Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Nao seria 3*10^(k+1) + 6*10^k? -Auggy - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, August 05, 2003 12:42 PM Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos Retorno do Abertos da lista? Que tal a gente achar quadrados perfeitos do tipo 3*10^k+6*10^l? O tres nao pode vir no final.Talvez modulo...Depois eu penso... --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros colegas: Aqui vao dois problemas que ainda estao em aberto na lista. O primeiro foi enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da olimpiada iraniana, se nao me engano. 1) Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio. ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Esse segundo problema caiu na OBM 2000, numa versão mais fácil. Acho que foi essa versão a que vc resolveu, jah que ele dizia que as duas potências têm que ter o mesmo número de algarismos, de modo que os zeros não modificavam a quantidade de algarismos. Ateh mais, Yuri -- Mensagem original -- Caros colegas: Aqui vao dois problemas que ainda estao em aberto na lista. O primeiro foi enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da olimpiada iraniana, se nao me engano. 1) Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio. []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Vou mais longe:
Os candidatos são os quadrados da forma:
(3*10^m + A)*10^(2n)
onde A pertence a {1,4,6} e m e n são inteiros não negativos.
Até agora, só encontrei números do tipo:
36, 3600, 36, ..., 36*10^(2n), ...
mas não consegui provar que são os únicos.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, August 05, 2003 1:42 PM
Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Retorno do Abertos da lista?
Que tal a gente achar quadrados perfeitos do tipo
3*10^k+6*10^l?
O tres nao pode vir no final.Talvez
modulo...Depois eu penso...
--- Claudio Buffara
[EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros
colegas:
Aqui vao dois problemas que ainda estao em
aberto na lista. O primeiro foi
enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da
olimpiada iraniana, se nao me
engano.
1) Determinar o conjunto de números inteiros
positivos que satisfazem à duas
condições: (i) todo número possui exatamente
dois algarismos não-nulos,
sendo um deles o três(3), (ii) todo número é
quadrado perfeito.
2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2
tal que ao se permutar os
algarismos de sua representacao decimal
obtem-se uma outra potencia de 2.
Esse segundo tem uma solucao aparentemente
simples, mas esta solucao exclui
o caso de potencias de 2 com algarismos 0
internos (ou seja, numeros do
tipo abcdefg).
Um abraco,
Claudio.
___
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Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens!
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Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Title: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos on 05.08.03 19:03, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma idéia para o segundo: Considere, SPG, j i, tq: 2^j = a0 + a1*10 + ... + a[k]*10^k e f uma permutação tq. 2^i = f(a0) + f(a1)*10 + ... + f(a[k])*10^k então 2^j - 2^i = a0 - f(a0) + [a1 - f(a1)]*10 + ... + [a[k] - f(a[k])]*10^k logo 2^j - 2^i ~ a0 - f(a0) + ... + a[k] - f(a[k]) = 0 (mod 9) 2^i[2^(j-i) - 1] = 0 (mod 9) = j - i = 6k para algum k será que sai alguma coisa a partir daqui? o que fiz até aqui já mostra que a permutação tem que colocar pelo menos 1 zero a esquerda... Pois eh. O problema eh justamente se: 2^(i+6k) = a b c d 0 0 0 e f g e 2^i = f g a b d c ou algo do genero. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Nenhum nº qudrado perfeito termina em 3, logo o 3 deverá ser sempre o 1ºalg.
da esq. p/ a dir.;já o seis é mais complicado.
os nº serão da forma: 30000600...00=3*10^(f+2q+1)+6*10^(2q)
onde onde f é o nºde zeros entre o 3 e o 6 e 2q é o nºde zeros depois do 6,
f e q sendo inteiros não-negativos.
Agora vamos mostrar que f só poderá ser 0(admitindo q=0):
3*10^(f+1)+6=30*10^(f)+6=k^2 ; k inteiro positivo
k^2=6*(5*10^(f)+1) :. 6*a=k*k ; k=a=6 ou (a=6c e 6c=q^2) {a,c,q}C(Z*+),
c=1 :. 5*10^(n)+1=6*c :. c=(5*10^(f)+1)/6
6*c deverá ser múltiplo de 6, logo deverá ser múltiplo de 2 e de 3 ao mesmo
tempo, assim a soma dos alg. de c deve ser múltiplo de 3(o que é fácil de
observar que sempre ocorre) e c deverá ser par.
temos duas hipóteses, 1- n0 ou 2- n=0
1-se f0 então 6*c=50...001, isto é 6*c nunca será par.
2-se f=0 então c=6, que é par CONCLUSÃO: 6*c=6
Se c=1 então a=6=k, logo 3*10^(f+1)+6=36 = f=0
Logo o conjunto pedido será o dos números da forma:
36000...0; com nº par de zeros, ou: 3,6*10^(2q+1)
Em 5 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Vou mais longe:
Os candidatos são os quadrados da forma:
(3*10^m + A)*10^(2n)
onde A pertence a {1,4,6} e m e n são inteiros não negativos.
Até agora, só encontrei números do tipo:
36, 3600, 36, ..., 36*10^(2n), ...
mas não consegui provar que são os únicos.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
To:
Sent: Tuesday, August 05, 2003 1:42 PM
Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Retorno do Abertos da lista?
Que tal a gente achar quadrados perfeitos do tipo
3*10^k+6*10^l?
O tres nao pode vir no final.Talvez
modulo...Depois eu penso...
--- Claudio Buffara
escreveu: Caros
colegas:
Aqui vao dois problemas que ainda estao em
aberto na lista. O primeiro foi
enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da
olimpiada iraniana, se nao me
engano.
1) Determinar o conjunto de números inteiros
positivos que satisfazem à duas
condições: (i) todo número possui exatamente
dois algarismos não-nulos,
sendo um deles o três(3), (ii) todo número é
quadrado perfeito.
2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2
tal que ao se permutar os
algarismos de sua representacao decimal
obtem-se uma outra potencia de 2.
Esse segundo tem uma solucao aparentemente
simples, mas esta solucao exclui
o caso de potencias de 2 com algarismos 0
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Um abraco,
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Exatamente. O enunciado da Olimpiada Iraniana de 1999 está aqui: http://www.geocities.com/CollegePark/Lounge/5284/math/99.html e não fala nada sobre zeros ou número de algarismos. Ainda estou tentando... Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, August 05, 2003 12:45 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos Esse segundo problema caiu na OBM 2000, numa versão mais fácil. Acho que foi essa versão a que vc resolveu, jah que ele dizia que as duas potências têm que ter o mesmo número de algarismos, de modo que os zeros não modificavam a quantidade de algarismos. Ateh mais, Yuri -- Mensagem original -- Caros colegas: Aqui vao dois problemas que ainda estao em aberto na lista. O primeiro foi enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da olimpiada iraniana, se nao me engano. 1) Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio. []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Cláudio obrigado pelas correções, e aqui vai a solução, gostaria procurasse erros nela, ou tentasse simplificá-la. Não há quadrado perfeito que termine em 3, logo o 3 deverá ser o 1º alg. da esq. p/ dir. Sendo assim os números do tal conjunto deverão ser da forma 300...0n00...0 ou W=3*10^(p+2q+1)+n*10^(2q) ; Sendo todas as incógnitas inteiras não-negativas, onde n só poderá assumir os valores de: 1, 4, 5, 6, 9 Provemos agora que p só pode ser zero. W=300...0n*10^(2q)=K*K, K inteiro :. 300...0n=q*q, q inteiro, logo: q*q=3*10^(p+1)+n=30*10^(p)+n :. q*q-n=(q+n^0,5)(q-n^0,5)=[3*10^(t)]*[10^(s)], t,s reais q+n^0,5=3*10^t q+n^0,5=10^s q=3*10^t+n^0,5 temos dois casos: t=s :. e outs :. e ; ou q-n^0,5=10^sq-n^0,5=3*10^t q=10^s+n^0,5 a-)q*q=9*10^(2t)+6*n^(0,5)*10^(t)+n ou b-)q*q=10^(2s)+2*n^(0,5)*10^(s)+n a-)10^(2t)=10^(a)/3, a inteiro positivo, pois 9*10^(2t)=3*10^(a)=300...0 Desse jeito q*q=3*10^(a)+6*((n*10^(a))/3)^(0,5)+n=3*10^(a)+2(n*3*10^(a))+n q*q só será inteiro se n*3*10^(a) o for também. Mas nehum dos valores possíveis de n faz essa condição ser obedecida. Daí, hipótese a é falsa. b-)10^(2s)=3*10^(a), a inteiro positivo, pois 10^(2s)=3*10^(a)=300...0 Desse jeito q*q=3*10^(a)+2*(n*3*10^(a))+n, ora recaímos no caso anterior, logo a hipótese b também é falsa Disso concluímos que no número W=300...0n00...0, entre 3 e n não deve haver zeros, com isso W=3n00...0=3n*10^(2q)=K*K :. 3n=q*q :. n=6 Logo a resposta será: 3600...0, onde o nº de zeros é par, ou 3,6*10^(2q+1); q=0 e q inteiro --- Claudio Buffara escreveu: Caros colegas: Aqui vao dois problemas que ainda estao em aberto na lista. O primeiro foi enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da olimpiada iraniana, se nao me engano. 1) Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio. ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Essa primeira questão pode conte repetições, como por exemplo 33600??? -- Mensagem original -- Caros colegas: Aqui vao dois problemas que ainda estao em aberto na lista. O primeiro foi enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da olimpiada iraniana, se nao me engano. 1) Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio. []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Title: Problemas em Aberto - Algarismos Uma idéia para o segundo: Considere, SPG,j i, tq: 2^j = a0 + a1*10+ ... + a[k]*10^k e f uma permutação tq. 2^i = f(a0) + f(a1)*10 + ... + f(a[k])*10^k então 2^j - 2^i = a0 - f(a0) + [a1 - f(a1)]*10 + ... + [a[k] - f(a[k])]*10^k logo 2^j - 2^i ~ a0 - f(a0) + ... + a[k] - f(a[k]) = 0(mod 9) 2^i[2^(j-i) - 1] = 0 (mod 9) = j - i = 6k para algum k será que sai alguma coisa a partir daqui? o que fiz até aqui já mostra que a permutação tem que colocar pelo menos 1 zero a esquerda... 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2.Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos "0" internos (ou seja, numeros do tipo "abcdefg"). Um abraco,Claudio.
Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Oi, e_lema (qual o seu nome?):
Meus comentários estão ao longo da sua mensagem.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, August 06, 2003 8:21 PM
Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Cláudio obrigado pelas correções, e aqui vai a solução, gostaria
procurasse
erros nela, ou tentasse simplificá-la.
Não há quadrado perfeito que termine em 3, logo o 3 deverá ser o 1º alg.
da
esq. p/ dir.
Sendo assim os números do tal conjunto deverão ser da forma 300...0n00...0
ou
W=3*10^(p+2q+1)+n*10^(2q) ; Sendo todas as incógnitas inteiras
não-negativas, onde n
só poderá assumir os valores de: 1, 4, 5, 6, 9
Até aqui, estou 100% de acordo.
De fato, numa mensagem anterior você provou que o único quadrado com n = 6 é
o 36.
Além disso, usando congruência mod 9, também eliminamos o 5 e o 9, da
seguinte forma:
Os quadrados (mod 9) são: 0, 1, 4 e 7.
Como W é quadrado e W == 3+n (mod 9), teremos que:
3+n == 0, 1, 4 ou 7 (mod 9) ==
n == 6, 7, 1 ou 4 (mod 9) ==
(dado que n pertence a {1,4,5,6,9}) n só pode ser 1, 4 ou 6 ==
(em virtude da sua análise do caso n = 6) n só pode ser 1 ou 4.
Resumindo, o problema é provar que não existem quadrados da forma:
3*10^p + 1 e 3*10^p + 4.
Provemos agora que p só pode ser zero.
W=300...0n*10^(2q)=K*K, K inteiro :. 300...0n=q*q, q inteiro, logo:
q*q=3*10^(p+1)+n=30*10^(p)+n :.
Você deveria ter escolhido outra letra que não q, pois esta já estava
sendo usada pra representar o número de zeros à direita (em 10^(2q)), mas
tudo bem...
O problema começa a partir daqui, onde você introduz expoentes possivelmente
irracionais (o que é um pouco inusitado para este problema, mas pode até dar
certo no final) e a formatação/tabulação está bem difícil de entenderSe
você puder dar uma limpada no argumento e na formatação eu agradeceria.
q*q-n=(q+n^0,5)(q-n^0,5)=[3*10^(t)]*[10^(s)], t,s reais
q+n^0,5=3*10^t q+n^0,5=10^s
q=3*10^t+n^0,5
temos dois casos: t=s :. e outs :. e ;
ou
q-n^0,5=10^sq-n^0,5=3*10^t
q=10^s+n^0,5
a-)q*q=9*10^(2t)+6*n^(0,5)*10^(t)+n ou
b-)q*q=10^(2s)+2*n^(0,5)*10^(s)+n
a-)10^(2t)=10^(a)/3, a inteiro positivo, pois 9*10^(2t)=3*10^(a)=300...0
Desse jeito q*q=3*10^(a)+6*((n*10^(a))/3)^(0,5)+n=3*10^(a)+2(n*3*10^(a))+n
q*q só será inteiro se n*3*10^(a) o for também. Mas nehum dos valores
possíveis de n
faz essa condição ser obedecida. Daí, hipótese a é falsa.
b-)10^(2s)=3*10^(a), a inteiro positivo, pois 10^(2s)=3*10^(a)=300...0
Desse jeito q*q=3*10^(a)+2*(n*3*10^(a))+n, ora recaímos no caso anterior,
logo a
hipótese b também é falsa
Disso concluímos que no número W=300...0n00...0, entre 3 e n não deve
haver
zeros, com isso
W=3n00...0=3n*10^(2q)=K*K :. 3n=q*q :. n=6
Logo a resposta será:
3600...0, onde o nº de zeros é par, ou 3,6*10^(2q+1); q=0 e q inteiro
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
on 05.08.03 18:45, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Nenhum nº qudrado perfeito termina em 3, logo o 3 deverá ser sempre o 1ºalg.
da esq. p/ a dir.;já o seis é mais complicado.
os nº serão da forma: 30000600...00=3*10^(f+2q+1)+6*10^(2q)
onde onde f é o nºde zeros entre o 3 e o 6 e 2q é o nºde zeros depois do 6,
f e q sendo inteiros não-negativos.
Agora vamos mostrar que f só poderá ser 0(admitindo q=0):
3*10^(f+1)+6=30*10^(f)+6=k^2 ; k inteiro positivo
k^2=6*(5*10^(f)+1)
A partir daqui, bastava considerar que:
6 divide k^2 == 6 divide k == 6^2 divide k^2 == 6 divide 5*10^f + 1, que
eh impar se f =1 == contradicao.
Mas tudo bem, a sua demonstracao estah perfeita.
:. 6*a=k*k ; k=a=6 ou (a=6c e 6c=q^2) {a,c,q}C(Z*+),
c=1 :. 5*10^(n)+1=6*c :. c=(5*10^(f)+1)/6
6*c deverá ser múltiplo de 6, logo deverá ser múltiplo de 2 e de 3 ao mesmo
tempo, assim a soma dos alg. de c deve ser múltiplo de 3(o que é fácil de
observar que sempre ocorre) e c deverá ser par.
temos duas hipóteses, 1- n0 ou 2- n=0
1-se f0 então 6*c=50...001, isto é 6*c nunca será par.
2-se f=0 então c=6, que é par CONCLUSÃO: 6*c=6
Se c=1 então a=6=k, logo 3*10^(f+1)+6=36 = f=0
Logo o conjunto pedido será o dos números da forma:
36000...0; com nº par de zeros, ou: 3,6*10^(2q+1)
OK. Voce provou que a menos dos 2q zeros a direita, o unico quadrado com 1o.
algarismo 3 e ultimo 6 eh o 36.
Ainda restam os casos: 3*10^(f+1) + 1 e 3*10^(f+1) + 4
mas certamente o fim estah mais proximo!
Um abraco,
Claudio.
Em 5 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Vou mais longe:
Os candidatos são os quadrados da forma:
(3*10^m + A)*10^(2n)
onde A pertence a {1,4,6} e m e n são inteiros não negativos.
Até agora, só encontrei números do tipo:
36, 3600, 36, ..., 36*10^(2n), ...
mas não consegui provar que são os únicos.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
To:
Sent: Tuesday, August 05, 2003 1:42 PM
Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Retorno do Abertos da lista?
Que tal a gente achar quadrados perfeitos do tipo
3*10^k+6*10^l?
O tres nao pode vir no final.Talvez
modulo...Depois eu penso...
--- Claudio Buffara
escreveu: Caros
colegas:
Aqui vao dois problemas que ainda estao em
aberto na lista. O primeiro foi
enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da
olimpiada iraniana, se nao me
engano.
1) Determinar o conjunto de números inteiros
positivos que satisfazem à duas
condições: (i) todo número possui exatamente
dois algarismos não-nulos,
sendo um deles o três(3), (ii) todo número é
quadrado perfeito.
2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2
tal que ao se permutar os
algarismos de sua representacao decimal
obtem-se uma outra potencia de 2.
Esse segundo tem uma solucao aparentemente
simples, mas esta solucao exclui
o caso de potencias de 2 com algarismos 0
internos (ou seja, numeros do
tipo abcdefg).
Um abraco,
Claudio.
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Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Retorno do Abertos da lista? Que tal a gente achar quadrados perfeitos do tipo 3*10^k+6*10^l? O tres nao pode vir no final.Talvez modulo...Depois eu penso... --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros colegas: Aqui vao dois problemas que ainda estao em aberto na lista. O primeiro foi enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da olimpiada iraniana, se nao me engano. 1) Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio. ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Olá, Cláudio:
O problema, é que ao copiar a solução do bloco de notas, e colá-la na
mensagem, ela embaralhou toda, vê se assim fica melhor, as correções foram
feitas diretamente na mensagem original:
Em 7 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Oi, e_lema (qual o seu nome?):
Meus comentários estão ao longo da sua mensagem.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From:
To:
Sent: Wednesday, August 06, 2003 8:21 PM
Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Cláudio obrigado pelas correções, e aqui vai a solução, gostaria
procurasse
erros nela, ou tentasse simplificá-la.
Não há quadrado perfeito que termine em 3, logo o 3 deverá ser o 1º alg.
da
esq. p/ dir.
Sendo assim os números do tal conjunto deverão ser da forma
300...0n00...0
ou
W=3*10^(p+2q+1)+n*10^(2q) ; Sendo todas as incógnitas inteiras
não-negativas, onde n
só poderá assumir os valores de: 1, 4, 5, 6, 9
Até aqui, estou 100% de acordo.
De fato, numa mensagem anterior você provou que o único quadrado com n = 6
é
o 36.
Além disso, usando congruência mod 9, também eliminamos o 5 e o 9, da
seguinte forma:
Os quadrados (mod 9) são: 0, 1, 4 e 7.
Como W é quadrado e W == 3+n (mod 9), teremos que:
3+n == 0, 1, 4 ou 7 (mod 9) ==
n == 6, 7, 1 ou 4 (mod 9) ==
(dado que n pertence a {1,4,5,6,9}) n só pode ser 1, 4 ou 6 ==
(em virtude da sua análise do caso n = 6) n só pode ser 1 ou 4.
Resumindo, o problema é provar que não existem quadrados da forma:
3*10^p + 1 e 3*10^p + 4.
Provemos agora que p só pode ser zero.
W=300...0n*10^(2q)=K*K, K inteiro :. 300...0n=q*q, q inteiro, logo:
q*q=3*10^(p+1)+n=30*10^(p)+n :.
Você deveria ter escolhido outra letra que não q, pois esta já estava
sendo usada pra representar o número de zeros à direita (em 10^(2q)), mas
tudo bem... foi mal, nem vi.
O problema começa a partir daqui, onde você introduz expoentes
possivelmente
irracionais (o que é um pouco inusitado para este problema, mas pode até
dar
certo no final) e a formatação/tabulação está bem difícil de entenderSe
você puder dar uma limpada no argumento e na formatação eu agradeceria.
q*q-n=(q+n^0,5)(q-n^0,5)=[3*10^(t)]*[10^(s)], t,s reais
temos dois casos possíveis:
t=sq+n^0,5=3*10^t e q-n^0,5=10^s sistema 1
ou
ts q+n^0,5=10^s e q-n^0,5=3*10^t sistema 2
Logo, só temos 2 valores possíveis para q:
t=s a-)q=3*10^t+n^0,5 ou ; ts b-)q=10^s+n^0,5
a-)q*q=9*10^(2t)+6*n^(0,5)*10^(t)+n
b-)q*q=10^(2s)+2*n^(0,5)*10^(s)+n
a-)10^(2t)=10^(a)/3, a inteiro positivo,
pois 9*10^(2t)=3*10^(a)=300...0
Desse jeito
q*q=3*10^(a)+6*((n*10^(a))/3)^(0,5)+n=3*10^(a)+2(n*3*10^(a))+n
q*q só será inteiro se n*3*10^(a) o for também. Mas nehum dos valores
possíveis de n
faz essa condição ser obedecida. Daí, hipótese a é falsa.
b-)10^(2s)=3*10^(a), a inteiro positivo, pois 10^(2s)=3*10^(a)=300...0
Desse jeito q*q=3*10^(a)+2*(n*3*10^(a))+n, ora recaímos no caso anterior,
logo a
hipótese b também é falsa
Disso concluímos que no número W=300...0n00...0, entre 3 e n não deve
haver
zeros, com isso
W=3n00...0=3n*10^(2q)=K*K :. 3n=q*q :. n=6
Logo a resposta será:
3600...0, onde o nº de zeros é par, ou 3,6*10^(2q+1); q=0 e q inteiro
Caso não tenha entendido, volte aos sistemas 1 e 2, e resolvá-os
admitindo f=1 ou f=4, só que isso dá uma solução um pouco grande...
Um abraço,
Eduardo
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Isto e mais interpretaçao.Eu acho que nao aceita pelo seguinte motivo:fala-se em EXATAMENTE DOIS algarismos.E os tres sao diferentes pelo sistema posicional. --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: Essa primeira questão pode conte repetições, como por exemplo 33600??? -- Mensagem original -- Caros colegas: Aqui vao dois problemas que ainda estao em aberto na lista. O primeiro foi enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da olimpiada iraniana, se nao me engano. 1) Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio. []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] =?Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos?=
Não. O enunciado afirma que os números possuem somente dois algs. não-nulos. Em 5 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Essa primeira questão pode conte repetições, como por exemplo 33600??? -- Mensagem original -- Caros colegas: Aqui vao dois problemas que ainda estao em aberto na lista. O primeiro foi enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da olimpiada iraniana, se nao me engano. 1) Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio. []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
