Outra dica: pense na versão em que o bolo é um prisma reto de base triangular (não necessariamente equilátera). Como você dividiria este bolo em 2 pedaços? E em 3? Em n pedaços? Prove que o problema tem solução para todo n.
2018-03-27 22:07 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>: > > > 2018-03-27 21:40 GMT-03:00 Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com>: > >> Em 27 de março de 2018 21:16, Claudio Buffara >> <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> > Acho que você viajou no chocolate... >> > >> > Matematicamente falando, a ideia é particionar um prisma reto de base >> > quadrada, cujo topo e as quatro faces (mas não a base) foram pintadas, >> >> Ah! Então a cobertura é uma "lâmina", e não uma capa grossa... >> >> Sim. > > >> A solução mais trivial para o caso de potências de dois é meramente >> fazer cortes radiais. Tenso é garantir que isso de alguma forma vale >> para o caso geral: traçar raios partindo do centro do bolo que dividem >> área e volume igualmente. Preciso fazer contas antes de verificar se >> isso pode ser feito! >> >> Faça as contas. > > >> Mais uma coisa: acredito que por transformação afim seja possível >> resolver isso para um bolo cúbico... >> >> Mas um cubo é um prisma de base quadrada. > A transformação afim é apenas um achatamento (ou alongamento) na direção > vertical. > Só que eu não acho que fica mais fácil com um cubo. > > >> > em >> > sete prismas retos (ou seja, os cortes são todos planos e verticais - >> isso >> > não era parte do enunciado original, mas é uma restrição que talvez >> ajude), >> > todos com o mesmo volume e com a mesma área pintada. >> > >> > Dicas: >> > 1) Dividir o bolo em 2, 4 ou 8 pedaços nestas condições é trivial, >> certo? E >> > dividir em 3 pedaços? >> > 2) A solução que eu conheço envolve geometria plana elementar. Mas você >> > precisa de uma ideia. Acho que resolvendo o problema da divisão em 3 >> pedaços >> > você não só resolverá o problema original como também conseguirá >> generalizar >> > pra outros formatos de bolo. >> > 3) Você quer pedaços em que o volume seja proporcional à área pintada. >> > >> > >> > >> > 2018-03-27 20:44 GMT-03:00 Anderson Torres < >> torres.anderson...@gmail.com>: >> >> >> >> Em 27 de março de 2018 11:53, Claudio Buffara >> >> <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >> > Achei estes dois bonitinhos: >> >> > >> >> > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a >> um >> >> > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. >> >> > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com >> o >> >> > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o >> >> > teorema >> >> > de Ptolomeu). >> >> > >> >> > >> >> > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base >> quadrada e >> >> > tem >> >> > cobertura no topo e nas quatro faces. >> >> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um >> receba a >> >> > mesma quantidade de bolo e de cobertura. >> >> >> >> Nenhuma suposição acerca da homogeneidade da mistura? >> >> >> >> Eu por exemplo estou supondo que isto seja equivalente a um copo >> >> "paralelepipédico" feito de chocolate recheado com um doce de leite >> >> bem consistente, e que ambos os ingredientes são homogêneos, no >> >> sentido de que não existem bolhas de ar no doce nem concetrações de >> >> alta densidade de cacau em pontos desconhecidos. >> >> >> >> Não sei por que, eu me lembrei do teorema do sanduba, em que é >> >> possível cortar um sanduíche pão-presunto-pão, com um só corte de modo >> >> a dividir cada ingrediente ao meio. >> >> >> >> Minha tentativa tosca, por ora, é cortar o fundo do copo de chocolate >> >> e dividi-lo em sete, e depois cortar em sete partes o rocambole >> >> restante. É melhor que o liquidificador, vai... >> >> >> >> >> >> > >> >> > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir >> a >> >> > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. >> >> > >> >> > []s, >> >> > Claudio. >> >> > >> >> > >> >> > >> >> > -- >> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> >> >> ============================================================ >> ============= >> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> >> ============================================================ >> ============= >> > >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
