[obm-l] Exercício: a^b racional com a,b irracionais (terceira solução)

[Anderson Torres]

Tem-se aquele famoso problema de verificar que "potenciação" não é
fechada para os irracionais.

A solução difícil é demonstrar o Teorema de Gelfond-Schneider e usá-lo
em sqrt(2)^sqrt(2), para daí elevar a sqrt(2).

A solução macetosa é "eu não sei demonstrar Gelfond, então vou tapear:
se sqrt(2)^sqrt(2) é racional, o problema acaba; caso contrário, uso
sqrt(2)^sqrt(2) e sqrt(2)"

Agora, meu desafio é: forneçam uma solução mais direta.

Explicando: o problema é que, a princípio, a segunda solução tenta
contornar algo que a primeira embute - uma demonstração complicada
para meros mortais sem acesso a alfarrábios antigos.

A primeira solução funciona desta forma:

1 - Provar que A é irracional (em que A=sqrt(2)^sqrt(2))
2 - Provar que B é irracional (em que B=sqrt(2))
3 - Provar que A^B é racional

A segunda simplesmente contorna as dificuldades, dizendo "se A fosse
racional, ele resolveria; se A fosse irracional, basta usar A^B".

Neste sentido, meu desafio é: uma solução elementar nas linhas da primeira.

Depois eu posto a minha solução...

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

[Anderson Torres]

Em 6 de maio de 2018 09:07, Yair Benjamini  escreveu:
> 2018-05-05 13:54 GMT-03:00 Anderson Torres :
>> Em 3 de maio de 2018 11:55, Yair Benjamini  escreveu:
>>> 2018-05-03 7:25 GMT-03:00 Anderson Torres :
 Em 1 de maio de 2018 18:54, Yair Benjamini  
 escreveu:
> 2018-04-29 10:26 GMT-03:00 Anderson Torres :
>> Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim 
>>>
> não entendi, foi dito q a definição é recursiva. Então, entendo que I 
> seja a
> "base" e II o "passo".
> se é definição, então é "se e somente se", logo pra pertencer ao conjunto
> deve ser por um de dois motivos,  I ou  II;
> de modo que 1 não pertenceria ao conjunto.
[...]
 Não tem essa de "se é definição então é se e somente se". Acredito que
 nenhum dicionário descreve "definição" como equivalente a "então é se
 e somente se".
>
> A rigor "tem essa"  porque não é difícil descobrir livros com definições assim
>
> Definition 1.5 An integer n is even if n = 2k for some integer k.

Aqui está um tanto claro que se trata de uma definição - o cabeçalho
explicita isso.

Por exemplo, poderíamos ter um "Capítulo 1, Exercício 1: Um inteiro n
é par se n=6k para algum inteiro k".

>
>>>
>>> isso não é questão de dicionário, é convenção.
>>
>> Engraçado, pois todo livro que conheço que usa definições recursivas
>> não faz nenhuma suposição desse gênero, e quando dela precisa, afirma
>> explicitamente que não há outros elementos além dos que podem ser
>> gerados a partir de tais e tais leis de formação.
>
> talvez nos que usam faça sentido. Eu me referiam aos que descrevem o processo.
> Em livros de lógica, onde as fórmulas são definidas indutivamente,
> também é comum
> explicitarem a restrição às regras de formação.
>
>>
>> Para dar um exemplo concreto, tenho o "Elements of Theory of
>> Computation". Eis um exercício:
>
> "In closing this section we shall introduce the idea of a recursively
> defined set X. [...]
>  also given an implicit restriction — that is, a statement to the
> effect that no element
> can be found in the set X except for those that were given in the
> initial collection or those
> that were formed using the prescribed rule(s) provided in the
> recursive process."
> Discrete and Combinatorial mathematics, Grimaldi
>
> "We now turn our attention to how sets can be defined
> recursively.[...] Recursive definitions may also include an
> exclusion rule, which specifies that a recursively defined set
> contains nothing other than those
> elements specified in the basis step or generated by applications of
> the recursive step. In our
> discussions, we will always tacitly assume that the exclusion rule
> holds and no element belongs
> to a recursively defined set unless it is in the initial collection
> specified in the basis step or can
> be generated using the recursive step one or more times."
> Discrete Mathematics and Its Applications, Kenneth H. Rosen

Bem, aí é outra coisa. Aqui nós fomos pelo "denominador comum", não
querendo introduzir hipóteses sobre o exercício.

E, bem, aqui estou sendo pedante, ainda não seria de bom tom o
exercício não explicitar tal coisa, justamente por causa disso: o
aluno com dúvida poderia obter uma orientação errônea porque não
transmitiu essas suposições ocultas ao perguntar a algupém que não
conhece a origem do exercício.

Mas acho que já está bem esclarecido aqui.

>
>>> Todo  livro que eu conheço e que fala sobre definição recursiva de conjunto 
>>> avisa que "ficará
>>> assumido implicitamente que ."
>>
>> Este problema que o postador original trouxe é de algum livro que você 
>> conhece?
>
> sim, o do Rosen acima
>
>>
>
> Agora, eu paro por aqui essa thread.
> De início eu só queria contribuir no sentrido de com um pouco de boa
> vontade poderia-se esclarecer a dúvida inicial do rapaz.
> Mas isso estendeu-se demais e fugiu do escopo.
>
> abraço
>
>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

[Yair Benjamini]

2018-05-05 13:54 GMT-03:00 Anderson Torres :
> Em 3 de maio de 2018 11:55, Yair Benjamini  escreveu:
>> 2018-05-03 7:25 GMT-03:00 Anderson Torres :
>>> Em 1 de maio de 2018 18:54, Yair Benjamini  
>>> escreveu:
 2018-04-29 10:26 GMT-03:00 Anderson Torres :
> Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim 
>>
 não entendi, foi dito q a definição é recursiva. Então, entendo que I seja 
 a
 "base" e II o "passo".
 se é definição, então é "se e somente se", logo pra pertencer ao conjunto
 deve ser por um de dois motivos,  I ou  II;
 de modo que 1 não pertenceria ao conjunto.
>>>[...]
>>> Não tem essa de "se é definição então é se e somente se". Acredito que
>>> nenhum dicionário descreve "definição" como equivalente a "então é se
>>> e somente se".

A rigor "tem essa"  porque não é difícil descobrir livros com definições assim

Definition 1.5 An integer n is even if n = 2k for some integer k.

>>
>> isso não é questão de dicionário, é convenção.
>
> Engraçado, pois todo livro que conheço que usa definições recursivas
> não faz nenhuma suposição desse gênero, e quando dela precisa, afirma
> explicitamente que não há outros elementos além dos que podem ser
> gerados a partir de tais e tais leis de formação.

talvez nos que usam faça sentido. Eu me referiam aos que descrevem o processo.
Em livros de lógica, onde as fórmulas são definidas indutivamente,
também é comum
explicitarem a restrição às regras de formação.

>
> Para dar um exemplo concreto, tenho o "Elements of Theory of
> Computation". Eis um exercício:

"In closing this section we shall introduce the idea of a recursively
defined set X. [...]
 also given an implicit restriction — that is, a statement to the
effect that no element
can be found in the set X except for those that were given in the
initial collection or those
that were formed using the prescribed rule(s) provided in the
recursive process."
Discrete and Combinatorial mathematics, Grimaldi

"We now turn our attention to how sets can be defined
recursively.[...] Recursive definitions may also include an
exclusion rule, which specifies that a recursively defined set
contains nothing other than those
elements specified in the basis step or generated by applications of
the recursive step. In our
discussions, we will always tacitly assume that the exclusion rule
holds and no element belongs
to a recursively defined set unless it is in the initial collection
specified in the basis step or can
be generated using the recursive step one or more times."
Discrete Mathematics and Its Applications, Kenneth H. Rosen

>> Todo  livro que eu conheço e que fala sobre definição recursiva de conjunto 
>> avisa que "ficará
>> assumido implicitamente que ."
>
> Este problema que o postador original trouxe é de algum livro que você 
> conhece?

sim, o do Rosen acima

>

Agora, eu paro por aqui essa thread.
De início eu só queria contribuir no sentrido de com um pouco de boa
vontade poderia-se esclarecer a dúvida inicial do rapaz.
Mas isso estendeu-se demais e fugiu do escopo.

abraço


>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

[Anderson Torres]

Em 3 de maio de 2018 11:55, Yair Benjamini  escreveu:
> 2018-05-03 7:25 GMT-03:00 Anderson Torres :
>> Em 1 de maio de 2018 18:54, Yair Benjamini  escreveu:
>>> 2018-04-29 10:26 GMT-03:00 Anderson Torres :
 Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim 
>
>>> não entendi, foi dito q a definição é recursiva. Então, entendo que I seja a
>>> "base" e II o "passo".
>>> se é definição, então é "se e somente se", logo pra pertencer ao conjunto
>>> deve ser por um de dois motivos,  I ou  II;
>>> de modo que 1 não pertenceria ao conjunto.
>>[...]
>> Não tem essa de "se é definição então é se e somente se". Acredito que
>> nenhum dicionário descreve "definição" como equivalente a "então é se
>> e somente se".
>
> isso não é questão de dicionário, é convenção.

Engraçado, pois todo livro que conheço que usa definições recursivas
não faz nenhuma suposição desse gênero, e quando dela precisa, afirma
explicitamente que não há outros elementos além dos que podem ser
gerados a partir de tais e tais leis de formação.

Para dar um exemplo concreto, tenho o "Elements of Theory of
Computation". Eis um exercício:

1.4.3.
Let C be a set of sets defined as follows,
A. {} is in c
B. If S1 is in C and S2 is in C, then {S1,S2} is in C.
C. If S1 is in C and S2 is in C, then S1 x S2 is in C.
D. Nothing is in C except that which follows from A), B), and C).


> Todo  livro que eu conheço e que fala sobre definição recursiva de conjunto 
> avisa que "ficará
> assumido implicitamente que ."

Este problema que o postador original trouxe é de algum livro que você conhece?

>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

[Yair Benjamini]

2018-05-03 7:25 GMT-03:00 Anderson Torres :
> Em 1 de maio de 2018 18:54, Yair Benjamini  escreveu:
>> 2018-04-29 10:26 GMT-03:00 Anderson Torres :
>>> Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim 

>> não entendi, foi dito q a definição é recursiva. Então, entendo que I seja a
>> "base" e II o "passo".
>> se é definição, então é "se e somente se", logo pra pertencer ao conjunto
>> deve ser por um de dois motivos,  I ou  II;
>> de modo que 1 não pertenceria ao conjunto.
>[...]
> Não tem essa de "se é definição então é se e somente se". Acredito que
> nenhum dicionário descreve "definição" como equivalente a "então é se
> e somente se".

isso não é questão de dicionário, é convenção. Todo  livro que eu conheço e
que fala sobre definição recursiva de conjunto avisa que "ficará
assumido implicitamente que ."

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

[Anderson Torres]

Em 1 de maio de 2018 18:54, Yair Benjamini  escreveu:
>
>
> 2018-04-29 10:26 GMT-03:00 Anderson Torres :
>>
>> Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim 
>> escreveu:
>> >
>> >
>> > 2018-04-07 17:14 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> >>
>> >>
>> >> Mas se, por exemplo, 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio,
>> >> pelo enunciado), então A = N (supondo que 0 não é natural) ou então
>> >> (supondo
>> >> que 0 é natural)  N\{0} está contido em A.
>> >> Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas
>> >> que
>> >> este é <= 3.
>> >>
>> >> Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que
>> >> o
>> >> próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem
>> >> que 4
>> >> ou 5 pertençam a A.
>> >>
>> >> []s,
>> >> Claudio.
>> >
>> >
>> >
>> > Parece-me claro que 3 deva ser o menor elemento já que a definição é
>> > recursiva.
>>
>> Isso não é dito em momento algum, e nada impede a existência de um
>> conjunto contendo 1 e satisfazendo o enunciado.
>
>
> não entendi, foi dito q a definição é recursiva. Então, entendo que I seja a
> "base" e II o "passo".
> se é definição, então é "se e somente se", logo pra pertencer ao conjunto
> deve ser por um de dois motivos,  I ou  II;
> de modo que 1 não pertenceria ao conjunto.

Se é definição, não posso supor absolutamente nada além do que diz o
enunciado. E o enunciado não diz nada do gênero "não existe nenhum
elemento que não satisfaça I e II". De fato, em muitas questões de
definição que eu encontro em livros-texto (especificamente em Teoria
da Computação), os autores são esmerados o suficiente para escrever
coisas como "nada mais pode ser um autômato de pilha".

Não tem essa de "se é definição então é se e somente se". Acredito que
nenhum dicionário descreve "definição" como equivalente a "então é se
e somente se".

Se 1 está no conjunto, ele não fere a parte I (3 está no conjunto). A
única coisa que feriria este enunciado é "3 não está neste conjunto",
e a presença de 1 no conjunto não impede a presença do 3.

O mesmo pode ser dito da parte II da definição, mudando os respectivos detalhes.

>
>
>> E de "a definição é recursiva" não é possível derivar "3 deve ser o
>> menor elemento", como já foi mostrado.
>>
>>
>> > Daí um aplicação do princípio da boa ordenação garante a inclusão que
>> > está
>> > faltando:
>> > Se a inclusão não for verdadeira o conjunto C dos membros de A que não
>> > são
>> > multiplos de 3 é nãõ vazio.
>> > Tome m o min de C. Como m>3 e m em A, pela regra de formação de A, m=x+y
>> > com
>> > x,y em A, portanto m em A. Contradição.
>> >
>> >>
>> >>
>> >>
>> >> 2018-04-07 16:33 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues
>> >> :
>> >>>
>> >>> Olá, pessoal!
>> >>> Boa tarde!
>> >>> Estou tentando fazer o exercício abaixo:
>> >>>
>> >>> Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente
>> >>> da
>> >>> seguinte maneira:
>> >>> I. 3∈A;
>> >>> II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos
>> >>> múltiplos
>> >>> de 3.
>> >>>
>> >>> Estou com muitas dúvidas:
>> >>> . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
>> >>> . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
>> >>> . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
>> >>> . Posso fazer a demonstração por indução?
>> >>>
>> >>> Agradeço qualquer ajuda.
>> >>> Muito obrigado e um abraço!
>> >>> Luiz
>> >>>
>> >>>
>> >>> --
>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >>> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> >>
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

[Yair Benjamini]

2018-04-29 10:26 GMT-03:00 Anderson Torres :

> Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim 
> escreveu:
> >
> >
> > 2018-04-07 17:14 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> >>
> >>
> >> Mas se, por exemplo, 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio,
> >> pelo enunciado), então A = N (supondo que 0 não é natural) ou então
> (supondo
> >> que 0 é natural)  N\{0} está contido em A.
> >> Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas
> que
> >> este é <= 3.
> >>
> >> Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que
> o
> >> próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem
> que 4
> >> ou 5 pertençam a A.
> >>
> >> []s,
> >> Claudio.
> >
> >
> >
> > Parece-me claro que 3 deva ser o menor elemento já que a definição é
> > recursiva.
>
> Isso não é dito em momento algum, e nada impede a existência de um
> conjunto contendo 1 e satisfazendo o enunciado.
>

não entendi, foi dito q a definição é recursiva. Então, entendo que I seja
a "base" e II o "passo".
se é definição, então é "se e somente se", logo pra pertencer ao conjunto
deve ser por um de dois motivos,  I ou  II;
de modo que 1 não pertenceria ao conjunto.


E de "a definição é recursiva" não é possível derivar "3 deve ser o
> menor elemento", como já foi mostrado.


> > Daí um aplicação do princípio da boa ordenação garante a inclusão que
> está
> > faltando:
> > Se a inclusão não for verdadeira o conjunto C dos membros de A que não
> são
> > multiplos de 3 é nãõ vazio.
> > Tome m o min de C. Como m>3 e m em A, pela regra de formação de A, m=x+y
> com
> > x,y em A, portanto m em A. Contradição.
> >
> >>
> >>
> >>
> >> 2018-04-07 16:33 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com>:
> >>>
> >>> Olá, pessoal!
> >>> Boa tarde!
> >>> Estou tentando fazer o exercício abaixo:
> >>>
> >>> Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da
> >>> seguinte maneira:
> >>> I. 3∈A;
> >>> II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos múltiplos
> >>> de 3.
> >>>
> >>> Estou com muitas dúvidas:
> >>> . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
> >>> . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
> >>> . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
> >>> . Posso fazer a demonstração por indução?
> >>>
> >>> Agradeço qualquer ajuda.
> >>> Muito obrigado e um abraço!
> >>> Luiz
> >>>
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

[Luiz Antonio Rodrigues]

Oi, Anderson!
Muito obrigado pela ajuda!
Um abraço!
Luiz

On Sun, Apr 29, 2018, 10:38 AM Anderson Torres 
wrote:

> Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim 
> escreveu:
> >
> >
> > 2018-04-07 17:14 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> >>
> >>
> >> Mas se, por exemplo, 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio,
> >> pelo enunciado), então A = N (supondo que 0 não é natural) ou então
> (supondo
> >> que 0 é natural)  N\{0} está contido em A.
> >> Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas
> que
> >> este é <= 3.
> >>
> >> Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que
> o
> >> próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem
> que 4
> >> ou 5 pertençam a A.
> >>
> >> []s,
> >> Claudio.
> >
> >
> >
> > Parece-me claro que 3 deva ser o menor elemento já que a definição é
> > recursiva.
>
> Isso não é dito em momento algum, e nada impede a existência de um
> conjunto contendo 1 e satisfazendo o enunciado.
>
> E de "a definição é recursiva" não é possível derivar "3 deve ser o
> menor elemento", como já foi mostrado.
>
> > Daí um aplicação do princípio da boa ordenação garante a inclusão que
> está
> > faltando:
> > Se a inclusão não for verdadeira o conjunto C dos membros de A que não
> são
> > multiplos de 3 é nãõ vazio.
> > Tome m o min de C. Como m>3 e m em A, pela regra de formação de A, m=x+y
> com
> > x,y em A, portanto m em A. Contradição.
> >
> >>
> >>
> >>
> >> 2018-04-07 16:33 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com>:
> >>>
> >>> Olá, pessoal!
> >>> Boa tarde!
> >>> Estou tentando fazer o exercício abaixo:
> >>>
> >>> Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da
> >>> seguinte maneira:
> >>> I. 3∈A;
> >>> II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos múltiplos
> >>> de 3.
> >>>
> >>> Estou com muitas dúvidas:
> >>> . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
> >>> . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
> >>> . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
> >>> . Posso fazer a demonstração por indução?
> >>>
> >>> Agradeço qualquer ajuda.
> >>> Muito obrigado e um abraço!
> >>> Luiz
> >>>
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

[Anderson Torres]

Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim  escreveu:
>
>
> 2018-04-07 17:14 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>
>>
>> Mas se, por exemplo, 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio,
>> pelo enunciado), então A = N (supondo que 0 não é natural) ou então (supondo
>> que 0 é natural)  N\{0} está contido em A.
>> Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas que
>> este é <= 3.
>>
>> Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que o
>> próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem que 4
>> ou 5 pertençam a A.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>
>
>
> Parece-me claro que 3 deva ser o menor elemento já que a definição é
> recursiva.

Isso não é dito em momento algum, e nada impede a existência de um
conjunto contendo 1 e satisfazendo o enunciado.

E de "a definição é recursiva" não é possível derivar "3 deve ser o
menor elemento", como já foi mostrado.

> Daí um aplicação do princípio da boa ordenação garante a inclusão que está
> faltando:
> Se a inclusão não for verdadeira o conjunto C dos membros de A que não são
> multiplos de 3 é nãõ vazio.
> Tome m o min de C. Como m>3 e m em A, pela regra de formação de A, m=x+y com
> x,y em A, portanto m em A. Contradição.
>
>>
>>
>>
>> 2018-04-07 16:33 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
>>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Boa tarde!
>>> Estou tentando fazer o exercício abaixo:
>>>
>>> Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da
>>> seguinte maneira:
>>> I. 3∈A;
>>> II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos múltiplos
>>> de 3.
>>>
>>> Estou com muitas dúvidas:
>>> . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
>>> . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
>>> . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
>>> . Posso fazer a demonstração por indução?
>>>
>>> Agradeço qualquer ajuda.
>>> Muito obrigado e um abraço!
>>> Luiz
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

[Jaare Oregim]

2018-04-07 17:14 GMT-03:00 Claudio Buffara :

>
> Mas se, por exemplo, 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio,
> pelo enunciado), então A = N (supondo que 0 não é natural) ou então
> (supondo que 0 é natural)  N\{0} está contido em A.
> Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas que
> este é <= 3.
>
> Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que o
> próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem que
> 4 ou 5 pertençam a A.
>
> []s,
> Claudio.
>


Parece-me claro que 3 deva ser o menor elemento já que a definição é
recursiva.
Daí um aplicação do princípio da boa ordenação garante a inclusão que está
faltando:
Se a inclusão não for verdadeira o conjunto C dos membros de A que não são
multiplos de 3 é nãõ vazio.
Tome m o min de C. Como m>3 e m em A, pela regra de formação de A, m=x+y
com x,y em A, portanto m em A. Contradição.


>
>
> 2018-04-07 16:33 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
>
>> Olá, pessoal!
>> Boa tarde!
>> Estou tentando fazer o exercício abaixo:
>>
>> Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da
>> seguinte maneira:
>> I. 3∈A;
>> II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos múltiplos
>> de 3.
>>
>> Estou com muitas dúvidas:
>> . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
>> . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
>> . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
>> . Posso fazer a demonstração por indução?
>>
>> Agradeço qualquer ajuda.
>> Muito obrigado e um abraço!
>> Luiz
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício Estranho

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Luciano!
Olá, Anderson!
Verdade: não havia entendido o problema...
Muito obrigado pela ajuda!
Um abraço!
Luiz

On Sun, Apr 8, 2018, 2:44 PM Anderson Torres 
wrote:

> Em 8 de abril de 2018 13:36, Luiz Antonio Rodrigues
>  escreveu:
> > Olá, pessoal!
> > Boa tarde!
> > Estou tentando fazer o exercício abaixo (por indução) há algum tempo e
> não
> > tive sucesso...
> >
> > Prove que para todo natural n, uma grade de quadrados 2^n × 2^n com
> qualquer
> > um de seus quadrados removidos pode ser coberta por ladrilhos de
> > tamanho fixo em forma de um L formado por 3 quadrados.
> >
> > Parece que alguma coisa está errada... se n=1 teremos um quadrado com 1
> > quadradinho e não vale a hipótese. Se n=2 teremos um quadrado com 4
> > quadradinhos; é impossível preencher este quadrado com 1 L... Será que
> > interpretei o problema de forma incorreta?
>
> Você confundiu o problema totalmente.
>
> A ideia é a seguinte: imagine que duas pessoas estejam jogando um
> jogo, em um tabuleiro estilo xadrez 2^n por 2^n.
>
> A primeira pessoa pinta exatamente um destes quadradinhos.
>
> A segunda então pega uma certa quantidade de ladrilhos em formato de
> L, e os encaixa de forma a preencher toda a área que não foi pintada.
>
> O problema então consiste em provar que a segunda pessoa sempre
> conseguirá cobrir toda a área que não foi pintada.
>
> Assim sendo, se você tem um só quadrado 1x1, ele obviamente estará
> pintado de vermelho, e não existirá área para cobrir. Como "o que não
> tem remédio, remediado está", o problema está resolvido já aí.
>
> Se você tem um quadrado 2x2, uma das casas será pintada, e as três
> restantes obviamente formarão um L. Basta encaixar um L neste L.
>
> Bem, para o caso 4x4, aí você já pode começar a brincar...
>
> > Alguém pode me ajudar?
> > Agradeço desde já.
> > Um abraço!
> > Luiz
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Exercício Estranho

[Anderson Torres]

Em 8 de abril de 2018 13:36, Luiz Antonio Rodrigues
 escreveu:
> Olá, pessoal!
> Boa tarde!
> Estou tentando fazer o exercício abaixo (por indução) há algum tempo e não
> tive sucesso...
>
> Prove que para todo natural n, uma grade de quadrados 2^n × 2^n com qualquer
> um de seus quadrados removidos pode ser coberta por ladrilhos de
> tamanho fixo em forma de um L formado por 3 quadrados.
>
> Parece que alguma coisa está errada... se n=1 teremos um quadrado com 1
> quadradinho e não vale a hipótese. Se n=2 teremos um quadrado com 4
> quadradinhos; é impossível preencher este quadrado com 1 L... Será que
> interpretei o problema de forma incorreta?

Você confundiu o problema totalmente.

A ideia é a seguinte: imagine que duas pessoas estejam jogando um
jogo, em um tabuleiro estilo xadrez 2^n por 2^n.

A primeira pessoa pinta exatamente um destes quadradinhos.

A segunda então pega uma certa quantidade de ladrilhos em formato de
L, e os encaixa de forma a preencher toda a área que não foi pintada.

O problema então consiste em provar que a segunda pessoa sempre
conseguirá cobrir toda a área que não foi pintada.

Assim sendo, se você tem um só quadrado 1x1, ele obviamente estará
pintado de vermelho, e não existirá área para cobrir. Como "o que não
tem remédio, remediado está", o problema está resolvido já aí.

Se você tem um quadrado 2x2, uma das casas será pintada, e as três
restantes obviamente formarão um L. Basta encaixar um L neste L.

Bem, para o caso 4x4, aí você já pode começar a brincar...

> Alguém pode me ajudar?
> Agradeço desde já.
> Um abraço!
> Luiz
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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=

Re: [obm-l] Exercício Estranho

[luciano rodrigues]

Para n=0 teremos um quadrado 1x1 se retirarmos 1, cabera exatamente 0 L.
Para n=1 teremos um quadrado 2x2 se retirarmos 1 peca ficamos com um L.

> Em 8 de abr de 2018, às 13:36, Luiz Antonio Rodrigues  
> escreveu:
> 
> Olá, pessoal!
> Boa tarde!
> Estou tentando fazer o exercício abaixo (por indução) há algum tempo e 
> não tive sucesso...
> 
> Prove que para todo natural n, uma grade de quadrados 2^n × 2^n com qualquer 
> um de seus quadrados removidos pode ser coberta por ladrilhos de
> tamanho fixo em forma de um L formado por 3 quadrados.
> 
> Parece que alguma coisa está errada... se n=1 teremos um quadrado com 1 
> quadradinho e não vale a hipótese. Se n=2 teremos um quadrado com 4 
> quadradinhos; é impossível preencher este quadrado com 1 L... Será que 
> interpretei o problema de forma incorreta?
> Alguém pode me ajudar?
> Agradeço desde já.
> Um abraço!
> Luiz
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Exercício Estranho

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, pessoal!
Boa tarde!
Estou tentando fazer o exercício abaixo (por indução) há algum tempo e não
tive sucesso...

Prove que para todo natural n, uma grade de quadrados 2^n × 2^n com
qualquer um de seus quadrados removidos pode ser coberta por ladrilhos de
tamanho fixo em forma de um L formado por 3 quadrados.

Parece que alguma coisa está errada... se n=1 teremos um quadrado com 1
quadradinho e não vale a hipótese. Se n=2 teremos um quadrado com 4
quadradinhos; é impossível preencher este quadrado com 1 L... Será que
interpretei o problema de forma incorreta?
Alguém pode me ajudar?
Agradeço desde já.
Um abraço!
Luiz

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Claudio!
Boa tarde!
Muito obrigado pela ajuda!
Um abraço!
Luiz

On Sat, Apr 7, 2018, 5:25 PM Claudio Buffara 
wrote:

> O máximo que dá pra dizer é que A contém todos os múltiplos positivos de 3.
> Pois 3 pertence a A ==> 3+3 = 6 pertence a A ==> 6+3 = 9 pertence a A ==>
> etc.
>
> Mais formalmente, por indução, fica:
> Seja K o conjunto dos n em N tais que 3n pertence a A.
> 3 = 3*1 pertence a A ==> 1 pertence a K
> Hipótese de indução: suponhamos que n pertence a K, ou seja, 3n pertence a
> A
> Pelo enunciado, 3n + 3 = 3*(n+1) pertence a A ==> n+1 pertence a K
> Logo, K = N (estou supondo que 0 não pertence a N).
>
> Mas se, por exemplo, 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio,
> pelo enunciado), então A = N (supondo que 0 não é natural) ou então
> (supondo que 0 é natural)  N\{0} está contido em A.
> Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas que
> este é <= 3.
>
> Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que o
> próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem que
> 4 ou 5 pertençam a A.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> 2018-04-07 16:33 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
>
>> Olá, pessoal!
>> Boa tarde!
>> Estou tentando fazer o exercício abaixo:
>>
>> Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da
>> seguinte maneira:
>> I. 3∈A;
>> II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos múltiplos
>> de 3.
>>
>> Estou com muitas dúvidas:
>> . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
>> . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
>> . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
>> . Posso fazer a demonstração por indução?
>>
>> Agradeço qualquer ajuda.
>> Muito obrigado e um abraço!
>> Luiz
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

[Claudio Buffara]

O máximo que dá pra dizer é que A contém todos os múltiplos positivos de 3.
Pois 3 pertence a A ==> 3+3 = 6 pertence a A ==> 6+3 = 9 pertence a A ==>
etc.

Mais formalmente, por indução, fica:
Seja K o conjunto dos n em N tais que 3n pertence a A.
3 = 3*1 pertence a A ==> 1 pertence a K
Hipótese de indução: suponhamos que n pertence a K, ou seja, 3n pertence a A
Pelo enunciado, 3n + 3 = 3*(n+1) pertence a A ==> n+1 pertence a K
Logo, K = N (estou supondo que 0 não pertence a N).

Mas se, por exemplo, 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio, pelo
enunciado), então A = N (supondo que 0 não é natural) ou então (supondo que
0 é natural)  N\{0} está contido em A.
Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas que
este é <= 3.

Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que o
próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem que
4 ou 5 pertençam a A.

[]s,
Claudio.



2018-04-07 16:33 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :

> Olá, pessoal!
> Boa tarde!
> Estou tentando fazer o exercício abaixo:
>
> Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da
> seguinte maneira:
> I. 3∈A;
> II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos múltiplos de
> 3.
>
> Estou com muitas dúvidas:
> . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
> . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
> . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
> . Posso fazer a demonstração por indução?
>
> Agradeço qualquer ajuda.
> Muito obrigado e um abraço!
> Luiz
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Exercício sobre Conjuntos

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, pessoal!
Boa tarde!
Estou tentando fazer o exercício abaixo:

Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da
seguinte maneira:
I. 3∈A;
II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos múltiplos de
3.

Estou com muitas dúvidas:
. Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
. Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
. Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
. Posso fazer a demonstração por indução?

Agradeço qualquer ajuda.
Muito obrigado e um abraço!
Luiz

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Exercício de Probabilidade

[Mauricio de Araujo]

A probabilidade de uma ser perfeita e outra ser defeituosa é igual a
(3/8).(3/5) + (5/8).(2/5) = 19/40.

Então se a defeituosa vem da caixa A (prob = 3/8) e a perfeita vem da caixa
B (prob = 3/5) a probabilidade desejada será

(3/8).(3/5) / (19/40) = 9/19 = 47,4%


2013/11/27 Mauricio Barbosa 

> Alguém poderia me ajudar no seguinte exercício:
> Uma caixa A contém 8 peças, das quais 3 são defeituosas e uma caixa B
> contém 5 peças, das quais 2 são defeituosas.  Uma peça é retirada
> aleatoriamente de cada caixa.  Se uma peça é defeituosa e a outra não, qual
> é a probabilidade de que a peça defeituosa venha da caixa A?
> Agradeço a ajuda!!!
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
*momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
*Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios.*

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Exercício de Probabilidade

[Mauricio Barbosa]

Alguém poderia me ajudar no seguinte exercício:
Uma caixa A contém 8 peças, das quais 3 são defeituosas e uma caixa B
contém 5 peças, das quais 2 são defeituosas.  Uma peça é retirada
aleatoriamente de cada caixa.  Se uma peça é defeituosa e a outra não, qual
é a probabilidade de que a peça defeituosa venha da caixa A?
Agradeço a ajuda!!!

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] exercício

[Samuel Wainer]

Seja R um anel associativo cujos únicos ideais a direita são R e (0). Prove que 
R é um anel de divisão ou que R é um anel com um número primo de elementos no 
qual ab = 0 para todo a, b em R.
Se R tem 1, consegui fazer. Seja a<>0. Tomei o ideal a direita aR, aR <> 0 pois 
a pertence a aR. Assim aR=R, portanto existe b tal que ab=1. Da mesma forma 
considero bR e chego que bR=R portanto existe c tal que bc=1.Assim ab=1 => 
(ab)c=1c => a(bc)=c => a(1)=c => a=c. Portanto ab=ba=1.
Mas supondo que R não tem 1 não consegui terminar o exercício. Alguém tem 
alguma ideia?   

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!)

[marcone augusto araújo borges]

Eu não consegui enxergar essa solução.Seria possível mostrá-la?
Obrigado
Abraço.
 



Date: Thu, 28 Jul 2011 18:54:08 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!)
From: victorcar...@globo.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá Marcone ,
Sabendo  que  : cos(pi/7) - cos(2pi/7) + cos(3pi/7) = 1/2 , use as expressões 
de  cos3x  e de  cos2x  em função de cosx , com  x = pi/7 ,  ok ?

Abraços 

Carlos  Victor


Em 28 de julho de 2011 18:24, marcone augusto araújo borges 
 escreveu:



Prove que x = 2cos(pi/7) satisfaz a equação x^3 + x^2 -2x + 1 = 0.
 
Há um exercício resolvido na revista,mostrando que pi/7 é raíz da equação 8x^3 
- 4x^2 -4x + 1 = 0
Mas não estou conseguindo e peço ajuda
Agradeço desde já.
 
 
   

  

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!)

[marcone augusto araújo borges]

Você tem razão.E eu suspeitava que  a equação pudesse estar errada.Mas está 
escrito na página15 da eureka! 33 : x^3 + x^2 -2x +1=0
 



From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!)
Date: Thu, 28 Jul 2011 19:09:26 -0300





Na verdade a equação tem valor númerico de aproximadamente 6.49396 quando  
x=2cos(pi/7) 


Você não se confundiu? A equação  x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0 tem raíz 2 cos(Pi/7)   
  (você deve ter rocado o sinal)


Se  8x^3 - 4x^2 -4x + 1 = 0,  quando x=cos( Pi/7), fazendo a substitução de 
variável y=2x,x=y/2 temos


y^3 -  y^2 - 2 y + 1 = 0  quando y = 2cos(pi/ 7)


Podemos demonstrar facilmente que está errado pois
y^3   +  y^2 - 2 y + 1 = 2 y^2 que teria que ser igual  a 0, 
y^2 = 0, impossível


[]'s
João





From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!)
Date: Thu, 28 Jul 2011 21:24:07 +




Prove que x = 2cos(pi/7) satisfaz a equação x^3 + x^2 -2x + 1 = 0.
 
Há um exercício resolvido na revista,mostrando que pi/7 é raíz da equação 8x^3 
- 4x^2 -4x + 1 = 0
Mas não estou conseguindo e peço ajuda
Agradeço desde já.
 
 
   
  

[obm-l] RE: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!)

[João Maldonado]

Na verdade a equação tem valor númerico de aproximadamente 6.49396 quando  
x=2cos(pi/7)
Você não se confundiu? A equação  x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0 tem raíz 2 cos(Pi/7)   
  (você deve ter rocado o sinal)
Se  8x^3 - 4x^2 -4x + 1 = 0,  quando x=cos( Pi/7), fazendo a substitução de 
variável y=2x,x=y/2 temos
y^3 -  y^2 - 2 y + 1 = 0  quando y = 2cos(pi/ 7)
Podemos demonstrar facilmente que está errado poisy^3   +  y^2 - 2 y + 1 = 
2 y^2 que teria que ser igual  a 0, y^2 = 0, impossível
[]'sJoão
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!)
Date: Thu, 28 Jul 2011 21:24:07 +








Prove que x = 2cos(pi/7) satisfaz a equação x^3 + x^2 -2x + 1 = 0.

 

Há um exercício resolvido na revista,mostrando que pi/7 é raíz da equação 8x^3 
- 4x^2 -4x + 1 = 0

Mas não estou conseguindo e peço ajuda

Agradeço desde já.

 

 

   

  

[obm-l] Re: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!)

[Carlos Victor]

Olá Marcone ,
Sabendo  que  : cos(pi/7) - cos(2pi/7) + cos(3pi/7) = 1/2 , use as
expressões de  cos3x  e de  cos2x  em função de cosx , com  x = pi/7 ,  ok ?

Abraços

Carlos  Victor

Em 28 de julho de 2011 18:24, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

>  Prove que x = 2cos(pi/7) satisfaz a equação x^3 + x^2 -2x + 1 = 0.
>
> Há um exercício resolvido na revista,mostrando que pi/7 é raíz da equação
> 8x^3 - 4x^2 -4x + 1 = 0
> Mas não estou conseguindo e peço ajuda
> Agradeço desde já.
>
>
>
>

[obm-l] Exercício proposto(Eureka!)

[marcone augusto araújo borges]

Prove que x = 2cos(pi/7) satisfaz a equação x^3 + x^2 -2x + 1 = 0.
 
Há um exercício resolvido na revista,mostrando que pi/7 é raíz da equação 8x^3 
- 4x^2 -4x + 1 = 0
Mas não estou conseguindo e peço ajuda
Agradeço desde já.
 
 
  

[obm-l] Exercício Interessante

[Alan Pellejero]

> Seja "a" um número pertencente ao conjuntos dos
> números reais tal que a > 1 e a "raiz n-ésima de a"
> seja um número primo.
> Pede-se determinar o menor valor de "n" para que a
> expressão:
> (a^n + b) / (a^n - b)
> 
> seja também um número primo, sabendo-se que "b" é um
> quadrado perfeito.



  

[obm-l] Exercício de Analise

[Pedro Belchior]

Alguém pode me ajudar neste exercício

Dada f:x ->R uniformemente continua, defina G:X(barra) ->R pondo G(x) = f(x)
se x é um ponto isolado e G(x) = lim f(y) y->x se x é um ponto de
acumulação. Prove que G é uniformente continua e G(x) = f(x) para todo x em
X.


Agradeço a todos

[obm-l] Exercício Geo Analítica

[Manuela]

Olá,

Poderiam me ajudar neste exercício?

*01*- Determinar o vetor v, sabendo que |vetor v|=5, vetor v é ortogonal ao
eixo Oz, vetor v.vetor w = 6 e vetor w = 2vetor j + 3vetor k.

[ ]'s

Re: [obm-l] Exercício - Conta de água e luz

[Dória]

Obrigada a todos pela ajuda!
[]'s

2008/7/18 Rafael Ando <[EMAIL PROTECTED]>:

> Funciona assim: os primeiros 10 metros cubicos de um consumo qualquer caem
> na primeira faixa, os proximos 10 (ie, do 11° ao 20° m3) em outro, depois os
> proximos 10 (21° ao 30°) em outro, etc
>
> Entao, se o seu consumo foi 17, os primeiros 10 caem na primeira faixa, os
> 7 restantes caem na segunda faixa de consumo.
>
> Espero ter ajudado.
>
> 2008/7/16 Dória <[EMAIL PROTECTED]>:
>
>  Mas, ainda não entendi o que quer dizer essa faixa de consumo.
>>
>> Obrigada pela ajuda!
>> -
>> 2008/7/16 Walter Tadeu Nogueira da Silveira <[EMAIL PROTECTED]>:
>>
>>> Corrigindo..
>>>
>>> O resultado é 43,82 (lapso)..acrescentando que a solução colocou os 14 de
>>> uma vez naquela faixa pq ela e a de baixo possuem o mesmo valor de 2,13. Mas
>>> se o gasto fosse por exemplo de 94, não poderia colocar todo o restante ali.
>>> deveria ser: 10+10+10+20+44.
>>>
>>> Agora espero ter ajudado melhor
>>>
>>> Abraços
>>>
>>>
>>> Em 16/07/08, Walter Tadeu Nogueira da Silveira <[EMAIL PROTECTED]>
>>> escreveu:

 Olá Dória

 Essa questão caiu no ENEM-98 e teve só 10% de acerto. Na minha opinião a
 tabela não é clara, nem o método. A questão é que há uma distribuição do
 gasto em parcelas de 10 até o valor final. A inicial mostrada signifoca que
 houve um gasto de 17mcúbicos. Então ele mostrou "tarifa mínima" onde 
 deveria
 aparecer o número 10. E colocou 7 restantes na outra faixa. Se por exemplo 
 o
 gasto fosse 23 a tabela ficaria: "tarifa mínima"(10)+10+3 e a conta seria a
 multiplicação de cada número pelo valor da tarifa da faixa que ocupa. É o
 método. O seu exercício contém um erro na organização da resposta.

 A tabela que mostra o resultado está errada. O certo seria:

 até 10:  5,50
 11-20: 0,850 x10 = 8,50
 21-30: 2,13 x 10 = 21,30
 31-50: 2,13 x 4 = 8,52

 Total = 43,83

 Veja uma planilha que fiz com essa simulação em Excel.



>  Um abraço.
>
>

 Walter Tadeu Nogueira da Silveira
 www.professorwaltertadeu.mat.br

>>>
>>>
>>>
>
>
> --
> Rafael
>

Re: [obm-l] Exercício - Conta de água e luz

[Rafael Ando]

Funciona assim: os primeiros 10 metros cubicos de um consumo qualquer caem
na primeira faixa, os proximos 10 (ie, do 11° ao 20° m3) em outro, depois os
proximos 10 (21° ao 30°) em outro, etc

Entao, se o seu consumo foi 17, os primeiros 10 caem na primeira faixa, os 7
restantes caem na segunda faixa de consumo.

Espero ter ajudado.

2008/7/16 Dória <[EMAIL PROTECTED]>:

> Mas, ainda não entendi o que quer dizer essa faixa de consumo.
>
> Obrigada pela ajuda!
> -
> 2008/7/16 Walter Tadeu Nogueira da Silveira <[EMAIL PROTECTED]>:
>
>> Corrigindo..
>>
>> O resultado é 43,82 (lapso)..acrescentando que a solução colocou os 14 de
>> uma vez naquela faixa pq ela e a de baixo possuem o mesmo valor de 2,13. Mas
>> se o gasto fosse por exemplo de 94, não poderia colocar todo o restante ali.
>> deveria ser: 10+10+10+20+44.
>>
>> Agora espero ter ajudado melhor
>>
>> Abraços
>>
>>
>> Em 16/07/08, Walter Tadeu Nogueira da Silveira <[EMAIL PROTECTED]>
>> escreveu:
>>>
>>> Olá Dória
>>>
>>> Essa questão caiu no ENEM-98 e teve só 10% de acerto. Na minha opinião a
>>> tabela não é clara, nem o método. A questão é que há uma distribuição do
>>> gasto em parcelas de 10 até o valor final. A inicial mostrada signifoca que
>>> houve um gasto de 17mcúbicos. Então ele mostrou "tarifa mínima" onde deveria
>>> aparecer o número 10. E colocou 7 restantes na outra faixa. Se por exemplo o
>>> gasto fosse 23 a tabela ficaria: "tarifa mínima"(10)+10+3 e a conta seria a
>>> multiplicação de cada número pelo valor da tarifa da faixa que ocupa. É o
>>> método. O seu exercício contém um erro na organização da resposta.
>>>
>>> A tabela que mostra o resultado está errada. O certo seria:
>>>
>>> até 10:  5,50
>>> 11-20: 0,850 x10 = 8,50
>>> 21-30: 2,13 x 10 = 21,30
>>> 31-50: 2,13 x 4 = 8,52
>>>
>>> Total = 43,83
>>>
>>> Veja uma planilha que fiz com essa simulação em Excel.
>>>
>>>
>>>
  Um abraço.


>>>
>>> Walter Tadeu Nogueira da Silveira
>>> www.professorwaltertadeu.mat.br
>>>
>>
>>
>>


-- 
Rafael

Re: [obm-l] Exercício - Conta de água e luz

[Dória]

Mas, ainda não entendi o que quer dizer essa faixa de consumo.

Obrigada pela ajuda!
-
2008/7/16 Walter Tadeu Nogueira da Silveira <[EMAIL PROTECTED]>:

> Corrigindo..
>
> O resultado é 43,82 (lapso)..acrescentando que a solução colocou os 14 de
> uma vez naquela faixa pq ela e a de baixo possuem o mesmo valor de 2,13. Mas
> se o gasto fosse por exemplo de 94, não poderia colocar todo o restante ali.
> deveria ser: 10+10+10+20+44.
>
> Agora espero ter ajudado melhor
>
> Abraços
>
>
> Em 16/07/08, Walter Tadeu Nogueira da Silveira <[EMAIL PROTECTED]>
> escreveu:
>>
>> Olá Dória
>>
>> Essa questão caiu no ENEM-98 e teve só 10% de acerto. Na minha opinião a
>> tabela não é clara, nem o método. A questão é que há uma distribuição do
>> gasto em parcelas de 10 até o valor final. A inicial mostrada signifoca que
>> houve um gasto de 17mcúbicos. Então ele mostrou "tarifa mínima" onde deveria
>> aparecer o número 10. E colocou 7 restantes na outra faixa. Se por exemplo o
>> gasto fosse 23 a tabela ficaria: "tarifa mínima"(10)+10+3 e a conta seria a
>> multiplicação de cada número pelo valor da tarifa da faixa que ocupa. É o
>> método. O seu exercício contém um erro na organização da resposta.
>>
>> A tabela que mostra o resultado está errada. O certo seria:
>>
>> até 10:  5,50
>> 11-20: 0,850 x10 = 8,50
>> 21-30: 2,13 x 10 = 21,30
>> 31-50: 2,13 x 4 = 8,52
>>
>> Total = 43,83
>>
>> Veja uma planilha que fiz com essa simulação em Excel.
>>
>>
>>
>>>  Um abraço.
>>>
>>>
>>
>> Walter Tadeu Nogueira da Silveira
>> www.professorwaltertadeu.mat.br
>>
>
>
>

Re: [obm-l] Exercício - Conta de água e luz

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Corrigindo..

O resultado é 43,82 (lapso)..acrescentando que a solução colocou os 14 de
uma vez naquela faixa pq ela e a de baixo possuem o mesmo valor de 2,13. Mas
se o gasto fosse por exemplo de 94, não poderia colocar todo o restante ali.
deveria ser: 10+10+10+20+44.

Agora espero ter ajudado melhor

Abraços


Em 16/07/08, Walter Tadeu Nogueira da Silveira <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:
>
> Olá Dória
>
> Essa questão caiu no ENEM-98 e teve só 10% de acerto. Na minha opinião a
> tabela não é clara, nem o método. A questão é que há uma distribuição do
> gasto em parcelas de 10 até o valor final. A inicial mostrada signifoca que
> houve um gasto de 17mcúbicos. Então ele mostrou "tarifa mínima" onde deveria
> aparecer o número 10. E colocou 7 restantes na outra faixa. Se por exemplo o
> gasto fosse 23 a tabela ficaria: "tarifa mínima"(10)+10+3 e a conta seria a
> multiplicação de cada número pelo valor da tarifa da faixa que ocupa. É o
> método. O seu exercício contém um erro na organização da resposta.
>
> A tabela que mostra o resultado está errada. O certo seria:
>
> até 10:  5,50
> 11-20: 0,850 x10 = 8,50
> 21-30: 2,13 x 10 = 21,30
> 31-50: 2,13 x 4 = 8,52
>
> Total = 43,83
>
> Veja uma planilha que fiz com essa simulação em Excel.
>
>
>
>>  Um abraço.
>>
>>
>>
>
>
>
> --
> Walter Tadeu Nogueira da Silveira
> www.professorwaltertadeu.mat.br
>



-- 
Walter Tadeu Nogueira da Silveira
www.professorwaltertadeu.mat.br

[obm-l] Exercício - Conta de água e luz

[Dória]

Olá!

Não entendi como se interpreta essa conta de água. Alguém pode me explicar,
por favor? O exercício se encontra nesse link:
http://fmqexercicios.blogspot.com/

Um abraço.

Re: [obm-l] exercício OBM... COMO VOCÊS RESOLVERIAM...

[Otávio Menezes]

É suficiente provar que ângulo CFD = ângulo AED. Para isso, mostraremos que
os triângulos CDF e ADE são semelhantes.
Primeiro, note que os triângulos ACD e ABD são semelhantes pois têm dois
ângulos correspondentes congruentes. Daí AC/AB=CD/AD. Note que
CF/AE=2AC/2AB=AC/AB, isto é, CF/AE=CD/AD. Além disso, ângulo DCA = ângulo
DAB, o que conlui a prova da semelhança e encerra o problema.



2008/5/31 Ariel Chacão <[EMAIL PROTECTED]>:

> Seja ABC um triângulo para o qual existe um ponto D em seu interior tal que
> o ângulo DAB = ângulo DCA e ângulo DBA = ângulo DAC. Sejam E e F pontos
> (distintos dos vértices) sobre as retas AB e CA, respectivamente, tais que
> AB=BE e CA=AF. Prove que os pontos A, E, D e F são concíclicos.
> (concíclicos = sobre a mesma circunferência).
>
>
> e agora... como resolveriam isso...
>
> --
> Connect to the next generation of MSN Messenger  Get it now!
> 
>

[obm-l] exercício OBM... COMO VOCÊS RESOLVERIAM...

[Ariel Chacão]

Seja ABC um triângulo para o qual existe um ponto D em seu interior tal que o 
ângulo DAB = ângulo DCA e ângulo DBA = ângulo DAC. Sejam E e F pontos 
(distintos dos vértices) sobre as retas AB e CA, respectivamente, tais que 
AB=BE e CA=AF. Prove que os pontos A, E, D e F são concíclicos.(concíclicos = 
sobre a mesma circunferência). 
 
 
e agora... como resolveriam isso...
_
Connect to the next generation of MSN Messenger 
http://imagine-msn.com/messenger/launch80/default.aspx?locale=en-us&source=wlmailtagline

[obm-l] Re: [obm-l] Exercício - Fabricação de bicicletas (alterado)

[Gustavo Duarte]

Vamos lá dória:

96 / ( b +2 )   + 84 / b = 26, com b = ao preço unitário do produto b, ou seja 
ao didivir o preço total pelo preço unitário temos a quantidade comprada , que 
no problema soma um total de 26, a partir daí é tita o mínio e encontra b = 6 
,logo o preço de a= 8 e R$ 96 dividido por R$ 8 é igual a 12. Espero ter 
ajudado, abraços.
  - Original Message - 
  From: Dória 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, April 16, 2008 12:31 PM
  Subject: [obm-l] Exercício - Fabricação de bicicletas (alterado)


  Olá!

  Por favor, me ajudem nesse exercício:

  Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A, 
pagando R$96,00, e unidades do produto B, pagando R$84,00. Sabendo-se que o 
total de unidades compradas foi de 26 e que o preço unitário do produto A 
excede em R$2,00 o preço unitário do produto B, determine o número de unidades 
de A que foi comprado.

  Resposta: 12

  Muito obrigado, []'s

Re: [obm-l] Exercício - Fabricação de bicicletas (alterado)

[Palmerim Soares]

Olá Dória
anexei um arquivo com a solução tradicional deste problema. Particularmente,
não gosto dessa solução. Prefiro encontrar os divisores de 96 e de 94. Deste
modo encontro todos os pares de naturais cujo produto é 96 e 94. Comparando
os fatores de uma multiplicação com os fatores da outra, encontro dois que
somados dão 26 (são as unidades compradas). Parece complicado, mas é mais
rápido, mais simples e menos sujeito a erros.

Palmerim

Em 16/04/08, Dória <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Olá!
>
> Por favor, me ajudem nesse exercício:
>
> *Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto
> A, pagando R$96,00, e unidades do produto B, pagando R$84,00. Sabendo-se que
> o total de unidades compradas foi de 26 e que o preço unitário do produto A
> excede em R$2,00 o preço unitário do produto B, determine o número de
> unidades de A que foi comprado.*
> **
> *Resposta: 12*
>
> Muito obrigado, []'s
>
<>

Re: [obm-l] Exercício - Despesas mensais de um condomínio

[Frederico Gomes Elihimas]

x numero de condominos
y valor do condominio
10800=xy valor total se todos pagassem
10800=(x-2)y+(x-2)32

logo, 10800=xy-2y+32x-64 =>
  0=-2y+32x-64 =>
  y=16x-32

=> 10800=x(16x-32)  (/16) =>
675=x(x-2)  => 27.25=x(x-2) => x=27 condominos!
[]´z

2008/4/16, Dória <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> Olá!
>
> Podem me ajudar nesse exercício? Segue o link:
>
>
> http://www.orkut.com/AlbumZoom.aspx?uid=3858236080690851137&pid=1208346447206&aid=1208321178
>
> Obrigado, []'s.
>

[obm-l] Exercício - Fabricação de bicicletas (alterado)

[Dória]

Olá!

Por favor, me ajudem nesse exercício:

*Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A,
pagando R$96,00, e unidades do produto B, pagando R$84,00. Sabendo-se que o
total de unidades compradas foi de 26 e que o preço unitário do produto A
excede em R$2,00 o preço unitário do produto B, determine o número de
unidades de A que foi comprado.*
**
*Resposta: 12*

Muito obrigado, []'s

Re: [obm-l] Exercício - Despesas mensais de um condomínio

[Dória]

Olá!

Muito obrigado pelas dicas!! Segue o exercício:

*Para pagar as despesas mensais de um condomínio, ficou combinado que todos
contribuiriam com a mesma quantia. Num certo mês, em que as despesas
totalizaram R$ 10.800,00, devido à inadimplência de dois dos condôminos,
cada um dos demais foi obrigado a pagar, além da sua cota normal, um
adicional de R$ 32,00. Qual é o número de condôminos?*

*Resposta: 27*
Obrigado, []'s
--
Em 16/04/08, Joao Victor Brasil <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:

> Concordo com o Bernardo.
> Manda a figura por anexo.
>
> Joao Victor Brasil
>
>
>  On 4/16/08, Bernardo Freitas Paulo da Costa <[EMAIL PROTECTED]>
> wrote:
> >
> > Hum, não é uma boa idéia deixar links para o orkut, mesmo que a maior
> > parte das pessoas tenha ! Por exemplo, se eu estiver no laboratório,
> > eu não tenho acesso ao orkut, e é quando eu tenho mais tempo de ler a
> > lista. Isso pode ser parecido pra muita gente que não tiver internet
> > rápida em casa. Uma idéia melhor seria tentar copiar o exercício ao
> > máximo possível como texto simples (que é legível por todo mundo) e se
> > houver necessidade de figuras (eu nem sei o que é esse...) você pode
> > mandar um .png em anexo. Fórmulas complicadas (tipo integrais, somas e
> > produtórios; relações, diagramas comutativos, ...) você pode tentar
> > codificar "intuitivamente", em geral dá pra fazer.
> >
> > Ainda mais, fazendo isso, a lista será "auto-contida", ou seja, o site
> > dos arquivos sempre conterá tudo o necessário para entender um
> > problema, o que é importante.
> >
> > On Wed, Apr 16, 2008 at 2:18 PM, Dória <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > > Olá!
> > >
> > > Podem me ajudar nesse exercício? Segue o link:
> > >
> > >
> > http://www.orkut.com/AlbumZoom.aspx?uid=3858236080690851137&pid=1208346447206&aid=1208321178
> > >
> > > Obrigado, []'s.
> >
> > Abraços,
> > --
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >
> > =
> >
>
>

Re: [obm-l] Exercício - Despesas mensais de um condomínio

[Joao Victor Brasil]

Concordo com o Bernardo.
Manda a figura por anexo.

Joao Victor Brasil


On 4/16/08, Bernardo Freitas Paulo da Costa <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Hum, não é uma boa idéia deixar links para o orkut, mesmo que a maior
> parte das pessoas tenha ! Por exemplo, se eu estiver no laboratório,
> eu não tenho acesso ao orkut, e é quando eu tenho mais tempo de ler a
> lista. Isso pode ser parecido pra muita gente que não tiver internet
> rápida em casa. Uma idéia melhor seria tentar copiar o exercício ao
> máximo possível como texto simples (que é legível por todo mundo) e se
> houver necessidade de figuras (eu nem sei o que é esse...) você pode
> mandar um .png em anexo. Fórmulas complicadas (tipo integrais, somas e
> produtórios; relações, diagramas comutativos, ...) você pode tentar
> codificar "intuitivamente", em geral dá pra fazer.
>
> Ainda mais, fazendo isso, a lista será "auto-contida", ou seja, o site
> dos arquivos sempre conterá tudo o necessário para entender um
> problema, o que é importante.
>
> On Wed, Apr 16, 2008 at 2:18 PM, Dória <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Olá!
> >
> > Podem me ajudar nesse exercício? Segue o link:
> >
> >
> http://www.orkut.com/AlbumZoom.aspx?uid=3858236080690851137&pid=1208346447206&aid=1208321178
> >
> > Obrigado, []'s.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] Exercício - Despesas mensais de um condomínio

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Hum, não é uma boa idéia deixar links para o orkut, mesmo que a maior
parte das pessoas tenha ! Por exemplo, se eu estiver no laboratório,
eu não tenho acesso ao orkut, e é quando eu tenho mais tempo de ler a
lista. Isso pode ser parecido pra muita gente que não tiver internet
rápida em casa. Uma idéia melhor seria tentar copiar o exercício ao
máximo possível como texto simples (que é legível por todo mundo) e se
houver necessidade de figuras (eu nem sei o que é esse...) você pode
mandar um .png em anexo. Fórmulas complicadas (tipo integrais, somas e
produtórios; relações, diagramas comutativos, ...) você pode tentar
codificar "intuitivamente", em geral dá pra fazer.

Ainda mais, fazendo isso, a lista será "auto-contida", ou seja, o site
dos arquivos sempre conterá tudo o necessário para entender um
problema, o que é importante.

On Wed, Apr 16, 2008 at 2:18 PM, Dória <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Olá!
>
> Podem me ajudar nesse exercício? Segue o link:
>
> http://www.orkut.com/AlbumZoom.aspx?uid=3858236080690851137&pid=1208346447206&aid=1208321178
>
> Obrigado, []'s.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Exercício - Fabricação de bicicletas

[Dória]

Olá a todos!

Gostaria de uma ajuda nesse exercício, por favor. Segue o link:

http://www.orkut.com/AlbumZoom.aspx?uid=3858236080690851137&aid=1208321178&pid=1208346545738

Obrigado, []'s

[obm-l] Exercício - Despesas mensais de um condomínio

[Dória]

Olá!

Podem me ajudar nesse exercício? Segue o link:

http://www.orkut.com/AlbumZoom.aspx?uid=3858236080690851137&pid=1208346447206&aid=1208321178

Obrigado, []'s.

[obm-l] Exercício de Cálculo

[Diego Alex Silva]

Você está preparando um pôster retangular para conter 50 pol² de material
impresso, com margens superior e inferior de 4 pol cada uma e margens à
direita e à esquerda de 2 pol cada. Que dimensões gerais minimizarão a
quantidade de papel a ser utilizada?

Grato,
 Diego

[obm-l] exercício

[Manoel P G Neto Neto]

Olá pessoal da lista,se puderem me ajudar com a solução deste exercício."Um fazendeiro tem suas plantações num campo quadrado com "a" metros de lado. Eledividiu a área do campo em 7 partes , cada uma com a mesma área, e todas as partes se encontram num ponto exatamente no centro do campo.Se ele quiser construir uma cerca isolando duas partes(contíguas ou não) do resto do terreno,quantos metros de cerca são necessários?"Grato.   
		 
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[obm-l] Re:[obm-l] Exercício da Eureka

[claudio\.buffara]

Sejam:
S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +  + 1/(2n-1) - 1/(2n)
e
H = 1 + 1/2 + 1/3 +  + 1/(2n)
 
Então:
S = H - 2*(1/2 + 1/4 + ... + 1/(2n)) = 
H - (1 + 1/2 + ... + 1/n) =
1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n)  
 
[]s,
Claudio.
 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Thu, 22 Jun 2006 18:09:34 -0300




Assunto:
[obm-l] Exercício da Eureka
> 
> 
> Demonstre que 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+ ...+ 1/199 - 1/199 = 1/101 +
> 1/102 +...+ 1/200
> 
> Pra galera se distrais pós jogo seleção.
> []'s.

[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Exercício da Eureka

[Artur Costa Steiner]

Isto 
pode ser visto como uma consequencia do teorema de Abel
Artur
 
-Mensagem 
original-De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Giuliano 
(stuart)Enviada em: quinta-feira, 22 de junho de 2006 
20:08Para: obm-lAssunto: [obm-l] Re:[obm-l] Exercício da 
Eureka

  
  Outro problema legal:
  Prove que 
  1-1/2+1/3-1/4+=ln 2
  perceba que esta soma depende de que ordem é somado os termos pois esta 
  soma converge se somado nesta ordem e diverge se pegassemos o módulo dos 
  números.
  Abraços,
  Giuliano Pezzolo Giacaglia(Stuart)

[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Exercício da Eureka

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,
para provar que 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln2, 
podemos fazer o seguinte:
 
sabemos que 1 + x + x^2 + x^3 + ... = 
1/(1-x)
trocando x por -x, obtemos: 1 - x + x^2 - x^3 + ... 
= 1/(x+1)
 
como a série da esquerda é uma série de potências, 
e converge para todo |x| < 1, entao ela converge uniformemente, e podemos 
afirmar
que a integral da serie é a serie da integral.. 
assim, integrando, temos:
 
ln(x+1) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 +  = 
Somatório(n=0 ... inf, (-1)^n * x^(n+1) / (n+1)!)
 
para o caso de x = 1, temos: ln(2) = 1 - 1/2 + 1/3 
- 1/4 + ... = Somatório(n=0 ... inf, (-1)^n / (n+1)!)
aplicando o teste da razao para o módulo da série, 
temos:
 
(1 / (n+2)!) * ((n+1)!) = 1 / (n+2) .. 
que tende para 0 quando n tende para infinito..., logo, a série converge, e, 
realmente podemos afirmar que:
 
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln(2).
 
abraços,
Salhab
 

  - Original Message - 
  From: 
  Giuliano (stuart) 
  To: obm-l 
  Sent: Thursday, June 22, 2006 8:07 
  PM
  Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Exercício da 
  Eureka
  
  
  > Demonstre que 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+ ...+ 1/199 - 1/200 = 1/101 +1/102 
  +...+ 1/200 
  Seja S a soma  temos que 1-1/2=1/2 logo 
  S=1/2 +1/3-1/4+1/5-1/6+.
  =1/3+1/4+1/5-1/6+.=+1/4+1/5+1/6+1/7-1/8+1/9-1/10+...
  Fazemos isto assim por diante (isto é pegamos o próximo número que é o 
  dobro do primeiro e fazemos a nova soma perceba que a soma não muda
  perceba que todos os termos negativos irão "desaparecer" e a soma será 
  "deslocada" para a direita como temos 100 termos no lado esquedo que são 
  negativos logo a soma se "deslocará" para a direita 100 termos, o que dá o 
  lado direito.
  c.q.d.
  Outro problema legal:
  Prove que 
  1-1/2+1/3-1/4+=ln 2
  perceba que esta soma depende de que ordem é somado os termos pois esta 
  soma converge se somado nesta ordem e diverge se pegassemos o módulo dos 
  números.
  Abraços,
  Giuliano Pezzolo Giacaglia(Stuart)

[obm-l] Re:[obm-l] Exercício da Eureka

[Giuliano \(stuart\)]

> Demonstre que 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+ ...+ 1/199 - 1/200 = 1/101 +1/102 +...+ 1/200 
Seja S a soma  temos que 1-1/2=1/2 logo 
S=1/2 +1/3-1/4+1/5-1/6+.
=1/3+1/4+1/5-1/6+.=+1/4+1/5+1/6+1/7-1/8+1/9-1/10+...
Fazemos isto assim por diante (isto é pegamos o próximo número que é o dobro do primeiro e fazemos a nova soma perceba que a soma não muda
perceba que todos os termos negativos irão "desaparecer" e a soma será "deslocada" para a direita como temos 100 termos no lado esquedo que são negativos logo a soma se "deslocará" para a direita 100 termos, o que dá o lado direito.
c.q.d.
Outro problema legal:
Prove que 
1-1/2+1/3-1/4+=ln 2
perceba que esta soma depende de que ordem é somado os termos pois esta soma converge se somado nesta ordem e diverge se pegassemos o módulo dos números.
Abraços,
Giuliano Pezzolo Giacaglia(Stuart)

[obm-l] Exercício da Eureka

[sjdmc]

 Demonstre que1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+ ...+ 1/199 - 1/199 = 1/101 +
1/102 +...+ 1/200

Pra galera se distrais pós jogo seleção.
[]'s.

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[obm-l] Re: [obm-l] exercício - conjuntos

[Tio Cabri st]

VEJA ESTE, o link anterior era 
temporario
 
http://www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime/IMEv8.pdf

  - Original Message - 
  From: 
  Michele 
  Calefe 
  To: OBM 
  Sent: Monday, March 13, 2006 9:11 
AM
  Subject: [obm-l] exercício - 
  conjuntos
  
  Alguém poderia me ajudar a resolver este exercício? Ele apareceu numa 
  prova do IME, de 87.
   
  Dados dois conjuntos A e B, define-se:
  A*B=(A-B)U(B-A)
   
  Prove que dados 3 conjuntos arbitrários X, Y e Z temos
  X inter (Y * Z)=(X inter Y) * (X inter Z)
   
  inter=intersecção
   
  obrigada,
   
  michele 
  
  
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  No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
  Edition.Version: 7.1.375 / Virus Database: 268.2.1/279 - Release Date: 
  10/3/2006

Re: [obm-l] Re: [obm-l] exercício - conjuntos

[Júnior]

A prova exposta no material do Sergio foi feita usando o diagrama de Venn. Essa prova nao é aceita. 
Parece que o link passado pelo Tio Cabri st está quebrado. Entao coloquei a versao mais nova que eu tenho do pdf no meu site 
http://cauchy.somee.com/pub/imev8.pdf
Aproveitem, esse material é muito bom.

Júnior.
Em 13/03/06, Tio Cabri st <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:







pegue o material feito pelo sergio na paG 149 ESTA 
ESTE EXERCICIO
 
http://www.aspmath2006.somee.com/sergio.htm

  - Original Message - 
  
From: 
  Michele 
  Calefe 
  To: 
OBM 
  Sent: Monday, March 13, 2006 9:11 
AM
  Subject: [obm-l] exercício - 
  conjuntos
  
  Alguém poderia me ajudar a resolver este exercício? Ele apareceu numa 
  prova do IME, de 87.
   
  Dados dois conjuntos A e B, define-se:
  A*B=(A-B)U(B-A)
   
  Prove que dados 3 conjuntos arbitrários X, Y e Z temos
  X inter (Y * Z)=(X inter Y) * (X inter Z)
   
  inter=intersecção
   
  obrigada,
   
  michele 
  
  
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  10/3/2006

[obm-l] Re: [obm-l] exercício - conjuntos

[Tio Cabri st]

pegue o material feito pelo sergio na paG 149 ESTA 
ESTE EXERCICIO
 
http://www.aspmath2006.somee.com/sergio.htm

  - Original Message - 
  From: 
  Michele 
  Calefe 
  To: OBM 
  Sent: Monday, March 13, 2006 9:11 
AM
  Subject: [obm-l] exercício - 
  conjuntos
  
  Alguém poderia me ajudar a resolver este exercício? Ele apareceu numa 
  prova do IME, de 87.
   
  Dados dois conjuntos A e B, define-se:
  A*B=(A-B)U(B-A)
   
  Prove que dados 3 conjuntos arbitrários X, Y e Z temos
  X inter (Y * Z)=(X inter Y) * (X inter Z)
   
  inter=intersecção
   
  obrigada,
   
  michele 
  
  
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Re: [obm-l] exercício - conjuntos

[Giancarlo Miragliotta]

Fala Mi,

E se fizermos assim:

A * B = ( A - B ) U ( B - A ) = ( A U B ) - ( A inter B )

e lembrando das distributivas

A inter ( B U C ) = ( A inter B ) U ( A inter C )
A U ( B inter C ) = ( A U B ) inter ( A U C )

entao

X inter ( Y * Z ) =
= X inter [( Y - Z ) U ( Z - Y)] =
= X inter [( Y U Z ) - ( Y inter Z )] =
= X inter ( Y U Z ) - X inter ( Y inter Z ) =
= ( X inter Y ) U ( X inter Z ) - ( X inter Y ) inter ( X inter Z ) =
= [( X inter Y ) - ( X inter Z )] U [( X inter Z ) - ( X inter Y )] =
= ( X inter Y ) * ( X inter Z )


Abraco
Giancarlo


On 3/13/06, Michele Calefe <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Alguém poderia me ajudar a resolver este exercício? Ele apareceu numa prova
> do IME, de 87.
>
> Dados dois conjuntos A e B, define-se:
> A*B=(A-B)U(B-A)
>
> Prove que dados 3 conjuntos arbitrários X, Y e Z temos
> X inter (Y * Z)=(X inter Y) * (X inter Z)
>
> inter=intersecção
>
> obrigada,
>
>
> michele
>
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Giancarlo Miragliotta

"A Lua única reflete-se onde quer que haja um lençol de água,
E todas as luas nas águas estão abraçadas no seio da Lua única."

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[obm-l] Re: [obm-l] exercício - conjuntos

[Ronaldo Luiz Alonso]

Para provar que dois conjuntos são iguais (A==B), 
vc tem
que provar :
 
1) A cont B  e
2) B cont A
 
Prove que todo elemento de X inter (Y * Z) está contido 
em (X inter Y) 
* (X inter Z) e vice versa.  Para isso
aplique a definição de *.
 
  Deixo os detalhes para vc (o computador 
consegue fazer
prova disso automáticamente, pois operações 
com
conjuntos são isomórficas a operações com álgebra 
booleana) ...
 
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Michele 
  Calefe 
  To: OBM 
  Sent: Monday, March 13, 2006 9:11 
AM
  Subject: [obm-l] exercício - 
  conjuntos
  
  Alguém poderia me ajudar a resolver este exercício? Ele apareceu numa 
  prova do IME, de 87.
   
  Dados dois conjuntos A e B, define-se:
  A*B=(A-B)U(B-A)
   
  Prove que dados 3 conjuntos arbitrários X, Y e Z temos
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  inter=intersecção
   
  obrigada,
   
  michele 
  
  
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[obm-l] exercício - conjuntos

[Michele Calefe]

Alguém poderia me ajudar a resolver este exercício? Ele apareceu numa prova do IME, de 87.     Dados dois conjuntos A e B, define-se:  A*B=(A-B)U(B-A)     Prove que dados 3 conjuntos arbitrários X, Y e Z temos  X inter (Y * Z)=(X inter Y) * (X inter Z)     inter=intersecção     obrigada,     michele 
		 
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[obm-l] RES: [obm-l] Exercício de analise

[Artur Costa Steiner]

Suponhamos que (a) vigore e, nos reais expandidos, sejam a e b os pontos 
extremos inferior e superior de I. Se x (b).
 
Suponhamos agora que (b) vigore e, nos reais expandidos, sejam  w = 
infimo I e s = supremo I..Se w=s, entao I contem um unico elemento, podendo ser 
visto como um intervalo fechado degenerado.  Se w <  s, 
entao, para todo z pertencente a (w, s) temos w < z < s, 
existindo assim (definicoes de supremo e de infimo)  x e y 
em I tais que w <= x < z < y <= s. Pela hipotese (b), 
segue-se  que z pertence a I, o que implica que (w, s) esteja contido 
em I. Logo, (w,s) contido em I contido em [w,s]. Dito de outra forma, isto 
significa que ou I =(w,s) ou, alem dos elementos de (w,s), I contem um 
ou ambos os elementos de {w,s}. Para que isto seja possivel, temos 
necessriamente que I eh  um intervalo com pontos extremos w e s. Logo, (b) 
=> (a).
 
Artur
 
[Artur Costa 
Steiner] M ensagem original-De: 
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
Raphael SantosEnviada em: domingo, 2 de outubro de 2005 
23:08Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Exercício 
de analise

  
  
  Boa Noite a todos da 
  lista,
   
  Gostaria de uma ajuda no seguinte 
  exercicio:
   
  Verificar que as afirmações são 
  equivalentes:
   
  (a) I C R é um intervalo; 
  
  (b) Dados x e y em I, se z € R é 
  tal que x
   
  obs.:  C - está contido; R - 
  Conj. dos Num. Reais; € - pertence
   
  Obrigado,
   
  Raphael
  
  
  Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e 
  muito mais. Instale 
  agora!

[obm-l] Exercício de analise

[Raphael Santos]

Boa Noite a todos da lista,
 
Gostaria de uma ajuda no seguinte exercicio:
 
Verificar que as afirmações são equivalentes:
 
(a) I C R é um intervalo; 
(b) Dados x e y em I, se z € R é tal que x
 
obs.:  C - está contido; R - Conj. dos Num. Reais; € - pertence
 
Obrigado,
 
Raphael
		 
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Re: [obm-l] RE: [obm-l] Exercício Conjuntos ITA! e UFRJ

[Qwert Smith]

1- De I e III vem que 7% sao mulheres com mais de 30
2- De II vem que 32% sao mulheres
3- De IV e VII vem que 20% sao solteiras
4- De V e VI vem que 2% sao solteiras com mais de 30
a- De 1 e 2 vem que 25% sao mulheres <= 30 anos
b- De 3 e 4 vem que 18% sao solteiras <=30 anos
De a e b temos que 7% sao casadas <= 30 anos
E isso que vc chama de enorme?
Certamente o problema e puramente bracal e, a meu ver, preconceituoso.
Implica que todo individuo que nao e solteiro e casado.
Implica que todo individuo que nao e homem e mulher :).
From: Alan Pellejero <[EMAIL PROTECTED]>
[...]
Olá amigos!
O 2 eu fiz, mas queria saber se há alguma maneira mais
eficiente...minha resolução ficou enorme! Um abraço!
Alan
[...]
> >2-)Tendo sido feito um levantamento estatístico dos
> >resultados do Censo Populacional 96 em uma cidade,
> >descobriu-se, sobre a população que:
> >I) 44% têm idade superior a 30 anos;
> >II)68% são homens;
> >III)37% são homens com mais de 30 anos;
> >IV) 25% são homens solteiros;
> >V) 4% são homens solteiros com mais de 30 anos;
> >VI)6% são indivíduos solteiros com mais de 30 anos;
> >VII) 45% dos indivíduos são solteiros.
> >Com base nesses dados, pode-se afirmar que a % da
> >população desta cidade que representa as mulheres
> >casadas com idade igual ou inferior a 30 anos é de:

=
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=

Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos

[kleinad]

Ai, ai... no e-mail anterior eu fiz (p^n)^n = p^n^n em vez de p^n^2, ou,
mais claramente, p^(n^2)... Felizmente isso não muda quase nada, a resolução
é quase idêntica, trocando-se um 13 por um 4 e nada mais! Abaixo segue já
com a alteração (e mais uma vez, desculpem!):

>Seja "a" um número pertencente ao conjuntos dos
>números reais tal que a > 1 e a "raiz n-ésima de a"
>seja um número primo.
>Pede-se determinar o menor valor de "n" para que a
>expressão:
>(a^n + b) / (a^n - b)
>
>seja também um número primo, sabendo-se que "b" é um
>quadrado perfeito.

Assumindo n inteiro, n > 1 (para que fique razoável a expressão raiz n-ésima
e o próprio problema, do contrário a seria primo, e uma solução para n = 1
seria a = 3, b = 1), o que temos é a^(1/n) = p, primo ==> a = p^n, portanto
a é inteiro.

Faça b = d^2 e seja k primo.

(p^(n^2) + d^2)/(p^(n^2) - d^2) = k

Fazendo k = 2, temos
p^(n^2) + d^2 = 2*p^(n^2) - 2*d^2
==> p^(n^2) = 3*d^2
==> p = 3 ==> d = 3^x

As igualdades agora são 3^(n^2) = 3^(2*x + 1) ==> n^2 = 2*x + 1 ==> n é ímpar

Tomamos n = 3 ==> x = 4.

Assim, o n pretendido é menor ou igual a 3, e, com efeito, ele não pode ser
2.

Se n = 2, teríamos

(p^4 + d^2)/(p^4 - d^2) = k
==> p^4*(k - 1) = (k + 1)*d^2

Se k = 2, então teríamos p^4 = 3*d^2 ==> p = 3 ==> 3^3 = d^2, absurdo.
Assim, k > 2, primo ==> k ímpar ==> mdc (k + 1, k - 1) = 2.

Segue que (k + 1)/2 divide p^4 ==> (k + 1)/2 = p^x, onde x = 1, 2, 3 ou 4
(não é x = 0 pois teríamos k = 1, absurdo pois k é primo)

Ainda, não pode ser x = 1 nem x = 3 pois isso implica que p^3 ou p seria
quadrado perfeito ( p^3*(k - 1)/2 = d^2, com p não dividindo (k - 1)/2;
analogamente para p em vez de p^3).

Então é k + 1 = 2*p^4 ou 2*p^2. Se ocorre o primeiro, então cancelando vem
que d^2 = (k - 1)/2, ou seja, k = 2*d^2 + 1 ==> 2*p^4 + 1 = k = 2*d^2 - 1
==> p^4 = d^2 - 1, isto é, d^2 e d^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo
pois são inteiros consecutivos.

Se por outro lado fosse k = 2*p^2 - 1, então substituindo dá p^4*(2*p^2 - 2)
= 2*p^2*d^2 ==> p^2(p^2 - 1) = d^2 ==> d = p*z ==> p^2 - 1 = z^2, isto é,
p^2 e p^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são consecutivos.

Logo, n = 2 não pode e o menor n possível é 3.

[]s,
Daniel

=
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Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos

[kleinad]

>Seja "a" um número pertencente ao conjuntos dos
>números reais tal que a > 1 e a "raiz n-ésima de a"
>seja um número primo.
>Pede-se determinar o menor valor de "n" para que a
>expressão:
>(a^n + b) / (a^n - b)
>
>seja também um número primo, sabendo-se que "b" é um
>quadrado perfeito.

Assumindo n inteiro, n > 1 (para que fique razoável a expressão raiz n-ésima
e o próprio problema, do contrário a seria primo, e uma solução para n = 1
seria a = 3, b = 1), o que temos é a^(1/n) = p, primo ==> a = p^n, portanto
a é inteiro.

Faça b = d^2 e seja k primo.

(p^n^n + d^2)/(p^n^n - d^2) = k

Fazendo k = 2, temos
p^n^n + d^2 = 2*p^n^n - 2*d^2
==> p^n^n = 3*d^2
==> p = 3 ==> d = 3^x

As igualdades agora são 3^n^n = 3^(2*x + 1) ==> n^n = 2*x + 1 ==> n é ímpar

Tomamos n = 3 ==> x = 13.

Assim, o n pretendido é menor ou igual a 3, e, com efeito, ele não pode ser
2.

Se n = 2, teríamos

(p^4 + d^2)/(p^4 - d^2) = k
==> p^4*(k - 1) = (k + 1)*d^2

Se k = 2, então teríamos p^4 = 3*d^2 ==> p = 3 ==> 3^3 = d^2, absurdo.
Assim, k > 2, primo ==> k ímpar ==> mdc (k + 1, k - 1) = 2.

Segue que (k + 1)/2 divide p^4 ==> (k + 1)/2 = p^x, onde x = 1, 2, 3 ou 4
(não é x = 0 pois teríamos k = 1, absurdo pois k é primo)

Ainda, não pode ser x = 1 nem x = 3 pois isso implica que p^3 ou p seria
quadrado perfeito ( p^3*(k - 1)/2 = d^2, com p não dividindo (k - 1)/2;
analogamente para p em vez de p^3).

Então é k + 1 = 2*p^4 ou 2*p^2. Se ocorre o primeiro, então cancelando vem
que d^2 = (k - 1)/2, ou seja, k = 2*d^2 + 1 ==> 2*p^4 + 1 = k = 2*d^2 - 1
==> p^4 = d^2 - 1, isto é, d^2 e d^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo
pois são inteiros consecutivos.

Se por outro lado fosse k = 2*p^2 - 1, então substituindo dá p^4*(2*p^2 - 2)
= 2*p^2*d^2 ==> p^2(p^2 - 1) = d^2 ==> d = p*z ==> p^2 - 1 = z^2, isto é,
p^2 e p^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são consecutivos.

Logo, n = 2 não pode e o menor n possível é 3.

[]s,
Daniel

=
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[obm-l] Exercício sobre números primos

[Alan Pellejero]

Seja a um número tal que a > 1 e rn(a) seja primo,
determine:

O menor valor de n para que (a^n + b) / (a^n - b)
também o seja, sendo b um quadrado perfeito.

Obrigado
Alan Pellejero






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[obm-l] exercício de variáveis complexas do Geraldo Ávila

[levi queiroz]

Na página  73 do livro do Geraldo Ávila tem o seguinte problema:
Estabeleça as seguintes propriedades das potências:
(z^a)^b=(z)^(ab), onde z é diferente de zero e a e b são complexos quaisquer.
Alguem pode provar esta propriedade?
Baseado nesta propriedade, caso seja válida, eu consigo afirmar que:
(e)^(2.(Pî )^k.a.i)=( (e)^(2.Pî.i) )^(a. ( Pî )^( k-1 ) )=( 1 )^( a. ( Pî )^(k-1) )=1, onde k é inteiro e a é um complexo qualquer.
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Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Exercício

[Felipe Torres]

oi.
pra mim x=2
fui

Felipe
--- Osvaldo Mello Sponquiado <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

> > x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... 
> > 
> > x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... 
> > x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... 
> > 
> 
> 
> Nesta etapa aqui eh necessario a analise da
> convergencia de sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... 
> Certamente convergira, alguem sabe para qual numero
> isto converge ?
> > x^2 - 2 = x
> > x^2 - x - 2 = 0
> > 
> >  
> > ---Original Message---
> >  
> > From: [EMAIL PROTECTED]
> > Date: 10/06/04 01:36:58
> > To: [EMAIL PROTECTED]
> > Subject: [obm-l] Exercício
> >  
> > Calcular o valor de:
> >  
> > x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
> >
>
=
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
>
=
> >  
> 
> Atenciosamente,
> 
> Osvaldo Mello Sponquiado 
> Engenharia Elétrica, 2ºano 
> UNESP - Ilha Solteira
> 
>  
>
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> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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> 
> 
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
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>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Exercício

[Osvaldo Mello Sponquiado]

> x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... 
> 
> x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... 
> x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... 
> 


Nesta etapa aqui eh necessario a analise da convergencia de 
sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... 
Certamente convergira, alguem sabe para qual numero isto converge ?
> x^2 - 2 = x
> x^2 - x - 2 = 0
> 
>  
> ---Original Message---
>  
> From: [EMAIL PROTECTED]
> Date: 10/06/04 01:36:58
> To: [EMAIL PROTECTED]
> Subject: [obm-l] Exercício
>  
> Calcular o valor de:
>  
> x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>  

Atenciosamente,

Osvaldo Mello Sponquiado 
Engenharia Elétrica, 2ºano 
UNESP - Ilha Solteira

 
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício

[kleinad]

Ok, mas faltou dizer POR QUE pode-se fazer

x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+... = x.

Você precisa mostrar que a seqüência
x_1 = sqrt(2)
x_(n+1) = sqrt(2+ x_n) , n = 1, 2, 3,...

converge antes de aplicar essa substituição, que envolve o conceito de
limite.

[]s,
Daniel

Ariel de Silvio ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:
>
>x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
>
>
>
>x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
>
>x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
>
>
>
>x^2 - 2 = x
>
>x^2 - x - 2 = 0
>
>
>
>
>
>---Original Message---
>
>
>
>From: [EMAIL PROTECTED]
>
>Date: 10/06/04 01:36:58
>
>To: [EMAIL PROTECTED]
>
>Subject: [obm-l] Exercício
>
>
>
>Calcular o valor de:
>
>
>
>x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
>
>=
>
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
>=
>
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Exercício

[Ariel de Silvio]

x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... 
 
x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... 
x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... 
 
x^2 - 2 = x
x^2 - x - 2 = 0
 
 
---Original Message---
 

From: [EMAIL PROTECTED]
Date: 10/06/04 01:36:58
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Exercício
 
Calcular o valor de:
 
x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
 

[obm-l] Exercício

[Marcelo Augusto Pereira]

Calcular o valor de:
x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Exercício UFRJ

[Rogério Moraes de Carvalho]

Olá Daniel,

Você está confundindo os conceitos de direção e sentido. Retas
paralelas compartilham da mesma direção e em cada direção há dois sentidos.

Como o problema não fala em mudança de SENTIDO na velocidade do
vento, então devemos considerar que o sentido da velocidade do vento é
mantida nos movimentos de ida e volta do avião.

Veja uma resolução possível para este problema numa mensagem
anterior que eu enviei.

Abraços,

Rogério Moraes de Carvalho

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Daniel Silva Braz
Sent: sexta-feira, 21 de maio de 2004 13:37
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Exercício UFRJ

 --- Alan Pellejero <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > Pessoal, gostaria de uma ajudinha nesse
aqui:
> 1-)Um avião tem combustível para voar durante quatro
> horas.  Na presença de um vento com a velocidade v
> km/h na direção e sentido do movimento, a velocidade
> do avião é (300+v)km/h. Se o avião se desloca em
> sentido contrário ao vento, sua velocidade é de
> (300-v)km/h.
> Suponha que o avião se afaste a uma distância d do
> aeroporto e retorne ao ponto de partida, consumindo
> todo o combustível,n e que durante todo o trajeto a
> velocidade do vento seja constante e tenha a mesma
> direção que a do movimento do avião.

> a) Determine d como função de v;

considerando o tempo de voo como 4h
f(v) = 4(300+v)

> b) Determine para que valor de v a distância d é
> máxima.

Não existe máximo..qto mais rápido o vento mais longe
vc irá (já que o vento está sempre na direção do
movimento). Note apenas que você só pode usar 2h de
vôo para ir..pq precisará das outras 2h para voltar..

Alan, não estou muito certo se isso está correto..e
estou sem tempo de pensar um pouco mais..
mas..uma pergunta...e se o vento se mantivesse sempre
na mesma direção..ou seja..a favor na ida e contra na
volta..o q mudaria?

Daniel S. Braz


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=

[obm-l] RE: [obm-l] Exercício UFRJ

[Rogério Moraes de Carvalho]

RESOLUÇÃO POSSÍVEL:

Uma vez que a velocidade do vento tem a mesma direção que a da velocidade do
avião e considerando que o sentido da velocidade do vento não seja
modificado, então o avião se deslocará no mesmo sentido do vento em metade
do percurso de ida e volta e no sentido contrário na outra metade.
Considerando T1 e T2 os tempos gastos nas duas metades do percurso de ida e
volta, lembrando que no Movimento Retilíneo e Uniforme (M.R.U.) v = d/T => d
= T/v, onde v representa o módulo da velocidade vetorial, d o módulo do
deslocamento vetorial e T o intervalo de tempo,teremos:

Ttotal = T1 + T2 (Ttotal = 4 h - autonomia de vôo)
4 = d/(300 + v) + d/(300 - v)
4 = d[1/(300 + v) + 1/(300 - v)]
4 = d(300 - v + 300 + v)/[(300 + v)(300 - v)]
4 = d(600)/(300^2 - v^2)
d = 4(300.300 - v^2)/600
d = 600 - v^2/150 (d em função de v)

Como d é uma função quadrática de v e o coeficiente de v^2 é negativo
(-1/150), podemos concluir que a função admite valor máximo, onde o ponto de
máximo é dado por: v = -b/(2a) => v = 0

Respostas:
a) d = 600 - v^2/150 (km, km/h)
b) A distância é máxima (600 km) quando não há vento (v = 0)

Rogério Moraes de Carvalho

From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Alan Pellejero
Sent: sexta-feira, 21 de maio de 2004 12:26
To: [EMAIL PROTECTED]; [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Exercício UFRJ

Pessoal, gostaria de uma ajudinha nesse aqui:
 
1-)Um avião tem combustível para voar durante quatro horas.  Na presença de
um vento com a velocidade v km/h na direção e sentido do movimento, a
velocidade do avião é (300+v)km/h. Se o avião se desloca em sentido
contrário ao vento, sua velocidade é de (300-v)km/h.
Suponha que o avião se afaste a uma distância d do aeroporto e retorne ao
ponto de partida, consumindo todo o combustível,n e que durante todo o
trajeto a velocidade do vento seja constante e tenha a mesma direção que a
do movimento do avião.
a) Determine d como função de v;
b) Determine para que valor de v a distância d é máxima.
[]'s 
Alan Pellejero



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Exercício UFRJ

[Will]

isole o t na equação (300-v)*t = (300+v)*(4-t)
 
depois escreva D = 2*(300-v)*t , substituindo o t 
isolado acima.
 
isso te dá a questão a)
 
Feito isso basta olhar o máximo da equação da 
questão a)
 
Will
 

  - Original Message - 
  From: 
  Alan Pellejero 
  To: [EMAIL PROTECTED] ; [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Friday, May 21, 2004 12:25 PM
  Subject: [obm-l] Exercício UFRJ
  
  Pessoal, gostaria de uma ajudinha nesse aqui:
   
  1-)Um avião tem combustível para voar durante quatro 
  horas.  Na presença de um vento com a velocidade v km/h na direção e 
  sentido do movimento, a velocidade do avião é (300+v)km/h. Se o avião se 
  desloca em sentido contrário ao vento, sua velocidade é de 
  (300-v)km/h.
  Suponha que o avião se afaste a uma distância d do 
  aeroporto e retorne ao ponto de partida, consumindo todo o combustível,n e que 
  durante todo o trajeto a velocidade do vento seja constante e tenha a mesma 
  direção que a do movimento do avião.
  a) Determine d como função de v;
  b) Determine para que valor de v a distância d é 
  máxima.
  []'s 
  Alan Pellejero
  
  
  
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Re: [obm-l] Exercício UFRJ

[Daniel Silva Braz]

 --- Alan Pellejero <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > Pessoal, gostaria de uma ajudinha nesse
aqui:
> 1-)Um avião tem combustível para voar durante quatro
> horas.  Na presença de um vento com a velocidade v
> km/h na direção e sentido do movimento, a velocidade
> do avião é (300+v)km/h. Se o avião se desloca em
> sentido contrário ao vento, sua velocidade é de
> (300-v)km/h.
> Suponha que o avião se afaste a uma distância d do
> aeroporto e retorne ao ponto de partida, consumindo
> todo o combustível,n e que durante todo o trajeto a
> velocidade do vento seja constante e tenha a mesma
> direção que a do movimento do avião.

> a) Determine d como função de v;

considerando o tempo de voo como 4h
f(v) = 4(300+v)

> b) Determine para que valor de v a distância d é
> máxima.

Não existe máximo..qto mais rápido o vento mais longe
vc irá (já que o vento está sempre na direção do
movimento). Note apenas que você só pode usar 2h de
vôo para ir..pq precisará das outras 2h para voltar..

Alan, não estou muito certo se isso está correto..e
estou sem tempo de pensar um pouco mais..
mas..uma pergunta...e se o vento se mantivesse sempre
na mesma direção..ou seja..a favor na ida e contra na
volta..o q mudaria?

Daniel S. Braz


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[obm-l] Exercício UFRJ

[Alan Pellejero]

Pessoal, gostaria de uma ajudinha nesse aqui:
 
1-)Um avião tem combustível para voar durante quatro horas.  Na presença de um vento com a velocidade v km/h na direção e sentido do movimento, a velocidade do avião é (300+v)km/h. Se o avião se desloca em sentido contrário ao vento, sua velocidade é de (300-v)km/h.
Suponha que o avião se afaste a uma distância d do aeroporto e retorne ao ponto de partida, consumindo todo o combustível,n e que durante todo o trajeto a velocidade do vento seja constante e tenha a mesma direção que a do movimento do avião.
a) Determine d como função de v;
b) Determine para que valor de v a distância d é máxima.
[]'s 
Alan Pellejero
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[obm-l] exercício

[biper]

Aí alan, obrigado pela atenção, mas essas soluções eu 
também achei, e queria saber se tem mas alguma, por 
exemplo, na seguda questão alem dessas que encontrou tb 
possui,a solução (12;9), logo ñ há um outro metódo 
certo de fazer?
 
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[obm-l] exercício elon vol.2

[Fabio Dourado]

Gente, não to conseguindo fazer esse. Não parece difícil( parece algo como 
teorema do valor médio), mas não tô tendo idéia. Qualquer ajuda é bem vinda.

Seja U c R^m aberto e f: U --> R diferenciável no ponto a pertecente a U. 
Prove que existem E>0 e M>0 tais que se a norma de h é menor que E então a+h 
está em U e mod(f(a+h)-f(a)) é menor que M*norma de h.

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Re: [obm-l] Exercício

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Nossa, QUE HORRIVELEu entendi numero real!!!
Mas existe uma demo bem mais geral:
Se a
Simplesmente nao existira racionais entre 0 e b-a.Mas e so tomar n grande o bastante para que 1/n[EMAIL PROTECTED] wrote:
Eh verdade, Para isso ocorrer deveriamos ter r[1] = r[2], o que nao eh o caso do problema. Prova: Media geometrica de x[1] e x[2]: sqrt(r[1]*r[2]) = x Elevando ao quadrado: r[1]*r[2] = x x^2 = r[1]*r[2] x*x = r[1]*r[2] x = r[1] x = r[2] Logo, r[1] = r[2] CQD. Em uma mensagem de 24/4/2004 22:06:24 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
Epa, quem disse que essa media geometrica eh racional? == Mensagem  enviada  pelo  CIP  WebMAIL  - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider  http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331    Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sat, 24 Apr 2004 19:26:53 -0300 (ART) Subject: Re: [obm-l] Exercício > E realmente necessario intervir? > > Ta,
 pegue a media geometrica deles se os dois forem positivos, > o 0 se tiverem sinais contrarios, > a media geometrica dos miodulos se os dois forem negativos, > e se um deles for zero pegue a metade do outro. > > Marcelo Augusto Pereira <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 
> Mostrar que se r1 e r2 são racionais e r1> > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI > CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE > Fields Medal(John Charles Fields) > 

TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI
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Re: [obm-l] Exercício

[Faelccmm]

Eh verdade, a conclusao eh ilogica.


Em uma mensagem de 25/4/2004 02:00:01 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:



epa, a media geometrica de 4 e 9 vale 6, embora 4 seja diferente de 9. 

== 
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-- Original Message --- 
From: [EMAIL PROTECTED] 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Sat, 24 Apr 2004 21:16:02 EDT 
Subject: Re: [obm-l] Exercício 

> Eh verdade, 
> 
> Para isso ocorrer deveriamos ter r[1] = r[2], o que nao eh o caso do problema. Prova: 
> 
> Media geometrica de x[1] e x[2]: 
> 
> sqrt(r[1]*r[2]) = x 
> 
> Elevando ao quadrado: 
> 
> r[1]*r[2] = x 
> x^2 = r[1]*r[2] 
> x*x = r[1]*r[2] 
> 
> x = r[1] 
> x = r[2] 
> 
> Logo, 
> 
> r[1] = r[2] 
> 
> CQD. 
> 
> Em uma mensagem de 24/4/2004 22:06:24 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
> 
> 

> 
> Epa, quem disse que essa media geometrica eh racional? 
> 
> == 
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> 
> -- Original Message --- 
> From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> 
> To: [EMAIL PROTECTED] 
> Sent: Sat, 24 Apr 2004 19:26:53 -0300 (ART) 
> Subject: Re: [obm-l] Exercício 
> 
> > E realmente necessario intervir? 
> > 
> > Ta, pegue a media geometrica deles se os dois forem positivos, 
> > o 0 se tiverem sinais contrarios, 
> > a media geometrica dos miodulos se os dois forem negativos, 
> > e se um deles for zero pegue a metade do outro. 
> > 
> > Marcelo Augusto Pereira <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 
> 

> > Mostrar que se r1 e r2 são racionais e r1
> 
> 
> > 
> > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI 
> > CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE 
> > Fields Medal(John Charles Fields) 
> > 
> 
--- End of Original Message --- 

Re: [obm-l] Exercício

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

epa, a media geometrica de 4 e 9 vale 6, embora 4 seja diferente de 9.

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-- Original Message ---
From: [EMAIL PROTECTED] 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Sat, 24 Apr 2004 21:16:02 EDT 
Subject: Re: [obm-l] Exercício 

> Eh verdade, 
> 
> Para isso ocorrer deveriamos ter r[1] = r[2], o que nao eh o caso do problema. Prova: 
> 
> Media geometrica de x[1] e x[2]: 
> 
> sqrt(r[1]*r[2]) = x 
> 
> Elevando ao quadrado: 
> 
> r[1]*r[2] = x 
> x^2 = r[1]*r[2] 
> x*x = r[1]*r[2] 
> 
> x = r[1] 
> x = r[2] 
> 
> Logo, 
> 
> r[1] = r[2] 
> 
> CQD. 
> 
> Em uma mensagem de 24/4/2004 22:06:24 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
> 
> 
> 
> Epa, quem disse que essa media geometrica eh racional? 
> 
> == 
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> From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> 
> To: [EMAIL PROTECTED] 
> Sent: Sat, 24 Apr 2004 19:26:53 -0300 (ART) 
> Subject: Re: [obm-l] Exercício 
> 
> > E realmente necessario intervir? 
> > 
> > Ta, pegue a media geometrica deles se os dois forem positivos, 
> > o 0 se tiverem sinais contrarios, 
> > a media geometrica dos miodulos se os dois forem negativos, 
> > e se um deles for zero pegue a metade do outro. 
> > 
> > Marcelo Augusto Pereira <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 
> 
> > Mostrar que se r1 e r2 são racionais e r1
> 
> 
> > 
> > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI 
> > CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE 
> > Fields Medal(John Charles Fields) 
> > 
> 
--- End of Original Message ---

Re: [obm-l] Exercício

[Faelccmm]

Eh verdade,

Para isso ocorrer deveriamos ter r[1] = r[2], o que nao eh o caso do problema. Prova:

Media geometrica de x[1] e x[2]:

sqrt(r[1]*r[2]) = x 

Elevando ao quadrado:

r[1]*r[2] = x
x^2 = r[1]*r[2]
x*x = r[1]*r[2]

x = r[1]
x = r[2]

Logo,

r[1] = r[2]

CQD.



Em uma mensagem de 24/4/2004 22:06:24 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:




Epa, quem disse que essa media geometrica eh racional? 

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To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Sat, 24 Apr 2004 19:26:53 -0300 (ART) 
Subject: Re: [obm-l] Exercício 

> E realmente necessario intervir? 
> 
> Ta, pegue a media geometrica deles se os dois forem positivos, 
> o 0 se tiverem sinais contrarios, 
> a media geometrica dos miodulos se os dois forem negativos, 
> e se um deles for zero pegue a metade do outro. 
> 
> Marcelo Augusto Pereira <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 

> Mostrar que se r1 e r2 são racionais e r1
> 
> TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI 
> CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE 
> Fields Medal(John Charles Fields) 
> 

Re: [obm-l] Exercício

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Epa, quem disse que essa media geometrica eh racional?

== 
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-- Original Message ---
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Sat, 24 Apr 2004 19:26:53 -0300 (ART) 
Subject: Re: [obm-l] Exercício 

> E realmente necessario intervir?
> 
> Ta, pegue a media geometrica deles se os dois forem positivos, 
> o 0 se tiverem sinais contrarios, 
> a media geometrica dos miodulos se os dois forem negativos, 
> e se um deles for zero pegue a metade do outro. 
> 
> Marcelo Augusto Pereira <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 
> Mostrar que se r1 e r2 são racionais e r1
> 
> TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI 
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Re: [obm-l] Exercício

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

E realmente necessario intervir?
Ta, pegue a media geometrica deles se os dois forem positivos, 
o 0 se tiverem sinais contrarios,
a media geometrica dos miodulos se os dois forem negativos,
e se um deles for zero pegue a metade do outro.
Marcelo Augusto Pereira <[EMAIL PROTECTED]> wrote:




Mostrar que se r1 e r2 são racionais e r1

TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI
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Re: [obm-l] Exercício

[Faelccmm]

Se na expressao que utilizei ([r1 + (r2 - r1) / 2]) trocarmos o 2 por um numero infinitamente grande, tambem provar-se-a que r1


Em uma mensagem de 24/4/2004 19:15:44 Hora padrão leste da Am. Sul, Faelccmm escreveu:



Tambem acho que a media aritmetica entre r1 e r2, como mostrou o Morgado e o Cohen, serve como resposta. Mostrando a media aritmetica de uma outra forma para adaptarmos ao problema, teriamos:

Como r1 < r2

[r1 + (r2 - r1) / 2] esta entre r1 e r2, logo r podera ser [r1 + (r2 - r1) / 2].



Em uma mensagem de 24/4/2004 18:37:54 Hora padrão leste da Am. Sul, Faelccmm escreveu:


A questao pede para provar que existe um r entre r1 e r1, mas sabemos que o numero [r1 + (r2 - r1) / 2] esta entre r1 e r2, logo r podera ser [r1 + (r2 - r1) / 2].



Em uma mensagem de 24/4/2004 18:22:01 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:



Mostrar que se r1 e r2 são racionais e r1

[obm-l] Re: [obm-l] Exercício

[Benedito]

Tome  r  como a média aritmética dos dois 
números dados.
Benedito

  - Original Message - 
  From: 
  Marcelo 
  Augusto Pereira 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Saturday, April 24, 2004 6:20 
  PM
  Subject: [obm-l] Exercício
  
  Mostrar que se r1 e r2 são racionais e r1-- Esta 
  mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar 
  livre de perigo. --
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Exercício

[Faelccmm]

Tambem acho que a media aritmetica entre r1 e r2, como mostrou o Morgado e o Cohen, serve como resposta. Mostrando a media aritmetica de uma outra forma para adaptarmos ao problema, teriamos:

Como r1 < r2

[r1 + (r2 - r1) / 2] esta entre r1 e r2, logo r podera ser [r1 + (r2 - r1) / 2].



Em uma mensagem de 24/4/2004 18:37:54 Hora padrão leste da Am. Sul, Faelccmm escreveu:


A questao pede para provar que existe um r entre r1 e r1, mas sabemos que o numero [r1 + (r2 - r1) / 2] esta entre r1 e r2, logo r podera ser [r1 + (r2 - r1) / 2].



Em uma mensagem de 24/4/2004 18:22:01 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:



Mostrar que se r1 e r2 são racionais e r1

[obm-l] Re: [obm-l] Exercício

[Marcio Afonso A. Cohen]

    Tome r = (r1+r2)/2. Acho que nao 
era exatamente esse o enunciado que voce queria :)

  - Original Message - 
  From: 
  Marcelo 
  Augusto Pereira 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Saturday, April 24, 2004 6:20 
  PM
  Subject: [obm-l] Exercício
  
  Mostrar que se r1 e r2 são racionais e r1

Re: [obm-l] Exercício

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

(r1 + r2)/2

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-- Original Message ---
From: "Marcelo Augusto Pereira" <[EMAIL PROTECTED]> 
To: <[EMAIL PROTECTED]> 
Sent: Sat, 24 Apr 2004 18:20:35 -0300 
Subject: [obm-l] Exercício 

> Mostrar que se r1 e r2 são racionais e r1 
--- End of Original Message ---

[obm-l] Exercício

[Marcelo Augusto Pereira]

Mostrar que se r1 e r2 são racionais e r1

[obm-l] exercício do livro do Simmons

[Tio Cabri st]

Saudações!
 
Gostaria, se fosse possível, que me dessem uma luz 
no exercício da página 437 nr 30 do Simmons Volume 1.
Sobre
derivadas de funções trigonométricas.
 
Agradeço muito antecipadamente.
 
Exercício:
 
Um cabo com um anel numa extremidade é enlaçado 
sobre dois pinos numa reta horizontal.A extremidade livre é passada através 
do anel e tem um peso suspenso a ele, de modo que o cabo é mantido tenso.Se 
o cabo desliza livremente através do anel e sobre os pinos, então o peso descerá 
tanto quanto possível, a fim de minimizar sua energia potencial. Determinar o 
ângulo formado na parte mais baixa do laço.

[obm-l] RE: [obm-l] exercício elon ( explicacao )

[Paulo Santa Rita]

Ola Bruno e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Esta Lista de Discussao foi originalmente concebida para discutirmos 
problemas de Matematica
Olimpica e, portanto, na mensagem abaixo, eu fugi a este objetivo original, 
nao obstante muitas
outras mensagens tambem tenham esta caracteristica.

Entretanto, tudo que ha ali ( na mensagem abaixo ) e bastante elementar e a 
imensa maioria da
nossa plateia deve entender sem dificuldade. Senao :

R^n = e o produto cartesiano : RxRxRx...xR ( N vezes ), isto e, R^n e o 
conjunto de todas as
N-uplas ordenadas. X e um sub-conjunto de R^n.

Bola(x,e) = conjunto de todos os "y" pertencentes a R^n tais que a distancia 
de cada um deles
a "x" e menor que "e"(epsilon). Aqui, "distancia", e uma medida da separacao 
entre os pontos.
A distancia usual entre dois pontos na geometria analitica e uma "distancia" 
valida, chamada
distancia euclidiana. Mas existem diversas maneiras de definir distancia, de 
acordo com o contexto
no qual estamos trabalhando.

O que e importante e que para os objetivos da analise, qualquer duas 
distancia derivadas de
uma norma sao equivalentes, vale dizer, levam aos mesmos resultados em 
termos de limites. Assim,
qualquer norma pode ser usada.

Conjunto Convexo : Uma figura e convexa quando o segmento que liga dois 
pontos quaisquer
dela esta inteiramente contido na figura. Exatamente este conceito que foi 
usado aqui. Para
ver isso claramente, sejam A e B de R^2, considere os pontos do segmento que 
liga A com B.
Usando geometria, verifique que vai existir um t, 0 =< t =< 1, tal que  :

t*A + (1-t)*B  e o ponto do segmento.

Assim, conjunto convexo e so uma generalizacao da ideia que voces tem de 
figura convexa. Nada
alem disso : Palavras dificeis pra coisas simples ! Em verdade, isto pode 
ate ser generalizado :

Seja A um conjunto convexo, isto e, o segmento que liga dois pontos de A 
esta inteiramente
contido em A. Se a1, a2, ..., an sao reais nao negativos e a1 + a2 + ... + 
a2 = 1 entao
a1*A1 + a2*A2 + ... + an*An esta em A para quaisquer A1, A2, ..., An de A.

Bom, estou dando estas rapidas explicacoes em respeito a nossa plateia de 1 
e 2 graus. Espero que elas tenham deixado claro os conceitos usados abaixo.

Um abracao a todos
Paulo Santa Rita
7,2038,200304
From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] exercício elon
Date: Sat, 20 Mar 2004 22:57:15 +
Ola Bruno,

O seu problema e uma boa distracao.

Se "a" e "b"  estao em uma mesma bola entao, usando o fato de que toda bola 
e um conjunto
convexo ( independente da norma usada na definicao de distancia ! ) segue 
que o segmento que
liga "a" com "b" esta inteiramente contido na bola e, portanto, tambem 
pertence a uniao de
todas as bolas.

O caso menos trivial e o seguinte :

Sejam "a" e "b" dois elementos quaisquer da uniao, isto e, "a" e "b" 
pertencem a B(X,e). Segue
que "a" esta em alguma bola Bi(c1,e) e "b" esta em alguma bola Bj(c2,e). 
Dai :

norma(a - c1) < e
norma(b - c2) < e
Mas segue tambem que para qualquer 0 =< t =< 1 teremos :

t*norma(a - c1) < t*e
(1-t)*norma(b - c2) < (1-t)*e
Logo : noma(t*a - t*c1) + norma((1-t)*b - (1-t)*c2) < t*e + (1-t)*e = e
e usando a desigualdade triangular ( valida em qualquer norma ) :
norma( ( t*a + (1-t)*b ) - (t*c1 + (1-t)*c2) ) < e

E isto indica que um ponto arbitrario do segmento que liga "a" e "b" ( t*a 
+ (1-t)*b ) esta a
uma distancia MENOR QUE "e" de um  ponto do segmento que liga "c1" a "c2" ( 
t*c1 + (1-t)*c2).
Ora, X e convexo, logo, todo ponto do segmento que liga C1 a C2 esta em X 
e, portanto, e
centro de uma bola de raio "e". Logo, todo ponto do segmento que liga "a" e 
"b"  esta numa
bola de raio "e" e, portanto, esta na uniao das bolas, logo a uniao da 
bolas e convexo.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
7,1900,200304
From: bruno souza <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] exercício elon
Date: Sat, 20 Mar 2004 18:33:36 -0300 (ART)
Estou escrevendo pela primeira vez. Espero futuramente poder ajudar em 
alguma coisa. Mas no momento estou enviando um exercício do elon que 
espero ser pertinente e o qual não consegui resolver sozinho: Provar que
Dados X contido em R^n, e>0. Seja B(X;e) a reunião das bolas B(x;e), com x 
pertencente a X. Se X é convexo então B(X;e) é Convexo.

Obrigado
_
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Re: [obm-l] exercício elon

[bruno souza]

desculpe-me a informação incompleta. Este exercício é do curso de análise volume 2 capítulo 1 exercicio 4.6. Na verdade, tenho me dedicado a ele mas venho encontrando algumas dificuldades. Agradeço a todos que responderam ao e-mail inicial.
Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
on 20.03.04 18:33, bruno souza at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Estou escrevendo pela primeira vez. Espero futuramente poder ajudar em alguma coisa. Mas no momento estou enviando um exercício do elon que espero ser pertinente e o qual não consegui resolver sozinho: Provar queDados X contido em R^n, e>0. Seja B(X;e) a reunião das bolas B(x;e), com x pertencente a X. Se X é convexo então B(X;e) é Convexo.Obrigado  Oi, Bruno:Apenas mais um detalhe: o Elon escreveu varios livros. De qual deles voce tirou este problema? Do Espacos Metricos?[]s,Claudio.Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!

Re: [obm-l] exercício elon

[bruno souza]

Muito obrigado pelo tempo dedicado a essa questão. Foi de muita ajudaClaudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
on 20.03.04 18:33, bruno souza at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Estou escrevendo pela primeira vez. Espero futuramente poder ajudar em alguma coisa. Mas no momento estou enviando um exercício do elon que espero ser pertinente e o qual não consegui resolver sozinho: Provar queDados X contido em R^n, e>0. Seja B(X;e) a reunião das bolas B(x;e), com x pertencente a X. Se X é convexo então B(X;e) é Convexo.ObrigadoChame de A a uniao das bolas.Se x e y pertencem a A, temos que provar que m*x + (1-m)*y pertence a A para todo m em [0,1].Sejam x_0 e y_0 em X tais que x pertence a B(x_0,e) e y pertence a B(y_0,e).Isso quer dizer que |x - x_0| <= e, |y - y_0| <= e.Como X eh convexo, temos que m*x_0 + (1-m)*y_0 pertence a X para todo m em [0,1].Mas entao, teremos:|(m*x + (1-m)*y) - (m*x_0 + (1-m)*y_0)| = |m*(x - x_0) + (1-m)*(y - y_0)| <=m*|x - x_0| + (1-m)*|y - y_0| <=m*e + (1-m)*e = e.Logo, m*x + (1-m)*y pertence a B(m*x_0 + (1-m)*y_0,e) e, portanto,
 pertence a A.[]s,Claudio.

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[obm-l] RE: [obm-l] exercício elon

[Paulo Santa Rita]

Ola Bruno,

O seu problema e uma boa distracao.

Se "a" e "b"  estao em uma mesma bola entao, usando o fato de que toda bola 
e um conjunto
convexo ( independente da norma usada na definicao de distancia ! ) segue 
que o segmento que
liga "a" com "b" esta inteiramente contido na bola e, portanto, tambem 
pertence a uniao de
todas as bolas.

O caso menos trivial e o seguinte :

Sejam "a" e "b" dois elementos quaisquer da uniao, isto e, "a" e "b" 
pertencem a B(X,e). Segue
que "a" esta em alguma bola Bi(c1,e) e "b" esta em alguma bola Bj(c2,e). Dai 
:

norma(a - c1) < e
norma(b - c2) < e
Mas segue tambem que para qualquer 0 =< t =< 1 teremos :

t*norma(a - c1) < t*e
(1-t)*norma(b - c2) < (1-t)*e
Logo : noma(t*a - t*c1) + norma((1-t)*b - (1-t)*c2) < t*e + (1-t)*e = e
e usando a desigualdade triangular ( valida em qualquer norma ) :
norma( ( t*a + (1-t)*b ) - (t*c1 + (1-t)*c2) ) < e

E isto indica que um ponto arbitrario do segmento que liga "a" e "b" ( t*a + 
(1-t)*b ) esta a
uma distancia MENOR QUE "e" de um  ponto do segmento que liga "c1" a "c2" ( 
t*c1 + (1-t)*c2).
Ora, X e convexo, logo, todo ponto do segmento que liga C1 a C2 esta em X e, 
portanto, e
centro de uma bola de raio "e". Logo, todo ponto do segmento que liga "a" e 
"b"  esta numa
bola de raio "e" e, portanto, esta na uniao das bolas, logo a uniao da bolas 
e convexo.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
7,1900,200304
From: bruno souza <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] exercício elon
Date: Sat, 20 Mar 2004 18:33:36 -0300 (ART)
Estou escrevendo pela primeira vez. Espero futuramente poder ajudar em 
alguma coisa. Mas no momento estou enviando um exercício do elon que espero 
ser pertinente e o qual não consegui resolver sozinho: Provar que
Dados X contido em R^n, e>0. Seja B(X;e) a reunião das bolas B(x;e), com x 
pertencente a X. Se X é convexo então B(X;e) é Convexo.

Obrigado
_
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Re: [obm-l] exercício elon

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] exercício elon



on 20.03.04 18:33, bruno souza at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Estou escrevendo pela primeira vez. Espero futuramente poder ajudar em alguma coisa. Mas no momento estou enviando um exercício do elon que espero ser pertinente e o qual não consegui resolver sozinho: Provar que
Dados X contido em R^n, e>0. Seja B(X;e) a reunião das bolas B(x;e), com x pertencente a X. Se X é convexo então B(X;e) é Convexo.
 
Obrigado

   
Oi, Bruno:

Apenas mais um detalhe: o Elon escreveu varios livros. De qual deles voce tirou este problema? Do Espacos Metricos?


[]s,
Claudio.

Re: [obm-l] exercício elon

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] exercício elon



on 20.03.04 18:33, bruno souza at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Estou escrevendo pela primeira vez. Espero futuramente poder ajudar em alguma coisa. Mas no momento estou enviando um exercício do elon que espero ser pertinente e o qual não consegui resolver sozinho: Provar que
Dados X contido em R^n, e>0. Seja B(X;e) a reunião das bolas B(x;e), com x pertencente a X. Se X é convexo então B(X;e) é Convexo.
 
Obrigado


Chame de A a uniao das bolas.
Se x e y pertencem a A, temos que provar que m*x + (1-m)*y pertence a A para todo m em [0,1].

Sejam x_0 e y_0 em X tais que x pertence a B(x_0,e) e y pertence a B(y_0,e).
Isso quer dizer que |x - x_0| <= e, |y - y_0| <= e.

Como X eh convexo, temos que m*x_0 + (1-m)*y_0 pertence a X para todo m em [0,1].

Mas entao, teremos:
|(m*x + (1-m)*y) - (m*x_0 + (1-m)*y_0)| = 
|m*(x - x_0) + (1-m)*(y - y_0)| <=
m*|x - x_0| + (1-m)*|y - y_0| <=
m*e + (1-m)*e = e.

Logo, m*x + (1-m)*y pertence a B(m*x_0 + (1-m)*y_0,e) e, portanto, pertence a A.


[]s,
Claudio.






 

[obm-l] exercício elon

[bruno souza]

Estou escrevendo pela primeira vez. Espero futuramente poder ajudar em alguma coisa. Mas no momento estou enviando um exercício do elon que espero ser pertinente e o qual não consegui resolver sozinho: Provar que
Dados X contido em R^n, e>0. Seja B(X;e) a reunião das bolas B(x;e), com x pertencente a X. Se X é convexo então B(X;e) é Convexo.
 
ObrigadoYahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!