Boa noite! Errata da nota anterior independente de m e não de m, supondo (m,n)=1 e m/n não inteiro. Outro ponto não há necessidade a verificação de se o proposto vale para quando n for múltiplo de 2 ou de 10, pois a ordem m mod n só existe se (10,n)=1. Foi bobagem só ter aventado a possibilidade. não coloquei como cheguei a conclusão de que era ordem 10 mod n, pois achei bem intuitivo. Mas na hora que fui mostrar, achei complicado o que julgara fácil. Mas quanto a isso estou seguro. Para (n,m)=1 e (n,10)=1 e n/m não inteiro. Se m>n pode-se representar por uma fração q j/n com q, j e n inteiros e (j,n)=1 pois m=qn+j e se d<>1 divide n e j então d|m pois m é uma Z combinação linear de j e n. Absurdo pois(m,n)=1 por hipótese. Então sem perda de generalidade podemos só trabalhar para o caso m<n. O período da dízima é formado por p1p2p3...pn-1pk. p1= [10m/n] e r1=m*10 modn com 0<r1<n p2= [10r1/n] e r2 = 10r1= m.10^2 modn 0<r2<n pi= [10r(i-1)/n] e ri= 10r(i-1)= m10^i modn 0<ri<n
Como para a=Fi(n), 10^a=1 modn, temos que em algum momento haverá a repetição de r e aí acaba o período, o que era de se esperar, visto que o universo de restos é finito. Só que a primeira ocorrência é que vale, e isso se dará para k=ord10 modn, que não necessariamente será em Fi(n) pk= [10r(n-1)/n] e rk= m.10^k = m mod n 0<rn<n, pois 10^k=1 mod n. E aí termina o período (mínimo) da dízima. Minha dúvida é se a conclusão que a ordem 10 módulo 3^n = 3^(n-2) para n>=2, está correta. Saudações, PJMS Em dom, 8 de mar de 2020 16:09, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > Boa tarde! > Douglas, > Não creio, no meu entendimento 3^2003 é o número de algarismos da dízima > pois, é a ordem 10 módulo 3^2005. > 1/3^2005 tem uma montoeira de algarismos zeros no início do período o que > não acontece em 3^2005. > O número de algarismos do período de uma dízima m/n, pelo menos quando n > não é múltiplo dos primos 2 e 5 é ord10mod n e independe de n. Nao > verifiquei se vale sem a restriçao. > Por exemplo o período de 1/7 é 142857 e ord 10 mod 7 = 6. > Se aquele fosse o período da dízima bastaria fazer n =[log10 (3^2003)+1] > onde colchetes representam parte inteira.. > Minha dúvida está na prova por absurdo, que ord 10 mod 3^n= 3^(n-2). > > Saudações, > PJMS > > > > Em dom, 8 de mar de 2020 11:31, Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> 3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a >> pergunta. >> 👊👊👊 >> >> Douglas oliveira >> >> Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira < >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >> >>> Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma >>> olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma, >>> assim que tiver um tempinho. >>> >>> Douglas Oliveira. >>> >>> Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José <petroc...@gmail.com> >>> escreveu: >>> >>>> Bom dia! >>>> Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou >>>> matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de >>>> espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender >>>> fica para o futuro. Quando me aposentar cursar uma faculdade de >>>> matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém >>>> poderia me informar se está correto? >>>> Saudações, >>>> PJMS. >>>> >>>> Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José <petroc...@gmail.com> >>>> escreveu: >>>> >>>>> Boa tarde! >>>>> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto? >>>>> >>>>> Saudações, >>>>> PJMS >>>>> >>>>> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José <petroc...@gmail.com> >>>>> escreveu: >>>>> >>>>>> Boa noite! >>>>>> Creio ter conseguido. >>>>>> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 >>>>>> então k é a ordem 10 mod 3^2005. >>>>>> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então >>>>>> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i) >>>>>> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se >>>>>> x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k<n-2 >>>>>> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2<n . >>>>>> ord 10 mod 3^2005 =3^2003 >>>>>> 3^2003 algarismos >>>>>> Saudações, >>>>>> PJMS >>>>>> >>>>>> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José <petroc...@gmail.com> >>>>>> escreveu: >>>>>> >>>>>>> Boa tarde! >>>>>>> 3^2005 e não 10^2005. >>>>>>> >>>>>>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José <petroc...@gmail.com> >>>>>>> escreveu: >>>>>>> >>>>>>>> Boa tarde! >>>>>>>> Questão complicada. >>>>>>>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 >>>>>>>> mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. >>>>>>>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas >>>>>>>> parece que não... >>>>>>>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. >>>>>>>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = >>>>>>>> 3^(n-2) para n>=2. >>>>>>>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a >>>>>>>> conjectura esteja correta. >>>>>>>> >>>>>>>> Saudações, >>>>>>>> PJMS >>>>>>>> >>>>>>>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < >>>>>>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >>>>>>>> >>>>>>>>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? >>>>>>>>> >>>>>>>>> >>>>>>>>> Saudações >>>>>>>>> Douglas Oliveira >>>>>>>>> >>>>>>>>> -- >>>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>>>> >>>>>>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
