Boa! Complexos são realmente uma ferramenta poderosa. Outra solução usa geometria analítica no R^3.
Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a). O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2. P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2 = (x-a)^2 + y^2 + z^2 + x^2 + (y-a)^2 + z^2 + x^2 + y^2 + (z-a)^2 = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z) = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2 = 3r^2 + a^2. []s, Claudio. 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com>: > Entao..... acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai usando > complexos, vamos ver, > > O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 é o > conjugado de Z1. > > Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o > triangulo equilatero por z^3-k^3=0 . > > Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo A=3r^2+3k^2. > > Pronto morreu. > > > Um abraco > Douglas Oliveira. > Mas o valor de A será > > > Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" <claudio.buff...@gmail.com> > escreveu: > > Achei estes dois bonitinhos: > > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema > de Ptolomeu). > > > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e > tem cobertura no topo e nas quatro faces. > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a > mesma quantidade de bolo e de cobertura. > > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. > > []s, > Claudio. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
