OK! Ests prova vale para raízes positivas, certo? Para n par, há também uma raiz negativa.
Para raízes positivas, eu dei uma prova um pouco deferente da sua para a irracionalidade de x, porque tinha provado antes que as raízes não triviais estão em (1, e), no qual o único inteiro é 2. Depois, também apliquei Gelfond Schneider. Artur Em Qua, 21 de mar de 2018 21:44, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Seja x um número real diferente de n tal que x^n = n^x ==> x = n^(x/n). > > Se x for transcendente, não há o que provar. > > Suponhamos, assim, que x seja algébrico. > > O teorema de Gelfond-Schneider diz que se a e b são algébricos, com a <> > 0, a <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente. > > n é algébrico diferente de 0 e 1. > Assim, basta provar que x é irracional e aplicar o teorema de > Gelfond-Schneider (com a = n e b = x/n). > > Suponhamos que x seja racional, digamos x = p/q com p e q inteiros primos > entre si (e q <> 0). > Seja log = logaritmo na base n. > > Então, log(x) = x/n ==> log(p/q) = p/(nq) ==> n^(p/(nq)) = p/q ==> > p^(nq) = n^p * q^(nq). > > Mas como p e q são primos entre si, a unicidade da fatoração implica que q > = 1 ==> p^n = n^p. > E mais uma vez, a unicidade da fatoração implica que p = n ==> x = n, o > que contradiz a hipótese original de ser x <> n. > Logo, x não pode ser racional, e acabou. > > []s, > Claudio. > > > 2018-03-21 18:17 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>: > >> Ah Deus! Esqueci de dizer, raízes não triviais, distintas de n. >> >> Artur Costa Steiner >> >> Em Qua, 21 de mar de 2018 18:12, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Tá certo isso? Pois, para todo n natural, n sempre é raiz de x^n = n^x. >>> >>> 2018-03-21 16:45 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com> >>> : >>> >>>> Mostre que, para todo inteiro n >= 3, n diferente de 4, as raÃzes >>>> reais da equação x^n = n^x são transcendentes. >>>> >>>> Artur >>>> >>>> Enviado do meu iPad >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> >>>> ========================================================================= >>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>>> >>>> ========================================================================= >>>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
