[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Duas questões de matemática.

[Anderson Torres]

Em 10 de agosto de 2016 13:45, Pedro José  escreveu:
> Boa tarde!
>
> Peguei um livro antigo do ginásio e a definição que lá consta é para dois
> ângulos.
> Mas como as coisas mudam. Pesquisei em sítios do Brasil, EUA e França, todas
> as definições são para dois ângulos.
> Já que se está falando em definições, quando estudava Análise no científico,
> Z+  incluía o 0 e Z+*  não incluía o 0, se chamavam, inteiros positivos e
> inteiros estritamente positivos (o asterisco simbolizava a exclusão do 0).
> Atualmente Z+ já exclui o 0.
> Alguém saberia dizer, quando e o porquê da mudança?

Sei lá!
Do pouco que sei, na França por exemplo eles consideram o 0 como sendo
um número tanto positivo quanto negativo. Aqui no BR uma prova de
olimpíada só precisaria dizer "considere os inteiros estritamente
positivos" para excluir o zero, e lá teria que dizer "os inteiros
maiores que zero" ou "positivos distintos de zero".

Mas, até onde eu bem sei, o * é o indicativo de exclusão do 0. Sem
ele, pressupõe-se o zero no conjunto.

>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 8 de agosto de 2016 18:53, Rogerio Ponce  escreveu:
>>
>> Ola' Douglas, a questao me parece perfeita.
>> Como as opcoes de resposta sao positivas, queremos a menor quantidade de
>> derrotas (ou seja, a maior quantidade de vitorias), que leve ao mesmo total
>> de premios.
>> Portanto, estamos falando das derrotas de maior valor (foram as 4
>> ultimas), acompanhadas por uma com o valor necessario para completar a soma
>> total.
>> Se considerassemos as 5 ultimas derrotas, o valor total seria
>> ultrapassado.
>> So' pode ser a letra "E".
>> []'s
>> Rogerio Ponce
>>
>> 2016-08-08 16:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
>> :
>>>
>>> Olá amigos, gostaria de uma ajuda em uma filosofia e uma questão.
>>>
>>> 1)Na definição de ângulos suplementares, seria para dois ângulos ou pode
>>> ser para mais de dois?
>>>
>>> 2)(Essa questão gostaria de saber se está mal elaborada) Carlos e Ricardo
>>> disputaram 15 partidas de boliche e ao fim de cada partida o perdedor pagava
>>> um prêmio em dinheiro para o vencedor. O prêmio para a primeira partida foi
>>> R$ 15,00 e o prê- mio de cada partida seguinte foi R$ 5,00 a mais do que o
>>> valor da partida anterior. Ao final da disputa, ambos receberam o mesmo
>>> valor em dinheiro e nenhuma partida terminou empatada. Nes- sas condições, a
>>> maior diferença possível entre as vitórias e as derrotas de Ricardo é
>>> (A) 4. (B) 3. (C) 7. (D) 6. (E) 5.
>>>
>>> Att: Douglas Oliveira.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Duas questões de matemática.

[Matheus Secco]

Boa noite!
De acordo com o Fundamentos da Matematica Elementar, a definição de ângulos 
suplementares é apenas para dois ângulos. 

Enviado do meu iPhone

> Em 10 de ago de 2016, às 19:28, Leandro Martins  
> escreveu:
> 
> Olá, amigos!
> 
> Quanto à questão filosófica: sabe-se que a soma  dos ângulos internos de 
> um triângulo, na geometria euclidiana plana, resulta 180 graus. Mas tais 
> ângulos não são definidos como suplementares.
> 
> Teríamos, aqui, uma pista de resposta negativa à questão de Douglas?
> 
> Abraço,
> 
> Leandro
> 
> 
> Em 10/08/2016 13:50, "Pedro José"  escreveu:
>> Boa tarde!
>> 
>> Peguei um livro antigo do ginásio e a definição que lá consta é para 
>> dois ângulos.
>> Mas como as coisas mudam. Pesquisei em sítios do Brasil, EUA e França, 
>> todas as definições são para dois ângulos.
>> Já que se está falando em definições, quando estudava Análise no 
>> científico, Z+  incluía o 0 e Z+*  não incluía o 0, se chamavam, 
>> inteiros positivos e inteiros estritamente positivos (o asterisco 
>> simbolizava a exclusão do 0). 
>> Atualmente Z+ já exclui o 0. 
>> Alguém saberia dizer, quando e o porquê da mudança?
>> 
>> Saudações,
>> PJMSÂ Â Â Â Â Â Â Â Â Â 
>> 
>> Em 8 de agosto de 2016 18:53, Rogerio Ponce  escreveu:
>>> Ola' Douglas, a questao me parece perfeita.
>>> Como as opcoes de resposta sao positivas, queremos a menor quantidade de 
>>> derrotas (ou seja, a maior quantidade de vitorias), que leve ao mesmo total 
>>> de premios.
>>> Portanto, estamos falando das derrotas de maior valor (foram as 4 ultimas), 
>>> acompanhadas por uma com o valor necessario para completar a soma total.
>>> Se considerassemos as 5 ultimas derrotas, o valor total seria ultrapassado.
>>> So' pode ser a letra "E".
>>> []'s
>>> Rogerio Ponce
>>> 
>>> 2016-08-08 16:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima 
>>> :
 Olá amigos, gostaria de uma ajuda em uma filosofia e uma questão.
 
 1)Na definição de ângulos suplementares, seria para dois ângulos ou 
 pode ser para mais de dois?
 
 2)(Essa questão gostaria de saber se está mal elaborada) Carlos e 
 Ricardo disputaram 15 partidas de boliche e ao fim de cada partida o 
 perdedor pagava um prêmio em dinheiro para o vencedor. O prêmio para a 
 primeira partida foi R$ 15,00 e o prê- mio de cada partida seguinte foi 
 R$ 5,00 a mais do que o valor da partida anterior. Ao final da disputa, 
 ambos receberam o mesmo valor em dinheiro e nenhuma partida terminou 
 empatada. Nes- sas condições, a maior diferença possível entre as 
 vitórias e as derrotas de Ricardo é
 (A) 4. (B) 3. (C) 7. (D) 6. (E) 5.
 
 Att: Douglas Oliveira.
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Duas questões de matemática.

[Leandro Martins]

Olá, amigos!

Quanto à questão filosófica: sabe-se que a soma  dos ângulos internos de um
triângulo, na geometria euclidiana plana, resulta 180 graus. Mas tais
ângulos não são definidos como suplementares.

Teríamos, aqui, uma pista de resposta negativa à questão de Douglas?

Abraço,

Leandro

Em 10/08/2016 13:50, "Pedro José"  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Peguei um livro antigo do ginásio e a definição que lá consta é para dois
> ângulos.
> Mas como as coisas mudam. Pesquisei em sítios do Brasil, EUA e França,
> todas as definições são para dois ângulos.
> Já que se está falando em definições, quando estudava Análise no
> científico, Z+  incluía o 0 e Z+*  não incluía o 0, se chamavam, inteiros
> positivos e inteiros estritamente positivos (o asterisco simbolizava a
> exclusão do 0).
> Atualmente Z+ já exclui o 0.
> Alguém saberia dizer, quando e o porquê da mudança?
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 8 de agosto de 2016 18:53, Rogerio Ponce  escreveu:
>
>> Ola' Douglas, a questao me parece perfeita.
>> Como as opcoes de resposta sao positivas, queremos a menor quantidade de
>> derrotas (ou seja, a maior quantidade de vitorias), que leve ao mesmo total
>> de premios.
>> Portanto, estamos falando das derrotas de maior valor (foram as 4
>> ultimas), acompanhadas por uma com o valor necessario para completar a soma
>> total.
>> Se considerassemos as 5 ultimas derrotas, o valor total seria
>> ultrapassado.
>> So' pode ser a letra "E".
>> []'s
>> Rogerio Ponce
>>
>> 2016-08-08 16:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>>
>>> Olá amigos, gostaria de uma ajuda em uma filosofia e uma questão.
>>>
>>> 1)Na definição de ângulos suplementares, seria para dois ângulos ou pode
>>> ser para mais de dois?
>>>
>>> 2)(Essa questão gostaria de saber se está mal elaborada) Carlos e
>>> Ricardo disputaram 15 partidas de boliche e ao fim de cada partida o
>>> perdedor pagava um prêmio em dinheiro para o vencedor. O prêmio para a
>>> primeira partida foi R$ 15,00 e o prê- mio de cada partida seguinte foi R$
>>> 5,00 a mais do que o valor da partida anterior. Ao final da disputa, ambos
>>> receberam o mesmo valor em dinheiro e nenhuma partida terminou empatada.
>>> Nes- sas condições, a maior diferença possível entre as vitórias e as
>>> derrotas de Ricardo é
>>> (A) 4. (B) 3. (C) 7. (D) 6. (E) 5.
>>>
>>> Att: Douglas Oliveira.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Duas questões de matemática.

[Pedro José]

Boa tarde!

Peguei um livro antigo do ginásio e a definição que lá consta é para dois
ângulos.
Mas como as coisas mudam. Pesquisei em sítios do Brasil, EUA e França,
todas as definições são para dois ângulos.
Já que se está falando em definições, quando estudava Análise no
científico, Z+  incluía o 0 e Z+*  não incluía o 0, se chamavam, inteiros
positivos e inteiros estritamente positivos (o asterisco simbolizava a
exclusão do 0).
Atualmente Z+ já exclui o 0.
Alguém saberia dizer, quando e o porquê da mudança?

Saudações,
PJMS

Em 8 de agosto de 2016 18:53, Rogerio Ponce  escreveu:

> Ola' Douglas, a questao me parece perfeita.
> Como as opcoes de resposta sao positivas, queremos a menor quantidade de
> derrotas (ou seja, a maior quantidade de vitorias), que leve ao mesmo total
> de premios.
> Portanto, estamos falando das derrotas de maior valor (foram as 4
> ultimas), acompanhadas por uma com o valor necessario para completar a soma
> total.
> Se considerassemos as 5 ultimas derrotas, o valor total seria ultrapassado.
> So' pode ser a letra "E".
> []'s
> Rogerio Ponce
>
> 2016-08-08 16:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>
>> Olá amigos, gostaria de uma ajuda em uma filosofia e uma questão.
>>
>> 1)Na definição de ângulos suplementares, seria para dois ângulos ou pode
>> ser para mais de dois?
>>
>> 2)(Essa questão gostaria de saber se está mal elaborada) Carlos e
>> Ricardo disputaram 15 partidas de boliche e ao fim de cada partida o
>> perdedor pagava um prêmio em dinheiro para o vencedor. O prêmio para a
>> primeira partida foi R$ 15,00 e o prê- mio de cada partida seguinte foi R$
>> 5,00 a mais do que o valor da partida anterior. Ao final da disputa, ambos
>> receberam o mesmo valor em dinheiro e nenhuma partida terminou empatada.
>> Nes- sas condições, a maior diferença possível entre as vitórias e as
>> derrotas de Ricardo é
>> (A) 4. (B) 3. (C) 7. (D) 6. (E) 5.
>>
>> Att: Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Duas questões de matemática.

[Rogerio Ponce]

Ola' Douglas, a questao me parece perfeita.
Como as opcoes de resposta sao positivas, queremos a menor quantidade de
derrotas (ou seja, a maior quantidade de vitorias), que leve ao mesmo total
de premios.
Portanto, estamos falando das derrotas de maior valor (foram as 4 ultimas),
acompanhadas por uma com o valor necessario para completar a soma total.
Se considerassemos as 5 ultimas derrotas, o valor total seria ultrapassado.
So' pode ser a letra "E".
[]'s
Rogerio Ponce

2016-08-08 16:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

> Olá amigos, gostaria de uma ajuda em uma filosofia e uma questão.
>
> 1)Na definição de ângulos suplementares, seria para dois ângulos ou pode
> ser para mais de dois?
>
> 2)(Essa questão gostaria de saber se está mal elaborada) Carlos e Ricardo
> disputaram 15 partidas de boliche e ao fim de cada partida o perdedor
> pagava um prêmio em dinheiro para o vencedor. O prêmio para a primeira
> partida foi R$ 15,00 e o prê- mio de cada partida seguinte foi R$ 5,00 a
> mais do que o valor da partida anterior. Ao final da disputa, ambos
> receberam o mesmo valor em dinheiro e nenhuma partida terminou empatada.
> Nes- sas condições, a maior diferença possível entre as vitórias e as
> derrotas de Ricardo é
> (A) 4. (B) 3. (C) 7. (D) 6. (E) 5.
>
> Att: Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Duas questões de matemática.

[Douglas Oliveira de Lima]

OPA, muito obrigado,  mas pensei a respeito de terem um valor inicial.
É como se quando um. Perdesse ele pagaria em que?  Fichas,  como créditos?
Em 08/08/2016 18:41, "Bruno Visnadi"  escreveu:

> Olá
>
> Não sei responder sobre os ângulos suplementares.
> Sobre o problema, não acho que ele esteja mal elaborado.
> O total de dinheiro disputado é 750. Como ambos pagaram e receberam o
> mesmo, cada um pagou e recebeu 375.
> Como 15+20+25+30+35+40+45+50+55+60 = 65+70+75+80+85 = 375, é possível que
> Ricardo tenha ganhado 10 partidas e perdido 5. É impossível que alguém
> tenha ganhado 11, caso contrário a soma mínima seria 440, logo, a maior
> diferença possível é 5, alternativa E.
>
> Em 8 de agosto de 2016 16:45, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá amigos, gostaria de uma ajuda em uma filosofia e uma questão.
>>
>> 1)Na definição de ângulos suplementares, seria para dois ângulos ou pode
>> ser para mais de dois?
>>
>> 2)(Essa questão gostaria de saber se está mal elaborada) Carlos e
>> Ricardo disputaram 15 partidas de boliche e ao fim de cada partida o
>> perdedor pagava um prêmio em dinheiro para o vencedor. O prêmio para a
>> primeira partida foi R$ 15,00 e o prê- mio de cada partida seguinte foi R$
>> 5,00 a mais do que o valor da partida anterior. Ao final da disputa, ambos
>> receberam o mesmo valor em dinheiro e nenhuma partida terminou empatada.
>> Nes- sas condições, a maior diferença possível entre as vitórias e as
>> derrotas de Ricardo é
>> (A) 4. (B) 3. (C) 7. (D) 6. (E) 5.
>>
>> Att: Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Duas questões de matemática.

[Bruno Visnadi]

Olá

Não sei responder sobre os ângulos suplementares.
Sobre o problema, não acho que ele esteja mal elaborado.
O total de dinheiro disputado é 750. Como ambos pagaram e receberam o
mesmo, cada um pagou e recebeu 375.
Como 15+20+25+30+35+40+45+50+55+60 = 65+70+75+80+85 = 375, é possível que
Ricardo tenha ganhado 10 partidas e perdido 5. É impossível que alguém
tenha ganhado 11, caso contrário a soma mínima seria 440, logo, a maior
diferença possível é 5, alternativa E.

Em 8 de agosto de 2016 16:45, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá amigos, gostaria de uma ajuda em uma filosofia e uma questão.
>
> 1)Na definição de ângulos suplementares, seria para dois ângulos ou pode
> ser para mais de dois?
>
> 2)(Essa questão gostaria de saber se está mal elaborada) Carlos e Ricardo
> disputaram 15 partidas de boliche e ao fim de cada partida o perdedor
> pagava um prêmio em dinheiro para o vencedor. O prêmio para a primeira
> partida foi R$ 15,00 e o prê- mio de cada partida seguinte foi R$ 5,00 a
> mais do que o valor da partida anterior. Ao final da disputa, ambos
> receberam o mesmo valor em dinheiro e nenhuma partida terminou empatada.
> Nes- sas condições, a maior diferença possível entre as vitórias e as
> derrotas de Ricardo é
> (A) 4. (B) 3. (C) 7. (D) 6. (E) 5.
>
> Att: Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Duas questões de matemática.

[Douglas Oliveira de Lima]

Olá amigos, gostaria de uma ajuda em uma filosofia e uma questão.

1)Na definição de ângulos suplementares, seria para dois ângulos ou pode
ser para mais de dois?

2)(Essa questão gostaria de saber se está mal elaborada) Carlos e Ricardo
disputaram 15 partidas de boliche e ao fim de cada partida o perdedor
pagava um prêmio em dinheiro para o vencedor. O prêmio para a primeira
partida foi R$ 15,00 e o prê- mio de cada partida seguinte foi R$ 5,00 a
mais do que o valor da partida anterior. Ao final da disputa, ambos
receberam o mesmo valor em dinheiro e nenhuma partida terminou empatada.
Nes- sas condições, a maior diferença possível entre as vitórias e as
derrotas de Ricardo é
(A) 4. (B) 3. (C) 7. (D) 6. (E) 5.

Att: Douglas Oliveira.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: RES: [obm-l] Duas questões olímpicas

[Arlane Manoel S Silva]

   Prezados colegas, pensei um pouco neste problema e imagino que  
valha, sim, vender o pastel sem recheio. De repende, o cliente não  
gostou das opções. Sendo assim, teríamos (como foi discutido abaixo)


   32=2^5=C(n,5)+C(n,4)+C(n,3)+C(n,2)+C(n,1)+C(n,0)

  o que nos levar a concluir que existem 5 opções de recheio.

  PS.: Não conseguí outra solução.


  inté





Citando Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]:

Se m = C(n,5) + C(n,4) + C(n,3) + C(n,2) + C(n,1), acho que o número  
 total de opções de pastéis não é m^2/2 não. Se vc fixar uma   
combinação de recheio 1 no pastel A, então, no pastel B, vc pode   
combinar  com as combinacoes de recheio de 1 a m. Fixada agora a   
combianacao de recheio 2 no pastel A, para nao haver repeticao, vc   
so pode colocar no B as combinacoes de 2 a m. Depois, de 3 a m, etc.  
 Acho que o total vai ser de m + m-1 +1 = m(m+1)/2. O número m   
nem tem que ser par, de modo que m^2/2 pode nem ser inteiro

Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]  
 nome de Pedro Cardoso

Enviada em: quinta-feira, 31 de julho de 2008 19:20
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RE: [obm-l] Duas questões olímpicas


Salhab, acho que você errou na leitura.

A questão diz ATÉ 5 recheios.

Então, para cada pastel, temos C(n,5) + C(n,4) + C(n,3) + C(n,2) +   
C(n,1) possibilidades

Agora, será que vale pastel sem recheio?

Continuando, teremos, para dois pasteis,   
[C(n,5)+C(n,4)+C(n,3)+C(n,2)+C(n,1)]^2.

Na verdade, como a ordem dos pastéis não importa, fica
{ [C(n,5)+C(n,4)+C(n,3)+C(n,2)+C(n,1)]^2 } /2 = 1024.

Mas aí não dá.
Vou ver se acho meu erro também.

---


Olá Walter,

Problema 1)
Se ele poderia conter até 5 recheios, então, ele tem C(n, 5) modos   
de escolher os recheios, visto que  a ordem não importa.
Deste modo, temos  n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/120 maneiras de escolher um  
 pastel...

como vamos escolher dois pastéis (e eles podem ser iguais), temos que ter:
[C(n, 5)]^2 = 1024 ... C(n,5) = 32
logo:
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 120*32 = 5*4*3*2*2^5 = 5*3*2^8 = 3840

hmmm, vamos ver:
n = 10 10*9*8*7*6 = 30240.. portanto, é menos que 10.
n = 8... 8*7*6*5*4 = 6720.. portanto, é menos que 8.
n = 6... 6*5*4*3*2 = 720... OPA! então é 7! ehehehhe (note que não   
pode ser 7)
n = 7... 7*6*5*4*3 = 2520... uéh! era previsível que não era n=7,   
pois 7 não é fator de 3840...


vou pensar melhor e procurar meu erro!!

abraços,
Salhab



2008/7/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira
[EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED]



Caros amigos...

Duas questões da Espanha e Chile...alguma sugestão?

Abraços

Problema 1: (Olimpíada do Chile)

Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na   
compra dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios   
dos que tinham na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que   
havia 1024 maneiras de escolher dois pastéis. Quantos recheios   
distintos estavam disponíveis na pastelaria?


Problema 2: (Olimpíada da Espanha)

Os números naturais a e b são tais que a soma (a+1)/b + (b+1)/a é   
inteiro. Demonstre que o máximo divisor comum entre a e b é menor   
que ou igual a raiz (a+b).


--




  _

Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do   
Messenger! Crie já o seu!http://www.amigosdomessenger.com.br







--
  Arlane Manoel S Silva
Departamento de Matemática
Instituto de Matemática e Estatística-USP


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Duas questões olímpicas

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,... vamos ver a segunda:

vamos dizer que:
(a+1)/b + (b+1)/a = u

assim, multiplicando por ab, temos:
a(a + 1) + b(b+1) = abu

digamos que m = mdc(a, b)... vamos dividir por m^2...

a(a + 1)/m^2 + b(b+1)/m^2 = abu/m^2
a/m * (a+1)/m + b/m * (b+1)/m = a/m * b/m * u

Mas, a/m * (a+1)/m + b/m * (b+1)/m = a/m*a/m + a/m*1/m + b/m*b/m + b/m*1/m

Agora, vamos analisar:
a/m * b/m * u é inteiro, portanto, a/m*a/m + a/m*1/m + b/m*b/m + b/m*1/m
deve ser inteiro.
Neste último, a/m*a/m é inteiro e b/m*b/m é inteiro, logo: a/m*1/m + b/m*1/m
= (a+b)/m^2 deve ser inteiro.

Assim, se m^2  a+b, teríamos (a+b)/m^2  1, impossibilitando-o de ser
inteiro.
Logo, m^2 = a+b.
[acho que para formalizar a solução acima, basta supor m^2  a+b e chegar ao
absurdo]

Agora, pq m^2 = a+b é um absurdo?
bom, sabemos que a/m * b/m é inteiro... então, teríamos ab/(a+b) inteiro..

hmm.. ainda estou procurando o absurdo! hehehe
vou ter que dar uma saída agora, mas depois tento continuar!

abraços,
Salhab





2008/7/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED]

 Caros amigos...

 Duas questões da Espanha e Chile...alguma sugestão?

 Abraços

 *Problema 1:* *(Olimpíada do Chile)*

 * *

 Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra
 dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham
 na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de
 escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na
 pastelaria?



 *Problema 2:* *(Olimpíada da Espanha)*

 * *

 Os números naturais a e b são tais que a soma (a+1)/b + (b+1)/a é 
 inteiro.Demonstre que o máximo divisor comum entre a
  e b é menor que ou igual a raiz (a+b). **

 --

Re: [obm-l] Duas questões olímpicas

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Pedro,

tem razão!! Vou pensar melhor e propor outra solução.

abraços,
Salhab


2008/7/31 Pedro Cardoso [EMAIL PROTECTED]

  Salhab, acho que você errou na leitura.

 A questão diz ATÉ 5 recheios.

 Então, para cada pastel, temos C(n,5) + C(n,4) + C(n,3) + C(n,2) + C(n,1)
 possibilidades
 Agora, será que vale pastel sem recheio?

 Continuando, teremos, para dois pasteis,
 [C(n,5)+C(n,4)+C(n,3)+C(n,2)+C(n,1)]^2.
 Na verdade, como a ordem dos pastéis não importa, fica
 { [C(n,5)+C(n,4)+C(n,3)+C(n,2)+C(n,1)]^2 } /2 = 1024.

 Mas aí não dá.
 Vou ver se acho meu erro também.


 ---


 Olá Walter,

 Problema 1)
 Se ele poderia conter até 5 recheios, então, ele tem C(n, 5) modos de
 escolher os recheios, visto que  a ordem não importa.
 Deste modo, temos  n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/120 maneiras de escolher um
 pastel...
 como vamos escolher dois pastéis (e eles podem ser iguais), temos que ter:
 [C(n, 5)]^2 = 1024 ... C(n,5) = 32
 logo:
 n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 120*32 = 5*4*3*2*2^5 = 5*3*2^8 = 3840

 hmmm, vamos ver:
 n = 10 10*9*8*7*6 = 30240.. portanto, é menos que 10.
 n = 8... 8*7*6*5*4 = 6720.. portanto, é menos que 8.
 n = 6... 6*5*4*3*2 = 720... OPA! então é 7! ehehehhe (note que não pode ser
 7)
 n = 7... 7*6*5*4*3 = 2520... uéh! era previsível que não era n=7, pois 7
 não é fator de 3840...

 vou pensar melhor e procurar meu erro!!

 abraços,
 Salhab


 2008/7/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED]

 Caros amigos...

 Duas questões da Espanha e Chile...alguma sugestão?

 Abraços
  *Problema 1:* *(Olimpíada do Chile)*
 * *
 Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra
 dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham
 na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de
 escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na
 pastelaria?

 *Problema 2:* *(Olimpíada da Espanha)*
 * *
 Os números naturais a e b são tais que a soma (a+1)/b + (b+1)/a é 
 inteiro.Demonstre que o máximo divisor comum entre a
  e b é menor que ou igual a raiz (a+b). **

 --




 --
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Re: [obm-l] Duas questões olímpicas

[Rogerio Ponce]

Oi pessoal, a abordagem do Artur foi a que me pareceu adequada.
Mas ainda assim, teriamos 1024=m(m+1)/2 , o que e' impossivel para
qualquer m inteiro.
E isso vale independentemente do pastel ter ou nao ter algum recheio.
Portanto, eu diria que o enunciado esta' errado.

[]'s
Rogerio Ponce.

PS: a unica forma de se acomodar esse enunciado, seria tambem
considerar a ordem em que os pasteis foram pedidos, alem de se aceitar
pastel sem recheio .
Mas isso me parece uma tremenda apelacao...

De qualquer forma, se voce estivesse diante dessa questao, dependendo
de acerta-la para passar num exame, seria melhor dar essa resposta
(mesmo com dor no coracao), que deixa-la em branco esperando que fosse
anulada.

Portanto, PONTO PARA  ARLANE !!!
:-)




Problema 1: (Olimpíada do Chile)

Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na
compra dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos
que tinham na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024
maneiras de escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam
disponíveis na pastelaria?


Em 01/08/08, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Olá Pedro,

 tem razão!! Vou pensar melhor e propor outra solução.

 abraços,
 Salhab


 2008/7/31 Pedro Cardoso [EMAIL PROTECTED]

  Salhab, acho que você errou na leitura.

 A questão diz ATÉ 5 recheios.

 Então, para cada pastel, temos C(n,5) + C(n,4) + C(n,3) + C(n,2) + C(n,1)
 possibilidades
 Agora, será que vale pastel sem recheio?

 Continuando, teremos, para dois pasteis,
 [C(n,5)+C(n,4)+C(n,3)+C(n,2)+C(n,1)]^2.
 Na verdade, como a ordem dos pastéis não importa, fica
 { [C(n,5)+C(n,4)+C(n,3)+C(n,2)+C(n,1)]^2 } /2 = 1024.

 Mas aí não dá.
 Vou ver se acho meu erro também.


 ---


 Olá Walter,

 Problema 1)
 Se ele poderia conter até 5 recheios, então, ele tem C(n, 5) modos de
 escolher os recheios, visto que  a ordem não importa.
 Deste modo, temos  n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/120 maneiras de escolher um
 pastel...
 como vamos escolher dois pastéis (e eles podem ser iguais), temos que ter:
 [C(n, 5)]^2 = 1024 ... C(n,5) = 32
 logo:
 n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 120*32 = 5*4*3*2*2^5 = 5*3*2^8 = 3840

 hmmm, vamos ver:
 n = 10 10*9*8*7*6 = 30240.. portanto, é menos que 10.
 n = 8... 8*7*6*5*4 = 6720.. portanto, é menos que 8.
 n = 6... 6*5*4*3*2 = 720... OPA! então é 7! ehehehhe (note que não pode
 ser
 7)
 n = 7... 7*6*5*4*3 = 2520... uéh! era previsível que não era n=7, pois 7
 não é fator de 3840...

 vou pensar melhor e procurar meu erro!!

 abraços,
 Salhab


 2008/7/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED]

 Caros amigos...

 Duas questões da Espanha e Chile...alguma sugestão?

 Abraços
  *Problema 1:* *(Olimpíada do Chile)*
 * *
 Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra
 dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham
 na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de
 escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na
 pastelaria?

 *Problema 2:* *(Olimpíada da Espanha)*
 * *
 Os números naturais a e b são tais que a soma (a+1)/b + (b+1)/a é
 inteiro.Demonstre que o máximo divisor comum entre a
  e b é menor que ou igual a raiz (a+b). **

 --




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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Duas questões olímpicas

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Pois é amigos...

Descobri que o primeiro problema tem resposta 11.

Sai pelo binômio de Newton com algo tipo:

C(n,5)+...+C(n,1)=(1+1)^x e se não me engando

2.2^10 =2^x

x=11

Claro para alguém? Para mim, ainda não...

Abraços

PS: Será para explicar a alunos de 11 a 13 anos, pode? Pois é...





Em 01/08/08, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Olá,... vamos ver a segunda:

 vamos dizer que:
 (a+1)/b + (b+1)/a = u

 assim, multiplicando por ab, temos:
 a(a + 1) + b(b+1) = abu

 digamos que m = mdc(a, b)... vamos dividir por m^2...

 a(a + 1)/m^2 + b(b+1)/m^2 = abu/m^2
 a/m * (a+1)/m + b/m * (b+1)/m = a/m * b/m * u

 Mas, a/m * (a+1)/m + b/m * (b+1)/m = a/m*a/m + a/m*1/m + b/m*b/m + b/m*1/m

 Agora, vamos analisar:
 a/m * b/m * u é inteiro, portanto, a/m*a/m + a/m*1/m + b/m*b/m + b/m*1/m
 deve ser inteiro.
 Neste último, a/m*a/m é inteiro e b/m*b/m é inteiro, logo: a/m*1/m +
 b/m*1/m = (a+b)/m^2 deve ser inteiro.

 Assim, se m^2  a+b, teríamos (a+b)/m^2  1, impossibilitando-o de ser
 inteiro.
 Logo, m^2 = a+b.
 [acho que para formalizar a solução acima, basta supor m^2  a+b e chegar
 ao absurdo]

 Agora, pq m^2 = a+b é um absurdo?
 bom, sabemos que a/m * b/m é inteiro... então, teríamos ab/(a+b) inteiro..

 hmm.. ainda estou procurando o absurdo! hehehe
 vou ter que dar uma saída agora, mas depois tento continuar!

 abraços,
 Salhab





 2008/7/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED]

 Caros amigos...

 Duas questões da Espanha e Chile...alguma sugestão?

 Abraços

 *Problema 1:* *(Olimpíada do Chile)*

 * *

 Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra
 dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham
 na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de
 escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na
 pastelaria?



 *Problema 2:* *(Olimpíada da Espanha)*

 * *

 Os números naturais a e b são tais que a soma (a+1)/b + (b+1)/a é
 inteiro. Demonstre que o máximo divisor comum entre a e b é menor que ou
 igual a raiz (a+b). **

 --








-- 
Walter Tadeu Nogueira da Silveira
www.professorwaltertadeu.mat.br

Re: [obm-l] Duas questões olímpicas

[saulo nilson]

*Problema 1:* *(Olimpíada do Chile)*

* *

Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra
dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham
na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de
escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na
pastelaria?
cn,5+cn,4+cn,3+cn,2+cn,1+
cn,5*c(n-5,5)+cn,4*cn-4,4+cn,3*cn-3,3+cn,2*cn-2,2+cn,1*cn-1,1+cn,5*cn-5,4
2 pasteis iguais+ 2 pasteis diferentes+1 pastel com 5e um pastel com 4,
eassim vai
On 7/31/08, Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Caros amigos...

 Duas questões da Espanha e Chile...alguma sugestão?

 Abraços

 *Problema 1:* *(Olimpíada do Chile)*

 * *

 Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra
 dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham
 na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de
 escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na
 pastelaria?



 *Problema 2:* *(Olimpíada da Espanha)*

 * *

 Os números naturais a e b são tais que a soma (a+1)/b + (b+1)/a é 
 inteiro.Demonstre que o máximo divisor comum entre a
  e b é menor que ou igual a raiz (a+b). **

 --

[obm-l] Duas questões olímpicas

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Caros amigos...

Duas questões da Espanha e Chile...alguma sugestão?

Abraços

*Problema 1:* *(Olimpíada do Chile)*

* *

Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra
dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham
na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de
escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na
pastelaria?



*Problema 2:* *(Olimpíada da Espanha)*

* *

Os números naturais a e b são tais que a soma (a+1)/b + (b+1)/a é
inteiro.Demonstre que o máximo divisor comum entre a
 e b é menor que ou igual a raiz (a+b). **

--

Re: [obm-l] Duas questões olímpicas

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Walter,

Problema 1)
Se ele poderia conter até 5 recheios, então, ele tem C(n, 5) modos de
escolher os recheios, visto que  a ordem não importa.
Deste modo, temos  n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/120 maneiras de escolher um
pastel...
como vamos escolher dois pastéis (e eles podem ser iguais), temos que ter:
[C(n, 5)]^2 = 1024 ... C(n,5) = 32
logo:
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 120*32 = 5*4*3*2*2^5 = 5*3*2^8 = 3840

hmmm, vamos ver:
n = 10 10*9*8*7*6 = 30240.. portanto, é menos que 10.
n = 8... 8*7*6*5*4 = 6720.. portanto, é menos que 8.
n = 6... 6*5*4*3*2 = 720... OPA! então é 7! ehehehhe (note que não pode ser
7)
n = 7... 7*6*5*4*3 = 2520... uéh! era previsível que não era n=7, pois 7 não
é fator de 3840...

vou pensar melhor e procurar meu erro!!

abraços,
Salhab


2008/7/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED]

 Caros amigos...

 Duas questões da Espanha e Chile...alguma sugestão?

 Abraços

 *Problema 1:* *(Olimpíada do Chile)*

 * *

 Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra
 dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham
 na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de
 escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na
 pastelaria?



 *Problema 2:* *(Olimpíada da Espanha)*

 * *

 Os números naturais a e b são tais que a soma (a+1)/b + (b+1)/a é 
 inteiro.Demonstre que o máximo divisor comum entre a
  e b é menor que ou igual a raiz (a+b). **

 --

RES: [obm-l] Duas questões olímpicas

[Artur Costa Steiner]

Se m = C(n,5) + C(n,4) + C(n,3) + C(n,2) + C(n,1), acho que o número total de 
opções de pastéis não é m^2/2 não. Se vc fixar uma combinação de recheio 1 no 
pastel A, então, no pastel B, vc pode combinar  com as combinacoes de recheio 
de 1 a m. Fixada agora a combianacao de recheio 2 no pastel A, para nao haver 
repeticao, vc so pode colocar no B as combinacoes de 2 a m. Depois, de 3 a m, 
etc. Acho que o total vai ser de m + m-1 +1 = m(m+1)/2. O número m nem tem 
que ser par, de modo que m^2/2 pode nem ser inteiro
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Pedro Cardoso
Enviada em: quinta-feira, 31 de julho de 2008 19:20
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RE: [obm-l] Duas questões olímpicas


Salhab, acho que você errou na leitura.

A questão diz ATÉ 5 recheios.

Então, para cada pastel, temos C(n,5) + C(n,4) + C(n,3) + C(n,2) + C(n,1) 
possibilidades
Agora, será que vale pastel sem recheio?

Continuando, teremos, para dois pasteis, [C(n,5)+C(n,4)+C(n,3)+C(n,2)+C(n,1)]^2.
Na verdade, como a ordem dos pastéis não importa, fica
{ [C(n,5)+C(n,4)+C(n,3)+C(n,2)+C(n,1)]^2 } /2 = 1024.

Mas aí não dá.
Vou ver se acho meu erro também.

---


Olá Walter,

Problema 1)
Se ele poderia conter até 5 recheios, então, ele tem C(n, 5) modos de escolher 
os recheios, visto que  a ordem não importa.
Deste modo, temos  n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/120 maneiras de escolher um pastel...
como vamos escolher dois pastéis (e eles podem ser iguais), temos que ter:
[C(n, 5)]^2 = 1024 ... C(n,5) = 32
logo:
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 120*32 = 5*4*3*2*2^5 = 5*3*2^8 = 3840

hmmm, vamos ver:
n = 10 10*9*8*7*6 = 30240.. portanto, é menos que 10.
n = 8... 8*7*6*5*4 = 6720.. portanto, é menos que 8.
n = 6... 6*5*4*3*2 = 720... OPA! então é 7! ehehehhe (note que não pode ser 7)
n = 7... 7*6*5*4*3 = 2520... uéh! era previsível que não era n=7, pois 7 não é 
fator de 3840...

vou pensar melhor e procurar meu erro!!

abraços,
Salhab



2008/7/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira  [EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL 
PROTECTED]


Caros amigos...

Duas questões da Espanha e Chile...alguma sugestão?

Abraços

Problema 1: (Olimpíada do Chile)

Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra dos 
seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham na 
pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de escolher 
dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na pastelaria?

Problema 2: (Olimpíada da Espanha)

Os números naturais a e b são tais que a soma (a+1)/b + (b+1)/a é inteiro. 
Demonstre que o máximo divisor comum entre a e b é menor que ou igual a raiz 
(a+b).

--




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Re: [obm-l] Duas Questões interessantes ( Naturais )

[Valdoir Wathier]

On 5/20/07, Robÿe9rio Alves [EMAIL PROTECTED] wrote:


01) O quociente da divisão de um número N de dois algarismos pela soma de
seus algarismos é 7. Qual o número, se o dobro do algarismo das dezenas
excede de 3 o triplo das unidades ?
 10d + u / d + u = 7



10d + u = 7d + 7u
2d = 3.u + 3 = d = (3u+3)/2

10d - 7d = 7u - u
3d = 6u
d = 2u
(3u +3) / 2 = 2u
3u + 3 = 4u
u = 3.
d = 2.3 = 6

O número é 63.



02) Um leiteiro vende o litro de leite por Cr$ 65,00. A quantidade de água

que o leiteiro deve carescentar a 385 litros de leite para que possa vender
o litro da mistura por Cr$ 55,00.



385*65 =  x  * 55  =  385 * 65 /55 = x =  x  = 455.
Ou seja, ele deverá vender 485 litros por $ 55 para ter o mesmo rendimento
que 385 litros a $ 65.
A quantidade de água é 455 - 385 = 70 litros.


Delon

[obm-l] Duas Questões interessantes ( Naturais )

[Robÿffffe9rio Alves]

01) O quociente da divisão de um número N de dois algarismos pela soma de seus 
algarismos é 7. Qual o número, se o dobro do algarismo das dezenas excede de 3 
o triplo das unidades ?
   
   
  02) Um leiteiro vende o litro de leite por Cr$ 65,00. A quantidade de água 
que o leiteiro deve carescentar a 385 litros de leite para que possa vender o 
litro da mistura por Cr$ 55,00.

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[obm-l] Duas Questões

[ivanzovisk]

1- Prove que o produto de m fatores inteiros positivos e consecutivos é 
divisivel por m!

2- Um homem possui 8 pares de meias (todos distintos). De quantas formas ele 
pode selecionar 2 meias, sem que elas sejam do mesmo par?

[obm-l] Re: [obm-l] Duas Questões

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

sejam a_1, a_2, a_3, ..., a_m, vamos mostrar que o produto destes numeros é 
divisivel por m!...

como esses numeros estao sequenciais, eles formam um conjunto de representantes 
modulo m..
deste modo, podemos ordena-los com a seguinte lei:

a_1 = km
a_2 = km + 1
a_3 = km + 2
.
.
a_m = km + (m-1)

isto é, a_1 deixa resto 0, a_2 deixa resto 1, e assim por diante.

assim, quando dividimos o produto de a_1, a_2, .., a_m por m, temos:
k * a_2 * a_3 * a_4 * ... * a_m

temos que mostrar agora que este numeros sao divisiveis por m-1
mas: a_i = km + i-1 = k(m-1) + k + i - 1, para i=2, ..., m
assim, para i=2, temos a_2 = k+1 (mod m-1)
para i=3, temos a_3 = k+2 (mod m-1), e assim por diante..
novamente temos um conjuntos dos representantes modulo m...
isto é, podemos reordena-los de modo que:
b_1, b_2, b_3, ..., b_(m-1) estejam na ordem crescente modulo m-1...

seguindo esta linha, mostramos que o numero é divisivel por m, m-1, m-2, ... 2 
e 1.. logo, é divisivel por m!

se tiver algo errado, aguardo correcoes
abracos,
Salhab



  - Original Message - 
  From: ivanzovisk 
  To: obm-l 
  Sent: Friday, November 24, 2006 10:15 AM
  Subject: [obm-l] Duas Questões


  1- Prove que o produto de m fatores inteiros positivos e consecutivos é 
divisivel por m!



  2- Um homem possui 8 pares de meias (todos distintos). De quantas formas ele 
pode selecionar 2 meias, sem que elas sejam do mesmo par? 



--


  No virus found in this incoming message.
  Checked by AVG Free Edition.
  Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.14.7/538 - Release Date: 18/11/2006

Re: [obm-l] Duas questões do IME.

[Augusto César Morgado]

2) Se sao n clubes nao fluminenses, o total de pontos eh 8+kn. Mas isso eh
igual ao total de jogos, Cn+2,2 = (n+2)(n+1)/2.
Igualando, k = (n+3)/2 - 7/n.
2k eh inteiro.
2k= n+3 - 14/n.
Entao n so pode ser 1 ou 2 ou 7 ou 14.
n=1 e n=2 sao absurdos pois k seria negativo.
Logo, n=7 ou n=14.

Bem, agora vou propor outro problema. Esta soluao estah correta ou nao?


[EMAIL PROTECTED] wrote:

 Ol pessoal da lista,gostaria de uma ajuda nessas duas questes
  
 do IME. 
  1) 12 cavaleiros esto sentados em torno de uma mesa redonda
.Cada um dos doze cavaleiros considera seus dois vizinhos como rivais.Deseja-se
formar um grupo de 5 cavaleiros para libertar uma princesa.Nesse grupo no
poder haver cavaleiros rivais .Determine de quantas maneiras  possvel
escolher esse grupo.
  
  2) Dois clubes do Rio de Janeiro participaram de um campeonato
nacional de futebol de salo onde cada vitria valia 1 ponto,cada empate
meio ponto e cada derrota zero ponto.Sabendo que cada participante enfrentou
todos os outros apenas uma vez,que os clubes do Rio de Janeiro totalizaram,em
conjunto, 8 pontos e que cada um dos outros clubes alcanou a mesma quantidade
  k de pontos, determine a quantidade de clubes que participou do
torneio.
  
  Um abrao,
  Bruno Moss.
  
  
  
  

[obm-l] Re: [obm-l] Duas questões do IME.

[Paulo Santa Rita]

Ola Bruno e demais
colegas desta lista...OBM-L,

1) Seja C = { C1, C2, C3, ..., C12 } uma enumeracao dos cavaleiros. 
Precisamos determinar o numero de sub-conjuntos de C que tem 5 elementos e 
nos quais nao existam dois elementos consecutivos.

Claramente que aqui devemos considerar C1 como consecutivo de C12.

Estas observacoes deixam evidente que trata-se de uma aplicacao imediata do 
segundo lema de Kaplanski. Portanto :

g(12,5) = [12/(12-5)]*BINOM(12-5,5) = 36

2)Ao fim de uma partida e atribuido a cada clube que dela participou uma 
pontuacao : 1, se ganhou; 1/2, se empatou e 0 se perdeu. A SOMA DOS PONTOS 
ATRIBUIDOS E SEMPRE UM !

Isto significa que a soma dos pontos ganhos de todos os clubes e igual ao 
numero de partidas disputadas. Ora, se N for a quantidade de clubes que nao 
sao do Rio, N+1 e a quantidade de partidas que cada clube disputou. Como ha 
N+2 clubes, o total de partidas e :

[(N+2)*(N+1)/2]

O total de pontos e : 8 + N*K. Portanto :

8+N*K = [(N+2)*(N+1)/2]
16+2N*K = N^2 + 3N + 2  = 2NK=N^2 + 3N - 14
2K = (N+3) - 14/N  = 14/N = (N+3) - 2K

Qualquer que seja K ( 5/2, 7, etc ), 2K e um inteiro e (N+3) tambem. Logo, 
14/N deve ser inteiro. Assim N deve pertencer ao conjunto :

{-14,-7,-2,-1,1,2,7,14}

A - Os numeros negativos sao absurdos, pois N e o numero de clubes do 
campeonato que nao sao do Rio.
B - 1 ou 2 sao absurdos pois 8 foi a soma dos pontos ganhos dos clubes do 
Rio.

Precisamos decidir, portanto, entre N=7 ou N=14.

N=7

Consistente ! Por que ? Porque teriamos K = 4 e N+2=9 clubes. Cada clube 
jogaria 8 partidas. IMAGINE um campeonato nos moldes do enunciado do 
problema no qual todos os jogos terminem empatados ...

N=14

Consistente ! Por que ? Porque teriamos K=8 e N+2=16 clubes. Cada clube 
jogaria 15 partidas. IMAGINE um campeonato nos moldes do enunciado do 
problema no qual cada clube de fora do Rio ganhou 8 partidas e perdeu 7, 
um clube do Rio ganhou 8 partidas e perdeu 7 e o outro clube do Rio perdeu 
as 15 partidas.

Segue que participaram do torneio 9 ou 16 clubes.

AFIRMACAO : Se um clube participou de um campeonato no qual jogou com cada 
participante uma unica vez e ele teve, neste campeonato, D derrotas e E 
empates, entao, a QUANTIDADE MAXIMA DE OUTROS CLUBES que podem ter tido uma 
pontuacao igual ou superior a dele, independente da premiacao dada a 
Vitorias e empates, e 2D+E, desde que este numero nao entre em conflito 
com a quantidade de jogos (D+E+V).

A afirmacao acima e Verdadeira ou Falsa ?

Com os melhores votos
de paz profunda, sou

Paulo Santa Rita
1,1951,250802

Olá pessoal da lista,gostaria de uma ajuda nessas duas questões do IME.

1) 12 cavaleiros estão sentados em torno de uma mesa redonda .Cada um dos 
doze cavaleiros considera seus dois vizinhos como rivais.Deseja-se formar 
um grupo de 5 cavaleiros para libertar uma princesa.Nesse grupo não poderá 
haver cavaleiros rivais .Determine de quantas maneiras é possível escolher 
esse grupo.

2) Dois clubes do Rio de Janeiro participaram de um campeonato nacional de 
futebol de salão onde cada vitória valia 1 ponto,cada empate meio ponto e 
cada derrota zero ponto.Sabendo que cada participante enfrentou todos os 
outros apenas uma vez,que os clubes do Rio de Janeiro totalizaram,em 
conjunto, 8 pontos e que cada um dos outros clubes alcançou a mesma 
quantidade k de pontos, determine a quantidade de clubes que participou do 
torneio.
 Um abraço,
Bruno Moss.




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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
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