Seja x um número real diferente de n tal que x^n = n^x ==> x = n^(x/n).
Se x for transcendente, não há o que provar. Suponhamos, assim, que x seja algébrico. O teorema de Gelfond-Schneider diz que se a e b são algébricos, com a <> 0, a <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente. n é algébrico diferente de 0 e 1. Assim, basta provar que x é irracional e aplicar o teorema de Gelfond-Schneider (com a = n e b = x/n). Suponhamos que x seja racional, digamos x = p/q com p inteiro (não necessariamente positivo), q inteiro positivo, e p e q primos entre si. x^n = n^x ==> (p/q)^n = n^(p/q) ==> (p/q)^(nq) = n^p ==> p^(nq) = n^p * q^(nq). Como p e q são primos entre si, a unicidade da fatoração implica que q = 1 ==> p^n = n^p. E mais uma vez, a unicidade da fatoração implica que p = n ou p = -n ==> x = -n, já que x <> n por hipótese. Mas, neste caso, teremos (-n)^n = n^(-n) ==> inteiro = não inteiro ==> contradição. 2018-03-24 7:40 GMT-03:00 Luís Lopes <qed_te...@hotmail.com>: > Sauda,c~oes, oi Claudio, > > Depois eu dei uma demonstração que vale pra qualquer x real, positivo ou > negativo. Você não viu? > > Não vi/recebi a demonstração para x negativo. > Poderia mandar novamente ? Obrigado. > > Luís > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
