[obm-l] Trigonometria III (Mr. Crowley)

2003-10-01 Por tôpico paraisodovestibulando 
Olá Pessoal,

Valew galera pelas ajudas! (Cláudio, Leandro, João, 
Bruno e Ralph)


Espero que possam me ajudar nestes dois também (que me 
parece ser mais dificeis):

I) Sabendo que sen(2A), sen(2B) e sen(2C) estão em 
P.A., nessa ordem, demonstrar que tan(B+C), tan(C+A) e 
tan(A+B) também estão em P.A. nessa ordem. 


II) Demonstrar que é isósceles o triângulo ABC cujos 
ângulos A e B verificam a equação 

sen(A/2) . [cos(B/2)]^3 = sen(B/2) . [cos(A/2)]^3 



Gostaria de aproveitar o espaço para perguntar se 
alguém conhece algum site que tenha as resoluções das 
provas do IME.

É isso aí...

Grato

Mr. Crowley

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`6_ 6  )   `-.  ().`-.__.`)
(_Y_.)'  ._   )  `._ `.``-..-' 
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 (il),-''  (li),'  ((!.-'
 
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Re: [obm-l] Questões_confusas_e_vestibular_do_IME

2003-10-01 Por tôpico Camilo Marcantonio Junior 
   Oi Alexandre,
 
 Não acompanhei muito bem a sua discussão e não sei exatamente o nível de formalização que você deseja. De qualquer forma, creio que não haja grandes problemas para resolver essa questão. Vamos ver.
 Aplica logaritmo na primeira equação e reza pra x e y serem maiores que 0. Você chegará então a :
 
   y logx = x logy
 
 Substituindo a segunda equação, vem:
 
   ax logx = x log(ax) => a logx = log(ax) (lembre-se de que estamos supondo x>0)
 
 Então:
 
   a logx = loga + logx => (a - 1)logx = log a => 
   x = a ^ [1/(a - 1)]  => y = a ^ [a/(a - 1)] 
 
e, felizmente, x e y > 0.
 
  um abraço,
  Camilo 
     
    
    Alexandre Daibert <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Aos colegas que discordaram de mim quando eu disse que as questões do IME algumas vezes são confusas, peço que me enviem a formalização para o seguinte problema da prova de 1997:(IME 1997)Resolva o sistema abaixo:x^y = y^xy=axonde, a diferente de 1 e a>0=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

[obm-l] Proporção áurea. Qual o motivo do nome?

2003-10-01 Por tôpico Alexandre Daibert 
Estava mexendo em uma página q falava sobre proporção áurea e me deparei 
com o seguinte:

Sejam as grandezas a e b; a sua soma a + b nos fornece o termo requerido:
(a + b)/a = a/b
que é uma proporção célebre e que se funda na seção ou corte de ouro.
Como assim??? Qual a origem do termo proporção áurea? O que o corte do 
ouro tem a ver com isso? Gostaria de aproveitar e abrir algum tipo de 
discussão sobre o tema. Já ouvi falar que alguma coisa na Monalisa do Da 
Vinci tem a ver com proporção áurea, não me lembro direito. Alguém sabe 
dizer???

Alexandre Daibert



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Re: [obm-l] Enigma_difícil

2003-10-01 Por tôpico Camilo Marcantonio Junior 
       Oi Fábio,
 
  A condição é que a bala do canhão tenha a mesma velocidade do som.
 
  um abraço,
    Camilo Fábio_Bernardo <[EMAIL PROTECTED]> wrote:




Amigos, um aluno me perguntou e su não soube responder.
Se alguém puder, me ajude por favor.
 
Um homem está a uma certa distância de um canhão.
Após o disparo, a bala explode a frente do homem.
Qual a condição para que o homem escute o disparo do canhão e o barulho da explosão simultaneamente?Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões_IME_(ultra-foda!)

2003-10-01 Por tôpico Alexandre Daibert 
Realmente, ocorrem poucas vezes, mas acho q o IME deveria tomar mais 
cuidado com isso, pois sendo a prova de apenas 10 questões uma questão 
mal colocada pode prejudicar de maneira substancial um candidato 
(prejudica mais aliás, os bons candidatos).

Alexandre D.

Igor Castro escreveu:

Dividir harmonicamente um segmento é "dividi-lo" internamente e 
externamente na mesma razão. Ex, AB=10, C está sobre AB tal que AC=6, 
D está depois de B tal que BD=20. Repare que AC/BC = AD/BD. Ou seja, C 
e D dividem AB harmonicamente numa certa razão (mais a fundo, vc pode 
provar que representam o pé das bissetrizes internas e externas e daí 
concluir mais coisas)
Não acho que os problemas do ime sejam mal elaborados. Na minha 
opinião, o que ocorre as vezes(poucas diante de todos os problemas) é 
que devido a complexidade dos problemas e a necessidade de adaptá-los 
a uma prova de concurso de nível médio pode deixar o enunciado um 
pouco estranho ou confuso. Mas isso realmente ocorre poucas vezes.
[]´s
Igor Castro
 
 
- Original Message -

*From:* Roberto Gomes 
*To:* [EMAIL PROTECTED] 
*Sent:* Wednesday, October 01, 2003 8:34 AM
*Subject:* Re: [obm-l] Questões_IME_(ultra-foda!)
Não concordo com vc, pelo contrário acho as provas do IME muito
bem elaboradas, não vejo nada de confuso. sobre divisão harmonica
e questões com essa de geometria vc poderá encontra no livro
Geometria II do Morgado que por sinal, para mim, é uns dos
melhores livros de geometria que eu conheço.
 
Roberto Gomes

*/Alexandre Daibert <[EMAIL PROTECTED]
>/* wrote:
Caros colegas, gostaria da ajuda dos senhores, por obséquio,
se não for
incomodar muito, para a resolução dos seguintes problemas de
vestibulares do IME:
(IME 96)
Dados os trinômios de segundo grau:
y = ax^2 + bx + c (I)
y = a´x^2 + b´x + c´ (II)
Cosidere, sobre o eixo Ox, os pontos cujas abscissas são as
raízes do
trinômio (I) e A´B´ os pontos cujas abscissas são raízes do
trinômio (II).
Determine a relação que deve existir entre os coeficientes a,
b, c, a´,
b´, c´, de modo que A´B´divida o segmento AB harmonicamente.
obs1: O que significa esta divisão harmônica? As extremidades
podem ser
iguais? ou seria a divisão do segmento em 3? Como divido um
segmento em
3 harmonicamente?
(IME 96)
Determine os números naturais n para os quais existem
poliedros convexos
de n arestas.
obs2: essa eu até fiz, mas gostar! ia de conferir a resposta.

(IME 93)
Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura
construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC;
seja P o
ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas
relativas aos
vértices B e C determina-se também, de modo análogo Q e R
sobre os lados
CA, AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares.
obs3: Esta questão tem uma figura, q eu considerei
desnecessária. Caso
alguém não tenha entendido me diga q eu faço a figura e mando
pra lista.
Gostaria de aproveitar a oportunidade em q estou abrindo a
discussão
destes problemas do IME para expressar a minha indignação
sobre alguns
problemas deste vestibular. Por anos temos visto que o IME não
se cansa
de colocar questões mal-elaboradas em seu vestibular, no
sentido de ter
interpretações ambíguas, não só na prova de matemática. Mesmo
o aluno
mais bem preparado fica confuso frente a algumas questões, que
s! ão
mal-colocadas realmente. Fico me perguntando qual o objetivo dos
professores ao colocar questões confusas no vestibular.
Selecionar os
melhores candidatos, provavelmente não é, pois as vezes um bom
candidato
pode ser eliminado porque não soube interpretar uma questão
confusa.
Gostaria de saber se esta opinião é só minha, ou se mais algum
colega da
lista compartilha do mesmo sentimento em relação ao vestibular
do IME.
Alexandre D.

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Re: [obm-l] Esferas e Tetraedros

2003-10-01 Por tôpico Alexandre Daibert 
Pra falar a verdade o q eu queria saber mesmo eh o porque do (A + B + C 
+ D)/4
É o baricentro? desculpe minha ignorância em geometria espacial, eh a 
parte q eu menos sei na matemática (acho q deu pra perceber) mas o 
baricentro do tetraedro regular eh igual a 1/4 da altura? Como provar 
isso (de preferência fora da analítica)?

Claudio Buffara escreveu:

on 01.10.03 03:46, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 

Gostaria de ajuda para a resolução de esferas inscritas e circunscritas
a um tetraedro regular  de lado conhecido (calcular o raio)
Alexandre Daibert

   

Tem tambem a esfera tangente as arestas...

Sugestao: de coordenadas para cada um dos vertices (pondo 3 no plano x,y de
preferencia) - por exemplo:
A = (0,0,0), B = (a,0,0), C = (a/2,a*raiz(3)/2,0).
O vertice D serah um dos dois pontos equidistantes desses 3 (um tem
coordenada z positiva e o outro negativa). Facilita se voce perceber que a
projecao dele sobre o plano x,y eh justamente o centro H = (A+B+C)/3 do
triangulo equilatero ABC, ou seja, D = (a/2,a*raiz(3)/6,z) para algum z.
Agora eh soh usar o fato de que |AD| = a.
O centro das esferas eh o ponto O = (A+B+C+D)/4 (por que?)

Agora fica facil:
R(inscrita) = |OH|
R(circunscrita) = |OA|
R(tangente as arestas) = |OM|, onde M = ponto medio de AB = (A+B)/2.
Um abraco,
Claudio.
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[obm-l] Questões confusas e vestibular do IME

2003-10-01 Por tôpico Alexandre Daibert 
Aos colegas que discordaram de mim quando eu disse que as questões do 
IME algumas vezes são confusas, peço que me enviem a formalização para o 
seguinte problema da prova de 1997:

(IME 1997)
Resolva o sistema abaixo:
x^y = y^x
y=ax
onde, a diferente de 1 e a>0
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Re: [obm-l] Sequencias de Cauchy

2003-10-01 Por tôpico Marcio Afonso A. Cohen 
Porque o numero de termos eh arbitrariamente grande.

- Original Message -
From: "Felipe Pina" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wednesday, October 01, 2003 11:32 PM
Subject: [obm-l] Sequencias de Cauchy


>
> Gostaria que alguém esclarecesse a segunite dúvida.
>
> Seja (X,d) um espaço métrico e x_n uma seqüência satisfazendo
> d( x_(n+1), x_n ) -> 0.
> Sejam m e n inteiros positivos diferentes... spg, m > n
>
> -> x_m - x_n = x_m - x_(m-1) + x_(m-1) - x_(m-2) + x_(m-2) - 
> + x_(n+1) - x(n)
>
> Usando a desigualdade triangular...
>
> -> 0 <= d( x_m, x_n ) <= d( x_m, x_(m-1)) + d( x_(m-1), x_(m-2)) + 
> + d( x_(n+1) , x(n) )
>
> Por que não posso concluir que x_n é Cauchy se cada termo do lado
> direito fica arbitrariamente pequeno ? Se fosse o caso da implicação ser
> verdadeira, teríamos que a série harmônica seria convergente, mas não
> estou conseguindo entender onde está a falha no raciocínio...
>
> Obrigado,
> Felipe Pina
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>

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[obm-l] Dúvida-áreas

2003-10-01 Por tôpico Fábio Bernardo 



Oi pessoal, ajudem-me por favor.
Não estou conseguindo visualizar a área pedida e 
portanto, não consigo achar a resposta.
Desde já agradeço.
 
Para proteger um terreno circular com raio de 12m, 
amarra-se um cão feroz num ponto da circunferência que contorna o terreno. A 
corda que prende o cão também tem 12m; logo, só uma parte do terreno fica 
protegida. A área do terreno que está sob a proteção do cão é, 
aproximadamente:
 
PI=3,14 e sqrt(3)=1,73
 
a) 164
b) 177
c) 195
d) 217
e) 266
 

[obm-l] Enigma difícil

2003-10-01 Por tôpico Fábio Bernardo 



Amigos, um aluno me perguntou e su não soube 
responder.
Se alguém puder, me ajude por favor.
 
Um homem está a uma certa distância de um 
canhão.
Após o disparo, a bala explode a frente do 
homem.
Qual a condição para que o homem escute o disparo 
do canhão e o barulho da explosão simultaneamente?

Re: [obm-l] obm-?

2003-10-01 Por tôpico Bernardo Vieira Emerick 
Tem pelo menos um.
Abraços,
Bernardo

From: "juliano.kazapi" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] obm-?
Date: Wed,  1 Oct 2003 19:54:12 -0300
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[obm-l] Sequencias de Cauchy

2003-10-01 Por tôpico Felipe Pina 
   Gostaria que alguém esclarecesse a segunite dúvida.

   Seja (X,d) um espaço métrico e x_n uma seqüência satisfazendo 
d( x_(n+1), x_n ) -> 0.
   Sejam m e n inteiros positivos diferentes... spg, m > n

-> x_m - x_n = x_m - x_(m-1) + x_(m-1) - x_(m-2) + x_(m-2) -  
+ x_(n+1) - x(n)

   Usando a desigualdade triangular...

-> 0 <= d( x_m, x_n ) <= d( x_m, x_(m-1)) + d( x_(m-1), x_(m-2)) +  
+ d( x_(n+1) , x(n) )

   Por que não posso concluir que x_n é Cauchy se cada termo do lado 
direito fica arbitrariamente pequeno ? Se fosse o caso da implicação ser 
verdadeira, teríamos que a série harmônica seria convergente, mas não 
estou conseguindo entender onde está a falha no raciocínio...

Obrigado,
Felipe Pina
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Re: [obm-l] Duvidas

2003-10-01 Por tôpico A. C. Morgado 


matduvidas48 wrote:

  Me ajudem!!

 1)Quantos numeros de tres algarismos distintos 
podemos formar com os algarismos 1 ,2,3,4,5 e 6, 
incluindo sempre o algarismo 5.
Ha 3 modos de escolher a casa do 5, depois ha 5x4=20 modos de preencher as casas restantes.
A resposta eh 3x20 = 60

 2)Num baralho comum (52 cartas) , quantas escolhas 
de 5 cartas podemos fazer de modo que cada escolha pelo 
menos 3 figura( 12 cartas no toal sao figuras)?
Ha tres casos:

a) 3 figuras e 2 nao-figuras: C(12,3)xC(40,2)
b) 4 figuras e 1 nao-figura: C(12,4)x40
c) 5 figuras: C(12,5)
Some as tres parcelas
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[obm-l] Duvidas

2003-10-01 Por tôpico matduvidas48 



   Me ajudem!!


  1)Quantos numeros de tres algarismos distintos 
podemos formar com os algarismos 1 ,2,3,4,5 e 6, 
incluindo sempre o algarismo 5.



  2)Num baralho comum (52 cartas) , quantas escolhas 
de 5 cartas podemos fazer de modo que cada escolha pelo 
menos 3 figura( 12 cartas no toal sao figuras)?

 
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RE: [obm-l] Trigonometria (Mr. Crowley)

2003-10-01 Por tôpico Leandro Lacorte Recôva 









Valeu Ralph ! Eu fiz a
solucao direta no computador sem escrever no papel, dai nao havia percebido
isso. 

 

Obrigado pela observacao
final. 

 

Eu mandei uma outra
solucao de outro problema do CROWLEY mas acho que estava errada. O Claudio
Buffara apresentou uma solucao bem melhor...Depois vou descobrir onde errei. O
problema e que as vezes estou sem papel e caneta aqui do meu lado e cometo
esses erros. 

 

Leandro.

Los Angeles, USA. 

 

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Ralph Teixeira
Sent: Wednesday, October 01, 2003
1:14 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: RES: [obm-l]
Trigonometria (Mr. Crowley)

 



Boa solução, mas tem um errinho lá embaixo...
Eu notei que havia algo errado pois você tinha provado que A=pi/3 -- mas podia
ser B ou C, né?
 





II)Demonstrar que tem um
ângulo de 60º o triângulo ABC cujos ângulos verificam a relação : 





 sen(3A)
+ sen(3B) + sen(3C) = 0 (1) 





 Resposta: [...]





2.sin(3(B+C)2). [cos(3(B+C)/2) + cos(3(B-C)/2)] = 0 

 

Finalmente, usando a identidade cos(p) +
cos(q)=2cos((p+q)/2).cos((p-q)/2)) para p=3(B+C)/2 e q=3(B-C)/2 obtemos

 

4.sin(3(B+C)/2).cos(3B).cos(3C) = 0 ou ainda 

 

Deveria ser aqui 4
sin(3(B+C)/2)cos(3B/2)cos(3C/2)=0

Mas não importa, o resto
da solução é praticamente igual -- só que agora aparecerão os casos B=60 e C=60
também!

 

Abraço,

   
Ralph

[obm-l] obm-?

2003-10-01 Por tôpico juliano.kazapi 
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[obm-l] Mat. = ciência exata?

2003-10-01 Por tôpico Bernardo Vieira Emerick 
Oi pessoal,
(O texto é meio grande, e quem não está realmente interessado nesta 
discussão ganhará mais não perdendo tempo com ele.)
A discussão sobre se a matemática é uma ciência exata ou humana é bastante 
interessante, porque primeiro temos que estabelecer ou que vamos entender 
pelos termos. Leibniz foi citado a favor da crença - não no mal sentido que 
a palavra pode assumir - de que estaria entre as "humanas". Saber os 
problemas não resolvidos da atualidade ou descobrir formas de se resolver 
problemas - tal como o cálculo da viabilidade dos transgênicos e suas 
implicações para a ecologia - não me parecem ser suficientes para 
caracterizar algo como ciência humana. Há, obviamente, a vontade humana. Mas 
isso seria o mesmo que afirmar que todas as ciência são humanas.
A questão das descobertas que ocorrem concomitantemente entre pessoas que 
não se conhecem não se deve também só aos problemas que surgem no momento. 
Digamos nós estejamos trabalhando no problema C, e temos os dados A - que 
pode ser, por exemplo, algum teorema (dados aqui têm um sentido bastante 
amplo). Suponhamos também que nós não saibamos como ir de C à A. Agora, 
consideremos que alguém descubra - sem saber que estamos trabalhando no 
problema de ligar C à A - um método B que, se aplicado ao nosso problema, 
sairia direto. Suponhamos ainda que um outro grupo de pessoas esteja 
trabalhando no mesmo problema que nós. Se tanto esse grupo como nós tivermos 
notícia desse novo método, é razoável que pensemos que ambos conseguiremos 
resolver o problema.
O que acabei de dizer me parece ser bastante importante para entendermos, 
por exemplo, o por quê da demora da descoberta da gravidade, feita por 
Newton em seus Principia. A questão da determinação das forças que regem o 
mundo físico e a mecânica celeste sempre preocuparam os homens. Tanto que 
grande parte dos deuses da Antigüidade eram Astros e Planetas. E não é 
provável que durante a história da humanidade somente depois do Renascimento 
as preocupações com o céu fossem realmente importantes. Ptolomeu formulou 
sua física, Aristóteles também o fez, assim como os incas estudaram os 
fenômenos celestes para a determinação, por exemplo, do calendário.
Foi a partir dos argumentos de Newton, usando o cálculo diferencial, que 
solucionou os problemas. Podemos dizer então que por causa da motivação dos 
homens a matemática e a física são ciências humanas?
Creio que a melhor forma de definir uma ciência não seja através da 
motivação do pesquisador, mas pelo objeto de seu estudo. Por que a economia 
e a sociologia são ciência humanas? Porque o objeto do seu estudo é a forma 
com que o homem age, tendo em conta as influências que a sociedade lhe cria, 
pela modo como os homens cooperam, para entender porque há um aumento na 
criminalidade em uma determinada região em um certo período. O mesmo ocorre 
com a medicina, a psicologia.
Um exemplo interessante que acabei de pensar seria a relação entre a química 
e a medicina. Imaginemos que exista uma doença que somente um tipo de 
composto orgânico - ou que as pessoas acreditem que seria orgânico - seja 
capaz de curar, por efeitos que não nos interessam aqui saber. Digamos que o 
cientista químico tenha conhecimento deste fato, e comece a pesquisar e 
descubra que um certo tipo de ligações presentes no agente que provoca a 
doença não pode ser orgânico por causa de uma propriedade X. E mais: o 
químico consegue descobrir um composto inorgânico que se tem a propriedade Y 
que consegue se ligar como num esquema chave-fechadura com o agente que cria 
a doença. O químico consegue demonstrar, por exemplo, que nenhum composto 
com a propriedade Y tem problemas para se ligar com um composto que não 
admite a propriedade X. Suponhamos que essa descoberta solucione o problema 
da doença.
O químico só começou a pesquisar por causa do conhecimento daquela doença. 
No entanto, a descoberta que ele fez para a química foi mostrar que nenhum 
composto com a propriedade Y tem problemas para se ligar com um composto que 
não admite a propriedade X. Não temos razão para classificar a química como 
uma ciência humana por causa disso, ou temos?
Outras discussões muito importantes são aquelas que se relacionam com a 
forma pela qual os homens conhecem as coisas. Mas isso é coisa para outras 
oportunidades e reflexões maiores. Espero ter esclarecido a minha posição 
brevemente, embora esse assunto possa ser tema para um tratado inteiro.
Abraços,
Bernardo

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Re: [obm-l] Trigonometria II (Mr. Crowley)

2003-10-01 Por tôpico Claudio Buffara 
on 01.10.03 15:53, Bruno Simões at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> Essa eh boazinha...
> 
> O D pode ser escrito como funcao de A, B e C e com
> isso desaparece do lado direito da identidade.

Voce tem toda a razao! Falha minha.

De qualquer jeito, serah que nao tem uma forma mais facil de provar essas
identidades, por exemplo usando complexos? Eh que estas transformacoes
trigonometricas sao de chorar...

Como diria o medico: problema de prostataferese dah no saco.

Um abraco e desculpem a infamia,
Claudio.

> Lembrem-se que sen(x) eh funcao impar de x e cos(x) eh
> funcao par. Entao podemos escrever...
> 
> A+B+C+D=2*pi (1)
> 
> sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=
> 2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
> 2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2] (2)
> 
> Mas de (1), C+D=2*pi-(A+B), e sen(pi-a)=sen(a), entao
> (2) fica...
> 
> 2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
> 2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2]=
> 2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
> 2*sen[pi-(A+C)/2]*cos[(C-D)/2]=
> 2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
> 2*sen[(A+C)/2]*cos[(C-D)/2]=
> 2*sen[(A+B)/2] * {cos[(A-B)/2] + cos[(C-D)/2]}=
> 2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[(A-B+C-D)/4] *
> cos[(A-B-C+D)/4]} (3)
> 
> De (1), podemos escrever A+C-(B+D) = (A+C) -
> (2*pi-A-C) = 2*pi - 2*(C+A) e tambem (A+D)-(B+C) =
> 2*pi-(B+C)-(B+C) = 2*pi-2*(B+C)
> Lembrando que cos(pi/2 - a) = sen(a), (3) fica...
> 
> 2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[(A-B+C-D)/4] *
> cos[(A-B-C+D)/4]}=
> 2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[pi/2-(C+A)/2] *
> cos[pi/2-(B+C)/2]}=
> 4*sen[(A+B)/2] * sen[(C+A)/2] * sen[(B+C)/2]
> 
> 
> 
> --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>
> escreveu: > on 01.10.03 01:49, paraisodovestibulando
> at
>> [EMAIL PROTECTED]
>> wrote:
>> 
>>> Olá Pessoal,
>>> 
>>> Aqui vai mais um de trigonometria que naum esta
>> saindo:
>>> 
>>> 
>>> Sabendo que A + B + C + D = 2.pi, provar que:
>>> 
>>> sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=4.sen((A+B)/2).sen
>>> ((B+C)/2).sen((C+A)/2)
>>> 
>>> 
>>> Grato
>>> 
>>> Mr. Crowley
>>> 
>> Tah certo isso? Onde entra o D do lado direito?
>> 

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RES: [obm-l] Trigonometria (Mr. Crowley)

2003-10-01 Por tôpico Ralph Teixeira 



Boa 
solução, mas tem um errinho lá embaixo... Eu notei que havia algo errado pois 
você tinha provado que A=pi/3 -- mas podia ser B ou C, né? 
II)Demonstrar que tem um ângulo de 60º o triângulo ABC 
cujos ângulos verificam a relação : 
 sen(3A) + sen(3B) + sen(3C) = 
0 (1) 
 Resposta: [...]

  
  2.sin(3(B+C)2). [cos(3(B+C)/2) + 
  cos(3(B-C)/2)] = 0 
   
  Finalmente, usando a identidade 
  cos(p) + cos(q)=2cos((p+q)/2).cos((p-q)/2)) para p=3(B+C)/2 e q=3(B-C)/2 
  obtemos
   
  4.sin(3(B+C)/2).cos(3B).cos(3C) = 
  0 ou ainda 
   
  Deveria ser aqui 
  4 
  sin(3(B+C)/2)cos(3B/2)cos(3C/2)=0
  Mas não importa, o 
  resto da solução é praticamente igual -- só que agora aparecerão os casos B=60 
  e C=60 também!
   
  Abraço,
      
  Ralph

[obm-l] Trigonometria II (Corrigido)

2003-10-01 Por tôpico Bruno Simões 
Descobri um pequeno erro, já corrigido aqui:

A+B+C+D=2*pi (1)

sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2]
(2)

Mas de (1), C+D=2*pi-(A+B), e sen(pi-a)=sen(a), entao
(2) fica...

2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+2*sen[pi-(A+B)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+2*sen[(A+B)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2]*{cos[(A-B)/2] + cos[(C-D)/2]}=
2*sen[(A+B)/2]*{2*cos[(A-B+C-D)/4]*cos[(A-B-C+D)/4]}(3)

De (1), podemos escrever A+C-(B+D) = (A+C) -
(2*pi-A-C) = 2*pi - 2*(C+A) e tambem (A+D)-(B+C) =
2*pi-(B+C)-(B+C) = 2*pi-2*(B+C)
Lembrando que cos(pi/2 - a) = sen(a), (3) fica...

2*sen[(A+B)/2]*{2*cos[(A-B+C-D)/4]*cos[(A-B-C+D)/4]}=
2*sen[(A+B)/2]*{2*cos[pi/2-(C+A)/2]*cos[pi/2-(B+C)/2]}=
4*sen[(A+B)/2]*sen[(C+A)/2]*sen[(B+C)/2]


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Re: [obm-l] Trigonometria II (Mr. Crowley)

2003-10-01 Por tôpico Bruno Simões 
Essa eh boazinha...

O D pode ser escrito como funcao de A, B e C e com
isso desaparece do lado direito da identidade.
Lembrem-se que sen(x) eh funcao impar de x e cos(x) eh
funcao par. Entao podemos escrever...

A+B+C+D=2*pi (1)

sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2] (2)

Mas de (1), C+D=2*pi-(A+B), e sen(pi-a)=sen(a), entao
(2) fica...

2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[pi-(A+C)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[(A+C)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2] * {cos[(A-B)/2] + cos[(C-D)/2]}=
2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[(A-B+C-D)/4] *
cos[(A-B-C+D)/4]} (3)

De (1), podemos escrever A+C-(B+D) = (A+C) -
(2*pi-A-C) = 2*pi - 2*(C+A) e tambem (A+D)-(B+C) =
2*pi-(B+C)-(B+C) = 2*pi-2*(B+C)
Lembrando que cos(pi/2 - a) = sen(a), (3) fica...

2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[(A-B+C-D)/4] *
cos[(A-B-C+D)/4]}=
2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[pi/2-(C+A)/2] *
cos[pi/2-(B+C)/2]}=
4*sen[(A+B)/2] * sen[(C+A)/2] * sen[(B+C)/2]



 --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > on 01.10.03 01:49, paraisodovestibulando
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> > Olá Pessoal,
> > 
> > Aqui vai mais um de trigonometria que naum esta
> saindo:
> > 
> > 
> > Sabendo que A + B + C + D = 2.pi, provar que:
> > 
> > sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=4.sen((A+B)/2).sen
> > ((B+C)/2).sen((C+A)/2)
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> > Grato
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> > Mr. Crowley
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Re: [obm-l] Geometria Espacial - Pirâmides (Mr. Crowley)

2003-10-01 Por tôpico JoaoCarlos_Junior 

Caro amigo,


  Desenhe  sua  pirâmide.  Trace  por  A  reta  paralela  a  BD.  Não é

  necessário  dizer  que  tal  reta está contida no plano da base, mas pode

  haver  quem  disso não saiba. Seja B´e C´a interseção dessa reta com BC e

  DC, respectivamente.

  Ora,  por Menelaus no triângulo VBC, secante B´QM, em que M é o médio

  de  VC  e Q, a intersecção de B´M com VB, ver-se-á que QB é metade de VQ.

  Por  simetria, ND é metade de NV, em que N é a intersecção de D´M com VD.

  Logo,  NQ,  paralela  a  BD,  tem  por  medida  2/3 de BD, ou seja, (2/3)

  *L*(sqrt2)).

  O  triângulo AVC é eqüilátero. Logo, AM é altura de tal triângulo, e,

  portanto, mede L*sqrt(6)/2.

  Como AM é altura do triângulo isósceles B´D´M e NQ é paralela a B´D´,

  então  AM é perpendicular a NQ. Logo, a área desejada é ½*NQ*AM, ou seja,

  sqrt(3)/3* L*L.

  Salvo  correções necessárias de professores ou outros, que são sempre

  bem-vindas, esta é a resposta.

  Um abraço, João Carlos.





   
  
  "paraisodovestibulando"  
  
  
  bol.com.br>cc:   
  
  Enviado Por:   Assunto:  [obm-l] Geometria 
Espacial - Pirâmides (Mr.   
  [EMAIL PROTECTED] Crowley)   

  puc-rio.br   
  
   
  
   
  
  01/10/2003 00:22 
  
  Favor responder a obm-l  
  
   
  
   
  




Olá Pessoal da Lista,

Gostaria de deixar meus agradecimentos ao Cláudio e ao
Leandro pelas ajudas (valew mesmo).


Me ajudem neste exercício:

Seja uma pirâmide regular de vértice V e base
quadrangular ABCD. O lado da base da pirâmide mede L e
a aresta lateral L.sqrt(2). Corta-se a essa pirâmide
por um plano que contém o vértice A, é paralelo à reta
BD, e contém o ponto médio da aresta VC. Calcule a área
da seção determinada pela interseção do plano com a
pirâmide.



Grato

Mr. Crowley

__
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[obm-l] Não consigo...Não consigo

2003-10-01 Por tôpico Oblomov Insistenko 
Amigos, não consigo chegar na resposta deste problema:

Um recipiente cilindrico de eixo vertical, de 84 dm^2 de base, está provido 
de um orifício de 12 cm^2 praticado na parede lateral, nas proximidades do 
fundo. A velocidade de escoamento é dada pela fórmula v=0,6s (2 g h)^1/2, 
onde s é a seção do orifício h, é a altura do nível da água acima do centro 
do orifício e g=980cm/s^2. Observando-se que o nível baixou de 9 cm em 50 s, 
achar:
a)a altura do nível ao ter início o escoamento;
b)o tempo necessário para que o nível baixe  até o orifício.
Respostas: a) ho=27,2 cmb) 4 min 35 s

Obrigado por qualquer ajuda

[]'

_
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[obm-l] RE: [obm-l] Questões_IME_

2003-10-01 Por tôpico Leandro Lacorte Recôva 








Alexandre, as questoes do
IME sao bem elaboradas e dependem de voce ter coragem de ir ate o final nas
questoes. 

 

Me enganei no link da
Internet. 

 

http://www.pro.ufjf.br/desgeo/seg_prop/teoria/divharm.htm

 

Voce so precisaria usar
essa formula e manipula-la ate chegar numa relacao entre os coeficientes. 

 

 

Leandro.

 

 

 

 

 

 

 

 



 

[obm-l] RE: [obm-l] Questões_IME_(ultra-foda!)

2003-10-01 Por tôpico Leandro Lacorte Recôva 










Alexandre,

 

De uma olhada no site:

 

http://www.mat.uel.br/geometrica/geome/portoguese/portal/dg/dg-4t.htm

 

Ele vai te dar uma explicacao
sobre a divisao harmonica. Consulte tambem o livro do Morgado. 

 

Regards,

 

Leandro. 


Alexandre Daibert
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:





Caros colegas, gostaria da ajuda dos senhores, por obséquio, se não for

incomodar muito, para a resolução dos seguintes problemas de 
vestibulares do IME:

(IME 96)
Dados os trinômios de segundo grau:
y = ax^2 + bx + c (I)
y = a´x^2 + b´x + c´ (II)
Cosidere, sobre o eixo Ox, os pontos cujas abscissas são as raízes do 
trinômio (I) e A´B´ os pontos cujas abscissas são raízes do trinômio (II).
Determine a relação que deve existir entre os coeficientes a, b, c, a´, 
b´, c´, de modo que A´B´divida o segmento AB harmonicamente.

obs1: O que significa esta divisão harmônica? As extremidades podem ser 
iguais? ou seria a divisão do segmento em 3? Como divido um segmento em 
3 harmonicamente?

(IME 96)
Determine os números naturais n para os quais existem poliedros convexos 
de n arestas.

obs2: essa eu até fiz, mas gostar! ia de conferir a resposta.

(IME 93)
Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura 
construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC; seja P o 
ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos 
vértices B e C determina-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados 
CA, AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares.

obs3: Esta questão tem uma figura, q eu considerei desnecessária. Caso 
alguém não tenha entendido me diga q eu faço a figura e mando pra lista.

Gostaria de aproveitar a oportunidade em q estou abrindo a discussão 
destes problemas do IME para expressar a minha indignação sobre alguns 
problemas deste vestibular. Por anos temos visto que o IME não se cansa 
de colocar questões mal-elaboradas em seu vestibular, no sentido de ter 
interpretações ambíguas, não só na prova de matemática. Mesmo o aluno 
mais bem preparado fica confuso frente a algumas questões, que s! ão 
mal-colocadas realmente. Fico me perguntando qual o objetivo dos 
professores ao colocar questões confusas no vestibular. Selecionar os 
melhores candidatos, provavelmente não é, pois as vezes um bom candidato 
pode ser eliminado porque não soube interpretar uma questão confusa. 
Gostaria de saber se esta opinião é só minha, ou se mais algum colega da 
lista compartilha do mesmo sentimento em relação ao vestibular do IME.

Alexandre D.


=
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Re: [obm-l] Algoritmo de Graham

2003-10-01 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Oi, Pessoal:

>O Domingos Jr. me falou de um problema interessante, envolvendo o algoritmo
>de Graham para "scheduling" (qual a palavra em portugues?):

Acho que "programacao no tempo" eh uma boa traducao.
Artur


OPEN Internet
@
Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @

=
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[obm-l] Re: [obm-l] Questões_IME_(ultra-foda!)

2003-10-01 Por tôpico Igor Castro 



Dividir harmonicamente um segmento é "dividi-lo" 
internamente e externamente na mesma razão. Ex, AB=10, C está sobre AB tal que 
AC=6, D está depois de B tal que BD=20. Repare que AC/BC = AD/BD. Ou seja, C e D 
dividem AB harmonicamente numa certa razão (mais a fundo, vc pode provar 
que representam o pé das bissetrizes internas e externas e daí concluir mais 
coisas)
Não acho que os problemas do ime sejam mal 
elaborados. Na minha opinião, o que ocorre as vezes(poucas diante de 
todos os problemas) é que devido a complexidade dos problemas e a 
necessidade de adaptá-los a uma prova de concurso de nível médio pode deixar o 
enunciado um pouco estranho ou confuso. Mas isso realmente ocorre poucas 
vezes.
[]´s
Igor Castro
 
 
- Original Message - 

  From: 
  Roberto Gomes 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Wednesday, October 01, 2003 8:34 
  AM
  Subject: Re: [obm-l] 
  Questões_IME_(ultra-foda!)
  
  Não concordo com vc, pelo contrário acho as provas do IME muito bem 
  elaboradas, não vejo nada de confuso. sobre divisão harmonica e questões com 
  essa de geometria vc poderá encontra no livro Geometria II do Morgado que por 
  sinal, para mim, é uns dos melhores livros de geometria que eu conheço.
   
  Roberto GomesAlexandre Daibert <[EMAIL PROTECTED]> 
  wrote:
  Caros 
colegas, gostaria da ajuda dos senhores, por obséquio, se não for 
incomodar muito, para a resolução dos seguintes problemas de 
vestibulares do IME:(IME 96)Dados os trinômios de segundo 
grau:y = ax^2 + bx + c (I)y = a´x^2 + b´x + c´ (II)Cosidere, 
sobre o eixo Ox, os pontos cujas abscissas são as raízes do trinômio (I) 
e A´B´ os pontos cujas abscissas são raízes do trinômio (II).Determine a 
relação que deve existir entre os coeficientes a, b, c, a´, b´, c´, de 
modo que A´B´divida o segmento AB harmonicamente.obs1: O que 
significa esta divisão harmônica? As extremidades podem ser iguais? ou 
seria a divisão do segmento em 3? Como divido um segmento em 3 
harmonicamente?(IME 96)Determine os números naturais n para os 
quais existem poliedros convexos de n arestas.obs2: essa eu até 
fiz, mas gostar! ia de conferir a resposta.(IME 93)Num triângulo 
ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura construímos as 
perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC; seja P o ponto da 
interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos vértices B 
e C determina-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados CA, AB. 
Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares.obs3: Esta questão 
tem uma figura, q eu considerei desnecessária. Caso alguém não tenha 
entendido me diga q eu faço a figura e mando pra lista.Gostaria de 
aproveitar a oportunidade em q estou abrindo a discussão destes 
problemas do IME para expressar a minha indignação sobre alguns 
problemas deste vestibular. Por anos temos visto que o IME não se cansa 
de colocar questões mal-elaboradas em seu vestibular, no sentido de ter 
interpretações ambíguas, não só na prova de matemática. Mesmo o aluno 
mais bem preparado fica confuso frente a algumas questões, que s! ão 
mal-colocadas realmente. Fico me perguntando qual o objetivo dos 
professores ao colocar questões confusas no vestibular. Selecionar os 
melhores candidatos, provavelmente não é, pois as vezes um bom candidato 
pode ser eliminado porque não soube interpretar uma questão confusa. 
Gostaria de saber se esta opinião é só minha, ou se mais algum colega da 
lista compartilha do mesmo sentimento em relação ao vestibular do 
IME.Alexandre 
D.=Instruções 
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
  
  
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Re: [obm-l] Questões IME (ultra-foda!)

2003-10-01 Por tôpico Claudio Buffara 
on 01.10.03 03:42, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> Caros colegas, gostaria da ajuda dos senhores, por obséquio, se não for
> incomodar muito, para a resolução dos seguintes problemas de
> vestibulares do IME:
> 
> (IME 96)
> Dados os trinômios de segundo grau:
> y = ax^2 + bx + c(I)
> y = a´x^2 + b´x + c´   (II)
> Cosidere, sobre o eixo Ox, os pontos cujas abscissas são as raízes do
> trinômio (I) e A´B´ os pontos cujas abscissas são raízes do trinômio (II).
> Determine a relação que deve existir entre os coeficientes a, b, c, a´,
> b´, c´, de modo que A´B´divida o segmento AB harmonicamente.
> 
> obs1: O que significa esta divisão harmônica? As extremidades podem ser
> iguais? ou seria a divisão do segmento em 3? Como divido um segmento em
> 3 harmonicamente?
> 
O segmento A'B' divide o segmento AB harmonicamente se:
AA'/BA' = -AB'/BB' (segmentos orientados, ou seja, AA' = A' - A, etc...)

Assim, por exemplo, no eixo x, se:
A = 0, B = 1 e A' = x (0 < x < 1) e B' = y,
entao:
x/(x-1) = -y/(y-1) ==> y = x/(2x-1)

Repare que:
0 < x < 1/2 ==> -infinito < y < 0
1/2 < x < 1 ==> 1 < y < + infinito
lim(x->1/2-) y = -infinito   e   lim(x->1/2+) y = +infinito.

*

Sejam A e B as raizes de (I) e A' e B' as de (II):

Divisao harmonica ==>
AA'/BA' = -AB'/BB' ==>
(A'-A)/(A'-B) = -(B'-A)/(B'-B) ==>
(A'-A)*(B'-B) = (B'-A)*(B-A') ==>
A'B' + AB - AB' - A'B = BB' + AA' - AB - A'B' ==>
2A'B' + 2AB = BB' + AA' + AB' + A'B ==>
2(A'B' + AB) = (A+B)(A'+B') ==>
2(c'/a' + c/a) = (-b/a)(-b'/a') ==>
2(ac' + a'c) = bb'


Um abraco,
Claudio.

=
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Re: [obm-l] Trigonometria II (Mr. Crowley)

2003-10-01 Por tôpico Claudio Buffara 
on 01.10.03 01:49, paraisodovestibulando at [EMAIL PROTECTED]
wrote:

> Olá Pessoal,
> 
> Aqui vai mais um de trigonometria que naum esta saindo:
> 
> 
> Sabendo que A + B + C + D = 2.pi, provar que:
> 
> sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=4.sen((A+B)/2).sen
> ((B+C)/2).sen((C+A)/2)
> 
> 
> Grato
> 
> Mr. Crowley
> 
Tah certo isso? Onde entra o D do lado direito?


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Re: [obm-l] Esferas e Tetraedros

2003-10-01 Por tôpico Claudio Buffara 
on 01.10.03 03:46, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> Gostaria de ajuda para a resolução de esferas inscritas e circunscritas
> a um tetraedro regular  de lado conhecido (calcular o raio)
> 
> Alexandre Daibert
> 
Tem tambem a esfera tangente as arestas...

Sugestao: de coordenadas para cada um dos vertices (pondo 3 no plano x,y de
preferencia) - por exemplo:
A = (0,0,0), B = (a,0,0), C = (a/2,a*raiz(3)/2,0).

O vertice D serah um dos dois pontos equidistantes desses 3 (um tem
coordenada z positiva e o outro negativa). Facilita se voce perceber que a
projecao dele sobre o plano x,y eh justamente o centro H = (A+B+C)/3 do
triangulo equilatero ABC, ou seja, D = (a/2,a*raiz(3)/6,z) para algum z.
Agora eh soh usar o fato de que |AD| = a.

O centro das esferas eh o ponto O = (A+B+C+D)/4 (por que?)

Agora fica facil:
R(inscrita) = |OH|
R(circunscrita) = |OA|
R(tangente as arestas) = |OM|, onde M = ponto medio de AB = (A+B)/2.

Um abraco,
Claudio.

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Re: [obm-l] Algoritmo de Graham

2003-10-01 Por tôpico Carlos Maçaranduba 

para nota de esclarecimento ,"scheduling" em portugues
é escalonamento..esse problema é interessante para
computaçao pois a CPU dos computadores possui uma
politica de escalonamento para os programas em
execuçao(mais neste caso é uma maquina só, a CPU).Se
eu nao me engano esse problema é NP e o que a turma
tenta fazer é se aproximar polinomialmente da soluçao
otima.Nesse caso, o algoritmo de Graham é 33% mais
custoso. 

 --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > Oi, Pessoal:
> 
> O Domingos Jr. me falou de um problema interessante,
> envolvendo o algoritmo
> de Graham para "scheduling" (qual a palavra em
> portugues?):
> 
> Suponha que vc tem m máquinas idênticas e n tarefas
> (cujo tempo de execução
> está num vetor v[1..n] de reais positivos).
> O algoritmo de Graham é assim:
> - ordene v de forma decrescente (v(1) >= v(2) >= ...
> >= v(n));
> - na i-ésima (1 <= i <= n) iteração aloque a i-ésima
> tarefa na máquina mais
> livre (aquela cuja soma dos respectivos v(k)'s é a
> menor de todas)
> (se há empate coloque na máquina de índice menor,
> por exemplo).
>  
> Mostre que o algoritmo acima sempre dá uma solução
> cujo tempo de execução é
> no máximo igual a 4/3 do ótimo.
>  
> Um abraco,
> Claudio.
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação

2003-10-01 Por tôpico Will 
Nossa !
Escrevi uma bobagem enorme !

---
a^2 - 4a >= 0

O que, estudando o sinal, só é verdade se 0 =< a =< 4
--

Esse intervalo é justamente quando a^2 - 4a =< 0 !!!

Bom, mas deixa pra lá.

- Original Message -
From: "Will" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wednesday, October 01, 2003 12:23 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação


pensei também na seguinte solução.

Vamos chamar ambos os termos de "a".

XY = X + Y = a

Então a equação de segundo grau

x^2 -ax +a

tem raízes reais, com soma e produto iguais.
Fazendo (delta)>=0 , temos

a^2 - 4a >= 0

O que, estudando o sinal, só é verdade se 0 =< a =< 4

Como (delta) tem que ser um quadrado perfeito, ficamos com a=0, a=1 ou a=4.
Descartamos a=1 por razões óbvias...
chegamos em a=0 ou a=4, de onde saem as
duas respostas que já temos.

Will

Antes tarde do que nunca...


- Original Message -
From: "Carlos" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Tuesday, September 30, 2003 8:32 PM
Subject: [obm-l] Equação


Um aluno me passou uma equação de 1. Grau com duas
incôgnitas.

Quais os numeros inteiros que atendem a equação abaixo:

XY = X + Y

Por exemplo (0,0) (2,2) atendem a equação.

Teria como ter uma saída algébrica?

Agradeço



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Re: [obm-l] Questões_IME_(ultra-foda!)

2003-10-01 Por tôpico Roberto Gomes 
Não concordo com vc, pelo contrário acho as provas do IME muito bem elaboradas, não vejo nada de confuso. sobre divisão harmonica e questões com essa de geometria vc poderá encontra no livro Geometria II do Morgado que por sinal, para mim, é uns dos melhores livros de geometria que eu conheço.
 
Roberto GomesAlexandre Daibert <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Caros colegas, gostaria da ajuda dos senhores, por obséquio, se não for incomodar muito, para a resolução dos seguintes problemas de vestibulares do IME:(IME 96)Dados os trinômios de segundo grau:y = ax^2 + bx + c (I)y = a´x^2 + b´x + c´ (II)Cosidere, sobre o eixo Ox, os pontos cujas abscissas são as raízes do trinômio (I) e A´B´ os pontos cujas abscissas são raízes do trinômio (II).Determine a relação que deve existir entre os coeficientes a, b, c, a´, b´, c´, de modo que A´B´divida o segmento AB harmonicamente.obs1: O que significa esta divisão harmônica? As extremidades podem ser iguais? ou seria a divisão do segmento em 3? Como divido um segmento em 3 harmonicamente?(IME 96)Determine os números naturais n para os quais existem poliedros convexos de n arestas.obs2: essa eu até fiz, mas gostaria de
 conferir a resposta.(IME 93)Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC; seja P o ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos vértices B e C determina-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados CA, AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares.obs3: Esta questão tem uma figura, q eu considerei desnecessária. Caso alguém não tenha entendido me diga q eu faço a figura e mando pra lista.Gostaria de aproveitar a oportunidade em q estou abrindo a discussão destes problemas do IME para expressar a minha indignação sobre alguns problemas deste vestibular. Por anos temos visto que o IME não se cansa de colocar questões mal-elaboradas em seu vestibular, no sentido de ter interpretações ambíguas, não só na prova de matemática. Mesmo o aluno mais bem preparado fica confuso frente a algumas questões, que são
 mal-colocadas realmente. Fico me perguntando qual o objetivo dos professores ao colocar questões confusas no vestibular. Selecionar os melhores candidatos, provavelmente não é, pois as vezes um bom candidato pode ser eliminado porque não soube interpretar uma questão confusa. Gostaria de saber se esta opinião é só minha, ou se mais algum colega da lista compartilha do mesmo sentimento em relação ao vestibular do IME.Alexandre D.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Mat. = ciência exata?

2003-10-01 Por tôpico Bruno Simões 
 --- Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > 
 
> Numa lista de discussao de Matematica, a palavra de
> um ( Grande ? ) 
> Matematico !
> 


*Um certo inglês não concordaria com você. rs. Claro
que citar Capra numa lista de matemática pareça meio
Off-Topic, mas eu gosto da crítica dele à visão
cartesiana que ainda permeia os meios acadêmicos em
muitas áreas.


> A proposito, aqui no Brasil tem havido uma enorme
> discussao sobre o cultivo 
> e comercializacao da soja transgenica. Os "doutores"
> afirmam que e 
> fundamental um "Estudo de Impacto Ambiental", para
> que possamos prever as 
> implicacoes nocivas ou nao da introducao de especies
> geneticamente 
> modificadas. Ate parece que isto e uma tecnica bem
> conhecida, facil de fazer 
> ...
> 
> Em Verdade, nos NAO SABEMOS avaliar com a necessaria
> precisao os efeitos da 
> introducao de novas especies em ecosistemas
> especificos, nao obstante SER 
> PREMENTE aprendermos a fazer estes calculos e
> avaliacoes, sob pena de 
> reiteradamente apreciarmos os desequilibrios que
> estamos provocando em 
> funcao de nossa ignorancia, que ameacam mesmo a
> nossa propria sobrevivencia.
> 
> Todos estes problemas se referem, direta ou
> indiretamente, a nossa 
> capacidade de avaliar o "papel" ou "funcao" que um
> objeto dotado de aparente 
> intencionalidade vem a desempenhar quando
> introduzido num sistema dinamico 
> que mantem uma delicada estabilidade ... Vai ocorrer
> uma catastrofe ? O 
> sistema vai evoluir para uma nova e harmonica
> estabilidade ?
> 
> Tai um verdadeiro problema atual, objetivo e tragico
> ... Nos nao temos a 
> opcao de nao resolve-lo ou de remediar eternamente a
> sua solucao. Nao e uma 
> brincadeira, nao e diletantismo, nao e prazer. E
> agora Jose ? Como 
> equaciona-lo ?


*Determinando as relações de dominância entre os
autovalores de Gaia? rs. Acredito que o problema da
soja transgênica, da poluição e da crise de energia e
sobretudo econômico. Séculos de ideologia capitalista
na cabeça de nossos ancestrais levaram a uma crise
noas dias de hoje em que o individualismo e a noção de
"do it yourself" levaram a um esgotamento irracional
dos recursos naturais do planeta por um punhado de
pessoas, enquanto milhões de seres humanos mal
conseguem sobreviver na falta de acesso a esses
recursos. O uso irresponsável da soja transgênica é
mais um exemplo disso, a busca do aumento de
produtividade para se conseguir maiores lucros. E com
isso aumentam-se as áreas agrícolas em detrimento das
áreas verdes originais e dane-se o meio ambiente.

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação

2003-10-01 Por tôpico Augusto Cesar de Oliveira Morgado 
Acho que deveria ser a<=0 ou a>=4 para se ter delta >=0, nao?


Em Wed, 1 Oct 2003 00:23:03 -0300, Will <[EMAIL PROTECTED]> disse:

> pensei também na seguinte solução.
> 
> Vamos chamar ambos os termos de "a".
> 
> XY = X + Y = a
> 
> Então a equação de segundo grau
> 
> x^2 -ax +a
> 
> tem raízes reais, com soma e produto iguais.
> Fazendo (delta)>=0 , temos
> 
> a^2 - 4a >= 0
> 
> O que, estudando o sinal, só é verdade se 0 =< a =< 4
> 
> Como (delta) tem que ser um quadrado perfeito, ficamos com a=0, a=1 ou a=4.
> Descartamos a=1 por razões óbvias...
> chegamos em a=0 ou a=4, de onde saem as
> duas respostas que já temos.
> 
> Will
> 
> Antes tarde do que nunca...
> 
> 
> - Original Message -
> From: "Carlos" <[EMAIL PROTECTED]>
> To: <[EMAIL PROTECTED]>
> Sent: Tuesday, September 30, 2003 8:32 PM
> Subject: [obm-l] Equação
> 
> 
> Um aluno me passou uma equação de 1. Grau com duas
> incôgnitas.
> 
> Quais os numeros inteiros que atendem a equação abaixo:
> 
> XY = X + Y
> 
> Por exemplo (0,0) (2,2) atendem a equação.
> 
> Teria como ter uma saída algébrica?
> 
> Agradeço
> 
> 
> 
> __
> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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