Depois eu dei uma demonstração que vale pra qualquer x real, positivo ou negativo. Você não viu?
2018-03-23 15:20 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>: > ! > > Ests prova vale para raízes positivas, certo? Para n par, há também uma > raiz negativa. > > Para raízes positivas, eu dei uma prova um pouco deferente da sua para a > irracionalidade de x, porque tinha provado antes que as raízes não triviais > estão em (1, e), no qual o único inteiro é 2. Depois, também apliquei > Gelfond Schneider. > > Artur > Mostrar texto das mensagens anteriores > Ocultar texto das mensagens anteriores > > > > > Em Qua, 21 de mar de 2018 21:44, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > > Seja x um número real diferente de n tal que x^n = n^x ==> x = n^(x/n). > > Se x for transcendente, não há o que provar. > > Suponhamos, assim, que x seja algébrico. > > O teorema de Gelfond-Schneider diz que se a e b são algébricos, com a <> > 0, a <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente. > > n é algébrico diferente de 0 e 1. > Assim, basta provar que x é irracional e aplicar o teorema de > Gelfond-Schneider (com a = n e b = x/n). > > Suponhamos que x seja racional, digamos x = p/q com p e q inteiros primos > entre si (e q <> 0). > Seja log = logaritmo na base n. > > Então, log(x) = x/n ==> log(p/q) = p/(nq) ==> n^(p/(nq)) = p/q ==> > p^(nq) = n^p * q^(nq). > > Mas como p e q são primos entre si, a unicidade da fatoração implica que q > = 1 ==> p^n = n^p. > E mais uma vez, a unicidade da fatoração implica que p = n ==> x = n, o > que contradiz a hipótese original de ser x <> n. > Logo, x não pode ser racional, e acabou. > > []s, > Claudio. > > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
