Re: RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Olá,
O resultado que eu estava procurando é o teorema de
Mittag-Leffler. Ainda não achei uma demonstração.
Alguém conhece uma on-line?
http://mathworld.wolfram.com/Mittag-LefflersPartialFractionsTheorem.html
http://planetmath.org/encyclopedia/MittagLefflersTheorem.html
[]´s Demetrio
--- Demetrio Freitas
<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> --- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
> escreveu:
>
> > É para aprender mais do que para qualquer outra
> > coisa.
> >
> > > (*)A propósito, qual é a prova de que toda
> função
> > > meromórfica tem expensão em frações parciais??
> > Estou
> > > (quase) certo de que isso é verdade, mas não
> > conheço a
> > > prova... Acho até que vale para toda função
> > analítica.
> >
> > Não sei direito qual é o enunciado do que você
> está
> > tentando provar. Se a função for f(z) = e^z/z, por
> > exemplo,
> > você pode escrever f(z) = g(z) + (1/z) onde g(z) =
> > (e^z - 1)/z
> > é inteira. É este tipo de decomposição que você
> quer
> > provar
> > que pode ser feito (para qq função meromorfa e ao
> > redor de qq polo)?
> > Se for, isto segue diretamente da série de
> > Taylor-Laurent.
> > Ou será que você está falando de coisas tipo a
> série
> > abaixo:
> >
> > tan z = SOMA_{k=1,2,...} (1/(z-((2k-1)*pi/2))) +
> > (1/(z+((2k-1)*pi/2)))
> >
>
> Boa tarde professor Nicolau,
>
> Eu estou falando de séries como tan(z) = SOMA_
> Acho que é melhor deixar funções inteiras de fora
> num
> primeiro momento (apesar de que eu suspeite que seja
> possível incluí-las também).
>
> Eu tenho a impressão que este tipo de expressão não
> é
> restrito a poucas funções. Deixe eu ver se consigo
> me
> explicar um pouco melhor.
>
> É bem conhecido que se pode obter este tipo de
> expressão (uma decomposição em funções parciais)
> para
> funções racionais. Isso é uma consequência do
> teorema
> fundamental da álgebra, já você pode escrever o
> denominador na forma produto de raízes e depois
> decompô-lo em cada pólo. Ex:
>
> f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)=(x^2+1)/((x+1)*(x-1))=
> =1+1/(x-1)-1/(x+1)
>
> Então, neste aspecto o teorema fundamental da
> álgebra
> diz o seguinte: "funções racionais são univocamente
> caracterizadas pelo seu conjunto de zeros e pólos"
> (Acho até que só pelos pólos, considerando que para
> caracterizar o pólo seja necessário localização,
> multiplicidade e resíduos).
>
> Ou seja, até onde eu consigo ver, uma função
> racional
> é completamente caracterizada pelas suas
> singularidades. O fato de você poder obter uma
> decomposição em frações parciais é consequência
> disso.
>
>
> Bem, o raciocínio seguinte é perguntar se você pode
> afirmar o mesmo para qq função analítica, ou pelo
> menos para funções meromórficas. A resposta é sim,
> pelo menos para funções trigonométricas e
> hiperbólicas. Exemplos:
>
> sec(x) = SOMA_{k=1,2,...}
> (-1)^k*(1/(x-((2*k-1)*Pi/2))
> - 1/(x+((2*k-1)*Pi/2)))
>
> sech(x) = SOMA_{k=1,2,...}
> (-1)^(k+1)*((2*k-1)*Pi/(x^2+((2*k-1)*Pi/2)^2))
>
> cotan(x) = 1/x
> +SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)+1/(x-k*Pi))
>
> csc(x)^2 = 1/x^2
> +SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)^2+1/(x-k*Pi)^2)
>
> (cos(x)-sin(x))/(cos(x)+sin(x))=
> = SOMA_{k=1,2,...} 1/(x+(-1)^(k-1)*(2*k-1)*Pi/4)
>
> etc...
>
> Ou seja , dizer que as singularidades identificam a
> função e que pode obter-se uma expansão em frações
> parciais com os pólos vale para racionais,
> trigonométricas e hiperbólicas. A pergunta que segue
> é: será que vale para todas as meromórficas???!
>
> Não sei se eu consegui explicar direito, e
> naturalmente existe a possibilidade que eu tenha
> me
> perdido em algum erro básico... Mas vou pesquisar um
> pouco mais este final de semana, se eu achar alguma
> coisa, boto na lista.
>
> []´s Demétrio
>
>
>
> > (espero ter acertado)
> > Este tipo de expressão não é um caso particular de
> > um teorema geral,
> > é uma propriedade especial de uma função especial
> > (no caso, tan).
>
>
> >
> > []s, N.
> >
> > []s, N.
> >
>
=
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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> >
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>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=
>
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concorre a mais de 5
RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Visualizar este conjunto nao parece muito facil. A formulacao original do conjunto aberto gera uma colecao enumeravel de intervalos que nao sao disjuntos 2 a 2. Na realidade, cada um dos intervalos itersecta um numero infinito de outros intervalos, pois cada um contem uma infinidae de racionais que sao tambem embolotados. No final, estas unioes de intervalos vao dar os intervalos componentes, jah que o conjunto, por ser aberto, eh representado de forma unica por uma uniao enumeravel de intervalos abertos distintos 2 a 2. Sejam I_n os intervalos componentes do conjunto aberto gerado pelo processo descrito. Consideremos, para facilitar, que na parte positiva da reta real, estes intervalos estejam ordenados na ordem crescente dos pontos extremos inferiores. Assim, o primeiro eh (a1, b1) e o seguinte (a2, b2) com b1 <= a2. Se tivermos b1 < a2, entao o complementar F contem [b1, a2] que contem o aberto (b1, a2). Mas como F tem interior vazio, isto eh impossivel, de modo que b1 = a2. Igual consideracao valem para os outros intervalos componentes, de modo que o aberto original eh, na parte positiva da reta, da forma (a1, a2) U (a2, a3)U...(a_n, a_n+1) U (a_n+1, a_n+2) Assim, me parece que cada elemento do complementar F esta "espremido" entre 2 intervalos abertos. Mas isso acarreta que este complementar seja enumeravel e tenha, portanto, medida nula, contrariamente aa conclusao incontestavel de que tem medida infinita. Este meu ultimo raciocinio tem algum furo que nao estou conseguindo ver. A construcao do aberto dendo e com medida positiva eh perfeita, de modo que o complementar fechado, com interior vazio e medida infinita sem duvida existe. Este ultimo conjunto nao pode ser formado so por pontos isolados, ou seria enumeravel e teria medida nula. Ele tem sem duvida um subconjunto perfeito (fechado sem pontsos isolados) com medida infinita. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: sexta-feira, 14 de outubro de 2005 12:10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio Se vc está pensando no exemplo X que vai embolotando o n-ésimo racional com intervalos abertos de raio eps/(2^(n+1)) (na verdade, o complementar desse X), acho que basta pegar esse épsilon irracional; isso garante que não teremos coisas do tipo (a,b) (b,c). Por outro lado, X é denso em R, então qualquer intervalo aberto contendo um ponto z do complementar de X irá conter pontos de X, o q pela sua estrutura implicaria que algum r_n + eps/(2^(n+1)) está nesse intervalo, e como com o eps irracional não caímos no caso (a,b) (b,c), acho que dá pra garantir que esse ponto é diferente de z. []s, Daniel '>'-- Mensagem Original -- '>'Date: Fri, 14 Oct 2005 07:47:49 -0300 '>'Subject: Re:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '>'From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> '>'To: "obm-l" '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '>' '>' '>'OK. E se quisermos medida positiva, interior vazio, fechado e sem pontos '>'isolados? Repare que, no exemplo abaixo, podemos ter dois intervalos abertos '>'da forma (a,b) e (b,c), de modo que b seria um ponto isolado do complementar '>'da união dos intervalos. '>'Será que dá pra escolher, para cada racional r_n, um intervalo aberto I_n '>'tal que isso nunca ocorra? '>' '>'[]s, '>'Claudio. '>' '>'De:[EMAIL PROTECTED] '>' '>'Para:obm-l@mat.puc-rio.br '>' '>'Cópia: '>' '>'Data:Thu, 13 Oct 2005 17:23:02 -0300 '>' '>'Assunto:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '>' '>'> basta tomar o complementardaquele exemplo que vc deu.O complementar eh '>'fechado, tem interior vazio e medida infinita '>'> Artur '>'> '>'> '>'-Mensagem original- '>'De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome '>'de claudio.buffara '>'Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 14:04 '>'Para: obm-l '>'Assunto: Re:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '>' '>' '>'> E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal conjunto '>'seja fechado? '>'> '>'> []s, '>'> Claudio. '>'> '>'> De:[EMAIL PROTECTED] '>' '>'> Para:obm-l@mat.puc-rio.br '>' '>'> Cópia: '
RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Oi,Isto parece muito complicado, mas nao eh tanto assim nao. O conjunto desejado certamente
existe. Pode nao ser facil de construir, mas
podemos provar a sua existencia.R eh um espaco metrico separavel,
isto eh, contem um subconjunto denso e
enumeravel - Q, por exemplo. Comoconsequencia, se E eh um subconjunto de R,
entao o conjunto dos elementos de E que
sao pontos isolados ehenumeravel. Quando aplicada a conjuntos fechados,
esta conclusao dah origem ao teorema de
Cantor/Bendixson: Todo fechado F de R eh a uniao disjunta de um
conjunto perfeito com um enumeravel. O
enumeravel eh justamenteo conjunto dos pontos isolados de F.Sendo F
um conjunto fechado, com interior vazio e
medida positiva, o qual jah vimos existir,entao F = PUniao I, sendo P
perfeito e I enumeravel. Dado que P e I
sao disjuntos, a aditividade da medida leva a quem(F) = m(P) + m(I) = m(P),
pois todo enumeravel tem medida
nula. Logo, m(P) = m(F) >0. Assim P ehperfeito (fechado e sem
pontos isolados), tem interior vazio (pois
eh subconjunto de F) e tem medidapositiva.
Assim, construido o conjunto F do caso anterior, basta expurgar seus pontos isolados.Podemos
tambem encontrar conjuntos compactos,
perfeitos, com interior vazio
e medida positiva (finita).
AbracosArtur
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de
claudio.buffaraEnviada em: sexta-feira, 14 de outubro de 2005
07:48Para: obm-lAssunto: Re:RES: RES: [obm-l] Medida
Positiva e Interior Vazio
OK. E se quisermos medida positiva, interior vazio, fechado e sem pontos
isolados? Repare que, no exemplo abaixo, podemos ter dois intervalos
abertos da forma (a,b) e (b,c), de modo que b seria um ponto isolado do
complementar da união dos intervalos.
Será que dá pra escolher, para cada racional r_n, um intervalo aberto I_n
tal que isso nunca ocorra?
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Thu, 13 Oct 2005
17:23:02 -0300
Assunto:
RES: RES: [obm-l]
Medida Positiva e Interior Vazio
> basta tomar o complementardaquele exemplo que vc deu.O complementar eh
fechado, tem interior vazio e medida infinita
> Artur
>
>
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de
claudio.buffaraEnviada em: quinta-feira, 13 de outubro de
2005 14:04Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] Medida
Positiva e Interior Vazio
> E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o
tal conjunto seja fechado?
>
> []s,
> Claudio.
>
>
De:
[EMAIL PROTECTED]
>
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
>
Cópia:
>
Data:
Thu, 13 Oct 2005
12:13:18 -0300
>
Assunto:
RES: [obm-l]
Medida Positiva e Interior Vazio
> > Na
realidade, nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um conjunto aberto
e denso em R mas com medida arbitrariamente proxima de
zero.
> >
> > Um
conjunto com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais. Se
quisermos medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0, 1], Tem
medida 1.
> >
> > A
funcao de Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais, certo?
f(x) = 0 se x for irracional, f(x) =1 /n se x = m/n
for racional, m e n>0 primos entre si. Agora, eu
quero ver alguem dar um exemplo de funcao continua nos racionais e
descontinua nos irracionais.
> >
> > Considremos agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x<>0 e
f(x) = 0 se x = 0. Entao f'(0) = lim (x -> 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x
= lim (x -> 0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 > 0.
> > Temos
que 2*x*sen(1/x) => 0 quando x=> 0 e que, em qualquer intervalo
aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos
valores -1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f
tem uma infinidade de maximos e minimos relativos. Logo, f nao eh monotonica
em nenhum destes intervalos.
> >
> > Isto ilustra que f'(a) >0) nao eh condicao suficiente
para que a seja ponto de crescimento de f. Dizemos
que a eh ponto de crescimento de f se
existir uma vizinhanca de a na qual f seja
crescente.
> >
> > Artur
> > ] -Mensagem
original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de
claudio.buffaraEnviada em: quarta-feira, 12 de outubro de
2005
Re: RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
--- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:
> É para aprender mais do que para qualquer outra
> coisa.
>
> > (*)A propósito, qual é a prova de que toda função
> > meromórfica tem expensão em frações parciais??
> Estou
> > (quase) certo de que isso é verdade, mas não
> conheço a
> > prova... Acho até que vale para toda função
> analítica.
>
> Não sei direito qual é o enunciado do que você está
> tentando provar. Se a função for f(z) = e^z/z, por
> exemplo,
> você pode escrever f(z) = g(z) + (1/z) onde g(z) =
> (e^z - 1)/z
> é inteira. É este tipo de decomposição que você quer
> provar
> que pode ser feito (para qq função meromorfa e ao
> redor de qq polo)?
> Se for, isto segue diretamente da série de
> Taylor-Laurent.
> Ou será que você está falando de coisas tipo a série
> abaixo:
>
> tan z = SOMA_{k=1,2,...} (1/(z-((2k-1)*pi/2))) +
> (1/(z+((2k-1)*pi/2)))
>
Boa tarde professor Nicolau,
Eu estou falando de séries como tan(z) = SOMA_
Acho que é melhor deixar funções inteiras de fora num
primeiro momento (apesar de que eu suspeite que seja
possível incluí-las também).
Eu tenho a impressão que este tipo de expressão não é
restrito a poucas funções. Deixe eu ver se consigo me
explicar um pouco melhor.
É bem conhecido que se pode obter este tipo de
expressão (uma decomposição em funções parciais) para
funções racionais. Isso é uma consequência do teorema
fundamental da álgebra, já você pode escrever o
denominador na forma produto de raízes e depois
decompô-lo em cada pólo. Ex:
f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)=(x^2+1)/((x+1)*(x-1))=
=1+1/(x-1)-1/(x+1)
Então, neste aspecto o teorema fundamental da álgebra
diz o seguinte: "funções racionais são univocamente
caracterizadas pelo seu conjunto de zeros e pólos"
(Acho até que só pelos pólos, considerando que para
caracterizar o pólo seja necessário localização,
multiplicidade e resíduos).
Ou seja, até onde eu consigo ver, uma função racional
é completamente caracterizada pelas suas
singularidades. O fato de você poder obter uma
decomposição em frações parciais é consequência disso.
Bem, o raciocínio seguinte é perguntar se você pode
afirmar o mesmo para qq função analítica, ou pelo
menos para funções meromórficas. A resposta é sim,
pelo menos para funções trigonométricas e
hiperbólicas. Exemplos:
sec(x) = SOMA_{k=1,2,...} (-1)^k*(1/(x-((2*k-1)*Pi/2))
- 1/(x+((2*k-1)*Pi/2)))
sech(x) = SOMA_{k=1,2,...}
(-1)^(k+1)*((2*k-1)*Pi/(x^2+((2*k-1)*Pi/2)^2))
cotan(x) = 1/x
+SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)+1/(x-k*Pi))
csc(x)^2 = 1/x^2
+SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)^2+1/(x-k*Pi)^2)
(cos(x)-sin(x))/(cos(x)+sin(x))=
= SOMA_{k=1,2,...} 1/(x+(-1)^(k-1)*(2*k-1)*Pi/4)
etc...
Ou seja , dizer que as singularidades identificam a
função e que pode obter-se uma expansão em frações
parciais com os pólos vale para racionais,
trigonométricas e hiperbólicas. A pergunta que segue
é: será que vale para todas as meromórficas???!
Não sei se eu consegui explicar direito, e
naturalmente existe a possibilidade que eu tenha me
perdido em algum erro básico... Mas vou pesquisar um
pouco mais este final de semana, se eu achar alguma
coisa, boto na lista.
[]´s Demétrio
> (espero ter acertado)
> Este tipo de expressão não é um caso particular de
> um teorema geral,
> é uma propriedade especial de uma função especial
> (no caso, tan).
>
> []s, N.
>
> []s, N.
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=
>
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
OK. E se quisermos medida positiva, interior vazio, fechado e sem pontos isolados? Repare que, no exemplo abaixo, podemos ter dois intervalos abertos da forma (a,b) e (b,c), de modo que b seria um ponto isolado do complementar da união dos intervalos. Será que dá pra escolher, para cada racional r_n, um intervalo aberto I_n tal que isso nunca ocorra? []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 13 Oct 2005 17:23:02 -0300 Assunto: RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio > basta tomar o complementardaquele exemplo que vc deu.O complementar eh fechado, tem interior vazio e medida infinita > Artur > > -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 14:04Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio > E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal conjunto seja fechado? > > []s, > Claudio. > > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Cópia: > Data: Thu, 13 Oct 2005 12:13:18 -0300 > Assunto: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio > > Na realidade, nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um conjunto aberto e denso em R mas com medida arbitrariamente proxima de zero. > > > > Um conjunto com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais. Se quisermos medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0, 1], Tem medida 1. > > > > A funcao de Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais, certo? f(x) = 0 se x for irracional, f(x) =1 /n se x = m/n for racional, m e n>0 primos entre si. Agora, eu quero ver alguem dar um exemplo de funcao continua nos racionais e descontinua nos irracionais. > > > > Considremos agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x<>0 e f(x) = 0 se x = 0. Entao f'(0) = lim (x -> 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x -> 0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 > 0. > > Temos que 2*x*sen(1/x) => 0 quando x=> 0 e que, em qualquer intervalo aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos valores -1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f tem uma infinidade de maximos e minimos relativos. Logo, f nao eh monotonica em nenhum destes intervalos. > > > > Isto ilustra que f'(a) >0) nao eh condicao suficiente para que a seja ponto de crescimento de f. Dizemos que a eh ponto de crescimento de f se existir uma vizinhanca de a na qual f seja crescente. > > > > Artur > > ] -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 22:53Para: obm-lAssunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio > > Oi, pessoal: > > > > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto denso em R e de medida nula. Isso me lembrou de outro problema parecido: > > > > Dê um exemplo de subconjunto de R com medida positiva e interior vazio. > > > > Outros dois bonitinhos são: > > Dê um exemplo de função real contínua nos irracionais e descontínua nos racionais. > > e > > Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo ponto, tal que f'(0) > 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo contendo a origem. > > > > No mais, alguém já descobriu por que um chicote estala quando é usado? > > > > []s, > > Claudio. > >
Re: RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
On Thu, Oct 13, 2005 at 10:49:00PM +, Demetrio Freitas wrote:
> Eu me sinto meio desconfortável quando vc expressa
> uma função meromórfica e diz que ela não está definida
> nas singularidades, ou pior, que os pólos estão fora
> do domínio. Tudo bem, isto significa que você não pode
> usar a mesma definição usada nos demais pontos para
> calcular a função naquele ponto. Ou que a função não é
> limitada na vizinhança do ponto. Mas vcs não acham que
> isso parece induzir a pensar que esses pontos não são
> de interesse na definição da função?
>
> Não sei se eu estou conseguindo me expressar direito.
> Eu quero dizer apenas que acho a linguagem inadequada,
> já que no caso de uma função meromórfica as
> singularidades (e zeros) não só importam, mas de fato
> definem a função(*). Acho inclusive que não há
> definição mais informativa para uma função que a sua
> decomposição em frações parciais, que exatamente usa
> as singularidades.
Como você mesmo diz, isto é uma questão de linguagem.
Podemos, por exemplo, definir a função
tan: C - A -> C, A = {(2k+1)*pi/2, k em Z}
mas podemos igualmente bem definir
tan: C -> C U {infinito}, a esfera de Riemann.
Tecnicamente a segunda é uma extensão da primeira.
> []´s Demétrio
>
> Perdão se eu estou dizendo muita bobagem. Além de não
> ser matemático, eu também não sei matemática. Mas
> creio que lista também é pra tentar aprender...
É para aprender mais do que para qualquer outra coisa.
> (*)A propósito, qual é a prova de que toda função
> meromórfica tem expensão em frações parciais?? Estou
> (quase) certo de que isso é verdade, mas não conheço a
> prova... Acho até que vale para toda função analítica.
Não sei direito qual é o enunciado do que você está
tentando provar. Se a função for f(z) = e^z/z, por exemplo,
você pode escrever f(z) = g(z) + (1/z) onde g(z) = (e^z - 1)/z
é inteira. É este tipo de decomposição que você quer provar
que pode ser feito (para qq função meromorfa e ao redor de qq polo)?
Se for, isto segue diretamente da série de Taylor-Laurent.
Ou será que você está falando de coisas tipo a série abaixo:
tan z = SOMA_{k=1,2,...} (1/(z-((2k-1)*pi/2))) + (1/(z+((2k-1)*pi/2)))
(espero ter acertado)
Este tipo de expressão não é um caso particular de um teorema geral,
é uma propriedade especial de uma função especial (no caso, tan).
[]s, N.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Bem, parece que eu perdi uma boa oportunidade de ficar quieto... Ainda sim, parece que agora vou perder outra... Só que vou mudar o assunto. Eu me sinto meio desconfortável quando vc expressa uma função meromórfica e diz que ela não está definida nas singularidades, ou pior, que os pólos estão fora do domínio. Tudo bem, isto significa que você não pode usar a mesma definição usada nos demais pontos para calcular a função naquele ponto. Ou que a função não é limitada na vizinhança do ponto. Mas vcs não acham que isso parece induzir a pensar que esses pontos não são de interesse na definição da função? Não sei se eu estou conseguindo me expressar direito. Eu quero dizer apenas que acho a linguagem inadequada, já que no caso de uma função meromórfica as singularidades (e zeros) não só importam, mas de fato definem a função(*). Acho inclusive que não há definição mais informativa para uma função que a sua decomposição em frações parciais, que exatamente usa as singularidades. []´s Demétrio Perdão se eu estou dizendo muita bobagem. Além de não ser matemático, eu também não sei matemática. Mas creio que lista também é pra tentar aprender... (*)A propósito, qual é a prova de que toda função meromórfica tem expensão em frações parciais?? Estou (quase) certo de que isso é verdade, mas não conheço a prova... Acho até que vale para toda função analítica. --- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Mas este nao eh um exemplo. A menos de x = p, onde > nao eh definida, a sua > funca eh continua em todos so reais. > > Vc teria que dar exemplo de uma funcao que fosse > continua em todos os > racionais e desccontinua nos irracionais. Mas, pelas > propriedades dos > espacos de Baire, caso de R, esta funcao nao existe. > Isto eh consequencia > dos seguinte fatos: o conjunto dos pontos de > continuidade de uma funcao com > valores em R eh um G-delta (eh dado pela interseccao > de uma colecao > enumeravel de conjuntos abertos); o conjunto dos > racionais nao eh um > G-delta. > > Artur > > -Mensagem original- > De: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] > nome de Demetrio Freitas > Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 > 14:20 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: Re: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior > Vazio > > > Olá Artur, > > Não sei se vale esta, mas considere f(x) = > 1/(x-p)^2, > com p um número irracional. O único ponto onde f(x) > não é analítica é p. Embora ela cresça > indefinidamente > nos racionais também, não atinge a singularidade. > Isto > é, se adotarmos como definição de continuidade que > f(x) seja derivável, então 1/(x-p)^2 é continua nos > racionais e descontinua no irracionais. Também os > limites de f(x) são iguais à esquerda e à direita de > p. Porém apesar de continua, f(x) também não é > limitada nos racionais... > > []´s Demétrio > > --- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> > escreveu: > > Agora, eu quero ver alguem > > dar um exemplo de funcao > > continua nos racionais e descontinua nos > > irracionais. > > > > > > > ] -Mensagem original- > > De: [EMAIL PROTECTED] > > [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de > > claudio.buffara > > Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 > > 22:53 > > Para: obm-l > > Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio > > > > > > > > Oi, pessoal: > > > > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto > > denso em R e de medida nula. > > Isso me lembrou de outro problema parecido: > > > > Dê um exemplo de subconjunto de R com medida > > positiva e interior vazio. > > > > Outros dois bonitinhos são: > > Dê um exemplo de função real contínua nos > > irracionais e descontínua nos > > racionais. > > e > > Dê um exemplo de uma função real f derivável em > todo > > ponto, tal que f'(0) > > > 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo > > contendo a origem. > > > > No mais, alguém já descobriu por que um chicote > > estala quando é usado? > > > > []s, > > Claudio. > > > > > > > > > > > > > > > > > > ___ > > Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada > você acumula cupons e > concorre a mais de 500 prêmios! Participe! > http://yahoo.fbiz.com.br/ > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > =
RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Oh desculpe a distracao. temos que 0 < m(I) <= eps, de modo que m(I) tem
medida finita e, portanto, m(I') = infinito. Abertos nao vazios sempre tem
medida positiva.
Artur
-Mensagem original-
De: Artur Costa Steiner
Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 17:49
Para: 'obm-l@mat.puc-rio.br'
Assunto: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Ontem foi dado um exemplo disto. O conjunto existe sim. Repetindo o exemplo
do Claudio. Seja {r_n} uma enumeracao qualquer dos racionais Para eps>0
arbitrariaments escolhido, seja I_n o intervalo aberto de centro em r_n e
raio eps/(2^(n+1)). Seja I = Uniao (I_n). Entao I eh aberto, denso em R
(pois contem os racionais) e, pela sub-adtividade da medida, temos que a
medida de I eh m(I) <= Soma m(I_n) = eps*Soma (1/2^n) = eps.
Se I' eh o complementar de I, entao I' eh fechado, tem interior vazio (pois
I eh denso em R) e sua medida eh infinita (poir R tem medida infinita e m(I)
= 0).
Se quisermos exemplos com medida finita, basta tomar a uniao de I' com
compactos mensuraveis. Assim, I' inter [0,1] eh fechado, tem interior vazio
e sua medida eh 1.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 15:45
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
'>'E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal
conjunto
'>'seja fechado?
Se entendi direito, vc quer um conjunto A na reta com interior vazio, medida
positiva (m(A) > 0) e que seja fechado. Neste caso, acho que tal conjunto
não existe; vai abaixo a minha tentativa de mostrar isso por absurdo.
Podemos supor que A está contido em [0,1], já que a interseção de A com
cada intervalo do tipo [n, n+1) com n inteiro dá uma soma disjunta
enumerável
igual a A, e como m(A) > 0, algum desses caras tem que ter medida positiva.
Seja X = (0,1) inter Ac (Ac = complementar de A). Segue que X é aberto,
e portanto X é decomposto como uma união enumerável disjunta de intervalos
do tipo I_n = (a_n, b_n), com a_n < a_(n+1). Se y está em (0,1) e b_n <
y < a_(n+1), pela definição de X e ordenação dos I_n temos necessariamente
que y está em A, logo [b_n, a_(n+1)] está contido em A. Sendo o interior
de A vazio, isso implica que b_n = a_(n+1). Da mesma forma, a_1 = 0, e do
fato de que o fecho de X é [0,1], temos que todo ponto de A é igual a algum
a_n ou b_n, e então A é enumerável, não podendo portanto ter medida
positiva.
[]s,
Daniel
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Ontem foi dado um exemplo disto. O conjunto existe sim. Repetindo o exemplo
do Claudio. Seja {r_n} uma enumeracao qualquer dos racionais Para eps>0
arbitrariaments escolhido, seja I_n o intervalo aberto de centro em r_n e
raio eps/(2^(n+1)). Seja I = Uniao (I_n). Entao I eh aberto, denso em R
(pois contem os racionais) e, pela sub-adtividade da medida, temos que a
medida de I eh m(I) <= Soma m(I_n) = eps*Soma (1/2^n) = eps.
Se I' eh o complementar de I, entao I' eh fechado, tem interior vazio (pois
I eh denso em R) e sua medida eh infinita (poir R tem medida infinita e m(I)
= 0).
Se quisermos exemplos com medida finita, basta tomar a uniao de I' com
compactos mensuraveis. Assim, I' inter [0,1] eh fechado, tem interior vazio
e sua medida eh 1.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 15:45
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
'>'E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal
conjunto
'>'seja fechado?
Se entendi direito, vc quer um conjunto A na reta com interior vazio, medida
positiva (m(A) > 0) e que seja fechado. Neste caso, acho que tal conjunto
não existe; vai abaixo a minha tentativa de mostrar isso por absurdo.
Podemos supor que A está contido em [0,1], já que a interseção de A com
cada intervalo do tipo [n, n+1) com n inteiro dá uma soma disjunta
enumerável
igual a A, e como m(A) > 0, algum desses caras tem que ter medida positiva.
Seja X = (0,1) inter Ac (Ac = complementar de A). Segue que X é aberto,
e portanto X é decomposto como uma união enumerável disjunta de intervalos
do tipo I_n = (a_n, b_n), com a_n < a_(n+1). Se y está em (0,1) e b_n <
y < a_(n+1), pela definição de X e ordenação dos I_n temos necessariamente
que y está em A, logo [b_n, a_(n+1)] está contido em A. Sendo o interior
de A vazio, isso implica que b_n = a_(n+1). Da mesma forma, a_1 = 0, e do
fato de que o fecho de X é [0,1], temos que todo ponto de A é igual a algum
a_n ou b_n, e então A é enumerável, não podendo portanto ter medida
positiva.
[]s,
Daniel
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
E eu ainda escrevi discussão com ç na última msg...
Sem dúvida é melhor ficar quieto..
> --- Demetrio Freitas
> <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> >
> > --- "claudio.buffara"
> <[EMAIL PROTECTED]>
> > escreveu:
> >
> >
> > >
> > > > Olá Artur,
> > > >
> > > > Não sei se vale esta, mas considere f(x) =
> > > 1/(x-p)^2,
> > > > com p um número irracional. O único ponto onde
> > > f(x)
> > > > não é analítica é p.
> > >
> > > De fato, f não está nem definida em p, já que
> não
> > > podemos dividir por 0.
> > >
> > > > Embora ela cresça indefinidamente
> > > > nos racionais também, não atinge a
> > singularidade.
> > > Isto
> > > > é, se adotarmos como definição de continuidade
> > que
> > > > f(x) seja derivável, então 1/(x-p)^2 é
> continua
> > > nos
> > > > racionais e descontinua no irracionais.
> > >
> > > Não entendi o que você quis dizer com isso.
> > Supondo
> > > que estamos trabalhando com funções reais, o
> > domínio
> > > máximo de f é R - {p}.
> > > Neste domínio, f é contínua, derivável e, de
> fato,
> > > analítica em cada ponto.
> >
> > Claúdio, acho que esta discução é que está fora do
> > meu
> > domínio :-) Certamente eu não entendi o que o Arur
> > pedia... Teorema de Baire... isso é demais para
> > mim...
> > AssClim acho melhor ficar quieto e não dar mais
> > pitacos! Mas, com relação ao domínio de uma função
> > real, isso depende de escolha na hora definição,
> > correto? Por exemplo f(x) = sin(x-p)/(x-p). x=p
> > pertence ou não ao domínio de f? Creio que depende
> > de
> > como vc define f, já que vc precisa dizer que f(p)
> =
> > lim f(x) x->p... No caso, dizer que um ponto em R
> > não
> > pertence ao domínio de uma função não equivale a
> > dezer
> > que f não é contínua em R?
> >
> > []´s Demétrio
> >
> >
> > >
> > > > Também os
> > > > limites de f(x) são iguais à esquerda e à
> > direita
> > > de
> > > > p.
> > >
> > > f é ilimitada em qualquer vizinhança furada de
> p.
> > >
> > > Porém apesar de continua, f(x) também não é
> > > > limitada nos racionais...
> > > >
> > > > []´s Demétrio
> > > >
> > > > --- Artur Costa Steiner
> > > > escreveu:
> > > > > Agora, eu quero ver alguem
> > > > > dar um exemplo de funcao
> > > > > continua nos racionais e descontinua nos
> > > > > irracionais.
> > > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > ] -Mensagem original-
> > > > > De: [EMAIL PROTECTED]
> > > > > [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome
> de
> > > > > claudio.buffara
> > > > > Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de
> > 2005
> > > > > 22:53
> > > > > Para: obm-l
> > > > > Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior
> > > Vazio
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Oi, pessoal:
> > > > >
> > > > > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de
> > conjunto
> > > > > denso em R e de medida nula.
> > > > > Isso me lembrou de outro problema parecido:
> > > > >
> > > > > Dê um exemplo de subconjunto de R com medida
> > > > > positiva e interior vazio.
> > > > >
> > > > > Outros dois bonitinhos são:
> > > > > Dê um exemplo de função real contínua nos
> > > > > irracionais e descontínua nos
> > > > > racionais.
> > > > > e
> > > > > Dê um exemplo de uma função real f derivável
> > em
> > > todo
> > > > > ponto, tal que f'(0) >
> > > > > 0 mas que não seja crescente em nenhum
> > intervalo
> > > > > contendo a origem.
> > > > >
> > > > > No mais, alguém já descobriu por que um
> > chicote
> > > > > estala quando é usado?
> > > > >
> > > > > []s,
> > > > > Claudio.
> > > > >
> > > > >
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> > > > Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora
> > > navegada você acumula cupons e concorre a mais
> de
> > > 500 prêmios! Participe!
> http://yahoo.fbiz.com.br/
> > > >
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> > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista
> e
> > > usar a lista em
> > > >
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Re: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
E eu ainda escrevi discussão com ç na última msg...
Sem dúvida é melhor ficar quieto..
--- Demetrio Freitas
<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> --- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
> escreveu:
>
>
> >
> > > Olá Artur,
> > >
> > > Não sei se vale esta, mas considere f(x) =
> > 1/(x-p)^2,
> > > com p um número irracional. O único ponto onde
> > f(x)
> > > não é analítica é p.
> >
> > De fato, f não está nem definida em p, já que não
> > podemos dividir por 0.
> >
> > > Embora ela cresça indefinidamente
> > > nos racionais também, não atinge a
> singularidade.
> > Isto
> > > é, se adotarmos como definição de continuidade
> que
> > > f(x) seja derivável, então 1/(x-p)^2 é continua
> > nos
> > > racionais e descontinua no irracionais.
> >
> > Não entendi o que você quis dizer com isso.
> Supondo
> > que estamos trabalhando com funções reais, o
> domínio
> > máximo de f é R - {p}.
> > Neste domínio, f é contínua, derivável e, de fato,
> > analítica em cada ponto.
>
> Claúdio, acho que esta discução é que está fora do
> meu
> domínio :-) Certamente eu não entendi o que o Arur
> pedia... Teorema de Baire... isso é demais para
> mim...
> AssClim acho melhor ficar quieto e não dar mais
> pitacos! Mas, com relação ao domínio de uma função
> real, isso depende de escolha na hora definição,
> correto? Por exemplo f(x) = sin(x-p)/(x-p). x=p
> pertence ou não ao domínio de f? Creio que depende
> de
> como vc define f, já que vc precisa dizer que f(p) =
> lim f(x) x->p... No caso, dizer que um ponto em R
> não
> pertence ao domínio de uma função não equivale a
> dezer
> que f não é contínua em R?
>
> []´s Demétrio
>
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> >
> > > Também os
> > > limites de f(x) são iguais à esquerda e à
> direita
> > de
> > > p.
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> > f é ilimitada em qualquer vizinhança furada de p.
> >
> > Porém apesar de continua, f(x) também não é
> > > limitada nos racionais...
> > >
> > > []´s Demétrio
> > >
> > > --- Artur Costa Steiner
> > > escreveu:
> > > > Agora, eu quero ver alguem
> > > > dar um exemplo de funcao
> > > > continua nos racionais e descontinua nos
> > > > irracionais.
> > > >
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> > > >
> > > > ] -Mensagem original-
> > > > De: [EMAIL PROTECTED]
> > > > [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
> > > > claudio.buffara
> > > > Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de
> 2005
> > > > 22:53
> > > > Para: obm-l
> > > > Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior
> > Vazio
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Oi, pessoal:
> > > >
> > > > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de
> conjunto
> > > > denso em R e de medida nula.
> > > > Isso me lembrou de outro problema parecido:
> > > >
> > > > Dê um exemplo de subconjunto de R com medida
> > > > positiva e interior vazio.
> > > >
> > > > Outros dois bonitinhos são:
> > > > Dê um exemplo de função real contínua nos
> > > > irracionais e descontínua nos
> > > > racionais.
> > > > e
> > > > Dê um exemplo de uma função real f derivável
> em
> > todo
> > > > ponto, tal que f'(0) >
> > > > 0 mas que não seja crescente em nenhum
> intervalo
> > > > contendo a origem.
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> > > > No mais, alguém já descobriu por que um
> chicote
> > > > estala quando é usado?
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RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Mas este nao eh um exemplo. A menos de x = p, onde nao eh definida, a sua funca eh continua em todos so reais. Vc teria que dar exemplo de uma funcao que fosse continua em todos os racionais e desccontinua nos irracionais. Mas, pelas propriedades dos espacos de Baire, caso de R, esta funcao nao existe. Isto eh consequencia dos seguinte fatos: o conjunto dos pontos de continuidade de uma funcao com valores em R eh um G-delta (eh dado pela interseccao de uma colecao enumeravel de conjuntos abertos); o conjunto dos racionais nao eh um G-delta. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Demetrio Freitas Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 14:20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio Olá Artur, Não sei se vale esta, mas considere f(x) = 1/(x-p)^2, com p um número irracional. O único ponto onde f(x) não é analítica é p. Embora ela cresça indefinidamente nos racionais também, não atinge a singularidade. Isto é, se adotarmos como definição de continuidade que f(x) seja derivável, então 1/(x-p)^2 é continua nos racionais e descontinua no irracionais. Também os limites de f(x) são iguais à esquerda e à direita de p. Porém apesar de continua, f(x) também não é limitada nos racionais... []´s Demétrio --- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Agora, eu quero ver alguem > dar um exemplo de funcao > continua nos racionais e descontinua nos > irracionais. > > > ] -Mensagem original- > De: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de > claudio.buffara > Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 > 22:53 > Para: obm-l > Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio > > > > Oi, pessoal: > > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto > denso em R e de medida nula. > Isso me lembrou de outro problema parecido: > > Dê um exemplo de subconjunto de R com medida > positiva e interior vazio. > > Outros dois bonitinhos são: > Dê um exemplo de função real contínua nos > irracionais e descontínua nos > racionais. > e > Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo > ponto, tal que f'(0) > > 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo > contendo a origem. > > No mais, alguém já descobriu por que um chicote > estala quando é usado? > > []s, > Claudio. > > > ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
basta tomar o complementardaquele exemplo que vc deu.O complementar eh fechado, tem interior vazio e medida infinita Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 14:04Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal conjunto seja fechado? []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 13 Oct 2005 12:13:18 -0300 Assunto: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio > Na realidade, nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um conjunto aberto e denso em R mas com medida arbitrariamente proxima de zero. > > Um conjunto com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais. Se quisermos medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0, 1], Tem medida 1. > > A funcao de Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais, certo? f(x) = 0 se x for irracional, f(x) =1 /n se x = m/n for racional, m e n>0 primos entre si. Agora, eu quero ver alguem dar um exemplo de funcao continua nos racionais e descontinua nos irracionais. > > Considremos agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x<>0 e f(x) = 0 se x = 0. Entao f'(0) = lim (x -> 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x -> 0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 > 0. > Temos que 2*x*sen(1/x) => 0 quando x=> 0 e que, em qualquer intervalo aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos valores -1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f tem uma infinidade de maximos e minimos relativos. Logo, f nao eh monotonica em nenhum destes intervalos. > > Isto ilustra que f'(a) >0) nao eh condicao suficiente para que a seja ponto de crescimento de f. Dizemos que a eh ponto de crescimento de f se existir uma vizinhanca de a na qual f seja crescente. > > Artur > ] -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 22:53Para: obm-lAssunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio > Oi, pessoal: > > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto denso em R e de medida nula. Isso me lembrou de outro problema parecido: > > Dê um exemplo de subconjunto de R com medida positiva e interior vazio. > > Outros dois bonitinhos são: > Dê um exemplo de função real contínua nos irracionais e descontínua nos racionais. > e > Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo ponto, tal que f'(0) > 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo contendo a origem. > > No mais, alguém já descobriu por que um chicote estala quando é usado? > > []s, > Claudio. >
Re: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
--- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:
>
> > Olá Artur,
> >
> > Não sei se vale esta, mas considere f(x) =
> 1/(x-p)^2,
> > com p um número irracional. O único ponto onde
> f(x)
> > não é analítica é p.
>
> De fato, f não está nem definida em p, já que não
> podemos dividir por 0.
>
> > Embora ela cresça indefinidamente
> > nos racionais também, não atinge a singularidade.
> Isto
> > é, se adotarmos como definição de continuidade que
> > f(x) seja derivável, então 1/(x-p)^2 é continua
> nos
> > racionais e descontinua no irracionais.
>
> Não entendi o que você quis dizer com isso. Supondo
> que estamos trabalhando com funções reais, o domínio
> máximo de f é R - {p}.
> Neste domínio, f é contínua, derivável e, de fato,
> analítica em cada ponto.
Claúdio, acho que esta discução é que está fora do meu
domínio :-) Certamente eu não entendi o que o Arur
pedia... Teorema de Baire... isso é demais para mim...
Assim acho melhor ficar quieto e não dar mais
pitacos! Mas, com relação ao domínio de uma função
real, isso depende de escolha na hora definição,
correto? Por exemplo f(x) = sin(x-p)/(x-p). x=p
pertence ou não ao domínio de f? Creio que depende de
como vc define f, já que vc precisa dizer que f(p) =
lim f(x) x->p... No caso, dizer que um ponto em R não
pertence ao domínio de uma função não equivale a dezer
que f não é contínua em R?
[]´s Demétrio
>
> > Também os
> > limites de f(x) são iguais à esquerda e à direita
> de
> > p.
>
> f é ilimitada em qualquer vizinhança furada de p.
>
> Porém apesar de continua, f(x) também não é
> > limitada nos racionais...
> >
> > []´s Demétrio
> >
> > --- Artur Costa Steiner
> > escreveu:
> > > Agora, eu quero ver alguem
> > > dar um exemplo de funcao
> > > continua nos racionais e descontinua nos
> > > irracionais.
> > >
> >
> > >
> > > ] -Mensagem original-
> > > De: [EMAIL PROTECTED]
> > > [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
> > > claudio.buffara
> > > Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005
> > > 22:53
> > > Para: obm-l
> > > Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior
> Vazio
> > >
> > >
> > >
> > > Oi, pessoal:
> > >
> > > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto
> > > denso em R e de medida nula.
> > > Isso me lembrou de outro problema parecido:
> > >
> > > Dê um exemplo de subconjunto de R com medida
> > > positiva e interior vazio.
> > >
> > > Outros dois bonitinhos são:
> > > Dê um exemplo de função real contínua nos
> > > irracionais e descontínua nos
> > > racionais.
> > > e
> > > Dê um exemplo de uma função real f derivável em
> todo
> > > ponto, tal que f'(0) >
> > > 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo
> > > contendo a origem.
> > >
> > > No mais, alguém já descobriu por que um chicote
> > > estala quando é usado?
> > >
> > > []s,
> > > Claudio.
> > >
> > >
> > >
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Re: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Thu, 13 Oct 2005 17:20:24 + (GMT)
Assunto:
Re: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
> Olá Artur,
>
> Não sei se vale esta, mas considere f(x) = 1/(x-p)^2,
> com p um número irracional. O único ponto onde f(x)
> não é analítica é p.
De fato, f não está nem definida em p, já que não podemos dividir por 0.
> Embora ela cresça indefinidamente
> nos racionais também, não atinge a singularidade. Isto
> é, se adotarmos como definição de continuidade que
> f(x) seja derivável, então 1/(x-p)^2 é continua nos
> racionais e descontinua no irracionais.
Não entendi o que você quis dizer com isso. Supondo que estamos trabalhando com funções reais, o domínio máximo de f é R - {p}.
Neste domínio, f é contínua, derivável e, de fato, analítica em cada ponto.
> Também os
> limites de f(x) são iguais à esquerda e à direita de
> p.
f é ilimitada em qualquer vizinhança furada de p.
Porém apesar de continua, f(x) também não é
> limitada nos racionais...
>
> []´s Demétrio
>
> --- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
> escreveu:
> > Agora, eu quero ver alguem
> > dar um exemplo de funcao
> > continua nos racionais e descontinua nos
> > irracionais.
> >
>
> >
> > ] -Mensagem original-
> > De: [EMAIL PROTECTED]
> > [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
> > claudio.buffara
> > Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005
> > 22:53
> > Para: obm-l
> > Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
> >
> >
> >
> > Oi, pessoal:
> >
> > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto
> > denso em R e de medida nula.
> > Isso me lembrou de outro problema parecido:
> >
> > Dê um exemplo de subconjunto de R com medida
> > positiva e interior vazio.
> >
> > Outros dois bonitinhos são:
> > Dê um exemplo de função real contínua nos
> > irracionais e descontínua nos
> > racionais.
> > e
> > Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo
> > ponto, tal que f'(0) >
> > 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo
> > contendo a origem.
> >
> > No mais, alguém já descobriu por que um chicote
> > estala quando é usado?
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
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>
Re: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Olá Artur, Não sei se vale esta, mas considere f(x) = 1/(x-p)^2, com p um número irracional. O único ponto onde f(x) não é analítica é p. Embora ela cresça indefinidamente nos racionais também, não atinge a singularidade. Isto é, se adotarmos como definição de continuidade que f(x) seja derivável, então 1/(x-p)^2 é continua nos racionais e descontinua no irracionais. Também os limites de f(x) são iguais à esquerda e à direita de p. Porém apesar de continua, f(x) também não é limitada nos racionais... []´s Demétrio --- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Agora, eu quero ver alguem > dar um exemplo de funcao > continua nos racionais e descontinua nos > irracionais. > > > ] -Mensagem original- > De: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de > claudio.buffara > Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 > 22:53 > Para: obm-l > Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio > > > > Oi, pessoal: > > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto > denso em R e de medida nula. > Isso me lembrou de outro problema parecido: > > Dê um exemplo de subconjunto de R com medida > positiva e interior vazio. > > Outros dois bonitinhos são: > Dê um exemplo de função real contínua nos > irracionais e descontínua nos > racionais. > e > Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo > ponto, tal que f'(0) > > 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo > contendo a origem. > > No mais, alguém já descobriu por que um chicote > estala quando é usado? > > []s, > Claudio. > > > ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Cetamente eh por causa da vibracao das moleculas do chicote -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Qwert Smith Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 01:26 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RE: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio >From: "claudio\.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> > >No mais, alguém já descobriu por que um chicote estala quando é usado? > >[]s, >Claudio. Today's Question: Why does a whip make a "crack" noise? The Answer: The "crack" occurs when the wave of motion traveling down a whip surpasses the speed of sound. The wave can move so quickly because a whip tapers from the handle to the tip. When a whip is snapped, the momentum from the motion at the handle is conserved, and consequently the speed increases as the diameter of the whip decreases. Thus the wave gathers speed as it continues down the length of the whip, and when its velocity exceeds the speed of sound it produces a small sonic boom - the distinctive "crack". -The Editor source: http://www.infoplease.com/askeds = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Na realidade, nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um conjunto aberto e denso em R mas com medida arbitrariamente proxima de zero. Um conjunto com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais. Se quisermos medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0, 1], Tem medida 1. A funcao de Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais, certo? f(x) = 0 se x for irracional, f(x) =1 /n se x = m/n for racional, m e n>0 primos entre si. Agora, eu quero ver alguem dar um exemplo de funcao continua nos racionais e descontinua nos irracionais. Considremos agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x<>0 e f(x) = 0 se x = 0. Entao f'(0) = lim (x -> 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x -> 0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 > 0. Temos que 2*x*sen(1/x) => 0 quando x=> 0 e que, em qualquer intervalo aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos valores -1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f tem uma infinidade de maximos e minimos relativos. Logo, f nao eh monotonica em nenhum destes intervalos. Isto ilustra que f'(a) >0) nao eh condicao suficiente para que a seja ponto de crescimento de f. Dizemos que a eh ponto de crescimento de f se existir uma vizinhanca de a na qual f seja crescente. Artur ] -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 22:53Para: obm-lAssunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio Oi, pessoal: Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto denso em R e de medida nula. Isso me lembrou de outro problema parecido: Dê um exemplo de subconjunto de R com medida positiva e interior vazio. Outros dois bonitinhos são: Dê um exemplo de função real contínua nos irracionais e descontínua nos racionais. e Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo ponto, tal que f'(0) > 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo contendo a origem. No mais, alguém já descobriu por que um chicote estala quando é usado? []s, Claudio.
Re: RES: [obm-l] Medida
Eh sim, mas na realidade o enunciado do problema
estava mesmo correto. Se A tem medida nula, entao para
qualquer B, A X B tem medida nula, mesmo que B nmao
seja mensuravel. Eh o caso da sigma-algebra completa.
Abracos
Artur
--- Bernardo Freitas Paulo da Costa
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Bom, o que o Artur esta falando é que você NAO PODE
> definir uma funçao
> medida para todos os subconjuntos de R (portanto
> pode esquecer R^n),
> pois existe um jeito (utilizando o Axioma da
> Escolha) de construir um
> conjunto que nao pode ter medida zero nem positiva.
> A idéia principal
> é fazer uma decomposiç~ao enumerável de [0, 1] em
> conjuntos que tem
> que ter a mesma medida. Para criar esta
> decomposiç~ao, você utiliza o
> Axioma da Escolha e em seguida você tira um absurdo
> disto.
>
> Mas acho que, realmente, o seu resultado prova uma
> coisa bem legal, e
> lembra-me de sigma-álgebras completas (ou seja,
> aquelas para as quais
> X tem medida nula => todo Y contido em X está na
> sigma-álgebra e
> também - por estar contido em X, nao poderia ser
> diferente - tem
> medida nula). Assim, como o Artur ou você provaram,
> A x R^m tem medida
> nula. Ora, para todo B contido em R^m, temos A x B
> contido em A x R^m,
> e (do fato que existe uma sigma-álgebra completa que
> contém os abertos
> de R^k para todo k) A x B é mensurável e tem medida
> zero. Esta
> demonstraçao está contida na que você deu (bastando
> notar que B está
> contido em alguma uniao enumerável dos Q_i).
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
>
> On 7/6/05, Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Oi Artur,
> > Consegui fazer algo parecido, embora mais
> elementar,
> > pois nao conheco muita coisa deste assunto: para
> cada
> > ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um
> cubo
> > unitario com centro neste ponto. Fixemo s um
> destes
> > cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh
> > dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De
> > resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos
> > AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula.
> > PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido
> para
> > qq subconjunto de Rn.
> >
> > Tertuliano
> >
> > --- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
> > escreveu:
> >
> > > Na realidade, esta demonstracao poderia ser um
> > > pouquinho mais simples do que
> > > a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de
> > > paralelepipedos abertos e
> > > limitados para conjuntos genericos limitados,
> > > poderiamos ter invocado
> > > diretamente a sigma-subaditividade da medida.
> Antes
> > > de apresentar a prova,
> > > uma observacao de um fato sutil que me passou
> > > desapercebido. O enunciado
> > > deveria dizer que B eh um conjunto qualquer
> > > MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
> > > subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a
> medida de
> > > Lebesgue). No caso, B
> > > teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel,
> > > gerada pelos conjuntos
> > > abertos de R^n
> > >
> > > A prova poderia ser assim:
> > >
> > > Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
> > > paralelepipedo limitado e aberto
> > > de R^n de hipervolume
> > > V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula,
> para
> > > todo eps>0 podemos
> > > cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
> > > paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada
> um
> > > com hipervolume V_k, tal
> > > que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos
> > > entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel
> de A
> > > X P por paralelepipedos
> > > abertos de R^(m+n). O
> > > hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k
> * V
> > > = V * Soma(k>=1)V_k <
> > > V * eps/V = eps. Como eps eh
> > > arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula
> em
> > > R^(m+n).
> > >
> > > O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma
> > > colecao enumeravel (nao
> > > precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de
> paralelepipedos
> > > abertos de hipervolume
> > > 1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel
> > > (nao necessariamente
> > > disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida
> nula e
> > > cada Q_k eh um
> > > paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao
> > > anterior nos mostra que cada A
> > > X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a
> > > sigma-sub-aditividade da medida,
> > > concluimos que A X R^n tem medida nula. E
> valendo
> > > esta conclusao para o caso
> > > B = R^n, segue-se que vale automaticamente para
> > > qualquer subconjunto
> > > MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em
> A X
> > > R^n e subconjuntos
> > > mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.
> > >
> > > A sigma-sub-aditividade da medida eh a
> propriedade
> > > segundo a qual se {A_n}
> > > eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos
> > > mensuraveis e A eh a uniao desta
> > > colecao, entao u(A) <= Soma(n>=1) u(A_n),
> > > entendendo-se esta desigualdade no
> > > sistema dos reais expandidos. Se a colecao for
> > > disjunta 2 a 2, ocorre
> > > igualdade.
> > >
> > > Artur
> > >
> > >
> > >
> > > --- Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > >
> >
Re: RES: RES: [obm-l] Medida
DE QUANTAS MANEIRAS DISTINTAS PODEMOS DISPOR 4 HOMENS E 6 MULHERES EM TORNO DE UMA MESA CIRCULAR DE MODO QUE 3 QUAISQUER MULHERES FIQUEM SEMPRE JUNTAS E UM HOMEM NÃO SE SENTE AO LADO DE OUTRO HOMEM? Grato pela atençao ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: RES: [obm-l] Medida
Eu acho que acaba sendo a mesma demonstracao que eu dei, nao eh?
O resultado nao eh valido para qualquer conjunto do R^n porque nem todo
conjunto do R^n eh mensuravel. Hah conjuntos para os quias nao podemos
determinar a medida.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Tertuliano
Enviada em: quarta-feira, 6 de julho de 2005 09:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Medida
Oi Artur,
Consegui fazer algo parecido, embora mais elementar,
pois nao conheco muita coisa deste assunto: para cada
ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um cubo
unitario com centro neste ponto. Fixemo s um destes
cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh
dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De
resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos
AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula.
PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido para
qq subconjunto de Rn.
Tertuliano
--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:
> Na realidade, esta demonstracao poderia ser um
> pouquinho mais simples do que
> a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de
> paralelepipedos abertos e
> limitados para conjuntos genericos limitados,
> poderiamos ter invocado
> diretamente a sigma-subaditividade da medida. Antes
> de apresentar a prova,
> uma observacao de um fato sutil que me passou
> desapercebido. O enunciado
> deveria dizer que B eh um conjunto qualquer
> MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
> subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a medida de
> Lebesgue). No caso, B
> teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel,
> gerada pelos conjuntos
> abertos de R^n
>
> A prova poderia ser assim:
>
> Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
> paralelepipedo limitado e aberto
> de R^n de hipervolume
> V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula, para
> todo eps>0 podemos
> cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
> paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada um
> com hipervolume V_k, tal
> que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos
> entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A
> X P por paralelepipedos
> abertos de R^(m+n). O
> hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k * V
> = V * Soma(k>=1)V_k <
> V * eps/V = eps. Como eps eh
> arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula em
> R^(m+n).
>
> O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma
> colecao enumeravel (nao
> precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de paralelepipedos
> abertos de hipervolume
> 1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel
> (nao necessariamente
> disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida nula e
> cada Q_k eh um
> paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao
> anterior nos mostra que cada A
> X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a
> sigma-sub-aditividade da medida,
> concluimos que A X R^n tem medida nula. E valendo
> esta conclusao para o caso
> B = R^n, segue-se que vale automaticamente para
> qualquer subconjunto
> MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em A X
> R^n e subconjuntos
> mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.
>
> A sigma-sub-aditividade da medida eh a propriedade
> segundo a qual se {A_n}
> eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos
> mensuraveis e A eh a uniao desta
> colecao, entao u(A) <= Soma(n>=1) u(A_n),
> entendendo-se esta desigualdade no
> sistema dos reais expandidos. Se a colecao for
> disjunta 2 a 2, ocorre
> igualdade.
>
> Artur
>
>
>
> --- Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> > Oi para todos!
> > Alguem pode me ajudar neste?
> >
> > Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm
> um
> > conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
> >
> > Grato,
> > Tertuliano
> >
> > __
> > Converse com seus amigos em tempo real com o
> Yahoo!
> > Messenger
> > http://br.download.yahoo.com/messenger/
> >
>
=
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
>
=
> >
>
>
> __
> Do You Yahoo!?
> Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam
> protection around
> http://mail.yahoo.com
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=
>
>
=
Re: RES: [obm-l] Medida
Bom, o que o Artur esta falando é que você NAO PODE definir uma funçao
medida para todos os subconjuntos de R (portanto pode esquecer R^n),
pois existe um jeito (utilizando o Axioma da Escolha) de construir um
conjunto que nao pode ter medida zero nem positiva. A idéia principal
é fazer uma decomposiç~ao enumerável de [0, 1] em conjuntos que tem
que ter a mesma medida. Para criar esta decomposiç~ao, você utiliza o
Axioma da Escolha e em seguida você tira um absurdo disto.
Mas acho que, realmente, o seu resultado prova uma coisa bem legal, e
lembra-me de sigma-álgebras completas (ou seja, aquelas para as quais
X tem medida nula => todo Y contido em X está na sigma-álgebra e
também - por estar contido em X, nao poderia ser diferente - tem
medida nula). Assim, como o Artur ou você provaram, A x R^m tem medida
nula. Ora, para todo B contido em R^m, temos A x B contido em A x R^m,
e (do fato que existe uma sigma-álgebra completa que contém os abertos
de R^k para todo k) A x B é mensurável e tem medida zero. Esta
demonstraçao está contida na que você deu (bastando notar que B está
contido em alguma uniao enumerável dos Q_i).
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 7/6/05, Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Oi Artur,
> Consegui fazer algo parecido, embora mais elementar,
> pois nao conheco muita coisa deste assunto: para cada
> ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um cubo
> unitario com centro neste ponto. Fixemo s um destes
> cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh
> dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De
> resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos
> AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula.
> PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido para
> qq subconjunto de Rn.
>
> Tertuliano
>
> --- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
> escreveu:
>
> > Na realidade, esta demonstracao poderia ser um
> > pouquinho mais simples do que
> > a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de
> > paralelepipedos abertos e
> > limitados para conjuntos genericos limitados,
> > poderiamos ter invocado
> > diretamente a sigma-subaditividade da medida. Antes
> > de apresentar a prova,
> > uma observacao de um fato sutil que me passou
> > desapercebido. O enunciado
> > deveria dizer que B eh um conjunto qualquer
> > MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
> > subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a medida de
> > Lebesgue). No caso, B
> > teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel,
> > gerada pelos conjuntos
> > abertos de R^n
> >
> > A prova poderia ser assim:
> >
> > Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
> > paralelepipedo limitado e aberto
> > de R^n de hipervolume
> > V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula, para
> > todo eps>0 podemos
> > cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
> > paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada um
> > com hipervolume V_k, tal
> > que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos
> > entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A
> > X P por paralelepipedos
> > abertos de R^(m+n). O
> > hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k * V
> > = V * Soma(k>=1)V_k <
> > V * eps/V = eps. Como eps eh
> > arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula em
> > R^(m+n).
> >
> > O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma
> > colecao enumeravel (nao
> > precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de paralelepipedos
> > abertos de hipervolume
> > 1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel
> > (nao necessariamente
> > disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida nula e
> > cada Q_k eh um
> > paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao
> > anterior nos mostra que cada A
> > X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a
> > sigma-sub-aditividade da medida,
> > concluimos que A X R^n tem medida nula. E valendo
> > esta conclusao para o caso
> > B = R^n, segue-se que vale automaticamente para
> > qualquer subconjunto
> > MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em A X
> > R^n e subconjuntos
> > mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.
> >
> > A sigma-sub-aditividade da medida eh a propriedade
> > segundo a qual se {A_n}
> > eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos
> > mensuraveis e A eh a uniao desta
> > colecao, entao u(A) <= Soma(n>=1) u(A_n),
> > entendendo-se esta desigualdade no
> > sistema dos reais expandidos. Se a colecao for
> > disjunta 2 a 2, ocorre
> > igualdade.
> >
> > Artur
> >
> >
> >
> > --- Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > > Oi para todos!
> > > Alguem pode me ajudar neste?
> > >
> > > Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm
> > um
> > > conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
> > >
> > > Grato,
> > > Tertuliano
> > >
> > > __
> > > Converse com seus amigos em tempo real com o
> > Yahoo!
> > > Messenger
> > > http://br.download.yahoo.com/messenger/
> > >
> >
> =
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > > usar a lista em
> > >
> > http://www.mat.puc-rio.
Re: RES: [obm-l] Medida
Oi Artur,
Consegui fazer algo parecido, embora mais elementar,
pois nao conheco muita coisa deste assunto: para cada
ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um cubo
unitario com centro neste ponto. Fixemo s um destes
cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh
dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De
resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos
AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula.
PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido para
qq subconjunto de Rn.
Tertuliano
--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:
> Na realidade, esta demonstracao poderia ser um
> pouquinho mais simples do que
> a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de
> paralelepipedos abertos e
> limitados para conjuntos genericos limitados,
> poderiamos ter invocado
> diretamente a sigma-subaditividade da medida. Antes
> de apresentar a prova,
> uma observacao de um fato sutil que me passou
> desapercebido. O enunciado
> deveria dizer que B eh um conjunto qualquer
> MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
> subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a medida de
> Lebesgue). No caso, B
> teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel,
> gerada pelos conjuntos
> abertos de R^n
>
> A prova poderia ser assim:
>
> Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
> paralelepipedo limitado e aberto
> de R^n de hipervolume
> V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula, para
> todo eps>0 podemos
> cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
> paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada um
> com hipervolume V_k, tal
> que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos
> entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A
> X P por paralelepipedos
> abertos de R^(m+n). O
> hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k * V
> = V * Soma(k>=1)V_k <
> V * eps/V = eps. Como eps eh
> arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula em
> R^(m+n).
>
> O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma
> colecao enumeravel (nao
> precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de paralelepipedos
> abertos de hipervolume
> 1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel
> (nao necessariamente
> disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida nula e
> cada Q_k eh um
> paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao
> anterior nos mostra que cada A
> X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a
> sigma-sub-aditividade da medida,
> concluimos que A X R^n tem medida nula. E valendo
> esta conclusao para o caso
> B = R^n, segue-se que vale automaticamente para
> qualquer subconjunto
> MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em A X
> R^n e subconjuntos
> mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.
>
> A sigma-sub-aditividade da medida eh a propriedade
> segundo a qual se {A_n}
> eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos
> mensuraveis e A eh a uniao desta
> colecao, entao u(A) <= Soma(n>=1) u(A_n),
> entendendo-se esta desigualdade no
> sistema dos reais expandidos. Se a colecao for
> disjunta 2 a 2, ocorre
> igualdade.
>
> Artur
>
>
>
> --- Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> > Oi para todos!
> > Alguem pode me ajudar neste?
> >
> > Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm
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RES: [obm-l] Medida
A conclusao que o Tertuliano apresentou pode ser facilmente extendida por
inducao para colecoes finitas de conjuntos mensuravieis. Assim, se
{A_1,...A_n} eh uma colecao finita de subconjuntos mensuraveis de espacos
euclidianos reais e pelo menos um deles tem medida nula, entao A_1...X...A_n
tem medida nula. Estou quase certo que esta conclusao pode ser extendida
para colecoes enumeraveis, mas ainda nao tenho a prova, acho que eh um
problema interessante.
Artur
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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RES: [obm-l] Medida
Na realidade, esta demonstracao poderia ser um pouquinho mais simples do que
a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de paralelepipedos abertos e
limitados para conjuntos genericos limitados, poderiamos ter invocado
diretamente a sigma-subaditividade da medida. Antes de apresentar a prova,
uma observacao de um fato sutil que me passou desapercebido. O enunciado
deveria dizer que B eh um conjunto qualquer MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a medida de Lebesgue). No caso, B
teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel, gerada pelos conjuntos
abertos de R^n
A prova poderia ser assim:
Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um paralelepipedo limitado e aberto
de R^n de hipervolume
V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula, para todo eps>0 podemos
cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada um com hipervolume V_k, tal
que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos
entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A X P por paralelepipedos
abertos de R^(m+n). O
hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k * V = V * Soma(k>=1)V_k <
V * eps/V = eps. Como eps eh
arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula em R^(m+n).
O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma colecao enumeravel (nao
precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de paralelepipedos abertos de hipervolume
1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel (nao necessariamente
disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida nula e cada Q_k eh um
paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao anterior nos mostra que cada A
X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a sigma-sub-aditividade da medida,
concluimos que A X R^n tem medida nula. E valendo esta conclusao para o caso
B = R^n, segue-se que vale automaticamente para qualquer subconjunto
MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em A X R^n e subconjuntos
mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.
A sigma-sub-aditividade da medida eh a propriedade segundo a qual se {A_n}
eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos mensuraveis e A eh a uniao desta
colecao, entao u(A) <= Soma(n>=1) u(A_n), entendendo-se esta desigualdade no
sistema dos reais expandidos. Se a colecao for disjunta 2 a 2, ocorre
igualdade.
Artur
--- Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Oi para todos!
> Alguem pode me ajudar neste?
>
> Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm um
> conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
>
> Grato,
> Tertuliano
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Re: RES: [obm-l] Medida Exterior
On Tue, Jan 25, 2005 at 05:24:09PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: > Entao me enganei.. Numa outra mensagem eu disse que o conjunto dos > diofantinos era enumeravel > Entao o conjunto os diofantinos, embora magro, tem medida infinita? Correto. Tem até medida total (i.e., seu complemento tem medida zero). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Medida Exterior
Entao me enganei.. Numa outra mensagem eu disse que o conjunto dos diofantinos era enumeravel Entao o conjunto os diofantinos, embora magro, tem medida infinita? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: Tuesday, January 25, 2005 4:54 PM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Medida Exterior On Mon, Jan 24, 2005 at 06:53:42AM -0500, Sandra wrote: > > Acabei de pensar numa coisa, gostaria que alguem confirmasse, pois nao me > lembro das definicoes exatas neste momento. O conjunto dos diofantinos e > enumeravel, certo? Se de fato for, entao ele eh mensuravel e tem medida nula, > de modo que o cojunto dos Liouvilles eh mensuravel com medida infinita. Se > isto for mesmo verdade, entao para todo intervalo I, m(I) = m(I inter D) + > m(I inter L). Não. Tanto o conjunto dos diofantinos quanto o conjunto dos Liouvilles são não enumeráveis, tendo até interseção não enumerável com qq intervalo não degenerado. O conjunto dos Liouville tem medida nula e o conjunto dos diofantinos é magro (no sentido de Baire) assim qual dos dois é grande e qual é pequeno depende do ponto de vista. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Medida Exterior
On Mon, Jan 24, 2005 at 12:47:26PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: > O conjunto dos diofantinos eh enumeravel sim. Não é não, tem até medida total. > As conclusoes da Sandra me > parecem corretas. Se particionarmos [0,1] em difantinos e Liouviles, entao > os dois conjuntos da particao sao mensuraveis, de modo que suas medidas > externas confunde-se com a medida de Lebesgue. Entao, o primero conjunto tem > medida nula (pois eh enumeravel) e o segundo medida 1, de modo que a soma de > suas medidas eh 1, igual aa medida de [0,1]. > Conforme disse a Sandra, para encontramos exemplos de conjuntos que > satisfacam aa sub-aditividade da medida externa com desigualddade estrita, > temos que achar pelo menos um que nao seja mensuravel. Estes conjuntos sao > um tanto patologicos. O proprio conjunto de Cantor, apesar de sua estrutura > um tanto complicada, eh mensuravel com medida de Lebesgue nula. > Por definicao, um conjunto E eh mensuravel se, para todo conjunto A, > tivermos que m(A) = m(A inter E) + m(A inter E'), sendo m a medida externa e > E' o complementar de E. Você precisa do axioma da escolha para construir conjuntos não mensuráveis. Um exemplo do que vocês querem é o seguinte. Considere o anel Q_2 dos racionais com denominador ímpar. Dizemos que um elemento de Q_2 é par de o seu numerados for par e é ímpar caso contrário. Assim, o conjunto Q_2 fica particionado em pares (2Q_2) e ímpares (2Q_2 + 1), ambos enumeráveis densos. Definimos em R uma relação de equivalência: x é equivalente a y se x-y pertence a Q_2. Seja X (axioma da escolha) um conjunto com um representante de cada classe de equivalência. Sejam X0 = X + Q_2 (o conjunto de todas as somas x+y com x em X e y em Q_2) e X1 = X0 + 1. Claramente X0 e X1 formam uma partição de R. Fica como exercício mostrar que para todo intervalo I medida exterior(X0 inter I) = medida exterior(X1 inter I) = medida(I). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: RES: [obm-l] Medida Exterior
Eu conheco um
exemplo de conjunto nao mensuravel, mas a sua descricao eh um tanto extensa. Ele
de fato se baseia em translacoes por racionais. Nao sei se existe um com
descricao simples, talvez haja.
E realmente importante lembrar que,
se {A_n } eh uma colecao finita ou infinita enumeravel de
conjuntos disjuntos 2 a 2 que satisfaca com desigualdade estrita aa
sub-aditividade da medida externa, entao nao eh possivel que todos os A_n sejam
mensuraveis. Hah um teorema que diz que, se os A_n forem todos
mensuraveis, então m(Uniao( A_n)) =
Soma(m(A_n)).
Além disto,
conjuntos enumeraveis sempre tem medida externa nula e conjuntos com medida
externa nula sao sempre mensuraveis. Logo, conjuntos enumeraveis sao sempre
mensuraveis e tem medida de Lebesgue nula. Isto contitui mais uma interessante
prova de que intervalos nao sao enumeraveis (excluindo-se o caso
de.intervalos como [a,a], se os considerarmos como
intervalos).
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Bruno LimaEnviada
em: Monday, January 24, 2005 6:06 PMPara:
obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: RES: [obm-l] Medida
Exterior
Um amigo meu parece que fez o problema, ainda nao olhei mas a ideia dele
foi essa mesma de vcs: Podemos construir um conjunto A contido em [0,1] nao
mensuravel a Lebesgue, se fizermos m*(A u [0,1]-A) teremos 1 menor ou igual a
1 o q nao resolve. A ideia dele foi transladar o conjunto A por racionais e ai
ele chegou a umas conclusoes q ainda nao olhei, mas ele disse que deu
certo.
Re: RES: [obm-l] Medida Exterior
Um amigo meu parece que fez o problema, ainda nao olhei mas a ideia dele foi essa mesma de vcs: Podemos construir um conjunto A contido em [0,1] nao mensuravel a Lebesgue, se fizermos m*(A u [0,1]-A) teremos 1 menor ou igual a 1 o q nao resolve. A ideia dele foi transladar o conjunto A por racionais e ai ele chegou a umas conclusoes q ainda nao olhei, mas ele disse que deu certo.Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: O conjunto dos diofantinos eh enumeravel sim. As conclusoes da Sandra meparecem corretas. Se particionarmos [0,1] em difantinos e Liouviles, entaoos dois conjuntos da particao sao mensuraveis, de modo que suas medidasexternas confunde-se com a medida de Lebesgue. Entao, o primero conjunto temmedida nula (pois eh enumeravel) e o segundo medida 1, de modo que a soma desuas medidas eh 1, igual aa medida de [0,1].Conforme disse a Sandra, para encontramos exemplos de conjuntos quesatisfacam aa sub-aditividade da medida externa com desigualddade estrita,temos que achar pelo menos um que nao seja mensuravel. Estes conjuntos saoum tanto patologicos. O proprio conjunto de Cantor, apesar de sua estruturaum tanto complicada, eh mensuravel com medida de Lebesgue nula.Por definicao, um conjunto E eh mensuravel se, para todo conjunto A,tiverm! os que m(A) = m(A inter E) + m(A inter E'), sendo m a medida externa eE' o complementar de E. Artur-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]nome de SandraEnviada em: Monday, January 24, 2005 12:12 PMPara: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] Medida ExteriorAcabei de pensar numa coisa, gostaria que alguem confirmasse, pois nao melembro das definicoes exatas neste momento. Mas tenho quase certeza que oconjunto dos diofantinos e enumeravel (ao menos o nome difantino sugereisto...). Se de fato for, entao ele eh mensuravel e tem medida nula, de modoque o cojunto dos Liouvilles eh mensuravel com medida infinita. Se isto formesmo verdade, entao para todo intervalo I, m(I) = m(I inter D) + m(I interL).Assim, nao temos um exemplo conforme pedido pelo colega da mensagemoriginal. Sandra--- On Mon 01/24, Sandra < [EMAIL PROTECTED] > wrote:From: Sandra [mailto: [EMAIL PROTECTED]To: obm-l@mat.puc-rio.brDate: Mon, 24 Jan 2005 06:53:42 -0500 (EST)Subject: Re: [obm-l] Medida ExteriorAcabei de pensar numa coisa, gostaria que alguem confirmasse, pois naome lembro das definicoes exatas neste momento. O conjunto dos diofantinos eenumeravel, certo? Se de fato for, entao ele eh mensuravel e tem medidanula, de modo que o cojunto dos Liouvilles eh mensuravel com medidainfinita. Se isto for mesmo verdade, entao para todo intervalo I, m(I) = m(Iinter D) + m(I inter L).Sandra--- On Mon 01/24,Sandra < [EMAIL PROTECTED] > wrote:From: Sandra [mailto:[EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Date: Mon, 24 Jan2005 06:20:51 -0500 (EST)Subject: Re: [obm-l] MedidaExteriorEu nao tenho certeza, msas acho que o conjunto dosdiofantinos e o dos Liouville sao mensuraveis (um eh o complementar dooutro, de modo que a mensurabilidade de um implica a do outro). Se de fatoforem, entao m(D U L) = m(D) + m(L), porque a colecao dos conjuntosmensuraveis eh uma sigma-algebra. E as interseccoes de D e de L comintervalos sera, entao, mensuravel, de modo que m(I) = m(I inter D) + m(Iinter L) para todo intervalo I.Para que tenhamos m(AUB)com A e B disjuntos, eh necessario que pelo menos um dos conjuntos A ou Bnao seja mensuravel (aqui, medida de Lebesgue, mas extensivo a qualquermedida). Conjuntos nao-mensuraveis costumam ter uma estrutura muito caotica,acho que os diofantinos e os Liouville nao chegam a tanto (nao estouafirmando).Sandra--- On Sun 01/23, Claudio Buffara< [EMAIL PROTECTED] > wrote:From: Claudio Buffara [mailto:[EMAIL PROTECTED]To: obm-l@mat.puc-rio.br>Date: Sun,23 Jan 2005 19:48:32 -0200Subject: Re: [obm-l] Medida Exterioron14.01.05 10:32, Bruno Lima at [EMAIL PROTECTED] wrote:> A medidaexterior nao é aditiva certo? Ela é apenas> subaditiva, isso é,>> m(AUB)<=m(A)+m(B)> > A uniao acima é disjunta. alguem ai sabeum exemplo> que mostra a desiguladade estrita ??> > Valew>br>> Eu tentaria achar uma particao do intervalo [0,1] em doissubconjuntosdisjuntos, densos em [0,1] e nao-enumeraveis A e B tais quem(A) = m(B) = 1(serah que a particao em numeros diofantinos e deLiouville funciona?)__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
RES: [obm-l] Medida Exterior
O conjunto dos diofantinos eh enumeravel sim. As conclusoes da Sandra me parecem corretas. Se particionarmos [0,1] em difantinos e Liouviles, entao os dois conjuntos da particao sao mensuraveis, de modo que suas medidas externas confunde-se com a medida de Lebesgue. Entao, o primero conjunto tem medida nula (pois eh enumeravel) e o segundo medida 1, de modo que a soma de suas medidas eh 1, igual aa medida de [0,1]. Conforme disse a Sandra, para encontramos exemplos de conjuntos que satisfacam aa sub-aditividade da medida externa com desigualddade estrita, temos que achar pelo menos um que nao seja mensuravel. Estes conjuntos sao um tanto patologicos. O proprio conjunto de Cantor, apesar de sua estrutura um tanto complicada, eh mensuravel com medida de Lebesgue nula. Por definicao, um conjunto E eh mensuravel se, para todo conjunto A, tivermos que m(A) = m(A inter E) + m(A inter E'), sendo m a medida externa e E' o complementar de E. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Sandra Enviada em: Monday, January 24, 2005 12:12 PM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Medida Exterior Acabei de pensar numa coisa, gostaria que alguem confirmasse, pois nao me lembro das definicoes exatas neste momento. Mas tenho quase certeza que o conjunto dos diofantinos e enumeravel (ao menos o nome difantino sugere isto...). Se de fato for, entao ele eh mensuravel e tem medida nula, de modo que o cojunto dos Liouvilles eh mensuravel com medida infinita. Se isto for mesmo verdade, entao para todo intervalo I, m(I) = m(I inter D) + m(I inter L). Assim, nao temos um exemplo conforme pedido pelo colega da mensagem original. Sandra --- On Mon 01/24, Sandra < [EMAIL PROTECTED] > wrote: From: Sandra [mailto: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Mon, 24 Jan 2005 06:53:42 -0500 (EST) Subject: Re: [obm-l] Medida Exterior Acabei de pensar numa coisa, gostaria que alguem confirmasse, pois nao me lembro das definicoes exatas neste momento. O conjunto dos diofantinos e enumeravel, certo? Se de fato for, entao ele eh mensuravel e tem medida nula, de modo que o cojunto dos Liouvilles eh mensuravel com medida infinita. Se isto for mesmo verdade, entao para todo intervalo I, m(I) = m(I inter D) + m(I inter L).Sandra --- On Mon 01/24, Sandra < [EMAIL PROTECTED] > wrote:From: Sandra [mailto: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Date: Mon, 24 Jan 2005 06:20:51 -0500 (EST)Subject: Re: [obm-l] Medida ExteriorEu nao tenho certeza, msas acho que o conjunto dos diofantinos e o dos Liouville sao mensuraveis (um eh o complementar do outro, de modo que a mensurabilidade de um implica a do outro). Se de fato forem, entao m(D U L) = m(D) + m(L), porque a colecao dos conjuntos mensuraveis eh uma sigma-algebra. E as interseccoes de D e de L com intervalos sera, entao, mensuravel, de modo que m(I) = m(I inter D) + m(I inter L) para todo intervalo I.Para que tenhamos m(AUB)Sandra --- On Sun 01/23, Claudio Buffara < [EMAIL PROTECTED] > wrote:From: Claudio Buffara [mailto: [EMAIL PROTECTED]To: obm-l@mat.puc-rio.br>Date: Sun, 23 Jan 2005 19:48:32 -0200Subject: Re: [obm-l] Medida Exterioron 14.01.05 10:32, Bruno Lima at [EMAIL PROTECTED] wrote:> A medida exterior nao é aditiva certo? Ela é apenas> subaditiva, isso é,> > m(AUB)<=m(A)+m(B)> > A uniao acima é disjunta. alguem ai sabe um exemplo> que mostra a desiguladade estrita ??> > Valew> > Eu tentaria achar uma particao do intervalo [0,1] em dois subconjuntosdisjuntos, densos em [0,1] e nao-enumeraveis A e B tais que m(A) = m(B) = 1(serah que a particao em numeros diofantinos e de Liouville funciona?)[]br>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=== ==__ _Join Excite! - http://www.excite.comThe most personalized portal on the Web!===! =!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=== ==__ _Join Excite! - http://www.excite.comThe most personalized portal on the Web! =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=== == ___ Join Excite! - http://www.excite.com The most personalized portal on the Web! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
