Re: [obm-l] Re: [obm-l] Curiosidade sobre funções periódicas
É bem simples.
Como f é simétrica com relação aos eixo x = a e x = b, temos, para todo x, que
f(a + x) = f(a - x)
f(b + x) = f(b -x)
Segue-se então que, para todo x,
f(x) = f(a + x - a) = f(a - (x - a)) = f(2a - x) e, analogamente,
f(x) = f(2b - x)
Então, para todo x,
f(x) = f(2(a + b - a ) - x) = f(2a - (2a - 2b + x)) = f(2(a - b) + x)
Como a - b não é nulo, f é periódica e 2|a - b| é um de seus períodos.
E outra, nesta linha ( não muito conhecida),
Sabia você, amigo da lista, que, para todo inteiro positivo não pertencente a
{1, 2, 4} as soluções reais da equação x^n = n^x são transcendentes? Se n = 2
ou 4, as soluções negativas são transcendentes.
Abraços
Artur Costa Steiner
Em 27/04/2014, às 23:23, Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com escreveu:
Caro Artur eu soube agora :) como podemos provar isto???
Em 3 de março de 2013 01:51, Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com
escreveu:
Esta é uma curiosidade mesmo. Faz lembrar um programa de rádio dos anos 60
que começava assim Sabia você amigo ouvinte... E aà vinha algo muito
interessante como o rei Louis XV gostava de laranja.
Bom, sabia vc, amigo da lista, que, se o gráfico de f de R em R for
simétrico com relação a 2 eixos verticais distintos, então f é
periódica? Eu não sabia, descobri há alguns dias. Se os eixos forem x = a
e x = b, então 2 |b - a| é um perÃodo.
Abraços.
Artur Costa Steiner
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
 acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Errata
Bom dia! Por intuição a ordem decrescente é assim: n! , (log n)^n e n^logn. log de n torna o expoente n e embora a base seja bem menor no final das contas o segundo termo deve ser maior que o primeiro. É fácil observar que: n! tem pelo menos 0,5 * n termos com valores = 0,5 n (i) como n é muito grande é bem provável que seja o primeiro Porém, deveremos provar: Sejam a1 = n!, a2 = (logn)^n e a3 = n^logn, onde n= 2010^2010. Como log a x é uma função monótona crescente para a 1 temos que: loga logb == ab. log a2 = n.log(logn)= 2010^2010*log(2010*log2010) log a3=(log n)^2=(2010*log2010)^2 É fácil verificar que a2 a1. 2010^2010*(log2010+log(log2010)) (2010*log2010)^2 Lembrar que log 2010 Ɛ (3,4). Por (i) temos que: n! (n/2)^(n/2); pois todos os fatores de n! são inteiros e positivos. Seja y= (n/2)^(n/2) == log y = (n/2). (log n – log 2) == == log y = 0.5*(2010^2010)*(2010*log2010-log 2) log y log a2 (ii), pois: 0.5*(2010*log2010 – log 2) log2010+log(log2010) Atentar que (log 2010 + log(log(2010)) Ɛ (3,5) De (ii) temos que y a2. Como a1 y == a1 a2. Portanto, em ordem decrescente n! , (log n)^n e n^logn. Saudações, PJMS Em 24 de abril de 2014 00:36, ruymat...@ig.com.br escreveu: Errata: Na verdade gostaria de colocar em ordem crescente os números: n^logn , n! e (logn)^n sabendo-se que n= 2010^2010. Desculpem-me. Agradeço antecipadamente a quem ajudar. Abraços -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Curiosidade sobre funções periódicas
Sobre funções periódicas, uma curiosidade que eu gosto muito é a seguinte:
Um período de uma função f:R-R é qualquer número real positivo T
tal que a função f(x) é idêntica à função f(x-T). O período
fundamental de uma função f:R-R é definido com o menor período da
função. Funções não periódicas obviamente não possuem período
fundamental. Mas mesmo funções não periódicas podem não ter um período
fundamental. Por exemplo, a função indicadora dos números racionais
(que vale 1 nos racionais e 0 nos irracionais) admite qualquer número
racional como período, mas não existe um menor racional positivo.
A curiosidade é que basta que a função seja contínua em pelo menos um
único ponto para garantir que existe um período fundamental! (ou então
que a função é constante, que é o caso chato)
2014-04-28 9:53 GMT-03:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
É bem simples.
Como f é simétrica com relação aos eixo x = a e x = b, temos, para todo x,
que
f(a + x) = f(a - x)
f(b + x) = f(b -x)
Segue-se então que, para todo x,
f(x) = f(a + x - a) = f(a - (x - a)) = f(2a - x) e, analogamente,
f(x) = f(2b - x)
Então, para todo x,
f(x) = f(2(a + b - a ) - x) = f(2a - (2a - 2b + x)) = f(2(a - b) + x)
Como a - b não é nulo, f é periódica e 2|a - b| é um de seus períodos.
E outra, nesta linha ( não muito conhecida),
Sabia você, amigo da lista, que, para todo inteiro positivo não pertencente
a {1, 2, 4} as soluções reais da equação x^n = n^x são transcendentes? Se n
= 2 ou 4, as soluções negativas são transcendentes.
Abraços
Artur Costa Steiner
Em 27/04/2014, às 23:23, Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com escreveu:
Caro Artur eu soube agora :) como podemos provar isto???
Em 3 de março de 2013 01:51, Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com
escreveu:
Esta é uma curiosidade mesmo. Faz lembrar um programa de rádio dos anos
60 que começava assim Sabia você amigo ouvinte... E aà vinha algo muito
interessante como o rei Louis XV gostava de laranja.
Bom, sabia vc, amigo da lista, que, se o gráfico de f de R em R for
simétrico com relação a 2 eixos verticais distintos, então f é
periódica? Eu não sabia, descobri há alguns dias. Se os eixos forem x = a
e x = b, então 2 |b - a| é um perÃodo.
Abraços.
Artur Costa Steiner
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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acredita-se estar livre de perigo.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Matemágica - Séries
Prezados, Não conhecia esses resultados, mas achei surpreendente e tenho algumas questões : 1) http://www.youtube.com/watch?v=PCu_BNNI5x4 2) http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww 3) http://www.youtube.com/watch?v=0Oazb7IWzbA Sem nada adicional (análise complexa), apenas aplicando os axiomas básicos da aritmética aos números naturais em uma série infinita, chegamos ao resultado correto, sem ter que recorrer a análise complexa. Porque chega-se ao resultado correto, com estas manipulações básicas, na análise real? O que isso significa? Qual o significado ontológico disso tudo, quando aplicada a física? Isso por ter algo a ver com Godel ? Abs Felipe -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Matemágica - Séries
Só tem um problema -- os axiomas básicos da aritmética dos números naturais NÃO se aplicam a somas infinitas. Na definição mais básica de soma infinita, a soma 1-1+1-1+1... simplesmente não existe (a série diverge). A soma infinita não é associativa, então o que eles fizeram não está nem um pouco certo. Note-se que HÁ maneiras de REDEFINIR somas infinitas que dão a resposta 1/2 (somar a Cesaro, por exemplo, vide http://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation) (Só para ilustrar -- um dos axiomas básicos afirma que a soma de números positivos dá positivo, o que não é o caso ali.) Não é que o que está sendo dito ali está **errado**, mas eu particularmente não gosto do jeito que eles apresentam as coisas, fazendo tudo parecer fácil e simples quando não é. No fundo no fundo, eles sabem que estão provocando (porque os comentários do Youtube são a fonte natural de comentários lógicos Viu a ironia?). 2014-04-28 16:57 GMT-03:00 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br: Prezados, Não conhecia esses resultados, mas achei surpreendente e tenho algumas questões : 1) http://www.youtube.com/watch?v=PCu_BNNI5x4 2) http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww 3) http://www.youtube.com/watch?v=0Oazb7IWzbA Sem nada adicional (análise complexa), apenas aplicando os axiomas básicos da aritmética aos números naturais em uma série infinita, chegamos ao resultado correto, sem ter que recorrer a análise complexa. Porque chega-se ao resultado correto, com estas manipulações básicas, na análise real? O que isso significa? Qual o significado ontológico disso tudo, quando aplicada a física? Isso por ter algo a ver com Godel ? Abs Felipe -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Matemágica - Séries
Pois é, Mas a minha pergunta é : se os axiomas não se aplicam, pq quando usados, chegam à mesma resposta que os outros métodos corretos (o metodo que vc colocou, o uso da função zeta, para o caso dos numeros naturais, etc..)? Abs Felipe Em Segunda-feira, 28 de Abril de 2014 17:36, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Só tem um problema -- os axiomas básicos da aritmética dos números naturais NÃO se aplicam a somas infinitas. Na definição mais básica de soma infinita, a soma 1-1+1-1+1... simplesmente não existe (a série diverge). A soma infinita não é associativa, então o que eles fizeram não está nem um pouco certo. Note-se que HÁ maneiras de REDEFINIR somas infinitas que dão a resposta 1/2 (somar a Cesaro, por exemplo, vide http://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation) (Só para ilustrar -- um dos axiomas básicos afirma que a soma de números positivos dá positivo, o que não é o caso ali.) Não é que o que está sendo dito ali está **errado**, mas eu particularmente não gosto do jeito que eles apresentam as coisas, fazendo tudo parecer fácil e simples quando não é. No fundo no fundo, eles sabem que estão provocando (porque os comentários do Youtube são a fonte natural de comentários lógicos Viu a ironia?). 2014-04-28 16:57 GMT-03:00 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br: Prezados, Não conhecia esses resultados, mas achei surpreendente e tenho algumas questões : 1) http://www.youtube.com/watch?v=PCu_BNNI5x4 2) http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww 3) http://www.youtube.com/watch?v=0Oazb7IWzbA Sem nada adicional (análise complexa), apenas aplicando os axiomas básicos da aritmética aos números naturais em uma série infinita, chegamos ao resultado correto, sem ter que recorrer a análise complexa. Porque chega-se ao resultado correto, com estas manipulações básicas, na análise real? O que isso significa? Qual o significado ontológico disso tudo, quando aplicada a física? Isso por ter algo a ver com Godel ? Abs Felipe -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Matemágica - Séries
Chegar a resposta certa eh facil. No primeiro video, ela chega a resposta S=0, depois chega a resposta S=1, e enfim chega a resposta 1/2. Fica a impressao que a resposta final que ele achou eh a melhor, simplesmente porque ali que ele escolheu parar. Ele poderia, usando metodos parecidos, chegar em outros numeros. Por exemplo, ele podia dizer que 2S=1-S usando o fato de que S=0, entao S=2S=0. Entao ele tiraria S=1/3, que nao faz sentido. Note-se: existem argumentos em favor de dizer que aquela soma vale 1/2, e que a outra do outro video vale -1/12 -- mas, que eu saiba, nao sao esses simples. 2014-04-28 19:20 GMT-03:00 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br: Pois é, Mas a minha pergunta é : se os axiomas não se aplicam, pq quando usados, chegam à mesma resposta que os outros métodos corretos (o metodo que vc colocou, o uso da função zeta, para o caso dos numeros naturais, etc..)? Abs Felipe Em Segunda-feira, 28 de Abril de 2014 17:36, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Só tem um problema -- os axiomas básicos da aritmética dos números naturais NÃO se aplicam a somas infinitas. Na definição mais básica de soma infinita, a soma 1-1+1-1+1... simplesmente não existe (a série diverge). A soma infinita não é associativa, então o que eles fizeram não está nem um pouco certo. Note-se que HÁ maneiras de REDEFINIR somas infinitas que dão a resposta 1/2 (somar a Cesaro, por exemplo, vide http://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation) (Só para ilustrar -- um dos axiomas básicos afirma que a soma de números positivos dá positivo, o que não é o caso ali.) Não é que o que está sendo dito ali está **errado**, mas eu particularmente não gosto do jeito que eles apresentam as coisas, fazendo tudo parecer fácil e simples quando não é. No fundo no fundo, eles sabem que estão provocando (porque os comentários do Youtube são a fonte natural de comentários lógicos Viu a ironia?). 2014-04-28 16:57 GMT-03:00 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br: Prezados, Não conhecia esses resultados, mas achei surpreendente e tenho algumas questões : 1) http://www.youtube.com/watch?v=PCu_BNNI5x4 2) http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww 3) http://www.youtube.com/watch?v=0Oazb7IWzbA Sem nada adicional (análise complexa), apenas aplicando os axiomas básicos da aritmética aos números naturais em uma série infinita, chegamos ao resultado correto, sem ter que recorrer a análise complexa. Porque chega-se ao resultado correto, com estas manipulações básicas, na análise real? O que isso significa? Qual o significado ontológico disso tudo, quando aplicada a física? Isso por ter algo a ver com Godel ? Abs Felipe -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Matemágica - Séries
2014-04-28 19:20 GMT-03:00 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br: Pois é, Mas a minha pergunta é : se os axiomas não se aplicam, pq quando usados, chegam à mesma resposta que os outros métodos corretos (o metodo que vc colocou, o uso da função zeta, para o caso dos numeros naturais, etc..)? Para completar a resposta do Ralph: por sorte. Uma forma de ver essas manipulações é como se fosse um limite de PGs (e outras coisas parecidas). Quando você bota 1 (ou -1) numa PG, ela não tem soma. Mas, em alguns casos, o limite faz sentido. Se você fizer as operações certas (o que, sem escrever as PGs subjacentes é impossível acertar sem ter MUITA sorte), você acaba calculando os limites certos, porque os infinitos (e outras bizarrices) se cancelam mutuamente. Eu lembro quando me mostraram os vídeos, e eu tentei justificar as contas... as primeiras tentativas de escrever PGs óbvias para calcular os limites deram MUITO errado. Claro, usando a zeta é mais fácil de saber a resposta - se você sabe calcular, e só funciona neste caso particular. Em Segunda-feira, 28 de Abril de 2014 17:36, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Só tem um problema -- os axiomas básicos da aritmética dos números naturais NÃO se aplicam a somas infinitas. Na definição mais básica de soma infinita, a soma 1-1+1-1+1... simplesmente não existe (a série diverge). A soma infinita não é associativa, então o que eles fizeram não está nem um pouco certo. Note-se que HÁ maneiras de REDEFINIR somas infinitas que dão a resposta 1/2 (somar a Cesaro, por exemplo, vide http://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation) (Só para ilustrar -- um dos axiomas básicos afirma que a soma de números positivos dá positivo, o que não é o caso ali.) Não é que o que está sendo dito ali está **errado**, mas eu particularmente não gosto do jeito que eles apresentam as coisas, fazendo tudo parecer fácil e simples quando não é. No fundo no fundo, eles sabem que estão provocando (porque os comentários do Youtube são a fonte natural de comentários lógicos Viu a ironia?). Bom, eu sou mais chato do que você. O que estes vídeos fizeram está matematicamente errado. E o tom do vídeo me deixa muito chateado, porque incita nas pessoas a idéia que matemática é coisa de maluco / coisa sem sentido e, pior ainda, matemática é só sair fazendo conta sem entender o significado. Seria muito melhor que, em vez de ficar fazendo contas malucas e sem sentido ele explicasse que 1/ As manipulações estão sendo feita COM OUTRAS CONVENÇÕES 2/ Que existem diversas outras convenções 3/ Que todas elas coincidem (quando a resposta existe) com continuação analítica 4/ E que é por isso que a Física moderna usa muita análise complexa, para poder fazer todas essas manipulações COM ALGUM SENTIDO. Mas, como disse o Ralph, postar isso no Youtube dessa forma é muito limitado. Se alguém quiser entender isso de verdade, eu sugiro começar com um post do Terence Tao: http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/ Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Geometria Plana - Relações Trigonométricas
Ola Pessoal, Eu não sei se já postei isso aqui, mas trabalhando em alguns problemas, encontrei algumas coisas interessantes : A) Relações Trigonométrica entre os ângulos de um triângulo qualquer (fiz os cálculos usando um triangulo acutângulo qqer de lados x,y e z) 1) Cos2X + Cos2Y + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = 1 Quando um dos ângulos é 90º , a relação se reduz a : Cos2X + Cos2Y = 1 Como X+Y = 90º Cos2X + Sen2X = 1 De (1), resultam as seguintes relações : 2) Cos2Y + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = Sen2X 3) Cos2X + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = Sen2Y 4) Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ = Sen2Z 5) 4R2 (Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ) = z2 E as outras relações envolvendo R e x e R e y R raio do círculo circunscrito e x,y e z lados do triangulo. 6) 2 = Sen2X + Sen2Y + Sen2Z - 2CosXCosYCosZ 6) 1 + Sen2X + Cos2X = Sen2X + Sen2Y + Sen2Z - 2CosXCosYCosZ Pela lei dos Senos, temos que SenX, SenY e SenZ formam um triangulo semelhante ao triângulo de lados x, y e z. Dessa forma, temos : Sen2Z = Sen2X + Sen2Y - 2SenXSenYCosZ De (4) temos que : Sen2Z = Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ Ou seja, os triângulos de lado SenX, SenY e SenZ e CosX, CosY e SenZ formam um quadrilátero inscritível com diagonal SenZ, em um cíuculo cujo raio R = ½ A) Ternos Pitagóricos Primitivos Dado o terno pitagórico a,b e c, 3 x 4 x 5 = 60 divide abc Eu procurei na internet e não achei essas relações. Vcs sabem de alguma coisa? Abs Felipe -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Matemágica - Séries
Saudações. Nas páginas da Wikipédia em inglês há mais coisas: http://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s_series Esta http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_1_%2B_1_%2B_1_%2B_%E2%8B%AF que é dita o cálculo de ζ(0) e que possui estas imagens: http://en.wikipedia.org/wiki/File:SumPlain.svg http://en.wikipedia.org/wiki/File:SumSmoothed.svg http://en.wikipedia.org/wiki/File:SumAsymptote.svg E esta aqui: http://en.wikipedia.org/wiki/1_%E2%88%92_2_%2B_3_%E2%88%92_4_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7 que possui esta imagem: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Pm1234_Ground.png A partir destas ilustrações pensei em alguma forma intuitiva de se representar. Geometricamente, como se o +1-1+1-1+1-1 ... = 1/2 fosse o pressuposto preenchimento de metade de uma área de tamanho infinito. Não que fosse uma integração, mas algumas somas bem que poderiam representam áreas. Nesta aqui http://en.wikipedia.org/wiki/1_%E2%88%92_1_%2B_2_%E2%88%92_6_%2B_24_%E2%88%92_120_%2B_%E2%8B%AF aparece explicitamente uma integral. Em Mon, 28 Apr 2014 20:35:16 -0300 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2014-04-28 19:20 GMT-03:00 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br: Pois é, Mas a minha pergunta é : se os axiomas não se aplicam, pq quando usados, chegam à mesma resposta que os outros métodos corretos (o metodo que vc colocou, o uso da função zeta, para o caso dos numeros naturais, etc..)? Para completar a resposta do Ralph: por sorte. Uma forma de ver essas manipulações é como se fosse um limite de PGs (e outras coisas parecidas). Quando você bota 1 (ou -1) numa PG, ela não tem soma. Mas, em alguns casos, o limite faz sentido. Se você fizer as operações certas (o que, sem escrever as PGs subjacentes é impossível acertar sem ter MUITA sorte), você acaba calculando os limites certos, porque os infinitos (e outras bizarrices) se cancelam mutuamente. Eu lembro quando me mostraram os vídeos, e eu tentei justificar as contas... as primeiras tentativas de escrever PGs óbvias para calcular os limites deram MUITO errado. Claro, usando a zeta é mais fácil de saber a resposta - se você sabe calcular, e só funciona neste caso particular. Em Segunda-feira, 28 de Abril de 2014 17:36, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Só tem um problema -- os axiomas básicos da aritmética dos números naturais NÃO se aplicam a somas infinitas. Na definição mais básica de soma infinita, a soma 1-1+1-1+1... simplesmente não existe (a série diverge). A soma infinita não é associativa, então o que eles fizeram não está nem um pouco certo. Note-se que HÁ maneiras de REDEFINIR somas infinitas que dão a resposta 1/2 (somar a Cesaro, por exemplo, vide http://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation) (Só para ilustrar -- um dos axiomas básicos afirma que a soma de números positivos dá positivo, o que não é o caso ali.) Não é que o que está sendo dito ali está **errado**, mas eu particularmente não gosto do jeito que eles apresentam as coisas, fazendo tudo parecer fácil e simples quando não é. No fundo no fundo, eles sabem que estão provocando (porque os comentários do Youtube são a fonte natural de comentários lógicos Viu a ironia?). Bom, eu sou mais chato do que você. O que estes vídeos fizeram está matematicamente errado. E o tom do vídeo me deixa muito chateado, porque incita nas pessoas a idéia que matemática é coisa de maluco / coisa sem sentido e, pior ainda, matemática é só sair fazendo conta sem entender o significado. Seria muito melhor que, em vez de ficar fazendo contas malucas e sem sentido ele explicasse que 1/ As manipulações estão sendo feita COM OUTRAS CONVENÇÕES 2/ Que existem diversas outras convenções 3/ Que todas elas coincidem (quando a resposta existe) com continuação analítica 4/ E que é por isso que a Física moderna usa muita análise complexa, para poder fazer todas essas manipulações COM ALGUM SENTIDO. Mas, como disse o Ralph, postar isso no Youtube dessa forma é muito limitado. Se alguém quiser entender isso de verdade, eu sugiro começar com um post do Terence Tao: http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/ Abraços, -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Plana - Relações Trigonométricas
Eu tinha umas relações da forma (ab+ac+bc)/abc com alturas e senos, mas não sei onde guardei. Sobre as ternas: Sabe-se que (m²-n²)² + (2mn)² = (m²+n²)² Seja a=(m²-n²), b=2mn e c = (m²+n²) Divisibilidade por 4: Para m par e n par é automático 4|abc Para m ímpar e n par, 4|2mn, então 4|abc Para m ímpar e n ímpar, é garantido que m² e n² são divisíveis por 2 (melhor, por 4 ja que ambos são da forma 4k+1 m² é côngruo a n² módulo 4), como b é divisível por 2 fica 4|abc. (2k+1)² = 4k²+4k+1 = 4(k²+k)+1 - 4r+1 Divisibilidade por 3: Caso em que a ou b é da forma 3k é automático 3|abc. Caso em que a ou b são da forma 3k+1 ou 3k+2:7 (3k+1)² = 9k²+6k+1 - 3(3k²+2k)+1 - 3r+1 (3k+2)² = 9k²+12k+4 - 3(3k²+4k+1)+1 - 3r+1 Ou seja, a² é côngruo com b² módulo 3. m²-n² garante 3|abc. Divisibilidade por 5: Caso em que a ou b é da forma 5k é automático 5|abc. Caso em que a ou b são da forma 5k+1 ou 5k+4: (5k+1)² = 25k²+10k+1 - 5(5k²+2k)+1 - 5r+1 (5k+4)² = 25k²+40k+16 - 5(5k²+8k+3)+1 - 5r+1 Caso em que a ou b são da forma 5k+2 ou 5k+3: (5k+2)² = 25k²+20k+4 - 5(5k²+4k)+4 - 5s+4 (5k+3)² = 25k²+30k+9 - 5(5k²+6k+1)+4 - 5s+4 Para o caso de a e b serem da forma 5k+1 ou 5k+4, m² é côngruo a n² módulo 5, logo m²-n² garante 5|abc. Para o caso de a e b serem da forma 5k+2 ou 5k+3, m² é côngruo a n² módulo 5, logo m²-n² garante 5|abc. No caso de m² ser incôngruo a n², temos que suas somas são côngruas módulo 5. Um é da forma 5k+1 ou 5k+4 e o outro é da forma 5k+2 ou 5k+3. Logo um deles assume a forma 5r+1 e o outro a forma 5s+4 oui vice-versa. Portanto m²+n² garante 5|abc. Portanto 3.4.5 = 30|abc sendo a,b,c uma terna pitagórica. Em Mon, 28 Apr 2014 19:31:59 -0700 (PDT) luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu: Ola Pessoal, Eu não sei se já postei isso aqui, mas trabalhando em alguns problemas, encontrei algumas coisas interessantes : A) Relações Trigonométrica entre os ângulos de um triângulo qualquer (fiz os cálculos usando um triangulo acutângulo qqer de lados x,y e z) 1) Cos2X + Cos2Y + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = 1 Quando um dos ângulos é 90º , a relação se reduz a : Cos2X + Cos2Y = 1 Como X+Y = 90º Cos2X + Sen2X = 1 De (1), resultam as seguintes relações : 2) Cos2Y + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = Sen2X 3) Cos2X + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = Sen2Y 4) Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ = Sen2Z 5) 4R2 (Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ) = z2 E as outras relações envolvendo R e x e R e y R raio do círculo circunscrito e x,y e z lados do triangulo. 6) 2 = Sen2X + Sen2Y + Sen2Z - 2CosXCosYCosZ 6) 1 + Sen2X + Cos2X = Sen2X + Sen2Y + Sen2Z - 2CosXCosYCosZ Pela lei dos Senos, temos que SenX, SenY e SenZ formam um triangulo semelhante ao triângulo de lados x, y e z. Dessa forma, temos : Sen2Z = Sen2X + Sen2Y - 2SenXSenYCosZ De (4) temos que : Sen2Z = Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ Ou seja, os triângulos de lado SenX, SenY e SenZ e CosX, CosY e SenZ formam um quadrilátero inscritível com diagonal SenZ, em um cíuculo cujo raio R = ½ A) Ternos Pitagóricos Primitivos Dado o terno pitagórico a,b e c, 3 x 4 x 5 = 60 divide abc Eu procurei na internet e não achei essas relações. Vcs sabem de alguma coisa? Abs Felipe -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
