[obm-l] Tarô por telefone com Rebeca
Centenas de pessoas já se consultaram com ela!!! - Atende ao publico deste 1960, sempre foi destaque em todas as feiras esotéricas que fez. - Leituras de cartas pelo telefone, R$50,00 reais a consulta (CONFIRMA A ESPIRITUALIDADE E A VIDENCIA E SÓ PAGUE DEPOIS DA CONSULTA). Com muita honestidade em tudo que sempre fez Voce vai se surpreender com ela! - Atende das 2:00pm as 2:00 am Telefone: ddd-13-3507-4524 Celular:11-9768-7760 O pagamento deve ser efetuado na: Caixa Economica Federal - 0104 agencia: 2158 conta poupança:30432-5 em nome de: Aparecida Ines Gomes CPF:043.797.778-12 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] FALSIFICAÃÃO DA SORTE!
> Se você acha que aquela moeda usada pelo juiz está > prejudicando seu time, como é > possível se proteger contra a falsificação da sorte? > > Imaginemos que o juiz tenha uma dessas moedas e que > a chance de resultar coroa > seja muito maior que a chance de resultar cara, > digamos 70% contra 30%. Quais > os meios para nos proteger de uma moeda viciada? Lance a moeda duas vezes: Se der CARA/CARA ou COROA/COROA despreze. Se der CARA/COROA considere como CARA. Se der COROA/CARA considere como COROA. Nesse nosso novo esquema(lançar a mesma moeda duas vezes) a probabilidade de dar cara é igual a de dar coroa pois se a probabilidade de dar CARA em um lançamento da moeda for p, no novo esquema, a probabilidade de dar CARA ou COROA será a mesma e é p(1-p) deixando ela nao viciada.Essa foi a ideia de Von Neumann. Observe que existe a possibilidade de sempre dar CARA/CARA ou COROA/COROA, portanto qual seria o numero esperado de lançamentos no nosso esquema ate aparecer uma sequencia valida?? Como se trata de uma distribuiçao geometrica , sua esperança é 1/p(1-p) e como p(1-p) é no maximo 1/4 teremos em media que em 4 rodadas do nosso esquema (4X 2 = 8 lançamentos da moeda) aparecerá CARA/COROA ou COROA/CARA. Observe que metade das possibilidades é lixo, isso dá um custo muito alto pra o nosso esquema.Vc seria capaz de propor uma variante ao esquema tal que minimizasse o numero de possibilidades nao validas??? Valeu = "O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... " Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cardinalidade
Bem, como funciona a prova de Tarski-Banach? --- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > No fim das contas, acho que quase todo mundo prefere > uma demonstracao > construtiva. Soh que, infelizmente, ela nao existe > pra maior parte dos > teoremas interessantes. Entao, a unica alternativa > eh aceitar uma > demonstracao que mata a cobra mas NAO mostra o pau. > Me parece que, hoje em > dia, a maioria dos matematicos estah conformada com > esta situacao e engole o > axioma da escolha justamente porque nao tem > escolha... > > []s, > Claudio. > > De fato. > Eu acho curioso que o axioma da escolha, tao > polemico no incio do seculo XX, > eh perfeitamente intuitivo. Se vc o explica para > alguem sem muita formacao > matematica, a apessoa geralmente achA que ele eh > obviamente verdadeiro. Vc > poe a mao num conjunto da colecao, saca um elemento, > poe a mao em um outro, > saca outro elemento e assim por diante, formando um > conjuntoem que cada > elemento pertence a um membro da colecao. > Principalmente quando a colecao eh > enumeravel, ainda que infinita. Entretanto, quase > todo mundo sem muita > formacao matematica acha estranho que a serie > harmonica vah para infinito. > > Apesar de ainda causar alguma polemica, o axioma da > escolha foi, no inicio > de seculo XX, creio, absolvido pelos matematicos, > pois, contrariamente ao > que varios afirmavam, ele nao eh culpado de > possiveis incoerencias que > possam existir na teoria dos conjuntos (acho que o > paradoxo de Tarski- > Banach, por exemplo, nao eh consequencia do axioma > da escolha) > Artur > > > > > OPEN Internet e Informática > @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor > de e-mails @ > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] off - Professorado, requisitos?
Nicolau, existem também os cursos livres como preparatórios para vestibulares, concursos públicos e militares. Nestes qualquer um pode dar aula. Em (16:22:44), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: >On Fri, Jan 07, 2005 at 01:22:06PM -0200, Fabio Niski wrote: >> Pessoal, como anda hj em dia os requisitos para exercer a profissao de >> professor em uma instituicao de ensino? >> O que diz a lei e o que de fato as escolas e universidades estao >> fazendo? Alguem formado como bacharael em matematica pode dar aulas sem >> ter nenhum curso de educacao? E nas universidades? > >Nas escolas não, nas universidades sim. Por lei, eu posso dar aula >em instituições de ensino superior mas por não ter licenciatura >não posso dar aula no ensino médio ou fundamental. Mais surpreendente ainda, >se eu desejar completar o curso de licenciatura na PUC eu sou obrigado a >cursar >disciplinas que eu tenho direito de ensinar. > >> É possivel voce ser contratado para dar aula sem diploma? > >Tecnicamente não. Por outro lado, todos sabemos muito bem que no Brasil >as leis nem sempre são seguidas. As instituições de ensino particular >muitas vezes avaliam a competência do candidato de forma mais inteligente >do que uma simples verificação de que ele tem este ou aquele diploma. > >> Como funciona isso? Sao leis federais? Estaduais? Municipais? > >As leis em questão são federais. > >[]s, N. >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > >--
Re: [obm-l] off - Professorado, requisitos?
Se não me engano, há um artigo na LDB (Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional) que assegura ao indivíduo de "notório saber" a possibilidade de obter um diploma de nível superior. Este "notório saber" está relacionado à disciplina do qual ele quer o diploma. Eu não tenho a absoluta certeza se é exatamente assim - vou verificar depois aqui na LDB e ver se encontro o artigo. Pois quando eu ainda estava na faculdade havia uma matéria e a leitura da LBD era imprescindível. Obs: Eu sei que existem várias pessoas aqui que não são formadas em Matemática mas possuem um "notório saber" nesta disciplina, logo poderiam, por hipótese, obter o diploma. Ao que parece, o indivíduo que se dispuser a isso terrá que se submeter a uma avaliação (ou bateria de testes, não sei ao certo) para avaliar se ele realmente conhece todos os assuntos abordados no curso do qual ele quer o diploma. Se alguém conhecer sobre esta norma da LDB e estiver em desacordo com o falei, por favor, me corrija. Em uma mensagem de 07/01/05 16:30:08 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Fri, Jan 07, 2005 at 01:22:06PM -0200, Fabio Niski wrote: > Pessoal, como anda hj em dia os requisitos para exercer a profissao de > professor em uma instituicao de ensino? > O que diz a lei e o que de fato as escolas e universidades estao > fazendo? Alguem formado como bacharael em matematica pode dar aulas sem > ter nenhum curso de educacao? E nas universidades? Nas escolas não, nas universidades sim. Por lei, eu posso dar aula em instituições de ensino superior mas por não ter licenciatura não posso dar aula no ensino médio ou fundamental. Mais surpreendente ainda, se eu desejar completar o curso de licenciatura na PUC eu sou obrigado a cursar disciplinas que eu tenho direito de ensinar. > É possivel voce ser contratado para dar aula sem diploma? Tecnicamente não. Por outro lado, todos sabemos muito bem que no Brasil as leis nem sempre são seguidas. As instituições de ensino particular muitas vezes avaliam a competência do candidato de forma mais inteligente do que uma simples verificação de que ele tem este ou aquele diploma. > Como funciona isso? Sao leis federais? Estaduais? Municipais? As leis em questão são federais. []s, N. []s, Rafael "Deus não joga dados com o universo" (Albert Einstein)
RE: [obm-l] Problema de natural
Como eu posso provar que esse é o resultado correto? Ou pelo menos que não existem outros?Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Olá André,se entendi o que você pediu, o resultado de "y * z^x" deve ter 8 algarismos, e a soma dos algarismos de y e x deve ser mínima.Então1) faça z o maior possível: z=92) faça y o menor possível, já que o "investimento em x rende mais" (x é expoente) : y=1003) assim, assim x=6 (levando ao total de 53144100)Resultado: a soma mínima é 7.>From: André Barreto>>Do nada elaborei um problema futucando na minha calculadora. Tentei >resolver, mas não deu... não sei nem se tem como, mas todo caso lá vai ele.Vc possui uma calculadora que comporta números de até 8 algarismos.>>Qual o número natural (y) de 3 algarismos, que multiplicado por um natural >de 1 algarismo, x vezes alcança 8 algarismos exatamente. Sendo a soma dos >algarismos de (y) + x o m! enor número possível para que isso aconteça?Será possível resolver isso? Ou pelo menos chegar a algumas conclusões >interessantes?>_MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
Re: [obm-l] Continuidade uniforme
on 07.01.05 18:24, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Achei este problema interessante: > > Mostre que, se f:R ->R eh continua, periodica e nao constante em R, entao > g(x) = f(x^2) nao eh uniformemente continua em R. > Nao eh dificil mostrar isto. E com isto, concluimos como corolario aquilo > que jah foi aqui discutido, ou seja, g nao eh periodica em R. > Artur > Seja a > 0 o periodo de f. Como f eh continua, teremos que lim(n -> infinito) f(x + y/n) = f(x), quaisquer que sejam x e y reais. Como f eh nao-constante, vai existir b tal que: 0 < b < a/4 e |f(2*raiz(a*b) - f(0)| = 2*eps > 0 Logo, |g(raiz(n*a) + raiz(b/n)) - g(raiz(n*a))| = |f(n*a + b/n + 2*raiz(a*b)) - f(n*a)| = |f(b/n + 2*raiz(a*b)) - f(0)| > eps, para n suficientemente grande. No entanto, raiz(b/n) pode ser feito tao pequeno quanto se queira. Ou seja, encontramos x = raiz(n*a) e y = x + raiz(b/n) tais que |x - y| torna-se arbitrariamente pequeno enquanto |f(x) - f(y)| permanece maior do que uma quantidade positiva fixa (eps). Logo, g nao eh uniformemente continua. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Continuidade uniforme
Achei este problema interessante: Mostre que, se f:R ->R eh continua, periodica e nao constante em R, entao g(x) = f(x^2) nao eh uniformemente continua em R. Nao eh dificil mostrar isto. E com isto, concluimos como corolario aquilo que jah foi aqui discutido, ou seja, g nao eh periodica em R. Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] e o problema alg. linear - cardinalidade
Title: Re: [obm-l] e o problema alg. linear - cardinalidade on 07.01.05 13:57, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote: E o problema abaixo, proposto antes, ninguém tem uma idéia para fazê-lo? Seja V um K-espaço vetorial que admite uma base infinita B. Mostrar que qualquer outra base de V tem a mesma cardinalidade de B. grado desde já, éder. Suponhamos que existam bases A e B de V tais que card(A) < card(B). Cada elemento a de A pode ser expresso de maneira unica como uma K-combinacao linear de um numero finito de elementos de B. Seja B' o subconjunto de B cujos elementos fazem parte da combinacao linear que expressa pelo menos um elemento de A. B' serah uma uniao de conjuntos finitos indexada por elementos de A. Logo, como A eh infinito, card(B') = card(A) < card(B). Mas eh claro que B' gera V, jah que B' gera A e A eh uma base de V. Seja v pertencente a B - B'. Um tal v existe porque card(B') < card(B). Como B' gera V, vao existir b_1, b_2, ..., b_n em B' e x_1, x_2, ..., x_n em K tal que: v = x_1*b_1 + x_2*b_2 + ... + x_n*b_n. Obviamente v <> b_i para cada i. Isso quer dizer que o vetor v de V estah sendo expresso de duas formas distintas como uma combinacao linear de elementos de B, o que contradiz o fato de B ser uma base de V. Essa contradicao decorre da hipotese feita inicialmente sobre a existencia de duas bases A e B de V tais que card(A) < card(B). Logo, quaisquer duas bases de V tem o mesmo cardinal. []s, Claudio.
Re: [obm-l] off - Professorado, requisitos?
On Fri, Jan 07, 2005 at 01:22:06PM -0200, Fabio Niski wrote: > Pessoal, como anda hj em dia os requisitos para exercer a profissao de > professor em uma instituicao de ensino? > O que diz a lei e o que de fato as escolas e universidades estao > fazendo? Alguem formado como bacharael em matematica pode dar aulas sem > ter nenhum curso de educacao? E nas universidades? Nas escolas não, nas universidades sim. Por lei, eu posso dar aula em instituições de ensino superior mas por não ter licenciatura não posso dar aula no ensino médio ou fundamental. Mais surpreendente ainda, se eu desejar completar o curso de licenciatura na PUC eu sou obrigado a cursar disciplinas que eu tenho direito de ensinar. > É possivel voce ser contratado para dar aula sem diploma? Tecnicamente não. Por outro lado, todos sabemos muito bem que no Brasil as leis nem sempre são seguidas. As instituições de ensino particular muitas vezes avaliam a competência do candidato de forma mais inteligente do que uma simples verificação de que ele tem este ou aquele diploma. > Como funciona isso? Sao leis federais? Estaduais? Municipais? As leis em questão são federais. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cardinalidade
On Fri, Jan 07, 2005 at 12:25:29PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: > Eu acho curioso que o axioma da escolha, tao polemico no incio do seculo XX, > eh perfeitamente intuitivo. Se vc o explica para alguem sem muita formacao > matematica, a apessoa geralmente achA que ele eh obviamente verdadeiro. Vc > poe a mao num conjunto da colecao, saca um elemento, poe a mao em um outro, > saca outro elemento e assim por diante, formando um conjuntoem que cada > elemento pertence a um membro da colecao. Principalmente quando a colecao eh > enumeravel, ainda que infinita. Entretanto, quase todo mundo sem muita > formacao matematica acha estranho que a serie harmonica vah para infinito. Depende da intuição de quem. Alguém disse que "O axioma da escolha é obviamente verdadeiro, o teorema da boa ordem [que é equivalente ao axioma da escolha] é obviamente falso, e quem sabe sobre o Lema de Zorn [que também é equivalente]?" > Apesar de ainda causar alguma polemica, o axioma da escolha foi, no inicio > de seculo XX, creio, absolvido pelos matematicos, pois, contrariamente ao > que varios afirmavam, ele nao eh culpado de possiveis incoerencias que > possam existir na teoria dos conjuntos (acho que o paradoxo de Tarski- > Banach, por exemplo, nao eh consequencia do axioma da escolha) Gödel provou a consistência relativa do axioma da escolha. Ou seja, se ZF (os axiomas usuais da teoria dos conjunto) for consistente então ZFC (ZF + axioma da escolha) também é. O paradoxo de Banach-Tarski não é uma contradição, só é pouco intuitivo. E depende do axioma da escolha sim, complicando o ponto de vista de que o axioma da escolha seria intuitivo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cardinalidade
On Fri, Jan 07, 2005 at 11:39:44AM -0200, Artur Costa Steiner wrote: > Obrigado Nicolau. > > Eu pediria que vc esclarecesse uma duvida. Eu julgava que, para provar que > uma união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável, nao precisavamos > do axioma da escolha. Suponhamos que A_1...A_n..seja os conjuntos da > colecao e que, a principio, sejam disjuntos 2 a 2. Podemos dispor os > elementos dos conjuntos da colecao em uma "matriz de dimensoes infinitas" > a_1_1 a_1_2a_1_n... > . > . > a_m_1 a_m_2a_m_n... > . > . Para chegar aqui você *escolheu* para cada n um elemento do conjunto não vazio de bijeções entre N e An. > Como a colecao eh disjunta 2 a 2, a cada elemento de A =Uniao(A_n) > corresponde 1 e somente 1 par ordenado (m,n) de N^2, N os inteiros > positivos. Hah assim uma bijecao entre A e N^2, e como N^2 eh enumeravel, A > tambem eh. Nao consegui ver onde usamos o axioma da escolha aqui. Para > provar que N^2 eh enumeravel nao precisamos de axioma da escolha, certo? Certo. > Podemos estabelecer uma bijecao entre os pares (m,n) e os valores da funcao > f(m,n) = 2^m*3^n, uma das provas classicas. Existem várias bijeções explícitas entre N e N^2. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cardinalidade
On Fri, Jan 07, 2005 at 11:11:56AM -0200, Artur Costa Steiner wrote: > Um ponto que sempre me intrigou e que quem nao aceita o Axioma da escolha > nao pode aceitar praticamente nenhuma das provas referentes a espacos > metricos ou topologicos gerais. Por exemplo, quase todas a sprovas sobra > compaticidade em espacos metricos ou mesmo topologicos gerais beaseiam em > escolhas infinitas e arbitraris, de elementos, coberturas, etc. Correto, a matemática sem o axioma da escolha e estranha e pouco estudada. Em um certo sentido, a comunidade matemática decidiu que o axioma da escolha é "verdadeiro". Isto não significa, obviamente, que o axioma tenha sido demonstrado. Significa sim que ele será usado sem referência explícita, sem nem pensarmos no assunto. Significa também que a quase totalidade dos matemáticos tem interesse zero em matemática sem o axioma da escolha. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema de natural
Olá André, se entendi o que você pediu, o resultado de "y * z^x" deve ter 8 algarismos, e a soma dos algarismos de y e x deve ser mínima. Então 1) faça z o maior possível: z=9 2) faça y o menor possível, já que o "investimento em x rende mais" (x é expoente) : y=100 3) assim, assim x=6 (levando ao total de 53144100) Resultado: a soma mínima é 7. From: André Barreto Do nada elaborei um problema futucando na minha calculadora. Tentei resolver, mas não deu... não sei nem se tem como, mas todo caso lá vai ele. Vc possui uma calculadora que comporta números de até 8 algarismos. Qual o número natural (y) de 3 algarismos, que multiplicado por um natural de 1 algarismo, x vezes alcança 8 algarismos exatamente. Sendo a soma dos algarismos de (y) + x o menor número possível para que isso aconteça? Será possível resolver isso? Ou pelo menos chegar a algumas conclusões interessantes? _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] e o problema alg. linear - cardinalidade
A definicao de base implica que, a cada subconjunto finito de B, corresponda 1 e apenas 1 elemento de V. Logo, card(V) = card(colecao dos subconjuntos finitos de B). Se B' eh uma base de V com card(B') > card(B), temos igualmente que card(V) = card(colecao dos subconjuntos finitos de B'), de modo que card(colecao dos subconjuntos finitos de B') = card(colecao dos subconjuntos finitos de B). Mas como card(B') > card(B), temos que card(colecao dos subconjuntos finitos de B') > card(colecao dos subconjuntos finitos de B), contrariamente aa igualdade anterior. Consideracao analoga vale se card(B') , card(B). Artur - Mensagem Original De: obm-l@mat.puc-rio.br Para: "Lista OBM" Assunto: [obm-l] e o problema alg. linear - cardinalidade Data: 07/01/05 15:13 E o problema abaixo, proposto antes, ninguém tem uma idéia para fazê-lo? Seja V um K-espaço vetorial que admite uma base infinita B. Mostrar que qualquer outra base de V tem a mesma cardinalidade de B. grado desde já, éder. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora. OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma de 1/n^2
Oi Claudio e demais amigos da lista, Aqui estão algumas referências legais do Mathworld. http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html http://mathworld.wolfram.com/AperysConstant.html Pelo que li lá, pode-se demonstrar que para s ímpar, Soma(n em N) 1/n^k = r\pi^k - S(k), sendo r um racional positivo e S(k) séries envolvendo exponenciais e potências. A constante de Apery é \zeta(3). Só se sabe que esse número é irracional; não se sabe se é algébrico ou transcendente. []'s Shine --- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Achei esse bonitinho: > > Seja A = conjunto dos inteiros positivos livres de > quadrados e que tem um numero ímpar de fatores > primos (distintos, claro!) > > Assim, A contém todos os primos e seu menor elemento > composto é 30 = 2*3*5. > > Calcule o valor de Soma(n em A) 1/n^2. > > Pode usar, sem demonstrar, que: > Soma(n em N) 1/n^2 = Pi^2/6 e Soma(n em N) 1/n^4 > = Pi^4/90. > > *** > > Aliás, falando nisso, alguém conhece algum argumento > heuristico contra ou a favor da hipótese de que > Soma(n em N) 1/n^k é um multiplo racional ou, pelo > menos, algébrico de Pi^k para k ímpar e maior que 1? > > []s, > Claudio. > __ Do you Yahoo!? The all-new My Yahoo! - Get yours free! http://my.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema de natural
Do nada elaborei um problema futucando na minha calculadora. Tentei resolver, mas não deu... não sei nem se tem como, mas todo caso lá vai ele. Vc possui uma calculadora que comporta números de até 8 algarismos. Qual o número natural (y) de 3 algarismos, que multiplicado por um natural de 1 algarismo, x vezes alcança 8 algarismos exatamente. Sendo a soma dos algarismos de (y) + x o menor número possível para que isso aconteça? Será possível resolver isso? Ou pelo menos chegar a algumas conclusões interessantes? Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
Re: [obm-l] off - Professorado, requisitos?
Fábio tudo depende do "QI" que vc possui... pelo menos em Vitória - ES ainda é assim... Que pena!!! - Original Message - From: "Fabio Niski" <[EMAIL PROTECTED]> To: Sent: Friday, January 07, 2005 1:22 PM Subject: [obm-l] off - Professorado, requisitos? > Pessoal, como anda hj em dia os requisitos para exercer a profissao de > professor em uma instituicao de ensino? > O que diz a lei e o que de fato as escolas e universidades estao > fazendo? Alguem formado como bacharael em matematica pode dar aulas sem > ter nenhum curso de educacao? E nas universidades? É possivel voce ser > contratado para dar aula sem diploma? Como funciona isso? Sao leis > federais? Estaduais? Municipais? > > Obrigado. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] e o problema alg. linear - cardinalidade
E o problema abaixo, proposto antes, ninguém tem uma idéia para fazê-lo? Seja V um K-espaço vetorial que admite uma base infinita B. Mostrar que qualquer outra base de V tem a mesma cardinalidade de B. grado desde já, éder. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
[obm-l] Soma de 1/n^2
Achei esse bonitinho: Seja A = conjunto dos inteiros positivos livres de quadrados e que tem um numero ímpar de fatores primos (distintos, claro!) Assim, A contém todos os primos e seu menor elemento composto é 30 = 2*3*5. Calcule o valor de Soma(n em A) 1/n^2. Pode usar, sem demonstrar, que: Soma(n em N) 1/n^2 = Pi^2/6 e Soma(n em N) 1/n^4 = Pi^4/90. *** Aliás, falando nisso, alguém conhece algum argumento heuristico contra ou a favor da hipótese de que Soma(n em N) 1/n^k é um multiplo racional ou, pelo menos, algébrico de Pi^k para k ímpar e maior que 1? []s, Claudio.
[obm-l] off - Professorado, requisitos?
Pessoal, como anda hj em dia os requisitos para exercer a profissao de professor em uma instituicao de ensino? O que diz a lei e o que de fato as escolas e universidades estao fazendo? Alguem formado como bacharael em matematica pode dar aulas sem ter nenhum curso de educacao? E nas universidades? É possivel voce ser contratado para dar aula sem diploma? Como funciona isso? Sao leis federais? Estaduais? Municipais? Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] + 2 prob. de álg. linear
Dimensao = Cardinalidade da Base.
Dessa forma, me parece que dimensao nao eh um elemento dos reais expandidos
mas sim um numero cardinal que pode ser finito ou infinito.
Talvez o enunciado devesse falar em "base enumeravel" ao inves de "dimensao
enumeravel", pois nao ha duvidas de que "base" eh um conjunto e "enumeravel"
eh um atributo de um conjunto.
Mas o importante eh que deu pra entender, sem ambiguidade, o que o problema
pedia.
[]s,
Claudio.
on 07.01.05 11:56, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Acho que estas provas estao perfeitas, so tenho um ponto. O termo dimensao
> enumeravel eh um tanto improprio, nao eh? Dimensao, neste caso, eh um
> elemento do sistema dos reais expandidos, pelo que entendo. O que se quis
> provar eh que, com um conjunto enumeravel de reais, nao eh possivel
> representar todo numero real como uma combinacao linear dos elementos deste
> conjunto nas quais os coeficientes sejam racionais.
> Artur
>
>
>
> - Mensagem Original
> De: obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"
> Assunto: Re: [obm-l] + 2 prob. de álg. linear
> Data: 07/01/05 12:34
>
> on 07.01.05 10:07, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
>
>
> olá gente, tem mais dois problemas q naum estou conseguindo resolver, e
> gostaria de uma ajudinha do pessoal da lista:
>
> 1) Mostrar que a dimensão do espaço vetorial R (corpo do reais) sobra Q
> (corpo do racionais) não é enumerável.
>
> Suponhamos que a dimensao de R sobre Q seja enumeravel.
> Entao, existe um conjunto enumeravel B de reais (uma base de R sobre Q) tal
> que todo real pode ser expresso como uma combinacao linear racional de um
> numero finito de elementos de B.
> Por sua vez, isso implica na existencia de uma sobrejecao do conjunto dos
> subconjuntos finitos de Q sobre R, o que eh uma contradicao, pois o conjunto
> dos subconjuntos finitos de Q eh enumeravel.
>
> 2) Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão INFINITA e B = {v_L ; L pertence
> a uma família qualquer de índices} uma base infinita para V. Seja {w_L ; L
> pertence a mesma família de índices do conj. B} um subconjunto de W, onde W
> é um K-espaço vetorial. Mostre que existe uma única transformação linear T:
> V --> W tal que T(v_L) = w_L, p/ todo L.
>
> A demonstracao eh exatamente identica ao do caso em que a dimensao eh
> finita. Consulte qualquer livro de algebra linear (se o livro nao tiver essa
> demonstracao, jogue-o fora e arranje outro).
> A unica coisa a ter em mente eh que uma combinacao linear eh sempre uma soma
> finita, mesmo que a base seja infinita.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> OPEN Internet e Informática
> @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
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Re: [obm-l] Cardinalidade
No fim das contas, acho que quase todo mundo prefere uma demonstracao construtiva. Soh que, infelizmente, ela nao existe pra maior parte dos teoremas interessantes. Entao, a unica alternativa eh aceitar uma demonstracao que mata a cobra mas NAO mostra o pau. Me parece que, hoje em dia, a maioria dos matematicos estah conformada com esta situacao e engole o axioma da escolha justamente porque nao tem escolha... []s, Claudio. De fato. Eu acho curioso que o axioma da escolha, tao polemico no incio do seculo XX, eh perfeitamente intuitivo. Se vc o explica para alguem sem muita formacao matematica, a apessoa geralmente achA que ele eh obviamente verdadeiro. Vc poe a mao num conjunto da colecao, saca um elemento, poe a mao em um outro, saca outro elemento e assim por diante, formando um conjuntoem que cada elemento pertence a um membro da colecao. Principalmente quando a colecao eh enumeravel, ainda que infinita. Entretanto, quase todo mundo sem muita formacao matematica acha estranho que a serie harmonica vah para infinito. Apesar de ainda causar alguma polemica, o axioma da escolha foi, no inicio de seculo XX, creio, absolvido pelos matematicos, pois, contrariamente ao que varios afirmavam, ele nao eh culpado de possiveis incoerencias que possam existir na teoria dos conjuntos (acho que o paradoxo de Tarski- Banach, por exemplo, nao eh consequencia do axioma da escolha) Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Intervalos "finitos e infinitos"
Este assunto foi comentado aqui na alista hah alguns meses. Nao eh muito importante, mas acho interessante comentar. Pelo menos em Ingles, eh de fato aceitavel, e ateh um tanto comum, usar o termo "finite" para intervalos limitados, ou seja, aquelas cujos pontos extremos sao numeros reais, e o termo "infinite" para intervalos ilimitados, nos quais pelo menos um dos pontos extremos eh infinito. Neste contexto, "finite" ou "infinite" refere-se ao comprimento do intervalo, enao ao numero de elementos que ele contem. Esta terminologia parece ser particularmente usual em teoria de medidas, talvez porque na reta real medida tem a ver com comprimento Eu, de fato, jah vi autores consagrados, como Bartle e Apostol, usarem esta convencao. Assim, quando, pelo menos em Ingles, virem esta convencao, nao assumam que o autor nao sabia que intervalos como [2,3] contem uma infinidade de elementos Embora no contexto sempre fique claro o que o autor quer dizer, eu, entretanto, prefiro o adjetivo limitado, que nunca da margem a ambiguidade. Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] + 2 prob. de álg. linear
Acho que estas provas estao perfeitas, so tenho um ponto. O termo dimensao
enumeravel eh um tanto improprio, nao eh? Dimensao, neste caso, eh um
elemento do sistema dos reais expandidos, pelo que entendo. O que se quis
provar eh que, com um conjunto enumeravel de reais, nao eh possivel
representar todo numero real como uma combinacao linear dos elementos deste
conjunto nas quais os coeficientes sejam racionais.
Artur
- Mensagem Original
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"
Assunto: Re: [obm-l] + 2 prob. de álg. linear
Data: 07/01/05 12:34
on 07.01.05 10:07, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
olá gente, tem mais dois problemas q naum estou conseguindo resolver, e
gostaria de uma ajudinha do pessoal da lista:
1) Mostrar que a dimensão do espaço vetorial R (corpo do reais) sobra Q
(corpo do racionais) não é enumerável.
Suponhamos que a dimensao de R sobre Q seja enumeravel.
Entao, existe um conjunto enumeravel B de reais (uma base de R sobre Q) tal
que todo real pode ser expresso como uma combinacao linear racional de um
numero finito de elementos de B.
Por sua vez, isso implica na existencia de uma sobrejecao do conjunto dos
subconjuntos finitos de Q sobre R, o que eh uma contradicao, pois o conjunto
dos subconjuntos finitos de Q eh enumeravel.
2) Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão INFINITA e B = {v_L ; L pertence
a uma família qualquer de índices} uma base infinita para V. Seja {w_L ; L
pertence a mesma família de índices do conj. B} um subconjunto de W, onde W
é um K-espaço vetorial. Mostre que existe uma única transformação linear T:
V --> W tal que T(v_L) = w_L, p/ todo L.
A demonstracao eh exatamente identica ao do caso em que a dimensao eh
finita. Consulte qualquer livro de algebra linear (se o livro nao tiver essa
demonstracao, jogue-o fora e arranje outro).
A unica coisa a ter em mente eh que uma combinacao linear eh sempre uma soma
finita, mesmo que a base seja infinita.
[]s,
Claudio.
OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Cardinalidade
on 07.01.05 11:11, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
>
> Oi, Nicolau e Artur:
>
>> Pelo que eu entendo, o axioma da escolha eh> necessario justamente
> quando nao> existe uma forma obvia de se ordenar
>> os .elementos de um conjunto. Voces
>> concordam?
>
> Sim, acho que eh nesta linha, mas me parece que nao so com relacao a
> ordenacao. Por exemplo, se tivermos que escolher um elemento em um intervalo
> de R, que nao pode ser ordenado em ordem crescente nem decrescente, podemos
> usar o seguinte processo bem definido: se o intervalo tiver pontos extremos
> reais, escolhemos o seu ponto medio; se um dos pontos extremos for + ou -
> infinito e outro for um real r, escolhemos + = - 0,9 r, conforme r seja
> positivo ou negativo; e se o intervalo for o proprio R, escolhemos 0.
> Existem eh claro uma infinidade e outros processos bem definidos que evitam
> o que se chama de escolha arbitraria (bom, pode aperecer alguem que diga que
> se usou o axioma da escolha porque se escolheu arbitrariamente um processo
> no conjunto infinito de processos.)
>
Pensando melhor, eu deveria ter dito BEM-ORDENAR os elementos de um conjunto
(de forma que todo subconjunto nao vazio desse conjunto tenha um menor
elemento). Mas acabei de me lembrar que o axioma da escolha eh equivalente
ao principio geral da boa ordenacao, que diz que todo conjunto pode ser bem
ordenado. Agora, exibir uma tal boa-ordenacao de R sao outros 500...
>> Por exemplo, quando lidamos com algum > subconjunto A de N o
> axioma da escolha > nao eh necessario pois podemos sempre escolher
>> o menor elemento de A, digamos a1, que existe > por causa do principio
> da boa ordenacao, o qual > eh independente do axioma da escolha (acho eu!).
>
> Eu acho que eh independente sim.
>
>> Em seguida do axioma da escolha (acho eu!). Em > seguida do axioma da
> escolha (acho eu!). Em> seguida, escolhemos o menor elemento de A -
> {a1}, etc.
>
> Tem uma ilustracao famosa do axioma da escolha, devida a Betrand Russel, se
> nao me engano, que diz o seguinte: o axioma da escolha eh necessario para se
> escolher uma meia de um conjunto infinito de pares de meias, mas nao para se
> escolher um sapato de um conjunto infinito de pares de sapato.
>
> Eh do Bertrand Russel sim.
>
> Um ponto que sempre me intrigou e que quem nao aceita o Axioma da escolha
> nao pode aceitar praticamente nenhuma das provas referentes a espacos
> metricos ou topologicos gerais. Por exemplo, quase todas a sprovas sobra
> compaticidade em espacos metricos ou mesmo topologicos gerais beaseiam em
> escolhas infinitas e arbitraris, de elementos, coberturas, etc.
No fim das contas, acho que quase todo mundo prefere uma demonstracao
construtiva. Soh que, infelizmente, ela nao existe pra maior parte dos
teoremas interessantes. Entao, a unica alternativa eh aceitar uma
demonstracao que mata a cobra mas NAO mostra o pau. Me parece que, hoje em
dia, a maioria dos matematicos estah conformada com esta situacao e engole o
axioma da escolha justamente porque nao tem escolha...
[]s,
Claudio.
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Re: [obm-l] Cardinalidade
Obrigado Nicolau.
Eu pediria que vc esclarecesse uma duvida. Eu julgava que, para provar que
uma união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável, nao precisavamos
do axioma da escolha. Suponhamos que A_1...A_n..seja os conjuntos da
colecao e que, a principio, sejam disjuntos 2 a 2. Podemos dispor os
elementos dos conjuntos da colecao em uma "matriz de dimensoes infinitas"
a_1_1 a_1_2a_1_n...
.
.
a_m_1 a_m_2a_m_n...
.
.
Como a colecao eh disjunta 2 a 2, a cada elemento de A =Uniao(A_n)
corresponde 1 e somente 1 par ordenado (m,n) de N^2, N os inteiros
positivos. Hah assim uma bijecao entre A e N^2, e como N^2 eh enumeravel, A
tambem eh. Nao consegui ver onde usamos o axioma da escolha aqui. Para
provar que N^2 eh enumeravel nao precisamos de axioma da escolha, certo?
Podemos estabelecer uma bijecao entre os pares (m,n) e os valores da funcao
f(m,n) = 2^m*3^n, uma das provas classicas.
Se a colecao {A_n} nao for disjunta, podemos obter uma colecao {B_n},
disjunta 2 a 2, definindo B_1 = A_1 e B_n = A_n - Uniao(k=1,n-1) A_k. Entao
Uniao B_n = Uniao de A_n e Uniao(B_n) eh enumeravel. Na realidade, ateh me
parece que o primeiro argumento pode ser diretamente aplicado mesmo se os
conjuntos da colecao nao forem disjuntos 2 a 2.
Artur
- Mensagem Original
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"
Assunto: Re: [obm-l] Cardinalidade
Data: 06/01/05 21:39
On Thu, Jan 06, 2005 at 04:09:00PM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
> Se X e Y são infinitos, então |X U Y| = max(|X|,|Y|).
> Eu conheco este teorema, ma nunca vi a demonstracao, gostaria de ve_la.
Uma
> vez tentei mas me enrolei. Aceito o axioma da escolha sim (alias, sem ele
> todos aqueles teoremas sobre compaticidade em espacos topologicos
> arbitrarios seriam derrubados, certo?
O axioma da escolha é necessário até para provar os seguintes fatos.
(1) Uma união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável.
(2) A relação de ordem entre cardinais é uma ordem total.
Ou seja, sim, o mundo sem o axioma da escolha é muito estranho.
Mas voltando a sua pergunta.
Suponha sem perda de generalidade suponha que |X| <= |Y|.
Podemos ainda supor que |X| = |Y| e que X e Y são disjuntos.
É uma conseqüência do axioma da escolha que todo conjunto
admite uma boa ordem. Vamos portanto supor X e Y bem ordenados.
Podemos sem perda de generalidade supor que todo segmento inicial
próprio tem cardinalidade menor que a de X, ou seja,
podemos escrever X = {x0, x1, ..., xa, ...}, Y = {y0, y1, ..., ya, ...},
a < |X| (a é um ordinal). Temos X U Y = {x0, y0, x1, y1, ..., xa, ya, ...}.
Também em XUY todo segmento inicial tem cardinalidade < |X|
e portanto a boa ordem define a bijeção.
[]s, N.
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Re: [obm-l] + 2 prob. de álg. linear
Title: Re: [obm-l] + 2 prob. de álg. linear
on 07.01.05 10:07, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
olá gente, tem mais dois problemas q naum estou conseguindo resolver, e gostaria de uma ajudinha do pessoal da lista:
1) Mostrar que a dimensão do espaço vetorial R (corpo do reais) sobra Q (corpo do racionais) não é enumerável.
Suponhamos que a dimensao de R sobre Q seja enumeravel.
Entao, existe um conjunto enumeravel B de reais (uma base de R sobre Q) tal que todo real pode ser expresso como uma combinacao linear racional de um numero finito de elementos de B.
Por sua vez, isso implica na existencia de uma sobrejecao do conjunto dos subconjuntos finitos de Q sobre R, o que eh uma contradicao, pois o conjunto dos subconjuntos finitos de Q eh enumeravel.
2) Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão INFINITA e B = {v_L ; L pertence a uma família qualquer de índices} uma base infinita para V. Seja {w_L ; L pertence a mesma família de índices do conj. B} um subconjunto de W, onde W é um K-espaço vetorial. Mostre que existe uma única transformação linear T: V --> W tal que T(v_L) = w_L, p/ todo L.
A demonstracao eh exatamente identica ao do caso em que a dimensao eh finita. Consulte qualquer livro de algebra linear (se o livro nao tiver essa demonstracao, jogue-o fora e arranje outro).
A unica coisa a ter em mente eh que uma combinacao linear eh sempre uma soma finita, mesmo que a base seja infinita.
[]s,
Claudio.
Re: [obm-l] Cardinalidade
Oi, Nicolau e Artur:
> Pelo que eu entendo, o axioma da escolha eh> necessario justamente
quando nao> existe uma forma obvia de se ordenar
> os .elementos de um conjunto. Voces
> concordam?
Sim, acho que eh nesta linha, mas me parece que nao so com relacao a
ordenacao. Por exemplo, se tivermos que escolher um elemento em um intervalo
de R, que nao pode ser ordenado em ordem crescente nem decrescente, podemos
usar o seguinte processo bem definido: se o intervalo tiver pontos extremos
reais, escolhemos o seu ponto medio; se um dos pontos extremos for + ou -
infinito e outro for um real r, escolhemos + = - 0,9 r, conforme r seja
positivo ou negativo; e se o intervalo for o proprio R, escolhemos 0.
Existem eh claro uma infinidade e outros processos bem definidos que evitam
o que se chama de escolha arbitraria (bom, pode aperecer alguem que diga que
se usou o axioma da escolha porque se escolheu arbitrariamente um processo
no conjunto infinito de processos.)
> Por exemplo, quando lidamos com algum > subconjunto A de N o
axioma da escolha > nao eh necessario pois podemos sempre escolher
> o menor elemento de A, digamos a1, que existe > por causa do principio
da boa ordenacao, o qual > eh independente do axioma da escolha (acho eu!).
Eu acho que eh independente sim.
> Em seguida do axioma da escolha (acho eu!). Em > seguida do axioma da
escolha (acho eu!). Em> seguida, escolhemos o menor elemento de A -
{a1}, etc.
Tem uma ilustracao famosa do axioma da escolha, devida a Betrand Russel, se
nao me engano, que diz o seguinte: o axioma da escolha eh necessario para se
escolher uma meia de um conjunto infinito de pares de meias, mas nao para se
escolher um sapato de um conjunto infinito de pares de sapato.
Eh do Bertrand Russel sim.
Um ponto que sempre me intrigou e que quem nao aceita o Axioma da escolha
nao pode aceitar praticamente nenhuma das provas referentes a espacos
metricos ou topologicos gerais. Por exemplo, quase todas a sprovas sobra
compaticidade em espacos metricos ou mesmo topologicos gerais beaseiam em
escolhas infinitas e arbitraris, de elementos, coberturas, etc.
Artur
OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Problemas Faceis
Oi, pessoal: Achei notas de aula (pdf) de um seminario de problemas (nivel medio) dado por um professor do Community College da Filadelfia. O material abrange as areas mais relevantes para olimpiadas. Aqui estah: http://www.openmathtext.org/lecture_notes/junior_problem_seminar.pdf Com algumas excecoes, os problemas sao faceis e manjados, mas acho que essas notas podem ser um bom ponto de partida pra quem quer se preparar pra competicoes matematicas e ateh mesmo vestibulares de exatas. Infelizmente as notas estao em ingles, mas sejamos francos: se voce quer cursar matematica, engenharia, computacao, fisica, etc. e nao consegue nem ler em ingles, voce tah muito ferrado... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] + 2 prob. de álg. linear
olá gente, tem mais dois problemas q naum estou conseguindo resolver, e gostaria de uma ajudinha do pessoal da lista:
1) Mostrar que a dimensão do espaço vetorial R (corpo do reais) sobra Q (corpo do racionais) não é enumerável.
2) Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão INFINITA e B = {v_L ; L pertence a uma família qualquer de índices} uma base infinita para V. Seja {w_L ; L pertence a mesma família de índices do conj. B} um subconjunto de W, onde W é um K-espaço vetorial. Mostre que existe uma única transformação linear T: V --> W tal que T(v_L) = w_L, p/ todo L.
grato desde já, éder.
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