Olá Cláudio! A prova da irrac. do nº e eu resolvi exatamente da maneira como vc mostrou abaixo na prova(expandindo a exponencial por Taylor e chegando a uma contradiçao na hipotese.). Não sei se fui claro, é que eu gostaria de uma outra forma de se fazer esta dem., mesmo assim valew.
Qto a ideia basica da dem. de C ser alg. fechado, achei interessantissima... estou procurando sua indicaçao, valew. Voce nao saberia uma bibliografia que demonstre isso? caso sim, me mande, please. Falou > e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + .... > > Suponha que e = m/n, com m e n inteiros positivos. > Como e nao eh inteiro, temos que n >= 2. > > Entao: > 0 < e - 1 - 1/1! - 1/2! - ... - 1/n! = 1/(n+1)! + 1/ (n+2)! + ... ==> > 0 < m/n - 1 - 1/1! - 1/2! - ... - 1/n! = 1/n!*(1/ (n+1) + 1/((n+1)(n+2)) + ... ). > > Reduzindo m/n - 1 - 1/1! - 1/2! - ... - 1/n! a um denominador comum, ficamos com: > 0 < p/n! < 1/n!*(1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + ... ) onde p eh um inteiro positivo ==> > 0 < p < (1/(n+1))/(1 - 1/(n+1)) ==> > 0 < p < 1/n < 1 ==> > existe um inteiro entre 0 e 1 ==> > contradicao ==> > e eh irracional. > > ***** > > A afirmacao de que C eh algebricamente fechado eh o teorema fundamental da algebra. Voce encontra demonstracoes razoavelmente inteligiveis no site > "cut-the-knot". > > A ideia basica da demonstracao eh que, se p(z) eh um polinomio complexo, entao, para |z| grande, p(z) eh dominado pelo termo de maior grau (digamos z^n) e para |z| muito pequeno, p(z) eh dominado pelo termo independente (digamos a_0), suposto diferente de 0 (se a_0 = 0, entao 0 eh uma raiz de p(z) e acabou...) > > Tomando |z| = R grande o suficiente, se fizermos o argumento de z variar de 0 a 2Pi, o lugar geometrico de p(z) irah ser proximo do lugar geometrico de z^n, o qual percorre n vezes uma circunferencia de raio R^n em torno da origem (o crucial eh R seja grande o suficiente para que a origem fique no interior do l.g. de p(z)). > > Tomando |z| = r proximo o suficiente de zero, se fizermos z variar de 0 a 2Pi, o lugar geometrico de p (z) ficarah limitado ao interior de um circulo de raio muito pequeno em torno de a_0, o qual nao contem a origem (lembre-se de que a_0 <> 0). > > Fazendo |z| variar continuamente de R ateh r, o l.g. de p(z) irah se contrair continuamente e, portanto, para um dado valor de |z|, irah passar pela origem. Ou seja, para um dado valor de z com este modulo, p(z) serah igual a zero. > > []s, > Claudio. > > > > De:[EMAIL PROTECTED] > > Para:"obm-l" [EMAIL PROTECTED] > > Cópia: > > Data:Sun, 30 May 2004 15:46:26 -0300 > > Assunto: > > > > > Pessal, semestre passado meu prof. de calc. II colocou > > na prova um exercicio assim > > "Prove que o número e é irracional" > > > > Eu usei a Form. de Taylor com resto de Lagrange e o > > met. de red ao absurdo, supondo como hip. inicial que e > > fosse racional. > > > > Gostaria de saber uma outra maneira de resolve lo. > > > > > > Alem disso, gostaria de saber se é muito dificil provar > > que o conj. C é algebricamente fechado. > > > > > > Falow pessoal! > > > > > > Atenciosamente, > > > > Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira > > Osvaldo Mello Sponquiado > > Usuário de GNU/Linux > > > > > > > > ________________________________________________________ __________________ > > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > > AntiPop-up UOL - É grátis! > > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > > > > > ======================================================== ================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ======================================================== ================= > > Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __________________________________________________________________________ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================