Desculpem, mas o resultado é falso. Se f(x,n)=sen(nx)/n (digamos
para x em (1,+infinito)), então quando n tende a infinito, f(x,n)
tende a 0. Mas df/dx(x,n)=n.cos(nx)/n=cos(nx), que não tende a 0
quando n tende a infinito. Por exemplo, se x=2.pi, cos(nx)=1 para todo
n natural.
Abraços,
Gugu
Quoting Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com>:
Oi, Israel,
Acho que a melhor representação seria f(x, n) e g(x, n).
Assim, sua pergunta seria:
Seja h(x, n) = f(x, n) - g(x, n). Prove que, se lim{n->inf} h(x, n) = 0,
então lim{n->inf} dh/dx(x, n) = 0.
Pela hipótese, sabemos que para todo eps > 0 existe M tal que para todo n >
M, |h(x, n)| < eps.
Para eps1*|a| > 0, existe M1 tal que n > M1 implica em |h(x+a, n)| <
eps1*|a|.
Para eps2*|a| > 0, existe M2 tal que n > M2 implica em |h(x, n)| < eps2*|a|.
Portanto, para n > max(M1, M2), temos:
|h(x+a, n) - h(x, n)| <= |h(x+a, n)| + |h(x, n)| < |a|*(eps1 + eps2)
|h(x+a, n) - h(x, n)| < a*(eps1 + eps2)
|h(x+a, n) - h(x, n)| / |a| < eps1 + eps2
|[h(x+a, n) - h(x, n)] / a| < eps1 + eps2
Sabemos que dh/dx = lim{a->0} [h(x+a, n) - h(x, n)] / a.
Fazendo a -> 0, temos |dh/dx(x, a)| < eps1 + eps2, para n > max(M1, M2).
Portanto, lim{n->inf} dh/dx(x, n) = 0.
Abraços,
Salhab
2015-09-11 21:54 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com>:
Seja f(x) uma função na variável x, mas que contenha n na sua "fórmula"
ou na sua expressão.Vou usar a notação aqui de lim para limite de n
tendendo ao infinito,
se lim f(x) =g(x) então vale que lim f '(x)=lim g'(x)?Como posso provar
isso?Eu usei isto em uma demonstração, mas não sei se está correto...Alguém
poderia me ajudar?
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