[obm-l] AJUDA (Off Topic)
Aí galera da lista, preciso com uma certa urgência a prova do Colégio Naval de 2008, que foi aplicada neste último domingo. Aqui de BH (Belzonte) os cursinhos não são familiarizados com provas militares, mas para vcs do Rio e Sampa deve ser mais fácil. Se souberem de algum site que já tenha disponibilizado agradeço, uso as questões da Naval para treinar alguns alunos para a OMM, as questões de geometria são riquíssimas. Obrigado pela ajuda! Boa Semana!
Re: [obm-l] Topologia
Olá Kleber: Antes de demostrar, vou mudar um pouco o enunciado para ele ficar mais confortável (apenas substituir X por S e e Y por T, X vai ser meu espaço topológico). Sejam S, T contidos em R, S ( diferente de 0 ) e T ( diferente de 0 ).Mostrar que int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) Suponho que com int(S) vc queira dizer interior de S e com R você queira dizer conjunto (espaço topológico) dos reais. Neste caso, para resolver, é só lembrar a definição de ponto interior de um conjunto e aplicar os axiomas da teoria dos conjuntos para demonstrar. Pelo que me lembro, a definição mais geral de ponto interior é: Um ponto p é um ponto interior de um conjunto S de um espaço topológico X, se existe um subconjunto aberto A de S que contém p Substitua agora X por R e A por intervalo aberto. Agora é preciso lembrar antes de resolver, que o conjunto S pode ser qualquer coisa, inclusive um conjunto fractal como o conjunto de Cantor, com interior vazio. Estes casos (int (S) e int (T) vazios) podem ser considerados casos para uma demonstração por casos. Por exemplo: int(S) = O e int (T) = O == int (S) U int(T) = O que está contido em int (S U T), pois O (o conjunto vazio) está contido em qualquer conjunto eu posso concluir isso porque o enunciado diz que S U T é diferente de vazio (S != 0 e T != 0) Agora suponha int(S) != O == existe p em int (S) e existe A contido em S, A aberto, tal que p está em A. == como A está em S então A está também em S U T e como A é aberto então == A também está em int (S U T), note que int (S U T) é uma reunião de conjuntos abertos == e que este conjunto não pode ser vazio. == A contém p logo p está em int(S U T ) == int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) . Note que aparentemente o resultado é geral e vale para quaisquer espaços topológicos. Ooops... será que eu errei algo? Me corrijam por favor. Falando em topologia, alguém conhece algum livro de topologia algébrica que fale sobre quebra-cabeças de argolas? Daqueles problemas de tirar uma argola de dentro de outra? Abraços. Ronaldo. Kleber Bastos wrote: Sejam X, Y contidos em R, X ( diferente de 0 ) e Y ( diferente de 0 ). Mostrar que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) . -- Kleber B. Bastos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!! (OFF)
Percebo em certo grauque a ousadia direcionada à honestidade,à nobreza e à humildade auxilia na resolução de questões. Fraternalmente, João. Olá pessoal!Muito obrigado pela colaboração de todos na solução do problema.Enviei a solução para [EMAIL PROTECTED] com as devidas citações ao Nehab eao Marcio. Obrigado pela dica da "estrategia padrao" Marcio!Certamente será muito útil em problemas futuros.Por sinal como foi a sua solução para o problema? Fiquei curioso ecreio que outros também estão.Alguém saberia me dizer se é esse e-mail([EMAIL PROTECTED]) o correto paraenviar as soluções dos problemas propostos da Eureka? Tinha enviadouma outra vez mas não obtive resposta.Abraços,Douglas RibeiroOBS: Desculpe a ousadia Nehab, mas foi foi mais forte que eu!Em 31/07/07, Marcio Cohen[EMAIL PROTECTED] escreveu: Douglas, Você certamente fez a parte difícil da questão e merece 100% dos créditos por isso. Eu tinha feito uma solução por complexos para a questão da Eureka na aula de treinamento da imo, mas a sua é muito mais legal!! Para provar o detalhe final da sua solução, minha estratégia padrão é: Seja a=exp(iA), b=exp(iB), c=exp(iC). Então, abc = -1 e como exp(ix)+exp(-ix) = 2cosx: (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = (1/4)*(a^2 + 1/a^2 + b^2 + 1/b^2 + c^2 + 1/c^2 + 6) = (1/4)*(a^2 + b^2 + c^2 + (bc)^2 + (ab)^2 + (ac)^2+6); 8cosA*cosB*cosC = (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c) = -(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) = -(1+a^2+b^2+c^2+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2+1). Substituindo uma na outra, 8cosA*cosB*cosC = -(2+4*( (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 - 6), ou seja, (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1 - 2cosAcosBcosC Abraços, Marcio Cohen On 7/30/07, Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Nehab! Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como eu, vocês gostam muito de geometria. O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em "zerar" a área do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação. Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar. A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles. Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a idéia abaixo: Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ. Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) - S(XBZ) - S(XYC) S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) = bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2. Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 - ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2 Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original. Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o produto de cossenos. Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a Eureka. Abraços, Douglas Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab[EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, querido Ponce Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as áreas independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema. Eu esperava algo do tipo: a razão entre as áreas é "o quadrado do produto dos senos dos angulos", ou coisa similar. Embora tendo encontrado várias coisas curiosas sobre o maldito e
RES: [obm-l] Topologia
Isto vale em todo espaco topologico sim. Basta ver que A e B estao contidos em A U B, o que implica automaticamente que seus interiores estejam contidos no interior de A U B. Logo int(A) U int(B) estah contido em int(A U B). No livro de topologia do Munkres talvez haja algo sobre o problema das argolas, vou dar uma olhada . Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de ralonso Enviada em: quarta-feira, 1 de agosto de 2007 09:11 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Topologia Olá Kleber: Antes de demostrar, vou mudar um pouco o enunciado para ele ficar mais confortável (apenas substituir X por S e e Y por T, X vai ser meu espaço topológico). Sejam S, T contidos em R, S ( diferente de 0 ) e T ( diferente de 0 ).Mostrar que int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) Suponho que com int(S) vc queira dizer interior de S e com R você queira dizer conjunto (espaço topológico) dos reais. Neste caso, para resolver, é só lembrar a definição de ponto interior de um conjunto e aplicar os axiomas da teoria dos conjuntos para demonstrar. Pelo que me lembro, a definição mais geral de ponto interior é: Um ponto p é um ponto interior de um conjunto S de um espaço topológico X, se existe um subconjunto aberto A de S que contém p Substitua agora X por R e A por intervalo aberto. Agora é preciso lembrar antes de resolver, que o conjunto S pode ser qualquer coisa, inclusive um conjunto fractal como o conjunto de Cantor, com interior vazio. Estes casos (int (S) e int (T) vazios) podem ser considerados casos para uma demonstração por casos. Por exemplo: int(S) = O e int (T) = O == int (S) U int(T) = O que está contido em int (S U T), pois O (o conjunto vazio) está contido em qualquer conjunto eu posso concluir isso porque o enunciado diz que S U T é diferente de vazio (S != 0 e T != 0) Agora suponha int(S) != O == existe p em int (S) e existe A contido em S, A aberto, tal que p está em A. == como A está em S então A está também em S U T e como A é aberto então == A também está em int (S U T), note que int (S U T) é uma reunião de conjuntos abertos == e que este conjunto não pode ser vazio. == A contém p logo p está em int(S U T ) == int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) . Note que aparentemente o resultado é geral e vale para quaisquer espaços topológicos. Ooops... será que eu errei algo? Me corrijam por favor. Falando em topologia, alguém conhece algum livro de topologia algébrica que fale sobre quebra-cabeças de argolas? Daqueles problemas de tirar uma argola de dentro de outra? Abraços. Ronaldo. Kleber Bastos wrote: Sejam X, Y contidos em R, X ( diferente de 0 ) e Y ( diferente de 0 ). Mostrar que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) . -- Kleber B. Bastos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] integral
Achei o erro w=lnsecx+tgx dw= 1/secx+tgx * (-1/cosx^2 *-senx +secx^2)dx= *** dw= 1/cosxdx cosxe^w-1=rq(1-cosx^2) e^2wcosx^2-2cosxe^w+1=1-cosx^2 cosx^2(e^2w+1)-2cosxe^w=0 cosx= 2e^w/(e^2w+1)=2/(e^w+e^-w)=1/coshw I w *(1/coshw )dw u= w du=dw dv=1/coshwdw v= x I ln(sec x+tgx)dx= w*x -I x*dw= w*x-I x/cosxdx On 7/31/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Acho que tem um erro aqui. A derivada do segundo membro eh (tgx*ln(secx+tgx) -1/cosx)' = (secx)^2* ln(sec x + tan x) + tg x sec x - tg x sec x = (secx)^2* ln(sec x + tan x). Diferente, portanto, do integrando Artur [Artur Costa Steiner] Mensagem original- *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de *saulo nilson *Enviada em:* terça-feira, 31 de julho de 2007 14:36 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* Re: [obm-l] integral I ln(secx+ tgx)dx= tgx*ln(secx+tgx) -1/cosx
[obm-l] ÂNGULO
ALGUÉM, POR FAVOR, PODERIA RESOLVER ESSA: Num triângulo acutângulo ABC onde H é o ortocentro, I é o incentro e T é o circuncentro, a soma dos ângulos BHC, BIC e BTC é 330°. Calcular, em graus, o valor do ângulo BAC. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
Re: RES: [obm-l] Topologia
Só um comentário: A demonstração do Arthur é bem mais imediata. A minha é do tipo automatizada, do tipo gerada por provadores automáticos de teoremas (softwares em Prolog/Lisp, que partem dos axiomas e teoremas conhecidos para chegar aos resultados). Vale lembrar que tal tipo de automatismo não consegue demonstrar coisas onde entra muita intuição (a quantidade de combinações e buscas é muito grande). Ronaldo. Artur Costa Steiner wrote: Isto vale em todo espaco topologico sim. Basta ver que A e B estao contidos em A U B, o que implica automaticamente que seus interiores estejam contidos no interior de A U B. Logo int(A) U int(B) estah contido em int(A U B). No livro de topologia do Munkres talvez haja algo sobre o problema das argolas, vou dar uma olhada . Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de ralonso Enviada em: quarta-feira, 1 de agosto de 2007 09:11 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Topologia Olá Kleber: Antes de demostrar, vou mudar um pouco o enunciado para ele ficar mais confortável (apenas substituir X por S e e Y por T, X vai ser meu espaço topológico). Sejam S, T contidos em R, S ( diferente de 0 ) e T ( diferente de 0 ).Mostrar que int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) Suponho que com int(S) vc queira dizer interior de S e com R você queira dizer conjunto (espaço topológico) dos reais. Neste caso, para resolver, é só lembrar a definição de ponto interior de um conjunto e aplicar os axiomas da teoria dos conjuntos para demonstrar. Pelo que me lembro, a definição mais geral de ponto interior é: Um ponto p é um ponto interior de um conjunto S de um espaço topológico X, se existe um subconjunto aberto A de S que contém p Substitua agora X por R e A por intervalo aberto. Agora é preciso lembrar antes de resolver, que o conjunto S pode ser qualquer coisa, inclusive um conjunto fractal como o conjunto de Cantor, com interior vazio. Estes casos (int (S) e int (T) vazios) podem ser considerados casos para uma demonstração por casos. Por exemplo: int(S) = O e int (T) = O == int (S) U int(T) = O que está contido em int (S U T), pois O (o conjunto vazio) está contido em qualquer conjunto eu posso concluir isso porque o enunciado diz que S U T é diferente de vazio (S != 0 e T != 0) Agora suponha int(S) != O == existe p em int (S) e existe A contido em S, A aberto, tal que p está em A. == como A está em S então A está também em S U T e como A é aberto então == A também está em int (S U T), note que int (S U T) é uma reunião de conjuntos abertos == e que este conjunto não pode ser vazio. == A contém p logo p está em int(S U T ) == int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) . Note que aparentemente o resultado é geral e vale para quaisquer espaços topológicos. Ooops... será que eu errei algo? Me corrijam por favor. Falando em topologia, alguém conhece algum livro de topologia algébrica que fale sobre quebra-cabeças de argolas? Daqueles problemas de tirar uma argola de dentro de outra? Abraços. Ronaldo. Kleber Bastos wrote: Sejam X, Y contidos em R, X ( diferente de 0 ) e Y ( diferente de 0 ). Mostrar que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) . -- Kleber B. Bastos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] f(f(x)) = x^2 - 1996
Boa tarde Há alguns anos circulou aqui o seguinte problema, aliás nada fácil: Mostre que não existe nenhuma função f:R -- R tal que sua composta f o f seja dada por f(f(x)) = x^2 - 1996. Algúem sabe onde está a sua solução ou sabe resolvê-lo. Eu acho que a solucoa tem a ver com um tipo de ponto , que nao eh ponto fixo, mas apresenta uma propriedade de oscilar , nao me lembro nao. Obrigado Artur
Re: [obm-l] Um numero N com n algarismos....
Acho interessante essas propriedades dos inversos desses primos que vc citou. Uma coisa que fico um tanto quanto intrigado também é o caso do período do inverso do 13. Vc pode quebrar ao meio esse período. Pegando o número menor, se vc for multiplicando por 2, 3, 4, ..., assim como fez com o período do 1/7, vc vai obtendo também permutações cíclicas de um dos dois períodos, eles vão se alternando. Abraço Bruno 2007/8/1, Antonio Neto [EMAIL PROTECTED]: Para n algarismos, a solução que me ocorre é a mesma de todos os que já responderam. Mas se o n é dado, há soluções mais diretas, como esta, do Colégio Naval, se não me falha a velhaca: Um número de seis algarismos começa à esquerda pelo algarismo 1. Retirando o 1 inicial e colocando-o à direita do número, o novo número obtido é o triplo do original. Se chamarmos o número de 5 algarismos obtido pela supressão do 1 de x, é só fazer 3(10 + x) = 10x + 1, e o número original é 142857, que aliás é o período de 1/7. Experimentem multiplicar 142857 por 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Depois por (oh, surpresa!!!) 8, 9, ... Números com esta propriedade são chamados de números cíclicos. Os primeiros são os períodos dos inversos de 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97. A minha fonte é o livro do Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, da Dover, mas deve haver muito na internet, estou respondendo meio às pressas. Abraços, olavo. From: vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Um numero N com n algarismos Date: Tue, 31 Jul 2007 15:01:58 -0300 Ola' pessoal, Uma ajuda Considere um número N com n algarismos e na posição das unidades o número 2. Ao invertemos o 2, colocando-o na posição inicial, encontramos um novo número K, onde K=2N. Qual o valor de N? Pensei em congruencia...seria uma boa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Subespaços Vetoriais - Esclarecimento
Ola Pessoal, Com relaçao a questao abaixo: Existem U e V são subespaços vetoriais de R7 tais que R7 = U+V (soma direta) e dim U = Dim V? Quem puder me esclarecer um pouco mais a respeito ficarei contente. Ja tive algumas respostas, mas se possivel mais detalhes a respeito. Fico grata Rita Gomes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] off topic: algebra linear
Senhores boa tarde, preciso de uma LUZ ou melhor uma grande luz. Precisei reestudar (se é que um dia eu já aprendi!?) álgebra linear e me deparei com dois problemas: i) cada livro possui um sumário diferente com ordens bem disdintas um do outro. Confunde. ii) os famosos 'se vire nos exercícios sem respostas para complementar o entendimento do capítulo' deixando aqueles que estão estudando sozinhos completamente frustrados. Uma grande amiga que frequenta a lista me arrumou uns exercícios do CEDERJ. Peço a gentileza de me indicarem um livro que possua mais exercícios resolvidos ou se possível algum material com problemas e respostas. Obrigado Atenciosamente, Tio Cabri [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] f(f(x)) = x^2 - 1996
Gostei do problema, Artur. Não sei se está totalmente correta minha solução, mas achei bonitinha (me inspirei no que vc disse sobre um ponto que oscila). Dê uma olhada se tiver tempo. Suponha que exista f conforme o enunciado diz e seja g = f o f. Vamos procurar por dois reais distintos, a e b, tais que g(a) = b e g(b) = a (se a = b, estaríamos procurando um ponto fixo de g, o que não é de interesse). A busca por tais números nos leva ao sistema: a^2 - 1996 = b b^2 - 1996 = a Subtraia e obtenha (a+b)(a-b) = (b-a), donde a = - b - 1. Agora substituindo, obtenha duas raízes reais (por bháskara, ou seja lá como for), a1 e a2 (cujos valores não tem o menor interesse, apenas note que é claramente diferente de 1/2). Como nosso sistema é absolutamente simétrico, não importa tomarmos a = a1 e b = a2 ou o contrário. O que importa é que provamos: existindo f, existe um único par (a, b) de pontos distintos, com a propriedade de que g leva a em b e b em a. Considere agora c = f(a), d = f(b). Aplicando f aos dois lados de cada igualdade, obtemos: b = f(c), a = f(d). Aplique denovo f aos dois lado: f(b) = g(c), f(a) = g(d). Mas volte à definição de c e d, e veja que d = g(c), c = g(d). Assim o par (c, d) tem a mesma propriedade que o par (a, b). Mas vimos antes que o par (a, b) com tal propriedade era único. Assim temos ou a = c, b = d ou a = d, b = c. No caso a = c, b = d, temos: a = f(d) = f(b) = g(c) = g(a) = b. No outro caso, chegamos à mesma conclusão: a = f(d) = f(a) = g(d) = c = b. Assim vemos que admitir a existência de f, implica admitir a existência de dois reais distintos que são iguais (???). Absurdo. Logo é errado admitir a existência de f, o que conclui a demonstração. Abraço Bruno 2007/8/1, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]: Boa tarde Há alguns anos circulou aqui o seguinte problema, aliás nada fácil: Mostre que não existe nenhuma função f:R -- R tal que sua composta f o f seja dada por f(f(x)) = x^2 - 1996. Algúem sabe onde está a sua solução ou sabe resolvê-lo. Eu acho que a solucoa tem a ver com um tipo de ponto , que nao eh ponto fixo, mas apresenta uma propriedade de oscilar , nao me lembro nao. Obrigado Artur -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] f(f(x)) = x^2 - 1996
É um problema difícil mesmo. Começamos observando que o que está tornando o problema impossível, neste caso parece ser a presença de x^2 do lado esquerdo da igualdade f(f(x)) = x^2 - 1996. O 1996 parece ser um mero detalhe. Note que se fosse f(f(x)) = x vc neste caso poderia achar infinitas funções que possuíssem pelo menos um ponto com essa propriedade, isto é, com f(f(x*)) = x *. Neste caso x* seria um ponto periódico de período 2. Para funções do tipo f(x) = u x (1-x) por exemplo, vc pode calcular o valor de u para que exista x* tal que f(f(x*)) = x*. Queremos uma função que tenha infinitos pontos desse tipo. Ora, obviamente f(x) = x tem essa propriedade, pois f o f (x)= x para todo x.E se fosse f(f(x)) = x^2 ? Será que conseguimos repetir um raciocínio parecido com o acima para provar que tal função não existe? Artur Costa Steiner wrote: Boa tardeHá alguns anos circulou aqui o seguinte problema, aliás nada fácil:Mostre que não existe nenhuma função f:R -- R tal que sua composta f o f seja dada por f(f(x)) = x^2 - 1996. Algúem sabe onde está a sua solução ou sabe resolvê-lo. Eu acho que a solucoa tem a ver com um tipo de ponto , que nao eh ponto fixo, mas apresenta uma propriedade de oscilar , nao me lembro nao.ObrigadoArtur
Re: [obm-l] Subespaços Vetoriais - Esclarecimento
Se W = U (+) V, onde (+) denota soma direta, temos que dim W = dim U + dim V (no caso de dimensão finita). Se dim U = dim V, então dim U + dim V é par, e como dim R^7 = 7 é ímpar, não podemos fazer tal decomposição. Abraço Bruno 2007/8/1, rcggomes [EMAIL PROTECTED]: Ola Pessoal, Com relaçao a questao abaixo: Existem U e V são subespaços vetoriais de R7 tais que R7 = U+V (soma direta) e dim U = Dim V? Quem puder me esclarecer um pouco mais a respeito ficarei contente. Ja tive algumas respostas, mas se possivel mais detalhes a respeito. Fico grata Rita Gomes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Um numero N com n algarismos....
Onde posso encontrar mais sobre este assunto? Acho interessante essas propriedades dos inversos desses primos que vc citou. Uma coisa que fico um tanto quanto intrigado também é o caso do período do inverso do 13. Vc pode quebrar ao meio esse período. Pegando o número menor, se vc for multiplicando por 2, 3, 4, ..., assim como fez com o período do 1/7, vc vai obtendo também permutações cíclicas de um dos dois períodos, eles vão se alternando. Abraço Bruno 2007/8/1, Antonio Neto [EMAIL PROTECTED]: Para n algarismos, a solução que me ocorre é a mesma de todos os que já responderam. Mas se o n é dado, há soluções mais diretas, como esta, do Colégio Naval, se não me falha a velhaca: Um número de seis algarismos começa à esquerda pelo algarismo 1. Retirando o 1 inicial e colocando-o à direita do número, o novo número obtido é o triplo do original. Se chamarmos o número de 5 algarismos obtido pela supressão do 1 de x, é só fazer 3(10 + x) = 10x + 1, e o número original é 142857, que aliás é o período de 1/7. Experimentem multiplicar 142857 por 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Depois por (oh, surpresa!!!) 8, 9, ... Números com esta propriedade são chamados de números cíclicos. Os primeiros são os períodos dos inversos de 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97. A minha fonte é o livro do Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, da Dover, mas deve haver muito na internet, estou respondendo meio às pressas. Abraços, olavo. From: vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Um numero N com n algarismos Date: Tue, 31 Jul 2007 15:01:58 -0300 Ola' pessoal, Uma ajuda Considere um número N com n algarismos e na posição das unidades o número 2. Ao invertemos o 2, colocando-o na posição inicial, encontramos um novo número K, onde K=2N. Qual o valor de N? Pensei em congruencia...seria uma boa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] off topic: algebra linear
Ola tio Cabri, Eu tb estou com esse tipo de situação, e ate encontrar livros ele alem de serem muito caros acontece o que vc disse cada um com uma ordem ou forma de esclarecer, enfim estou tendo que rever muitas coisas. Devido a falta de capital para adquirir novos livros, alem de studar atraves do cederj, tenho pesquisado na internet onde encontro vários assuntos como forma de finalização de cursos de alunos, e tambem atraves do site somatematica encontro assuntos básicos do dia a dia. se vc teiver alguma solução a respeito tb vou pedir que me repasse. Grata Rita Gomes - Original Message - From: Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, August 01, 2007 3:40 PM Subject: [obm-l] off topic: algebra linear Senhores boa tarde, preciso de uma LUZ ou melhor uma grande luz. Precisei reestudar (se é que um dia eu já aprendi!?) álgebra linear e me deparei com dois problemas: i) cada livro possui um sumário diferente com ordens bem disdintas um do outro. Confunde. ii) os famosos 'se vire nos exercícios sem respostas para complementar o entendimento do capítulo' deixando aqueles que estão estudando sozinhos completamente frustrados. Uma grande amiga que frequenta a lista me arrumou uns exercícios do CEDERJ. Peço a gentileza de me indicarem um livro que possua mais exercícios resolvidos ou se possível algum material com problemas e respostas. Obrigado Atenciosamente, Tio Cabri [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 31/07/2007 / Versão: 5.1.00/5087 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Subespaços Vetoriais - Esclarecimento
Obrigada Bruno, Ainda poderia me esclarecer equivalente a outras supostas condiçoes para casos de dimensao de base? Rita Gomes - Original Message - From: Bruno França dos Reis To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, August 01, 2007 5:56 PM Subject: Re: [obm-l] Subespaços Vetoriais - Esclarecimento Se W = U (+) V, onde (+) denota soma direta, temos que dim W = dim U + dim V (no caso de dimensão finita). Se dim U = dim V, então dim U + dim V é par, e como dim R^7 = 7 é ímpar, não podemos fazer tal decomposição. Abraço Bruno 2007/8/1, rcggomes [EMAIL PROTECTED]: Ola Pessoal, Com relaçao a questao abaixo: Existem U e V são subespaços vetoriais de R7 tais que R7 = U+V (soma direta) e dim U = Dim V? Quem puder me esclarecer um pouco mais a respeito ficarei contente. Ja tive algumas respostas, mas se possivel mais detalhes a respeito. Fico grata Rita Gomes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 -- Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 01/08/2007 / Versão: 5.1.00/5088 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/
[obm-l] Um numero N com n algarismos....
Experimente também os inversos de 3, 11, 31, 37, 41, 43, 53, 67, 71, 73, 79, 83 e 89, para ficarmos nos menores que 100. A explicação é via congruência módulo p, onde p é o primo. Boas contas, abraço, olavo. From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Um numero N com n algarismos Date: Wed, 1 Aug 2007 20:38:33 +0200 Acho interessante essas propriedades dos inversos desses primos que vc citou. Uma coisa que fico um tanto quanto intrigado também é o caso do período do inverso do 13. Vc pode quebrar ao meio esse período. Pegando o número menor, se vc for multiplicando por 2, 3, 4, ..., assim como fez com o período do 1/7, vc vai obtendo também permutações cíclicas de um dos dois períodos, eles vão se alternando. Abraço Bruno 2007/8/1, Antonio Neto [EMAIL PROTECTED]: Para n algarismos, a solução que me ocorre é a mesma de todos os que já responderam. Mas se o n é dado, há soluções mais diretas, como esta, do Colégio Naval, se não me falha a velhaca: Um número de seis algarismos começa à esquerda pelo algarismo 1. Retirando o 1 inicial e colocando-o à direita do número, o novo número obtido é o triplo do original. Se chamarmos o número de 5 algarismos obtido pela supressão do 1 de x, é só fazer 3(10 + x) = 10x + 1, e o número original é 142857, que aliás é o período de 1/7. Experimentem multiplicar 142857 por 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Depois por (oh, surpresa!!!) 8, 9, ... Números com esta propriedade são chamados de números cíclicos. Os primeiros são os períodos dos inversos de 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97. A minha fonte é o livro do Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, da Dover, mas deve haver muito na internet, estou respondendo meio às pressas. Abraços, olavo. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Subespaços Vetoriais - Esclarecimento
Desculpe, não entendi o que vc pergunta. A propósito, dizemos dimensão do espaço vetorial, e não dimensão da base. O que exatamente vc pergunta? Quais condições vc quer impor sobre o que? Bruno 2007/8/2, rcggomes [EMAIL PROTECTED]: Obrigada Bruno, Ainda poderia me esclarecer equivalente a outras supostas condiçoes para casos de dimensao de base? Rita Gomes - Original Message - *From:* Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Wednesday, August 01, 2007 5:56 PM *Subject:* Re: [obm-l] Subespaços Vetoriais - Esclarecimento Se W = U (+) V, onde (+) denota soma direta, temos que dim W = dim U + dim V (no caso de dimensão finita). Se dim U = dim V, então dim U + dim V é par, e como dim R^7 = 7 é ímpar, não podemos fazer tal decomposição. Abraço Bruno 2007/8/1, rcggomes [EMAIL PROTECTED]: Ola Pessoal, Com relaçao a questao abaixo: Existem U e V são subespaços vetoriais de R7 tais que R7 = U+V (soma direta) e dim U = Dim V? Quem puder me esclarecer um pouco mais a respeito ficarei contente. Ja tive algumas respostas, mas se possivel mais detalhes a respeito. Fico grata Rita Gomes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 -- Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terrahttp://mail.terra.com.br/ . Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 01/08/2007 / Versão: 5.1.00 /5088 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Subespaços Vetoriais - Esclarecimento
Desculpe, outros casos equivalentes a dimensão de espaços vetoriais. - Original Message - From: Bruno França dos Reis To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, August 01, 2007 7:49 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Subespaços Vetoriais - Esclarecimento Desculpe, não entendi o que vc pergunta. A propósito, dizemos dimensão do espaço vetorial, e não dimensão da base. O que exatamente vc pergunta? Quais condições vc quer impor sobre o que? Bruno 2007/8/2, rcggomes [EMAIL PROTECTED]: Obrigada Bruno, Ainda poderia me esclarecer equivalente a outras supostas condiçoes para casos de dimensao de base? Rita Gomes - Original Message - From: Bruno França dos Reis To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, August 01, 2007 5:56 PM Subject: Re: [obm-l] Subespaços Vetoriais - Esclarecimento Se W = U (+) V, onde (+) denota soma direta, temos que dim W = dim U + dim V (no caso de dimensão finita). Se dim U = dim V, então dim U + dim V é par, e como dim R^7 = 7 é ímpar, não podemos fazer tal decomposição. Abraço Bruno 2007/8/1, rcggomes [EMAIL PROTECTED]: Ola Pessoal, Com relaçao a questao abaixo: Existem U e V são subespaços vetoriais de R7 tais que R7 = U+V (soma direta) e dim U = Dim V? Quem puder me esclarecer um pouco mais a respeito ficarei contente. Ja tive algumas respostas, mas se possivel mais detalhes a respeito. Fico grata Rita Gomes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 -- Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 01/08/2007 / Versão: 5.1.00/5088 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 -- Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 01/08/2007 / Versão: 5.1.00/5088 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/
[obm-l] pesquisa do emagrecintob
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Re: [obm-l] ÂNGULO
Olá! Muito legal esse problema pois ao contrário do que parece, ele possui 2 respostas. Uma para A 90 e outra para A 90. Isso porque muda a relação do angulo BTC com relação a A. Para encontrar a resposta use a equação BHC + BIC + BTC = 330. E escreva os angulos em função de A. BHC você encontra a partir do quadrilatero inscritivel com diagonal AH. Os outros vertices são pes das alturas. BIC use que A + B + C = 180 e BIC = 180 - (B/2 + C/2) E o BTC é dobro de A, se A 90 e 360 - 2A se A 90. Substituindo na expressão encontramos duas respostas: 40 ou 120 Abraços! Douglas. Em 01/08/07, arkon[EMAIL PROTECTED] escreveu: ALGUÉM, POR FAVOR, PODERIA RESOLVER ESSA: Num triângulo acutângulo ABC onde H é o ortocentro, I é o incentro e T é o circuncentro, a soma dos ângulos BHC, BIC e BTC é 330°. Calcular, em graus, o valor do ângulo BAC. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ÂNGULO
Só fazendo um breve comentário devido a uma falta de atenção minha, o caso de 120 graus é obviamente para um triangulo obtusangulo(que não é o que a questão quer). Abraços Em 02/08/07, Douglas Ribeiro Silva[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá! Muito legal esse problema pois ao contrário do que parece, ele possui 2 respostas. Uma para A 90 e outra para A 90. Isso porque muda a relação do angulo BTC com relação a A. Para encontrar a resposta use a equação BHC + BIC + BTC = 330. E escreva os angulos em função de A. BHC você encontra a partir do quadrilatero inscritivel com diagonal AH. Os outros vertices são pes das alturas. BIC use que A + B + C = 180 e BIC = 180 - (B/2 + C/2) E o BTC é dobro de A, se A 90 e 360 - 2A se A 90. Substituindo na expressão encontramos duas respostas: 40 ou 120 Abraços! Douglas. Em 01/08/07, arkon[EMAIL PROTECTED] escreveu: ALGUÉM, POR FAVOR, PODERIA RESOLVER ESSA: Num triângulo acutângulo ABC onde H é o ortocentro, I é o incentro e T é o circuncentro, a soma dos ângulos BHC, BIC e BTC é 330°. Calcular, em graus, o valor do ângulo BAC. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
