! Ests prova vale para raízes positivas, certo? Para n par, há também uma raiz negativa.
Para raízes positivas, eu dei uma prova um pouco deferente da sua para a irracionalidade de x, porque tinha provado antes que as raízes não triviais estão em (1, e), no qual o único inteiro é 2. Depois, também apliquei Gelfond Schneider. Artur Mostrar texto das mensagens anteriores Ocultar texto das mensagens anteriores Em Qua, 21 de mar de 2018 21:44, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: Seja x um número real diferente de n tal que x^n = n^x ==> x = n^(x/n). Se x for transcendente, não há o que provar. Suponhamos, assim, que x seja algébrico. O teorema de Gelfond-Schneider diz que se a e b são algébricos, com a <> 0, a <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente. n é algébrico diferente de 0 e 1. Assim, basta provar que x é irracional e aplicar o teorema de Gelfond-Schneider (com a = n e b = x/n). Suponhamos que x seja racional, digamos x = p/q com p e q inteiros primos entre si (e q <> 0). Seja log = logaritmo na base n. Então, log(x) = x/n ==> log(p/q) = p/(nq) ==> n^(p/(nq)) = p/q ==> p^(nq) = n^p * q^(nq). Mas como p e q são primos entre si, a unicidade da fatoração implica que q = 1 ==> p^n = n^p. E mais uma vez, a unicidade da fatoração implica que p = n ==> x = n, o que contradiz a hipótese original de ser x <> n. Logo, x não pode ser racional, e acabou. []s, Claudio. Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
