Re: [obm-l] Artigos de Eureka
Boa tarde! Nem notara a especificação "separados". Só conhecia a revista como um todo mesmo. Sds, PJMS Em qua, 26 de set de 2018 às 10:38, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Eu notei há algum tempo que tiraram do ar. Não sei porque. > Assim, você vai ter que procurar em cada exemplar. > > []s, > Claudio. > > > On Wed, Sep 26, 2018 at 10:29 AM Pedro Júnior > wrote: > >> Obrigado, José! Mas é que eu estava procurando os artigos separados da >> revista. Mas, como tem em word, fica até melhor. >> >> >> Mais uma vez, obrigado! >> >> Em ter, 25 de set de 2018 21:15, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa noite! >>> >>> Não só para PDF Creator, mas para Word também. >>> Bons estudos! >>> >>> >>> https://www.obm.org.br/revista-eureka/ >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> Em ter, 25 de set de 2018 às 16:18, Pedro Júnior < >>> pedromatematic...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Aqueles artigos de Eureka separados da revista em pdf tiraram do ar ou >>>> estão em algum lugar? Não consigo encontrá-los. Se alguém tiver o link ou >>>> souber de alguma coisa me avisa aqui. obrigado! >>>> >>>> -- >>>> >>>> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior >>>> >>>> Professor de Matemática >>>> >>>> João Pessoa – PB >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Artigos de Eureka
Eu notei há algum tempo que tiraram do ar. Não sei porque. Assim, você vai ter que procurar em cada exemplar. []s, Claudio. On Wed, Sep 26, 2018 at 10:29 AM Pedro Júnior wrote: > Obrigado, José! Mas é que eu estava procurando os artigos separados da > revista. Mas, como tem em word, fica até melhor. > > > Mais uma vez, obrigado! > > Em ter, 25 de set de 2018 21:15, Pedro José > escreveu: > >> Boa noite! >> >> Não só para PDF Creator, mas para Word também. >> Bons estudos! >> >> >> https://www.obm.org.br/revista-eureka/ >> >> Saudações, >> PJMS >> >> Em ter, 25 de set de 2018 às 16:18, Pedro Júnior < >> pedromatematic...@gmail.com> escreveu: >> >>> Aqueles artigos de Eureka separados da revista em pdf tiraram do ar ou >>> estão em algum lugar? Não consigo encontrá-los. Se alguém tiver o link ou >>> souber de alguma coisa me avisa aqui. obrigado! >>> >>> -- >>> >>> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior >>> >>> Professor de Matemática >>> >>> João Pessoa – PB >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Artigos de Eureka
Obrigado, José! Mas é que eu estava procurando os artigos separados da revista. Mas, como tem em word, fica até melhor. Mais uma vez, obrigado! Em ter, 25 de set de 2018 21:15, Pedro José escreveu: > Boa noite! > > Não só para PDF Creator, mas para Word também. > Bons estudos! > > > https://www.obm.org.br/revista-eureka/ > > Saudações, > PJMS > > Em ter, 25 de set de 2018 às 16:18, Pedro Júnior < > pedromatematic...@gmail.com> escreveu: > >> Aqueles artigos de Eureka separados da revista em pdf tiraram do ar ou >> estão em algum lugar? Não consigo encontrá-los. Se alguém tiver o link ou >> souber de alguma coisa me avisa aqui. obrigado! >> >> -- >> >> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior >> >> Professor de Matemática >> >> João Pessoa – PB >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Artigos de Eureka
Boa noite! Não só para PDF Creator, mas para Word também. Bons estudos! https://www.obm.org.br/revista-eureka/ Saudações, PJMS Em ter, 25 de set de 2018 às 16:18, Pedro Júnior < pedromatematic...@gmail.com> escreveu: > Aqueles artigos de Eureka separados da revista em pdf tiraram do ar ou > estão em algum lugar? Não consigo encontrá-los. Se alguém tiver o link ou > souber de alguma coisa me avisa aqui. obrigado! > > -- > > Pedro Jerônimo S. de O. Júnior > > Professor de Matemática > > João Pessoa – PB > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Artigos de Eureka
Aqueles artigos de Eureka separados da revista em pdf tiraram do ar ou estão em algum lugar? Não consigo encontrá-los. Se alguém tiver o link ou souber de alguma coisa me avisa aqui. obrigado! -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Eureka e outros suas soluções
http://www.mathlinks.ro Se lá não tem as soluções, você pode postar e quem sabe obter uma resposta. Em 15 de fevereiro de 2014 04:53, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.brescreveu: Meus amigos, a revista Eureka traz as últimas questões de olimpiadas, e excelentes artigos. Alguém sabe se existe algum site que contenha algumas dessas SOLUÇÕES/RESPOSTAS. Obrigado Hermann -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Eureka e outros suas soluções
Meus amigos, a revista Eureka traz as últimas questões de olimpiadas, e excelentes artigos. Alguém sabe se existe algum site que contenha algumas dessas SOLUÇÕES/RESPOSTAS. Obrigado Hermann -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] soma da Eureka
Sauda,c~oes,
Muito bom, Marcos. Obrigado.
Pra terminar esta série de msgs, gostaria de tratar do problema 6 na p. 38,
S(1921) = f(1) + .. + f(1921) para f(k) = 1/(sqr(k) + sqr(k^2 - 1))
Encontrei S(1921) = (sqr(2)/2)(sqr(1922) + sqr(1921) - 1).
Esta certo?
Luis
Date: Mon, 30 Dec 2013 20:34:20 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Na linha seguinte:
* {1/2 . sum{k = 2}^{100} [-1/k + 1/(k - 1)]}
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
Uma pequena correção na escrita (quinta linha):
* = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 2}^{100} 1/(k^2 - k + 1)
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k + 1)/(k^2 + k
+ 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2 - k +1)] .
Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1) = [1/2
. sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2 . sum{k =
1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k +
1) 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k - 1)]} = 1/2 . f(100)
+ 1/2 . (1 - 1/100).
Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) 1/2 =
101/10101 + 1 - 1/100 1 = 101/10101 1/100 = 10100 10101 (V). c.q.d
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] soma da Eureka
1/sqr[x + sqr(x^2 - 1)] = sqr[x - sqr(x^2 - 1)] = sqr[(x + 1)/2) -
sqr[(x - 1)/2).
Assim:
sum_(i = 1)^(1921) f(i) = sum_(i = 1)^(1921) sqr[(i + 1)/2) - sum_(i =
1)^(1921) sqr[(i - 1)/2) = sqr(1922/2) + sqr(1921/2) - sqr(1/2).
Em terça-feira, 31 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Sauda,c~oes,
Muito bom, Marcos. Obrigado.
Pra terminar esta série de msgs, gostaria de tratar do
problema 6 na p. 38,
S(1921) = f(1) + .. + f(1921) para f(k) = 1/(sqr(k) + sqr(k^2 - 1))
Encontrei S(1921) = (sqr(2)/2)(sqr(1922) + sqr(1921) - 1).
Esta certo?
Luis
--
Date: Mon, 30 Dec 2013 20:34:20 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Na linha seguinte:
* {1/2 . sum{k = 2}^{100} [-1/k + 1/(k - 1)]}
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
Uma pequena correção na escrita (quinta linha):
* = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 2}^{100} 1/(k^2 - k + 1)
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k +
1)/(k^2 + k + 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2
- k +1)] .
Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1) =
[1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2 .
sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100}
1/(k^2 - k + 1) 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k -
1)]} = 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100).
Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) 1/2 =
101/10101 + 1 - 1/100 1 = 101/10101 1/100 = 10100 10101 (V). c.q.d
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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RE: [obm-l] soma da Eureka
Sauda,c~oes,
Obrigado Marcos.
No problema 8, f(k) = 1/(k^4 + k^2 + 1).
Conheço uma forma fechada para g(k) = k/(k^4 + k^2 + 1).
Como f(k) = g(k) e \sum g(k) 1/2, então \sum f(k) 1/2.
Alguém tem outra solução ?
Luis
Date: Sun, 29 Dec 2013 22:26:08 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
f(x) + f(1 - x) = a^x/(a^x + sqr(a)) + a^(1 - x)/[a^(1 - x) + sqr(a)] =
a^x/(a^x + sqr(a)) + a/(a + a^x . sqr(a)) = a^x/(a^x + sqr(a)) + sqr(a)/(a^x +
sqr(a)) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Oi, oi Marcos,
Verdade. O problema 4 tem uma solução parecida: f(x) + f(1/x) = 1.
E o problema 5 na p. 38 ? f(x) = a^x/(a^x + sqrt(a)).
Deve ter uma solução usando os argumentos vistos nestas duas últimas soluções.
Alguma dica?
Luis
Date: Sun, 29 Dec 2013 18:20:29 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Para resolver o problema proposto, repare que: f(x) + f(1 - x) = 2/(4^x + 2) +
2/[4^(1 - x) + 2] = 2/(4^x + 2) + 4^x/(2 + 4^x) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Sauda,c~oes,
Adaptando o problema 3 da p. 37 da Eureka 37, existiria ?? uma forma fechada
para a soma
S(n) = a_1 + . + a_n para a_k = \frac{2}{4^k + 2}
Ou também, como fazer o problema proposto ?
Bom ano para todos.
Luis
--
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acredita-se estar livre de perigo.
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Re: [obm-l] soma da Eureka
A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k + 1)/(k^2
+ k + 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2 - k +1)]
.
Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1) =
[1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2 .
sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100}
1/(k^2 - k + 1) 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k -
1)]} = 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100).
Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) 1/2 =
101/10101 + 1 - 1/100 1 = 101/10101 1/100 = 10100 10101 (V). c.q.d
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Re: [obm-l] soma da Eureka
Uma pequena correção na escrita (quinta linha):
* = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 2}^{100} 1/(k^2 - k + 1)
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k +
1)/(k^2 + k + 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2
- k +1)] .
Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1) =
[1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2 .
sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100}
1/(k^2 - k + 1) 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k -
1)]} = 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100).
Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) 1/2 =
101/10101 + 1 - 1/100 1 = 101/10101 1/100 = 10100 10101 (V). c.q.d
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[obm-l] soma da Eureka
Sauda,c~oes,
Adaptando o problema 3 da p. 37 da Eureka 37, existiria ?? uma forma fechada
para a soma
S(n) = a_1 + . + a_n para a_k = \frac{2}{4^k + 2}
Ou também, como fazer o problema proposto ?
Bom ano para todos.
Luis
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma da Eureka
Para resolver o problema proposto, repare que: f(x) + f(1 - x) = 2/(4^x +
2) + 2/[4^(1 - x) + 2] = 2/(4^x + 2) + 4^x/(2 + 4^x) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Sauda,c~oes,
Adaptando o problema 3 da p. 37 da Eureka 37,
existiria ?? uma forma fechada para a soma
S(n) = a_1 + . + a_n para a_k = \frac{2}{4^k + 2}
Ou também, como fazer o problema proposto ?
Bom ano para todos.
Luis
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] soma da Eureka
Oi, oi Marcos,
Verdade. O problema 4 tem uma solução parecida: f(x) + f(1/x) = 1.
E o problema 5 na p. 38 ? f(x) = a^x/(a^x + sqrt(a)). Deve ter uma solução
usando os argumentos vistos nestas duas últimas soluções.
Alguma dica?
Luis
Date: Sun, 29 Dec 2013 18:20:29 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Para resolver o problema proposto, repare que: f(x) + f(1 - x) = 2/(4^x + 2) +
2/[4^(1 - x) + 2] = 2/(4^x + 2) + 4^x/(2 + 4^x) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Sauda,c~oes,
Adaptando o problema 3 da p. 37 da Eureka 37, existiria ?? uma forma fechada
para a soma
S(n) = a_1 + . + a_n para a_k = \frac{2}{4^k + 2}
Ou também, como fazer o problema proposto ?
Bom ano para todos.
Luis
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma da Eureka
f(x) + f(1 - x) = a^x/(a^x + sqr(a)) + a^(1 - x)/[a^(1 - x) + sqr(a)]
= a^x/(a^x
+ sqr(a)) + a/(a + a^x . sqr(a)) = a^x/(a^x + sqr(a)) + sqr(a)/(a^x +
sqr(a)) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Oi, oi Marcos,
Verdade. O problema 4 tem uma solução parecida:
f(x) + f(1/x) = 1.
E o problema 5 na p. 38 ? f(x) = a^x/(a^x + sqrt(a)).
Deve ter uma solução usando os argumentos vistos
nestas duas últimas soluções.
Alguma dica?
Luis
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Date: Sun, 29 Dec 2013 18:20:29 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com javascript:_e({}, 'cvml',
'mffmartine...@gmail.com');
To: obm-l@mat.puc-rio.br javascript:_e({}, 'cvml',
'obm-l@mat.puc-rio.br');
Para resolver o problema proposto, repare que: f(x) + f(1 - x) = 2/(4^x +
2) + 2/[4^(1 - x) + 2] = 2/(4^x + 2) + 4^x/(2 + 4^x) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Sauda,c~oes,
Adaptando o problema 3 da p. 37 da Eureka 37,
existiria ?? uma forma fechada para a soma
S(n) = a_1 + . + a_n para a_k = \frac{2}{4^k + 2}
Ou também, como fazer o problema proposto ?
Bom ano para todos.
Luis
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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Re: [obm-l] Estendendo o problema da Eureka! Calculando o limite
Pesquisei um pouquinho sobre o assunto, não se conhece nenhuma fórmula fechada para o resultado do limite :O http://mathworld.wolfram.com/NestedRadicalConstant.html Em 12 de junho de 2013 10:55, Henrique Rennó henrique.re...@gmail.comescreveu: range deveria ser range(n,1,-1) considerando que o laço repetirá até 1, senão no último passo será calculada mais uma raíz quadrada. Se range repetir enquanto a variável for maior que o segundo parâmetro então range(n,0,-1) estaria certo. Sobre a questão, seria possível representar a desigualdade por frações contínuas, calculando o inverso? 2013/5/18 terence thirteen peterdirich...@gmail.com Olá povo! Estive observando este problema já proposto na Eureka! Demonstre que sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+...+sqrt(2000 2 A demonstração não é difícil, mas resolvi fazer numa calculadora para valores variados de '2000': def sqs(n): ... s = 0 ... for i in range(n,0,-1): ... s+=i ... s = s**(1/2) ... return (s) ... A partir de 20, a função dá 1.7579327566180045 Minha pergunta é óbvia: qual seria o limite de sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+...+sqrt(N? -- /**/ 神が祝福 Torres -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Estendendo o problema da Eureka! Calculando o limite
range deveria ser range(n,1,-1) considerando que o laço repetirá até 1, senão no último passo será calculada mais uma raíz quadrada. Se range repetir enquanto a variável for maior que o segundo parâmetro então range(n,0,-1) estaria certo. Sobre a questão, seria possível representar a desigualdade por frações contínuas, calculando o inverso? 2013/5/18 terence thirteen peterdirich...@gmail.com Olá povo! Estive observando este problema já proposto na Eureka! Demonstre que sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+...+sqrt(2000 2 A demonstração não é difícil, mas resolvi fazer numa calculadora para valores variados de '2000': def sqs(n): ... s = 0 ... for i in range(n,0,-1): ... s+=i ... s = s**(1/2) ... return (s) ... A partir de 20, a função dá 1.7579327566180045 Minha pergunta é óbvia: qual seria o limite de sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+...+sqrt(N? -- /**/ 神が祝福 Torres -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Estendendo o problema da Eureka! Calculando o limite
Olá povo! Estive observando este problema já proposto na Eureka! Demonstre que sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+...+sqrt(2000 2 A demonstração não é difícil, mas resolvi fazer numa calculadora para valores variados de '2000': def sqs(n): ... s = 0 ... for i in range(n,0,-1): ... s+=i ... s = s**(1/2) ... return (s) ... A partir de 20, a função dá 1.7579327566180045 Minha pergunta é óbvia: qual seria o limite de sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+...+sqrt(N? -- /**/ 神が祝福 Torres
Re: [obm-l] Eureka 31 - Teorema de Miquel
Boa noite. Vou passar aqui as etapas mas ajuda se vc, ao ler, tentar refazer com lapis e papel. A principio, seja o quadrilátero convexo completo BCED com retas suportes dos lados sendo as retas que passam pelos pontos BDA, CEA, BCF e DEF (grupos de três pontos colineares) e seja o ponto M de Miguel. Sendo assim, construímos as circunferências que passam pelos pontos MADE (centro G), MABC (centro J), MECF (centro H) e MDBF (centro I). Observamos que basta demonstrar que o pentágono MGJIH é inscritível que então teremos demonstrado o que se pede. O argumento é demonstrar, separadamente, que os quadriláteros MGJH e MGIH são inscritíveis, pois tendo ambos três pontos em comum necessariamente estarão na mesma circunferência. Inicialmente vemos que o quadrilátero MADE é inscritível, logo Ang(MAE)=Ang(MDE)=Ang(MGH). Da mesma forma MABC é inscritível, logo Ang(MAE)=Ang(MAC)=Ang(MBC)=Ang(MJH). Sendo Ang(MGH)=Ang(MJH), temos que o quadrilátero MGJH é inscritível! Procedendo analogamente conclui-se que o quadrilátero MGIH também é inscritível e logo os pontos M, G, J, I e H pertencem todos a mesma circunferência. CQD AbraçosClaudio Gustavo --- Em qui, 9/5/13, Martins Rama martin...@pop.com.br escreveu: De: Martins Rama martin...@pop.com.br Assunto: [obm-l] Eureka 31 - Teorema de Miquel Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 9 de Maio de 2013, 4:56 Caros amigos da lista, o Carlos Yuzo Shine no seu artigo da Eureka 31 propôs a seguinte questão: Considere um quadrilátero completo. Seja M o seu ponto de Miquel. Prove que: (a) os circuncentros dos quatro triângulos determinados pelo quadrilátero e M estão sobre uma mesma circunferência. Alguma sugestão? []'s Martins Rama. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Eureka 31 - Teorema de Miquel
Caros amigos da lista, o Carlos Yuzo Shine no seu artigo da Eureka 31 propôs a seguinte questão: Considere um quadrilátero completo. Seja M o seu ponto de Miquel. Prove que: (a) os circuncentros dos quatro triângulos determinados pelo quadrilátero e M estão sobre uma mesma circunferência. Alguma sugestão? []'s Martins Rama. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Eureka 31 - Teorema de Miquel
Este problema de fato já foi proposto em uma Eureka! A ideia que posso te passar é ligar os centros, e ligá-los ao dito ponto Miquel, e daí marcar ângulos. Em 9 de maio de 2013 04:56, Martins Rama martin...@pop.com.br escreveu: Caros amigos da lista, o Carlos Yuzo Shine no seu artigo da Eureka 31 propôs a seguinte questão: Considere um quadrilátero completo. Seja M o seu ponto de Miquel. Prove que: (a) os circuncentros dos quatro triângulos determinados pelo quadrilátero e M estão sobre uma mesma circunferência. Alguma sugestão? []'s Martins Rama. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ 神が祝福 Torres
[obm-l] Nova Eureka! Alguém de discutir os problemas?
Pessoas, alguém a fim de conferir a nova Eureka!? -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Publicada a versão eletrônica da revista Eureka! No. 34
Caros(as) amigos(as) da OBM, Já está publicada a versão eletrônica da revista Eureka! No. 34 Confira no link a seguir: http://www.obm.org.br/opencms/revista_eureka/index.html Cordialmente, Secretaria da OBM -- Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM) Estrada Dona Castorina, 110 Jd. Botânico, Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023 e-mail: o...@impa.br web site: www.obm.org.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!)
Eu não consegui enxergar essa solução.Seria possível mostrá-la? Obrigado Abraço. Date: Thu, 28 Jul 2011 18:54:08 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!) From: victorcar...@globo.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Marcone , Sabendo que : cos(pi/7) - cos(2pi/7) + cos(3pi/7) = 1/2 , use as expressões de cos3x e de cos2x em função de cosx , com x = pi/7 , ok ? Abraços Carlos Victor Em 28 de julho de 2011 18:24, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Prove que x = 2cos(pi/7) satisfaz a equação x^3 + x^2 -2x + 1 = 0. Há um exercício resolvido na revista,mostrando que pi/7 é raíz da equação 8x^3 - 4x^2 -4x + 1 = 0 Mas não estou conseguindo e peço ajuda Agradeço desde já.
[obm-l] Exercício proposto(Eureka!)
Prove que x = 2cos(pi/7) satisfaz a equação x^3 + x^2 -2x + 1 = 0. Há um exercício resolvido na revista,mostrando que pi/7 é raíz da equação 8x^3 - 4x^2 -4x + 1 = 0 Mas não estou conseguindo e peço ajuda Agradeço desde já.
[obm-l] Re: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!)
Olá Marcone , Sabendo que : cos(pi/7) - cos(2pi/7) + cos(3pi/7) = 1/2 , use as expressões de cos3x e de cos2x em função de cosx , com x = pi/7 , ok ? Abraços Carlos Victor Em 28 de julho de 2011 18:24, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Prove que x = 2cos(pi/7) satisfaz a equação x^3 + x^2 -2x + 1 = 0. Há um exercício resolvido na revista,mostrando que pi/7 é raíz da equação 8x^3 - 4x^2 -4x + 1 = 0 Mas não estou conseguindo e peço ajuda Agradeço desde já.
[obm-l] RE: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!)
Na verdade a equação tem valor númerico de aproximadamente 6.49396 quando x=2cos(pi/7) Você não se confundiu? A equação x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0 tem raíz 2 cos(Pi/7) (você deve ter rocado o sinal) Se 8x^3 - 4x^2 -4x + 1 = 0, quando x=cos( Pi/7), fazendo a substitução de variável y=2x,x=y/2 temos y^3 - y^2 - 2 y + 1 = 0 quando y = 2cos(pi/ 7) Podemos demonstrar facilmente que está errado poisy^3 + y^2 - 2 y + 1 = 2 y^2 que teria que ser igual a 0, y^2 = 0, impossível []'sJoão From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!) Date: Thu, 28 Jul 2011 21:24:07 + Prove que x = 2cos(pi/7) satisfaz a equação x^3 + x^2 -2x + 1 = 0. Há um exercício resolvido na revista,mostrando que pi/7 é raíz da equação 8x^3 - 4x^2 -4x + 1 = 0 Mas não estou conseguindo e peço ajuda Agradeço desde já.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!)
Você tem razão.E eu suspeitava que a equação pudesse estar errada.Mas está escrito na página15 da eureka! 33 : x^3 + x^2 -2x +1=0 From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!) Date: Thu, 28 Jul 2011 19:09:26 -0300 Na verdade a equação tem valor númerico de aproximadamente 6.49396 quando x=2cos(pi/7) Você não se confundiu? A equação x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0 tem raíz 2 cos(Pi/7) (você deve ter rocado o sinal) Se 8x^3 - 4x^2 -4x + 1 = 0, quando x=cos( Pi/7), fazendo a substitução de variável y=2x,x=y/2 temos y^3 - y^2 - 2 y + 1 = 0 quando y = 2cos(pi/ 7) Podemos demonstrar facilmente que está errado pois y^3 + y^2 - 2 y + 1 = 2 y^2 que teria que ser igual a 0, y^2 = 0, impossível []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!) Date: Thu, 28 Jul 2011 21:24:07 + Prove que x = 2cos(pi/7) satisfaz a equação x^3 + x^2 -2x + 1 = 0. Há um exercício resolvido na revista,mostrando que pi/7 é raíz da equação 8x^3 - 4x^2 -4x + 1 = 0 Mas não estou conseguindo e peço ajuda Agradeço desde já.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão Eureka 33
Ué, você acabou de demonstrar! É claro, se todas as contas estiverem corretas, você não precisa fazer mais nada. Se para os casos abaixo de 8 não deu certo, só daria de 8 para cima. Mas deu certo para 8, logo 8 é o mínimo! Em 20/07/11, João Maldonadojoao_maldona...@hotmail.com escreveu: Olá 3) Encontre o menor k 2 para o qual existem k números inteiros consecutivos, tais que a soma dos seus quadrados é um quadrado. Minha resolução: para k =3 (r-1)²+r²+(r+1)² = x²3r²+2 = x², x = 3n+1 ou 3n-1, x² = 3p+1, impossível para k = 44r²+4r+6 = x² - x² é múltiplo de 2 mas não de 4, impossível para k=55r²+10 = x²5(r²+2)=x²r²+2 = 5kr=5p+2, 5p-2, 5 p+1, 5p-15n+6 ou 5n + 3 = 5k, impossível para k=66r²+6r+19 = x²6(r²+r+3)+1 = x²x=6p+ 3, 6p+2, 6p-2, 6p+1, 6p-1temos x = 6p+1 ou 6p-1 6(r²+r+3)+1 = 36p² -+ 12p + 1X = r² + r + 3 = 2(3p² +-p) ser é par, X é ímpar, se r é ímpar, X é ímpar para k = 7 7r² + 28 = x²7 (r²+ 4) = x² r²+4 múltiplo de 7, r = 7p+1, 7p-1, 7p+2, 7p-2, 7p+3, 7p-3r²+4 = 7n -1, 7n-2, 7n+1, absurdo para k = 8 8r²+8r+44 = x² 4(2r² +2r+11) = x² Não vejo nenhum problema aqui, será k = 8 a resposta? Se sim, como provar? []'s, Joaao -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] eureka 33
Olá, João, claro que dá para somar e subtrair coisas máginas (hehe) e chegar a essa fatoração. Uma maneira bastante simples de prová-la é enxergá-la como um polinômio. p(x) = x^3 - 3bcx + b^3 + c^3 Veja que p(-b-c) = 0: p(-b-c) = (-b-c)^3 - 3bc(-b-c) + b^3 + c^3 = = -(b+c)^3 + 3b^2c + 3bc^2 + b^3 + c^3 = = -b^3 - c^3 - 3b^2c - 3bc^2 + 3b^2c + 3bc^2 + b^3 + c^3 = = 0 Desta maneira, p(x) = (x - (-b-c))q(x) = (x+b+c)q(x) Para determinar q(x), podemos usar Briott-Ruffini (espero que seja assim que escreve). -(b+c) | 10 -3bc (b^3+c^3) -- | 1 -(b+c) -3bc+(b+c)^2 3bc(b+c)-(b+c)^3+b^3+c^3 = 0 Assim: q(x) = x^2 - (b+c)x - 3bc+(b+c)^2 = x^2 - bx - cx - 3bc + b^2 + c^2 + 2bc = x^2 + b^2 + c^2 - bx - cx - bc Portanto: p(x) = (x+b+c)(x^2 + b^2 + c^2 - bx - cx - bc) Espero ter ajudado. Abraços, Salhab 2011/7/20 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Ainda não li a Eureka 33, mas me lembro de uma fatoração que meu professor me propôs a+b³+c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²- ab -bc-ac), como a+b+c vale 0 o resultado segue. -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] eureka 33 Date: Wed, 20 Jul 2011 02:38:10 + sejam a,b e c numeros reais tais que a+b+c=0,prove que a) a^3 + b^3 + c^3 = 3abc b) (a^2 + b^2 + c^2)/2 *(a^5 + b^5 + c^5)/5 = (a^7 + b^7 + c^7)/5 A questao esta praticamente resolvida na revista. No caso do item a,é possivel seguir um caminho um pouco diverso ao da revista: a+b+c=o=(a+b)^3=-c^3=a^3 + 3ab(a+b) + b^3=-c^3=a^3 + b^3 +c^3=-3ab(a+b)=-3ab(-c)=3abc No caso do item b(embora seja bem legal o enfoque da revista),haveria um outro caminho tambem interessante?
[obm-l] Questão Eureka 33
Olá 3) Encontre o menor k 2 para o qual existem k números inteiros consecutivos, tais que a soma dos seus quadrados é um quadrado. Minha resolução: para k =3 (r-1)²+r²+(r+1)² = x²3r²+2 = x², x = 3n+1 ou 3n-1, x² = 3p+1, impossível para k = 44r²+4r+6 = x² - x² é múltiplo de 2 mas não de 4, impossível para k=55r²+10 = x²5(r²+2)=x²r²+2 = 5kr=5p+2, 5p-2, 5 p+1, 5p-15n+6 ou 5n + 3 = 5k, impossível para k=66r²+6r+19 = x²6(r²+r+3)+1 = x²x=6p+ 3, 6p+2, 6p-2, 6p+1, 6p-1temos x = 6p+1 ou 6p-1 6(r²+r+3)+1 = 36p² -+ 12p + 1X = r² + r + 3 = 2(3p² +-p) ser é par, X é ímpar, se r é ímpar, X é ímpar para k = 7 7r² + 28 = x²7 (r²+ 4) = x² r²+4 múltiplo de 7, r = 7p+1, 7p-1, 7p+2, 7p-2, 7p+3, 7p-3r²+4 = 7n -1, 7n-2, 7n+1, absurdo para k = 8 8r²+8r+44 = x² 4(2r² +2r+11) = x² Não vejo nenhum problema aqui, será k = 8 a resposta? Se sim, como provar? []'s, Joaao
[obm-l] eureka 33
sejam a,b e c numeros reais tais que a+b+c=0,prove que a) a^3 + b^3 + c^3 = 3abc b) (a^2 + b^2 + c^2)/2 *(a^5 + b^5 + c^5)/5 = (a^7 + b^7 + c^7)/5 A questao esta praticamente resolvida na revista. No caso do item a,é possivel seguir um caminho um pouco diverso ao da revista: a+b+c=o=(a+b)^3=-c^3=a^3 + 3ab(a+b) + b^3=-c^3=a^3 + b^3 +c^3=-3ab(a+b)=-3ab(-c)=3abc No caso do item b(embora seja bem legal o enfoque da revista),haveria um outro caminho tambem interessante?
RE: [obm-l] eureka 33
Ainda não li a Eureka 33, mas me lembro de uma fatoração que meu professor me propôs a+b³+c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²- ab -bc-ac), como a+b+c vale 0 o resultado segue. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] eureka 33 Date: Wed, 20 Jul 2011 02:38:10 + sejam a,b e c numeros reais tais que a+b+c=0,prove que a) a^3 + b^3 + c^3 = 3abc b) (a^2 + b^2 + c^2)/2 *(a^5 + b^5 + c^5)/5 = (a^7 + b^7 + c^7)/5 A questao esta praticamente resolvida na revista. No caso do item a,é possivel seguir um caminho um pouco diverso ao da revista: a+b+c=o=(a+b)^3=-c^3=a^3 + 3ab(a+b) + b^3=-c^3=a^3 + b^3 +c^3=-3ab(a+b)=-3ab(-c)=3abc No caso do item b(embora seja bem legal o enfoque da revista),haveria um outro caminho tambem interessante?
[obm-l] Envio Remessa Revista Eureka No. 33
Prezados(as) Professores(as), Estamos enviando hoje (27/06) pelo correio postal a remessa de revistas Eureka! No. 33 para todas as coordenações regionais, colégios cadastrados na OBM 2011 e sócios com anuidade em dia da AOBM. Cordialmente, -- Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Jd. Botânico, Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023 e-mail: o...@impa.br web site: www.obm.org.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Eureka 33
Determine o menor inteiro positivo que tenha todos os seus dígitos iguais a 4, e que seja divisível por 169. Observei que 11=111*7*11*13 e portanto 44 é divisível por 13. Como 4 é primo com 169,se 444...4 é divisível por 169 então 111...1,também é. Tentei 111...1=(10^n-1)/9,mas não consegui. Considerando que colocar o 1 à direita de um número significa multiplicá-lo por 10 e depois adicionar1,calculei o resto da divisão de por 169,multipliquei esse resto por 10,adicionei 1 e repeti o processo para ver se encontrava resto zero.Força bruta. E nada. Agradeço a quem puder ajudar.
RE: [obm-l] Eureka 33
10^{n}-1/9 deve ser múltiplo de 169 como você disse e como 9 é primo com
169,169 divide a 10^{n}-1 (1),logo o problema se resume a calcular a ordem de
10 módulo 169.Calculando a quantidade de números que são primos com 169 você
obtém 156,logo pelo teorema de Euler você tem que 10^{156}-1 é múltiplo de
169,mas pelo teorema do menor expoente temos que a ordem de 10 módulo 169 vai
dividir 156.Agora basta fatorar 156=2^2.3.13 e ver qual vai será o menor
expoente que satisfaz as condições.
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Eureka 33
Date: Mon, 20 Jun 2011 11:34:50 +
Determine o menor inteiro positivo que tenha todos os seus dígitos iguais a 4,
e que seja divisível por 169.
Observei que 11=111*7*11*13 e portanto 44 é divisível por 13.
Como 4 é primo com 169,se 444...4 é divisível por 169 então 111...1,também é.
Tentei 111...1=(10^n-1)/9,mas não consegui.
Considerando que colocar o 1 à direita de um número significa multiplicá-lo por
10 e depois adicionar1,calculei o resto da divisão de
por 169,multipliquei esse resto por 10,adicionei 1 e repeti o processo para ver
se encontrava resto zero.Força bruta.
E nada.
Agradeço a quem puder ajudar.
Re: [obm-l] problem numero 15 eureka numero 5
1 - Enunciado completo,please! Vou tentar reescrever para deixar mais claro: Em um conjunto de MN+1 inteiros positivos, postos em ordem crescente, uma das duas situações abaixo ocorrerá: -- haverá uma subsequencia de M+1 inteiros, tais nenhum deles é divisor de algum outro; --haverá uma subsequencia de N+1 inteiros, tal que cada termo da subsequencia será divisor do seguinte; Um exemplo: Em um conjunto de 16=3*5+1 elementos, ou há 3+1=4 inteiros tais que nenhum divide outros, ou há 5+1=6 tais que cada um divide o seguinte. Acho que você pensou algo como 5 divide 5+1, o que é obviamente falso ;-P Em 16/05/11, maurikleber araujomaurikle...@hotmail.com escreveu: pessoal alguem ai poderia explicar o problema numero 15 (principio das gavetas) da eureka numero 5 onde ele diz n +1 numeros divide o seguinte ele quer dizer que divide o sucessor ou qualquer numero depois devo estar entendendo errado porque se for divide o sucessor nao tem como provar ou ao menos penso ter achado um contra exemplo alguem pode explicar sem resolver a questao -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] problem numero 15 eureka numero 5
pessoal alguem ai poderia explicar o problema numero 15 (principio das gavetas) da eureka numero 5 onde ele diz n +1 numeros divide o seguinte ele quer dizer que divide o sucessor ou qualquer numero depois devo estar entendendo errado porque se for divide o sucessor nao tem como provar ou ao menos penso ter achado um contra exemplo alguem pode explicar sem resolver a questao
[obm-l] Re: [obm-l] Quadrados mágicos: problema da Eureka 0 1:
O unico pre-requisito para se ler uma Eureka! e ler as anteriores. Desculpe falar algo tao obvio, mas e que nao tem bem um pre-Eureka! no Brasil, ate onde eu sei. Se voce encara uma leitura em ingles, a melhor referencia que conheco e o site mathlinks.ro. La tem tutoriais e artigos de todos os niveis. Tambem tem um arquivo de problemas de olimpiadas de todo o mundo. Por ora, esta e minha recomendacao: o site da OBM e as Eureka!s, todas elas. Bem, eu pretendo lancar um arquivo pessoal contendo solucoes da Eureka! e de alguns problemas que eu fiz ha milenios em papel, mas ainda não posso garantir nada... Quanto ao problema, tente resolver o sistema de equacoes gerado pelas somas, e voce descobrira que o numero central e igual a 5. Depois eu posto algo competo. Em 23/10/10, Rafaelapolo_hiperbo...@terra.com.br escreveu: Olá, pessoal. Antes de comentar sobre um problema da Eureka 01, uma pergunta: Alguém aqui costuma resolver todos os problemas sem solução da revista Eureka e deixar em um arquivo no word, por exemplo ? Se sim, gostaria muito de um arquivo com esses problemas que contém apenas o gabarito e não a solução. Uma vez enviaram aqui um arquivo com questões resolvidas do IME, inclusive bem antigas. Alguém aqui tem arquivos de questões resolvidas assim também, mas olímpicas ? Seja da Eureka ou não. No site Excalibur, há muitos problemas assim, mas o nível é bem alto. Gostaria de um arquivo com problemas resolvidos de forma preparatória à leitura das Eurekas. Comecei a ler as Eurekas. Veja este problema da Eureka 01: Você já conhece o quadrado mágico de ordem 3: a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é 15. A figura a seguir mostra uma das oito possibilidades de escrever os números no quadrado: a11 = 8; a12 = 1; a13 = 6 a21 = 3; a22 = 5; a23 = 7 a31 = 4; a32 = 9; a33 = 2 O único número que não pode mudar de posição em todos esses quadrados mágicos é: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 Eu percebi que a correta é a C (gabarito), pois se girarmos o quadrado no sentido horário ou anti-horário, teremos 4 quadrados (incluindo o original) e em todos eles não houve mudança do número 5 em relação ao quadrado do enunciado. Eu gostaria de uma solução mais formal e por que são 8 possibilidades e não 4. Obs1: Saber todo o conteúdo do ensino médio já é o suficiente para ler e entender as Revistas Eurekas OU deve haver uma outra condição prévia, como ler algum livro específico ou estudar por problemas de outros sites ? Pergunto isso, pois abri aleatoriamente algumas revistas e li alguns termos matemáticos não abordados em livros normais do ensino médio, daí pensei: - OU os elaboradores das Eureka estão partindo do pressuposto que os leitores já saibam determinadas coisas (mesmo que não estejam em livros regulares do ensino médio); OU há uma gradação de conhecimentos nas revistas, ou seja, se não entendeu algum termo ou conceito OLÍMPICOS em alguma revista, então é provável que haja um explicação em alguma das revistas anteriores. Regards, Rafael -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Quadrinhos, histórioas e afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Um pouco sobre elétrons em movimento http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quadrado s mágicos: problema da Eureka 01 :
Ok, Johann. Obrigado. Regards, Rafael - Original Message - From: Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, October 24, 2010 3:45 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Quadrados mágicos: problema da Eureka 01: O unico pre-requisito para se ler uma Eureka! e ler as anteriores. Desculpe falar algo tao obvio, mas e que nao tem bem um pre-Eureka! no Brasil, ate onde eu sei. Se voce encara uma leitura em ingles, a melhor referencia que conheco e o site mathlinks.ro. La tem tutoriais e artigos de todos os niveis. Tambem tem um arquivo de problemas de olimpiadas de todo o mundo. Por ora, esta e minha recomendacao: o site da OBM e as Eureka!s, todas elas. Bem, eu pretendo lancar um arquivo pessoal contendo solucoes da Eureka! e de alguns problemas que eu fiz ha milenios em papel, mas ainda não posso garantir nada... Quanto ao problema, tente resolver o sistema de equacoes gerado pelas somas, e voce descobrira que o numero central e igual a 5. Depois eu posto algo competo. Em 23/10/10, Rafaelapolo_hiperbo...@terra.com.br escreveu: Olá, pessoal. Antes de comentar sobre um problema da Eureka 01, uma pergunta: Alguém aqui costuma resolver todos os problemas sem solução da revista Eureka e deixar em um arquivo no word, por exemplo ? Se sim, gostaria muito de um arquivo com esses problemas que contém apenas o gabarito e não a solução. Uma vez enviaram aqui um arquivo com questões resolvidas do IME, inclusive bem antigas. Alguém aqui tem arquivos de questões resolvidas assim também, mas olímpicas ? Seja da Eureka ou não. No site Excalibur, há muitos problemas assim, mas o nível é bem alto. Gostaria de um arquivo com problemas resolvidos de forma preparatória à leitura das Eurekas. Comecei a ler as Eurekas. Veja este problema da Eureka 01: Você já conhece o quadrado mágico de ordem 3: a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é 15. A figura a seguir mostra uma das oito possibilidades de escrever os números no quadrado: a11 = 8; a12 = 1; a13 = 6 a21 = 3; a22 = 5; a23 = 7 a31 = 4; a32 = 9; a33 = 2 O único número que não pode mudar de posição em todos esses quadrados mágicos é: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 Eu percebi que a correta é a C (gabarito), pois se girarmos o quadrado no sentido horário ou anti-horário, teremos 4 quadrados (incluindo o original) e em todos eles não houve mudança do número 5 em relação ao quadrado do enunciado. Eu gostaria de uma solução mais formal e por que são 8 possibilidades e não 4. Obs1: Saber todo o conteúdo do ensino médio já é o suficiente para ler e entender as Revistas Eurekas OU deve haver uma outra condição prévia, como ler algum livro específico ou estudar por problemas de outros sites ? Pergunto isso, pois abri aleatoriamente algumas revistas e li alguns termos matemáticos não abordados em livros normais do ensino médio, daí pensei: - OU os elaboradores das Eureka estão partindo do pressuposto que os leitores já saibam determinadas coisas (mesmo que não estejam em livros regulares do ensino médio); OU há uma gradação de conhecimentos nas revistas, ou seja, se não entendeu algum termo ou conceito OLÍMPICOS em alguma revista, então é provável que haja um explicação em alguma das revistas anteriores. Regards, Rafael -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Quadrinhos, histórioas e afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Um pouco sobre elétrons em movimento http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Quadrados mágicos: problema da Eureka 01:
Olá, pessoal. Antes de comentar sobre um problema da Eureka 01, uma pergunta: Alguém aqui costuma resolver todos os problemas sem solução da revista Eureka e deixar em um arquivo no word, por exemplo ? Se sim, gostaria muito de um arquivo com esses problemas que contém apenas o gabarito e não a solução. Uma vez enviaram aqui um arquivo com questões resolvidas do IME, inclusive bem antigas. Alguém aqui tem arquivos de questões resolvidas assim também, mas olímpicas ? Seja da Eureka ou não. No site Excalibur, há muitos problemas assim, mas o nível é bem alto. Gostaria de um arquivo com problemas resolvidos de forma preparatória à leitura das Eurekas. Comecei a ler as Eurekas. Veja este problema da Eureka 01: Você já conhece o quadrado mágico de ordem 3: a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é 15. A figura a seguir mostra uma das oito possibilidades de escrever os números no quadrado: a11 = 8; a12 = 1; a13 = 6 a21 = 3; a22 = 5; a23 = 7 a31 = 4; a32 = 9; a33 = 2 O único número que não pode mudar de posição em todos esses quadrados mágicos é: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 Eu percebi que a correta é a C (gabarito), pois se girarmos o quadrado no sentido horário ou anti-horário, teremos 4 quadrados (incluindo o original) e em todos eles não houve mudança do número 5 em relação ao quadrado do enunciado. Eu gostaria de uma solução mais formal e por que são 8 possibilidades e não 4. Obs1: Saber todo o conteúdo do ensino médio já é o suficiente para ler e entender as Revistas Eurekas OU deve haver uma outra condição prévia, como ler algum livro específico ou estudar por problemas de outros sites ? Pergunto isso, pois abri aleatoriamente algumas revistas e li alguns termos matemáticos não abordados em livros normais do ensino médio, daí pensei: - OU os elaboradores das Eureka estão partindo do pressuposto que os leitores já saibam determinadas coisas (mesmo que não estejam em livros regulares do ensino médio); OU há uma gradação de conhecimentos nas revistas, ou seja, se não entendeu algum termo ou conceito OLÍMPICOS em alguma revista, então é provável que haja um explicação em alguma das revistas anteriores. Regards, Rafael
[obm-l] Eureka No. 32
Caros amigos da OBM, Já está publicada a Eureka No. 32 Confira no endereço: http://www.obm.org.br/opencms/revista_eureka/index.html Cordialmente, -- Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Jd. Botânico, Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023 e-mail: o...@impa.br web site: www.obm.org.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: Resolução de Problemas [Problema 133, Eureka! 31] (esboço de tentativa)
Em 17 de maio de 2010 21:00, Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com escreveu: 133) Considere um n–ágono regular inscrito em um círculo unitário, fixe um vértice i e denote por d_j a distância entre este vértice i e o vértice j. Prove que (produtório de j=0 até j=n-1, j diferente de i) (5-d_j^2) = F_n^2 F_1 = 0, F_1 = 1 e F_n = F_(n−1)+F_(n−2) se n ≥ 2. Bem, eu vou mostrar uma parte da minha ideia: 1- d_j^2=4sen^2(j*theta_n) em que theta_n=2pi/n é o ângulo central do poligono. Assim, o que temos é (5-d_j^2)=(3+2cos(2j*theta_n)). O problema se resume a acahar um polinomio cujas raizes sao os cossenos acima, e depois calcular este polinomio no ponto (-3/2). Eu tentei escrever o polinomio de maneira recursiva: ele é cos(n*theta) escrito em função de cos \theta. Mas tô numa preguiça insana de continuar -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Resolução de Problemas [Problema 141, Eureka! 31]
Cuidado com o zero, como disse o Johann: Para N = 0, você obterá várias vezes o mesmo número... 7 97 997 9997 todos vão dar todos agentes secretos 0..007 2010/5/21 Willy George do Amaral Petrenko wgapetre...@gmail.com: Primeiro uma pequena correção no enunciado: O conjunto deve ser de naturais distintos, se não bastava pegar 1+1+1+1... como contra exemplo Mas não é necessário calcular a soma para todos os dígitos. Você calculou a soma dos inversos dos termos que não possuem o 9. Seja agora um conjunto de naturais distintos que não possui o dígito N. Eu vou criar um novo conjunto a partir desse da seguinte forma: Cada número eu vou trocar por outro que possui exatamente os mesmos dígitos no mesmo lugar exceto os dígitos 9s, que serão trocados por N. Cada número será trocado por outro menor ou igual, logo o seu inverso será maior ou igual. Além disso é fácil ver que os novos números serão distintos, pois essa transformação é bijetiva (eu posso pegar os Ns do novo conjunto e trocá-los por 9s e retornar ao conjunto original). Então esse novo conjunto é um conjunto de naturais que não possuem o 9, e foi provado que a soma de seus inversos é menor que 80. Como cada número do conjunto original é menor que seu correspondente do novo conjunto, concluímos que a soma dos inversos do conjunto original deve ser menor do que 80. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: Resolução de Problemas [Problema 1 41, Eureka! 31]
Primeiro uma pequena correção no enunciado: O conjunto deve ser de naturais *distintos*, se não bastava pegar 1+1+1+1... como contra exemplo Mas não é necessário calcular a soma para todos os dígitos. Você calculou a soma dos inversos dos termos que não possuem o 9. Seja agora um conjunto de naturais distintos que não possui o dígito N. Eu vou criar um novo conjunto a partir desse da seguinte forma: Cada número eu vou trocar por outro que possui exatamente os mesmos dígitos no mesmo lugar exceto os dígitos 9s, que serão trocados por N. Cada número será trocado por outro menor ou igual, logo o seu inverso será maior ou igual. Além disso é fácil ver que os novos números serão distintos, pois essa transformação é bijetiva (eu posso pegar os Ns do novo conjunto e trocá-los por 9s e retornar ao conjunto original). Então esse novo conjunto é um conjunto de naturais que não possuem o 9, e foi provado que a soma de seus inversos é menor que 80. Como cada número do conjunto original é menor que seu correspondente do novo conjunto, concluímos que a soma dos inversos do conjunto original deve ser menor do que 80.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Resolução de Problemas [Pr oblema 138, Eureka! 31]
Em 13 de maio de 2010 18:59, Willy George do Amaral Petrenko wgapetre...@gmail.com escreveu: Tem aquela história de que os termos primitivos são da forma x = m^2 - n^2 y = 2*m*n z = m^2 + n^2 Algumas correções: 1 - Multiplique todos por uma constante d arbitrária; 2 - MDC(m,n)=1 e um dos dois m,n é par Isto produz todas as trincas pitagóricas. Mas o restante da sua demonstração é independente deste detalhe. Que tinha uma demonstração que eu esqueci. Mas daí é fácil: x = (m-n)*(m+n). Um dos números m-n, m, m+n é múltiplo de 3. Se n ou m for par então y é múltiplo de 4, caso contrário x é multiplo de 4. Se m ou n for múltiplo de 5 então y é múltiplo de 5, se tiverem a mesma congruência módulo 5 ou simétricas (1 e -1, 2 e -2...) então x é múltiplo de 4, e caso contrário (analisando os casos) z é múltiplo de 5. Como existe uma terna que é (3,4,5) então MMC é 3*4*5 = 60 2010/5/12 Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com Determine o maior divisor comum de todo os números da forma xyz, em que x,y,z satisfazem a equação diofantina x^2+y^2=z^2. -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Resolução de Problemas [Problema 141, Eureka! 31]
Dado a um dígito de 0 a 9, seja X um conjunto finito de naturais não nulos tal que nenhum deles contenha o dígito a na sua representação decimal. Demonstre que a soma dos inversos dos elementos de X é menor que 80. -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Resolução de Problemas [Problema 139, Eureka! 31]
Determine todos os inteiros positivos x,y,z tais que y é primo 3 não é divisor de z y não é divisor de z x^3-y^3=z^2 -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: Resolução de Problemas [Problema 141, Eureka! 31]
Em 18 de maio de 2010 01:32, Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com escreveu: Dado a um dígito de 0 a 9, seja X um conjunto finito de naturais não nulos tal que nenhum deles contenha o dígito a na sua representação decimal. Demonstre que a soma dos inversos dos elementos de X é menor que 80. Bem, este problema é mais ou menos fácil, se você pegar a ideia certa. O que se quer provar, no fim das contas, é que a série harmônica dos inversos dos naturais sem um certo dígito converge. E convergência de séries quase sempre é provada por comparação com uma PG. O dígito em si pouco importa, o raciocínio não muda (eu tive alguns problemas com o zero, mas nada de arrancar os cabelos...). Vou mostrar com o dígito 9. Bem, eu fiz mais ou menos assim (para facilitar a escrita, [a]=1/a: [2]=1/2=0,5): [1]+[2]+...+[8]=C (eu vou deixar assim, calculo depois) [10]+...+[18] 9*[10] [20]+...+[28] 9*[20] [30]+...+[38] 9*[30] [40]+...+[48] 9*[40] . . . [80]+...+[88] 8*[80] Se eu somar estas desigualdades, obtenho um limitante de 9/10*([1]+[2]+...+[8])=9C/10. Daqui, eu tive uma ideia: e se calcularmos a soma dos inversos dos caras com exatamente K dígitos e sem o dígito 9? Depois é só somar estas parciais e provar que elas convergem. Veja com o 3 como fica: [100]+...+[108] 9*[100] [110]+...+[118] 9*[110] [120]+...+[128] 9*[120] . . . [880]+...+[888] 9*[880] Somando, obtemos um limitante de 9/10*(a soma dos inversos dos caras de 2 dígitos sem o 9), o que daria 81C/100=(9/10)^2C Analogamente, obtemos um limitante da forma (9/10)^n*C para a soma dos inversos dos caras com n dígitos. Se somarmos, temos algo como C*(1+9/10+(9/10)^2+...)=10*C Basta provar que 11C80. Mas aí é só calcular e correr pro abraço! Fazendo a conta, obtemos C3. -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Resolução de Problemas [Problema 133, Eureka! 31]
133) Considere um n–ágono regular inscrito em um círculo unitário, fixe um vértice i e denote por d_j a distância entre este vértice i e o vértice j. Prove que (produtório de j=0 até j=n-1, j diferente de i) (5-d_j^2) = F_n^2 F_1 = 0, F_1 = 1 e F_n = F_(n−1)+F_(n−2) se n ≥ 2. -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Resolução de Problemas [Problema 138, Eureka! 31]
Tem aquela história de que os termos primitivos são da forma x = m^2 - n^2 y = 2*m*n z = m^2 + n^2 Que tinha uma demonstração que eu esqueci. Mas daí é fácil: x = (m-n)*(m+n). Um dos números m-n, m, m+n é múltiplo de 3. Se n ou m for par então y é múltiplo de 4, caso contrário x é multiplo de 4. Se m ou n for múltiplo de 5 então y é múltiplo de 5, se tiverem a mesma congruência módulo 5 ou simétricas (1 e -1, 2 e -2...) então x é múltiplo de 4, e caso contrário (analisando os casos) z é múltiplo de 5. Como existe uma terna que é (3,4,5) então MMC é 3*4*5 = 60 2010/5/12 Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com Determine o maior divisor comum de todo os números da forma xyz, em que x,y,z satisfazem a equação diofantina x^2+y^2=z^2. -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Resolucao de problemas[Problema 134, Eureka! 31]
2010/5/10 Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com Considere a operação . entre dois vetores do R^3 definida por: (x,y,z) . (a,b,c) = (xa+yc+zb,xc+yb+za,xb+ya+zc) Demonstre que para todo K0, se (x,y,z)^k=(0,0,0) entao (x,y,z)=(0,0,0) A idéia é perceber que essa operação é equivalente ao produto de uma matriz M por v = (x,y,z). Essa matriz é: | a c b | | c b a | | b a c | Mas eu sei que se M*v = 0 então v pertence ao núcleo de M. Vou calcular os autovalores de M para saber seu núcleo. Após contas ... L^3 - k*L^2 - q*L + k*q = 0, onde k = (a+b+c); q = (a^2 + b^2 + c^2 - a*c - a*b - b*c); e L é lâmbda :) Isso dá (L-k)*(L^2-q) = 0. Agora, se M tem núcleo não trivial então ou k=0 ou +- sqrt(q)=0 = q=0. (Se M tem núcleo trivial então M*v = 0 = v = 0 o que termina o problema.) Vou analisar os 2 casos. 1o caso, q=0: q = (a^2 + b^2 + c^2 - a*c - a*b - b*c) = ((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2)/2, daonde concluímos que q=0 = *a=b=c*. Para clarear seja (x,y,z)^i = (x_i, y_i, z_i). Se (x,y,z)^k = 0, a matriz que estamos trabalhando é a matriz onde a = x_(k-1), b = y_(k-1), c = z_(k-1). Voltando, se a=b=c então (x,y,z)*(a,b,c) = (a*(x+y+z), a*(x+y+z), a*(x+y+z)). Se v^k = 0 então (x+y+z) = 0 ou a=b=c=0. Porém (a,b,c) = v^(k-1). Se v^(k-1) = 0, aplicamos o mesmo raciocínio e vemos que v^(k-2) = 0 ou (x+y+z) = 0. É fácil ver que por indução v^1 = 0 ou (x+y+z) = 0, ou seja (x+y+z) = 0. Mas a soma dos termos de (x,y,z) . (a,b,c) = (xa+yc+zb,xc+yb+za,xb+ya+zc) é (x+y+z)*(a+b+c). Ou seja se (x+y+z) = 0 então todos os v^i terão soma dos termos 0. Mas como nesse caso tínhamos a=b=c, agora também temos a+b+c=0, logo a=b=c=0. Ou seja concluímos que se v^k = 0 então v^(k-1) = 0. Por indução v = 0, que é o que queríamos provar. _ 2o caso, k=0, e q !=0 (!= significa diferente) k = a+b+c = 0. Sabemos que a soma dos termos de v^i é (x+y+z)*(a+b+c), onde (a,b,c) = v^(i-1). Ou seja, x_i + y_i + z_i = 0 = (x+y+z) = 0 ou x_(i-1) + y_(i-1) + z_(i-1) = 0. É fácil ver que por indução *(x+y+z) = 0*. Nesse caso, estou assumindo que q !=0, ou seja M tem apenas um autovalor nulo. Agora observe que o autovetor relativo a esse autovalor é (1,1,1). Então temos M*v = 0 = v pertence ao subespaço gerado por (1,1,1), ou seja o núcleo de M. Porém esse núcleo é ortogonal ao plano (x+y+z) = 0. Portanto a única solução é a trivial, (0,0,0). Ou observe que um cara (x,y,z) do subespaço gerado por (1,1,1) tem x=y=z, que somado ao fato x+y+z = 0 nos dá x=y=z=0, que é o que queríamos provar.
Re: [obm-l] Resolucao de problemas[Problema 137, Eureka! 31]
2010/5/10 Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com: Seja A um conjunto de quinze pontos do plano, tais que dois deles não se alinham com a origem e cuja distância à origenm seja no máximo 1 Demonstre que existem dois pontos tais que a área formada pelo triângulo cujos vértices são estes dois pontos e a origem é menor que 1/4. Eu acho que deveria dar 1/2 * sin(2*pi/15) = 0.2033683216 0.25 -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Resolucao de problemas[Problema 137, Eureka! 31]
Em 12 de maio de 2010 09:29, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2010/5/10 Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com: Seja A um conjunto de quinze pontos do plano, tais que dois deles não se alinham com a origem e cuja distância à origenm seja no máximo 1 Demonstre que existem dois pontos tais que a área formada pelo triângulo cujos vértices são estes dois pontos e a origem é menor que 1/4. Eu acho que deveria dar 1/2 * sin(2*pi/15) = 0.2033683216 0.25 Consegui melhorar esta estimativa pela metade. Se pudermos refletir cada ponto na origem, são 30 pontos. A ideia e que area nao muda se eu trocar um ponto refletido pelo ponto original. Entao a estimativa fica em sin(pi/29) por Gavetas(aliás, por que chamam isso de Casa dos Pombos, já que pigeonhole significa escaninho??). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Resolução de Problemas [Problema 138, Eureka! 31]
Determine o maior divisor comum de todo os números da forma xyz, em que x,y,z satisfazem a equação diofantina x^2+y^2=z^2. -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Resolucao de problemas[Problema 134, Eureka! 31]
Considere a operação . entre dois vetores do R^3 definida por: (x,y,z) . (a,b,c) = (xa+yc+zb,xc+yb+za,xb+ya+zc) Demonstre que para todo K0, se (x,y,z)^k=(0,0,0) entao (x,y,z)=(0,0,0) -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Resolucao de problemas[Problema 137, Eureka! 31]
Seja A um conjunto de quinze pontos do plano, tais que dois deles não se alinham com a origem e cuja distância à origenm seja no máximo 1 Demonstre que existem dois pontos tais que a área formada pelo triângulo cujos vértices são estes dois pontos e a origem é menor que 1/4. -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Revista Eureka! No. 31
Caros(as) amigos(as) da OBM, Já está disponível no site da OBM o número 31 da revista Eureka! www.obm.org.br Cordialmente, -- Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Jd. Botânico, Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023 e-mail: o...@impa.br web site: www.obm.org.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Eureka! No. 30
Caros(as) amigos(as) da OBM, A versão eletrônica da revista Eureka! No. 30 já está publicada no site. Confiram no endereço: www.obm.org.br Cordialmente, -- Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Jd. Botânico, Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023 e-mail: o...@impa.br web site: www.obm.org.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Eureka 29 p. 25
Sauda,c~oes,
Seja (ir no site da Eureka na obm pra ver
o resultado do código LaTeX abaixo)
S_n(j) := \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k^j 4^k}{\binom{2k}{k}}
Na Eureka 29 p. 25 vejo o seguinte problema:
calcular \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k^4 4^k}{\binom{2k}{k}}
Ou seja, o problema pede S_n(4). Usando somação por
partes, calculei S_n(0), S_n(1) e S_n(2). Poderia calcular
S_n(3) e em seguida S_n(4). Mas parei pois as contas
ficavam muito grandes.
Gostaria de ver a solução de S_n(4) pelo método mostrado
no artigo.
[]'s
Luís
_
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[obm-l] Eureka! No. 29 já está on-line
Caros(as) amigos(as) da OBM, Já está on-line a versão eletrônica da revista Eureka! No. 29 Confira no site www.obm.org.br Cordialmente, -- Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Jd. Botânico, Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023 e-mail: o...@impa.br web site: www.obm.org.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Revista Eureka! No. 28
Caros(as) Professores(as) e amigos(as) da OBM, Já está no site da OBM o número 28 da Revista Eureka! Confiram! www.obm.org.br/frameset-eureka.htm Cordialmente, -- Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Jd. Botânico, Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023 e-mail: [EMAIL PROTECTED] web site: www.obm.org.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] encontrar os angulos internos de um triangulo EUREKA 27
Dado um triangulo ABC tal que AB=AC=a+b e BC=a, traça-se uma ceviana partindo de B determinando em AC um ponto D tal que DA=a e DC=b. Sabendo que ABD=10º, determine os angulos internos desse triangulo. Vitório Gauss
[obm-l] Eureka 27 e Gabaritos
Caros(as) amigos(as) da OBM, Já estão no site o gabarito e as provas da 1 Fase da OBM-2008. www.obm.org.br/provas.htm Também está a versão digital da Eureka! No. 27. www.obm.org.br/eureka.htm Cordialmente, -- Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Jd. Botânico, Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023 e-mail: [EMAIL PROTECTED] web site: www.obm.org.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Eureka No. 26
Caros(as) amigos(as) da OBM, Já está no site a versão eletrônica da Revista Eureka! No. 26 Cordialmente, Secretaria da OBM = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Problemas da Eureka
Olá pessoal! Gostaria de confirmar uma coisa... soluções de problemas propostos pela Eureka devem ser mandados para qual e-mail? Eu enviei para [EMAIL PROTECTED] mas não tive resposta. Está correto? Abraços! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema da Eureka 25
alguem sabe onde eu baixo o lidski obrigado _ Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: verifique já a segurança do seu PC! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema da Eureka 25
Olá Saulo! Não entendi. Você poderia explicar com mais detalhes? Se você também puder apontar onde errei na solução. Obrigado! On 5/18/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: a1a2a,,,an nao precisa terminar em zero, ja que ele e multiplicado por 100 que e divisivel portodos os numeros xyi. um numero par em baixo, cancela com 100 ficando um outro nuymero em baixo. -- Henrique
Re: [obm-l] Problema da Eureka 25
Acho que resolvi. Já que temos que achar o número a1a2...an00 que seja divisível por XY, onde 1 = X = 9 e 1 = Y = 4, e o número a1a2...an é divisível por 100, nos fatores de 100 temos 2,2,5,5, ou seja, de todos os números de dois dígitos que podemos formar com os fatores de 100 o único que estaria nas condições da seqüência iniciada em XY é 25. Dessa forma, qualquer seqüência de 6 números consecutivos que tenha entre um deles os dois últimos dígitos 25 é uma seqüência válida. Portanto a1a2...an poderia assumir os seguintes valores: 21*22*23*24*26 = 6630624 22*23*24*26*27 = 8525088 23*24*26*27*28 = 10850112 24*26*27*28*29 = 13680576 As possíveis seqüências seriam: 663062421, 663062422, 663062423, 663062424, 663062425, 663062426 852508822, 852508823, 852508824, 852508825, 852508826, 852508827 1085011223, 1085011224, 1085011225, 1085011226, 1085011227, 1085011228 1368057624, 1368057625, 1368057626, 1368057627, 1368057628, 1368057629 Acredito que sejam essas as respostas. Abraços! On 5/18/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Saulo! Não entendi. Você poderia explicar com mais detalhes? Se você também puder apontar onde errei na solução. Obrigado! On 5/18/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: a1a2a,,,an nao precisa terminar em zero, ja que ele e multiplicado por 100 que e divisivel portodos os numeros xyi. um numero par em baixo, cancela com 100 ficando um outro nuymero em baixo. -- Henrique -- Henrique
[obm-l] Problema da Eureka 25
Olá!!! Estou tentando resolver o segundo problema da XI Olimpíada de Maio - Primeiro Nível. Problema: Um número inteiro chama-se autodivi se é divisível pelo número de dois algarismos formado por seus dois últimos dígitos (dezenas e unidades). Por exemplo, 78013 é autodivi pois é divisível por 13, 8517 é autodivi pois é divisível por 17. Encontre 6 números inteiros consecutivos que sejam autodivi e que tenham os dígitos das unidades, das dezenas e das centenas distintos de 0. Solução: Como os três últimos dígitos dos números devem ser diferentes de 0, o último dígito do primeiro número da seqüência só poderá ser 1, 2, 3 ou 4 já que se for 5, 6, 7, 8 ou 9 um dos outros cinco terão como último dígito zero, já que são consecutivos. Considerando apenas o primeiro número dos 6 e seja este número na forma a1a2...anXY, onde 1 = X = 9, 1 = Y = 4, 0 = a1, a2, ..., an-1 = 9 e 1 = an = 9. Este número pode ser escrito como a1a2...an00 + XY. Nesta soma XY é divisível por XY e a1a2...an00 é divisível por 100. Portanto, se a1a2...an for divisível por XY, XY+1, XY+2, XY+3, XY+4, XY+5 então teremos a seqüência de números em que cada número é divisível pelo número composto por seus 2 últimos dígitos. O problema é que o número a1a2...an sempre terminará em 0, pois ele deve ser divisível por um número par X2,X4,X6 ou X8 e também divisível por X5. Mas o problema pede que o dígito das centenas não seja 0. Caso não fosse informado que o dígito das centenas não pode ser zero, qualquer seqüência de número consecutivos de 2 algarismos diferentes de 0 seria uma resposta. Gostaria de saber onde errei e qual seria a solução correta para o problema. Muito obrigado! -- Henrique
Re: [obm-l] Problema da Eureka 25
a1a2a,,,an nao precisa terminar em zero, ja que ele e multiplicado por 100 que e divisivel portodos os numeros xyi. um numero par em baixo, cancela com 100 ficando um outro nuymero em baixo. On 5/17/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá!!! Estou tentando resolver o segundo problema da XI Olimpíada de Maio - Primeiro Nível. Problema: Um número inteiro chama-se autodivi se é divisível pelo número de dois algarismos formado por seus dois últimos dígitos (dezenas e unidades). Por exemplo, 78013 é autodivi pois é divisível por 13, 8517 é autodivi pois é divisível por 17. Encontre 6 números inteiros consecutivos que sejam autodivi e que tenham os dígitos das unidades, das dezenas e das centenas distintos de 0. Solução: Como os três últimos dígitos dos números devem ser diferentes de 0, o último dígito do primeiro número da seqüência só poderá ser 1, 2, 3 ou 4 já que se for 5, 6, 7, 8 ou 9 um dos outros cinco terão como último dígito zero, já que são consecutivos. Considerando apenas o primeiro número dos 6 e seja este número na forma a1a2...anXY, onde 1 = X = 9, 1 = Y = 4, 0 = a1, a2, ..., an-1 = 9 e 1 = an = 9. Este número pode ser escrito como a1a2...an00 + XY. Nesta soma XY é divisível por XY e a1a2...an00 é divisível por 100. Portanto, se a1a2...an for divisível por XY, XY+1, XY+2, XY+3, XY+4, XY+5 então teremos a seqüência de números em que cada número é divisível pelo número composto por seus 2 últimos dígitos. O problema é que o número a1a2...an sempre terminará em 0, pois ele deve ser divisível por um número par X2,X4,X6 ou X8 e também divisível por X5. Mas o problema pede que o dígito das centenas não seja 0. Caso não fosse informado que o dígito das centenas não pode ser zero, qualquer seqüência de número consecutivos de 2 algarismos diferentes de 0 seria uma resposta. Gostaria de saber onde errei e qual seria a solução correta para o problema. Muito obrigado! -- Henrique
Re: [obm-l] Revista Eureka! No.25
Gostaria de comunicar que o Colégio GEO Natal mudou sua sede de endereço. Como devo proceder para continuar recebendo as edições e as informações da OBM? Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros amigos da OBM, Já está no site a versão eletrônica da Revista Eureka! No. 25 www.obm.org.br A versão impressa deve ser enviada para todos os sócios da AOBM (que estão em dia com o pagamento da anuidade 2007) ainda no decorrer do mês de maio. Abraços, Nelly = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Revista Eureka! No.25
Rauryson Alves wrote: Gostaria de comunicar que o Colégio GEO Natal mudou sua sede de endereço. Como devo proceder para continuar recebendo as edições e as informações da OBM? *//* Envie-nos os novos dados. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Revista Eureka! No.25
Colégio GEO Natal Professor Responsável: José Rauryson Alves Bezerra Novo Endereço: Av. Prudente de Morais, 3510 - Lagoa Nova, Natal - RN CEP.: 59056-200 Na Internet, contatos através de nosso site: http://www.geonatal.com.br/ Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] escreveu: Rauryson Alves wrote: Gostaria de comunicar que o Colégio GEO Natal mudou sua sede de endereço. Como devo proceder para continuar recebendo as edições e as informações da OBM? *//* Envie-nos os novos dados. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Revista Eureka! No.25
Caros amigos da OBM, Já está no site a versão eletrônica da Revista Eureka! No. 25 www.obm.org.br A versão impressa deve ser enviada para todos os sócios da AOBM (que estão em dia com o pagamento da anuidade 2007) ainda no decorrer do mês de maio. Abraços, Nelly = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Eureka
Marcelo Salhab, eu estou achando simples.Será que é dessa forma? aliás as continhas não são essas? 2*(1/2 + ... + 1/2001)K = 2*(1/2 +...+1/2001)*= 2*(1/2 +..+1/2001)1001000 - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 30, 2007 2:14 PM Subject: Re: [obm-l] Eureka Ola Pedro, queremos calcular: Sum 2k * (1/2 + ... + 1/2001) = 2*(1/2 + ... + 1/2001)*Sum k = 2*(1/2 + ... + 1/2001)*(1+1000)*1000/2 = (1/2 + ... + 1/2001)*1000 logo, a soma pedida é: 1000*(1/2 + 1/3 + ... + 1/2000 + 1/2001) = 1000*[H(2001) - 1] onde H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n acho que é isso. abracos, Salhab On 4/24/07, Pedro Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Vocês podem me dar uma idéia. Esta questão se encontra na eureka n° 12 (Estônia) Considere todos os produtos por 2, 4, 6, ...,2000 dos elementos do conjunto .Determine a soma de todos estes produtos Internal Virus Database is out-of-date. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.289 / Virus Database: 0.0.0 - Release Date: unknown -- Internal Virus Database is out-of-date. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.289 / Virus Database: 0.0.0 - Release Date: unknown clip_image002.gifclip_image004.gifclip_image002.gifInternal Virus Database is out-of-date. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.289 / Virus Database: 0.0.0 - Release Date: unknown
[obm-l] Eureka
Vocês podem me dar uma idéia. Esta questão se encontra na eureka n° 12 (Estônia) Considere todos os produtos por 2, 4, 6, ...,2000 dos elementos do conjunto .Determine a soma de todos estes produtosclip_image002.gifInternal Virus Database is out-of-date. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.289 / Virus Database: 0.0.0 - Release Date: unknown
Re: [obm-l] Eureka
Ola Pedro, queremos calcular: Sum 2k * (1/2 + ... + 1/2001) = 2*(1/2 + ... + 1/2001)*Sum k = 2*(1/2 + ... + 1/2001)*(1+1000)*1000/2 = (1/2 + ... + 1/2001)*1000 logo, a soma pedida é: 1000*(1/2 + 1/3 + ... + 1/2000 + 1/2001) = 1000*[H(2001) - 1] onde H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n acho que é isso. abracos, Salhab On 4/24/07, Pedro Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Vocês podem me dar uma idéia. Esta questão se encontra na eureka n° 12 (Estônia) Considere todos os produtos por 2, 4, 6, ...,2000 dos elementos do conjunto .Determine a soma de todos estes produtos Internal Virus Database is out-of-date. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.289 / Virus Database: 0.0.0 - Release Date: unknown inline: clip_image002.gif
[obm-l] desigualdade da Eureka romena (2)
Sauda,c~oes,
===
2(1+x^{n+1})^n = (1+x^n)^{n+1}
para x0 , n\in N.
===
Tentei por indução e não consegui.
===
Depois mando outra.
===
Aí vai:
Seja S_n(p) = S = 1 + 2^p + 3^p + n^p
com n,p\in N; p = n 0. Mostre que
[n/(p+1)] + 1/2 = S/n^p 2 .
Fonte: Gazeta Matematica V.97, p.228.
[]'s
Luis
_
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re:[obm-l] desigualdade da Eureka romena (2)
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Wed, 21 Mar 2007 13:00:32 +
Assunto:[obm-l] desigualdade da Eureka romena (2)
Sauda,c~oes,
===
2(1+x^{n+1})^n = (1+x^n)^{n+1}
para x0 , n\in N.
===
Tentei por indução e não consegui.
Seja f:[0,+inf) - R dada por:
f(x) = 2^(1/n)*(1+x^(n+1)) - (1+x^n)^((n+1)/n)
onde n é um inteiro positivo arbitrário mas fixo.
f é diferenciável ==
f'(x) = (n+1)*x^(n-1)*(2^(1/n)*x - (1+x^n)^(1/n))
f'(x) = 0 == x = 0 ou x = 1
x 1 == f'(x) 0.
Logo, os pontos críticos de f são x = 0 e x = 1.
f(0) = 2^(1/n) - 1 0
f(1) = 0 == f(x) é mínimo (e igual a 0) para x = 1 ==
f(x) = 0 para todo x = 0 ==
2^(1/n)*(1+x^(n+1)) = (1+x^n)^((n+1)/n), para todo x = 0 ==
(elevando a n-ésima potência)
2*(1+x^(n+1))^n = (1+x^n)^(n+1), para todo x = 0.
===
Aí vai:
Seja S_n(p) = S = 1 + 2^p + 3^p + n^p
com n,p\in N; p = n 0. Mostre que
[n/(p+1)] + 1/2 = S/n^p 2 .
Fonte: Gazeta Matematica V.97, p.228.
Compare Integral(0...1) x^p*dx com as somas de Riemann inferior e superior,
usando n sub-intervalos de comprimento 1/n, x_k = (k-1)/n, y_k = k/n (k=1...n).
Teremos:
(1+2^p+...+(n-1)^p)/n^(p+1) = 1/(p+1) = (1+2^p+...+n^p)/n^(p+1)
Ou seja, (S - n^p)/n^p = S/n^p - 1 = n/(p+1) = S/n^p.
Como 0 n = p, teremos S/n^p - 1 = n/(p+1) 1 == S/n^p 2.
Pra outra desigualdade vou ter que pensar mais um pouco, mas imagino que
[n/(p+1)] não deva ser a parte inteira de n/(p+1), que é zero.
[]s,
Claudio.
Re:[obm-l] desigualdade da Eureka romena (2)
Sauda,c~oes,
Oi Claudio,
===
2(1+x^{n+1})^n = (1+x^n)^{n+1}
para x0 , n\in N.
===
Sua solução é a padrão. ok.
Nem tentei deste modo pois se funcionar não
tem graça. Valeu.
===
Seja S_n(p) = S = 1 + 2^p + 3^p + n^p
com n,p\in N; p = n 0. Mostre que
[n/(p+1)] + 1/2 = S/n^p 2 .
===
Gostei. Valeu novamente.
===
Pra outra desigualdade vou ter que pensar mais um pouco,
mas imagino que [n/(p+1)] não deva ser a parte inteira de
n/(p+1), que é zero.
===
Não é. O termo é somente n/(p+1). Não tenho hábito de
escrever [x] parte inteira de x. Escrevo \lfloor e \rfloor do
LaTeX ou defino [x] parte inteira. Foi mal.
[]'s
L.
_
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re:[obm-l] desigualdade da Eureka romena (2)
Aí vai: Seja S_n(p) = S = 1 + 2^p + 3^p + n^p com n,p\in N; p = n 0. Mostre que [n/(p+1)] + 1/2 = S/n^p 2 . Fonte: Gazeta Matematica V.97, p.228. Compare Integral(0...1) x^p*dx com as somas de Riemann inferior e superior, usando n sub-intervalos de comprimento 1/n, x_k = (k-1)/n, y_k = k/n (k=1...n). Teremos: (1+2^p+...+(n-1)^p)/n^(p+1) = 1/(p+1) = (1+2^p+...+n^p)/n^(p+1) Ou seja, (S - n^p)/n^p = S/n^p - 1 = n/(p+1) = S/n^p. Como 0 n = p, teremos S/n^p - 1 = n/(p+1) 1 == S/n^p 2. Pra outra desigualdade vou ter que pensar mais um pouco, mas imagino que [n/(p+1)] não deva ser a parte inteira de n/(p +1), que é zero. Aqui vai a outra desigualdade: A funcao x - x^p eh convexa se p = 1. Logo, a aproximacao trapezoidal supera o valor da integral (iguala se p = 1). Assim, Soma(k=1...n) ((k-1)/^p+k^p)/(2n^(p+1)) = 1/(p+1) == Soma(k=1...n) ((k-1)^p + k^p) = 2S - n^p = 2n^(p+1)/(p+1) == S/n^p - 1/2 = n/(p+1) == S/n^p = n/(p+1) + 1/2. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] soma da Eureka romena
tan(a-b) = (tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(b)) ==
tan(a)*tan(b) = (tan(a)-tan(b))/tan(a-b) - 1
a = (k+1)x e b = kx ==
tan((k+1)x)*tan(kx) = (tan((k+1)x) - tan(kx))/tan(x) - 1 ==
Soma(1=k=n-1) tan((k+1)x)*tan(kx) =
Soma(1=k=n-1) ( (tan((k+1)x) - tan(kx))/tan(x) - 1 ) =
(tan(nx) - tan(x))/tan(x) - (n-1)
x = pi/n ==
Soma(1=k=n-1) tan(k*pi/n)*tan((k+1)*pi/n) =
(tan(pi) - tan(pi/n))/tan(pi/n) - (n-1) = -n.
(a condicao de n ser impar eh necessaria para evitar o termo correspondente a k
= n/2, o qual contem tan(pi/2))
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Mon, 19 Mar 2007 14:20:33 +
Assunto: [obm-l] soma da Eureka romena
Sauda,c~oes,
Esta é da Gazeta Matematica V.97, p.229.
Calcular
\sum_{k=1}^{n-1} \tan(k\pi/n) \tan[(k+1)\pi/n]
n=3, ímpar.
[]'s
Luis
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] desigualdade da Eureka romena
Sauda,c~oes,
Obrigado Shine e Claudio.
Mais um da Gazeta Matematica V.97, p.228.
2(1+x^{n+1})^n = (1+x^n)^{n+1}
para x0 , n\in N.
Depois mando outra.
[]'s
Luis
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[obm-l] soma da Eureka romena
Sauda,c~oes,
Esta é da Gazeta Matematica V.97, p.229.
Calcular
\sum_{k=1}^{n-1} \tan(k\pi/n) \tan[(k+1)\pi/n]
n=3, ímpar.
[]'s
Luis
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Re: [obm-l] soma da Eureka romena
hm...
Para facilitar a notação, seja w = \pi/n. Note que w não depende de k.
tg(w) = tg((k+1)w - kw) = [tg((k+1)w) - tg(kw)]/[1 + tg(kw)tg((k+1)w)]
Logo
1 + tg(kw)tg((k+1)w) = [tg((k+1)w) - tg(kw)]/tg(w),
ou seja,
tg(kw)tg((k+1)w) = [tg((k+1)w) - tg(kw)]/tg(w) - 1
e a soma S fica simples:
S = soma([tg((k+1)w) - tg(kw)]/tg(w) - 1)
= [tg(2w) - tg(w)]/tg(w) - 1 + [tg(3w) - tg(2w)]/tg(w) - 1 + ... + [tg(nw) -
tg((n-1)w)]/tg(w) - 1
= [1/tg(w)][tg(2w) - tg(w) + tg(3w) - tg(2w) + ... + tg(nw) - tg((n-1)w)] -
(n-1)
= [1/tg(w)][tg(nw) - tg(w)] - (n-1)
Mas tg(nw) = tg(\pi) = 0. Logo
S =[1/tg(w)][-tg(w)] - (n-1) = -1 - (n-1) = -n.
[]'s
Shine
- Original Message
From: Luís Lopes [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, March 19, 2007 11:20:33 AM
Subject: [obm-l] soma da Eureka romena
Sauda,c~oes,
Esta é da Gazeta Matematica V.97, p.229.
Calcular
\sum_{k=1}^{n-1} \tan(k\pi/n) \tan[(k+1)\pi/n]
n=3, ímpar.
[]'s
Luis
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[obm-l] Sobre o Problema 112 da Eureka! (matriz nXn, elementos -1,0,1)
Olá pessoas!
Alguem se lembra daquele problema da Cone Sul?
Aqui uma pequena modificacao:
Preencher uma matriz n por n com os elementos de {-1,0,1}
tal que o conjunto das somas dos elementos
de cada uma das filas tenha 2n elementos
(todos diferentes, pela definicao de conjunto :P)
Bem, é particularmente fácil resolver este problema para n par (uma inducao
simplezinha...)
A parte que está me enchendo a paciência é demonstrar que nao funciona para
os ímpares.
Eu reuni alguns resultados (quem ainda esta pensando e nao quer ver, pare de
ler aqui!)
Enfim...
Algumas coisas sao faceis de prever no caso n ímpar...
Seja n=2k+1.
As possíveis somas vao desde 1+1+1+...+1=n até -1-1-1-...-1=-n,
um total de 2n+1 elementos (lembre-se do zero!). Chamemos este confunto de
X[n]
Como sao 2n filas, isto significa que um e só um dos elementos de X[n] nao
aparece.
Como o problema é invariante se multiplicarmos os elementos da matriz por
-1, podemos supor que n aparece como uma das somas.
Se o 0 aparecesse como uma das somas, temos um absurdo. De fato, a soma das
somas das linhas é igual a soma da soma das colunas. Logo a soma das somas
de todas as filas
é par. Mas se o 0 aparece e o n aparecem, temos que o -n nao aparace, e a
soma dos elementos é n (os diferentes de 0 se cancelam), um numero impar.
Logo o 0 nao aperece, ou seja, os numeros 1,2,...,n e os seus opostos
aparecem nas somas das filas.
Podemos nos aproveitar da comutatividade e fixar alguns valores. Por
exemplo, vendo o caso n=5, podemos supor que o 5 é a soma da primeira linha
(caso contrario e so trocar linhas e colunas!):
1 1 1 1 1
a b c d e
f g h i j
k l m n o
p q r s t
Mas aí é fácil ver que o -5 só pode ir embaixo do 5:
1 1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1
f g h i j
k l m n o
p q r s t
E o 4 teria que vir logo depois:
1 1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1
1 1 1 1 0
k l m n o
p q r s t
O -4 viria abaixo, mas temos que ver dois casos:
1 1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1
1 1 1 1 0
-1 -1 -1 -1 0
p q r s t
ou
1 1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1
1 1 1 1 0
-1 -1 -1 0 -1
p q r s t
Mas é fácil ver que nenhum dos casos dá certo, mas é puramente BPB (braçal
pra burro...).
De resto nao descobri mais nada!
Bem, alguém tem outras idéias?
--
Ideas are bulletproof.
V
Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.
Oi, Luis:
Acho que um exemplo com n = 3 elucida tudo...
f_0(x) = x^3
f_1(x) = f_0(x+1) - f_0(x) = (x+1)^3 - x^3 = 3x(x+1) + 1
f_2(x) = f_1(x+1) - f_1(x) = 3(x+1)(x+2) + 1 - 3x(x+1) - 1 = 6(x+1)
f_3(x) = f_2(x+1) - f_2(x) = 6(x+2) - 6(x+1) = 6 = 3!
Ou seja, grau(f_i) = n-i == se f_2(x) = 2, entao f_1(x) =ax+b e f_0(x) = x^2.
Usando a recorrencia, f_1(x) = (x+1)^2 - x^2 = 2x+1 == a = 2, b = 1.
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 13 Nov 2006 19:50:56 +
Assunto: Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.
Sauda,c~oes,
Oi Nicolau,
Estou mesmo confuso.
Entendo que f_2 (x) = 2! = 2.
Pela definição da recorrência,
f_2 (x) = f_1 (x+1) - f_1 (x) = 1 - 1 = 0.
Qual o erro que cometo?
Na solução a base da indução não aparece.
Como seriam f_1(x) e f_2(x) dados pela
recorrência?
[]'s
Luís
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.
Date: Mon, 13 Nov 2006 16:22:55 -0200
On Mon, Nov 13, 2006 at 03:50:00PM +, Luís Lopes wrote:
Sauda,c~oes,
Folheando as Eurekas detive-me neste problema,
lá resolvido por indução.
Eureka 6 pp.~51--52.
26) Sejam as funções f_0 (x) = x^n e
f_i (x) = f_{i-1} (x+1) - f_{i-1} (x) onde
x, n e i são inteiros positivos. Prove que,
para todo x, f_n (x) = n!
Transcrevi como está. Não tem algo errado?
Acho que está tudo certo. Talvez o que esteja confundindo você
é que f_0 depende de n. Ou seja, temos um problema para cada n.
[]s, N.
_
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.
Caro Luis, Voce escreveu que pela definição de recorrência, teríamos: f_2 (x) = f_1 (x+1) - f_1 (x) = 1 - 1 = 0. (?)Porém, sabe-se que:f_1(x) = f_0(x+1) - f_0(x)= (x+1)^2 - x^2 (n assume ovalor escolhido por você) f_1(x) = 2x+1 f_2(x) = f_1(x+1) - f_1(x) f_2(x)=[2(x+1)+1] - (2x+1)= 2 Assim, f_2(x) = 2! (e assim fica provado para n=2) Espero ter ajudado,Felipe Marinho de Oliveira Sardinha"claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Luis:Acho que um exemplo com n = 3 elucida tudo...f_0(x) = x^3f_1(x) = f_0(x+1) - f_0(x) = (x+1)^3 - x^3 = 3x(x+1) +
1f_2(x) = f_1(x+1) - f_1(x) = 3(x+1)(x+2) + 1 - 3x(x+1) - 1 = 6(x+1)f_3(x) = f_2(x+1) - f_2(x) = 6(x+2) - 6(x+1) = 6 = 3!Ou seja, grau(f_i) = n-i == se f_2(x) = 2, entao f_1(x) =ax+b e f_0(x) = x^2.Usando a recorrencia, f_1(x) = (x+1)^2 - x^2 = 2x+1 == a = 2, b = 1.[]s,Claudio.-- Cabeçalho original ---De: [EMAIL PROTECTED]Para: obm-l@mat.puc-rio.brCópia: Data: Mon, 13 Nov 2006 19:50:56 +Assunto: Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52. Sauda,c~oes, Oi Nicolau, Estou mesmo confuso. Entendo que f_2 (x) = 2! = 2. Pela definição da recorrência, f_2 (x) = f_1 (x+1) - f_1 (x) = 1 - 1 = 0. Qual o erro que cometo? Na solução a base da indução não aparece. Como seriam f_1(x) e f_2(x) dados pela recorrência? []'s
Luís From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52. Date: Mon, 13 Nov 2006 16:22:55 -0200 On Mon, Nov 13, 2006 at 03:50:00PM +, Luís Lopes wrote: Sauda,c~oes, Folheando as Eurekas detive-me neste problema, lá resolvido por indução. Eureka 6 pp.~51--52. 26) Sejam as funções f_0 (x) = x^n e f_i (x) = f_{i-1} (x+1) - f_{i-1} (x) onde x, n e i são inteiros positivos. Prove que, para todo x, f_n (x) = n! Transcrevi como está. Não tem algo errado? Acho que está tudo certo. Talvez o que esteja confundindo você
é que f_0 depende de n. Ou seja, temos um problema para cada n. []s, N. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
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Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.
Sauda,c~oes,
Oi Claudio, Nicolau,
Vivendo e aprendendo. Entendi. Obrigado.
Estou coletando exercícios para uma nova edição
do Manual de Indução e este fará parte dela.
[]'s
Luís
From: claudio\.buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.
Date: Tue, 14 Nov 2006 07:19:19 -0300
Oi, Luis:
Acho que um exemplo com n = 3 elucida tudo...
f_0(x) = x^3
f_1(x) = f_0(x+1) - f_0(x) = (x+1)^3 - x^3 = 3x(x+1) + 1
f_2(x) = f_1(x+1) - f_1(x) = 3(x+1)(x+2) + 1 - 3x(x+1) - 1 = 6(x+1)
f_3(x) = f_2(x+1) - f_2(x) = 6(x+2) - 6(x+1) = 6 = 3!
Ou seja, grau(f_i) = n-i == se f_2(x) = 2, entao f_1(x) =ax+b e f_0(x) =
x^2.
Usando a recorrencia, f_1(x) = (x+1)^2 - x^2 = 2x+1 == a = 2, b = 1.
[]s,
Claudio.
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De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Mon, 13 Nov 2006 19:50:56 +
Assunto: Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.
Sauda,c~oes,
Oi Nicolau,
Estou mesmo confuso.
Entendo que f_2 (x) = 2! = 2.
Pela definição da recorrência,
f_2 (x) = f_1 (x+1) - f_1 (x) = 1 - 1 = 0.
Qual o erro que cometo?
Na solução a base da indução não aparece.
Como seriam f_1(x) e f_2(x) dados pela
recorrência?
[]'s
Luís
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.
Date: Mon, 13 Nov 2006 16:22:55 -0200
On Mon, Nov 13, 2006 at 03:50:00PM +, Luís Lopes wrote:
Sauda,c~oes,
Folheando as Eurekas detive-me neste problema,
lá resolvido por indução.
Eureka 6 pp.~51--52.
26) Sejam as funções f_0 (x) = x^n e
f_i (x) = f_{i-1} (x+1) - f_{i-1} (x) onde
x, n e i são inteiros positivos. Prove que,
para todo x, f_n (x) = n!
Transcrevi como está. Não tem algo errado?
Acho que está tudo certo. Talvez o que esteja confundindo você
é que f_0 depende de n. Ou seja, temos um problema para cada n.
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Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.
Sauda,c~oes, Oi Aldo, No Manual de Seq. e Séries 2 o problema 61) mostra que Somatorio(i=0 até n) (-1)^i * Binomial(n, i) * * (a_0 + a_1 i + ... + a_n i^n) = (-1)^n n! a_n. Conclua que Somatorio(i=0 até n) (-1)^(n-i) * Binomial(n, i) * (x+i)^n = n! []'s Luís From: Aldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52. Date: Tue, 14 Nov 2006 13:54:13 -0200 Eu consegui provar que: f_n(x) = Somatorio(i=0 até n) (-1)^(n-i) * Binomial(n, i) * f_0(x+i) Sendo f_0(x) = x^n, como provar que: Somatorio(i=0 até n) (-1)^(n-i) * Binomial(n, i) * (x+i)^n = n! Abraços, Aldo _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.
Sauda,c~oes,
Folheando as Eurekas detive-me neste problema,
lá resolvido por indução.
Eureka 6 pp.~51--52.
26) Sejam as funções f_0 (x) = x^n e
f_i (x) = f_{i-1} (x+1) - f_{i-1} (x) onde
x, n e i são inteiros positivos. Prove que,
para todo x, f_n (x) = n!
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Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.
On Mon, Nov 13, 2006 at 03:50:00PM +, Luís Lopes wrote:
Sauda,c~oes,
Folheando as Eurekas detive-me neste problema,
lá resolvido por indução.
Eureka 6 pp.~51--52.
26) Sejam as funções f_0 (x) = x^n e
f_i (x) = f_{i-1} (x+1) - f_{i-1} (x) onde
x, n e i são inteiros positivos. Prove que,
para todo x, f_n (x) = n!
Transcrevi como está. Não tem algo errado?
Acho que está tudo certo. Talvez o que esteja confundindo você
é que f_0 depende de n. Ou seja, temos um problema para cada n.
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Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.
Sauda,c~oes,
Oi Nicolau,
Estou mesmo confuso.
Entendo que f_2 (x) = 2! = 2.
Pela definição da recorrência,
f_2 (x) = f_1 (x+1) - f_1 (x) = 1 - 1 = 0.
Qual o erro que cometo?
Na solução a base da indução não aparece.
Como seriam f_1(x) e f_2(x) dados pela
recorrência?
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Luís
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
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Subject: Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.
Date: Mon, 13 Nov 2006 16:22:55 -0200
On Mon, Nov 13, 2006 at 03:50:00PM +, Luís Lopes wrote:
Sauda,c~oes,
Folheando as Eurekas detive-me neste problema,
lá resolvido por indução.
Eureka 6 pp.~51--52.
26) Sejam as funções f_0 (x) = x^n e
f_i (x) = f_{i-1} (x+1) - f_{i-1} (x) onde
x, n e i são inteiros positivos. Prove que,
para todo x, f_n (x) = n!
Transcrevi como está. Não tem algo errado?
Acho que está tudo certo. Talvez o que esteja confundindo você
é que f_0 depende de n. Ou seja, temos um problema para cada n.
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[obm-l] Eureka No. 24
Caros amigos da OBM, Já está no ar a revista Eureka No. 24 confiram! Neste número estamos publicando as soluções da 27a. Olimpíada Brasileira de Matemática, de 2005, em seus quatro níveis. Esperamos que esta edição seja útil para o treinamento dos alunos classificados para a fase final da 28a. OBM, aos quais damos os parabéns e desejamos boa sorte. Abraços, Nelly = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Ajuda no problema da Eureka.
2006/7/19, Leonardo Borges Avelino [EMAIL PROTECTED]: Na Eureka 4 ou 5 existe uma solução interessantíssima para tal kestaum... abraçao Em 18/07/06, [EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Mensagem Original: Data: 12:29:11 18/07/2006 De: sjdmc [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Ajuda no problema da Eureka. Saudações aos amigos desta lista. Gostaria de obter ajuda em uma questão da Eureka n°=3. Exercicío proposto 18. Fui tentar obter ajudar com o programa Maple e me enrolei mais ainda na questão. Peço uma ajuda na questão . Seja a(alfa) a maior raiz real da equação x^3 -3x^2 + 1 = 0. Prove que [a^2004] é divísivel por 17. Obs: [y] é o único inteiro tal que [y]=y=[y]+1. Agradeço qualquer informação. []'s, Saulo. Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Onde está escrito prop é a (alfa) desculpa pelo erro. Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = uma solução para tal problema pode ser encontrada na eureka 4,caso vc não a possua ela esta disponivel no site da OBM,blz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ajuda no problema da Eureka.
Saudações aos amigos desta lista. Gostaria de obter ajuda em uma questão da Eureka n°=3. Exercicío proposto 18. Fui tentar obter ajudar com o programa Maple e me enrolei mais ainda na questão. Peço uma ajuda na questão . Seja prop;(alfa) a maior raiz real da equação x^3 -3x^2 + 1 = 0. Prove que [prop;^2004] é divísivel por 17. Obs: [y] é o único inteiro tal que [y]=y=[y]+1. Agradeço qualquer informação. []'s, Saulo. Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda no problema da Eureka.
Mensagem Original: Data: 12:29:11 18/07/2006 De: sjdmc [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Ajuda no problema da Eureka. Saudações aos amigos desta lista. Gostaria de obter ajuda em uma questão da Eureka n°=3. Exercicío proposto 18. Fui tentar obter ajudar com o programa Maple e me enrolei mais ainda na questão. Peço uma ajuda na questão . Seja a(alfa) a maior raiz real da equação x^3 -3x^2 + 1 = 0. Prove que [a^2004] é divísivel por 17. Obs: [y] é o único inteiro tal que [y]=y=[y]+1. Agradeço qualquer informação. []'s, Saulo. Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Onde está escrito prop é a (alfa) desculpa pelo erro. Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Ajuda no problema da Eureka.
Na Eureka 4 ou 5 existe uma solução interessantíssima para tal kestaum... abraçao Em 18/07/06, [EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Mensagem Original: Data: 12:29:11 18/07/2006 De: sjdmc [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Ajuda no problema da Eureka. Saudações aos amigos desta lista. Gostaria de obter ajuda em uma questão da Eureka n°=3. Exercicío proposto 18. Fui tentar obter ajudar com o programa Maple e me enrolei mais ainda na questão. Peço uma ajuda na questão . Seja a(alfa) a maior raiz real da equação x^3 -3x^2 + 1 = 0. Prove que [a^2004] é divísivel por 17. Obs: [y] é o único inteiro tal que [y]=y=[y]+1. Agradeço qualquer informação. []'s, Saulo. Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Onde está escrito prop é a (alfa) desculpa pelo erro. Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
