[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Realmente eu me expressei mal ali. Eu quis dizer que o menor N deve ser 1,
2 ou 5.
Em 13 de maio de 2018 21:22, Jeferson Almir
escreveu:
> Boa noite.
> Eu só não entendi essa passagem
> “ Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
> menores ou iguais a 5).“
> Pois pra mim eu teria que levar em conta somente os divisores de 50
>
> Em dom, 13 de mai de 2018 às 19:43, Bruno Visnadi <
> brunovisnadida...@gmail.com> escreveu:
>
>> Não sei se ficou meio confuso:
>> De fato a função é injetiva, pois se f(a) = f(b) então f^50(a) = f^50(b)
>> e a = b. E claramente é sobrejetiva, portanto, é bijetiva. Existem 5! = 120
>> bijeções de S em S. Vamos descontar as que não tem a propriedade desejada.
>> Em cada bijeção de S em S, dado um a, existe um menor N tal que f^N(a) =
>> a. Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
>> menores ou iguais a 5).
>> Se existem um a cujo N é igual a 3, temos um caso em que f(a) = b, f(b)
>> = c e f(c) = a . Existem 10 maneiras de escolher a, b, c de S, duas
>> maneiras de escolher o 'ciclo' entre eles (a->b->c ou a->c->b), e mais 2
>> maneiras de escolher a imagem dos outros 2 elementos (se forem x e y,
>> podemos ter f(x) = x e f(y) = y ou f(x) = y e f(y) = x). Então temos 10*2*2
>> = 40 funções deste tipo.
>> Se existe um a cujo N é igual a 4, temos um caso em que f(a) = b, f(b) =
>> c e f(c) = d e f(d) = a. Temos 5 maneiras de escolher estes 4 elementos de
>> S, e mais 6 maneiras de ordenar o 'ciclo' entre eles (basta fixar um deles
>> e vemos que são 3! maneiras). Então 6*5 = 30 funções deste tipo.
>> Logo a quantidade de funções com as propriedades que buscamos é 120-40-30
>> = 50.
>>
>> Em 13 de maio de 2018 18:03, Jeferson Almir
>> escreveu:
>>
>>> Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que
>>> f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x)
>>> Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era
>>> sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já
>>> agradeço qualquer ajuda.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Boa noite.
Eu só não entendi essa passagem
“ Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
menores ou iguais a 5).“
Pois pra mim eu teria que levar em conta somente os divisores de 50
Em dom, 13 de mai de 2018 às 19:43, Bruno Visnadi <
brunovisnadida...@gmail.com> escreveu:
> Não sei se ficou meio confuso:
> De fato a função é injetiva, pois se f(a) = f(b) então f^50(a) = f^50(b) e
> a = b. E claramente é sobrejetiva, portanto, é bijetiva. Existem 5! = 120
> bijeções de S em S. Vamos descontar as que não tem a propriedade desejada.
> Em cada bijeção de S em S, dado um a, existe um menor N tal que f^N(a) =
> a. Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
> menores ou iguais a 5).
> Se existem um a cujo N é igual a 3, temos um caso em que f(a) = b, f(b) =
> c e f(c) = a . Existem 10 maneiras de escolher a, b, c de S, duas
> maneiras de escolher o 'ciclo' entre eles (a->b->c ou a->c->b), e mais 2
> maneiras de escolher a imagem dos outros 2 elementos (se forem x e y,
> podemos ter f(x) = x e f(y) = y ou f(x) = y e f(y) = x). Então temos 10*2*2
> = 40 funções deste tipo.
> Se existe um a cujo N é igual a 4, temos um caso em que f(a) = b, f(b) =
> c e f(c) = d e f(d) = a. Temos 5 maneiras de escolher estes 4 elementos de
> S, e mais 6 maneiras de ordenar o 'ciclo' entre eles (basta fixar um deles
> e vemos que são 3! maneiras). Então 6*5 = 30 funções deste tipo.
> Logo a quantidade de funções com as propriedades que buscamos é 120-40-30
> = 50.
>
> Em 13 de maio de 2018 18:03, Jeferson Almir
> escreveu:
>
>> Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que
>> f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x)
>> Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era
>> sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já
>> agradeço qualquer ajuda.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.
--
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acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Não sei se ficou meio confuso:
De fato a função é injetiva, pois se f(a) = f(b) então f^50(a) = f^50(b) e
a = b. E claramente é sobrejetiva, portanto, é bijetiva. Existem 5! = 120
bijeções de S em S. Vamos descontar as que não tem a propriedade desejada.
Em cada bijeção de S em S, dado um a, existe um menor N tal que f^N(a) = a.
Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
menores ou iguais a 5).
Se existem um a cujo N é igual a 3, temos um caso em que f(a) = b, f(b) = c
e f(c) = a . Existem 10 maneiras de escolher a, b, c de S, duas maneiras de
escolher o 'ciclo' entre eles (a->b->c ou a->c->b), e mais 2 maneiras de
escolher a imagem dos outros 2 elementos (se forem x e y, podemos ter f(x)
= x e f(y) = y ou f(x) = y e f(y) = x). Então temos 10*2*2 = 40 funções
deste tipo.
Se existe um a cujo N é igual a 4, temos um caso em que f(a) = b, f(b) = c
e f(c) = d e f(d) = a. Temos 5 maneiras de escolher estes 4 elementos de S,
e mais 6 maneiras de ordenar o 'ciclo' entre eles (basta fixar um deles e
vemos que são 3! maneiras). Então 6*5 = 30 funções deste tipo.
Logo a quantidade de funções com as propriedades que buscamos é 120-40-30 =
50.
Em 13 de maio de 2018 18:03, Jeferson Almir
escreveu:
> Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que
> f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x)
> Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era
> sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já
> agradeço qualquer ajuda.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Valeu Raph e os demais. Aprendi muito com vcs!!
Em sáb, 12 de mai de 2018 às 20:25, Ralph Teixeira
escreveu:
> Oops, eh verdade, esqueci de mostrar que f nao tem ponto fixo em Z_2005
> (obviamente f nao tem ponto fixo, pois f(f(a))<>a).
>
> Suponha por absurdo que f(a)=a+K.2005 para algum a em {0,1,...2004}, com K
> natural. Entao f(a+K.2005)=f(f(a))=a+2005. Agora, usando nossa
> propriedadezinha:
>
> f(a+K.2005)-f(a)=K.2005
> a+2005 - (a+K.2005) = K.2005
> K = 1/2 (absurdo).
>
> Abraco, Ralph.
>
>
>
> 2018-05-12 2:49 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com>:
>
>> Oi Ralph,
>>
>> 2018-05-11 20:03 GMT-03:00 Ralph Teixeira :
>> > (Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali
>> > embaixo e ajeite as coisas)
>> >
>> > Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) =>
>> > a+2005=b+2005 => a=b.
>> >
>> > Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto,
>> por
>> > indução, para qualquer K natural, tem-se
>> > f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005.
>> >
>> > VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD":
>> > Ou seja, mostramos que a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005).
>> > Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou
>> > seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh
>> > absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos.
>>
>> Peraí, não entendi direito... se f(n) == n (mod 2005), temos uma
>> função que é sua própria inversa mod 2005. Temos que excluir este
>> caso...
>>
>> > 2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir :
>> >>
>> >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
>> ???
>> >>
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Função Composta
Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que
f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x)
Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era
sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já
agradeço qualquer ajuda.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Oops, eh verdade, esqueci de mostrar que f nao tem ponto fixo em Z_2005
(obviamente f nao tem ponto fixo, pois f(f(a))<>a).
Suponha por absurdo que f(a)=a+K.2005 para algum a em {0,1,...2004}, com K
natural. Entao f(a+K.2005)=f(f(a))=a+2005. Agora, usando nossa
propriedadezinha:
f(a+K.2005)-f(a)=K.2005
a+2005 - (a+K.2005) = K.2005
K = 1/2 (absurdo).
Abraco, Ralph.
2018-05-12 2:49 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com>:
> Oi Ralph,
>
> 2018-05-11 20:03 GMT-03:00 Ralph Teixeira :
> > (Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali
> > embaixo e ajeite as coisas)
> >
> > Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) =>
> > a+2005=b+2005 => a=b.
> >
> > Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto,
> por
> > indução, para qualquer K natural, tem-se
> > f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005.
> >
> > VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD":
> > Ou seja, mostramos que a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005).
> > Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou
> > seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh
> > absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos.
>
> Peraí, não entendi direito... se f(n) == n (mod 2005), temos uma
> função que é sua própria inversa mod 2005. Temos que excluir este
> caso...
>
> > 2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir :
> >>
> >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
> ???
> >>
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Oi Ralph, 2018-05-11 20:03 GMT-03:00 Ralph Teixeira : > (Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali > embaixo e ajeite as coisas) > > Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) => > a+2005=b+2005 => a=b. > > Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto, por > indução, para qualquer K natural, tem-se > f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005. > > VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD": > Ou seja, mostramos que a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005). > Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou > seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh > absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos. Peraí, não entendi direito... se f(n) == n (mod 2005), temos uma função que é sua própria inversa mod 2005. Temos que excluir este caso... > 2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir : >> >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ??? >> Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Só pra constar, nas primeiras linhas da minha resposta o correro é 2005,
não 2015. E meu ultimo argumento é que para existir uma função f(f(n)) = n
+ k esse k tem que ser par.
On Saturday, 12 May 2018, Pedro Soares wrote:
> 1- f(n) é injetiva
> f(a) = f(b) => f(f(a)) = f(f(b)) => a + 2015 = b + 2015 => a=b
>
> 2- Suponha que existem k números naturais que não pertencem a imagem de f,
> sabemos que k<2005. Chamamos de A o conjunto desses k números.
>
> Agora, como f é injetiva, o complementar em relação a N da imagem de
> f(f(n)) é composta pelos k naturais que não pertencem a imagem de f(n) + os
> k naturais que são as imagens de A. Assim, temos 2k naturais que não
> pertencem a imagem de f(f(n)).
>
> Mas, se f(f(n)) = n + 2005 existem 2005 naturais que não pertencem a
> imagem de f(f(n)), logo f não pode ser uma função de
> N->N
>
> On Friday, 11 May 2018, Bruno Visnadi wrote:
>
>> Vou considerar que 0 é natural (para N = {1, 2, 3...} a prova é análoga).
>> Lema 1: f é injetora.
>> Prova: Se f(a) = f(b) então f(f(a)) = f(f(b)) e a = b.
>> Lema 2: Se f(a) > 2004, então a está na imagem de f.
>> Prova: Se f(a) > 2004, então f(f(f(a) - 2005)) = f(a). Como a função é
>> injetora, f(f(a) - 2005) = a.
>> Suponha que existe uma função f, N -> N, tal que f(f(n)) = n + 2005.
>> Seja S o conjunto dos 2005 naturais [0, 2004]. Suponha que existam 1003
>> elementos t de S tais que f(t) ∈ S. Portanto, há no máximo 1002
>> elementos t de S tais que f(t) ∉ S. Assim, uma vez que a função é
>> injetora, pelo princípio das casas dos pombos haveria um elemento t tal que
>> f(f(t)) ∈ S ⇒ 2015 + t ∈ S, absurdo, pois 2005 + t > 2004.
>>
>> Então existem pelo menos 1003 elementos t de S com f(t) > 2004. Sejam a1,
>> a2 (...) a1003 tais elementos. Pelo Lema 2, estes números estão na imagem
>> de f. Então existem 1003 números b1, b2, (...) b1003 tais que f(b1) = a1,
>> f(b2) = a2, (...) f(b1003) = a1003. Não podem haver i e j tais que bi = aj,
>> pois f(bi) < 2005 e f(aj) > 2004. Assim, se bi ∈ S, bi é um dos 1002
>> elementos t de S com f(t) ∈ S. Mas existem 1003 números bi, portanto, ao
>> menos um deles não pertence a S. Seja bk tal elemento, com f(bk) = ak. Pelo
>> Lema 2, bk está na imagem de f, então existe c com f(c) = bk ⇒ f(f(c)) =
>> f(bk) ⇒ 2005 + c = ak. Absurdo, pois ak < 2005.
>>
>> Portanto, não existe tal f.
>>
>> Em 11 de maio de 2018 18:46, Rodrigo Ângelo
>> escreveu:
>>
>>> acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal
>>> que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e
>>> i é um número ímpar
>>>
>>> On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo
>>> wrote:
>>>
Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m,
onde g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
f(f(n)) = g(f(n)) + m
Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
g(f(n)) + m = n + 2005
g(f(n)) = n + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é
um polinômio, que é um absurdo.
On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo
wrote:
> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é
> um polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial
>
> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
> saldana...@pucp.edu.pe> wrote:
>
>> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
>> geral
>>
>> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo <
>> drigo.ang...@gmail.com> escribió:
>>
>>> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
>>> teríamos
>>> f(f(n)) = a(an + m) + m
>>> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>>>
>>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
>>> deve ser um número natural.
>>>
>>> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
>>> jefersonram...@gmail.com> wrote:
>>>
Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n +
2005 ???
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
1- f(n) é injetiva
f(a) = f(b) => f(f(a)) = f(f(b)) => a + 2015 = b + 2015 => a=b
2- Suponha que existem k números naturais que não pertencem a imagem de f,
sabemos que k<2005. Chamamos de A o conjunto desses k números.
Agora, como f é injetiva, o complementar em relação a N da imagem de
f(f(n)) é composta pelos k naturais que não pertencem a imagem de f(n) + os
k naturais que são as imagens de A. Assim, temos 2k naturais que não
pertencem a imagem de f(f(n)).
Mas, se f(f(n)) = n + 2005 existem 2005 naturais que não pertencem a
imagem de f(f(n)), logo f não pode ser uma função de
N->N
On Friday, 11 May 2018, Bruno Visnadi wrote:
> Vou considerar que 0 é natural (para N = {1, 2, 3...} a prova é análoga).
> Lema 1: f é injetora.
> Prova: Se f(a) = f(b) então f(f(a)) = f(f(b)) e a = b.
> Lema 2: Se f(a) > 2004, então a está na imagem de f.
> Prova: Se f(a) > 2004, então f(f(f(a) - 2005)) = f(a). Como a função é
> injetora, f(f(a) - 2005) = a.
> Suponha que existe uma função f, N -> N, tal que f(f(n)) = n + 2005.
> Seja S o conjunto dos 2005 naturais [0, 2004]. Suponha que existam 1003
> elementos t de S tais que f(t) ∈ S. Portanto, há no máximo 1002 elementos
> t de S tais que f(t) ∉ S. Assim, uma vez que a função é injetora, pelo
> princípio das casas dos pombos haveria um elemento t tal que f(f(t)) ∈ S ⇒
> 2015 + t ∈ S, absurdo, pois 2005 + t > 2004.
>
> Então existem pelo menos 1003 elementos t de S com f(t) > 2004. Sejam a1,
> a2 (...) a1003 tais elementos. Pelo Lema 2, estes números estão na imagem
> de f. Então existem 1003 números b1, b2, (...) b1003 tais que f(b1) = a1,
> f(b2) = a2, (...) f(b1003) = a1003. Não podem haver i e j tais que bi = aj,
> pois f(bi) < 2005 e f(aj) > 2004. Assim, se bi ∈ S, bi é um dos 1002
> elementos t de S com f(t) ∈ S. Mas existem 1003 números bi, portanto, ao
> menos um deles não pertence a S. Seja bk tal elemento, com f(bk) = ak. Pelo
> Lema 2, bk está na imagem de f, então existe c com f(c) = bk ⇒ f(f(c)) =
> f(bk) ⇒ 2005 + c = ak. Absurdo, pois ak < 2005.
>
> Portanto, não existe tal f.
>
> Em 11 de maio de 2018 18:46, Rodrigo Ângelo
> escreveu:
>
>> acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal
>> que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e
>> i é um número ímpar
>>
>> On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo
>> wrote:
>>
>>> Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde
>>> g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
>>> f(f(n)) = g(f(n)) + m
>>>
>>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
>>> g(f(n)) + m = n + 2005
>>> g(f(n)) = n + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é
>>> um polinômio, que é um absurdo.
>>>
>>> On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo
>>> wrote:
>>>
Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é
um polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial
On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
saldana...@pucp.edu.pe> wrote:
> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
> geral
>
> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo
> escribió:
>
>> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
>> teríamos
>> f(f(n)) = a(an + m) + m
>> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>>
>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
>> deve ser um número natural.
>>
>> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
>> jefersonram...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n +
>>> 2005 ???
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
(Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali
embaixo e ajeite as coisas)
Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) =>
a+2005=b+2005 => a=b.
Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto, por
indução, para qualquer K natural, tem-se
f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005.
VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD":
Ou seja, mostramos que a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005).
Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou
seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh
absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos.
VERSÃO LONGA, QUE EH O MESMO RACIOCÍNIO ESCRITO DE OUTRO JEITO:
Em outras palavras, mostramos que se a e b deixam o mesmo resto na divisão
por 2005, f(a) e f(b) também o fazem.
Agora olhe para o conjunto {f(0),f(1),f(2),f(3),...,f(2004)} e pense que
restos estes números deixam na divisão por 2005.
-- Não ha dois restos iguais! Se fosse, digamos, f(25)-f(19)=K.2005,
teríamos f(25)-f(19)=f(19+K(2005))-f(19), e, pela injetividade,
19+K(2005)=25, absurdo.
-- Mas então todos os restos de 0 a 2004 estão presentes ali naquele
conjunto...
-- ...porem, se f(a)=K.2005+b onde b eh o resto de f(a) na divisão por
2005, então f(b)=f(b+K.2005)-K.2005=f(f(a))-K.2005=a+(1-K).2005. Ou seja,
se f(a) deixa resto b, então f(b) deixa resto a.
Assim, f determinaria um PAREAMENTO dos números 0, 1, 2, 3, .., 2004 via
estes restos de divisao: f(a)=b (mod 2005) implica f(b)=a (mod 2005), e
vice-versa.
Porem, não pode existir este pareamento (são 2005 restos, numero impar!),
absurdo. Portanto, f não existe.
Abraco, Ralph.
2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir :
> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Vou considerar que 0 é natural (para N = {1, 2, 3...} a prova é análoga).
Lema 1: f é injetora.
Prova: Se f(a) = f(b) então f(f(a)) = f(f(b)) e a = b.
Lema 2: Se f(a) > 2004, então a está na imagem de f.
Prova: Se f(a) > 2004, então f(f(f(a) - 2005)) = f(a). Como a função é
injetora, f(f(a) - 2005) = a.
Suponha que existe uma função f, N -> N, tal que f(f(n)) = n + 2005.
Seja S o conjunto dos 2005 naturais [0, 2004]. Suponha que existam 1003
elementos t de S tais que f(t) ∈ S. Portanto, há no máximo 1002 elementos t
de S tais que f(t) ∉ S. Assim, uma vez que a função é injetora, pelo
princípio das casas dos pombos haveria um elemento t tal que f(f(t)) ∈ S ⇒
2015 + t ∈ S, absurdo, pois 2005 + t > 2004.
Então existem pelo menos 1003 elementos t de S com f(t) > 2004. Sejam a1,
a2 (...) a1003 tais elementos. Pelo Lema 2, estes números estão na imagem
de f. Então existem 1003 números b1, b2, (...) b1003 tais que f(b1) = a1,
f(b2) = a2, (...) f(b1003) = a1003. Não podem haver i e j tais que bi = aj,
pois f(bi) < 2005 e f(aj) > 2004. Assim, se bi ∈ S, bi é um dos 1002
elementos t de S com f(t) ∈ S. Mas existem 1003 números bi, portanto, ao
menos um deles não pertence a S. Seja bk tal elemento, com f(bk) = ak. Pelo
Lema 2, bk está na imagem de f, então existe c com f(c) = bk ⇒ f(f(c)) =
f(bk) ⇒ 2005 + c = ak. Absurdo, pois ak < 2005.
Portanto, não existe tal f.
Em 11 de maio de 2018 18:46, Rodrigo Ângelo
escreveu:
> acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal
> que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e
> i é um número ímpar
>
> On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo
> wrote:
>
>> Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde
>> g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
>> f(f(n)) = g(f(n)) + m
>>
>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
>> g(f(n)) + m = n + 2005
>> g(f(n)) = n + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é um
>> polinômio, que é um absurdo.
>>
>> On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo
>> wrote:
>>
>>> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é
>>> um polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial
>>>
>>> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
>>> saldana...@pucp.edu.pe> wrote:
>>>
com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
geral
El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo
escribió:
> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
> teríamos
> f(f(n)) = a(an + m) + m
> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
> deve ser um número natural.
>
> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
> jefersonram...@gmail.com> wrote:
>
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n +
>> 2005 ???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
>>>
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> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e i é um número ímpar On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo wrote: > Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde > g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero > f(f(n)) = g(f(n)) + m > > Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos > g(f(n)) + m = n + 2005 > g(f(n)) = n + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é um > polinômio, que é um absurdo. > > On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo > wrote: > >> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é um >> polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial >> >> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica < >> saldana...@pucp.edu.pe> wrote: >> >>> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais >>> geral >>> >>> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo >>> escribió: >>> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então teríamos f(f(n)) = a(an + m) + m f(f(n)) = (a^2)n + am + m Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve ser um número natural. On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir < jefersonram...@gmail.com> wrote: > Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 > ??? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Mas pode ser que f não seja afim. Enviado do meu iPhone Em 11 de mai de 2018, à(s) 17:21, Rodrigo Ângelo escreveu: > Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então > terÃamos > f(f(n)) = a(an + m) + m > f(f(n)) = (a^2)n + am + m > > Com f(f(n)) = n + 2005, terÃamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve > ser um número natural. > >> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir >> wrote: >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ??? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero f(f(n)) = g(f(n)) + m Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos g(f(n)) + m = n + 2005 g(f(n)) = n + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é um polinômio, que é um absurdo. On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo wrote: > Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é um > polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial > > On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica < > saldana...@pucp.edu.pe> wrote: > >> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais >> geral >> >> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo >> escribió: >> >>> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então >>> teríamos >>> f(f(n)) = a(an + m) + m >>> f(f(n)) = (a^2)n + am + m >>> >>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m >>> deve ser um número natural. >>> >>> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir < >>> jefersonram...@gmail.com> wrote: >>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ??? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é um polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica < saldana...@pucp.edu.pe> wrote: > com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais geral > > El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo > escribió: > >> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então >> teríamos >> f(f(n)) = a(an + m) + m >> f(f(n)) = (a^2)n + am + m >> >> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve >> ser um número natural. >> >> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir >> wrote: >> >>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 >>> ??? >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais geral El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo escribió: > Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então > teríamos > f(f(n)) = a(an + m) + m > f(f(n)) = (a^2)n + am + m > > Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve > ser um número natural. > > On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir > wrote: > >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ??? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Acredito que isso só prova que a função não pode ser um polinômio do primeiro grau, mas não prova que ela não existe. Em 11 de maio de 2018 17:21, Rodrigo Ângelo escreveu: > Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então > teríamos > f(f(n)) = a(an + m) + m > f(f(n)) = (a^2)n + am + m > > Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve > ser um número natural. > > On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir > wrote: > >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ??? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Boa noite! Porém, existem funções de|N em |N que não as afins. Saudações, PJMS Em 11 de mai de 2018 17:33, "Rodrigo Ângelo" escreveu: > Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então > teríamos > f(f(n)) = a(an + m) + m > f(f(n)) = (a^2)n + am + m > > Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve > ser um número natural. > > On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir > wrote: > >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ??? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então teríamos f(f(n)) = a(an + m) + m f(f(n)) = (a^2)n + am + m Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve ser um número natural. On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir wrote: > Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ??? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Função Composta
Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ??? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Função composta
Outra ajuda: Sendo f( x) = ln x e g ( x ) = tg ( x ) . Determine dom (fog) e dom (gof). Determine fog (x) Obrigada.
Re: [obm-l] Função composta, intervalo.
Tudo ok. Obrigado pela ajuda. On 7/30/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Olá Albert, > > faca igual vc fez com a funcao.. mas agora substitua x nos intervalos.. > vai dar exatamente o que vc disse.. :) > > abracos, > Salhab > > > On 7/30/07, Albert Lucas <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Olá Marcelo, obrigado pela ajuda. > > > > Eu consigo achar a resposta corretamente, que neste caso é: > > > > f(x)=x^2+3x -1 -->4x^2-6x-1 se x>=1 > > > > f(x)=2x+9 --> para 4x+3 se x<1 > > > > Só que não entendo como proceder para achar o intervalo para ambos os > > casos, na resposta do livro ele diz que f é x^2+3x -1 se x>=-1 e 2x+9 se > > x<-1. Poderia me explicar a forma para achar esses intervalos para f. > > > > Obrigado, > > Albert. > > > > > > > > > > > > > > On 7/30/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > > > Olá Albert.. > > > > > > fog(x) = f(g(x)).. assim: > > > f(g(x)) = f(2x-3) = 4x^2-6x-1, se x>=1 e 4x+3 se x<1.. > > > > > > faca 2x-3 = y.. logo: x = (y+3)/2 > > > agora basta substituir pra obter a f(x).. > > > > > > abracos, > > > Salhab > > > > > > > > > On 7/30/07, Albert Lucas <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Olá pessoal. Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, e que se > > pudessem > > > > explicar como fica f e principalmente seus intervalos( esses mais > > difícil > > > > para mim perceber). > > > > Obrigado. > > > > > > > > Sejam as funções reais g e fOg( f composta g) definidas por > g(x)=2x-3 e > > > > > > > >(fOg)(x) = 4x² -6x -1 se x>=1 > > > > e > > > > 4x + 3 se x<1 > > > > > > > >Obtenha a lei que define f. > > > > > > > > > > > > > = > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > > > = > > > > > > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >
Re: [obm-l] Função composta, intervalo.
Olá Albert, faca igual vc fez com a funcao.. mas agora substitua x nos intervalos.. vai dar exatamente o que vc disse.. :) abracos, Salhab On 7/30/07, Albert Lucas <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Olá Marcelo, obrigado pela ajuda. > > Eu consigo achar a resposta corretamente, que neste caso é: > > f(x)=x^2+3x -1 -->4x^2-6x-1 se x>=1 > > f(x)=2x+9 --> para 4x+3 se x<1 > > Só que não entendo como proceder para achar o intervalo para ambos os > casos, na resposta do livro ele diz que f é x^2+3x -1 se x>=-1 e 2x+9 se > x<-1. Poderia me explicar a forma para achar esses intervalos para f. > > Obrigado, > Albert. > > > > > > > On 7/30/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Olá Albert.. > > > > fog(x) = f(g(x)).. assim: > > f(g(x)) = f(2x-3) = 4x^2-6x-1, se x>=1 e 4x+3 se x<1.. > > > > faca 2x-3 = y.. logo: x = (y+3)/2 > > agora basta substituir pra obter a f(x).. > > > > abracos, > > Salhab > > > > > > On 7/30/07, Albert Lucas <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > Olá pessoal. Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, e que se > pudessem > > > explicar como fica f e principalmente seus intervalos( esses mais > difícil > > > para mim perceber). > > > Obrigado. > > > > > > Sejam as funções reais g e fOg( f composta g) definidas por g(x)=2x-3 e > > > > > >(fOg)(x) = 4x² -6x -1 se x>=1 > > > e > > > 4x + 3 se x<1 > > > > > >Obtenha a lei que define f. > > > > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > = > > > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Função composta, intervalo.
Olá Marcelo, obrigado pela ajuda. Eu consigo achar a resposta corretamente, que neste caso é: f(x)=x^2+3x -1 -->4x^2-6x-1 se x>=1 f(x)=2x+9 --> para 4x+3 se x<1 Só que não entendo como proceder para achar o intervalo para ambos os casos, na resposta do livro ele diz que f é x^2+3x -1 se x>=-1 e 2x+9 se x<-1. Poderia me explicar a forma para achar esses intervalos para f. Obrigado, Albert. On 7/30/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Olá Albert.. > > fog(x) = f(g(x)).. assim: > f(g(x)) = f(2x-3) = 4x^2-6x-1, se x>=1 e 4x+3 se x<1.. > > faca 2x-3 = y.. logo: x = (y+3)/2 > agora basta substituir pra obter a f(x).. > > abracos, > Salhab > > > On 7/30/07, Albert Lucas <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Olá pessoal. Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, e que se > pudessem > > explicar como fica f e principalmente seus intervalos( esses mais > difícil > > para mim perceber). > > Obrigado. > > > > Sejam as funções reais g e fOg( f composta g) definidas por g(x)=2x-3 e > > > >(fOg)(x) = 4x² -6x -1 se x>=1 > > e > > 4x + 3 se x<1 > > > >Obtenha a lei que define f. > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >
Re: [obm-l] Função composta, intervalo.
Olá Albert.. fog(x) = f(g(x)).. assim: f(g(x)) = f(2x-3) = 4x^2-6x-1, se x>=1 e 4x+3 se x<1.. faca 2x-3 = y.. logo: x = (y+3)/2 agora basta substituir pra obter a f(x).. abracos, Salhab On 7/30/07, Albert Lucas <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Olá pessoal. Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, e que se pudessem > explicar como fica f e principalmente seus intervalos( esses mais difícil > para mim perceber). > Obrigado. > > Sejam as funções reais g e fOg( f composta g) definidas por g(x)=2x-3 e > >(fOg)(x) = 4x² -6x -1 se x>=1 > e > 4x + 3 se x<1 > >Obtenha a lei que define f. > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Função composta, intervalo.
Olá pessoal. Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, e que se pudessem explicar como fica f e principalmente seus intervalos( esses mais difícil para mim perceber). Obrigado. Sejam as funções reais g e fOg( f composta g) definidas por g(x)=2x-3 e (fOg)(x) = 4x² -6x -1 se x>=1 e 4x + 3 se x<1 Obtenha a lei que define f.
[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta (obrigada)
Oi Claudio, mais uma vez obrigada pela ajuda, consegui entender sim. []´s Renatinha __ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Função Composta
olá pessoal, estou com uma dúvida conceitual sobre fuções compostas. É bem boba, mas pesquisei em vários livros e não encontrei a resposta. Estarei grata por qualquer esclarecimento. Definição de função composta: "Dadas as funções f de A em B, e g de B em C, chama-se função composta de f e g a função: (gof): A -> C, tal que (gof)(x) = g(f(x))" <> Gostaria de saber se existe algum critério para o "g" vir primeiro que o "f(x)", ou seja, por que ele não definiu como "f(g(x))"? Estou questionando isso por causa de um teorema sobre composta de funções inversas entre si -não o entendi totalmente-. Estou colocando este teorema, de acordo com o livro, logo abaixo, e em seguida exponho minha dúvida - e que tem relação com a já acima citada-. Teorema: Seja f uma função bijetora de A em B. Se f^-1 é a função inversa de f, então: f^(-1)of = Ia e fof^1 = Ib. Demonstração: "qualquer que seja" x E A, (f^(-1)of)(x) = f^-1(f(x)) = f^-1(y) = x "qualquer que seja" y E B, (fof^1)(y) = f(f^-1(y) = f(x) = y <> Se F: A -> B, então f^-1 = B -> A Primeiramente, decorre da definição da função composta que gof (g "círculo" f) só está definida quando o contradomínio da f é igual ao domínio da g. Portanto, conclui-se que f(f^-1(x)) e f^-1(f(x)) estão definidos. Mas a dúvida é: Em f(f^-1(x)), temos B -> B ou A -> A, a mesma pergunta serve para f^1(f(x)). []´s Renatinha __ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Função Composta
Oi, Renatinha: Veja meus comentarios no corpo da sua mensagem. on 04.06.03 22:31, renatinha15a at [EMAIL PROTECTED] wrote: > olá pessoal, estou com uma dúvida conceitual sobre > fuções compostas. É bem boba, mas pesquisei em vários > livros e não encontrei a resposta. Estarei grata por > qualquer esclarecimento. > > Definição de função composta: > "Dadas as funções f de A em B, e g de B em C, chama-se > função composta de f e g a função: > (gof): A -> C, tal que (gof)(x) = g(f(x))" > <> > Gostaria de saber se existe algum critério para o "g" > vir primeiro que o "f(x)", ou seja, por que ele não > definiu como "f(g(x))"? Observe que: g leva B em C; f leva A em B. Para um dado elemento x de B, f(g(x)) soh estaria definido se g(x) (que pertence a C) tambem pertencesse a A, dominio de f, o que nao eh sempre o caso. Repare que gof eh uma funcao de A em C, com uma "escala" em B, ou seja, primeiro f leva um elemento x de A no elemento f(x) de B. Em seguida, g leva esse elemento f(x) (de B) no elemento g(f(x)), o qual pertence a C. > Estou questionando isso por causa de um teorema sobre > composta de funções inversas entre si -não o entendi > totalmente-. Estou colocando este teorema, de acordo com > o livro, logo abaixo, e em seguida exponho minha dúvida - > e que tem relação com a já acima citada-. > > Teorema: > Seja f uma função bijetora de A em B. Se f^-1 é a função > inversa de f, então: > f^(-1)of = Ia e fof^1 = Ib. > Demonstração: > "qualquer que seja" x E A, > (f^(-1)of)(x) = f^-1(f(x)) = f^-1(y) = x > "qualquer que seja" y E B, > (fof^1)(y) = f(f^-1(y) = f(x) = y > <> > Se F: A -> B, então f^-1 = B -> A > Primeiramente, decorre da definição da função composta > que gof (g "círculo" f) só está definida quando o > contradomínio da f é igual ao domínio da g. Isso nao eh estritamente necessario. Basta que a imagem do conjunto A pela funcao f (normalmente denominada f(A)) esteja contida no dominio de g. > Portanto, conclui-se que > f(f^-1(x)) e f^-1(f(x)) estão definidos. Mas a dúvida é: > Em f(f^-1(x)), temos B -> B ou A -> A, a mesma pergunta > serve para f^1(f(x)). > Eh soh ver em qual conjunto comeca e em qual termina. f leva A em B f^(-1) leva B em A Assim: fof^(-1) leva um elemento x de B no elemento (fof^(-1))(x) de A, passando pelo elemento f^(-1)(x) de B ==> Logo, fof^(-1): B -> B. Analogamente, voce conclui que f^(-1)of: A -> A. > []´s > Renatinha > Espero que tenha ficado claro. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Fw: [obm-l] função composta
f(0+1) = 3f(0) - 2 f(1) = 3f(0) - 2 4 = 3f(0) - 2 3f(0) = 6 f(0) = 2 Até breve! Davidson Estanislau -Mensagem Original- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quarta-feira, 15 de Janeiro de 2003 02:25 Assunto: [obm-l] função composta 7) Considere a função f, de domínio N, definida por f(1) = 4 e f(x+1)=3f(x)-2. O valor de f(0) é (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 Obs: a resposta é 2 . Eu gostaria de um auxilio nesta questão, pois apesar de fácil para quem tem prática, eu estou ainda pegando prática com estas questões.
[obm-l] RES: [obm-l] função composta
f(1)=3f(0)-2 4=3f(0)-2 f(0)=6/3=2 -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de [EMAIL PROTECTED]Enviada em: quarta-feira, 15 de janeiro de 2003 01:25Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] função composta7) Considere a função f, de domínio N, definida por f(1) = 4 e f(x+1)=3f(x)-2. O valor de f(0) é (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 Obs: a resposta é 2 . Eu gostaria de um auxilio nesta questão, pois apesar de fácil para quem tem prática, eu estou ainda pegando prática com estas questões.
[obm-l] função composta
7) Considere a função f, de domínio N, definida por f(1) = 4 e f(x+1)=3f(x)-2. O valor de f(0) é (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 Obs: a resposta é 2 . Eu gostaria de um auxilio nesta questão, pois apesar de fácil para quem tem prática, eu estou ainda pegando prática com estas questões.
[obm-l] Função composta
Estava assistindo a um filme que não tem nada a ver com matemática ou ciências exatas em geral. Em um trecho do filme a protagonista dizia ao seu namorado que o relacionamento deles não andava nada bom. Quando ela falou relacionamento lembrei de relação, e de relação lembrei de relação binária e função. Das palavras que apareciam na legenda ditas pelo casal eu estava tentando montar 2 funções onde o domínio seria a quantidade de vogais proferidas a cada legenda e a imagem seria um termo qualquer como n^2 onde n= qtde de vogal em cada diálogo. Surgiram algumas dúvidas nessa minha construção: 1) Isso pode ser considerado uma função se considerarmos que a qtde de vogais jamais iria se repetir? Digo isso, pois se houvesse repetição o gráfico teria mais de um ponto pertencendo a uma linha imaginária paralela à 0y, como sabemos. 2) Como uma função composta esta representada no gráfico cartesiano? Somente atráves de dois eixos, ou existiria um 3º, como z, configurando um espaço tridimensional? E se tivessemos n funções compostas teriamos também n espaços vetoriais com com dimensões iguais a n-1?
