://taxes.yahoo.com/filing.html=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=r/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] Topologia -problema do Tertuliano
--- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote: Concordo plenamente.Apesar de eu odiar imperialistas porcos capitalistas, existem exceçoes. O que que o problema do Tertuliano, que diz respeito a espacos metricos compactos, tem a ver com imperialismo, capitalismo, etc? Eu soh citei aquele meu amigo estadunidense para deixar claro que eu, com os meus parcos conhecimentos sobre Analise e Topologia, naum seria capaz de bolar aquela funcaozinha trivial que ele concebeu em minutos para provar o teorema (a menos que ele jah conhecesse o problema, mas, de qualquer forma, american or not, he's really good at Math). Tudo que eu fiz foi a parte de transpiracao do problema. Abracos Artur __ Do you Yahoo!? Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time. http://taxes.yahoo.com/filing.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Topologia -problema do Tertuliano
Bom dia,
Hah alguns dias o Tertuliano enviou para a lista
alguns problemas de Topologia bem interessantes que
ele disse que estavam virando pesadelo. Acho que 2
deles ja foram resolvidos. Para o que faltava, o
primeiro, o Tertuliano comecou apresentando uma
solucao que me pareceu correta mas que nao chegou ao
final. Eu tentei prosseguir na linha dele mas
complicou.
Eu ontem conversei com um amigo meu, americano, que em
Matematica estah bilhoes de anos luz aa minha frente e
ele, apos ouvir o problema, disse It's kinda obvious,
man! e alinhavou uma solucao obvia (nao deu para
entrar em muitos detalhes na hora porque era uma
ligacao internacional) que eu agora vou concluir
fazendo a parte da transpiracao, jah que ele deu a
inspiracao. Pelo menos, a sugestao inicial foi minha,
ou seja, considerar que se um espaco metrico nao eh
compacto entao ele tem uma sequencia sem nenhuma
subsequencia convergente. Grande! Ninguém sabia disto!
Seja X um espaco metrico tal que, para toda funcao f:X
-(0, inf), continua e positiva, tenhamos inf{f(x) | x
estah em X} 0. Entao, X eh compacto.
Raciocinando por contraposicao, suponhamos que X nao
seja compacto e vamos produzir uma funcao f, f:X -(0,
inf), continua e positiva, mas tal que inf{f(x) | x
estah em X} =0. Como X naum eh compacto, existe nele
uma sequencia {x_n} que nao contem nenhuma
subsequencia convergente. Como esta sequencia contem
necessariamente uma infinidade de termos distintos (ou
teria uma subseq. convergente), podemos admitir, sem
perda de generalidade, que seus termos sao distintos 2
a 2.
Seja E = {x_1, x_2...x_n...}. E nao possui pontos de
acumulacao (se possuisse um deste pontos, ele seria,
automaticamente, limite de alguma subseq. de {x_n},
contrariamente aa hipotese estabelecida) e, desta
forma, eh um conjunto fechado. Para cada n, definamos
E_n = E/{x_n} (o complemento de {x_n} com relacao a
E). Como cada {x_n} eh fechado, segue-se que cada E_n
tambem eh. E como E eh infinito, nenhum e_n eh vazio.
Definamos agora, para cada natural n, f_n:X-[0,1) por
f_n(x) = D(x,E_n)/(1+D(x,E_n)), d distancia definida
em X, e D, de um ponto a um conjunto nao vazio, dada
por D(x,E_n) = inf{d(x,u) | u estah em E_n}. Sabemos
que a funcao D eh continua (uniformemente) em X.
Sabemos tambem que a distancia de um ponto a um
conjunto eh nula se, e somente se, o ponto pertencer
ao fecho do conjunto. Como cada E_n eh fechado,
segue-se que a distancia de algum elemento de X a ele
eh nula sse o o elemento pertencer a E_n. Dado que o
denominador na definicao de f_n nunca se anula, temos
entao que cada f_n eh continua em X. Alem disto,
f_n(x)=0 sse x estiver em E_n. Eh tambem imedediato
que 0=f_n(x)1 para todo x de X.
Definamos agora f:X-(0, inf) pela serie de funcoes
dada por f(x) = Soma(n=1, inf) 2^(-n)*f_n(x). Para
vermos que esta definicao faz sentido, observemos que,
para todos naturais mn e todo x de X, Soma(k=n, m)
2^(-k)*f_k(x) = Soma(k=n, m) 2^(-k) Soma(k=n, inf)
2^(-k) = 2^(-n+1). Como esta desigualdade vale para to
n e todo x de X, concluimos pelo criterio de Cauchy
que a serie de funcoes Soma(n=1, inf) 2^(-n)f_n
converge uniformemente em X para uma funcao f, de modo
que nossa definicao de f faz sentido. Alem disto, como
cada f_n eh continua, segue-se que 2^(-n)*f_n tambem
eh, disto decorrendo, em virtude da convergencia da
serie ser uniforme, que a funcao limite f eh continua
em X. E da definicao da serie, eh imediato que f(x)=0
para todo x de X.
Para concluir, resta agora demonstrar que inf{f(x) | x
estah em X} = 0. Em virtude da definicao dos conjuntos
E_n, temos que cada x_k pertence a E_n se nk e nao
pertence se n=k. Logo, D(x_k, E_n) = 0 se nk e 0 se
n=k. A definicao de f acarreta entao que f(x_k) =
2^(-k)*f_k(x_k) 2^(-k), pois 0f_k(x_k)1.
Fazendo-se k - inf, f(x_k) -0, o que implica que
inf{f(x) | x estah em X} = 0.
Concluimos assim que, se X nao for compacto, entao
existe uma f:X -(0, inf), continua e positiva, mas
tal que inf{f(x) | x estah em X} =0. Isto demonstra a
proposicao.
Artur
__
Do you Yahoo!?
Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time.
http://taxes.yahoo.com/filing.html
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Topologia -problema do Tertuliano
Nossa, ce tem amigos estadunidenses?Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Bom dia,Hah alguns dias o Tertuliano enviou para a listaalguns problemas de Topologia bem interessantes queele disse que estavam virando pesadelo. Acho que 2deles ja foram resolvidos. Para o que faltava, oprimeiro, o Tertuliano comecou apresentando umasolucao que me pareceu correta mas que nao chegou aofinal. Eu tentei prosseguir na linha dele mascomplicou.Eu ontem conversei com um amigo meu, americano, que emMatematica estah bilhoes de anos luz aa minha frente eele, apos ouvir o problema, disse "It's kinda obvious,man!" e alinhavou uma solucao obvia (nao deu paraentrar em muitos detalhes na hora porque era umaligacao internacional) que eu agora vou concluirfazendo a parte da transpiracao, jah que ele deu ainspiracao. Pelo menos, a sugestao inicial foi minha,ou seja, considerar que se um espaco metrico nao
ehcompacto entao ele tem uma sequencia sem nenhumasubsequencia convergente. Grande! Ninguém sabia disto!Seja X um espaco metrico tal que, para toda funcao f:X-(0, inf), continua e positiva, tenhamos inf{f(x) | xestah em X} 0. Entao, X eh compacto.Raciocinando por contraposicao, suponhamos que X naoseja compacto e vamos produzir uma funcao f, f:X -(0,inf), continua e positiva, mas tal que inf{f(x) | xestah em X} =0. Como X naum eh compacto, existe neleuma sequencia {x_n} que nao contem nenhumasubsequencia convergente. Como esta sequencia contemnecessariamente uma infinidade de termos distintos (outeria uma subseq. convergente), podemos admitir, semperda de generalidade, que seus termos sao distintos 2a 2. Seja E = {x_1, x_2...x_n...}. E nao possui pontos deacumulacao (se possuisse um deste pontos, ele seria,automaticamente, limite de alguma subseq. de {x_n},contrariamente aa hipotese
estabelecida) e, destaforma, eh um conjunto fechado. Para cada n, definamosE_n = E/{x_n} (o complemento de {x_n} com relacao aE). Como cada {x_n} eh fechado, segue-se que cada E_ntambem eh. E como E eh infinito, nenhum e_n eh vazio.Definamos agora, para cada natural n, f_n:X-[0,1) porf_n(x) = D(x,E_n)/(1+D(x,E_n)), d distancia definidaem X, e D, de um ponto a um conjunto nao vazio, dadapor D(x,E_n) = inf{d(x,u) | u estah em E_n}. Sabemosque a funcao D eh continua (uniformemente) em X. Sabemos tambem que a distancia de um ponto a umconjunto eh nula se, e somente se, o ponto pertencerao fecho do conjunto. Como cada E_n eh fechado,segue-se que a distancia de algum elemento de X a eleeh nula sse o o elemento pertencer a E_n. Dado que odenominador na definicao de f_n nunca se anula, temosentao que cada f_n eh continua em X. Alem disto,f_n(x)=0 sse x estiver em E_n. Eh tambem imedediatoque 0=f_n(x)1
para todo x de X. Definamos agora f:X-(0, inf) pela serie de funcoesdada por f(x) = Soma(n=1, inf) 2^(-n)*f_n(x). Paravermos que esta definicao faz sentido, observemos que,para todos naturais mn e todo x de X, Soma(k=n, m)2^(-k)*f_k(x) = Soma(k=n, m) 2^(-k) Soma(k=n, inf)2^(-k) = 2^(-n+1). Como esta desigualdade vale para ton e todo x de X, concluimos pelo criterio de Cauchyque a serie de funcoes Soma(n=1, inf) 2^(-n)f_nconverge uniformemente em X para uma funcao f, de modoque nossa definicao de f faz sentido. Alem disto, comocada f_n eh continua, segue-se que 2^(-n)*f_n tambemeh, disto decorrendo, em virtude da convergencia daserie ser uniforme, que a funcao limite f eh continuaem X. E da definicao da serie, eh imediato que f(x)=0para todo x de X.Para concluir, resta agora demonstrar que inf{f(x) | xestah em X} = 0. Em virtude da definicao dos conjuntosE_n, temos que cada x_k
pertence a E_n se nk e naopertence se n=k. Logo, D(x_k, E_n) = 0 se nk e 0 sen=k. A definicao de f acarreta entao que f(x_k) =2^(-k)*f_k(x_k) 2^(-k), pois 0
Re: [obm-l] Topologia -problema do Tertuliano
Eles tb sao gente, uai. Uns ate gente muito boa, outros um porre. Assim
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From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
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Subject: Re: [obm-l] Topologia -problema do Tertuliano
Date: Tue, 30 Mar 2004 15:36:39 -0300 (ART)
Nossa, ce tem amigos estadunidenses?
Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:Bom dia,
Hah alguns dias o Tertuliano enviou para a lista
alguns problemas de Topologia bem interessantes que
ele disse que estavam virando pesadelo. Acho que 2
deles ja foram resolvidos. Para o que faltava, o
primeiro, o Tertuliano comecou apresentando uma
solucao que me pareceu correta mas que nao chegou ao
final. Eu tentei prosseguir na linha dele mas
complicou.
Eu ontem conversei com um amigo meu, americano, que em
Matematica estah bilhoes de anos luz aa minha frente e
ele, apos ouvir o problema, disse It's kinda obvious,
man! e alinhavou uma solucao obvia (nao deu para
entrar em muitos detalhes na hora porque era uma
ligacao internacional) que eu agora vou concluir
fazendo a parte da transpiracao, jah que ele deu a
inspiracao. Pelo menos, a sugestao inicial foi minha,
ou seja, considerar que se um espaco metrico nao eh
compacto entao ele tem uma sequencia sem nenhuma
subsequencia convergente. Grande! Ninguém sabia disto!
Seja X um espaco metrico tal que, para toda funcao f:X
-(0, inf), continua e positiva, tenhamos inf{f(x) | x
estah em X} 0. Entao, X eh compacto.
Raciocinando por contraposicao, suponhamos que X nao
seja compacto e vamos produzir uma funcao f, f:X -(0,
inf), continua e positiva, mas tal que inf{f(x) | x
estah em X} =0. Como X naum eh compacto, existe nele
uma sequencia {x_n} que nao contem nenhuma
subsequencia convergente. Como esta sequencia contem
necessariamente uma infinidade de termos distintos (ou
teria uma subseq. convergente), podemos admitir, sem
perda de generalidade, que seus termos sao distintos 2
a 2.
Seja E = {x_1, x_2...x_n...}. E nao possui pontos de
acumulacao (se possuisse um deste pontos, ele seria,
automaticamente, limite de alguma subseq. de {x_n},
contrariamente aa hipotese estabelecida) e, desta
forma, eh um conjunto fechado. Para cada n, definamos
E_n = E/{x_n} (o complemento de {x_n} com relacao a
E). Como cada {x_n} eh fechado, segue-se que cada E_n
tambem eh. E como E eh infinito, nenhum e_n eh vazio.
Definamos agora, para cada natural n, f_n:X-[0,1) por
f_n(x) = D(x,E_n)/(1+D(x,E_n)), d distancia definida
em X, e D, de um ponto a um conjunto nao vazio, dada
por D(x,E_n) = inf{d(x,u) | u estah em E_n}. Sabemos
que a funcao D eh continua (uniformemente) em X.
Sabemos tambem que a distancia de um ponto a um
conjunto eh nula se, e somente se, o ponto pertencer
ao fecho do conjunto. Como cada E_n eh fechado,
segue-se que a distancia de algum elemento de X a ele
eh nula sse o o elemento pertencer a E_n. Dado que o
denominador na definicao de f_n nunca se anula, temos
entao que cada f_n eh continua em X. Alem disto,
f_n(x)=0 sse x estiver em E_n. Eh tambem imedediato
que 0=f_n(x)1 para todo x de X.
Definamos agora f:X-(0, inf) pela serie de funcoes
dada por f(x) = Soma(n=1, inf) 2^(-n)*f_n(x). Para
vermos que esta definicao faz sentido, observemos que,
para todos naturais mn e todo x de X, Soma(k=n, m)
2^(-k)*f_k(x) = Soma(k=n, m) 2^(-k) Soma(k=n, inf)
2^(-k) = 2^(-n+1). Como esta desigualdade vale para to
n e todo x de X, concluimos pelo criterio de Cauchy
que a serie de funcoes Soma(n=1, inf) 2^(-n)f_n
converge uniformemente em X para uma funcao f, de modo
que nossa definicao de f faz sentido. Alem disto, como
cada f_n eh continua, segue-se que 2^(-n)*f_n tambem
eh, disto decorrendo, em virtude da convergencia da
serie ser uniforme, que a funcao limite f eh continua
em X. E da definicao da serie, eh imediato que f(x)=0
para todo x de X.
Para concluir, resta agora demonstrar que inf{f(x) | x
estah em X} = 0. Em virtude da definicao dos conjuntos
E_n, temos que cada x_k pertence a E_n se nk e nao
pertence se n=k. Logo, D(x_k, E_n) = 0 se nk e 0 se
n=k. A definicao de f acarreta entao que f(x_k) =
2^(-k)*f_k(x_k) 2^(-k), pois 0Fazendo-se k - inf, f(x_k) -0, o que
implica que
inf{f(x) | x estah em X} = 0.
Concluimos assim que, se X nao for compacto, entao
existe uma f:X -(0, inf), continua e positiva, mas
tal que inf{f(x) | x estah em X} =0. Isto demonstra a
proposicao.
Artur
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TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
Fields
Re: [obm-l] Topologia -problema do Tertuliano
Olah
Na outra mensagem sobre este assunto, a justificativa
de que os conjuntos E_n sao fechados nao eh a que foi
apresentada. E_n = E/{x_n} eh fechado mas nao porque E
e {x_n} o sao, mas sim porque E nao posui pontos de
acumulacao e, desta forma, E_n tambem nao possui.
O fato de que dois conjuntos A e B sejam fechados nao
acarreta que A/B (ou A-B, em outra notacao) seja
fechado.
Artur
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Re: [obm-l] Topologia -problema do Tertuliano
--- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote: Nossa, ce tem amigos estadunidenses? Estadunidense! isto eh que eh erudicao! Tenho sim. Aposto que varios nesta lista tem amigos em outros paises. Mas este meu amigo, embora muito legal, naum eh muito bom para ensinar. Para ele tudo eh obvio. Se um dia ele escrever um livro, eh bem possivel que na demonstracao de teroremas diga simplesmente: Prova: conclusao imediata das hipoteses feitas. Artur __ Do you Yahoo!? Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time. http://taxes.yahoo.com/filing.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Topologia
--- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Wed, Mar 03, 2004 at 03:28:52PM -0300, Tertuliano Carneiro wrote: 1) Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita ( os abertos sao o conjunto vazio e os conjuntos X \ F, F finito). Quais sao as componentes conexas de X? X é conexo. Não existe nenhuma cisão de X. Nicolau, os F contidos em X nao sao desconexos? Nao poderiamos tirar dai alguma cisao para X? Eu imagino que você define uma cisão como sendo um par de conjuntos abertos disjuntos A e B cuja união é X. []s, N. === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Topologia
On Thu, Mar 04, 2004 at 02:31:19PM -0300, Tertuliano Carneiro wrote: --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Wed, Mar 03, 2004 at 03:28:52PM -0300, Tertuliano Carneiro wrote: 1) Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita ( os abertos sao o conjunto vazio e os conjuntos X \ F, F finito). Quais sao as componentes conexas de X? X é conexo. Não existe nenhuma cisão de X. Não. Todo aberto não vazio é cofinito e quaisquer dois subconjuntos cofinitos de X têm interseção cofinita, logo não vazia. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Topologia
Olá a todos!!
Ai vao tres problemas...
1) Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita ( os abertos sao o conjunto vazio e os conjuntos X \ F, F finito). Quais sao as componentes conexas de X?
obs.: suspeito q os unicos desconexos sao os F.
2) Seja= a seguinte a relaçao entre pontos de um espaço topológico X:x=y sse nao existe nenhuma cisao {A,B} de Xcom x em A e y em B.Mostre q = eh uma relaçao de equivalencia sobre X. As classes de equivalencia sao as pseudocomponentes de X. Mostre q elas sao fechadase q cada uma eh uma uniao de componentes conexas de X.
3)Seja X umsubespaço de RxR formado pela uniao dos pontos (0,0), (0,1) eos segmentos {1/n}x[0,1](n = 1,2,...). Encontreas pseudocomponenetsde X.
Grato desde ja!Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] Topologia
On Wed, Mar 03, 2004 at 03:28:52PM -0300, Tertuliano Carneiro wrote:
1) Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita ( os abertos sao o
conjunto vazio e os conjuntos X \ F, F finito). Quais sao as componentes
conexas de X?
X é conexo. Não existe nenhuma cisão de X.
Eu imagino que você define uma cisão como sendo um par de conjuntos
abertos disjuntos A e B cuja união é X.
2) Seja = a seguinte a relaçao entre pontos de um espaço topológico X: x=y
sse nao existe nenhuma cisao {A,B} de X com x em A e y em B. Mostre q = eh
uma relaçao de equivalencia sobre X. As classes de equivalencia sao as
pseudocomponentes de X. Mostre q elas sao fechadas e q cada uma eh uma uniao
de componentes conexas de X.
3) Seja X um subespaço de RxR formado pela uniao dos pontos (0,0), (0,1) e os
segmentos {1/n}x[0,1] (n = 1,2,...). Encontre as pseudocomponenets de X.
A coisa surpreendente aqui é que (0,0) e (0,1) estão na mesma
pseudocomponente, aliás formam uma pseudocomponente, apesar de não
estarem em uma mesma componente conexa.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Topologia
2) Seja = a seguinte a relaçao entre pontos de um espaço topológico X:
x=y
sse nao existe nenhuma cisao {A,B} de X com x em A e y em B. Mostre q =
eh
uma relaçao de equivalencia sobre X. As classes de equivalencia sao as
pseudocomponentes de X. Mostre q elas sao fechadas e q cada uma eh uma
uniao
de componentes conexas de X.
Vai aqui um esboço, para alguém melhorarar:
Mostrar que é rel. de equival. :
i) Reflexiva (x,x) em R ==
basta tomar A = {x} e B = A-{x}
ii) Simétrica: (x,y) em R ==
Existe x pert A e y pert B e {A,B} cisão de X logo
y pert B e x pert A e {B,A} é cisão de X logo
(y,x) em R.
ii) Transitiva: (x,y) em R e (y,z) em R ==
x pert A, y pert B, A e B separam x e y, X = A U B
y pert B, z pert C, B e C separam y e z, X = B U C
== X = (A U B) U (B U C), x pert (A U B) pois x pert A.
z pert a (B U C) pois z pert a C
== logo (A U B) e (B U C) separam x e z ==
(x,z) em R.
No caso (i), A ={x} é fechado == o complementar de x,
A - {x} é aberto. Mas A é aberto e fechado logo A - {x}
é fechado (tá certo isso ?).
Como o espaço todo é conexo e {x} é conexo A - {x} é conexo.
No caso (ii) podemos tomar x pert A e y pert B.
Se A é aberto então A' é fechado e podemos tomar B = X - A
= A' e neste caso como X é conexo A' B - A é conexo. Se
A tiver mais de um ponto e não for aberto podemos tomar
A como tendo um único ponto, i.e., A = {x}
O caso (iii) dá pra mostrar da mesma forma que o caso (ii).
3) Seja X um subespaço de RxR formado pela uniao dos pontos (0,0), (0,1)
e
os
segmentos {1/n}x[0,1] (n = 1,2,...). Encontre as pseudocomponenets de X.
A coisa surpreendente aqui é que (0,0) e (0,1) estão na mesma
pseudocomponente, aliás formam uma pseudocomponente, apesar de não
Desculpe minha ignorância.
O que é pseudocomponente??
estarem em uma mesma componente conexa.
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Re: [obm-l] Topologia
Em 3 Mar 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
2) Seja = a seguinte a relaçao entre pontos de um espaço topológico X:
x=y
sse *nao* existe nenhuma cisao {A,B} de X com x em A e y
Putz esqueci de olhar o *não*! Desconsiderar a mensagem
anterior. Provei tudo errado!!!
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[obm-l] Topologia
Olá a todos! 1) Seja (X,) um poset e seja T a coleçao de todos os subconjuntos A de X t.q. nao existem pontos x em A e y fora de A com yx. Mostre q T eh uma topologia sobre X t.q. a intersecçao de qq coleçao nao vazia de abertos eh sempre um aberto. Obs.: representa a ordem parcial no poset. 2) Dê um exemplo de um subconjunto A de um espaço topologico X t.q. a fronteira de A contenha a fronteira do interior de A, com as duas fronteiras sendo diferentes. Grato! __ Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site! http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Topologia
1) Seja (X,) um poset e seja T a coleçao de todos os subconjuntos A de X t.q. nao existem pontos x em A e y fora de A com yx. Mostre q T eh uma topologia sobre X t.q. a intersecçao de qq coleçao nao vazia de abertos eh sempre um aberto. Obs.: representa a ordem parcial no poset. a)Eh imediato que X e o conjunto vazio estao em T. b)Seja C uma colecao arbitraria de conjuntos de T. Se y esta fora da uniao de de C, entao y esta fora de todos os conjuntos de C. Suponhamos que, para algum x da uniao de C, tenhamos yx. Como x pertence a algum A de C, temos yx para y fora de A e x em algum A de C, logo em algum A de T - uma contradicao com relacao aa construcao de T. Isto nos mostra que a uniao de colecoes arbitrarias de T estah em T. c) Se x pertence aa interseccao de C (supondo esta interseccao nao vazia) e y esta fora desta interseccao, entao existe algum A em C tal que x pertence a A (x pertence a todos os conjuntos de C) e y nao pertence a A. Pela definicao dos conjuntos A, nao podemos ter yx. Logo, nao existem x na inter. de C e y fora dela satisafazendo a yx. A interseccao de colecoes arbitrarias de T estah, portanto, em T. (a) , (b) e (c) nos mostram que T eh uma toplogia sobre X que apresenta as propriedades citadas. O (2) fica para mais tarde. Abracos Artur 2) Dê um exemplo de um subconjunto A de um espaço topologico X t.q. a fronteira de A contenha a fronteira do interior de A, com as duas fronteiras sendo diferentes. Grato! __ Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site! http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Topologia
Eu acho este problema interessante, talvez o Duda goste. Seja S um espaco de Hausdorff e seja P um conjunto perfeito de S tal que algum elemento de P posui uma vizinhanca com um fecho compacto. Entoa, P nao eh numeravel. Artur
[obm-l] Topologia e Infinitude dos Primos
Um professor meu mandou eu procurar um livro de Teoria de Numeros, o autor ele acha que se chama Rubenstein é um livro em ingles. Alguem conhece qual o nome do livro e do autor de verdade. Ele disse que no livro tem uma bela prova da infinitude de primos usando topologia, alguem conhece??Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
Re: [obm-l] Topologia e Infinitude dos Primos
Olhe o livro proofs from the book de Aigner e Ziegler, Springer Verlag - 2001 (2nd. ed) O primeiro capitulo deste livro e' dedicado a demonstracoes de da infinitude de primos e existe la' uma demonstracao com ferramentas de topologia. Nao sei se e' bela na opiniao do seu professor, isso ai' e' sempre um juizo de valor. Manuel Garcia IME-USP On Wed, 13 Nov 2002, bruno lima wrote: Um professor meu mandou eu procurar um livro de Teoria de Numeros, o autor ele acha que se chama Rubenstein é um livro em ingles. Alguem conhece qual o nome do livro e do autor de verdade. Ele disse que no livro tem uma bela prova da infinitude de primos usando topologia, alguem conhece?? - Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Topologia e Infinitude dos Primos
Meu,prova de infinitos primos tem varias.Eu conheço a da serie harmonica dos primos (de Euler),uma que falava que a serie harmonica divergia se e so se a primo-harmonica tambem convergia bruno lima [EMAIL PROTECTED] wrote: Um professor meu mandou eu procurar um livro de Teoria de Numeros, o autor ele acha que se chama Rubenstein é um livro em ingles. Alguem conhece qual o nome do livro e do autor de verdade. Ele disse que no livro tem uma bela prova da infinitude de primos usando topologia, alguem conhece?? Yahoo! GeoCitiesTudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
