Re: [obm-l] Probleminha interessante.
Este problema foi extraído do livro Problem Solving Strategies do Arthur Engel, página 63 (princípio das casas dos pombos). A resposta dada no livro é a seguinte: Suponha que a área de sobreposição de qualquer par de tapetes seja menor do que 1/9. Coloque os tapetes um a um sobre o chão. Observemos quanto da área ainda não coberta cada um dos tapetes irá cobrir. O primeiro tapete irá cobrir uma área igual a 1 ou 9/9. O segundo, terceiro, ..., nono irão cobrir uma área maior do que 8/9, ..., 1/9. Desde que 9/9 + 8/9 + 7/9 + ... + 1/9 = 5, todos os nove tapetes irão cobrir uma área maior do que 5. Contradição. 2013/5/8 Cláudio Gustavo > Eh verdade... Eh como se não exercesse a função de tapete! > Agora entendi o que você quis dizer. Concordo! > > Abçs > > Enviado via iPhone > > Em 07/05/2013, às 23:04, terence thirteen > escreveu: > > Entendi. E foi por isso que achei mal formulado. Mas acho que ainda assim > dá problema. > > Pensa assim: qual a área útil de cada tapete? > > É aquela que toca o chão, correto? > Então, se uma área do tapete tocar outra coisa que não o tapete, ela não é > útil. E se uma área do tapete cobrir outras duas, de novo ela é inútil. > > Pensa num caso extremo: três tapetes circulares concêntricos. > > > > Em 7 de maio de 2013 21:59, Cláudio Gustavo > escreveu: > >> Olah! >> Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há >> regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C >> sob B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse >> "contato" entre os tapetes. >> >> Enviado via iPhone >> >> Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen >> escreveu: >> >> >> >> >> Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo >> escreveu: >> >>> Boa noite. >>> Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois >>> vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam "amontoados" >>> com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A. >>> Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço >>> diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C. >>> >> >> Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto >> seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no >> quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo >> assim: >> >> * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções >> * Descontar intersecções dois a dois >> * Contar intersecções três a três >> * Descontar intersecções quatro a quatro >> >> E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo >> efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais. >> >> Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de >> verdade e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema >> formulado fracamente... >> >> >>> Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é >>> que é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e >>> nem contado mais de uma vez. >>> >> >> Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :) >> >> >>> Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5 >>> seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas. >>> >>> Abraços >>> Claudio Gustavo >>> >>> Enviado via iPhone >>> >>> Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen >>> escreveu: >>> >>> >>> >>> >>> Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo >>> escreveu: >>> A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9 ou mais. Sendo assim: Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9) Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = k(k-1)/2 Logo: 4/(k(k-1)/2) < 1/9 k^2 -k -72 > 0 k< -8 ou k>9 (absurdo) >>> E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? >>> Abraços Claudio Gustavo Enviado via iPhone Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen escreveu: Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão? A soma da área coberta é no máximo 5. Cada um tem tamanho 1 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9. A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as sobreposições. São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições. Ixi! Só deu pra provar a igualdade! Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo < mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu: > Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes > de área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois > tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9. > > dica: redução ao absurdo. > > -- > Abra
Re: [obm-l] Probleminha interessante.
Eh verdade... Eh como se não exercesse a função de tapete! Agora entendi o que você quis dizer. Concordo! Abçs Enviado via iPhone Em 07/05/2013, às 23:04, terence thirteen escreveu: > Entendi. E foi por isso que achei mal formulado. Mas acho que ainda assim dá > problema. > > Pensa assim: qual a área útil de cada tapete? > > É aquela que toca o chão, correto? > Então, se uma área do tapete tocar outra coisa que não o tapete, ela não é > útil. E se uma área do tapete cobrir outras duas, de novo ela é inútil. > > Pensa num caso extremo: três tapetes circulares concêntricos. > > > > Em 7 de maio de 2013 21:59, Cláudio Gustavo > escreveu: >> Olah! >> Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há >> regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C >> sob B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse >> "contato" entre os tapetes. >> >> Enviado via iPhone >> >> Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen >> escreveu: >> >>> >>> >>> >>> Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo >>> escreveu: Boa noite. Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam "amontoados" com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A. Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C. >>> >>> Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto >>> seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no >>> quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo >>> assim: >>> >>> * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções >>> * Descontar intersecções dois a dois >>> * Contar intersecções três a três >>> * Descontar intersecções quatro a quatro >>> >>> E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo >>> efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais. >>> >>> Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de verdade >>> e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema formulado >>> fracamente... >>> Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem contado mais de uma vez. >>> >>> Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :) >>> Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5 seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas. Abraços Claudio Gustavo Enviado via iPhone Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen escreveu: > > > > Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo > escreveu: >> A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa >> forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas >> sobrepostas 1/9 ou mais. >> Sendo assim: >> Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9) >> Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k >> Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = >> k(k-1)/2 >> Logo: >> 4/(k(k-1)/2) < 1/9 >> k^2 -k -72 > 0 >> k< -8 ou k>9 (absurdo) > > E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? >> Abraços >> Claudio Gustavo >> >> Enviado via iPhone >> >> Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen >> escreveu: >> >>> Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão? >>> >>> A soma da área coberta é no máximo 5. >>> Cada um tem tamanho 1 >>> Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9. >>> >>> A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as >>> sobreposições. >>> >>> São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições. >>> >>> Ixi! Só deu pra provar a igualdade! >>> >>> >>> Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo >>> escreveu: Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9. dica: redução ao absurdo. -- Abraços M. momentos excepcionais pedem ações excepcionais. Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios.. >>> >>> >>> >>> -- >>> /**/ >>> 神が祝福 >>> >>> Torres > > > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres >>> >>> >>> >>> -- >>> /**/ >>> 神が祝福 >>
Re: [obm-l] Probleminha interessante.
Entendi. E foi por isso que achei mal formulado. Mas acho que ainda assim dá problema. Pensa assim: qual a área útil de cada tapete? É aquela que toca o chão, correto? Então, se uma área do tapete tocar outra coisa que não o tapete, ela não é útil. E se uma área do tapete cobrir outras duas, de novo ela é inútil. Pensa num caso extremo: três tapetes circulares concêntricos. Em 7 de maio de 2013 21:59, Cláudio Gustavo escreveu: > Olah! > Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há > regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C > sob B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse > "contato" entre os tapetes. > > Enviado via iPhone > > Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen > escreveu: > > > > > Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo > escreveu: > >> Boa noite. >> Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois >> vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam "amontoados" >> com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A. >> Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço >> diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C. >> > > Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto > seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no > quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo > assim: > > * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções > * Descontar intersecções dois a dois > * Contar intersecções três a três > * Descontar intersecções quatro a quatro > > E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo > efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais. > > Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de > verdade e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema > formulado fracamente... > > >> Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que >> é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem >> contado mais de uma vez. >> > > Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :) > > >> Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5 >> seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas. >> >> Abraços >> Claudio Gustavo >> >> Enviado via iPhone >> >> Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen >> escreveu: >> >> >> >> >> Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo >> escreveu: >> >>> A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa >>> forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas >>> sobrepostas 1/9 ou mais. >>> Sendo assim: >>> Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9) >>> Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k >>> Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = >>> k(k-1)/2 >>> Logo: >>> 4/(k(k-1)/2) < 1/9 >>> k^2 -k -72 > 0 >>> k< -8 ou k>9 (absurdo) >>> >>> >> E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? >> >>> Abraços >>> Claudio Gustavo >>> >>> Enviado via iPhone >>> >>> Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen >>> escreveu: >>> >>> Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão? >>> >>> A soma da área coberta é no máximo 5. >>> Cada um tem tamanho 1 >>> Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9. >>> >>> A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as >>> sobreposições. >>> >>> São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições. >>> >>> Ixi! Só deu pra provar a igualdade! >>> >>> >>> Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo < >>> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu: >>> Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9. dica: redução ao absurdo. -- Abraços M. *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..* >>> >>> >>> >>> -- >>> /**/ >>> 神が祝福 >>> >>> Torres >>> >>> >> >> >> -- >> /**/ >> 神が祝福 >> >> Torres >> >> > > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres > > -- /**/ 神が祝福 Torres
Re: [obm-l] Probleminha interessante.
Olah! Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C sob B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse "contato" entre os tapetes. Enviado via iPhone Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen escreveu: > > > > Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo > escreveu: >> Boa noite. >> Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois >> vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam "amontoados" >> com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A. >> Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço diferente >> de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C. > > Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto seria > coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no quanto > de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo assim: > > * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções > * Descontar intersecções dois a dois > * Contar intersecções três a três > * Descontar intersecções quatro a quatro > > E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo > efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais. > > Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de verdade e > não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema formulado > fracamente... > >> Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que é >> contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem >> contado mais de uma vez. > > Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :) > >> Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5 seria >> coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas. >> >> Abraços >> Claudio Gustavo >> >> Enviado via iPhone >> >> Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen >> escreveu: >> >>> >>> >>> >>> Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo >>> escreveu: A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9 ou mais. Sendo assim: Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9) Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = k(k-1)/2 Logo: 4/(k(k-1)/2) < 1/9 k^2 -k -72 > 0 k< -8 ou k>9 (absurdo) >>> >>> E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? Abraços Claudio Gustavo Enviado via iPhone Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen escreveu: > Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão? > > A soma da área coberta é no máximo 5. > Cada um tem tamanho 1 > Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9. > > A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as > sobreposições. > > São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições. > > Ixi! Só deu pra provar a igualdade! > > > Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo > escreveu: >> Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de >> área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois >> tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9. >> >> dica: redução ao absurdo. >> >> -- >> Abraços >> >> M. >> momentos excepcionais pedem ações excepcionais. >> Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios.. > > > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres >>> >>> >>> >>> -- >>> /**/ >>> 神が祝福 >>> >>> Torres > > > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres
Re: [obm-l] Probleminha interessante.
Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo escreveu: > Boa noite. > Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois > vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam "amontoados" > com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A. > Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço > diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C. > Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo assim: * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções * Descontar intersecções dois a dois * Contar intersecções três a três * Descontar intersecções quatro a quatro E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais. Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de verdade e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema formulado fracamente... > Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que > é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem > contado mais de uma vez. > Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :) > Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5 > seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas. > > Abraços > Claudio Gustavo > > Enviado via iPhone > > Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen > escreveu: > > > > > Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo > escreveu: > >> A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa >> forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas >> sobrepostas 1/9 ou mais. >> Sendo assim: >> Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9) >> Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k >> Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = >> k(k-1)/2 >> Logo: >> 4/(k(k-1)/2) < 1/9 >> k^2 -k -72 > 0 >> k< -8 ou k>9 (absurdo) >> >> > E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? > >> Abraços >> Claudio Gustavo >> >> Enviado via iPhone >> >> Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen >> escreveu: >> >> Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão? >> >> A soma da área coberta é no máximo 5. >> Cada um tem tamanho 1 >> Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9. >> >> A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as >> sobreposições. >> >> São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições. >> >> Ixi! Só deu pra provar a igualdade! >> >> >> Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo < >> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu: >> >>> Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de >>> área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes >>> cuja área de sobreposição é maior do que 1/9. >>> >>> dica: redução ao absurdo. >>> >>> -- >>> Abraços >>> >>> M. >>> *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* >>> *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios.. >>> * >>> >> >> >> >> -- >> /**/ >> 神が祝福 >> >> Torres >> >> > > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres > > -- /**/ 神が祝福 Torres
Re: [obm-l] Probleminha interessante.
Boa noite. Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam "amontoados" com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A. Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C. Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem contado mais de uma vez. Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5 seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas. Abraços Claudio Gustavo Enviado via iPhone Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen escreveu: > > > > Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo > escreveu: >> A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma, >> seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9 ou >> mais. >> Sendo assim: >> Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9) >> Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k >> Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = k(k-1)/2 >> Logo: >> 4/(k(k-1)/2) < 1/9 >> k^2 -k -72 > 0 >> k< -8 ou k>9 (absurdo) > > E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? >> Abraços >> Claudio Gustavo >> >> Enviado via iPhone >> >> Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen >> escreveu: >> >>> Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão? >>> >>> A soma da área coberta é no máximo 5. >>> Cada um tem tamanho 1 >>> Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9. >>> >>> A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as >>> sobreposições. >>> >>> São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições. >>> >>> Ixi! Só deu pra provar a igualdade! >>> >>> >>> Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo >>> escreveu: Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9. dica: redução ao absurdo. -- Abraços M. momentos excepcionais pedem ações excepcionais. Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios.. >>> >>> >>> >>> -- >>> /**/ >>> 神が祝福 >>> >>> Torres > > > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres
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Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo escreveu: > A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma, > seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9 > ou mais. > Sendo assim: > Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9) > Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k > Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = > k(k-1)/2 > Logo: > 4/(k(k-1)/2) < 1/9 > k^2 -k -72 > 0 > k< -8 ou k>9 (absurdo) > > E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? > Abraços > Claudio Gustavo > > Enviado via iPhone > > Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen > escreveu: > > Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão? > > A soma da área coberta é no máximo 5. > Cada um tem tamanho 1 > Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9. > > A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as > sobreposições. > > São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições. > > Ixi! Só deu pra provar a igualdade! > > > Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo < > mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu: > >> Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de >> área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes >> cuja área de sobreposição é maior do que 1/9. >> >> dica: redução ao absurdo. >> >> -- >> Abraços >> >> M. >> *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* >> *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..* >> > > > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres > > -- /**/ 神が祝福 Torres
Re: [obm-l] Probleminha interessante.
A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9 ou mais. Sendo assim: Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9) Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = k(k-1)/2 Logo: 4/(k(k-1)/2) < 1/9 k^2 -k -72 > 0 k< -8 ou k>9 (absurdo) Abraços Claudio Gustavo Enviado via iPhone Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen escreveu: > Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão? > > A soma da área coberta é no máximo 5. > Cada um tem tamanho 1 > Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9. > > A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as sobreposições. > > São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições. > > Ixi! Só deu pra provar a igualdade! > > > Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo > escreveu: >> Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de >> área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes >> cuja área de sobreposição é maior do que 1/9. >> >> dica: redução ao absurdo. >> >> -- >> Abraços >> >> M. >> momentos excepcionais pedem ações excepcionais. >> Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios.. > > > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres
Re: [obm-l] Probleminha interessante.
Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão? A soma da área coberta é no máximo 5. Cada um tem tamanho 1 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9. A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as sobreposições. São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições. Ixi! Só deu pra provar a igualdade! Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo escreveu: > Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de > área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes > cuja área de sobreposição é maior do que 1/9. > > dica: redução ao absurdo. > > -- > Abraços > > M. > *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* > *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..* > -- /**/ 神が祝福 Torres
[obm-l] Probleminha interessante.
Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9. dica: redução ao absurdo. -- Abraços M. *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..*
