[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números, trigonometria e racionalidade

[Anderson Torres]

Em dom., 11 de dez. de 2022 às 10:32, Anderson Torres
 escreveu:
>
> Em sáb., 10 de dez. de 2022 às 22:08, marcone augusto araújo borges
>  escreveu:
> >
> > Seja p um número primo tal que p = = 3 (mod4) e @ um ângulo tal que tan@ é 
> > racional. Prove que tan((p+1)@) também é racional com numerador múltiplo de 
> > p
> > Desde já agradeço por algum esclarecimento ou solução.
>
> Bem, o que eu consigo pensar é em algo desse tipo.
>
> Sabemos que tan(m+n) = (tan(m) + tan(n))/(1-tan(m)* tan(n))
>
> Escrevamos tan(nX)=p(n)/q(n), onde p e q são polinômios em t=tan(X).
> Temos então a seguinte recorrência:
>
> p(1)=t; p(n+1)=p(n)+tq(n)
> q(1)=1; q(n+1)=-tp(n)+q(n)
>
> Jogando aqui e ali, temos
>
> p(1)=t; p(2)=2t; p(n+2)=2p(n+1)-(t^2+1)p(n)
> q(1)=1; q(2)=1-t^2; q(n+2)=2q(n+1)-(t^2+1)q(n)
>
> De cara, se nota que p sempre será múltiplo de p, e que q sempre deixa
> resto 1 módulo t, o que já dá uma pista do que procurar...
> Decerto, vai aparecer alguma coisa do tipo x^2+1, e com isso se usa o
> fato de p ser primo da forma 4k-1...
>

Acho que dá para melhorar. Suponha tan(nX)=A(n)/B(n). Assim,

A(n+1) =  B*A(n) + A*B(n)
B(n+1) = -A*A(n) + B*B(n)

E portanto

A(n+2) = 2B*A(n+1) - (A^2+B^2)*A(n), A(1)=A, A(2)=2AB
B(n+2) = 2B*B(n+1) - (A^2+B^2)*B(n), B(1)=B, B(2)=B^2-A^2

A ideia então seria demonstrar que A(p+1) é múltiplo de p para p primo
da forma 4k-1, e B(p+1) não é múltiplo de p para p primo da forma
4k-1.

Dessa forma, ao menos em princípio seria possível verificar a segunda
premissa, pois a primeira é óbvia.

> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números, trigonometria e racionalidade

[Anderson Torres]

Em sáb., 10 de dez. de 2022 às 22:08, marcone augusto araújo borges
 escreveu:
>
> Seja p um número primo tal que p = = 3 (mod4) e @ um ângulo tal que tan@ é 
> racional. Prove que tan((p+1)@) também é racional com numerador múltiplo de p
> Desde já agradeço por algum esclarecimento ou solução.

Bem, o que eu consigo pensar é em algo desse tipo.

Sabemos que tan(m+n) = (tan(m) + tan(n))/(1-tan(m)* tan(n))

Escrevamos tan(nX)=p(n)/q(n), onde p e q são polinômios em t=tan(X).
Temos então a seguinte recorrência:

p(1)=t; p(n+1)=p(n)+tq(n)
q(1)=1; q(n+1)=-tp(n)+q(n)

Jogando aqui e ali, temos

p(1)=t; p(2)=2t; p(n+2)=2p(n+1)-(t^2+1)p(n)
q(1)=1; q(2)=1-t^2; q(n+2)=2q(n+1)-(t^2+1)q(n)

De cara, se nota que p sempre será múltiplo de p, e que q sempre deixa
resto 1 módulo t, o que já dá uma pista do que procurar...
Decerto, vai aparecer alguma coisa do tipo x^2+1, e com isso se usa o
fato de p ser primo da forma 4k-1...

>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Teoria dos números, trigonometria e racionalidade

[marcone augusto araújo borges]

Seja p um número primo tal que p = = 3 (mod4) e @ um ângulo tal que tan@ é 
racional. Prove que tan((p+1)@) também é racional com numerador múltiplo de p
Desde já agradeço por algum esclarecimento ou solução.

-- 
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[obm-l] Ajuda em trigonometria

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá amigos, preciso de uma ajuda no seguinte problema abaixo:

Quero descobrir a solução geral para a equação trigonométrica

cos(ax+b)+cos(cx+d)=cos(ex+f)+cos(gx+h)


Sempre que nos deparamos com aqueles problemas de perseguição angular ou
outro tipo de problema de ângulos adventícios, geralmente caímos em um tipo
de equação desta.

Gostaria de uma ajuda, indicação de algum artigo, ou trabalho que fale sobe
isso. Pois acredito que já deve existir algo nesse sentido.

Desde já, muitíssimo obrigado.

Um grande abraço do
Douglas Oliveira

-- 
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[obm-l] Re: Trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

sen(pi/3) e cos(pi/3) pode deixar

Em ter, 3 de set de 2019 às 10:47, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Se senx é irracional então cosx também é irracional?
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>


-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
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[obm-l] Trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

Se senx é irracional então cosx também é irracional?
-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
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Re: [obm-l] Trigonometria

[Claudio Buffara]

Tudo o que você precisa está nas primeiras duas páginas daqui:
http://people.math.sc.edu/filaseta/gradcourses/TheMath784Notes.pdf

On Mon, Sep 2, 2019 at 8:34 AM Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> wrote:

> Alguém sabe se existe sen(pi/n) racional para n suficientemente grande?
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avg.com
> .
> <#m_829828656712733292_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

Alguém sabe se existe sen(pi/n) racional para n suficientemente grande?
-- 
Israel Meireles Chrisostomo


Livre
de vírus. www.avg.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

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Re: [obm-l] Trigonometria

[Prof. Douglas Oliveira]

Opa mandei errado aqui a tangente, não é dessa questão não, essa questão
sua tem algo errado.🤔🤔

Em qua, 28 de ago de 2019 14:42, Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:

> Pode enviar a solução?
>
> Em qua, 28 de ago de 2019 13:57, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> X=arctg(2/3raiz5)
>>
>> Em qua, 28 de ago de 2019 10:13, Carlos Monteiro <
>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Sim, EC=2x; DE=x; BD=x.
>>>
>>> Em qua, 28 de ago de 2019 08:56, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Ou seja, os pontos ocorrem na ordem B-D-E-C, E é o ponto médio de BC e
 D é o ponto médio de BE. É isso?

 On Wed, Aug 28, 2019 at 8:15 AM Carlos Monteiro <
 cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:

> Caramba, me desculpa
>
> O correto é 2(BD)=2(DE)=EC
>
> Em ter, 27 de ago de 2019 11:24, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Tu tem a fonte dela amigao??
>> A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?
>>
>> Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
>>> 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
>>> ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


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>>>
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Trigonometria

[Carlos Monteiro]

Pode enviar a solução?

Em qua, 28 de ago de 2019 13:57, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> X=arctg(2/3raiz5)
>
> Em qua, 28 de ago de 2019 10:13, Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>
>> Sim, EC=2x; DE=x; BD=x.
>>
>> Em qua, 28 de ago de 2019 08:56, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Ou seja, os pontos ocorrem na ordem B-D-E-C, E é o ponto médio de BC e D
>>> é o ponto médio de BE. É isso?
>>>
>>> On Wed, Aug 28, 2019 at 8:15 AM Carlos Monteiro <
>>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>>>
 Caramba, me desculpa

 O correto é 2(BD)=2(DE)=EC

 Em ter, 27 de ago de 2019 11:24, Prof. Douglas Oliveira <
 profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Tu tem a fonte dela amigao??
> A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?
>
> Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>
>> Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
>> 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
>> ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.


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>>>
>>>
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Trigonometria

[Prof. Douglas Oliveira]

X=arctg(2/3raiz5)

Em qua, 28 de ago de 2019 10:13, Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:

> Sim, EC=2x; DE=x; BD=x.
>
> Em qua, 28 de ago de 2019 08:56, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Ou seja, os pontos ocorrem na ordem B-D-E-C, E é o ponto médio de BC e D
>> é o ponto médio de BE. É isso?
>>
>> On Wed, Aug 28, 2019 at 8:15 AM Carlos Monteiro <
>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Caramba, me desculpa
>>>
>>> O correto é 2(BD)=2(DE)=EC
>>>
>>> Em ter, 27 de ago de 2019 11:24, Prof. Douglas Oliveira <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Tu tem a fonte dela amigao??
 A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?

 Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
 cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:

> Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
> 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
> ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Trigonometria

[Carlos Monteiro]

Sim, EC=2x; DE=x; BD=x.

Em qua, 28 de ago de 2019 08:56, Claudio Buffara 
escreveu:

> Ou seja, os pontos ocorrem na ordem B-D-E-C, E é o ponto médio de BC e D é
> o ponto médio de BE. É isso?
>
> On Wed, Aug 28, 2019 at 8:15 AM Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>
>> Caramba, me desculpa
>>
>> O correto é 2(BD)=2(DE)=EC
>>
>> Em ter, 27 de ago de 2019 11:24, Prof. Douglas Oliveira <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Tu tem a fonte dela amigao??
>>> A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?
>>>
>>> Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
>>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
 ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Claudio Buffara]

Ou seja, os pontos ocorrem na ordem B-D-E-C, E é o ponto médio de BC e D é
o ponto médio de BE. É isso?

On Wed, Aug 28, 2019 at 8:15 AM Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:

> Caramba, me desculpa
>
> O correto é 2(BD)=2(DE)=EC
>
> Em ter, 27 de ago de 2019 11:24, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Tu tem a fonte dela amigao??
>> A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?
>>
>> Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
>>> 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
>>> ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Carlos Monteiro]

Caramba, me desculpa

O correto é 2(BD)=2(DE)=EC

Em ter, 27 de ago de 2019 11:24, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Tu tem a fonte dela amigao??
> A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?
>
> Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>
>> Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
>> 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
>> ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Prof. Douglas Oliveira]

Tu tem a fonte dela amigao??
A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?

Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:

> Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
> 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
> ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Trigonometria

[Carlos Monteiro]

Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] lógica e trigonometria

[Pedro José]

Boa tarde!
 O que seria a recíproca da lei do seno?

Em dom, 23 de dez de 2018 23:09, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

> Como eu provo que a recíproca da lei dos senos é verdadeira ?
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_-3235269072351104189_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] lógica e trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

Como eu provo que a recíproca da lei dos senos é verdadeira ?

-- 
Israel Meireles Chrisostomo


Livre
de vírus. www.avast.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema de Trigonometria

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Ralph!
Bom dia!
Muito obrigado pela ajuda!
Agora o problema faz sentido!
Um abraço!
Luiz


On Tue, Nov 6, 2018, 10:45 PM Ralph Teixeira  Eles disseram que a expressão eh uma identidade **em x**. Abrindo a
> expressão da direita e organizando, o que foi dado eh que:
> sinx+2cosx=(Asiny)sinx+(Acosy)cosx vale para todo x real.
>
> Como A e y sao NUMEROS (nao dependem de x), o unico jeito de isso
> acontecer eh se os coeficientes de sinx e cosx de um lado coincidirem com
> os coeficientes do outro lado, respectivamente (se você ainda não acredita
> nisso, explico no "Mais Embaixo"). Então devemos ter:
> Asiny=1
> Acosy=2
> Elevando ao quadrado e somando, vem A^2=5, ou seja, A=raiz(5) (pois eles
> falaram que A>0).
>
> Abraco, Ralph.
>
> M.E.: a afirmacao que eu fiz equivale a dizer que sinx e cosx sao funcoes
> linearmente independentes... em suma, estou dizendo que Bsinx+Ccosx=0 (para
> todo x) se, e somente se, B=C=0. De fato, se B fosse nao nulo, teriamos
> rearrumando que tanx=-C/B PARA TODO x REAL!! Isso eh claramente absurdo,
> tanx nao eh uma funcao constante que nao depende de x! Entao a conclusao eh
> que B=0, e portanto Ccosx=0 para todo x real, e dali C=0 tambem.
>
> Para conectar o problema original com este papo do paragrafo anterior,
> pegue aquela identidade em x em cima e escreva-a assim:
> (Asiny-2) sinx + (Acosy-2) cosx = 0
> Como os caras entre parenteses sao numeros, nao dependem de x, voce pode
> chama-los de B e C... e entao recai no que eu falei sobre linearmente
> independentes ali, ou seja, devemos ter B=C=0, e entao Asiny=1 e Acosy=2,
> como falamos antes.
>
> On Tue, Nov 6, 2018 at 9:59 PM Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> wrote:
>
>> Olá, boa noite!
>> Transcrevi abaixo uma questão da Fuvest (SP). Já vi a resolução em vários
>> sites, mas achei tudo muito estranho...
>> Alguém pode me ajudar?
>> Muito obrigado e um abraço!
>> Luiz
>>
>> Sabe-se que existem números reais A e y, sendo A > 0, tais que:
>>
>> senx + 2cosx=Acos(x-y)
>>
>> para todo x real. Qual o valor de A?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema de Trigonometria

[Ralph Teixeira]

Eles disseram que a expressão eh uma identidade **em x**. Abrindo a
expressão da direita e organizando, o que foi dado eh que:
sinx+2cosx=(Asiny)sinx+(Acosy)cosx vale para todo x real.

Como A e y sao NUMEROS (nao dependem de x), o unico jeito de isso acontecer
eh se os coeficientes de sinx e cosx de um lado coincidirem com os
coeficientes do outro lado, respectivamente (se você ainda não acredita
nisso, explico no "Mais Embaixo"). Então devemos ter:
Asiny=1
Acosy=2
Elevando ao quadrado e somando, vem A^2=5, ou seja, A=raiz(5) (pois eles
falaram que A>0).

Abraco, Ralph.

M.E.: a afirmacao que eu fiz equivale a dizer que sinx e cosx sao funcoes
linearmente independentes... em suma, estou dizendo que Bsinx+Ccosx=0 (para
todo x) se, e somente se, B=C=0. De fato, se B fosse nao nulo, teriamos
rearrumando que tanx=-C/B PARA TODO x REAL!! Isso eh claramente absurdo,
tanx nao eh uma funcao constante que nao depende de x! Entao a conclusao eh
que B=0, e portanto Ccosx=0 para todo x real, e dali C=0 tambem.

Para conectar o problema original com este papo do paragrafo anterior,
pegue aquela identidade em x em cima e escreva-a assim:
(Asiny-2) sinx + (Acosy-2) cosx = 0
Como os caras entre parenteses sao numeros, nao dependem de x, voce pode
chama-los de B e C... e entao recai no que eu falei sobre linearmente
independentes ali, ou seja, devemos ter B=C=0, e entao Asiny=1 e Acosy=2,
como falamos antes.

On Tue, Nov 6, 2018 at 9:59 PM Luiz Antonio Rodrigues 
wrote:

> Olá, boa noite!
> Transcrevi abaixo uma questão da Fuvest (SP). Já vi a resolução em vários
> sites, mas achei tudo muito estranho...
> Alguém pode me ajudar?
> Muito obrigado e um abraço!
> Luiz
>
> Sabe-se que existem números reais A e y, sendo A > 0, tais que:
>
> senx + 2cosx=Acos(x-y)
>
> para todo x real. Qual o valor de A?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Problema de Trigonometria

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, boa noite!
Transcrevi abaixo uma questão da Fuvest (SP). Já vi a resolução em vários
sites, mas achei tudo muito estranho...
Alguém pode me ajudar?
Muito obrigado e um abraço!
Luiz

Sabe-se que existem números reais A e y, sendo A > 0, tais que:

senx + 2cosx=Acos(x-y)

para todo x real. Qual o valor de A?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] trigonometria, alguma sugestão?

[Esdras Muniz]

Usando a notação cis(u)=cos(u)+i.sen(u), temos que cis(u).cis(v)=cis(u+v),
para todos os u, v reais.
Daí, 1 = b/a.a/c.c/b = cis(x).cis(y)cis(z) = cis(x+y+z). Então cos(x+y+z) =
1 e sen(x+y+z) = 0. Portanto (x+y+z) é múltiplo de 2π.

Em qui, 27 de set de 2018 às 22:11, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

>   Prove que se existem números complexos a,b e c tais que  b/a = cos(x) +
> isen(x),  a/c = cos(y) + isen(y)  e  c/b = cos(z) + isen(z)
>
>   Então existe um valor de j pertencente aos naturais, tal que para cada
> valor de k natural a igualdade x + y + z = 2jπ/k é verdadeira.
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] trigonometria, alguma sugestão?

[Israel Meireles Chrisostomo]

  Prove que se existem números complexos a,b e c tais que  b/a = cos(x) +
isen(x),  a/c = cos(y) + isen(y)  e  c/b = cos(z) + isen(z)

  Então existe um valor de j pertencente aos naturais, tal que para cada
valor de k natural a igualdade x + y + z = 2jπ/k é verdadeira.

-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

Vcs conhecem algum arco múltiplo racional de pi, tal que cotangente desse
arco seja racional?Além daquelas triviais pi/2 e pi/4?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: Re: PDF trigonometria

[Listeiro 037]

Ok. Bem lembrado.

Em Mon, 18 Jan 2016 18:45:56 -0200
Israel Meireles Chrisostomo  escreveu:

> Tipo vc teria sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ)  e sen(2α) + sen(2β) +
> sen(2γ) mas veja que em uma α + β + γ=pi/2 e na outra α + β + γ=pi
> na verdade vc nem poderia chamar do mesmo valor de ângulo
> 
> Em 18 de janeiro de 2016 18:42, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> 
> > vc não pode dobrar os ângulos e igualar com a outra pq daí vc teria
> > alpha+beta +gamma=pi/2 em uma e alpha+beta+gamma=pi em outra então
> > essas dua identidades não podem ser iguais, mas se vc só dobrar os
> > Ângulos e NÃO IGUALAR com 3 aí sim vc pode
> >
> > Em 18 de janeiro de 2016 18:37, Israel Meireles Chrisostomo <
> > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> >
> >>  quer dizer, vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria
> >> alpha+beta +gamma=pi/2
> >>
> >> Em 18 de janeiro de 2016 18:36, Israel Meireles Chrisostomo <
> >> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >>> Vc deve prestar muita atenção nessas substituições pq ao se fazer
> >>> essas substituições vc está no fundo alterando os valores dos
> >>> ângulos e essas identidades só valem para aquele valor da soma de
> >>> ângulo
> >>>
> >>> Em 18 de janeiro de 2016 18:30, Israel Meireles Chrisostomo <
> >>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> >>>
>  Vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria a+b+c=2pi, e vc
>  provou que a identidade vale para a+b+c=pi
> 
>  Em 18 de janeiro de 2016 18:29, Israel Meireles Chrisostomo <
>  israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> 
> > Ah desculpa, vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria
> > a+b+c=2pi
> >
> > Em 18 de janeiro de 2016 18:28, Israel Meireles Chrisostomo <
> > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> >
> >> Sim, ao meu ver está correto resulta em uma outra identidade,
> >> mas tem que tomar cuidado com o detalhe
> >> sen((a+b)/2)=cos(pi/2-(a+b)/2)=cos((a+b+c)/2-(a+b)/2)=cos(c/2)
> >> e identidade 3 segue disso aqui
> >> :sen(a+b)=sen(pi-(a+b))=sen(a+b+c-(a+b))=senc
> >> Uma vc usa que senx=cos(pi/2-x) e a outra vc usa
> >> senx=sen(pi-x)  como nos dois casos a+b+c=pi vc faz a troca e
> >> cancela os ângulos
> >>
> >> Em 18 de janeiro de 2016 18:13, Listeiro 037 <
> >> listeiro_...@yahoo.com.br> escreveu:
> >>
> >>>
> >>> Olá. Comecei a ler o material.
> >>>
> >>> Não testei ainda, mas fiquei com uma dúvida. Página 3:
> >>>
> >>> 2. sen(α) + sen(β) + sen(γ) = 4 cos(α/2) cos(β/2) cos(γ/2)
> >>>
> >>> 3. sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)
> >>>
> >>> Dobrando os valores dos ângulos de 2 resulta numa outra
> >>> identidade se comparado com 3.
> >>>
> >>> 4 cos(α) cos(β) cos(γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)
> >>>
> >>> Está correto?
> >>>
> >>>
> >>> Em Mon, 18 Jan 2016 14:50:18 -0200
> >>> Israel Meireles Chrisostomo 
> >>> escreveu:
> >>>
> >>> > Passando para divulgar um pdf que escrevi, editei vários
> >>> > pontos, espero que seja útil para alguém aqui do grupo:
> >>> >
> >>> http://media.wix.com/ugd/3eea37_b448f135f8e34c698e369d1578d881f5.pdf
> >>>
> >>>
> >>> =
> >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
> >>> em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>>
> >>> =
> >>>
> >>
> >>
> >
> 
> >>>
> >>
> >

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] PDF trigonometria

[marcone augusto araújo borges]

Valeu, cara!

Date: Mon, 18 Jan 2016 14:50:18 -0200
Subject: [obm-l] PDF trigonometria
From: israelmchrisost...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Passando para divulgar um pdf que escrevi, editei vários pontos, espero que 
seja útil para alguém aqui do grupo:
http://media.wix.com/ugd/3eea37_b448f135f8e34c698e369d1578d881f5.pdf
  

Re: [obm-l] Re: PDF trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

vc não pode dobrar os ângulos e igualar com a outra pq daí vc teria
alpha+beta +gamma=pi/2 em uma e alpha+beta+gamma=pi em outra então essas
dua identidades não podem ser iguais, mas se vc só dobrar os Ângulos e NÃO
IGUALAR com 3 aí sim vc pode

Em 18 de janeiro de 2016 18:37, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

>  quer dizer, vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria alpha+beta
> +gamma=pi/2
>
> Em 18 de janeiro de 2016 18:36, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Vc deve prestar muita atenção nessas substituições pq ao se fazer essas
>> substituições vc está no fundo alterando os valores dos ângulos e essas
>> identidades só valem para aquele valor da soma de ângulo
>>
>> Em 18 de janeiro de 2016 18:30, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria a+b+c=2pi, e vc provou que
>>> a identidade vale para a+b+c=pi
>>>
>>> Em 18 de janeiro de 2016 18:29, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Ah desculpa, vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria a+b+c=2pi

 Em 18 de janeiro de 2016 18:28, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Sim, ao meu ver está correto resulta em uma outra identidade, mas tem
> que tomar cuidado com o detalhe
> sen((a+b)/2)=cos(pi/2-(a+b)/2)=cos((a+b+c)/2-(a+b)/2)=cos(c/2)
> e identidade 3 segue disso aqui
> :sen(a+b)=sen(pi-(a+b))=sen(a+b+c-(a+b))=senc
> Uma vc usa que senx=cos(pi/2-x) e a outra vc usa senx=sen(pi-x)  como
> nos dois casos a+b+c=pi vc faz a troca e cancela os ângulos
>
> Em 18 de janeiro de 2016 18:13, Listeiro 037 <
> listeiro_...@yahoo.com.br> escreveu:
>
>>
>> Olá. Comecei a ler o material.
>>
>> Não testei ainda, mas fiquei com uma dúvida. Página 3:
>>
>> 2. sen(α) + sen(β) + sen(γ) = 4 cos(α/2) cos(β/2) cos(γ/2)
>>
>> 3. sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)
>>
>> Dobrando os valores dos ângulos de 2 resulta numa outra identidade se
>> comparado com 3.
>>
>> 4 cos(α) cos(β) cos(γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)
>>
>> Está correto?
>>
>>
>> Em Mon, 18 Jan 2016 14:50:18 -0200
>> Israel Meireles Chrisostomo  escreveu:
>>
>> > Passando para divulgar um pdf que escrevi, editei vários pontos,
>> > espero que seja útil para alguém aqui do grupo:
>> >
>> http://media.wix.com/ugd/3eea37_b448f135f8e34c698e369d1578d881f5.pdf
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>
>> =
>>
>
>

>>>
>>
>

Re: [obm-l] Re: PDF trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

Tipo vc teria sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ)  e sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ)
mas veja que em uma α + β + γ=pi/2 e na outra α + β + γ=pi  na verdade vc
nem poderia chamar do mesmo valor de ângulo

Em 18 de janeiro de 2016 18:42, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> vc não pode dobrar os ângulos e igualar com a outra pq daí vc teria
> alpha+beta +gamma=pi/2 em uma e alpha+beta+gamma=pi em outra então essas
> dua identidades não podem ser iguais, mas se vc só dobrar os Ângulos e NÃO
> IGUALAR com 3 aí sim vc pode
>
> Em 18 de janeiro de 2016 18:37, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>>  quer dizer, vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria alpha+beta
>> +gamma=pi/2
>>
>> Em 18 de janeiro de 2016 18:36, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Vc deve prestar muita atenção nessas substituições pq ao se fazer essas
>>> substituições vc está no fundo alterando os valores dos ângulos e essas
>>> identidades só valem para aquele valor da soma de ângulo
>>>
>>> Em 18 de janeiro de 2016 18:30, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria a+b+c=2pi, e vc provou
 que a identidade vale para a+b+c=pi

 Em 18 de janeiro de 2016 18:29, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Ah desculpa, vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria a+b+c=2pi
>
> Em 18 de janeiro de 2016 18:28, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Sim, ao meu ver está correto resulta em uma outra identidade, mas tem
>> que tomar cuidado com o detalhe
>> sen((a+b)/2)=cos(pi/2-(a+b)/2)=cos((a+b+c)/2-(a+b)/2)=cos(c/2)
>> e identidade 3 segue disso aqui
>> :sen(a+b)=sen(pi-(a+b))=sen(a+b+c-(a+b))=senc
>> Uma vc usa que senx=cos(pi/2-x) e a outra vc usa senx=sen(pi-x)  como
>> nos dois casos a+b+c=pi vc faz a troca e cancela os ângulos
>>
>> Em 18 de janeiro de 2016 18:13, Listeiro 037 <
>> listeiro_...@yahoo.com.br> escreveu:
>>
>>>
>>> Olá. Comecei a ler o material.
>>>
>>> Não testei ainda, mas fiquei com uma dúvida. Página 3:
>>>
>>> 2. sen(α) + sen(β) + sen(γ) = 4 cos(α/2) cos(β/2) cos(γ/2)
>>>
>>> 3. sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)
>>>
>>> Dobrando os valores dos ângulos de 2 resulta numa outra identidade se
>>> comparado com 3.
>>>
>>> 4 cos(α) cos(β) cos(γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)
>>>
>>> Está correto?
>>>
>>>
>>> Em Mon, 18 Jan 2016 14:50:18 -0200
>>> Israel Meireles Chrisostomo  escreveu:
>>>
>>> > Passando para divulgar um pdf que escrevi, editei vários pontos,
>>> > espero que seja útil para alguém aqui do grupo:
>>> >
>>> http://media.wix.com/ugd/3eea37_b448f135f8e34c698e369d1578d881f5.pdf
>>>
>>>
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>>
>>> =
>>>
>>
>>
>

>>>
>>
>

Re: [obm-l] Re: PDF trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

Vc deve prestar muita atenção nessas substituições pq ao se fazer essas
substituições vc está no fundo alterando os valores dos ângulos e essas
identidades só valem para aquele valor da soma de ângulo

Em 18 de janeiro de 2016 18:30, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria a+b+c=2pi, e vc provou que a
> identidade vale para a+b+c=pi
>
> Em 18 de janeiro de 2016 18:29, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Ah desculpa, vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria a+b+c=2pi
>>
>> Em 18 de janeiro de 2016 18:28, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Sim, ao meu ver está correto resulta em uma outra identidade, mas tem
>>> que tomar cuidado com o detalhe
>>> sen((a+b)/2)=cos(pi/2-(a+b)/2)=cos((a+b+c)/2-(a+b)/2)=cos(c/2)
>>> e identidade 3 segue disso aqui
>>> :sen(a+b)=sen(pi-(a+b))=sen(a+b+c-(a+b))=senc
>>> Uma vc usa que senx=cos(pi/2-x) e a outra vc usa senx=sen(pi-x)  como
>>> nos dois casos a+b+c=pi vc faz a troca e cancela os ângulos
>>>
>>> Em 18 de janeiro de 2016 18:13, Listeiro 037 
>>> escreveu:
>>>

 Olá. Comecei a ler o material.

 Não testei ainda, mas fiquei com uma dúvida. Página 3:

 2. sen(α) + sen(β) + sen(γ) = 4 cos(α/2) cos(β/2) cos(γ/2)

 3. sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)

 Dobrando os valores dos ângulos de 2 resulta numa outra identidade se
 comparado com 3.

 4 cos(α) cos(β) cos(γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)

 Está correto?


 Em Mon, 18 Jan 2016 14:50:18 -0200
 Israel Meireles Chrisostomo  escreveu:

 > Passando para divulgar um pdf que escrevi, editei vários pontos,
 > espero que seja útil para alguém aqui do grupo:
 > http://media.wix.com/ugd/3eea37_b448f135f8e34c698e369d1578d881f5.pdf


 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

 =

>>>
>>>
>>
>

Re: [obm-l] Re: PDF trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

 quer dizer, vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria alpha+beta
+gamma=pi/2

Em 18 de janeiro de 2016 18:36, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Vc deve prestar muita atenção nessas substituições pq ao se fazer essas
> substituições vc está no fundo alterando os valores dos ângulos e essas
> identidades só valem para aquele valor da soma de ângulo
>
> Em 18 de janeiro de 2016 18:30, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria a+b+c=2pi, e vc provou que
>> a identidade vale para a+b+c=pi
>>
>> Em 18 de janeiro de 2016 18:29, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Ah desculpa, vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria a+b+c=2pi
>>>
>>> Em 18 de janeiro de 2016 18:28, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Sim, ao meu ver está correto resulta em uma outra identidade, mas tem
 que tomar cuidado com o detalhe
 sen((a+b)/2)=cos(pi/2-(a+b)/2)=cos((a+b+c)/2-(a+b)/2)=cos(c/2)
 e identidade 3 segue disso aqui
 :sen(a+b)=sen(pi-(a+b))=sen(a+b+c-(a+b))=senc
 Uma vc usa que senx=cos(pi/2-x) e a outra vc usa senx=sen(pi-x)  como
 nos dois casos a+b+c=pi vc faz a troca e cancela os ângulos

 Em 18 de janeiro de 2016 18:13, Listeiro 037 >>> > escreveu:

>
> Olá. Comecei a ler o material.
>
> Não testei ainda, mas fiquei com uma dúvida. Página 3:
>
> 2. sen(α) + sen(β) + sen(γ) = 4 cos(α/2) cos(β/2) cos(γ/2)
>
> 3. sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)
>
> Dobrando os valores dos ângulos de 2 resulta numa outra identidade se
> comparado com 3.
>
> 4 cos(α) cos(β) cos(γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)
>
> Está correto?
>
>
> Em Mon, 18 Jan 2016 14:50:18 -0200
> Israel Meireles Chrisostomo  escreveu:
>
> > Passando para divulgar um pdf que escrevi, editei vários pontos,
> > espero que seja útil para alguém aqui do grupo:
> > http://media.wix.com/ugd/3eea37_b448f135f8e34c698e369d1578d881f5.pdf
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>
> =
>


>>>
>>
>

Re: [obm-l] Re: PDF trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

Ah desculpa, vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria a+b+c=2pi

Em 18 de janeiro de 2016 18:28, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Sim, ao meu ver está correto resulta em uma outra identidade, mas tem que
> tomar cuidado com o detalhe
> sen((a+b)/2)=cos(pi/2-(a+b)/2)=cos((a+b+c)/2-(a+b)/2)=cos(c/2)
> e identidade 3 segue disso aqui
> :sen(a+b)=sen(pi-(a+b))=sen(a+b+c-(a+b))=senc
> Uma vc usa que senx=cos(pi/2-x) e a outra vc usa senx=sen(pi-x)  como nos
> dois casos a+b+c=pi vc faz a troca e cancela os ângulos
>
> Em 18 de janeiro de 2016 18:13, Listeiro 037 
> escreveu:
>
>>
>> Olá. Comecei a ler o material.
>>
>> Não testei ainda, mas fiquei com uma dúvida. Página 3:
>>
>> 2. sen(α) + sen(β) + sen(γ) = 4 cos(α/2) cos(β/2) cos(γ/2)
>>
>> 3. sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)
>>
>> Dobrando os valores dos ângulos de 2 resulta numa outra identidade se
>> comparado com 3.
>>
>> 4 cos(α) cos(β) cos(γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)
>>
>> Está correto?
>>
>>
>> Em Mon, 18 Jan 2016 14:50:18 -0200
>> Israel Meireles Chrisostomo  escreveu:
>>
>> > Passando para divulgar um pdf que escrevi, editei vários pontos,
>> > espero que seja útil para alguém aqui do grupo:
>> > http://media.wix.com/ugd/3eea37_b448f135f8e34c698e369d1578d881f5.pdf
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>

Re: [obm-l] Re: PDF trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

Vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria a+b+c=2pi, e vc provou que a
identidade vale para a+b+c=pi

Em 18 de janeiro de 2016 18:29, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Ah desculpa, vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria a+b+c=2pi
>
> Em 18 de janeiro de 2016 18:28, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Sim, ao meu ver está correto resulta em uma outra identidade, mas tem que
>> tomar cuidado com o detalhe
>> sen((a+b)/2)=cos(pi/2-(a+b)/2)=cos((a+b+c)/2-(a+b)/2)=cos(c/2)
>> e identidade 3 segue disso aqui
>> :sen(a+b)=sen(pi-(a+b))=sen(a+b+c-(a+b))=senc
>> Uma vc usa que senx=cos(pi/2-x) e a outra vc usa senx=sen(pi-x)  como nos
>> dois casos a+b+c=pi vc faz a troca e cancela os ângulos
>>
>> Em 18 de janeiro de 2016 18:13, Listeiro 037 
>> escreveu:
>>
>>>
>>> Olá. Comecei a ler o material.
>>>
>>> Não testei ainda, mas fiquei com uma dúvida. Página 3:
>>>
>>> 2. sen(α) + sen(β) + sen(γ) = 4 cos(α/2) cos(β/2) cos(γ/2)
>>>
>>> 3. sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)
>>>
>>> Dobrando os valores dos ângulos de 2 resulta numa outra identidade se
>>> comparado com 3.
>>>
>>> 4 cos(α) cos(β) cos(γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)
>>>
>>> Está correto?
>>>
>>>
>>> Em Mon, 18 Jan 2016 14:50:18 -0200
>>> Israel Meireles Chrisostomo  escreveu:
>>>
>>> > Passando para divulgar um pdf que escrevi, editei vários pontos,
>>> > espero que seja útil para alguém aqui do grupo:
>>> > http://media.wix.com/ugd/3eea37_b448f135f8e34c698e369d1578d881f5.pdf
>>>
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>>>
>>
>>
>

Re: [obm-l] Re: PDF trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

Sim, ao meu ver está correto resulta em uma outra identidade, mas tem que
tomar cuidado com o detalhe
sen((a+b)/2)=cos(pi/2-(a+b)/2)=cos((a+b+c)/2-(a+b)/2)=cos(c/2)
e identidade 3 segue disso aqui
:sen(a+b)=sen(pi-(a+b))=sen(a+b+c-(a+b))=senc
Uma vc usa que senx=cos(pi/2-x) e a outra vc usa senx=sen(pi-x)  como nos
dois casos a+b+c=pi vc faz a troca e cancela os ângulos

Em 18 de janeiro de 2016 18:13, Listeiro 037 
escreveu:

>
> Olá. Comecei a ler o material.
>
> Não testei ainda, mas fiquei com uma dúvida. Página 3:
>
> 2. sen(α) + sen(β) + sen(γ) = 4 cos(α/2) cos(β/2) cos(γ/2)
>
> 3. sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)
>
> Dobrando os valores dos ângulos de 2 resulta numa outra identidade se
> comparado com 3.
>
> 4 cos(α) cos(β) cos(γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)
>
> Está correto?
>
>
> Em Mon, 18 Jan 2016 14:50:18 -0200
> Israel Meireles Chrisostomo  escreveu:
>
> > Passando para divulgar um pdf que escrevi, editei vários pontos,
> > espero que seja útil para alguém aqui do grupo:
> > http://media.wix.com/ugd/3eea37_b448f135f8e34c698e369d1578d881f5.pdf
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] Re: PDF trigonometria

[Listeiro 037]

Olá. Comecei a ler o material.

Não testei ainda, mas fiquei com uma dúvida. Página 3: 

2. sen(α) + sen(β) + sen(γ) = 4 cos(α/2) cos(β/2) cos(γ/2)

3. sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)

Dobrando os valores dos ângulos de 2 resulta numa outra identidade se
comparado com 3.

4 cos(α) cos(β) cos(γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)

Está correto?


Em Mon, 18 Jan 2016 14:50:18 -0200
Israel Meireles Chrisostomo  escreveu:

> Passando para divulgar um pdf que escrevi, editei vários pontos,
> espero que seja útil para alguém aqui do grupo:
> http://media.wix.com/ugd/3eea37_b448f135f8e34c698e369d1578d881f5.pdf

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] PDF trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

Passando para divulgar um pdf que escrevi, editei vários pontos, espero que
seja útil para alguém aqui do grupo:
http://media.wix.com/ugd/3eea37_b448f135f8e34c698e369d1578d881f5.pdf

Re: [obm-l] Trigonometria

[wagner]

Obrigado, Israel. Gostei muito.
Abraço,
E. Wagner.


Quoting Israel Meireles Chrisostomo :


Olá amigos da obm, estou passando para divulgar um texto que, após muitas
modificações, seja acrescentando novos problemas ou outras soluções,
acredito estar terminado(mesmo assim se virem erros por favor me digam :) ,
ficarei feliz se o texto estiver integralmente correto em termos
matemáticos, eis aqui o link para o texto:

http://media.wix.com/ugd/3eea37_21c6dd3b7aeb44279a7db6f205ba1686.pdf

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
 acredita-se estar livre de perigo.







This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá amigos da obm, estou passando para divulgar um texto que, após muitas
modificações, seja acrescentando novos problemas ou outras soluções,
acredito estar terminado(mesmo assim se virem erros por favor me digam :) ,
ficarei feliz se o texto estiver integralmente correto em termos
matemáticos, eis aqui o link para o texto:

http://media.wix.com/ugd/3eea37_21c6dd3b7aeb44279a7db6f205ba1686.pdf

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

obrigado, não tinha percebido

Em 21 de novembro de 2015 00:01, Listeiro 037 
escreveu:

>
> Olá.
>
> Eu vi seu pdf e gostei. Mas parece-me que ele tem um erro sutil de
> digitação na segunda página.
>
> Aparecem duas vezes seno de beta mais gamma sobre dois.
>
> Mas não é nada de mais.
>
>
> Em Fri, 20 Nov 2015 15:50:50 -0200
> Israel Meireles Chrisostomo  escreveu:
>
> > Olá pessoal, vou deixar um arquivo pdf que escrevi resolvendo
> > problemas em trigonometria:
> > http://media.wix.com/ugd/3eea37_c5b19270d73a42a9b0068a02d079846c.pdf
> > Aqui um vídeo legal em que demonstro a desigualdade
> > senA+senB+senC<=3sqrt(3)/2, se A,B,C são ângulos de um triângulo, a
> > demonstração é geométrica e interessante, eis aí o vídeo(se puderem
> > deixar um comentário lá no vídeo, eu agradeço):
> > https://www.youtube.com/watch?edit=vd&v=ruCqqrMOzCQ
> >
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: Trigonometria

[Listeiro 037]

Olá.

Eu vi seu pdf e gostei. Mas parece-me que ele tem um erro sutil de
digitação na segunda página. 

Aparecem duas vezes seno de beta mais gamma sobre dois.

Mas não é nada de mais. 


Em Fri, 20 Nov 2015 15:50:50 -0200
Israel Meireles Chrisostomo  escreveu:

> Olá pessoal, vou deixar um arquivo pdf que escrevi resolvendo
> problemas em trigonometria:
> http://media.wix.com/ugd/3eea37_c5b19270d73a42a9b0068a02d079846c.pdf
> Aqui um vídeo legal em que demonstro a desigualdade
> senA+senB+senC<=3sqrt(3)/2, se A,B,C são ângulos de um triângulo, a
> demonstração é geométrica e interessante, eis aí o vídeo(se puderem
> deixar um comentário lá no vídeo, eu agradeço):
> https://www.youtube.com/watch?edit=vd&v=ruCqqrMOzCQ
> 

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado Carlos Gomes

Em 20 de novembro de 2015 17:47, Carlos Gomes 
escreveu:

> Olá Israel, muito bom o seu material. A comunidade olímpica agradece!
>
> Abraço, Cgomes.
>
> Em 20 de novembro de 2015 14:50, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal, vou deixar um arquivo pdf que escrevi resolvendo problemas
>> em trigonometria:
>> http://media.wix.com/ugd/3eea37_c5b19270d73a42a9b0068a02d079846c.pdf
>> Aqui um vídeo legal em que demonstro a desigualdade
>> senA+senB+senC<=3sqrt(3)/2, se A,B,C são ângulos de um triângulo, a
>> demonstração é geométrica e interessante, eis aí o vídeo(se puderem deixar
>> um comentário lá no vídeo, eu agradeço):
>> https://www.youtube.com/watch?edit=vd&v=ruCqqrMOzCQ
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Carlos Gomes]

Olá Israel, muito bom o seu material. A comunidade olímpica agradece!

Abraço, Cgomes.

Em 20 de novembro de 2015 14:50, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal, vou deixar um arquivo pdf que escrevi resolvendo problemas em
> trigonometria:
> http://media.wix.com/ugd/3eea37_c5b19270d73a42a9b0068a02d079846c.pdf
> Aqui um vídeo legal em que demonstro a desigualdade
> senA+senB+senC<=3sqrt(3)/2, se A,B,C são ângulos de um triângulo, a
> demonstração é geométrica e interessante, eis aí o vídeo(se puderem deixar
> um comentário lá no vídeo, eu agradeço):
> https://www.youtube.com/watch?edit=vd&v=ruCqqrMOzCQ
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá pessoal, vou deixar um arquivo pdf que escrevi resolvendo problemas em
trigonometria:
http://media.wix.com/ugd/3eea37_c5b19270d73a42a9b0068a02d079846c.pdf
Aqui um vídeo legal em que demonstro a desigualdade
senA+senB+senC<=3sqrt(3)/2, se A,B,C são ângulos de um triângulo, a
demonstração é geométrica e interessante, eis aí o vídeo(se puderem deixar
um comentário lá no vídeo, eu agradeço):
https://www.youtube.com/watch?edit=vd&v=ruCqqrMOzCQ

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Pedro José]

Boa tarde!

(i) Para base igual a 1 atende. Portanto basta que cosx =0

(ii) Para base diferente de um e maior que zero, a função é monótona então
a^y = 1 ==> y =0. Porém, a deve ser <>0 pois 0^0 não existe.

sen(3x) = 0 e cosx <> 1 e cosx<>-1

(iii) Para base menor que 1 só da 1 ´para mesma condição que 2.



Em 2 de agosto de 2015 23:11, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

>  Determine todos os valores de x E R tais que ( 1 - (cosx)^2)^(cos(3x -
> pi/4) = 1
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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[obm-l] Trigonometria

[marcone augusto araújo borges]

 Determine todos os valores de x E R tais que ( 1 - (cosx)^2)^(cos(3x - pi/4) = 
1 
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[obm-l] Re: [obm-l] Trigonometria.

[Julio César Saldaña]

Olá, eu lembro ter rido uma aula de ângulos aproximados no cursinho de 
vestibular (no Peru). Para o triângulo pitagórico 20,21, e 29 os ângulos agudos 
mediam aproximadamente 41 e 49. Para o triângulo (não pitagórico) de catetos 1 e 
4 os ângulos agudos mediam 14 e 76.


Segundo isso o valor aproximado do ângulo fi seria 49+14=63, mas não está em 
nenhuma dal alternativas que você citou.


Segundo a minha calculadora um valor mais próximo sería 61.2

Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Sat, 30 Aug 2014 15:23:52 -0300
Asunto : [obm-l] Trigonometria.



Esse exercício caiu na primeira fase de uma Olimpíada. Três engrenagens
A, B e C estão assim dispostas. A é tangente à B e à C , mas B não é
tangente à C. Os raios das engrenagens são: A 28 cm , B 30 cm e C 22 cm.
Os centros das engrenagens são ligados por segmentos formando um
triângulo. A medida do ângulo do vértice que está em A mede fi ( letra
grega ). O ângulo cujo vértice está em B mede 41 graus. Quanto mede (
presumo aproximadamente) o ângulo fi? Estranho , pois tinha como
respostas os seguintes testes. : a)30 graus b) 40 graus c) 69,55 graus
d) 79, 55 graus e) 89,55 graus. Se alguém puder dar uma ajuda, agradeço
antecipadamente. Abraço. 


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=

[obm-l] Trigonometria.

[ruymatrix]

 

Esse exercício caiu na primeira fase de uma Olimpíada. Três engrenagens
A, B e C estão assim dispostas. A é tangente à B e à C , mas B não é
tangente à C. Os raios das engrenagens são: A 28 cm , B 30 cm e C 22 cm.
Os centros das engrenagens são ligados por segmentos formando um
triângulo. A medida do ângulo do vértice que está em A mede fi ( letra
grega ). O ângulo cujo vértice está em B mede 41 graus. Quanto mede (
presumo aproximadamente) o ângulo fi? Estranho , pois tinha como
respostas os seguintes testes. : a)30 graus b) 40 graus c) 69,55 graus
d) 79, 55 graus e) 89,55 graus. Se alguém puder dar uma ajuda, agradeço
antecipadamente. Abraço. 
 
-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria)

[Douglas Oliveira de Lima]

E verdade!!


Em 19 de maio de 2014 14:17, terence thirteen
escreveu:

> Apenas para esclarecer: uma solução usando trigonometria não é uma
> 'solução por inspeção' (o que é isto, afinal?) nem é uma solução 'além da
> geometria euclidiana' (ainda se está usando ferramentas geométricas,
> afinal!). O termo seria 'uma solução sintética', em contraste com uma
> solução analítica.
>
> Eu nem sempre gosto delas, pois não aparecem tão naturalmente quando são
> apontadas para um novato. Uma pessoa vê a solução e diz "sorte que esses
> doidos não as colocam nos vestibulares!", haha! Porém, uma solução com
> contas às vezes é mais técnica - ficar olhando quais ângulos têm uma média
> legal é complicadinho, e nem sempre abrir tudo dá certo.
>
> Qualquer forma, um dos métodos que eu mais procuro usar é traçar a
> circunferência passando por A,B,C e fatiar ela em setores de 10 graus, e ir
> encaixando os elementos do problema ali. Logo eu vou tentar responder.
>
>
>
> Em 15 de maio de 2014 16:58, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Ola meus caros amigos, desenhando aqui pelo geogebra acabei criando uma
>> bela questão de geometria, do qual consegui por inspecao resolve-la através
>> de trigonometria pela lei dos senos, porem fiquei muito curioso para saber
>> se existe alguma solução por geometria euclidiana plana, estarei tentando,
>> mas vim aqui compartilhar com voces, se puderem agradeço desde ja.Um abraço
>> do Douglas Oliveira.
>>
>> Problema: Seja um triângulo ABC com ângulos BAC=70 graus, ACB=30; dado um
>> ponto interno P such that BAP=30 e BCP=10, encontrar o angulo ABP.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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> acredita-se estar livre de perigo.
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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria)

[terence thirteen]

Apenas para esclarecer: uma solução usando trigonometria não é uma 'solução
por inspeção' (o que é isto, afinal?) nem é uma solução 'além da geometria
euclidiana' (ainda se está usando ferramentas geométricas, afinal!). O
termo seria 'uma solução sintética', em contraste com uma solução analítica.

Eu nem sempre gosto delas, pois não aparecem tão naturalmente quando são
apontadas para um novato. Uma pessoa vê a solução e diz "sorte que esses
doidos não as colocam nos vestibulares!", haha! Porém, uma solução com
contas às vezes é mais técnica - ficar olhando quais ângulos têm uma média
legal é complicadinho, e nem sempre abrir tudo dá certo.

Qualquer forma, um dos métodos que eu mais procuro usar é traçar a
circunferência passando por A,B,C e fatiar ela em setores de 10 graus, e ir
encaixando os elementos do problema ali. Logo eu vou tentar responder.



Em 15 de maio de 2014 16:58, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Ola meus caros amigos, desenhando aqui pelo geogebra acabei criando uma
> bela questão de geometria, do qual consegui por inspecao resolve-la através
> de trigonometria pela lei dos senos, porem fiquei muito curioso para saber
> se existe alguma solução por geometria euclidiana plana, estarei tentando,
> mas vim aqui compartilhar com voces, se puderem agradeço desde ja.Um abraço
> do Douglas Oliveira.
>
> Problema: Seja um triângulo ABC com ângulos BAC=70 graus, ACB=30; dado um
> ponto interno P such that BAP=30 e BCP=10, encontrar o angulo ABP.
>
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> acredita-se estar livre de perigo.




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Torres

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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria)

[Julio César Saldaña]

Seja Q o ponto de AC tal que PQ=QA.

Seja T o ponto de AB tal que 
Ola meus caros amigos, desenhando aqui pelo geogebra acabei criando uma
bela questão de geometria, do qual consegui por inspecao resolve-la através
de trigonometria pela lei dos senos, porem fiquei muito curioso para saber
se existe alguma solução por geometria euclidiana plana, estarei tentando,
mas vim aqui compartilhar com voces, se puderem agradeço desde ja.Um abraço
do Douglas Oliveira.

Problema: Seja um triângulo ABC com ângulos BAC=70 graus, ACB=30; dado um
ponto interno P such that BAP=30 e BCP=10, encontrar o angulo ABP.

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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria)

[Douglas Oliveira de Lima]

Ola meus caros amigos, desenhando aqui pelo geogebra acabei criando uma
bela questão de geometria, do qual consegui por inspecao resolve-la através
de trigonometria pela lei dos senos, porem fiquei muito curioso para saber
se existe alguma solução por geometria euclidiana plana, estarei tentando,
mas vim aqui compartilhar com voces, se puderem agradeço desde ja.Um abraço
do Douglas Oliveira.

Problema: Seja um triângulo ABC com ângulos BAC=70 graus, ACB=30; dado um
ponto interno P such that BAP=30 e BCP=10, encontrar o angulo ABP.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: Trigonometria

[Athos Cotta Couto]

Bem, pessoal. Acabei de perceber o que tenho que fazer, hahaha.
Desculpem pelo incomodo e obrigado mesmo assim :D

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Trigonometria

[Athos Cotta Couto]

Boa tarde.
Me deparei com um problema que eu precisava esboçar o gráfico de:
6sin(2t) + 8 cos(2t)
Eu estava meio sem vontade de fazer isso, então joguei no Wolfram para ver
como ficava.
Fiquei surpreso que o gráfico era equivalente a um senóide e que a
expressão acima podia ser escrita como:
10sin(2t+arctg(4/3))
Bem, queria saber como sair da primeira forma, e chegar nessa. Alguém pode
me ajudar?
Att.
Athos Cotta Couto

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[obm-l] Re: [obm-l] trigonometria (Carlos Victor, Douglas e João)

[Nehab]

Caramba,

Nada como ter amigos com boa memória.
Como se dizia há alguns anos, entrei de gaiato no navio.
Obrigado ao Victor e ao Douglas pela super memória ao identificar o 
problema proposto pelo Joao, que imaginei ser mais simples do que de 
fato era...
(calculei o ângulo A por geometria de maneira tão simples que achei que 
B e C eram imediatos... Ledo engano. Vi a solução...)...


Obrigado aos três... e ao Ghandi,
Abraços a todos,
Nehab

On 05/08/2013 18:00, douglas.olive...@grupoolimpo.com.br wrote:


Camarada Victor, saudações candangas e carrapatonianas, aliás não 
existem muitos carrapatos aqui nessa época do ano rsrs, a questão foi 
a número 11 da shortlisted da IMO de 1992 , e foi do japão. a 
resolução é bem legal no imo compendium.


Grande abraço!!

Douglas Oliveira.

Em 05.08.2013 11:55, Carlos Victor escreveu:


Olá  João ,
Esta questão é  de uma olimpíada não brasileira ou de um livro de 
olimpíadas ( não lembro qual País), mas encontrar os outros ângulos é 
um trabalho árduo e há uma estratégia para a sua solução geométrica . 
A que conheço ( em que o mestre Antonio Luis( Gandhi) me mostrou)  é 
traçar os simétricos de D e E em relação à  BD e CE , 
respectivamente, sobre BC . Faça  uma análise nos triângulos que 
surgirão , no sentido de que a bissetriz interna e externa de um 
triângulo se encontram num ex-incentro e, aparecerá um ângulo de 120º 
que é o mentor da solução, ok ? Vale apena pensar nessa solução ...

Abraços
Carlos Victor


Em 5 de agosto de 2013 11:04, Nehab <mailto:carlos.ne...@gmail.com>> escreveu:


Ora João!

Nem vem. Você é muito inteligente para odiar Geometria...
Não acho má ideia você estudar um pouquinho disso...
Costumo ter sucesso ensinando essa parte maravilhosa da
Matemática para quem odeia Geometria (hahaha) e gosta de
Trigonometria...
Veja que o ângulo A é imediato... Chamando de I o incentro, segue-se:
a) No triângulo BIC, ang(BIC) = 180 - (B/2+C/2) = 90 + A/2
b) No triângulo EID, ang(EID) = 180 - (24 + 18) = 138
c) Mas ang(BIC) = ang(EID) e daí sai A: 90 + A/2 = 138, ou seja,
A = 96

Tente completar a solução...

Grande abraço,
Nehab


On 04/08/2013 23:37, João Maldonado wrote:

Fala professor!

Adorei a resolução, tinha esquecido do 4sen18.cos36 =1   =D
Na verdade o problema era de geometria, mas como eu sou péssimo
em GP, sempre resolvo tudo por trigonometria (meu professor fala
que eu sou louco)
O problema era o seguinte:
Em um triângulo ABC, D e E são os pés das bissetrizes traçadas
dos vértices B e C respectivamente. CED = 24 graus e BDE = 18
graus, calcule os ângulos do triângulo.

De acordo com o que foi dito os ângulos são 2*36 = 72 graus, 12
graus e 96 graus

[]'s
João


Date: Sat, 3 Aug 2013 23:16:56 -0300
From: carlos.ne...@gmail.com <mailto:carlos.ne...@gmail.com>
To: obm-l@mat.puc-rio.br <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
Subject: Re: [obm-l] trigonometria

Caramba, João,
Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante
pro problema.

b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36
pois 4sen18.cos36 =1.
Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade
é clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem
um ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo
lá). Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou
seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma
semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada
razão áurea.
Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as
alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
Logo, 4sen18.cos36 = 1...

c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

Então, fica assim:

tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
tgx. cos36 = B/C onde
B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36*] e
C = 2cos66
Desenvolvendo B, vem:
B = sen30 + sen102 - *1* =
B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
B = 2sen36cos66
Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x
= 36 + k180)

Abraços
Nehab

On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

tgx = tg66 - 2sen18/cos66
Como achar x?



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e

acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e

acredita-se estar livre de perigo.



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e

acredita-se estar livre de perigo.


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.



--
Esta mensagem foi verificada p

Re: [obm-l] trigonometria

[douglas . oliveira]

 

Camarada Victor, saudações candangas e carrapatonianas, aliás não
existem muitos carrapatos aqui nessa época do ano rsrs, a questão foi a
número 11 da shortlisted da IMO de 1992 , e foi do japão. a resolução é
bem legal no imo compendium. 

Grande abraço!! 

Douglas Oliveira. 

Em
05.08.2013 11:55, Carlos Victor escreveu: 

> Olá João , 
> 
> Esta
questão é de uma olimpíada não brasileira ou de um livro de olimpíadas (
não lembro qual País), mas encontrar os outros ângulos é um trabalho
árduo e há uma estratégia para a sua solução geométrica . A que conheço
( em que o mestre Antonio Luis( Gandhi) me mostrou) é traçar os
simétricos de D e E em relação à BD e CE , respectivamente, sobre BC .
Faça uma análise nos triângulos que surgirão , no sentido de que a
bissetriz interna e externa de um triângulo se encontram num ex-incentro
e, aparecerá um ângulo de 120º que é o mentor da solução, ok ? Vale
apena pensar nessa solução ... 
> 
> Abraços 
> 
> Carlos Victor 
> 
>
Em 5 de agosto de 2013 11:04, Nehab  escreveu:
>

>> Ora João!
>> 
>> Nem vem. Você é muito inteligente para odiar
Geometria...
>> Não acho má ideia você estudar um pouquinho disso...
>>
Costumo ter sucesso ensinando essa parte maravilhosa da Matemática para
quem odeia Geometria (hahaha) e gosta de Trigonometria...
>> Veja que o
ângulo A é imediato... Chamando de I o incentro, segue-se:
>> a) No
triângulo BIC, ang(BIC) = 180 - (B/2+C/2) = 90 + A/2
>> b) No triângulo
EID, ang(EID) = 180 - (24 + 18) = 138
>> c) Mas ang(BIC) = ang(EID) e
daí sai A: 90 + A/2 = 138, ou seja, A = 96
>> 
>> Tente completar a
solução...
>> 
>> Grande abraço,
>> Nehab 
>> 
>> On 04/08/2013 23:37,
João Maldonado wrote: 
>> 
>>> Fala professor!
>>> 
>>> Adorei a
resolução, tinha esquecido do 4sen18.cos36 =1 =D 
>>> Na verdade o
problema era de geometria, mas como eu sou péssimo em GP, sempre resolvo
tudo por trigonometria (meu professor fala que eu sou louco)
>>> O
problema era o seguinte: 
>>> Em um triângulo ABC, D e E são os pés das
bissetrizes traçadas dos vértices B e C respectivamente. CED = 24 graus
e BDE = 18 graus, calcule os ângulos do triângulo.
>>> 
>>> De acordo
com o que foi dito os ângulos são 2*36 = 72 graus, 12 graus e 96
graus
>>> 
>>> []'s
>>> João
>>> 
>>> -
>>>
Date: Sat, 3 Aug 2013 23:16:56 -0300
>>> From:
carlos.ne...@gmail.com
>>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>> Subject: Re:
[obm-l] trigonometria
>>> 
>>> Caramba, João,
>>> Gostei. Espertinho!
Meu raciocínio navegou assim:
>>> 
>>> a) 66 = 36 + 30, então 36 é um
angulo duplamente interessante pro problema.
>>> 
>>> b) O que eu sei
sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 4sen18.cos36
=1.
>>> Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade
é clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo
de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses
triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi =
(raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha). Além disso,
esse phi é adorável e é manjada razão áurea.
>>> Dai é fácil você ver
nos triângulos isósceles citados (trace as alturas deles) que sen18 =
1/2phi e cos36 = phi/2. 
>>> Logo, 4sen18.cos36 = 1... 
>>> 
>>> c)
Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...
>>>

>>> Então, fica assim: 
>>> 
>>> tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 -
2sen18] / cos66
>>> tgx. cos36 = B/C onde 
>>> B = [2sen66cos36 -
4SEN18COS36] e 
>>> C = 2cos66 
>>> Desenvolvendo B, vem:
>>> B = sen30
+ sen102 - 1 = 
>>> B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
>>>
B = 2sen36cos66 
>>> Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
>>> Logo, x = 36 (se
não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180)
>>> 
>>>
Abraços
>>> Nehab
>>> 
>>> On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

>>> 
>>>> tgx = tg66 - 2sen18/cos66
>>>> Como achar x?
>>> 
>>> -- 
>>>
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>>
acredita-se estar livre de perigo. 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi
verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de
perigo.
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de
antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta
mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar
livre de perigo.

 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

[Carlos Victor]

Olá  João ,

Esta questão é  de uma olimpíada não brasileira ou de um livro de
olimpíadas ( não lembro qual País), mas encontrar os outros ângulos é um
trabalho árduo e há uma estratégia para a sua solução geométrica . A que
conheço ( em que o mestre Antonio Luis( Gandhi) me mostrou)  é traçar os
simétricos de D e E em relação à  BD e CE , respectivamente, sobre BC .
Faça  uma análise nos triângulos que surgirão , no sentido de que a
bissetriz interna e externa de um triângulo se encontram num ex-incentro e,
aparecerá um ângulo de 120º que é o mentor da solução, ok ? Vale apena
pensar nessa solução ...

Abraços

Carlos Victor


Em 5 de agosto de 2013 11:04, Nehab  escreveu:

>  Ora João!
>
> Nem vem. Você é muito inteligente para odiar Geometria...
> Não acho má ideia você estudar um pouquinho disso...
> Costumo ter sucesso ensinando essa parte maravilhosa da Matemática para
> quem odeia Geometria (hahaha) e gosta de Trigonometria...
> Veja que o ângulo A é imediato... Chamando de I o incentro, segue-se:
> a) No triângulo BIC, ang(BIC) = 180 - (B/2+C/2) = 90 + A/2
> b) No triângulo EID, ang(EID) = 180 - (24 + 18) = 138
> c) Mas ang(BIC) = ang(EID) e daí sai A: 90 + A/2 = 138, ou seja, A = 96
>
> Tente completar a solução...
>
> Grande abraço,
> Nehab
>
>
> On 04/08/2013 23:37, João Maldonado wrote:
>
> Fala professor!
>
> Adorei a resolução, tinha esquecido do 4sen18.cos36 =1   =D
> Na verdade o problema era de geometria, mas como eu sou péssimo em GP,
> sempre resolvo tudo por trigonometria (meu professor fala que eu sou louco)
> O problema era o seguinte:
> Em um triângulo ABC, D e E são os pés das bissetrizes traçadas dos
> vértices B e C respectivamente. CED = 24 graus e BDE = 18 graus, calcule os
> ângulos do triângulo.
>
> De acordo com o que foi dito os ângulos são 2*36 = 72 graus, 12 graus e 96
> graus
>
> []'s
> João
>
>  --
> Date: Sat, 3 Aug 2013 23:16:56 -0300
> From: carlos.ne...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: Re: [obm-l] trigonometria
>
> Caramba, João,
> Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:
>
> a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro
> problema.
>
> b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois
> 4sen18.cos36 =1.
> Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é
> clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de
> 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o
> lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o
> lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é
> manjada razão áurea.
> Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas
> deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
> Logo, 4sen18.cos36 = 1...
>
> c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...
>
> Então, fica assim:
>
> tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
> tgx. cos36 = B/C onde
> B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e
> C = 2cos66
> Desenvolvendo B, vem:
> B = sen30 + sen102 - *1* =
> B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
> B = 2sen36cos66
> Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
> Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 +
> k180)
>
> Abraços
> Nehab
>
> On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:
>
> tgx = tg66 - 2sen18/cos66
> Como achar x?
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

[Nehab]

Ora João!

Nem vem. Você é muito inteligente para odiar Geometria...
Não acho má ideia você estudar um pouquinho disso...
Costumo ter sucesso ensinando essa parte maravilhosa da Matemática para 
quem odeia Geometria (hahaha) e gosta de Trigonometria...

Veja que o ângulo A é imediato... Chamando de I o incentro, segue-se:
a) No triângulo BIC, ang(BIC) = 180 - (B/2+C/2) = 90 + A/2
b) No triângulo EID, ang(EID) = 180 - (24 + 18) = 138
c) Mas ang(BIC) = ang(EID) e daí sai A: 90 + A/2 = 138, ou seja, A = 96

Tente completar a solução...

Grande abraço,
Nehab

On 04/08/2013 23:37, João Maldonado wrote:

Fala professor!

Adorei a resolução, tinha esquecido do 4sen18.cos36 =1   =D
Na verdade o problema era de geometria, mas como eu sou péssimo em GP, 
sempre resolvo tudo por trigonometria (meu professor fala que eu sou 
louco)

O problema era o seguinte:
Em um triângulo ABC, D e E são os pés das bissetrizes traçadas dos 
vértices B e C respectivamente. CED = 24 graus e BDE = 18 graus, 
calcule os ângulos do triângulo.


De acordo com o que foi dito os ângulos são 2*36 = 72 graus, 12 graus 
e 96 graus


[]'s
João


Date: Sat, 3 Aug 2013 23:16:56 -0300
From: carlos.ne...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] trigonometria

Caramba, João,
Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro 
problema.


b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 
4sen18.cos36 =1.
Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é 
clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um 
ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). 
Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi 
= (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha). Além 
disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea.
Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as 
alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.

Logo, 4sen18.cos36 = 1...

c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

Então, fica assim:

tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
tgx. cos36 = B/C onde
B = [2sen66cos36 - *_4sen18cos36_***] e
C = 2cos66
Desenvolvendo B, vem:
B = sen30 + sen102 - *_1_* =
B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
B = 2sen36cos66
Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + 
k180)


Abraços
Nehab

On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

tgx = tg66 - 2sen18/cos66
Como achar x?



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo. 



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

RE: [obm-l] trigonometria

[João Maldonado]

Fala professor!

Adorei a resolução, tinha esquecido do 4sen18.cos36 =1   =D 
Na verdade o problema era de geometria, mas como eu sou péssimo em GP, sempre 
resolvo tudo por trigonometria (meu professor fala que eu sou louco)
O problema era o seguinte:
Em um triângulo ABC, D e E são os pés das bissetrizes traçadas dos vértices B e 
C respectivamente. CED = 24 graus e BDE = 18 graus, calcule os ângulos do 
triângulo.

De acordo com o que foi dito os ângulos são 2*36 = 72 graus, 12 graus e 96 graus

[]'s
João

Date: Sat, 3 Aug 2013 23:16:56 -0300
From: carlos.ne...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] trigonometria


  

  
  
Caramba, João,

  Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

  

  a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro
  problema.

  

  b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36
  pois 4sen18.cos36 =1.

  Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é
  clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um
  ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá).
  Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja,
  phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha).
  Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea.

  Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as
  alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. 

  Logo, 4sen18.cos36 = 1...  

  

  c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado
  direito...

  

  Então, fica assim: 

  

  tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66

  tgx. cos36 = B/C onde 

  B = [2sen66cos36 - 4sen18cos36 ] e 

  C = 2cos66 

  Desenvolvendo B, vem:

  B = sen30 + sen102 - 1 = 

  B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)

  B = 2sen36cos66 

  Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.

  Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x =
  36 + k180)

  

  Abraços

  Nehab

  

  On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:



  
  tgx = tg66 - 2sen18/cos66

Como achar x?

  



  
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

[Nehab]

Oi, querido amigo!

Isso é intriga! Em 1974 eu era uma criança...

Enorme abraço...
Se admirador de longa data,
Nehab

On 04/08/2013 09:32, Carlos Victor wrote:

Olá grande Mestre Nehab,
Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :

sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=

sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)

Abraços

Carlos Victor


Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab > escreveu:


Caramba, João,
Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro
problema.

b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36
pois 4sen18.cos36 =1.
Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é
clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um
ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá).
Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja,
phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha).
Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea.
Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as
alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
Logo, 4sen18.cos36 = 1...

c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

Então, fica assim:

tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
tgx. cos36 = B/C onde
B = [2sen66cos36 - *_4sen18cos36_***] e
C = 2cos66
Desenvolvendo B, vem:
B = sen30 + sen102 - *_1_* =
B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
B = 2sen36cos66
Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x =
36 + k180)

Abraços
Nehab


On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

tgx = tg66 - 2sen18/cos66
Como achar x?



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e

acredita-se estar livre de perigo.



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo. 



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

[Carlos Victor]

Desculpem ,

digitei errado na linha
(1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cos30 +2sen18.sen36.seny

que na verdade é
(1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cosy +2sen18.sen36.seny .

Abraços

Carlos  Victor



Em 4 de agosto de 2013 14:09, Carlos Victor escreveu:

> Olá Marcone, aproveitando a ideia do meu mestre Nehab, podemos escrever :
>
> acertando a expressão dada chegamos a
>
> sen(66-x) = 2sen18.cosx
>
> tomando 36-x =y ,teremos
>
> sen(30+y) = 2sen18.cos(36-y) = 2sen18[ cos36.cosy + sen36.seny]
>
> sen(30+y) = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny
>
> sen30.cosy+seny.cos30 = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny
>
> usando que o Nehab lembrou , teremos
>
> (1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cos30 +2sen18.sen36.seny
>
> seny.cos30 = 2sen18.sen36.seny .
>
> Não é difícil de mostrar que 2sen18.sen36 é diferente de cos30 ;
>
> logo devemos ter seny =0 ; ou seja y = k180 ; daí
>
> x= k180 +36 .
>
> Agradecendo ao Nehab ,
>
> Abraços
>
> Carlos Victor
>
>
> Em 4 de agosto de 2013 13:33, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>  Essa foi muito legal.
>>
>> --
>> From: ilhadepaqu...@bol.com.br
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Subject: Re: [obm-l] trigonometria
>> Date: Sun, 4 Aug 2013 10:59:12 -0300
>>
>>
>> correção
>> 2014-1974=40 bodas de rubi ou esmeralda, mas mesmo assim merece uma
>> comemoração
>> Abraço a todos
>> Hermann
>>
>> - Original Message -
>> *From:* Carlos Victor 
>> *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
>> *Sent:* Sunday, August 04, 2013 9:32 AM
>> *Subject:* Re: [obm-l] trigonometria
>>
>> Olá grande Mestre Nehab,
>> Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
>> igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :
>>
>> sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=
>>
>> sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)
>>
>> Abraços
>>
>> Carlos Victor
>>
>>
>> Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab  escreveu:
>>
>>  Caramba, João,
>> Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:
>>
>> a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro
>> problema.
>>
>> b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois
>> 4sen18.cos36 =1.
>> Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é
>> clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de
>> 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o
>> lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o
>> lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é
>> manjada razão áurea.
>> Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas
>> deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
>> Logo, 4sen18.cos36 = 1...
>>
>> c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...
>>
>> Então, fica assim:
>>
>> tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
>> tgx. cos36 = B/C onde
>> B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e
>> C = 2cos66
>> Desenvolvendo B, vem:
>> B = sen30 + sen102 - *1* =
>> B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
>> B = 2sen36cos66
>> Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
>> Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 +
>> k180)
>>
>> Abraços
>> Nehab
>>
>>
>> On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:
>>
>> tgx = tg66 - 2sen18/cos66
>> Como achar x?
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

[Carlos Victor]

Olá Marcone, aproveitando a ideia do meu mestre Nehab, podemos escrever :

acertando a expressão dada chegamos a

sen(66-x) = 2sen18.cosx

tomando 36-x =y ,teremos

sen(30+y) = 2sen18.cos(36-y) = 2sen18[ cos36.cosy + sen36.seny]

sen(30+y) = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny

sen30.cosy+seny.cos30 = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny

usando que o Nehab lembrou , teremos

(1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cos30 +2sen18.sen36.seny

seny.cos30 = 2sen18.sen36.seny .

Não é difícil de mostrar que 2sen18.sen36 é diferente de cos30 ;

logo devemos ter seny =0 ; ou seja y = k180 ; daí

x= k180 +36 .

Agradecendo ao Nehab ,

Abraços

Carlos Victor


Em 4 de agosto de 2013 13:33, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Essa foi muito legal.
>
> --
> From: ilhadepaqu...@bol.com.br
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: Re: [obm-l] trigonometria
> Date: Sun, 4 Aug 2013 10:59:12 -0300
>
>
> correção
> 2014-1974=40 bodas de rubi ou esmeralda, mas mesmo assim merece uma
> comemoração
> Abraço a todos
> Hermann
>
> - Original Message -
> *From:* Carlos Victor 
> *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Sent:* Sunday, August 04, 2013 9:32 AM
> *Subject:* Re: [obm-l] trigonometria
>
> Olá grande Mestre Nehab,
> Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
> igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :
>
> sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=
>
> sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)
>
> Abraços
>
> Carlos Victor
>
>
> Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab  escreveu:
>
>  Caramba, João,
> Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:
>
> a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro
> problema.
>
> b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois
> 4sen18.cos36 =1.
> Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é
> clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de
> 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o
> lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o
> lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é
> manjada razão áurea.
> Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas
> deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
> Logo, 4sen18.cos36 = 1...
>
> c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...
>
> Então, fica assim:
>
> tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
> tgx. cos36 = B/C onde
> B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e
> C = 2cos66
> Desenvolvendo B, vem:
> B = sen30 + sen102 - *1* =
> B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
> B = 2sen36cos66
> Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
> Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 +
> k180)
>
> Abraços
> Nehab
>
>
> On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:
>
> tgx = tg66 - 2sen18/cos66
> Como achar x?
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

RE: [obm-l] trigonometria

[marcone augusto araújo borges]

Essa foi muito legal.
 
From: ilhadepaqu...@bol.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] trigonometria
Date: Sun, 4 Aug 2013 10:59:12 -0300








correção
2014-1974=40 bodas de rubi ou esmeralda, mas mesmo 
assim merece uma comemoração
Abraço a todos
Hermann

  - Original Message - 
  From: 
  Carlos 
  Victor 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, August 04, 2013 9:32 
  AM
  Subject: Re: [obm-l] trigonometria
  

  Olá grande Mestre Nehab,
  Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
  igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :
  

  sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=
  

  sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)
  

  Abraços
  

  Carlos Victor
  


  Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab  escreveu:

  

Caramba, João,
Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou 
assim:

a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente 
interessante pro problema.

b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que 
o sen18 gosta do cos36 pois 4sen18.cos36 =1.
Isso não é exatamente um 
coelho da cartola, pois essa igualdade é clássica  se você estudou os 
triângulos isósceles que possuem um ângulo de 36 (trace as diagonais de um 
pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o 
lado 
menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma 
semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão 
áurea.
Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as 
alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. 
Logo, 4sen18.cos36 = 
1...  

c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado 
direito...

Então, fica assim: 

tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ 
sen66 - 2sen18] / cos66
tgx. cos36 = B/C onde 
B = [2sen66cos36 - 
4sen18cos36 ] e 
C = 2cos66 
Desenvolvendo B, 
vem:
B = sen30 + sen102 - 1 = 
B = sen102 - sen 30 
(passagem boba e bonita, né)
B = 2sen36cos66 
Dai tgx.cos36 = B/C = 
sen36.
Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 
36 + k180)

Abraços
Nehab



On 03/08/2013 18:08, João Maldonado 
wrote:




  tgx = tg66 - 2sen18/cos66
Como achar 
x?


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo 
sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 


-- 
Esta mensagem foi 
  verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 

--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

[Hermann]

2014-1974=50 essa aula fará bodas de ouro ano que vem, merece uma comemoração.
Abraços a todos
Hermann
  - Original Message - 
  From: Carlos Victor 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, August 04, 2013 9:32 AM
  Subject: Re: [obm-l] trigonometria


  Olá grande Mestre Nehab,
  Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
  igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :


  sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=


  sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)


  Abraços


  Carlos Victor



  Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab  escreveu:

Caramba, João,
Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro problema.

b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 
4sen18.cos36 =1.
Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é clássica  
se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de 36 (trace as 
diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o lado maior é phi 
vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma 
semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea.
Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas 
deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. 
Logo, 4sen18.cos36 = 1...  

c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

Então, fica assim: 

tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
tgx. cos36 = B/C onde 
B = [2sen66cos36 - 4sen18cos36 ] e 
C = 2cos66 
Desenvolvendo B, vem:
B = sen30 + sen102 - 1 = 
B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
B = 2sen36cos66 
Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180)

Abraços
Nehab


On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

  tgx = tg66 - 2sen18/cos66
  Como achar x?



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 



  -- 
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
  acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

[Hermann]

correção
2014-1974=40 bodas de rubi ou esmeralda, mas mesmo assim merece uma comemoração
Abraço a todos
Hermann
  - Original Message - 
  From: Carlos Victor 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, August 04, 2013 9:32 AM
  Subject: Re: [obm-l] trigonometria


  Olá grande Mestre Nehab,
  Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
  igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :


  sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=


  sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)


  Abraços


  Carlos Victor



  Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab  escreveu:

Caramba, João,
Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro problema.

b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 
4sen18.cos36 =1.
Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é clássica  
se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de 36 (trace as 
diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o lado maior é phi 
vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma 
semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea.
Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas 
deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. 
Logo, 4sen18.cos36 = 1...  

c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

Então, fica assim: 

tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
tgx. cos36 = B/C onde 
B = [2sen66cos36 - 4sen18cos36 ] e 
C = 2cos66 
Desenvolvendo B, vem:
B = sen30 + sen102 - 1 = 
B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
B = 2sen36cos66 
Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180)

Abraços
Nehab


On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

  tgx = tg66 - 2sen18/cos66
  Como achar x?



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 



  -- 
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
  acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

[Carlos Victor]

Olá grande Mestre Nehab,
Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :

sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=

sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)

Abraços

Carlos Victor


Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab  escreveu:

>  Caramba, João,
> Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:
>
> a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro
> problema.
>
> b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois
> 4sen18.cos36 =1.
> Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é
> clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de
> 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o
> lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o
> lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é
> manjada razão áurea.
> Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas
> deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
> Logo, 4sen18.cos36 = 1...
>
> c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...
>
> Então, fica assim:
>
> tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
> tgx. cos36 = B/C onde
> B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e
> C = 2cos66
> Desenvolvendo B, vem:
> B = sen30 + sen102 - *1* =
> B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
> B = 2sen36cos66
> Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
> Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 +
> k180)
>
> Abraços
> Nehab
>
>
> On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:
>
> tgx = tg66 - 2sen18/cos66
> Como achar x?
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

[Nehab]

Caramba, João,
Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro problema.

b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 
4sen18.cos36 =1.
Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é 
clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo 
de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses 
triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = 
(raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, 
esse phi é adorável e é manjada razão áurea.
Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas 
deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.

Logo, 4sen18.cos36 = 1...

c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

Então, fica assim:

tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
tgx. cos36 = B/C onde
B = [2sen66cos36 - *_4sen18cos36_***] e
C = 2cos66
Desenvolvendo B, vem:
B = sen30 + sen102 - *_1_* =
B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
B = 2sen36cos66
Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180)

Abraços
Nehab

On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

tgx = tg66 - 2sen18/cos66
Como achar x?



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] trigonometria

[João Maldonado]

tgx = tg66 - 2sen18/cos66

Como achar x?
  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda(trigonometria)

[saulo nilson]

2 valores positivos se anulando, so e verdade se ambos forem 0.

2012/10/26 marcone augusto araújo borges 

>  Eu não entendi o final,a última linha.
>
> --
> Date: Fri, 26 Oct 2012 14:15:41 -0300
> Subject: Re: [obm-l] Ajuda(trigonometria)
> From: saulo.nil...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>
>  a=1/2 e x=pi nao e solução.
> (senax)^2+2(senx/2)^2=0
> so e verdadeira para senxa e senx/2=0
> x=2npi  a=!1/4n
>
>
>
> 2012/6/27 marcone augusto araújo borges 
>
>  Determine para que valores de a a equação 1 + (senax)^2 = cosx admita
> alguma solução não nula.
> Agradeço desde já.
>
>
>

RE: [obm-l] Ajuda(trigonometria)

[marcone augusto araújo borges]

Eu não entendi o final,a última linha.
 Date: Fri, 26 Oct 2012 14:15:41 -0300
Subject: Re: [obm-l] Ajuda(trigonometria)
From: saulo.nil...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

 a=1/2 e x=pi nao e solução.
(senax)^2+2(senx/2)^2=0so e verdadeira para senxa e senx/2=0x=2npi  a=!1/4n


2012/6/27 marcone augusto araújo borges 





Determine para que valores de a a equação 1 + (senax)^2 = cosx admita alguma 
solução não nula.

Agradeço desde já.
  

  

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ajuda em exercício de trigonometria

[Ralph Teixeira]

Botei no computador. As soluções de f(x,y)=sen²(x)+sen²(y)-sen(x+y)=0 para
-0.3

> 2012/10/9 bruno rodrigues :
> > Determine todos os ângulos x e y agudos tais que:
> >
> >  sen²(x)+sen²(y)=sen(x+y)
> >
> > Alguém poderia me ajudar a descobrir a resposta?
> Cara, isso é difícil... Se você tiver coragem:
> 1/ expanda sen(x+y) = sen(x)cos(y) + sen(y)cos(x)
> 2/ eleve ao quadrado
> 3/ substitua todos os cos^2 por 1 - sen^2
> 4/ vai sobrar um termo sem quadrados
> 5/ isole o cara, eleve de novo, substitua de novo
> 6/ Isso vai dar uma equação do 4º grau em sen^2(y) em função de sen^2(x)
>
> Não sei se tem jeito muito mais fácil não... o pior é que há pelo
> menos duas soluções diferentes para y com x=0 (y=0 e y=pi/2), e eu não
> vejo muito bem como elas se comportam.
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
<>

[obm-l] ajuda em exercício de trigonometria

[bruno rodrigues]

Determine todos os ângulos x e y agudos tais que:
  
 sen²(x)+sen²(y)=sen(x+y)
 
Alguém poderia me ajudar a descobrir a resposta?
 
Abraço a todos
Bruno Rodrigues   

[obm-l] Trigonometria

[marcone augusto araújo borges]

Um balão foi visto simultaneamente de 3 estações A,B, e C sob angulos de 
elevação de 45,45 e 60,respectivamente.Sabendo que A esta a 3km a oeste de C e 
que B esta a 4km ao norte de C,determine a altura do balão.
 
Resposta:aprox. 6676m ou 2696m

Re: [obm-l] Ajuda(trigonometria)

[Ralph Teixeira]

Voce quer 1+(sen(ax))^2=cosx. O lado esquerdo eh >=1, e o lado direito eh
<=1. Entao isso ai soh tem solucao se forem ambos 1, isto eh, sin(ax)=0 e
cosx=1!!

Mas as solucoes x nao-nulas de cosx=1 sao todas da forma x=2.k.pi com k
inteiro nao-nulo. Para algum destes servir na primeira, tem que ser:

sin(a.2.k.pi)=0, ou seja, 2ak=n tem que ser inteiro tambem. Assim,
a=n/(2k), isto eh, a tem que ser um numero racional.

Em suma: "sua equacao tem solucao nao-nula" IMPLICA "a eh racional".

Agora a volta: se a for racional, digamos, a=m/n com m e n inteiros, entao
note que x=2.n.pi faz com que:
sin(a.x)=sin(2.m.pi)=0
e
cosx=cos(2.n.pi)=1
Entao esse x seria uma solucao nao-nula da sua equacao.

RESPOSTA: Para a racional qualquer.
Abraco,
 Ralph
2012/6/27 marcone augusto araújo borges 

>  Determine para que valores de a a equação 1 + (senax)^2 = cosx admita
> alguma solução não nula.
> Agradeço desde já.
>

[obm-l] Ajuda(trigonometria)

[marcone augusto araújo borges]

Determine para que valores de a a equação 1 + (senax)^2 = cosx admita alguma 
solução não nula.
Agradeço desde já.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada

[Jefferson Franca]

Professor novamente agradeço ao senhor pela resolução VERDADEIRAMENTE 
inteligente e digna de um trabalhador!!!
obrigado e abs




De: Ralph Teixeira 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 27 de Junho de 2011 17:43
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada


Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam as 3 
parcelas da sua soma?
 
Considere a "famosa" identidade 
trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint
 
(Desculpa, não pude resistir.)
 
Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá raiz de 
sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre parênteses... Em 
outras palavras, se você considerar o polinômio P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você verá 
que suas raízes são exatamente cos(2pi/7), cos(4pi/7) e cos(8pi/7) -- 
exatamente porque é um polinômio do 3o grau, então se eu achei 3 raízes 
distintas, achei todas.
 
(O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos cos(6pi/7)=cos(8pi/7), 
cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7), que são aquelas raízes de novo)
 
Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de P(x)=8x^3+4x^2-4x-1. 
Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3).
 
Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos que
a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2
ab+ac+bc=1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=1/2
abc=-1/8, isto é, ABC=-1/2.
 
Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá.
 
Agora, talvez você já tenha visto a identidade 
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz))
 
Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos:
-1/2+3/2=1=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC)
 
Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos:
1/2-3(1/4)=-1/4=D(D^2-3SP)=D(D^2+3S/2) (onde P=ABC=-1/2)
 
Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na segunda 
-- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S, com termos 
apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em Z, S é a raiz 
cúbica de Z.
 
Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo no 
meio do caminho, mas saiu!
 
Abraço,
   Ralph
 
 
2011/6/26 Jefferson Franca 

Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão: Calcule 
o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 + (cos(8*pi/7))^1/3 ?
>abs
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada

[Jefferson Franca]

Muito, muito , muito obrigado!
Não foi fácil resolver.



De: Ralph Teixeira 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 27 de Junho de 2011 17:52
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada


Ah, já vi errinho de sinal no meio do caminho, no sinal de ab+ac+bc e no de 
abc. Corrigi abaixo, mas deve haver outros. De qualquer forma, a ideia ainda 
vale.

2011/6/27 Ralph Teixeira 

Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam as 3 
parcelas da sua soma?
> 
>Considere a "famosa" identidade 
>trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint
> 
>(Desculpa, não pude resistir.)
> 
>Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá raiz 
>de sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre parênteses... Em 
>outras palavras, se você considerar o polinômio P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você verá 
>que suas raízes são exatamente cos(2pi/7), cos(4pi/7) e cos(8pi/7) -- 
>exatamente porque é um polinômio do 3o grau, então se eu achei 3 raízes 
>distintas, achei todas.
> 
>(O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos 
>cos(6pi/7)=cos(8pi/7), cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7), que 
>são aquelas raízes de novo)
> 
>Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de P(x)=8x^3+4x^2-4x-1. 
>Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3).
> 
>Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos que
>a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2
>ab+ac+bc=-1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=-1/2
>abc=1/8, isto é, ABC=1/2.
> 
>Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá.
> 
>Agora, talvez você já tenha visto a identidade 
>x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz))
> 
>Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos:
>-1/2-3/2=-2=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC)
> 
>Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos:
>-1/2-3(1/4)=-5/4=D(D^2-3SP)=D(D^2-3S/2) (onde P=ABC=1/2)
> 
>Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na segunda 
>-- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S, com termos 
>apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em Z, S é a 
>raiz cúbica de Z.
> 
>Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo no 
>meio do caminho, mas saiu!
> 
>Abraço,
>   Ralph
> 
> 
>2011/6/26 Jefferson Franca 
>
>Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão: Calcule 
>o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 + (cos(8*pi/7))^1/3 ?
>>abs
>>
>

[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada

[André A.Seidel]

Quero sair da lista obm-l

-Mensagem original-
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
Johann Dirichlet
Enviada em: terça-feira, 28 de junho de 2011 11:18
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada

Este foi um problema da revista Kvant, na verdade um artigo.

Eis o site (pra quem encarar um russinho básico...)
http://kvant.mccme.ru/


Em 27/06/11, Ralph Teixeira escreveu:
> Ah, já vi errinho de sinal no meio do caminho, no sinal de ab+ac+bc e no de
> abc. Corrigi abaixo, mas deve haver outros. De qualquer forma, a ideia ainda
> vale.
> 2011/6/27 Ralph Teixeira 
>
>> Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam
>> as 3 parcelas da sua soma?
>>
>> Considere a "famosa" identidade
>> trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint
>>
>> (Desculpa, não pude resistir.)
>>
>> Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá
>> raiz de sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre
>> parênteses... Em outras palavras, se você considerar o polinômio
>> P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você verá que suas raízes são exatamente cos(2pi/7),
>> cos(4pi/7) e cos(8pi/7) -- exatamente porque é um polinômio do 3o grau,
>> então se eu achei 3 raízes distintas, achei todas.
>>
>> (O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos
>> cos(6pi/7)=cos(8pi/7), cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7),
>> que
>> são aquelas raízes de novo)
>>
>> Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de
>> P(x)=8x^3+4x^2-4x-1. Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3).
>>
>> Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos
>> que
>> a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2
>> ab+ac+bc=-1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=-1/2
>> abc=1/8, isto é, ABC=1/2.
>>
>> Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá.
>>
>> Agora, talvez você já tenha visto a identidade
>> x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz))
>>
>> Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos:
>> -1/2-3/2=-2=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC)
>>
>> Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos:
>> -1/2-3(1/4)=-5/4=D(D^2-3SP)=D(D^2-3S/2) (onde P=ABC=1/2)
>>
>> Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na
>> segunda -- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S,
>> com
>> termos apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em
>> Z,
>> S é a raiz cúbica de Z.
>>
>> Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo
>> no meio do caminho, mas saiu!
>>
>> Abraço,
>>Ralph
>>
>>
>> 2011/6/26 Jefferson Franca 
>>
>>> Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão:
>>> Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 +
>>> (cos(8*pi/7))^1/3 ?
>>> abs
>>>
>>
>>
>


-- 
/**/
神が祝福

Torres

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada

[Johann Dirichlet]

Este foi um problema da revista Kvant, na verdade um artigo.

Eis o site (pra quem encarar um russinho básico...)
http://kvant.mccme.ru/


Em 27/06/11, Ralph Teixeira escreveu:
> Ah, já vi errinho de sinal no meio do caminho, no sinal de ab+ac+bc e no de
> abc. Corrigi abaixo, mas deve haver outros. De qualquer forma, a ideia ainda
> vale.
> 2011/6/27 Ralph Teixeira 
>
>> Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam
>> as 3 parcelas da sua soma?
>>
>> Considere a "famosa" identidade
>> trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint
>>
>> (Desculpa, não pude resistir.)
>>
>> Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá
>> raiz de sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre
>> parênteses... Em outras palavras, se você considerar o polinômio
>> P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você verá que suas raízes são exatamente cos(2pi/7),
>> cos(4pi/7) e cos(8pi/7) -- exatamente porque é um polinômio do 3o grau,
>> então se eu achei 3 raízes distintas, achei todas.
>>
>> (O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos
>> cos(6pi/7)=cos(8pi/7), cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7),
>> que
>> são aquelas raízes de novo)
>>
>> Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de
>> P(x)=8x^3+4x^2-4x-1. Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3).
>>
>> Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos
>> que
>> a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2
>> ab+ac+bc=-1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=-1/2
>> abc=1/8, isto é, ABC=1/2.
>>
>> Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá.
>>
>> Agora, talvez você já tenha visto a identidade
>> x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz))
>>
>> Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos:
>> -1/2-3/2=-2=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC)
>>
>> Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos:
>> -1/2-3(1/4)=-5/4=D(D^2-3SP)=D(D^2-3S/2) (onde P=ABC=1/2)
>>
>> Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na
>> segunda -- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S,
>> com
>> termos apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em
>> Z,
>> S é a raiz cúbica de Z.
>>
>> Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo
>> no meio do caminho, mas saiu!
>>
>> Abraço,
>>Ralph
>>
>>
>> 2011/6/26 Jefferson Franca 
>>
>>> Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão:
>>> Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 +
>>> (cos(8*pi/7))^1/3 ?
>>> abs
>>>
>>
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada

[Ralph Teixeira]

Ah, já vi errinho de sinal no meio do caminho, no sinal de ab+ac+bc e no de
abc. Corrigi abaixo, mas deve haver outros. De qualquer forma, a ideia ainda
vale.
2011/6/27 Ralph Teixeira 

> Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam
> as 3 parcelas da sua soma?
>
> Considere a "famosa" identidade
> trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint
>
> (Desculpa, não pude resistir.)
>
> Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá
> raiz de sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre
> parênteses... Em outras palavras, se você considerar o polinômio
> P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você verá que suas raízes são exatamente cos(2pi/7),
> cos(4pi/7) e cos(8pi/7) -- exatamente porque é um polinômio do 3o grau,
> então se eu achei 3 raízes distintas, achei todas.
>
> (O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos
> cos(6pi/7)=cos(8pi/7), cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7), que
> são aquelas raízes de novo)
>
> Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de
> P(x)=8x^3+4x^2-4x-1. Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3).
>
> Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos
> que
> a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2
> ab+ac+bc=-1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=-1/2
> abc=1/8, isto é, ABC=1/2.
>
> Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá.
>
> Agora, talvez você já tenha visto a identidade
> x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz))
>
> Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos:
> -1/2-3/2=-2=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC)
>
> Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos:
> -1/2-3(1/4)=-5/4=D(D^2-3SP)=D(D^2-3S/2) (onde P=ABC=1/2)
>
> Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na
> segunda -- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S, com
> termos apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em Z,
> S é a raiz cúbica de Z.
>
> Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo
> no meio do caminho, mas saiu!
>
> Abraço,
>Ralph
>
>
> 2011/6/26 Jefferson Franca 
>
>> Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão:
>> Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 +
>> (cos(8*pi/7))^1/3 ?
>> abs
>>
>
>

[obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada

[Ralph Teixeira]

Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam as
3 parcelas da sua soma?

Considere a "famosa" identidade
trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint

(Desculpa, não pude resistir.)

Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá raiz
de sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre parênteses...
Em outras palavras, se você considerar o polinômio P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você
verá que suas raízes são exatamente cos(2pi/7), cos(4pi/7) e cos(8pi/7) --
exatamente porque é um polinômio do 3o grau, então se eu achei 3 raízes
distintas, achei todas.

(O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos
cos(6pi/7)=cos(8pi/7), cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7), que
são aquelas raízes de novo)

Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de P(x)=8x^3+4x^2-4x-1.
Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3).

Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos que
a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2
ab+ac+bc=1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=1/2
abc=-1/8, isto é, ABC=-1/2.

Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá.

Agora, talvez você já tenha visto a identidade
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz))

Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos:
-1/2+3/2=1=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC)

Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos:
1/2-3(1/4)=-1/4=D(D^2-3SP)=D(D^2+3S/2) (onde P=ABC=-1/2)

Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na
segunda -- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S, com
termos apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em Z,
S é a raiz cúbica de Z.

Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo
no meio do caminho, mas saiu!

Abraço,
   Ralph


2011/6/26 Jefferson Franca 

> Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão:
> Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 +
> (cos(8*pi/7))^1/3 ?
> abs
>

[obm-l] questão trigonometria complicada

[Jefferson Franca]

Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão: Calcule 
o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 + (cos(8*pi/7))^1/3 ?

abs

[obm-l] questão trigonometria complicada

[Jefferson Franca]

Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão: Calcule 
o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 + (cos(8*pi/7))^1/3 ?
abs

Re: [obm-l] Trigonometria

[Diogo Gaia]

sen5x=cos3x
sex5x=sen(pi/2-3x)

O seno de dois ângulos é igual se os ângulos forem iguais, ou se se forem 
suplementares (não se esquecendo dos arcos côngruos). Olhar para o círculo 
trigonométrico ajuda.
i)5x=pi/2-3x+2k*pi, k inteiro
x=pi*(4k+1)/16

ii)5x=pi-(pi/2-3x)+2k*pi, k inteiro
x=pi*(4k+1)/4

Espero que tenha ajudado.
Abraço,

Diogo Gaia

On Mar 28, 2011, at 9:15 PM, Marcus Aurelio wrote:

> Alguem pode me ajudar nessa questão sen5x = cos3x...uma solução para essa 
> equação.

[obm-l] Trigonometria

[Marcus Aurelio]

Alguem pode me ajudar nessa questão sen5x = cos3x...uma solução para essa
equação.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Pedro Júnior]

Isso Arlane muitíssimo obrigado...

Em 16 de novembro de 2010 08:33, Arlane Manoel S Silva escreveu:

>   Um Pedro, uma prova desse resultado pode ser feita por indução em n>2.
> Como c
>  é hipotenusa temos c>a e c>b. Para n=3 temos
>   c^3=c(a^2+b^2)=c.a^2+c.b^2>a.a^2+b.b^2=a^3+b^3.
>
>   Acho que vc pode continuar a prova.
>
>   A.
> Citando Pedro Júnior :
>
>  Olá Carlos você está correto!!!
>> par que o problema ficasse correto bastava escrever 2cos20º - 1/*2*cos80º
>>
>> note que faltou esse "dois" muitiplicando o cos80º. Problema que de fato
>> sua
>> resolução passa pela cúbica citada no em seu texto. Porém, muitíssimo
>> obrigado pela participação.
>>
>>
>> Agora, será que você ou alguém poderia me ajudar noutro problema da mesma
>> prova:
>>
>> 4. Seja n um inteiro maior que 2. Se c é a hipotenusa de um triângulo
>> retângulo e a e b são seus catetos, prove que c^n > a^n + b^n.
>>
>> Desde já agradeço.
>> Pedro Jr
>> João Pessoa - PB
>> Abraços.
>>
>>
>> Em 15 de novembro de 2010 08:42, Carlos Nehab > >escreveu:
>>
>>  Oi, Pedro,
>>>
>>> Infelizmente o enunciado está errado.
>>> Mas para você não ficar triste, tente resolver algo parecido e correto:
>>>
>>> 2cos 20 - 1/ (2cos 40 -1)  é um inteiro...
>>>
>>> Abraços
>>> Carlos Nehab
>>>
>>> Dica: este negócio de 20, 40 e 80 graus muitas vezes acabam em samba se
>>> você usar as expressões de arco triplo, pois linhas trigonométricas desse
>>> arcos se expressam em termos de raízes de uma equação cúbica..., que no
>>> fundo é o que as expressões do arco triplo nos mostram...  Se você
>>> conhecer
>>> Cardano, poderá inclusive se divertir (?) explicitando os senos e
>>> cossenos
>>> destes arcos.
>>> Vários problemas interessantes já circularam por aqui com estes
>>> "malditos"
>>> e instigantes ângulos...  Além disso um estudo do eneágono e do
>>> octadecágono
>>> (18 lados) também será fascinante para quem gosta destes angulozinhos
>>> decididamente desafiadores.
>>>
>>>
>>> Em 15/11/2010 00:00, Pedro Júnior escreveu:
>>>
>>> Parece simples mais ainda não consegui exergar o caminho.
>>> Usei tansformações, forma exponencial dos complexos, combinei várias
>>> transformações, etc, só ainda não dei um tratamento geométrico..
>>>
>>>
>>> Vejam: Mostre que 2cos20º - 1/cos80º é um inteiro.
>>>
>>>
>>> Abraços.
>>>
>>> Pedro Júnior
>>> João Pessoa - PB
>>>
>>>
>>>
>>>
>>
>
>
> --
>Arlane Manoel S Silva
>  Departamento de Matemática Aplicada
> Instituto de Matemática e Estatística-USP
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] Trigonometria

[Arlane Manoel S Silva]

   Um Pedro, uma prova desse resultado pode ser feita por indução em  
n>2. Como c

 é hipotenusa temos c>a e c>b. Para n=3 temos
   c^3=c(a^2+b^2)=c.a^2+c.b^2>a.a^2+b.b^2=a^3+b^3.

   Acho que vc pode continuar a prova.

   A.
Citando Pedro Júnior :


Olá Carlos você está correto!!!
par que o problema ficasse correto bastava escrever 2cos20º - 1/*2*cos80º
note que faltou esse "dois" muitiplicando o cos80º. Problema que de fato sua
resolução passa pela cúbica citada no em seu texto. Porém, muitíssimo
obrigado pela participação.


Agora, será que você ou alguém poderia me ajudar noutro problema da mesma
prova:

4. Seja n um inteiro maior que 2. Se c é a hipotenusa de um triângulo
retângulo e a e b são seus catetos, prove que c^n > a^n + b^n.

Desde já agradeço.
Pedro Jr
João Pessoa - PB
Abraços.


Em 15 de novembro de 2010 08:42, Carlos Nehab  
escreveu:



 Oi, Pedro,

Infelizmente o enunciado está errado.
Mas para você não ficar triste, tente resolver algo parecido e correto:

2cos 20 - 1/ (2cos 40 -1)  é um inteiro...

Abraços
Carlos Nehab

Dica: este negócio de 20, 40 e 80 graus muitas vezes acabam em samba se
você usar as expressões de arco triplo, pois linhas trigonométricas desse
arcos se expressam em termos de raízes de uma equação cúbica..., que no
fundo é o que as expressões do arco triplo nos mostram...  Se você conhecer
Cardano, poderá inclusive se divertir (?) explicitando os senos e cossenos
destes arcos.
Vários problemas interessantes já circularam por aqui com estes "malditos"
e instigantes ângulos...  Além disso um estudo do eneágono e do octadecágono
(18 lados) também será fascinante para quem gosta destes angulozinhos
decididamente desafiadores.


Em 15/11/2010 00:00, Pedro Júnior escreveu:

Parece simples mais ainda não consegui exergar o caminho.
Usei tansformações, forma exponencial dos complexos, combinei várias
transformações, etc, só ainda não dei um tratamento geométrico..


Vejam: Mostre que 2cos20º - 1/cos80º é um inteiro.


Abraços.

Pedro Júnior
João Pessoa - PB









--
Arlane Manoel S Silva
  Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática e Estatística-USP

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Trigonometria

[Pedro Júnior]

Olá Carlos você está correto!!!
par que o problema ficasse correto bastava escrever 2cos20º - 1/*2*cos80º
note que faltou esse "dois" muitiplicando o cos80º. Problema que de fato sua
resolução passa pela cúbica citada no em seu texto. Porém, muitíssimo
obrigado pela participação.


Agora, será que você ou alguém poderia me ajudar noutro problema da mesma
prova:

4. Seja n um inteiro maior que 2. Se c é a hipotenusa de um triângulo
retângulo e a e b são seus catetos, prove que c^n > a^n + b^n.

Desde já agradeço.
Pedro Jr
João Pessoa - PB
Abraços.


Em 15 de novembro de 2010 08:42, Carlos Nehab escreveu:

>  Oi, Pedro,
>
> Infelizmente o enunciado está errado.
> Mas para você não ficar triste, tente resolver algo parecido e correto:
>
> 2cos 20 - 1/ (2cos 40 -1)  é um inteiro...
>
> Abraços
> Carlos Nehab
>
> Dica: este negócio de 20, 40 e 80 graus muitas vezes acabam em samba se
> você usar as expressões de arco triplo, pois linhas trigonométricas desse
> arcos se expressam em termos de raízes de uma equação cúbica..., que no
> fundo é o que as expressões do arco triplo nos mostram...  Se você conhecer
> Cardano, poderá inclusive se divertir (?) explicitando os senos e cossenos
> destes arcos.
> Vários problemas interessantes já circularam por aqui com estes "malditos"
> e instigantes ângulos...  Além disso um estudo do eneágono e do octadecágono
> (18 lados) também será fascinante para quem gosta destes angulozinhos
> decididamente desafiadores.
>
>
> Em 15/11/2010 00:00, Pedro Júnior escreveu:
>
> Parece simples mais ainda não consegui exergar o caminho.
> Usei tansformações, forma exponencial dos complexos, combinei várias
> transformações, etc, só ainda não dei um tratamento geométrico..
>
>
> Vejam: Mostre que 2cos20º - 1/cos80º é um inteiro.
>
>
> Abraços.
>
> Pedro Júnior
> João Pessoa - PB
>
>
>

Re: [obm-l] Trigonometria

[Carlos Nehab]

Oi, Pedro,

Infelizmente o enunciado está errado.
Mas para você não ficar triste, tente resolver algo parecido e correto:

2cos 20 - 1/ (2cos 40 -1)  é um inteiro...

Abraços
Carlos Nehab

Dica: este negócio de 20, 40 e 80 graus muitas vezes acabam em samba se 
você usar as expressões de arco triplo, pois linhas trigonométricas 
desse arcos se expressam em termos de raízes de uma equação cúbica..., 
que no fundo é o que as expressões do arco triplo nos mostram...  Se 
você conhecer Cardano, poderá inclusive se divertir (?) explicitando os 
senos e cossenos destes arcos.
Vários problemas interessantes já circularam por aqui com estes 
"malditos" e instigantes ângulos...  Além disso um estudo do eneágono e 
do octadecágono (18 lados) também será fascinante para quem gosta destes 
angulozinhos decididamente desafiadores.



Em 15/11/2010 00:00, Pedro Júnior escreveu:

Parece simples mais ainda não consegui exergar o caminho.
Usei tansformações, forma exponencial dos complexos, combinei várias 
transformações, etc, só ainda não dei um tratamento geométrico..



Vejam: Mostre que 2cos20º - 1/cos80º é um inteiro.


Abraços.

Pedro Júnior
João Pessoa - PB

Re: [obm-l] Trigonometria

[Pedro Júnior]

Olha esse problema foi da Olimpíada Pessoense de Matemática 2010 (João
Pessoa - PB), de fato não fiz as contas usando uma máquina, porém a dúvida
é, será que a máquina não fez arredondamentos que não torne a diferença um
número inteiro?
De fato cheguei a desconfiar que tal problema apresenta falhas em sua
edição.
Nesse momento, diante das colocações feitas, como mostro que não é inteiro?

Em 15 de novembro de 2010 01:19, Ivan lopes escreveu:

> 2cos20º - 1/cos80º = -3,879385242
> nops!
>
> 2010/11/15 Marcos Valle 
>
> 2cos20º - 1/cos80º
>> 2cos20° - 1/sen10°
>> 2(1 - 2sen²10°) - 1/sen10°
>> (2sen10° - 4sen³10° - 1)/sen10°
>> (sen30° - sen10° - 1)/sen10°
>> (-1/2 - sen10°)/sen10°
>> -1 - 1/(2sen10°)
>>
>> Pode usar o que quiser, vai ser difícil de achar um inteiro aí =]
>>
>>
>>
>> Em 15 de novembro de 2010 00:00, Pedro Júnior <
>> pedromatematic...@gmail.com> escreveu:
>>
>> Parece simples mais ainda não consegui exergar o caminho.
>>> Usei tansformações, forma exponencial dos complexos, combinei várias
>>> transformações, etc, só ainda não dei um tratamento geométrico..
>>>
>>>
>>> Vejam: Mostre que 2cos20º - 1/cos80º é um inteiro.
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Abraços.
>>>
>>>
>>> Pedro Júnior
>>> João Pessoa - PB
>>>
>>
>>
>>
>> --
>> Marcos Valle
>> Instituto Militar de Engenharia - IME
>> 1° ano A - básico
>>
>
>

Re: [obm-l] Trigonometria

[Ivan lopes]

2cos20º - 1/cos80º = -3,879385242
nops!

2010/11/15 Marcos Valle 

> 2cos20º - 1/cos80º
> 2cos20° - 1/sen10°
> 2(1 - 2sen²10°) - 1/sen10°
> (2sen10° - 4sen³10° - 1)/sen10°
> (sen30° - sen10° - 1)/sen10°
> (-1/2 - sen10°)/sen10°
> -1 - 1/(2sen10°)
>
> Pode usar o que quiser, vai ser difícil de achar um inteiro aí =]
>
>
>
> Em 15 de novembro de 2010 00:00, Pedro Júnior  > escreveu:
>
> Parece simples mais ainda não consegui exergar o caminho.
>> Usei tansformações, forma exponencial dos complexos, combinei várias
>> transformações, etc, só ainda não dei um tratamento geométrico..
>>
>>
>> Vejam: Mostre que 2cos20º - 1/cos80º é um inteiro.
>>
>>
>>
>>
>> Abraços.
>>
>>
>> Pedro Júnior
>> João Pessoa - PB
>>
>
>
>
> --
> Marcos Valle
> Instituto Militar de Engenharia - IME
> 1° ano A - básico
>

Re: [obm-l] Trigonometria

[Marcos Valle]

2cos20º - 1/cos80º
2cos20° - 1/sen10°
2(1 - 2sen²10°) - 1/sen10°
(2sen10° - 4sen³10° - 1)/sen10°
(sen30° - sen10° - 1)/sen10°
(-1/2 - sen10°)/sen10°
-1 - 1/(2sen10°)

Pode usar o que quiser, vai ser difícil de achar um inteiro aí =]



Em 15 de novembro de 2010 00:00, Pedro Júnior
escreveu:

> Parece simples mais ainda não consegui exergar o caminho.
> Usei tansformações, forma exponencial dos complexos, combinei várias
> transformações, etc, só ainda não dei um tratamento geométrico..
>
>
> Vejam: Mostre que 2cos20º - 1/cos80º é um inteiro.
>
>
>
>
> Abraços.
>
>
> Pedro Júnior
> João Pessoa - PB
>



-- 
Marcos Valle
Instituto Militar de Engenharia - IME
1° ano A - básico

[obm-l] Trigonometria

[Pedro Júnior]

Parece simples mais ainda não consegui exergar o caminho.
Usei tansformações, forma exponencial dos complexos, combinei várias
transformações, etc, só ainda não dei um tratamento geométrico..


Vejam: Mostre que 2cos20º - 1/cos80º é um inteiro.




Abraços.


Pedro Júnior
João Pessoa - PB

RES: [obm-l] Trigonometria

[Albert Bouskela]

Ops! Pequena correção apenas no desenvolvimento (a resposta já estava
correta):

 

Faça assim:

 

sin 2x + cos 2x = 2 sin x cos x   +   1 – 2 (sin x)^2 = 1 + 2 sin x ( cos x
– sin x )

 

Fazendo:  sqrt (1 + a^2) = u   e   tan x = a :

 

1 + sin x ( 2 cos x – 2 sin x ) = 1 + ( 2a/u ) ( 1/u – a/u)   ( aqui faltava
um “( )” )

 

Simplificando:   ( -a^2 + 2a + 1 ) / ( a^2 + 1 )

 

Repare que “u” é sempre diferente de zero ( “u^2” também é sempre diferente
de zero ). Logo, é possível manipular “1/u” e “1/u^2” sem qualquer cuidado.

 

Albert Bouskelá

 <mailto:bousk...@msn.com> bousk...@msn.com

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Marcelo Costa
Enviada em: quarta-feira, 18 de agosto de 2010 11:18
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Trigonometria

 


Algúem poderia me dr uma força neste problema?

Seja tg x = a, determine o valor de sen 2x + cos 2x 

RES: [obm-l] Trigonometria

[Albert Bouskela]

Faça assim:

 

sin 2x + cos 2x = 2 sin x cos x   +   1 – 2 (sin x)^2 = 1 + sin x ( 2 cos x
– 2 sin x )

 

Fazendo:  sqrt (1 + a^2) = u   e   tan x = a :

 

1 + sin x ( 2 cos x – 2 sin x ) = 1 + 2a/u ( 1/u – a/u)

 

Simplificando:   (-a^2 + 2a + 1) / (a^2 + 1)

 

Repare que “u” é sempre diferente de zero. Logo, podemos manipular “1/u” sem
qualquer cuidado.

 

Albert Bouskelá

 <mailto:bousk...@msn.com> bousk...@msn.com

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Marcelo Costa
Enviada em: quarta-feira, 18 de agosto de 2010 11:18
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Trigonometria

 


Algúem poderia me dr uma força neste problema?

Seja tg x = a, determine o valor de sen 2x + cos 2x 

RES: [obm-l] Trigonometria

[Albert Bouskela]

Ops! Pequena correção apenas no desenvolvimento (a resposta já estava
correta):

 

Faça assim:

 

sin 2x + cos 2x = 2 sin x cos x   +   1 – 2 (sin x)^2 = 1 + 2 sin x ( cos x
– sin x )

 

Fazendo:  sqrt (1 + a^2) = u   e   tan x = a :

 

1 + sin x ( 2 cos x – 2 sin x ) = 1 + ( 2a/u ) ( 1/u – a/u)   ( aqui faltava
um “( )” )

 

Simplificando:   ( -a^2 + 2a + 1 ) / ( a^2 + 1 )

 

Repare que “u” é sempre diferente de zero ( “u^2” também é sempre diferente
de zero ). Logo, é possível manipular “1/u” sem qualquer cuidado.

 

Albert Bouskelá

 <mailto:bousk...@msn.com> bousk...@msn.com

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Marcelo Costa
Enviada em: quarta-feira, 18 de agosto de 2010 11:18
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Trigonometria

 


Algúem poderia me dr uma força neste problema?

Seja tg x = a, determine o valor de sen 2x + cos 2x 

[obm-l] Trigonometria

[Marcelo Costa]

Algúem poderia me dr uma força neste problema?

Seja tg x = a, determine o valor de sen 2x + cos 2x

Re: [obm-l] Trigonometria UFG

[Joao Maldonado]

Fácil, 
 
Fazendo um rascunho do rio temos:
 
 
  B
-
    }
    } = x
    }
    }
-
 } = b
     C-A
 
Tendo y = x+b, 
Temos::
y = a.tan(alfa)
 
Foi dado que: sen(alfa) = c
Pela relação sen^2 + cos^2 = 1
Temos cos(alfa) = raiz(1-c^2)
Pela relação tang = sen/cos
temos tan(alfa) = c/raiz(1-c^2)
 
Então y = ac/raiz(1-c^2)
x = y-b = ac/raiz(1-c^2)-b donde vem o resultado.
 
João Victor
abs.
 


--- Em qua, 21/4/10, vitorioga...@uol.com.br  escreveu:


De: vitorioga...@uol.com.br 
Assunto: [obm-l] Trigonometria UFG
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" 
Data: Quarta-feira, 21 de Abril de 2010, 20:56





Um homem quer medir a largura de um rio, mas não pode atravessá-lo. Então, 
de um ponto A próximo da margem, visa um ponto B na margem oposta. De A, ele 
traça uma perpendicular à linha AB e marca sobre esta perpendicular um ponto 
C, distando 
a metros de A do ponto C, visa os pontos A e B e mede o ângulo BCA, 
encontrando alfa graus. Se a distância de A à margem mais próxima, sobre AB, 
é de b metros e sen alfa = c, mostre que a largura x do rio é dada por: 

x = (ac-b*R[1-c^2])/R[1-c^2]


tentei fazer, contudo só chego a identidades 
absurdas.=
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 


  

[obm-l] Trigonometria UFG

[vitoriogauss]

Um homem quer medir a largura de um rio, mas não pode atravessá-lo. Então, de um ponto A próximo da margem, visa um ponto B na margem oposta. De A, ele traça uma perpendicular à linha AB e marca sobre esta perpendicular um ponto C, distando 

a metros de A do ponto C, visa os pontos A e B e mede o ângulo BCA, encontrando alfa graus. Se a distância de A à margem mais próxima, sobre AB, é de b metros e sen alfa = c, mostre que a largura x do rio é dada por: x = (ac-b*R[1-c^2])/R[1-c^2]tentei fazer, contudo só chego a identidades absurdas.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] TRIGONOMETRIA - TANGENTE

[Domingos Romualdo]

Wagner,
 
Lembre que tg (A+B) = (tg A + tg B)/(1 – tgA x tgB).  Como A + B + C = 180,
temos tg(A+B) + tg C = 0, donde (tg A + tg B)/(1 – tg A x tg B) + tg C = 0,
e o resultado segue.
 
Abraços,
 
Domingos
 
  _  

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of warley ferreira
Sent: Wednesday, April 07, 2010 10:24 AM
To: Lista de Discussão
Subject: [obm-l] TRIGONOMETRIA - TANGENTE
 
Pessoal queria uma ajuda nesta questão. Como devo proceder.
Prove que em todo triângulo não retângulo ABC, tg A + tgB + tgC =
tgA.tgB.tgC.
Desde já agradeco
Abraços
Wagner Luis 
 
  _  

Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top
<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/
>  10 - Celebridades
<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/
celebridades/>  - Música
<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/
m%C3%BAsica/>  - Esportes
<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/
esportes/> 

[obm-l] TRIGONOMETRIA - TANGENTE

[warley ferreira]

Pessoal queria uma ajuda nesta questão. Como devo proceder.
Prove que em todo triângulo não retângulo ABC, tg A + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC.
Desde já agradeco
Abraços
Wagner Luis 


  

Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

[obm-l] Re: [obm-l] Trigonometria ( equação tg)

[Henrique Rennó]

Como podemos escrever 9pi/4 como 8pi/4 + pi/4 = 2pi + pi/4, o ângulo 9pi/4 e
pi/4 são os mesmos, assim tg(9pi/4 + kpi) = tg(pi/4 + kpi).

2009/10/8 Gustavo Duarte 

>  A questão apresenta  a seguinte equação: *tg X = tg ( 9pi )/4 *,
> pergunta-se:
>
>  1) A solução *X =  ( 9pi)/4 + Kpi * dada como gabarito desta equação  é
> iquivalente a soluão  *X = pi/4 + Kpi*  ( com k inteiro)?
>
> 2) A equação dada é equivalente a *tg x = tg pi/4  *ou seja possui
> soluções iguais ?
> **
> Desde já agradeço alguma ajuda !!
> **
>
>



-- 
Henrique