[obm-l] Re: Ajuda numa demonstração
Olá, Artur! Muito obrigado pela ajuda. Um abraço! Luiz On Wednesday, November 21, 2012, Artur Costa Steiner wrote: Se nenhum dos primos p e q for igual a 2, então ambos são ímpares e a soma r é par 2. Logo, r não é primo. Artur Costa Steiner Em 17/11/2012, às 14:21, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.comjavascript:; escreveu: Olá, pessoal! Tudo bem? Alguém pode me ajudar nessa demonstração? Prove por contradição que dados dois números primos p e q tais que a soma p+q=r também é um número primo, então p ou q é 2. Já tentei fazer a prova, mas não consegui. Um abraço para todos. Luiz = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Ajuda numa demonstração
OK, abraços Artur Costa Steiner Em 21/11/2012, às 19:21, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com escreveu: Olá, Artur! Muito obrigado pela ajuda. Um abraço! Luiz On Wednesday, November 21, 2012, Artur Costa Steiner wrote: Se nenhum dos primos p e q for igual a 2, então ambos são ímpares e a soma r é par 2. Logo, r não é primo. Artur Costa Steiner Em 17/11/2012, às 14:21, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com escreveu: Olá, pessoal! Tudo bem? Alguém pode me ajudar nessa demonstração? Prove por contradição que dados dois números primos p e q tais que a soma p+q=r também é um número primo, então p ou q é 2. Já tentei fazer a prova, mas não consegui. Um abraço para todos. Luiz = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: Ajuda com uma demosnstração
Há algum tempo Artur Steiner mandou o problema abaixo para esta lista: Provar isto parece ser interessante (f^k significa a k-gésima derivada de f). Seja f:R -- R. Suponhamos que, para algum inteiro positivo n, f^(n+1) exista em R e que f e f^(n+1) sejam ambas limitadas em R. Para todo inteiro positivo k = n temos, entao, que f^k eh limiatada em R. Dizemos que uma função contínua g: R - R é *grande* se para todo M 0 existir x tal que |f(t)| M para todo t no intervalo [x,x+M]. Lema 1: Se f0 é contínua e limitada e sua primitiva f1 (i.e., f1´ = f0) é ilimitada então f1 é grande. Dem: Suponha sem perda de generalidade que |f0(t)| = 1 para todo t. Se f1 é ilimitada então para todo M existe x tal que |f1(x)| 3M. Como |f1'(t)| = 1 isto significa que |f(t)| M para todo t no intervalo [x,x+M]. Lema 2: Se f0 é grande então sua primitiva f1 é grande. Dem: Seja M 1. Seja x tal que |f0(t)| 4M para todo t em [x,x+4M]. Como f0 é contínua podemos supor sem perda que f0(t) 4M para todo t no intervalo. Suponha ainda que f1(x+2M) = 0 (o caso = é análogo). Pelo TVM f1(x+3M) = 4M^2 donde |f1(t)| M para todo t em [x+3M,x+4M]. Agora voltamos ao problema. Comece com f^(n+1) que é limitada e considere as funções f^(n), f^(n-1), ..., f^(1), f = f^(0). Pelos lemas, se alguma delas for ilimitada será grande e todas a partir daí serão grandes também. Como por hipótese f não é grande então todas são limitadas. N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Ajuda no problema da Eureka.
2006/7/19, Leonardo Borges Avelino [EMAIL PROTECTED]: Na Eureka 4 ou 5 existe uma solução interessantíssima para tal kestaum... abraçao Em 18/07/06, [EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Mensagem Original: Data: 12:29:11 18/07/2006 De: sjdmc [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Ajuda no problema da Eureka. Saudações aos amigos desta lista. Gostaria de obter ajuda em uma questão da Eureka n°=3. Exercicío proposto 18. Fui tentar obter ajudar com o programa Maple e me enrolei mais ainda na questão. Peço uma ajuda na questão . Seja a(alfa) a maior raiz real da equação x^3 -3x^2 + 1 = 0. Prove que [a^2004] é divísivel por 17. Obs: [y] é o único inteiro tal que [y]=y=[y]+1. Agradeço qualquer informação. []'s, Saulo. Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Onde está escrito prop é a (alfa) desculpa pelo erro. Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = uma solução para tal problema pode ser encontrada na eureka 4,caso vc não a possua ela esta disponivel no site da OBM,blz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Ajuda no problema da Eureka.
Na Eureka 4 ou 5 existe uma solução interessantíssima para tal kestaum... abraçao Em 18/07/06, [EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Mensagem Original: Data: 12:29:11 18/07/2006 De: sjdmc [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Ajuda no problema da Eureka. Saudações aos amigos desta lista. Gostaria de obter ajuda em uma questão da Eureka n°=3. Exercicío proposto 18. Fui tentar obter ajudar com o programa Maple e me enrolei mais ainda na questão. Peço uma ajuda na questão . Seja a(alfa) a maior raiz real da equação x^3 -3x^2 + 1 = 0. Prove que [a^2004] é divísivel por 17. Obs: [y] é o único inteiro tal que [y]=y=[y]+1. Agradeço qualquer informação. []'s, Saulo. Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Onde está escrito prop é a (alfa) desculpa pelo erro. Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Ajuda sobre espaços de Baire
Oi pessoal da lista, principalmente o Artur que me deu
umas dicas na seguinte demonstração:
Se X é um espaço de Baire e D é um subconjunto de X
que seja de 1a categoria (magro) e denso em X, então
não existe nenhuma função f:X-R contínua em D e
descontínua fora de D.
O Artur deu as seguintes dicas a seguir. Eu acho que
consegui provar a parte (1) (espero que esteja certo),
mas de fato me enrolei na (2), com aquele conceito de
oscilacao. Seria possivel ir um pouco mais longe? Ou
sugerir outra abordagem? Esta prova por oscilacao me
parece um tanto complicada, embora o Artur tenha
assegurado que, na realidade, é até simples:
Obrigada.
Ana
-Dicas do Artur
Mostre que:
1) Se X eh um espaco de Baire, entao subconjuntos
magros (isto eh, de
primeira categoria na classificacao de Baire) que
sejam densos em X naum sao
G-delta.
2) Se X eh um espaco topologico qualquer e f eh uma
funcao de X em R, entao
o conjunto dos elementos de X nos quais f eh continua
eh um G-delta.
(1) e (2) mostram que a proposicao eh verdadeira.
Para mostrar (1), uma forma facil eh mostrar que, em
espacos de Baire,
conjuntos que naum sejam magros mas tenham interior
vazio naum sao F-sigma.
Isto prova o desejado porque.
Para provar (2), acho que eh um pouco mais complicado
(pelo menos, ateh onde
eu consigo ver). Uma forma que me parece interessante
eh considerar o
conceito de oscilacao, o qual se aplica a funcoes
definidas em um espaco
topologico X e que tenha valores em R (na realidade,
os valores podem estar
em qualquer espaco metrico).
Se A eh um subconjunto de X, a oscilacao de f em A eh
W(A) = sup {|f(x1) -
f(x2)| : x1 e x2 estao em A}. Ou seja, W(A) eh o
diametro do conjunto
imagem f(A).
Se x estah em X, a oscilacao de f em x eh dada por
w(x) = inf {W(V) : V
pertence a U}, sendo U a colecao de todas as
vizinhancas de x. (Na
realidade, podemos nos restringir a vizinhancas
basicas, como bolas abertas
se X for um R^n. Neste caso, podemos inclusive nos
restringir aa colecao
enumeravel das bolas abertas de centro em x e raio
1/n, n natural.). Um
fato interessante, cuja demonstracao naum eh dificil e
eh instrutiva, eh que
f eh continua em x se, e somente se, w(x) = 0.
De posse destes conceitos, mostre entao que:
(2a) - para todo r0, o conjunto C(r) = {x em X : w(x)
r} eh aberto em X.
Seja C o conjunto dos elementos de X nos quais f eh
continua. Considere a
colecao de conjuntos abertos {C(1/n) : n eh natural}.
Uma certa operacao
realizada nesta colecao dah um resultado que tem a
cara de C (2b). Temos
entao que (2a) e (2b) provam 2, e acabou.
__
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[obm-l] RE: ajuda
2)Dado um triângulo ABC de lados a, b e c e perímetro 2p, mostre que:
a=(p.sen(A/2))/cos(B/2).cos(C/2)
OBSERVAÇÃO:
Houve um pequeno erro de transcrição, pois o correto seria:
a=[p.sen(A/2)]/[cos(B/2).cos(C/2)]
Olá rafaelc,
Segue uma demonstração possível para este teorema.
DEMONSTRAÇÃO POSSÍVEL:
Aplicando a Leis dos Senos num triângulo ABC qualquer, podemos concluir que:
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)
Pelas propriedades das proporções, podemos escrever ainda que:
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = (a + b + c)/[sen(A) + sen(B) + sen(C)]
Como 2p = a + b + c, teremos:
a/sen(A) = (2p)/[sen(A) + sen(B) + sen(C)]
Neste ponto, expressamos o lado a em função do perímetro e dos ângulos A,
B e C. Então, somente é necessário fazer transformações trigonométricas para
provar o teorema desejado.
Uma vez que:
sen(B) + sen(C) = 2.sen[(B + C)/2].cos[(B - C)/2] (prostaférese)
Teremos:
a = [2p.sen(A)]/{sen(A) + 2.sen[(B + C)/2].cos[(B - C)/2]}
Uma vez que:
A + B + C = 180° = B + C = 180° - A
Logo: sen[(B + C)/2] = sen[(180° - A)/2] = sen(90° - A/2) = cos(A/2)
sen(A) = 2.sen(A/2).cos(A/2) (arco duplo)
Teremos:
a = [2p.2.sen(A/2).cos(A/2)]/{2.sen(A/2).cos(A/2) + 2.cos(A/2).cos[(B -
C)/2]}
Como 0 A 180° = 0 A/2 90° = cos(A/2) != 0, podemos simplificar o
numerador e o denominador da expressão por 2.cos(A/2):
a = [2p.sen(A/2)]/{sen(A/2) + cos[(B - C)/2]}
Uma vez que:
A + B + C = 180° = A = 180° - (B + C)
sen(A/2) = sen{[180° - (B + C)]/2} = sen[90° - (B + C)/2] = cos[(B + C)/2]
Teremos:
a = [2p.sen(A/2)]/{cos[(B + C)/2] + cos[(B - C)/2]}
a = [2p.sen(A/2)]/[cos(B/2 + C/2) + cos(B/2 - C/2)]
a = [2p.sen(A/2)]/{[cos(B/2).cos(C/2) - sen(B/2).sen(C/2)] +
[cos(B/2).cos(C/2) + sen(B/2).sen(C/2)]}
a = [2p.sen(A/2)]/[2.cos(B/2).cos(C/2)]
a = [p.sen(A/2)]/[cos(B/2).cos(C/2)] c.q.d.
Abraços,
Rogério Moraes de Carvalho.
--
Rogério Moraes de Carvalho
Consultor e Instrutor de Tecnologias da Informação
[EMAIL PROTECTED]
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Re: [obm-l] Re: Ajuda²
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Hash: SHA1
Wallace Martins [EMAIL PROTECTED] said:
Fábio Dias Moreira escreve:
[...]
[EMAIL PROTECTED] said:
Queria ajuda da turma em algumas questões:
1) O produto das raízes do seguinte sistema
{X elevado a Logy + Y elevado a Logx = 200
{raíz de X elevado a Logy multiplicado por Y elevado a Logx = y
a) 1 b) 1000 c) 100 d ) 10
[...]
[...]
y = 1000
x = 1/10
x*y = 100.
[...]
Fábio,
por que x = 10^{-1} e não x = 10^{2/3}?
[...]
Porque a minha conta está errada -- obrigado pela correção.
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFAyIjYalOQFrvzGQoRAtBPAJ9UJJ360mcL5aDOMLuAqvKbjF2AKgCdGHYk
1UkX+adR5+ByJXW0StR4Xlo=
=7YnO
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: Ajuda²
Fábio Dias Moreira escreve:
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
[EMAIL PROTECTED] said:
Queria ajuda da turma em algumas questões:
1) O produto das raízes do seguinte sistema
{X elevado a Logy + Y elevado a Logx = 200
{raíz de X elevado a Logy multiplicado por Y elevado a Logx = y
a) 1 b) 1000 c) 100 d ) 10
[...]
x^log(y)+y^log(x) = 200
exp(log(x) * log(y)) + exp(log(y) * log(x)) = 200
log(x)*log(y) = log(100)
sqrt(x)^log(y)*y^log(x)=y
exp(log(x)*log(y)/2+log(y)*log(x)) = y
y = exp(log(10) + log(100))
y = 1000
x = 1/10
x*y = 100.
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira
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Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFAx2DLalOQFrvzGQoRAp9qAJwP+4eGJSzW+sB696BpoFXEznKeTgCcDo/r
lcAQPmtiQOyRc5kU3Hhtd2s=
=cPUE
-END PGP SIGNATURE-
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Fábio,
por que x = 10^{-1} e não x = 10^{2/3}?
=
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Re: [obm-l] Re: Ajuda²
Em 09 Jun 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
ola, as respostas que vc deu nao satisfazem as equaçoes dadas:
x=1/10;y=1000
logo, substituindo na 1a equaçao
(0,1)^3+(1000)^-1 é diferente de 200.
Um abraço, saulo.
Fábio Dias Moreira escreve:
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
[EMAIL PROTECTED] said:
Queria ajuda da turma em algumas questões:
1) O produto das raízes do seguinte sistema
{X elevado a Logy + Y elevado a Logx = 200
{raíz de X elevado a Logy multiplicado por Y elevado a Logx = y
a) 1 b) 1000 c) 100 d ) 10
[...]
x^log(y)+y^log(x) = 200
exp(log(x) * log(y)) + exp(log(y) * log(x)) = 200
log(x)*log(y) = log(100)
sqrt(x)^log(y)*y^log(x)=y
exp(log(x)*log(y)/2+log(y)*log(x)) = y
y = exp(log(10) + log(100))
y = 1000
x = 1/10
x*y = 100.
[]s,
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Fábio Dias Moreira
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Fábio,
por que x = 10^{-1} e não x = 10^{2/3}?
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--
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: AJUDA produtório
Ola Bernardo e demais colegas desta lista ... OBM-L, From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: AJUDA produtório Date: Wed, 11 Dec 2002 16:34:59 -0300 Eu acho que pode haver uma aresta a aparar vejam abaixo, mas o problema deve ficar bem pior. Eu posso estar errado, mas acho que talvez dê para garantir que um fator maior pode dividir esse produtório. Por exemplo, se houver 5 números, sabemos que uma das diferenças pares será múltipla de 4(pelo menos!) e então os fatores vão começar a aumentar mais rápido do que o mínimo das somas dos binomiais. Nao ! Voce nao esta errado ! Para perceber que voce esta correto, considere 5 numeros inteiros : X1, X2, X3, X4 e X5 Entao, pelo principio de Dirichlet, ao menos tres deles terao a mesma paridade. Sem perda de generalidade podemos supor que sejam todos impares, isto e : 2A+1 2B+1 2C+1 para alguns A, B e C inteiros. entao : P = ... (2A+1-2B-1)*(2A+1-2C-1)*(2B+1-2C-1) ... P = ... (2^3)*(A-B)*(A-C)*(B-C)... Aqui ha duas hipotese possiveis, a saber : 1) A e B tem a mesma paridade = (A-B) e multiplo de 2 Logo, surge um novo fator. 2) A e B nao tem a mesma paridade = C tera a paridade de A e, portanto, (A-C) e multiplo de 2 OU C tera a paridade de B e, portanto, (B-C) e multiplo de 2 Vemos que sob qualquer das hipoteses possiveis surgira um novo fator 2, aumentando assim o maior valor que sempre dividira o produtorio. Bom, esta e a ultima descida possivel, valendo evidentemente para os demais fatores primos. Como exprressar isto matematicamente ? Um Abraco Paulo Santa Rita 4,1901,111202 Até mais, Bernardo. --- Com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 3,1458,101202 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: AJUDA produtório
Eu acho que pode haver uma aresta a aparar vejam abaixo, mas o problema
deve ficar bem pior.
-- Mensagem original --
Ola Andre e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Tudo Legal ? Estou tomando a liberdade de remeter esta resposta tambem
para
a lista OBM-L, pois o problema tambem pode ser do interesse de outras
pessoas.
Eu nao conhece o problema a que voce se refere, citado pelo Prof da UFF.
O
problema que o Frederico me propos era o seguinte :
Considere N inteiros I1, I2, I3, ..., In tais que Ii Ij sempre
i j e seja P o produto de todas as diferencas da forma (Ij - Ii)
nas quais i j. Caracterize o maior natural D que sempre dividira P,
Quais quer que sejam os Ii's escolhidos.
A IDEIA DA SOLUCAO : Descobrir a decomposicao de D em fatores primos.
Vou
fazer alguns casos para voce assimilar o raciocinio. Depois passo a
generalizacao.
FATOR PRIMO 2 :
Cada um dos Ii ou e congruo a 0 ou e congruo a 1 modulo 2, Isto e,
ou Ii==0(mod2) ou Ii==1(mod2), . Segue que os conjuntos :
C0 = {conjunto dos Ii tais que Ii==0(mod2) }
C1 = {conjunto dos Ii tais que Ii==1(mod2) }
Estao bem definidos e sao, evidentemente, disjuntos, pois um inteiro
qualquer nao pode ser, simultanemanete, congruo a 0 e a 1. Mais ainda,
os
conjuntos C0 e C1 constituem uma particao de {I1, I2, ...,In}, pois :
Co intersecao C1 = vazio
C0 uniao C1 = { I1, I2, ..., In }
Portanto, se chamarmos o numero de elementos de C0 e C1, respectivamente,
de
E0 e E1, teremos :
E0 + E1 = numero de elementos de {I1, I2, ...,In}
E0 + E1 = N
Agora, pense assim : Uma diferenca qualquer entre dois inteiros de
{I1,I2,...,In} so pode ser uma diferenca ENTRE DOIS INTEIROS DE C0, ENTRE
DOIS INTEIROS DE C1 ou ENTRE UM INTEIROS DE C0 E UM INTEIRO DE C1.
Nos dois primeiros casos o resultado sera um multiplo de 2, no terceiro
caso
nao. Segue que haverao tantas diferencas mutiplos de 2 quanto forem a soma
das diferencas que se poderao fazer SOMENTE COM ELEMENTOS DE C0 e SOMENTE
COM ELEMENTOS DE C1.
1) Pelo que vimos, C0 tem E0 elementos. Segue que BINOM(E0,2) e o total
de
diferencas que se pode fazer com os seus elementos de C0 e que atendem
as
condicoes do problema.
2) Igualmente, C1 tem E1 elementos. Segue que BINOM(E1,2) e o total de
diferencas que se pode fazer com os seus elementos de C1 e que atendem
as
condicoes do problema.
Portanto,
S = BINOM(E0,2)+ BINOM(E1,2)
e o total de diferencas MULTIPLO DE 2 que sao geradas quando, ao
escolhermos os inteiros I1, I2, ..., In E0 desses inteiros forem congruos
a o modulo 2 e E1 deles for congruo a 1 modulo 2.
Bom, ate aqui acho que esta bem claro. Acho mesmo que fui prolixo. Mas,
vamos la.
Nos nao sabemos como sera a escolha dos Ii ... Alguem pode escolher de
forma
que E0=0 e E1=N, ou E0=1 e E1=N-1, ..., ou E0=N e E1=0. Todavia, independe
da forma como a pessoa escolher os Ii, a formula S acima dara o numero
de
fatores 2 que, com certeza, ira parecer ... Portanto, se tomarmos o MINIMO
QUE AQUELA EXPRESSAO ASSUME quando E0 e E1 assumem todos os valores
possiveis - de (E0,E1)=(N,0) ate (E0,E1)=(0,N)-NAO DEPENDEREMOS MAIS DA
ESCOLHA DOS Ii's.
Deve ter ficado claro, agora, que :
S2 = MIN {BINOM(E0,2)+ BINOM(E1,2), E0+E1=N }
E a MAIOR POTENCIA de 2 que SEMPRE DIVIDIRA P, QUAISQUER QUE SEJAM OS
N
INTEIROS I1, I2, ..., In ESCOLHIDOS ( Ii Ij se i j )
Eu posso estar errado, mas acho que talvez dê para garantir que um fator
maior pode dividir esse produtório. Por exemplo, se houver 5 números, sabemos
que uma das diferenças pares será múltipla de 4(pelo menos!) e então os
fatores vão começar a aumentar mais rápido do que o mínimo das somas dos
binomiais.
Eu acho(e esse acho é bem mais arriscado) que talvez dê para garantir que
o maior número que divide P é o produtório de x!(fatorial de x) de um
até n (ou seja: 1!*2!*3!*4!*...*n!). Se alguém tiver certeza, confirme (ou
dê um contra-exemplo), por favor. (Talvez essa propriedade só funcione se
os números forem 1, 2, 3, 4, ..., n )
Até mais,
Bernardo.
---
Com os melhores votos
de paz profunda, sou
Paulo Santa Rita
3,1458,101202
--
Use o melhor sistema de busca da Internet
Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
[obm-l] Re: AJUDA produtório
Ola Andre e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Tudo Legal ? Estou tomando a liberdade de remeter esta resposta tambem para
a lista OBM-L, pois o problema tambem pode ser do interesse de outras
pessoas.
Eu nao conhece o problema a que voce se refere, citado pelo Prof da UFF. O
problema que o Frederico me propos era o seguinte :
Considere N inteiros I1, I2, I3, ..., In tais que Ii Ij sempre
i j e seja P o produto de todas as diferencas da forma (Ij - Ii)
nas quais i j. Caracterize o maior natural D que sempre dividira P,
Quais quer que sejam os Ii's escolhidos.
A IDEIA DA SOLUCAO : Descobrir a decomposicao de D em fatores primos. Vou
fazer alguns casos para voce assimilar o raciocinio. Depois passo a
generalizacao.
FATOR PRIMO 2 :
Cada um dos Ii ou e congruo a 0 ou e congruo a 1 modulo 2, Isto e,
ou Ii==0(mod2) ou Ii==1(mod2), . Segue que os conjuntos :
C0 = {conjunto dos Ii tais que Ii==0(mod2) }
C1 = {conjunto dos Ii tais que Ii==1(mod2) }
Estao bem definidos e sao, evidentemente, disjuntos, pois um inteiro
qualquer nao pode ser, simultanemanete, congruo a 0 e a 1. Mais ainda, os
conjuntos C0 e C1 constituem uma particao de {I1, I2, ...,In}, pois :
Co intersecao C1 = vazio
C0 uniao C1 = { I1, I2, ..., In }
Portanto, se chamarmos o numero de elementos de C0 e C1, respectivamente, de
E0 e E1, teremos :
E0 + E1 = numero de elementos de {I1, I2, ...,In}
E0 + E1 = N
Agora, pense assim : Uma diferenca qualquer entre dois inteiros de
{I1,I2,...,In} so pode ser uma diferenca ENTRE DOIS INTEIROS DE C0, ENTRE
DOIS INTEIROS DE C1 ou ENTRE UM INTEIROS DE C0 E UM INTEIRO DE C1.
Nos dois primeiros casos o resultado sera um multiplo de 2, no terceiro caso
nao. Segue que haverao tantas diferencas mutiplos de 2 quanto forem a soma
das diferencas que se poderao fazer SOMENTE COM ELEMENTOS DE C0 e SOMENTE
COM ELEMENTOS DE C1.
1) Pelo que vimos, C0 tem E0 elementos. Segue que BINOM(E0,2) e o total de
diferencas que se pode fazer com os seus elementos de C0 e que atendem as
condicoes do problema.
2) Igualmente, C1 tem E1 elementos. Segue que BINOM(E1,2) e o total de
diferencas que se pode fazer com os seus elementos de C1 e que atendem as
condicoes do problema.
Portanto,
S = BINOM(E0,2)+ BINOM(E1,2)
e o total de diferencas MULTIPLO DE 2 que sao geradas quando, ao
escolhermos os inteiros I1, I2, ..., In E0 desses inteiros forem congruos
a o modulo 2 e E1 deles for congruo a 1 modulo 2.
Bom, ate aqui acho que esta bem claro. Acho mesmo que fui prolixo. Mas,
vamos la.
Nos nao sabemos como sera a escolha dos Ii ... Alguem pode escolher de forma
que E0=0 e E1=N, ou E0=1 e E1=N-1, ..., ou E0=N e E1=0. Todavia, independe
da forma como a pessoa escolher os Ii, a formula S acima dara o numero de
fatores 2 que, com certeza, ira parecer ... Portanto, se tomarmos o MINIMO
QUE AQUELA EXPRESSAO ASSUME quando E0 e E1 assumem todos os valores
possiveis - de (E0,E1)=(N,0) ate (E0,E1)=(0,N)-NAO DEPENDEREMOS MAIS DA
ESCOLHA DOS Ii's.
Deve ter ficado claro, agora, que :
S2 = MIN {BINOM(E0,2)+ BINOM(E1,2), E0+E1=N }
E a MAIOR POTENCIA de 2 que SEMPRE DIVIDIRA P, QUAISQUER QUE SEJAM OS N
INTEIROS I1, I2, ..., In ESCOLHIDOS ( Ii Ij se i j )
FATOR PRIMO 3 :
Voce aqui e identico ...
Cada um dos Ii ou e congruo a 0 ou e congruo a 1 ou e congruo a 2 modulo 3,
Isto e, ou Ii==0(mod3) ou Ii==1(mod3) ou Ii==1(mod3) . Segue que os
conjuntos :
C0 = {conjunto dos Ii tais que Ii==0(mod3) }
C1 = {conjunto dos Ii tais que Ii==1(mod3) }
C2 = {conjunto dos Ii tais que Ii==2(mod3) }
Estao bem definidos e sao, evidentemente, disjuntos, pois um inteiro
qualquer nao pode ser, simultanemanete, pertencer a dois ou mais dos
conjuntos acima. Mais ainda, os conjuntos C0, C1 e C2 constituem uma
particao de
{ I1, I2, I3 ..., In }, pois :
Ci intersecao Cj = vazio, para quaisquer i ,j em { 0.1.2 } com i # j
C0 uniao C1 uniao C2 = { I1, I2, I3 ..., In }
Portanto, se chamarmos o numero de elementos de C0, C1 e C2 ,
respectivamente, de E0, E1 e E2, teremos :
E0 + E1+E2 = numero de elementos de {I1, I2, ...,In}
E0 + E1+ E2 = N
E0, E1, E2 inteiros nao-negativos
Agora, basta re-pensar assim : Uma diferenca qualquer entre dois inteiros de
{I1,I2,...,In} so pode ser uma diferenca ENTRE DOIS INTEIROS DE C0, ENTRE
DOIS INTEIROS DE C1 ou ENTRE DOIS INTEIROS DE C2 OU ENTRE UM INTEIROS DE Ci
E UM INTEIRO DE Cj com I # J e I, J em {0,1,2}
Nos tres primeiros casos o resultado sera um multiplo de 3, nos demais casos
nao. Segue que haverao tantas diferencas mutiplos de 3 quanto forem a soma
das diferencas que se poderao fazer SOMENTE COM ELEMENTOS DE C0 e SOMENTE
COM ELEMENTOS DE C1 e SOMENTE COM OS ELEMENTOS DE C2.
1) Pelo que vimos, C0 tem E0 elementos. Segue que BINOM(E0,2) e o total de
diferencas que se pode fazer com os seus elementos de C0 e que atendem as
condicoes do problema.
2) Igualmente, C1 tem E1 elementos. Segue que BINOM(E1,2) e o total de
diferencas que se pode fazer com os seus
RE: ajuda em análise
Esse eh um exercicio bem bonito que eu vi pela primeira vez no livro de Analise do Elon A ideia eh simples, mas mais facil de explicar com uma figurinha Bom, eu explico a solucao e voce faz a figurinha, que tem os conjuntos A e B, setas de A para B que representam f e setas de B para A que representam G. :) Dado um elemento a0 de A, veja se hah um elemento b0 de B tal que g(b0)=a; entao veja se hah um elemento a1 de A tal que f(a1)=b0; entao veja se hah um elemento b1 de B tal que g(b1)=a1; e assim por diante... Basicamente, voce cria uma sequencia de elementos que estao alternadamente em A e B usando alternadamente as inversas de f e g enquanto isso for possivel (na figurinha, dah um zigue-zague no sentido contrario ao das setas). Note que, como f e g sao injetivas, a escolha desta cadeia a partir de um certo elemento eh unica. Tres coisas podem acontecer: i) Essa cadeia pode terminar num elemento an de maneira que nao existe bn em B tal que g(bn)=an (talvez ateh logo no primeiro elemento a0). Neste caso, defina h em toda a cadeia assim: h(a_i)=f(a_i). Note que eu cobri todos os b's desta cadeia, e defini h para todos os a's dela... ii) Essa cadeia pode terminar num elemento bn de maneira que nao existe an em A tal que f(an)=bn. Neste caso, defina h em toda a cadeia assim: h(a_i)=g^(-1)(a_i)=b_i. Note que eu cobri todos os b's desta cadeia de novo, e todos os a's foram usados pois todos eles tem inversos pela g. iii) Essa cadeia pode nao terminar nunca (sendo ciclica ou nao). Neste caso, faca como quiser... Por exemplo, defina h(a_i)=f(a_i) como no caso (i). Eu tambem cobri todos os a's e b's aqui. Pronto. Essa funcao h eh agora uma bijecao de A em B. De fato, todo elemento b de B estah numa destas cadeias (na cadeia iniciada por g(b), por exemplo), e portanto ela eh sobrejetiva. A injecao segue da unicidade da cadeia: se voce comecar de b em B, a cadeia iniciada por g(b) eh unica, e deve terminar num elemento de A ou de B, e portanto obedece apenas a um dos casos anteriores. Minha explicacao eh mais complicada do que a ideia Funcionou? Abraco, Ralph -Original Message- From: haroldo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: 1/6/02 5:59 PM Subject: En: ajuda em análise -Mensagem original- De: haroldo [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 6 de Janeiro de 2002 18:34 Assunto: ajuda em análise Saudações a todos . Alguém poderia me ajudar na seguinte questão : Dados os conjuntos A e B , suponha que existam funções injetivas f: A - B e g: B-A . Prove que existe uma bijeÇão h:A-B.
Re: ajuda
Para n real, ha que tomar cuidado com o expoente. Se o expoente estiver entre 0 e 1 (com x-1), troca o sentido da desigualdade. Para valores de x reais negativos, ha que analisar: nunca fiz. JP - Original Message - From: Rodrigo Villard Milet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, December 12, 2001 12:24 AM Subject: Re: ajuda Sim está certo para n natural. No entanto podemos generalizar a demonstração com n real :) Abraços, Villard -Mensagem original-De: Alexandre F. Terezan [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Terça-feira, 11 de Dezembro de 2001 17:56Assunto: Re: ajuda No embalo do que o JP disse, de que só é "bom" usar o que demonstramos, e como eu useia desigualdade de Bernoulli na minha solucao, a demonstracao abaixo está correta? (1+x)^n = 1 + nx, para x real maior que -1, diferente de zero, e n natural maior que 1. Para n = 2 -- (1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 1 + 2x (VERDADEIRO) Inducao: Se vale para n, entao (1+x)^n = 1 + nx. Mas (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x) (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2 1 + (n+1)x Ou seja, se vale para n natural maior que 1, vale para (n+1) também Como vale para n = 2, entao vale para todo n natural maior que 1. c.q.d. -Mensagem Original- De: Augusto César Morgado Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 11 de Dezembro de 2001 11:32 Terezan Assunto: Re: ajuda Não há dúvida de que foi linda. Mas, supondo o "sabemos que", bastaria fazer n=1. Alexandre F. Terezan wrote: 00c301c181e8$703c99a0$[EMAIL PROTECTED]" type="cite"> Vou tentar uma sem usar cálculo. Desigualdade de Bernoulli: (1 + a)^n = 1 + an, a -1 e n natural. Sabemos que e^x (1 + x/n)^n, para todo n Seja a = x/n e^x (1 + x/n)^n -- e^x (1 + a)^n -- e^x 1 + an -- e^x 1 + x -Mensagem Original- De:[EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 00:12 Terezan Assunto: ajuda Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ?
Re: ajuda
Oi Alexandre e demais colegas da Lista, A sua demonstracao esta correta. Nela voce usa o que comumente se chama de Principio da Inducao. Se voce ler o Livro do Paul Halmos, Teoria Ingenua dos Conjuntos, voce tera uma compreensao mais profunda deste principio e vera como ele pode ser demonstrado, transformando-se assim num Teorema. A bem da verdade e necessario que se destaquer que a sua demonstracao nao pode ser generalizada para todo N real. Para ver isso, suponha N=1/2. Entao : raiz_2(1+x) = 1 + x/2 = 1 + x = 1 + x + (x/2)^2 E verdadeira a conclusao acima ? Um abraco Paulo Santa Rita 4,1254,121101 From: Alexandre F. Terezan [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: ajuda Date: Tue, 11 Dec 2001 17:32:04 -0200 No embalo do que o JP disse, de que só é bom usar o que demonstramos, e como eu usei a desigualdade de Bernoulli na minha solucao, a demonstracao abaixo está correta? (1+x)^n = 1 + nx, para x real maior que -1, diferente de zero, e n natural maior que 1. Para n = 2 -- (1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 1 + 2x (VERDADEIRO) Inducao: Se vale para n, entao (1+x)^n = 1 + nx. Mas (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x) (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2 1 + (n+1)x Ou seja, se vale para n natural maior que 1, vale para (n+1) também Como vale para n = 2, entao vale para todo n natural maior que 1. c.q.d. -Mensagem Original- De: Augusto César Morgado Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 11 de Dezembro de 2001 11:32 Terezan Assunto: Re: ajuda Não há dúvida de que foi linda. Mas, supondo o sabemos que, bastaria fazer n=1. Alexandre F. Terezan wrote: Vou tentar uma sem usar cálculo. Desigualdade de Bernoulli: (1 + a)^n = 1 + an, a -1 e n natural. Sabemos que e^x (1 + x/n)^n, para todo n Seja a = x/n e^x (1 + x/n)^n -- e^x (1 + a)^n -- e^x 1 + an -- e^x 1 + x -Mensagem Original- De:[EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 00:12 Terezan Assunto: ajuda Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ? _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br
Re: ajuda (função convexa)
Sauda,c~oes,
Pegue a função f(x)=y=x^2. f(x) é estritamente
convexa pois f(x)'' = 2 0. E toda reta tangente
de f(x) é um suporte para a função pois f(x)
fica sempre acima da tangente. Em particular,
veja isso no ponto (0,0) e na reta y=0.
Isto acontece para toda função estritamente convexa (ec).
Como f(x)=e^x é ec pois f(x)''=e^x 0, então f(x) ficará
acima de qualquer tangente, sendo igual naturalmente
no ponto de tangência. Como f(x)'=e^x, um bom candidato
para o ponto de tangência é o ponto (0,1). Assim obtemos
f(x)=e^x 1+x, sendo igual no ponto x=0.
Que desigualdade podemos imaginar para f(x)=\sqrt{x} ?
f(x) é convexa?
Nada como uma figura para fixar as idéias.
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Arnaldo [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]; [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Terça-feira, 11 de Dezembro de 2001 16:09
Assunto: Re: ajuda
Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ?
Uma maneira é ver que a reta y = 1 + x é a reta tangente ao gráfico de y
=
e^x no ponto (0,1). De fato, tendo que y' = e^x (derivada de y = e^x )
representa
o coeficiente angular da reta tangente no ponto (x,y), para o ponto (0,1)
temos
y'=1 e portanto a reta tangente que passa por (0,1) é dada por x = y -1 =
y
= 1 + x. Isto já conclui a demonstração, mas para ser mais preciso pode-se
provar
que todos os pontos diferentes de (0,1) são externos a y = e^x, para isto
basta
usar contradição, supondo que exista um ponto de y = 1 + x numa região
onde
y = e^x.
Uma abraço e espero que isto tenha ajudado.
http://www.ieg.com.br
Re: ajuda
No h dvida de que foi linda. Mas, supondo o "sabemos que", bastaria fazer n=1. Alexandre F. Terezan wrote: 00c301c181e8$703c99a0$[EMAIL PROTECTED]"> Vou tentar uma sem usar clculo. Desigualdade de Bernoulli: (1 + a)^n = 1 + an, a -1 e n natural. Sabemos que e^x (1 + x/n)^n, para todo n Seja a = x/n e^x (1 + x/n)^n -- e^x (1 + a)^n -- e^x 1 + an -- e^x 1 + x -Mensagem Original- De:[EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 10 de Dezembrode 2001 00:12 Terezan Assunto: ajuda Como se demonstra adesigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ?
Re: ajuda
On Mon, 10 Dec 2001, Eduardo Azevedo wrote: A área total da esfera é 4(pi)*r^2 o volume (4/3)pi*r^3 De onde vem isso: (volume da interseção)/(volume total) = (área da interseção)/(área total) ?? logo V=[(4/3)pi*r^3]*S/[4(pi)*r^2] V= 1/3 * SR Vinicius
Re: ajuda
Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ? Uma maneira é ver que a reta y = 1 + x é a reta tangente ao gráfico de y = e^x no ponto (0,1). De fato, tendo que y' = e^x (derivada de y = e^x ) representa o coeficiente angular da reta tangente no ponto (x,y), para o ponto (0,1) temos y'=1 e portanto a reta tangente que passa por (0,1) é dada por x = y -1 = y = 1 + x. Isto já conclui a demonstração, mas para ser mais preciso pode-se provar que todos os pontos diferentes de (0,1) são externos a y = e^x, para isto basta usar contradição, supondo que exista um ponto de y = 1 + x numa região onde y = e^x. Uma abraço e espero que isto tenha ajudado. http://www.ieg.com.br
Re: ajuda
No embalo do que o JP disse, de que só é "bom" usar o que demonstramos, e como eu useia desigualdade de Bernoulli na minha solucao, a demonstracao abaixo está correta? (1+x)^n = 1 + nx, para x real maior que -1, diferente de zero, e n natural maior que 1. Para n = 2 -- (1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 1 + 2x (VERDADEIRO) Inducao: Se vale para n, entao (1+x)^n = 1 + nx. Mas (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x) (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2 1 + (n+1)x Ou seja, se vale para n natural maior que 1, vale para (n+1) também Como vale para n = 2, entao vale para todo n natural maior que 1. c.q.d. -Mensagem Original- De: Augusto César Morgado Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 11 de Dezembro de 2001 11:32 Terezan Assunto: Re: ajuda Não há dúvida de que foi linda. Mas, supondo o "sabemos que", bastaria fazer n=1. Alexandre F. Terezan wrote: 00c301c181e8$703c99a0$[EMAIL PROTECTED] type="cite"> Vou tentar uma sem usar cálculo. Desigualdade de Bernoulli: (1 + a)^n = 1 + an, a -1 e n natural. Sabemos que e^x (1 + x/n)^n, para todo n Seja a = x/n e^x (1 + x/n)^n -- e^x (1 + a)^n -- e^x 1 + an -- e^x 1 + x -Mensagem Original- De:[EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 00:12 Terezan Assunto: ajuda Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ?
Re: ajuda
Sim est certo para n natural. No entanto podemos generalizar a demonstrao com n real :) Abraos, Villard -Mensagem original-De: Alexandre F. Terezan [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Tera-feira, 11 de Dezembro de 2001 17:56Assunto: Re: ajuda No embalo do que o JP disse, de que s bom usar o que demonstramos, e como eu useia desigualdade de Bernoulli na minha solucao, a demonstracao abaixo est correta? (1+x)^n = 1 + nx, para x real maior que -1, diferente de zero, e n natural maior que 1. Para n = 2 -- (1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 1 + 2x (VERDADEIRO) Inducao: Se vale para n, entao (1+x)^n = 1 + nx. Mas (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x) (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2 1 + (n+1)x Ou seja, se vale para n natural maior que 1, vale para (n+1) tambm Como vale para n = 2, entao vale para todo n natural maior que 1. c.q.d. -Mensagem Original- De: Augusto Csar Morgado Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Tera-feira, 11 de Dezembro de 2001 11:32 Terezan Assunto: Re: ajuda No h dvida de que foi linda. Mas, supondo o sabemos que, bastaria fazer n=1. Alexandre F. Terezan wrote: 00c301c181e8$703c99a0$[EMAIL PROTECTED]> Vou tentar uma sem usar clculo. Desigualdade de Bernoulli: (1 + a)^n = 1 + an, a -1 e n natural. Sabemos que e^x (1 + x/n)^n, para todo n Seja a = x/n e^x (1 + x/n)^n -- e^x (1 + a)^n -- e^x 1 + an -- e^x 1 + x -Mensagem Original- De:[EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 00:12 Terezan Assunto: ajuda Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ?
Re: ajuda
Uma alternativa: Mais ou menos pelos mesmos fatos trazidos pelo Rodrigo, a reta y=1+x eh a tangente a curva y=e^x no ponto (0;1), e estah abaixo da curva (nos outros pontos) justamente porque f''(x)=e^x0 para todo x. Mais uma alternativa : Para x= -1, nao tem graca, pois e^x0= 1+x. Para x-1, a desigualdade equivale a xln(1+x), que decorre de que a area da regiao acima do eixo X, abaixo da curva y=1/x, e entre as abscissas 1 e 1+x (considerar os casos x=0 e -1x0) nao eh inferior a do retangulo de base x (em valor absoluto) e altura 1. JP - Original Message - From: Rodrigo Villard Milet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 10, 2001 12:47 AM Subject: Re: ajuda Use um pouquinho de Cálculo ... Considere f(x) = e^x - (1+x). Daí, f `(x) = e^x - 1. f ` (x) = 0 implica x=0. É fácil notar que x=0 é minimante de f, pois f ``(0) = 1 0. Então f(0) = 0 é o menor valor que f(x) assume, logo f(x) = e^x - (1+x) =0, e segue-se que e^x = 1+x :)) Abraços, Villard -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 00:36Assunto: ajuda Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ?
Re: ajuda
A área total da esfera é 4(pi)*r^2 o volume (4/3)pi*r^3 (volume da interseção)/(volume total) = (área da interseção)/(área total) logo V=[(4/3)pi*r^3]*S/[4(pi)*r^2] V= 1/3 * SR - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, December 06, 2001 8:27 AM Subject: ajuda Um cone de vértice no centro de uma esfera de raio R intersecta a superfície esférica segundo uma região de área S. A interseção do cone com a esfera tem volume igual a: a) 1 / 2 . pi. SR b) 1 / 3 . pi . SR c) 1 / 2 . SR d) 1 / 3 . SR
Re: ajuda
Use um pouquinho de Clculo ... Considere f(x) = e^x - (1+x). Da, f `(x) = e^x - 1. f ` (x) = 0 implica x=0. fcil notar que x=0 minimante de f, pois f ``(0) = 1 0. Ento f(0) = 0 o menor valor que f(x) assume, logo f(x) = e^x - (1+x) =0, e segue-se que e^x = 1+x :)) Abraos, Villard -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 00:36Assunto: ajuda Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ?
Re: ajuda
Olá, sem querer ficar fazendo contas (já que foram dadas as alternativas :-)), pensei no seguinte: no caso extremo (degenerado), quando o cone se transforma num plano que corta a esfera ao meio, temos: S=2*pi*R^2 (metade da área da esfera) , e V=2/3*pi*R^3 (metade do volume da esfera) De onde: V = 1/3*R*S, isto é, resposta letra D. Que tal? [ ]s Guilherme Ottoni [EMAIL PROTECTED] wrote: Um cone de vértice no centro de uma esfera de raio R intersecta a superfície esférica segundo uma região de área S. A interseção do cone com a esfera tem volume igual a: a) 1 / 2 . pi. SR b) 1 / 3 . pi . SR c) 1 / 2 . SR d) 1 / 3 . SR
Re: ajuda (ERRATA)
On Mon, 3 Dec 2001, Vinicius José Fortuna wrote: Ops!, Cometi alguns equívocos: 2) Qual o 496o termo da sequencia 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...? Nessa sequência, o último número n aparece na posição n(n+1)/2, que é o somatório de 1 a n. Então para descobrirmos o 496o. termo, devemos resolver a inequação: x(x+1)/2 = 496, x0 Isso dá x = 31,5 Portanto o 496o. termo da sequência é 32 Errei as contas. É x=31. Então o 496o. termo é 31. 3) No interior do triângulo ABC, equilátero, existe um ponto P tal que AP = 6, BP = 8 e CP= 10. Determine o perímetro do triângulo ABC. Se eu não me engano, existe um teorema que diz que a soma das distâncias de qquer ponto interior de um triângulo equilátero é constante e igual a 2 x tamamnho do lado. Alguém pode confirmar isso pra mim? Na verdade o teorema que eu estava pensando diz que a soma distâncias de qquer ponto interior a todos os lados é constante e igual à altura. Mas aí não dá para resolver de forma tão direta. :-( Até mais Vinciius
Re: ajuda (ERRATA)
Resposta do problema 3: (XYZ) representa o angulo entre os segmentos de reta XY e YZ. Seja AQB um triângulo com AQ = 6, BQ = 10, AB = k, com Q exterior a ABC. Ora, AQB é semelhante a APC (na verdade, sao até congruentes), donde: (BAQ) = (CAP) (I) Como o triângulo ABC é equilátero: (CAB) = 60 graus = (CAP) + (PAB)(II) De I e II vem: 60 graus = (CAP) + (PAB) = (BAQ) + (PAB) = (PAQ) (III) Do triângulo APQ vem; (AQP) + (QPA) + (PAQ) = 180 graus (IV) Mas AQ = AP, logo: (AQP) = (QPA) = x(V) De III, IV e V, vem: x + x + 60 = 180 -- 2x = 120 -- x = 60 graus, donde: O triângulo AQP é equilátero de lado 6 -- AQ = AP = PQ = 6 Como PQ = 6, BP = 8 e BQ = 10, aplicamos a lei dos cossenos em (BPQ): 10^2 = 6^2 + 8^2 - 2*6*8*cos((BPQ)) 2*6*8*cos((BPQ)) = 0 -- cos((BPQ)) = 0 (VI) Como (BPQ) está entre 0 e 180 graus (exclusos), de VI podemos concluir que: (BPQ) = 90 graus (BPA) = (BPQ) + (APQ) = 90 + 60 = 150 graus Aplicando a lei dos cossenos em (BPA), vem: k^2 = 6^2 + 8^2 - 2*6*8*cos(150) k^2 = 36 + 64 - 96 * (-sqrt3)/2 = 100 + 48sqrt3 k = sqrt(100 + 48sqrt3) ~= 13,53286514 Espero ter ajudado, [ ]'s Alexandre Terezan -Mensagem Original- De: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 4 de Dezembro de 2001 13:02 Terezan Assunto: Re: ajuda (ERRATA) On Mon, 3 Dec 2001, Vinicius José Fortuna wrote: Ops!, Cometi alguns equívocos: 2) Qual o 496o termo da sequencia 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...? Nessa sequência, o último número n aparece na posição n(n+1)/2, que é o somatório de 1 a n. Então para descobrirmos o 496o. termo, devemos resolver a inequação: x(x+1)/2 = 496, x0 Isso dá x = 31,5 Portanto o 496o. termo da sequência é 32 Errei as contas. É x=31. Então o 496o. termo é 31. 3) No interior do triângulo ABC, equilátero, existe um ponto P tal que AP = 6, BP = 8 e CP= 10. Determine o perímetro do triângulo ABC. Se eu não me engano, existe um teorema que diz que a soma das distâncias de qquer ponto interior de um triângulo equilátero é constante e igual a 2 x tamamnho do lado. Alguém pode confirmar isso pra mim? Na verdade o teorema que eu estava pensando diz que a soma distâncias de qquer ponto interior a todos os lados é constante e igual à altura. Mas aí não dá para resolver de forma tão direta. :-( Até mais Vinciius
Re: ajuda
Estou com 4 problemas que não estou conseguindo resolver, se puderem me ajudar, desde já agradeço Bom, essa mensagem é de outubro, mas acho que ainda vale a pena responder. 1) Qual o número de soluções (x,y) da equação 2^(2x) - 3^(2y) = 55, em que x e y são números inteiros? Essa já responderam na lista. 2) Qual o 496o termo da sequencia 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...? Nessa sequência, o último número n aparece na posição n(n+1)/2, que é o somatório de 1 a n. Então para descobrirmos o 496o. termo, devemos resolver a inequação: x(x+1)/2 = 496, x0 Isso dá x = 31,5 Portanto o 496o. termo da sequência é 32 3) No interior do triângulo ABC, equilátero, existe um ponto P tal que AP = 6, BP = 8 e CP= 10. Determine o perímetro do triângulo ABC. Se eu não me engano, existe um teorema que diz que a soma das distâncias de qquer ponto interior de um triângulo equilátero é constante e igual a 2 x tamamnho do lado. Alguém pode confirmar isso pra mim? Dessa forma ficaria fácil. 2.L = 6+8+10 = 24 = L = 12 Então o perímetro seria 36. Bom, tenho que confirmar o teorema. Faz tempo que eu vi isso e não me lembrou onde que foi. 4) Em que proporção deve-se misturar duas soluções de água oxigenada, uma a 30% e outra a 3% para se obter uma mistura a 12%? Essa é mais simples: 30%.X + 3%.Y = 12%(X+Y) 18%.X = 9%.Y 2.X = Y Ou seja, a proporção é 1:2 Até mais [ Vinicius José Fortuna ] [ [EMAIL PROTECTED] ] [ Visite www.viniciusf.cjb.net ]
Re: ajuda
Delta S = 200 3x4,5 = 13,5 13,5t = 11t + 200 2,5t= 200 t= 200/2.5 t= 80 80 x 13,5 = 1080 passos [EMAIL PROTECTED] wrote: Um filho sai correndo e quando deu 200 passos o pai parte ao seu encalço. Enquanto o pai dá 3 passos, o filho dá 11 passos, porém 2 passos do pai valem 9 do filho. Quantos passos deverá dar o pai para alcançar o filho?
Re: ajuda
seja f a posicao do filho apos t unidades de tempo entao f = 200 + 11 * t ou seja, comeca com 200 passos de vantagem e anda a 11 passos por unidade de tempo. 2 passos do pai equivalem a 9 do filho, logo 3 do pai equivalem a 27/2 do filho. seja p a posicao do pai apos t unidades de tempo entao p = (27/2) * t para igualar as posicoes, f = p 200 + 11 * t = (27/2) * t (5/2) * t = 200 t = 80 logo o filho andou 80 * 11 = 880 passos durante este tempo o pai andou (27/2) * 80 = 1080 passos ( do filho ) durante este mesmo tempo ( 1080 = 880 + 200 ) isto equivale a (27/2) * (2/9) * 80 = 240 passos do pai At 04:57 PM 11/29/2001 -0500, you wrote: Um filho sai correndo e quando deu 200 passos o pai parte ao seu encalço. Enquanto o pai dá 3 passos, o filho dá 11 passos, porém 2 passos do pai valem 9 do filho. Quantos passos deverá dar o pai para alcançar o filho?
Re: ajuda em geometria analítica.
Title: Re: ajuda em geometria analítica. Seja ABC o triangulo isosceles de base BC. Construa a circunferencia passando por B e C e tangente em B e C as retas AB e AC. O centro dessa circunferencia eh o ponto O tal que os angulos OBA e OCA sao retos. Prove entao que todo ponto dessa circunferencia satistaz a condicao do enunciado. -- From: haroldo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: ajuda em geometria analítica. Date: Wed, Oct 31, 2001, 14:44 GOSTARIA DE UMA AJUDA NA SOLUÇÃO DO SEGUINTE PROBLEMA: UM PONTO SE MOVE DE MODO QUE , O QUADRADO DE SUA DISTÂNCIA À BASE DE UM TRIÂNGULO ISÓSCELES É IGUAL AO PRODUTO DE SUAS DISTÂNCIAS AOS OUTROS DOIS LADOS DO TRIÂNGULO . DETERMINE A EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA DESTE PONTO ; INDETIFICANDO A CURVA DESCRITA E RESPECTIVOS PARÂMETROS. UM ABRAÇO AOS PARTICIPANTES DA LISTA
Re: ajuda em um problema de funções
Se F(a,b)=F(c,d), entao
b=d
(1-b)a = (1-d)c
donde a=c (ja que b1).
Logo, F eh injetiva.
Dado (x,y) em T, tome (u,v) = (y/(1-x), x),
verifique que estah em D e que F(u,v)=(x,y).
Logo, F eh sobrejetiva.
JP
- Original Message -
From:
divaneto
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, October 23, 2001 2:46
AM
Subject: ajuda em um problema de
funções
Seja D={(x,y) pertencente a RxR tq 0 x
1 e 0 y 1 } e F: D --- RxR uma função tal que
F(x,y)pertencente a D associa (x,y)
pertencente a RxR onde:
x=y
y=(1-y).x
a) sendo T{(x,y) tq x 0 e y0 , x+y 1}
mostre que F é uma bijeção de D sobre T.
b) esboce a imagem dos conjuntos da forma {(x,y) pertencente
a D tq y=kx} para os seguintes valores de k : k=1/4 ;
k=1/2 e
k=1
RE: ajuda
Não fiz o terceiro, mas esbocei os outros. Um abraço Eduardo Grasser -- De: Carlos Roberto de Moraes[SMTP:[EMAIL PROTECTED]] Enviada em: Terça-feira, 23 de Outubro de 2001 12:18 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto:ajuda Estou com 4 problemas que não estou conseguindo resolver, se puderem me ajudar, desde já agradeço 1) Qual o número de soluções (x,y) da equação 2^(2x) - 3^(2y) = 55, em que x e y são números inteiros? nas minhas tentativas só achei y=1 e x=3. Por elas também creio ser pouco provável haver outras respostas. Só não consegui provar. 2) Qual o 496o termo da sequencia 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...? Essa é simples. temos um 1, dois 2, três 3, etc. formando uma PA de razão 1. A soma dos termos dessa PA até o termo An será a posição do termo na sequencia acima. Assim, (A1 + An)n/2 = 496 (1 + n)n = 992 n² + n - 992 = 0 n = 16 4) Em que proporção deve-se misturar duas soluções de água oxigenada, uma a 30% e outra a 3% para se obter uma mistura a 12%? Essa é a média ponderada. (30a + 3b)/(a+b)=12 30a + 3b = 12a + 12b 18a = 9b 2a = b duas porções de a para uma de b application/alerta-2258
Re: ajuda em um problema e Extra
harold wrote: seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I ponto de intersecção das suas diagonais. As projeções de sobre os lados AB, BC,CDe DA são respectivamente ,M,N,P e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ é circunscrítivel a um círculo com centro em I. Projeções de QUEM sobre os lados? Tentei projetar I e a afirmação tornou-se falsa (leia-se achei diversos contra-exemplos). Fiz o mesmo com O e tampouco funcionou... Seja claro e específico, plz. []'s Alexandre Tessarollo PS: Aproveitando a deixa, passo mais um: Sabendo que sen 2A, sen 2B e sen 2C estão em PA nessa ordem, demonstrar que tan (B+C), tan (C+A) e tan (A+B) também estão em PA nessa ordem.
Re: ajuda
Os angulos AOB e AOC de fato medem arccos(-1/3),que e' aproximadamente 109 graus,28' 16,394284''. Entretanto,o angulo diedrico entre dois planos a e b e' obtido pela intersecao do diedro com uma secao normal,isto e',com um plano perpendicular `a reta que e' a intersecao dos dois planos.No nosso caso essa reta e' OA e uma secao normal e' o plano BCD. Abracos, Gugu --part1_ff.c7ebb1e.28dc82b6_boundary Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro Gustavo, quando mandei a quest=E3o abaixo para a lista de discuss=E3o o= bm,=20 tinha uma d=FAvida. Me corrija se estiver enganado, agrade=E7o. O centro =20= O =20 do tetraedro regular =E9 o centro da esfera inscrita e circunscrita. Ent=E3o= =20 pensei que o =E2ngulo pedido no problema era aquele que mede 109=BA 28' apro= x.=20 Por que n=E3o? T=F4 come=E7ando achar que devo ler algo sobre =E2ngulos died= ros.=20 Aguardo coment=E1rio. Grato. O tetraedro regular ABCD tem centro O. Quanto mede o =E2ngulo diedro de face= s=20 OAB e OAC?=20 AO passa por O',o centro da face BCD.Como BO' e CO' sao perprndiculares a reta AO=3DAO' (pois esta reta e' perpendicular ao plano BCD) ,que e' a intersecao dos planos OAB e OAC,o angulo diedrico e' BO'C=3D120 graus. --part1_ff.c7ebb1e.28dc82b6_boundary Content-Type: text/html; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: quoted-printable HTMLFONT FACE=3Darial,helveticaFONT SIZE=3D2Caro Gustavo, quando mand= ei a quest=E3o abaixo para a lista de discuss=E3o obm, tinha uma d=FAvida. M= e corrija se estiver enganado, agrade=E7o. O centro nbsp; O do tetraedro= regular =E9 o centro da esfera inscrita e circunscrita. Ent=E3o pensei que=20= o =E2ngulo pedido no problema era aquele que mede 109=BA 28' aprox. Por que=20= n=E3o? T=F4 come=E7ando achar que devo ler algo sobre =E2ngulos diedros. Agu= ardo coment=E1rio. Grato. BR BRO tetraedro regular ABCD tem centro O. Quanto mede o =E2ngulo diedro de=20= faces OAB e OAC?/FONTFONT COLOR=3D#00 SIZE=3D3 FAMILY=3DSANSSERIF= FACE=3Darial LANG=3D8 /FONTFONT COLOR=3D#0f0f0f SIZE=3D2 FAMILY= =3DSANSSERIF FACE=3DArial LANG=3D8 BR/FONT/FONTFONT COLOR=3D#00 SIZE=3D2 FAMILY=3DSANSSERIF FAC= E=3DArial LANG=3D8 BR nbsp;nbsp;AO passa por O',o centro da face BCD.Como BO' e CO' sao per= prndiculares a BRreta AO=3DAO' (pois esta reta e' perpendicular ao plano BCD) ,que e' a BRintersecao dos planos OAB e OAC,o angulo diedrico e' BO'C=3D120 graus. BR BR BR/FONT/HTML --part1_ff.c7ebb1e.28dc82b6_boundary--
Re: ajuda
AO passa por O',o centro da face BCD.Como BO' e CO' sao perprndiculares a reta AO=AO' (pois esta reta e' perpendicular ao plano BCD) ,que e' a intersecao dos planos OAB e OAC,o angulo diedrico e' BO'C=120 graus. --part1_148.1ce39f6.28da5b4a_boundary Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: quoted-printable O tetraedro regular ABCD tem centro O. Quanto mede o =E2ngulo diedro de face= s=20 OAB e OAC? --part1_148.1ce39f6.28da5b4a_boundary Content-Type: text/html; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: quoted-printable HTMLFONT FACE=3Darial,helveticaFONT SIZE=3D2O tetraedro regular ABCD=20= tem centro O. Quanto mede o =E2ngulo diedro de faces OAB e OAC?/FONT/HTML= --part1_148.1ce39f6.28da5b4a_boundary--
Re: ajuda
de novo este problema?? Bruno At 07:50 09/09/01 EDT, [EMAIL PROTECTED] wrote: Ao estudar as ciências, os exercícios são mais úteis do que as regras Assim escreveu Isaac Newton em sua aritmética Universal e, de fato, acompanhava as indicações teóricas com uma série de exemplos. No meio deles, acha-se o problema das vacas que pastam em uma campina, exemplo esse que deu origem a um tipo específico de problemas semelhantes a ele. O capim cresce no pasto todo com igual velocidade e espessura. Sabe-se que 70 vacas o comeriam em 24 dias; 30 vacas em 60 dias. Quantas vacas comeriam todo o capim em 96 dias? Duas pessoas, tentando resolver este problema, esforçavam-se por descobrir sua resposta. - Que resultado esquisito! - disse um deles. - Se em 24 dias, 70 vacas comem o capim todo, quantas comeriam em 96 dias? Está visto que é 1/4 de 70, isto é, 17,5 vacas... Este é o primeiro absurdo! o segundo, mais esquisito ainda, é que se 30 vacas comem o capim em 60 dias, em 96 dias o capim será comido por 18,75 vacas. E ainda por cima, se 70 vacas comem em 24 dias, 30 gastarão nisso 56 dias e não 60, como afirma o problema. - Mas você está levando em conta que o capim cresce sem parar? - perguntou o outro. A observação procedia. A grama cresce sem cessar, fato esse que não pode ser esquecido, pois que, se o fizéssemos, não só o problema ficaria sem solução, mas as suas próprias condições pareceriam contraditórias. Podemos então concluir que 21 vacas comeriam o capim em quantos dias? Aguardo comentários. Grato!!
Re: ajuda
Concordo com o Bruno! Paciência, as pessoas da lista se esforçam para fazer os problemas, mas nós não estamos fazendo somente isso das nossas vidas. Grande parte aqui leciona, temos que esperar uma brechinha para que possamos faze-los...por isso compreenda. Não fique enviando o mesmo problema centenas de vezes...isso atrapalha inclusive a diversidade da lista e não adianta em nada. valeu abraços, Marcelo! From: Bruno Fernandes Cerqueira Leite [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: ajuda Date: Sun, 09 Sep 2001 12:43:59 -0300 de novo este problema?? Bruno At 07:50 09/09/01 EDT, [EMAIL PROTECTED] wrote: Ao estudar as ciências, os exercícios são mais úteis do que as regras Assim escreveu Isaac Newton em sua aritmética Universal e, de fato, acompanhava as indicações teóricas com uma série de exemplos. No meio deles, acha-se o problema das vacas que pastam em uma campina, exemplo esse que deu origem a um tipo específico de problemas semelhantes a ele. O capim cresce no pasto todo com igual velocidade e espessura. Sabe-se que 70 vacas o comeriam em 24 dias; 30 vacas em 60 dias. Quantas vacas comeriam todo o capim em 96 dias? Duas pessoas, tentando resolver este problema, esforçavam-se por descobrir sua resposta. - Que resultado esquisito! - disse um deles. - Se em 24 dias, 70 vacas comem o capim todo, quantas comeriam em 96 dias? Está visto que é 1/4 de 70, isto é, 17,5 vacas... Este é o primeiro absurdo! o segundo, mais esquisito ainda, é que se 30 vacas comem o capim em 60 dias, em 96 dias o capim será comido por 18,75 vacas. E ainda por cima, se 70 vacas comem em 24 dias, 30 gastarão nisso 56 dias e não 60, como afirma o problema. - Mas você está levando em conta que o capim cresce sem parar? - perguntou o outro. A observação procedia. A grama cresce sem cessar, fato esse que não pode ser esquecido, pois que, se o fizéssemos, não só o problema ficaria sem solução, mas as suas próprias condições pareceriam contraditórias. Podemos então concluir que 21 vacas comeriam o capim em quantos dias? Aguardo comentários. Grato!! _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Ajuda para achar um livro
Ha uma ediçao recente da Dover que pode ser comprada sem grande dificuldade.Sugiro a Internet (Amazon e Livraria Cultura) ou a Livraria Kosmos, onde vi essa edição da Dover e onde se encontram muitos livros da Dover. (www.kosmos.com.br)(0xx21 22248616) Luis Lopes wrote: Sauda,c~oes, Será que alguém teria alguma coisa a dizer? Um abraço, Luís -- Forwarded Message From: rodferro[EMAIL PROTECTED] Date: Wed, 5 Sep 2001 00:17:24 -0300 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: duvida- Caro professor, estava lendo o livro Manual de progressoes,(que eh muito bom ,parabens),quando eu deparei na bibliografia o seguinte livro: Shlarsky,D.O.,Chentzov,N.N,and Yaglom,I.M,The USSR Olympiad Problem Book,W.H Freeman,1962. Estou procurando por esse livro faz tempo,ja procurei em sebo ,em varias bibliotecas,enfim muitos lugares.O senhor saberia me informar onde posso compra-lo,ou consulta-lo.(Pode ser tanto no rio ou em sp). Muito Obrigado. Rodrigo. (Parabens mais uma vez pelo livro). -- End of Forwarded Message
Re: Ajuda para achar um livro
Você encontra esse livro, publicado pela DOVER, na livaria KOSMOS, no Rio. Benedito Freire At 21:48 06/09/01 -0300, you wrote: At 18:06 06/09/01 -0300, you wrote: Sauda,c~oes, Será que alguém teria alguma coisa a dizer? Um abraço, Luís -- Forwarded Message From: rodferro[EMAIL PROTECTED] Date: Wed, 5 Sep 2001 00:17:24 -0300 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: duvida- Caro professor, estava lendo o livro Manual de progressoes,(que eh muito bom ,parabens),quando eu deparei na bibliografia o seguinte livro: Shlarsky,D.O.,Chentzov,N.N,and Yaglom,I.M,The USSR Olympiad Problem Book,W.H Freeman,1962. Estou procurando por esse livro faz tempo,ja procurei em sebo ,em varias bibliotecas,enfim muitos lugares.O senhor saberia me informar onde posso compra-lo,ou consulta-lo.(Pode ser tanto no rio ou em sp). Muito Obrigado. Rodrigo. Na Amazon certamente tem, e na livraria cultura (www.livcultura.com.br) eles devem aceitar encomendas. Bruno (Parabens mais uma vez pelo livro). -- End of Forwarded Message
Re: Ajuda para achar um livro
At 18:06 06/09/01 -0300, you wrote: Sauda,c~oes, Será que alguém teria alguma coisa a dizer? Um abraço, Luís -- Forwarded Message From: rodferro[EMAIL PROTECTED] Date: Wed, 5 Sep 2001 00:17:24 -0300 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: duvida- Caro professor, estava lendo o livro Manual de progressoes,(que eh muito bom ,parabens),quando eu deparei na bibliografia o seguinte livro: Shlarsky,D.O.,Chentzov,N.N,and Yaglom,I.M,The USSR Olympiad Problem Book,W.H Freeman,1962. Estou procurando por esse livro faz tempo,ja procurei em sebo ,em varias bibliotecas,enfim muitos lugares.O senhor saberia me informar onde posso compra-lo,ou consulta-lo.(Pode ser tanto no rio ou em sp). Muito Obrigado. Rodrigo. Na Amazon certamente tem, e na livraria cultura (www.livcultura.com.br) eles devem aceitar encomendas. Bruno (Parabens mais uma vez pelo livro). -- End of Forwarded Message
Re: Ajuda para achar um livro
Na livraria da Rua do Rosário, no rio, centro da cidade. Descendo na estação de Uruguaiana no metro fica pertinho pra chegar. É só perguntar onde que é a rua do Rosário por ali e pronto. []'s, M. From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] CC: [EMAIL PROTECTED] Subject: Ajuda para achar um livro Date: Thu, 6 Sep 2001 18:06:24 -0300 Sauda,c~oes, Será que alguém teria alguma coisa a dizer? Um abraço, Luís -- Forwarded Message From: rodferro[EMAIL PROTECTED] Date: Wed, 5 Sep 2001 00:17:24 -0300 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: duvida- Caro professor, estava lendo o livro Manual de progressoes,(que eh muito bom ,parabens),quando eu deparei na bibliografia o seguinte livro: Shlarsky,D.O.,Chentzov,N.N,and Yaglom,I.M,The USSR Olympiad Problem Book,W.H Freeman,1962. Estou procurando por esse livro faz tempo,ja procurei em sebo ,em varias bibliotecas,enfim muitos lugares.O senhor saberia me informar onde posso compra-lo,ou consulta-lo.(Pode ser tanto no rio ou em sp). Muito Obrigado. Rodrigo. (Parabens mais uma vez pelo livro). -- End of Forwarded Message _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: ajuda
On Sun, Sep 02, 2001 at 11:08:20PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: Num triedro V (abc) as faces ac e bc medem cada uma 45° e formam um diedro reto. Determine a face ab. Este problema pode ser resolvido por força bruta, mas os números que aí estão são especiais e o problema admite uma solução rápida e talvez rasteira. Considere um cubo de aresta 1 com face superior ABCD e face inferior EFGH (assim as 12 arestas são AB, AD, AE, BC, BF, CD, CG, DH, EF, EH, FG, GH). O triedro de vértice A e arestas AE, AF e AH satisfaz as condições do problema. Considere o triângulo AFH: ele é claramente equilátero de lado sqrt(2) donde o ângulo FAH é de 60 graus. Este é o pedido do problema. []s, N.
Re: Ajuda - Provar!
At 01:05 02/04/01 -0300, you wrote: Alguém poderia me mostrar como se prova que mdc(a,b)=mdc(a, b + ac) com c natural??? agradeço pela ajuda... igor... Suponha que d = MDC(a, b). Pela definição de MDC, d divide a e d divide b. Mas, isso implica que d divide (b + ac). Logo d divide o MDC(a, b + ac). Agora, basta mostrar que o MDC(a, b +ac) divide d. Isto decorre do fato de que o MDC(a, b + ac) divide a e, também, divide b + ac. Logo, MDC(a, b+ac) divide b. Portanto, divide MDC(a,b). Como MDC(a, b) e MDC(a, b+ac) são dois inteiros positivos, um dividindo o outro, e vice-versa, segue a igualdade. Benedito Freire
Re: AJUDA!!! ONDE encontro?
Com paciência, tempo e dedicação, em sebos. Afora isso, livros da MIR, conforme discutido aqui anteriormente, só nos sites: www.livifusp.com.br - Livraria de Física da USP, tem alguns vários da MIR. urss.ru - Editora russa que herdou MUITOS livros da MIR. Há em inglês, espanhol, francês, russo.. Se a minha parca memória não está me traindo, alguém até citou uma loja/livraria/sebo/sei-lá-o-que que vendia livros da MIR, mas era em Sampa e eu sou carioca, então nem cheguei a anotar o endereço. Se vc quiser, peça p/a lista ou dê uma checada nos arquivos da lista. []'s Alexandre Tessarollo Marcos Eike wrote: Pessaol onde eu encontro o livro fundamentos de física elementar da editora MIR, se eu não me engano os autores são 6 russos Ats, Marcos Eike
Re: ajuda
2^x-8^x=2^x(1-2^2x)=2^x(1-2^x)(1+2^x)=(-2^x)(-2^x+1)(-2^x-1), assim g(x)=-2^x. Deve ser isso. Abraco, Salvador On Wed, 9 May 2001 [EMAIL PROTECTED] wrote: Se f e g são funções reais de variáveis reais, definidas por: f(x) = x.(x+1)(x-1) (f o g)(x) = 2 ^ x - 8 ^ x Determinar a lei de formação da função g.
Re: ajuda
Note que g(x) = - 2^x. Pois, f(x) = x^3 - x e f(g(x)) = 2^x - (2^x)^3, logofaça 2^x = -y, daí temos f(g(x)) = y^3 - y, ou seja, g(x) = -2^x é solução. Como f é função, a solução é única. Abraços, Villard ! -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quarta-feira, 9 de Maio de 2001 12:16 Assunto: ajuda Se f e g são funções reais de variáveis reais, definidas por: f(x) = x.(x+1)(x-1) (f o g)(x) = 2 ^ x - 8 ^ x Determinar a lei de formação da função g.
Re: Ajuda
So para nao ficar um exercicio sem resposta, vou responde-lo. A soluccao eh
devida a uma dica de um professor meu. Bom, quem quiser tentar a soluccao so
com a dica, leia so a dica:
Dica. Veja que para todo N, existe um M tal que a_M = 2a_N.
Soluccao abaixo:
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Soluccao.
Construa uma sequencia (N0,N1,N2,...) de forma que a_N(k+1) = 2a_Nk, dai
temos que
SOMA{ 1 - (a_n)/(a_n+1) , n=Nk...N(k+1)-1 }
= SOMA{ [ (a_n+1) - (a_n) ] /(a_n+1) , n=Nk...N(k+1)-1 }
= SOMA{ [ (a_n+1) - (a_n) ] /(a_N(k+1)) , n=Nk...N(k+1)-1 }
= [ a_N(k+1) - a_Nk ] /(a_N(k+1)) = 1 - 1/2 = 1/2
e dai
SOMA{ 1 - (a_n)/(a_n+1) , n=N0...N(k)-1 }
= k*1/2
o que prova que a serie eh ilimitada, e portanto diverge.
Eduardo Casagrande Stabel.
Obrigado!
-Mensagem Original-
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quinta-feira, 5 de Abril de 2001 22:18
Assunto: Ajuda
Resolvendo um exercicio do livro Analise Real do E. L. Lima eu cheguei a um
resultado que acho que eh verdadeiro, mas estou com dificuldades para
analisa-lo, e nao consigo dar contra-exemplos.
Se (a_1, a_2, ...) eh uma sequencia nao-decrescente e Lim(a_n) = INF,
entao a serie SOMA{ 1 - (a_n)/(a_n+1) } diverge.
Por favor, se tiverem alguma dica, digam!
Eduardo Casagrande Stabel.
Re: ajuda
Estou me lembrando de um problema muito legal: uma pessoa escolhe um nmero de 0 a 15, a outra pessoa tem que descobrir que nmero , fazendo perguntas com resposta "sim" ou "no". O detalhe que o cara que pensou no nmero pode mentir 1 vez se quiser. Qual o nmero mnimo de perguntas que so suficientes para descobrir o numero pensado? Bruno -Mensagem original- De: Alek [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 15 de Abril de 2001 08:05 Assunto: Re: ajuda Eu responderia que o menor numero de perguntas sete. Como cheguei a este numero? A primeira coisa foi lembrar de uma aula de digital onde estava aprendendo umas das formas de um circuito quantizar um valor, ou seja, passa-lo para binario, e este era o metodo que gastava menos instruoes, era mais ou menos assim. Pergunta se o numero menor que o numero mediano do universo em que se esta trabalhando no momento No caso sao 100 numeros Umas sequencias possiveis seriam 50s; 25s; 13s; 7n; 10s; 8n; 9s - 8 50s; 25s; 13s; 7n; 10s; 8n; 9n - 9 25s = menor que 25? Sim 7n = menor que 7? Nao Alek At 21:01 14/04/01 -0400, you wrote: Pensei num nmero inteiro no intervalo de 1 at 100 e voc deve descobrir qual. Para ajudar, responderei, apenas com sim ou no, a qualquer pergunta. Qual o menor nmero de perguntas que permite descobrir o nmero?
Re: ajuda
Explicando melhor: A pessoa A pensa num nmero de 0 a 15. A pessoa B tem que adivinhar o nmero que A pensou fazendo perguntas cuja resposta seja "sim" ou "no", por exemplo: "o nmero maior que 4?", etc. a)Mostre que com no mximo 4 perguntas, B consegue acertar o nmero. b)Se A puder mentir uma vez no mximo (ele pode mentir se quiser, no obrigado), quantas perguntas so necessrias? Acho que agora est certinho. Bruno -Mensagem original- De: Bruno F. C. Leite [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quarta-feira, 18 de Abril de 2001 22:42 Assunto: Re: ajuda Estou me lembrando de um problema muito legal: uma pessoa escolhe um nmero de 0 a 15, a outra pessoa tem que descobrir que nmero , fazendo perguntas com resposta "sim" ou "no". O detalhe que o cara que pensou no nmero pode mentir 1 vez se quiser. Qual o nmero mnimo de perguntas que so suficientes para descobrir o numero pensado? Bruno -Mensagem original- De: Alek [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 15 de Abril de 2001 08:05 Assunto: Re: ajuda Eu responderia que o menor numero de perguntas sete. Como cheguei a este numero? A primeira coisa foi lembrar de uma aula de digital onde estava aprendendo umas das formas de um circuito quantizar um valor, ou seja, passa-lo para binario, e este era o metodo que gastava menos instruoes, era mais ou menos assim. Pergunta se o numero menor que o numero mediano do universo em que se esta trabalhando no momento No caso sao 100 numeros Umas sequencias possiveis seriam 50s; 25s; 13s; 7n; 10s; 8n; 9s - 8 50s; 25s; 13s; 7n; 10s; 8n; 9n - 9 25s = menor que 25? Sim 7n = menor que 7? Nao Alek At 21:01 14/04/01 -0400, you wrote: Pensei num nmero inteiro no intervalo de 1 at 100 e voc deve descobrir qual. Para ajudar, responderei, apenas com sim ou no, a qualquer pergunta. Qual o menor nmero de perguntas que permite descobrir o nmero?
Re: Ajuda...
Sauda,c~oes,
Retomo o problema das retas no plano.
-Mensagem Original-
De: Igor Castro
Para: OBM-Lista
Enviada em: Quinta-feira, 12 de Abril de 2001 00:13
Assunto: Ajuda...
Demonstrar por induo:
2 n 2^n
3 Demonstrar que, traando-se n retas em um plano, no se pode dividi-lo
em mais de 2^n "partes".
3o.) no estou me lembrando da recorrncia. Acho que a RPM j tratou desse
problema. Algum se habilita?
Achei o que estava procurando: na RPM 10, p. 45 vemos que: o nmero de
partes H_2(n) em que n retas em posio geral dividem o plano :
H_2(n) = binom{n}{0} + binom{n}{1} + binom{n}{2}
Seja P(n) a proposio: H_2(n) = 2^n.
Para n=1, temos 2 partes; para n=2, temos 4 partes e a proposio
verdadeira. Devemos mostrar que H_2(k+1) = 2^{k+1}.
Adicionemos ao conjunto {L_1, L_2,L_k} a k+1-sima reta, L_{k+1}; como o
conjunto {L_1, L_2,L_k} est em posio geral, vemos que cada uma das k
primeiras retas L_1,...L_k corta L_{k+1} em exatamente um ponto, e assim
L_{k+1} fica dividida em k+1 partes.
Observe, alm disso, que cada uma das partes em que L_{k+1} est dividida
divide uma regio (regies velhas) do plano em duas, ou seja, cada parte de
L_{k+1} d origem a mais uma regio do plano; assim:
H_2(k+1) = H_2(k) + k+1 = 2^k + k+1 2^k + k 2^k + 2^k = 2^{k+1}.
Concluso: H_2(n) 2^n para n= 3.
[ ]'s
Lu'is
-Mensagem Original-
De: Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Sbado, 14 de Abril de 2001 18:42
Assunto: Re: Ajuda...
3.
a) Cada reta nova so pode dividir em 2 as regioes velhas que atravessa.
b) 2 retas podem dlimitar 4 regioes.
c) a 3a. reta nao consegue atravessar as 4 (deixa o vertice em 1
semiplano, nao atravessa um dos angulos).
d) por a) o problema imppossivel para n3.
Angelo Barone{\ --\ }NettoUniversidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e
Estatistica
Rua do Matao, 1010Butanta - Cidade Universitaria
Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3818-6162/6224/6136
05315-970 - Sao Paulo - SPfax +55-11-3818-6131
Agencia Cidade de Sao Paulo
.
Re: ajuda
On Sat, 14 Apr 2001 [EMAIL PROTECTED] wrote: Pensei num nmero inteiro no intervalo de 1 at 100 e voc deve descobrir qual. Para ajudar, responderei, apenas com sim ou no, a qualquer pergunta. Qual o menor nmero de perguntas que permite descobrir o nmero? 7. As perguntas podem ser assim. Escreva n na base 2 com 7 algarismos, usando 0s esquerda se necessrio. Comece com X = 0. Pergunta 0: O ltimo algarismo 1? Se SIM, X = X + 1; seno X permanece inalterado. Pergunta 1: O penltimo algarismo 1? Se SIM, X = X + 2; seno X permanece inalterado. ... Pergunta 6: O primeiro algarismo 1? Se SIM, X = X + 64; seno X permanece inalterado. O valor final de X o valor original de n. claramente impossvel resolver o problema com 6 perguntas pois s existem 2^6 = 64 100 respostas possveis a um questionrio com 6 perguntas. []s, N.
Re: ajuda
Eu responderia que o menor numero de perguntas sete. Como cheguei a este numero? A primeira coisa foi lembrar de uma aula de digital onde estava aprendendo umas das formas de um circuito quantizar um valor, ou seja, passa-lo para binario, e este era o metodo que gastava menos instruoes, era mais ou menos assim. Pergunta se o numero menor que o numero mediano do universo em que se esta trabalhando no momento No caso sao 100 numeros Umas sequencias possiveis seriam 50s; 25s; 13s; 7n; 10s; 8n; 9s - 8 50s; 25s; 13s; 7n; 10s; 8n; 9n - 9 25s = menor que 25? Sim 7n = menor que 7? Nao Alek At 21:01 14/04/01 -0400, you wrote: Pensei num nmero inteiro no intervalo de 1 at 100 e voc deve descobrir qual. Para ajudar, responderei, apenas com sim ou no, a qualquer pergunta. Qual o menor nmero de perguntas que permite descobrir o nmero?
Re: Ajuda!!!Algebra
Achei outra soluo, que no bate com nenhuma das anteriores e vai pelo
mtodo da primeira, pois errei a expanso de (a+b+c)^4 na mensagem anterior:
faltava o 12abc(a+b+c)
1) Faa a^4 + b^4 + c^4 = X
2) Pelas equaes do problema temos:
a^4 {ac^3 + ab^3}{(ab)^2}
2.1)81 = (a+b+c)^4 = b^4 + 4 {ba^3 + ca^3} + 6{(ac)^2} + 12abc(a+b+c)
c^4 {ab^3 + cb^3}{(bc)^2}
OBS: 12(a+b+c)abc = 36abc
2.2)169 = (a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4 + 2((ab)^2+ (ac)^2 + (bc)^2)
{a^4} {ac^3 + ab^3}
2.3)81 = (a+b+c)(a^3+b^3+c^3) = {b^4} + {ba^3 + ca^3}
{c^4} {ab^3 + cb^3}
a^3 {ba^2+ca^2}
2.4)27 = (a+b+c)^3 = b^3 + 3 {ab^2+cb^2} + 6abc
c^3 {ac^2+bc^2}
a^3 {ba^2+ca^2}
2.5)39 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) = b^3 + {ab^2+cb^2}
c^3 {ac^2+bc^2}
{ac^3 + ab^3}
3) Faa: {ba^3 + ca^3} = Y
{ab^3 + cb^3}
( (ab)^2+(ac)^2+(bc)^2 ) = Z
{ba^2+ca^2}
{ab^2+cb^2} = W
{ac^2+bc^2}
4) As equaces ficam:
4.1)81 = X + 4Y + 6Z + 36abc
4.2)169 = X + 2Z
4.3)81 = X + Y
4.4)27 = 27 + 3W + 6abc
4.5)39 = 27 + W
5) 2abc = - W (por 4.4)
W = 39 - 27 = 12 (por 4.5)
Logo, abc = -12/2 = -6
2Z = 169 - X (por 4.2)
Y = 81 - X (por 4.3)
Substituindo em 4.1) vem
81 = X + 4(81 - X) + 3(169 - X) + 36(-6)
4X + 3X - X = 6X = 4*81 - 81 + 3*169 - 3*72 = 3*(81 + 169 - 72)
3*2X = 3*(81 + 169 - 72)
X = (81 + 169 - 72)/2 = 178/2 = 89
Confiram as contas, esses problemas quando resolvidos "no brao" ficam altamente
sujeitos a erros.
At mais
-- Mensagem original --
Errei algumas contas ! abaixo vai o corrreto ! Mas mesmo assim deu diferente
dos 125 do marcelo brazo
-Mensagem original-
De: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sbado, 14 de Abril de 2001 22:35
Assunto: Re: Ajuda!!!Algebra
Primeiramente voc constri uma equao do terceiro grau cujas razes
so
a,b e c : (x-a)*(x-b)*(x-c) = 0
ou seja x^3 - (a+b+c)*x^2 + (ab+ac+bc)*x - abc = 0
-Eleve a+b+c = 3 ao quadrado : a^2+b^2+c^2 +2*(ab+ac+bc) = 9 implica
(ab+ac+bc) = -2;
-Eleve a+b+c=3 ao cubo :
a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c) + 6abc = 27
... ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c) +6abc = 0 ... ab(3-c)+ac(3-b)+bc(3-a)+6abc=
0 ...
...3(ab+ac+bc) = -3 abc ... abc = 2
Da, nossa equao do terceiro grau toma a seguinte forma :
x^3 - 3x^2 -2x - 2 = 0
Seja S(n) = a^n + b^n + c^n
Pela Fmula de Newton ***, temos :
S(n+3) - 3*S(n+2) - 2*S(n+1) - 2*S(n) = 0
Faa n = 1. Da, S(4) = 3*S(3) + 2*S(2) + 2*S(1) S(4)
=3*27+2*13+2*3...
... S(4) = 113 !!!
*** Frmula de Newton :
Seja a raiz da equao l de cima ( do terceiro grau ).
Logo, a^3 - 3*a^2 - 2*a + 2 = 0. Multiplique tudo por a^n :
a^(n+3) - 3*a^(n+2) -2*a^(n+1) + 2*a^n = 0(1)
Analogamente, como b e c so razes :
b^(n+3) - 3*b^(n+2) -2*b^(n+1) + 2*b^n = 0(2)
c^(n+3) - 3*c^(n+2) -2*c^(n+1) + 2*c^n = 0 (3)
Somando (1),(2) e (3), temos justamente a frmula de Newton.
Villard !
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sbado, 14 de Abril de 2001 21:34
Assunto: Ajuda!!!Algebra
Pessoal
Sendo a+b+c=3 , a+b+c=13 e a+b+c=27 Como determino a elevado a
quarta
potncia + b elevado a quarta potncia + c elevado a quarta potncia?
Obrigado desde j
___
http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde voc est.
___
http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde voc est.
Re: Ajuda!!!Algebra - Complemento
Ol,
Como vocs viram d trabalho fazer no brao (fica sujeito a erros).
Newton j nos poupou trabalho quando estabeleceu as frmulas de recorrncia.
Sejam o polinmio a0*x^m+a1*x^(m-1)++a(m-1)*x + am e
S1=soma da razes
S2=soma dos quadrados das razes
...
Sn=soma das potncias n-simas
a0*S1+a1=0
a0*S2+a1*S1+2*a2=0
a0*S3+a1*S2+a2*S1+3*a3=0
...
a0*Sm + a1*S(m-1)++a(m-1)*S1+m*am=0
a0*S(m+1) + a1*Sm + ...+ am*S1=0
Assim, no caso em tela no precisa entrar no "VALE TUDO" com as equaes,
basta:
a0=1 (chute de praxe)
a1= -S1*a0 = a1=-3
-2*a2= 13+(-3)*(3) = a2=-2
-3*a3= -18 = a3=6
Desse modo a equao na verdade: x^3-3*x^2-2*x+6=0, ou seja, o produto
abc=-2 do Rodrigo est com um pequeno equvoco. No momento de elevar ao cubo
a soma a+b+c e desmembr-la, ele cometeu um erro.
Agora, usando as regras de Girard (P'(x)/P(x)) obtemos S4=89, como foi
encontrado pelo Marcelo.
Um abrao galera.
Fbio
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, April 15, 2001 1:09 PM
Subject: Re: Ajuda!!!Algebra
Achei outra soluo, que no bate com nenhuma das anteriores e vai pelo
mtodo da primeira, pois errei a expanso de (a+b+c)^4 na mensagem
anterior:
faltava o 12abc(a+b+c)
1) Faa a^4 + b^4 + c^4 = X
2) Pelas equaes do problema temos:
a^4 {ac^3 + ab^3} {(ab)^2}
2.1)81 = (a+b+c)^4 = b^4 + 4 {ba^3 + ca^3} + 6{(ac)^2} + 12abc(a+b+c)
c^4 {ab^3 + cb^3} {(bc)^2}
OBS: 12(a+b+c)abc = 36abc
2.2)169 = (a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4 + 2((ab)^2+ (ac)^2 + (bc)^2)
{a^4} {ac^3 + ab^3}
2.3)81 = (a+b+c)(a^3+b^3+c^3) = {b^4} + {ba^3 + ca^3}
{c^4} {ab^3 + cb^3}
a^3 {ba^2+ca^2}
2.4)27 = (a+b+c)^3 = b^3 + 3 {ab^2+cb^2} + 6abc
c^3 {ac^2+bc^2}
a^3 {ba^2+ca^2}
2.5)39 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) = b^3 + {ab^2+cb^2}
c^3 {ac^2+bc^2}
{ac^3 + ab^3}
3) Faa: {ba^3 + ca^3} = Y
{ab^3 + cb^3}
( (ab)^2+(ac)^2+(bc)^2 ) = Z
{ba^2+ca^2}
{ab^2+cb^2} = W
{ac^2+bc^2}
4) As equaces ficam:
4.1)81 = X + 4Y + 6Z + 36abc
4.2)169 = X + 2Z
4.3)81 = X + Y
4.4)27 = 27 + 3W + 6abc
4.5)39 = 27 + W
5) 2abc = - W (por 4.4)
W = 39 - 27 = 12 (por 4.5)
Logo, abc = -12/2 = -6
2Z = 169 - X (por 4.2)
Y = 81 - X (por 4.3)
Substituindo em 4.1) vem
81 = X + 4(81 - X) + 3(169 - X) + 36(-6)
4X + 3X - X = 6X = 4*81 - 81 + 3*169 - 3*72 = 3*(81 + 169 - 72)
3*2X = 3*(81 + 169 - 72)
X = (81 + 169 - 72)/2 = 178/2 = 89
Confiram as contas, esses problemas quando resolvidos "no brao" ficam
altamente
sujeitos a erros.
At mais
-- Mensagem original --
Errei algumas contas ! abaixo vai o corrreto ! Mas mesmo assim deu
diferente
dos 125 do marcelo brazo
-Mensagem original-
De: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sbado, 14 de Abril de 2001 22:35
Assunto: Re: Ajuda!!!Algebra
Primeiramente voc constri uma equao do terceiro grau cujas razes
so
a,b e c : (x-a)*(x-b)*(x-c) = 0
ou seja x^3 - (a+b+c)*x^2 + (ab+ac+bc)*x - abc = 0
-Eleve a+b+c = 3 ao quadrado : a^2+b^2+c^2 +2*(ab+ac+bc) = 9 implica
(ab+ac+bc) = -2;
-Eleve a+b+c=3 ao cubo :
a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c) + 6abc = 27
... ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c) +6abc = 0 ...
ab(3-c)+ac(3-b)+bc(3-a)+6abc=
0 ...
...3(ab+ac+bc) = -3 abc ... abc = 2
Da, nossa equao do terceiro grau toma a seguinte forma :
x^3 - 3x^2 -2x - 2 = 0
Seja S(n) = a^n + b^n + c^n
Pela Fmula de Newton ***, temos :
S(n+3) - 3*S(n+2) - 2*S(n+1) - 2*S(n) = 0
Faa n = 1. Da, S(4) = 3*S(3) + 2*S(2) + 2*S(1) S(4)
=3*27+2*13+2*3...
... S(4) = 113 !!!
*** Frmula de Newton :
Seja a raiz da equao l de cima ( do terceiro grau ).
Logo, a^3 - 3*a^2 - 2*a + 2 = 0. Multiplique tudo por a^n :
a^(n+3) - 3*a^(n+2) -2*a^(n+1) + 2*a^n = 0(1)
Analogamente, como b e c so razes :
b^(n+3) - 3*b^(n+2) -2*b^(n+1) + 2*b^n = 0(2)
c^(n+3) - 3*c^(n+2) -2*c^(n+1) + 2*c^n = 0 (3)
Somando (1),(2) e (3), temos justamente a frmula de Newton.
Villard !
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
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Data: Sbado, 14 de Abril de 2001 21:34
Assunto: Ajuda!!!Algebra
Pessoal
Sendo a+b+c=3 , a+b+c=13 e a+b+c=27 Como determino a elevado a
quarta
potncia + b elevado a quarta potncia + c elevado a quarta potncia?
Obrigado desde j
___
http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde voc est.
___
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Re: Ajuda...
3.
a) Cada reta nova so pode dividir em 2 as regioes velhas que atravessa.
b) 2 retas podem dlimitar 4 regioes.
c) a 3a. reta nao consegue atravessar as 4 (deixa o vertice em 1
semiplano, nao atravessa um dos angulos).
d) por a) o problema imppossivel para n3.
Angelo Barone{\ --\ }NettoUniversidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica
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.
Re: Ajuda!!!Algebra
Primeiramente voc constri uma equao do terceiro grau cujas razes so a,b e c : (x-a)*(x-b)*(x-c) = 0 ou seja x^3 - (a+b+c)*x^2 + (ab+ac+bc)*x - abc = 0 -Eleve a+b+c = 3 ao quadrado : a^2+b^2+c^2 +2*(ab+ac+bc) = 9 implica (ab+ac+bc) = -2; -Eleve a+b+c=3 ao cubo : a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c) = 27 ... ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c) = 0 ... ab(3-c)+ac(3-b)+bc(3-a) = 0 ... ...3(ab+ac+bc) = 3 abc ... abc = -2 Da, nossa equao do terceiro grau toma a seguinte forma : x^3 - 3x^2 -2x + 2 = 0 Seja S(n) = a^n + b^n + c^n Pela Fmula de Newton ***, temos : S(n+3) - 3*S(n+2) - 2*S(n+1) + 2*S(n) = 0 Faa n = 1. Da, S(4) = 3*S(3) + 2S*(2) - 2S*(1) S(4) = 3*27+2*13-2*3... ... S(4) = 101 !!! *** Frmula de Newton : Seja a raiz da equao l de cima ( do terceiro grau ). Logo, a^3 - 3*a^2 - 2*a + 2 = 0. Multiplique tudo por a^n : a^(n+3) - 3*a^(n+2) -2*a^(n+1) + 2*a^n = 0(1) Analogamente, como b e c so razes : b^(n+3) - 3*b^(n+2) -2*b^(n+1) + 2*b^n = 0(2) c^(n+3) - 3*c^(n+2) -2*c^(n+1) + 2*c^n = 0 (3) Somando (1),(2) e (3), temos justamente a frmula de Newton. Villard ! -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sbado, 14 de Abril de 2001 21:34 Assunto: Ajuda!!!Algebra Pessoal Sendo a+b+c=3 , a+b+c=13 e a+b+c=27 Como determino a elevado a quarta potncia + b elevado a quarta potncia + c elevado a quarta potncia? Obrigado desde j ___ http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde voc est.
Re: Ajuda...
Sauda,c~oes,
Vou supor que vc sabe em que consiste a prova por indução e
vou ser sucinto. Na Eureka 3, p.26 o prof. Elon fala muito disso.
1o.) a)S(1) = 1
ok.
b) devemos mostrar que S(k+1)=[( (k+1)(k+2)
)/2]^2.
S(k+1)=S(k) + (k+1)^3 = [(k(k+1))/2]^2 +
[4(k+1)^3]/4 = [( (k+1)(k+2) )/2]^2.
2o.) a) 2 1 ok.
b) devemos mostrar que 2^{n+1} n+1.
2^{k+1}=2.2^k = (1 + 1/k)2^k (pois k =1) (1 +
1/k)k = k+1.
Como 1 0, então 2^n n para n=
0.
Agora mostre que para n=5, 2^n n^2. E para n=10,
2^n n^3.
Para os detalhes, ver os exercícios 41 e 42 doManual
de Indução. No site http://escolademestres.com/qedtexte
há uma amostraem pdf do volume, onde vc verá outros exercícios propostos e
resolvidos.
3o.) não estou me lembrando da recorrência. Achoque a
RPM já tratou desse problema. Alguém se habilita?
[ ]'s
Lu'is
-Mensagem Original-
De: Igor Castro
Para: OBM-Lista
Enviada em: Quinta-feira, 12 de Abril de
2001 00:13
Assunto: Ajuda...
Caros colegas, gostaria de ajuda nos seguintes
problemas, estou estudando indução e estou com algumas dúvidas:
Demonstrar por indução:
1º 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 =
[(n(n+1))/2]^2 .
2º n 2^n
3º Demonstrar que, traçando-se n retas em
um plano, não se pode dividi-lo em mais de 2^n
"partes".
Re: Ajuda no começo
Ol Fbio, voc continua esquecendo outras pessoas importantes. E esta lista grande... Mas no esquea do Paulo Cesar que membro desta lista e sempre esta ajudando a todos... PONCE Fbio Arruda de Lima wrote: Ol. Desculpe as outras injustias. Livros do Prof. Morgado, Prof. Wagner e do Prof. Nicolau/Gugu, entre outros. Ilustres participantes desta lista que muito produzem para a juventude deste Pas to desigual. Mantenham viva esta chama da matemtica no Brasil, ser para o futuro dos nossos filhos. No esqueci de voc Ralph. Um abrao. - Original Message - From: romenro [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, April 07, 2001 7:53 PM Subject: Ajuda no comeo Meu nome Rodrigo. Estou iniciando minha preparao para olimpadas. Gostaria de saber por que assuntos comear, quais so os mais impotantes. Gostaria de saber sites bons de pesquisa. Tenho 15 anos e estou no 2 Colegial. Desde j agradeo muito. __ O BOL Top3 no iBest! Vote j para torn-lo Top1! http://www.bol.com.br/ibest.html
Re: Ajuda no começo
Caro Rodrigo, visivelmente as provas da olimpada brasileira e at da IMO trazem basicamente o seguinte: Teoria dos Nmeros, Geometria, Combinatria e Desigualdades. Se voc puder ir em "SEBOS" (loja de livros usados) sugiro: Teoria dos Nmeros - Anlise Algbrica do Rey Pastor (em espanhol) - R$ 10,00 Geometria F.I.C. - R$ 10,00 - demonstre tudo Em seguida procure o CARONNET (carronet - francs) de Geometria traduzido R$ 10,00. Lies de Combinatria - Possui exerccios tipo A, B, C, D... - excelente Agora, sim voc pode ler os papers da OBM - principalmente o de desigualdades. Depois disso, resolva todas as provas da OBM. Por ltimo, tente resolver as provas da IMO. Se no conseguir, no se preocupe. Voc estar bem perto! Compre o G. Polya em A Arte de Resolver Problemas. Ser um longo caminho, mas no desista. At l e um abrao. Fbio - Original Message - From: romenro [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, April 07, 2001 7:53 PM Subject: Ajuda no comeo Meu nome Rodrigo. Estou iniciando minha preparao para olimpadas. Gostaria de saber por que assuntos comear, quais so os mais impotantes. Gostaria de saber sites bons de pesquisa. Tenho 15 anos e estou no 2 Colegial. Desde j agradeo muito. __ O BOL Top3 no iBest! Vote j para torn-lo Top1! http://www.bol.com.br/ibest.html
Re: Ajuda
Ola Carlos Shine,
Amigos da Lista.
O seu contra-exemplo nao serve porque e justamente isso que o Duda ( Eduardo
Casagrande Stabel ) esta conjeturando : que "1 - (An/An+1)" sempre DIVERGE.
O seu "Contra-Exemplo" apenas reforca as suspeitas do Duda ( Que sem duvida
deve ter percebido a conversao a serie harmonica ).
Nao vou fazer a questao, mas dou uma ideia :
1)Suponha que para alguma sequencia (A1,A2,...), nao decrescente e com Lim
An=+INF
2) a serie {1 - (An/An+1)} converge.
3) entao, necessariamente, Bn=1 - (An/An+1) teve ter limite zero.
4) Ou seja : lim An/An+1=1
3) Mostre que uma tal suposicao conduz a algum absurdo com as hipoteses que
temos que admitir em 1)
Um abraco
Paulo Santa Rita
7,1502,07042001
From: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Ajuda
Date: Fri, 6 Apr 2001 20:24:43 -0700 (PDT)
Este fato no verdadeiro. Tome a seqncia a_n=n.
Temos Lim n = +infinito e 1 - n/(n+1) = 1/(n+1).
conhecido que a srie SOMA(1/(n+1)) diverge. Tente
demonstrar isso.
[]'s
Carlos Shine
--- [EMAIL PROTECTED] wrote:
Resolvendo um exercicio do livro Analise Real do E.
L. Lima eu cheguei a um resultado que acho que eh
verdadeiro, mas estou com dificuldades para
analisa-lo, e nao consigo dar contra-exemplos.
Se (a_1, a_2, ...) eh uma sequencia
nao-decrescente e Lim(a_n) = +INFINITO, entao a
serie SOMA{ 1 - (a_n)/(a_n+1) } diverge.
Por favor, se tiverem alguma dica, digam!
Eduardo Casagrande Stabel.
__
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Re: Ajuda
Este fato não é verdadeiro. Tome a seqüência a_n=n.
Temos Lim n = +infinito e 1 - n/(n+1) = 1/(n+1). É
conhecido que a série SOMA(1/(n+1)) diverge. Tente
demonstrar isso.
[]'s
Carlos Shine
--- [EMAIL PROTECTED] wrote:
Resolvendo um exercicio do livro Analise Real do E.
L. Lima eu cheguei a um resultado que acho que eh
verdadeiro, mas estou com dificuldades para
analisa-lo, e nao consigo dar contra-exemplos.
Se (a_1, a_2, ...) eh uma sequencia
nao-decrescente e Lim(a_n) = +INFINITO, entao a
serie SOMA{ 1 - (a_n)/(a_n+1) } diverge.
Por favor, se tiverem alguma dica, digam!
Eduardo Casagrande Stabel.
__
Do You Yahoo!?
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http://personal.mail.yahoo.com/
Re: Ajuda
H vrios livros bons sobre congruncias mas no posso deixar de mencionar
o que Gugu e eu escrevemos ("Primos de Mersenne") que pode ser comprado
pelo Impa por um preo baixo e tambm pode ser obtido gratuitamente
na minha home page (*.tar.gz, *.ps.gz e *.pdf) ou lido on-line:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne.tar.gz
.../mersenne.ps.gz
.../mersenne.pdf
.../mersenne/index.html
[]s, N.
On Thu, 22 Mar 2001, Marcos Paulo wrote:
Dizer q A = B mod d dizer q A e B deixam o mesmo resto na diviso por d, ou ainda
q A - B multiplo de d
[]'s MP
- Original Message -
From: Gustavo Martins
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, March 21, 2001 7:10 PM
Subject: Re: Ajuda
Olhei a resoluo do problema do Igor, mas no sei o que mod. Alguem pode me
explicar?
Atenciosamente,
Gustavo
Re: Ajuda
Dizer q A = B mod d é dizer q A e B deixam o mesmo
resto na divisão por d, ou ainda q A - B é multiplo de d
[]'s MP
- Original Message -
From:
Gustavo
Martins
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, March 21, 2001 7:10
PM
Subject: Re: Ajuda
Olhei a resolução do problema do Igor, mas não sei o que é mod. Alguem
pode me explicar?
Atenciosamente,
Gustavo
- Original Message -
From:
Rodrigo
Villard Milet
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, March 21, 2001 1:21
PM
Subject: Re: Ajuda
1) 2^n + 1 = 0 mod3 implica 2^n = -1mod3, logo (-1)^n = -1mod3, então n
é ímpar.
2) x^2 + 3x + 2 = (x+1)*(x+2). Note q esse número é sempre par, pois é
produto de dois consecutivos. Logo, basta achar os x, para os quais E =
(x+1)*(x+2) é múltiplo de 3. Para isso, calcule quantos são os x, para os
quais 3 não divide E, os seja, 3 divide x. De 0 a 25, há 9. Logo, há 26 - 9
= 17 x`s, para os quais 3 divide E, e por conseguinte, 6
divide E.
¡ Villard
!
-Mensagem original-De:
Igor Castro [EMAIL PROTECTED]Para:
[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data:
Terça-feira, 20 de Março de 2001 22:14Assunto:
Ajuda
Caríssimos colegas, estou precisando de ajuda
nos seguintes problemas: (parecem simples)
1) Determine n natural para que 2^n + 1 seja
divisível por 3. (resolver algebricamente)
2) Se x pertence à {0,1,2,...,25), para
quantos valores de x, x^2 +3x +2 é múltiplo de 6?
Estava resolvendo esses problemas num
capítulo de divisibilidade e congruências, se puderem usar só o
conceito básicos dessas teorias,
agradeço.
Igor Castro
Re: Ajuda
1) 2^n + 1 = 0 mod3 implica 2^n = -1mod3, logo (-1)^n = -1mod3,
ento n mpar.
2) x^2 + 3x + 2 = (x+1)*(x+2). Note q esse nmero sempre
par, pois produto de dois consecutivos. Logo, basta achar os x, para os
quais E = (x+1)*(x+2) mltiplo de 3. Para isso, calcule quantos
so os x, para os quais 3 no divide E, os seja, 3 divide x. De 0
a 25, h 9. Logo, h 26 - 9 = 17 x`s, para os
quais 3 divide E, e por conseguinte, 6 divide E.
Villard
!
-Mensagem original-De:
Igor Castro [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data:
Tera-feira, 20 de Maro de 2001 22:14Assunto:
Ajuda
Carssimos colegas, estou precisando de
ajuda nos seguintes problemas: (parecem simples)
1) Determine n natural para que 2^n + 1 seja
divisvel por 3. (resolver algebricamente)
2) Se x pertence {0,1,2,...,25), para
quantos valores de x, x^2 +3x +2 mltiplo de 6?
Estava resolvendo esses problemas num
captulo de divisibilidade e congruncias, se puderem usar
s o
conceito bsicos dessas teorias,
agradeo.
Igor Castro
Re: ajuda
Title: Re: ajuda Oi gente: Voces sabem quanto vale a distância entre o circuncentro O e o ortocentro H de um triângulo? A relacao eh (OH)^2 = 9R^2 - (a^2 + b^2 + c^2). O problema implica de imediato que o ortocentro coincide com o circuncentro e, consequentemente, o triangulo eh equilatero. Chamar isto de solucao eh uma covardia uma vez que a demonstracao da formula acima dah um grande trabalho. Quase tanto quanto o Carlos Victor teve. Mas, eh uma curiosidade interessante. Abraco, Wagner. -- From: Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED], [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: ajuda Date: Sat, Mar 3, 2001, 11:28 Oi Filho , Vamos a uma solução no braço . Como a= 2RsenA , b =2RsenB e c = 2RsenC , temos que (senA)^2 + (senB)^2 + (senC)^2 = 9/4 . Observe que fazendo senA = sen(B+C) = senBcosC + senCcosB , a igualdade acima será equivalente a cosA.cosB.cosC = 1/8 , ou seja o triângulo é acutângulo. Usando a Lei dos co-senos teremos que : (b^2+c^2-a^2).(c^2+a^2-b^2).(a^2+b^2-c^2)= a^2.b^2.c^2 e tomando x = b^2+c^2-a^2 , y = c^2+a^2-b^2 e z = a^2+b^2-c^2 , chegamos a 8x.y.z = (y + z).(x +z).(x + y) ou ( y/x + z/x).( x/y + z/y).(x/z + y/z ) = 8 . Observe que o lado esquerdo da igualdade é : 2 + x/z + z/x +y/x +x/y +z/y + y/z e, como x,y e z são números positivos temos 2 + x/z + z/x +y/x +x/y +z/y + y/z 8 e a igualdade ocorre quando x=y=z ; ou seja a =b =c . Confira as contas , ok ? Abraços , Carlos Victor At 21:59 1/3/2001 -0300, filho wrote: Prove que se num triângulo vale a relação a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = 9 R ^ 2, então a = b = c , onde R é o raio da circunferência circunscrita ).
Re: ajuda
Oi Filho , Vamos a uma solução no braço . Como a= 2RsenA , b =2RsenB e c = 2RsenC , temos que (senA)^2 + (senB)^2 + (senC)^2 = 9/4 . Observe que fazendo senA = sen(B+C) = senBcosC + senCcosB , a igualdade acima será equivalente a cosA.cosB.cosC = 1/8 , ou seja o triângulo é acutângulo. Usando a Lei dos co-senos teremos que : (b^2+c^2-a^2).(c^2+a^2-b^2).(a^2+b^2-c^2)= a^2.b^2.c^2 e tomando x = b^2+c^2-a^2 , y = c^2+a^2-b^2 e z = a^2+b^2-c^2 , chegamos a 8x.y.z = (y + z).(x +z).(x + y) ou ( y/x + z/x).( x/y + z/y).(x/z + y/z ) = 8 . Observe que o lado esquerdo da igualdade é : 2 + x/z + z/x +y/x +x/y +z/y + y/z e, como x,y e z são números positivos temos 2 + x/z + z/x +y/x +x/y +z/y + y/z 8 e a igualdade ocorre quando x=y=z ; ou seja a =b =c . Confira as contas , ok ? Abraços , Carlos Victor At 21:59 1/3/2001 -0300, filho wrote: Prove que se num triângulo vale a relação a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = 9 R ^ 2, então a = b = c , onde R é o raio da circunferência circunscrita ).
Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.
Pessoal. Era exatamente este tipo de reflexoes que eu queria suscitar. So que, como vieram do grande Ralph, ja estao na sua forma final. Colocacoes "to the point". JP -Mensagem Original- De: "Ralph Costa Teixeira" [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sexta-feira, 2 de Maro de 2001 00:25 Assunto: Re: Ajuda urgente: clculo do volume de um tanque. Oi, Jose Paulo. O seu ponto eh valido. Na minha opiniao, nenhum problema terrivele em ficar com um problema numerico nas maos. A integral eh feia para resolver "no braco", mas nem sempre uma formula "fechadinha" (no caso aqui, sem integrais, usando soh as funcoes mais "comuns" como exponenciais, trigonometricas e aritmeticas) eh melhor do que uma que tenha um sinal de integral. Afinal, mesmo que a resposta fosse V=e^h, o calculo disso acaba sendo feito "numericamente" na hora de marcar o volume lah na escala do tanque. E esse calculo tambem envolve um erro numerico, assim como o da integral -- e ambos os erros podem ser bem controlados (dependendo do que estah dentro da integral). Ha de se lembrar que muitas das funcoes que a gente aceita facilmente podem muito bem ser consideradas como apelidos para integrais... Por exemplo, muita gente DEFINE a funcao log natural por ln x = INT (t=1 a t=x) 1/t dt e entao DEFINE e^x como a funcao inversa de ln x. Assim, tais funcoes nao seriam "melhores" que expressoes integrais... Talvez esse outro exemplo reforce o meu ponto: a nem tao conhecida funcao erf(x) eh definida como: erf(x) = 2/sqrt(Pi) INT (t=0 a t=x) e^(-t^2) dt Muita gente diria que a integral do lado direito "nao tem solucao". Mas, se voce conhece erf(x), a integral eh trivial. Se voce trabalhar bastante com a erf(x) e acostumar-se com suas propriedades, voce acaba aceitando-a tanto como e^x ou ln(x) ou cos(x) -- diga-se de passagem, a funcao erf de fato tem varias propriedades interessantes e aparece naturalmente em varios contextos, especialmente quando falando da distribuicao normal de probabilidade; suas tabelas sao bem conhecidas, seu comportamento eh bem entendido. Hoje em dia, se eu me deparo com uma resposta que tenha a integral de e^(-t^2) na expressao, eu me dou por satisfeito e considero o problema resolvido, mesmo que eu nao chegue a escrever erf(x) no lugar da integral. Assim, nao vejo nada de intrinsicamente terrivel na integracao numerica nao... Mas vejo como a minha mensagem anterior parece indicar isso. :) Eu eh que fiquei meio decepcionado de nao conseguir uma formula "fechadinha" para o problema... :) :) Uma das principais razoes da minha decepcao eh que o Software que eu costumo usar para gerar graficos nao consegue lidar automaticamente com a funcao definida via a integral (ele se confunde e acha que ha variaveis demais na expressao), mas conseguiria se eu arrumasse a tal formula fechadinha (bom, ele conhece erf(x), mas nao conhece aquela integral do volume do tanque). Talvez o Matlab consiga lidar com as duas formas igualmente? Nao sei... Abraco, Ralph Jos Paulo Carneiro wrote: Proponho que se rediscuta o conceito de integral feia. Qual eh o problema de calcular uma integral numericamente? (So para provocar...) JP
Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.
Pessoal. Era exatamente este tipo de reflexoes que eu queria suscitar. So que, como vieram do grande Ralph, ja estao na sua forma final. Colocacoes "to the point". Eu acrescentaria, para provocar mais a todos, o seguinte: Desde Arquimedes (ou antes, de Eudoxo?) se calculam integrais, por metodos relativamente proximos da definicao. O chamado "Teorema fundamental do Calculo" (sec.XVII), que permite "calcular" certas integrais em "segundos", sabendo de cor um primitiva (ou tendo uma tabela delas) eh sem duvida uma grande invencao da humanidade. Mas acho que o ensino do Calculo criou uma especie de expectativa de que toda integral tem de ser calculada desta forma. Dahi a pletora dos "metodos de integracao", para tentar fazer as mais complicadas se moldarem a tabela (o que alias tambem gera problemas divertidos). Fica ainda na cabeca das pessoas que resolver "numericamente" uma integral eh uma especie de vergonha, uma capitulacao do Departamento do Calculo diante do Departamento de Calculo Numerico (que tal fundir estes 2 departamentos num so?). Na verdade, como o Ralph demonstrou com os seus exemplos, isto eh ilusorio. Eh apenas uma questao de saber de onde se parte. Acho que estah em tempo de o ensino de Calculo (pelo memos em cursos de Matematica) apresentar a integral como: 1) a medida de um "estoque"; 2) um excelente instrumento para justificar "existencia" em matematica (como no caso do logaritmo, citado pelo Ralph). E nao como aquela cobrinha sem sentido que eh "o contario da derivada". JP JP -Mensagem Original- De: "Ralph Costa Teixeira" [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sexta-feira, 2 de Maro de 2001 00:25 Assunto: Re: Ajuda urgente: clculo do volume de um tanque. Oi, Jose Paulo. O seu ponto eh valido. Na minha opiniao, nenhum problema terrivele em ficar com um problema numerico nas maos. A integral eh feia para resolver "no braco", mas nem sempre uma formula "fechadinha" (no caso aqui, sem integrais, usando soh as funcoes mais "comuns" como exponenciais, trigonometricas e aritmeticas) eh melhor do que uma que tenha um sinal de integral. Afinal, mesmo que a resposta fosse V=e^h, o calculo disso acaba sendo feito "numericamente" na hora de marcar o volume lah na escala do tanque. E esse calculo tambem envolve um erro numerico, assim como o da integral -- e ambos os erros podem ser bem controlados (dependendo do que estah dentro da integral). Ha de se lembrar que muitas das funcoes que a gente aceita facilmente podem muito bem ser consideradas como apelidos para integrais... Por exemplo, muita gente DEFINE a funcao log natural por ln x = INT (t=1 a t=x) 1/t dt e entao DEFINE e^x como a funcao inversa de ln x. Assim, tais funcoes nao seriam "melhores" que expressoes integrais... Talvez esse outro exemplo reforce o meu ponto: a nem tao conhecida funcao erf(x) eh definida como: erf(x) = 2/sqrt(Pi) INT (t=0 a t=x) e^(-t^2) dt Muita gente diria que a integral do lado direito "nao tem solucao". Mas, se voce conhece erf(x), a integral eh trivial. Se voce trabalhar bastante com a erf(x) e acostumar-se com suas propriedades, voce acaba aceitando-a tanto como e^x ou ln(x) ou cos(x) -- diga-se de passagem, a funcao erf de fato tem varias propriedades interessantes e aparece naturalmente em varios contextos, especialmente quando falando da distribuicao normal de probabilidade; suas tabelas sao bem conhecidas, seu comportamento eh bem entendido. Hoje em dia, se eu me deparo com uma resposta que tenha a integral de e^(-t^2) na expressao, eu me dou por satisfeito e considero o problema resolvido, mesmo que eu nao chegue a escrever erf(x) no lugar da integral. Assim, nao vejo nada de intrinsicamente terrivel na integracao numerica nao... Mas vejo como a minha mensagem anterior parece indicar isso. :) Eu eh que fiquei meio decepcionado de nao conseguir uma formula "fechadinha" para o problema... :) :) Uma das principais razoes da minha decepcao eh que o Software que eu costumo usar para gerar graficos nao consegue lidar automaticamente com a funcao definida via a integral (ele se confunde e acha que ha variaveis demais na expressao), mas conseguiria se eu arrumasse a tal formula fechadinha (bom, ele conhece erf(x), mas nao conhece aquela integral do volume do tanque). Talvez o Matlab consiga lidar com as duas formas igualmente? Nao sei... Abraco, Ralph Jos Paulo Carneiro wrote: Proponho que se rediscuta o conceito de integral feia. Qual eh o problema de calcular uma integral numericamente? (So para provocar...) JP
Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.
Oi todo mundo. Voltando ao problema do tanque deitado, as noticias nao sao nada boas para o resto do problema. Acaba numa integral muito feia que eu creio soh poder ser feita mesmo numericamente. I. O CILINDRO Na ultima mensagem eu disse que, se o nivel do liquido eh h a partir do fundo de um cilindro de raio r e "comprimento" a (pois o cilindro estah deitado), entao o volume do liquido lah dentro eh: V1 = a.r^2. [Pi + (m-1)sqrt(m(2-m)) - arccos(m-1)] onde eu uso m=h/r para facilitar as coisas. Seria legal marcar o zero da escala no centro do cilindro, isto eh, tomar h1 = h-r como variavel ao inves de h. Assim, se m=h1/r V1 = a.r^2. [Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos(m)] Daqui por diante vou usar esta notacao, marcando h=0 no meio, e assim h vai de -r a r. Quem nao gostar, troque h por h+r de volta. :) II. CADA UMA DAS CALOTAS Uma secao *horizontal* da calota esferica aa altura z (z=0 eh o plano horizontal passando pelo centro da esfera) eh um segmento circular. Eu peguei uma destas secoes HORIZONTAIS e desenhei-a aqui vista de cima, preenchida com s's. O x marca o centro do circulo, R0 eh seu raio e d eh a distancia entre o centro e o segmento que delimita o segmento circular. |\ |s\ |ss\ d |sss| x|sss| \ |sss| \ |ss/ R0\ |s/ \|/ Como a secao horizontal estah aa distancia |z| do centro da esfera, temos R0=sqrt(R^2-z^2). Por outro lado, pode-se notar que d eh tambem a distancia do centro da ESFERA (que nao eh necessariamente x! O centro da esfera estah na secao horizontal z=0!) ao plano usado para corta-la em uma calota. Em outras palavras, d=sqrt(R^2-r^2). Enfim, lembre-se que a area do segmento circular eh a area de um setor circular menos um triangulo escolhidos a dedo... A formula eh: A = (R0)^2.arccos(d/R0) - d.sqrt(R0^2-d^2) Substitua R0 e d: A = (R^2-z^2).arccos(sqrt(R^2-r^2)/sqrt(R^2-z^2)) - sqrt(R^2-r^2).sqrt(r^2-z^2) Agora voce teria que integrar isso de z=-r a z=h para achar o volume do liquido. A segunda parte da integral (a segunda linha da area) eh facil por substituicao, eh igual ao calculo feito para o cilindro. Tome de novo m=h/r e fique com: V3 = -r^2.sqrt(R^2-r^2). [Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos m] A primeira parte eh pior ainda. Use z=R.cost, r/R=p e h/R=q para obter: V2 = R^3 INT(t = arccos(q) a t = Pi - arccos(p)) (sint)^3 . arccos(sqrt(1-p^2)/sint) dt Ateh onde eu sei, esta integral nao pode ser resolvida analiticamente (o arccos(K/sint) me faz acreditar nisto), a menos eh claro que p=1 (o caso em que r=R, ou seja, em que as calotas sao de fato dois hemisferios). Assim, a melhor opcao eh fazer um calculo numerico desta integral usando os seus dados a=14500, r=500 e R=3142... Note que V2 depende de q de maneira "simples". Ponha varios valores de q e faca uma tabela... :( III. JUNTANDO TUDO Em suma, pegue um computador e calcule as seguintes quantidades para cada h desejado de -r a r: p=r/R; q=h/R; m=h/r=q/p; DENTRO DO CILINDRO: V1 = a.r^2.[Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos m] NAS CALOTAS: 2V2 = R^3 INT(t = arccos(q); t = Pi - arccos(p)) (sint)^3 . arccos(sqrt(1-p^2)/sint) dt (Resolva numericamente para o valor p fixo que voce tem e usando diversos valores de q) 2V3 = -r^2.sqrt(R^2-r^2). [Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos m] O volume que voce quer eh V1+2V2+2V3. Eu sei que a resposta parece um pouco decepcionante, mas espero que tenha ajudado. As vezes eh mais facil fazer ao contrario: vah enchendo o tanque com volumes conhecidos e marcando os valores de h para cada um, montando assim a escala "experimentalmente"... Ou faca isso para um tanque igual mas menor em escala... :) - / \ / \ | | \---/ \ / - Nesse caso temos: a = 14500mm; r = 500mm; R = 3142mm; em que, a = comprimento do cilindro (no considerar as calotas, e sim apenas o cilindro plano nos lados); r = raio do cilindro; R = raio da calota at a
Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.
Eh, um email-paper!!! :)))
Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.
Proponho que se rediscuta o conceito de integral feia. Qual eh o problema de calcular uma integral numericamente? (So para provocar...) JP -Mensagem Original- De: "Ralph Costa Teixeira" [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quinta-feira, 1 de Maro de 2001 19:46 Assunto: Re: Ajuda urgente: clculo do volume de um tanque. Oi todo mundo. Voltando ao problema do tanque deitado, as noticias nao sao nada boas para o resto do problema. Acaba numa integral muito feia que eu creio soh poder ser feita mesmo numericamente. I. O CILINDRO Na ultima mensagem eu disse que, se o nivel do liquido eh h a partir do fundo de um cilindro de raio r e "comprimento" a (pois o cilindro estah deitado), entao o volume do liquido lah dentro eh: V1 = a.r^2. [Pi + (m-1)sqrt(m(2-m)) - arccos(m-1)] onde eu uso m=h/r para facilitar as coisas. Seria legal marcar o zero da escala no centro do cilindro, isto eh, tomar h1 = h-r como variavel ao inves de h. Assim, se m=h1/r V1 = a.r^2. [Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos(m)] Daqui por diante vou usar esta notacao, marcando h=0 no meio, e assim h vai de -r a r. Quem nao gostar, troque h por h+r de volta. :) II. CADA UMA DAS CALOTAS Uma secao *horizontal* da calota esferica aa altura z (z=0 eh o plano horizontal passando pelo centro da esfera) eh um segmento circular. Eu peguei uma destas secoes HORIZONTAIS e desenhei-a aqui vista de cima, preenchida com s's. O x marca o centro do circulo, R0 eh seu raio e d eh a distancia entre o centro e o segmento que delimita o segmento circular. |\ |s\ |ss\ d |sss| x|sss| \ |sss| \ |ss/ R0\ |s/ \|/ Como a secao horizontal estah aa distancia |z| do centro da esfera, temos R0=sqrt(R^2-z^2). Por outro lado, pode-se notar que d eh tambem a distancia do centro da ESFERA (que nao eh necessariamente x! O centro da esfera estah na secao horizontal z=0!) ao plano usado para corta-la em uma calota. Em outras palavras, d=sqrt(R^2-r^2). Enfim, lembre-se que a area do segmento circular eh a area de um setor circular menos um triangulo escolhidos a dedo... A formula eh: A = (R0)^2.arccos(d/R0) - d.sqrt(R0^2-d^2) Substitua R0 e d: A = (R^2-z^2).arccos(sqrt(R^2-r^2)/sqrt(R^2-z^2)) - sqrt(R^2-r^2).sqrt(r^2-z^2) Agora voce teria que integrar isso de z=-r a z=h para achar o volume do liquido. A segunda parte da integral (a segunda linha da area) eh facil por substituicao, eh igual ao calculo feito para o cilindro. Tome de novo m=h/r e fique com: V3 = -r^2.sqrt(R^2-r^2). [Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos m] A primeira parte eh pior ainda. Use z=R.cost, r/R=p e h/R=q para obter: V2 = R^3 INT(t = arccos(q) a t = Pi - arccos(p)) (sint)^3 . arccos(sqrt(1-p^2)/sint) dt Ateh onde eu sei, esta integral nao pode ser resolvida analiticamente (o arccos(K/sint) me faz acreditar nisto), a menos eh claro que p=1 (o caso em que r=R, ou seja, em que as calotas sao de fato dois hemisferios). Assim, a melhor opcao eh fazer um calculo numerico desta integral usando os seus dados a=14500, r=500 e R=3142... Note que V2 depende de q de maneira "simples". Ponha varios valores de q e faca uma tabela... :( III. JUNTANDO TUDO Em suma, pegue um computador e calcule as seguintes quantidades para cada h desejado de -r a r: p=r/R; q=h/R; m=h/r=q/p; DENTRO DO CILINDRO: V1 = a.r^2.[Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos m] NAS CALOTAS: 2V2 = R^3 INT(t = arccos(q); t = Pi - arccos(p)) (sint)^3 . arccos(sqrt(1-p^2)/sint) dt (Resolva numericamente para o valor p fixo que voce tem e usando diversos valores de q) 2V3 = -r^2.sqrt(R^2-r^2). [Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos m] O volume que voce quer eh V1+2V2+2V3. Eu sei que a resposta parece um pouco decepcionante, mas espero que tenha ajudado. As vezes eh mais facil fazer ao contrario: vah enchendo o tanque com volumes conhecidos e marcando os valores de h para cada um, montando assim a escala "experimentalmente"... Ou faca isso para um tanque igual mas menor em escala... :) - / \ / \ | | \---/ \ / - Nesse caso temos: a = 14500mm; r = 500mm; R = 3142mm; em que, a = comprimento do cilindro (no considerar as calotas, e sim apenas o cilindro plano nos lados); r = raio do cilindro; R = raio da calota at a
Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.
Oi, Jose Paulo. O seu ponto eh valido. Na minha opiniao, nenhum problema terrivele em ficar com um problema numerico nas maos. A integral eh feia para resolver "no braco", mas nem sempre uma formula "fechadinha" (no caso aqui, sem integrais, usando soh as funcoes mais "comuns" como exponenciais, trigonometricas e aritmeticas) eh melhor do que uma que tenha um sinal de integral. Afinal, mesmo que a resposta fosse V=e^h, o calculo disso acaba sendo feito "numericamente" na hora de marcar o volume lah na escala do tanque. E esse calculo tambem envolve um erro numerico, assim como o da integral -- e ambos os erros podem ser bem controlados (dependendo do que estah dentro da integral). Ha de se lembrar que muitas das funcoes que a gente aceita facilmente podem muito bem ser consideradas como apelidos para integrais... Por exemplo, muita gente DEFINE a funcao log natural por ln x = INT (t=1 a t=x) 1/t dt e entao DEFINE e^x como a funcao inversa de ln x. Assim, tais funcoes nao seriam "melhores" que expressoes integrais... Talvez esse outro exemplo reforce o meu ponto: a nem tao conhecida funcao erf(x) eh definida como: erf(x) = 2/sqrt(Pi) INT (t=0 a t=x) e^(-t^2) dt Muita gente diria que a integral do lado direito "nao tem solucao". Mas, se voce conhece erf(x), a integral eh trivial. Se voce trabalhar bastante com a erf(x) e acostumar-se com suas propriedades, voce acaba aceitando-a tanto como e^x ou ln(x) ou cos(x) -- diga-se de passagem, a funcao erf de fato tem varias propriedades interessantes e aparece naturalmente em varios contextos, especialmente quando falando da distribuicao normal de probabilidade; suas tabelas sao bem conhecidas, seu comportamento eh bem entendido. Hoje em dia, se eu me deparo com uma resposta que tenha a integral de e^(-t^2) na expressao, eu me dou por satisfeito e considero o problema resolvido, mesmo que eu nao chegue a escrever erf(x) no lugar da integral. Assim, nao vejo nada de intrinsicamente terrivel na integracao numerica nao... Mas vejo como a minha mensagem anterior parece indicar isso. :) Eu eh que fiquei meio decepcionado de nao conseguir uma formula "fechadinha" para o problema... :) :) Uma das principais razoes da minha decepcao eh que o Software que eu costumo usar para gerar graficos nao consegue lidar automaticamente com a funcao definida via a integral (ele se confunde e acha que ha variaveis demais na expressao), mas conseguiria se eu arrumasse a tal formula fechadinha (bom, ele conhece erf(x), mas nao conhece aquela integral do volume do tanque). Talvez o Matlab consiga lidar com as duas formas igualmente? Nao sei... Abraco, Ralph Jos Paulo Carneiro wrote: Proponho que se rediscuta o conceito de integral feia. Qual eh o problema de calcular uma integral numericamente? (So para provocar...) JP
Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.
É... O problema não é nada simples, fico por esperar agora a parte complicada e ter a oportunidade de apreender com a matemática utilizada, Um abraço, Thomas. From: Ralph Costa Teixeira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque. Date: Wed, 15 Nov 2000 12:20:05 -0200 Ok entao. A parte que esta dentro do cilindro da para calcular com uma integral tripla (ou dupla, ou simples) que da para resolver. Se o raio do cilindro eh *r*, comprimento eh *a* e a altura do liquido eh *h* (medida desde o fundo do cilindro), entao: V1 = INT(z=0 a z=h) 2a sqrt(z(2r-z))dz Para escrever assim, como integral simples, note que a area da secao ao cilindro horizontal aa altura h eh um retangulo de area 2a sqrt(z(2r-z)). Integre essas areas de zero a h para obter o volume. Faca a integral por substituicao (dah um certo trabalho, fica para o pessoal tentar) e obtenha: V1 = (h-r)sqrt(h(2r-h)) + (Pi - arccos((h-r)/r)).r^2 Este eh o volume soh dentro do cilindro... Escreva m = h/r (a razao entre a altura do liquido e o raio do cilindro) se quiser: V1 = r^2. [Pi + (m-1)sqrt(m(2-m)) - arccos(m-1)] Dah ateh para plotar o que estah dentro do colchete como funcao de m... Depois eu ataco o problema da calota em si, eh BEM mais feio. Abraco, Ralph Thomas de Rossi wrote: Mais informações sobre o problema: O desenho que mais se aproxima nessas aplicações é o seguinte: (r/2 RAIO DA CALOTA +INFINITO): - / \ / \ | | \ / \ / - Nesse caso temos: a = 14500mm; r = 500mm; R = 3142mm; em que, a = comprimento do cilindro (não considerar as calotas, e sim apenas o cilindro plano nos lados); r = raio do cilindro; R = raio da calota até a linha de centro do cilindro na horizontal, ou seja, linha de simetria que divide o cilindro). Dessa forma, realmente fica mais claro e melhor de deduzir a função. Um abraço, Thomas. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.
Ok entao. A parte que esta dentro do cilindro da para calcular com uma integral tripla (ou dupla, ou simples) que da para resolver. Se o raio do cilindro eh *r*, comprimento eh *a* e a altura do liquido eh *h* (medida desde o fundo do cilindro), entao: V1 = INT(z=0 a z=h) 2a sqrt(z(2r-z))dz Para escrever assim, como integral simples, note que a area da secao ao cilindro horizontal aa altura h eh um retangulo de area 2a sqrt(z(2r-z)). Integre essas areas de zero a h para obter o volume. Faca a integral por substituicao (dah um certo trabalho, fica para o pessoal tentar) e obtenha: V1 = (h-r)sqrt(h(2r-h)) + (Pi - arccos((h-r)/r)).r^2 Este eh o volume soh dentro do cilindro... Escreva m = h/r (a razao entre a altura do liquido e o raio do cilindro) se quiser: V1 = r^2. [Pi + (m-1)sqrt(m(2-m)) - arccos(m-1)] Dah ateh para plotar o que estah dentro do colchete como funcao de m... Depois eu ataco o problema da calota em si, eh BEM mais feio. Abraco, Ralph Thomas de Rossi wrote: Mais informaes sobre o problema: O desenho que mais se aproxima nessas aplicaes o seguinte: (r/2 RAIO DA CALOTA +INFINITO): - / \ / \ | | \ / \ / - Nesse caso temos: a = 14500mm; r = 500mm; R = 3142mm; em que, a = comprimento do cilindro (no considerar as calotas, e sim apenas o cilindro plano nos lados); r = raio do cilindro; R = raio da calota at a linha de centro do cilindro na horizontal, ou seja, linha de simetria que divide o cilindro). Dessa forma, realmente fica mais claro e melhor de deduzir a funo. Um abrao, Thomas.
Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.
Soluo Maluca! Na circunferncia que tampa o ciclindro cos z/2= (r-h)/r - tirado de um triangulo retngulo... a rea dessa parte que encheu A=r*z ... sendo z o angulo em radianos! A p/ saber tudo v=r*a*Z. Muito complicado? Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, Tudo bem? Gostaria da ajuda para resoluo de um problema prtico numa aplicao industrial. Como no tenho muitos conhecimentos de calculo (se somente por clculo for possvel). L vai: deseja-se saber o volume de um tanque em funo da altura interna ocupada por um lquido (v = f(h)), pois externamente ao tanque ser colocado uma escala em que a altura ser correspondida ao volume. A forma geomtrica do tanque um cilindro deitado de raio 'r', comprimento 'a', logicamente a altura mxima de lquido ser h = 2*r; porm as bases desse cilindro no so retas mas abauladas, da forma de uma 'meia-esfera'. (Obs: s que esta 'meia-esfera' se juntada a outra 'meia' do lado oposto no dar o volume de uma esfera, pois no possivel completar est meia esfera j que esta interseciona a 'base' do cilindro antes do raio da esfera ter valor 'r', o raio do circulo). NOTA: se no foi possvel ilustrar como a configurao do tanque com as esferas, calcule apenas o volume do cilindro deitado, de 'bases' retas. Grato pela ajuda, []'s. Thomas de Rossi. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.
Ok. Entao tem-se um cilindro de raio r e comprimento a, digamos, centrado em (0,0,0). Em outras palavras, isto d a regio: -a/2 = x = a/2 y^2 + z^2 = r^2 Nas pontas x=a e x=-a, voce encaixa uma calota esfrica, certo? O problema que o seu tanque ainda no est bem definido: esta calota poderia ter centro em x=a/2 (e a dava um hemisfrio certinho, de raio r tambm) ou pode ter centro bem longe do ponto (a/2,0,0) -- por exemplo, poderia ter centro em (0,0,0) (dando uma calota que no chega a completar meia-esfera) ou at (-1000a,0,0) com raio enorme (dando uma calota quase plana). Voc tem como nos dizer exatamente como a calota encaixa nas bases do cilindro? Abrao, Ralph P.S.: Vou tentar dar alguma idia das possibilidades, apesar das limitacoes do ASCII. O raio das calotas pode ser: Grande (prximo a +INFINITO), dando calota QUAAASE plana: - / \ | | | | | | \ / - Pequeno (prximo a r/2), dando exatamente dois hemisfrios: _-_ / \ / \ | | \ / \ _ _ / - Coisas entre essas duas (r/2 RAIO DA CALOTA +INFINITO): - / \ / \ | | \ / \ / - Qual o raio da sua calota? :) Pessoal, Tudo bem? Gostaria da ajuda para resoluo de um problema prtico numa aplicao industrial. Como no tenho muitos conhecimentos de calculo (se somente por clculo for possvel). L vai: deseja-se saber o volume de um tanque em funo da altura interna ocupada por um lquido (v = f(h)), pois externamente ao tanque ser colocado uma escala em que a altura ser correspondida ao volume. A forma geomtrica do tanque um cilindro deitado de raio 'r', comprimento 'a', logicamente a altura mxima de lquido ser h = 2*r; porm as bases desse cilindro no so retas mas abauladas, da forma de uma 'meia-esfera'. (Obs: s que esta 'meia-esfera' se juntada a outra 'meia' do lado oposto no dar o volume de uma esfera, pois no possivel completar est meia esfera j que esta interseciona a 'base' do cilindro antes do raio da esfera ter valor 'r', o raio do circulo). NOTA: se no foi possvel ilustrar como a configurao do tanque com as esferas, calcule apenas o volume do cilindro deitado, de 'bases' retas. Grato pela ajuda, []'s. Thomas de Rossi.
Re: ajuda
Sauda,c~oes, Considere o problema: mostre que sen(alpha/2)sen(beta/2)sen(gamma/2) = 1/8 com alpha, beta e gamma ^angulos de um tri^angulo. Este problema 'e bem conhecido e pode ser resolvido usando a f'ormula de Euler para a dist^ancia entre O e I (centros dos c'irculos circunscrito e inscrito) pois r = R/2. Uma outra maneira 'e usar a desigualdade de Jensen (ver uma Eureka recente) e uma outra maneira, usando a teoria para calcular om'aximo de fun,c~oes com mais de uma vari'avelpode ser vista num livro de Trigonometria que escrevi. Assim sabemos que a resposta 'e alpha=beta=gamma=pi/3. No seu problema, cosA.cosB.cosC = sen(pi/2-A)sen(pi/2-B)sen(pi/2-C). Fa,ca pi/2-A=alpha/2, pi/2-B=beta/2 e pi/2-C=gamma/2. Conclua que A=B=C=pi/2 - pi/6 = pi/3 e cos(pi/3)=1/2. [ ]'s Lu'is -Mensagem Original- De: filho Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 20 de Fevereiro de 2001 22:02 Assunto: ajuda Prove que: se A +B + C = 180 e 8.cosA.cosB.cosC = 1 então o triângulo é equilátero.
Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.
Complementando, é claro "a grande sacada" de se colocar a escala é porque o volume de líquido ocupado não é linear com a altura. Desse modo é necessário saber a relação de correspondenia entre um vaso qualquer e a altura de líquido para determinção do volume. Sds, Thomas. From: "Thomas de Rossi" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque. Date: Wed, 21 Feb 2001 12:47:41 - Pessoal, Tudo bem? Gostaria da ajuda para resolução de um problema prático numa aplicação industrial. Como não tenho muitos conhecimentos de calculo (se somente por cálculo for possível). Lá vai: deseja-se saber o volume de um tanque em função da altura interna ocupada por um líquido (v = f(h)), pois externamente ao tanque será colocado uma escala em que a altura será correspondida ao volume. A forma geométrica do tanque é um cilindro deitado de raio 'r', comprimento 'a', logicamente a altura máxima de líquido será h = 2*r; porém as bases desse cilindro não são retas mas abauladas, da forma de uma 'meia-esfera'. (Obs: só que esta 'meia-esfera' se juntada a outra 'meia' do lado oposto não dará o volume de uma esfera, pois não é possivel completar está meia esfera já que esta interseciona a 'base' do cilindro antes do raio da esfera ter valor 'r', o raio do circulo). NOTA: se não foi possível ilustrar como é a configuração do tanque com as esferas, calcule apenas o volume do cilindro deitado, de 'bases' retas. Grato pela ajuda, []'s. Thomas de Rossi. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: ajuda
Considere, primeiro, que A possa ser igual a B. Temos que, para cada elemento de X: 1)Não pertence a A nem a B 2)Pertence só a B 3)Pertence a A e a B Como para cada elemento de X temos essas três possibilidades, temos um total de 3 elevado a n combinações. Como o enunciado pede que A seja diferente de B, subtrai o número de pares ordenados (A,A) em que A é subconjunto de X, ou seja, 2 elevado a n (número de subconjuntos de X) Rogério From: "filho" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: ajuda Date: Wed, 24 Jan 2001 09:24:53 -0200 Seja X um conjunto com n elementos. Mostre que o número de pares (A,B) tais que A,B são subconjuntos de X, A é um subconjunto de B, e A diferente de B é igual a 3 elevado a n menos 2 elevado a n . _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: ajuda
A 1a equacao estah certa, mas nas contas, achei 5. JP -Mensagem original-De: josimat [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 6 de Novembro de 2000 00:42Assunto: Re: ajuda Oi Filho! 500*1,65^n=125*2,178^n, com n medido em anos. 20=1,32^n n=(log20)/(log1,32)=~10,8. []'s JOSIMAR -Mensagem original-De: Filho [EMAIL PROTECTED]Para: discussão de problemas [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 5 de Novembro de 2000 23:03Assunto: ajuda Suponha que um assalariado ganha 500 unidades monetárias mensalmente, com reajuste de 65% anual, e pague uma prestação de 125 unidades monetárias mensais, com reajuste anual de 117,8%. supondo fixos esses reajustes, em quanto tempo, aproximadamente, o seu vencimento terá um valor exatamente igual ao da prestação? Dados: ( log 4 = 0,60 e log 1,32 = 0,12 )
Re: ajuda
Oi Filho! 500*1,65^n=125*2,178^n, com n medido em anos. 20=1,32^n n=(log20)/(log1,32)=~10,8. []'s JOSIMAR -Mensagem original-De: Filho [EMAIL PROTECTED]Para: discusso de problemas [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 5 de Novembro de 2000 23:03Assunto: ajuda Suponha que um assalariado ganha 500 unidades monetrias mensalmente, com reajuste de 65% anual, e pague uma prestao de 125 unidades monetrias mensais, com reajuste anual de 117,8%. supondo fixos esses reajustes, em quanto tempo, aproximadamente, o seu vencimento ter um valor exatamente igual ao da prestao? Dados: ( log 4 = 0,60 e log 1,32 = 0,12 )
Re: Ajuda
Olá João Paulo! Se Paulo, sozinho, fez 2/3 da obra em 10 dias, então faria 1/3 dela em 5 dias e a obra inteira, em 15 dias. Logo, em um único dia, Paulo faz 1/15 da obra. Supondo que a produtividade de Paulo não seja alterada quando ele travbalha junto com Pedro, podemos concluir que: em 4 dias, trabalhando com Pedro, Paulo fez 4/15 da obra, logo Pedro fez apenas (4/12) - (4/15)=1/15 da obra e Paulo fez 14/15 da obra. []'s JOSIMAR Agora, tentem este: 2) Flávio e Josimar, encarregados de uma obra, fariam o trabalho em 12 dias. No fim do quarto dia de trabalho, Flávio adoeceu e Josimar chamou seu sobrinho, o menino Josivaldo, para ajudá-lo, e os dois concluíram o serviço em 8 dias. Se Josivaldo possui a metade da produtividade de Josimar, então Flávio faria o trabalho sozinho em: a) 36 dias. b) 30 dias. c) 24 dias. d) 20 dias. e) 18 dias. -Mensagem original- De: João Paulo Paterniani da Silva [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 2 de Novembro de 2000 21:52 Assunto: Ajuda Olá. Pedro e Paulo, encarregados de uma obra, fariam todo o trabalho em 12 dias. No fim do quarto dia de trabalho, Pedro adoeceu e Paulo concluiu o serviço em 10 dias. Que fração da obra cada um executou? Obrigado João Paulo Paterniani da Silva _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: Ajuda
Nos dias em que trabalharam juntos Flávio e Josimar concluíram 1/3 da obra. Portanto Josilvado e Josimar concluíram os 2/3 restantes segundo a seguinte equação: 3J/2=2/3 = Josimar trabalhando sozinho entao concluíria 4/9 da obra. Se em 8 dias eles concluiu 4/9 em 4 concluiria 2/9, o resto foi feito por Flávio e equivale a 1/9. Se em 4 dias Flávio conclui 1/9 em 36 dias concluíria a obra toda. Acho que é isso!!! :PP -Mensagem Original- De: josimat [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quinta-feira, 2 de Novembro de 2000 23:32 Assunto: Re: Ajuda Olá João Paulo! Se Paulo, sozinho, fez 2/3 da obra em 10 dias, então faria 1/3 dela em 5 dias e a obra inteira, em 15 dias. Logo, em um único dia, Paulo faz 1/15 da obra. Supondo que a produtividade de Paulo não seja alterada quando ele travbalha junto com Pedro, podemos concluir que: em 4 dias, trabalhando com Pedro, Paulo fez 4/15 da obra, logo Pedro fez apenas (4/12) - (4/15)=1/15 da obra e Paulo fez 14/15 da obra. []'s JOSIMAR Agora, tentem este: 2) Flávio e Josimar, encarregados de uma obra, fariam o trabalho em 12 dias. No fim do quarto dia de trabalho, Flávio adoeceu e Josimar chamou seu sobrinho, o menino Josivaldo, para ajudá-lo, e os dois concluíram o serviço em 8 dias. Se Josivaldo possui a metade da produtividade de Josimar, então Flávio faria o trabalho sozinho em: a) 36 dias. b) 30 dias. c) 24 dias. d) 20 dias. e) 18 dias. -Mensagem original- De: João Paulo Paterniani da Silva [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 2 de Novembro de 2000 21:52 Assunto: Ajuda Olá. Pedro e Paulo, encarregados de uma obra, fariam todo o trabalho em 12 dias. No fim do quarto dia de trabalho, Pedro adoeceu e Paulo concluiu o serviço em 10 dias. Que fração da obra cada um executou? Obrigado João Paulo Paterniani da Silva _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: ajuda
Oi Carlos! J respondi o problema 2. Quanto questo 1, vejamos: .LIGA 1LIGA 2 COBRE. 2/5..3/10 ZINCO.3/5..7/10 Tomando x toneladas da liga 1 e y toneladas da liga 2, com x+y=8, vem: x=1 e y=7. importante perceber que para um nmero elevado de ligas e de metais, faz-se ltil o conceito de matrizes: [2/5 3/10] [x] [ 5 ] [ ] . [ ] = [ ] [3/5 7/10] [y] [11] []'s JOSIMAR -Mensagem original-De: Eduardo Favaro Botelho [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Quinta-feira, 2 de Novembro de 2000 21:39Assunto: ajuda Ol, Carlos. O problema 1 j foi resolvido numa das mensagens anteriores, d uma olhada. J o 2, cheguei a um resultado que no est em nenhuma das alternativas. Dem uma olhada, pessoal, pra ver seu a questo est furada ou se esta resoluco que est: Chamando de x aquantidade de ton da liga 1 e y a quantidade da liga 2, d pra montar uma mdia ponderada: 2/3x + 3/7y = 5/11 (equao 1) e x + y = 8 (equao 2) x + y Com algumas contas, chega-se a x = 0.87 e y = 7.13. Abraos, Eduardo -Mensagem original-De: Carlos Roberto de Moraes [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 29 de Outubro de 2000 14:02Assunto: ajuda Gostaria de pedir ajuda para resolver os dois problemas abaixo: 1(FAAP) Um pas est lanando sua nova moeda, o royal, feita de uma liga de zinco e cobre. A Casa da Moeda dispe de duas ligas: numa , os metais esto na razo 2/3; na outra, esto na razo 3/7. Para cunhar as moedas, quer-se produzir 8 toneladas de uma nova liga em que os metais estejam na razo 5/11. Para tanto, devem ser usadas da primeira e da segunda ligarespectivamente, as quantidades( em toneladas): a) 2 e 6 b) 3,5 e 4,5 c) 4 e 4 d) 1,5 e 6,5 e) 1 e 7 2) A soma das idades atuais de Pedro e Antonio exatamente 44 anos. Antonio tem o dobro da idade que Pedro tinha quando Antonio tinha a metade da idade Que Pedro ter quando Pedro tiver 3 vezes a idade que Antonio tinha quando Antonio era tres vezes mais velho que Pedro. Qunatos anos ( e meses) tem cada um? Se alguem puder me ajudar, desde j agradeo.
Re: ajuda
Ol Professor JP! Suspeito de que o problema proposto pelo Carlos seja bem diferente do clssico problema apresentado na RPM 16, mas vou tentar aplicar o mtodo sugerido l. []'s JOSIMAR -Mensagem original-De: Jos Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 30 de Outubro de 2000 13:05Assunto: Re: ajuda A respeito de problemas de idades, sugiro o artigo da Revistado Professor de Matematica, numero 16: Uma solucao geometrica para o problema das idades. JP -Mensagem original-De: josimat [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 29 de Outubro de 2000 21:11Assunto: Re: ajuda Oi Carlos! Pensei que conhecesse todos os problemas de idade, mas este de deixar tonto. A resposta do nmero 2 : ANTONIO 27,5 anos e PEDRO 16,5 anos. Resoluo: Tente equacionar de baixo pra cima, voce vai desenrolar tudo: A - idade atual de ANTNIO P - idade atual de PEDRO Considere que h x anos a idade de ANTONIO era o triplo da idade de PEDRO. Entao: A-x=3(P-x) A=2[P-(3x-A)/2] A+P=44 Donde vem x=11, A=27,5 e P=16,5, se no errei em nada. Por favor, confira. Nao se acanhe em retornar caso nao tenha entendido, por favor. []'s JOSIMAR -Mensagem original-De: Carlos Roberto de Moraes [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 29 de Outubro de 2000 14:44Assunto: ajuda Gostaria de pedir ajuda para resolver os dois problemas abaixo: 1(FAAP) Um pas est lanando sua nova moeda, o royal, feita de uma liga de zinco e cobre. A Casa da Moeda dispe de duas ligas: numa , os metais esto na razo 2/3; na outra, esto na razo 3/7. Para cunhar as moedas, quer-se produzir 8 toneladas de uma nova liga em que os metais estejam na razo 5/11. Para tanto, devem ser usadas da primeira e da segunda ligarespectivamente, as quantidades( em toneladas): a) 2 e 6 b) 3,5 e 4,5 c) 4 e 4 d) 1,5 e 6,5 e) 1 e 7 2) A soma das idades atuais de Pedro e Antonio exatamente 44 anos. Antonio tem o dobro da idade que Pedro tinha quando Antonio tinha a metade da idade Que Pedro ter quando Pedro tiver 3 vezes a idade que Antonio tinha quando Antonio era tres vezes mais velho que Pedro. Qunatos anos ( e meses) tem cada um? Se alguem puder me ajudar, desde j agradeo.
Re: ajuda
O metodo eh geral, e baseia-se no fato de que se voce pensar nos graficos idade x tempo de quaisquer duas pessoas, voce obterah duas paralelas a bissetriz dos quadrantes impares (sem perda de generalidade, um deles pode ser a propria). Estas linhas chamam-se em Demografia linhas de vida. JP -Mensagem original-De: josimat [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 30 de Outubro de 2000 14:18Assunto: Re: ajuda Ol Professor JP! Suspeito de que o problema proposto pelo Carlos seja bem diferente do clssico problema apresentado na RPM 16, mas vou tentar aplicar o mtodo sugerido l. []'s JOSIMAR -Mensagem original-De: Jos Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 30 de Outubro de 2000 13:05Assunto: Re: ajuda A respeito de problemas de idades, sugiro o artigo da Revistado Professor de Matematica, numero 16: Uma solucao geometrica para o problema das idades. JP -Mensagem original-De: josimat [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 29 de Outubro de 2000 21:11Assunto: Re: ajuda Oi Carlos! Pensei que conhecesse todos os problemas de idade, mas este de deixar tonto. A resposta do nmero 2 : ANTONIO 27,5 anos e PEDRO 16,5 anos. Resoluo: Tente equacionar de baixo pra cima, voce vai desenrolar tudo: A - idade atual de ANTNIO P - idade atual de PEDRO Considere que h x anos a idade de ANTONIO era o triplo da idade de PEDRO. Entao: A-x=3(P-x) A=2[P-(3x-A)/2] A+P=44 Donde vem x=11, A=27,5 e P=16,5, se no errei em nada. Por favor, confira. Nao se acanhe em retornar caso nao tenha entendido, por favor. []'s JOSIMAR -Mensagem original-De: Carlos Roberto de Moraes [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 29 de Outubro de 2000 14:44Assunto: ajuda Gostaria de pedir ajuda para resolver os dois problemas abaixo: 1(FAAP) Um pas est lanando sua nova moeda, o royal, feita de uma liga de zinco e cobre. A Casa da Moeda dispe de duas ligas: numa , os metais esto na razo 2/3; na outra, esto na razo 3/7. Para cunhar as moedas, quer-se produzir 8 toneladas de uma nova liga em que os metais estejam na razo 5/11. Para tanto, devem ser usadas da primeira e da segunda ligarespectivamente, as quantidades( em toneladas): a) 2 e 6 b) 3,5 e 4,5 c) 4 e 4 d) 1,5 e 6,5 e) 1 e 7 2) A soma das idades atuais de Pedro e Antonio exatamente 44 anos. Antonio tem o dobro da idade que Pedro tinha quando Antonio tinha a metade da idade Que Pedro ter quando Pedro tiver 3 vezes a idade que Antonio tinha quando Antonio era tres vezes mais velho que Pedro. Qunatos anos ( e meses) tem cada um? Se alguem puder me ajudar, desde j agradeo.
Re: ajuda
Oi Carlos! Pensei que conhecesse todos os problemas de idade, mas este de deixar tonto. A resposta do nmero 2 : ANTONIO 27,5 anos e PEDRO 16,5 anos. Resoluo: Tente equacionar de baixo pra cima, voce vai desenrolar tudo: A - idade atual de ANTNIO P - idade atual de PEDRO Considere que h x anos a idade de ANTONIO era o triplo da idade de PEDRO. Entao: A-x=3(P-x) A=2[P-(3x-A)/2] A+P=44 Donde vem x=11, A=27,5 e P=16,5, se no errei em nada. Por favor, confira. Nao se acanhe em retornar caso nao tenha entendido, por favor. []'s JOSIMAR -Mensagem original-De: Carlos Roberto de Moraes [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 29 de Outubro de 2000 14:44Assunto: ajuda Gostaria de pedir ajuda para resolver os dois problemas abaixo: 1(FAAP) Um pas est lanando sua nova moeda, o royal, feita de uma liga de zinco e cobre. A Casa da Moeda dispe de duas ligas: numa , os metais esto na razo 2/3; na outra, esto na razo 3/7. Para cunhar as moedas, quer-se produzir 8 toneladas de uma nova liga em que os metais estejam na razo 5/11. Para tanto, devem ser usadas da primeira e da segunda ligarespectivamente, as quantidades( em toneladas): a) 2 e 6 b) 3,5 e 4,5 c) 4 e 4 d) 1,5 e 6,5 e) 1 e 7 2) A soma das idades atuais de Pedro e Antonio exatamente 44 anos. Antonio tem o dobro da idade que Pedro tinha quando Antonio tinha a metade da idade Que Pedro ter quando Pedro tiver 3 vezes a idade que Antonio tinha quando Antonio era tres vezes mais velho que Pedro. Qunatos anos ( e meses) tem cada um? Se alguem puder me ajudar, desde j agradeo.
Re: ajuda
Ou ainda: pela simetria do cubo, não importa a aresta que voce escolhe primeiro. Das 11 restantes, é só fazer a figura, apenas 4 são reversas à primeira. Logo, teremos 4/11. Abracos a todos, olavo. From: "Eduardo Wagner" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: ajuda Date: Thu, 19 Oct 2000 21:04:50 -0700 São 12 arestas. Logo, 66 pares. Existem 24 pares de arestas concorrentes (3 pares em cada um dos 8 vértices). Existem 18 pares de arestas paralelas (6 pares em cada uma das e direções). Logo, existem 24 pares de arestas reversas. A sua probabilidade é 24/66 = 4/11. -- From: "Filho" [EMAIL PROTECTED] To: "discussão de problemas" [EMAIL PROTECTED] Subject: ajuda Date: Tue, Oct 17, 2000, 16:10 Escolhendo-se ao acaso duas arestas de um cubo, determine a probabilidade de elas serem reversas. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: ajuda
Title: Re: ajuda São 12 arestas. Logo, 66 pares. Existem 24 pares de arestas concorrentes (3 pares em cada um dos 8 vértices). Existem 18 pares de arestas paralelas (6 pares em cada uma das e direções). Logo, existem 24 pares de arestas reversas. A sua probabilidade é 24/66 = 4/11. -- From: Filho [EMAIL PROTECTED] To: discussão de problemas [EMAIL PROTECTED] Subject: ajuda Date: Tue, Oct 17, 2000, 16:10 Escolhendo-se ao acaso duas arestas de um cubo, determine a probabilidade de elas serem reversas.
Re: ajuda
Cada aresta de um cubo possui exatamente 4 arestas reversas. Portanto, o nmero de modos de se tomar duas arestas reversas 24. O nmero de modos de se tomar duas aresta 66. A probabilidade 24/66 ou 12/33. []'s JOSIMAR -Mensagem original-De: Filho [EMAIL PROTECTED]Para: discusso de problemas [EMAIL PROTECTED]Data: Tera-feira, 17 de Outubro de 2000 22:20Assunto: ajuda Escolhendo-se ao acaso duas arestas de um cubo, determine a probabilidade de elas serem reversas.
Re: Ajuda sobre Geometria Analítica
Ola Eduardo, Eu nao conheco a Biblioteca do IMPA - confesso que estou doido de vontade de conhece-la - mas sei que ha cerca de 3 anos atras havia um exemplar na Biblioteca da Escola de Engenharia da UFRJ. Um abraco Paulo Santa Rita 4,0945,04102000 On Tue, 03 Oct 2000 17:44:05 -0300 Eduardo Quintas da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Obrigado Paulo pela dica vou correr atrás desse livro mas tenho um pouco de pressa Será que que posso encontrar esse livro na biblioteca do IMPA Aguem poderia me ajudar... Valeu Paulo Santa Rita escreveu: Ola Eduardo, Quando eu procurei compreender melhor estes temas, alguns anos atras, tambem encontrei a mesma dificuldade que voce demonstra estar encontrando ... A maioria dos livros so tratam das EQUACOES CANONICAS DAS CONICAS EM SUAS EXPRESSOES CARTESIANAS, vale dizer : 1) Nao abordam a equacao geral do 2 grau em duas variaveis. 2) Nao tratam das expressoes em coordenadas polares, o que permite uma compreensao unitaria de todas as conicas em funcao do conceito de excentricidade Tudo isso e muito chato e faz com que problemas que seriam triviais se soubessemos estas coisas se tornem dificeis tao somente em funcao de nossa ignorancia por nao termos tido acesso a boas obras ... a Grande Inteligencia e boa e eu tive a sorte de encontrar em um sebo ( mercado de livros velhos e usados ) a obra : Geometria Analitica de Nikolai Efimov Editora Mir Neste livro - Maravilhoso ! - voce vai encontrar tudo aquilo que e interessante, que nao encontra nos livros tradicionais e que tornara, doravante, os problemas de analitica que envolvem conicas todos muito simples. Nele voce vera tambem uma razoavel introducao as quadricas. Todavia, como tudo que e bom, e um livro dificil de ser encontrado ... Voce tambem pode ver uma expressao em algebra linear e vetores para as conicas. Consulte : Algebra Linear, de Boldrini ( e outros ) Nao sei a editora Este livro e facilmente encontrado ... A vantagem de usa-lo e que voce, simultaneamente, tem uma amena introducao a algebra linear, o que sera importante posteriormente, quando voce for estudar Analise no R^n e Calculo Diferencial Exterior ( A derivada e, em verdade, uma matriz e, nao, um numero, como parece a principio ). O Prof Efimov tem um outro livro maravilhoso : Geometria Superior de Nikolay Efimov Editora Mir Nao ha dinheiro que paga este livro ! Finalmente, so a titulo de Experiencia, consiga o livro de Geometria Analitica do Prof Efimov. Estude-o com afinco e dedicacao. Volte a seguir e considere os problemas mais dificeis sobre Conicas que caem nos Concursos, Vestibulares e Olimpiadas : voce passara a olha-los com outros olhos ... Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1545,03102000 On Mon, 02 Oct 2000 22:44:50 -0300 Eduardo Quintas da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria que alguém me explicasse o conceito de reta diretriz para elipse e para hipérbole... consultando diversos livros didáticos ninguém escreve nada sobre isso. Eu sei que para a elipse as equaçoes sao : x = +- (a^2)/c Outra coisa que nao consigo achar e sobre o conceito de lactus rectum (ou qq coisa parecida com isso)... Obrigado... Eduardo Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Re: Ajuda sobre Geometria Analítica
Oi Eduardo, Há um livro muito bom que um ex-professor me indicou certa vez (ele tb foi professor do Nicolau e Ralph... José Ricardo, Ex-Impacto) O Livro é : Geometria Analítica Charles Lehman (não estou certo, mas acho que é esse sobrenome) Editora Globo Ele tinha capa amarela. Quanto aos livros que o Paulo indicou existirem na biblioteca do IMPA, acho que a possibilidade é grande. Lá há uma quantidade grande de livros bons. Aliás, recomendo a quem possa frequentar o IMPA e sua biblioteca. A matemática flui naquele ambiente. Você aprende só por estar lá. Obrigado Paulo pela dica vou correr atrás desse livro mas tenho um pouco de pressa Será que que posso encontrar esse livro na biblioteca do IMPA Aguem poderia me ajudar... Valeu
Re: Ajuda sobre Geometria Analítica
Ola Eduardo, Quando eu procurei compreender melhor estes temas, alguns anos atras, tambem encontrei a mesma dificuldade que voce demonstra estar encontrando ... A maioria dos livros so tratam das EQUACOES CANONICAS DAS CONICAS EM SUAS EXPRESSOES CARTESIANAS, vale dizer : 1) Nao abordam a equacao geral do 2 grau em duas variaveis. 2) Nao tratam das expressoes em coordenadas polares, o que permite uma compreensao unitaria de todas as conicas em funcao do conceito de excentricidade Tudo isso e muito chato e faz com que problemas que seriam triviais se soubessemos estas coisas se tornem dificeis tao somente em funcao de nossa ignorancia por nao termos tido acesso a boas obras ... a Grande Inteligencia e boa e eu tive a sorte de encontrar em um sebo ( mercado de livros velhos e usados ) a obra : Geometria Analitica de Nikolai Efimov Editora Mir Neste livro - Maravilhoso ! - voce vai encontrar tudo aquilo que e interessante, que nao encontra nos livros tradicionais e que tornara, doravante, os problemas de analitica que envolvem conicas todos muito simples. Nele voce vera tambem uma razoavel introducao as quadricas. Todavia, como tudo que e bom, e um livro dificil de ser encontrado ... Voce tambem pode ver uma expressao em algebra linear e vetores para as conicas. Consulte : Algebra Linear, de Boldrini ( e outros ) Nao sei a editora Este livro e facilmente encontrado ... A vantagem de usa-lo e que voce, simultaneamente, tem uma amena introducao a algebra linear, o que sera importante posteriormente, quando voce for estudar Analise no R^n e Calculo Diferencial Exterior ( A derivada e, em verdade, uma matriz e, nao, um numero, como parece a principio ). O Prof Efimov tem um outro livro maravilhoso : Geometria Superior de Nikolay Efimov Editora Mir Nao ha dinheiro que paga este livro ! Finalmente, so a titulo de Experiencia, consiga o livro de Geometria Analitica do Prof Efimov. Estude-o com afinco e dedicacao. Volte a seguir e considere os problemas mais dificeis sobre Conicas que caem nos Concursos, Vestibulares e Olimpiadas : voce passara a olha-los com outros olhos ... Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1545,03102000 On Mon, 02 Oct 2000 22:44:50 -0300 Eduardo Quintas da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria que alguém me explicasse o conceito de reta diretriz para elipse e para hipérbole... consultando diversos livros didáticos ninguém escreve nada sobre isso. Eu sei que para a elipse as equaçoes sao : x = +- (a^2)/c Outra coisa que nao consigo achar e sobre o conceito de lactus rectum (ou qq coisa parecida com isso)... Obrigado... Eduardo Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Ajuda sobre Geometria Analítica
Obrigado Paulo pela dica vou correr atrás desse livro mas tenho um pouco de pressa Será que que posso encontrar esse livro na biblioteca do IMPA Aguem poderia me ajudar... Valeu Paulo Santa Rita escreveu: Ola Eduardo, Quando eu procurei compreender melhor estes temas, alguns anos atras, tambem encontrei a mesma dificuldade que voce demonstra estar encontrando ... A maioria dos livros so tratam das EQUACOES CANONICAS DAS CONICAS EM SUAS EXPRESSOES CARTESIANAS, vale dizer : 1) Nao abordam a equacao geral do 2 grau em duas variaveis. 2) Nao tratam das expressoes em coordenadas polares, o que permite uma compreensao unitaria de todas as conicas em funcao do conceito de excentricidade Tudo isso e muito chato e faz com que problemas que seriam triviais se soubessemos estas coisas se tornem dificeis tao somente em funcao de nossa ignorancia por nao termos tido acesso a boas obras ... a Grande Inteligencia e boa e eu tive a sorte de encontrar em um sebo ( mercado de livros velhos e usados ) a obra : Geometria Analitica de Nikolai Efimov Editora Mir Neste livro - Maravilhoso ! - voce vai encontrar tudo aquilo que e interessante, que nao encontra nos livros tradicionais e que tornara, doravante, os problemas de analitica que envolvem conicas todos muito simples. Nele voce vera tambem uma razoavel introducao as quadricas. Todavia, como tudo que e bom, e um livro dificil de ser encontrado ... Voce tambem pode ver uma expressao em algebra linear e vetores para as conicas. Consulte : Algebra Linear, de Boldrini ( e outros ) Nao sei a editora Este livro e facilmente encontrado ... A vantagem de usa-lo e que voce, simultaneamente, tem uma amena introducao a algebra linear, o que sera importante posteriormente, quando voce for estudar Analise no R^n e Calculo Diferencial Exterior ( A derivada e, em verdade, uma matriz e, nao, um numero, como parece a principio ). O Prof Efimov tem um outro livro maravilhoso : Geometria Superior de Nikolay Efimov Editora Mir Nao ha dinheiro que paga este livro ! Finalmente, so a titulo de Experiencia, consiga o livro de Geometria Analitica do Prof Efimov. Estude-o com afinco e dedicacao. Volte a seguir e considere os problemas mais dificeis sobre Conicas que caem nos Concursos, Vestibulares e Olimpiadas : voce passara a olha-los com outros olhos ... Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1545,03102000 On Mon, 02 Oct 2000 22:44:50 -0300 Eduardo Quintas da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria que alguém me explicasse o conceito de reta diretriz para elipse e para hipérbole... consultando diversos livros didáticos ninguém escreve nada sobre isso. Eu sei que para a elipse as equaçoes sao : x = +- (a^2)/c Outra coisa que nao consigo achar e sobre o conceito de lactus rectum (ou qq coisa parecida com isso)... Obrigado... Eduardo Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Ajuda sobre Geometria Analítica
So uma observacao: a expressao (latina) correta eh: latus rectum. -Mensagem original- De: Eduardo Quintas da Silva [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 3 de Outubro de 2000 19:16 Assunto: Re: Ajuda sobre Geometria Analítica Obrigado Paulo pela dica vou correr atrás desse livro mas tenho um pouco de pressa Será que que posso encontrar esse livro na biblioteca do IMPA Aguem poderia me ajudar... Valeu Paulo Santa Rita escreveu: Ola Eduardo, Quando eu procurei compreender melhor estes temas, alguns anos atras, tambem encontrei a mesma dificuldade que voce demonstra estar encontrando ... A maioria dos livros so tratam das EQUACOES CANONICAS DAS CONICAS EM SUAS EXPRESSOES CARTESIANAS, vale dizer : 1) Nao abordam a equacao geral do 2 grau em duas variaveis. 2) Nao tratam das expressoes em coordenadas polares, o que permite uma compreensao unitaria de todas as conicas em funcao do conceito de excentricidade Tudo isso e muito chato e faz com que problemas que seriam triviais se soubessemos estas coisas se tornem dificeis tao somente em funcao de nossa ignorancia por nao termos tido acesso a boas obras ... a Grande Inteligencia e boa e eu tive a sorte de encontrar em um sebo ( mercado de livros velhos e usados ) a obra : Geometria Analitica de Nikolai Efimov Editora Mir Neste livro - Maravilhoso ! - voce vai encontrar tudo aquilo que e interessante, que nao encontra nos livros tradicionais e que tornara, doravante, os problemas de analitica que envolvem conicas todos muito simples. Nele voce vera tambem uma razoavel introducao as quadricas. Todavia, como tudo que e bom, e um livro dificil de ser encontrado ... Voce tambem pode ver uma expressao em algebra linear e vetores para as conicas. Consulte : Algebra Linear, de Boldrini ( e outros ) Nao sei a editora Este livro e facilmente encontrado ... A vantagem de usa-lo e que voce, simultaneamente, tem uma amena introducao a algebra linear, o que sera importante posteriormente, quando voce for estudar Analise no R^n e Calculo Diferencial Exterior ( A derivada e, em verdade, uma matriz e, nao, um numero, como parece a principio ). O Prof Efimov tem um outro livro maravilhoso : Geometria Superior de Nikolay Efimov Editora Mir Nao ha dinheiro que paga este livro ! Finalmente, so a titulo de Experiencia, consiga o livro de Geometria Analitica do Prof Efimov. Estude-o com afinco e dedicacao. Volte a seguir e considere os problemas mais dificeis sobre Conicas que caem nos Concursos, Vestibulares e Olimpiadas : voce passara a olha-los com outros olhos ... Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1545,03102000 On Mon, 02 Oct 2000 22:44:50 -0300 Eduardo Quintas da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria que alguém me explicasse o conceito de reta diretriz para elipse e para hipérbole... consultando diversos livros didáticos ninguém escreve nada sobre isso. Eu sei que para a elipse as equaçoes sao : x = +- (a^2)/c Outra coisa que nao consigo achar e sobre o conceito de lactus rectum (ou qq coisa parecida com isso)... Obrigado... Eduardo Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Ajuda
Sauda,c~oes,
A soma 1+2+3+...+n vale n(n+1)/2. Simplificando a
equa,c~ao dada, obtemos (n-1)!=120 e n=6.
Calculando $\log_{1/2} 16$, obtemos $n= - 4$.
[ ]'s
Lu'is
-Mensagem Original-
De: João Paulo Paterniani da Silva [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Segunda-feira, 2 de Outubro de 2000 20:02
Assunto: Ajuda
Olá.
Por favor, me ajudem nesse exercício:
(FATEC)-Seja n pertencente IN, tal que
(1+2+3+...+n)/(n+1)! = 1/240
Então o valor de log (2n+4) é:
1/2
a)-4 b)4 c)-2sqrt2 d)2sqrt2e)1/2
Muito obrigado.
João Paulo Paterniani da Silva
_
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Re: Ajuda
At 19:02 02/10/00 EDT, you wrote: Olá. Por favor, me ajudem nesse exercício: (FATEC)-Seja n pertencente IN, tal que (1+2+3+...+n)/(n+1)! = 1/240 Entao n(n+1) / 2(n+1)! = 1/240 - 1/2(n-1)! = 1/240 - (n-1)!=120 - n=6... Bruno Leite Então o valor de log (2n+4) é: 1/2 a)-4 b)4 c)-2sqrt2 d)2sqrt2e)1/2 Muito obrigado. João Paulo Paterniani da Silva _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: ajuda
Oi Filho,
Este já foi respondido: se k é o número de retas e n, o no. de
pontos de interseção, então {k\choose 2}\geq n,
onde {k\choose 2}=[k(k-1)]/2 e \geq representa =
\geq greater than or equal. Resolvendo obtemos a resposta do
professor Rousseau (já enviada para a lista) usando a função
ceiling ou teto.
Veja que para n=6, k=4 é necessário. Podemos ter 4 retas e
0 pontos de interseção.
[ ]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Filho
Para: discussão de
problemas
Enviada em: Sexta-feira, 8 de Setembro de
2000 23:38
Assunto: ajuda
PUC-SP
Qual é o menor número de
retas que se devem traçar em um plano, de modo a obter 6 pontos de
interseção?
Comentários: Por construção é fácil ver que 4 retas é o
suficiente.
Gostaria que resolvessem usando recursos de combinatória a
situação abaixo:
Qual é o menor número de retas que se devem
traçar em um plano, de
modo a obter n pontos de interseção
?
