Seja x um número real diferente de n tal que x^n = n^x ==> x = n^(x/n).
Se x for transcendente, não há o que provar. Suponhamos, assim, que x seja algébrico. O teorema de Gelfond-Schneider diz que se a e b são algébricos, com a <> 0, a <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente. n é algébrico diferente de 0 e 1. Assim, basta provar que x é irracional e aplicar o teorema de Gelfond-Schneider (com a = n e b = x/n). Suponhamos que x seja racional, digamos x = p/q com p e q inteiros primos entre si (e q <> 0). Seja log = logaritmo na base n. Então, log(x) = x/n ==> log(p/q) = p/(nq) ==> n^(p/(nq)) = p/q ==> p^(nq) = n^p * q^(nq). Mas como p e q são primos entre si, a unicidade da fatoração implica que q = 1 ==> p^n = n^p. E mais uma vez, a unicidade da fatoração implica que p = n ==> x = n, o que contradiz a hipótese original de ser x <> n. Logo, x não pode ser racional, e acabou. []s, Claudio. 2018-03-21 18:17 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>: > Ah Deus! Esqueci de dizer, raízes não triviais, distintas de n. > > Artur Costa Steiner > > Em Qua, 21 de mar de 2018 18:12, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Tá certo isso? Pois, para todo n natural, n sempre é raiz de x^n = n^x. >> >> 2018-03-21 16:45 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>: >> >>> Mostre que, para todo inteiro n >= 3, n diferente de 4, as raÃzes reais >>> da equação x^n = n^x são transcendentes. >>> >>> Artur >>> >>> Enviado do meu iPad >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> ============================================================ >>> ============= >>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> ============================================================ >>> ============= >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
