Cone Sul - Problema 2 "Dada uma circunferencia C e um ponto P exterior a ela, tracam-se por P as duas tangentes aa circunferencia, sendo A e B os pontos de tangencia. Toma-se um ponto Q sobre o menor arco AB de C. Seja M a intersecao da reta AQ com a perpendicular a AQ tracada por P e seja N a intersecao da reta BQ com a perpendicular a BQ tracada por P. Demonstre que, ao variar Q no arco AB, todas as retas MN passam por um mesmo ponto.
Solucao: Sejam: H o pe da perpendicular de P a AB R e S as projecoes de N e M, respectivamente, a PH Q e T as projecoes de N e M, respectivamente, a AB No triangulo PNM: PN = PB.sen(<PBN) (I) QH = NR = PN.sen(<NPR) = PN.sen(<NBA) (quadrilat. NPBH inscrit.) => (por I) QH = PB.sen(<PBN).sen(<NBA) Da mesma forma encontramos: TH = PA.sen(<PAM).sen(<MAB) Como PA = PB, <PAM = <NBA e <PBN = <MAB, entao GH = TH Logo, a intersecao de MN com a altura PH se da no ponto medio de MN, que chamamos de L, e LH eh base media do trapezio QNMT com bases NQ e MT. Entao LH = (NQ + MT)/2 Mas NQ = PH - PR = PH - PN.cos(<NPR) = PH - PB.sen(<PBN).cos(<NBA) Da mesma forma: MT = PH - PA.sen(<NBA).cos(<PBN) e NQ + MT = 2PH - PA.(sen(<PBN).cos(<NBA) + sen(<NBA).cos(<PBN)) = = 2PH - PA.sen(<PBN + <NBA) = 2PH - PA.sen(<PBA) = 2PH - PH = PH e LH = (NQ + MT)/2 = PH/2 Ou seja, todas as retas MN passam pelo ponto medio da altura PH. []'s ##################################### # MSc. Edson Ricardo de A. Silva # # Computer Graphics Group (CRAB) # # Federal University of Ceara (UFC) # ##################################### ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================