Re: [Logica-l] Re: ao

[Mayk Alves de Andrade]

hipóteses explicativas. [...] A
>> real
>> >> função dos axiomas é a de explicar os fenômenos descritos pelos
>> teoremas
>> >> deste sistema, e não o de prover uma genuína ‘fundação’ para estes
>> >> teoremas. (Kurt Gödel)
>> >>
>> >> --
>> >>
>> >> No artigo seguinte, faco uma analise mais detalhada desta (minha?)
>> visao
>> >> "empiricista" da matematica:
>> >>
>> >> Julio Michael Stern (2011). Constructive Verification, Empirical
>> >> Induction, and Falibilist Deduction: A Threefold Contrast.
>> *Information*,
>> >> 2, 4, 635-650.
>> >> <
>> https://www.ime.usp.br/~jmstern/wp-content/uploads/2020/10/Ste11Axi.pdf>
>>
>> >> doi:10.3390/info2040635 <http://doi.org/10.3390/info2040635>
>> >>
>> >> Como referencia fundamentais (pun intended) para esta posicao, cito:
>> >>
>> >> Arpad Szabo (1978). The Beginnings of Greek Mathematics; Akademiai
>> >> Kiado:  Budapest, Hungary.
>> >>
>> >> Imre Lakatos, J. Worall, E. Zahar, eds. (1976). Proofs and
>> Refutations:
>> >> The Logic of Mathematical Discovery;  Cambridge University Press:
>> >> Cambridge, UK.
>> >>
>> >> Imre Lakatos (1978). Philosophical Papers. V.1 -- The Methodology of
>> >> Scientific Research Programmes. V.2. -- Mathematics, Science, and
>> >> Epistemology. Cambridge University Press: Cambridge, UK.
>> >>
>> >> --
>> >>
>> >> Notem ainda que Logica tem varios papeis relevantes nesta discussao.
>> >>
>> >> - Um papel, aceito e tradicional, da Logica e teoria dos conjuntos eh
>> >> justamente o de construir ferramentas para Fundamentos Axiomaticos da
>> >> Matematica, sendo ZFC o paradigma mais conhecido.
>> >>
>> >> Outros papeis relevantes (na minha opiniao) da Logica seriam os de:
>> >>
>> >> > Estudar os processos -- Indutivos -- (sim, sim; Indutivos, nao
>> >> dedutivos!) que levam a abstracao de estruturas matematicas a partir
>> da
>> >> formalizacao de teorias Fisicas (ou em outras ciencias empiricas), e
>> >>
>> >> > Estudar a melhor forma de construir e oganizar Ontologias da (ou de
>> >> partes da) Matematica e a melhor forma para sua  insercao nas ou
>> >> interacao com as ontologias de ciencias empiricas.
>> >>
>> >> Tudo de bom,
>> >> ---Julio Stern
>> >>
>> >>
>> >> --
>> >> *From:* 'Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L 
>> >> *Sent:* Monday, August 7, 2023 5:45 PM
>> >> *To:* Daniel Durante 
>> >> *Cc:* LOGICA-L ; marciopalmares <
>> >> marciop...@gmail.com>; LOGICA-L ; Petrucio
>> Viana <
>> >> petruci...@id.uff.br>; Marcos Silva ; Grupo de
>> >> pesquisa CLEA ; valeria.depaiva <
>> >> valeria...@gmail.com>; Cassiano Terra Rodrigues 
>> >> *Subject:* [Logica-l] Re: ao
>> >>
>> >> Caros,
>> >>
>> >> A mensagem do Cassiano eu preciso digerir mais, hehe,
>> >>
>> >> Daniel, sua analogia com "geometria é álgebra" é pertinente sim,
>> >>
>> >> E na verdade me lembrou do prefácio de um excelente livro de graduação
>> de
>> >> Teoria dos Conjuntos, o do Enderton: se não me falha a memória, vai na
>> >> seguinte linha:
>> >>
>> >> "Todo matemático, em geral, escolhe uma das seguintes alternativas:
>> >>
>> >> A matemática está inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos;
>> >>
>> >> A matemática pode ser inteiramente internalizada na Teoria dos
>> Conjuntos;
>> >>
>> >> A matemática deve ser inteiramente internalizada na Teoria dos
>> Conjuntos"
>> >>
>> >> Apesar do que alguém poderia pensar, mesmo com o meu "matemática é
>> ZFC",
>> >> eu tendo a pensar mais pela segunda alternativa, talvez nesse espírito
>> de
>> >> "ambiente de trabalho".
>> >>
>> >> (E como pintura do cachimbo, claro...)
>> >>
>> >> Abraços
>> >>
>> >> []s Samuel
>> >>
>> >> PS: Ah sim, isso de "geometria é álgebra"
>> >> t

Re: [Logica-l] Re: ao

[Ruy Jose Guerra Barretto de Queiroz]

, conversar a respeito com meu
> >> orientador.
> >> O Harle logo me tranquilizou, explicando que, verdadeira ou não, a
> >> notícia pouco impacto teria sobre nosso trabalho em geometria
> [Lorentziana/
> >> Riemanniana].
> >> Para o Harle, o papel da geometria seria o de tratar racional e
> >> sistematicamente uma classe de problemas que se nos apresentam no mundo
> em
> >> que vivemos; situação semelhante à de outras disciplinas científicas ou
> >> especialidades da matemática.
> >>
> >> Na visão do Harle, o papel da área de fundamentos seria o de prover uma
> >> base comum que atendesse às necessidades de um programa avançado e
> >> abrangente de axiomatização de todas estas disciplinas.
> >> Tal programa seria altamente meritório; todavia, eu deveria ter sempre
> em
> >> mente a terceira lição, como acima enunciada.
> >>
> >> Muito mais tarde na vida, encontrei uma perspectiva (em minha visão)
> >> semelhante, na citação seguinte atribuída a Kurt Gödel, vide Mehlberg
> >> (1962, p.86), Lakatos(1978, p.27) e Stern (2011, p.645-647). Mais uma
> vez,
> >> esta lição, que aprendi com o Harle, sobre o papel que cabe em ciências
> >> exatas a seus fundamentos axiomáticos, veio a influenciar
> >> significativamente meu trabalho futuro.
> >>
> >> [...] o papel das assim chamadas ‘fundações’ é comparável à função
> >> exercida, nas teorias físicas, por hipóteses explicativas. [...] A real
> >> função dos axiomas é a de explicar os fenômenos descritos pelos
> teoremas
> >> deste sistema, e não o de prover uma genuína ‘fundação’ para estes
> >> teoremas. (Kurt Gödel)
> >>
> >> --
> >>
> >> No artigo seguinte, faco uma analise mais detalhada desta (minha?)
> visao
> >> "empiricista" da matematica:
> >>
> >> Julio Michael Stern (2011). Constructive Verification, Empirical
> >> Induction, and Falibilist Deduction: A Threefold Contrast.
> *Information*,
> >> 2, 4, 635-650.
> >> <
> https://www.ime.usp.br/~jmstern/wp-content/uploads/2020/10/Ste11Axi.pdf>
> >> doi:10.3390/info2040635 <http://doi.org/10.3390/info2040635>
> >>
> >> Como referencia fundamentais (pun intended) para esta posicao, cito:
> >>
> >> Arpad Szabo (1978). The Beginnings of Greek Mathematics; Akademiai
> >> Kiado:  Budapest, Hungary.
> >>
> >> Imre Lakatos, J. Worall, E. Zahar, eds. (1976). Proofs and Refutations:
> >> The Logic of Mathematical Discovery;  Cambridge University Press:
> >> Cambridge, UK.
> >>
> >> Imre Lakatos (1978). Philosophical Papers. V.1 -- The Methodology of
> >> Scientific Research Programmes. V.2. -- Mathematics, Science, and
> >> Epistemology. Cambridge University Press: Cambridge, UK.
> >>
> >> --
> >>
> >> Notem ainda que Logica tem varios papeis relevantes nesta discussao.
> >>
> >> - Um papel, aceito e tradicional, da Logica e teoria dos conjuntos eh
> >> justamente o de construir ferramentas para Fundamentos Axiomaticos da
> >> Matematica, sendo ZFC o paradigma mais conhecido.
> >>
> >> Outros papeis relevantes (na minha opiniao) da Logica seriam os de:
> >>
> >> > Estudar os processos -- Indutivos -- (sim, sim; Indutivos, nao
> >> dedutivos!) que levam a abstracao de estruturas matematicas a partir da
> >> formalizacao de teorias Fisicas (ou em outras ciencias empiricas), e
> >>
> >> > Estudar a melhor forma de construir e oganizar Ontologias da (ou de
> >> partes da) Matematica e a melhor forma para sua  insercao nas ou
> >> interacao com as ontologias de ciencias empiricas.
> >>
> >> Tudo de bom,
> >> ---Julio Stern
> >>
> >>
> >> --
> >> *From:* 'Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L 
> >> *Sent:* Monday, August 7, 2023 5:45 PM
> >> *To:* Daniel Durante 
> >> *Cc:* LOGICA-L ; marciopalmares <
> >> marciop...@gmail.com>; LOGICA-L ; Petrucio
> Viana <
> >> petruci...@id.uff.br>; Marcos Silva ; Grupo de
> >> pesquisa CLEA ; valeria.depaiva <
> >> valeria...@gmail.com>; Cassiano Terra Rodrigues 
> >> *Subject:* [Logica-l] Re: ao
> >>
> >> Caros,
> >>
> >> A mensagem do Cassiano eu preciso digerir mais, hehe,
> >>
> >> Daniel, sua analogia com "geometria é álg

[Logica-l] Re: ao

['Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L]

uction, and Falibilist Deduction: A Threefold Contrast.  *Information*,  
>> 2, 4, 635-650. 
>> <https://www.ime.usp.br/~jmstern/wp-content/uploads/2020/10/Ste11Axi.pdf>  
>> doi:10.3390/info2040635 <http://doi.org/10.3390/info2040635> 
>>
>> Como referencia fundamentais (pun intended) para esta posicao, cito: 
>>
>> Arpad Szabo (1978). The Beginnings of Greek Mathematics; Akademiai 
>> Kiado:  Budapest, Hungary.  
>>
>> Imre Lakatos, J. Worall, E. Zahar, eds. (1976). Proofs and Refutations: 
>> The Logic of Mathematical Discovery;  Cambridge University Press: 
>> Cambridge, UK. 
>>
>> Imre Lakatos (1978). Philosophical Papers. V.1 -- The Methodology of 
>> Scientific Research Programmes. V.2. -- Mathematics, Science, and 
>> Epistemology. Cambridge University Press: Cambridge, UK. 
>>
>> -- 
>>
>> Notem ainda que Logica tem varios papeis relevantes nesta discussao. 
>>
>> - Um papel, aceito e tradicional, da Logica e teoria dos conjuntos eh 
>> justamente o de construir ferramentas para Fundamentos Axiomaticos da 
>> Matematica, sendo ZFC o paradigma mais conhecido. 
>>
>> Outros papeis relevantes (na minha opiniao) da Logica seriam os de: 
>>
>> > Estudar os processos -- Indutivos -- (sim, sim; Indutivos, nao 
>> dedutivos!) que levam a abstracao de estruturas matematicas a partir da 
>> formalizacao de teorias Fisicas (ou em outras ciencias empiricas), e 
>>  
>> > Estudar a melhor forma de construir e oganizar Ontologias da (ou de 
>> partes da) Matematica e a melhor forma para sua  insercao nas ou 
>> interacao com as ontologias de ciencias empiricas.   
>>  
>> Tudo de bom, 
>> ---Julio Stern 
>> 
>>
>> --
>> *From:* 'Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L 
>> *Sent:* Monday, August 7, 2023 5:45 PM
>> *To:* Daniel Durante 
>> *Cc:* LOGICA-L ; marciopalmares <
>> marciop...@gmail.com>; LOGICA-L ; Petrucio Viana <
>> petruci...@id.uff.br>; Marcos Silva ; Grupo de 
>> pesquisa CLEA ; valeria.depaiva <
>> valeria...@gmail.com>; Cassiano Terra Rodrigues 
>> *Subject:* [Logica-l] Re: ao 
>>  
>> Caros,
>>
>> A mensagem do Cassiano eu preciso digerir mais, hehe,
>>
>> Daniel, sua analogia com "geometria é álgebra" é pertinente sim,
>>
>> E na verdade me lembrou do prefácio de um excelente livro de graduação de 
>> Teoria dos Conjuntos, o do Enderton: se não me falha a memória, vai na 
>> seguinte linha:
>>
>> "Todo matemático, em geral, escolhe uma das seguintes alternativas:
>>
>> A matemática está inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos;
>>
>> A matemática pode ser inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos;
>>
>> A matemática deve ser inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos"
>>
>> Apesar do que alguém poderia pensar, mesmo com o meu "matemática é ZFC", 
>> eu tendo a pensar mais pela segunda alternativa, talvez nesse espírito de 
>> "ambiente de trabalho".
>>
>> (E como pintura do cachimbo, claro...)
>>
>> Abraços
>>
>> []s Samuel 
>>
>> PS: Ah sim, isso de "geometria é álgebra"
>> tem a haver com a internalização da geometria dentro da álgebra, aí da 
>> mesma forma a pessoa pode decidir entre "está", "pode ser", "deve ser"...
>>
>>
>>
>>
>>
>>  
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> - Mensagem original -
>> De: Daniel Durante 
>> Para: LOGICA-L 
>> Cc: marciopalmares , LOGICA-L <
>> logi...@dimap.ufrn.br>, samuel , Petrucio Viana <
>> petruci...@id.uff.br>, Daniel Durante , Marcos Silva <
>> marcos...@gmail.com>, Grupo de pesquisa CLEA , 
>> valeria.depaiva , Cassiano Terra Rodrigues <
>> cassian...@gmail.com>
>> Enviadas: Mon, 07 Aug 2023 10:41:05 -0300 (BRT)
>> Assunto: Re: ao
>>
>> Oi Marcio e colegas,
>>
>> Eu acho, Marcio, que quando Samuel fala que a matemática é ZFC, ele não 
>> está querendo dizer isso literalmente, no sentido de que os números são 
>> certos conjuntos e que as funções são conjuntos de pares com certas 
>> propriedades,... Ele está falando de um jeito menos literal. Os números 
>> são 
>> qualquer coisa que se comporte como aqueles conjuntos se comportam em ZFC 
>> e 
>> as funções são qualquer coisa que se comporte como aqueles

[Logica-l] Re: ao

[Daniel Durante]

Press: 
>> Cambridge, UK. 
>>
>> Imre Lakatos (1978). Philosophical Papers. V.1 -- The Methodology of 
>> Scientific Research Programmes. V.2. -- Mathematics, Science, and 
>> Epistemology. Cambridge University Press: Cambridge, UK. 
>>
>> -- 
>>
>> Notem ainda que Logica tem varios papeis relevantes nesta discussao. 
>>
>> - Um papel, aceito e tradicional, da Logica e teoria dos conjuntos eh 
>> justamente o de construir ferramentas para Fundamentos Axiomaticos da 
>> Matematica, sendo ZFC o paradigma mais conhecido. 
>>
>> Outros papeis relevantes (na minha opiniao) da Logica seriam os de: 
>>
>> > Estudar os processos -- Indutivos -- (sim, sim; Indutivos, nao 
>> dedutivos!) que levam a abstracao de estruturas matematicas a partir da 
>> formalizacao de teorias Fisicas (ou em outras ciencias empiricas), e 
>>  
>> > Estudar a melhor forma de construir e oganizar Ontologias da (ou de 
>> partes da) Matematica e a melhor forma para sua  insercao nas ou 
>> interacao com as ontologias de ciencias empiricas.   
>>  
>> Tudo de bom, 
>> ---Julio Stern 
>> 
>>
>> --
>> *From:* 'Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L 
>> *Sent:* Monday, August 7, 2023 5:45 PM
>> *To:* Daniel Durante 
>> *Cc:* LOGICA-L ; marciopalmares <
>> marciop...@gmail.com>; LOGICA-L ; Petrucio Viana <
>> petruci...@id.uff.br>; Marcos Silva ; Grupo de 
>> pesquisa CLEA ; valeria.depaiva <
>> valeria...@gmail.com>; Cassiano Terra Rodrigues 
>> *Subject:* [Logica-l] Re: ao 
>>  
>> Caros,
>>
>> A mensagem do Cassiano eu preciso digerir mais, hehe,
>>
>> Daniel, sua analogia com "geometria é álgebra" é pertinente sim,
>>
>> E na verdade me lembrou do prefácio de um excelente livro de graduação de 
>> Teoria dos Conjuntos, o do Enderton: se não me falha a memória, vai na 
>> seguinte linha:
>>
>> "Todo matemático, em geral, escolhe uma das seguintes alternativas:
>>
>> A matemática está inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos;
>>
>> A matemática pode ser inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos;
>>
>> A matemática deve ser inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos"
>>
>> Apesar do que alguém poderia pensar, mesmo com o meu "matemática é ZFC", 
>> eu tendo a pensar mais pela segunda alternativa, talvez nesse espírito de 
>> "ambiente de trabalho".
>>
>> (E como pintura do cachimbo, claro...)
>>
>> Abraços
>>
>> []s Samuel 
>>
>> PS: Ah sim, isso de "geometria é álgebra"
>> tem a haver com a internalização da geometria dentro da álgebra, aí da 
>> mesma forma a pessoa pode decidir entre "está", "pode ser", "deve ser"...
>>
>>
>>
>>
>>
>>  
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> - Mensagem original -
>> De: Daniel Durante 
>> Para: LOGICA-L 
>> Cc: marciopalmares , LOGICA-L <
>> logi...@dimap.ufrn.br>, samuel , Petrucio Viana <
>> petruci...@id.uff.br>, Daniel Durante , Marcos Silva <
>> marcos...@gmail.com>, Grupo de pesquisa CLEA , 
>> valeria.depaiva , Cassiano Terra Rodrigues <
>> cassian...@gmail.com>
>> Enviadas: Mon, 07 Aug 2023 10:41:05 -0300 (BRT)
>> Assunto: Re: ao
>>
>> Oi Marcio e colegas,
>>
>> Eu acho, Marcio, que quando Samuel fala que a matemática é ZFC, ele não 
>> está querendo dizer isso literalmente, no sentido de que os números são 
>> certos conjuntos e que as funções são conjuntos de pares com certas 
>> propriedades,... Ele está falando de um jeito menos literal. Os números 
>> são 
>> qualquer coisa que se comporte como aqueles conjuntos se comportam em ZFC 
>> e 
>> as funções são qualquer coisa que se comporte como aqueles conjuntos de 
>> pares se comportam em ZFC.
>>
>> Porque veja, junto com dizer que a matemática é ZFC ele diz também que 
>> ZFC 
>> não tem modelo canônico e que a matemática não são nem as regras do jogo, 
>> nem os diversos tabuleiros onde o jogo é jogado - nem os axiomas de ZFC, 
>> nem seus muitos modelos.
>>
>> A matemática não é a formalização de ZFC e também não é cada uma das 
>> possíveis estruturas que verificam os axiomas. A matemática seria aquilo 
>> que todas as estruturas que verificam os axiomas têm em comum.
>>
>> Aí, cabe tanto 

[Logica-l] Re: ao

[Daniel Durante]

gma mais conhecido. 
>
> Outros papeis relevantes (na minha opiniao) da Logica seriam os de: 
>
> > Estudar os processos -- Indutivos -- (sim, sim; Indutivos, nao 
> dedutivos!) que levam a abstracao de estruturas matematicas a partir da 
> formalizacao de teorias Fisicas (ou em outras ciencias empiricas), e 
>  
> > Estudar a melhor forma de construir e oganizar Ontologias da (ou de 
> partes da) Matematica e a melhor forma para sua  insercao nas ou 
> interacao com as ontologias de ciencias empiricas.   
>  
> Tudo de bom, 
> ---Julio Stern 
>     
>
> --
> *From:* 'Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L 
> *Sent:* Monday, August 7, 2023 5:45 PM
> *To:* Daniel Durante 
> *Cc:* LOGICA-L ; marciopalmares <
> marciop...@gmail.com>; LOGICA-L ; Petrucio Viana <
> petruci...@id.uff.br>; Marcos Silva ; Grupo de 
> pesquisa CLEA ; valeria.depaiva <
> valeria...@gmail.com>; Cassiano Terra Rodrigues 
> *Subject:* [Logica-l] Re: ao 
>  
> Caros,
>
> A mensagem do Cassiano eu preciso digerir mais, hehe,
>
> Daniel, sua analogia com "geometria é álgebra" é pertinente sim,
>
> E na verdade me lembrou do prefácio de um excelente livro de graduação de 
> Teoria dos Conjuntos, o do Enderton: se não me falha a memória, vai na 
> seguinte linha:
>
> "Todo matemático, em geral, escolhe uma das seguintes alternativas:
>
> A matemática está inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos;
>
> A matemática pode ser inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos;
>
> A matemática deve ser inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos"
>
> Apesar do que alguém poderia pensar, mesmo com o meu "matemática é ZFC", 
> eu tendo a pensar mais pela segunda alternativa, talvez nesse espírito de 
> "ambiente de trabalho".
>
> (E como pintura do cachimbo, claro...)
>
> Abraços
>
> []s Samuel 
>
> PS: Ah sim, isso de "geometria é álgebra"
> tem a haver com a internalização da geometria dentro da álgebra, aí da 
> mesma forma a pessoa pode decidir entre "está", "pode ser", "deve ser"...
>
>
>
>
>
>  
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> - Mensagem original -
> De: Daniel Durante 
> Para: LOGICA-L 
> Cc: marciopalmares , LOGICA-L , 
> samuel , Petrucio Viana , Daniel 
> Durante , Marcos Silva , Grupo de 
> pesquisa CLEA , valeria.depaiva <
> valeria...@gmail.com>, Cassiano Terra Rodrigues 
> Enviadas: Mon, 07 Aug 2023 10:41:05 -0300 (BRT)
> Assunto: Re: ao
>
> Oi Marcio e colegas,
>
> Eu acho, Marcio, que quando Samuel fala que a matemática é ZFC, ele não 
> está querendo dizer isso literalmente, no sentido de que os números são 
> certos conjuntos e que as funções são conjuntos de pares com certas 
> propriedades,... Ele está falando de um jeito menos literal. Os números 
> são 
> qualquer coisa que se comporte como aqueles conjuntos se comportam em ZFC 
> e 
> as funções são qualquer coisa que se comporte como aqueles conjuntos de 
> pares se comportam em ZFC.
>
> Porque veja, junto com dizer que a matemática é ZFC ele diz também que ZFC 
> não tem modelo canônico e que a matemática não são nem as regras do jogo, 
> nem os diversos tabuleiros onde o jogo é jogado - nem os axiomas de ZFC, 
> nem seus muitos modelos.
>
> A matemática não é a formalização de ZFC e também não é cada uma das 
> possíveis estruturas que verificam os axiomas. A matemática seria aquilo 
> que todas as estruturas que verificam os axiomas têm em comum.
>
> Aí, cabe tanto os matemáticos contemporâneos que nem sabem quais são os 
> axiomas de ZFC, mas que os respeitam, porque vivem em (jogam) versões 
> desse 
> jogo, ainda que talvez nem saibam disso. E cabe também, em certo sentido, 
> os matemáticos do passado que também jogavam versões desse jogo sem saber.
>
> Talvez, se a gente procurar na história, a gente encontre os momentos em 
> que as regras do jogo foram se estabelecendo, e o jogo foi sendo 
> consolidado. Nessa visão dá para entender até o protesto de Valéria, por 
> exemplo, que nos lembrou que muitos matemáticos se recusam a utilizar o 
> axioma da escolha e se limitam a jogadas que cabem em ZF, uma versão 
> simplificada do jogo.  
>
> E protestos desse tipo ajudam também a explicar e acomodar as abordagens 
> fundacionais alternativas. Qual seria a principal motivação de quem pensa 
> em fundar a matemática na Teoria das Categorias, ou na Teoria dos Tipos? 
> Eu 
> acho que a principal motivação é ajustar o JOGO para alguma divergência 
> que 
> não se encaixa perfeitamente em ZFC.
>
> Acho que um bom exemplo para entender isso

[Logica-l] Re: ao

[Julio Stern]

o de 
pesquisa CLEA ; valeria.depaiva 
; Cassiano Terra Rodrigues 
Subject: [Logica-l] Re: ao

Caros,

A mensagem do Cassiano eu preciso digerir mais, hehe,

Daniel, sua analogia com "geometria é álgebra" é pertinente sim,

E na verdade me lembrou do prefácio de um excelente livro de graduação de 
Teoria dos Conjuntos, o do Enderton: se não me falha a memória, vai na seguinte 
linha:

"Todo matemático, em geral, escolhe uma das seguintes alternativas:

A matemática está inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos;

A matemática pode ser inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos;

A matemática deve ser inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos"

Apesar do que alguém poderia pensar, mesmo com o meu "matemática é ZFC", eu 
tendo a pensar mais pela segunda alternativa, talvez nesse espírito de 
"ambiente de trabalho".

(E como pintura do cachimbo, claro...)

Abraços

[]s Samuel

PS: Ah sim, isso de "geometria é álgebra"
tem a haver com a internalização da geometria dentro da álgebra, aí da mesma 
forma a pessoa pode decidir entre "está", "pode ser", "deve ser"...

















- Mensagem original -
De: Daniel Durante 
Para: LOGICA-L 
Cc: marciopalmares , LOGICA-L 
, samuel , Petrucio Viana 
, Daniel Durante , Marcos Silva 
, Grupo de pesquisa CLEA , 
valeria.depaiva , Cassiano Terra Rodrigues 

Enviadas: Mon, 07 Aug 2023 10:41:05 -0300 (BRT)
Assunto: Re: ao

Oi Marcio e colegas,

Eu acho, Marcio, que quando Samuel fala que a matemática é ZFC, ele não
está querendo dizer isso literalmente, no sentido de que os números são
certos conjuntos e que as funções são conjuntos de pares com certas
propriedades,... Ele está falando de um jeito menos literal. Os números são
qualquer coisa que se comporte como aqueles conjuntos se comportam em ZFC e
as funções são qualquer coisa que se comporte como aqueles conjuntos de
pares se comportam em ZFC.

Porque veja, junto com dizer que a matemática é ZFC ele diz também que ZFC
não tem modelo canônico e que a matemática não são nem as regras do jogo,
nem os diversos tabuleiros onde o jogo é jogado - nem os axiomas de ZFC,
nem seus muitos modelos.

A matemática não é a formalização de ZFC e também não é cada uma das
possíveis estruturas que verificam os axiomas. A matemática seria aquilo
que todas as estruturas que verificam os axiomas têm em comum.

Aí, cabe tanto os matemáticos contemporâneos que nem sabem quais são os
axiomas de ZFC, mas que os respeitam, porque vivem em (jogam) versões desse
jogo, ainda que talvez nem saibam disso. E cabe também, em certo sentido,
os matemáticos do passado que também jogavam versões desse jogo sem saber.

Talvez, se a gente procurar na história, a gente encontre os momentos em
que as regras do jogo foram se estabelecendo, e o jogo foi sendo
consolidado. Nessa visão dá para entender até o protesto de Valéria, por
exemplo, que nos lembrou que muitos matemáticos se recusam a utilizar o
axioma da escolha e se limitam a jogadas que cabem em ZF, uma versão
simplificada do jogo.

E protestos desse tipo ajudam também a explicar e acomodar as abordagens
fundacionais alternativas. Qual seria a principal motivação de quem pensa
em fundar a matemática na Teoria das Categorias, ou na Teoria dos Tipos? Eu
acho que a principal motivação é ajustar o JOGO para alguma divergência que
não se encaixa perfeitamente em ZFC.

Acho que um bom exemplo para entender isso é a relação da geometria com a
álgebra. Veja, não sou matemático e se eu tiver falando bobagem, vocês
simplesmente desconsiderem. Mas vejo a afirmação de que a matemática é ZFC
de um modo paralelo à afirmação de que a geometria é álgebra.

Em um certo sentido, isso está correto. Que eu saiba, não há nada na
geometria que não caiba na álgebra, no sentido de que não há nenhum
resultado geométrico que não tenha contrapartida algébrica. Então, em um
sentido matemático, de resultados, geometria é álgebra. Mas é claro que
Euclides, ou os geômetras de régua e compasso não são algebristas e não
estavam fazendo álgebra. É claro que conseguimos entender certas
estruturas, relações e conceitos muito melhor e mais claramente na
geometria que na álgebra, que todos temos intuições geométricas, mas que só
alguns poucos de nós, matematicamente treinados, têm as intuições
algébricas equivalentes.

Então, em um outro sentido muito forte, geometria não é álgebra. Mas esse
outro sentido muito forte, não é o sentido matemático. Em um sentido
matemático, de resultados matemáticos, geometria é álgebra.

Então, pensando nesses termos, eu concordo com a tese de Samuel de que a
matemática é ZFC. Mas isso não me impede de concordar se o Eduardo Ochs ou
alguém da teoria das categorias me disser que a matemática é Teoria das
Categorias ou outra teoria qualquer, desde que as eventuais divergências
extensionais entre a teoria nova e ZFC sejam convincentemente justificadas.

Não sei se o Samuel, que é o "pai da crian

[Logica-l] Re: ao

[Cassiano Terra Rodrigues]

Caros, boas noites.
Vou gastar então meus parcos centavos, na verdade, não são meus e sim de
Peirce, q tinha mais do q centavos pra gastar nesse assunto.
Desculpem a autocitação, acho ruim fazer, mas nesse caso não é por
presunção.
Eu trabalhei com a filosofia da matemática de Peirce em um artigo, há
tempos, e agora fiquei impressionado com a similaridade das ideias de CSP
com as afirmações do Márcio.
Márcio, o q vc diria? O meu artigo é o seguinte:
https://revistas.pucsp.br/index.php/cognitio/article/view/5719
não é lá grandes coisas, mas tem uma apresentação razoável, penso eu, do
cerne das ideias de CSP sobre o assunto.
Da perspectiva dele, o dualismo contrucionismo / intuicionismo não faz
muito sentido, até onde consigo perceber. Mass a ideia de construir
diagramas hipotéticos e extrair deles as consequências me parece muito
próxima do q vc afirmou. O Hintikka dizia q a distinção de Peirce entre
dedução corolarial e teoremática (explico no artigo) era a mais importante
descoberta de CSP. Esse é o ponto q me sugere a comparação com o q vc
defendeu aqui.
Abraços,
cass.


Cassiano Terra Rodrigues
Prof. Dr. de Filosofia - IEF-H-ITA

Rua Tenente Brigadeiro do ar Paulo Victor da Silva, F0-206
Campus do DCTA
São José dos Campos
São Paulo, Brasil
CEP: 12228-463
Tel. (+55) 12 3305 8438

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lealdade, humildade, procedimento

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07/08/23,
21:28:09

Em seg., 7 de ago. de 2023 às 17:51, Samuel Gomes da Silva 
escreveu:

> Olá Márcio,
>
> Pontos de vista anotados, agradeço igualmente ! E seus seis pontos dizem
> diretamente do cachimbo, e não dos retratos dele, muito bem !
>
> Como últimos centavinhos também, concordo que ZFC tem essa cara standard,
> quadradinha, como um transatlântico que se move lentamente sobre águas não
> tranquilas.
>
> Mas pois é, também serve como base de lançamentos para algumas lanchinhas
> não-classicas.
>
> Fazemos aí umas ultrapotencias espertas com ultrafiltros livres e pimba,
> obtemos modelos com infinitesimos (ou seja, representações não standard
> brotando da matemática standard).
>
> Topologias fornecem exemplos de Álgebras de Heyting. Espaços topológicos
> fornecem semânticas para lógicas modais.
>
> E muitos livros de categorias começam observando que com uns dois
> cardinais inacessíveis pelo menos podemos modelar classes e conglomerados e
> trabalhar com categorias nesse ambiente. E mais interações entre
> inacessíveis e categorias vêm aparecendo nos últimos anos.
>
> Então o transatlântico standard também serve como base de lançamento para
> essas lanchinhas não-standard.
>
> Abraços
>
> []s Samuel
>
>
>
> - Mensagem original -
> De: Márcio Palmares 
> Para: Samuel Gomes da Silva 
> Cc: Daniel Durante , LOGICA-L ,
> Petrucio Viana , Marcos Silva <
> marcossilv...@gmail.com>, Grupo de pesquisa CLEA ,
> valeria.depaiva , Cassiano Terra Rodrigues <
> cassiano.te...@gmail.com>
> Enviadas: Mon, 07 Aug 2023 16:44:51 -0300 (BRT)
> Assunto: Re: ao
>
> Oi, Samuel, obrigado pela gentileza das suas respostas anteriores que eu
> não comentei muito diretamente. :-)
>
> Agradeço também ao Daniel por oferecer mais elementos para a discussão.
> Obrigado! :-)
>
> Tenho um amigo que escreveu recentemente um livro sobre como ZFC se
> infiltra no solo e contamina toda a matemática que cresce nesse solo
> (contamina no bom sentido, de permitir que se escreva a matemática com essa
> linguagem). O livro começa com uma sentença mais ou menos assim (citando de
> memória): "a matemática tem dois aspectos essenciais, lógica e linguagem".
>
> Pois bem. Ao meu ver, é um paradigma, exatamente o paradigma predominante.
>
> Eu olho a coisa sob outro ponto de vista, o paradigma "intuicionista fraco"
> (inventei esse nome agora), cujos fundamentos seriam as três afirmações
> anteriores de Brouwer mais as três seguintes (seriam seis postulados
> epistemológicos, digamos assim):
>
> (a) A matemática lida com construções mentais, que são imediatamente
> apreendidas pela mente; matemática não consiste na manipulação formal de
> símbolos, e o uso da linguagem matemática é um fenômeno secundário,
> induzido por nossas limitações (quando comparadas com um matemático ideal
> com memória ilimitada e perfeita), e o desejo de comunicar nossas
> construções matemáticas para outros;
>
> (b) Não faz sentido pensar em verdade ou falsidade de uma afirmação
> matemática independentemente de nosso conhecimento sobre a afirmação. Uma
> afirmação é verdadeira se tivermos uma prova dela, e falsa se pudermos
> mostrar que a suposição de que existe uma prova para a afirmação leva a uma
> contradição. Para uma afirmação arbitrária, portanto, não podemos afirmar
> que ela é verdadeira ou falsa;
>
> (c) A matemática é uma criação livre: não é uma questão de reconstruir
> mentalmente, ou compreender a verdade 

[Logica-l] Re: ao

[Márcio Palmares]

Oi, Samuel, obrigado pela gentileza das suas respostas anteriores que eu
não comentei muito diretamente. :-)

Agradeço também ao Daniel por oferecer mais elementos para a discussão.
Obrigado! :-)

Tenho um amigo que escreveu recentemente um livro sobre como ZFC se
infiltra no solo e contamina toda a matemática que cresce nesse solo
(contamina no bom sentido, de permitir que se escreva a matemática com essa
linguagem). O livro começa com uma sentença mais ou menos assim (citando de
memória): "a matemática tem dois aspectos essenciais, lógica e linguagem".

Pois bem. Ao meu ver, é um paradigma, exatamente o paradigma predominante.

Eu olho a coisa sob outro ponto de vista, o paradigma "intuicionista fraco"
(inventei esse nome agora), cujos fundamentos seriam as três afirmações
anteriores de Brouwer mais as três seguintes (seriam seis postulados
epistemológicos, digamos assim):

(a) A matemática lida com construções mentais, que são imediatamente
apreendidas pela mente; matemática não consiste na manipulação formal de
símbolos, e o uso da linguagem matemática é um fenômeno secundário,
induzido por nossas limitações (quando comparadas com um matemático ideal
com memória ilimitada e perfeita), e o desejo de comunicar nossas
construções matemáticas para outros;

(b) Não faz sentido pensar em verdade ou falsidade de uma afirmação
matemática independentemente de nosso conhecimento sobre a afirmação. Uma
afirmação é verdadeira se tivermos uma prova dela, e falsa se pudermos
mostrar que a suposição de que existe uma prova para a afirmação leva a uma
contradição. Para uma afirmação arbitrária, portanto, não podemos afirmar
que ela é verdadeira ou falsa;

(c) A matemática é uma criação livre: não é uma questão de reconstruir
mentalmente, ou compreender a verdade sobre objetos matemáticos que
existiriam independentemente de nós (isso está em contraste com, por
exemplo, os empiristas franceses; cf. 4.2).

(TROELSTRA e van DALEN, Constructivism in Mathematics. An Introduction, p.
4)

Pela cláusula (a) acima, a linguagem não é tão importante assim para a
matemática... Na verdade, a linguagem às vezes cria embaraços e nos deixa
atolados em paradoxos e nos faz perder muito tempo com preciosismos... Por
isso, muitas vezes os físicos colaboram mais para o surgimento de
matemática nova do que os próprios matemáticos, já que eles não se importam
nem um pouco com as regras da linguagem e inventam as coisas de que
necessitam (função delta de Dirac, por exemplo). Também a lógica não pode
ser assim tão decisiva, pois ao menos para Brouwer, a lógica é que deriva
da matemática (esse ponto do pensamento de Brouwer não é capturado nessa
síntese de Troelstra e van Dalen).

A cláusula (b) joga fora a lei do terceiro-excluído, e assim batemos de
frente com o paradigma dominante, em que a lógica clássica é "subjacente".

Finalmente, a cláusula (c) força-nos a uma colisão com o platonismo e o
realismo, e por essa via colidimos também com o paradigma dominante.

Eu chamo esses 6 postulados de "intuicionismo fraco" pois não precisamos do
pacote completo das ideias filosóficas de Brouwer e seus seguidores, estes
6 pontos bastam.

Com isso, podemos praticar matemática em diferentes ambientes, e lidar com
criaturas que precisam ser banidas em ZFC para preservar a lógica clássica.

E uma vez que ZFC necessita banir certas criaturas matemáticas inteiramente
legítimas, embora marginais do ponto de vista da "ciência padrão" (Kuhn),
não pode conter toda a matemática. Pode conter apenas os ramos considerados
principais na atualidade...

Agora se acabaram de vez meus dois centavos... :-)

M.

Em seg., 7 de ago. de 2023 às 14:45, Samuel Gomes da Silva 
escreveu:

> Caros,
>
> A mensagem do Cassiano eu preciso digerir mais, hehe,
>
> Daniel, sua analogia com "geometria é álgebra" é pertinente sim,
>
> E na verdade me lembrou do prefácio de um excelente livro de graduação de
> Teoria dos Conjuntos, o do Enderton: se não me falha a memória, vai na
> seguinte linha:
>
> "Todo matemático, em geral, escolhe uma das seguintes alternativas:
>
> A matemática está inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos;
>
> A matemática pode ser inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos;
>
> A matemática deve ser inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos"
>
> Apesar do que alguém poderia pensar, mesmo com o meu "matemática é ZFC",
> eu tendo a pensar mais pela segunda alternativa, talvez nesse espírito de
> "ambiente de trabalho".
>
> (E como pintura do cachimbo, claro...)
>
> Abraços
>
> []s Samuel
>
> PS: Ah sim, isso de "geometria é álgebra"
> tem a haver com a internalização da geometria dentro da álgebra, aí da
> mesma forma a pessoa pode decidir entre "está", "pode ser", "deve ser"...
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> - Mensagem original -
> De: Daniel Durante 
> Para: LOGICA-L 
> Cc: marciopalmares , LOGICA-L <
> logica-l@dimap.ufrn.br>, samuel , Petrucio Viana <
> petrucio_vi...@id.uff.br>, Daniel Durante , Marcos
> Silva , Grupo 

[Logica-l] Re: ao

['Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L]

Caros,

A mensagem do Cassiano eu preciso digerir mais, hehe,

Daniel, sua analogia com "geometria é álgebra" é pertinente sim,

E na verdade me lembrou do prefácio de um excelente livro de graduação de 
Teoria dos Conjuntos, o do Enderton: se não me falha a memória, vai na seguinte 
linha:

"Todo matemático, em geral, escolhe uma das seguintes alternativas:

A matemática está inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos;

A matemática pode ser inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos;

A matemática deve ser inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos"

Apesar do que alguém poderia pensar, mesmo com o meu "matemática é ZFC", eu 
tendo a pensar mais pela segunda alternativa, talvez nesse espírito de 
"ambiente de trabalho".

(E como pintura do cachimbo, claro...)

Abraços

[]s Samuel 

PS: Ah sim, isso de "geometria é álgebra"
tem a haver com a internalização da geometria dentro da álgebra, aí da mesma 
forma a pessoa pode decidir entre "está", "pode ser", "deve ser"...





 











- Mensagem original -
De: Daniel Durante 
Para: LOGICA-L 
Cc: marciopalmares , LOGICA-L 
, samuel , Petrucio Viana 
, Daniel Durante , Marcos Silva 
, Grupo de pesquisa CLEA , 
valeria.depaiva , Cassiano Terra Rodrigues 

Enviadas: Mon, 07 Aug 2023 10:41:05 -0300 (BRT)
Assunto: Re: ao

Oi Marcio e colegas,

Eu acho, Marcio, que quando Samuel fala que a matemática é ZFC, ele não 
está querendo dizer isso literalmente, no sentido de que os números são 
certos conjuntos e que as funções são conjuntos de pares com certas 
propriedades,... Ele está falando de um jeito menos literal. Os números são 
qualquer coisa que se comporte como aqueles conjuntos se comportam em ZFC e 
as funções são qualquer coisa que se comporte como aqueles conjuntos de 
pares se comportam em ZFC.

Porque veja, junto com dizer que a matemática é ZFC ele diz também que ZFC 
não tem modelo canônico e que a matemática não são nem as regras do jogo, 
nem os diversos tabuleiros onde o jogo é jogado - nem os axiomas de ZFC, 
nem seus muitos modelos.

A matemática não é a formalização de ZFC e também não é cada uma das 
possíveis estruturas que verificam os axiomas. A matemática seria aquilo 
que todas as estruturas que verificam os axiomas têm em comum.

Aí, cabe tanto os matemáticos contemporâneos que nem sabem quais são os 
axiomas de ZFC, mas que os respeitam, porque vivem em (jogam) versões desse 
jogo, ainda que talvez nem saibam disso. E cabe também, em certo sentido, 
os matemáticos do passado que também jogavam versões desse jogo sem saber.

Talvez, se a gente procurar na história, a gente encontre os momentos em 
que as regras do jogo foram se estabelecendo, e o jogo foi sendo 
consolidado. Nessa visão dá para entender até o protesto de Valéria, por 
exemplo, que nos lembrou que muitos matemáticos se recusam a utilizar o 
axioma da escolha e se limitam a jogadas que cabem em ZF, uma versão 
simplificada do jogo.  

E protestos desse tipo ajudam também a explicar e acomodar as abordagens 
fundacionais alternativas. Qual seria a principal motivação de quem pensa 
em fundar a matemática na Teoria das Categorias, ou na Teoria dos Tipos? Eu 
acho que a principal motivação é ajustar o JOGO para alguma divergência que 
não se encaixa perfeitamente em ZFC.

Acho que um bom exemplo para entender isso é a relação da geometria com a 
álgebra. Veja, não sou matemático e se eu tiver falando bobagem, vocês 
simplesmente desconsiderem. Mas vejo a afirmação de que a matemática é ZFC 
de um modo paralelo à afirmação de que a geometria é álgebra.

Em um certo sentido, isso está correto. Que eu saiba, não há nada na 
geometria que não caiba na álgebra, no sentido de que não há nenhum 
resultado geométrico que não tenha contrapartida algébrica. Então, em um 
sentido matemático, de resultados, geometria é álgebra. Mas é claro que 
Euclides, ou os geômetras de régua e compasso não são algebristas e não 
estavam fazendo álgebra. É claro que conseguimos entender certas 
estruturas, relações e conceitos muito melhor e mais claramente na 
geometria que na álgebra, que todos temos intuições geométricas, mas que só 
alguns poucos de nós, matematicamente treinados, têm as intuições 
algébricas equivalentes.

Então, em um outro sentido muito forte, geometria não é álgebra. Mas esse 
outro sentido muito forte, não é o sentido matemático. Em um sentido 
matemático, de resultados matemáticos, geometria é álgebra.

Então, pensando nesses termos, eu concordo com a tese de Samuel de que a 
matemática é ZFC. Mas isso não me impede de concordar se o Eduardo Ochs ou 
alguém da teoria das categorias me disser que a matemática é Teoria das 
Categorias ou outra teoria qualquer, desde que as eventuais divergências 
extensionais entre a teoria nova e ZFC sejam convincentemente justificadas.

Não sei se o Samuel, que é o "pai da criança", enxerga sua própria 
abordagem desse jeito. Mas é assim que eu vejo. E nesses termos, eu 
concordo com ela.

Saudações,
Daniel.

Re: [Logica-l] Re: ao

[Joao Marcos]

Viva!

Contribuo meus dois centavos à conversa, também.

> Aí, cabe tanto os matemáticos contemporâneos que nem sabem quais são os 
> axiomas de ZFC, mas que os respeitam, porque vivem em (jogam) versões desse 
> jogo, ainda que talvez nem saibam disso. E cabe também, em certo sentido, os 
> matemáticos do passado que também jogavam versões desse jogo sem saber.

Talvez não possamos dizer, neste caso, que se tratam de versões do
_mesmo_ jogo?  Permanece aberta, por exemplo, a discussão sobre se os
antigos matemáticos hindus ou gregos faziam demonstrações por *indução
matemática*.  Parece-me bem difícil defender tal coisa.  E talvez seja
no mínimo anacrônico falar no uso, digamos, do *método da
diagonalização* antes do século XX...

> Que eu saiba, não há nada na geometria que não caiba na álgebra, no sentido 
> de que não há nenhum resultado geométrico que não tenha contrapartida 
> algébrica. Então, em um sentido matemático, de resultados, geometria é 
> álgebra. Mas é claro que Euclides, ou os geômetras de régua e compasso não 
> são algebristas e não estavam fazendo álgebra.

A comparação é interessante, já que há muitas alternativas às
construções com régua-e-compasso (mais fracas, como o uso exclusivo do
compasso), ou mais fortes, como o uso exclusivo de uma régua graduada,
ou o uso irrestrito de dobraduras de origami.  Também parece
importante apontar aqui que a geometria que se faz hoje (com o auxílio
da abordagem algébrica, e mais) transcende muito o que a turma do
Euclides podia fazer.  Este seria mais um caso em que não temos
exatamente o _mesmo_ jogo?  Outra situação similar estaria talvez no
contraste entre o silogismo aristotélico e a lógica contemporânea: em
que sentido seriam "versões do mesmo jogo"?

Joao Marcos

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[Logica-l] Re: ao

[Daniel Durante]

Oi Marcio e colegas,

Eu acho, Marcio, que quando Samuel fala que a matemática é ZFC, ele não 
está querendo dizer isso literalmente, no sentido de que os números são 
certos conjuntos e que as funções são conjuntos de pares com certas 
propriedades,... Ele está falando de um jeito menos literal. Os números são 
qualquer coisa que se comporte como aqueles conjuntos se comportam em ZFC e 
as funções são qualquer coisa que se comporte como aqueles conjuntos de 
pares se comportam em ZFC.

Porque veja, junto com dizer que a matemática é ZFC ele diz também que ZFC 
não tem modelo canônico e que a matemática não são nem as regras do jogo, 
nem os diversos tabuleiros onde o jogo é jogado - nem os axiomas de ZFC, 
nem seus muitos modelos.

A matemática não é a formalização de ZFC e também não é cada uma das 
possíveis estruturas que verificam os axiomas. A matemática seria aquilo 
que todas as estruturas que verificam os axiomas têm em comum.

Aí, cabe tanto os matemáticos contemporâneos que nem sabem quais são os 
axiomas de ZFC, mas que os respeitam, porque vivem em (jogam) versões desse 
jogo, ainda que talvez nem saibam disso. E cabe também, em certo sentido, 
os matemáticos do passado que também jogavam versões desse jogo sem saber.

Talvez, se a gente procurar na história, a gente encontre os momentos em 
que as regras do jogo foram se estabelecendo, e o jogo foi sendo 
consolidado. Nessa visão dá para entender até o protesto de Valéria, por 
exemplo, que nos lembrou que muitos matemáticos se recusam a utilizar o 
axioma da escolha e se limitam a jogadas que cabem em ZF, uma versão 
simplificada do jogo.  

E protestos desse tipo ajudam também a explicar e acomodar as abordagens 
fundacionais alternativas. Qual seria a principal motivação de quem pensa 
em fundar a matemática na Teoria das Categorias, ou na Teoria dos Tipos? Eu 
acho que a principal motivação é ajustar o JOGO para alguma divergência que 
não se encaixa perfeitamente em ZFC.

Acho que um bom exemplo para entender isso é a relação da geometria com a 
álgebra. Veja, não sou matemático e se eu tiver falando bobagem, vocês 
simplesmente desconsiderem. Mas vejo a afirmação de que a matemática é ZFC 
de um modo paralelo à afirmação de que a geometria é álgebra.

Em um certo sentido, isso está correto. Que eu saiba, não há nada na 
geometria que não caiba na álgebra, no sentido de que não há nenhum 
resultado geométrico que não tenha contrapartida algébrica. Então, em um 
sentido matemático, de resultados, geometria é álgebra. Mas é claro que 
Euclides, ou os geômetras de régua e compasso não são algebristas e não 
estavam fazendo álgebra. É claro que conseguimos entender certas 
estruturas, relações e conceitos muito melhor e mais claramente na 
geometria que na álgebra, que todos temos intuições geométricas, mas que só 
alguns poucos de nós, matematicamente treinados, têm as intuições 
algébricas equivalentes.

Então, em um outro sentido muito forte, geometria não é álgebra. Mas esse 
outro sentido muito forte, não é o sentido matemático. Em um sentido 
matemático, de resultados matemáticos, geometria é álgebra.

Então, pensando nesses termos, eu concordo com a tese de Samuel de que a 
matemática é ZFC. Mas isso não me impede de concordar se o Eduardo Ochs ou 
alguém da teoria das categorias me disser que a matemática é Teoria das 
Categorias ou outra teoria qualquer, desde que as eventuais divergências 
extensionais entre a teoria nova e ZFC sejam convincentemente justificadas.

Não sei se o Samuel, que é o "pai da criança", enxerga sua própria 
abordagem desse jeito. Mas é assim que eu vejo. E nesses termos, eu 
concordo com ela.

Saudações,
Daniel.

-- 
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[Logica-l] Re: ao

[Márcio Palmares]

Oi Cassiano,

Eu não sabia nada sobre o Peirce até encontrá-lo no livrinho do John Lane
Bell sobre o cálculo com infinitesimais nilpotentes (A primer of
infinitesimal analysis).

De acordo com o John L. Bell, Peirce percebeu antes mesmo que Brouwer que
uma análise do contínuo como tal, o contínuo geométrico, da noção
propriamente geométrica de continuidade, acarretaria necessariamente o
abandono da lei do terceiro excluído. E Peirce teria sido um defensor dos
infinitesimais, contra os preconceitos introduzidos pela aritmetização da
análise.

Noutras palavras: muitas vezes queremos praticar matemática e lidar com
criaturas rebeldes (infinitesimais, conjuntos que pertencem a si mesmos,
lembrando o Peter Aczel, contradições, etc.) e vemos que o ambiente de
trabalho padrão nos proíbe de fazer isso, porque, a bem da verdade, o nosso
paradigma dominante serve, em última instância, para preservar a lógica
clássica: é completamente subordinando a ela.

A concepção de Brouwer, por sua vez, ao subordinar a lógica à matemática, e
não o contrário, nos permite trafegar com mais naturalidade por diferentes
mundos e assim não precisamos banir as criaturas rebeldes. Sacrificamos a
lógica clássica e não as ideias matemáticas.

Esta é a vantagem, ao meu ver, do paradigma categorial inaugurado pelas
pesquisas fundacionais do William Lawvere e que culminaram com o
desenvolvimento da teoria dos topos, topos theory (não sei qual a expressão
corrente em português).

Mas há muito mais filosofia e epistemologia da matemática por trás dessa
cristalização de paradigmas. Remonta à diferença entre a concepção de
universo de Parmênides (que levaria à matemática clássica) e concepção de
universo de Heráclito (que levaria à matemática categorial).

Abraços!

M.

Em segunda-feira, 7 de agosto de 2023, Cassiano Terra Rodrigues <
cassiano.te...@gmail.com> escreveu:

> Camaradas, bons dias!
> Acompanhei com vivo interesse a palestra com o Samuel e agora essa
> maravilhosa conversa aqui. Agradeço a vcs, todos e todas.
> A mensagem do Marcio com os pontos de contato com Brower contemplou o q eu
> estava ensaiando para escrever, de modo que escrevo apenas para
> complementar e lançar algumas perguntas, já q eu não sou matemático e nem
> lógico. Perdoem então a minha ingenuidade filosófica.
> O argumento do Samuel para o Daniel me parece funcionar na seguinte base
> "metafísica" : uma vez que é provado, então é possível para além do
> provado. Isso faz da distinção entre lógica e matemática algo menos nítido
> do q as nossas classificações disciplinares parecem sugerir, não?
> Ao mesmo tempo, a ideia de "ambiente de trabalho" preserva a distinção
> entre a linguagem e a atividade científica da matemática em si, digamos
> assim, se for permitido. Pois o q ressalta aos meus olhos é q não se deve
> confundir a própria ciência com a linguagem da qual ela se utiliza, em
> outros termos, uma coisa é o que o matemático faz com o cálculo, outra é o
> próprio cálculo que ele usa. Mas inventar a própria linguagem é algo q os
> matemáticos fazem desde sempre, não? Então, esse aspecto criativo me fez
> pensar q realmente a lógica é q está dentro da matemática, como Brower (e
> Peirce) defendiam, já q os lógicos, para descrever os raciocínios, quando
> inventam linguagens, agem como matemáticos. E me fez pensar ainda no que
> significa dizer q a matemática é ciência, o que é descoberta ou invenção ou
> constatação etc. Não tenho mesmo melhor resposta do q a do Márcio, são
> critérios pragmáticos q decidem isso (ou valores, como quer Kuhn). O que
> não me parece contradizer a ideia de q a matemática nos revela coisas q de
> outra forma não saberíamos (há verdades matemáticas q não dependem de
> arbitrariedades humanas, ainda q sejam verdades puramente hipotéticas).
> Agora, puxando a sardinha pra brasa q eu conheço um pouco melhor, Peirce
> afirma o seguinte sobre a prática da matemática: diante de um estado de
> coisas confuso e intrincado, um físico, um médico ou um filósofo convocam
> um matemático cujo trabalho é desemaranhar essa confusão em termos tão
> simples e relações tão abstratas quanto o permitam as premissas dadas. É a
> criação de um estado de coisas hipotético. Desse modo, evidenciam-se
> relações de outra maneira obscuras e as conclusões podem ser generalizadas
> e esse é o interesse primordial do matemático: extrair conclusões que podem
> ser generalizadas para outros "ambientes de trabalho".
> Faz sentido isso? A pergunta se dá em razão de que recentemente convidei o
> Odilon (Odilon Luciano, da USP, pra quem não sabe) pra uma palestra de um
> Pint of Science e ele lembrou q a maior parte da matemática q se faz
> atualmente era desconhecida até a aurora do século XX. E penso ainda q os
> desenvolvimentos em teoria das categorias pode levar essa situação muito
> adiante e daqui a 100 anos alguém poderá dizer o mesmo do século XXI. Estou
> delirando muito?
> Antes de terminar, aproveitando o outro fio, essa seria uma boa temática,
> penso