Re: [obm-l] dúvida combinatória

[Augusto César Morgado]

Chamemos as pessoas de A, B, C.
Supondo os 5 livros diferentes, ha 3^5 = 243 modos de distribui-los (o 
primeiro livro pode ser distribuído de 3 modos, o segundo de 3 modos etc).
Ha  2^5 = 32 modos de distribui-los apenas a A e B, 32 a A e C etc.
Ha 1 modo de distribui-los apens a A, 1 a B etc.
A resposta eh  243 - 32 - 32 - 32 + 1 + 1 +1 = 150

rafaelc.l wrote:

Não consegui entender esta questão, gostaria de ajuda.


(UFSM-2002) De quantas maneiras podemos distribuir 5 
livros entre 3 pessoas de modo que cada pessoa receba 
pelo menos um livro?



   Obrigado


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Re: [obm-l] Amigo secreto...

[Augusto César Morgado]

Pensemos na lista. Suponhamos que haja x participantes e que foi feito um
sorteio valido. Qual eh a prob. de Andre T tirar Dirichlet e vice-versa?
A prob. de Andre T tirar Dirichlet eh 1/(n-1) e, depois disso, a prob. de
Dirichlet tirar Andre T eh 1/(n-1). A resposta eh  1/[n-1)^2]

JOÃO CARLOS PAREDE wrote:

  Acompanhei a discussão a respeito do amigo secreto, até onde pude. 
  Lembrei-me de um problema surgido com a minha noiva em seu serviço. 
  O sorteio do amigo secreto é feito em junho e no final do ano são entregue
os presentes. Durante o semestre há um mural onde se colocam mensagens para
o amigo secreto, identificando-o a partir de um pseudonimo que é combinado
na hora do sorteio. 
  Ela tirou a diretora da instituição onde ela trabalha (descobri, perguntando
o pseudonimo da diretora). Aí o que eu fiquei pensando é o seguinte: 
  Sendo n o número de funcionários, qual a probabilidade do PARTICIPANTE X
retirar o PARTICIPANTE Y e vice-versa?? 
    
   Gabriel_Pérgola <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 
  
Boa tarde,

Estavamos pensando em um amigo secreto aqui na minha república, mas o número
de pessoas que moram aqui é ímpar, logo, pensamos em chamar mais uma pessoa
para que desse certo.
Mas depois pensei direito e vi que é possível a realização perfeita da
confraternização com um número ímpar de pessoas.

Por exemplo: três pessoas participando, A, B e C

A tira B
B tira C
C tira A

E vi que não importa o número de pessoas.
Só não consegui achar uma explicação matemática para este fato.

Alguém poderia me dar uma explicação do porquê disto?


Abraços,
Gabriel


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Re: [obm-l] Amigo secreto...

[Augusto César Morgado]

Embora eu seja um troglodita em materia computacional, numa empresa em que
trabalho o homem da informatica fez um programa que ele diz ser muito simples
e automaticamente foram expedidos e-mails para cada participante comunicando
quem era o amigo oculto (esta lista eatah cheia de paulistas ou portugueses
que falam em amigo secreto!), sem que ninguem tivesse visto a permutaçao.
Ha especialistas em computaçao nesta lista que poderiam comentar a dificuldade
de execuçap de um tal programa. 
Morgado

Eduardo Azevedo wrote:

  É verdade que o jeito comum, só tem e^-1 de chance de nao "dar certo", masai e so tirar outro papelzinho.A pior coisa desse método são os ciclos pequenos (que quase sempreacontecem). QUANDO HA UM MALA, A "PROBABILIDADE" DE UM SORTEIO DAR CERTO EH DA ORDEM DE 5 POR CENTO.Por outro lado, se fizer a permutação, a principio, ninguem sabe pra quemvai dar presente. E isso é um problema bem maior, já que você não sabe secompra perfume de homem ou de mulher, CD de forró ou de rock.Pra contornar isso, o sorteio teria que ser um pouquinho mais complicado doque no método usual.- Original Message -From: "Augusto César Morgado" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]
uc-rio.br>Sent: Wednesday, December 04, 2002 7:08 PMSubject: Re: [obm-l] Amigo secreto...
  
Um processo extremamente eficiente de fazer um sorteio de amigo ocultoeh fazer uma permutaçao (isto eh, colocar os nomes das pessoas em fila)das pessoas. Ai o primeiro da fila presenteia o segundo, o segundopresenteia o terceiro,..., o ultimo presenteia o primeiro. Tal processonao gera ciclos pequenos (isto eh, nao ha um grupinho de pessoas quetrocam presentes entre si), que costumam tumultuar a mecanica dadistribuiçao de presentes e eh facilmente implementado computacionalmente(basta gerar numeros aleatorios ; quem recebe o menor eh o primeiroetc.) e evita falsas meladas de sorteio (em sorteios feitos compapeizinhos, eh comum quem sorteia o mala do grupo dizer que sorteou asi mesmo).Alem disso, sorteios com papeizinhos so tem cerca de 36% deprobabilidade de darem certo (isto eh, de nao haver um cara que sorteoua si mesmo). A esse respeito leia um artigo do Gugu na RPM de cujonumero nao re
cordo agora, mas que alguem certamente indicarah.Gabriel Pérgola wrote:

  Boa tarde,Estavamos pensando em um amigo secreto aqui na minha república, mas o
  
  
  número
  

  de pessoas que moram aqui é ímpar, logo, pensamos em chamar mais uma
  
  
  pessoa
  

  para que desse certo.Mas depois pensei direito e vi que é possível a realização perfeita daconfraternização com um número ímpar de pessoas.Por exemplo: três pessoas participando, A, B e CA tira BB tira CC tira AE vi que não importa o número de pessoas.Só não consegui achar uma explicação matemática para este fato.Alguém poderia me dar uma explicação do porquê disto?Abraços,Gabriel=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
  
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Re: [obm-l] Amigo secreto...

[Augusto César Morgado]

Na empresa em que trabalho, o homem dos computadores fez programa que gerou
a permutaçao e expediu e-mails para cada um comunicando quem era o amigo
oculto, sem que ninguem visse a permutaçao.
Morgado

Eduardo Azevedo wrote:

  É verdade que o jeito comum, só tem e^-1 de chance de nao "dar certo", masai e so tirar outro papelzinho.A pior coisa desse método são os ciclos pequenos (que quase sempreacontecem).Por outro lado, se fizer a permutação, a principio, ninguem sabe pra quemvai dar presente. E isso é um problema bem maior, já que você não sabe secompra perfume de homem ou de mulher, CD de forró ou de rock.Pra contornar isso, o sorteio teria que ser um pouquinho mais complicado doque no método usual.- Original Message -----From: "Augusto César Morgado" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Wednesday, December 04, 2002 7:08 PMSubject: Re: [obm-l] A
migo secreto...
  
Um processo extremamente eficiente de fazer um sorteio de amigo ocultoeh fazer uma permutaçao (isto eh, colocar os nomes das pessoas em fila)das pessoas. Ai o primeiro da fila presenteia o segundo, o segundopresenteia o terceiro,..., o ultimo presenteia o primeiro. Tal processonao gera ciclos pequenos (isto eh, nao ha um grupinho de pessoas quetrocam presentes entre si), que costumam tumultuar a mecanica dadistribuiçao de presentes e eh facilmente implementado computacionalmente(basta gerar numeros aleatorios ; quem recebe o menor eh o primeiroetc.) e evita falsas meladas de sorteio (em sorteios feitos compapeizinhos, eh comum quem sorteia o mala do grupo dizer que sorteou asi mesmo).Alem disso, sorteios com papeizinhos so tem cerca de 36% deprobabilidade de darem certo (isto eh, de nao haver um cara que sorteoua si mesmo). A esse respeito leia um artigo do Gugu na RPM de cujonumero nao re
cordo agora, mas que alguem certamente indicarah.Gabriel Pérgola wrote:

  Boa tarde,Estavamos pensando em um amigo secreto aqui na minha república, mas o
  
  
  número
  

  de pessoas que moram aqui é ímpar, logo, pensamos em chamar mais uma
  
  
  pessoa
  

  para que desse certo.Mas depois pensei direito e vi que é possível a realização perfeita daconfraternização com um número ímpar de pessoas.Por exemplo: três pessoas participando, A, B e CA tira BB tira CC tira AE vi que não importa o número de pessoas.Só não consegui achar uma explicação matemática para este fato.Alguém poderia me dar uma explicação do porquê disto?Abraços,Gabriel=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
  
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Re: [obm-l] moedas

[Augusto César Morgado]

Gente, vamos ler com mais atençao a clara e correta explicaçao do Marcos
Reinaldo. Voces podem usar o espaço amostral 
{,kkkc,kkcc,kccc,}, mas isso eh inconveniente porque ele nao eh equiprovavel.
Quem acha que eh deve estar disposto a apostar em  contra duas caras
e duas coroas. Topa?
Morgado
Andre Linhares wrote:

  
  
  
   Acho que é a mesma coisa tirar kkkc e kckk. Não iporta a ordem.
Afinal, que ordem, se elas estão sendo jogadas para  ar todas de uma vez? E
se, por exemplo, as moedas ficarem na seguinte posição, o que você iria considerar?
kcck, cckk, kkcc ou ckkc? Acho que não há diferença nenhuma entre essas possibilidades
  
  
  k c
  
  k c
   
   Assim o espaço amostral seria {,kkkc,kkcc,kccc,} e haveria
probabilidade de 1/5 = 20%.
   
   
   
>From: Marcos Reynaldo >Reply-To:
[EMAIL PROTECTED]  >To: [EMAIL PROTECTED]  >Subject: Re: [obm-l]
moedas  >Date: Thu, 5 Dec 2002 02:27:28 -0300 (ART)  >  >Sim, realmente
eh a mesma coisa, mas soh tem um  >detalhe, ao considerarmos isto, veja
que os resultados  >não ocorrem com a mesma frequencia. Veja:  >(a)
  1 vez  >(b) kkkc, kkck, kckk, ckkk
.. 4 vezes  >(c) kkcc, kckc, kcck, ckkc, ckck, cckk .. 6 vezes
 >(d) kccc, ckcc, cckc, ccck .. 4 vezes  >(e)  
1 vez  >Assim o espaco amostral nao eh equiprovavel.  >Então uma outra
maneira de resolver o problema é  >considerar prob de (a) ocorrer (=p(a))como
referencia  >e a frequencia de cada um como pesos.  >Lembrando que
a soma das probabilidades dos cinco  >resultados é 1, temos:  >p(a)+p(b)+p(c)+p(d)+p(e)=1
 >--> p(a)+4p(a)+6p(a)+4p(a)+p(a)=1  >donde conclui-se que p(a)=1/16
e portanto  >p(c)=6p(a)=6/16=3/8.  >Se vc observar eh mais facil considerar
cada ordenacao  >como resultado diferente e assim todas com a mesma  >probabilidade
de ocorrer.  >  >[]'s Marcos  >  >  > --- pichurin 
escreveu: >  >Jogar as moedas e obter kkkc ou kkck não
é obter a  > > mesma coisa?  > > Se for a mesma coisa este espaço
amostral pode ser  > > reduzido, passando de  > >  >{,kkkc,kkck,KKCC,kckk,KCKC,KCCK,kccc,ckkk,CKKC,CKCK,ckcc,CCKK,cckc,ccck,}
 > > para  > > {,kkkc,kkcc,kccc,}  > >  > >
Desculpem, mas é que não estou entendendo muito bem  > > este problema.
 > >  > >  > > --- pichurin 
escreveu: >  > > Mas ao jogar as moedas, obter kkkc
ou kkck não é a  > > > mesma coisa?  >  >___
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Re: [obm-l] probabilidade

[Augusto César Morgado]

Ha 2^4 = 16 casos possiveis (cada elemento pode ser par ou impar, e supomos
que isso ocorra com prob. iguais).
Para ser impar, o produto da diagonal principal deve ser par e o da secundaria
impar, ou vice-versa. Para o da principal ser par, ha 3 casos (PP, PI, IP)
e para o da secundaria ser impar, 1 caso (I, I). Mais 3 casos do vice-versa,
ha 6 casos favoraveis e a resposta eh 6/16 = 3/8.
Em suma, exatamente o que voce fez (a unica finalidade desta mensagem eh
tentar explicar um pouco mais o FUI 
COM BINANDO).
Morgado 

Marcos Reynaldo wrote:

  Para o determinante ser impar, o produto dos elementosde uma das diagonais deve ser par e na outra serimpar.Eu fiz pegando todos os casos. Escrevi numa unicalinha pra ficar mais facil (a11a22,a12a21)e fuicombinando. Pelas minhas contas deu 6/16=3/8. Gostariade saber do pessoal se tem outra maneira.[]'s Marcos --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: > Qual a probabilidadedo determinante de uma matriz
  
quadrada 2x2, com coeficientes inteiros, ser ímpar? 

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Re: [obm-l] Amigo secreto...

[Augusto César Morgado]

Um processo extremamente eficiente de fazer um sorteio de amigo oculto 
eh fazer uma permutaçao (isto eh, colocar os nomes das pessoas em fila) 
das pessoas. Ai o primeiro da fila presenteia o segundo, o segundo 
presenteia o terceiro,..., o ultimo presenteia o primeiro. Tal processo 
nao gera ciclos pequenos (isto eh, nao ha um grupinho de pessoas que 
trocam presentes entre si), que costumam tumultuar a mecanica da 
distribuiçao de presentes e eh facilmente implementado computacionalmente
(basta gerar numeros aleatorios ; quem recebe o menor eh o primeiro 
etc.) e evita falsas meladas de sorteio (em sorteios feitos com 
papeizinhos, eh comum quem sorteia o mala do grupo dizer que sorteou a 
si mesmo).
Alem disso, sorteios com papeizinhos so tem cerca de 36% de 
probabilidade de darem certo (isto eh, de nao haver um cara que sorteou 
a si mesmo). A esse respeito leia um artigo do Gugu na RPM de cujo 
numero nao recordo agora, mas que alguem certamente indicarah.

Gabriel Pérgola wrote:

Boa tarde,

Estavamos pensando em um amigo secreto aqui na minha república, mas o número
de pessoas que moram aqui é ímpar, logo, pensamos em chamar mais uma pessoa
para que desse certo.
Mas depois pensei direito e vi que é possível a realização perfeita da
confraternização com um número ímpar de pessoas.

Por exemplo: três pessoas participando, A, B e C

A tira B
B tira C
C tira A

E vi que não importa o número de pessoas.
Só não consegui achar uma explicação matemática para este fato.

Alguém poderia me dar uma explicação do porquê disto?


Abraços,
Gabriel


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[obm-l] Re:

[Augusto César Morgado]

Os números que possuem uma quantidade impar de divisores sao os 
quadrados perfeitos!
A resposta eh 31.

Roberto Gomes wrote:

Quantos números de 1 a 1000 possuem números impar de divissores




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Re: [obm-l] a

[Augusto César Morgado]

As vezes uma soma de 3 parcelas menores que 1 dah maior que 1.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:

    
   Juliana Freire <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 
  
  


Tem alguma coisa errada neste enunciado.
Por exemplo, se a = b= c = 1/3, 
a^2b + b^2c + c^2a = 3^(1/3) ~ 1.44(desde quando?Se o cara de la
e menor que 1...)
 
 
- Juliana

  
  
  Poderia ajudar nessa questão:
Sejam a, b e c pertencentes ao reais positivos tais que 
a+b+c=1. Prove que a^2b + b^2c + c^2a < 4/27
  
  
  

 
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Re: [obm-l] ajuda

[Augusto César Morgado]

Não.
Retas cortam essa curva em geral em 3 pontos (eventualmente imaginarios).
As tangentes a cortam em dois pontos coincidentes (ou seja, o ponto de tangência)
 e em um outro.
Por exemplo, a tangente em x=1 eh y = 2x  - 2
Resolvendo y = 2x - 2 ,  y = x^3 - x encontramos uma raz dupla  x=1 e uma
simples x = -2
Por exemplo, a tangente em x=0 eh y = -x.
Resolvendo y = -x,  y = x^3 - x encontramos uma raz tripla x=0

Fabio Dias Moreira wrote:

  On Wed, Nov 27, 2002 at 09:27:23AM -0200, Augusto César Morgado wrote:
  
[...]Uma soluçao sem derivada seria:Achando a interseçao da reta com a curva,obtemos a equaçaox^3 - x = 2x + nx^3 -3x - n = 0Esta equaçao deve ter raiz dupla.[...]

Não é necessário, antes, garantir que qualquer tangente à curva (y = x^3 - x) a intersecta em no máximo um ponto (ou algum resultado do gênero)? Estamos descartando as tangentes que cortam a curva em dois ou mais pontos.[]s,

Re: [obm-l] a

[Augusto César Morgado]

Acho que eh
(a^2)b + (b^2)c + (c^2)a <4/27

Juliana Freire wrote:

  
  
  Tem alguma coisa errada neste enunciado.
  Por exemplo, se a = b= c = 1/3, 
  a^2b + b^2c + c^2a = 3^(1/3) ~ 1.44
   
   
  - Juliana
  


Poderia ajudar nessa questão:
Sejam a, b e c pertencentes ao reaispositivos tais que 
a+b+c=1. Prove que a^2b + b^2c + c^2a <4/27



  
 
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Re: [obm-l] da Vunesp

[Augusto César Morgado]

D
f sobrejetiva significa precisamente isto: para todo a pertencente a B, 
a equação f(x) = a tem soluçao x pertencente a A. O fato de f ser 
injetiva significa que f(x) = a não pode ter mais de uma soluçao.

pichurin wrote:

Sejam A e B dois conjuntos não vazios  tais que
a sua intersecção é o conjunto vazio e seja f de A em
B uma função injetora.Se a é um elemento de B então,
para x pertencente a A, a equação f(x)=a
a) Não tem solução
b)tem duas soluções
c) tem umaúnica solução
d) terá solução se a função f for sobrejetora
e) tem mais que duas soluções.



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Re: [obm-l] ajuda

[Augusto César Morgado]

Seja (x,y) o ponto de tangencia. A derivada nesse ponto eh o coeficiente
angular da tangente, 2
Temos o sistema
y = x^3 - x
y = 2x + n
3x^2 - 1 = 2
Resolvendo, ha duas soluçoes
x = 1  y=0   n = -2
x = -1  y=0   n=2
Uma soluçao sem derivada seria:
Achando a interseçao da reta com a curva,obtemos a equaçao 
x^3 - x = 2x + n
x^3 -3x - n = 0
Esta equaçao deve ter raiz dupla.
As raizes serao   a, a, b
2a+b = 0
a^2 + 2ab = -3
a^2 b = n  
Resolvendo,
a =1   b= -2  n = -2
a = -1 b=2     n = 2
[EMAIL PROTECTED] wrote:

Dada a curva  y = x³ - x e a reta tangente y = 2x + n , determine o valor
de n.
  
  
  

Re: [obm-l] AJUDA

[Augusto César Morgado]

Os angulos dos setores sao proporcionais aos valores das grandezas e somam
360 graus.
Sao, portanto e em graus e aproximadamente:
885/3201 * 360 = 100
868/3201 * 360 = 98
714/3201 * 360 = 80
444/3201 * 360 = 50
290/3201 * 360 = 33
A ideia eh consierar 33 como x e aih as medidas sao, aproximadamente 3x,
3x, 5x/2, 3x/2 e x.
Espero ter ajudado.
Morgado
PS: Voce nao perguntou, mas nao resisto ah tentaçao de dizer que poucas vezes
vi uma questao tao idiota como esta, ate mesmo na ausencia do respectivamente
no enunciado, na utilizaçao indevida da palavra conjunto no enunciado, na
desconexão entre as alternativas etc. 

Margarida Lanna wrote:

  
  
  
  Esta questão é do exame de seleção do
Coltec -  BH.
  Quem puder, resolva-a, por favor.
   
  Foi dada uma tabela e, desta tabela foram
tirados  alguns numeros. O enunciado foi:
   
  Deseja-se representar as quantidades inteiras
de  contos de réis das receitas em 1849 que são: 885, 868, 714, 444 e 290,
conforme  os dados da tabela 2, em um gráfico de setores. Sendo X uma medida
em graus, o  conjunto de medidas mais coerente com o conjunto de medidas
dos ângulos dos  setores desse gráfico será:
   
  A resposta é letraC
   
  A) { X + 60º , X + 50º, X + 40º , X +
30º, x +  20º }
  B) { X / 5 , X ,   X + 20º, X - 10º ,
2X  }
  C) { 3X ,  3X ,  5X/2,  3X/2 ,  X}
  D) { X/4, 2X, X, X+ 20º, x - 30º }
   
  Abraços, Margarida  Lanna
  
  
  
  
  

Re: [obm-l] Integrais

[Augusto César Morgado]

8x^2 + 6x + 5 = 8(x+ 3/8)^2 +  31/8
Chame 2sqrt2 (x+3/8) de sqrt (31/8) tanz
Cai na mesma integral de (secz)^3.

Marcos Reynaldo wrote:

  Ah!! Mas que belo digitador eu sou! Do jeito queenviei está fácil. Faltou as raizes quadradas.Ai vai a versão corrigida.1) int(x^2/sqrt(x^2+ C))dx2) int(sqrt(8x^2+6x+5))dxAgora sim. --- Augusto César Morgado <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: > 2) 8(x^3)/3  + 3(x^2) + 5x + C
  
1) x^2/ (x^2+a) = 1 - a/(x^2+a)A integral dah  x - (raiz de a)  arctan (x/raiz dea) + C, supondo a positivoMarcos Reynaldo wrote:

  Olá colegas!Estava tentando resolver algumas integrais mas,
  
  travei
  
nas duas que seguem. Alguma dica ??1) int(x^2/(x^2 + C) dx   (onde C é uma constante)2) int(8x^2+6x+5)dxObrigado.Marcos.


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Re: [obm-l] Integrais

[Augusto César Morgado]

Na primeira, vamos supor C positivo (Se C for negativo dah completamente
diferente). Para aliviar a notaçao vamos chamar de a a raiz quadrada
positiva de C, C = a^2.
Faça a substituiçao  x = a tan z
A integral se transforma em  Integral de       a [(tanz)^2 / secz]
a (secz)^2 dz = 
 Int (a^2) (tanz)^2 (secz) dz
Usando (tanz)^2 = (secz)^2 -1, voce recairah em duas integrais que, postas
constantes em evidência, sao:
i) Int secz dz 
Esta eh imediata, dah  ln Modulo (secz + tan z)
ii) Int (secz)^3 
Esta eh chata, tem que integrar duas vezes por partes
Na primeira integraçao voce bota  u = secz,   dv = (secz)^2 dz
Dah secz . tanz  -  Int secz (tanz)^2 dz  
Aqui voce faz (tanz)^2 = (secz)^2 -1 e vai cair novamente na integral de
(secz)^3
Voce estara diante de uma equaçao do primeiro grau em integral de (secz)^3
. 
Marcos Reynaldo wrote:

  Ah!! Mas que belo digitador eu sou! Do jeito queenviei está fácil. Faltou as raizes quadradas.Ai vai a versão corrigida.1) int(x^2/sqrt(x^2+ C))dx2) int(sqrt(8x^2+6x+5))dxAgora sim. --- Augusto César Morgado <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: > 2) 8(x^3)/3  + 3(x^2) + 5x + C
  
1) x^2/ (x^2+a) = 1 - a/(x^2+a)A integral dah  x - (raiz de a)  arctan (x/raiz dea) + C, supondo a positivoMarcos Reynaldo wrote:

  Olá colegas!Estava tentando resolver algumas integrais mas,
  
  travei
  
nas duas que seguem. Alguma dica ??1) int(x^2/(x^2 + C) dx   (onde C é uma constante)2) int(8x^2+6x+5)dxObrigado.Marcos.


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Re: [obm-l] Integrais

[Augusto César Morgado]

2) 8(x^3)/3  + 3(x^2) + 5x + C
1) x^2/ (x^2+a) = 1 - a/(x^2+a)
A integral dah  x - (raiz de a)  arctan (x/raiz de a) + C, supondo a 
positivo

Marcos Reynaldo wrote:

Olá colegas!

Estava tentando resolver algumas integrais mas, travei
nas duas que seguem. Alguma dica ??

1) int(x^2/(x^2 + C) dx   (onde C é uma constante)

2) int(8x^2+6x+5)dx

Obrigado.

Marcos.

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Re: [obm-l] ajuda

[Augusto César Morgado]

Olha, nao posso dara resposta que desejaria. Mas se voce entrar no google
com AHSME  e AIME voce encontrara muita coisa. O chato eh que a lista de
endereços que aparece eh enorme e muitos deles tem apenas algumas poucas
questoes como exemplos.
A MAA publicou 5 (6?) livros com essas questões. Chamam-se The Contest Problem
Book.
Morgado

Daniel Pini wrote:

  
  
  alguem sabe um site aonde eu poderia encontrar
 questões de matematica das ótimas competições americanas: AHSME e  AIME?
  
  
  
  

Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Augusto César Morgado]

AX=I significa explicitamente que A tem inversa a direita.
AX=I nao significa, nem implicitamente que A eh invertivel. Por exemplo,
considere A 1x2 com elementos 1 e 2  e considere X 2x1 com elementos 3 e
 -1. AX=I e A nao eh invertivel, isto eh, nao existe Y tal que YA=I.
Agora, conforme provei em outra mensagem, A quadrada e AX=I implica XA=I
e, portanto, X eh a inversa de A. 
Ha que provar as coisas, nao?
Domingos Jr. wrote:

   Carissimos, voces estao supondo muito mais coisas do que o Daniel: o
  
Daniel supunha apenas A quadrada e com inversa a direita. Laurito estahsupondo que A tem inversa a direita e tem inversa a esquerda. Domingos,que A eh invertivel.Morgado

Prof., se o enunciado nos diz que existe X tal que A.X = I ele estáafirmando implicitamente que A possui inversa, não?=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=

Re: [obm-l] dificuldade

[Augusto César Morgado]

Um polinomio eh f(x) = x^2. Nao tah faltando nada no enunciado?

[EMAIL PROTECTED] wrote:

Sabendo que para todo x pertencente aos reais tem-se P(x) = P(-x-1). Determine
 um polinômio f(x) tal que P(f(x)) = P(f(-x)).
  
  
  

Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Augusto César Morgado]

Daniel, ha um teorema (chamado de teorema de Binet-Cauchy) que diz que det(AB)
= detA*detB (A e B quadradas de mesmo tamanho, eh claro).
A sua hipotese AX = I implica det(AX) = detI , 
detA* detX =1
e, portanto, detA e detX sao ambos diferentes de zero.
Em suma, a sua hipotese AX=I com A e X quadradas fe mesma ordem assegura 
que as duas tem determinantes diferentes de zero e, portanto, que A e X sao
invertiveis.
Dai, AX =I , 
(A^-1)AX = (A^-1)I
IX=(A^-1)
X = A^-1
A resposta a sua pergunta eh SIM. ( e nao precisa nem saber que detA eh diferente
de zero, isso eh consequencia de AX=I e A quadrada.
Morgado
Daniel wrote:

  - Original Message -From: Augusto César Morgado <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Saturday, November 23, 2002 10:13 PMSubject: Re: [obm-l] Matriz Inversa
  
Daniel,em principio voce deve verificar as duas coisas pois, por definiçao, Xeh a inversa de A significaAX = XA = I .Mas , vale o teorema: Se A eh quadrada e AX = I, entao XA=ILogo, por causa desse teorema, basta verificar uma so das duas coisas.A prova do teorema eh simples.Se AX=I, det(AX) = detI,   detA . detX = 1,  detA diferente dezero,A eh invertivel.

*Prof Morgado,Na linha acima não é preciso saber que det X é diferente de zero?Pois como havia dito não se sabe nada sobre a matriz X, apenas que ela équadrada de mesma ordem que A. Minha pergunta é: dado o produto de matrizesquadradas de mesma ordem AX = I, sabendo que det A é diferente de zero, enão sabendo nada sobre o det X, X é necessáriamente a inversa de A?Obrigado pela Antenção, desculpe pela instistênciaDaniel O. Costa=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=

Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Augusto César Morgado]

Daniel,
em principio voce deve verificar as duas coisas pois, por definiçao, X 
eh a inversa de A significa
AX = XA = I .
Mas , vale o teorema: Se A eh quadrada e AX = I, entao XA=I 
Logo, por causa desse teorema, basta verificar uma so das duas coisas.
A prova do teorema eh simples.
Se AX=I, det(AX) = detI,   detA . detX = 1,  detA diferente de 
zero,A eh invertivel.
Chame de B a inversa de A
AX = I ,   BAX = BI, IX = B,   X=B
Logo, X eh a inversa de A.
Eh essencial que A seja quadrada. Se A nao for quadrada, pode ser 
possivel encontrar B tal que AB=I e BA diferente de I.

Daniel wrote:

   Olá à todos os membros da lista!

   Uma pergunta teórica sobre matrizes:

   Sejam A e X matrizes quadradas de ordem n e I a
matriz identidade de mesma ordem. Para a equação:
   AX = I, posso afirmar que X é a inversa de A, ou
é preciso definir que
   AX = XA = I

   Grato

   Daniel O . Costa

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Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Augusto César Morgado]

Carissimos, voces estao supondo muito mais coisas do que o Daniel: o 
Daniel supunha apenas A quadrada e com inversa a direita. Laurito estah 
supondo que A tem inversa a direita e tem inversa a esquerda. Domingos, 
que A eh invertivel.
Morgado

Laurito Alves wrote:

Domingos, Colegas,

Acho que provamos o teorema:

Hipóteses:
1) dada a matriz a, existe a^-1 tal que a^-1.a = e (e = identidade)
2) existe uma matriz b tal que a.b = e

Tese: b = a^-1

A pergunta do Daniel não trás a segunda hipótese.

Laurito







From: "Domingos Jr." <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Re: [obm-l] Matriz Inversa
Date: Sat, 23 Nov 2002 11:00:06 -0300

> Sejam A e X matrizes quadradas de ordem 
n e I
a
> matriz identidade de mesma ordem. Para a equação:
> AX = I, posso afirmar que X é a inversa 
de A,
ou
> é preciso definir que
> AX = XA = I
>
> Grato
>
> Daniel O . Costa

um exemplo usando teoria dos grupos:
suponha que estejamos no grupo das matrizes não singulares (que possuem
inversas)
a.b = e (e é a identidade)
a^-1 é a inversa de a
(a^-1).ab = (a^-1).e  [eu posso multiplicar pelos dois lados]
[(a^-1).a].b = (a^-1).e [propriedade associativa]
[(a^-1).a].b = (a^-1) [propriedade da identidade]
e.b = a^-1[propriedade da inversa]
b = a^-1[propriedade da identidade]
pronto, chegamos onde queríamos b é a inversa de a.


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Re: [obm-l] PAs de ordens>1

[Augusto César Morgado]

Dah n(n+1)(2n+1)/6
Morgado

Olimpiada Brasileira de Matematica wrote:

  At 09:55 AM 11/22/02 -0300, you wrote:
  

 Estou num momento de diarréia mental. Qual é e como deduzir a fórmula
  
  de somatório de x^2, para x=1,2,..,n?
  
  Vc pode tentar fazer perturbacao no somatorio dos cubos, vejan n-1  1+ sum(k^3) = sum(k^3) + n^3   k=2k=1 Agora devemos alterar o somatorio para ficar com os mesmos indicesn-1 n-11+ sum(k+1)^3 = sum(k^3) + n^3   k=1  k=1   n-1 n-1n-1 n-1 n-11+ sum(k^3) +3.sum(k^2)+3.sum(k)+ sum(1)= sum(k^3) + n^3   k=1 k=1k=1 k=1 k=1agora cancela o somatorio de k^3 (tchu), e você fica com  n-13.sum(k^2)=n^3-n-3.n(n-1)/2  k=1agora eh só trabalhar o lado direito que vc achan(n+1)(2n-1)/6espero nao ter errado em conta abracosMarcelo
  
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=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=

Re: [obm-l] PAs de ordens>1

[Augusto César Morgado]

somatorio de [(k+1)^3 - k^3] = somatorio de 3k^2 - somatorio de 3k + 
somatorio de 1
Se os somatorios sao com k variando de 1 ate n, obtem-se
(n+1)^3 - 1 = 3 somatorio de k^2 - 3 somatorio de k + n
somatorio de k eh soma de PA, dah n(n+1)/2
Fazendo as contas dah somatorio de k^2 = n(n+1)(2n+1)/6
Essas coisas encontram-se no Progressoes e Matematica Financeira da SBM 
(na quarta ediçao ha soluçoes delineadas) e no Analise Combinatoria e 
Probabilidade (capitulo 4) ha uma tecnica para isso usando o Teorema das 
Colunas.
Se voce quiser aproveitar para aprender mais, vale a pena ler (nao eh um 
livro grande, embora seja um grande livro) o livro de diferenças finitas 
do Richardson, An introduction to the calculus of finite differences.
Morgado.

Alexandre Tessarollo wrote:

  Estou num momento de diarréia mental. Qual é e como deduzir a fórmula de somatório de x^2, para x=1,2,..,n? 

  Ou, mais genericamente, como se calcula a soma do n primeiros termos de uma PA de 2a ordem, onde b[n+1]-b[n]=a[n], sendo a[n] o termo de uma PA "normal"(de 1a ordem)? Naturalmente temos a[1], R e b[1].

  Generalizando ainda mais, sejam a{1}[1], a{2}[1],..,a{k}[1] respectivamente os primeiros termos de PAs de 1a, 2a,..,k-ésima ordem e R a razão da PA de primeira ordem. Em função desses parâmetros, qual a soma dos n primeiros termos da PA de k-ésima ordem?

[]'s

Alexandre Tessarollo



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Re: [obm-l] Soma de compostos(p/rocha31),TRIGONOMETRIA e areas e volumes

[Augusto César Morgado]

É fácil. É só transformar uns produtos em somas e umas somas em produtos.
No final há três tipos de soluções:
a) sen (30+x) = 0
b) cos 2x = 1/2
c) cos (30 + 3x) = 0
Se eu não errei alguma conta!
Confira aí! 
Morgado

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:

  
   Ola turma
da Lista OBMEstou com uma resposta ao e-mail de rocha31:demonstre que
todo inteiro positivo maior que 11 pode ser escrito como soma de 2 compostos.
  SOLUÇAO:veja que para os pares naoi se faz muito:x+4
e par se e somente se x tambem o for.E x+4>11 se e so se x>5>2,logo
x e par maior que 2,logo e composto.Pronto:x e 4 quebram x+4 como queremos(caso
x+4 par).
  Vamos ver se com os impares da certo.9 e o menor composto
impar.E x+9 e impar se e so se x for par.E x+9>11,x>2,logo (de novo!)x
e par maior que 2,logo e composto.Pronto:x e 9 quebram x+9 como queremos(caso
x+9 impar).Gostou?Ate que nao era dificil mas tem que ter uma imaginaçao...
  -
  Agora e a minha parte!
  Estou tentando resolver uma equaçao trigonometrica mas
nao sei como me destrinchar dos carinhas:
  sen(30+2x)*cos(2x)*sen(60+2x)=sen(30+x)*cos(30-x)*sen(30+4x).
  E tambem tenho uma duvida :alguem sabe onde eu posso
encontrar livros sobre o Teorema de Gelfond(aquele do a^b e transcedente
se a e b forem algebricos e b nao for racional(tipo i^i,2^(2^/0,5)),e
tambem definiçoes precisas sobre o que e area,comprimento e volume de figuras
quaisquer(por favor,sem apelar para Riemann...)
  Se alguem puder me ajudar,agradeço muito.
  Ass.:Johann
   
  
  
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Re: [obm-l] z^z - mais perguntas

[Augusto César Morgado]

Um bom livro de Variável complexa, que engenheiros e matemáticos podem ler
com gosto, é o do R. Churchill. Aposto que depois dessa choverão mensagens
falando em livros mais "matemáticos" como o do Ahlfors.
Morgado 

Jose Francisco Guimaraes Costa wrote:

  
  
  >
Jose Francisco  Guimaraes Costa wrote:
> 
> Sejam z1 e z2 dois números  complexos.
> 
> A operação z1^z2 é definida? Se for, qual  sua definição?
  
   
  >On Mon, Nov 18, 2002 at 10:30:40AM
-0200,  Augusto César Morgado wrote:
>   z1^z2 =  exp (z2 * ln  z1)
>
  
   
  >From
: "Nicolau C. Saldanha" <
[EMAIL PROTECTED]
>  
  >Date
: Mon, 18 Nov 2002 15:08:27 -0200 
  >
>A definição do Morgado é ótima mas é preciso chamar a atenção  para
>o fato de ln z1 não estar tão bem definido assim. A função ln  não
>pode ser definida assim
>
>ln : C - {0} ->  C
>
>precisamos fazer um corte, como por exemplo
>
>ln :  C - {z in R, z <= 0} -> C
>
>e escolhas diferentes do corte  produzem valores diferentes para ln z1.
>
>[]s,  N.
   
  Mais perguntas:
   
  (1) 
Usando a mesma linguagem segundo a qual a expressão  
   
  A = sqrt(B)
   
  é lida como "A é igual à raiz quadrada
de B",  como ler a expressão
   
  ln : C - {z in R, z <= 0} ->
C    ?
   
  (2) N diz "precisamos fazer um corte,
como  por exemplo ... ". Por que precisamos fazer um corte (ou por que "A
função ln  não pode ser definida assim: ln : C - {0} -> C") ?
   
  (3) A afirmação "precisamos fazer
um corte,  como por exemplo ... e escolhas diferentes do corte produzem valores
diferentes  para ln z" me deixa com a idéia de que eu posso escolher o corte
que me convier,  o que faz com que a função "ln z" não tenha uma definição
única. É isso  mesmo?
   
  (4) Faz sentido dizer que um número
complexo  é positivo ou negativo? Se fizer, quando ele é positivo e quando
é  negativo?
   
  (5) Por favor sugiram livros onde
eu possa  encontrar respostas para este tipo de perguntas. Embora eu tenha
estudado  números complexos e trabalhado com eles - sou engenheiro eletrônico
- não me  lembro de ter sido exposto às definições e conceitos acima.
   
  JF (Rio de Janeiro, iniciado na
ciência da  matemática pelo mesmo Prof. Morgado que iniciou o Morgado um
ano depois de  mim)
  
  
  
  

Re: [obm-l] z^z - mais perguntas

[Augusto César Morgado]

Bem, essa história de positivo e negativo, deriva da noção de positivo. Um
negativo é um número cujo simétrico é positivo.
E o que são números positivos? Os positivos formam uma classe tal que: a
soma de positivos é positivo, o produto de positivos é positivo e (tricotomia),
dado um numero qualquer, vale uma e uma só das alternativas: ele é zero,
ele é positivo, ele é negativo. A partir da noção de positivo é que se definem
maior (a maior que b significa a menos b é positivo), menor...
Nos complexos, não existe uma classe de positivos com as propriedades
acima. Com efeito, como i não é zero, ou i é positivo ou
é negativo. Se i é positivo, i*i = -1 é positivo. Absurdo  Se i é negativo,
 -i é positivo e -i * -i = -1 é positivo. Absurdo.
Portanto, não há nos complexos uma ordem com as propriedades acima.
PS: -1 positivo é absurdo porque 1 é positivo. E 1 é positivo  porque não
é zero e se fosse negativo, -1 seria positivo e -1*-1 = 1 seria positivo.

Jose Francisco Guimaraes Costa wrote:

  
  
  >
Jose Francisco  Guimaraes Costa wrote:
> 
> Sejam z1 e z2 dois números  complexos.
> 
> A operação z1^z2 é definida? Se for, qual  sua definição?
  
   
  >On Mon, Nov 18, 2002 at 10:30:40AM
-0200,  Augusto César Morgado wrote:
>   z1^z2 =  exp (z2 * ln  z1)
>
  
   
  >From
: "Nicolau C. Saldanha" <
[EMAIL PROTECTED]
>  
  >Date
: Mon, 18 Nov 2002 15:08:27 -0200 
  >
>A definição do Morgado é ótima mas é preciso chamar a atenção  para
>o fato de ln z1 não estar tão bem definido assim. A função ln  não
>pode ser definida assim
>
>ln : C - {0} ->  C
>
>precisamos fazer um corte, como por exemplo
>
>ln :  C - {z in R, z <= 0} -> C
>
>e escolhas diferentes do corte  produzem valores diferentes para ln z1.
>
>[]s,  N.
   
  Mais perguntas:
   
  (1) 
Usando a mesma linguagem segundo a qual a expressão  
   
  A = sqrt(B)
   
  é lida como "A é igual à raiz quadrada
de B",  como ler a expressão
   
  ln : C - {z in R, z <= 0} ->
C    ?
   
  (2) N diz "precisamos fazer um corte,
como  por exemplo ... ". Por que precisamos fazer um corte (ou por que "A
função ln  não pode ser definida assim: ln : C - {0} -> C") ?
   
  (3) A afirmação "precisamos fazer
um corte,  como por exemplo ... e escolhas diferentes do corte produzem valores
diferentes  para ln z" me deixa com a idéia de que eu posso escolher o corte
que me convier,  o que faz com que a função "ln z" não tenha uma definição
única. É isso  mesmo?
   
  (4) Faz sentido dizer que um número
complexo  é positivo ou negativo? Se fizer, quando ele é positivo e quando
é  negativo?
   
  (5) Por favor sugiram livros onde
eu possa  encontrar respostas para este tipo de perguntas. Embora eu tenha
estudado  números complexos e trabalhado com eles - sou engenheiro eletrônico
- não me  lembro de ter sido exposto às definições e conceitos acima.
   
  JF (Rio de Janeiro, iniciado na
ciência da  matemática pelo mesmo Prof. Morgado que iniciou o Morgado um
ano depois de  mim)
  
  
  
  

Re: [obm-l] Mais ajuda!

[Augusto César Morgado]

(1+i)^n = (1-i)^n equivale a [(1+i)/(1-i)]^n = 1
(1+i)/(1-i) = (1+i)^2/[(1+i)(1-i)] = (1+2i+i^2)/(1-i^2) = 2i/2 = i 
Logo, a pergunta eh quando que i^n = 1 .
A resposta eh n multiplo de 4.

Sharon Guedes wrote:

  Olá pessoal,
será que alguém poderia me ajudar nessas questões:
  1) Determine
o conjunto solução da equação
÷ z÷ ² + z – z .`
z = 3 + 3i 
    
  Resposta : 3 + 3i
  2)Sabendo que z é um número complexo
tal que z . `z= 24 ,calcule
o módulo de z.
  Resposta: 2Ö
 6
   
  
    
  (UFRGS) A igualdade (1 + i)^n = (1-
i )^n se verifica se e somente se:
  
n = 4K, k Î
 z 
n = 0
n é ímpar
n é par
n é primo.
  
  At. Sharon.
  
Olá pessoal, será que alguém poderia me ajudar em mais essas questões:
  
1) Determine o conjunto solução da equação
÷ z÷ ² + z – z .`
z = 3 + 3i 
  Resposta : 3 +
3i
  2)Sabendo que z
é um número complexo tal que z . `
z= 24 ,calcule o módulo de z.
  Resposta: 2
Ö 6
   
  
  (UFRGS) A igualdade
(1 + i)^n = (1- i )^n se verifica se e somente se:
  
n = 4K, k 
Î z 
n = 0
n é ímpar
n é par
n é primo.
  
  At. Sharon.
  
Olá pessoal, será que alguém poderia me ajudar nessas questões:
  
1) Determine o conjunto solução da equação
÷ z÷ ² + z – z .`
z = 3 + 3i 
  
Resposta : 3 + 3i
  
2)Sabendo que z é um número complexo tal que z . 
`z= 24 ,calcule o módulo de z.
  
Resposta: 2Ö 6
  
  
  
(UFRGS) A igualdade (1 + i)^n = (1- i )^n se verifica se e somente se:
  

n = 4K, k Î z 

n = 0

n é ímpar

n é par

n é primo.
  
  At. Sharon.
  
  
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Re: [obm-l] ----> Questão IME

[Augusto César Morgado]

Chame A+I de X.  
A = X - I.
Como A^3 = kA, fazendo as contas dá
X^3 - 3X^2 + 3X - I = kX - kI
X (X^2 - 3X +3I - kI) =  (1-k) I
A inversa de X é o produto do número 1/(1-k) pela matriz (X^2 - 3X +3I - 
kI).
Morgado
cfgauss77 wrote:

 Ficaria muito agradecido se alguém me ajudasse na 
qustão do IME abaixo.
--> Considere uma matriz A, nxn, de coeficientes reais, 
e k um número real diferente de 1. Sabendo que A^3=kA, 
prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz 
identidade nxn.


   


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Re: [obm-l] ----> Questão IME

[Augusto César Morgado]

Epa!  A pode não ser identicamente nula e A^3 = kA e A^2 diferente de kI.
Por exemplo, considere A 2x2 com primeira coluna  2  2    e segunda coluna
 0  0. A não é identicamente nula, A^3 = 4A  e A^2 não é igual a 4I.
Morgado


Salvador Addas Zanata wrote:

  Se A^3=kA, entao se A nao for identicamente nula, A^2=kI.Suponha que (A+I) nao seja inversivel. Entao o sistema (A+I)x=0 tem uma solucao x nao-identicamente nula.Assim, Ax=-x => A^2x=-Ax=xMas por outro lado, A^2x=kx, logo kx=x, absurdo pois x nao e identicamentenulo e k<>1.Abraco,SalvadorOn Tue, 19 Nov 2002, cfgauss77 wrote:
  
  Ficaria muito agradecido se alguém me ajudasse na qustão do IME abaixo. --> Considere uma matriz A, nxn, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo que A^3=kA, prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz identidade nxn. __Venha para a VilaBOL!O melhor lugar para você construir seu site. Fácil e grátis!http://vila.bol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lis
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Re: [obm-l] Ajuda!

[Augusto César Morgado]

3) (1-i) ^2 = 1 -2i + i^2 = 1 -2i -1 =  -2i
(1-i)^4 = (-2i)^2 = 4(i^2) = -4
(1-i) ^12 = (-4)^3 = -64
(1-i) ^13 = (1-i)*(-64) = 64 ( -1 + i)
2) A resposta eh 1. O modulo de um complexo a+bi (raix quadrada de a^2+b^2)
) eh igual ao modulo do seu conjugado a - bi.
1) w^2 = cos 60 + i sen 60
Z^2 = cos 240 + i sen 240
W^2 + z^2 = 0
Sharon Guedes wrote:

  
Olá, pessoal! Será que alguém poderia me ajudar nestas questões:
(UFRGS)  Se W = cos 30º + i . sen 30º e Z = cos 120º + i . sen 120º, 
então: 
a) W² + Z² = 0
b) W + Z = 0 
c) W² - Z² = 0 
d) W - Z = 0
  
e) W²*² - Z²*² = 0
  
(UFRGS) A razão entre o módulo de um número complexo não nulo e o 
módulo do seu conjugado é: 
  
a) -2
  
b) -1
  
c)½
  
d)1
  
e)2
  
(Provão99) Dado o número complexo Z = 1 - i, Z¹³ é
igual a:
  
a) 2¹³ ( 1 - i )
  
b) 32 ( 1 + i )
  
c) 64 ( - 1 + i ) 
  
d) 13 raiz de 2 ( 1 - i )
  
e) 32 raiz de 2 ( - 1 - i )
  
At. Sharon.
  
  
  
  
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Re: [obm-l] z^z

[Augusto César Morgado]

 z1^z2 =  exp (z2 * ln z1)

Jose Francisco Guimaraes Costa wrote:

  
  
  Sejam z1 e z2 dois números complexos.
  
   
  A operação z1^z2 é definida? Se for, qual
sua  definição?
   
  JF
  
  
  
  

Re: [obm-l] probabilidade

[Augusto César Morgado]

Pense nos 6 lugares _ _ _ _ _ _ , os dois primeiros formando o primeiro barco...
O numero de casos possiveis eh 6x5x4x3x2x1 = 720 (ha 6 lugares para colocar
A, 5 para B,)
O numero de casos favoraveis eh 6x1x4x1x2x1=48 (ha 6 lugares para colocar
A, 1 para B pois B tem que ficar no mesmo barco que A )
A resposta eh  48/720 = 1/15  

Juliana Löff wrote:
001601c28c32$d48589d0$c30a@wsjujuba">
  
  
  
Eu não  sei nada de probabilidade, se alguém puder me ajudar, agradeço  muito!
  
  
  
Seis pessoas, A, B, C, D, E e F, vão atravessar  um rio em 3 horas. Distribuindo-se
ao acaso as pessoas de modo que fiquem duas  em cada barco, a probabilidade
de A atravessar junto com B, C junto com D e E  junto com F, é:
  a) 1/5
b) 1/10
c) 1/15
d) 1/20
e)  1/25
  
  
  
  
  

Re: [obm-l] Equaçao "aberta"

[Augusto César Morgado]

felipe mendona wrote:
[EMAIL PROTECTED]">
  
     S =   (2^0).(n-1)+(2^1).(n-2)+.+[2^(n-3)].2+[2^(n-2)].1
  
  
Vamos considerar a soma auxiliar T,
  [EMAIL PROTECTED]">

  T = S/[2^(n-2)] = (n-1)[0,5^(n-2)] + (n-2)[0,5^(n-3)] + ... +
2[0,5^1] + 1 


T = (n-1)[x^(n-2)] + (n-2)[x^(n-3)] + ... + 2[x^1] + 1 , para x=0,5.
[EMAIL PROTECTED]">
  
  T = derivada de   [x^(n-1)] + [x^(n-2)] + ... + [x^2] + x +1  
= derivada de [(x^n - 1)/(x-1)] =[(x-1)n(x^(n-1))-  (x^n - 1)]   / (x-1)^2
 para x=0,5.
  
  
T=[ - (n+1) (0,5)^n  + 1] / [0,5^2] = 4 - (n+1) [0,5^(n-2)]
  [EMAIL PROTECTED]">

S =   4* [2^(n-2)] - (n+1)      
 Pessoal,existe uma forma fechada da expressao aberta (2^0).(n-1)+(2^1).(n-2)+.+[2^(n-3)].2+[2^(n-2)].1
?
 
   Aguardo respostas 
 Felipe
Mendonça    Vitória-ES.
  


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Re: [obm-l] Editora Mir

[Augusto César Morgado]

Insisto (estou desenvolvendo um problema grave de auto-estima; ninguém lê
o que eu escrevo!) que mensagens como esta deveriam vir acompanhadas da cidade
do remetente!
Morgado

Renato Lira wrote:
001f01c28b45$788854c0$306ef9c8@ig">
  
  
      Alguém poderia me sugerir nomes  de
livros(bons para quem quer ITA e IME por ex) de uma editora russa  chamada
Mir? Já ouvi falar muito bem de seus livros.
  
  
  
  

Re: [obm-l] equação

[Augusto César Morgado]

a = 1      b = 2i    c = 2 - 4i
b^2 - 4ac = 4 (i^2) - 4*1*(2 - 4i) = -4 - 8 + 16i = -12 + 16i = 4 ( -3 +
4i) = 4 [(1+2i)^2] = 
= [2(1+2i)]^2 = (2+4i)^2
As raízes sao [ -2i  + (2+4i)] / 2 =  1 + i     e [ -2i  - (2+4i)] / 2 =
 -1 - 3i 
Agora, é ruim de achar onde voce esta errando se voce nao manda sua soluçao.
Morgado

[EMAIL PROTECTED] wrote:
[EMAIL PROTECTED]">
Determine as raízes de z^2+2iz+2-4i=0 sendo i a unidade imaginária. No gabarito
dá
 1+i e -1-3i como soluções  e verifica-se que é verdade...mas no braço dá
respostas diferentes ...onde estou errando??
     Um abraço e um antecipado agradecimento a quem puder elucidar minha
duvida.
     Korshinói,
  
  
  

Re: [obm-l] Dúvida

[Augusto César Morgado]

O erro estah exatamente onde voce achou que estava. O professor nao deve 
ter dito o que o seu colega disse que ele disse.
Morgado

Marcos Reynaldo wrote:

Pessoal gostaria de uma ajuda para descobrir o erro da
seguinte sequencia:

16-36=25-45 --> 16-36+(9/4)=25-45+(9/4) -->
(4-9/2)^2=(5-9/2)^2 --> 4-9/2=5-9/2 --> 4=5

Um colega me mostrou esse problema dizendo que foi
apresentado por seu professor. Fiquei confuso, pois
pensei o erro seria na hora de tirar o quadrado, aí
deveria ter o módulo, mas seu professor disse que não
era isso. Não consigo ver qual o erro então.

[]´s Marcos

___
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Re: [obm-l] subconjuntos

[Augusto César Morgado]

Como nao sao disjuntos, se a interseçao eh vazia? Sao disjuntos, sim.

Marcos Aurelio Almeida da Silva wrote:
[EMAIL PROTECTED]">
  mas aí você tá contado o par {},{}, que não entra na contagem pois não éum par de conjuntos disjuntos:. Marcos Aurélio Almeida da Silva.:..:. e-mail:   [EMAIL PROTECTED] .:..:. site  :   http://cin.ufpe.br/~maas .:.On Mon, 11 Nov 2002, Augusto César Morgado wrote:
  
A resposta é a metade de (3^n +1).Marcos Aurelio Almeida da Silva wrote:

  pessoal desculpe mas essa resposta está errada, pois haverão 3^n relaçõespossíveis só que algumas delas são equivalentes...acho que dá para ficar assim:como {(x,1),(y,2)...} é equivalente a {(x,2),(y,1),...}, logo para todarelação existe uma outra completamente equivalente à ela,fica1. 3^n-1: exclui o caso em que todos são relacionados ao zero, nãoformando conjuntos disjuntos.2. (3^n-1)/2: exclui todas as relações equivalenteslogo N = (3^n-1)/2acho que dessa vez tá tudo ok:. Marcos Aurélio Almeida da Silva.:..:. e-mail:   [EMAIL PROTECTED] .:..:. site  :   http://cin.ufpe.br/~maas .:.On Mon, 11
 Nov 2002, Marcos Aurelio Almeida da Silva wrote:
  
bom, imagine um conjunto:A = {a1, a2, ..., an}imagine a seguinte relação que acossia a cada elemento do conjunto A umvalor:R: A -> {0,1,2}vamos formar os seguintes conjuntos:B = { x / (x,1) pertence a R}C = { x / (x,2) pertence a R}D = { x / (x,0) pertence a R}logo temos dois conjuntos disjuntos que são subconjuntos de A (B e C),e o conjunto D que é formado pelos elementos que não entram em nenhum dosoutros dois conjuntos. Para contar o número de  subconjuntos disjuntos ésó contar o número de relações, pois a cada par de subconjuntoscorresponde uma relação e a cada releção corresponde um par de conjuntos,logo a resposta deve ser 3^n..:. Marcos Aurélio Almeida da Silva.:..:. e-mail:   [EMAIL PROTECTED] .:..:. site  :   http://cin.ufpe.br/~maas .:.On Mon, 11 Nov 2002, cgmat wrote:

  Alô pessoal, será que alguém poderia de dar uma dica na questão:De quantas formas podemos selecionar dois subconjuntos disjuntos  a partir de um conjunto finito com n elementos?Grato, C.Gomes.
  
  
  =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
  
  
  
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Re: [obm-l] Livros

[Augusto César Morgado]

Mensagens pedindo informaçoes sobre livros deveriam sempre vir acompanhadas
da cidade do remetente.
Eu ia responder exatamente como fez o Nicolau quando, por acaso, me dei conta
que o remetente era do Ceará. Esses livros podem ser encontrados no Ceará,
não há necessidade de encomendá-los no Rio. Onde podem ser encontrados? Os
cearenses da lista (Paulo Rodrigues e outros) sabem, mas nao responderam
porque nao se deram conta que o remetente era cearense.
Morgado

Nicolau C. Saldanha wrote:
[EMAIL PROTECTED]">
  On Thu, Jan 01, 1998 at 06:04:47AM -0200, Fernando wrote:
  
Amigos Virtuais,Como poderia adquirir esses livros?a.. Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 1a. a 8a. :Problemas e SoluçõesCompilado por Élio Mega e Renate Watanabe.Sociedade Brasileira de Matemática - SBM.a.. Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 9a. a 15a.Luiz Amancio Machado de Sousa Jr.Edições UFC. Fortaleza - CE.a.. Olimpíada de Matemática do Estado do Rio de Janeiro (Problemas e Soluções)Antonio Luiz Santos, Eduardo Wagner, Raul F. AgostinhoSociedade Brasileira de Matemática - SBM.a.. Olimpíadas de Matemática 97 - Provas Compiladas e ResolvidasAntonio Caminha, Onofre Campos, Paulo Bonfim Gomes RodriguesEditora 7 de Setembro - Fortaleza - CE a.. Atenciosamente, a.. Fernando

Para os livros publicados pela SBM, tente www.sbm.org.brou escreva para a secretária da SBM encarregada de venda de livros.[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=

[Fwd: Re: [obm-l] subconjuntos]

[Augusto César Morgado]

Estou reenviando porque parece que ninguem leu.

 Original Message 

  

  From: 
  - Mon Nov 11 14:35:08 2002


  X-UIDL: 
  T=>!!RO>"![dc"!9g:"!


  X-Mozilla-Status: 
  0011


  X-Mozilla-Status2: 
  


  Return-Path: 
  <[EMAIL PROTECTED]>


  Received: 
  from sucuri.mat.puc-rio.br (sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7])	by
trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id gABEfMfD009988	for <[EMAIL PROTECTED]>;
Mon, 11 Nov 2002 12:41:22 -0200 (EDT)


  Received: 
  (from majordom@localhost)	by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3)
id MAA19220	for obm-l-MTTP; Mon, 11 Nov 2002 12:34:29 -0200


  Received: 
  from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136])	by
sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA19216	for <[EMAIL PROTECTED]>;
Mon, 11 Nov 2002 12:34:23 -0200


  Received: 
  from centroin.com.br (du105c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.105])	(authenticated
bits=0)	by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id gABEY5Dh002564	for
<[EMAIL PROTECTED]>; Mon, 11 Nov 2002 12:34:10 -0200 (EDT)


  Message-ID: 
  [EMAIL PROTECTED]"><[EMAIL PROTECTED]>


  Date: 
  Mon, 11 Nov 2002 12:33:59 -0200


  From: 
  Augusto César Morgado <[EMAIL PROTECTED]>


  User-Agent: 
  Mozilla/5.0 (Windows; U; Win98; en-US; rv:0.9.4.1) Gecko/20020508
Netscape6/6.2.3


  X-Accept-Language: 
  en-us


  MIME-Version: 
  1.0


  To: 
  [EMAIL PROTECTED]


  Subject: 
  Re: [obm-l] subconjuntos


  References: 
  <001701c28934$42e713a0$f270bfc8@41a7ime526d044j>


  Content-Type: 
  multipart/alternative; boundary="050201010406050504070106"


  Sender: 
  [EMAIL PROTECTED]


  Precedence: 
  bulk


  Reply-To: 
  [EMAIL PROTECTED]


  X-UIDL: 
  T=>!!RO>"![dc"!9g:"!


  Status: 
  U

  



   Escolha um subconjunto com k elementos, o que voce pode fazer de C(n,k)
modos. O outro subconjunto deve ser um subconjunto do complementar: como
o complementar eh de tamanho 
 n - k, este outro subconjunto pode ser escolhido de 2^(n-k) modos.
 A resposta parece ser  somatorio de  C(n,k)*[2^(n-k)] com k variando de
0 a n. Essa soma vale (binômio de Newton) 3^n. 
 Mas ha dois problemas: Primeiro, uma contagem dupla. Por exemplo, para o 
conjunto {1, 2, 3, 4}, o par {1}, {2,3} eh contado duas vezes: uma quando 
se escolhe o {1} como subconjunto e o {2,3} eh escolhido como o outro subconjunto 
e vice-versa.
 Segundo, o par vazio vazio soh eh contado uma vez.
 A resposta eh  1 + a metade de (3^n - 1) = metade de (3^n + 1)
 Bonito problema, Carlos Gomes!

 cgmat wrote:
001701c28934$42e713a0$f270bfc8@41a7ime526d044j">
  
  
  Alô pessoal, será que alguém poderia de 
dar uma  dica na questão: 
  De quantas formas podemos 
selecionar  dois subconjuntos disjuntos  a partir de um conjunto finito com 
n  elementos?
  Grato, C.Gomes.
  
  
  
  
  

Re: [obm-l] subconjuntos

[Augusto César Morgado]

A resposta é a metade de (3^n +1).

Marcos Aurelio Almeida da Silva wrote:
[EMAIL PROTECTED]">
  pessoal desculpe mas essa resposta está errada, pois haverão 3^n relaçõespossíveis só que algumas delas são equivalentes...acho que dá para ficar assim:como {(x,1),(y,2)...} é equivalente a {(x,2),(y,1),...}, logo para todarelação existe uma outra completamente equivalente à ela,fica1. 3^n-1: exclui o caso em que todos são relacionados ao zero, nãoformando conjuntos disjuntos.2. (3^n-1)/2: exclui todas as relações equivalenteslogo N = (3^n-1)/2acho que dessa vez tá tudo ok:. Marcos Aurélio Almeida da Silva.:..:. e-mail:   [EMAIL PROTECTED] .:..:. site  :   http://cin.ufpe.br/~maas .:.On Mon, 11 Nov
 2002, Marcos Aurelio Almeida da Silva wrote:
  
bom, imagine um conjunto:A = {a1, a2, ..., an}imagine a seguinte relação que acossia a cada elemento do conjunto A umvalor:R: A -> {0,1,2}vamos formar os seguintes conjuntos:B = { x / (x,1) pertence a R}C = { x / (x,2) pertence a R}D = { x / (x,0) pertence a R}logo temos dois conjuntos disjuntos que são subconjuntos de A (B e C),e o conjunto D que é formado pelos elementos que não entram em nenhum dosoutros dois conjuntos. Para contar o número de  subconjuntos disjuntos ésó contar o número de relações, pois a cada par de subconjuntoscorresponde uma relação e a cada releção corresponde um par de conjuntos,logo a resposta deve ser 3^n..:. Marcos Aurélio Almeida da Silva.:..:. e-mail:   [EMAIL PROTECTED] .:..:. site  :   http://cin.ufpe.br/~maas .:.On Mon, 11 Nov 2002, cgmat wrote:

  Alô pessoal, será que alguém poderia de dar uma dica na questão:De quantas formas podemos selecionar dois subconjuntos disjuntos  a partir de um conjunto finito com n elementos?Grato, C.Gomes.
  
  
  
  =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
  
  
  
  

Re: [obm-l] subconjuntos

[Augusto César Morgado]

Os conjuntos sao disjuntos; nao sao necessariamente complementares.

Domingos Jr. wrote:
003501c2899f$79d20e90$2accfea9@gauss">
  
  seja N = 2k + s, com s = {0, 1}
   
  0) você pode formar um subconjunto vazio
e outro  com 2k+s elementos
  1) um subconjunto com 1 elemento, outro
com  2k+s-1
  ...
  i) um com i elementos e outro com  2k+s-i
   
  se i > k estamos contando alguns subconjuntos
 duas vezes,
  logo pegamos i <= k
  seja S a soma de i = 0 até k de  Cn,i
   
  se N for ímpar, temos
  2*S = 2^n => S = 2^(n-1)
   
  ex.
  {1, 2, 3}, S = 2^2 = 4
  {},{1, 2, 3} ; {
1},{2,3} ; {2},{1,3} ; {3},{1,2}
   
  se N for par, temos
  2*S + Cn,n/2 = 2^n
  =>
  2*S - n!/[(n/2)!]² = 2^n
   
  S = 2^(n-1) + 0,5Cn,n/2
   
  para N=4, temos S = 1 + 4 + 6 = 11 = 2^3
+  0,5*C4,2
   
   
  

- Original Message - 

From:
brunolima


To:
[EMAIL PROTECTED]


Sent: Monday, November 11, 2002 10:44AM

Subject: Re: [obm-l] subconjuntos


Resposta bem grosseira: Divida o conjunto em dois subconjuntos um
   com k e outro com n-k elementos. Faca as combinações('Nescolha K') e
multiplique por n, pois K varia de 1 a n. 
 cgmat <[EMAIL PROTECTED]
> wrote:

  
  
  Alô pessoal, será que alguém poderia
de dar uma  dica na questão: 
  De quantas formas
podemos  selecionar dois subconjuntos disjuntos  a partir de um conjunto
finito  com n elementos?
  Grato, C.Gomes.
  
  
  
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eacessórios.
  
  
  
  

Re: [obm-l] subconjuntos

[Augusto César Morgado]

Escolha um subconjunto com k elementos, o que voce pode fazer de C(n,k) modos.
O outro subconjunto deve ser um subconjunto do complementar: como o complementar
eh de tamanho 
n - k, este outro subconjunto pode ser escolhido de 2^(n-k) modos.
A resposta parece ser  somatorio de  C(n,k)*[2^(n-k)] com k variando de 0
a n. Essa soma vale (binômio de Newton) 3^n. 
Mas ha dois problemas: Primeiro, uma contagem dupla. Por exemplo, para o
conjunto {1, 2, 3, 4}, o par {1}, {2,3} eh contado duas vezes: uma quando
se escolhe o {1} como subconjunto e o {2,3} eh escolhido como o outro subconjunto
e vice-versa.
Segundo, o par vazio vazio soh eh contado uma vez.
A resposta eh  1 + a metade de (3^n - 1) = metade de (3^n + 1)
Bonito problema, Carlos Gomes!

cgmat wrote:
001701c28934$42e713a0$f270bfc8@41a7ime526d044j">
  
  
  Alô pessoal, será que alguém poderia de
dar uma  dica na questão: 
  De quantas formas podemos
selecionar  dois subconjuntos disjuntos  a partir de um conjunto finito com
n  elementos?
  Grato, C.Gomes.
  
  
  
  

Re: [obm-l] teoria dos números

[Augusto César Morgado]

Reenvio corrigindo um erro.

Augusto César Morgado wrote:
[EMAIL PROTECTED]">   
= 3 (mod 7)
 ^2 = 3^2 = 2 (mod 7)
 ^3 = 3*2 = 6 (mod7)
 ^4 = 2^2 = 4 (mod 7)
 ^5 = 5 (mod 7)
 ^6 = 1 (mod 7) 
 A partir daih, repete-se em ciclos de 6 (mais precisamente ^(a+6) =
^a)
 como  = 6*925 + 5, ^= ^5 = 5.
 Analogamente, ^ =  2 (mod 7) e ^+^=
7 = 0 (mod 7)
 Eder wrote:
  007e01c28435$d3a2f340$3c02fea9@Eder">


    
Gostaria de ajuda nestes problemas:
 
1)Se 2^k - 1,onde k é um inteiro maior 
que 2,é  primo,prove que k é primo.
2)Mostre que ^() + ^() 
é divisível  por 7.
3)Prove que se um dos números 2^n -
1 e 2^n + 1 é  primo,então óutro é composto.
 
 

Re: [obm-l] Re:[obm-l] desafio(correção)

[Augusto César Morgado]

Esse seu argumento eh perigoso. Considere um segmento AB de comprimento x.
Para ir de A a B, anda-se x. Pense agora num triangulo equilatero ABC. Para
ir de A a B via C, anda-se 2x.
Agora quebre AB ao meio, no ponto M. Para ir de A a B em linha reta via M,
anda-se x. Faça a mesma coisa do triangulo equilatero sobre AM e sobre MB,
anda-se 2x. Quebre AM e MB ao meio, etc. No limite, na reta voce anda x e
no zigue-zague, 2x. So que no limite, a reta e o zigue-zague se confundem.
Logo, x = 2x e 1=2.

glauber.morais wrote:
H52HKA$[EMAIL PROTECTED]">
  

  Olá,   Alguém seria capaz de provar o seguinte lim sem utilizar o lim fundamental do sen:   lim x.tg(n/x)=n   x->inf  ou  lim x.sen(n/x)=n  x->inf  oi..
  
  Considera-se uma circunferência de centro "A" e raio "R". E um triângulo retângulo "ABC", sendo os cateto AB=R e BC,  "a" é o ângulo CâB. Para "a" infinitamene pequeno, o cateto BC se confunde com a circunferência.Iguala-se ,então, o semi-perímetro da circunferência, calculado através do raio da circunferência e através d
  
  o 
  
somatório de vários "CB"s dispostos lado a lado com "A"

 

  no centro da circunferência. A partir daí, deduz-se o lim. proposto.   Desculpem qualquer confusão causada pela falta de recurso do teclado...   
  
_(ver correção na questão)


__

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OL

  !
  
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 a

   lista em
  
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  br
  
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Re: [obm-l] duvida conceitual sobre probabilidades

[Augusto César Morgado]

Voce pode fazer C(3,1)*C(4,1)*C(2,1)/C(9,3), que da a mesma coisa, mas 
sempre dah a mesma coisa tirar sucessivamente sem reposiçao ou 
simultaneamente porque os casos favoraveis e os possiveis ficam 
multiplicados pelo mesmo fator.

niski wrote:

Ola pessoal..o problema é o seguinte..
Considere um balaio onde se encontram 3 bolas brancas, 4 bolas 
vermelhas e 2 bolas pretas.
Qual é a probabilidade de se tirar simultaneamente 3 bolas de cores 
diferentes?

Bom, o inicio do problema me parece facil:

Por exemplo que a primeira bola seja branca a segunda seja verm e a 
terceira seja preta, a probabilidade pedida é
B   V  P
3/9 * 4/8 * 2/7
Ai que entra a minha duvida...vi que o meu professor multiplicou esse 
resultado por 3!, já que pode-se tirar as 3 bolas nao necessariamente 
nessa ordem (B,V,P)...bom eu aceito isso no caso de se ir tirando as 
bolas do balaio uma por uma ...mas como pode-se fazer distincao, por 
exemplo, entre tirar primeiro B, depois V e dpois P e tirar primeiro P 
depois V e depois B se estou tirando as bolas simultaneamente? ou 
seja..eu enfio a mao no balaio e tiro as 3 bolas...nao seria o mesmo 
evento pra minha mao encaixar 3 bolas diferentes sejam elas quaisquer 
3 bolas diferentes?
espero que tenha sido claro!
obrigado

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Re: [obm-l] Base 7

[Augusto César Morgado]

6*7*7

Igor GomeZZ wrote:





[IME1992] Calcule quantos números naturais de 3 algarismos existem no
sistema de base 7.



Infelizmente, não possuo a resposta... Qualquer dica, blz!

Fui!


### Igor GomeZZ 
UIN: 29249895
Vitória, Espírito Santo, Brasil
Criação: 4/11/2002 (19:56)

Pare para pensar:

Nunca desencoraje ninguém que
continuamente faz progresso, não
importa quão devagar. (Platão)




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Re: [obm-l] teoria dos números

[Augusto César Morgado]

 = 3 (mod 7)
^2 = 3^2 = 2 (mod 7)
^3 = 3*2 = 6 (mod7)
^4 = 2^2 = 4 (mod 7)
^5 = 5 (mod 7)
^6 = 1 (mod 7) 
A partir daih, repete-se em ciclos de 6 (mais precisamente ^(a+6) = ^a)
como  = 6*925 + 5, ^= ^5 = 5.
Analogamente, ^ =  4 (mod 7) e ^+^=9 = 2 (mod 7)
Eder wrote:
007e01c28435$d3a2f340$3c02fea9@Eder">
  
  
      
  Gostaria de ajuda nestes problemas:
   
  1)Se 2^k - 1,onde k é um inteiro maior
que 2,é  primo,prove que k é primo.
  2)Mostre que ^() + ^()
é divisível  por 7.
  3)Prove que se um dos números 2^n - 1
e 2^n + 1 é  primo,então óutro é composto.
   
   
  
  
  
  

Re: [obm-l] teoria dos números

[Augusto César Morgado]

3) 2^n-1, 2^n, 2^n+1 sao tres inteiros consecutivos; um deles eh multiplo
de 3...
1) x^n - 1 = (x - 1) [x^(n-1)+x^(n-2)+...+1]
Logo, se x eh inteiro, x^n - 1 eh divisivel por x - 1
Se k eh composto, k = ab com a e b inteiros maiores que 1.
2^(ab)-1 = x^b -1 com x = 2^a  eh divisivel por 2^a - 1.. 
.
Eder wrote:
007e01c28435$d3a2f340$3c02fea9@Eder">
  
  
      
  Gostaria de ajuda nestes problemas:
   
  1)Se 2^k - 1,onde k é um inteiro maior
que 2,é  primo,prove que k é primo.
  2)Mostre que ^() + ^()
é divisível  por 7.
  3)Prove que se um dos números 2^n - 1
e 2^n + 1 é  primo,então óutro é composto.
   
   
  
  
  
  

Re: [obm-l] desafio !

[Augusto César Morgado]

João Gilberto Ponciano Pereira wrote:
No seu contra-exenplo P(1) e P(5) nao tem homem comum.


"Um comandante de companhia convocou voluntários para a constituição de 11
patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem
participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas tem somente um
homem em comum. Determine o múmero de voluntários e integrantes de uma
patrulha." 

Pessoal

E se tivermos apenas 11 homens, com 2 homens por patrulha, de forma que
P(1) = H(1) e H(2)
...
P(N) = H(N) e H(N+1)
P(11) = H(11) e H(1)

SDS
JG

-Original Message-
From: Eder [mailto:edalbuquerque@;uol.com.br]
Sent: Sunday, November 03, 2002 1:03 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] desafio !


Uma vez alguém me falou de uma analogia interessante que poderia ser
utilizada neste problema...
É o seguinte:

Consideremos um polígono convexo de 11 lados e,é claro,de 11 vértices.Você
posicionaria 1 homem em cada vértice,assim estes estariam em exatamente duas
patrulhas e cada duas patrulhas teriam um homem em comum.Agora, considere as
diagonais.Imaginando uma diagonal como um homem,vemos que aqui também é
respeitado o fato de que cada homem estaria em exatamente duas patrulhas e
cada duas patrulhas,ligadas pela diagonal,teriam um homem em comum.Assim o
total de homens é:

nº vértices+nº diagonais= 11 +11(11-3)/2 = 55.


Seja n o número de homens por patrulha.Temos que 11*n=2*55 (pois cada homem
foi contado duas vezes),daí n=10.

Espero que esteja certo.


Eder


- Original Message - 
From: Wander   Junior 
To: [EMAIL PROTECTED]   
Sent: Sunday, November 03, 2002 2:09 PM
Subject: [obm-l] desafio !

Dúvida:

Um comandante de companhia convocou voluntários para a constituição de 11
patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem
participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas tem somente um
homem em comum. Determine o múmero de voluntários e integrantes de uma
patrulha.


Agradeço desde já.
Wander

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Re: [obm-l] Ajuda em probabilidade

[Augusto César Morgado]

O problema é complicado, no sentido que exige um conhecimento específico
de algumas técnicas de probabilidade. Veja o livro do Feller (capítulo 11),
na parte de Passeios Aleatórios e procure por Retorno À Origem.
A propósito, a resposta é 1 - módulo (2p-1)

Felipe Villela Dias wrote:
000a01c283a7$3e264df0$158c000a@computador">
  
  
  Um moeda é viciada, ou seja tem uma probabilidade p,
p  diferente de 50%, de dar cara e uma probabilidade 1 - p de dar coroa.
Sendo  assim, se você jogar a moeda infinitas qual a probabilidade de que
em pelo menos  um instante o número de vezes que saiu cara vai ser igual
ao número de vezes que  saiu coroa?
  
   
   
  
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Re: [obm-l] ... ajuda ...

[Augusto César Morgado]

Nao seria geometrica ou harmonica em vez de ponderada?

Eleu Natalli wrote:
[EMAIL PROTECTED]">
  alguem pode demonstar para mim que a media
aritmetica de "n" numeros é sempre maior ou igual que a média ponderada dos
mesmos "n" numeros ?
  obs: ultilizando numeros positivos ...
  
  
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e acessórios. 
  
  
  

Re: [obm-l] desafio

[Augusto César Morgado]

Não. Ninguém é capaz de provar isso, nem usando nem não usando..
Morgado

glauber.morais wrote:


Olá,
  
   Alguém seria capaz de provar o seguinte lim sem 
utilizar o lim fundamental do sen:

  lim n.tg(n/x)=n
  x->inf

ou

 lim n.sen(n/x)=n
 x->inf  
   


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Re: [obm-l] binômio de newton

[Augusto César Morgado]

Não, só se a=1.

pichurin wrote:


(a + x)^n
x é um número bem pequen0(entre zero e um)
Ex: (1 + 0,05)^32

Como calcular isso pelo Binômio de Newton(calcular o
valor aproximado)

essa aproximação pode ser dada por a + nx?

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Re: [obm-l] AFINAL-QUEM ESTA CERTO?????

[Augusto César Morgado]

bruno lima wrote:
[EMAIL PROTECTED]">
  Qual solução está correta  a minha ou essa??Acho que a correta é a seguinte: 610 = 2*305 = 2(304 + 1) = 2(2*152 + 1 ) = 2 + 152*2^2= 2 + 19*2^5 = 2 +(16+3)*2^5 = 2 + 2^5 + 2^6 + 2^9 Então o cara acertou 4 perguntas: a segunda, a sexta,a sétima e a décima. 
  
  
Está certa. Morgado
  [EMAIL PROTECTED]">
 Marcelo Souza<[EMAIL PROTECTED]> wrote: Bom, acho que do jeito que eu fiz eh mais ou menos amesma coisa, veja:x_1+2x_2+4x_3+...+512x_10=610onde x_i pertence a {0,1}Ele deve ter acertado a pergunta 10, caso contrário,'nào daria para obter tal pontuacao.

Até aqui, ótimo.
A partir daqui, na hora do analogamente é fácil concluir que... houve uma
distraçaozinha!
[EMAIL PROTECTED]">
  ..observando tal fato, eh fácil concluirque ele acertou as perguntas 9,8,5,2...zerando asoutras.Falow[]'s Marcelo>From: Gabriel Pérgola >Reply-To: [EMAIL PROTECTED]>To: "Obm-l" >Subject: [obm-l] Problema doMárcio - jogo de tv>Date: Sun, 13 Oct 2002 20:06:29-0300>
  
E aí pessoal,Estava olhando o problema que o Márcio mandou para a

lista:>Em um jogo de televisão, um candidato deve responder a10 perguntas. A primeira vale 1 ponto, a segunda vale2 pontos, e assim, sucessivamente, dobrando sempre. Ocandidato responde a todas as perguntas e ganha ospontos correspondentes às respostas que acertou, mesmoque erre algumas. Se o candidato obteve 610 pontos,quantas perguntas acertou?>E vi a solução usando número binários (colocando nabase dois)..>Gostaria de saber se existe alguma outra forma deresolver este problema, e>se sim, como?>>Abraço,>>Gabriel___Yahoo! GeoCitiesTudo para criar o seu site: fe
rramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.http://br.geocities.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=

Re: [obm-l] obm

[Augusto César Morgado]

www.obm.org.br

Margarida Lanna wrote:
009001c28073$02bf96e0$4326fbc8@abc">
  
  
  Gostaria de receber questões antigas de
olimpíadas  de matemática com gabarito.
   
  obrigada,
   
  Margarida Lanna
  
  
  
  

Re: [obm-l] Hipérbole

[Augusto César Morgado]

Sua divisão por d+27 foi precipitada.
Chega-se a 9(y-2)^2 - (x-3)^2 = d+27.
Se d+27 diferente de zero, eh uma hiperbole ...
Se d+27 = 0 , a equaçao fica 9(y-2)^2 = (x-3)^2 , isto eh  3(y-2) =  (+ ou
-) (x - 3), duas retas

Hely Jr. wrote:
000c01c27ffb$aec10780$[EMAIL PROTECTED]">
  
  
  Seja C={ (x,y) / -x^2 + 6x + 9y^2 - 36y
= d } ,  onde d é um numero real.
  a) Determine os valores de 'd' tais que
C é uma  hipérbole com os vértices em uma reta paralela ao eixo x.
  b) P/ os valores de 'd' tais que C é a
união de 2  retas, dê as equações da reta.
   
  Desenvolvendo a equação
cheguei  em:
   
  -(x-3)^2 / (d+27)     +  
9(y-2)^2 / (d+27) = 1 , gostaria de uma 
   
  ajuda p/ concluir  problema.
  
  
  
  

Re: [obm-l] tradução de "manifold"

[Augusto César Morgado]

Variedade

Jose Francisco Guimaraes Costa wrote:
005801c27d72$9a11d980$9c02dcc8@jf">
  
  
  Em matemática, qual a tradução para português
da  palavra "manifold"?
   
  JF
  
  
  
  

Re: [obm-l] Agrupamento

[Augusto César Morgado]

a) 2 operarios e 3 empresarios: C(10,2).C(5,3) = 45*10 = 450
b) 3 operarios e 2 empresarios: C(10,3).C(5,2) = 120*10 = 1200
Resposta: 1650
Gabriel Pérgola wrote:


Gostaria de ver a resolução deste problema:

Pretende-se formar uma comissão de 5 membros a partir de um grupo de 10
operários e 5 empresários, de modo que nessa comissão haja pelo menos dois
representantes de cada uma das classes. O total de diferentes comissões que
podem ser assim, formadas é?

a) 1000
b) 185
c) 19400
d) 1750
e) 1650


[]'s
Gabriel

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Re: [obm-l] Uma ajudinha por favor...

[Augusto César Morgado]

Eh facil ver que nao ha raiz negativa (se x for negativo, as quatro 
parcelas serao negativas e a soma dara negativa e nao zero).
Tampouco ha raiz positiva menor que 1 (x^3 - x^2 = x^2 (x - 1) sera 
negativo; a soma das quatro parcelas sera menor que - 1).
Logo, voce tem que procurar raiz maior que 1.
Com uma calculadora ou um aplicativo de computador voce achara  1,3532

filipe falcão wrote:

Olá pessoal,

tava tentando resolver mas não saiu... x³-x²+x-2=0 . É isso ai, se 
alguem puder ajudar eu agradeço desde já.

Filipe Falcão






_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com

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Re: [obm-l] DÚVIDA

[Augusto César Morgado]

Wagner wrote:
f(x) = (b^x + c^x)^(1/x) = exp [(1/x)
ln (b^x + c^x)]
f'(x) = exp [(1/x) ln (b^x + c^x)] * 
{(- 1/x^2) ln (b^x + c^x) + (1/x)  [(b^x * lnb + c^x * ln c)/ (b^x + c^x)]

005d01c2785e$33c67be0$03909ec8@u2z7z2">
   Oi para todos!
   
      Estava resolvendo um problema e  me
deparei com isso:
   
  Se f(x) = (b^x + c^x)^(1/x), quanto vale
f '(x) em  função de b e c?
   
  A quem conseguir me ajudar agradeço
   
  André T.
  
  
  
  

Re: [obm-l] ??

[Augusto César Morgado]

Faça as contas. Dah  1998x + 1998y = xy
xy - 1998x - 1998y = 0
xy - 1998x - 1998y + 1998^2 = 1998^2
(x-1998) (y-1998) = 1998^2
Bom, o problema tá meio grande.
Vamos fazer de conta que em vez de 1998 eh 3
(x-3)(y-3)=9
Os unicos produtos de inteiros que dao 9 sao
1*9       3*3         9*1          -1 * -9       -3 * -3            -9 *
-1 
Iguale :
x-3 = 1       y-3 =9
A primeira soluçao eh   x=4   y = 12 

Eder wrote:
002b01c277b2$b02cb840$b781fea9@Eder">
  
  
  Achar as soluções inteiras de  1/x+1/y=1/1998.
  
  
  
  

Re: [obm-l] log natural =log neperiano ?

[Augusto César Morgado]

Bobagem! O que o mundo todo chama de logaritmo neperiano eh a mesma 
coisa que logaritmo natural. Agora, o que o mundo todo chama de 
logaritmo neperiano nao eh exatamente a mesma coisa que foi inventada 
por Neper e sim o resultado de uma pequena modificaçao na criaçao do 
Neper. Naquele tempo, sem calculadoras e computadores, qualquer coisinha 
que facilitasse contas era ouro puro. O logaritmo inventado por Neper, 
por exemplo, entre outras pequenas modificaçoes, eh o nosso multiplicado 
por uma certa potencia de 10 (10 elevado a 9, creio) para evitar virgula 
nos calculos etc. Se voce quiser saber exatamente o que Neper fez, va a 
um livro de Historia da Matematica.
Mas todo mundo chama de neperiano o logaritmo natural, que eh o 
resultado de pequenas modificaçoes na invençao do Neper.
Morgado

adr.scr.m wrote:

vi num livro uma vez dizendo que logaritmo 
natural(base e) eh diferente do logaritmo 
neperiano, e gostaria de saber se eh 
verdade,porque todos os professores que eu 
conheco (pessoalmente)os tratam como iguais.
obrigado.
[]'s.
Adriano.


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BOL - três anos com você. Venha pra festa e ganhe uma viagem!
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Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Augusto César Morgado]

ISSO EH FALSO.
A inversa de   1  2  /  3  4 (a barra significa quebra de linha) eh
(-2)1  /   (1,5) (- 0,5)

David Ricardo wrote:


Alguém poderia provar isso aqui pra mim?

Para calcular a matriz inversa de uma matriz A, devemos juntá-la com a
identidade e esacaloná-la. A matriz que ficou no lugar da matriz identidade,
multiplicada por
det(A) é a matriz inversa de A.

Ex.:
| 1  2 | (determinante = -2)
| 3  4 |

1ª * -3 + 2ª 2ª / -2  2ª * -2 + 1ª
| 1  2  1  0 |   => | 1   2   1   0 | => | 1  2   10 |  => | 1
  -2   1  |
| 3  4  0  1 | | 0  -2  -3  1 |  | 0  1  3/2  -1/2 |   | 0
1   3/2  -1/2 |

|  -2  1   |  * det(A)  =
| 3/2  -1/2  |

|  4  -2 |
| -3   1 |, que é a matriz inversa de A.

[]s
David

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Re: [obm-l] Ajuda

[Augusto César Morgado]

Faça (1+i)^40 e tome a parte real.
Dah  2^20

cfgauss77 wrote:


Alguem poderia me ajudar no somatório abaixo?

C40,0 - C40,2 + C40,4-...+ C40,36 - C40,38 + C40,40
 

Desde já agradeço!!!

Obs.: Entenda por Cn,p como sendo combinação de n 
tomados p a p.


__
Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL!
http://www.bol.com.br/discador
Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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=




=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

Re: [obm-l] Benedito de Moraes

[Augusto César Morgado]

Prezado Marcos,
Instruções para a compra de livros da SBM encontram-se em
www.sbm.org.br 
Um abraço
Morgado

Marcos Gomes de Melo wrote:
004e01c27175$c02d45e0$2b69ccc8@terra">
  Caro Morgado,Agradeço sua resposta. Se você souber onde posso adquirir o livro do Elon,que você citou, fico-lhe agradecido.Fui aluno da última turma do velho "Biu" em 1960 e 1961, quando ele parou deensinar Matemática. Eram dois anos, onde no primeiro dava a matéria de todoo ginásio (quinta a oitava) e no segundo a de todo o científico. Era como sefosse um cursinho só de Matemática para preparar para o vestibular.O Professor Benedito era autodidata, não tinha nem o curso primário, e erafeirante, mas transformou-se em excelente Professor ao desenvolver nosalunos o gosto pela Matemática, conseguindo desmistificá-la. Não raro alunosmedíocres, em Matemática, após estudar com ele se transformavam em bonsalunos na matéria. Foi o meu caso, que ia fazer medicina por temer aMatemáti
ca. Graças a ele mais tarde consegui enfrentar o vestibular do ITA eda POLI,  passar em ambos e formar-me com "Menção Honrosa" em Matemáticapelo ITA..Rendo aqui minhas homenagens ao velho mestre.SDS,Marcos Melo.- Original Message -From: "Augusto César Morgado" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Wednesday, October 09, 2002 11:42 AMSubject: Re: [obm-l] Benedito de Moraes
  
O professor Benedito foi professor de dois ilusres matematicosbrasileiros, Elon Lages Lima e Manfredo Perdigao do Carmo.Elon publicou, na Coleçao do Professor de Matematica da SBM, um livroque reune artigos por ele escritos e que se chama Meu Professor deMatematica. O titulo do livro eh o titulo do primeiro artigo e se refereao professor Benedito.MorgadoMarcos Melo wrote:

  Alguém da lista foi aluno, conheceu ou já ouviu falar do Prof.Benedito de Moraes, de Alagoas?SDS,Marcos Melo.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
  
  =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 02/10/2002 / Versão: 1.3.13Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
  
  =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
  
  
  
  

Re: [obm-l] Benedito de Moraes

[Augusto César Morgado]

O professor Benedito foi professor de dois ilusres matematicos 
brasileiros, Elon Lages Lima e Manfredo Perdigao do Carmo.
Elon publicou, na Coleçao do Professor de Matematica da SBM, um livro 
que reune artigos por ele escritos e que se chama Meu Professor de 
Matematica. O titulo do livro eh o titulo do primeiro artigo e se refere 
ao professor Benedito.
Morgado

Marcos Melo wrote:

>Alguém da lista foi aluno, conheceu ou já ouviu falar do Prof. 
>Benedito de Moraes, de Alagoas?
>
>SDS,
>
>Marcos Melo.
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
>=
>
>


=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

Re: [obm-l] Re:

[Augusto César Morgado]

diegoalonsoteixeira wrote:
H3METQ$[EMAIL PROTECTED]">
  8x^3+kx^2-18x+9   as raizes são a,-a,e p(a outra raiz)Soma das raizes=-k/8=a-a+p      p=k/8 AQUI HA UM ERRINHO DE SINALproduto dois a dois das raizes=ak/8-a^2-ak/8=-a^2=-18/8   .  a=+-raiz de 18/8 produto das tres raizes=-9/8=a(-a)k/8=-a^2k/8=-18k/64=-9/8k=9*8/18=4espero não ter errado __Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL!http://www.bol.com.br/discadorAinda não tem AcessoBOL? Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol
  Quem pode auxiliar a resolver:Se a equação 8x³ + kx² - 18x + 9 = 0 tem raízes reais "a" e "-a", então o valor de k é:(a) 9/4  (b) 2 (c) 9/8(d) -2(e)-4Obrigado,Guilherme_Converse com seus amigos online, faça o download grátis do MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
  
  
  
  

[obm-l] Re:

[Augusto César Morgado]

Gastou 5/6. Ficou com 1/6.
Troque o 5/6 por 1/6 que da certo.
Horrivel, neh, quando a gente comete uma distraçao dessas e enlouquece 
tentando encontrar a bobagem que fez e nao encontra porque a gente 
procura nas passagens dificeis, e nao nas faceis.
Acontece muito comigo.

Guilherme Rubert Pereira wrote:

>
> No seguinte problema:
>
>
> Um automobilista, para executar uma viagem, encheu o tanque do seu 
> carro de gasolina. Depois de percorrer certa distância, percebeu que 
> havia gasto 5/6 da gasolina do tanque. O automobilista colocou então 
> 28 litros e ficou com 3/4 da sua capacidade total. Quantos litros 
> cabem no tanque?
>
>
> Por que não posso desenvolver esse raciocínio:
>
> x = tanque
>
> x = 5/6x + 28 +1x/4 ?
>
> O tanque total não seria 5/6 da sua capacidade, mais 28 litros e mais 
> 1/4 do total?
>
> Só que não dá certo.
>
> Parece ser fácil, mas não consigo entender. Alguém poderia me explicar 
> o desenvolvimento para a solução do problema?
>
>
> Obrigado,
>
> Guilherme
>
> _
> MSN Photos é a maneira mais fácil e prática de editar e compartilhar 
> sua fotos: http://photos.msn.com.br
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
> =
>
>


=
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=

[obm-l] Re:

[Augusto César Morgado]

A soma das raízes vale - k/8. Para que duas raízes sejam a e -a eh 
necessario e suficiente que - k/8 seja raiz.
Substitua na equaçao e faça as contas.
Dah  k = -4.
Falta verificar se essas raizes a e -a sao efetivamente reais. O 
polinomio 8x³ + kx² - 18x + 9 eh positivo para x=0, negativo para x=1 e 
para x= -1. Ha uma raiz entre 0 e 1 e uma raiz entre 0 e -1. A outra eh 
real pois o polinomio tem coeficientes reais e, portanto, um numero par 
de raizes nao reais. OK

Guilherme Rubert Pereira wrote:

>
>
> Quem pode auxiliar a resolver:
>
> Se a equação 8x³ + kx² - 18x + 9 = 0 tem raízes reais "a" e "-a", 
> então o valor de k é:
> (a) 9/4  (b) 2 (c) 9/8(d) -2(e)-4
>
>
> Obrigado,
>
> Guilherme
>
>
> _
> Converse com seus amigos online, faça o download grátis do MSN 
> Messenger: http://messenger.msn.com.br
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
> =
>
>


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=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] probabilidade

[Augusto César Morgado]

Nao eh nao.

Wagner wrote:
00ae01c26d68$a884d860$fc909ec8@u2z7z2">
  
  
  Oi para todos!
   
  Na verdade a chance é 1/2. Se a gaveta
que foi  aberta e de lá foi tirada uma bola branca, ela não pode ser a gaveta
que possuia  2 bolas pretas então só pode ser a que tinha 1 e a que tinha
2 bolas brancas. Se  for a primeira, a próxima bola será preta, se a gaveta
aberta for a  segunda, a próxima bola será branca, logo a probabilidade é
1/2.
   
  André T. 
   
   
  Temos 3 bolas brancas ao todo, 2 na primeira gaveta e uma na  terceira.
Se você retirou uma bola branca, há 2/3 de probabilidade de ter  aberto a
primeira gaveta e 1/3 de ter aberto a segunda. A outra bolinha será  branca
caso a gaveta aberta tenha sido a primeira, logo a probabilidade é de  2/3.
  Camilo 
  
-- Mensagem original --
  
>Dadas 3 gavetas. Em  cada gaveta há duas bolas, como se segue :
>primeira gaveta: duas bolas  brancas
>segunda gaveta: duas bolas pretas
>terceira gaveta: uma  bola branca e uma preta
>Você abre aleatoriamente uma gaveta e tira uma  bolinha branca. Qual
é a
  
>probabilidade da outra bolinha também ser  branca?
>
  
  
  
  
  

Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] questões

[Augusto César Morgado]

Nao estah.
Como 
360=2^3*3^2*5,os divisores positivos de 360 sao os numeros da forma 2^a  *  3^b  *  5^c  com a podendo ser 0, 1, 2 ou 3, b podendo ser 0, 1 ou 2,  c podendo ser 0 ou 1.Ha 4*3*2 = 24 divisores.Para soma-los, divida-os em dois blocos: aqueles em que o c vale 0 e aqueles em que o c vale 1. A soma do segundo bloco vale 5 vezes a soma do primeiro bloco. Logo, a soma vale 6 vezes a soma dos numeros da forma 2^a  *  3^b com a podendo ser0, 1, 2 ou 3, b podendo ser 0, 1 ou 2.Divida agora esta soma em 3 blocos, conforme os valores de b .Dah 1170.


baldocki wrote:
H3JL7L$[EMAIL PROTECTED]">
   gostaria de saber porque a necessidade de multiplicar a matriz por 1 e também se minha resposta para a segunda questão está correta.resposta:360=2^3*3^2*52^3=>3div3^2=>2div5^1=>1divcombinando os termos:2^3 e 3^2=>3*2=6div2^3 e 5=>3*1=3div3^2 e 5=>2*1=2div2^3 e 3^2 e 5=>6+2+3=11divsomando tudo=28divagora a soma:2+2^2+2^3=14,3+3^2=12,(2+2^2+2^3)*(3+3^2)=168(2+2^2+2^3)*5=70(3+3^2)*5=60168*5=840Somando tudo=1164 __Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL!http://www.bol.com.br/discadorAinda não tem AcessoBOL? Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol
  Ola Rafael,1)Multiplique todas a linhas por 1 e some à 1ªlinha.Coloque "em evidencia" o termo em comum da 1ªlinha.Tendo agora so termos 1 na 1ªlinha faça todas as colunas menos a 1ª.Calcule agora o det da matriz triangular formada.2)Fatore 360 que vc encontrara todos os seus divisores naturais...3)Deixo essa para ser ainda discutida pela lista,ja que o proprio criador da questao disse q essa questao nao era de combinatoria,mas sim teoria dos grafos... Um abraço,Leonardo
  
From: "rafaelc.l" <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] questõesDate: Fri,  4 Oct 2002 21:35:37 -0300 Por favor, me ajudem nas questões abaixo: 1) Qual o determinante de uma matriz de ordem n quepossui zeros na diagonal principal e todos os outroselementos iguais a 1? 2)quantos são os divisores naturais de 360? qual suasoma? 3) Naquela questão 7 do IME 2001, das estradinhas, pqestaria errado considerar o número de percursos com nmovimentos como: 3.2^n-2? da cidade A temos 3posssibilidades e depois de cada cidade temos duaspossibilidades( menos a cidade A).
   obrigado__Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL!http://www.bol.com.br/discadorAinda não tem AcessoBOL? Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=

_Converse com seus amigos online, faça o download grátis do MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=

[obm-l] CUIDADO COM MENSAGEM

[Augusto César Morgado]

Aos que nao estao com antivirus atualizado:
Nao abram o anexo de uma mensagem sobre JOGOS supostamente enviada pelo 
Paulo Rodrigues (pauloemanu).
Esta infectado.
Morgado

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

Re: [obm-l] analítica

[Augusto César Morgado]

Ligue a origem ao centro. Os pontos de interseçao com a circunferencia sao
os que estao a maior e a menor distancia da origem

Eder wrote:
003b01c2667b$9386f0e0$d5d9fea9@Eder">
  
  
  Olá,
   
  Dada a equação de uma circunferência :
 (x-4)²+(y-3)²=9,como faço para achar o ponto sobre a mesma que está a menor
 distância da origem?Alguém poderia dar uma dica?
   
   
   
   
   
  
  
  
  

Re: [obm-l] Kaplanky

[Augusto César Morgado]

Kaplansky.
Primeiro lema:
O número de subconjuntos de tamanho p do conjunto {1, 2,..., n} no qual nao
figuram numeros consecutivos eh C(n-p+1, p)
Segundo lema:
Igual ao anterior, mas considerando 1 e n como consecutivos. O numero de
subconjuntos eh  [n/(n-p)]*C(n-p, p).

Os lemas e suas generalizaçoes estao no Analise Combinatoria e Probabilidade
editado pela SBM na Coleçao do Professor de Matematica.

Daniel wrote:
000c01c2643e$47a152e0$[EMAIL PROTECTED]">
  
  
               Olá a todos,
   
                       Alguem poderia enunciar
 os dois teoremas de Kaplanky da análise combinatória.
                      1)     O  primeiro
é referente a seqüências com sucessões
     2) O  segundo é
do mesmo tipo, mas em uma disposição sobre circunferência
                       
                       Ex:
                       1) Em uma urna existem
 n bolas numeradas de 1 a n. De quantas formas podemos pegar k bolas, de
modo que  não haja bolas sucessivas?
   
                       2) Doze cavaleiros
 estão dispostos em uma távola redonda, de sorte que cavaleiros sucessivos
são  inimigos. Quantas comissões de 5 cavaleiros podemos formar, de modo
que não haja  cavaleiros inimigos na comissão?
       
  Grato
   
                   Daniel
  
  
  
  

Re: [obm-l] combinatoria

[Augusto César Morgado]

Pisei na bola no exercicio 2. Nao reparei que era de 1 a 9.
Corrigindo, 
Podemos escolher 3 impares de C(5,3)=10 modos e 2 pares de C(4,2) = 6 modos. Escolhidos os algarismos, ha 5!=120 modos de arruma-los, e a resposta seria 10 x 6 x 120 = 7 200. 


Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote:
[EMAIL PROTECTED]">
  Em Wed, 25 Sep 2002 18:17:17 -0300, Carlos Roberto de Moraes <[EMAIL PROTECTED]> disse:
  
Podem me ajudar?1)Um tabuleiro quadrado dispõe de 9 orificios dispostos em 3 linhas e 3 colunas. De quantas maneiras podemos colocar 3 bolas de modo que os orificios ocupados não fiquem alinhados? Diagonais são consideradas tipos de alinhamento.2) O total de números constituidos de 3 algarismos impares e 2 algarismos pares que podem ser formados com os algarismos de 1 a 9, sem repetição é igual a qto?

1) Supondo as bolas iguais, ha C(9,3)= 84 modos de coloca-las no tabuleiro. Excluindo as 3 horizontais, as 3 verticais e as 2 diagonais, obtemos a resposta 84-8 = 76.Supondo as bolas diferentes, a resposta passa a ser 76 x 3!2)Podemos escolher 3 impares de C(5,3)=10 modos e 2 pares de C(5,2) = 10 modos. Escolhidos os algarismos, ha 5!=120 modos de arruma-los, e a resposta seria 10 x 10 x 120 = 12 000. Entretanto, devemos excluir os numeros começados por zero que sao4(numero de modos de escolher o outro algarismo par) x 10 (numero de modos de escolher os algarismos impares) x 4!(numero de modos de arruma-los com o zero no primeiro lugar).A resposta eh  12 000 - 960 = 11 040.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emh
ttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=

Re: [obm-l] numero de dígitos

[Augusto César Morgado]

Que eh soma pelo produto?

diegoalonsoteixeira wrote:
H2VA3A$[EMAIL PROTECTED]">
  Recebi uma questão que não consegui fazer:quanto vale a soma pelo produto dos seis primeiros digitos de (7^4600!*7^460!)/(7^10!*7^46!)Não estou acostumado a esse tipo de questão, quem responde-la por favor faça detalhadamente.Obrigado __Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL!http://www.bol.com.br/discadorAinda não tem AcessoBOL? Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol
  From: Wagner
  
Oi pessoal!Li em uma reportagem que um tal de número gugol é 10^100 e que outro número

chamado de gugolplex é >igual à gugol^gugol. Fiquei pensando, o que seriamaior, (1gugol)! ou 1 gugolplex. Como acho a resposta >disso?

  André T.
  
  O que é maior: 1 * 2 * 3 * 4 * ... * n ou n * n * n * n * ... * n ( nvezes )?=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
  
  
  
  

[obm-l] [Fwd: RE: Poliômios]

[Augusto César Morgado]

Este problema foi proposto (novamente) ha pouco tempo. Estou reenviando-o
para a lista como um auxilio para quem o propos recentemente.
Morgado

 Original Message 

  

  From: 
  - Tue Oct 16 21:20:31 2001


  X-UIDL: 
  >~!#!EE:!!%EP!!@Z5"!


  X-Mozilla-Status: 
  0001


  X-Mozilla-Status2: 
  


  Return-Path: 
  <[EMAIL PROTECTED]>


  Received: 
  from triceratops.centroin.com.br (mail-gw2.centroin.com.br [200.225.50.252])	by
trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id f9GDLje03205	for <[EMAIL PROTECTED]>;
Tue, 16 Oct 2001 11:21:45 -0200 (EDT)


  Received: 
  from matinta.mat.puc-rio.br (matinta.mat.puc-rio.br [139.82.27.1])	by
triceratops.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id f9GDLZR29426	for
<[EMAIL PROTECTED]>; Tue, 16 Oct 2001 11:21:37 -0200 (EDT)


  Received: 
  (from majordom@localhost)	by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3)
id LAA15406	for obm-l-list; Tue, 16 Oct 2001 11:01:20 -0200


  Received: 
  from pegasus.prt15.gov.br ([200.245.30.130])	by matinta.mat.puc-rio.br
(8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA15399	for <[EMAIL PROTECTED]>; Tue,
16 Oct 2001 11:01:03 -0200


  Received: 
  (from daemon@localhost)	by pegasus.prt15.gov.br (8.11.1/8.11.1)
id f9GDBvW62656	for [EMAIL PROTECTED]; Tue, 16 Oct 2001 11:11:57
-0200 (BRST)	(envelope-from [EMAIL PROTECTED])


  Received: 
  from codinsec.prt15.gov.br (CODINSEC.prt15.gov.br [192.168.1.63])	by
pegasus.prt15.gov.br (8.11.1/8.11.1) with SMTP id f9GDBvg62651	for <[EMAIL PROTECTED]>;
Tue, 16 Oct 2001 11:11:57 -0200 (BRST)	(envelope-from [EMAIL PROTECTED])


  Received: 
  by codinsec.prt15.gov.br with Microsoft Mail	id [EMAIL PROTECTED]"><[EMAIL PROTECTED]>;
Tue, 16 Oct 2001 11:11:18 -0300


  Message-ID: 
  [EMAIL PROTECTED]"><[EMAIL PROTECTED]>


  From: 
  Eduardo Grasser <[EMAIL PROTECTED]>


  To: 
  "'[EMAIL PROTECTED]'" <[EMAIL PROTECTED]>


  Subject: 
  RE: Poliômios


  Date: 
  Tue, 16 Oct 2001 11:10:54 -0300


  MIME-Version: 
  1.0


  Content-Type: 
  multipart/mixed; boundary=" =_NextPart_000_01C15633.49ABC800"


  X-Sanitizer: 
  Este EMail foi desinfectado!


  X-Sanitizer-URL: 
  http://www.prt15.gov.br/


  X-Sanitizer-Rev: 
  $Id: sanitizer.pl,v 1.35 2001/02/01 00:10:46 bre Exp $


  Sender: 
  [EMAIL PROTECTED]


  Precedence: 
  bulk


  Reply-To: 
  [EMAIL PROTECTED]


  X-UIDL: 
  >~!#!EE:!!%EP!!@Z5"!


  Status: 
  U

  



é a pressa... a idéia é essa mesma. O resto é sentar e desenvolver a idéia...
Quase nunca consigo respostas corretas se não pego uma folha de papel e rescunho um pouco :-D

obrigado

Eduardo

--
De:	Eric Campos Bastos Guedes[SMTP:[EMAIL PROTECTED]]
Enviada em:	Segunda-feira, 15 de Outubro de 2001 19:01
Para:	[EMAIL PROTECTED]
Assunto:	RES: Poliômios

Eu nao faria melhor...
Mas tem uns erros nas contas que nao invalidam a solucao.
O resto certo eh

-2x^3-2x^2+x+5

Eric.


-MENSAGEM ORIGINAL ABAIXO

p(x) = q(x)(x^4 + x^2 + 1) + ax^3 + bx^2 + cx + d
(quis com isso dizer que o resto é um polinômio de grau 3)

Divido por x^2 + x + 1, e tenho que a primeira parte dá zero pois x^2 + x +
1 divide x^4 + x^2 + 1 e a segunda dá r
esto (a-c)x + d-b+a = 3x + 5

Divido por x^2 - x + 1, e tenho que a primeira parte dá zero pois x^2 - x +
1 divide x^4 + x^2 + 1 e a segunda dá resto (c-2a-b)x + d-a-b = -x + 9

Assim, é só resolver o sistema
a-c = 3
a-b+d = 5
-2a-b+c = -1
-a-b+d = 9

e achar o polinômio -2x^3 - 5x + 7 como resto

Acho que é isso salvo erros de conta, já que fiz correndo.

Eduardo Grasser
Campinas sp

--
De:	René Retz[SMTP:[EMAIL PROTECTED]]
Enviada em:	Segunda-feira, 15 de Outubro de 2001 15:54
Para:	[EMAIL PROTECTED]
Assunto:	Poliômios

Sabe-se que os restos da divisão de um polinõmio p(x) por x^2 + x + 1 e
x^2 - x + 1 são repsctivamente  3x + 5  e  -x + 9. Determine o resto de p(x)
por x^4 + x^2 + 1.












nsmail.tmp
Description: Binary data

[obm-l] correçao de problema muito antigo

[Augusto César Morgado]

Consultando mensagens antigas, notei que ha muito tempo 

pichurin pichurin <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:  1)quantos anagramas da palavra CASACO
apresentam as três vogais juntas?

A soluçao que foi apresentada parece-me incorreta.

Ha 3 modos de juntar as vogais: AA0, AOA, OAA.
Escolhida a ordem das vogais, basta arrumar as letras C, C, S e o bloco das vogais, o 
que pode ser feito de 4!/2!= 12 modos.
A resposta eh 3*12 = 36.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Será que ninguém me ajuda???

[Augusto César Morgado]

Os encontros NAO sao aleatorios. 

Wagner wrote:
001701c26015$03555960$2101a8c0@u2z7z2">
  
  
  Oi pessoal
   
  Em 10 anos existem ou 3652 ou 3653 dias (dependendo
do ano  inicial)
  Chamando o ciclo físico (de 23 dias) de A, o  mental (de
29 dias) de B , o emocional (de 33 dias) de C  e chamando a n-ésima vez que
os ciclos se encontram no máximo de  m(n).
  Entre m(1) e m(2) existem 23.29.33 dias = 22011
dias  (porquê 23,29 e 33 são primos entre si). Logo m(2) só pode acontecer
depois dos  10 anos. Então basta verificar se m(1) acontece antes dos 10
anos. Isso se torna  complicado porquê o número de ciclos é obrigatoriamente
natural, mas se você  quer uma estimativa, considerando os encontros como
aleatórios, a chance de m(1)  estar antes dos 10 anos é 3652,25/22011 que
é uma chance de aproximadamente  16,5%
   
  André T.
   
   
  

- Original Message - 

From:e isso mesmo


To:
[EMAIL PROTECTED]


Sent: Thursday, September 19, 2002 10:32AM

Subject: [obm-l] Será que ninguém meajuda???


 
Companheiros continuo esperando ajuda de alguèm
 


"A teoria do Biorritmo diz que os estadosfísico, mental e emocional de
uma pessoa oscilam periodicamente, a partir dodia do nascimento, em ciclos
de 23 dias, 29 dias e 33 dias, respectivamente.Dado que os dias mais
positivos dos ciclos físico, mental e emocional são,respectivamente,
o sexto, o sétimo e o oitavo de cada ciclo, nos primeiros dezanos de
vida de uma pessoa, quantas vezes os três ciclos estão simultaneamente  
 no ponto máximo?"

 

Tchau!

 


   Aproveite melhor a Web. Faça o download GRÁTIS do MSN Explorer
: http://explorer.msn.com.br/intl.asp#po

Re: [obm-l] Questão de geometria

[Augusto César Morgado]

Wagner wrote:
002201c26017$35833220$2101a8c0@u2z7z2">
  
  
  Oi pessoal !
   
  Essa é uma pergunta de geometria um pouco
chatinha,  deêm uma olhada:
   
      Em um círculo existe um  triângulo
ABC retângulo inscrito nele. Esse triângulo possui uma circunferência  circunscrita
nele.OU SEJA, ESTA CIRCUNFERENCIA EH A CIRCUNFERENCIA ORIGINAL Essa circunferência
possui um triângulo DEF inscrito nela  ,tal que AB é paralelo à DE, AC é
paralelo à DF e BC é paralelo à EF.OU SEJA ESSE TRIANGULO EH IGUAL AO ORIGINAL
Esse  triângulo  também possui uma circûnferência circunscrita nele, tal
que o  padrão descrito acima se repete.OU SEJA EH A CIRCUNFERENCIA ORIGINAL
ATACANDO NOVAMENTE.Seja o triângulo XYZ limite desse padrão, tal  que XY
é paralelo à DE, XZ é paralelo à DF e YZ é paralelo à EF.EH O TRIANGULO ORIGINAL
DE NOVO. Logo, quanto  vale a soma das distâncias AX, AY e AZ em funcão de
BÂC e do raio da  circunferência maior?
   
  Dado: AB e BC são perpendiculares
   
  Se alguém tiver noção de como resolver
essa  pergunta já agradeço.
   
  André T.
   
  
  
  
  

Re: [obm-l] Será que ninguém me ajuda???

[Augusto César Morgado]

   Contando o dia do nascimento como dia 0,  os dias de coincidência são
da forma 6+23r = 7+29s = 8+33t.
 Temos umas diofantinas para resolver.
 A primeira delas é
 23r-29s=1
 Resolvendo-a obtemos
 r = -5 +29k
 s = 4 + 23k, k inteiro.
 Substituindo,  23*29k - 33t = 117
 Resolvendo-a,
 k = 33n +12
 t = 667n + 239.
 Portanto as soluções inteiras do sistema lá de cima são
 r = 957n + 343
 s = 759n + 280
 t = 667n + 239

 Em particular (só calculei isso tudo para que possam conferir e detectar 
eventuais erros de conta) os ciclos coincidem nos dias da forma 6 + 23r = 
22 011 * n + 7 895
 A primeira coincidência se dá no dia  7 895 (cerca de 22 anos após o nascimento).






 e isso mesmo wrote:
[EMAIL PROTECTED]">
   
  Companheiros continuo esperando ajuda de alguèm
   
  
  
 "A teoria do Biorritmo diz que os estados físico, mental e emocional de
uma pessoa oscilam periodicamente, a partir do dia do nascimento, em ciclos
de 23 dias, 29 dias e 33 dias, respectivamente. Dado que os dias mais positivos 
dos ciclos físico, mental e emocional são, respectivamente, o sexto, o sétimo 
e o oitavo de cada ciclo, nos primeiros dez anos de vida de uma pessoa, quantas 
vezes os três ciclos estão simultaneamente no ponto máximo?"
  
  
  
 Tchau!
  
  
  
  
  Aproveite melhor a Web. Faça o download GRÁTIS do MSN Explorer : 
 http://explorer.msn.com.br/intl.asp#po
  
  
  
  
  
  

Re: [obm-l] ajuda

[Augusto César Morgado]

24!
Se voce considerar que os carros sao iguais e que so interessa a ordem relativa
dos casais, seria 24!/12.

[EMAIL PROTECTED] wrote:

De quantas maneiras 24 pessoas podem subir numa roda gigante de 12 assentos,
sabendo que cada assento comporta duas pessoas e, a ordem das pessoas no
assento importa?
  
  
  
  
  

Re: [obm-l] polinomios

[Augusto César Morgado]

1) Dados:  f(x) = (x+2) Q(x)
f(x) = (x^2+4) P(x) + (x+1)
Queremos
f(x) = (x+2)(x^2+4) S(x) + (Ax^2+Bx+C)
Para calcular A, B e C, faça  x igual a  -2, 2i  e -2i.
Obtem-se o sistema
f(-2) = 4A -2B +C
f(2i) = -4A +2Bi +C
f(-2i) = -4A -2Bi + C
Os dados mostram que  f(-2) = 0, f(2i) = 1+2i  e  f(-2i) = 1-2i.
Resolvendo o sistema, B=1, C=3/2, A=1/8.
O resto eh  (1/8)(x^2) + (3/2)x + 1.
2)Observe que  x^4+x^2+1 = (  x^2+x+1)(
x^2-x+1)
Proceda analogamente. Os valores inteligentes para x sao as raizes de 
  x^2+x+1 e x^2-x+1.


Carlos Roberto de Moraes wrote:
000801c25e89$6f1d0ae0$[EMAIL PROTECTED]">
  
  
  Alguem pode me ajudar com esses 2 exercícios?
   
  1) Um polinomio f, dividido por x+2 e x^2+4 dá restos
0 e x+1,  respectivamente. Qual é o resto da divisão de f por (x+2)(x^2+4)?
   
  2) Sabe-se que os restos da divisão de um polinomio
p(x) por  x^2+x+1 e x^2-x+1 são, respectivamente, 3x+5 e -x+9. Determine
o resto da  divisão de p(x) por x^4+x^2+1.
  
  
  
  

Re: [obm-l] probabilidade

[Augusto César Morgado]

  Numeremos os bandidos, por ordem de altura, de 1(mais baixo) a 5(mais 
alto).

Primeiro raciocinio: Ha tres casos em que o bandido 1 eh preso.

caso 1: o bandido 1 sai em terceiro lugar.
A probabilidade eh 1/5.

caso 2: o bandido 1 sai em quarto lugar e o bandido que sai em terceiro 
eh mais alto que pelo menos um dos que sairam em primeiro e e em segundo.
Vou escrever somente os 4 primeiros a sair:
Isso corresponde as ordens 2341   23512431 24512531   2541  
 3241   3251   3451  3541 4231  42514351  5231  52415341
A probabilidade eh 16/120 = 2/15.

caso 3: o bandido 1 sai em quinto lugar e os bandidos que sairam em 
terceiro e quarto lugares sao ambos mais altos que pelo menos um dos que 
sairam em primeiro e e em segundo.
Isso corresponde as ordens  23451   23541   24351   24531  25341   25431 
   32451   32541   42351   4253152341   52431
 A probabilidade eh  12/120 = 1/10

Portanto, a resposta eh  1/5 + 2/15 + 1/10  = 13/30 .


Segundo raciocinio: O bandido 1 nao eh preso nos casos seguintes:

caso 1: o bandido 1 sai em primeiro lugar.
A probabilidade eh 1/5.

caso 2: o bandido 1 sai em segundo lugar.
A probabilidade eh 1/5.

caso 3: o bandido 1 sai em quarto lugar e o bandido que sai em terceiro 
eh menor que os dois que sairam primeiro.
Isso corresponde a  3421 ou 4321  ou  3521  ou 5321   ou  4521  ou  5421 
 ou  4531  ou   5431
A probabilidade eh 8/120 = 1/15

caso 4: o bandido 1 sai em quinto lugar e o bandido que sai em terceiro 
eh  menor que os dois que sairam em primeiro e segundo.
Isso corresponde a  45 (ou 54) 32(ou23)1 ou   35(ou53)241   ou 
 34(ou43)251.
Quatro+dois+dois possibilidades. A probabilidade eh 8/120 = 1/15

caso 5: o bandido 1 sai em quinto lugar e o bandido que sai em terceiro 
nao eh  menor que os dois que sairam em primeiro e segundo e o que sai 
em quarto eh.
Isso corresponde a   34(ou43)521   ou  35(ou53)421
A probab. eh 4/120=1/30.

Portanto, a prob. de 1 NAO ser preso eh  1/5 +1/5 + 1/15 + 1/15 +1/30  = 
17/30  e a de 1 ser preso eh 1 -  17/30  = 13/30.



Nicks wrote:

> Olá ,
> Poderiam  me ajudar no seguinte  problema ?
>
> Um inspetor sabe que o chefe  de  5 bandidos  é o mais  baixo de todos 
> e que todas as alturas  são  diferentes . Sabe -se  também   que  eles 
> estarão presentes  numa  reunião  em um edifício . Depois  da reunião 
> , os  bandidos  por medida  de precaução  deixam  o edifício  em um 
> intervalo  de 15 minutos .Como  o inspetor não  sabe  qual deles  é o 
> mais  baixo , decide  deixar  sair  os  dois  primeiros  bandidos , e 
> prender o primeiro dos  seguintes  que seja mais  baixo  do  que os 
> que até  esse momento  sairam .Qual  a   probabilidade do inspetor  
> prender  a pessoa  certa ?
>
> []´s  Nick
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
> =
>
>




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

Re: [obm-l] probabilidade

[Augusto César Morgado]

  Numeremos os bandidos, por ordem de altura, de 1(mais baixo) a 5(mais 
alto).

Ha tres casos em que o bandido 1 eh preso.

caso 1: o bandido 1 sai em terceiro lugar.
A probabilidade eh 1/5.

caso 2: o bandido 1 sai em quarto lugar e o bandido que sai em terceiro 
eh mais alto que pelo menos um dos que sairam em primeiro e e em segundo.
Vou escrever somente os 4 primeiros a sair:
Isso corresponde as ordens 2341   23512431 24512531   2541  
 3241   3251   3451  3541   42514351  5231
52415341
A probabilidade eh 15/120 = 1/8.

caso 3: o bandido 1 sai em quinto lugar e os bandidos que sairam em 
terceiro e quarto lugares sao ambos mais altos que pelo menos um dos que 
sairam em primeiro e e em segundo.
Isso corresponde as ordens  23451   23541   24351   24531  25341   25431 
   32451   32541  35241   35421   42351
4253152341   52431
 A probabilidade eh  14/120 = 7/60

Portanto, a resposta eh  1/5 + 1/15 + 1/30  = 9/30 = 3/10.

Nicks wrote:

> Olá ,
> Poderiam  me ajudar no seguinte  problema ?
>
> Um inspetor sabe que o chefe  de  5 bandidos  é o mais  baixo de todos 
> e que todas as alturas  são  diferentes . Sabe -se  também   que  eles 
> estarão presentes  numa  reunião  em um edifício . Depois  da reunião 
> , os  bandidos  por medida  de precaução  deixam  o edifício  em um 
> intervalo  de 15 minutos .Como  o inspetor não  sabe  qual deles  é o 
> mais  baixo , decide  deixar  sair  os  dois  primeiros  bandidos , e 
> prender o primeiro dos  seguintes  que seja mais  baixo  do  que os 
> que até  esse momento  sairam .Qual  a   probabilidade do inspetor  
> prender  a pessoa  certa ?
>
> []´s  Nick
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
> =
>
>



=
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O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

Re: [obm-l] Problema com inteiros gaussianos

[Augusto César Morgado]

Nao podemos chegar ao infinito na reta real se os nossos passos  tiverem 
comprimento limitado (isto eh, existe um numero M tal que nossos 
passosnao podem ser maiores que M) e andarmos apenas sobre os numeros 
primos.
(por exemplo, suponha que voce nao possa dar passos maiores que 5. 
Andando nosprimos, voce pode começar no 2, passar para o 7, depois para 
o 11, depois para o 13, o 17, o 19, o 23.
Agora voce empaca. Do 23 para o primo seguinte o salto eh maior que 5.
A essencia do que o autor quer dizer eh que, por maior que seja a 
limitaçao dos seus passos (5, no meu exemplo), chega uma hora que voce 
empaca. )
Isso eh simplesmente uma outra maneira de dizer  que ha vazios 
arbitrariamente grandes entre os primos. (ou seja, tomando o 5, 
encontramos um vazio de tamanho maior que 5 nos primos: entre o 23 e o 
29.  Tomando o 7, encontrariamos um vazio de tamanho maior que 7; nao eh 
dificil perceber que esse vazio se dah entre o 31 e o 39. Tomando o 20, 
encontrariamos um vazio maior que 20 etc).
A prova eh simples. Um vazio de tamanho k ocorre entre (k+1)!+2 e 
(k+1)!+k+1. Com efeito, nenhum desse numeros eh primo, pois  (k+1)!+2 eh 
divisivel por 2(e eh maior que 2)  , (k+1)!+3 eh divisivel por 3 (e eh 
maior que 3) etc

Jackson Graziano wrote:

>Caros amigos,
>
>Como devo interpretar o enunciado abaixo? Nao consegui entender como são as
>regras dele pra andar na reta real...
>
>One cannot walk to infinity on the real line if one uses steps of bounded
>length and steps on the prime numbers. This is simply a restatement of the
>classic result that there are arbitrarily large gaps in the primes. The
>proof is simple: a gap of size k is given by (k + 1)! + 2, (k + 1)! + 3,...,
>(k + 1)! + (k,+1).
>But the same problem in the complex realm is unsolved. More precisely, an
>analogous question asks whether one can walk to infinity in Z[i], the
>Gaussian integers, using the Gaussian primes as stepping stones, and taking
>steps of bounded length
>
>Obrigado,
>
>Jackson Graziano
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
>=
>
>


=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

[Fwd: Re: [obm-l] ???]

[Augusto César Morgado]

  
 
Eder wrote:
  


Gostaria de ajuda nestes  problemas:
 
2)Considere um polinômio de coeficientes
 inteiros.Sabe-se que  p(21)=17,p(32)=-247 e p(37)=33.Prove que se para
 algum N tivermos p(N)=51.Então N=26.
 
 
Em um polinomio de coeficientes inteiros, P(a) - P(b)  eh divisivel
por  a - b (a, b inteiros, naturalmente).

Logo, N - 21 divide 51 - 17 = 34
N - 32 divide 51 - (-247) = 298
N - 37 divide 51 - 33 = 18
A ultima condiçao diz que  N - 37 so pode ser  1, 2, 3, 6, 9, 18 ou os seus
simetricos.
Isso significa que N so pode ser 38, 39, 40, 43, 46, 55, 36, 35, 34, 31,
28, 19. 
Levando em conta a primeira condiçao, sobram como possiveis valores de N

38, 55, 19.
Levando em conta a segunda condiçao resta apenas    NINGUEM

Nao pode haver um N inteiro tal que P(N) = 51    ou  eu errei contas!


   
  
  
  
  
  

Re: [obm-l] ???

[Augusto César Morgado]

OK, o sinal de - estava ilegivel. Obrigado ao Edilon que chamou a atençao.
Morgado

Eder wrote:
003701c256cf$da426ac0$3758fea9@Eder">
  
  Vou checar se não distorci o problema.Ele
caiu na  olimpíada interna do meu colégio.
  

- Original Message - 
    
From:
Augusto    César Morgado


To:
[EMAIL PROTECTED]


Sent: Saturday, September 07, 2002 9:07PM

Subject: Re: [obm-l] ???


Ha alguma coisa errada no problema 2.
Em um polinomio decoeficientes inteiros, P(a) - P(b) eh divisivel por
a-b (a, b inteiros,naturalmente).
Entao, 247 - 17 = 230  deveria ser divisivel por 32 - 21 = 11.

Eder wrote:

  
  
  Gostaria de ajuda nestes  problemas:
   
  1)Encontre todas as soluções reais
de  cosx+(cosx)^5+cos7x=3.
   
  Bom,eu tranformei cosx+cos7x em produto,depois
 saí fazendo simplificações para ficar somente com cosx.Substituindo
cosx po  m,cheguei a um polinômio bem "estranho".Foi fácil checar que
m=1  ==>cosx=1==>x=2kpi  é solução (na verdade é fácil de ver isso
no  enunciado),porém não soube mais o que fazer depois disso,para ver
se há  outras soluções.
   
  2)Considere um polinômio de coeficientes
 inteiros.Sabe-se que  p(21)=17,p(32)=-247 e p(37)=33.Prove que se para
 algum N tivermos p(N)=51.Então N=26.
   
   
  Obrigado pela ajuda.
   
  Eder
   
   
  
  
  
  
  
  
  

Re: [obm-l] ???

[Augusto César Morgado]

Ha alguma coisa errada no problema 2.
Em um polinomio de coeficientes inteiros, P(a) - P(b) eh divisivel por a-b
(a, b inteiros, naturalmente).
Entao, 247 - 17 = 230  deveria ser divisivel por  32 - 21 = 11.

Eder wrote:

  
  
  Gostaria de ajuda nestes problemas:
   
  1)Encontre todas as soluções reais de
 cosx+(cosx)^5+cos7x=3.
   
  Bom,eu tranformei cosx+cos7x em produto,depois
saí  fazendo simplificações para ficar somente com cosx.Substituindo cosx
po  m,cheguei a um polinômio bem "estranho".Foi fácil checar que m=1  ==>cosx=1==>x=2kpi
 é solução (na verdade é fácil de ver isso no  enunciado),porém não soube
mais o que fazer depois disso,para ver se há outras  soluções.
   
  2)Considere um polinômio de coeficientes
 inteiros.Sabe-se que  p(21)=17,p(32)=-247 e p(37)=33.Prove que se para  algum
N tivermos p(N)=51.Então N=26.
   
   
  Obrigado pela ajuda.
   
  Eder
   
   
  
  
  
  

Re: [obm-l] listas de treinamento interncionais

[Augusto César Morgado]

Acesse  www.obm.org.br

basketboy_igor wrote:

>Gostaria de ser informando de sites ou receber lista de 
>treinamentos intenacionais p/ IMO, USAMO, Ibero, torneio 
>das cidades e outras olimpíadas internacionais de 
>matemática, ou de sites que contenham questões vaiadas 
>de matemática vindas de várias partes do mundo.
>
>
> 
>__
>AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado!
>Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol
>
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
>=
>
>


=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

Re: [obm-l] funcao

[Augusto César Morgado]

Uma funçao eh uma correspondencia. A funçao que associa a cada real o 
seu dobro pode ser descrita como associando a cada real x o valor de 2x 
(ou seja, f(x)=2x), mas pode ser descrita como associando a cada real y 
o valor de 2y (ou seja, f(y) = 2y), etc.
A funçao, ou seja a correspondencia, eh f.  
f(x) eh o valor que f associa a x.
Deu pra entender?
Se deu, otimo. Agora, ca entre nos e que os muito rigorosos nao nos 
leiam. Todo mundo fala

seja uma funcao f(x) querendo dizer
seja uma funçao f que a cada x associa f(x)

Portanto, nao se preocupe em demasia com esse erro, que eh na verdade apenas um abuso 
de linguagem.
Morgado



adr.scr.m wrote:

>li num livro e gostaria de saber porque eh 
>errado falar " seja uma funcao f(x)",e o 
>certo eh " seja uma funcao f " .
>[]'s.
>Adriano.
>
> 
>__
>AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado!
>Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol
>
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
>=
>
>


=
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O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

Re: [obm-l] ???

[Augusto César Morgado]

1) como os co-senos têm o saudável hábito de serem menores que ou iguais
a 1, o unico jeito dessa soma dar 3  eh  cosx=1 e cos 7x = 1.
Logo, as unicas soluçoes sao as da forma 2kpi. 

Eder wrote:

  
  
  Gostaria de ajuda nestes problemas:
   
  1)Encontre todas as soluções reais de
 cosx+(cosx)^5+cos7x=3.
   
  Bom,eu tranformei cosx+cos7x em produto,depois
saí  fazendo simplificações para ficar somente com cosx.Substituindo cosx
po  m,cheguei a um polinômio bem "estranho".Foi fácil checar que m=1  ==>cosx=1==>x=2kpi
 é solução (na verdade é fácil de ver isso no  enunciado),porém não soube
mais o que fazer depois disso,para ver se há outras  soluções.
   
  2)Considere um polinômio de coeficientes
 inteiros.Sabe-se que  p(21)=17,p(32)=-247 e p(37)=33.Prove que se para  algum
N tivermos p(N)=51.Então N=26.
   
   
  Obrigado pela ajuda.
   
  Eder
   
   
  
  
  
  

Re: [obm-l] ECONOMIA

[Augusto César Morgado]

roberto-garcia wrote:
001601c255ce$a5a122e0$0100a8c0@seguro1">
  
  
  Quem souber pode mandar a resposta para  mim
>
>Matemática
>
>
>Eu, Tu e Ele fomos  comer no restaurante e no final a 
conta deu R$30,00.
>
>Fizemos  o seguinte: cada um deu dez mangos...
>
>Eu: R$ 10,00
>Tu: R$  10,00
>Ele:R$ 10,00
>O garçom levou o dinheiro até o caixa e o dono  do 
restaurante disse
>seguinte:
>
>- Esses três são  clientes antigos do restaurante, então 
vou devolver R$
>5,00 para  eles!
>E entregou ao garçom cinco notas de R$ 1,00.
>O garçom, muito  esperto, fez o seguinte: pegou R$ 2,00 
para ele e deu
>R$1,00 para  cada um de nós.
>No final ficou assim:
>Eu: R$ 10,00 (- R$ 1,00 que  foi devolvido) = Eu gastei 
R$ 9,00.
>Tu: R$ 10,00 (- R$ 1,00 que foi  devolvido) = Tu gastaste 
R$ 9,00.
>Ele: R$ 10,00 (- R$ 1,00 que foi  devolvido) = Ele gastou 
R$ 9,00.
>Logo, se cada um de nós gastou R$  9,00, o que nós três 
gastamos juntos,foi
>R$ 27,00.
>E se o  garçom pegou R$ 2,00 para ele, temos:
>Nós GASTAMOS: R$ 27,00
> MENOS O QUE FICOU PARA O Garçom: R$  2,00
>TOTAL QUE FOI PARA O RESTAURANTE : R$ 25,00   
tÁ FALTANDO NADA.
  
   
  
---
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Checked by AVG  anti-virus system (http://www.grisoft.com
).
Version: 6.0.384 /  Virus Database: 216 - Release Date: 21/08/2002
  
  
  
  

Re: [obm-l] Dúvida

[Augusto César Morgado]

Que significa diferença entre termos sucessivos?
Se é a diferença entre dois termos sucessivos, a resposta é não.
A sequencia  an = log n  é crescente e tal
que  a n+1  -  an
 = log(n+1) - log(n) =  log [ 1+ 1/n]  tende a
log 1 = 0  e nao tem limite finito.
Ana Carolina Boero wrote:
[EMAIL PROTECTED]">
  
  
  Olá colegas da lista,
   
  Estou com uma dúvida e gostaria de saber se alguém poderia me ajudar:
   
  Suponha uma seqüência de números reais, crescente, tal que a diferença
 entre termos sucessivos vai a zero. 
  Será que existe um limite finito para essa seqüência?
   
  Muito obrigada,
   
  Carol
  
  
  
  

Re: [obm-l] Ajuda em fatorial.

[Augusto César Morgado]

1) m(m-1)!=m!
m!/(m+1)!=1/(m+1)
A equaçao fica  (m+3)/[(m-2)(m+1)] = 6/35
6m^2 -41m -117=0
A unica soluçao inteira eh  9.

2)a) [(m + 2)! - (m + 1)!] m! = 24 ²
(m+1)![(m+2)-1]m!=24^2
(m+1)! (m+1) m! = 24^2
(m+1)! (m+1)! = 24^2
(m+1)! = 24
m+1 = 4
m=3
b) (m + 3)! + (m + 2)! = 6
(m + 3)! - (m + 2)!
Divida numerador e denominador por  (m+2)!
Fica
[(m+3)+1]/ [(m+3)-1] = 6
(m+4)/(m+2) = 6
Esta equação não possui solução inteira.

c)?

4) a) (n+2)!
b) (n-7)!

3) n inteiro e também
a) maior que ou igual a 0
b)  maior que ou igual a 5
c)  maior que ou igual a -1

Sharon Guedes wrote:
[EMAIL PROTECTED]">
  Olá pessoal ! 
  Alguém poderia me ajudar nestas questões?
  1) (UnB)Sendo m . (m + 3) . (m - 1)! = 6 
e m > 0, o valor de m é:
    (m - 2) . (m + 1)!     35
  a) 9
  b) 12
  c) 15
  d) 18
  2)(URCAMP)Resolva as equações:
  a) [(m + 2)! - (m + 1)!] m! = 24 ²
  b) (m + 3)! + (m + 2)! = 6
  (m + 3)! - (m + 2)!
  c) (n + 2)! + (n + 1)! = 21
  1 . 2 . 3 ... (n - 3) (n - 2) (n - 1)!
  3)(URCAMP)Dê o domínio de cada uma destas expresões:
  a) n!
  b) (n - 5)!
  c) (n + 1)! (n + 1)!
  (URCAMP)Escreva os produtos empregando a notação fatorial.
  a)(n + 2) . (n + 1) . n . (n - 1) . ... . 2 .1
  b)(n -7). (n - 8). (n - 9). ... . 2 .1
  At. Sharon.
  
   
  
  Yahoo!
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Re: [obm-l] 0 é imaginário puro?

[Augusto César Morgado]

Pegue qualquer livro decente (por exemplo, Churchill "Complex Variables" 
 ou Boas "Mathematical Methods in the Physical Sciences") e você verá 
que eles definem imaginário puro como um complexo x+yi cuja parte real x 
é igual a 0.
Agora, ser ou não ser não é uma questão de pensamentos. A questão é usar 
os nomes no sentido que a comunidade matemática emprega (afinal, é a 
comunidade que define a "norma culta").
Em relação ao primeiro livro que citei, estimo que 3 em cada 4 
matemáticos com mais de 40 anos de idade tenham-no lido.

marcelo oliveira wrote:

> Esta dúvida surgiu durante a última prova de matemática da AFA.
>
> Finalmente, pode-se considerar 0 como imaginário puro?
>
> Claramente a primeira idéia é não considerar 0 como imaginário puro, 
> por pensamentos puramente algébricos.
>
> Entretanto pense no plano imaginário (plano de Argand-Gauss) e note 
> que 0 (a origem do sistema) pertence ao eixo imaginário (e real 
> também?!).
>
> Gostaria também de saber uma justificativa (se houver, caso não seja 
> uma simples convenção) para o fato de 0 ser ou não ser imaginário puro.
>
>
> Até mais,
> Marcelo Rufino de Oliveira
>
> _
> MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: 
> http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
> =
>
>


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] O problema das infinitas soluções

[Augusto César Morgado]

Marcos, mensagens como a sua deveriam sempre vir acompanhadas da cidade 
do autor.
Morgado

Marcos Eike Tinen dos Santos wrote:

>Eu vou prestar vestibular neste ano, porém estou na dúvida em qual curso.
>Minhas dúvidas são: devo prestar para ciencia da computação ou para
>matematica computacional? Meus objetivos é fazer uma pós de computação
>gráfica.
>
>Ats,
>Marcos Eike
>
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
>=
>
>


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

[Fwd: Re: [obm-l] Números Complexos]

[Augusto César Morgado]

5) Representando, no plano, as raizes complexas da equacao z^3 + 8 = 0,
>obtem-se um triangulo. Calcule a area desse triangulo.
z^3 = -8
modulo de z = 2
As imagens das  raizes da equaçao sao vertices de um triangulo equilatero
inscrito num circulo de centro na origem e raio 2. O lado vale 2raiz de3
e a area vale 3raiz de 3.

6) (x+yi)^2 = x-yi
x^2-y^2 +2xyi = x-yi
x^2-y^2 = x  e  2xy = -y
A segunda equaçao dah  y=0 ou  x = -(1/2)
Substituindo na primeira, x=0 ou x=1 no primeiro caso,  y = (+-) [raiz de3]/2
no segundo.
Ha quatro soluçoes:  0 ;     1 ;     - 1/2 + (sqrt3)/2   ;    - 1/2 - (sqrt3)/2

Desde quando 0 nao eh complexo?
Morgado

 Original Message 

  

  From: 
  - Mon Sep 02 20:06:02 2002


  X-UIDL: 
  F5;!!GlU!!\?e"!I:m!!


  X-Mozilla-Status: 
  0001


  X-Mozilla-Status2: 
  


  Return-Path: 
  <[EMAIL PROTECTED]>


  Received: 
  from sucuri.mat.puc-rio.br (sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7])	by
trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id g82LZC4B009660	for <[EMAIL PROTECTED]>;
Mon, 2 Sep 2002 18:35:12 -0300 (BRT)


  Received: 
  (from majordom@localhost)	by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3)
id SAA20705	for obm-l-MTTP; Mon, 2 Sep 2002 18:31:44 -0300


  Received: 
  from smtp.ieg.com.br (stone.protocoloweb.com.br [200.226.139.11])	by
sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA20701	for <[EMAIL PROTECTED]>;
Mon, 2 Sep 2002 18:31:42 -0300


  Received: 
  from localhost ([EMAIL PROTECTED] [200.158.118.125])	by
smtp.ieg.com.br (IeG relay/8.9.3) with SMTP id g82LSDfE067536	for <[EMAIL PROTECTED]>;
Mon, 2 Sep 2002 18:28:13 -0300 (BRT)


  From: 
  Tonik <[EMAIL PROTECTED]>


  To: 
  [EMAIL PROTECTED]


  Date: 
  Mon, 02 Sep 2002 18:31:23 -0300


  X-Priority: 
  3 (Normal)


  Organization: 
  Tonik


  In-Reply-To: 
  <003201c2529c$f2084800$0200a8c0@dois>


  Message-Id: 
  


  Subject: 
  Re: [obm-l] Números Complexos


  MIME-Version: 
  1.0


  Content-Type: 
  text/plain; charset="iso-8859-1"


  X-Mailer: 
  Opera 6.04 build 1135


  Sender: 
  [EMAIL PROTECTED]


  Precedence: 
  bulk


  Reply-To: 
  [EMAIL PROTECTED]


  X-UIDL: 
  F5;!!GlU!!\?e"!I:m!!


  Status: 
  U

  



02/09/02 13:22:18, Gabriel Pérgola  wrote:

>E aí pessoal,
>
>Gostaria de ver a resolução destes problemas de números complexos que não
>consegui fazer:

Sao exercicios simples, q vou fazer mais para me exercitar, pois sao mais 
trabalhosos do q desafiantes... cheque as contas!

>1) Obtenha o argumento de sen 40º + i cos 40º

obviamente, 40º

>2) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i
>sqrt[3])^n é um numero real

para (1 + i*sqrt(3))^n ser real, seu argumento devera ser 0º ou 180º
ou k180º, k E Z, passando (1+isqrt(3)) para a forma trigonometrica, 
temos:
modulo = sqrt(1^2 + sqrt(3)^2) = sqrt(1+3) = 2
argumento = arccos(1/2) = 60º

entao temos (2*(cos60º+isen60º))^n =
= 2^n*(cos(60º*n)+isen(60º*n)
para que o argumento (60º*n) de 0º ou 180º com n>0, n E Z:

60*n=360º, n=6
6
0*n=180º, n=3

Logo a resposta eh 3.

>3) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i
>sqrt[3])^n é um numero real positivo.

a mesma coisa, só que agora 180º nao serve (pois eh real negativo)
60*n=360, n=6

>4) Obtenha as raizes complexas das equacoes:
>a) x^5 = 1
>b) x^6 = 1

x^5 = 1
x= raizquintupla(1*(cos0+isen0))
x= cos(0/5 + 360k/5) + isen(0/5 + 360k/5), 0<=k<5, k E Z

as raizes:
x= cos0º+isen0º = 1 (nao eh complexa)
x= cos72º+isen72º
x= cos144º+isen144º
x= cos216º+isen216º
x= cos288º+isen288º

>5) Representando, no plano, as raizes complexas da equacao z^3 + 8 = 0,
>obtem-se um triangulo. Calcule a area desse triangulo.

z^3=-8 tem 3 raizes, por 3 ser impar, uma das raizes eh real
z= raizcubica(-8)
z= raizcubica( 8*(cos180º+isen180º) )
z= 2*(cos(180/3+360k/3)+isen(180/3+360k/3)), 0<=k<3
z= 2*(cos(60+120k)+isen(60+120k))
as 
raizes:
k=0, z=2*(cos60º+isen60º) = 2*(1/2 + i*sqrt(3)/2) = 1+i*sqrt(3)
k=1, z=2*(cos180º+isen180º) = 2*(-1 + i*0) = -2
k=2, z=2*(cos300º+isen300º) =
(sabe-se que 1+isqrt(3) eh raiz, entao seu conjugado, 1-isqrt(3) eh a 
terceira raiz)

entao temos os pontos do triangulo ABC no plano complexo:
A(1,  sqrt(3))
B(-2, 0)
C(1,  -sqrt(3))

Seja D a matriz:
|Ax Ay 1| 
|Bx By 1|
|Cx Cy 1|

Area = modulo do determinante de D sobre 2
Area = |sqrt(3)+2sqrt(3)-(-sqrt(3)-2sqrt(3))|/2
Area = 3sqrt(3)

>6) A quantidade de numeros complexos que tem o seu quadrado igual ao seu
>conjugado é?

Seja z um numero complexo, vc quer a qtde de nº complexos que
z^2 = conjugado de z

pela forma t