Re: [obm-l] resto
Não sei se você TEM, mas neste caso é fácil: - O resto na divisão por x^3 é um polinômio de grau dois - Todos os termos com grau maior do que três são divididos exatamente Basta calcular os termos de grau 0, 1 e 2 deste binômio, que são: C(12,0)*x^0*3^12 + C(12,1)*x^1*3^11 + C(12,2)*x^2*3^10 Depois você multiplica tudo por 3^(-10) para ficar mais simples! Abraços, Bernardo Costa On Wed, 20 Oct 2004 00:53:25 EDT, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Qual o resto da divisão do polinômio (3^(-10))*(x+3)^12 por x^3? Esse exercicio caiu no vestibular da UnB , e é teste. Será que tenho que abrir o binômio??. Valeu, Korshinói -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
Oi, Arthur.
Achei bastante interessante a sua idéia.
Mas o seu argumento parece estar com uma pequena falha: o conjunto {y
em R | (x,y) pertence a A} sendo enumerável (por construção), para
algum x_0 existe algum y_0 em R tal que {x em R | (x,y_0) pertence a
A} não contém x_0, logo este conjunto não é R, como você afirmou.
Ainda assim, pode ser que a sua idéia funcione, com um argumento mais
forte sobre os conjuntos B_y = {x em R | (x,y) não pertence a A} para
provar que eles são enumeráveis.
Além disso, a condição dois claramente implica que {x em R | (x,y)
pertence a A} não é enumerável, mas esta não implica que {x em R |
(x,y) não pertence a A} seja enumerável. Como contra-exemplo, utilize
dois subconjuntos não enumeráveis que sejam subconjuntos de R, por
exemplo (-inf, 0) e [0, +inf).
On Tue, 19 Oct 2004 17:18:21 -0200, Artur Costa Steiner
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e
|x*sen(n) - x|) 1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao
termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um
conjunto enumeravel.
Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R |
(x,y) pertence a A} nao é enumerável. Como a sequencia {sen(n)} eh densa em
[-1,1], para todo y de R e todo x de R podemos encontrar algum inteiro n=1
tal que |x*sen(n) - x|) 1. Logo, para cada real y, o conjunto dos x tais
que (x,y) estah em A eh o proprio R, que nao eh enumeravel.
Artur
- Mensagem Original
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
Data: 19/10/04 16:29
Gostaria de convidar a lista a considerar a seguinte variação
do problema 2 do nível U da prova de sábado.
Determine se existe um subconjunto A de R^2 tal que:
(i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} é enumerável;
(ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) não pertence a A} é enumerável.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] resto
Title: Re: [obm-l] resto on 20.10.04 02:53, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Qual o resto da divisão do polinômio (3^(-10))*(x+3)^12 por x^3? Esse exercicio caiu no vestibular da UnB , e é teste. Será que tenho que abrir o binômio??. Valeu, Korshinói O resto serah de grau = 2. Chame-o de ax^2 + bx + c. (3^(-10))*(x+3)^12 = x^3*q(x) + ax^2 + bx + c Derive a identidade acima 2 vezes, obtendo, sucessivamente: 4*(3^(-9))*(x+3)^11 = 3x^2*q(x) + x^3*q'(x) + 2ax + b e 44*(3^(-9))*(x+3)^10 = 6x*q(x) + 6x^2*q'(x) + x^3*q''(x) + 2a. Agora, faca x = 0 nas 3 equacoes acima, obtendo: 9 = c 36 = b 132 = 2a == resto = 66x^2 + 36x + 9. []s, Claudio.
Re: [obm-l] Prova da AMAN
Onde posso encontrar essa prova na net? Cláudio thor - Original Message - From: Lucas Lucas [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, October 19, 2004 3:56 PM Subject: [obm-l] Prova da AMAN Meu Deus a prova de matemática da AMAN tava muito dificíl... _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - N IVEL U - Problem a 2 - Uma variação
Eu realmente me enganei. O conjunto que eu queria dizer era A =
{x,x*sen(n)), | x estah em R, n eh inteiro positivo e |x*sen(x) - x| 1}.
Serah que estah certo?
Abracos
Artur
- Mensagem Original
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - N IVEL U - Problem a 2 - Uma
variação
Data: 20/10/04 09:57
Oi, Arthur.
Achei bastante interessante a sua idéia.
Mas o seu argumento parece estar com uma pequena falha: o conjunto {y
em R | (x,y) pertence a A} sendo enumerável (por construção), para
algum x_0 existe algum y_0 em R tal que {x em R | (x,y_0) pertence a
A} não contém x_0, logo este conjunto não é R, como você afirmou.
Ainda assim, pode ser que a sua idéia funcione, com um argumento mais
forte sobre os conjuntos B_y = {x em R | (x,y) não pertence a A} para
provar que eles são enumeráveis.
Além disso, a condição dois claramente implica que {x em R | (x,y)
pertence a A} não é enumerável, mas esta não implica que {x em R |
(x,y) não pertence a A} seja enumerável. Como contra-exemplo, utilize
dois subconjuntos não enumeráveis que sejam subconjuntos de R, por
exemplo (-inf, 0) e [0, +inf).
On Tue, 19 Oct 2004 17:18:21 -0200, Artur Costa Steiner
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e
|x*sen(n) - x|) 1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao
termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um
conjunto enumeravel.
Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R |
(x,y) pertence a A} nao é enumerável. Como a sequencia {sen(n)} eh densa
em
[-1,1], para todo y de R e todo x de R podemos encontrar algum inteiro
n=1
tal que |x*sen(n) - x|) 1. Logo, para cada real y, o conjunto dos x tais
que (x,y) estah em A eh o proprio R, que nao eh enumeravel.
Artur
- Mensagem Original
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
Data: 19/10/04 16:29
Gostaria de convidar a lista a considerar a seguinte variação
do problema 2 do nível U da prova de sábado.
Determine se existe um subconjunto A de R^2 tal que:
(i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} é enumerável;
(ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) não pertence a A} é enumerável.
[]s, N.
=
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Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação
On Tue, Oct 19, 2004 at 06:20:42PM -0300, Domingos Jr. wrote:
Nicolau, gostaria de seus comentários (essa foi minha sol. na prova).
Seja f(x, y) uma função com f(x, y) 0 para todo x,y e tal que
Integral_{IR^2} f(x, y) dx dy = Z, 0 Z +oo, ou seja, o volume
formado por f e o plano xy é Z.
Vamos calcular a integral (Lebesgue) Integral_{A} f(x, y) dx dy.
Nada garante que a funcão f seja integrável e isto arruina o argumento.
Infelizmente eu acho que a sua solucão não merece muitos pontos.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] 0,9999...=1?
On Tue, Oct 19, 2004 at 06:19:14PM -0300, gabriel wrote: há algum tempo eu li alguns e-mails aki na lista q tratavam do seguinte tema: 0,99...=1? Será q alguem poderia me explicar mais detalhadamente o assunto? Antes de mais nada: SIM, 0.99... = 1. Minha sugestão é que você primeiro dê uma olhada no que já foi publicado e depois mande para a lista uma pergunta mais precisa e específica. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
On Tue, Oct 19, 2004 at 05:18:21PM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e
|x*sen(n) - x|) 1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao
termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um
conjunto enumeravel.
Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R |
(x,y) pertence a A} nao é enumerável.
Não equivale não. Equivale a dizer que o complemento é enumerável.
O intervalo [0,1] é não enumerável e seu complemento também é.
Infelizmente isto estraga completamente o seu exemplo.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Equação logarítmica
f(x) = log[2](x) + log[3](x+1) pode-se notar que f(x)é sempre crescente, pois log[2](x) é sempre crescente e log[3](x+1) é também. Acho que isso basta para provar que f(x)=5 é obtido apenas para um valor de x. Só haveria a possibilidade de mais de uma solução se uma das duas se tornasse decrescente em algum outro ponto. --- Osvaldo Mello Sponquiado [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal. Alguém pode me dar uma força para encontrar analiticamente e demonstrar que a unicidade do valor de x tal que log[2](x) + log[3](x+1)=5 Já visualisei de imediato que é x=8, mas não estou conseguindo encontrar analiticamente. Daí tentei algebricamente,log[2](x) + log[3](x+1)=log[2](2^5)=log[3](x+1)=log[2](2^5/x)=log[3](x+1)/log[2](2^5/x)=1 daí x+1=3^k e (2^5/x)=2^k (k0) Daí temos que resolver x=3^k-1=2^(5-k)= 6^k-2^k=32= 6^k=2^5+2^k k vale obviamente 2, mas como resolver esta equação exponencial ? Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ângulo irracional
Oi como eu posso provar que os âgulos formados pelos catetos com a hipotenusa do triângulo retângulo de lados 3,4,5 são irracionais quando expressos em graus? ou seja prove que arcsen(3/5)*k ou arcsen(4/5)*k 360*n para todo k e n inteiros e diferentes de zero obrigado, Felipe ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
Oi, Nicolau e Artur:
Pelo que eu entendi, o Artur quis dizer que, fixado y (igual a b, digamos), se o conjunto { x| (x,b) não pertence a A} é enumerável, então o conjunto {x | (x,b) pertence a A} é não enumerável.
Isso é verdade, não é?
Pois a união dos dois conjuntos disjuntos acima é a reta y = b, a qual é não enumerável. Logo, o complemento em relação a esta reta de todo conjunto enumerável é não-enumerável.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Wed, 20 Oct 2004 12:15:43 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
On Tue, Oct 19, 2004 at 05:18:21PM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e
|x*sen(n) - x|) 1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao
termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um
conjunto enumeravel.
Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R |
(x,y) pertence a A} nao é enumerável.
Não equivale não. Equivale a dizer que o complemento é enumerável.
O intervalo [0,1] é não enumerável e seu complemento também é.
Infelizmente isto estraga completamente o seu exemplo.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
(A = Arthur, C = Claudio, N = Nicolau)
A Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e
A |x*sen(n) - x|) 1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao
A termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um
A conjunto enumeravel.
A Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R |
A (x,y) pertence a A} nao é enumerável.
N Não equivale não. Equivale a dizer que o complemento é enumerável.
N O intervalo [0,1] é não enumerável e seu complemento também é.
N Infelizmente isto estraga completamente o seu exemplo.
C Pelo que eu entendi, o Artur quis dizer que, fixado y (igual a b, digamos),
C se o conjunto { x | (x,b) não pertence a A} é enumerável,
C então o conjunto {x | (x,b) pertence a A} é não enumerável.
C Isso é verdade, não é?
O que você acaba de dizer é verdade mas o que o Artur precisa é da recíproca,
que é falsa. Na mensagem dele ele diz equivale e ele está tentando provar
que o exemplo dele satisfaz as condições do enunciado.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re:[obm-l] ângulo irracional
Isso tem uma solução fácil mas meio longa e aparentemente mágica usando complexos, recorrências e congruências (hehehe). Esse problema está relacionado a um que caiu no vestibulardo IME de 1980/81 - o tal do ponto de Hurwitz - pesquise na lista. Seja t tal que cos(t) = 3/5 e sen(t) = 4/5. Se t tiver medida racional em graus, então t (medido em radianos) será um múltiplo racional de 2*Pi. Logo, vai existir um inteiro positivo n tal que cos(nt) = 1 e sen(nt) = 0. Usando complexos, isso significa que: cos(nt) + i*sen(nt) = (cos(t) + i*sen(t))^n = (3/5 + i*4/5)^n = 1 == Vamos expressar 3/5 + i*4/5 na forma (a + i)/(a - i). Uma conta rápida mostra quea = 2. Ou seja, vai existir n tal que (2 + i)^n- (2 - i)^n = 0. Consideremos agora a recorrência X(n)= 4*X(n-1)- 5*X(n-2), com condições iniciais: X(0)= 0 e X(1) = 2. A solução geral dessa recorrência será: X(n) = -i*((2 + i)^n - (2 - i)^n) (pode checar) Agora, só resta provar que X(n) 0 para cada inteiro positivo n. X(1) = 2 X(2) = 4*2 - 5*0 = 8 X(3) = 4*8 - 5*2 = 22 X(4) = 4*22 - 5*8 = 48 X(5) = 4*48 - 5*22 = 82 X(6) = 4*82 - 5*48 = 88 ... Repare que parece que, para n par, X(n) == 8 (mod 10) e para n ímpar, X(n) == 2 (mod 10). Isso de fato ocorre, como é fácil provar, por indução: X(2m-2) == 8, X(2m-1) == 2 == X(2m) == 4*2 - 5*8 == -32 == 8 (mod 10) X(2m-1) == 2, X(2m) == 8 == X(2m+1) == 4*8 - 5*2 == 22 == 2(mod 10). Logo, para n 0, jamais teremos X(n) == 0 (mod 10). Em particular, jamais teremos X(n) = 0. Isso significa que, para nenhum n 0, (2 + i)^n = (2 - i)^n == para nenhum n, (3/5 + i*4/5)^n = 1 == t não é um múltiplo racional de Pi. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 20 Oct 2004 09:08:07 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] ângulo irracional Oi como eu posso provar que os ?gulos formados pelos catetos com a hipotenusa do tri?ngulo ret?ngulo de lados 3,4,5 s?o irracionais quando expressos em graus? ou seja prove que arcsen(3/5)*k ou arcsen(4/5)*k 360*n para todo k e n inteiros e diferentes de zero obrigado, Felipe ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação
Nada garante que a funcão f seja integrável e isto arruina o argumento. Infelizmente eu acho que a sua solucão não merece muitos pontos. Não entendi. Se f é uma função bem comportada no IR^2, porque ela não seria integrável? Pelo pouco que eu li, qualquer função contínua nos reais (usando a medida de Lebesgue) é integravel. Vou ser mais específico na minha fonte de leitura... eu li a descrição do teorema de Tonelli em http://planetmath. org/encyclopedia/TonellisTheorem.html Pode ser que eu realmente esteja entendendo errado, mas me parece que não se exige muito sobre a função f, de modo que certamente há exemplos simples que satisfazem as condições que eu especifiquei e se enquadram nas condições do teorema. [ ]'s __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] ângulo irracional
Eu fioz de um outro modo. Nao postarei os detalhes por razoes que logo serao obviasobvias.A ideia e tentar calcular sen Kt e cos Kt a partir de uma recursao. Com isso e possivel demonstrar que eles nunca vao dar zero ou um, do mesmo modo que o Buffara fez. "claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] wrote: Isso tem uma solução fácil mas meio longa e aparentemente mágica usando complexos, recorrências e congruências (hehehe). Esse problema está relacionado a um que caiu no vestibulardo IME de 1980/81 - o tal do ponto de Hurwitz - pesquise na lista. Seja t tal que cos(t) = 3/5 e sen(t) = 4/5. Se t tiver medida racional em graus, então t (medido em radianos) será um múltiplo racional de 2*Pi. Logo, vai existir um inteiro positivo n tal que cos(nt) = 1 e sen(nt) = 0. Usando complexos, isso significa que: cos(nt) + i*sen(nt) = (cos(t) + i*sen(t))^n = (3/5 + i*4/5)^n = 1 == Vamos expressar 3/5 + i*4/5 na forma (a + i)/(a - i). Uma conta rápida mostra quea = 2. Ou seja, vai existir n tal que (2 + i)^n- (2 - i)^n = 0. Consideremos agora a recorrência X(n)= 4*X(n-1)- 5*X(n-2), com condições iniciais: X(0)= 0 e X(1) = 2. A solução geral dessa recorrência será: X(n) = -i*((2 + i)^n - (2 - i)^n) (pode checar) Agora, só resta provar que X(n) 0 para cada inteiro positivo n. X(1) = 2 X(2) = 4*2 - 5*0 = 8 X(3) = 4*8 - 5*2 = 22 X(4) = 4*22 - 5*8 = 48 X(5) = 4*48 - 5*22 = 82 X(6) = 4*82 - 5*48 = 88 ... Repare que parece que, para n par, X(n) == 8 (mod 10) e para n ímpar, X(n) == 2 (mod 10). Isso de fato ocorre, como é fácil provar, por indução: X(2m-2) == 8, X(2m-1) == 2 == X(2m) == 4*2 - 5*8 == -32 == 8 (mod 10) X(2m-1) == 2, X(2m) == 8 == X(2m+1) == 4*8 - 5*2 == 22 == 2(mod 10). Logo, para n 0, jamais teremos X(n) == 0 (mod 10). Em particular, jamais teremos X(n) = 0. Isso significa que, para nenhum n 0, (2 + i)^n = (2 - i)^n == para nenhum n, (3/5 + i*4/5)^n = 1 == t não é um múltiplo racional de Pi. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 20 Oct 2004 09:08:07 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] ângulo irracional Oi como eu posso provar que os ?gulos formados pelos catetos com a hipotenusa do tri?ngulo ret?ngulo de lados 3,4,5 s?o irracionais quando expressos em graus? ou seja prove que arcsen(3/5)*k ou arcsen(4/5)*k 360*n para todo k e n inteiros e diferentes de zero obrigado, Felipe ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Re:[obm-l] ângulo irracional
Eu fioz de um outro modo. Nao postarei os detalhes por razoes que logo serao obviasobvias.A ideia e tentar calcular sen Kt e cos Kt a partir de uma recursao. Com isso e possivel demonstrar que eles nunca vao dar zero ou um, do mesmo "claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] wrote: Isso tem uma solução fácil mas meio longa e aparentemente mágica usando complexos, recorrências e congruências (hehehe). Esse problema está relacionado a um que caiu no vestibulardo IME de 1980/81 - o tal do ponto de Hurwitz - pesquise na lista. Seja t tal que cos(t) = 3/5 e sen(t) = 4/5. Se t tiver medida racional em graus, então t (medido em radianos) será um múltiplo racional de 2*Pi. Logo, vai existir um inteiro positivo n tal que cos(nt) = 1 e sen(nt) = 0. Usando complexos, isso significa que: cos(nt) + i*sen(nt) = (cos(t) + i*sen(t))^n = (3/5 + i*4/5)^n = 1 == Vamos expressar 3/5 + i*4/5 na forma (a + i)/(a - i). Uma conta rápida mostra quea = 2. Ou seja, vai existir n tal que (2 + i)^n- (2 - i)^n = 0. Consideremos agora a recorrência X(n)= 4*X(n-1)- 5*X(n-2), com condições iniciais: X(0)= 0 e X(1) = 2. A solução geral dessa recorrência será: X(n) = -i*((2 + i)^n - (2 - i)^n) (pode checar) Agora, só resta provar que X(n) 0 para cada inteiro positivo n. X(1) = 2 X(2) = 4*2 - 5*0 = 8 X(3) = 4*8 - 5*2 = 22 X(4) = 4*22 - 5*8 = 48 X(5) = 4*48 - 5*22 = 82 X(6) = 4*82 - 5*48 = 88 ... Repare que parece que, para n par, X(n) == 8 (mod 10) e para n ímpar, X(n) == 2 (mod 10). Isso de fato ocorre, como é fácil provar, por indução: X(2m-2) == 8, X(2m-1) == 2 == X(2m) == 4*2 - 5*8 == -32 == 8 (mod 10) X(2m-1) == 2, X(2m) == 8 == X(2m+1) == 4*8 - 5*2 == 22 == 2(mod 10). Logo, para n 0, jamais teremos X(n) == 0 (mod 10). Em particular, jamais teremos X(n) = 0. Isso significa que, para nenhum n 0, (2 + i)^n = (2 - i)^n == para nenhum n, (3/5 + i*4/5)^n = 1 == t não é um múltiplo racional de Pi. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 20 Oct 2004 09:08:07 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] ângulo irracional Oi como eu posso provar que os ?gulos formados pelos catetos com a hipotenusa do tri?ngulo ret?ngulo de lados 3,4,5 s?o irracionais quando expressos em graus? ou seja prove que arcsen(3/5)*k ou arcsen(4/5)*k 360*n para todo k e n inteiros e diferentes de zero obrigado, Felipe ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Re:[obm-l] ângulo irracional
Eu fioz de um outro modo. Nao postarei os detalhes por razoes que logo serao obviasobvias.A ideia e tentar calcular sen Kt e cos Kt a partir de uma recursao. Com isso e possivel demonstrar que eles nunca vao dar zero ou um, do mesmo modo que om "claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] wrote: Isso tem uma solução fácil mas meio longa e aparentemente mágica usando complexos, recorrências e congruências (hehehe). Esse problema está relacionado a um que caiu no vestibulardo IME de 1980/81 - o tal do ponto de Hurwitz - pesquise na lista. Seja t tal que cos(t) = 3/5 e sen(t) = 4/5. Se t tiver medida racional em graus, então t (medido em radianos) será um múltiplo racional de 2*Pi. Logo, vai existir um inteiro positivo n tal que cos(nt) = 1 e sen(nt) = 0. Usando complexos, isso significa que: cos(nt) + i*sen(nt) = (cos(t) + i*sen(t))^n = (3/5 + i*4/5)^n = 1 == Vamos expressar 3/5 + i*4/5 na forma (a + i)/(a - i). Uma conta rápida mostra quea = 2. Ou seja, vai existir n tal que (2 + i)^n- (2 - i)^n = 0. Consideremos agora a recorrência X(n)= 4*X(n-1)- 5*X(n-2), com condições iniciais: X(0)= 0 e X(1) = 2. A solução geral dessa recorrência será: X(n) = -i*((2 + i)^n - (2 - i)^n) (pode checar) Agora, só resta provar que X(n) 0 para cada inteiro positivo n. X(1) = 2 X(2) = 4*2 - 5*0 = 8 X(3) = 4*8 - 5*2 = 22 X(4) = 4*22 - 5*8 = 48 X(5) = 4*48 - 5*22 = 82 X(6) = 4*82 - 5*48 = 88 ... Repare que parece que, para n par, X(n) == 8 (mod 10) e para n ímpar, X(n) == 2 (mod 10). Isso de fato ocorre, como é fácil provar, por indução: X(2m-2) == 8, X(2m-1) == 2 == X(2m) == 4*2 - 5*8 == -32 == 8 (mod 10) X(2m-1) == 2, X(2m) == 8 == X(2m+1) == 4*8 - 5*2 == 22 == 2(mod 10). Logo, para n 0, jamais teremos X(n) == 0 (mod 10). Em particular, jamais teremos X(n) = 0. Isso significa que, para nenhum n 0, (2 + i)^n = (2 - i)^n == para nenhum n, (3/5 + i*4/5)^n = 1 == t não é um múltiplo racional de Pi. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 20 Oct 2004 09:08:07 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] ângulo irracional Oi como eu posso provar que os ?gulos formados pelos catetos com a hipotenusa do tri?ngulo ret?ngulo de lados 3,4,5 s?o irracionais quando expressos em graus? ou seja prove que arcsen(3/5)*k ou arcsen(4/5)*k 360*n para todo k e n inteiros e diferentes de zero obrigado, Felipe ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Re:[obm-l] ângulo irracional
Eu fioz de um outro modo. Nao postarei os detalhes por razoes que logo serao obviasobvias.A ideia e tentar calcular sen Kt e cos Kt a partir de uma recursao. Com isso e possivel demonstrar que eles nunca vao dar zero ou um, do mesmo modo "claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] wrote: Isso tem uma solução fácil mas meio longa e aparentemente mágica usando complexos, recorrências e congruências (hehehe). Esse problema está relacionado a um que caiu no vestibulardo IME de 1980/81 - o tal do ponto de Hurwitz - pesquise na lista. Seja t tal que cos(t) = 3/5 e sen(t) = 4/5. Se t tiver medida racional em graus, então t (medido em radianos) será um múltiplo racional de 2*Pi. Logo, vai existir um inteiro positivo n tal que cos(nt) = 1 e sen(nt) = 0. Usando complexos, isso significa que: cos(nt) + i*sen(nt) = (cos(t) + i*sen(t))^n = (3/5 + i*4/5)^n = 1 == Vamos expressar 3/5 + i*4/5 na forma (a + i)/(a - i). Uma conta rápida mostra quea = 2. Ou seja, vai existir n tal que (2 + i)^n- (2 - i)^n = 0. Consideremos agora a recorrência X(n)= 4*X(n-1)- 5*X(n-2), com condições iniciais: X(0)= 0 e X(1) = 2. A solução geral dessa recorrência será: X(n) = -i*((2 + i)^n - (2 - i)^n) (pode checar) Agora, só resta provar que X(n) 0 para cada inteiro positivo n. X(1) = 2 X(2) = 4*2 - 5*0 = 8 X(3) = 4*8 - 5*2 = 22 X(4) = 4*22 - 5*8 = 48 X(5) = 4*48 - 5*22 = 82 X(6) = 4*82 - 5*48 = 88 ... Repare que parece que, para n par, X(n) == 8 (mod 10) e para n ímpar, X(n) == 2 (mod 10). Isso de fato ocorre, como é fácil provar, por indução: X(2m-2) == 8, X(2m-1) == 2 == X(2m) == 4*2 - 5*8 == -32 == 8 (mod 10) X(2m-1) == 2, X(2m) == 8 == X(2m+1) == 4*8 - 5*2 == 22 == 2(mod 10). Logo, para n 0, jamais teremos X(n) == 0 (mod 10). Em particular, jamais teremos X(n) = 0. Isso significa que, para nenhum n 0, (2 + i)^n = (2 - i)^n == para nenhum n, (3/5 + i*4/5)^n = 1 == t não é um múltiplo racional de Pi. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 20 Oct 2004 09:08:07 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] ângulo irracional Oi como eu posso provar que os ?gulos formados pelos catetos com a hipotenusa do tri?ngulo ret?ngulo de lados 3,4,5 s?o irracionais quando expressos em graus? ou seja prove que arcsen(3/5)*k ou arcsen(4/5)*k 360*n para todo k e n inteiros e diferentes de zero obrigado, Felipe ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
Entendido! Ele disse "se e somente se" e eu entendi "implica".
Obrigado.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
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Data:
Wed, 20 Oct 2004 13:52:19 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
(A = Arthur, C = Claudio, N = Nicolau)
A Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e
A |x*sen(n) - x|) 1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao
A termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um
A conjunto enumeravel.
A Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R |
A (x,y) pertence a A} nao é enumerável.
N Não equivale não. Equivale a dizer que o complemento é enumerável.
N O intervalo [0,1] é não enumerável e seu complemento também é.
N Infelizmente isto estraga completamente o seu exemplo.
C Pelo que eu entendi, o Artur quis dizer que, fixado y (igual a b, digamos),
C se o conjunto { x | (x,b) não pertence a A} é enumerável,
C então o conjunto {x | (x,b) pertence a A} é não enumerável.
C Isso é verdade, não é?
O que você acaba de dizer é verdade mas o que o Artur precisa é da recíproca,
que é falsa. Na mensagem dele ele diz "equivale" e ele está tentando provar
que o exemplo dele satisfaz as condições do enunciado.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Princípio da Indução
Pessoal, Eu estava lendo o artigo o princpio da induo do Elon publicado na Eureka (http://www.obm.org.br/eureka/artigos/inducao.pdf) e fique com uma pequena dvida.. O texto abaixo foi retirado das pginas 2 e 3..(com alguns pequenos ajustes..para no ficar muito grande a msg) [ N = conjunto dos nmeros naturais ; s(x) = sucessor de x ] AXIOMA DA INDUO Se um subconjunto X contido em N tal que 1 pertence a X e s(X) est contido X (isto , n pertence a X = s(n) pertence a X), ento X = N Dada a funo s, s: N - N tal que s(n) = n + 2. Ento se tomarmos repetidamente a operao de tomar o sucessor obteremos s(1)=3, s(3)=5, etc. 1 - 3 - 5 - ... (*) Dentro de um ponto de vista estritamente matemtico, podemos reformular o axioma da induo do seguinte modo: Um subconjunto X contido em N chama-se indutivo quando s(X) est contido em X, ou seja, quando n pertence a X = s(n) pertence a X, ou ainda, quando o sucessor de qualquer elemento de X tambm pertence a X. (I) Dito isto, o axioma da induo afirma que o nico subconjunto indutivo de N que contm o nmero 1 o proprio N. (II) No exemplo acima (*), os nmeros mpares 1, 3, 5, formam um conjunto indutivo que contm o elemento 1 mas no igual a N. As afirmaes (I) e (II) no so contraditrias?? Ou eu no estou conseguindo entender o texto...??? []s Daniel. -- Uma das coisas notveis acerca do comportamento do Universo que ele parece fundamentar-se na Matemtica num grau totalmente extraordinrio. Quanto mais profundamente entramos nas leis da Natureza, mais parece que o mundo fsico quase se evapora e ficamos com a Matemtica. Quanto mais profundamente entendemos a Natureza, mais somos conduzidos para dentro desse mundo da Matemtica e de conceitos matemticos. (Roger Penrose) = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ângulo irracional
On Wed, Oct 20, 2004 at 09:08:07AM -0700, Felipe Torres wrote: como eu posso provar que os ngulos formados pelos catetos com a hipotenusa do tringulo retngulo de lados 3,4,5 so irracionais quando expressos em graus? Considere z = (3+4i)/5. Voc quer provar que z^n nunca igual a 1. Escreva z^n = (a(n) + b(n) i)/5^n, de modo que a(1) = 3, b(1) = 4, a(n+1) = 3a(n) - 4b(n), b(n+1) = 4a(n) + 3b(n). Por exemplo, a(2) = -7, b(2) = 24, a(3) = -117, b(3) = 44. fcil provar por indu?o que a(n) = 3 (mod 5) e b(n) = 4 (mod 5) para todo n positivo. []s, N. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação
On Wed, Oct 20, 2004 at 02:16:36PM -0300, dopikas wrote: Nada garante que a funcão f seja integrável e isto arruina o argumento. Infelizmente eu acho que a sua solucão não merece muitos pontos. Não entendi. Se f é uma função bem comportada no IR^2, porque ela não seria integrável? Pelo pouco que eu li, qualquer função contínua nos reais (usando a medida de Lebesgue) é integravel. Em que sentido f seria bem comportada? Ela certamente não é contínua. Vou ser mais específico na minha fonte de leitura... eu li a descrição do teorema de Tonelli em http://planetmath.org/encyclopedia/TonellisTheorem.html Nas hipóteses do teorema (no site que você indicou) aparece que a função deve estar em L^+(X x Y). Esta hipótese não vale em geral para a função que você construiu. Pode ser que eu realmente esteja entendendo errado, mas me parece que não se exige muito sobre a função f, de modo que certamente há exemplos simples que satisfazem as condições que eu especifiquei e se enquadram nas condições do teorema. É verdade que existem muitos conjuntos A para os quais a função f é integrável e para os quais portanto a sua demonstração é correta. Mas isso não é muito surpreendente: afinal, não é nada difícil achar exemplos de conjuntos que não satisfazem as condições do problema. O que é mais difícil é provar que não existe nenhum conjunto com as propriedades dadas. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Princípio da Indução
ignorem a minha msg anterior..j entendi..hehehe... On Wed, 20 Oct 2004 16:22:59 -0300, Daniel S. Braz [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, Eu estava lendo o artigo o princpio da induo do Elon publicado na Eureka (http://www.obm.org.br/eureka/artigos/inducao.pdf) e fique com uma pequena dvida.. O texto abaixo foi retirado das pginas 2 e 3..(com alguns pequenos ajustes..para no ficar muito grande a msg) [ N = conjunto dos nmeros naturais ; s(x) = sucessor de x ] AXIOMA DA INDUO Se um subconjunto X contido em N tal que 1 pertence a X e s(X) est contido X (isto , n pertence a X = s(n) pertence a X), ento X = N Dada a funo s, s: N - N tal que s(n) = n + 2. Ento se tomarmos repetidamente a operao de tomar o sucessor obteremos s(1)=3, s(3)=5, etc. 1 - 3 - 5 - ... (*) Dentro de um ponto de vista estritamente matemtico, podemos reformular o axioma da induo do seguinte modo: Um subconjunto X contido em N chama-se indutivo quando s(X) est contido em X, ou seja, quando n pertence a X = s(n) pertence a X, ou ainda, quando o sucessor de qualquer elemento de X tambm pertence a X. (I) Dito isto, o axioma da induo afirma que o nico subconjunto indutivo de N que contm o nmero 1 o proprio N. (II) No exemplo acima (*), os nmeros mpares 1, 3, 5, formam um conjunto indutivo que contm o elemento 1 mas no igual a N. As afirmaes (I) e (II) no so contraditrias?? Ou eu no estou conseguindo entender o texto...??? []s Daniel. -- Uma das coisas notveis acerca do comportamento do Universo que ele parece fundamentar-se na Matemtica num grau totalmente extraordinrio. Quanto mais profundamente entramos nas leis da Natureza, mais parece que o mundo fsico quase se evapora e ficamos com a Matemtica. Quanto mais profundamente entendemos a Natureza, mais somos conduzidos para dentro desse mundo da Matemtica e de conceitos matemticos. (Roger Penrose) -- Uma das coisas notveis acerca do comportamento do Universo que ele parece fundamentar-se na Matemtica num grau totalmente extraordinrio. Quanto mais profundamente entramos nas leis da Natureza, mais parece que o mundo fsico quase se evapora e ficamos com a Matemtica. Quanto mais profundamente entendemos a Natureza, mais somos conduzidos para dentro desse mundo da Matemtica e de conceitos matemticos. (Roger Penrose) = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação
Não entendi. Se f é uma função bem comportada no IR^2, porque
ela não seria integrável? Pelo pouco que eu li, qualquer
função contínua nos reais (usando a medida de Lebesgue) é
integravel.
Em que sentido f seria bem comportada? Ela certamente não é contínua.
Depois de falar com um professor meu do IME eu acho que entendi no que
eu errei. Já vou avisando para ter paciência já que meus conhecimentos
sobre integral de Lebesgue tem medida nula...
Inicialmente eu pensei em definir f(x, y) para todo R^2. Algo como f(x,
y) = exp{-x^2 - y^2} que é positiva para todo x, y e tem volume finito
(por sinal, o volume sobre todo R^2 é PI!). Sem dúvida f é bem
comportada. A idéia então era integrar uma função bem comportada num
conjunto muito mal comportado! Eu achava que com integrais de Lebesgue
isso seria sempre possível, mas talvez meu argumento falhe pois só
depois que esse meu professor falou que eu percebi que é necessario que
o conjunto seja mensurável para que eu aplique a minha idéia. Parece
então que se A é mensurável então A não pode satisfazer as
características enunciadas e isso pode ser demonstrado pelo meu
argumento da integral, certo?
Vou ser mais específico na minha fonte de leitura... eu li a
descrição do teorema de Tonelli em
http://planetmath.org/encyclopedia/TonellisTheorem.html
Nas hipóteses do teorema (no site que você indicou) aparece
que a função deve estar em L^+(X x Y). Esta hipótese não vale
em geral para a função que você construiu.
O problema é que não podemos afirmar que A é mensurável e portanto f
pode ser bem comportada no R^2 mas não integrável em A, certo?
Abraços.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação
De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 20 Oct 2004 18:46:41 -0300 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação Depois de falar com um professor meu do IME eu acho que entendi no que eu errei. Já vou avisando para ter paciência já que meus conhecimentos sobre integral de Lebesgue tem medida nula... Isso não quer dizer nada. Eles podem ser não-enumeráveis mesmo assim...
[obm-l] RE: [obm-l] Qual é o menor primo que divide a soma...
Note que 99^101 é impar e 101^98 tambem é impar, mas a soma de dois impares eh par, logo 2 divide a soma. Edward From: Fabio Niski [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Qual é o menor primo que divide a soma... Date: Wed, 20 Oct 2004 20:09:59 -0200 Pessoal, acho que essa questao caiu no IME: Qual o menor numero natural primo que divide a soma 99^101 + 101^98? Alguem tem a solucao? Por gentileza poderia postar? Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 0,9999...=1?
Certo, mas onde eu poderia encontrar oque já foi publicado sobre o assunto Gabriel De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 20 Oct 2004 12:21:21 -0300 Assunto: Re: [obm-l] 0,...=1? On Tue, Oct 19, 2004 at 06:19:14PM -0300, gabriel wrote: há algum tempo eu li alguns e-mails aki na lista q tratavam do seguinte tema: 0,99...=1? Será q alguem poderia me explicar mais detalhadamente o assunto? Antes de mais nada: SIM, 0.99... = 1. Minha sugestão é que você primeiro dê uma olhada no que já foi publicado e depois mande para a lista uma pergunta mais precisa e específica. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 14/10/2004 / Versão: 1.5.2 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://www.terra.com.br/centralunificada/emailprotegido/imail/imail.cgi?+_u=gg.gomes_l=1,1098286693.711823.17810.laranjal.terra.com.br,2673,Des15,Des15
[obm-l] Re: [obm-l] Qual é o menor primo que divide a soma...
Este número é par. Logo a resposta é 2. - Original Message - From: Fabio Niski [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, October 20, 2004 7:09 PM Subject: [obm-l] Qual é o menor primo que divide a soma... Pessoal, acho que essa questao caiu no IME: Qual o menor numero natural primo que divide a soma 99^101 + 101^98? Alguem tem a solucao? Por gentileza poderia postar? Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.779 / Virus Database: 526 - Release Date: 19/10/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Qual é o menor primo que divide a soma...
Edward Elric wrote: Note que 99^101 é impar e 101^98 tambem é impar, mas a soma de dois impares eh par, logo 2 divide a soma. Edward Hahhaha!!! Sensacional! Obrigado Edward e Paulo! Esse vai pra lista dos meus problemas pequenininhos favoritos! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] JOGO DE BARGANHA!
Turma! Eis um convite aos simpatizantes da indigesta Teoria dos Jogos. Divirtam-se! O jogador A executa o primeiro movimento, fazendo uma oferta ao jogador B para a divisão de $100. (Por exemplo, o jogador A poderia sugerir que ele ficasse com $60 e o jogador B levasse $40); O jogador B pode aceitar ou recusar a oferta. Se ele rejeitar, o montante de dinheiro disponível cairá para $90; O jogador B, então, fará uma oferta para a divisão do dinheiro; Se o jogador A rejeitar essa oferta, o montante de dinheiro cairá para $80, seguindo-se uma nova oferta do jogador A para a divisão; Se o jogador B rejeitar, o montante de dinheiro cairá para $0. Ambos os jogadores são racionais, totalmente informados e querem maximizar seus lucros. Qual jogador se sairá melhor nesse jogo? A propósito, um consumidor que começou como emprestador passou a ser tomador após o declínio da taxa de juros. Ficou em melhor ou pior situação? Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 0,9999...=1?
Acho que os dispositivos de busca do site da lista devem ser uteis..."gg.gomes" [EMAIL PROTECTED] wrote: Certo, mas onde eu poderia encontrar oque já foi publicado sobre o assunto Gabriel De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 20 Oct 2004 12:21:21 -0300 Assunto: Re: [obm-l] 0,...=1? On Tue, Oct 19, 2004 at 06:19:14PM -0300, gabriel wrote: há algum tempo eu li alguns e-mails aki na lista q tratavam do seguinte tema: 0,99...=1? Será q alguem poderia me explicar mais detalhadamente o assunto? Antes de mais nada: SIM, 0.99... = 1. Minha sugestão é que você primeiro dê uma olhada no que já foi publicado e depois mande para a lista uma pergunta mais precisa e específica. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 14/10/2004 / Versão: 1.5.2 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://www.terra.com.br/centralunificada/emailprotegido/imail/imail.cgi?+_u=gg.gomes_l=1,1098286693.711823.17810.laranjal.terra.com.br,2673,Des15,Des15 Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] OBM 2004 nivel U
Sobre o problema 2, já que o Nicolau comentou uma solução vou mostrar a
minha.
Seja X_i = {x em R; (x,i) nao pertence a A}. Pela segunda condição X_i é
enumerável para todo i natural. Assim o conjunto X=UX_i (a união de todos
os X_i, com i natural) é enumerável, e como R não é enumerável existe x_0
em R que não está em X. Mas neste caso (x_0,i) está em A para todo natural
i, o que contradiz a primeira condição.
Logo não existe A com estas propriedades.
Pode-se usar fatos como o que R não é enumerável, ou que o X é enumerável
sem demonstrar na prova?
Quanto a variação proposta já gastei umas boas horas pensando nela, mas
até agora nada.
Até mais
Diogo Diniz P. S. Silva
--
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[obm-l] Re: [obm-l] Equação logarítmica
f(x) = log[2](x) + log[3](x+1) pode-se notar que f(x)? sempre crescente, pois log[2](x) ? sempre crescente e log[3](x+1) ? tamb?m. Acho que isso basta para provar que f(x)=5 ? obtido apenas para um valor de x. S? haveria a possibilidade de mais de uma solu??o Outro membro da lista enviou uma mensagem a qual entendi. Concordo que é SIMPLES mostrar a unicidade! eu já tinha feito isso usando cálculo diferencial da mesma maneira que outro membro da lista a fez, transformando a equação em f(x)=g(x) e concluindo que f'(x)0 e g'(x)0. Porém, minha dificuldade está em mostrar COMO encontrar analiticamente o valor solução da equação, que no caso corresponde à solucionar aquela equação exponencial. Até mais. se uma das duas se tornasse decrescente em algum outro ponto. --- Osvaldo Mello Sponquiado [EMAIL PROTECTED] wrote: Ol? pessoal. Algu?m pode me dar uma for?a para encontrar analiticamente e demonstrar que a unicidade do valor de x tal que log[2](x) + log[3](x+1)=5 J? visualisei de imediato que ? x=8, mas n?o estou conseguindo encontrar analiticamente. Da? tentei algebricamente,log[2](x) + log[3](x+1)=log[2](2^5)=log[3](x+1)=log[2](2^5/x)=log[3](x+1)/log[2](2^5/x)=1 da? x+1=3^k e (2^5/x)=2^k (k0) Da? temos que resolver x=3^k-1=2^(5-k)= 6^k-2^k=32= 6^k=2^5+2^k k vale obviamente 2, mas como resolver esta equa??o exponencial ? Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia El?trica, 2?ano UNESP - Ilha Solteira __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - ? gr?tis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 0,9999...=1?
Que tal procurar onde estão as informações sobre como se inscrever na lista ? Lá vc encontra o path que é http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html Falou. Certo, mas onde eu poderia encontrar oque já foi publicado sobre o assunto Gabriel De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Cópia: Data:Wed, 20 Oct 2004 12:21:21 -0300 Assunto:Re: [obm-l] 0,...=1? On Tue, Oct 19, 2004 at 06:19:14PM -0300, gabriel wrote: há algum tempo eu li alguns e-mails aki na lista q tratavam do seguinte tema: 0,99...=1? Será q alguem poderia me explicar mais detalhadamente o assunto? Antes de mais nada: SIM, 0.99... = 1. Minha sugestão é que você primeiro dê uma olhada no que já foi publicado e depois mande para a lista uma pergunta mais precisa e específica. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 14/10/2004 / Versão: 1.5.2 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://www.terra.com.br/centralunificada/emailprotegido/imail/imail.cgi?+_u=gg.gomes_l=1,1098286693.711823.17810.laranjal.terra.com.br,2673,Des15,Des15 Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
