Re: [obm-l] probleminhas de geometria
Olá, Claudio! Bom dia! Muito obrigado! Vou ler o artigo! Um abraço! Luiz On Sat, Mar 31, 2018, 8:36 PM Claudio Buffara wrote: > E a Wikipédia tem um artigo sobre o teorema de Ptolomeu (em inglês: > Prolemy’s Theorem) > > Abs > > Enviado do meu iPhone > > Em 31 de mar de 2018, à(s) 18:03, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > > Olá, Anderson! > Boa noite! > Muito obrigado pela sugestão. > Um abraço! > Luiz > > On Sat, Mar 31, 2018, 4:51 PM Anderson Torres < > torres.anderson...@gmail.com> wrote: > >> Em 31 de março de 2018 14:09, Luiz Antonio Rodrigues >> escreveu: >> > Olá, Sergio! >> > Muito obrigado pela dica! >> > Um abraço para você também! >> > Luiz >> > >> > On Sat, Mar 31, 2018, 1:36 PM Sergio Lima wrote: >> >> >> >> Eu sugeriria >> >> >> >> A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II, >> >> Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller). >> >> >> Geometry Revisited do Coxeter é uma boa pedida. >> >> >> >> >> Abraço, >> >> sergio >> >> >> >> 2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues < >> rodrigue...@gmail.com>: >> >>> >> >>> Olá, pessoal! >> >>> Boa tarde! >> >>> Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu... >> >>> A conclusão é que nunca estudei Geometria por um livro realmente >> bom. >> >>> Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês. >> >>> Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos! >> >>> Um abraço! >> >>> Luiz >> >>> >> >>> On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> >> >>> wrote: >> >> Boa! >> Complexos são realmente uma ferramenta poderosa. >> >> Outra solução usa geometria analÃtica no R^3. >> >> Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a). >> O cÃrculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) >> com a >> esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2. >> >> P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2 >> = (x-a)^2 + y^2 + z^2  +  x^2 + (y-a)^2 + z^2  +  >> x^2 + y^2 + >> (z-a)^2 >> = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z) >> = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2 >> = 3r^2 + a^2. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima >> : >> > >> > Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai >> > usando complexos, vamos ver, >> > >> > O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde >> z1 é >> > o conjugado de Z1. >> > >> > Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o >> > triangulo equilatero por z^3-k^3=0 . >> > >> > Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo >> > A=3r^2+3k^2. >> > >> > Pronto morreu. >> > >> > >> > Um abraco >> > Douglas Oliveira. >> > Mas o valor de A será >> > >> > >> > Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" >> > escreveu: >> > >> > Achei estes dois bonitinhos: >> > >> > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita >> a um >> > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. >> > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica >> com o >> > incÃrculo (tem uma demonstração legal para o circumcÃrculo >> usando o teorema >> > de Ptolomeu). >> > >> > >> > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepÃpedo retângulo de base >> quadrada >> > e tem cobertura no topo e nas quatro faces. >> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um >> receba a >> > mesma quantidade de bolo e de cobertura. >> > >> > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e >> dividir a >> > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. >> > >> > []s, >> > Claudio. >> > >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >>> >> >>> >> >>> -- >> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> >> >> >> >> -- >> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> >> acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>  acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/ob
Re: [obm-l] probleminhas de geometria
E a Wikipédia tem um artigo sobre o teorema de Ptolomeu (em inglês: Prolemy’s Theorem) Abs Enviado do meu iPhone Em 31 de mar de 2018, à(s) 18:03, Luiz Antonio Rodrigues escreveu: > Olá, Anderson! > Boa noite! > Muito obrigado pela sugestão. > Um abraço! > Luiz > >> On Sat, Mar 31, 2018, 4:51 PM Anderson Torres >> wrote: >> Em 31 de março de 2018 14:09, Luiz Antonio Rodrigues >> escreveu: >> > Olá, Sergio! >> > Muito obrigado pela dica! >> > Um abraço para você também! >> > Luiz >> > >> > On Sat, Mar 31, 2018, 1:36 PM Sergio Lima wrote: >> >> >> >> Eu sugeriria >> >> >> >> A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II, >> >> Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller). >> >> >> Geometry Revisited do Coxeter é uma boa pedida. >> >> >> >> >> Abraço, >> >> sergio >> >> >> >> 2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues : >> >>> >> >>> Olá, pessoal! >> >>> Boa tarde! >> >>> Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu... >> >>> A conclusão é que nunca estudei Geometria por um livro realmente bom. >> >>> Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês. >> >>> Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos! >> >>> Um abraço! >> >>> Luiz >> >>> >> >>> On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara >> >>> wrote: >> >> Boa! >> Complexos são realmente uma ferramenta poderosa. >> >> Outra solução usa geometria analÃtica no R^3. >> >> Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a). >> O cÃrculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) >> com a >> esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2. >> >> P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2 >> = (x-a)^2 + y^2 + z^2  +  x^2 + (y-a)^2 + z^2  +  x^2 + >> y^2 + >> (z-a)^2 >> = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z) >> = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2 >> = 3r^2 + a^2. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima >> : >> > >> > Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai >> > usando complexos, vamos ver, >> > >> > O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 >> > é >> > o conjugado de Z1. >> > >> > Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o >> > triangulo equilatero por z^3-k^3=0 . >> > >> > Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo >> > A=3r^2+3k^2. >> > >> > Pronto morreu. >> > >> > >> > Um abraco >> > Douglas Oliveira. >> > Mas o valor de A será >> > >> > >> > Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" >> > escreveu: >> > >> > Achei estes dois bonitinhos: >> > >> > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a >> > um >> > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. >> > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com >> > o >> > incÃrculo (tem uma demonstração legal para o circumcÃrculo usando >> > o teorema >> > de Ptolomeu). >> > >> > >> > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepÃpedo retângulo de base >> > quadrada >> > e tem cobertura no topo e nas quatro faces. >> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a >> > mesma quantidade de bolo e de cobertura. >> > >> > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir >> > a >> > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. >> > >> > []s, >> > Claudio. >> > >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >>> >> >>> >> >>> -- >> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> >> >> >> >> -- >> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> >> acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>  acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Es
Re: [obm-l] probleminhas de geometria
Olá, Anderson! Boa noite! Muito obrigado pela sugestão. Um abraço! Luiz On Sat, Mar 31, 2018, 4:51 PM Anderson Torres wrote: > Em 31 de março de 2018 14:09, Luiz Antonio Rodrigues > escreveu: > > Olá, Sergio! > > Muito obrigado pela dica! > > Um abraço para você também! > > Luiz > > > > On Sat, Mar 31, 2018, 1:36 PM Sergio Lima wrote: > >> > >> Eu sugeriria > >> > >> A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II, > >> Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller). > > > Geometry Revisited do Coxeter é uma boa pedida. > > >> > >> Abraço, > >> sergio > >> > >> 2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com>: > >>> > >>> Olá, pessoal! > >>> Boa tarde! > >>> Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu... > >>> A conclusão é que nunca estudei Geometria por um livro realmente bom. > >>> Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês. > >>> Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos! > >>> Um abraço! > >>> Luiz > >>> > >>> On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> > >>> wrote: > > Boa! > Complexos são realmente uma ferramenta poderosa. > > Outra solução usa geometria analítica no R^3. > > Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a). > O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a > esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2. > > P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2 > = (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 + > (z-a)^2 > = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z) > = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2 > = 3r^2 + a^2. > > []s, > Claudio. > > > 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima > : > > > > Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai > > usando complexos, vamos ver, > > > > O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde > z1 é > > o conjugado de Z1. > > > > Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o > > triangulo equilatero por z^3-k^3=0 . > > > > Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo > > A=3r^2+3k^2. > > > > Pronto morreu. > > > > > > Um abraco > > Douglas Oliveira. > > Mas o valor de A será > > > > > > Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" > > escreveu: > > > > Achei estes dois bonitinhos: > > > > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a > um > > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. > > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com > o > > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o > teorema > > de Ptolomeu). > > > > > > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base > quadrada > > e tem cobertura no topo e nas quatro faces. > > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um > receba a > > mesma quantidade de bolo e de cobertura. > > > > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir > a > > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. > > > > []s, > > Claudio. > > > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > >>> > >>> > >>> -- > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >>> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] probleminhas de geometria
Em 31 de março de 2018 14:09, Luiz Antonio Rodrigues escreveu: > Olá, Sergio! > Muito obrigado pela dica! > Um abraço para você também! > Luiz > > On Sat, Mar 31, 2018, 1:36 PM Sergio Lima wrote: >> >> Eu sugeriria >> >> A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II, >> Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller). Geometry Revisited do Coxeter é uma boa pedida. >> >> Abraço, >> sergio >> >> 2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues : >>> >>> Olá, pessoal! >>> Boa tarde! >>> Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu... >>> A conclusão é que nunca estudei Geometria por um livro realmente bom. >>> Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês. >>> Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos! >>> Um abraço! >>> Luiz >>> >>> On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara >>> wrote: Boa! Complexos são realmente uma ferramenta poderosa. Outra solução usa geometria analítica no R^3. Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a). O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2. P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2 = (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 + (z-a)^2 = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z) = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2 = 3r^2 + a^2. []s, Claudio. 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima : > > Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai > usando complexos, vamos ver, > > O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 é > o conjugado de Z1. > > Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o > triangulo equilatero por z^3-k^3=0 . > > Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo > A=3r^2+3k^2. > > Pronto morreu. > > > Um abraco > Douglas Oliveira. > Mas o valor de A será > > > Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" > escreveu: > > Achei estes dois bonitinhos: > > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o > teorema > de Ptolomeu). > > > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada > e tem cobertura no topo e nas quatro faces. > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a > mesma quantidade de bolo e de cobertura. > > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. > > []s, > Claudio. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] probleminhas de geometria
Olá, Sergio! Muito obrigado pela dica! Um abraço para você também! Luiz On Sat, Mar 31, 2018, 1:36 PM Sergio Lima wrote: > Eu sugeriria > > A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II, > Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller). > > Abraço, > sergio > > 2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues : > >> Olá, pessoal! >> Boa tarde! >> Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu... >> A conclusão é que nunca estudei Geometria por um livro realmente bom. >> Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês. >> Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos! >> Um abraço! >> Luiz >> >> On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara >> wrote: >> >>> Boa! >>> Complexos são realmente uma ferramenta poderosa. >>> >>> Outra solução usa geometria analítica no R^3. >>> >>> Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a). >>> O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a >>> esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2. >>> >>> P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2 >>> = (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 + >>> (z-a)^2 >>> = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z) >>> = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2 >>> = 3r^2 + a^2. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < >>> profdouglaso.del...@gmail.com>: >>> Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai usando complexos, vamos ver, O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 é o conjugado de Z1. Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o triangulo equilatero por z^3-k^3=0 . Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo A=3r^2+3k^2. Pronto morreu. Um abraco Douglas Oliveira. Mas o valor de A será Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: Achei estes dois bonitinhos: 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema de Ptolomeu). 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e tem cobertura no topo e nas quatro faces. Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a mesma quantidade de bolo e de cobertura. Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. []s, Claudio. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] probleminhas de geometria
Eu sugeriria A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II, Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller). Abraço, sergio 2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues : > Olá, pessoal! > Boa tarde! > Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu... > A conclusão é que nunca estudei Geometria por um livro realmente bom. > Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês. > Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos! > Um abraço! > Luiz > > On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara > wrote: > >> Boa! >> Complexos são realmente uma ferramenta poderosa. >> >> Outra solução usa geometria analítica no R^3. >> >> Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a). >> O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a >> esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2. >> >> P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2 >> = (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 + >> (z-a)^2 >> = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z) >> = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2 >> = 3r^2 + a^2. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < >> profdouglaso.del...@gmail.com>: >> >>> Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai >>> usando complexos, vamos ver, >>> >>> O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 é >>> o conjugado de Z1. >>> >>> Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o >>> triangulo equilatero por z^3-k^3=0 . >>> >>> Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo A=3r^2+3k^2. >>> >>> Pronto morreu. >>> >>> >>> Um abraco >>> Douglas Oliveira. >>> Mas o valor de A será >>> >>> >>> Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" >>> escreveu: >>> >>> Achei estes dois bonitinhos: >>> >>> 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um >>> triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. >>> 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o >>> incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema >>> de Ptolomeu). >>> >>> >>> 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e >>> tem cobertura no topo e nas quatro faces. >>> Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a >>> mesma quantidade de bolo e de cobertura. >>> >>> Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a >>> gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] probleminhas de geometria
Olá, pessoal! Boa tarde! Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu... A conclusão é que nunca estudei Geometria por um livro realmente bom. Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês. Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos! Um abraço! Luiz On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara wrote: > Boa! > Complexos são realmente uma ferramenta poderosa. > > Outra solução usa geometria analítica no R^3. > > Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a). > O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a > esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2. > > P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2 > = (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 + > (z-a)^2 > = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z) > = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2 > = 3r^2 + a^2. > > []s, > Claudio. > > > 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com>: > >> Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai usando >> complexos, vamos ver, >> >> O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 é >> o conjugado de Z1. >> >> Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o >> triangulo equilatero por z^3-k^3=0 . >> >> Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo A=3r^2+3k^2. >> >> Pronto morreu. >> >> >> Um abraco >> Douglas Oliveira. >> Mas o valor de A será >> >> >> Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" >> escreveu: >> >> Achei estes dois bonitinhos: >> >> 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um >> triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. >> 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o >> incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema >> de Ptolomeu). >> >> >> 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e >> tem cobertura no topo e nas quatro faces. >> Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a >> mesma quantidade de bolo e de cobertura. >> >> Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a >> gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] probleminhas de geometria
Boa! Complexos são realmente uma ferramenta poderosa. Outra solução usa geometria analítica no R^3. Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a). O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2. P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2 = (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 + (z-a)^2 = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z) = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2 = 3r^2 + a^2. []s, Claudio. 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com>: > Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai usando > complexos, vamos ver, > > O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 é o > conjugado de Z1. > > Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o > triangulo equilatero por z^3-k^3=0 . > > Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo A=3r^2+3k^2. > > Pronto morreu. > > > Um abraco > Douglas Oliveira. > Mas o valor de A será > > > Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" > escreveu: > > Achei estes dois bonitinhos: > > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema > de Ptolomeu). > > > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e > tem cobertura no topo e nas quatro faces. > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a > mesma quantidade de bolo e de cobertura. > > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. > > []s, > Claudio. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] probleminhas de geometria
Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai usando complexos, vamos ver, O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 é o conjugado de Z1. Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o triangulo equilatero por z^3-k^3=0 . Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo A=3r^2+3k^2. Pronto morreu. Um abraco Douglas Oliveira. Mas o valor de A será Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" escreveu: Achei estes dois bonitinhos: 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema de Ptolomeu). 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e tem cobertura no topo e nas quatro faces. Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a mesma quantidade de bolo e de cobertura. Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. []s, Claudio. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] probleminhas de geometria
Outra dica: pense na versão em que o bolo é um prisma reto de base triangular (não necessariamente equilátera). Como você dividiria este bolo em 2 pedaços? E em 3? Em n pedaços? Prove que o problema tem solução para todo n. 2018-03-27 22:07 GMT-03:00 Claudio Buffara : > > > 2018-03-27 21:40 GMT-03:00 Anderson Torres : > >> Em 27 de março de 2018 21:16, Claudio Buffara >> escreveu: >> > Acho que você viajou no chocolate... >> > >> > Matematicamente falando, a ideia é particionar um prisma reto de base >> > quadrada, cujo topo e as quatro faces (mas não a base) foram pintadas, >> >> Ah! Então a cobertura é uma "lâmina", e não uma capa grossa... >> >> Sim. > > >> A solução mais trivial para o caso de potências de dois é meramente >> fazer cortes radiais. Tenso é garantir que isso de alguma forma vale >> para o caso geral: traçar raios partindo do centro do bolo que dividem >> área e volume igualmente. Preciso fazer contas antes de verificar se >> isso pode ser feito! >> >> Faça as contas. > > >> Mais uma coisa: acredito que por transformação afim seja possível >> resolver isso para um bolo cúbico... >> >> Mas um cubo é um prisma de base quadrada. > A transformação afim é apenas um achatamento (ou alongamento) na direção > vertical. > Só que eu não acho que fica mais fácil com um cubo. > > >> > em >> > sete prismas retos (ou seja, os cortes são todos planos e verticais - >> isso >> > não era parte do enunciado original, mas é uma restrição que talvez >> ajude), >> > todos com o mesmo volume e com a mesma área pintada. >> > >> > Dicas: >> > 1) Dividir o bolo em 2, 4 ou 8 pedaços nestas condições é trivial, >> certo? E >> > dividir em 3 pedaços? >> > 2) A solução que eu conheço envolve geometria plana elementar. Mas você >> > precisa de uma ideia. Acho que resolvendo o problema da divisão em 3 >> pedaços >> > você não só resolverá o problema original como também conseguirá >> generalizar >> > pra outros formatos de bolo. >> > 3) Você quer pedaços em que o volume seja proporcional à área pintada. >> > >> > >> > >> > 2018-03-27 20:44 GMT-03:00 Anderson Torres < >> torres.anderson...@gmail.com>: >> >> >> >> Em 27 de março de 2018 11:53, Claudio Buffara >> >> escreveu: >> >> > Achei estes dois bonitinhos: >> >> > >> >> > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a >> um >> >> > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. >> >> > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com >> o >> >> > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o >> >> > teorema >> >> > de Ptolomeu). >> >> > >> >> > >> >> > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base >> quadrada e >> >> > tem >> >> > cobertura no topo e nas quatro faces. >> >> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um >> receba a >> >> > mesma quantidade de bolo e de cobertura. >> >> >> >> Nenhuma suposição acerca da homogeneidade da mistura? >> >> >> >> Eu por exemplo estou supondo que isto seja equivalente a um copo >> >> "paralelepipédico" feito de chocolate recheado com um doce de leite >> >> bem consistente, e que ambos os ingredientes são homogêneos, no >> >> sentido de que não existem bolhas de ar no doce nem concetrações de >> >> alta densidade de cacau em pontos desconhecidos. >> >> >> >> Não sei por que, eu me lembrei do teorema do sanduba, em que é >> >> possível cortar um sanduíche pão-presunto-pão, com um só corte de modo >> >> a dividir cada ingrediente ao meio. >> >> >> >> Minha tentativa tosca, por ora, é cortar o fundo do copo de chocolate >> >> e dividi-lo em sete, e depois cortar em sete partes o rocambole >> >> restante. É melhor que o liquidificador, vai... >> >> >> >> >> >> > >> >> > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir >> a >> >> > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. >> >> > >> >> > []s, >> >> > Claudio. >> >> > >> >> > >> >> > >> >> > -- >> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> >> >> >> = >> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> >> >> = >> > >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- E
Re: [obm-l] probleminhas de geometria
2018-03-27 21:40 GMT-03:00 Anderson Torres : > Em 27 de março de 2018 21:16, Claudio Buffara > escreveu: > > Acho que você viajou no chocolate... > > > > Matematicamente falando, a ideia é particionar um prisma reto de base > > quadrada, cujo topo e as quatro faces (mas não a base) foram pintadas, > > Ah! Então a cobertura é uma "lâmina", e não uma capa grossa... > > Sim. > A solução mais trivial para o caso de potências de dois é meramente > fazer cortes radiais. Tenso é garantir que isso de alguma forma vale > para o caso geral: traçar raios partindo do centro do bolo que dividem > área e volume igualmente. Preciso fazer contas antes de verificar se > isso pode ser feito! > > Faça as contas. > Mais uma coisa: acredito que por transformação afim seja possível > resolver isso para um bolo cúbico... > > Mas um cubo é um prisma de base quadrada. A transformação afim é apenas um achatamento (ou alongamento) na direção vertical. Só que eu não acho que fica mais fácil com um cubo. > > em > > sete prismas retos (ou seja, os cortes são todos planos e verticais - > isso > > não era parte do enunciado original, mas é uma restrição que talvez > ajude), > > todos com o mesmo volume e com a mesma área pintada. > > > > Dicas: > > 1) Dividir o bolo em 2, 4 ou 8 pedaços nestas condições é trivial, > certo? E > > dividir em 3 pedaços? > > 2) A solução que eu conheço envolve geometria plana elementar. Mas você > > precisa de uma ideia. Acho que resolvendo o problema da divisão em 3 > pedaços > > você não só resolverá o problema original como também conseguirá > generalizar > > pra outros formatos de bolo. > > 3) Você quer pedaços em que o volume seja proporcional à área pintada. > > > > > > > > 2018-03-27 20:44 GMT-03:00 Anderson Torres >: > >> > >> Em 27 de março de 2018 11:53, Claudio Buffara > >> escreveu: > >> > Achei estes dois bonitinhos: > >> > > >> > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a > um > >> > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. > >> > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o > >> > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o > >> > teorema > >> > de Ptolomeu). > >> > > >> > > >> > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base > quadrada e > >> > tem > >> > cobertura no topo e nas quatro faces. > >> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba > a > >> > mesma quantidade de bolo e de cobertura. > >> > >> Nenhuma suposição acerca da homogeneidade da mistura? > >> > >> Eu por exemplo estou supondo que isto seja equivalente a um copo > >> "paralelepipédico" feito de chocolate recheado com um doce de leite > >> bem consistente, e que ambos os ingredientes são homogêneos, no > >> sentido de que não existem bolhas de ar no doce nem concetrações de > >> alta densidade de cacau em pontos desconhecidos. > >> > >> Não sei por que, eu me lembrei do teorema do sanduba, em que é > >> possível cortar um sanduíche pão-presunto-pão, com um só corte de modo > >> a dividir cada ingrediente ao meio. > >> > >> Minha tentativa tosca, por ora, é cortar o fundo do copo de chocolate > >> e dividi-lo em sete, e depois cortar em sete partes o rocambole > >> restante. É melhor que o liquidificador, vai... > >> > >> > >> > > >> > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a > >> > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. > >> > > >> > []s, > >> > Claudio. > >> > > >> > > >> > > >> > -- > >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> > acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> > = > >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > >> > = > > > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] probleminhas de geometria
Em 27 de março de 2018 21:16, Claudio Buffara escreveu: > Acho que você viajou no chocolate... > > Matematicamente falando, a ideia é particionar um prisma reto de base > quadrada, cujo topo e as quatro faces (mas não a base) foram pintadas, Ah! Então a cobertura é uma "lâmina", e não uma capa grossa... A solução mais trivial para o caso de potências de dois é meramente fazer cortes radiais. Tenso é garantir que isso de alguma forma vale para o caso geral: traçar raios partindo do centro do bolo que dividem área e volume igualmente. Preciso fazer contas antes de verificar se isso pode ser feito! Mais uma coisa: acredito que por transformação afim seja possível resolver isso para um bolo cúbico... > em > sete prismas retos (ou seja, os cortes são todos planos e verticais - isso > não era parte do enunciado original, mas é uma restrição que talvez ajude), > todos com o mesmo volume e com a mesma área pintada. > > Dicas: > 1) Dividir o bolo em 2, 4 ou 8 pedaços nestas condições é trivial, certo? E > dividir em 3 pedaços? > 2) A solução que eu conheço envolve geometria plana elementar. Mas você > precisa de uma ideia. Acho que resolvendo o problema da divisão em 3 pedaços > você não só resolverá o problema original como também conseguirá generalizar > pra outros formatos de bolo. > 3) Você quer pedaços em que o volume seja proporcional à área pintada. > > > > 2018-03-27 20:44 GMT-03:00 Anderson Torres : >> >> Em 27 de março de 2018 11:53, Claudio Buffara >> escreveu: >> > Achei estes dois bonitinhos: >> > >> > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um >> > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. >> > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o >> > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o >> > teorema >> > de Ptolomeu). >> > >> > >> > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e >> > tem >> > cobertura no topo e nas quatro faces. >> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a >> > mesma quantidade de bolo e de cobertura. >> >> Nenhuma suposição acerca da homogeneidade da mistura? >> >> Eu por exemplo estou supondo que isto seja equivalente a um copo >> "paralelepipédico" feito de chocolate recheado com um doce de leite >> bem consistente, e que ambos os ingredientes são homogêneos, no >> sentido de que não existem bolhas de ar no doce nem concetrações de >> alta densidade de cacau em pontos desconhecidos. >> >> Não sei por que, eu me lembrei do teorema do sanduba, em que é >> possível cortar um sanduíche pão-presunto-pão, com um só corte de modo >> a dividir cada ingrediente ao meio. >> >> Minha tentativa tosca, por ora, é cortar o fundo do copo de chocolate >> e dividi-lo em sete, e depois cortar em sete partes o rocambole >> restante. É melhor que o liquidificador, vai... >> >> >> > >> > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a >> > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. >> > >> > []s, >> > Claudio. >> > >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] probleminhas de geometria
Acho que você viajou no chocolate... Matematicamente falando, a ideia é particionar um prisma reto de base quadrada, cujo topo e as quatro faces (mas não a base) foram pintadas, em sete prismas retos (ou seja, os cortes são todos planos e verticais - isso não era parte do enunciado original, mas é uma restrição que talvez ajude), todos com o mesmo volume e com a mesma área pintada. Dicas: 1) Dividir o bolo em 2, 4 ou 8 pedaços nestas condições é trivial, certo? E dividir em 3 pedaços? 2) A solução que eu conheço envolve geometria plana elementar. Mas você precisa de uma ideia. Acho que resolvendo o problema da divisão em 3 pedaços você não só resolverá o problema original como também conseguirá generalizar pra outros formatos de bolo. 3) Você quer pedaços em que o volume seja proporcional à área pintada. 2018-03-27 20:44 GMT-03:00 Anderson Torres : > Em 27 de março de 2018 11:53, Claudio Buffara > escreveu: > > Achei estes dois bonitinhos: > > > > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um > > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. > > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o > > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o > teorema > > de Ptolomeu). > > > > > > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e > tem > > cobertura no topo e nas quatro faces. > > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a > > mesma quantidade de bolo e de cobertura. > > Nenhuma suposição acerca da homogeneidade da mistura? > > Eu por exemplo estou supondo que isto seja equivalente a um copo > "paralelepipédico" feito de chocolate recheado com um doce de leite > bem consistente, e que ambos os ingredientes são homogêneos, no > sentido de que não existem bolhas de ar no doce nem concetrações de > alta densidade de cacau em pontos desconhecidos. > > Não sei por que, eu me lembrei do teorema do sanduba, em que é > possível cortar um sanduíche pão-presunto-pão, com um só corte de modo > a dividir cada ingrediente ao meio. > > Minha tentativa tosca, por ora, é cortar o fundo do copo de chocolate > e dividi-lo em sete, e depois cortar em sete partes o rocambole > restante. É melhor que o liquidificador, vai... > > > > > > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a > > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. > > > > []s, > > Claudio. > > > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] probleminhas de geometria
Em 27 de março de 2018 11:53, Claudio Buffara escreveu: > Achei estes dois bonitinhos: > > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema > de Ptolomeu). > > > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e tem > cobertura no topo e nas quatro faces. > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a > mesma quantidade de bolo e de cobertura. Nenhuma suposição acerca da homogeneidade da mistura? Eu por exemplo estou supondo que isto seja equivalente a um copo "paralelepipédico" feito de chocolate recheado com um doce de leite bem consistente, e que ambos os ingredientes são homogêneos, no sentido de que não existem bolhas de ar no doce nem concetrações de alta densidade de cacau em pontos desconhecidos. Não sei por que, eu me lembrei do teorema do sanduba, em que é possível cortar um sanduíche pão-presunto-pão, com um só corte de modo a dividir cada ingrediente ao meio. Minha tentativa tosca, por ora, é cortar o fundo do copo de chocolate e dividi-lo em sete, e depois cortar em sete partes o rocambole restante. É melhor que o liquidificador, vai... > > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. > > []s, > Claudio. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] probleminhas de geometria
Achei estes dois bonitinhos: 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante. 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema de Ptolomeu). 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e tem cobertura no topo e nas quatro faces. Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a mesma quantidade de bolo e de cobertura. Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida. []s, Claudio. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
