Seja R um anel comutativo com 1.
Seja SL(R) o grupo das matrizes 2x2 com entradas em R e determinante igual a 1 .
O problema pede que se calcule |SL(Z_n)|, com n inteiro = 2.
A ideia eh provar que se m e n sao inteiros positivos primos entre si, entao:
|SL(Z_mn)| = |SL(Z_m)||SL(Z_n)|.
Sejam as
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Data: Thu, 16 Nov 2006 06:18:46 -0200
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado
Como DC corta o segmento GE em 90º
concluimos q DCG == DCE == y
Como voce conclui isso? Isso
Mais um probleminha na nossa investigação das funções contínuas:
Sejam I e J intervalos na reta de mesmo tipo (homeomorfos).
Se f: I - J é uma bijeção monótona, podemos concluir que f é contínua?
Existe uma tal f que não seja derivável em ponto algum de I?
[]s,
Claudio.
Se tivermos o numero maximo de lutas, entao cada competidor deverah ser
derrotado pelo menos uma vez.
No entanto, o campeao perde uma unica luta, enquanto os 199 outros perdem a
segunda e sao eliminados.
Assim, o numero maximo de lutas nao eh maior do que 1 + 2*199 = 399.
Ainda falta mostrar
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Data: Wed, 15 Nov 2006 08:37:16 -0300 (ART)
Assunto: [obm-l] Dúvida Cruel!
Pessoal como faço pra resolver essa equação?
Encontre todas as soluções reais da equação: 2x + 5x = 3x + 4x
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Data: Wed, 15 Nov 2006 13:56:05 -0300
Assunto: [obm-l] Função derivável e módulo
Pessoal,
Alguém pode, por favor, me dar uma ajuda nessa aqui?
Seja f(x) uma função que satisfaz |f(x)|
De:[EMAIL PROTECTED]
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Data:Wed, 15 Nov 2006 13:56:05 -0300
Assunto:[obm-l] Função derivável e módulo
Pessoal,
Alguém pode, por favor, me dar uma ajuda nessa aqui?
Seja f(x) uma função que satisfaz |f(x)| = x^2 para -1 = x = 1.
Mostre que f é
A solucao abaixo esta incompleta.
Reduzindo a fracao continua:
F(x) = [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x]
achamos que F(x) = (cx + d)/(ex + f), onde c, d, e, f dependem dos a_i e dos
b_i.
dado que os a_i e b_i sao todos nao nulos, eh possivel provar que:
(i) c, e nao
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De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Mon, 13 Nov 2006 12:55:39 -0200
Assunto: Re: [obm-l] Bijecao entre R e R^N
On Sat, Nov 11, 2006 at 12:53:17PM -0300, claudio.buffara wrote:
Que conceito de base você tem em mente?
Se
Oi, Luis:
Acho que um exemplo com n = 3 elucida tudo...
f_0(x) = x^3
f_1(x) = f_0(x+1) - f_0(x) = (x+1)^3 - x^3 = 3x(x+1) + 1
f_2(x) = f_1(x+1) - f_1(x) = 3(x+1)(x+2) + 1 - 3x(x+1) - 1 = 6(x+1)
f_3(x) = f_2(x+1) - f_2(x) = 6(x+2) - 6(x+1) = 6 = 3!
Ou seja, grau(f_i) = n-i == se f_2(x) = 2, entao
Aqui vai outro na mesma linha...
Dê um exemplo de uma função contínua f:(0,1] - R cuja imagem é o intervalo aberto (0,1).
Perguntas:
Podemos ter f^(-1)(a) finita para algum a em (0,1)? Para todo a em (0,1)?
[]s,
Claudio.
longe da
origem que (1,1). Então absurdo!
Abraço,
Gabriel
From: claudio\.buffara [EMAIL PROTECTED]
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To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3)
Date: Mon, 13 Nov 2006 19:23:46 -0300
Oi, Márcio
Proponho aqui mais um problema:
Por que a ideia da demonstracao abaixo nao funciona para provar que nao existe
uma funcao continua e injetiva de R^3 em R^2?
(ou seja, tomar em R^3 um conjunto nao-enumeravel de quadrados bi-dimensionais
disjuntos dois a dois)
Isso quer dizer que existe uma tal
Um outro exemplo e o seguinte (do livro Counterexamples in Analysis)
Para cada n em N, seja K(n) o conjunto de Cantor de medida (n-1)/n.
Seja K = Uniao(n em N) K(n).
Como cada K(n) e magro, K eh magro.
No entanto, 1 = m(K) = sup(n em N) {m(K(n))} = 1 == m(K) = 1 ==
K e magro com medida total e
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De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Sat, 11 Nov 2006 04:24:48 -0200
Assunto: Re: [obm-l] Injecao continua de R^2 em R
Olá Claudio,
acredito que a resposta seja sim.
Sabemos que c = min(f) e d = max(f).. entao:
Sejam m
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Data: Fri, 10 Nov 2006 11:58:37 -0200
Assunto: Re: [obm-l] Bijecao entre R e R^N
On Fri, Nov 10, 2006 at 08:39:33AM -0300, claudio.buffara wrote:
Algumas duvidas:
Existe uma bijecao entre R
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Data: Fri, 10 Nov 2006 17:46:16 +
Assunto: RE: [obm-l] Injecao continua de R^2 em R
Aproveito a ocasiao pra propor uma nova questao:
Sejam [a,b] e [c,d] intervalos nao-degenerados de R e
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Data: Fri, 10 Nov 2006 09:18:13 -0200
Assunto: Re: [obm-l] Injecao continua de R^2 em R
claudio.buffara wrote:
R^2 contem uma infinidade nao-enumeravel de segmentos de reta fechados e
Alguem fez algum progresso nesse aqui?
E qual seria a raiz quadrada de F dada por F(x) = 1-x?
(imagino que G tambem tenha que ser de [0,1] - [0,1], de modo que nao vale
dizer que eh G(x) = (1-i)/2 + ix)
[]s,
Claudio.
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Para:
Ha alguns dias o Artur mandou uma mensagem que pedia para provar que nao existe
uma funcao injetiva continua de um produto
cartesiano dois ou mais intervalos nao-degenerados em R. Um caso particular e
provar nao existe uma funcao injetiva continua de R^2 em
R.
Suponha que exista f:R^2 - R
Algumas duvidas:
Existe uma bijecao entre R (conjunto dos reais) e o conjunto das sequencias de
numeros reais?
O conjunto destas sequencias e um espaco vetorial de dimensao infinita sobre R
(com as operacoes definidas da forma obvia).
Este espaco vetorial tem uma base enumeravel?
[]s,
O que se pode afirmar sobre conjunto das descontinuidades de uma derivada em
um intervalo aberto eh que eh magro. Pode ser denso
(desfazendo mais uma vez o equivoco de minha outra mensagem), pode ter medida
positiva, pode ter medida cheia em todo subintervalo.
Pode ainda ter complemento
Sejam a, b, c números racionais tais que 3a, 6b, 6c, a^3+2b^3+4c^3-6abc são
inteiros. Podemos concluir que a, b, c são inteiros?
Tertuliano
Eu tinha complicado e feito bobagem no fim da solucao anterior.
Aqui vai a correcao (mas continuo achando que deve haver uma solucao mais
Q (o conjunto dos números racionais) é magro, tem interior vazio
e medida zero,
como qualquer subconjunto enumerável de R, e é mais ou menos trivial o fato
de Q ser denso em R.
Densidade não tem nada a ver, absolutamente nada, nada mesmo, nem com o
conceito de magro, nem com o conceito
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Data: Fri, 3 Nov 2006 10:37:27 -0300
Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] Função Logarítmica?
Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x)
+ f(y) é a função log. Isso está
Aqui vai umausando trigonometria. Serve?
Sejam O = (0,0) e A = (1,0).
Chamando o ângulo POQ de 2t, teremos:
Triângulo POQ isósceles == OPQ = OPR = 90-t.
Triângulo POR é retângulo em O == ORP = t.
Logo, OR = OP*ctg(t) = r*ctg(t).
Triângulo AOQ é isósceles == AOQ = AQO = 90-2t == OAQ = 4t ==
OQ/OA
Que tal K união Q, ondeKé conjunto de Cantor tradicional (obtido pela retirada dos terços médios de intervalos, começando com [0,1])?
K é não enumerável == K união Q também é:
K e Q têm medida nula == K união Q também tem;
Q é denso em R == K união Q também é;
K e Q são magros == K porque é
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Data: Fri, 3 Nov 2006 17:35:53 + (GMT)
Assunto: [obm-l] Limite interessantissimo (2a edição)
Caros colegas da lista,
Resolvi estrear minha participação aqui propondo o seguinte
desafio:
Mas sera que existe alguma funcao derivavel cuja derivada seja descontinua num
subconjunto denso no seu dominio?
Como derivadas tem a propriedade do valor intermediario, as descontinuidades
duma tal funcao (caso exista) devem ser do tipo zig-zag.
Ou seja, aquele exemplo classico de funcao que e
Tem o livro Algebra Linear do Elon Lages Lima. O da Colecao Schaum tambem e bom.
Na internet, tem umas notas de aula interessantes em:
http://marauder.millersville.edu/~bikenaga/linalg/linanote.html
Recomendo, em especial, a que fala de determinantes.
[]s,
Claudio.
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Data: Fri, 27 Oct 2006 02:22:59 + (GMT)
Assunto: [obm-l] (ITA - 90) SISTEMAS LINEARES - questão 17
Considere o sistema linear homogêneo nas incógnitas x_1, x_2, ..., x_n dado
por:
Exemplo de um espaco metrico X nao enumeravel com uma metrica que induz a
topologia discreta e tal que e possivel encontrar um
subconjunto nao enumeravel Y de X tal que cada elemento de (0,+inf) e raio de
alguma bola centrada em algum elemento de Y e
contondo apenas aquele elemento.
Seja X =
Oi, Artur:
Se eu entendi direito o enunciado, para cada x em X, existe r_x em (0,+inf) tal que B(x,r_x) inter X = {x}.
Isso nos permite definir (via axioma da escolha) uma função f:X - (0,+inf) tal que f(x) = r_x.
Suponha que, para cada n em N, f^(-1)( (1/n,+inf) ) seja enumerável.
Nesse caso, Y
Acabei de mandar uma msg com exatamente a mesma solução abaixo.
Desculpem a redundância...
A vantagem é queessa solução não faz qualquer hípótese sobre a cardinalidade do conjunto dos r_x, que foi justamenteo problema da solução doArtur.
Certamente se card(X) card(R) (por exemplo, se X for o
Não entendi como uma diagonal pode juntar os ladosde medidas a e c.
De:
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Data:
Thu, 26 Oct 2006 01:24:50 -0200
Assunto:
[obm-l] Re: [obm-l] Quadrilátero...
Olá,
cara, faca assim:
trace uma diagonal, de modo que os lados
Ou então, você repara que:
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + ... + 1/(2n-1) - 1/2n =
1 +1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +1/6 + 1/7 + 1/8 + ... + 1/(2n-1) + 1/(2n)
-1-1/2 -1/3 - 1/4...- 1/n =
(1 +1/2 + 1/3 + ... + 1/(2n)) - (1 + 1/2 + 1/3 + .. + 1/n) =
1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n).
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Data: Sun, 22 Oct 2006 11:22:23 -0200
Assunto: [obm-l] Demonstração
Bom dia a todos!
Como posso demonstrar que 2^p + 3^p, onde p é primo, somente pode ser
n^1, onde n é natural. Isto
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:
Fri, 20 Oct 2006 20:35:18 -0300 (ART)
Assunto:
[obm-l] eQuaCao
x^4 + x^3 -1 = 0
se a,b sao 2 raizes da eq acima, mostre q ab eh uma raiz positiva da equacao abaixo
x^6 + x^4 + x^3 - x^2 - 1 = 0
alguem sabe
Errei uma fatoracao boba...
Segue abaixo a solucao corigida.
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De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Mon, 23 Oct 2006 10:58:04 -0300
Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Demonstração
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De:
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Data: Thu, 19 Oct 2006 22:42:44 + (GMT)
Assunto: [obm-l] Números Algebricos
Olá para todos. Estou com o seguinte problema:
Determinar uma base integral de Q(2^1/3).
Vi no livro do
x^(2n) - 1 = (x-1)(x+1)*PRODUTO(k=1...n-1)((x-w^k)*(x-w^(-k)), onde w =
cis(pi/n).
Cada fator do produto eh igual a (x^2 - 2*cos(k*pi/n)*x + 1).
Logo,
(x^(2n)-1)/(x^2-1) =
1 +x^2 + x^4 + + x^(2(n-1)) =
PRODUTO(k=1...n-1)(x^2 - 2*cos(k*pi/n)*x+1)
x = 1 ==
n =
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Data: Fri, 20 Oct 2006 23:22:35 + (GMT)
Assunto: [obm-l] DUVIDA
SE A1,A2,A3,... sao vertices de um poligono regular convexo inscrito em uma
circf. prove q:
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Data: Sat, 21 Oct 2006 00:56:12 -0200
Assunto: [obm-l] Grupo solúvel
Olá, colegas. Estou provando que todo grupo de ordem menor do que 60 é
solúvel. Como eu posso mostrar que um grupo G,
Uma solucao com um pouco menos de contas pode ser obtida se observarmos que 1,
3, 4 e 6 estao dispostos simetricamente em torno
de 7/2.
Assim, seja b = a - 7/2 == a = b + 7/2 ==
a - 1 = b + 5/2
a - 3 = b + 1/2
a - 4 = b - 1/2
a - 6 = b - 5/2
Multiplicando e somando 10, obtemos:
f(a) = (b^2 -
Expanda em fracoes parciais complexas:
f(x) = 1/(x^k-1) = A(0)/(x-1) + A(1)/(x-w) + ... + A(k-1)/(x-w^(k-1))
(w = cis(2pi/k))
A n-esima derivada eh:
f^(n)(x) = (-1)^n*n!*(A(0)/(x-1)^(n+1) + ... + A(k-1)/(x-w^(k-1))^(n+1))
Agora, se a eh uma das raizes de x^k-1 e se q_a(x) = (x^k-1)/(x-a),
Esse problema da Putnam me deu uma idéia, que proponho aqui como um problema (certamente não é inédito, mas procurei no Lidski, no Krechmar e no Fadeev-Sominski e não achei):
Expanda 1/(x^(2m+1) - 1) em frações parciais (m inteiro positivo) e, a partir desta expansão, calcule o valor da soma:
Não resisti e vou dar um pitaco. A menos que as coisas tenham mudado muito desde a década de 1980, no ensino médio e no ensino superior seções cônicas são vistas apenas em geometria analítica. Isso é uma pena, pois o tratamento grego destas curvas é extremamente elegante e contém demonstrações
De:
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Data:
Tue, 17 Oct 2006 15:51:31 -0200
Assunto:
[obm-l] polinômio
Bem estou em dúvida nesta questão:
Para quais inteiros a o polinômio x^2 - x + a é um fator de x^13 + x + 90
naum resolvi dividir nada pq acho q deve
V = |AC x AD* AB|/3 (*: produto escalar)==
V = |AC x (AC + CD)* AB|/3 = |AC x CD * AB|/3 = |AC * CD x AB|/3 =
|AC|*|cos(x)|*|CD|*|AB|*|sen(y)|/3, onde:
x = ângulo entre AC e a perpendicular comumàs retas-suporte deAB e CD
e
y = ângulo entre AB e CD.
Como y, |AB| e |CD| são constantes e
Sim, sem duvida. Mas nao foi isso o que eu fiz?
Escolha de 2 retas dentre as m: Binom(m,2)
Escolha de 2 retas dentre as n: Binom(n,2)
No de paralelogramos: Binom(m,2)*Binom(n,2)
Se quisessemos apenas pares de retas paralelas contiguas, o numero de
paralelogramos seria (m-1)*(n-1).
[]s,
Claudio.
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Data:
Tue, 10 Oct 2006 14:45:04 + (GMT)
Assunto:
[obm-l] Problema
Amigospeço ajuda para os seguintesproblemas:
1)Demonstrar que os números 49 , 4489, 444889 obtidos colocando o número 48 no meio do número
Tem um teorema que diz que, dada uma matriz qualquer A mxn sobre um corpo K,posto-linha(A) = posto-coluna(A), ou seja, a dimensãodo subespaço deK^n gerado pelas m linhas de A é igual à dimensão do subespaço de K^m gerado pelas n colunas de A.
Este teorema sempre me intrigou pois, como alguém já
Eu achei um site (infelizmente nos EUA) que vende o negocio...
http://www.sciencefirst.com/vw_prdct_mdl.asp?prdct_mdl_cd=20030
Tem varias outras bugigangas legais a venda tambem. Veja, em especial, os
geradores Van de Graaf e as bobinas de Tesla (Tesla coils).
Infelizmente, sao bem caros. O
De:
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Data:
Wed, 4 Oct 2006 00:38:39 -0300
Assunto:
[obm-l] Exercicio de Anel
Favor quem poderia me dar uma dica?
Seja z[Raiz de 2] = {a + b.Raiz de 2}/a,b pertence aos Inteiros}
Defina os operadores (+),(.) tais que
Há alguns meses eu vi (ao vivo, num museu de ciências) uma demonstração de um eletroimã de brinquedo que funcionava com duas pilhas AA e que tinha uma força de atração de uns 80 kgf (isso mesmo: kilogramas-força!). A demonstração usava dois voluntários (crianças de 10-11 anos) que tinham que
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Data: Sat, 30 Sep 2006 02:06:01 + (GMT)
Assunto: [obm-l] Função
Encontre toda as funcoes f: R-R tais que para todos os x e y reais,
f(x.f(y))=f(xy)+x
olha o q eu fiz.
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Data: Sat, 30 Sep 2006 14:36:11 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Re:[obm-l] Informações sobre o Latex
claudio.buffara escreveu:
Eu consegui o meu aqui:
http://www.ctan.org/starter.html
[]s,
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Data: Sat, 30 Sep 2006 08:16:51 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Trigonometria em aberto
...
P(Y) = 8Y^3 - 4Y^2 - 4Y + 1
Sabemos pois que cos pi/7, cos 3pi/7 e -cos 2pi/7 = cos 5pi/7 são
as 3
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Data: Thu, 28 Sep 2006 18:25:17 -0200
Assunto: [obm-l] Norma de vetores e produto interno
Estou calculando a norma das seguintes matrizes:
1 -1 2 1
0 1 ; -1 1
Obtenho raiz de 3
Não.
Temos 3 em aberto de trigonometria:
1) sen(x)*sen(2x)*sen(4x)*sen(2^(n-1)*x)
2) tg(pi/7)*tg(2*pi/7)*tg(3*pi/7)
(por sinal isso é igual a raiz(7), mas eu achei a resposta com o Excel)
3) cos(a)*cos(a*q)**cos(a*q^(n-1))
(desse, eu conheço apenas a manjadíssima solução para o caso q
De:
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Data:
Tue, 26 Sep 2006 17:56:35 -0300
Assunto:
[obm-l] Número de Carmichael
Olá pessoal, gostaria que alguém demonstrasse pra mim ou me indicasse onde
posso encontrar a demonstração do seguinte fato:
Se t é tal que
Eu consegui o meu aqui:
http://www.ctan.org/starter.html
[]s,
Claudio.
De:
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Cópia:
Data:
Wed, 27 Sep 2006 11:16:50 + (GMT)
Assunto:
[obm-l] Informações sobre o Latex
Olá colegas do grupo,
Alguém poderia me indicar onde
Aqui vai minha tentativa:
Suponhamos que T(x,y) = (mx+ny,px+qy).
Então, dado x em R teremos:
T(x,ax^2+bx+c) =
(nax^2+(nb+m)x+nc,qax^2+(qb+p)x+qc) =
(u,au^2+cu+b), para algum u em R.
x - +/-inf == |u| - +inf
lim(|u| - +inf) (au^2+cu+b)/u^2 = a ==
lim(x - +/-inf)
O que dah pra provar eh que se G/Z(G) eh CICLICO, entao G eh abeliano (e,
portanto, G = Z(G))
Basta reparar que, neste caso, qualquer elemento de G serah da forma x^k*z,
onde z estah em Z(G), x eh tal que xZ(G) gera G/Z(G) e k
eh inteiro.
Corolario: |G/Z(G)| nunca eh primo.
[]s,
Claudio.
Oi, Artur:
Muito provavelmente, esta é a solução que você encontrou, mas aqui vai, de qualquer jeito...
A idéia é mostrar que, dado qualquer intervalo aberto (a,b), existe x nesse intervalotal que x não está em D. Logo, D não poderá conter nenhum intervalo aberto e, portanto, terá interior
E aquela de provar quetriangulo ABC eh equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, com AK = BL = CM eh equilatero?
O Ponce disse que tem uma solucao de nivel 4o. ginasial (8a. serie pra quem tem menos de 40 anos...) e o Nehab uma usando rotacao. Vamos ve-las!
[]s,
Claudio.
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Data: Wed, 06 Sep 2006 03:22:54 +0800
Assunto: [obm-l] Teorema de Ceva
Estou tentando provar a recíproca do teorema de Ceva, alguém pode me ajudar?
Grato desde já.
--
Desenhe o triangulo
Oi, Luis:
Eu fiz o seguinte:
Sejaf(x) = x^(p-1) + 2x^(p-2) + 3x^(p-3) + ... + (p-1)x +p,
onde p é um primo ímpar.
Então: f(x+1) = x^(p-1) + (p+1)x^(p-2) + p*g(x), com g(x) em Z[x].
Os coeficientes de x^(p-1) e x^(p-2) em f(x+1) são facilmente calculáveis.
O coeficiente de x^(p-k) para3 = k =
Nesse caso, eh 240.
Se p 5 entao 5 | p^4 - 1 (pequeno Fermat).
Alem disso, todo primo = 5 eh da forma 3k +/- 1. Logo, p-1 ou p+1 eh multiplo
de 3.
Finalmente os multiplos de 2:
p^2+1, p-1 e p+1 sao pares. Mas um dentre p-1 e p+1 eh tambem multiplo de 4.
Logo, p^4-1 eh multiplo de 16.
Assim,
Acho que tambem tinha esse aqui:
Seja (a_n) uma sequencia de termos positivos tal que SOMA(n=1) a_n diverge.
Prove que se s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n, entao SOMA(n=1) a_n/s_n ainda
diverge.
Por exemplo, se a_n = 1/n, entao s_n = K + log(n), para alguma constante K 0.
Logo, SOMA(n=1) a_n/s_n =
Imagino que você esteja se referindo ao artigo:
http://www.geometer.org/mathcircles/solvit.pdf
Não tenho o gabarito, mas se você quiser, posso postar a solução (ou pelo menos uma dica)de algum problema. No mais, na página http://www.geometer.org/mathcircles/
tem vários artigos sobre matemática
Satisfaz sim! É exatamenteo tipo desolução que eu procurava, com retas mágicas e tudo. Maravilha!
[]s,
Claudio.
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Wed, 23 Aug 2006 16:05:48 -0300 (ART)
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Re: [obm-l] Questao de TrianguloOla' pessoal,essa
Ou então, sem usar l'Hospital (e supondo que n é positivo)
Se 0 a = 1, então o limite é +infinito, pois o numerador tende a +infinito e o denominador é limitado.
Se a 1, tome logaritmos em base a, obtendo log(y) = n*log(x) - x ==
log(y) - -infinito, quando x - + infinito == y - 0.
[]s,
Claudio.
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Sat, 26 Aug 2006 12:24:22 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Dúvida - monóide
Esta sua pergunta me suscita uma lembrancca e uma reflexao . Quando eu cursei engenharia (no IME) fui aluno de um cara dito excêntrico (no
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Fri, 25 Aug 2006 19:01:53 +
Assunto:
[obm-l] desigualdades
Sauda,c~oes,
E esta aqui? Fonte: CRUX 31 (2005), p.216
Let n be a positive integer. Determine the smallest possible sum
a_1b_1 + a_2b_2 +
Nossa! Ainda bem que eu não perdi muito tempo com este problema...
De qualquer forma, acho interessante pensar num problema correlato.
SejaA um subconjunto de N (naturais = inteiros positivos) tal que:
(i) se n pertence a M e n é par, então n/2 pertence a A
e
(ii) se n pertence a M e n é ímpar,
Em cada esquina ele deve decidir se vai para o Norte ou para o Leste por mais uma quadra. Além disso, sabemos que ele precisa andar 7 quadras para Leste e 8 quadras para o Norte par ir de casa até o escritório.
Assim, um dado trajeto pode ser codificado como uma sequência de 7 letras L e 8 letras
Oi, pessoal:
Achei um artigo que talvez seja útil para alguns de vocês.
Está em: http://www.geometer.org/mathcircles/solvit.pdf
Tem algums dicas de como fazer provas discursivas de matemática (até meio óbvias, mas bom senso nunca é demais) e alguns probleminhas não muito difíceis -digamosnível
Pra raiz(a), acho que poucos sao tao eficientes quanto:
x_(n+1) = (x_n + a/x_n)/2, comecando com, digamos x_1 = (1+a)/2.
Certamente eh mais eficiente do que aquele que parecia uma divisao e voce
separava os algarismos do radicando em grupos de 2...
Naturalmente, por na mao, eu entendo sem
Segue abaixo a tentativa de se definir uma funcao f: N - N
(N = conjunto dos inteiros positivos)
f (1) = 1;
Se n eh par, entao f (n) = f (n/2);
Se n eh impar, entao f (n) = f (3n + 1).
Perguntas:
1) As condicoes acima realmente definem uma tal f (ou seja, permitem que, A
CADA elemento de N
A solucao que eu tinha em mente era essa mesmo e, sim, basta que o coeficiente
lider seja positivo.
[]s,
Claudio.
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Data: Tue, 22 Aug 2006 15:56:53 -0300
Assunto: RES: [obm-l] Numeros Irracionais
Tambem nao encontrei. E passei um bom tempo tentando...
A lei dos senos eh extremamente util, sem duvidas, mas de alguma forma,
solucoes trigonometricas (e tambem por geometria analitica)
nao tem o mesmo impacto pra mim que uma bela solucao magica no estilo grego.
[]s,
Claudio.
--
Aqui vai minha tentativa:
Colocacao da Brasileiras (uma em cada lado da banca): 4!
(4 escolhas para a revista que vai na frente da banca, 3 escolhas para a da
lateral direita, 2 escolhas para a da lateral esquerda, e a
revista da parte de tras fica determinada)
Colocacao das Francesas: 4!
Por acaso você é o Nehab que dava aula de matemática na turma IME do Impacto no início dos anos 80?
[]s,
Claudio.
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Tue, 22 Aug 2006 17:01:25 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Questao de TrianguloPois é, Claudio,Juro que
Dica: em ambas, use o binomio de Newton.
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Data: Mon, 21 Aug 2006 22:44:09 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Identidades Combinatórias
Olá Claudio.
Bem me desculpa, infezlimente esse caso em q vc postou
Por enquanto, aqui vai uma dica: representacao em base k.
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Data: Mon, 21 Aug 2006 21:03:18 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Numeros Irracionais
Claudio, pensei pensei e nao consegui solução alguma.
E a solução macetosa? Ou seja, aquela reta auxiliar "mágica" que mata o problema em 2 linhas...
[]s,
Claudio.
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Tue, 22 Aug 2006 00:20:32 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Questao de Triangulo
Oi, Palmerim,
Chame de [x] o maior inteiro que é menor ou igual que x.
Prove ou dê um contra-exemplo:
Dados reais quaisquer a, b com 0 = a b =1, existe um inteiro positivo n tal que a raiz(n) - [raiz(n)] b.
[]s,
Claudio.
Aqui vai um resultado que eu não conhecia (o item (b)):
No triângulo acutângulo ABC, sejam P, Q e R os pés das alturas relativas aos vértices A, B e C, respectivamente.
a) Prove que AP é a bissetriz do ângulo RPQ (idem paraBQ vs PQR e CR vs PRQ).
b) (generalização de (a)) Seja H um ponto
Estava revendo meus arquivos e me deparei com este aqui:
Seja Z = conjunto dos inteiros.
Chamamos de a*Z+b o conjunto dos números da forma a*m + b, onde m é inteiro. Assim, por exemplo, 2*Z = conjunto dos inteiros pares; 6*Z+1 = conjunto dos inteiros que deixam resto 1 quando divididos por 6,
Alguém conhece uma demonstração COMBINATÓRIA para:
SOMA(1=k=n) (-1)^(k+1)*Binom(n,k)/k = SOMA(1=k=n) 1/k ?
Como o lado direito nunca é inteiro (para k 1 - problema clássico!), imagino que seja necessária alguma manipulação macetosa dessas somas para transformá-las na solução de algum problema
Aqui vai um que sai facilmente se voce tiver a ideia certa...
Prove que se k eh um inteiro = 2 e p(x) um polinomio monico, de coeficientes
inteiros e grau = 2, entao:
SOMA(n=1...+infinito) 1/k^p(n) eh irracional.
Em particular, 1/k + 1/k^4 + 1/k^9 + 1/k^16 + 1/k^25 + ... eh irracional,
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Thu, 17 Aug 2006 14:16:11 -0300
Assunto:
[obm-l]
Pessoal
Se definirmos M(k) = {[(a_1)^k + (a_2)^k + ... + (a_n)^k]/n}^(1/k) ou seja
a média potencial de n números reais positivos com k real.
Eu tava vendo
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Data: Mon, 14 Aug 2006 15:07:59 -
Assunto: [obm-l] Re: Invariância.
Invariância é a propriedade de algo não se alterar quando é submetido a
uma transformação. Por exemplo subconjuntos
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Data: Sat, 12 Aug 2006 16:13:01 + (GMT)
Assunto: [obm-l] duvida - limite
Olá colegas
Como verifico se a sequencia n!/ 1.3...(2n-1) converge??
grato
Chamando o n-esimo
Eh isso mesmo.
[]s,
Claudio.
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Data: Thu, 10 Aug 2006 16:57:55 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Poligonal no Plano
Claúdio,
uma solução seria tomando as projeções dos segmentos sobre o eixo x. Pois
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Data: Fri, 11 Aug 2006 16:13:01 -0300
Assunto: [obm-l] Correção
Primeiro uma correção:
No problema que eu enviei há pouco, sobre a caminhada na face da Terra, eu só
consegui achar uma
Sua observacao eh valida.
Suponha que tudo acontece no primeiro quadrante (de fato, no triangulo de
vertices (0,0), (1,0), (0,1))
A outra solucao que voce menciona ocorre no 2o. quadrante.
[]s,
Claudio.
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Oi, Marcelo:
De uma olhada nas provas antigas da OBM - niveis 1 (5a. e 6a.) e 2 (7a. e 8a.)
Eu diria que se um aluno de 8a. seria conseguir resolver toda a prova de NIVEL
1, entao ele estarah bem acima da media.
Se ele conseguir resolver a de Nivel 2, entao POR QUE ELE NAO ESTAH
PARTICIPANDO DA
Acabei de reler este problema. Na primeira vez que o vi, só achei uma solução.
Uma pessoa estava parada num dado ponto da superfície da Terra (supondo que esta é uma esfera perfeita). Inicialmente esta pessoa andou 10 km para o sul, depois 10 km para o leste e, finalmente, 10 km para o norte, o
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