Boa tarde! Douglas, Não creio, no meu entendimento 3^2003 é o número de algarismos da dízima pois, é a ordem 10 módulo 3^2005. 1/3^2005 tem uma montoeira de algarismos zeros no início do período o que não acontece em 3^2005. O número de algarismos do período de uma dízima m/n, pelo menos quando n não é múltiplo dos primos 2 e 5 é ord10mod n e independe de n. Nao verifiquei se vale sem a restriçao. Por exemplo o período de 1/7 é 142857 e ord 10 mod 7 = 6. Se aquele fosse o período da dízima bastaria fazer n =[log10 (3^2003)+1] onde colchetes representam parte inteira.. Minha dúvida está na prova por absurdo, que ord 10 mod 3^n= 3^(n-2).
Saudações, PJMS Em dom, 8 de mar de 2020 11:31, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > 3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a pergunta. > 👊👊👊 > > Douglas oliveira > > Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma >> olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma, >> assim que tiver um tempinho. >> >> Douglas Oliveira. >> >> Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José <petroc...@gmail.com> >> escreveu: >> >>> Bom dia! >>> Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou >>> matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de >>> espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender >>> fica para o futuro. Quando me aposentar cursar uma faculdade de >>> matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém >>> poderia me informar se está correto? >>> Saudações, >>> PJMS. >>> >>> Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José <petroc...@gmail.com> >>> escreveu: >>> >>>> Boa tarde! >>>> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto? >>>> >>>> Saudações, >>>> PJMS >>>> >>>> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José <petroc...@gmail.com> >>>> escreveu: >>>> >>>>> Boa noite! >>>>> Creio ter conseguido. >>>>> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 >>>>> então k é a ordem 10 mod 3^2005. >>>>> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então >>>>> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i) >>>>> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se >>>>> x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k<n-2 >>>>> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2<n . >>>>> ord 10 mod 3^2005 =3^2003 >>>>> 3^2003 algarismos >>>>> Saudações, >>>>> PJMS >>>>> >>>>> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José <petroc...@gmail.com> >>>>> escreveu: >>>>> >>>>>> Boa tarde! >>>>>> 3^2005 e não 10^2005. >>>>>> >>>>>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José <petroc...@gmail.com> >>>>>> escreveu: >>>>>> >>>>>>> Boa tarde! >>>>>>> Questão complicada. >>>>>>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 >>>>>>> mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. >>>>>>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas >>>>>>> parece que não... >>>>>>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. >>>>>>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) >>>>>>> para n>=2. >>>>>>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a >>>>>>> conjectura esteja correta. >>>>>>> >>>>>>> Saudações, >>>>>>> PJMS >>>>>>> >>>>>>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < >>>>>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >>>>>>> >>>>>>>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>>> Saudações >>>>>>>> Douglas Oliveira >>>>>>>> >>>>>>>> -- >>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>>> >>>>>>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
