[obm-l] x^n = y^n = |x| = |y|
Caros Colegas, Como provar que a igualdade x^n = y^n implica |x| = |y|, quando x e y são números reais quaisquer e n é um inteiro positivo? Abraços do Ennius Lima! ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] x^n = y^n = |x| = |y|
Porque |x^n| = |x|^n Se x^n = y^n, então, |x^n| = |y^n|, o que implica que |x|^n= |y|^n. Como |x| e |y| não são negativos e a função potência é bijetora no eixo real não negativo, segue-se que |x| = |y|. Artur Costa Steiner Em 17/07/2013, às 17:44, ennius enn...@bol.com.br escreveu: Caros Colegas, Como provar que a igualdade x^n = y^n implica |x| = |y|, quando x e y são números reais quaisquer e n é um inteiro positivo? Abraços do Ennius Lima! ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] x^n = y^n = |x| = |y|
Se x^n = y^n - |x^n| = |y^n| - |x|^n = |y|^n (|ab| = |a| . |b| para quaisquer a,b reais) - |x|^n - |y|^n = 0. Podemos supor, por absurdo, que: |x| |y|. Assim, podemos dividir e multiplicar o lado esquerdo de (*) por (|x| - |y|). Teremos: (|x| - |y|) . (|x|^n - |y|^n)/(|x| - |y|) = 0 - (|x| - |y|) . [|y|^(n-1) + |x| . |y|^(n-2) + |x|^(2) . |y|^(n-3) + ... + |x|^(n-1) . |y|] = 0. Como a expressão entre colchetes é claramente positiva, devemos ter: |x| = |y| . Absurdo! Em 17 de julho de 2013 17:44, ennius enn...@bol.com.br escreveu: Caros Colegas, Como provar que a igualdade x^n = y^n implica |x| = |y|, quando x e y são números reais quaisquer e n é um inteiro positivo? Abraços do Ennius Lima! ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^n = y^n = x = y
Sim, mas olha a primeira linha: Em primeiro lugar, como n eh impar, note que x^n tem o mesmo sinal de x. Assim, se x^n e y^n tem o mesmo sinal, x e y devem ter o mesmo sinal. Assim eu jah havia concluido que x e y tem o mesmo sinal. Entao a partir dali soh analiso os 3 casos em que x e y tem o mesmo sinal, porque o caso y0x que voce cita jah foi eliminado. Abraco, Ralph 2013/6/14 Felipe f...@cin.ufpe.br x e y terem o mesmo sinal indica que o segundo termo tem todas as parcelas de mesmo sinal e não inclui o caso y0 e x0. Em 14 de junho de 2013 19:24, Felipe f...@cin.ufpe.br escreveu: O segundo termo sempre positivo não se verifica... N = 4: x⁴-y⁴ = (x-y)(x³+x²y+xy²+y³) Se |y| |x|, y0 e x0 Em 14 de junho de 2013 18:52, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.brescreveu: Ola Ralph, O termo é sempre positivo, mas temos números negativos tb : Ex n=3 : x3-y3 = (x-y)(x2+xy+y2) Supondo y0 e x0; [y][x] Então : x2 e y2 positivos, como xyy2, tenão x2+xy+y2 é sempre positivo. Claro que se ambos são positivos ou [x]=[y] o mesmo se verifica. Abs Felipe -- *De:* Ralph Teixeira ralp...@gmail.com *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Enviadas:* Sexta-feira, 14 de Junho de 2013 18:25 *Assunto:* Re: [obm-l] x^n = y^n = x = y Tem um jeito de fazer que soh precisa de uma fatoracao esperta. Em primeiro lugar, como n eh impar, note que x^n tem o mesmo sinal de x. Assim, se x^n e y^n tem o mesmo sinal, x e y devem ter o mesmo sinal. Assim, ha apenas 3 casos a considerar: i) x=0 e y=0 ii) x0 e y0 iii) x0 e y0 O caso (i) automaticamente implica que x=y. Vou fazer o caso (ii) (o (iii) eh analogo, trocando x e y por -x e -y). Entao, suponha que x e y sao positivos e que x^n=y^n. Entao: x^n-y^n=0 -- (x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+...+xy^(n-2)+y^(n-1))=0 Agora o termo comprido soh tem numeros positivos, entao eh positivo. Assim, o unico jeito deste produto dar 0 eh se x-y=0, isto eh, x=y. Abraco, Ralph 2013/6/14 Pedro Chaves brped...@hotmail.com Caros Colegas, Como provar que a igualdade x^n = y^n implica x = y, sendo x e y números reais quaisquer e n natural ímpar? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Felipe de Souza Araujo -- Felipe de Souza Araujo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] x^n = y^n = x = y
Caros Colegas, Como provar que a igualdade x^n = y^n implica x = y, sendo x e y números reais quaisquer e n natural ímpar? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] x^n = y^n = x = y
Caros Colegas, Como provar que a igualdade x^n = y^n implica x = y, sendo x e y números reais quaisquer e n natural ímpar? Abraços do Pedro Chaves ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] x^n = y^n = x = y
Tem um jeito de fazer que soh precisa de uma fatoracao esperta. Em primeiro lugar, como n eh impar, note que x^n tem o mesmo sinal de x. Assim, se x^n e y^n tem o mesmo sinal, x e y devem ter o mesmo sinal. Assim, ha apenas 3 casos a considerar: i) x=0 e y=0 ii) x0 e y0 iii) x0 e y0 O caso (i) automaticamente implica que x=y. Vou fazer o caso (ii) (o (iii) eh analogo, trocando x e y por -x e -y). Entao, suponha que x e y sao positivos e que x^n=y^n. Entao: x^n-y^n=0 -- (x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+...+xy^(n-2)+y^(n-1))=0 Agora o termo comprido soh tem numeros positivos, entao eh positivo. Assim, o unico jeito deste produto dar 0 eh se x-y=0, isto eh, x=y. Abraco, Ralph 2013/6/14 Pedro Chaves brped...@hotmail.com Caros Colegas, Como provar que a igualdade x^n = y^n implica x = y, sendo x e y números reais quaisquer e n natural ímpar? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^n = y^n = x = y
Ola Ralph, O termo é sempre positivo, mas temos números negativos tb : Ex n=3 : x3-y3 = (x-y)(x2+xy+y2) Supondo y0 e x0; [y][x] Então : x2 e y2 positivos, como xyy2, tenão x2+xy+y2 é sempre positivo. Claro que se ambos são positivos ou [x]=[y] o mesmo se verifica. Abs Felipe De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 14 de Junho de 2013 18:25 Assunto: Re: [obm-l] x^n = y^n = x = y Tem um jeito de fazer que soh precisa de uma fatoracao esperta. Em primeiro lugar, como n eh impar, note que x^n tem o mesmo sinal de x. Assim, se x^n e y^n tem o mesmo sinal, x e y devem ter o mesmo sinal. Assim, ha apenas 3 casos a considerar: i) x=0 e y=0 ii) x0 e y0 iii) x0 e y0 O caso (i) automaticamente implica que x=y. Vou fazer o caso (ii) (o (iii) eh analogo, trocando x e y por -x e -y). Entao, suponha que x e y sao positivos e que x^n=y^n. Entao: x^n-y^n=0 -- (x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+...+xy^(n-2)+y^(n-1))=0 Agora o termo comprido soh tem numeros positivos, entao eh positivo. Assim, o unico jeito deste produto dar 0 eh se x-y=0, isto eh, x=y. Abraco, Ralph 2013/6/14 Pedro Chaves brped...@hotmail.com Caros Colegas, Como provar que a igualdade x^n = y^n implica x = y, sendo x e y números reais quaisquer e n natural ímpar? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^n = y^n = x = y
O segundo termo sempre positivo não se verifica... N = 4: x⁴-y⁴ = (x-y)(x³+x²y+xy²+y³) Se |y| |x|, y0 e x0 Em 14 de junho de 2013 18:52, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.brescreveu: Ola Ralph, O termo é sempre positivo, mas temos números negativos tb : Ex n=3 : x3-y3 = (x-y)(x2+xy+y2) Supondo y0 e x0; [y][x] Então : x2 e y2 positivos, como xyy2, tenão x2+xy+y2 é sempre positivo. Claro que se ambos são positivos ou [x]=[y] o mesmo se verifica. Abs Felipe -- *De:* Ralph Teixeira ralp...@gmail.com *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Enviadas:* Sexta-feira, 14 de Junho de 2013 18:25 *Assunto:* Re: [obm-l] x^n = y^n = x = y Tem um jeito de fazer que soh precisa de uma fatoracao esperta. Em primeiro lugar, como n eh impar, note que x^n tem o mesmo sinal de x. Assim, se x^n e y^n tem o mesmo sinal, x e y devem ter o mesmo sinal. Assim, ha apenas 3 casos a considerar: i) x=0 e y=0 ii) x0 e y0 iii) x0 e y0 O caso (i) automaticamente implica que x=y. Vou fazer o caso (ii) (o (iii) eh analogo, trocando x e y por -x e -y). Entao, suponha que x e y sao positivos e que x^n=y^n. Entao: x^n-y^n=0 -- (x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+...+xy^(n-2)+y^(n-1))=0 Agora o termo comprido soh tem numeros positivos, entao eh positivo. Assim, o unico jeito deste produto dar 0 eh se x-y=0, isto eh, x=y. Abraco, Ralph 2013/6/14 Pedro Chaves brped...@hotmail.com Caros Colegas, Como provar que a igualdade x^n = y^n implica x = y, sendo x e y números reais quaisquer e n natural ímpar? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Felipe de Souza Araujo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] x^n = y^n = x = y
Outro modo de resolver: Primeiramente, vamos mostrar que a equação x^n = 1, com x real e n natural ímpar, tem uma só solução: x = 1. Sabemos que se x0, então x^n 0. Deveremos ter, portanto, x0, pois 0^n = 0. x^n = 1 = x^n - 1 = 0 = (x-1) [(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + 1] = 0 = x =1, pois o 2.º fator é positivo. Assim: Se x^n = y^n = 0 = x = y =0 Se x^n = y^n, que é diferente de zero, podemos escrever: x^n / y^n = 1 = (x/y)^n = 1 = x/y = 1 = x = y. Abraços do Paulo Argolo __ Date: Fri, 14 Jun 2013 14:52:27 -0700 From: luizfelipec...@yahoo.com.br Subject: Re: [obm-l] x^n = y^n = x = y To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Ralph, O termo é sempre positivo, mas temos números negativos tb : Ex n=3 : x3-y3 = (x-y)(x2+xy+y2) Supondo y0 e x0; [y][x] Então : x2 e y2 positivos, como xyy2, tenão x2+xy+y2 é sempre positivo. Claro que se ambos são positivos ou [x]=[y] o mesmo se verifica. AbsFelipe De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 14 de Junho de 2013 18:25 Assunto: Re: [obm-l] x^n = y^n = x = y Tem um jeito de fazer que soh precisa de uma fatoracao esperta. Em primeiro lugar, como n eh impar, note que x^n tem o mesmo sinal de x. Assim, se x^n e y^n tem o mesmo sinal, x e y devem ter o mesmo sinal. Assim, ha apenas 3 casos a considerar: i) x=0 e y=0ii) x0 e y0iii) x0 e y0 O caso (i) automaticamente implica que x=y. Vou fazer o caso (ii) (o (iii) eh analogo, trocando x e y por -x e -y). Entao, suponha que x e y sao positivos e que x^n=y^n. Entao:x^n-y^n=0 -- (x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+...+xy^(n-2)+y^(n-1))=0 Agora o termo comprido soh tem numeros positivos, entao eh positivo. Assim, o unico jeito deste produto dar 0 eh se x-y=0, isto eh, x=y. Abraco, Ralph 2013/6/14 Pedro Chaves brped...@hotmail.com Caros Colegas, Como provar que a igualdade x^n = y^n implica x = y, sendo x e y números reais quaisquer e n natural ímpar? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^n = y^n = x = y
x e y terem o mesmo sinal indica que o segundo termo tem todas as parcelas de mesmo sinal e não inclui o caso y0 e x0. Em 14 de junho de 2013 19:24, Felipe f...@cin.ufpe.br escreveu: O segundo termo sempre positivo não se verifica... N = 4: x⁴-y⁴ = (x-y)(x³+x²y+xy²+y³) Se |y| |x|, y0 e x0 Em 14 de junho de 2013 18:52, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.brescreveu: Ola Ralph, O termo é sempre positivo, mas temos números negativos tb : Ex n=3 : x3-y3 = (x-y)(x2+xy+y2) Supondo y0 e x0; [y][x] Então : x2 e y2 positivos, como xyy2, tenão x2+xy+y2 é sempre positivo. Claro que se ambos são positivos ou [x]=[y] o mesmo se verifica. Abs Felipe -- *De:* Ralph Teixeira ralp...@gmail.com *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Enviadas:* Sexta-feira, 14 de Junho de 2013 18:25 *Assunto:* Re: [obm-l] x^n = y^n = x = y Tem um jeito de fazer que soh precisa de uma fatoracao esperta. Em primeiro lugar, como n eh impar, note que x^n tem o mesmo sinal de x. Assim, se x^n e y^n tem o mesmo sinal, x e y devem ter o mesmo sinal. Assim, ha apenas 3 casos a considerar: i) x=0 e y=0 ii) x0 e y0 iii) x0 e y0 O caso (i) automaticamente implica que x=y. Vou fazer o caso (ii) (o (iii) eh analogo, trocando x e y por -x e -y). Entao, suponha que x e y sao positivos e que x^n=y^n. Entao: x^n-y^n=0 -- (x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+...+xy^(n-2)+y^(n-1))=0 Agora o termo comprido soh tem numeros positivos, entao eh positivo. Assim, o unico jeito deste produto dar 0 eh se x-y=0, isto eh, x=y. Abraco, Ralph 2013/6/14 Pedro Chaves brped...@hotmail.com Caros Colegas, Como provar que a igualdade x^n = y^n implica x = y, sendo x e y números reais quaisquer e n natural ímpar? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Felipe de Souza Araujo -- Felipe de Souza Araujo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
