Re: [obm-l] Limites
a) Desracionalizando, dah uma fraçao cujo denominador eh sqrt (x^2+x) + x e cujo numerador eh x. Dividindo numerador e denominador por x, , dah 1/[sqrt (1+ 1/x) + 1]. Aih eh facil ver que a resposta eh 1/2 b) A primeira parcela tende a 3; a segunda, a -1; a ultima, a -4. A resposta eh 3 -1 -4 = -2 Henrique P. Sant'Anna Branco wrote: Hi all, Gostaria de saber se alguém me dá uma ajuda nos seguintes limites: a) sqrt(x^2+x)-x, com x tendendo a +infinito b) [[x]]-4/x-4, com x tendendo a 4 pela esquerda, onde [[x]] representa a função "maior inteiro" Valeu! Henrique. ___ Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é =
Re: [obm-l] IME
2) log(15)[ [1125]^(1/5)] = log [1125^(1/5)] / log 15 O denominador eh log 15 = log(3*10/2) = log3 + log10 - log 2 = b +1 - a O numerador eh log [1125^(1/5)] = (1/5) log1125 = (1/5) log 9000/8 = (1/5) log (9*1000/8) = = (1/5) [ log 9 + log1000 - log8] = (1/5) [2b+3-3a] A resposta eh (1+ b - a)/[5(3 + 2b - 3a)] Wander Junior wrote: 1) Encontre todas as soluções reais da equação apresentada abaixo, onde n é um número natural. cosnx – sennx = 1 2) Consigerando log2=a e log3=b, encontre em função de a e b o logaritmo do número no sitema de base 15. Obrigado. Wander
Re: [obm-l] IME
1) (cosx)^n = 1 + (senx)^n Se n eh par, o segundo membro eh maior ou igual a 1 e a igualdade so sera possivel se senx=0, o que da as soluçoes x=k(pi) Se n=1, a equaçao eh cosx - senx = 1 Multiplique tudo por (sqrt2) / 2 e obtera cos [x+(pi/4)] = cos(pi/4), que da x=2kpi e tambem a soluçao h = 2kpi- (pi/2) Se n eh impar maior que 1, faça x = - z. A equaçao se transforma em (cosz)^n + (senz)^n = 1. A firmo que essa equaçao so possui as soluçoes cosz=1 e senz=1. Basta observar que (cosz)^2 + (senz)^2 = 1 e que se cosz e senz estiverem no aberto (0, 1), (cosz)^n + (senz)^n sera estritamente menor que (cosz)^2 + (senz)^2 = 1. (Eh claro que soluçoes com cosz ou senz negativos, nem pensar). Entao, as unicas soluçoes serao z= 2kpi e z= 2kpi + (pi/2). Como x = -z, Wander Junior wrote: 1) Encontre todas as soluções reais da equação apresentada abaixo, onde n é um número natural. cosnx – sennx = 1 2) Consigerando log2=a e log3=b, encontre em função de a e b o logaritmo do número no sitema de base 15. Obrigado. Wander
Re: [obm-l] probabilidade de novo?
Emocionante! Mas vou dizer uma coisa: se você apresentar esta questão a tres eststisticos de diversas escolas, voce vai obter quatro respostas diferentes. Morgado Diego wrote: Vocês devem estar cansaaados de tantas questões sobre probabilidade. Essa surgiu num chat de mercado financeiro - uma polêmica com um cara que é muito bem-sucedido no que faz, mas me parece ter escorregado no conceitual. A narrativa dele é mais ou menos a seguinte. Um mendigo que nunca soube nada de mercado abre um jornal, escolhe uma ação ao acaso e decide comprá-la. Se o preço da ação subir, ele ganha. Se o preço da ação cair, ele perde. Qual é a probabilidade de que um mendigo ganhe no mercado acionário? A interpretação desse meu amigo era a seguinte: os eventos são dois: alta ou baixa. Portanto, as chances dele ganhar são de 50%. A minha interpretação era de que assumindo como simplificação de que cada uma dessas ações já está "predestinada" a subir ou cair no dia seguinte - sem que uma pequena compra do mendigo consiga influenciar o mercado como um todo - a probabilidade de que ele ganhasse era de (número de ações vencedoras)/(número total de ações). Pois bem, nós estamos precisando de arbitragem... quem está certo? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Limites
Opa, muito cuidado! O limite eh igual a 1/2 e nao igual a zero. O problema na soluçao abaixo eh o mesmo que permitiria "provar" que lim x = 0 (com x tendendo a mais infinito). lim x = lim [(x^2+x) - (x^2) ] = lim [x^2(1+1/x) -x^2] entao temos lim [x^2.1 - x^2] = 0. Evidentemente, nao ha nada que valide o que estah depois do entao temos, tanto nesta soluçao como na soluçao abaixo. Para uma soluçao correta vejam a enviada pelo Leandro Recova. Morgado Marcos Reynaldo wrote: Opa , cuidado! O limite da zero e não meio. Se tiver duvidas vai jogando valores cada vez maiores e vera o que estou dizendo. O negocio eh o seguinte (lim é o limite com x tendendo a mais infinito) lim(sqrt(x^2+x)-x)=lim(sqrt(x^2(1+1/x)-x)=lim(sqrt(x^2).sqrt(1+1/x)-x) O problema eh que (sqrt(x^2))=|x|=x (se x tendesse a menos infinito seria -x). entao temos lim(x.sqrt(1+1/x)-x)=lim(x.1-x)=0 []'s Marcos. ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] livro raro
Title: Re: [obm-l] livro raro Se nao me engano, temos um exemplo de falta de comunicaçao. Insisto que mensagens do tipo "onde se encontra um livro" deviam sempre vir acompanhadas da cidade do remetente. Ja escrevi a respeito disso varias vezes (ninguem le o que eu escrevo). O Wagner esta dando uma dica perfeita pensando que o Danieleh carioca. So que, se nao me falha a memoria (e, dada a minha idade, ela falha muito), o Daniel eh paranaense! Morgado Eduardo Wagner wrote: Tem na biblioteca do IMPA. -- From: "Daniel Pini" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] livro raro Date: Tue, Dec 10, 2002, 3:09 PM Alguém aqui tem ou sabe quem tem o livro do POGORELOV, A.V. Geometria Elemental. Moscou, Mir, 1974.
Re: [obm-l] Probabilidade
Por isso tem tanta gente que acha probabilidade complicado! Que enunciado mal redigido! Quantos são os salgadinhos de cada tipo? Admitindo-se um bando de coisas que nao estao no enunciado, talvez a resposta seja C(10,2)/CR(10,4) = 45/715 = 9/143 fnicks wrote: Olá Pessoal , Preciso de ajuda no seguinte problema : Numa festa há 10 tipos de salgadinhos( croquete, bolinho de bacalhau , etc ...) numa mesa . Uma pessoa servindo -se , pega 4 salgadinhos num prato ; qual a probabilidade de no prato ter dois pares de salgadinhos ? ( por exemplo ; croquete , croquete , bolinho de carne , bolinho de carne ). Agradeço a ajuda []´s Nick = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Probabilidade
Eh uma das interpretaçoes possiveis. Na realidade, nessa sua soluçao esta implicito que ha um numero infinito de salgadinhos de cada tipo. Realmente, quando voce faz casos favoraveis/ casos possiveis , voce esta adotando o modelo equiprobabilistico, isto eh, voce admite que os casos possiveis sao igualmente provaveis. No caso do problema dos salgadinhos, isso equivale a supor que quando a pessoa vai pegar um salgadinho ha uma prob. 1/10 de que seja um croquete, 1/10 de que seja um quibe etc. Na sua soluçao, o que voce faz implicitamente eh que a prob. de que seja croquete croquete quibe quibe nessa ordem eh 1/10 vezes 1/10 etc. Considerando as outras ordens, dah 4!/(2!2!) vezes isso. Finalmente, considerando que podia ser pastel e empada em vez de croquete e quibe etc, dah C(10,2) vezes isso. Agora, bem: o que voce estah supondo para fazer isso? Se ha N salgadinhos e 10% sao croquetes, 10% sao quibes, etc (veja que isso faz com que os casos sejam igualmente provaveis, porem isso ja eh um super acrescimo ao enunciado), a prob. de o primeiro salgadinho ser um croquete eh 10%N / N = 1/10, mas, depois disso, a prob. de o segundo ser croquete ja nao eh 1/10 e sim (0,1 N - 1) / (N-1), que so no caso N infinito dah 10%. A sua soluçao estah absolutamente correta, DESDE QUE SE SUPONHA QUANTIDADES IGUAIS DE SALGADINHOS DE CADA TIPO, NUMERO TOTAL DE SALGADINHOS MUITO GRANDE E QUE O PROCESSO DE ESCOLHA SEJA O QUE VOCE DESCREVEU (pega um, depois pega outro,...) Como no enunciado nao havia referencia ao numero de salgadinhos de cada tipo, preferi imaginar a seguite situaçao: o sujeito indeciso queria pegar 4 salgadinhos e nao se decidia. Entao o garçom fez uma lista de todas as possibilidades: 4 croquetes, 3 croquetes e 1 quibe, 1 pastel e 1 quibe e 1 empada e 1 enroladinho, etc. Dessa lista sorteou-se uma possibilidade. O numero de elementos da lista eh combinaçao com repetiçao de 10 tomada 4 a 4, e o numero de casos favoraveis (dois pares) eh C(10,2). dirah voce que eh preciso muita imaginaçao para usar esse processo de escolha. Concordo que eh um processo muito artificial, MAS FOI O UNICO QUE ME PARECEU MAIS OU MENOS PLAUSIVEL FACE A FALTA DE INFORMAÇAO A RESPEITO DA QUANTIDADE DE SALGADINHOS DE CADA TIPO. Concluindo, como havia dito, talvez a resposta seja a minha, talvez seja a sua, talvez seja uma outra. O fato eh que para se obter alguma soluçao eh preciso supor coisas que nao estao no enunciado. Um forte abraço Morgado fnicks wrote: Professor Morgado ,O enunciado foi passado realmente desta forma para mim .Gostaria de saber o que está errado na seguinte idéia : casos possíveis =10x10x10x10( escolhendo primeiro um salgadinho , depois um segundo salgadinho e assim por diante) ; casos favoráveis = C(10,2)X 4!/2!2! = 270 ou seja p = 27/1000 . Agradeço novamente desde já []´s Nick To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Probabilidade Por isso tem tanta gente que acha probabilidade complicado! Que enunciado mal redigido! Quantos são os salgadinhos de cada tipo? Admitindo-se um bando de coisas que nao estao no enunciado, talvez a resposta seja C(10,2)/CR(10,4) = 45/715 = 9/143 fnicks wrote: Olá Pessoal , Preciso de ajuda no seguinte problema : Numa festa há 10 tipos de salgadinhos( croquete, bolinho de bacalhau , etc ...) numa mesa . Uma pessoa servindo -se , pega 4 salgadinhos num prato ; qual a probabilidade de no prato ter dois pares de salgadinhos ? ( por exemplo ; croquete , croquete , bolinho de carne , bolinho de carne ). Agradeço a ajuda []´s Nick
Re: [obm-l] RAIZ CÚBICA DE 7
Analogamente, trocando par ou impar por multiplo de 7 ou nao-multiplo de 7. JOÃO CARLOS PAREDE wrote: Em livros sobre conjuntos numéricos, eles quase sempre apresentam uma prova por absurdo da irracionalidade da raiz quadrada de 2: sqrt(2)=p/q, sendo mdc(p,q)=1 2=(p*p)/(q*q) 2*q*q=p*p Com isto p é par. Analogamente se prova que q é par, caindo no absurdo. Mas, por exemplo, com raiz cúbica de 7, como faço? = JOÃO CARLOS PAREDE ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] [obm-l] polinômios
O Teorema de D'Alembert diz que o resto da divisao de P(x) por x+a eh P( - a ). A resposta eh P(-1) = 2 Juliana Löff wrote: Qual é o resto da divisão de x^109 + 3 por x + 1? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] O mistério do 6174 e a irracionalidade de e^2
Title: Help 1) O problema 1 se encontra em Ingenuity in Mathematics, de Ross Honsberger. Decepcionantemente, a prova eh bastante braçal. Na realidade, o resultado vale desde que os 4 digitos nao sejam todos iguais (vale para 3343, por exemplo). A linha da prova eh que apos a primeira subtraçao so ha 98(?) resultados possiveis, apos a segunda subtraçao um numero menor ainda,..., apos a setima o resultado so pode ser 6174. A passagem mais inteligente da demonstraçao eh a primeira. Cláudio (Prática) wrote: href="" class="moz-txt-link-freetext" href="">file://C:\WINDOWS\> Dois Problemas: 1. Seja A um inteiro positivo < 10.000, formado por quatro algarismos distintos (possivelmente com o algarismo dos milhares igual a zero - por exemplo: 123 = 0123). Considere a seguinte sequência: X(1) = A Para cada inteiro positivo n: X(n+1) = H(n) - L(n) onde: H(n) = número formado pelos algarismos de X(n) em ordem decrescente; L(n) = número formado pelos algarismos de X(n) em ordem crescente; Prove que, qualquer que seja A (formado por algarismos distintos), existe um índice m, tal que se k >=m então X(k) = 6174. 2. Existe uma demonstração simples da irracionalidade de e (base dos logaritmos naturais), baseada na identidade: infinito e = SOMATÓRIO ( 1 / n! ) n = 0 A demostração é por contradição, onde a hipótese da racionalidade de e leva à conclusão de que existe um número inteiro entre 0 e 1. Problema: Como usar a mesma idéia para se demonstrar a irracionalidade de e^2. Agradeço antecipadamente qualquer ajuda. Um abraço, Claudio Buffara.
[obm-l] Geometria II
Varias pessoas tem perguntado onde encontrar o livro Geometria II (do Eduardo Wagner, embora seja conhecido como o livro de Geometria do Morgado), que estava esgotado e era muito procurado por candidatos a IME, ITA etc. O livro foi reeditado. O telefone da editora eh (21) 2581 2873. No momento estah disponivel na editora (Rua Carneiro Ribeiro 22 loja A, Maria da Graça, Rio de Janeiro, RJ) ou pelo correio. Semana que vem deve ser encontrado na Academia do Saber (Avenida Passos 22, Rio de Janeiro) e na Ciencia e Cultura (Rua Sete de Setembro 127, Rio de Janeiro). Em janeiro, ja deve ser encontrado nas livrarias do Brasil inteiro). Morgado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] probabilidade
A prob. de ser lata de atum eh (1/2).(3/10)+(1/2).[x/(x+6)] Fazendo isso ser maior que ou igual a 1/2 da x maior que ou igual a 14. Eder wrote: Por favor,ajudem-me com esta: Em um balcão de supermercado, foram esquecidas duas sacolas.Uma continha 3 latas de atum,2 de ervilha e 5 de sardinha;a outra,x latas de atum,3 de ervilha e 3 de sardinha.Escolhe-se ao acaso uma sacola e retira-se uma lata.Qual é o menor valor de x para que a probabilidade de tratar-se de uma lata de atum seja,no mínimo, 50%? Eder
Re: [obm-l] [obm-l] polinômios
A menos de notaçao, eh isso aih. O resto eh uma constante, porque o divisor eh de primeiro grau. Chama-lo de r estah legal. O quociente, como nao eh necessariamente constante, deveria ter sido chamado de q(x).A equaçao P(-a) = (-a+a)*q + r ficaria P(-a) = (-a+a)*q(-a) + r. Eduardo Estrada wrote: Olá, sou novo na lista, mas estive pensando numa demonstração para esse Teorema de D'alambert, o qual o prof. Morgado utilizou num e-mail anterior. Temos P(x) dividido por x+a. Pelo algoritmo de Euclides, vem: P(x) = (x+a)*q + r, onde q é o quociente da divisão e r é o resto. Então, tomando x = -a, vem P(-a) = (-a+a)*q + r = 0*q + r = r. Logo, de fato, o resto da divisão é P(-a). Se tiver alguma falha, por favor, peço que me corrijam. Abraço, Eduardo Estrada Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Probabilidade
Title: Help Urna 1: uma bola branca Urna 2: as outras 19 bolas. Cláudio (Prática) wrote: href="" class="moz-txt-link-freetext" href="">file://C:\WINDOWS\> Existem 10 bolas brancas (indistinguíveis) e 10 bolas pretas (idem), as quais devem ser distribuídas entre duas sacolas de forma que em cada sacola haja pelo menos uma bola. Escolhe-se uma sacola ao acaso e dela retira-se uma bola. Como deve ser a distribuição de bolas entre as duas sacolas de forma a maximizar a probabilidade de a bola retirada ser branca?
Re: [obm-l] Re: [obm-l] G. Analítica - Área de Polígonos
Igor GomeZZ wrote: Em 19/12/2002, 11:31, Josimar ([EMAIL PROTECTED]) disse: O Carlos Alberto da Silva Victor escreveu um artigo a respeito desse assuntoem uma RPM, acho que há uns três anos.[]s, Josimar A RPM tem publicação na internet tb?Não, mas há um CD com os 46(49?) primeiros numeros.Fui!### Igor GomeZZ UIN: 29249895 Vitória, Espírito Santo, Brasil Criação: 19/12/2002 (14:34)Pare para pensar:O contrário de exercitar aimaginação é imaginar o exército.(Mário Seabra)=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista &e acute; <[EMAIL PROTECTED]>=
[obm-l] Re:
1) < significa menor ou igual. 1 = (1/2) bcsenA < (1/2)bc < (1/2)bb 2 < bb CQD Eder wrote: Gostaria da ajuda de vcs nestes problemas russos: 1)Um triângulo tem área 1 e lados a > = b > = c.Prove que b² > = 2. 2)Defina p(x)=ax²+bx+c.Se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, prove que p(p(x)) = 0 também não tem nenhuma raiz real. Grato pela ajuda. Eder
[obm-l] Re:
2) Tenho a impressao de que isso eh falso. Experimentei p(x) = x^2 +3x+2 e a equaçao p(p(x))=0 parece ter (se nao errei contas) uma raiz real entre -1 e 0. Eder wrote: Gostaria da ajuda de vcs nestes problemas russos: 1)Um triângulo tem área 1 e lados a > = b > = c.Prove que b² > = 2. 2)Defina p(x)=ax²+bx+c.Se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, prove que p(p(x)) = 0 também não tem nenhuma raiz real. Grato pela ajuda. Eder
Re: [obm-l] Re:
Wagner wrote: Oi pessoal ! 2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é diferente de zero. Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda função não tem raiz real a primeira também não tem. Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a ; f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c => f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f '' (x) =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab. Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x) > 0 => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 => 2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b > 0 => h(x) = 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b > 0. Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos apenas provar que h(x) não possui raízes reais. Se h(x) não possui raízes reais então : 36(a^2)(b^2) -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 => 12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2 -48ac -24b <0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ) Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações: Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2 -4ac < 0 => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1, logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais CQD. Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 => 2ax +b-1 =0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c = =c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a => módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é | {-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) => f ' (x) = (2ax +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) ; f ' (x) =0 => (2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0. O primeiro caso implica em: x= -b/2a O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c + 2(a^2)b). Vamos provar que delta < 0 : 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b) < 0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ). Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos só com o caso x= -b/2a => f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a) -(b^2/2a) +c) +c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c = =a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c = a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c => módulo da ordenada de máximo ou mínimo de f (x) é | {a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z. Como a segunda hipótese é verdadeira então se g(x) tem máximo definido f(x) também tem, e se g(x) tem mínimo definido f(x) também tem. Temos que se p(x) =x não tem raiz real f '(x) e g'(x) só tem uma raiz real, note que se a > 0, g(x) tem mínimo e se a < 0, g(x) tem máximo. Logo para provar a primeira hipótese, temos que considerar 2 casos : a > 0 e a < 0. Suponha que a primeira hipótese seja falsa: a > 0 => y > z e y,z > 0 => g((1-b)/2a) > f(-b/2a) => -b^2/4a -b/2a +1/4a +c > a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c => -4b^2 -8b +4 > 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 => 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4 =h(a) < 0 Considere ( 2 ) uma função do 2º grau de variável a. Temos a > 0, logo: 64(b^4)(c^2) -64(b^4)(c^2) -64(c^2)(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0 => 16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4> 0 ( 3 ). De ( 2 ) vem que: (b^2 -4ac)^2 < -(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0 . Absurdo ! Para o caso a < 0 => y > z, temos um raciocínio análogo, provamos que se a < 0, então h(a) > 0, logo o delta de h(a) é negativo, o que nos leva a conclusão de que (b^2 -4ac)^2 < 0 Absurdo ! Logo a primeira hipótese é verdadeira, porque é absurdo que ela seja falsa se a segunda hipótese é verdadeira, Logo p(x)=x não ter raízes reais implica na segunda hipótese qua implica na primeira. Se a primeira e a segunda hipóteses são ambas verdadeiras, isso implica que p(p(x))=0 não tem nenhuma raiz real CQD. Isso eh falso. Se p(x) = x^2 +3x+2, a equaçao p(p(x))=0 tem uma raiz real entre -1 e 0. OBS:Me desculpem pelo e-mail que eu mandei sem querer antes, ele estava com a resposta pela metade. André T. - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, December 19, 2002 5:32PM Gostaria da ajuda de vcs nestes problemas russos: 1)Um triângulo tem área 1 e lados a > = b> = c.Prove que b² > = 2. 2)Defina p(x)=ax²+bx+c.Se p(x)=x não tem nenhumaraiz real, prove que p(p(x)) = 0 também não tem nenhuma raiz real. Grato pela ajuda. Eder
Re: [obm-l] Re:
Wagner wrote: Oi pessoal ! 2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais. Prove que o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda função não tem raiz real a primeira também não tem. Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a ; f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c => f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f '' (x) =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab. Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x) > 0 => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 => 2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b > 0 => h(x) = 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b > 0. Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos apenas provar que h(x) não possui raízes reais. Se h(x) não possui raízes reais então : 36(a^2)(b^2) -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 => 12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2 -48ac -24b <0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ) Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações: Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2 -4ac < 0 => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1, logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais CQD. Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 => 2ax +b-1 =0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c = =c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2)/4a => módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é |(b^2 -4ac)/(4a)| f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) => f ' (x) = (2ax +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) ; f ' (x) =0 => (2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0. O primeiro caso implica em x= -b/2a Isso eh falso. Se p(x) = x^2 +3x+2, a equaçao p(p(x))=0 tem uma raiz real entre -1 e 0. - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, December 19, 2002 5:32PM Gostaria da ajuda de vcs nestes problemas russos: 1)Um triângulo tem área 1 e lados a > = b> = c.Prove que b² > = 2. 2)Defina p(x)=ax²+bx+c.Se p(x)=x não tem nenhumaraiz real, prove que p(p(x)) = 0 também não tem nenhuma raiz real. Grato pela ajuda. Eder
Re: [obm-l] Re:
Wagner wrote: - Original Message - From:Wagner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, December 20, 2002 3:16PM Subject: Re: Oi pessoal ! SÓ CORRIGINDO UMA COISA QUE FICOU CONFUSA NAMINHA ÚLTIMA MENSAGEM 2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e quea é diferente de zero. Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raizreal, então o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo def(x)=p(p(x)) é maior que o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo deg(x)=p(x) -x e depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem def(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda função não temraiz real a primeira também não tem. Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a ; f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx+c) +c => f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) =>f '' (x) =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab. Se a segunda hipótese é verdadeira então f ''(x)/g '' (x) > 0 => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 => 2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2+b > 0 => h(x) = 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b> 0. Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo,devemos apenas provar que h(x) não possui raízes reais. Se h(x) não possui raízes reais então : 36(a^2)(b^2) -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 => 12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 =>12b^2 -48ac -24b <0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1) Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações: Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo(b-1)^2 -4ac < 0 => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1, logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possuiraízes reais CQD. Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x)= 0 => 2ax +b-1 =0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c = =c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a => módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é| {-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) => f ' (x) = (2ax +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac+b) ; f ' (x) =0 => (2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b)=0. O primeiro caso implica em: x= -b/2a O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c + 2(a^2)b). Vamos provar que delta < 0 : 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b) < 0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ). Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos só com ocaso x= -b/2a => f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a)-(b^2/2a) +c) +c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c = =a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c= a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c => módulo da ordenada de máximo ou mínimo de f (x) é| {a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z. Como a segunda hipótese é verdadeira então seg(x) tem máximo definido f(x) também tem, e se g(x) tem mínimo definido f(x) também tem. Temos que sep(x) =x não tem raiz real f '(x) e g'(x) só tem uma raiz real, note que se a > 0, g(x) tem mínimoe se a < 0, g(x) tem máximo. Logo para provar a primeira hipótese,temos que considerar 2 casos : a > 0 e a <0. Suponha que a primeira hipótese seja falsa: a > 0 => y > z e y,z > 0 => g((1-b)/2a) > f(-b/2a) => -b^2/4a -b/2a +1/4a+c > a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c => -4b^2 -8b +4 > 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4+16bc -4b^3 => 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4 =h(a)< 0 ( 2 ) Considere h(a) uma função do 2º grau de variávela. Temos a > 0, logo: 64(b^4)(c^2) -64(b^4)(c^2) -64(c^2)(16bc -4b^3+4b^2 -8b +4) < 0 => 16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4> 0 ( 3 ). De ( 2 ) vem que: (b^2 -4ac)^2 < -(16bc-4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0 . Absurdo ! Para o caso a < 0 => y > z, temos umraciocínio análogo, provamos que se a < 0, então h(a) > 0, logo o deltade h(a) é negativo, o que nos leva a conclusão de que(b^2 -4ac)^2 < 0 Absurdo ! Logo a primeira hipótese é verdadeira, porque éabsurdo que ela seja falsa se a segunda hipótese é verdadeira, Logo p(x)=x não ter raízes reais implica nasegunda hipótese qua implica na primeira. Se a primeira e a segunda hipóteses são ambasverdadeiras, isso implica que p(p(x))=0 não tem nenhuma raiz real CQD. Isso eh falso. Se p(x) = x^2 +3x+2, a equaçao p(p(x))=0 tem uma raiz real entre -1 e 0. OBS:Me desculpem pelo e-mail que eu mandei semquerer antes, ele estava com a resposta pela metade. André T. - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, December 19, 2002 5:32 PM Gostaria da ajuda de vcs nestes problemas russos: 1)Um triângulo tem área 1 e lados a > = b > = c
Re: [obm-l] Re:
Vou tentar encerrar a discussao. Tome p(x) = x^2 + 4x + 3. A equaçao p(x) = x reduz-se a x^2 + 3x + 3 = 0 ue nao tem raiz real pois seu discriminante eh negativo (-3). Como p(-2) = -1, p(p(-2)) = p(-1) = 0, NAO EH VERDADE que p(p(x))=0 nao possua raiz real, pois -2 eh raiz da referida equaçao. Assim como esse, ha muitos contraexemplos que podem ser dados (vejam mensagem de Salvador Addas Zanata). Peço desculpas a todos pelo contraexemplo que mandei em mensagens anteriores, pois ele estah errado. Morgado Eder wrote: Esse problema foi retirado do site do John Scholes e o enunciado é: Define p(x)=ax²+bx+c.If p(x)=x has no real roots,prove that p(p(x))=0 has no real roots. - Original Message - From: A. C.Morgado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, December 20, 2002 5:12PM Subject: Re: [obm-l] Re: Wagner wrote: Oi pessoal ! 2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é diferente de zero. Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda função não tem raiz real a primeira também não tem. Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a ; f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c => f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f '' (x) =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab. Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x) > 0 => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 => 2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b > 0 => h(x) = 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b > 0. Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos apenas provar que h(x) não possui raízes reais. Se h(x) não possui raízes reais então : 36(a^2)(b^2) -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 => 12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2 -48ac -24b <0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ) Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações: Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2 -4ac < 0 => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1, logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais CQD. Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 => 2ax +b-1 =0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c = =c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a => módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é | {-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) => f ' (x) = (2ax +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) ; f ' (x) =0 => (2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0. O primeiro caso implica em: x= -b/2a O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c + 2(a^2)b). Vamos provar que delta < 0 : 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b) < 0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ). Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos só com o caso x= -b/2a => f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a) -(b^2/2a) +c) +c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c = =a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c = a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c => módulo da ordenada de máximo ou mínimo de f (x) é | {a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z. Como a segunda hipótese é verdadeira então se g(x) tem máximo definido f(x) também tem, e se g(x) tem mínimo definido f(x) também tem. Temos que se p(x) =x não tem raiz real f '(x) e g'(x) só tem uma raiz real, note que se a > 0, g(x) tem mínimo e se a < 0, g(x) tem máximo. Logo para provar a primeira hipótese, temos que considerar 2 casos : a > 0 e a < 0. Suponha que a primeira hipótese seja falsa: a > 0 => y > z e y,z > 0 => g((1-b)/2a) > f(-b/2a) => -b^2/4a -b/2a +1/4a +c > a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c => -4b^2 -8b +4 > 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 => 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4 =h(a) < 0 Considere ( 2 ) uma função do 2º grau de variável a. Temos a > 0, logo: 64(b^4)(c^2) -64(b^4)(c^2) -64(c^2)(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0 => 16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4> 0 ( 3 ). De ( 2 ) vem que: (b^2 -4ac)^2 < -(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0 . Absurdo
Re: [obm-l] Re:
O que gerou a discussao eh que trocaram p(p(x)) = x por p(p(x))=0, o que torna o enunciado falso. Morgado Pedro Antonio Santoro Salomão wrote: - Original Message -From: "Paulo Rodrigues" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Sunday, December 22, 2002 12:45 AMSubject: [obm-l] Re: Não acompanhei todas as mensagens desta discussão, mas gostaria deobservar que o problema em discussão aparece como o de número 303 -página 60 do livro "Selected Problems and Theorems in ElementaryMathematics" da Mir:303. A quadratic trinomial p(x)=ax^2+bx+c is such that the equationp(x)=x has no real roots. Prove that in this case te equation p(p(x))=xhas no real roots either. Esse problema tem uma solução simples, como já mencionou o Salvador. Comop(x)=x não tem solução real então p(x)>x ou p(x)p(p(x))>p(x)>x ou p(p(x))Isso também mostra que esse resultado vale para qualquer função contínua,não precisando ser necessariamente um polinômio.Abraço. Pedro. Abraços, Paulo___Busca Yahoo!O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internethttp://br.busca.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 18/12/2002 / Versão: 1.3.13 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
Re: [obm-l] Probabilidade
Estrategia: Algum resultado eh 5 menos ( algum resultado eh 5 e os outros sao impares) Soluçao: Algum resultado eh 5 -- prob. igual a 1 - (5/6)^3 algum resultado eh 5 e os outros sao impares -- 5 I I (I significa impar diferente de 5) prob. (1/6).(2/6).(2/6) (ha outros dois casos analogos, I5I e II5) -- 55I prob. (1/6)(1/6)(2/6) (ha outros dois casos analogos, 5I5 e I55) -- 555 prob. (1/6)(1/6)(1/6) A resposta eh 1 - (5/6)^3 - 3. (1/6).(2/6).(2/6) - 3.(1/6)(1/6)(2/6) - (1/6)(1/6)(1/6) = 1/3 Outra estrategia: Algum dado tem que dar 5. a) dois dados dao 5 e o outro da par. 3.(1/6).(1/6).(1/2) = 1/24 b) um dado da 5 e os dois outros dao par. 3.(1/6).(1/2) (1/2) = 1/8 c) um dado da 5, outro da par e outro da impar diferente de 5. 3!(1/6).(1/2). (2/6) = 1/6 A resposta eh 1/24 + 1/8 + 1/6 = 1/3 Daniel wrote: Olá a todos, é fácil, mas não saiu: Jogando-se sucessecivamente um dado de seis faces não viciado, em lances independentes, três vezes, qual probabilidade do produto dos 3 números ser múltiplo de dez? Grato Daniel
Re: [obm-l] RE: [obm-l] classifiquem a função
Tirando uma palavra do ostracismo: essas funçoes que sao quocientes de polinomios de primeiro grau ( de raizes diferentes ) tem como graficos hiperboles equilateras com uma assintota horizontal e outra vertical sao (ou eram, ha muito tempo nao vejo ninguem uar esse termo) chamadas (pelo menos pelos franceses) de HOMOGRAFICAS. Morgado Alguem ha muito tempo escreveu: Como vocês classificariam a seguinte função: f(x) = x-a / bx+a. Nos livros de 2º grau temos a função afim ou do 1ºgrau com a expressão ax+b. Temos a função quadrática com a expressão ax^2+bx+c etc. E na expressão da função acima como poderiamos classificar ? Eu acho que é do 1º grau pois temos somente a variável x com expoente unitário, mas e quanto ao gráfico?
Re: [obm-l] Variaveis aleatorias
<= significa menor que ou igual a. Pondo Y = X^2 e usando F para a funçao de distribuiçao de Y, temos: F(y) = P(Y<= y) = P(X^2 < = y) = 0 se y <= 0 F(y) = P(Y<= y) = P(X^2 < = y) = 1 se y >= 4 F(y) = P(Y<= y) = P(X^2 < = y) = P( -sqrt y < X < sqrt y) = (2/3) sqrt y, se 0 < y <= 1 F(y) = P(Y<= y) = P(X^2 < = y) = P( -sqrt y < X < sqrt y) = P(-1 < X < sqrt y) = = (1/3). (sqrt y + 1) , se 1 < y < 2 [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi pessoal, eu estava fazendo alguns exercicios sobre variaveis aleatorias e empaquei neste aqui (porque do jeito que estou fazendo está errado pois a funcao de distribuicao pode dar maior do que 1, o que está não está certo). O exercicio eh o seguinte: Seja f(x) = 1/3, -1 < x < 2 e 0 para quaisquer outros valores de X. Encontre a funçao de distribuicao da variavel aleatoria Y = X^2. Obrigado antes de tudo, Eduardo __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] probabilidade
A observaçao sobre Flamengo e Botafogo nao eh verdadeira se o Botafogo jogar com a equipe reserva. Morgado Marcos Paulo wrote: Neste caso a quantidade de resultados possíveis é bem pequena e portanto é possível lista-los. Seja A a vitória da primeira equipe e B a vitória da segunda equipe. Os resultados possíveis são: ABABA ABAA AA BAA BABAA BABAB BABB BB ABB ABABB dentre as 10 possibilidades listadas há 8 em que uma das equipes tem 2 vitórias consecutivas (80%). Tenho ainda uma dúvida quanto a este "uma equipe". Se "uma equipe" for o mesmo que "alguma equipe" então a resposta é a dada acima. Se, por outro lado, "uma equipe" for o mesmo que "uma determinada equipe" então a resposta será metade da resposta dada. Para deixar mais claro o que não entendi vou modificar o enunciado e gostaria que me respondessem se o enunciado é equivalente ao pedido nesta mensagem. "Palmeiras e Botafogo disputam um torneio de futebol em que saírá vencedor aquele que obtiver 2 vitórias consecutivas ou 3 vitórias alternadas. Se não é possível o empate (disputa de penalti), qual a probabilidade de que o Botafogo saia vitorioso do torneio com duas vitórias consecutivas?" Obs. A escolha dos times não foi aleatória .. procurei times que tivessem igualdade de condições na disputa de qualquer partida, ou seja, a vitória de qualquer um dos times contece com 50% de probabilidade. Nunca iria colocar, por exemplo, Flamengo e Botafogo visto que estes estão em categorias diferentes e portanto a vitória do Flamengo aconteceria com maior probabilidade. Não sei se minha dúvida procede mas resolvi responder apenas para tirar esta dúvida. []'s MP - Original Message - From:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 13, 2003 11:36PM Subject: [obm-l] probabilidade Duas equipes disputam entre si uma série de jogos em quenão pode ocorrer empate e as duas equipes têm as mesmas chances de vitória. Aprimeira equipe que conseguir duas vitórias seguidas ou três vitóriasalternadas vence a série de jogos. Qual a probabilidade de uma equipe vencer asérie de jogos com duas vitórias seguidas?
Re: [obm-l] polinômios
Voce estah certo; o gabarito, errado. Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Vejam a questão abaixo: (U.C. SALVADOR) O quociente da divisão do polinômio p= x^3 - 3x^2 + 3x - 1 pelo polinômio p= x - 1 é: Dúvida: Eram 5 alternativas e segunda o gabarito a resposta certa é x^2 - 3x + 3 (alternativa "e"), só que eu estou chegando somente na alternativa "d" que diz que o quociente é x^2 - 2x +1. Eu cheguei neste resultado aplicando o algoritmo de briot-ruffini, pois o divisor é do tipo x-a. Não está certo?
Re: [obm-l] figuras planas (Fuvest)
S=pr r= S/p = 6/6 = 1 cm [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Alguém poderia me ajudar nesta questão: (FUVEST) Um triângulo tem 12 cm de perímetro e 6 cm^2 de área. Quanto mede o raio da circunferência inscrita nesse triângulo?
Re: [obm-l] Sistema de equações
Para uma soma de uadrados de reais dar zero, ambos devem valer zero. Logo, 4x + 2y - 5 = 0 e 3x - y + 1 = 0. Daí, x = 3/10 e y = 19/10. x+y = 22/10 = 1/5. [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Alguém pode me ajudar nesta questão: Os números reais x e y para os quais (4x + 2y - 5)^2 + (3x - y + 1)^2 =0 são tais que x + y vale: Resp: 11/5 Obs: Eu tentei produtos notáveis, mas não deu certo pois são três parcelas nos parênteses, depois eu tentei multiplicar os parenteses mas não deu para isolar o x e o y em um membro para eu conseguir o resultado direto ao invés de descobrir o valor de x e depois de y.
Re: [obm-l] Livro Geometria
Agradecemos as referencias elogiosas do Paulo. Corrijo as declaraçoes do Wagner: 1) o Geometria 1 eh um bom livro. Claro que, por tratar de conceitos mais basicos e se dirigir basicamente a um leitor que seja um bom aluno de SETIMA SERIE, sempre os autores (e leitores mais adiantados) acharao que se poderia dar um tratamento "axiomaticamente" mais rigoroso; mas o objetivo era fazer um livro de Geometria para vestibulares dificeis e concursos de admissao a escolas militares, extremamente procuradas na epoca; ainda hoje eh um bom livro para IME, ITA, Colegio Naval, etc. 2) Geometria 1, Geometria 2 e Algebra 1 podem ser pedidos a FC&Z Livros Rua Carneiro Ribeiro 22 loja A 21050-570 Maria da GraçaRio de JaneiroRJ Telefax (21) 2581-2873 Morgado Paulo Santa Rita wrote: > Ola Leonardo e demais > colegas desta lista ... OBM-L, > > Foi esse livro que despertou meu interesse pela Matematica. > > Voce teve a mesma impressao que eu tive, quando o li pela primeira > vez, apos adquiri-lo em um sebo ( sebo = livraria de livros usados ). > Muitas vezes me perguntei o que o tornava tao interessante e diferente > dos outros ... > > Me parece que e porque os autores ( Eduardo Wagner e Augusto Morgado ) > nao perdem tempo provando coisas simples e evidentes, partindo > imediatamente a exposicao de fatoss espetaculares e inusitadas, que > dificilmente imaginariamos que ocorrem. > > Quando um matematico explica um fenomeno inusitado ( por exemplo : o > circulo de nove pontos ) ele aguca nossa inteligencia e nos vemos > claramente que a Matemaica nao se resume a provas de fatos evidentes > e, portanto, desmotivadoras ( por exemplo : prove que 1+1=2 ). > > Um Matematico adulto pode apreciar o formalismo, mas uma mente nova > geralmente nao aprecia estas coisas ... Prove a uma crianca algo que > ela duvida e nao suspeia e voce vai conquistar o interesse dela ... me > parece que e esse simples detalhe que diferencia as grandes obras da > mesmice e mediocridade que campeia na imensa maioria das obras > didaticas da matematica ... > > As Olimpiadas de Matematica, que todos nos gostamos e admiramos e > pelas quais fazemos verdadeiros sacrificios e uma continuacao de tudo > isso ... Por que elas fazem sucesso ? Simplesmente porque as pessoas > inteligentes odeiam coisas rotineiras e burocraticas, que sao os > aspectos tipicos do ensino comum ... > > Neste sentido, o Livro a que voce se refere, o Geometria II dos Prof > Wagner e Morgado, se nao foi o marco inicial e corajoso de uma > revolucao pedagogica, foi, ao menos, o alvorecer de tudo isso. E nos > somos felizardos por termos em nossa lista estes dois Prof's que > iniciaram esta revolucao : Wagner e Morgado. > > Seria excelente que estes Profs dessem continuidade ao que comecaram > com tanto brilho e eficiencia ! > > Para que esta mensagem nao fique totalmente fora de nossa tradicao, > aqui vai uma joia do Geometria II : > > 1)Sejam "a", "b", "c" e "d" os lados de um quadrilatero ciclico. > Mostre qua a area S desse quadrilatero pode ser expressa como : > S=Raiz_Quadrada((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)) onde p e o semi-perimetro. > > 2)Se o quadrilatero e incritivel e circunscritivel, entao : > S=Raiz_Quadrada(abcd) > > PROBLEMA : Se ABC e um triangulo e C o circulo inscrito nele, sejam > C1, C2 e C3 as tres partes da area do triangulo que nao pertencem ao > circulo. Calcule cada uma, separadamente, em funcao dos lados do > triangulo. > > Um Abraco a Todos > Paulo Santa Rita > 6,,170103 > > > > >> From: "Leonardo Borges Avelino" <[EMAIL PROTECTED]> >> To: <[EMAIL PROTECTED]> >> Subject: [obm-l] Livro Geometria >> Date: Thu, Jan 16, 2003, 10:07 PM >> >> >> Caros amigos: >> >> Estava na casa de meu amigo e ele me mostrou um livro >> >impressionante, que >> se chama: Geometria II dos prof.s Eduardo Wagner, Augusto Morgado e >> >Miguel. >> Pergunta: >> >> Onde consigo este livro? e (desculpem-me se a pergunta for idiota) se >> >existe o Geometria I? >> >> >> Valeu!! >> Leonardo Borges > > > > _ > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida???
Por exemplo, se n=5, o conjunto eh {1, 2, ...,10}. Considere o subconjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se x=4, um elemento do subconjunto que não eh multiplo de x eh o 6. Logo, de acordo com a prova dada 4 e 6 sao primos entre si! Morgado Wagner wrote: Oi para todos ! Sim. Aqui vai a prova : Suponha que m elementos do subconjunto sejam múltiplos de x. Para x > 1, temos m < n + 1 . Logo existe pelo menos um elemento do subconjunto que não é múltiplo de x . Seja y esse elemento . Como x =< 2n , então pelo menos x e y são primos entre si. André T. - Original Message - From: Danilo Artigas To: obm-l Sent: Sunday, January 19, 2003 2:24AM Subject: [obm-l] Dúvida??? Por que podemos garantir que em qualquer subconjunto com n + 1 elementos do conjunto {1, 2, 3, ..., 2n} existem pelo menos dois elementos que são primos entre si?
Re: [obm-l] probabilidade
Ha C(n, 3) = n(n-1)(n-2)/6 modos de retirar 3 etiquetas e n-2 modos de retirar 3 etiquetas com numeros consecutivos [123, 234,..., (n-2)(n-1)n]. A resposta eh o quociente, 6/[n(n-1)] Morgado amurpe wrote: Por favor me ajudem nessa problema. Numa urna são depositadas n etiquetas numeradas de 1 a n .Tres etiquetas são sorteadas ( sem reposição).Qual a probabilidade de que os numeros sorteados sejam consecutivos? obrigado. Amurpe __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Retorno da questão da divisão euclidiana (FGV-SP)
O sistema d - 8D = 24 d + D = 320 dah, subtraindo as equaçoes, 9D=296 . Ou seja, D nao dah inteiro. O problema nao tem soluçao! Provavel erro: Onde estah soma do dividendo, do divisor e do resto deveria ser soma do quociente, do dividendo, do divisor e do resto. Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Olá pessoal, Estou com dúvidas nesta questão da FVG: (F.G.V-SP)Numa divisão, o quociente é 8 e o resto, 24. Sabe-se que a soma do dividendo, do divisor e do resto é 344. Então, a diferença dividendo menos divisor é: Resp: 248 Foi dito na lista que eu poderia montar o sistema: d = 8D + 24 D + d + 24 = 344 d - 8D = 24 d + D = 320 Eu concordo, o sistema está correto o problema é que quando eu resolvi este sistema, conheci os valores de d e D e então eu fiz d-D que o enunciado pede e cheguei a uma resposta de 320 e a resposta que o gabarito dá como certa é 248.
Re: [obm-l] Probabilidade (Urna)
O primeiro ganha se: i) tira azul p=1/3 ii) tira vermelha, seu adversario tira vermelha, tira azul p = (2/3)(2/3)(1/3) iii) A p = (2/3)(2/3)(2/3)(2/3)(1/3) .. Basta somar. Eh uma pg de razao 4/9 e primeiro termo 1/3. Gabriel Pérgola wrote: Boa noite lista, Gostaria da explicação da resolução deste exercício: Um jogo para duas pessoas consiste em uma urna com 2 bolas vermelhas e 1 azul. Ganha o jogo quem retirar da urna a bola azul. Caso um jogador retire uma bola vermelha, essa volta para a urna, e o outro jogador faz sua retirada. Os jogadores vão alternando suas retiradas até que saia a bola azul. Todas as bolas têm a mesma probabilidade de serem retiradas. A probabilidade do primeiro a jogar ganhar o jogo, isto é, em uma de suas retiradas pegar a bola azul, vale? A resposta é 3/5. Mas não consegui entender o porquê. Gabriel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] duvida
1) Seja p(n) a probabilidade de sheila ganhar a n-esima partida. Para que isso aconteça, ou: i) sheila ganha a n-esima partida e ganha a partida anterior ou ii) sheila ganha a n-esima partida e perde a partida anterior A prob. do primeiro caso vale p(n-1).0,6 e a prob. do segundo caso vale [1-p(n-1)].0,4 Entao p(n) = p(n-1).0,6 + [1-p(n-1)].0,4 p(n) = 0,2 p(n-1) + 0,4 Alem disso p(1) = 0,4 A resposta eh p(n) = 0,5 - [(0,2^n)/2] amurpe wrote: Oi pessoal , meu nome é antonio murpe sou novo na lista. tenho 16 anos e gosto de estudar matemática. estou tentando resolver alguns problemas do livro matematica do ensino médio volume : 2 , da coleção do professor de matematica , os problemas são muito interessantes , mas muito dificeis , gostaria que voces me dessem uma ajuda. 1)sheila e helena disputam uma serie de partidas.cada partida é iniciada por quem venceu a partida anterior.em cada partida , quem a iniciou tem a probabilidade de 0,6 de ganhá-la e probabilidade 0,4 de perdê-la . Se Helena iniciou a primeira partida , qual é a probabilidade de Sheila ganhar a n-ésima partida? 2) um circulo foi dividido em n( maior ou igual a 2) setores .de quantos modos podemos colori-los , cada setor com uma cor , se dispomos de k ( maior que 2) cores diferentes e setores adjacentes não devem ter a mesma cor?. Os problemas estão ligados as sequencias recorrentes. desde já , obrigado. abraços, Amurpe __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Polinômios
Uma pergunta que todos estao querendo fazer: que droga de gabarito eh esse que eh tao cheio de erros? Quanto ao problema, a soluçao eh: 2m+3n-p=0 m+2n-5p=0 Da primeira equaçao, p=2m+3n. Substituindo na segunda, m+2n-10m-15n=0, ou seja, -9m = 13n. m+n+p = -13n/9+n-26n/9 +3n = -n/3. Como n eh arbitrario, a resposta do gabarito (e a sua tambem) esta errada. Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Alguém sabe resolver esta questão: (PUC-MG) Se o polinômio p(x)= (2m + 3n-p)x^2 + (m + 2n - 5p)x é identicamente nulo, a soma m+n+p é igual a: Obs: Meu gabarito diz que a resposta é -3, mas eu estou chegando a resposta de -6 que é uma das alternativas.
Re: [obm-l] Dúvida: Qual a proposta da lista? Ensino Médio ou Superior?
Embora eu nao seja o dono da lista, creio que quase todos tem o maior prazer em ajudar, haja vista que nenhum problema que voce enviou para a lista ficou sem resposta. O que eu acho, e alguns outros acham tambem, eh que talvez a quantidade de erros do seu fasciculo esteja mais atrapalhando do que ajudando. Perguntei qual era o fasciculo para nao permitir que minha filha eventualmente o leia. Vou tomar a liberdade de propor uma questao ah lista, em especial aos que fizeram vestibular recentemente. Que material voces sugerem ao Rafael em substituiçao aos que ele estah usando? Eu pensaria nos livros do Iezzi ou do Manoel Paiva. Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Morgado e a todos amigos da lista, Foi até bom o Sr. me perguntar isso...eu estou estudando por uma série de fascículos contendo todas as disciplinas do ensino médio, inclusive matemática. Estes fascículos são da nova cultural e foram publicados em bancas de jornais em 1997 e 1998 mais ou menos. Eu gostaria de aproveitar o ensejo e dizer que quando eu vi este grupo de discussões no site da OBM eu achei fantástico a proposta do Nicolau Saldanha. Proposta esta que está direcionada à discussão de conteúdos do ensino médio e superior em matemática, mas acho que existem pessoas que não estão entendendo isto direito. Eu acabei de terminar meu curso de ciências biológicas e quero obter o máximo de conhecimentos em matemática pelo menos da matemática do ensino médio, por questões que só cabe a mim. Posso afirmar que 95% das questões que coloco aqui são deste meu fascículo, que salvo os problemas do gabarito, é ótimo. Portanto, um dos motivos é este, o outro motivo, é claro, se refere a minha dúvida na resolução dos exercícios. Tenho percebido que existem pessoas maravilhosas aqui na lista que auxiliam outros na resolução de problemas e tem me auxiliado muito como o Sr. e tantos outros, mas existem pessoas que mesmo não querendo ajudar atrapalham me enviando e-mais "off-lista" dizendo que as minhas questão são muito fáceis. Como já foi supra citado, 95% das questões que coloco aqui na lista são do meu fascículo e destas 98% são de vestibulares. Daí, eu gostaria que vcs pensassem comigo...se o Nicolau criou está lista para discussões de nível de ENSINO MÉDIO e/ou superior e uma questão de vestibular é mais difícil que um simples exercício de fixação que encontramos em livros, pois os vestibulares devem manter um certo nível nas questões para que a relação candidatos e aprovados se mantenha sempre estável, e sendo 98% das questões que envio serem de vestibular vcs hão de concordar que quem acha que as minhas questoes são fáceis está na verdade comparando um conhecimento de ensino superior com matematica de ensino médio. Deve acontecer duas três situações: Ou essas pessoas saiam desta lista e vão participar de uma que envolva somente nivel superior, pois elas declaram que não gostam de responder questões de vestibular (como as que envio)...nós não aprendemos que os incomodados que se mudam ? Ainda bem que a maioria aqui, formado em matemática, não acha ruim questões de nível de Ensino Médio. Ou o Nicolau muda a proposta da lista e coloca somente discussões de nível superior (que eu acho totalmente incabível, pois nas olimpiadas de matematica há outros niveis diferentes do nível superior e o nível de Ensino médio está incluso) Ou estas pessoas ao invés de ficarem mandando questão para eu parar de mandar questões parassem de pi(censurado) e deixassem aquelas pessoas que estão sendo compreensivas e a quem eu sou totalmente grato auxiliarem não só a mim, mas também a todos que, por ventura, tenha as mesmas dúvidas que as minhas. Resumo: NÃO SÃO AS QUESTÕES QUE SÃO FÁCEIS, MAS SIM O NÍVEL E CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS DE QUEM ESTÁ RECLAMANDO QUE SÃO ALTOS! NÃO ACHAM? POIS AS MINHAS QUESTÕES SÃO COMPOSTAS DE 98% DE VESTIBULARES, INCLUSIVE O ITA,FUVEST ETC... Está aí o meu desabafo para aqueles que estão me enviando e-mails reclamando da facilidade das questões, por exemplo, do ITA. Que Ironia!! AHAHAHAHAH :-) Obs: É claro que para aqueles que já estão a um bom tempo neste mundo da matemática as questões destes vestibulares, inclusivo, o ITA são fáceis (somente estas exceções)
Re: [obm-l] análise combinatória
Ha dois tipos de numeros: os que terminam em 0 e os que terminam em 5. i) 1 modo de selecionar o ultimo digito (0), 4 de selecionar o primeiro (5, 6, 7 ou 8), 8 de selecionar o segundo (deve ser diferente do primeiro e do ultimo), 7 o terceiro, 6 o quarto. Ha 1x4x8x7x6 = 1 344 numeros terminados em 0. ii) 1 modo de selecionar o ultimo digito (5), 3 de selecionar o primeiro (6, 7 ou 8), 8 de selecionar o segundo (deve ser diferente do primeiro e do ultimo), 7 o terceiro, 6 o quarto. Ha 1x3x8x7x6 = 1 008 numeros terminados em 5. A resposta eh 1 344 + 1 008 = 2 352. [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, Como resolver está questão: O total de números formados com algarismos distintos, maiores que 5 e menores que 9 e que são divisíveis por 5 é : Gabarito: 2352
Re: [obm-l] análise real.
Um comentario sobre notaçao: O conjunto dos reais sempre foi representado por R (podem pegar qualquer livro americano ou qualquer frances antigo para conferir). Quando começou a tal da Matematica Moderna, franceses e belgas (mais precisamente, valoes) começaram a usar um R esquisito (esquisito eh bondade minha) para representar o conjunto dos reais. Vamos parar com isso e, principalmente nesta lista, vamos parar de tentar reproduzir o R esquisito escrevendo IR (fica parecendo que eh o conjunto dos irracionais!) Alem do mais, essa esquisitice so aparece em livros franceses e didaticos paulistas, que copiaram dos franceses. Vamos usar R para os reais. Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote: seja f:IR->IR contínua e lim{f(x)/x,x->0}=L < oo. prove que f(0)=0 Obrigado. "Mathematicus nascitur, non fit" Matemáticos não são feitos, eles nascem --- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] combinatória
O primeiro numero do segredo pode ser escolhido de 100 modos, o segundo tambem de 100 modos... A resposta eh 100^4 = 10^8. [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Vejam a questão:] (UFCE) Um botão de um cofre tem os números 00, 01, 02, 03...,99. O segredo dele é uma sequência de 4 números do botão. Assim, 15-11-18-97 ou 11-15-18-97 ou 00-00-43-62 são exemplos de segredos. O número total dos possíveis segredos é igual a : Resp: 10^8 Obs: Eu até percebi que pode ser resolvido utilizando o principio fundamental da contagem, mas ainda não tenho a "manha" de utilizá-lo.
Re: [obm-l] funções
f(6) = f(5) = 3. [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Vejam a questão: Se f :N--->N é tal que: f(n)=n/2, se n for par ou f(n)=(n+1)/2, se n for ímpar, Como provar que existem números distintos p e q tais que f(p)=f(q) ?
Re: [obm-l] duvida
Ha um problema nessa soluçao. Os setores 1 e n-1 nao tem necessariamente cores diferentes. Na verdade, chamando a resposta de P(n), a melhor maneira de determinar P(n) eh permitir que os setores 1 e n possam ter cores iguais, o que daria k * (k-1)^(n-1) e descontar o que foi contado indevidamente, ou seja, o numero de maneiras de colorir pondo cores iguais nos setores 1 e n (mas aih tudo se passa como se eles formassem um unico setor), P(n-1). A recorrencia que permite resolver o problema eh P(n) = k * (k-1)^(n-1) - P(n-1). Desculpem nao terminar. Estah chegando o tecnico para fazer um upgrade no computador. amurpe wrote: Cluadio , valeu .entendi a sua solução foi bem detalhada e me facilitou muito. Obrigado, um abraço. Amurpe. Acho que o segundo problema sai assim: Numere os setores 1, 2, ..., n de forma que k seja adja cente a k+1 (1 <= k <= n-1) e n seja adjacente a 1. Inicialmente, temos k escolhas para a cor do setor 1. Após colorido 1, temos k- 1 escolhas para a cor do setor 2, que tem de ser diferente da do setor 1. Após coloridos 1 e 2, temos k- 1 escolhas para a cor do setor 3, que tem de ser diferente da do setor 2. .. Após coloridos 1, 2, ..., n-2, temos k- 1 escolhas para a cor do setor n-1, que tem de ser diferente da do setor n-2. Finalmente, após coloridos 1, ..., n-1, temos apenas k- 2 escolhas para a cor do setor n, uma vez que esta cor tem de ser diferente d a cor dos setores n-1 e 1. Número de maneiras = k * (k-1)^(n-2) * (k-2) Uma variante interessante é usar setores iguais e consi derar indistinguíveis duas configurações de cores que podem ser obtidas uma d a outra por meio de uma rotação (assim, por exemplo, com 5 setores e 3 core s, as configurações ABACB, BACBA, ACBAB, CBABA e BABAC seriam contadas como uma só). Um abraço, Claudio. - Original Message - From: "amurpe" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, January 13, 2003 3:25 PM Subject: [obm-l] duvida Oi pessoal , meu nome é antonio murpe sou novo na lista . tenho 16 anos e gosto de estudar matemática. estou tentando resolver alguns problemas do livro matematica do ensino médio volume : 2 , da coleção do professor de matematica , os problemas são muito interessantes , mas muito dificeis , gostaria que voces me dessem uma ajuda. 1)sheila e helena disputam uma serie de partidas.cada partida é iniciada por quem venceu a partida anterior.e m cada partida , quem a iniciou tem a probabilidade de 0, 6 de ganhá-la e probabilidade 0,4 de perdê-la . Se Helena iniciou a primeira partida , qual é a probabilidade de Sheila ganhar a n-ésima partida? 2) um circulo foi dividido em n( maior ou igual a 2) setores .de quantos modos podemos colori-los , cada setor com uma cor , se dispomos de k ( maior que 2) cores diferentes e setores adjacentes não devem ter a mesma cor?. Os problemas estão ligados as sequencias recorrentes. desde já , obrigado. abraços, Amurpe ___ ___ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> === == === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> === == __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] probabilidade
3) A prob. de sair uma criança certa eh 1; depois disso, a prob. de sair uma bandeira certa (ouseja, que nao seja a do paihs da criança eh 4/5. A resposta eh 1 x (4/5) = 4/5. amurpe wrote: Pessoal , tentei resolver as questões abaixo de vestibulares antigos e senti muita dúvida. Por favor me deem uma ajuda. Obrigado e um abraço. Amurpe. 1)Um adivinho diz ser capaz de ler o pensamento de outra pessoa.é feita a seguinte experiencia: seis cartas( numeradas de 1 a 6) são dadadas á pessoa, que concentra sua atenção em duas delas .O adivinho terá que descobrir essas duas cartas.se o adivinho estiver apenas "chutando" , qual a probabilidade dele acertar as duas cartas , nas quais a outra pessoa concentra a atenção? 2)numa gaveta há dez pares de distintos de meias , mas ambos pes de um dos pares estão rasgados. Tirando-se da gaveta um pé de meia por vez , ao acaso , a probabilidade de tirarmos dois pés de meia do mesmo par , não rasgados , fazendo 2 retiradas é:... ( resp: 5/20) 3) em uma sala existem cinco crianças: uma brasileira , uma italiana , uma japonesa , uma inglesa e uma francesa.Em uma urna existem 5 bandeiras correspondentes aos países de origem dessas crianças : Brasil,itália , japão , Inglaterra e França. uma criança e uma bandeira são selecionadas ao acaso , respectivamente, da sala e da urna.A probabilidade de que a criança não receba a sua bandeira vale:...( resp; 20/25) 4) uma urna contem bolas numeradas de 1 a 9 .sorteiam- se , com reposição , duas bolas.A probabilidade de que o numero da segunda bola seja estritamente maior que a primeira é : ( resp: 36/81). __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] probabilidade
2) a prob. de o primeiro peh ser certo eh 18/20 = 9/10. Sepois disso, a prob. de o segundo peh ser certo eh 1/19. A resposta eh (9/10) x (1/19) = 9/190. amurpe wrote: Pessoal , tentei resolver as questões abaixo de vestibulares antigos e senti muita dúvida. Por favor me deem uma ajuda. Obrigado e um abraço. Amurpe. 1)Um adivinho diz ser capaz de ler o pensamento de outra pessoa.é feita a seguinte experiencia: seis cartas( numeradas de 1 a 6) são dadadas á pessoa, que concentra sua atenção em duas delas .O adivinho terá que descobrir essas duas cartas.se o adivinho estiver apenas "chutando" , qual a probabilidade dele acertar as duas cartas , nas quais a outra pessoa concentra a atenção? 2)numa gaveta há dez pares de distintos de meias , mas ambos pes de um dos pares estão rasgados. Tirando-se da gaveta um pé de meia por vez , ao acaso , a probabilidade de tirarmos dois pés de meia do mesmo par , não rasgados , fazendo 2 retiradas é:... ( resp: 5/20) 3) em uma sala existem cinco crianças: uma brasileira , uma italiana , uma japonesa , uma inglesa e uma francesa.Em uma urna existem 5 bandeiras correspondentes aos países de origem dessas crianças : Brasil,itália , japão , Inglaterra e França. uma criança e uma bandeira são selecionadas ao acaso , respectivamente, da sala e da urna.A probabilidade de que a criança não receba a sua bandeira vale:...( resp; 20/25) 4) uma urna contem bolas numeradas de 1 a 9 .sorteiam- se , com reposição , duas bolas.A probabilidade de que o numero da segunda bola seja estritamente maior que a primeira é : ( resp: 36/81). __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] probabilidade
4) A prob. de serem iguais eh 1 x 1/9 (o primeiro pode ser qualquer e o segundo deve ser igual ao primeiro). A prob. de serem diferentes eh 1 - (1/9) = 8/9. Logo, a prob. de o segundo ser maior que o primeiro eh 4/9 e a de o segundo ser menor que o primeiro eh 4/9. amurpe wrote: Pessoal , tentei resolver as questões abaixo de vestibulares antigos e senti muita dúvida. Por favor me deem uma ajuda. Obrigado e um abraço. Amurpe. 1)Um adivinho diz ser capaz de ler o pensamento de outra pessoa.é feita a seguinte experiencia: seis cartas( numeradas de 1 a 6) são dadadas á pessoa, que concentra sua atenção em duas delas .O adivinho terá que descobrir essas duas cartas.se o adivinho estiver apenas "chutando" , qual a probabilidade dele acertar as duas cartas , nas quais a outra pessoa concentra a atenção? 2)numa gaveta há dez pares de distintos de meias , mas ambos pes de um dos pares estão rasgados. Tirando-se da gaveta um pé de meia por vez , ao acaso , a probabilidade de tirarmos dois pés de meia do mesmo par , não rasgados , fazendo 2 retiradas é:... ( resp: 5/20) 3) em uma sala existem cinco crianças: uma brasileira , uma italiana , uma japonesa , uma inglesa e uma francesa.Em uma urna existem 5 bandeiras correspondentes aos países de origem dessas crianças : Brasil,itália , japão , Inglaterra e França. uma criança e uma bandeira são selecionadas ao acaso , respectivamente, da sala e da urna.A probabilidade de que a criança não receba a sua bandeira vale:...( resp; 20/25) 4) uma urna contem bolas numeradas de 1 a 9 .sorteiam- se , com reposição , duas bolas.A probabilidade de que o numero da segunda bola seja estritamente maior que a primeira é : ( resp: 36/81). __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] probabilidade
1) O adivinho tem C(6,2)=15 chutes possiveis e apenas um correto. A resposta eh 1/15. amurpe wrote: Pessoal , tentei resolver as questões abaixo de vestibulares antigos e senti muita dúvida. Por favor me deem uma ajuda. Obrigado e um abraço. Amurpe. 1)Um adivinho diz ser capaz de ler o pensamento de outra pessoa.é feita a seguinte experiencia: seis cartas( numeradas de 1 a 6) são dadadas á pessoa, que concentra sua atenção em duas delas .O adivinho terá que descobrir essas duas cartas.se o adivinho estiver apenas "chutando" , qual a probabilidade dele acertar as duas cartas , nas quais a outra pessoa concentra a atenção? 2)numa gaveta há dez pares de distintos de meias , mas ambos pes de um dos pares estão rasgados. Tirando-se da gaveta um pé de meia por vez , ao acaso , a probabilidade de tirarmos dois pés de meia do mesmo par , não rasgados , fazendo 2 retiradas é:... ( resp: 5/20) 3) em uma sala existem cinco crianças: uma brasileira , uma italiana , uma japonesa , uma inglesa e uma francesa.Em uma urna existem 5 bandeiras correspondentes aos países de origem dessas crianças : Brasil,itália , japão , Inglaterra e França. uma criança e uma bandeira são selecionadas ao acaso , respectivamente, da sala e da urna.A probabilidade de que a criança não receba a sua bandeira vale:...( resp; 20/25) 4) uma urna contem bolas numeradas de 1 a 9 .sorteiam- se , com reposição , duas bolas.A probabilidade de que o numero da segunda bola seja estritamente maior que a primeira é : ( resp: 36/81). __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] combinatória
Rafael: esse problema caiu na UERJ, a resposta eh 48. Mas a tabela nao era 3 por3 e sim 2 por 3 (2 linhas e 3 colunas). Rafael wrote: Olá Pessoal! Resolvendo uma questão que recebi encontrei uma resposta muito diferente das alternativas. Disseram-me que a resposta era alternativa d) 48. Porém ao resolver o problema eu encontrei como resposta 3348, maneiras!! Se alguém puder tentar fazer pra ver se eu pensei alguma coisa errada agradeço. Vejam a questão: 26 - De quantos modos se pode colocar na tabela abaixo duas letras A, duas letras B e duas letras C, uma em cada casa, de modo que não haja duas letras iguais na mesma coluna? _ _ _ |_|_|_| |_|_|_| |_|_|_| a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 64 Abraços, Rafael. __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. Sign up now. http://mailplus.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Sequências
[(n^2+n)/2]^2 - [(n^2-n)/2]^2 = n^3 É fácil ver que como n e nê têm a mesma paridade, os números entre colchetes são inteiros. Wagner wrote: Provar que todo cubo de um número inteiro é a diferença de dois quadrados de números inteiros André T.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Um tabuleiro de xadrez diferente! Combinatória
Uma observação: É impressionante o prazer que os autores dessas questões de vestibular sentem em enrolar desnecessariamente os enunciados.Custava alguma coisa ter dito no enunciado 4 peças diferentes? É claro que a solução do Cláudio está correta e se refere a 4 peças diferentes. Proponho então um outro problema: e se as peças fossem iguais? Morgado Cláudio (Prática) wrote: Uma forma de resolver o problema é através do preenchimento de uma linha de cada vez: Colocação da primeira peça na primeira linha: - Escolha da primeira peça: 4 (existem inicialmente 4 peças disponíveis) - Escolha da coluna: 4 (todas as colunas estão disponíveis) Colocação da segunda peça na segunda linha: - Escolha da segunda peça: 3 (uma das peças já foi utilizada) - Escolha da coluna: 3 (a coluna da primeira peça deve ser evitada) Colocação da terceira peça na terceira linha: - Escolha da terceira peça: 2 - Escolha da coluna: 2 Colocação da última peça na última linha: - Escolha da última peça: 1 - Escolha da coluna: 1 Total = 4*4*3*3*2*2*1*1 = 576. - Original Message - From:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 27, 2003 3:25AM Subject: [obm-l] Um tabuleiro de xadrezdiferente! Combinatória Olá pessoal, Como resolver esta questão: (FGV-SP) Um tabuleiro especial dexadrez possui 16 casas, dispostas em 4 linhas e 4 colunas. Um jogador desejacolocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna,seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as peças poderão sercolocadas? Resp:576 Obs: Eu pensei no seguinte: A únicamaneira de termos em cada linha e cada coluna apenas uma peça é se estas peçasforem colocadas na diagonal. E como um quadrado possui 2 diagonais a respostaseria o total de maneiras de colocar as peças em uma diagoanl multiplicado por2. Como eu disponho de 4 peças para colocar em 4 casas (cada diagonal possui 4casas) eu tenho a seguinte situação: Em qualquer casa eu tenho 4 escolhas(4 peças) então temos 4^4 =256 agora multiplicando por 2, pois a outradiagonal também poderia ser temos 256x2=512
Re: [obm-l] análise de sinais (funções)
Voce somou fraçoes e se esqueceu de escrever o denominador da soma. [EMAIL PROTECTED] wrote: (FUVEST) Resolva 2x - 3 + 5*[(1/x) + 1] <=1 resp:{x e R| x<0} Obs: Eu tentei resolver mas não cheguei neste resultado, vejam minha resolução e me digam onde errei: 2x-3+(5/x)+5<=1 2x-3+(5/x)+5-1<=0 2x^2 -3x + 5 + 4x <=0 (Nesta etapa eu multipliquei por x) 2x^2 + x + 5<=0 A partir disso percebe-se que delta é igual -39, portanto não há raízes reais e a resposta não pode ser :{x e R| x<0}.
Re: [obm-l] trigonometria (transformação de arcos)
Voce esta certo. Seu gabarito, como sempre, errado. [EMAIL PROTECTED] wrote: (UECE) Se P= [(sen 40º)/(sen 20º)] - [(cos 40º)/(cos 20º)], então p^2 - 1 é igual: Resp: cotg^2 (20º) Obs: Será que o resultado não é tg^2 (20º)? ICQ: 337140512
Re: [obm-l] geometria espacial
No gomo ha dois "lados" que nao pertencem a esfera. [EMAIL PROTECTED] wrote: Oá pessoal, Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta de 12 gomos exatamente "iguais". A área da superfície total de cada gomo é dada por: resp: (4*pi*R^2)/3 Obs: A resposta não seria (pi*R^2)/3 ? Pois se há 12 gomos então a área superficial de casa gomo é igual a (área superficial total da esfera)/(12). Será que o gabarito está errado novamente?
Re: [obm-l] Livro Geometria
Um quadrilatero inscritivel. Um quadrilatero tal que existe uma circunferencia que contem os 4 vertices. Frederico Reis Marques de Brito wrote: Sobre os livros Geometria I e II e Álgebra I , tentei em vão falar no fone indicado pelo Morgado ( até rimou... ). Mas o telefone está programado para não receber ligações. Gostaria de saber os tópicos abordados nesses livros, os preços e se há alggum site ou algum representante da editora em Belo Horizonte. Aproveito para esclarecer uma dúvida conceitual. O que vem a ser um quadrilátero cíclico? Desde já deixo aqui meus agradecimentos. Frederico. From: "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria Date: Fri, 17 Jan 2003 15:05:29 -0200 Agradecemos as referencias elogiosas do Paulo. Corrijo as declaraçoes do Wagner: 1) o Geometria 1 eh um bom livro. Claro que, por tratar de conceitos mais basicos e se dirigir basicamente a um leitor que seja um bom aluno de SETIMA SERIE, sempre os autores (e leitores mais adiantados) acharao que se poderia dar um tratamento "axiomaticamente" mais rigoroso; mas o objetivo era fazer um livro de Geometria para vestibulares dificeis e concursos de admissao a escolas militares, extremamente procuradas na epoca; ainda hoje eh um bom livro para IME, ITA, Colegio Naval, etc. 2) Geometria 1, Geometria 2 e Algebra 1 podem ser pedidos a FC&Z Livros Rua Carneiro Ribeiro 22 loja A 21050-570 Maria da GraçaRio de JaneiroRJ Telefax (21) 2581-2873 Morgado Paulo Santa Rita wrote: > Ola Leonardo e demais > colegas desta lista ... OBM-L, > > Foi esse livro que despertou meu interesse pela Matematica. > > Voce teve a mesma impressao que eu tive, quando o li pela primeira > vez, apos adquiri-lo em um sebo ( sebo = livraria de livros usados ). > Muitas vezes me perguntei o que o tornava tao interessante e diferente > dos outros ... > > Me parece que e porque os autores ( Eduardo Wagner e Augusto Morgado ) > nao perdem tempo provando coisas simples e evidentes, partindo > imediatamente a exposicao de fatoss espetaculares e inusitadas, que > dificilmente imaginariamos que ocorrem. > > Quando um matematico explica um fenomeno inusitado ( por exemplo : o > circulo de nove pontos ) ele aguca nossa inteligencia e nos vemos > claramente que a Matemaica nao se resume a provas de fatos evidentes > e, portanto, desmotivadoras ( por exemplo : prove que 1+1=2 ). > > Um Matematico adulto pode apreciar o formalismo, mas uma mente nova > geralmente nao aprecia estas coisas ... Prove a uma crianca algo que > ela duvida e nao suspeia e voce vai conquistar o interesse dela ... me > parece que e esse simples detalhe que diferencia as grandes obras da > mesmice e mediocridade que campeia na imensa maioria das obras > didaticas da matematica ... > > As Olimpiadas de Matematica, que todos nos gostamos e admiramos e > pelas quais fazemos verdadeiros sacrificios e uma continuacao de tudo > isso ... Por que elas fazem sucesso ? Simplesmente porque as pessoas > inteligentes odeiam coisas rotineiras e burocraticas, que sao os > aspectos tipicos do ensino comum ... > > Neste sentido, o Livro a que voce se refere, o Geometria II dos Prof > Wagner e Morgado, se nao foi o marco inicial e corajoso de uma > revolucao pedagogica, foi, ao menos, o alvorecer de tudo isso. E nos > somos felizardos por termos em nossa lista estes dois Prof's que > iniciaram esta revolucao : Wagner e Morgado. > > Seria excelente que estes Profs dessem continuidade ao que comecaram > com tanto brilho e eficiencia ! > > Para que esta mensagem nao fique totalmente fora de nossa tradicao, > aqui vai uma joia do Geometria II : > > 1)Sejam "a", "b", "c" e "d" os lados de um quadrilatero ciclico. > Mostre qua a area S desse quadrilatero pode ser expressa como : > S=Raiz_Quadrada((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)) onde p e o semi-perimetro. > > 2)Se o quadrilatero e incritivel e circunscritivel, entao : > S=Raiz_Quadrada(abcd) > > PROBLEMA : Se ABC e um triangulo e C o circulo inscrito nele, sejam > C1, C2 e C3 as tres partes da area do triangulo que nao pertencem ao > circulo. Calcule cada uma, separadamente, em funcao dos lados do > triangulo. > > Um Abraco a Todos > Paulo Santa Rita > 6,,170103 > > > > >> From: "Leonardo Borges Avelino" <[EMAIL PROTECTED]> >> To: <[EMAIL PROTECTED]> >> Subject: [obm-l] Livro Geometria >> Date: Thu, Jan 16, 2003, 10:07 PM >> >> >> Caros amigos: >> >> Estava na casa de meu amigo e ele me mostrou um livro >> >impressionante, que >> se chama: Geometria II dos prof.s Eduardo Wagner, Augusto Morgado e >> >Miguel. >> Pergunt
Re: [obm-l] Livro Geometria
Houve um acidente com um caminhao que destruiu parte da rede telefonica (ah!, a Telemar!) da rua da livraria. Escreva uma carta ou aguarde uns dias. Morgado Frederico Reis Marques de Brito wrote: Sobre os livros Geometria I e II e Álgebra I , tentei em vão falar no fone indicado pelo Morgado ( até rimou... ). Mas o telefone está programado para não receber ligações. Gostaria de saber os tópicos abordados nesses livros, os preços e se há alggum site ou algum representante da editora em Belo Horizonte. Aproveito para esclarecer uma dúvida conceitual. O que vem a ser um quadrilátero cíclico? Desde já deixo aqui meus agradecimentos. Frederico. From: "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria Date: Fri, 17 Jan 2003 15:05:29 -0200 Agradecemos as referencias elogiosas do Paulo. Corrijo as declaraçoes do Wagner: 1) o Geometria 1 eh um bom livro. Claro que, por tratar de conceitos mais basicos e se dirigir basicamente a um leitor que seja um bom aluno de SETIMA SERIE, sempre os autores (e leitores mais adiantados) acharao que se poderia dar um tratamento "axiomaticamente" mais rigoroso; mas o objetivo era fazer um livro de Geometria para vestibulares dificeis e concursos de admissao a escolas militares, extremamente procuradas na epoca; ainda hoje eh um bom livro para IME, ITA, Colegio Naval, etc. 2) Geometria 1, Geometria 2 e Algebra 1 podem ser pedidos a FC&Z Livros Rua Carneiro Ribeiro 22 loja A 21050-570 Maria da GraçaRio de JaneiroRJ Telefax (21) 2581-2873 Morgado Paulo Santa Rita wrote: > Ola Leonardo e demais > colegas desta lista ... OBM-L, > > Foi esse livro que despertou meu interesse pela Matematica. > > Voce teve a mesma impressao que eu tive, quando o li pela primeira > vez, apos adquiri-lo em um sebo ( sebo = livraria de livros usados ). > Muitas vezes me perguntei o que o tornava tao interessante e diferente > dos outros ... > > Me parece que e porque os autores ( Eduardo Wagner e Augusto Morgado ) > nao perdem tempo provando coisas simples e evidentes, partindo > imediatamente a exposicao de fatoss espetaculares e inusitadas, que > dificilmente imaginariamos que ocorrem. > > Quando um matematico explica um fenomeno inusitado ( por exemplo : o > circulo de nove pontos ) ele aguca nossa inteligencia e nos vemos > claramente que a Matemaica nao se resume a provas de fatos evidentes > e, portanto, desmotivadoras ( por exemplo : prove que 1+1=2 ). > > Um Matematico adulto pode apreciar o formalismo, mas uma mente nova > geralmente nao aprecia estas coisas ... Prove a uma crianca algo que > ela duvida e nao suspeia e voce vai conquistar o interesse dela ... me > parece que e esse simples detalhe que diferencia as grandes obras da > mesmice e mediocridade que campeia na imensa maioria das obras > didaticas da matematica ... > > As Olimpiadas de Matematica, que todos nos gostamos e admiramos e > pelas quais fazemos verdadeiros sacrificios e uma continuacao de tudo > isso ... Por que elas fazem sucesso ? Simplesmente porque as pessoas > inteligentes odeiam coisas rotineiras e burocraticas, que sao os > aspectos tipicos do ensino comum ... > > Neste sentido, o Livro a que voce se refere, o Geometria II dos Prof > Wagner e Morgado, se nao foi o marco inicial e corajoso de uma > revolucao pedagogica, foi, ao menos, o alvorecer de tudo isso. E nos > somos felizardos por termos em nossa lista estes dois Prof's que > iniciaram esta revolucao : Wagner e Morgado. > > Seria excelente que estes Profs dessem continuidade ao que comecaram > com tanto brilho e eficiencia ! > > Para que esta mensagem nao fique totalmente fora de nossa tradicao, > aqui vai uma joia do Geometria II : > > 1)Sejam "a", "b", "c" e "d" os lados de um quadrilatero ciclico. > Mostre qua a area S desse quadrilatero pode ser expressa como : > S=Raiz_Quadrada((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)) onde p e o semi-perimetro. > > 2)Se o quadrilatero e incritivel e circunscritivel, entao : > S=Raiz_Quadrada(abcd) > > PROBLEMA : Se ABC e um triangulo e C o circulo inscrito nele, sejam > C1, C2 e C3 as tres partes da area do triangulo que nao pertencem ao > circulo. Calcule cada uma, separadamente, em funcao dos lados do > triangulo. > > Um Abraco a Todos > Paulo Santa Rita > 6,,170103 > > > > >> From: "Leonardo Borges Avelino" <[EMAIL PROTECTED]> >> To: <[EMAIL PROTECTED]> >> Subject: [obm-l] Livro Geometria >> Date: Thu, Jan 16, 2003, 10:07 PM >> >> >> Caros amigos: >> >> Estava na casa de meu amigo e ele me mostrou um livro >> >impressionante, que >> se chama: G
Re: [obm-l] Máximos e Mínimos SEM DERIVADAS
Resolva a equaçao ao contrario. Dah 5x^2 +(21-E)x +16 =0 10x= E-21 (+_) sqrt [(21-E)^2 - 320] Portanto, (21-E)^2 - 320 deve ser maior ou igual 0. Daih, E (menor ou igual) 21-sqrt320 ou E (maior ou igual) 21 +sqrt 320 Eh facil ver ( se x positivo, E>21; se x<0, E<21) que os primeiros valores ocorrem para x negativo e os segundos, para x positivo. A resposta eh 21 + sqrt320. Thyago Alexandre Kufner wrote: Olá colegas da lista Recebi o seguinte exercício de um aluno: "Sendo x um nº positivo determine o menor valor de E= 5x + 16/x + 21" Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero ... Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: tem como chegar ao resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO? Proponho esta discussão por causa do seguinte artigo: http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf Aguardo resposta Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[Fwd: Re: [obm-l] IME]
Estou reenviando esta mensagem pois alguem novo na lista pediu. Original Message Subject: Re: [obm-l] IME Date: Sat, 07 Dec 2002 23:48:36 -0200 From: "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> To: [EMAIL PROTECTED] References: <001201c29e49$a7046700$5225f3c8@wander> 1) (cosx)^n = 1 + (senx)^n Se n eh par, o segundo membro eh maior ou igual a 1 e a igualdade so sera possivel se senx=0, o que da as soluçoes x=k(pi) Se n=1, a equaçao eh cosx - senx = 1 Multiplique tudo por (sqrt2) / 2 e obtera cos [x+(pi/4)] = cos(pi/4), que da x=2kpi e tambem a soluçao h = 2kpi- (pi/2) Se n eh impar maior que 1, faça x = - z. A equaçao se transforma em (cosz)^n + (senz)^n = 1. A firmo que essa equaçao so possui as soluçoes cosz=1 e senz=1. Basta observar que (cosz)^2 + (senz)^2 = 1 e que se cosz e senz estiverem no aberto (0, 1), (cosz)^n + (senz)^n sera estritamente menor que (cosz)^2 + (senz)^2 = 1. (Eh claro que soluçoes com cosz ou senz negativos, nem pensar). Entao, as unicas soluçoes serao z= 2kpi e z= 2kpi + (pi/2). Como x = -z, Alguem escreveu 1) Encontre todas as soluções reais da equação apresentada abaixo, onde n é um número natural. cosnx – sennx = 1
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Livros que desenvolvam raciocínio espacial
Discordo totalmente. Sugiro os livros do Raymond Smullian (é com i ou é com y?) e o É divertido resolver problemas, de Luis Lopes e Josimar Silva. O autor que voce recomenda apareceu no programa do Jô Soares ensinando macetes, muitos dos quais errados, para fazer contas mais depressa, talvez ignorando que calculadoras ja foram inventadas e certamente pensando que Matemática é uma coleção de macetes para fazer contas mais depressa e encontra-se, no momento preso, em Brasília. Morgado Daniel wrote: Não sei se os professores e alunos da lista concordam, mas dois livros que me ajudaram bastante com matemática olímpica (problemas de raciocínio) são do Prof. Jonofon Serates (não sei se está correto), são dois volumes, chama-se "Raciocínio Lógico". Daniel - Original Message - From: "fabio fortes" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, February 05, 2003 8:17 PM Subject: [obm-l] Livros que desenvolvam raciocínio espacial Sei que boa parte é talento, mas gostaria de saber se alguém conhece livros que trabalhem raciocínio espacial. Não somente geometria espacial, mas também questões que usualmente caem em testes de QI e de lógica. Obrigado __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. Sign up now. http://mailplus.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] inequação
Em maiusculas o meu comentario! [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Vejam a questão: (MACK) Resolver a inequação: t + (1/t) <= -2 resp: t e R | t < 0. Obs: Vejam minha resolução: t + (1/t) + 2 <= 0 (t^2 + 2t + 1)/t <= 0 (t # 0) Calculando delta chegaremos a delta = 0 Logo, a equação terá uma raiz (que será -1) e esta terá multiplicidade 2. Como a equação pede f(t) (vamos chamar assim) <=0 temos que somente t= -1 satisfaz, pois qualquer valor t pertencente aos reais f(x) ( NAO EH F QUE SERAH POSITIVA; EH O NUMERADOR QUE SERAH) será positiva, pois delta= 0. Não estou certo? ICQ: 337140512
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Livros que desenvolvam raciocínio espacial
Como professor estou profundamente indignado com p tratamento de professor dado a tal figura! Morgado A. C. Morgado wrote: Discordo totalmente. Sugiro os livros do Raymond Smullian (é com i ou é com y?) e o É divertido resolver problemas, de Luis Lopes e Josimar Silva. O autor que voce recomenda apareceu no programa do Jô Soares ensinando macetes, muitos dos quais errados, para fazer contas mais depressa, talvez ignorando que calculadoras ja foram inventadas e certamente pensando que Matemática é uma coleção de macetes para fazer contas mais depressa e encontra-se, no momento preso, em Brasília. Morgado Daniel wrote: Não sei se os professores e alunos da lista concordam, mas dois livros que me ajudaram bastante com matemática olímpica (problemas de raciocínio) são do Prof. Jonofon Serates (não sei se está correto), são dois volumes, chama-se "Raciocínio Lógico". Daniel - Original Message - From: "fabio fortes" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, February 05, 2003 8:17 PM Subject: [obm-l] Livros que desenvolvam raciocínio espacial Sei que boa parte é talento, mas gostaria de saber se alguém conhece livros que trabalhem raciocínio espacial. Não somente geometria espacial, mas também questões que usualmente caem em testes de QI e de lógica. Obrigado __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. Sign up now. http://mailplus.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximos_e_Mínimos_SEM_DERIVADAS
Oh gente, o problema era arranjar uma soluçao que servisse para um aluno de oitava serie, nao? Eh claro que se vale tudo exceto calculo, a soluçao do Salvador eh otima! Morgado Salvador Addas Zanata wrote: Pode ser assim tambem: E=5x+16/x+21 >= 2*sqrt(80)+21, usando a desigualdade das medias. On Wed, 5 Feb 2003, Helder Suzuki wrote: --- Thyago Alexandre Kufner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Olá colegas da lista Recebi o seguinte exercício de um aluno: "Sendo x um nº positivo determine o menor valor de E= 5x + 16/x + 21" Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero ... Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: tem como chegar ao resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO? Proponho esta discussão por causa do seguinte artigo: http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf Aguardo resposta Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br vejamos y = 5x + 16/x + 21 multiplicando tudo por x, temos que xy = 5x^2 + 21x + 16 => 5x^2 + (21-y)x + 16 = 0 Como X é real, o delta não pode ser menor que zero. portanto: Delta = (y-21)^2 - 16*5 >= 0 y^2 - 42y + 441 - 16*4 >= 0 y^2 - 42y + 347 >= 0 se voce resolver essa inequação vc encontrará os intervalos em que não há raiz de números negativos: os invevalos em que y existe. (você vai encontrar algo como y >= ... e y <= ..., daí fica fácil ver o máximo e mínimo locais) ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] trigonometria
1-2sen^2(x) + sen^4(x) + sen^2(x) = 1-sen^2(x) + sen^4(x) . Para dar a resposta do seu gabarito essa expressão deveria valer 1, ou seja, sen^2(x) deveria ser igual a sen^4(x). Seu gabarito está, como sempre, errado. [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Como resolver esta: (UNESP) A expressão [1-2sen^2(x) + sen^4(x) + sen^2(x)]*cos^2 (x) é equivalente a: resp: cos^2(x)
Re: [obm-l] triângulo
Epa! O angulo dado nao eh C e sim B. Leahpar Xarm wrote: Caro colega esta questão quer ver se vc conhece descaradamente uma forma de achar a área de um triângulo por (1/2)*a*b*senApha onde a e b são os lados do triângulo adjacentes ao ângulo apha dado. Temos: [(1/2)AC*BC]*sen(beta)=[7*8*(sqrt3)]/2 [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Veja esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo
So para comentar que, surpreendentemente, o gabarito esta certo. Eduardo wrote: Olá, Bem, primeiramente você pode aplicar o teorema dos co-senos a fim de descobrir o lado não informado, ou seja, o lado AB, vai cair numa equação do segundo grau de raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB com os dois valores encontrados anteriormente. Espero ter ajudado. Edu -Mensagem original- De:[EMAIL PROTECTED][mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Johann PeterGustav Lejeune Dirichlet Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de2003 12:17 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l]triângulo [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Veja esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 Deixa eu ver...ce tem tudo no triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!! Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? Busca Yahoo! O serviço debusca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Dúvida
Bem, primeiro diga-se que ninguem se interessou em responder porque ha um evidente erro de digitaçao no enunciado. Em segundo lugar, esperava-se que voce dissesse o que encontrou e qual a resposta do seu gabarito. O erro estah nas "primeiras horas". Deve ser "h primeiras horas". Se for isso, sua equaçao esyah correta e fornece h=7. O tempo de viagem eh h + (h+5) = 19 horas. elton francisco ferreira wrote: olá pessoal da OBM-l. Estou com uma dúvida na questão a seguir... resolvi eessa questão mas o resultado n bateu com o do livro. será q vcs podem me ajudar? Oscar e Douglas fizeram uma viagem de 1862 km. Durante as primeiras horas, Oscar manteve uma velocidade média de 86 km/h. Nas seguintes (h + 5) horas, Douglas dirijiu o carro a uma velocidade média de 105 km/h. Quanto tempo durou a viagem? montei a equação desta forma: 86h + 105(h + 5) = 1862 ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Problema 01
As 4h o arco menor eh 1/3 da circunferencia e o maior, 2/3. As respostas sao 12,56 e 25,12. elton francisco ferreira wrote: A circunferencia de um relógio mede 37,68. Qual é a mdida do menor arco formado pelos ponteiros de um relógio as 4h? e do arco maior? ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] probabilidade e combinatoria
amurpe wrote: Pessoal por favor me ajudem mais uma vez nos seguintes problemas. 4)onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. por questoes de segurança , os planos são guardados em um cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é possível abri-los todos se houver pelo menos 5 cientistas presentes. a) qual é o numero mínimo possível de cadeados? b)Na situação do ítem a , quantas chaves cada cientista deve ter? Desde já muito obrigado. Amurpe 4) Vou dar um espço para quem quiser mais tempo para pensar. 4) Chegam 4 cientistas A, B, C, D. Com as chaves que possuem, abrem alguns cadeados, mas nao todos. Existe pelo menos um cadeado que eles nao conseguem abrir. Na situaçao do numero minimo de cadeados, existe exatamente um cadeado que eles nao conseguem abrir. Batize tal cadeado de ABCD. Portanto, ABCD eh o cadeado cuja chave nao estah em poder de A, nem de B, nem de C e nem de D. Qualquer outro cientista tem a chave desse cadeado, pois esse cientista e A, B, C e D formam um grupo de 5 cientistas e, portanto, nesse grupo alguem possui a chave. Como o alguem nao eh nem A, nem B, nem C e nem D,... Analogamente batize os demais cadeados. Verifique agora que a correspondencia entre cadeados e seus nomes eh biunivoca. O numero de cadeados eh igual ao numero de nomes de cadeados, C(11,4) =330 Cada cientista X possui as chaves dos cadeados que nao possuem X no nome, C(10,4) = 210 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] probabilidade e combinatoria
Ha um errinho de digitaçao intermediario no problemados pares. Onde aparece o produto das combinaçoes deveria aparecer o produto dividido por n!. A resposta estah certa Morgado Cláudio (Prática) wrote: Caro Amurpe: Seguem as minhas soluções para os primeiros três problemas. Vou ter de pensar um pouco mais sobre o quarto. 1) Em uma cidade com n+1 habitantes , uma pessoa conta um boato para uma outra pessoa , a qual por sua vez o conta para uma terceira pessoa , etc.. . calcule a probabilidade do boato ser contado m vezes: a) Sem retornar à primeira pessoa; b) Sem repetir nenhuma pessoa. Número de casos possíveis: Escolha da primeira pessoa (pelo originador do boato) para ouvir o boato: n Escolha da segunda pessoa (pela primeira a ouvir o boato) para ouvir o boato: n Escolha da m-ésima pessoa (pela (m-1)-ésima a ouvir o boato) para ouvir o boato: n Total = n^m a) Número de casos favoráveis: Escolha do primeiro ouvinte: n Escolha do segundo: n-1 (estão fora o originador do boato e a primeira pessoa a ouvi-lo) Escolha do terceiro: n-1 (estão fora o originador e o segundo ouvinte) ... Escolha do m-ésimo: n-1 Total = n*(n-1)^(m-1) ==> Probabilidade = ((n-1)/n)^(m-1) b) Número de casos favoráveis: Escolha do primeiro ouvinte: n Escolha do segundo: n-1 (estão fora o originador do boato e a primeira pessoa a ouvi-lo) Escolha do terceiro: n-2 (estão fora o originador e os dois primeiros ouvintes) ... Escolha do m-ésimo: n-m+1 (estão fora o originador e os m-1 ouvintes anteriores) Total = n! / (n-m)! ==> Probabilidade = (n!/(n-m)!) / n^m * 2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.Qual a probabilidade de A ter falado a verdade ? Esse tem cara de pegadinha! P(A ter falado a verdade) = 1/3, uma vez que cada habitante fala a verdade com 1/3 de probabilidade. Em outras palavras, dane-se o que os outros disseram ** 3) De quantos modos podemos decompor 2n objetos em n pares ? Escolha dos primeiros dois objetos: C(2n,2) Escolha dos dois objetos seguintes: C(2n-2,2) Escolha dos últimos dois objetos: C(2,2) Total = C(2n,2)*C(2n-2,2)*...*C(2,2) = (2n)!/(2^n * n!) Repare que, se após escolher os n pares, nós permutarmos os dois objetos dentro de cada par (2^n) e, em seguida, permutarmos os n pares (n!), obteremos o número total de permutações de 2n objetos = (2n)! Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] um problema
Seja n o numero de candidatos que serao atendidos e seja t o numero de dias de atendimento. 9t+34 = n n=10t Daih, t=34 e n=340 Os que foram convocados sao 360 e o numero de aprovados eh 3600 A elton francisco ferreira wrote: Em um concurso , 1/10 dos aprovados foi selecionado para entrevista com psicólogos, que deverá ser feita em 2 dias. Sabendo-se que 20 candidatos desistiram, não confrimando sua presença para a entrevista, os psicólogos observaram que, se cada um atendesse 9 por dia, deixariam 34 jovens sem atendimento. Para cumprir a meta em tempo hábil, cada um se dispôs, então, a atender 10 candidatos por dia. Com base nisso, é correto afirmar que o número de aprovados no concurso a) É múltiplo de 600 b) É divisor de 720 c) É igual a 3400 d) Está compreendido entre 1000 e 3000 ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Problema 04
c, quantidade de notas de cinco; d, quantidade de notas de dez c+d=10 5c+10d = 65 Daih, d=3 e c=7 Resposta: 21 elton francisco ferreira wrote: Um caixa automática de um banco só libera notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa retirou dessa caixa a importância de R$ 65,00, recebendo 10 notas. O produto do número de notas de R$ 5,00 pelo número de notas de R$ 10,00 é igual a 16 25 24 21 ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Números complexos
A primeira. Em A matematica do Ensino Medio, volume 3, voce encontra uma mini-historia dos complexos. Morgado Eduardo wrote: Galera, estou com uma dúvida relacionada a números complexos, digamos que histórica. A primeira definição é i^2 =-1 ou a definição foi feita primeiramente para (a; b)x(c; d)? Abraços Edu
[obm-l] Lista paralela e gabaritos errados
A respeito da criaçao de uma lista paralele e tambem do problema de gabaritos errados, ja enviei uma mensagem para a lista dando minha opiniao. Naquela mensagem citava o Claudio, pessoa que, nos ultimos tempos, tem sido a que mais tem ajudado a dirimir duvidas de nossos companheiros. Vou transcrever parte de mensagem enviada para mim pelo Claudio, em correspondencia particular. Desnecessario dizer que o faço com sua autorizaçao e que concordo com todas as suas palavras. "Só pra deixar claro, minhas opiniões são as seguintes: 1. A lista deve ser única - se algum problema não lhe interessar, simplesmente ignore-o. Além disso, elementar ou avançado é uma questão de opinião e de estágio do aprendizado em que a pessoa se encontra. 2. Quem escreveu ou editou os gabaritos do Fael está fazendo um grande mal a quem quer estudar matemática, principalmente àqueles que não tem a sorte dele de ter descoberto esta nossa lista. Acho mesmo que o Fael deveria escrever para a editora e informá-los sobre todos os erros. 3. Pra mim, a lista é uma oportunidade de aprender, ajudar os outros se for possível e me divertir. Me chateia muito ver algumas mensagens mal-humoradas e até mesmo mal-educadas ou arrogantes." Abraços a todos. Morgado
[obm-l] Inscriçao na medalha Fields
Ha muito tempo alguem perguntou o que significava aquele latinorio da medalha Fields que aparece ao final de cada mensagem do Dirichlet. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Bem, supondo que seja POTIRI em vez de POTIRE, a traducao literal eh: "Ultrapassar o próprio peito e dominar o mundo; outorgado pelos matematicos de todo o mundo reunidos, em funcao dos destacados escritos". De uma maneira bem livre: "Superar os limites da inteligencia e conquistar o universo; premio outorgado pela congregacao de todos os matematicos do mundo, em funcao da destacada obra do premiado" A traduçao eh do Professor Jose Paulo Carneiro, ex-membro destacado desta lista, que dela se afastou por nao conseguir suportar algumas manifestaçoes de mau humor de alguns membros. .
Re: [obm-l] Inscriçao_na_medalha_Fields
A medalha Fields eh uma medalha para matematicos jovens. Ha um limite de idade. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: Ja faz um certo tempo sim.Esta traduçao esta na RPM que fala da Fields.Falando nisso ja perceberam que e sempre um frances,um estadunidense ou um ingles que ganha Fields?Ha pouquissimas exceçoes,algumas famosas como o Atle Selberg(alias acho que o Paul Erdös devia ter ganho em conjunto com a demonstraçao elementar do TNP). "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Ha muito tempo alguem perguntou o que significava aquele latinorio da medalha Fields que aparece ao final de cada mensagem do Dirichlet. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Bem, supondo que seja POTIRI em vez de POTIRE, a traducao literal eh: "Ultrapassar o próprio peito e dominar o mundo; outorgado pelos matematicos de todo o mundo reunidos, em funcao dos destacados escritos". De uma maneira bem livre: "Superar os limites da inteligencia e conquistar o universo; premio outorgado pela congregacao de todos os matematicos do mundo, em funcao da destacada obra do premiado" A traduçao eh do Professor Jose Paulo Carneiro, ex-membro destacado desta lista, que dela se afastou por nao conseguir suportar algumas manifestaçoes de mau humor de alguns membros. . Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Observar passos para progredir
Meu caro, em primeiro lugar, quero agradecer ter sido posto, ainda que imerecidamente, em tão honrosas companhias; sao todos, alem de grandes matematicos e professores, pessoas de carater e estimados amigos. Uma coisa que me enche de orgulho eh ter sido professor de tres dos citados (Jose Paulo Carneiro, Paulo Cezar Carvalho e Eduardo Wagner), hoje matematicos brilhantes, na epoca alunos dos quais se dizia que so erraram uma unica vez: quando pensaram que haviam cometido um pequeno engano, mas eh claro que nao tinham. Muito pensei se devia escrever uma resposta ou se devia cair na real e perceber que estava sendo citado apenas por delicadeza sua que citara pessoas com as quais havia trabalhado em muitos projetos. Entretanto, resolvi escrever esta mensagem porque ela me permite fazer uma confissao e um agradecimento. Eu sou uma pessoa de muita sorte. Nunca tive professores bons; todos os professores que tive eram otimos. Nunca tive, no primario, uma professora de matematica que nao gostasse de matematica. No antigo admissao (seria equivalente a algo entre a quarta e a quinta series), fui aluno de um excelente professor, Serafim Rodrigues Morgado (apesar do sobrenome, nao era meu parente), que foi professor tambem de pelo menos mais um membro da lista, o Jose Francisco Guimaraes Costa, e a quem devo a transformaçao do meu nome de guerra de Augusto Cesar para Morgado. No ginasio, foi aluno de um engenheiro, Claudionor Teixeira Braga, que me ensinou muito e, principalmente, fez com que eu gostasse muito de Matematica. No cientifico (equivalente ao ensino medio de hoje em dia), o Professor Delamare, tambem engenheiro e muito brincalhao (era pai do Julio Delamare, jornalista esportivo que dah nome ao parque aquatico do Maracana), tambem excelente professor. Depois, fui aluno de Jacob Palis, de Celio Pinto de Almeida, de Leon Clement Rousseau, de Alberto (a idade me impede de recordar o sobrenome dele, mas nao eh o Azevedo, que eh muito conhecido; o Alberto, embora excelente professor, preferiu se dedicar a engenharia), de Luiz Rodrigues Loureiro, de Jorge Alberto Barroso, de Oton Nogueira. Fora do ensino regular, tive cursos com o Elon, com Mauricio Matos Peixoto, com Hilton Machado, com Imre Simon, com Leopoldo Nachbin, com Pedro Fernandez. Ate fora da Matematica minha sorte continuou. Tive excelente professor de Portugues (o Padre Antonio Malheiros, brilhante orador e responsavel por muitos dos discursos de Getulio Vargas, discursos tao bons que conduziram Vargas a Academia Brasileira de Letras), de Fisica (por coincidencia, dois astronomos e diretores do Observatorio Nacional e do Observatorio do Valongo: Muniz Barreto e Luiz Machado; alem de Jader Bennuzzi Martins, do CBPF), de Ingles (o Professor Blum, que tinha um programa na TV Tupi e foi um precursor do ensino de idiomas por meio de musicas, alem de pai da Norma Blum, atriz "idola" dos adoscelentes da minha epoca), de Espanhol (o Professor Walter). Ate de Historia, o Professor Herminio (esse eh um caso curioso; odiava dar aulas, dar aulas era para ele um meio de ganhar um dinheirinho enquanto nao se formava em Direito; mas, alem de pessoa extremamente culta, era um excelente professor; todos adoravam suas aulas, exceto ele!) . O Jose Paulo Carneiro, quando me citava, dizia: ... o Morgado, com sua proverbial sorte, ... Pois eh, o Jose Paulo tem toda razao! Por que meus professores foram tao importantes para mim? Pelo exemplo, pela cultura, pela orientaçao, pelas corretas indicaçoes do que ler. Quanto aos anos-luz, essa eh a distancia que me encontro dos outros citados. Um forte abraço. Morgado. [EMAIL PROTECTED] wrote: Queridos professores e amigos, É fato que homens seguem passos de outros homens, que alunos seguem os de seus mestres até aonde podem, muitas vezes, ir. Raras vezes, pode ocorrer que alunos igualem-se a seus mestres, para os substituir, já que a vida flui, neste planeta. Fui aluno do Ralph, em 1989, na turma IME/ITA do Impacto. Cursei o IME de 90 a 94. Fiz mestrado no mesmo Instituto de 98 a 99. Sem idolatria, afirmo admirar os passos de Pitombeira de Carvalho, Nicolau Corsão Saldanha, Augusto César de Oliveira Morgado, Ralph Costa Teixeira, João Bosco, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Pedro Fernandez, Eduardo Wagner, Élon Lages Lima, João Paulo Q. Carneiro, Carlos Gustavo T. de A. Moreira. Graças a Deus! A Internet permite-me ser aluno, à distância, dos demais citados, os quais não conheci pessoalmente. Também, vale a penas destacar as contribuições do melhores alunos, como, por exemplo, Cláudio ([EMAIL PROTECTED]), que mui contribui para desenvolvimento dos alunos mais retardatários, dentro dos quais, incluo-me, com naturalidade. Nesta seqüência de observar passos para o progresso, nós eternos alunos gostaríamos de saber, se vocês professores conheceram outros mestres por vós admiráveis e
[Fwd: Re: [obm-l] verificações]
Esta mensagem estah sendo reenviada para corrigir um erro de soma (estava 2+3 = 6 ). a)(1,2)*(3,7) = (8, 5) (3,7)*(1,2) = (5, 8) b)[(1,2)*(3,7)]* (2,4) = (8, 5)*(2,4) = (12,7) (1,2)*[(3,7)* (2,4)] = (1, 2)*(7,9) = (10,9) Em Sat, 1 Mar 2003 16:33:37 -0300 (ART), pichurin disse: > Mostre que no R^2 , a operação (a,b)*(c,d)=(a+d,b+c) > não verifica as propriedades comutativa e associativa > da adição. > > ___ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é =
[obm-l] Problemas em aberto IV
O Luís Lopes mandou ha algum tempo: Prove que tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11). Embora eu tenha uma ideia muito clara do que fazer (usar trigonometria do tempo dos gregos, isto eh, construir um conveniente quadrilatero inscrito e aplicar o teorema de Ptolomeu), quando tentei nao consegui. Eh verdade que nao pude dedicar a esse problema o tempo que ele parece exigir. Morgado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Combinações
pichurin wrote: Observe: tome a e b como números reais. a*5*tg^2(x) + b*2/cos^2(x)= a*5*sen^2(x)/cos^2(x) + b*2/cos^2(x)=(a*5*sen^2(x) + b*2)/cos^2(x) Então, a= (3*cos^2(x) -2*b)/(5*sen^2(x)) Isso significa que a depende de x. NAO SIGNIFICA NAO. (3*cos^2(x) -2*b)/(5*sen^2(x)) = [3 - 3 SEN^2(X) - 2B]/5SEN^2(X) = [(3-2B) - 3SEN^2(X)]/5SEN^2(X) Se 3 - 2b = 0, Isso influi em alguma coisa?Explique. --- Augusto Cesar de Oliveira Morgado <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > 1+ (tan^2)(x) = (sec^2)(x) Em Sun, 2 Mar 2003 13:20:36 -0300 (ART), pichurin <[EMAIL PROTECTED]> disse: Como vc chegou neste resultado? --- Augusto Cesar de Oliveira Morgado <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > sim, (3/2)h(x) - (3/5)g(x) = 3 Em Sat, 1 Mar 2003 16:46:18 -0300 (ART), pichurin <[EMAIL PROTECTED]> disse: Em F(-pi/2,pi/2), verifique se a função f constante e igual a 3 é combinação linear de g e h definidas por g(x)=5tan^(2)(x) e h(x)=2/(cos^(2)(x)). ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] análise combinatória I
Ha tres tipos de retas: 1) a reta dos 5 pontos 2) retas determinadas´por um dos 5 pontos e um dos outros 7; essas sao em numero de 5x7=35 3) retas determinadas por dois dos 7 pontos; essas sao em numero de C(7,2) = 21. A resposta eh 1+35+21=57. Seu gabarito, como sempre estah errado. Faça um favor a todos nos e, principalmente, a voce. Jogue fora esse fasciculo e leia um bom livro. Outra soluçao: Para formar uma reta voce deve escolher 2 dos 12 pontos, o que pode ser feito de C(12,2)=66 modos. Nessa brinacadeira a reta dos 5 pontos foi contado C(5,2)=10 vezes. Retirando-a, a contagem baixa para 66 - 10 = 56. Mas aih nos exageramos pois retiramos essa reta todas as vezes que ela foi contada e uma vez ela deve ser contada. A resposta eh 57. Esse erro mostra que o autor dos seus fasciculos eh muito ruim de Combinatoria. Nesses fasciculos aprende-se tanto quanto em aula de futebol dada pelo Junior Baiano. Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Como resolver esta: (UF. UBERLÂNDIA) Em um plano há 12 pontos, dos quais três nunca são colineares, exceto 5 que estão sobre uma mesma reta. O número de retas determinadas por esses pontos é: resp: 56
Re: [obm-l] Uma de combinatória e duas de binômios
O problema 2 nao tem sentido algum. Todos os termos do desenvolvimento sao termos em x^20. Como ordena-los segundo as potencias decrescentes de x? Fael, jah que voce nao vai mesmo jogar fora esses seus fasciculos, pelo menos entrega para a gente o nome dos autores! Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Como resolver estas: (EESCUSP) O número de combinações de n elementos, p a p, que contém k elementos determinados é: resp: C_n-k,p-k obs: Eu não cheguei a resposta por não entender o que o examinador esta querendo dizer com "k elementos determinados". (UF.UBERLÂNDIA) Desenvolvendo-se o binômio ( 2x^2 + [x/2]^2 )^10 segundo as potências decrescentes de x, o 6º termo será: obs: Eu apliquei a fórmula do termo geral e cheguei ao resultado de T_6= 252x^37. Se chegarem no mesmo resultado não precisam resolver. Mas se chegarem a uma resposta diferente me digam, por favor, o por quê. Mais uma questão de binômios de Newton: No desenvolvimento de (3x + 13)^n há 13 termos. A soma dos coeficientes destes termos é igual a:
Re: [obm-l] Uma de combinatória e duas de binômios
Traduzindo a primeira:: O número de combinações de n elementos, 1, 2,..., n, tomadas p a p, que contêm k elementos determinados, 1, 2,..., k, é: Resolvendo a ultima: n+1=13 n=12 O binomio eh (3x+13)^12 A soma dos coeficientes de x eh (3*1+13)^12 = 16^12. [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Como resolver estas: (EESCUSP) O número de combinações de n elementos, p a p, que contém k elementos determinados é: resp: C_n-k,p-k obs: Eu não cheguei a resposta por não entender o que o examinador esta querendo dizer com "k elementos determinados". (UF.UBERLÂNDIA) Desenvolvendo-se o binômio ( 2x^2 + [x/2]^2 )^10 segundo as potências decrescentes de x, o 6º termo será: obs: Eu apliquei a fórmula do termo geral e cheguei ao resultado de T_6= 252x^37. Se chegarem no mesmo resultado não precisam resolver. Mas se chegarem a uma resposta diferente me digam, por favor, o por quê. Mais uma questão de binômios de Newton: No desenvolvimento de (3x + 13)^n há 13 termos. A soma dos coeficientes destes termos é igual a:
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Uma de combinatória e duas de binômios
Houve um evidente errinho de digitaçao no final da soluçao da terceira questao. Onde estah 15 leia-se 16. Artur Costa Steiner wrote: Na primeira pergunta, k elementos determinados significa k elementos fixados, ou especificados. Por exemplo, com os 10 priemeiros números naturais, quamtas combinações simples de 4 elementos existem nas quais os números 3 e 5 aparecem? Neste caso, determinamos os números 3 e 5 e só estamos interessados nas combinações em que eles aparecem. No caso geral, a resposta é de fato dada por C_n-k,p-k. Para ver isto, observe que o número de combinações nas quais os k elementos fixos comparecem são obtidas fixando-se tais elementos e colocando junto deles os demais n-k, combinados agora p-k a p-k, visto que vc não vai colocar de novo os elementos determinados. Não pude ver agoara a segunda questão. Mas no caso da terceira, como temos 13 termos e há n+1 termos, segue-se que n=12. para obtermos a soma dos coeficientes basta fazer x=1, obtendo (3+13)^12 = 15^12. Olá pessoal, Como resolver estas: (EESCUSP) O número de combinações de n elementos, p a p, que contém k elementos determinados é: resp: C_n-k,p-k obs: Eu não cheguei a resposta por não entender o que o examinador esta querendo dizer com "k elementos determinados". (UF.UBERLÂNDIA) Desenvolvendo-se o binômio ( 2x^2 + [x/2]^2 )^10 segundo as potências decrescentes de x, o 6º termo será: obs: Eu apliquei a fórmula do termo geral e cheguei ao resultado de T_6= 252x^37. Se chegarem no mesmo resultado não precisam resolver. Mas se chegarem a uma resposta diferente me digam, por favor, o por quê. Mais uma questão de binômios de Newton: No desenvolvimento de (3x + 13)^n há 13 termos. A soma dos coeficientes destes termos é igual a:
Re: [obm-l] retorno da questão de binômios
A resposta eh 252* (x^15) [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Houve um erro de digitação quando enviei e, na verdade, não é (2x^2 + [x/2]^2 )^10 , mas sim (2x^2 + [x/2] )^10 (UF.UBERLÂNDIA) Desenvolvendo-se o binômio (2x^2 + [x/2] )^10 segundo as potências decrescentes de x, o 6º termo será: obs: Eu apliquei a fórmula do termo geral e cheguei ao resultado de T_6= 252x^37. Se chegarem no mesmo resultado não precisam resolver. Mas se chegarem a uma resposta diferente me digam, por favor, o por quê.
Re: [obm-l] geometria analítica
1) (B+C)/2 = (3,1) ; (A+C)/2 = (0,5) ; (A+B)/2 = (2,3) B+C = (6,2) ; A+C = (0, 10) ; A+B = (4,6) 2(A+B+C) = (10; 18) ; A+B+C = (5, 9) A = ( - 1, 7) ; B= (5, - 1) ; C = (1, 3) y - 3 = [(3 - -1) / (1 - 5)] (x - 1) y - 3 = - (x-1) y + x = 4 2) r: x+y =1 s: 3x - 2y + 6 = 0. Resolvendo o sistema, x = - (4/5) y = 9/5 [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Como resolver estas: (FAAP-SP) Sejam as 0xy um sistema cartesiano ortogonal e o triângulo ABC, para o qual os pontos M_A= (3,1), M_B= (0,5) e M_C= (2,3) são os pontos médios dos lados, opostos aos vértices A, B e C, respectivamente. Pede-se : a) achar as coordenadas do vértice A b) achar a equação da reta suporte do lado BC resp: a) A(-1;7) b) x + y -4= 0 (UFRS) As retas r e s da figura interceptam-se no ponto de ordenada: resp: 9/5 obs: Na figura a reta s está sobre os pontos (-2;0) e (0,3). Já a reta r está sobre os pontos (1;0) e (0;1)
Re: [obm-l] (O (sqrt n))
f(n) = O(g(n)) means there are positive constants c and k, such that 0<= f(n)<= cg(n) for all n >= k. The values of c and k must be fixed for the function f and must not depend on n. Henrique P. Sant'Anna Branco wrote: Quando eu mando o Maple fazer uma série de Taylor para uma função, aparece esse O também. Creio eu que seja algo muito pequeno, um infinitesimal, não sei direito. Henrique. - Original Message - From: Wagner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, March 05, 2003 4:34 PM Subject: [obm-l] (O (sqrt n)) Oi para todos ! Estava vendo a sequência A006218 no http://www.research.att.com/~njas/sequences/ e me deparei com O(sqrt(n)) na fórmula da sequência Se alguém puder me esclarecer o que isso quer dizer eu agradeceria muito. André T. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Reta de Euler
Eles (baricentro, ortocentro e, como voce bem corrigiu, circuncentro) sempre se alinham. Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote: Numero um:Esses tres pontos nao necessariamente se alinham.Se nao me engano GIH e obtuso.Na verdade e circuncentro e nao incentro. Numero Dois:Uma demonstraçao esta na Eureka,antes do numero 4.E bem simples:considere a mediana relativa a um lado e os pontos notaveis ,e use semelhança de triangulos.Prove antes que o segmento que liga um ponto ao ortocentro e o dobro do que liga o circuncentro ao medio do oposto. Outro jeito e usar coordenadas baricentricas ou vetores.Veja no artigo da RPM do Morgado,ou pergunte pro proprio. -- Mensagem original -- Alguém poderia me ajudar na seguinte demonstração: "Os pontos notáveis - baricentro, incentro e o ortocentro - são sempre colineares". Desde já agradeço! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Probabilidade
Vamos chamar as moedas de normais e defeituosa. P(defeituosa na certeza de 4 caras) = P(defeituosa e 4 caras)/P(4 caras) P(defeituosa e 4 caras) = P(defeituosa)*P(4caras na certeza de defeituosa) = (1/4)*1 = 1/4 P(4 caras) = P(4 caras e defeituosa OU 4 caras e normal) = = P(defeituosa e 4 caras) + P(normal e 4 caras) = = 1/4 + P(normal)*P(4caras na certeza de normal) = 1/4 + 3/4 * [(1/2)^4] = 19/64 A resposta eh (1/4)/(19/64) = 16/19 cfgauss77 wrote: Gostaria de uma ajudinha no seguinte problema: "Numa urna temos quatro moedas, sendo que uma dela é defeituosa apresentando duas caras em suas faces. Alguém escolhe aleatoriamente uma dessas moedas e faz quatro arremessos sucessivos conseguindo quatro caras. Determine qual a probabilidade dessa moeda ser a defeituosa". __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Dúvidas??
1) Embora, como um quase sexagenario, nao aprecie muito essas coisas, acho que i. e. eh uma abreviatura para isto eh e tq eh uma abreviatura para tal que. 3) Vou ser bem intuitivo (isto eh, nao vou provar coisas que deveria, mas que sao muito plausiveis) ?Quantas vezes em media voce deve jogar um dado honesto para obter um 4? \a probabilidade de obter um 4 em um lançamento eh 1/6, i. e., em media voce demora 6 lançamentos para obter um 4. O tempo medio para completar um album com n figurinhas eh a soma do tempo medio? gasto para encher uma casa do album, com o tempo gasto a partir daih para encher uma segunda casa, etc. A prob. de uma figurinha encher uma casa do album eh n/n; depois disso, a prob. de uma figurinha encher uma segunda casa (i.e., nao ser duplicata da primeira) eh (n-1)/n, etc. A resposta eh ? n/n ?+ ?n/(n-1) + ... + n/1 = ?n*(1 + 1/2 + ... + 1/n). A soma entre parenteses eh bem aproximada, para n grande, por ln(n). O erro tende, quando n tende a infinito, a um numero compreendido entre 0,5 e 0,6 que eh representado por um gama minusculo e chamado de constante de Euler-Mascheroni. Ateh hoje nao se sabe se essa constante eh racional ou irracional Leonardo Borges Avelino wrote: 1) A primeira dúvida é sobre o significado das seguintes simbologias: ? >i.e. >deg(x) >tq ? 2) Suponhamos um álbum com n figurinhas, e que compramos 1 figurinha por dia. Por que o nº esperado de dias para que esse?álbum fique?completo é n*ln(n) ??? Como demonstrar isto?? ? 3) Pergunto aos amigos o que acham dos livros: ? >Problemas de Aritmética ( Comte. Paulo Pessoa) >Problemas de Algebra ( Comte. Paulo Pessoa) >Exercícios de Geometria Plana ( Edgar de Alencar Filho) >Problemas Selecionados de Matemática - Volume I (Antonio Luiz do Santos e Raul F. W. Agostinho) ? ? ? ? Valeu!! Leonardo Borges Avelino.?
Re: [obm-l] AJUDA COM LIMITES
3) (1-cosx)/x^2. Multiplique em cima e em baixo por 1+cosx. Fica sen^2(x)/[x^2} * 1/(1+cosx). O primeiro fator tende a 1; o segundo, a 1/2. Resposta: 1/2 2) Divida em cima e em baixo por raiz(x). Fica raiz ( 1 + 1/x) / raiz (9 + 1/x) cujo limite eh raiz (1+0)/raiz(9+0) = 1/3 Afemano wrote: Olá, alguém pode me ajudar com esse problemas "simples" ?? 1) lim(x-> -3) (raiz(x^2 + 16) - 5 )/ ( x^2 - 3x ) 2) lim(x-> +00) ( raiz(x + 1) ) / ( raiz(9x + 1) ) 3) lim(x-> 0) ( 1 - cosx ) / x^2 Valeu ae !! gabriel
Re: [obm-l] AJUDA COM LIMITES
1) O primeiro eh isso mesmo? Se for nao ha dificuldade alguma. O numerador tende a 0 e o denominador tende a 18. Resposta: 0/18 = 0 Afemano wrote: Olá, alguém pode me ajudar com esse problemas "simples" ?? 1) lim(x-> -3) (raiz(x^2 + 16) - 5 )/ ( x^2 - 3x ) 2) lim(x-> +00) ( raiz(x + 1) ) / ( raiz(9x + 1) ) 3) lim(x-> 0) ( 1 - cosx ) / x^2 Valeu ae !! gabriel
Re: [obm-l] AJUDA COM LIMITES
Um errinho na ultima digitaçao. Deveria ser lim_x->0 1/2 * cos(x)) = 1/2 * cos(0) = 1/2. Henrique P. Sant'Anna Branco wrote: - Original Message - From: Afemano To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 11, 2003 4:59 PM Subject: [obm-l] AJUDA COM LIMITES 1) lim(x-> -3) (raiz(x^2 + 16) - 5 )/ ( x^2 - 3x ) sqrt((-3)^2 + 16) > 0 e (-3^2 - 3*(-3)) diferente de zero, então é só substituir x = -3. Resp.: 0 2) lim(x-> +inf) ( raiz(x + 1) ) / ( raiz(9x + 1) ) Reescrevendo a expressão acima temos lim_x-> +inf (sqrt(1 + 1/x) / sqrt(9 + 1/x). Como lim_x-> 1/x = 0, temos que lim_x-> +inf (sqrt(1 + 1/x) / sqrt(9 + 1/x) = 1/3. 3) lim(x-> 0) ( 1 - cosx ) / x^2 Usando L'Hôpital duas vezes, temos lim_x->0 1/2 * cos(x)) = 0. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] geometria analítica
Um errinho de conta! Onde esta mod(m) = 1/2 deveria estar mod(m) = 1/sqrt(3). Daih, seguir-se-ia tg^2(alfa) + 1 = sec^2(alfa) => sec^2(alfa) = 4/3 => sen^2(alfa) = 1/4. => sen(alfa) = 1/2. leandro wrote: Fael, No numero 1) eu substitui o valor y=mx na equacao da circunferencia e dai voce encontra a seguinte equacao do 2o grau (m^2+1)x^2 – 8x + 12 = 0. Como foi dito que m > 0, entao temos que a intersecao da reta com a circunferencia deve produzir somente 1 ponto, portanto, fazendo o discriminante da equacao encontrada igual a zero a gente encontra 64 – 4(12)(m^2+1) = 0 => mod(m) = ½ = > m=1/2 (pois m > 0). Agora, m e o coeficiente angular da reta , ou seja, e a tangente do angulo que estamos querendo encontrar. O valor do seno do angulo pode ser encontrado pela formula tg^2(alfa) + 1 = sec^2(alfa) => sec^2(alfa) = 5/4 => sen^2(alfa) = 1/5. => sen(alfa) = 1/sqr(5). Eu nao encontrei esse resultado ½ que voce me forneceu. Sera que errei em algum lugar ? Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 11, 2003 1:27 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] geometria analítica Olá Morgado, Como resolver estas: (FUVEST) A reta y= mx (m>0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x. resp: 1/2 (U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo ponto P é: resp: y=4
Re: [obm-l] fração
A soma vale 1+ 9/40* = 1 + 4/40 + 5/40 = 1 + 1/10 + 1/8. * devemos remover dois termos que somados deem 9/40. Um dos termos tem que ter o fator 5 no denominador. Daniel Pini wrote: Quais os termos da soma 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/12 que devem ser removidos para que a soma dos termos remanecentes seja igual a 1? R: 1/8 e 1/10
Re: [obm-l] geometria analítica
Uma soluçao sem derivadas para o problema 2: x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4 O centro eh C ( - 1, 2) e o raio vale 2. CP (raio) eh uma reta vertical (C e P tem a mesma abscissa). Logo, a tangente eh horizontal. A reta horizontal por ( - 1, 4) eh y = 4. [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Morgado, Como resolver estas: (FUVEST) A reta y= mx (m>0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x. resp: 1/2 (U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo ponto P é: resp: y=4
Re: [obm-l] problemas
2) Sugeriram-me a seguinte resoluçao: A soma dos pontos das duas equipes eh 1+2+...+10 = 55. Quem fizer 27 pontos ou menos ganha. Logo, os escores ganhadores sao 27, 26,...,15 (15=1+2+3+4+5 eh o menor escore possivel!). Logo, ha 13 escores ganhadores. 2') Aproveito para propor um outro problema: a soluçao acima estah correta? 1) Parece-me que a melhor maneira de pensar eh com velocidade relativa. Imagine parados os carros da outra pista e voce viajando a 120km/h (NAO AGUENTO ESSES SIMBOLOS DE QUILOMETROS COM K MAIUSCULO!). Em 5 minutos voce percorreu 10km e cruzou com 20 veiculos. Como eles estao igualmente espaçados, em 50 minutos voce percorreria 100km e cruzaria com 200 veiculos. A resposta parece ser 200. Na verdade, a pergunta nao esta bem formulada. Acho que a pergunta deveria ser qual dos números abaixo é o mais próximo do número de veiculos existentes num trecho de 100 km :-[ da pista oposta da estrada? Daniel Pini wrote: Numa auto estrada, o tráfego se move a uma velocidade constante de 60Km/h em ambas as direções. Um motorista que viaja numa das direções cruza 20 veiculos viajando na direção oposta em cada intervalo de tempo de 5 minutos. Supondo que os veiculos que trafegam na direção oposta ao do motorista estejam igualmente espaçados, qual dos números abaixo é o mais próximo do número de veiculos existentes num trecho de 100 Km de estrada? a-100 b-120 C-200 d-240 e-400 Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes, de 5 atletas cada, para disputarem um corrida rustica. O atleta que termina a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menor número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas, quantos são os possíveis escores vencedores? R:13
Re: [obm-l] problemas
Negativo. A suposição do enunciado é de espaçamento igual na outra pista! O enunciado (mal feito) de modo nenhum impede que o nosso motorista seja o único em sua pista. Minha observação é duplamente necessária: para resolver o problema e para tentar tornar os companheiros mais críticos em relação a esses enunciados de questões de vestibular que são, quase sempre, péssimos. Dê uma olhada nos enunciados das questões que o Fael tem mandado, dê uma olhada nas questões da UERJ, etc. Ah, dirá você, é claro que ele quis dizer... Tudo bem, até acho que ele quis dizer, mas o fato é que não disse. Além disso, se for para raciocinar como você (e, justiça se faça, se eu estivesse fazendo essa prova, pensaria como você diante da omissão do enunciado) a resposta que voce deve marcar é 400 (200 em cada pista). Eu erraria essa questao na prova. Veja o absurdo: voce acertaria a questao por ter errado. Abraços e votos de que você seja um pouco mais exigente. Morgado Afemano wrote: Ele quer saber quantos existem num trecho de 100km, como , dos dois lados, os carros estão com a mesma velocidade, supoe-se que há mesmo número de carros nas duas pistas numa mesma distância. Ou seja, não é necesssária essa sua observação abraços ,Gabriel - Original Message - From: A. C.Morgado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 13, 2003 10:14PM Subject: Re: [obm-l] problemas 2) Sugeriram-me a seguinte resoluçao: A soma dos pontos dasduas equipes eh 1+2+...+10 = 55. Quem fizer 27 pontos ou menos ganha. Logo, osescores ganhadores sao 27, 26,...,15 (15=1+2+3+4+5 eh o menor escorepossivel!). Logo, ha 13 escores ganhadores. 2') Aproveito para propor umoutro problema: a soluçao acima estah correta? 1) Parece-me que amelhor maneira de pensar eh com velocidade relativa. Imagine parados os carrosda outra pista e voce viajando a 120km/h (NAO AGUENTO ESSES SIMBOLOS DEQUILOMETROS COM K MAIUSCULO!). Em 5 minutos voce percorreu 10km e cruzou com20 veiculos. Como eles estao igualmente espaçados, em 50 minutos vocepercorreria 100km e cruzaria com 200 veiculos. A resposta parece ser 200. Naverdade, a pergunta nao esta bem formulada. Acho que a pergunta deveria ser qual dos números abaixo é o mais próximo donúmero de veiculos existentes num trecho de 100 km :-[ da pista oposta daestrada? Daniel Pini wrote: Numa auto estrada, o tráfego se move a uma velocidade constante de 60Km/h em ambas as direções. Um motorista que viaja numa das direções cruza 20 veiculos viajando na direção oposta em cada intervalo de tempo de 5 minutos. Supondo que os veiculos que trafegam na direção oposta ao do motorista estejam igualmente espaçados, qual dos números abaixo é o mais próximo do número de veiculos existentes num trecho de 100 Km de estrada? a-100 b-120 C-200 d-240 e-400 Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes, de 5 atletas cada, para disputarem um corrida rustica. O atleta que termina a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menor número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas, quantos são os possíveis escores vencedores? R:13
Re: [obm-l] Limite basico
H(2n) - H(n - 1) = 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+ 1/(n+n) = = 1/n * [ 1/ ( 1+ 1/n) + 1/ (1+ 2/n) +... + 1/ (1 + n/n) ] cujo limite eh Integral de 0 a 1 de dx/ (1+x) que vale ln 2. [EMAIL PROTECTED] wrote: Quem sabe demonstrar que o limite de H(2n)-H(n-1) e log 2 se n e arbitrariamente grande e H e a serie harmonica?Perdi essa demonstraçao ha algum tempo.Tem o da Eureka 15 que to tentando fazer mas nada saiu alem do braço.Quem manja de series de cotangente e por ai vai? somatorio de n=1 ate infinito de arccos (1-2*(4n^4+1)^(-1))=pi/2 O primeiro e essencial,o segundo nem tanto. TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Limite basico
1) Voce pode usar tambem que H(n) = ln n + constante de Euler-Mascheroni + a(n) onde a(n) tende a zero quando n tende a infinito. [EMAIL PROTECTED] wrote: Quem sabe demonstrar que o limite de H(2n)-H(n-1) e log 2 se n e arbitrariamente grande e H e a serie harmonica?Perdi essa demonstraçao ha algum tempo.Tem o da Eureka 15 que to tentando fazer mas nada saiu alem do braço.Quem manja de series de cotangente e por ai vai? somatorio de n=1 ate infinito de arccos (1-2*(4n^4+1)^(-1))=pi/2 O primeiro e essencial,o segundo nem tanto. TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Termo geral da serie de Fibonacci
Basta provar que vale para n=1 e n=2 e que a(n) + a(n+1) = a(n+2) para todo n inteiro e positivo. Os dois primeiros itens voce ja fez. O terceiro tem umas continhas mas da pra fazer. Se voce acha Trigonometria complicado, faça as contas com exponenciais: 2cosz = e^z + e^(-z) 2isenz = e^z - e^(-z). Coragem. Em qualquer curso de Calculo, na parte de integral, todo mundo ja fez contas piores. felipe mendona wrote: Ola colegas de lista... Segundo um colega meu,a expressao que representa o termo geral da serie de Fibonacci(1,1,2,3,5...) é a(n)=(sqrt5)/5.[(2.cos36)^n - (2-2.cos36)^n]. Agora eu pergunto...COMO DEMONSTRAR ISSO? Empiricamente pude comprovar que para n=(1,2,3) , a expressao é valida. Uma coisa eu sei , usando recorrencia talvez torne mais pratica a demonstraçao,pois A(z) + A(z+1) = A(z+2) para todo z inteiro e positivo. Abraço Felipe Mendonça Vitória-ES. MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. 2 months FREE* = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é =
[obm-l] Re: [obm-l] Termo geral da serie de Fibonacci (retificaçao)
Retificando o e-mail anterior. Parece que voce ja provou tambem a terceira parte. Entao, acabou! Por que acabou? Se fosse falso para algum valor, haveria um n minimo para o qual eh falso. Esse n minimo nao eh nem 1 nem 2. Logo eh maior que 2. Mas entao n-1 e n-2 sao inteiros positivos para os quais a afirmaçao eh verdadeira. Mas pela terceira parte, se eh verdade para n-1 e n-2, tambem eh para n., contradiçao! felipe mendona wrote: Ola colegas de lista... Segundo um colega meu,a expressao que representa o termo geral da serie de Fibonacci(1,1,2,3,5...) é a(n)=(sqrt5)/5.[(2.cos36)^n - (2-2.cos36)^n]. Agora eu pergunto...COMO DEMONSTRAR ISSO? Empiricamente pude comprovar que para n=(1,2,3) , a expressao é valida. Uma coisa eu sei , usando recorrencia talvez torne mais pratica a demonstraçao,pois A(z) + A(z+1) = A(z+2) para todo z inteiro e positivo. Abraço Felipe Mendonça Vitória-ES. MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. 2 months FREE* = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é =