[obm-l] RE: [obm-l] Questão de probabilidade(dúvida sobre gabarito)
Certamente o primeiro homem pode sentar em 8 lugares. Mas o segundo só tem 3, e o terceiro 2, e o quarto 1. Faça a figura. e 4! para as mulheress, o que dá 0,0285714..., e a resposta é letra A. Antonio Olavo da Silva Neto From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Questão de probabilidade(dúvida sobre gabarito) Date: Sun, 25 Sep 2011 05:14:44 + Um grupo de pessoas,composto por 4 homens e 4 mulheres,compra 8 cadeiras consecutivas na mesma fila de um teatro.Se eles se sentarem aleatóriamente,nessas cadeiras,a probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras alternadas é aproximadamente: a) 2,86% b) 5,71% c) 1,43%d) 11,42% O primeiro homem pode sentar em 8 lugares.O segundo pode sentar em 6 lugares.O terceiro,em 4 lugares e o quarto,em 2 lugares.Como sobram 4 lugares,é só permutar as 4 mulheres.Então o número de possibilidades de que homens e mulheres sentem em cadeiras alternadas é 8x6x4x2x4x3x2x1.Dividindo esse número por 8!(que é o total de possibilidades) temos 5/35 = 0,2285. O que me intriga é que esse resultado é o dobro dos 11,42% do item d Alguem poderia esclarecer?
[obm-l] Divisibilidade por 13
Senhores, permitam meter a colher torta. Com a mesma notação do texto, um outro possível critério é: n = 10x + a é divisível por 13 se, e somente se, x + 4a o for. Note que vc multiplica o algarismo final por -9, e eu por 4. Ahá!!! 4-(-9) = 13. Experimente também x + 17a, etc... Há um livrinho russo, da Editora Mir, o exemplar que tenho está em espanhol, chamado "Criterios de divisibilidad", acho que é do Vorobiov, mas não estou em casa agora. Divirta-se, abraços, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto Date: Fri, 17 Dec 2010 11:54:57 -0200 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade por 13 Oi, Felipe, Você vai gostar de http://www.egge.net/~savory/maths1.htm Seu caso é equivalente ao que o texto menciona. Procure perceber isto. Abraços, Nehab Em 16/12/2010 23:55, Felipe Diniz escreveu: n = 10x+a, a entre 0 e 9. x-9a = 0 mod13 entao x=9a mod13 n= 10x+a = 91a = 13*7a = 0 mod 13 2010/12/16 marcone augusto araújo borges Dado um número,8281,por exemplo.Fazendo 828 - 9*1=819 e repetindo o procedimento:81 - 9*9=0 zero é divisível por 13,logo8281 também é. Para 867:86 - 9*7=23. 23 não é divisível por 13,logo 867 também não é. Como provar que a regra é verdadeira?
[obm-l] Dízima periódica
Jovem, comecemos pela base 10. Uma fracao, na base 10, gera uma dízima simples se o seu denominador for primo com dez, ou seja, se nao contiver fatores primos nem 2 nem 5. Se contiver fatores 2 e/ou 5 e mais algum primo, gera uma dizima composta, eh o caso do seu exemplo. E se so contiver fatores 2 e/ou 5, teremos um decimal finito. Desculpe nao mandar a bibliografia, estou na casa do meu filho, sem acesso a minha bisbilhoteca. Se nao me engano, o livro de analise do Djairo Figueiredo tem a prova disso. Analogamente, a sua fracao eh 17/6, cujos fatores primos sao 2 e 3. Logo, teremos uma dizima simples se a base nao contiver fatores 2 e 3, ou seja, 5 e 7. Uma composta se contiver fator 2 e/ou 3 e mais algum outro primo, o que quer dizer ninguem menor que 10. Espero haver contribuido. Saudacoes periodicas de mim, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto Date: Mon, 18 Oct 2010 14:58:09 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Dízima periódica From: aadornell...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 6? 2010/10/18 Pedro Chaves A fração, na base dez, 17/6 não gera uma dízima periódica se mudarmos para que base de numeração menor do que dez?
[obm-l] Nosso calendario
Desculpem meter a colher torta em uma questao ja resolvida. Eh uma linda questao, e eu sempre comecava o meu curso de combinatoria com ela, para alunos do segundo ano do ensino medio. Como eles nao sao familiarizados com congruencias, eu utilizava a solucao do Niven - Ivan Niven, Mathematics of Choice, MAA (Mathematics Association of America, a minha edicao eh da decada de 70, deve haver uma mais recente). Eh linda, na verdade eh a mesma de voces, mas ele consegue evitar falar de congruencias com rara elegancia. Agora, que o cachorro morto ja foi devidamente espancado, so resta deixar osculos e amplexos de mim, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto Date: Sun, 29 Aug 2010 10:32:59 -0300 Subject: Re: [obm-l] FW: Nosso calendario From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sim, apesar de ser imediato. Pois fevereiro ganha 1 dia.. logo, basta somar 1 nos devidos locais e ver que ainda temos todos os resíduos módulo 7. abraços, Salhab 2010/8/29 Hugo Fernando Marques Fernandes Não faltou considerar os anos bissextos? Abraços. Hugo. Em 29 de agosto de 2010 00:26, marcone augusto araújo borges escreveu: Obrigado,abraços. Date: Sat, 28 Aug 2010 23:41:47 -0300 Subject: Re: [obm-l] FW: Nosso calendario From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Vamos ver a qtde de dias de cada mês, em ordem: 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31 Analisando isso módulo 7, visto que são 7 dias da semana, temos: 28 == 0 (mod 7) 30 == 2 (mod 7) 31 == 3 (mod 7) Desta maneira, temos: 3, 0, 3, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 2, 3 Supondo que o primeiro dia 13 esteja em k, temos: k, k+3, k+3, k+6, k+8, k+11, k+13, k+16, k+19, k+21, k+24, k+26 Analisando mod 7, temos: k, k+3, k+3, k+6, k+1, k+4, k+6, k+2, k+5, k, k+3, k+5 Veja que temos todos os inteiros mod 7 somando com k. Desta maneira, sempre há uma sexta feira 13. abraços, Salhab 2010/8/28 marcone augusto araújo borges From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Nosso calendario Date: Sun, 29 Aug 2010 02:12:05 + Mostre q em qualquer ano existe pelo menos uma sexta-feira 13.Eu acho q consegui resolver,mas gostaria de ver outra solução. Fiz assim:se o dia 13 de janeiro é um domingo,entao o dia 13 de setembro é uma sexta pois,contando apenas o numero de dias q passam de 28 em cada mes,a partir de janeiro(até agosto),encontramos 19 dias(um multiplo de 7 mais 5),dai,conside- rando o domingo como dia 1,temos 1+5=6(sexta).Usei o mesmo raciocinio para o caso do dia 13 de janeiro ser segunda,terça,quarta,quinta ou sabado e encontrei para cada caso uma sexta feira 13 no mesmo ano.
[obm-l] CONVITE
CONVITE Oi, tudo bem? Estou lhe mandando o convite, e todos os detalhes (endereço, horário e etc...) estão no anexo. 1º Obs: Favor imprimir o convite anexado a esse E-Mail, pois é indispensável a apresentação do mesmo. 2º Obs: Convite com direito a acompanhante. 3º Obs: Só sera permitida a entrada com o convite em mãos. 4º Obs: Não deixar de ir... Abraços! 1 anexo Convite.doc (0,7 KB) Visualizar , Baixar ou Imprimir _ Keep your friends updated—even when you’re not signed in. http://www.microsoft.com/middleeast/windows/windowslive/see-it-in-action/social-network-basics.aspx?ocid=PID23461::T:WLMTAGL:ON:WL:en-xm:SI_SB_5:092010
[obm-l] CONVITE
CONVITE Oi, tudo bem? Estou lhe mandando o convite, e todos os detalhes (endereço, horário e etc...) estão no anexo. 1º Obs: Favor imprimir o convite anexado a esse E-Mail, pois é indispensável a apresentação do mesmo. 2º Obs: Convite com direito a acompanhante. 3º Obs: Só sera permitida a entrada com o convite em mãos. 4º Obs: Não deixar de ir... Abraços! 1 anexo Convite.doc (0,7 KB) Visualizar , Baixar ou Imprimir _ Windows Live: Make it easier for your friends to see what you’re up to on Facebook. http://www.microsoft.com/middleeast/windows/windowslive/see-it-in-action/social-network-basics.aspx?ocid=PID23461::T:WLMTAGL:ON:WL:en-xm:SI_SB_2:092009
[obm-l] CONVITE
CONVITE Oi, tudo bem? Estou lhe mandando o convite, e todos os detalhes (endereço, horário e etc...) estão no anexo. 1º Obs: Favor imprimir o convite anexado a esse E-Mail, pois é indispensável a apresentação do mesmo. 2º Obs: Convite com direito a acompanhante. 3º Obs: Só sera permitida a entrada com o convite em mãos. 4º Obs: Não deixar de ir... Abraços! 1 anexo Convite.doc (0,7 KB) Visualizar , Baixar ou Imprimir _ Windows Live: Friends get your Flickr, Yelp, and Digg updates when they e-mail you. http://www.microsoft.com/middleeast/windows/windowslive/see-it-in-action/social-network-basics.aspx?ocid=PID23461::T:WLMTAGL:ON:WL:en-xm:SI_SB_3:092010
[obm-l] CONVITE
CONVITE Oi, tudo bem? Estou lhe mandando o convite, e todos os detalhes (endereço, horário e etc...) estão no anexo. 1º Obs: Favor imprimir o convite anexado a esse E-Mail, pois é indispensável a apresentação do mesmo. 2º Obs: Convite com direito a acompanhante. 3º Obs: Só sera permitida a entrada com o convite em mãos. 4º Obs: Não deixar de ir... Abraços! 1 anexo Convite.doc (0,7 KB) Visualizar , Baixar ou Imprimir _ Windows Live: Make it easier for your friends to see what you’re up to on Facebook. http://www.microsoft.com/middleeast/windows/windowslive/see-it-in-action/social-network-basics.aspx?ocid=PID23461::T:WLMTAGL:ON:WL:en-xm:SI_SB_2:092009
[obm-l] CONVITE
CONVITE Oi, tudo bem? Estou lhe mandando o convite, e todos os detalhes (endereço, horário e etc...) estão no anexo. 1º Obs: Favor imprimir o convite anexado a esse E-Mail, pois é indispensável a apresentação do mesmo. 2º Obs: Convite com direito a acompanhante. 3º Obs: Só sera permitida a entrada com o convite em mãos. 4º Obs: Não deixar de ir... Abraços! 1 anexo Convite.doc (0,7 KB) Visualizar , Baixar ou Imprimir _ Windows Live: Make it easier for your friends to see what you’re up to on Facebook. http://www.microsoft.com/middleeast/windows/windowslive/see-it-in-action/social-network-basics.aspx?ocid=PID23461::T:WLMTAGL:ON:WL:en-xm:SI_SB_2:092009
[obm-l] Combinatória
Amigo Wagner, receio que a solucao nao esteja totalmente correta, havendo contagem dupla. A questao pede dois conjuntos, não os havendo sequer nomeado (nada de dois conjuntos A e B, por exemplo). Eu sugeriria C(8, 4) = 70, pelo seguinte raciocinio: vamos colocar o 1 em um deles e o 8 no outro. Selecione 4 entre os 8 restantes e os coloque no que contem o 1. O outro conjunto se completa automaticamente. Desculpe se fui meio conciso demais. Uma boa ideia para explicar aos alunos eh reduzir a um caso mais simples, com os numeros de 1 a 6, em dois conjuntos de tres, estando o 1 e o 2 em conjuntos separados. Sai "no tapa" rapidinho, e eles enxergam a duplicacao do outro raciocinio. Espero ter ajudado, amplexos de mim, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto Date: Mon, 22 Dec 2008 13:32:54 -0200 From: wtade...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Combinatória de Natal Amigos, "Separam-se os números imteiros de 1 a 10 em dois conjuntos de 5 elementos, de modo que 1 e 8 não fiquem no mesmo conjunto. de quantas maneiras isso pode ser feito?" Pensei assim: a) Fixando o 1 no 1º grupo teria C(8,4) formas de escolher os 4 restantes sem contar com o 8. Esse resultado multiplicado por C(4,4) formas de montar o outro grupo com o 8. b) Como o 1 poderia estar no 2º grupo, o reusltado final seria: 2xC(8,4)xC(4,4)=2 x 70 x 1 = 140. Pensei certo? Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira _ Show them the way! Add maps and directions to your party invites. http://www.microsoft.com/windows/windowslive/products/events.aspx
RE: [obm-l] Contagem
Oi, receio que haja alguns pequenos enganos. No caso PPP, tudo bem, mas o outro caso nao eh PPI, mas PII, o que nao acarretaria problemas de contas se tivesse sido resolvido corretamente. Ele se divide em tres casos, PII, PIP e IPP, logo o seu 50 eh na verdade 50*3 = 150. Acho que agora estah tudo certinho. Amplexos, olavo Antonio Olavo da Silva Neto Date: Fri, 21 Nov 2008 20:22:26 -0200From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Contagem O problema abaixo foi trazido por um aluno. Eis a solução encontrada pela turma: "O número de possibilidades de escolha de 3 números naturais distintos de 1 a 10, de modo que sua soma seja sempre par, é:" 120 220 150 290 160 SOLUÇÃO. Supõe-se que são cartões com os números onde: Pares: 2, 4, 6, 8 e 10 Ímpares: 1, 3, 5, 7, 9 Para que a escolha dos três números dê soma par, deve-se ter: P P P ou I P P a) P P P temos: C(5,3) = 10 b) I P P temos: C(5,1) x C(5,2) = 5 x 10 = 50 Total de 10 + 50 = 60 possibilidades. Ficaram felizes, mas a resposta apontava 160. Não consegui mostrar o erro a eles. Alguém poderia dar uma ajuda? Grato.Walter Tadeu Nogueira da Silveira _ News, entertainment and everything you care about at Live.com. Get it now! http://www.live.com/getstarted.aspx
RE: [obm-l] Menor ângulo
Oi, acredito em duendes e errinhos de digitacao. Nao seria sqrt(2) = 1,414? Ai os lados medem 1000sqrt(2) e 1000sqrt(3). Ve se ajuda. Amplexos, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Menor ânguloDate: Wed, 5 Nov 2008 14:39:54 + Uma ajudinha por favor: 1) Três estradas retilíneas devem conectar os pontos A, B e C. Sabe-se que a distância entre A e B é igual a 1414m, que o ângulo ACB deve ser reto e que o comprimento total do percurso ACB deve ser de 1732m. Nestas condições, considerando sqrt[2]=1,4114 e sqrt[3]=1,732, o menor ângulo BAC possível deve medir, graus, exatamente a) 15 b)10 c) 5 d) 20 e)30 Observação: Sqrt[n] - raiz quadrada de n Notícias direto do New York Times, gols do Lance, videocassetadas e muitos outros vídeos no MSN Videos! Confira já! _ Discover the new Windows Vista http://search.msn.com/results.aspx?q=windows+vista&mkt=en-US&form=QBRE
RE: [obm-l] Combinatoria e Prob
Oi, Thais, o numero procurado no seu segundo problema eh o de permutacoes caoticas (derangements) de n objetos. Alem das referencias classicas da internet, estah no livro do Morgado, publicado pelo IMPA, no Mathematics of Choice, do Niven, publicado pela MAA, e, para os dinossauros como eu, no livro Preludio aa Analise Combinatoria, Ed. Nacional, esgotado, mas quem sabe uma vasculhada em sebos e bisbilhotecas...Amplexos de mim, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto _ Discover the new Windows Vista http://search.msn.com/results.aspx?q=windows+vista&mkt=en-US&form=QBRE
[obm-l] Probabilidade - Caixa sem Troco
Oi, Luiz, isto eh o chamado Principio da Reflexao, e eh facil encontra-lo no livo do Morgado de Combinatoria, editado pelo IMPA. Nao olhei, mas certamente estarah no Wolfram. Amplexos, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto Date: Tue, 21 Oct 2008 09:33:36 -0700From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Probabilidade - Caixa sem Troco To: obm-l@mat.puc-rio.br Uma determinada atração custa R$ 5. Temos 2n pessoas em fila, sendo que n possuem uma nota de R$ 5 e as outras n possuem uma nota de R$ 10. Qual a probabilidade desta fila dar problema ? (ou seja, o caixa ficar sem troco em um dado momento) Abs Felipe. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. _ Connect to the next generation of MSN Messenger http://imagine-msn.com/messenger/launch80/default.aspx?locale=en-us&source=wlmailtagline
RE: [obm-l] Mais uma de análise combinatória
Antonio Olavo da Silva Neto Peço notar que hah consoantes e vogais repetidas, e isto deve ser levado em vonta. Nem sempre eh fazer um caso e multiplicar por dois. E com ASSOMBRACAO, desprezando cedilha e til? Date: Mon, 6 Oct 2008 15:17:55 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Mais uma de análise combinatória Pensa que os anagramas terão que ter consoantes e vogais alternadas. Como o número de consoantes é igual ao número de vogais, então pode-se começar com consoante ou vogal.É só fazer um dos casos e multiplicar por 2. 2008/10/6 Marcelo Costa <[EMAIL PROTECTED]> Peço perdão, pois enviei a questão incompleta, faltou o que está me gerando as dúvidas.Quantos são os anagramas da palavra ENGENHARIA os quais não possuem vogais juntas. _ Connect to the next generation of MSN Messenger http://imagine-msn.com/messenger/launch80/default.aspx?locale=en-us&source=wlmailtagline
[obm-l] Uma ajuda
Ve se ajuda: coloque primeiro as consoantes, o que pode ser feito de 5.4 = 20 modos. Para as vogais, já que são diferentes, soh hah um modo, e a resposta eh 20. A ideia eh que se algo deve ser colocado em ordem (crescente, alfabetica, etc,...) coloque primeiro os outros elementos. Amplexos, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto Date: Tue, 7 Oct 2008 14:24:24 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Uma ajuda Amigos,Quantos anagramas da palavra ALUNO mantém as vogais e ordem alfabética? Vejam se concordam para explicar aos alunos. i) "A" pode ocupar a 1ª, 2ª ou 3ª casa somente. ii) "O" pode ocupar 2ª, 3ª ou 4ª casa. iii) "U" pode ocupar 3ª, 4ª ou 5ª. A resposta é 20. Mas queria construir uma solução mais clara. Alguma idéia? Abraços-- Walter _ News, entertainment and everything you care about at Live.com. Get it now! http://www.live.com/getstarted.aspx
[obm-l] ...fórmula da mediana????
Caro Nehab, não quis chamar ninguem de velho, apenas observei que o exercicio podia ser resolvido usando coisinhas mais simples. Ateh porque em questao de idade nao posso ser muito exigente. Desculpe se houve alguma ofensa, embora nao seja do Rio, jah o conhecia desde Salvador, de onde vim, pra ver se aprendia Matematica. Ainda nao consegui ateh hoje, mas a minha admiracao por voce continua a mesma. Abracos respeitosos de mim, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto Date: Fri, 3 Oct 2008 17:07:23 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]; [EMAIL PROTECTED]: [Fwd: [obm-l] geometria...fórmula da mediana] Não quero fofocar não, mas tão chamando neguinho de meia idade de velho... Mas qual a culpa dos referidos hoje "senhores" se nos livros em que eles estudaram, além de zilhões de exercícios ótimos para resolver, adoravam dar nomes óbvios às formuletas? Alguém por ai, com menos de 20 anos sabe, AGORA, sem colar e de cor, formuletas para cálculo das bissetrizes internas e externas de um triângulo? Duvi-dê-ó-dó... Oh, o vestiba tá rolando. E como calcular o volume de um barril de chopp? Então, Olavo, tome de fórmuleta da mediana procê...Nehab :-P Mensagem original Assunto: [obm-l] geometria...fórmula da mediana Data: Fri, 3 Oct 2008 18:49:02 +0000 De: Antonio Neto <[EMAIL PROTECTED]> Responder a: obm-l@mat.puc-rio.br Para: Referências: <[EMAIL PROTECTED]> Oi, acontece que as unicas pessoas que sabem essas formulas sao o Wagner e o Paulo Cesar. Por acaso sei deduzi-las, mas vamos mais devagar. Seja G o baricentro. Ponha GE = x e BC = 2x. Do mesmo modo, GD = y e GB = 2y. Use Pitagoras nos triangulos BEG e GCD, some tudo e seja o que Deus quiser. Se nao der certo, mas vai dar, eh soh escrever. Amplexos, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto Seja ABC um triângulo de lados BC, CA, AB cujas medidas sãorespectivamente iguais a a, b, c. Se D e E são os pontos médios de AC e ABrespectivamente, mostre que a mediana BD é perpendicular a CE se, e somentese, b² + c² = 5a² É suficente usar a fórmula que fornece a mediana? Grato Explore the seven wonders of the world Learn more! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ News, entertainment and everything you care about at Live.com. Get it now! http://www.live.com/getstarted.aspx
[obm-l] geometria...fórmula da mediana????
Oi, acontece que as unicas pessoas que sabem essas formulas sao o Wagner e o Paulo Cesar. Por acaso sei deduzi-las, mas vamos mais devagar. Seja G o baricentro. Ponha GE = x e BC = 2x. Do mesmo modo, GD = y e GB = 2y. Use Pitagoras nos triangulos BEG e GCD, some tudo e seja o que Deus quiser. Se nao der certo, mas vai dar, eh soh escrever. Amplexos, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto Seja ABC um triângulo de lados BC, CA, AB cujas medidas sãorespectivamente iguais a a, b, c. Se D e E são os pontos médios de AC e ABrespectivamente, mostre que a mediana BD é perpendicular a CE se, e somentese, b² + c² = 5a² É suficente usar a fórmula que fornece a mediana? Grato _ Explore the seven wonders of the world http://search.msn.com/results.aspx?q=7+wonders+world&mkt=en-US&form=QBRE
[obm-l] combinatoria chico nery 69
Quantos são os números de 5 algarismos que têm três de seus algarismos iguais e os outros algarismos diferentes entre si e diferente dos três algarismos iguais? Bem, acho que é o seguinte: divida em casos.a) Os repetidos são iguais a zero, e, pelas condições, os outros não.Teremos uma possibilidade para escolher quem se repete, Bin(4, 3) para arrumá-los, pois o zero não pode começar, 9 escolhas para um dos lugares vagos e 8 para o outro. Multiplicando, são 288 casos. b) Os repetidos são diferentes de zero e um dos outros é igual a zero. Teremos 4 escolhas para colocar o zero, 9 escolhas para os repetidos, Bin(4, 3) para colocá-los e 8 escolhas para o último, pois só falta preencher uma vaga. c) Nenhum dos algarismos é zero, o paraíso! Temos 9 modos de escolher o repetido, Bin(5, 3) para colocá-lo, 8 modos de preencher um dos doi vagos e 7 modos de preencher o último, num total de 5040. Somando tudo, achei 6480. Para conferir, refiz, usando o método ao qual me refiro para os alunos do ensino médio como "total menos o que não presta", ou seja, ignorei a restrição de que o número não deve começar por zero e subtraí os inociados por zero. Como achei o mesmo resultado, ou está certo ou errei duas vezes. [], olavo. Antonio Olavo da Silva Neto _ News, entertainment and everything you care about at Live.com. Get it now! http://www.live.com/getstarted.aspx
[obm-l] combinatoria chico nery 69
Quantos são os números de 5 algarismos que têm três de seus algarismos iguais e os outros algarismos diferentes entre si e diferente dos três algarismos iguais? Bem, acho que é o seguinte: divida em casos.a) Os repetidos são iguais a zero, e, pelas condições, os outros não.Teremos uma possibilidade para escolher quem se repete, Bin(4, 3) para arrumá-los, pois o zero não pode começar, 9 escolhas para um dos lugares vagos e 8 para o outro. Multiplicando, são 288 casos. b) Os repetidos são diferentes de zero e um dos outros é igual a zero. Teremos 4 escolhas para colocar o zero, 9 escolhas para os repetidos, Bin(4, 3) para colocá-los e 8 escolhas para o último, pois só falta preencher uma vaga. c) Nenhum dos algarismos é zero, o paraíso! Temos 9 modos de escolher o repetido, Bin(5, 3) para colocá-lo, 8 modos de preencher um dos doi vagos e 7 modos de preencher o último, num total de 5040. Somando tudo, achei 6480. Para conferir, refiz, usando o método ao qual me refiro para os alunos do ensino médio como "total menos o que não presta", ou seja, ignorei a restrição de que o número não deve começar por zero e subtraí os inociados por zero. Como achei o mesmo resultado, ou está certo ou errei duas vezes. [], olavo. Antonio Olavo da Silva Neto _ Invite your mail contacts to join your friends list with Windows Live Spaces. It's easy! http://spaces.live.com/spacesapi.aspx?wx_action=create&wx_url=/friends.aspx&mkt=en-us
[obm-l] Ronaldinho canta.
olha esse video Ronaldinho canta – Pense em mim. hehe _ News, entertainment and everything you care about at Live.com. Get it now! http://www.live.com/getstarted.aspx
[obm-l] Eu recebi.
Eu recebi, desculpe a demora na resposta, andei hospitalizado. Abracos, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto> Date: Fri, 9 Nov 2007 00:38:35 -0200> From: [EMAIL PROTECTED]> To: obm-l@mat.puc-rio.br> Subject: [obm-l] Off topic...> > Desculpem a insistência com os testes,> > Colegas tem recebido minhas mensagens, mas eu . não !!! Por isto > mais um teste para eu tentar descobrir o mistério...> > Nehab> => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> = _ Connect to the next generation of MSN Messenger http://imagine-msn.com/messenger/launch80/default.aspx?locale=en-us&source=wlmailtagline
[obm-l] An�lise Combinat�ria
Bem, como ninguém respondeu, aà vai: o que você quer é saber o número de soluções da equação x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 12, onde cada x_i é um inteiro não negativo. A resposta é Bin(15, 3) = 455, se não errei nada. A sugestão clássica é consultar o livro do Morgado, editado pelo IMPA. Para os mais velhinhos, como eu e alguns outros (não vou citar para não melindrá-los), o Prelúdio à Análise Combinatória, do Arago, Poppe e Raimundo. Abraços, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto From: Gustavo Souza <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] Análise CombinatóriaDate: Sun, 21 Oct 2007 01:32:12 -0300 (ART) Estava tentando fazer esse exercicio de uma apostila e encontrei uma enorme dificuldade, se alguem pudesse me ajudar dando alguma explicação, lá vai: (IBMEC) Um empresário precisa comprar um total de 12 automóveis para sua empresa. Os modelos selecionados foram: Honda Civic, Astra, Toyota Corolla e Santana. Sabendo-se que podem ser comprados de zero a 12 veÃculos de cada marca, de quantas maneiras o empresário poderá adquirir os 12 automóveis? Obrigado. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] N�mero de divisores
Voce multiplica por 2 se quiser incluir os divisores negativos, que sao os simetricos dos positivos. Abracos, olavo Antonio Olavo da Silva Neto From: "Henrique Rennó" <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: Re: [obm-l] Número de divisoresDate: Fri, 28 Sep 2007 20:21:54 -0300>On 9/28/07, Antonio Neto <[EMAIL PROTECTED]> wrote:> > Certamente existe. Voce deve fatorar o numero, somar uma unidade a cada> > expoente obtido e multiplicar esses numeros. Pensem no motivo de somar uma> > unidade a cada. Isso dah o numero de divisores positivos, para o total> > multiplique por 2. Abracos, olavo.>>O motivo de adicionar a unidade é porque o expoente pode ser 0. Mas>não entendi por que multiplicar por 2?>>-->Henrique>>=>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>=MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] N�mero de divisores
Certamente existe. Voce deve fatorar o numero, somar uma unidade a cada expoente obtido e multiplicar esses numeros. Pensem no motivo de somar uma unidade a cada. Isso dah o numero de divisores positivos, para o total multiplique por 2. Abracos, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto From: ralonso <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: Re: [obm-l] Número de divisoresDate: Thu, 27 Sep 2007 14:20:15 -0300Deve ser algo que envolva combinatória de primos da fatoração do número ou soma de números obtidos por análise combinatória. Pense por exemplo no número fatorado: 2^3 * 5 * 7^2 As combinações (divisores) são: 2 2^2 2^3 5 7 7^2 2*5 2^2 * 5 ... Não sei se existe uma fórmula fechada, mas creio que deva existir. Abraço. Ronaldo. [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi gente! Entrei na lista recentemente e queria saber, Existe alguma fórmula para calcular o número de divisores de um número? De 2004, por exemplo.. Agradeço desde já. Abraços. MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Contagem - fun�
Oi de novo, Bruna, veja que se trata de escolher as imagens dos elementos do dominio, receio que a minha didatica esteja falhando, para cada elemento voce tem n escolhas, pois cada elemento de B pode ser imagem, o que vai dar m.m.m...m, ou seja, m elevado a n. Qualquer coisa, escreva. Abracos, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto From: "Bruna Carvalho" <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: Re: [obm-l] Contagem - funçãoDate: Wed, 26 Sep 2007 16:47:46 -0300Olá meninos.Então, só não fico claro pra mim pq aplicar o PrincÃpio Multiplicativo.obrigada pela atenção.bjosMSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Contagem - fun�
Oi, Bruna, Uma funcao consiste em atribuir uma unica imagem para cada elemento do dominio. Estou supondo que voce estah familiarizada com o principio de multiplicacao. Entao, para o primeiro elemento do dominio, temos n escolhas, os n elementos do conjunto B. o mesmo para o segundo, terceiro, e assim por diante, ateh o ultimo, o que dah m elevado a n. Se ainda nao estiver claro, escreva de novo, sou um menino da geracao do Nehab. Abracos, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto From: "Bruna Carvalho" <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: Re: [obm-l] Contagem - funçãoDate: Wed, 26 Sep 2007 11:31:53 -0300Olá Antonio Neto, eu agradeceria por mais informações sobre esse assunto. MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Contagem - fun�
n elevado a m. A ideia eh que para cada elemento de A hah n escolhas para a imagem, logo voce tem n.n. ... n escolhas. Se quiser mais informacoes, escreve. Abraco, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto From: "Bruna Carvalho" <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] Contagem - funçãoDate: Tue, 25 Sep 2007 14:45:21 -0300A e B são conjuntos tais que #A=m e #B=n. Quantas funções de A em B existem?-- Bjos, Bruna MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fun��o
Acredito que 6, afinal as funções são CRESCENTES, e não NÃO DECRESCENTES. Abraços, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto From: "Bruna Carvalho" <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: Re: [obm-l] FunçãoDate: Mon, 24 Sep 2007 17:30:17 -0300olá meninos.agora tenho uma dúvida, são 10 ou 6 possibilidades de funcoes crescentes ?eu não tenho gabarito.bjos meninos. MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 17 professores
Lema: Vamos comecar com seis professores que se correspondem sobre dois assuntos, Fisica e Matematica. Provaremos que entre eles hah 3 que se correspondem sobre o mesmo assunto. Representando os professores por pontos, Matematica por azul e Fisica por vermelho, ligaremos dois ponto em azul quando os dois professores associados a esses pontos se correspondem sobre Matematica, e o mesmo para Fisica, em vermelho. O que queremos provar eh que existe um triangulo cromatico (isto eh, com os tres lados da mesma cor). Considere o professor A. No grafico, saem dele 5 segmentos. Logo, como soh hah duas cores, no minimo 3 sao da mesma cor, digamos vermelho. Se algum dos segmentos ligando esses tres pontos eh vermelho, a afirmativa estah demonstrada. Caso contrario, todos sao azuis, e provamos a afirmativa. Agora vamos ao famigerado caso dos 17. Como anteriormente, seja Matemativa azul e Fisica vermelho. Introduzimos Quimica preto. Considere o professor A. No diagrama saem dele 16 segmentos, vermelhos azuis ou pretos. Como soh hah 3 cores, pelo menos 6 devem ter a mesma cor, digamos preto. Se algum dos segmentos ligando esses 6 pontos for preto, provamos o famigerado. Caso contrario, serao todos azuis ou vermelhos, e caimos no lema acima. Perguntinha: Qual o numero minimo de professores, correspondendo-se sobre quatro assuntos, para formar um triangulo cromatico? Abracos, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto From: Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] 17 professoresDate: Mon, 17 Sep 2007 15:28:13 -0300 (ART)Ola' pessoal,numa escola, ha' um grupo de 17 professores que se correspondem de tal forma que quaisquer 2 professores deste grupo trocam ideias sobre exatamente um assunto fixo entre matematica, fisica ou quimica.Prove que ha' pelo menos 3 professores que se correspondem sobre o mesmo assunto (isto e', a correspondencia entre A e B, B e C, assim como entre A e C sao sobre o mesmo assunto).[]'sRogerio PoncePS: nao confundir com "prove que ha' 3 professores que enviam alguma correspondencia sobre um mesmo assunto", que se resolve trivialmente com o "principipo da casa de pombos" (e ja' seria verdadeira para um grupo de 5 professores). Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais. MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ESTUDANTE
Receio que nao seja bem assim. Se no primeiro grupo ele escolhe, por exemplo, Analise e Topologia, eh o mesmo que escolher Topologia e Analise, isto eh, o numero de escolhas eh Bin(4, 2) = 6, e o total eh 6x6 = 36. Abracos, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto From: "Marcelo Salhab Brogliato" <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: Re: [obm-l] ESTUDANTEDate: Wed, 12 Sep 2007 16:42:14 -0300>Olá Arkon,>>ele pode escolher as 2 do 1o. grupo de 4*3 = 12 maneiras diferentes..>o mesmo vale para o segundo grupo..>assim, ele pode escolher em 12*12 = 144 maneiras diferentes>>abraços,>Salhab>>>On 9/12/07, arkon <[EMAIL PROTECTED]> wrote:> >> >> >> > Alguém pode, por favor, resolver esta:> >> >> >> > (UFPB-85) Um estudante, ao ingressar numa escola, deve cursar 4 disciplinas> > de sua escolha, sendo 2 delas num dado grupo de 4 disciplinas e as outras 2> > noutro grupo de 4 disciplinas. De quantas maneiras ele pode fazer a sua> > opção?> >> >> >> > DESDE JÁ MUITO OBRIGADO>>=>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>=MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] UFPB-77
Eh verdade, esta eh a equacao do eixo radical das duas circunferencias, a reta cujos pontos tem a mesma potencia em relacao aos dois circulos. Inclusive os raios nao precisam ser iguais, basta "tirar os parenteses" e subtrair as duas equacoes. Abracos, olavo.
Antonio Olavo da Silva Neto
From: Anselmo Alves de Sousa <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: Subject: RE: [obm-l] UFPB-77Date: Thu, 6 Sep 2007 20:08:47 +0300
Considere o círculo com centro em (a,b). Temos (x-a)^2+(x-b)^2=R^2 tomemos outro círculo com centro em (c,d). Sua equação serah (x-c)^2+(y-d)^2=R^2 Tomando a igualdade, teremos: (x-a)^2+(x-b)^2=(x-c)^2+(y-d)^2 daí [(x-a)^2-(x-c)^2]+[(y-b)^2-(y-d)^2]=0 [(x-a)-(x-c)][(x-a)+(x-c)]+[(y-b)-(y-d)][(y-b)+(y-d)]=0 [(-a-c)][(2x-a-c)]+[(-b-d)][(2y-b-d)]=0 que nos dah (2y-b-d)= - [(-a-c)][(2x-a-c)]2y=- {[(-a-c)][(2x-a-c)]/(-b-d)}+b+d que eh a equação de uma reta. "O muito estudar eh enfado para a carne" (Rei Salomão)
Date: Thu, 6 Sep 2007 13:27:02 -0300Subject: [obm-l] UFPB-77From: [EMAIL PROTECTED]To: obm-l@mat.puc-rio.br
Pessoal alguém, por favor, pode responder esta
(UFPB-77) A união de todos os círculos de raio R, num mesmo plano, passando por um ponto fixo é:
a) um ponto. b) duas retas. c) uma reta. d) um círculo. e) o plano. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
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[obm-l] TELEFONE.1
Receio que não seja bem isso, o prexo foi esquecido (ou, na pressa, nao lido). Para o prefixo, soh hah uma possibilidade. Para os dois ultimos soh 3 possibilidades, pois (3, 6) nao pode ser utilizado, o 6 jah estah no prefixo, e os algarismos sao distintos. Sobram dois espacos para preencher, e voce dispoe de 5 algarismos, logo sao 5x4 = 20 possibilidades. Se nao errei nada, sao 3x20 = 60 telefones. From: "saulo nilson" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] TELEFONE.1 Date: Tue, 4 Sep 2007 14:30:01 -0300 0123456789 sao os numeros que vc coloca no telefone, mas so 1,2 2,4 3,6 4,8 so os numeros possiveis para os ultimo e o penultimo entao temos numero de maneiras de preencher os ultimos 2 digitos, 4 depois disso sobram 8 numeros para preencher o restante, logo sao 4*8!/2!=8! On 9/3/07, arkon <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Olá pessoal, alguém pode resolver, por favor, esta > > Quantos números de telefones com prefixo 567 existem no Guará, com todos > os algarismos distintos e o último algarismo igual ao dobro do penúltimo? > Considere que os telefones têm números com 7 algarismos. > > DESDE JÁ MUITO OBRIGADO > _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um numero N com n algarismos....
Além do livro que citei, achei na minha pobre bisbilhoteca o "Mathematical Recreations", do Maurice Kraitchik, edição da Dover, primeira edição em 1953. Mas sugiro ir ao Google e digitar cyclic+number. há mais de dois milhões de páginas relativas ao tema, inclusive a Wikipedia e o site da Wolfram. Muita paciência e bom garimpo. Abraços, olavo. From: "vitoriogauss" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: "obm-l" Subject: Re: [obm-l] Um numero N com n algarismos Date: Wed, 1 Aug 2007 18:28:45 -0300 Onde posso encontrar mais sobre este assunto? Acho interessante essas propriedades dos inversos desses primos que vc > citou. > > Uma coisa que fico um tanto quanto intrigado também é o caso do período do > inverso do 13. Vc pode quebrar ao meio esse período. Pegando o número > "menor", se vc for multiplicando por 2, 3, 4, ..., assim como fez com o > período do 1/7, vc vai obtendo também permutações cíclicas de um dos dois > períodos, eles vão se alternando. > > Abraço > Bruno _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Um numero N com n algarismos....
Experimente também os inversos de 3, 11, 31, 37, 41, 43, 53, 67, 71, 73, 79, 83 e 89, para ficarmos nos menores que 100. A explicação é via congruência módulo p, onde p é o primo. Boas contas, abraço, olavo. From: "Bruno França dos Reis" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Um numero N com n algarismos Date: Wed, 1 Aug 2007 20:38:33 +0200 Acho interessante essas propriedades dos inversos desses primos que vc citou. Uma coisa que fico um tanto quanto intrigado também é o caso do período do inverso do 13. Vc pode quebrar ao meio esse período. Pegando o número "menor", se vc for multiplicando por 2, 3, 4, ..., assim como fez com o período do 1/7, vc vai obtendo também permutações cíclicas de um dos dois períodos, eles vão se alternando. Abraço Bruno 2007/8/1, Antonio Neto <[EMAIL PROTECTED]>: > > > Para n algarismos, a solução que me ocorre é a mesma de todos os que já > responderam. Mas se o n é dado, há soluções mais diretas, como esta, do > Colégio Naval, se não me falha a velhaca: >"Um número de seis algarismos começa à esquerda pelo algarismo 1. > Retirando o 1 inicial e colocando-o à direita do número, o novo número > obtido é o triplo do original." > Se chamarmos o número de 5 algarismos obtido pela supressão do 1 de x, é > só fazer 3(10 + x) = 10x + 1, e o número original é 142857, que aliás > é > o período de 1/7. Experimentem multiplicar 142857 por 2, 3, 4, 5, 6 e 7. > Depois por (oh, surpresa!!!) 8, 9, ... Números com esta propriedade são > chamados de números cíclicos. Os primeiros são os períodos dos inversos de > 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97. A minha fonte é o livro do Albert H. > Beiler, "Recreations in the Theory of Numbers", da Dover, mas deve haver > muito na internet, estou respondendo meio às pressas. Abraços, olavo. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Um numero N com n algarismos....
Olhem o período de 1/19. Abraços, olavo. From: "vitoriogauss" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: "obm-l" Subject: Re: [obm-l] Um numero N com n algarismos Date: Tue, 31 Jul 2007 20:02:44 -0300 um colega que me deu vou começar agora a pensar nela Oi, Vitorio, > > Semelhante a esta (acho que foi a original...) caiu na Olimpíada de > Maio de 2001: > A solução é "armar a conta e fazê-la, mesmo" > > "Sara escreveu no quadro negro um número inteiro de menos de 30 > algarismos e que termina em 2. Célia apaga o 2 do fim e escreve-o no > início. O número que fica é igual ao dobro do número que tinha > escrito Sara. Qual o número que Sara escreveu?" > > Solução > Do enunciado, temos: > ? g f e d c b a 2 > x 2 > 2 ... h g f e d c b a > > a = 4; colocando o 4 no lugar do a na parcela de cima e continuando > a multiplicação, obtemos, b = 8 (2 x 4); assim, continuando o mesmo > mecanismo, temos, sucessivamente, c = 6 (2 x 8 = 16, e vai um); d = > 3; e = 7; f = 4... > Continuando o processo até que ocorra o algarismo 2 pela primeira > vez, obtemos o número desejado: > 210.526.315.789.473.684 > > Observe que se não limitarmos o número de algarismos, haverá outras > soluções (é só continuar a "brincadeira"). > > Abraços, > Nehab > > PS: Onde você viu esta questão? > > > At 15:01 31/7/2007, you wrote: > >Ola' pessoal, > > > >Uma ajuda Considere um número N com n algarismos e na posição > >das unidades o número 2. Ao invertemos o 2, colocando-o na posição > >inicial, encontramos um novo número K, onde K=2N. Qual o valor de N? > > > >Pensei em congruencia...seria uma boa > > > > > >= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >= > Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Um numero N com n algarismos....
Para n algarismos, a solução que me ocorre é a mesma de todos os que já responderam. Mas se o n é dado, há soluções mais diretas, como esta, do Colégio Naval, se não me falha a velhaca: "Um número de seis algarismos começa à esquerda pelo algarismo 1. Retirando o 1 inicial e colocando-o à direita do número, o novo número obtido é o triplo do original." Se chamarmos o número de 5 algarismos obtido pela supressão do 1 de x, é só fazer 3(10 + x) = 10x + 1, e o número original é 142857, que aliás é o período de 1/7. Experimentem multiplicar 142857 por 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Depois por (oh, surpresa!!!) 8, 9, ... Números com esta propriedade são chamados de números cíclicos. Os primeiros são os períodos dos inversos de 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97. A minha fonte é o livro do Albert H. Beiler, "Recreations in the Theory of Numbers", da Dover, mas deve haver muito na internet, estou respondendo meio às pressas. Abraços, olavo. From: "vitoriogauss" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: "obm-l" Subject: [obm-l] Um numero N com n algarismos Date: Tue, 31 Jul 2007 15:01:58 -0300 Ola' pessoal, Uma ajuda Considere um número N com n algarismos e na posição das unidades o número 2. Ao invertemos o 2, colocando-o na posição inicial, encontramos um novo número K, onde K=2N. Qual o valor de N? Pensei em congruencia...seria uma boa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Mais um de an�lise
Receio que não seja isso. Suponha um grupo de 4 cientistas em frente ao armario. Pelo enunciado, eles não conseguirao abri-lo. Logo, existe pelo menos um cadeado do qual eles nao tem a chave. Se trocarmos esse grupo de 4 por qualquer outro, ocorrerá o mesmo. Assim, o número de cadeados será igual no mÃnimo ao número de grupos de 4 cientistas. Esse numero eh Bin(9, 4) = 126. Vejamos agora as chaves. Se houver um grupo de 4 cientistas em frente ao armario, o quinto que chegar deve ter a chave que eles nao tem. Assim, cada cientista deve ser capaz de abrir o cadeado que falta para qualquer grupo de 4 formado pelos outros 8. Este numero eh Bin(8, 4) = 70. Abracos, olavo. From: "Marcelo Salhab Brogliato" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Mais um de análise Date: Wed, 25 Jul 2007 22:57:55 -0300 Olá, apenas uma curiosidade.. podemos pensar em um polinomio de grau 5 e dizer que a chave é f(x0).. falamos um ponto (x, f(x)) para cada cientista.. qdo 5 ou mais estiverem presente é possÃvel abrir o cadeado.. pois atraves de interpolacao obtem-se f(x0).. alguem ve problemas nesse metodo? queremos que 4 nao abram o cadeado ao mesmo tempo.. isto é.. 4 juntos tem q faltar pelo menos 1 chave.. digamos que falte exatamente 1 chave.. entao os outro 5 tem que ter essa chave.. partindo dessa ideia, vamos supor que temos 5 copias das chaves de cada cadeado.. partindo da ideia de que cada cientista tem o mesmo numero de chaves, temos: 5n = 9k n = numero de cadeados k = numero de chaves com cada cientista hmm nao sei explicar como, mas tive a seguinte ideia.. pegue as 5 chaves do cadeado 1... de para os cientistas 1,2,3,4,5... agora pegue as 5 chaves do cadeado 2... de para os cientistas 2,3,4,5,6... faca o mesmo para os demais cadeados.. qdo chegar em 9, volte para 1.. matematicamente, vamos enumerar os cientistas de 0 à 8.. e os cadeados de 0 à n-1 as chaves do cadeado k serao dadas ao cientistas k, k+1, k+2, k+3, k+4... todos modulo 9.. vamos usar a seguinte notacao: cadeado k: cientistas com chave deste cadeado cadeado 0: 0, 1, 2, 3, 4 cadeado 1: 1, 2, 3, 4, 5 cadeado 2: 2, 3, 4, 5, 6 cadeado 3: 3, 4, 5, 6, 7 cadeado 4: 4, 5, 6, 7, 8 neste ponto, vemos que o cientista 4 tem 5 chaves.. logo, vamos deixar todos assim.. cadeado 5: 5, 6, 7, 8, 0 cadeado 6: 6, 7, 8, 0, 1 cadeado 7: 7, 8, 0, 1, 2 cadeado 8: 8, 0, 1, 2, 3 assim, com 9 cadeados.. 5 copias de cada chave.. conseguimos que apenas 5 consigam acessar o segredo.. mass... nao sei como provar que esse eh o numero minimo de cadeados.. usando minhas hipoteses, temos que: 5n = 9k ... n=9 e k=5 sao os menores inteiros que satisfazem a relacao.. mas parti de 2 hipoteses: mesmo numero de chave com cada cientista e qdo temos apenas 4 cientistas, falta apenas 1 chave... da pra generalizar minha ideia pra "c" cientistas e pra abrir com no minimo "m".. abracos, Salhab On 7/25/07, MauZ <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Olá > > esse gostaria que me ajudassem, parece mto interessante: > > Nove cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por questões de segurança, > os planos são guardados num cofre protegido por muitos cadeados de modo que > só é possÃvel abri-los todos se houver pelo menos 5 cientistas presentes. > a) Qual é o numero mÃnimo possÃvel de cadeados? > b) Na situação do item a, quantas chaves cada um deve ter? > > > Agradeço a quem fizer e da mesma forma a quem tentar, > > Maurizio > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] polin�mios
Amigos, sugiro uma olhada no livro "Curso de Algebra", do Sinezio de Farias. A edicao que tenho eh de 1959 (sou da turma do Nehab), e as definicoes sao meio diferentes do que aprendi. Ele admite monomios da forma (ax^n.y^m)/(bz^p.t^q), onde a e b são constantes e m, n, p e q sao numeros naturais. Quando me ensinaram, o que foi dito é que monomio eh ax^m.y^n.z^p, onde a eh constante e m, n e p inteiros positivos. A impressao que tenho eh que tudo eh convencao (por favor, nao aquela beberagem), nao vejo utilidade na definicao do Sinezio. Soh para ter ideia, ele chama inteiros relativos de "numeros qualificados". Eh bom lembrar que a primeira edicao eh de 1946. Outro exemplo: antigamente matrizes e determinantes tinham (quem lembra?) diagonal principal e diagonal secundaria. Hoje, qualquer um com uma leve camada de verniz de civilizacao nao usa mais essa bobeira, exceto muitos professores que todos nos conhecemos. Acho que eh por ahi. Abracos, olavo From: Antonio Giansante <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] polinômios Date: Mon, 16 Jul 2007 22:16:26 -0300 (ART) Pois então jones, mas mesmo qdo se fala em anel, só encontrei definições com coeficientes inteiros. O problema é que, em alguns casos, falamos de polinômios com qualquer grau real (como no bin. de Newton), entretanto, não se define o grau do polinômio nesses casos. Eu não encontrei nenhuma referência a esses casos, e não quero "criar" novas teorias só pra "fingir" que respondi aos meus alunos. Quero passar a informação correta. Em vista disso, podes me indicar alugma referência bibliográfica? obrigado. --- jones colombo <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Olha, não sei muito bem, mas esta é uma questão de > definição de > polinômio. Falamos que um elemento é um polinômio > quando é formado por > combinações linear de monomios, e os monomios > aparecem com coeficientes > inteiros positivos. Nada o impede de trabalhar com > outras variantes deste > objeto, mas então é costume falar que o objeto é um > anel com tais e tais > propriedades. Creio que esta é a convenção. > > Até. > Jones > > On 7/16/07, Antonio Giansante > <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > olá. Alguém chegou a alguma conclusão com relação > à > > minha pergunta? Qualquer "pista" já me ajuda. > Valeu. > > > > > > > > > > > > > > > Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. > > http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > = > > > Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] polin�mios
Amigos, sugiro uma olhada no livro "Curso de Algebra", do Sinezio de Farias. A edicao que tenho eh de 1959 (sou da turma do Nehab), e as definicoes sao meio diferentes do que aprendi. Ele admite monomios da forma (ax^n.y^m)/(bz^p.t^q), onde a e b são constantes e m, n, p e q sao numeros naturais. Quando me ensinaram, o que foi dito é que monomio eh ax^m.y^n.z^p, onde a eh constante e m, n e p inteiros positivos. A impressao que tenho eh que tudo eh convencao (por favor, nao aquela beberagem), nao vejo utilidade na definicao do Sinezio. Soh para ter ideia, ele chama inteiros relativos de "numeros qualificados". Eh bom lembrar que a primeira edicao eh de 1946. Outro exemplo: antigamente matrizes e determinantes tinham (quem lembra?) diagonal principal e diagonal secundaria. Hoje, qualquer um com uma leve camada de verniz de civilizacao nao usa mais essa bobeira, exceto muitos professores que todos nos conhecemos. Acho que eh por ahi. Abracos, olavo From: Antonio Giansante <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] polinômios Date: Mon, 16 Jul 2007 22:16:26 -0300 (ART) Pois então jones, mas mesmo qdo se fala em anel, só encontrei definições com coeficientes inteiros. O problema é que, em alguns casos, falamos de polinômios com qualquer grau real (como no bin. de Newton), entretanto, não se define o grau do polinômio nesses casos. Eu não encontrei nenhuma referência a esses casos, e não quero "criar" novas teorias só pra "fingir" que respondi aos meus alunos. Quero passar a informação correta. Em vista disso, podes me indicar alugma referência bibliográfica? obrigado. --- jones colombo <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Olha, não sei muito bem, mas esta é uma questão de > definição de > polinômio. Falamos que um elemento é um polinômio > quando é formado por > combinações linear de monomios, e os monomios > aparecem com coeficientes > inteiros positivos. Nada o impede de trabalhar com > outras variantes deste > objeto, mas então é costume falar que o objeto é um > anel com tais e tais > propriedades. Creio que esta é a convenção. > > Até. > Jones > > On 7/16/07, Antonio Giansante > <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > olá. Alguém chegou a alguma conclusão com relação > à > > minha pergunta? Qualquer "pista" já me ajuda. > Valeu. > > > > > > > > > > > > > > > Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. > > http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > = > > > Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Estatistica
Voces estao certos. MUITO excepcionalmente, este gabarito esta errado no livro. Na ultima edicao ele ja foi consertado. Abracos, olavo. From: Graciliano Antonio Damazo <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Estatistica Date: Sun, 15 Jul 2007 18:01:44 -0300 (ART) Olá Marcelo SAlhad mais uma vez por esclarecer minhas duvidas, quanto a resposta que tenho dessa segunda questao é o dobro dessa que voce chegou, que foi a mesma que eu cheguei... esse exercicio esta no livro Analise Combinatoria e Probabilidade da OBM.. obrigado e abraços... graciliano Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá, 2) vou tentar a segunda agora.. primeiro vamos pegar 5 dezenas de 1 linha.. C(10, 5) agora, vamos pegar 1 dezena de outra linha.. C(10, 1) legal.. para a primeira escolha, temos 5 linhas.. logo: 5 * C(10, 5) agora, para a segunda escolha, temos 4 linhas.. logo: 4 * C(10, 1) portanto, os casos favoraveis sao: 5 * C(10, 5) * 4 * C(10, 1) vamos ver todos os casos possiveis.. hmm.. C(50, 6) P = 20 * C(10, 5) * C(10, 1) / C(50, 6) = 20 * 252 * 10 / 15890700 = 0,003171 P = 0,3171% é isso? abracos, Salhab On 7/13/07, Graciliano Antonio Damazo wrote: > Ai vao duas questoes em que encontrei dificuldade: > > a primeira a minha dificuldade foi em que o numero de bolas sorteadas eram > diferentes do numero de bolas escolhidas, ai eu me perdi em montar os casos > possiveis e favoraveis e acho que resolvi errado > > 1) Na Sena sao sorteados 5 dezenas entre 01 - 02 - ... - 99 - 00, e o > apostador pode escolher 10 dezenas. Qual a probabilidade do apostador > acertar a terna( 3 dezenas)? > > na segunda questao, eu tenho a resposta e a minha resolução dá exatamente o > dobro da resposta. > > 2) Supondo que na Loto as dezenas 01 - 02 - ... - 50 nas cartelas sao > dispostas em 5 linhas e 10 colunas. Sabendo que sao sorteadas 6 dezenas, > qual a probabilidade dessas dezenas ocuparem exatemente duas linhas, com 5 > dezenas em uma e 1 dezena em outra? > > A minha soluçõa foi: > > OBS: represento por C(n,p) a combinação de n elementos para escolher p, e > Pn, por uma permutação de n elemntos. > > casos favoraveis: primeiro temos que escolher 2 linhas dentre as 5, o que > pode ser feito de C(5,2) maneiras. Ainda temos que escolher 5 dezenas em uma > linha e 1 dezenas na outra linha que pode ser feito de C(10,5)*C(10,1). Além > disso, podemos escolher 5 na primeira linha e 1 na segunda linha escolhida, > ou vice versa, entao temos que multiplicar o resultado por P2. > > casos possiveis: C(50,6) > > portanto eu encontrei como resposta essa expressao: > > probabilidade = C(5,2)*C(10,5)*C(10,1)*P2 / C(50,6) > > gostaria da ajuda de voces mais uma vez galeraagradeço desde já > > abraços > > Graciliano > > > Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Errata
Desculpem, digitei errado. Vai a correcao: queremos um numero de 4 algarismos, QUADRADO PERFEITO, todos menores que 6, e ao acrescentarmos 1 a todos os seus algarismos, obtemos outro quadrado perfeito. Achei 45^2 = 2025, e acrescentando 1 a todos os algarismos vem 3136 = 56^2. From: "Antonio Neto" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Cone Sul 88 Date: Fri, 13 Jul 2007 23:11:30 + Ola, amigos da lista, andei meio doente e sumido, mas sobrevivi. Enquanto estava de cama, andei vendo umas olimpiadas antigas, para me distrair e achei o seguinte problema: queremos um numero de 4 algarismos, todos menores que 6, e ao acrescentarmos 1 a todos os seus algarismos, obtemos outro quadrado perfeito. Achei 45^2 = 2025, e acrescentando 1 a todos os algarismos vem 3136 = 56^2. Mas achei a minha solucao muito bracal, alguem teria algo melhor, alguma propriedade de teoria dos números que eu nao saiba, ou nao lembrei? Abracos, olavo. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Cone Sul 88
Obrigado, Ponce. Abracos, olavo. From: Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Cone Sul 88 Date: Fri, 13 Jul 2007 22:19:12 -0300 (ART) Oi Olavo, temos que a**2 + = b**2 Portanto, (b+a) * (b-a) = que pode ser decomposto em 11*101 ou em 1* No primeiro caso, (b+a)+(b-a) = 112 , de onde b=56 e a=45 No segundo caso, (b+a)+(b-a) = 1112, de onde b=556 e a=555 Entretanto, no segundo caso, o numero a**2 tem mais que 4 algarismos. Sobra apenas a primeira solucao, com a**2=2025 e b**2=3136 []'s Rogerio Ponce - Ola, amigos da lista, andei meio doente e sumido, mas sobrevivi. Enquanto estava de cama, andei vendo umas olimpiadas antigas, para me distrair e achei o seguinte problema: queremos um numero de 4 algarismos, todos menores que 6, e ao acrescentarmos 1 a todos os seus algarismos, obtemos outro quadrado perfeito. Achei 45^2 = 2025, e acrescentando 1 a todos os algarismos vem 3136 = 56^2. Mas achei a minha solucao muito bracal, alguem teria algo melhor, alguma propriedade de teoria dos números que eu nao saiba, ou nao lembrei? Abracos, olavo. - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Cone Sul 88
Ola, amigos da lista, andei meio doente e sumido, mas sobrevivi. Enquanto estava de cama, andei vendo umas olimpiadas antigas, para me distrair e achei o seguinte problema: queremos um numero de 4 algarismos, todos menores que 6, e ao acrescentarmos 1 a todos os seus algarismos, obtemos outro quadrado perfeito. Achei 45^2 = 2025, e acrescentando 1 a todos os algarismos vem 3136 = 56^2. Mas achei a minha solucao muito bracal, alguem teria algo melhor, alguma propriedade de teoria dos números que eu nao saiba, ou nao lembrei? Abracos, olavo. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ajuda (Polin�mios)
Vc jah perguntou isso antes, pensei que alguem tinha respondido, é isso mesmo, apenas o termo que se usa eh IDENTICAMENTE nulo. Abracos, olavo. From: cleber vieira <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda (Polinômios) Date: Tue, 1 May 2007 17:22:59 -0300 (ART) Amigos gostaria da ajuda de vocês a fim de resolver esse problema pois não estou conseguindo enxergar a saÃda. A fim de situá-lo, esse faz parte dos exercÃcios testes do livro do Iezzi nº6, Complexos, Polinômios e Equações (pg 221, nº84). O polinômio P(x) = a_o x^3 + a_1 x^2 + a_2 x + a_3 se anula para 4 valores distintos de x. Podemos concluir que: a) a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 1 c) a_0 < a_1 < a_2 < a_3 b) (a_0)*(a_1)*(a_2)*(a_3) = 4 d) a_0 > a_1 > a_2 > a_3 e) a_0 = a_1 = a_2 = a_3 A minha suspeita de resposta é o item e), visto que P(x) tem grau no máximo 3, caso em que a_0 é diferente de zero, mas como P(x) tem 4 raÃzes, P(x) não poderia ter grau 3 logo P(x) teria que ser nulo, ou seja, a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = 0 independente dos valores de x. Desde já muito obrigado. Cleber __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Malba Tahan
Receio que em alguns ele tenha usado fatorial e/ou radicais. Abracos, olavo From: "Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Malba Tahan Date: Tue, 24 Apr 2007 11:10:02 -0300 Bem, no caso do livro do Malba Tahan, só pode usar as 4 operações básicas e parênteses... Em 23/04/07, saulo nilson <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: pode usar uma base diferente e usar exponencial, ou so pode aparecer o sinal das 4 operaçoes. On 4/18/07, regis barros <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > gostaria quem leu o livro, O homem que calculava, que descobrisse como > calcular com 4 quatros o número 99. eu encontre uma solução e gostaria de > ter outras. > > regis > > __ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ > -- Ideas are bulletproof. V _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] GA-2
Basta notar que ambos terao a mesma norma, e (faca a figura) o paralelogramo se transforma em losango. Abracos, olavo. From: "carlos martins martins" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] GA-2 Date: Wed, 28 Mar 2007 20:59:11 -0300 Mais uma de G.A. Sejam u=AB e v=AC, vetores não nulos de normas p e q, respectivamente. Prove que o vetor w=qu+pv é paralelo à bissetriz de BÂC. Obrigado. _ Descubra como mandar Torpedos do Messenger para o celular! http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] teoria dos n�meros - simples
Note que todos os restos são cinco unidades a menos que os divisores. Se x eh o numero procurado, x + 5 eh o mmc dos divisores. Abracos, olavo. From: "saulo nilson" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] teoria dos números - simples Date: Wed, 21 Mar 2007 23:56:27 -0300 pelas igualdades da para ver que q3 e um multiplo de 12 e de 3 , isso minimiza o numero de testes. On 3/21/07, saulo nilson <[EMAIL PROTECTED]> wrote: q3=(5q1-7)/12=(2q2-1)/3 era so continuar testando 108 vinhaum pouco depois de 48, nao testei o q2. On 3/21/07, saulo nilson <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > M=10*q1+5 > M=16*q2+11 > M=24*q3+19 > 24q3+8=16q2 > 3q3+1=2q2 > 24q3+14=10q1 > 16q2+6=10q1 > > 3q3+1=2q2 > 12q3+7=5q1 > 8q2+3=5q1 > sistema acima e SPD a 1a equaçao e CL de 2 e 3 > 24q3+8=10q1-6 > 24q3=10q1-14 > q3=(5q1-7)/12 > omenor valor de q1 que torna q3 inteiro positivo > 5q1-7=48 > q1=11 > M=116 > > > On 3/21/07, Emanuel Valente <[EMAIL PROTECTED] > wrote: > > > > Travei nessa questão. Agora é com vocês, cabeças. > > Determinar o menor número que dividido por 10; 16 e 24 deixa, > > respectivamente os restos 5; 11 e 19. > > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > = > > > > _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] IME-70/71
Oi, Arkon, para que a soma seja ímpar, devemos ter tres impares ou dois pares e um impar. No primeiro caso, teremos 6*5*4=120. No segundo, 6*6*5*3=540. Somando, 660. Se nao fiz besteira, eh isso. Abraco, olavo. From: "arkon" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: "obm-l" Subject: [obm-l] IME-70/71 Date: Thu, 22 Feb 2007 09:48:19 -0200 Olá, Pessoal alguém da lista poderia me enviar a resolução desta questão ou algum fera se habilitaria em resolvê-la? (IME-70/71)Num sistema de numeração duodecimal quantos números de 3 algarismos diferentes existem, cuja soma desses 3 algarismos seja ímpar? (considerar 012, 014, 016 etc., números de 3 algarismos diferentes). a) 680. b) 360. c) 660. d) 720. e) 800. e) N.R.A. Desde já agradeço a todos os feras que estão resolvendo minhas questões, principalmente aquelas sinistras que enviei anteriormente. ABRAÇOS. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Web Site de Geometria
Um colega me passou este, e achei interessante. Achei 11, mas não vou postar a solução para que o pessoal possa pensar mais. Abraços, olavo. From: Luís Lopes <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Web Site de Geometria Date: Wed, 29 Nov 2006 15:32:43 + Sauda,c~oes, Oi Claudio, Eu já conhecia este site, ele é mesmo muito legal e bem feito. Me passaram o seguinte problema, parece que de um concurso pra Escola de Sargentos. Num triângulo, b=12, c=10 e os pontos G e I estão numa mesma reta paralela ao lado BC. Quanto vale ? Há 5 escolhas de resposta mas deixo assim mesmo. []'s Luís From: "claudio\.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: "obm-l" Subject: [obm-l] Web Site de Geometria Date: Tue, 28 Nov 2006 22:18:30 -0300 Oi, pessoal: Achei um site muito legal sobre geometria, com applets contendo demonstracoes de varios teoremas classicos alem de alguns outros dos quais eu nunca tinha ouvido falar. Vale a pena conferir. http://agutie.homestead.com/files/geometry_help_online.htm []s, Claudio. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Livro
Tenho tres solucoes: 1 - Na www.doverpublications.com 2 - Se vc for do Rio de Janeiro, a Interciencia traz para cá, talvez para a sua cidade, cobrando o frete, é claro. Av Pres. Vargas, 435, 18 andar, (0xx21) 22 21 09 93. 3 - A M&F importa tambem, mas fechou a loja do Rio, mas se vc for de SP eh a melhor pedida. Soh tenho uma pergunta, este livro ainda estah sendo editado? O melhor seria entrar na Dover e verificar, se nao quiser comprar com eles anota pelo menos o ISBN, que facilita a busca das livrarias especializadas. Abraco, olavo. From: "Douglas Ribeiro Silva" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Livro Date: Mon, 21 Aug 2006 22:09:04 -0300 Alguem sabe onde eu posso adquirir o livro "Advanced Euclidean Geometry" de R.A. Johnson, Dover Publications, 1960 ? _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ITA
Olá, amigos da lista, sei que alguns aqui estudam no ITA, e estou precisando de algumas informações sobre o ITA. Como o assunto eh off-topic, pediria que alguem mandasse a mensagem diretamente para mim, [EMAIL PROTECTED] Obrigado, abracos de mim, olavo. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Caminhada numa Esfera
Aliás, não enumerável. From: "Guilherme Neves" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Caminhada numa Esfera Date: Fri, 11 Aug 2006 19:59:00 -0200 Tome uma circunferencia com 10km de comprimento ( ou simplesmente r=5/pi km) paralela ao equador no hemisfério sul. Suba agora 10 km para o norte e comece o seu problema. Você anda 10 km pro sul e chega na tal circunferencia paralela ao equador com 10km de comprimento. Quando você andar 10 km para o leste, você dará uma volta na esfera e chegará ao mesmo ponto. Andando 10km para o norte voce volta para o ponto inicial do problema.!! Tendo assim uma infinidade de soluções. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[no subject]
i) Vai na marra, a paralela é 3x - 4y + C = 0, e a distância é (6 + 4 + C)/sqrt(9 + 16) = 2, ou C = 5. ii) A perpendicular é 2x + y + C = 0. Pense o motivo. Ou vc põe a distância do centro (0, 0) à reta igual a 10, ou (mais geral), faz a interseção (sistema) e impõe delta = 0, processo que funciona com outras cônicas para achar tangentes. iii) Seja a reta y = mx + h. Se ela passa pelo ponto (7, 3), temos 3 = 7m + h, e h = 3 - 7m, logo a reta é y = mx + 3 - 7m. Faz a interseção com as duas retas e impõe que o ponto médio seja (7, 3). Espero ter ajudado, abraços, olavo. From: "Henrique Ren" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Wed, 26 Jul 2006 01:43:33 + pessoal boa noite... tenho alguns exercícios de g.a., vcs poderiam me ajudar? i) achar a reta paralela a 3x-4y+4=0, cuja dist. do pto p (2,-1) é 2 ii) achar a reta perpendicular a 2x-y=0 e tangente a x^2 + y^2=100 iii) obter a reta q intercepta x-2y=0 e x-4y=0 em dois pontos A e B, tais q o ponto médio de AB é M(7,3) ah, o baricentro de um triangulo de vértices A(xa,ya), B(xb,yb) e C(xc,yc), é Xg= (xa+xb+xc)/3 e Yg= (ya+yb+yc)/3. como acho o incentro ], circuncentro e orocentro? obrigadão. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Ajuda
a - 2b = - 7. Abraços, olavo. From: Sharon Guedes <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda Date: Tue, 18 Jul 2006 00:15:48 -0300 (ART) Olá pessoal, alguém poderia me ajudar a resolver essa questão? Resolvi ela mas quero ter certeza da resposta. A função y = ax + b passa pelo ponto (1, 2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Então a - 2b é igual a ? Um abraço Sharon - Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Produto Vetorial
Henrique, se a sua faculdade tiver um mínimo de decência, terá exemplares do livro do Natan Moreira dos Santos, Vetores e Matrizes. Não sei se ainda está sendo editado, mas deveria. É uma excelente introdução à Álgebra Linear, para quem está entrando no assunto, e tem uma definição mais intuitiva de produto vetorial From: "Henrique Rennó" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Produto Vetorial Date: Sun, 16 Jul 2006 20:25:27 -0300 Olá!!! Gostaria de saber se alguém poderia dar uma demonstração de como são definidos os componentes de um vetor perpendicular a outros dois vetores utilizando o produto vetorial em três dimensões. Eu sei que é necessário calcular o determinante dos dois vetores da seguinte forma para achar o vetor: | i j k | | x1 y1 z1 | = (y1z2) i + (x2z1) j + (x1y2) k - (y2z1) i - (x1z2) j - (x2y1) k. | x2 y2 z2 | Dessa forma as componentes do vetor resultante serão: (y1z2 - y2z1 , x2z1 - x1z2 , x1y2 - x2y1). Mas como pode ser demonstrada essa relação entre o determinante e o vetor perpendicular??? A necessidade dessa demonstração surgiu quando precisei calcular a área entre dois vetores de duas dimensões. Representei os dois vetores u e v num sistema x,y e calculei a área do paralelogramo formado por eles como |u|.|v|.sen(c), onde "c" é o ângulo entre os dois vetores. Depois representei c = b - a, em que "b" e "a" são os ângulos entre os vetores v e u, respectivamente, e o eixo x. Utilizando a fórmula sen(c) = sen(b-a) = sen(b)cos(a) - cos(b)sen(a) achei a área do paralelogramo como ux.vy - uy.vx, que é o determinante entre a matriz composta pelos componentes de u e v. | ux uy | | vx vy | Estendendo para três dimensões não sei como demonstrar o produto vetorial, o qual em vários livros já é dado definido como mencionei acima e que essa operação entre vetores fornece um vetor perpendicular aos dois vetores sobre o qual foi calculado. Também li que o produto escalar entre o vetor perpendicular resultante e um outro vetor w diferente de u e v (em que w tem a origem coincidindo com origem de u e v) fornece o volume do sólido formado pelos vetores u, v e w. Essa definição consegui mostrar utilizando a base inferior e superior do sólido e utilizando o cosseno entre o vetor w e um outro vetor perpendicular que formam um ângulo "d" calculei a altura do sólido como |w|.cos(d). Volume = área da base * altura = | u x v | * | w | * cos(d), que é o produto escalar entre o vetor u x v e w. Volume = | (u x v) . w | A igualdade cos(theta) = (A.B) / |A||B| pode ser verificada através do cosseno da diferença de dois ângulos. Assim, se puder existir uma demonstração simples e clara do produto vetorial ficarei muito grato. Estou estudando Álgebra Linear e os livros que peguei na faculdade em nível de Graduação não são tão didáticos, sendo que os autores consideram que o leitor já tenha conhecimento de diversos conceitos para várias fórmulas que são apenas dadas. É bem diferente de livros utilizados no Ensino Médio. Pediria também alguma indicação para livros sobre o assunto Álgebra Linear. Sempre estudo matemática e adoro a "rainha das ciências", mas agora vejo que o nível de abstração está ficando cada vez maior. Grato pela atenção, -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ On the road to retirement? Check out MSN Life Events for advice on how to get there! http://lifeevents.msn.com/category.aspx?cid=Retirement = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Produto Vetorial
Henrique, se a sua faculdade tiver um mínimo de decência, possuirá exemplares do livro do Natan Moreira dos Santos, Vetores e Matrizes. Não sei se está ainda sendo editado, mas deveria. É uma excelente introdução à Álgebra Linear para quem a está vendo pela primeira vez, e tem uma definição mais intuitiva do produto vetorial. Devo ter outras referências aqui, mas mudei de endereço há pouco tempo, e meus livros estão encaixotados, com poucas exceções. Este é o de que lembro com mais facilidade, pela simplicidade do texto. Mas cabe um comentário: já nos meus tempos de faculdade, costumava-se dizer que definir não é pra quem quer, é pra quem pode; mas quem pode define como quer :-) A verdade é que a definição muitas vezes só aparece depois que se descobre que tal coisa funciona e tem utilidade. A Matemática não é feita como está nos livros didáticos, é feita de muitos rascunhos, tentativas, erros e acertos. Quando está tudo funcionando, o povo arruma a casa, e escreve um livro da forma definição-propriedades-lema-teorema-escólio-corolário (vocês sabem a minha idade?). Em outras palavras, o que eu quero dizer é que a definição depende da orientação que o autor quer dar ao seu livro. Quem define como você viu, demonstra a definição do Natan, e o Natan demonstra a definição que você viu, o que quer dizer que elas são equivalentes. Se você tiver tempo, sugiro a leitura de alguns bons livros de História da Matemática. Pra começar, os do Carl Boyer e do Howard Eves, traduzidos. Se gostar da coisa, há muito mais para ler. Desculpe se só comentei o começo do e-mail, mas acho que o resto virá com alguma leitura. Espero ter sido de alguma ajuda, abraços, olavo. From: "Henrique Rennó" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Produto Vetorial Date: Sun, 16 Jul 2006 20:25:27 -0300 Olá!!! Gostaria de saber se alguém poderia dar uma demonstração de como são definidos os componentes de um vetor perpendicular a outros dois vetores utilizando o produto vetorial em três dimensões. Eu sei que é necessário calcular o determinante dos dois vetores da seguinte forma para achar o vetor: | i j k | | x1 y1 z1 | = (y1z2) i + (x2z1) j + (x1y2) k - (y2z1) i - (x1z2) j - (x2y1) k. | x2 y2 z2 | Dessa forma as componentes do vetor resultante serão: (y1z2 - y2z1 , x2z1 - x1z2 , x1y2 - x2y1). Mas como pode ser demonstrada essa relação entre o determinante e o vetor perpendicular??? _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Equa��o da Reta
Naturalmente que não pode usar calculadora, em vestibulares não é permitido. Há duas maneiras de obter as bissetrizes dos ângulos entre duas retas concorrentes dadas: 1 - Utilizando vetores normais. Das equações, você tem os vetores normais à s retas. Calcule seus módulos, e os multiplique (ou divida, o que é o mesmo) por números convenientes, para que tenham o mesmo módulo. Isto garante que a sua soma estará sobre a sua bissetriz, já que o paralelogramo se transforma em losango. Então esta soma é normal a uma das bissetrizes. Determine a reta que tem este vetor normal e passa pela interseção das retas dadas. A outra bissetriz é a perpendicular à primeira e que passa pela mesma interseção. Não recomendo, exceto se os números forem amigáveis (não confundir cim números amigos, que é outra coisa), por exemplo, os vetores normais forem (3, 4), (5, 12), (7, 24), isto é, tiverem módulos inteiros (catetos de triângulos retângulos de lados inteiros). 2 - A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos seus lados, e isto dá a sulução simples da coisa. Seja P(x, y) um ponto genérico da bissetriz, e utilize a fórmula da distância de ponto a reta. Sejam dadas as retas Ax + By + C = 0 e Dx + Ey + F = 0. Teremos |(Ax + By + C)/sqrt(A^2 + B^2)| = |(Dx + Ey + F/sqrt(D^2 + E^2)|, e isso dá as duas bissetrizes mais rapidamente. No seu caso (faça o gráfico) a bissetriz deve estar situada nos quadrantes Ãmpares, logo deve ter coeficiente angular positivo. Acrediti que isto possa ajudar, Abraços, olavo. From: João Vitor <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação da Reta Date: Sun, 16 Jul 2006 16:16:40 -0300 kra, eu faria assim Eq1: y = 0 (reta coincidente com o eixo X) tg H = 0 => H=0 Eq2: y = 3x (reta com coef angular = 3, ou seja forma um cuja tangente é igual a 3 com o eixo x) -> tg K = 3 -> K=arc tg 3 k= 71, 5650° o angulo da bissetria seria a média aritmética entre H e K A = (h+k)/2 -> A = 35, 78° eq geral da reta: Y = Mx + N -> N=0 Y=Mx onde tg 35, 78º = M = 0, 7206 eq da bissetriz é Y = 0,7206X pode usar calculadora lá? flw - Original Message - From: "João Carlos" <[EMAIL PROTECTED]> To: "OBM" Sent: Saturday, July 15, 2006 9:47 AM Subject: [obm-l] Equação da Reta Esta questão caiu na 2ºEtapa do vestibular da UFMG de 2002, não estou conseguindo resolver. Determine a equação da bissetriz do menor ângulo formado pelas retas de equações y=0 e y=3x. Desde já agradeço pela ajuda de vocês. / \ /| |'-. .\__/ || | | _ / `._ \|_|_.-' | / \__.`=._) (_ Júnior |/ ._/ |"| |'. `\ | | Desenvolvedor de Softwares ;"""/ / | | Seja Livre - Use Linux ) /_/| |.---.| E-mail:[EMAIL PROTECTED] ' `-` ' " " Msn:[EMAIL PROTECTED] ___ Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Tri�ngulos Pitag�ricos (was:12^2 + 33^2 = 1233^2)
Amigos, boa noite, na verdade, o que eu acho mais eficaz, e que já é conhecido desde Euclides, é: sejam m e n inteiros positivos, com m>n. Entao, m^2 - n^2, 2mn e m^2 + n^2 será sempre um triângulo pitagórico, com o inconveniente de fornecer repetições (triângulos semelhantes). Para eliminar estes casos repetidos, acrescente que m e n devem ter paridades diferentes e devem ser primos entre si. AÃ, dá tudo certo. A ida da demonstração é óbvia, produtos notáveis, a volta é mais interessante. Abraços, olavo. From: "Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Triângulos Pitagóricos (was:12^2 + 33^2 = 1233^2) Date: Tue, 13 Jun 2006 12:09:54 -0300 Desculpe informar mas a formula ai escrita nao serve (acho) para todos os triangulos pitagoricos. Sempre tem algum que escapa. Para capturar todos eles e necessario usar pelo menos umas duas variaveis livres. Se eu nao me engano a formula (u^2-v^2)^2+(2uv)^2=(u^2+v^2)^2 serve, com alguns inconvenientes de produzir numeros repetidos. Em 09/06/06, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi pessoal, vamos acalmar com calma: Espero que essa mensagem possa ajudar neste problema (embora possa como todas as minhas outras possa ser apenas um pitaco sem nenhuma utilidade). Sabemos que: (n^2 - 1)^2 + (2n)^2 = (n^2 +1)^2 para n natural, n>1 ela dá todos os triângulos pitagóricos. Ex: n=2 : 3^2 + 4^2 = 5^2 . A intenção é usar essa identidade para tentar obter quadrados perfeitos naturais da forma Delta^2 = b^2 - 4ac. Neste caso usamos: (n^2 - 1)^2 = (n^2 +1)^2 - (2n)^2 (n^2 - 1)^2 = (n^2 +1)^2 - 4 n^2 Supondo a = 1 (sempre dá para fazer a=1 em uma eq. do 2 grau). Temos então que ter: b = n^2 +1 c= n^2 ==> b = c+1 Bom... agora será que dá para aplicar isso à equação em jogo? >100a+b = a^2 + b^2 >basta resolver essa eq de 2º grau com relação a a >e temos >a = 50 +- sqrt(2500+b-b^2) Para não causar confusão vamos trocar a por x e b por y: 100x + y = x^2 + y^2 x^2 -100x +y -y^2 = 0 Construindo o Delta: Delta^2 = 100^2 - 4*(y-y^2) com b = 100 e c = y-y^2 como b= c+1 100 = y-y^2 +1 Quais y naturais com 2 algarismos verificam isso? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Ideas are bulletproof. V _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Integral e coisas tiradas do bolso...
Amigos da lista, este é um terreno movediço, e devo lembrar que trabalho com Ensino Medio, que apresenta certas peculiaridades, mas cabe citar Polya, que (procurei a citacao, mas não achei) escreveu "a trick is a device you use twice", acho que é isso. A nivel de Ensino Medio, isso significa liberar os alunos de decorar a formula da bissetriz interna relativa ao lado a de um triangulo ( dados os lados a, b e c) e utilizar a lei dos co-senos duas vezes, junto com o teorema da bissetriz. Acredito que seja mais produtivo, em termos de raciocinio, do que ficar decorando as formulas para os comprimentos de alturas, medianas, bissetrizes (internas e externas) e cevianas em geral. Claro que isso é só um exemplo, procuro melhorar as minhas aulas de ano para ano, e recomendo aos outros professores do Ensino Medio da lista o Polya e o Gelfand. Fora os livros da minha epoca, que agora so nos sebos. Ou, sem modestia, aqui em casa. abracos, olavo.>From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br>To: obm-l@mat.puc-rio.br>Subject: Re: [obm-l] Integral e coisas tiradas do bolso...>Date: Mon, 13 Jun 2005 10:11:31 -0300>Qual é exatamente a diferença entre uma idéia genial, um truque, um macete>e um método? Para mim é uma diferença de ponto de vista. Quem descobriu>a idéia e dela se orgulha a considera uma idéia genial. Os amigos dele>quando veem a idéia chamam aquilo de truque, com um misto de admiração>e inveja. Os adversários que não tiveram a idéia certa na hora certa>por despeito chamam de macete. Depois que a idéia já foi usada mais>de três vezes ela vira um método. Depois de ser usada 100 vezes a idéia>já não tem mais nome nenhum, passa a ser considerada uma trivialidade>indigna de ser mencionada. :-)>>[]s, N.>=>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>=MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] quest�o de geometria
Amigos, acredito que a questão se refira ao número de pontos de interseção interiores ao polígono. No caso, cada escolha de quatro vértices dá origem a um quadrilátero convexo, cujas diagonais se intersectam em um ponto interior. Logo, o número procurado é o mesmo número de quadriláteros convexos, ou seja, bin(n, 4). Abraços, olavo. >From: "Brunno Fernandes" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] questão de geo >Date: Sat, 30 Apr 2005 10:09:10 -0300 > >Ola Daniel tudo bem?? >Obrigado pela força > >Nesta questão o gabarito indica >[n x (n-1) x (n-2) x (n-3)]/ (1x2x3x4) > >Estou tentando achar erros mas não estou conseguindo >Vou analisar com mais calma, mas queria já te mandar o gabarito e assim você >pode já ver se tem algum erro >Um abraço Daniel >Do amigo >Brunno > > >- Original Message - >From: <[EMAIL PROTECTED]> >To: >Sent: Friday, April 29, 2005 1:42 AM >Subject: Re: [obm-l] questão de geo > > >Oi, >Eu acho que cheguei na resposta. A idéia é a seguinte: > >De cada ponto partem (n - 3) diagonais, logo são d = n*(n-3)/2 diagonais no >total. Para determinar o número máximo de interseções, consideramos a melhor >das hipóteses: três diagonais distintas não se interceptam num mesmo ponto a >menos que se trate de um vértice do polígono. Ou seja, fixada uma diagonal, >quaisquer outras duas diagonais cortam a primeira em pontos distintos se >estas duas novas diagonais se não cruzam num vértice da primeira. > >Dito isto, para o cálculo do número de pontos de interseção, imaginamos >inicialmente que quaisquer duas diagonais interceptam-se sempre em pontos >distintos. Então seriam d*(d-1)/2 interseções. > >Só que, na verdade, para cada vértice, existem (n-3) diagonais que se >interceptam nele. Ou seja, até aqui estamos contando (n-3)*(n-4)/2 >interseções ao invés de uma para cada vértice. Para corrigir o problema, >devemos tirar de d*(d-1)/2 as n*((n-3)*(n-4)/2 - 1) interseções contadas a >mais. Assim, o número máximo de interseções é > >d*(d-1)/2 - n*((n-3)*(n-4)/2 - 1) = >= n*(n-3)*[n*(n-3)/2 - 1]/4 - n*[(n-3)*(n-4)/2 - 1]. > >OBS 1: só vale para n >= 5... Quando n = 4, não existem duas diagonais >saindo do mesmo vértice, por isso fica somente d*(d-1)/2 = 1. >OBS 2: as diagonais podem interceptar-se fora do polígono! > >[]s, >Daniel > >Brunno Fernandes ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > > > >Ola pessoal tudo bem? > >Poderiam me ajudar nesta questão, > > > >Determinar o numero máximo de pontos de intersecção das diagonais de um > >poiligono convexo de n lados > > > >Uma questão muito parecida em que pede o número máximo de pontos de > >intersecção dos prolongamentos das diagonais > > > >Essas são questões do livro de Geometria Plana do livro do Edgard de > >Alencar Filho > >um ótimo livro > >Um abraço > >Do amigo > >Brunno > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Por 7
Soh para podermos mudar de assunto, a minha fonte foi (na edição que tenho na bisbilhoteca) o *Criterios de divisibilidad* (em espanhol) de N. N. Vorobiov. Da Mir, naturalmente. Claro que há outros criterios, baseados em congruencias, como o das classes, mas estao explicados em livros de teoria dos numeros, e nao eh dificil achar. Soh mencionei porque eh pouco conhecido (acho), e eh curioso. A proposito, um aluno meu, de uma turma IME-ITA, que tem um fraco por essas coisas, desenvolveu um louco criterio de divisibilidade, que tem duncionado na pratica, mas ainda nao demonstrei. Se nao conseguir no fim de semana, que eh quando posso trabalhar (quem dah aula nao trabalha), mando pra voces. Abracos, olavo. >From: João Gilberto Ponciano Pereira <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" >Subject: RE: [obm-l] Por 7 >Date: Thu, 14 Apr 2005 11:14:25 -0300 > >Opa... peraí... Pelo que entendi, a regra valeria apenas para um dígito. > >Veja o caso de 59768758231 (que é divisível por 7) > >5976875 - 2*8231 = 5960413 >596 - 2*413 = -230 (que não é divisível por 7!!!) > >Isso pq essa regra funciona pois 2*10 mod 7 = -1. > >Para funcionar para números "grandes", podemos usar que 1000 mod 7 = -1. >Assim, usaríamos 3 dígitos, agilizando as contas, e não seria nem necessário >multiplicar por 2. > >o mesmo exemplo, teríamos: >59768758 - 231 = 59768527 >59768- 527 = 59241 >59 - 241 = -182, que é divisível. > >SDS >JG > > >-Original Message- >From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet >[mailto:[EMAIL PROTECTED] >Sent: Monday, April 11, 2005 3:48 PM >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: RE: [obm-l] Por 7 > > >--Que historia e essa de "so e bom para numeros >pequenos"? Para comeco de historia, pode-se pegar >qualquer bloco de digitos em vez de apenas um por vez. >Ou seja, podemos fazer algo como: > >5976875(8234) >- 16468 >- >5960407 > > 596(0407) >-0407 >-0407 >-218 > >E isto nao e multiplo de 7. >(So para desencargo de consciencia, conferi na BC...) > >E apenas para terminar, normalmente ninguem te >perguntaria se o numero abaixo e ou nao multiplo de 7: > >597687582345976875823459768758234597687582 \ >345976597687582345976875823459768758234597 \ >687582345976597687582345976875823459768758 \ >234597687582345976597687582345976875823459 \ >768758234597687582345976875823459768758234 \ >598947895789456844566496313554564654456613 \ >324165456489789754123164641304104817105130 \ >152895531714012404504576875823459768758234 ^ 2 > >/*Os \ sao apenas quebras de linha para maior >legibilidade*/ >/*Ou para menor ilegibilidade, entenda como >quiser...*/ > >Neste caso especificamente, nenhum criterio e melhor >que o outro (ou estou muito enganado, o que >ultimamente e um fato-comum)... > >--- Rafael Alfinito Ferreira <[EMAIL PROTECTED]> >wrote: > > este processo só é bom para números pequenos, por > > exemplo: > > me diga se 59768758234 é divisível por 7 , aí é > > melhor usar a técnica das > > classes. > > > > VALEU! UM ABRAÇO! > > RAFAEL FERREIRA > > > > > > > >Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. >Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Por 7
Acho mais fácil fazer o seguinte: retire o ultimo algarismo e multiplique por 2, e subtraia do que restou do numero. Exemplo: quero saber se 4935 (obvio) eh divisivel por 7. Retiro o 5, multiplico por 2 e subtraio do que restou: 493 - 10 = 483. Se ainda não sei, repito: 48 - 6 = 42, e agora sei que eh divisivel. Seja lah o que for farelo, abracos, olavo. >From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: Re: [obm-l] Por 7!!!(???) DE NOVO! >Date: Sun, 10 Apr 2005 13:10:09 -0300 > >Mod 7: >1 == 1 >10 == 3 >100 == 2 ==> >(abc) = 100a + 10b + c == 2a + 3b + c (mod 7) > >Logo, 7 divide (abc) <==> 7 divide 2a + 3b + c > >1000 == -1 >1 == -3 >10 == -2 ==> >(abcdef) = 10a + 1b + 1000c + 100d + 10e + f == >-2a -3b -c + 2d + 3e + f == -(2a+3b+c) + (2d+3e+f) (mod 7) > >Logo, 7 divide (abcdef) <==> 7 divide -(2a+3b+c) + (2d+3e+f) > >E por ai vai > >Ficou claro? > >Entao farelo pra voce tambem. > >[]s, >Claudio. > >on 10.04.05 12:10, Sinomar Dias at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > > > > >> Colegas, já que ninguém quis me ajudar no problema, poderiam me dizer onde > >> encontrar uma demonstração para o seguinte fato relativo ao critério de > >> divisibilidade por 7, como está descrito abaixo? > > Obrigado por qualquer ajudinha. > >> > >> > >> i) Um número natural n de 3 ou menos algarismos é divisível por 7 se > >> ocorrer o que segue: > >> > >> Dadon=abc ( a,b e c são os algarismos do número) se, 2*a+3*b+c é > >> divisível por 7, então n é divisível por 7. > >> > >> ii) Um natural n com mais de 3 algarismos é divisível por 7 se, separado > >> em classes de 3 algarismos a partir do último (inclusive), a diferença > >> entre a soma das classes de ordem ímpar e de ordem par for um número > >> divisível por 7, independente do sinal: > >> > >> Dado n=abcdefg > >> > >> Classe1: efg > >> Classe2: bcd > >> Classe3: a > >> > >> S(I)=efg+a ( soma das classes de ordem ímpar) > >> S(P)=bcd (soma das classes de ordem par) > >> > >> Se S(I) S(P) for divisível por 7, então n é divisível por 7. > >> > >> Obrigado > >> > >> Farelo!!! > >> > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Livro do Lidsky MIR
Sem machismo, acho que o livro eh DO Lidsky, penso que o autor eh homem, mas fui procurar e nao achei, o meu filho (que nao mora comigo) tem saqueado a bisbilhoteca nos dois ultimos anos, para fazer vestibular, e deve estar com ele. A sugestao eh procurar em sebos, tirar copia eh ilegal, e acho que quem le russo nalista eh o Paulo Santa Rita, mas tem que perguntar como anda o tempo dele. Se o meu tempo der, posso dar uma ajuda, o meu estah em ingles, mas tenho que acha-lo. Agora, se o livro estah disponivel na internet, eh verificar se eh livre, e a partir daih eh possivel traduzir. Desculpem, sei que eh off, foi soh para responder, qualquer correspondencia para o meu e-mail particular, estah aih em cima. Abracos, olavo. >From: André Barreto <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: [obm-l] Livro da Lidsky MIR >Date: Mon, 28 Mar 2005 01:10:59 -0300 (ART) > >Oi amigos da lista! > >A algum tempo na lista o livro da Lidski foi indicado como uma excelente referência bibliográfica. > >Tentei encontrar este livro para comprar, tirar cópia e etc... mas a minha empreitada foi sem sucesso. > >Então pesquisando na internet encontrei uma versão dele digitalizada em russo. Não sei o russo. > >Mas pensei que na lista alguém soubesse e tive-se interesse em traduzir ao menos os exercícios. > >Porem me surgiu uma dúvida, creio que não seja proibido traduzir e distribuir os exercícios, pois acho que não se pode ter direitos autorais sobre estes, mas não tenho certeza. > >Gostaria que alguém me informa-se, caso saiba, se o livro da Lidski ainda é comercializado ou está fora da circulação? > >Caso alguém queira o livro eu posso enviar. > >Obrigado > >Atenciosamente, > >André Sento Sé Barreto > > >__ >Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger >http://br.download.yahoo.com/messenger/ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Exercicios
Oi, Daniele, nao cnsegui ler alguma parte dos exercicios, algo saiu errado, manda de novo? Beijo, carinho, olavo. >From: Daniela Yoshikawa <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: [obm-l] Exercícios >Date: Sat, 19 Mar 2005 19:08:13 -0300 (ART) > >Provar: > >1) a + b >= 0 ; a != 0; b != 0 -> a/b^2 + b/a^2 >= 1/a + 1/b > != (diferente) > >2) (a>=0 b>=0 c>=0) -> a + b + c >= ãab + ãbc + ãac > >3) (a>=0 b>=0 c>=0) -> ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) >= 6abc > >Muito obrigada, >Daniele. > > > >- >Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta! MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] sexta feira 13...
Oi, o Bernardo já deu uma resposta, só entrei poeque estava passando, geralmente chego atrasado, quem dá muita aula só lê as respostas. Mas é possível provar que todo ano, normal ou bissexto, tem no mínimo uma e no máximo três sextas-feiras 13. Há uma demonstração no Niven, "Mathematics of Choice", a edição que tenho é a da Random House, The L. W. Singer Company, quarta reimpressão, está logo na página 1, mas é o problema E1541 do American Mathematical Monthly, Nov 1962, pag 919, como o próprio Niven informa. Naturalmente, haverá mais soluções por aí, só estou tentando colaborar. Abraços, olavo. >From: "carlos gomes" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: [obm-l] sexta feira 13... >Date: Wed, 23 Feb 2005 08:27:49 -0300 > >Pessoal, >E verdade que todo ano tem pelo menos uma sexta-feira 13? Se for verdade como verifico isto?. Um abraço a todos Cgomes. MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Alunos (era: Questão de conjuntos)
Amigo Artur, talvez você tenha razão, mas é consenso entre os professores que os alunos já não são os mesmos de antigamente. O assunto é off-topic, mas é fácil entender que as motivações são outras, os apelos em maior número e variedade, etc. E veja que não posso reclamar muito, o lugar onde trabalho tem um bom conceito aqui no Rio de Janeiro. E é claro que existem as recompensas, já tive excelentes alunos, um deles foi parar na Microsoft, sempre que vinha ao Brasil me trazia gentilmente um livro de Matemática, outro foi para a Unicamp, onde se doutourou em Matemática Aplicada, e teve a gentileza de dedicar a mim a sua tese de mestrado. Estes e outros dizem que foram fazer Matemática por minha causa, o que me deixa muito gratificado, mas são minoria. Pensando bem, se todos fizessem Matemática, o que faríamos nós quando precisássemos de geriatras? :) Abraços a todos, olavo. >From: Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Questão de conjuntos >Date: Tue, 25 Jan 2005 21:12:46 -0200 > >Serah que o meu amigo professor nao estah com uma visao um tanto pessimista >e radical? talvez o que aconteca eh que nem todos vibram com a matematica e >nem todos tem interesse em se aprofundar. Eu, por exemplo, sempre fui >apaixonado, mas por questoes praticas da vida nao pude me aprofundar como >queria. Assim, sempre que posso estudo mais os assuntos de que mais gosto, >dentre os quais inclui-se a Analise Matematica .Eu tambem curto muito >Geometria e Teoria dos Numeros, mas na falta de tempo, dou mais prioridade a >Analise. Com relacao a Geometria, eu na epoca de meu vestibular de >Engenharia resolvia problemas dificeis e, sem decorar, acabei guardadndo na >cabeca ateh hoje algumas formulas, como a da bisstriz interna dos lados de >um triangulo e tambem alguns teoremas. Mas hoje,em Geometria, eu no tenho >mais a agilidade que tinha no vestibular. >Artur MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questão de conjuntos
Eu estava quietinho, mas tive na segunda o grande prazer de almoçar com amigos muito prezados, e comentamos esta mensagem. Acho, pela minha experiência como professor, que o aluno é como vinagre, piora com o tempo. Já tive alunos de oitava série que depois voltaram a ser meus no terceiro ano, e eles eram piores, não faziam mais nada em Geometria. Não tenha medo, leve os moleques a raciocinar, e eles vão responder. Só não seja como eu, que tenho que apanhá-los novamente no terceiro ano, e a esperança vai para o brejo. A propósito, os amigos eram o Morgado, o Wagner e o Paulo Cezar Pinto, e vou revê-los amanhã, com o prazer que a ocasião pede. Abraços, olavo. >From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de conjuntos >Date: Tue, 25 Jan 2005 16:44:12 -0200 > > > Infelizmente não posso resolver usando analise combinatoria pois é para uma > > turma de 8ª série. > > > > > C(8,5) = 8*7*6/(3*2) = 56 subconjuntos distintos de 5 elementos > > > distintos a partir de um conjunto de 8 elementos distintos. > > > > > > > > Gostaria de saber como resolver a seguinte questão: > > > > > > > > Dado um conjunto com 8 elementos distintos, quantos subconjuntos com 5 > > > > elementos distintos podemos formar. (obs.: tenho que resolver usando > > > > matemática de 1º grau). > >A minha recomendação é que ao estudar análise combinatória, >as fórmulas sejam a última coisa a ser estudada e não a primeira. >Assim, eu resolveria este problema para alunos de 8a série >da seguinte maneira. > >Num subconjunto os elementos não têm ordem. >Ao invés de contarmos conjunto, vamos primeiro contar listas >de 5 elementos distintos. > >Vamos escolher o primeiro elemento da lista: temos 8 maneiras de fazer isso. >Vamos agora escolher o segundo elemento: temos 7 maneiras de fazer isso >pois um elemento já está tomado. Observe (isto é crucial) que temos *sempre* >7 maneiras de escolher o segundo elemento qualquer que tenha sido o primeiro. >Vamos escolher o terceiro: temos 6 maneiras. O quarto: 5 maneiras. >O quinto: 4 maneiras. Assim, temos 8*7*6*5*4 listas de 5 elementos. > >Ora, cada conjunto corresponde a várias listas. Exatamente quantas? >Tantas quantas são as listas de 5 elementos que podemos fazer com 5 elementos. >Pelo mesmo raciocínio usado acima, temos 5 maneiras de escolher o primeiro >elemento da lista, 4 de escolher o segundo, 3 de escolher o terceiro, >2 de escolher o quarto e 1 (obviamente) de escolher o quinto. >Assim, podemos formar 5*4*3*2*1 listas de 5 elementos a partir >de um conjunto de 5 elementos. Em outras palavras, >cada conjunto de 5 elementos foi contado vezes. >Logo, o número de conjuntos é (8*7*6*5*4)/(5*4*3*2*1) = 56. > >Eu evitei deliberadamente usar as palavras "fatorial", "permutação", >"arranjo" e "combinação". Acho que assim como as fórmulas, as palavras >"fatorial" e "permutação" só devem ser apresentadas ao aluno *depois* >que ele tenha entendido e feito sozinho problemas como este. >Quanto às palavras "arranjo" e "combinação", eu as baniria completamente >do ensino médio, assim como a notação C(8,5): elas são aliás >bem pouco usadas *fora* do ensino médio. A resposta do problema >acima seria descrita por quase qualquer matemático como binomial(8,5). > >[]s, N. > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema dos soldados (Era: Livros)
Ooops!! Falha nossa, esqueci de acrescentar *desde que A e B não sejam o mesmo*. Mas o problema faz sentido, o começo da solução é, imagine que A e B estejam na mesma linha. Então A é mais baixo, pois é o mais baixo da linha. Suponha agora que A e B estejam na mesma coluna. Novamente, A é mais baixo, pois B é o mais alto da coluna. E se não estiverem na mesma linha nem na mesma coluna? Vou deixar que pensem mais um pouco. Abraços, olavo. >From: "Daniel S. Braz" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Re: [obm-l] Livros >Date: Thu, 23 Dec 2004 14:49:36 -0200 > >On Tue, 21 Dec 2004 08:40:23 +, Antonio Neto <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Duzentos soldados estão arrumados em 10 linhas e 20 colunas. Em cada linha, > > escolha o soldado mais baixo, e entre estes 10 soldados escolha o mais alto. > > Chamemo-lo A. Agora eles voltam para os seus lugares e em cada coluna > > escolhemos o soldado mais alto, e entre estes 20 soldados escolhemos o mais > > baixo, chamando-o de B. Quem é mais alto, A ou B? > >Utilizando uma matriz 3x6 ou inves de 10x20 (simplificando o exemplo) >e variando as alturas de 1 a 18 u.m (unidade de medida qualquer) > > 1 23456 > 7 89 10 11 12 > 13(ab) 14 15 16 17 18 > > a = b > > 8(b) 15 2369 > 7 1317 16 121 > 5 4(a) 14 18 10 11 > > a < b > >de forma analoga conseguimos montar uma matriz onde b < a...então..ou >eu não entendi o prolema (bem provavel), ou ele nao faz sentido... MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Livros
Oi, Daniele, Suponho que voce se refira a "The USSR Olympiad Problem Book", atualmente editado pela Dover, e que custa US$ 14,95 nos EUA. O ISBN é 0-486-27709-7. Este livro foi originalmente publicado em 1962 pela W. H. Freeman an Company, mas está esgotado. Realmente há QUASE o mesmo livro publicado pela MIR, chama-se "Selected Problems and Theorems of Elementary Mathematics", que aliás é o subtítulo do livro anterior, mesmos autores, mas não sei onde encontrá-lo. Alguém aqui na lista mandou um site onde comprar livros da MIR, anotei mas no momento não estou achando. Posso sugerir www.doverpublications.com, onde se encontram belíssimos livros de Matemática. Mas não esqueça de www.maa.org, o site da Mathematical Association of America, que tem coisas lindas. Em particular as séries Anneli Lax New Mathematical Library e a Dolciani Mathematical Expositions, que são um maná para professores, o que não sei se é o seu caso, mas é o meu. Se você mora no Rio ou São Paulo (eu sou do Rio) visite a M&F, livraria que importa o que você quiser. Na rede, tente www.mf.com.br. Sem querer ser imodesto, tenho bastante informação sobre livros, pode escrever para mim por fora da lista, para não cairmos em off-topic. Se você me conhecesse, saberia que sou velho o bastante para querer que o Nicolau brigue comigo. E, para sair do off, vai um probleminha, como você pediu. Duzentos soldados estão arrumados em 10 linhas e 20 colunas. Em cada linha, escolha o soldado mais baixo, e entre estes 10 soldados escolha o mais alto. Chamemo-lo A. Agora eles voltam para os seus lugares e em cada coluna escolhemos o soldado mais alto, e entre estes 20 soldados escolhemos o mais baixo, chamando-o de B. Quem é mais alto, A ou B? Abraços a todos, olavo. >From: Daniela Yoshikawa <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] Livros >Date: Mon, 20 Dec 2004 19:05:58 -0300 (ART) > >Olá pessoal! > >Onde posso encontrar o livro Contest Problem Book (não sei se é bem esse o nome)? Dizem que é um livro americano de competições matemáticas. Há um outro livro de matemática da Editora Mir também. Só que este não consigo achar em nenhum lugar. >Se possível, gostaria também que alguém me passasse alguns exercícios de ambos os livros caso tenha o conhecimento destes. > >Desde já agradeço, >Abraços. > >Daniele MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Circunferencia
Oi, sou preguiçoso, e esperei que alguem respondesse, mas ahi vai. O que eu faco (sou professor e nao matematico, tenho que fazer os caras resolverem) eh notar que toda circunferencia no plano tem uma equacao da forma x^2 + y^2 + mx +ny + p = 0. Logo, basta achar m, n e p. Substitua os pontos nessa equacao e resolva o sistema. O mesmo vale para equacao da reta que passa por dois pontos, e (a nivel de ensino medio) para uma parabola da forma y = ax^2 + bx + c. Uma discussao interessante com os alunos eh porque o metodo nao eh eficiente para determinar a equacao do plano ax + by + cz + d = 0 que passa por tres pontos dados. Eh mais eficaz utilizar produto vetorial, embora alguns prefiram outros metodos. Abracs, olavo. >- Mensagem Original >De: [EMAIL PROTECTED] >Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> >Assunto: [obm-l] circunferencia >Data: 10/12/04 20:42 > > >ola, sou novo aqui na lista e nao sei se isso ja foi discutido >mas um amigo me perguntou se dado 3 pontos nao colineares no plano, se era >possivel determinar a equacao da circunferencia que os contem. >considerando p1 = (a ; k) p2 = (b ; m) e p3 = (c ; n) eu consegui chegar >numa solucao que testando pareceu correta, só que muito grande, tanto que só >deu pra testar depois que ele botou em um programa de computador. >queria saber se voces conhecem ou conseguiriam deduzir uma formula mais >simples... se quiserem depois eu boto a minha aqui, mas nao acho que vai ser >de grande utilidade. > >obrigado, Bruno2 (Bruno Bruno) > > >Yahoo! Mail - Agora com 250MB de espaço gratuito. Abra uma conta agora! > > >OPEN Internet e Informática >@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Material de Ensino Fundamental e Médio
> --- Augusto Cesar de Oliveira Morgado ><[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Sou licenciado >em Matemática e professor de > > Matemática do Colégio Futuro, em Duque de Caxias, > > RJ. > >eh isso ai..e mais isso aqui tb.. >http://www.ensinomedio.impa.br/participantes/morgado.htm > Eu ia responder, mas vi a sua resposta primeiro. Hah muito mais do que o Morgado declara, escondendo os seus titulos e empregos dos quais jah estah aposentado. Mas o primordial para mim, que tive a honra de ser aceito como amigo, eh a extraordinaria figura humana daquele gordo adoravel. Abracos, olavo.MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Forma ção dos participantes da lista
Eu enrolo alunos do ensino médio. Esta eh uma preocupacao meio bizantin, hem??? Abracos, olavo.MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Provas IME 1996/1997-2003/2004
Excelente idéia, Sergio. O Morgado ainda deve lembrar de quando me perguntou por telefone se eu tinha essas provas em formato digital, e eu não tinha, nem tenho. Obrigado, pelo menos por mim. Abracos, olavo. >From: <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: [obm-l] Provas IME 1996/1997-2003/2004 >Date: Fri, 16 Apr 2004 16:04:03 -0300 (BRT) > >Caros colegas da lista, >Eu tenho um material sobre as provas de matematica do IME >que eu gostaira de disponibilizar para todos. >Eu tenho uma boa colecao de provas do IME, mas da' um trabalho >gigantesco de coloca-las em formato eletronico. >Motivado por esta lista eu comecei a fazer isto. >Comecei pelas provas mais recentes. Estas sao mais >faceis de achar na internet (propria homepage do ime >ou em outros sites), mas achei que tinham mais a ver com o >vestibular atual. A ideia e' ir incrementado aos poucos. >(o ritmo depende das outras atividades, e' claro). MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] livros
Mas a livraria estah lah, pelo menois ateh sabado passado, estou no trabalho de novo, vou ver se acho um endereco eletronico diferente em casa, mas vale lembrar que o velho Graham Bell ainda nao virou um completo dinossauro... Abracos, olavo. >From: Nelson <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: [obm-l] livros >Date: Thu, 18 Mar 2004 19:33:16 -0300 (ART) > >Olá Antônio, > >Por acaso a livraria é: >Livraria Academia do Saber >Av. Passos, 25 >Centro >Tel: (21) 2242-4826 >Livros novos e usados >http://www.aosaber.com.br/ > >Infelizmente, esse site está desativado. >Espero estar errado... se você tiver o endereço eletrônico, eu agradeço. >[]´s Nelson > >p.s.: Realmente, no site da livraria galileu consta os livros, mas eles acabaram de me avisar que eles estão na verdade esgotados. > > >Antonio Neto <[EMAIL PROTECTED]>wrote: > >Por acaso, soube no sábado passado. Se voce estiver no Rio de Janeiro, encontrarah uma livraria na Av. Passos, 23 ou 25, mas estah de frente para a rua. Encontrei 5 ou 6 exemplares de cada, em bom estado. Sem querer imitar nenhum participante da lista, depois eu mando o endereco eletronico, eh que estou no trabalho. Abracos, olavo. > > > > > >From: Nelson > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >To: [EMAIL PROTECTED] > >Subject: [obm-l] livros > >Date: Wed, 17 Mar 2004 11:36:14 -0300 (ART) > > > >Olá a todos, > > > >Alguém poderia me dizer como encontro os livros: > >GEOMETRIA I e II, e ALGEBRA I (morgado, a.c., et alii) > > > >E alguém sabe como entrar em contato com a editora Francisco Alves? > > > >Desde já, agradeço. > >Nelson > > > > > > > > >- >MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = > > >- >Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora! MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] livros
Por acaso, soube no sábado passado. Se voce estiver no Rio de Janeiro, encontrarah uma livraria na Av. Passos, 23 ou 25, mas estah de frente para a rua. Encontrei 5 ou 6 exemplares de cada, em bom estado. Sem querer imitar nenhum participante da lista, depois eu mando o endereco eletronico, eh que estou no trabalho. Abracos, olavo. >From: Nelson <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] livros >Date: Wed, 17 Mar 2004 11:36:14 -0300 (ART) > >Olá a todos, > >Alguém poderia me dizer como encontro os livros: >GEOMETRIA I e II, e ALGEBRA I (morgado, a.c., et alii) > >E alguém sabe como entrar em contato com a editora Francisco Alves? > >Desde já, agradeço. >Nelson MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Parâmetros curriculares nacionais
Tento ficar quieto no meu cannto, mas as vezes nao consigo, dada a burrice dos ministérios e dos supostos parametros. Ponha um ministro da educacao em uma sala de aula, por um ano, e ele poderah falar algo sobre ensino. No meu modo curto e grosso de ver, eh por ahi On Thu, Jan 29, 2004 at 07:58:04PM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: > De minha parte, declaro achar uma bobagem achar frações ordinárias uma > bobagem. Oi Morgado, você pode contar um pouco melhor para a gente que tem preguiça de ler o documento do MEC como é esta coisa das frações ordinárias serem ou não serem bobagem? Desculpe, eu sei que estou sendo bem folgado... []s, N. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sobre um livro...
Recomendo veementemente. Se voce eh dado a emprestar livros, compre dois, pois ele serah roubado. Abracos, olavo. oi... ;-) Gostaria de saber sobre um livro que me pareceu interessante... Chama-se "Challenging Mathematical Problems With Elementary Solutions, Vol. I", de A. M. Yaglom e I. M. Yaglom... Alguém o recomenda? abraços a todos, Alexandre = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Reciprocas
Receio que a diferenca entre equacoes reciprocas e palindromas seja soh nomenclatura. Palindroma eh uma expressao que nao se altera quando lida da esquerda para a direita e vice-versa. Detalhe encantador, na parte mais ocidental da peninsula iberica nao hah palindromos, soh umas capicuas. Abracos, olavo. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Charlatanismo
Os amigos da lista já devem ter reparado que sou meio rarefeito em palavras, mas é apenas pelo fato de ter que fazer um monte de coisas e ter pouco tempo. Quando chego a uma questão da lista, alguém já respondeu, e evito redundâncias. Mas vamos abrir uma pequena exceção, sobre a referência a um ciadão que se apresenta como um mago da Matemática, fazendo qualquer um aprendê-la por meio de métodos mágicos e esotéricos. Talvez fosse bom para mim, que, utilizando apenas os métodos normais (entenda-se estudar), progredi menos do que gostaria. Mas acho isso uma notável empulhação. Uma ex-aluna fez-me a gentileza de enviar uma gravação de uma das entrevistas, não sei com que intuito, mas foi compensatório, pude tomar conhecimento. Mas acho que deveria trocar o subject dessa mensagem. Nem o autor original faria melhor escrevendo algo sobre COMO ENGANAR AS PESSOAS. Minha solidariedade (dispensável, apenas de amigo) ao Morgado, este, sim, um senhor um tanto acima do peso, mas que jamais enganou ninguém nem veio dizer que a Matemática está ao alcance de qualquer beócio. Perdão pelo off-topic, mas estava com essa fita engasgada, e não pude resistir. No mais, muitas das minhas decisões na vida não foram diferenciáveis, e é difícil abandonar a boca torta pelo hábito do cachimbo. Pois é, ainda por cima sou (tal qual o Morgado) um detestável tabagista. Abraços baforantes, de mim, olavo. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] E o que fazer com eles?
Amigos, onde trabalho existe a educacao artistica, e a professora da quinta serie quer uma definicao para linha. Achei que as nossas definicoes usuais seriam meio transcendentes, e procuro auxilio dos colegas que atuam nesse segmento. Ou de quem possa me dizer algo razoavel. Obrigado, um abraco, olavo. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Notas de Corte.
Sei que sou apressadinho, mas meus alunos estao perguntando pela data da prova. Algo a respeito? Abracos, olavo. From: Olimpiada Brasileira de Matematica <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Notas de Corte. Date: Sat, 12 Jul 2003 05:47:06 -0700 Caros(as) amigos(as) da lista: Estao classificados para participar da segunda fase da OBM todos os alunos que tiverem atingido numero de acertos IGUAL ou SUPERIOR a nota minima de corte segundo a tabela abaixo: Nivel 1 (5a. e 6a. Series): 10 acertos. Nivel 2 (7a. e 8a. Series): 13 acertos. Nivel 3 (Ensino Medio): 11 acertos. Por favor ajude a divulgar. Abracos, Nelly. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] AQUELE MESMO
Menos pretensao, amigo Artur :) Tenho quase 54, não sei a idade do Morgado, mas deve ter mais que voce, e o Barone tambem deve ter mais de 51. Sei que eh off, mas deixa de ser convencido...:). Abraco, olavo. From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: RE: [obm-l] AQUELE MESMO Date: Sun, 13 Jul 2003 16:41:28 -0300 Eh isso ai Denisson!. Parabens pela maturidade em reconhecer que a sua primeira afirmacao foi precipitada.! Eu tambem me precipito as vezese sou um pouco mais velho que vc. Tenho 51 anos, provavelmente o cara mais velho desta lista. Um abraco Artur _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Duvidas
Caro Barone, V. não lembra de mim, mas voamos juntos para NY na Olimpíada
Internacional de 1981, a do Nicolau. Obrigado pela resposta, mas a diferença
de idade até que não é tão grande assim. Lembra que conosco foi o
Pitombeira? Grande prazer em receber o seu e-mail, um abraço grande, olavo.
From: Angelo Barone Netto <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: RE: [obm-l] Duvidas
Date: Sat, 7 Jun 2003 03:57:12 -0300 (EST)
Caro Olavo.
Eu devo ser mais velho do que V. e ainda uso o termo escolio
Aqui vai uma definicao nao matematica:
Escolio de uma demonstracao de um teorema e uma
proposicao que decorre (imediatamente) da demonstracao
mas nao decorre do enunciado do dito teorema.
Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica
Rua do Matao, 1010 Butanta - Cidade Universitaria
Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3091-6162/6224/6136
05311-970 - Sao Paulo - SP fax +55-11-3091-6131
Agencia Cidade de Sao Paulo
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RE: [obm-l] Duvidas
E haveria alguem da minha prisca geracao que lembrasse o que eh um escohlio? Abracos, olavo. From: Leandro Lacorte Recôva <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: RE: [obm-l] Duvidas Date: Mon, 2 Jun 2003 16:29:53 -0700 Lemas sao pequenos teoremas que sao apresentados, geralmente, antes do teorema principal a ser demonstrado. Portanto, para a demonstracao do teorema nao ficar grande , as vezes e mais facil apresentar o lema antes e depois somente utilizar os resultados dentro da demonstracao do teorema principal. Corolarios sao geralmente consequencias de um teorema previamente demonstrado, pode ser um caso especial, etc... -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Helder Suzuki Sent: Monday, June 02, 2003 3:50 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Duvidas Olá! Eu sempre vejo em algumas demonstrações termos como 'lema', 'corolário' e etc... O que significam? Obrigado, Helder T. Suzuki _ STOP MORE SPAM with the new MSN 8 and get 2 months FREE* http://join.msn.com/?page=features/junkmail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] AJUDA
Nao sei se estou atrasado e alguem ja respondeu, mas soh li hoje. O numero eh 142857, o periodo de 1/7. Isto ocorre sempre que 1/p, pprimo, tem um periodo com p-1 algarismos. Tais numeros sao chamados ciclicos. Posso mandar referencis bibliograficas, mas nao agora, estou longe da minha bisbilhoteca. Abracos, olavo. From: "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] AJUDA Date: Mon, 31 Mar 2003 22:14:36 -0300 1) a=1 (se a>1, 6N nao poderia ter a mesma quantidade de algarismos de N). 3N = bcdef1 (o 1=a so pode aparecer na ultima posiçao no 3N, pois o 5N nao pode terminar em 1 e os outros sao pares). Logo, N termina em 7, f=7. 2N termina em 4, 4N termina em 8 e 6N termina em 2, 5N termina em 5. Os algarismos sao 1(inicial), 7(final), 4, 8, 2 e 5 (nao sei em que posiçoes) S = 27 Se o problema tem soluçao, a soluçao eh 27. Daniel Pini wrote: OLá, alguem poderia me ajudar? 1-O número de seis algarismos N=abcdef é tal que quando multipicamos por 2, 3, 4, 5, 6 obtemos números com os mesmos algarismos permutados ciclicamente. A soma dos alg. de N é: R:27 _ The new MSN 8: advanced junk mail protection and 2 months FREE* http://join.msn.com/?page=features/junkmail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Deve haver fissao da lista?
Amigo Nicolau, uma proposta brincalhona: vamos fazer uma fissão na lista. Em uma ficariamos todos, exceto dois. Na outra, o falso Wagner e o Faelccmm. Acho que tenho o apoio do Morgado. Abracos, olavo. From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Deve haver fissao da lista? Date: Tue, 11 Feb 2003 14:46:37 -0200 Esta proposta de fissão da lista já apareceu várias vezes. Tecnicamente ela é muito fácil de ser implementada, a pergunta é se tal fissão é desejável. Todas as vezes que a proposta foi feita houve um pouco de discussão e me parecia no final que não havia maioria a favor da fissão. O fato da discussão já ter ocorrido antes não é, a meu ver, motivo para que a discussão não volte a ocorrer pois a realidade da lista tem mudado bastante. Por exemplo, o número de mensagens tem crescido muito. Há dois anos eu era totalmente contra a fissão: hoje não tenho mais tanta certeza... Eu sugiro que quem tiver uma opinião mande um e-mail particular para mim dizendo se é a favor da fissão e porque. Dentro de uma semana eu mandarei o resultado da votação para a lista. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = _ Add photos to your messages with MSN 8. Get 2 months FREE*. http://join.msn.com/?page=features/featuredemail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Máximos e Mínimos SEM DERIVADAS
Amigos, posso indicar um livro maravilhoso sobre o assunto: Maxima and Minima Without Calculus, do Ivan Niven, Dolciani Mathematical Expositions, numero 6, The Mathematical Association of America, não sei se ainda estah em catalogo, foi comprado em 1981, na propria MAA, na companhia do Nicolau. Alô, Nicolau, não estou vendendo o livro, ele eh meu, eh soh uma indicacao. Dizer que ele eh otimo eh fazer pouco do Niven. Acessem www.maa.org. Abracos, olavo, RJ From: "Thyago Alexandre Kufner" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] Máximos e Mínimos SEM DERIVADAS Date: Wed, 5 Feb 2003 19:28:11 -0200 Olá colegas da lista Recebi o seguinte exercício de um aluno: "Sendo x um nº positivo determine o menor valor de E= 5x + 16/x + 21" Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero ... Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: tem como chegar ao resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO? Proponho esta discussão por causa do seguinte artigo: http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf Aguardo resposta Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br _ Tired of spam? Get advanced junk mail protection with MSN 8. http://join.msn.com/?page=features/junkmail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] classifiquem a função
Do alto das minhas venerandas barbas branquinhas, endosso as homograficas. Abracos, olavo. From: "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] classifiquem a função Date: Sun, 12 Jan 2003 22:08:53 -0200 Tirando uma palavra do ostracismo: essas funçoes que sao quocientes de polinomios de primeiro grau ( de raizes diferentes ) tem como graficos hiperboles equilateras com uma assintota horizontal e outra vertical sao (ou eram, ha muito tempo nao vejo ninguem uar esse termo) chamadas (pelo menos pelos franceses) de HOMOGRAFICAS. Morgado Alguem ha muito tempo escreveu: Como vocês classificariam a seguinte função: f(x) = x-a / bx+a. Nos livros de 2º grau temos a função afim ou do 1ºgrau com a expressão ax+b. Temos a função quadrática com a expressão ax^2+bx+c etc. E na expressão da função acima como poderiamos classificar ? Eu acho que é do 1º grau pois temos somente a variável x com expoente unitário, mas e quanto ao gráfico? _ MSN 8: advanced junk mail protection and 2 months FREE*. http://join.msn.com/?page=features/junkmail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] onde comprar livros
Olha, *Matematica divertida e delirante*, que por acaso tenho, é de Malba Tahan, edicao antiquerrima, quase de minha provecta idade. Vai ser dificil achar, e a editora nao sei, estou no trabalho. Acho que nao ajudou nada, mas a solucao é mesmo um bom sebo e muita sorte. Abracos, olavo, RJ From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] onde comprar livros Date: Sat, 21 Dec 2002 23:08:51 -0400 Um componente de um outro grupo do qual participo está pedindo ajuda para comprar os livros abaixo, ambos da Editora Saraiva: - Problemas famosos e curiosos da matematica - Matematica divertida e delirante Ele mora em Manaus e já tentou sebos virtuais e grandes livrarias, sem sucesso. Alguém poderia ajudá-lo? JF (Rio) _ Protect your PC - get McAfee.com VirusScan Online http://clinic.mcafee.com/clinic/ibuy/campaign.asp?cid=3963 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] obm
ja foi mencionado aqui, tente www.kalva.demon.uk. Abracos, olavo. From: "Margarida Lanna" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> CC: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] obm Date: Wed, 30 Oct 2002 22:09:43 -0200 Gostaria de receber questões antigas de olimpíadas de matemática com gabarito. obrigada, Margarida Lanna _ Internet access plans that fit your lifestyle -- join MSN. http://resourcecenter.msn.com/access/plans/default.asp = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Continuo Perguntando...
>From: "e isso mesmo" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: [obm-l] Continuo Perguntando... >Date: Tue, 10 Sep 2002 14:57:34 -0300 > > > > >Amigos, alguém poderia me explicar detalhadamente o que são números >randômicos e como se constrói esses números? Li isso em algum lugar sobre >loterias. >Obrigado > Randomico eh ingles de Praça Mauah (sou do Rio de Janeiro), onde hah senhoritas que servem de guias aos marinheiros americanos, de onde tambem veio *rango*, de *hungry*. Em ingles, *at random* quer dizer ao acaso, e numeros randomicos sao numeros aleatorios. Abracos, olavo. _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] CRUEL
Neste tipo de problemas, costuma-se evitar acidentes de percurso, supondo que as coisas sao como no mundo de Candido, o melhor dos mundos possiveis (leiam Voltaire). Costuma-se pedir o numero maximo. Abracos, olavo. >From: "Eduardo Casagrande Stabel" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Re: [obm-l] CRUEL >Date: Wed, 14 Aug 2002 17:17:23 -0300 > >From: "Bruno F. C. Leite" <[EMAIL PROTECTED]> > > At 12:21 14/08/02 -0400, you wrote: > > >Num polígono convexo de n lados, quando se constrói todas as diagonais > > >aparecem pontos de interseção entre as diagonais. Determinar o número >de > > >pontos de interseção? > > > > Vamos supor que não há duas diagonais paralelas. > > > > Note que a cada ponto de intersecção podemos associar as duas diagonais >ou > > o quadrilátero formado pelos extremos destas diagonais. Logo há uma >bijeção > > entre o número de intersecções e o de quadriláteros com vértices >contidos > > no conjunto de vértices do poligono...logo a resposta é binomial(n,4). > > > > Está certo? > > > > Bruno Leite > > http://www.ime.usp.br/~brleite > >Mas e se dois quadriláteros distintos tiverem o mesmo ponto de interseção >das suas diagonais? Ou isso nunca ocorre por que nenhuma das diagonais é >paralelas, por hipótese sua? > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Questão interessante.
Considere o cidadao na intersecao da linha do mais baixo dos altinhos com a coluna do mais alto dos baixinhos. Abracos, olavo. >From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: [obm-l] Questão interessante. >Date: Tue, 13 Aug 2002 15:42:25 -0300 > >Não estou conseguindo partir. Tentando resolver no braço - afinal de >contas, >para que existem computadores? - estou achando que o mais baixo entre os >mais altos das suas colunas é também o mais alto entre os mais baixos das >suas linhas. Dá para fornecer uma um ponto de partida? > >JF > >-Mensagem Original- >De: Augusto Cesar de Oliveira Morgado <[EMAIL PROTECTED]> >Para: <[EMAIL PROTECTED]> >Enviada em: Quinta-feira, 8 de Agosto de 2002 11:06 >Assunto: Re: [obm-l] Questão interessante. > > > > Na verdade, o problema é russo e de data anterior a 1966. Mas é muito >bonito. > > Morgado > > > > > > Em Wed, 7 Aug 2002 22:13:01 -0300, Eduardo Casagrande Stabel ><[EMAIL PROTECTED]> disse: > > > > > Olá pessoal! > > > > > > Compartilho com vocês esta questão que, tenho certeza, todos vão >adorar. > > > > > > (Inglaterra - 1966) Cem pessoas de diferentes alturas são acomodadas >num > > > grande tabuleiro 10 x 10. O indivíduo X, o mais baixo dentre as 10 >pessoas > > > mais altas em suas colunas, mede uma altura diferente do indivíduo Y, >o >mais > > > alto dentro as 10 pessoas mais baixas em suas linhas. Quem é mais >baixo: >X > > > ou Y? > > > > > > Eduardo. > > > > > > >= > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > > > >= > > > > > > > > > > >= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > > >= > > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Infinitos
Existe tradução, com o nome "Teoria Ingênua dos Conjuntos", do tempo em que editora tinha acento circunflexo, o tradutor foi o Irineu Bicudo, Ed. Polígono, com a colaboração da Ed. da USP. O consultor de Matemática era um certo Jacy Monteiro. Velhinho também é cultura :-)... >Existem muitos conceitos de infinito. >Um dos mais importantes é o conceito de cardinais infinitos (de Cantor) >sobre o qual já se falou muito nesta lista (veja os arquivos) e sobre >o qual você pode ler também em Naïve Set Theory, de Halmos (acho que >existe tradução). > >No seu exemplo o cardinal é o mesmo, a função > >f: [0,1] -> [0,10] > x |-> 10x > >é uma bijeção. > >[]s, N. >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Regioes do espaco...
Procure no excelente "Matematica Concreta", dos Graham, Knuth e Patashnik, da LTC. A fórmula é 2n^2 - n + 1. Para detalhes, escreva. Abracos, olavo. >From: "Anderson" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: [obm-l] Regioes do espaco... >Date: Mon, 1 Jul 2002 22:15:19 -0300 > >Oi, > Estou com um problema pra resolver q me parece ser dos classicos, mas >nao encontro a solucao e nao sei onde procurar por alguma bibliografia... > > >1) Qual e o numero maximo de regioes do plano quando "angulos" sao >acrescentados no plano? Apresente a equacao de recorrencia para resolver >esse problema. > >OBS: Tem a figura em anexo, mas vo tentar explicar o desenho... desenhe um >angulo qualquer no plano (duas retas partindo de um ponto)... assim vc >gerou >2 espacos certo?! Da vc crie mais um angulo q corte o primeiro em um numero >maior possivel de espacos... assim vc conseguira 7 espacos nesse segundo >caso... dai vc vai adicionando ate n angulos e tente achar uma solucao >geral... por onde posso comecar a resolver? > >Obrigado, >Anderson > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] 3 circulos!
Aproveita e demonstra que r + r -1 +r_2 = h, onde h é a altura relativa a hipotenusa. Abracos, olavo. >From: Rafael WC <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: OBM <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: [obm-l] 3 circulos! >Date: Sun, 16 Jun 2002 21:47:30 -0700 (PDT) > >Oi Pessoal! > >Alguém conseguiria me dar uma indica do que usar nesse >exercício? > >Os raios dos circulos inscritos num triangulo >retangulo ABC e nos dois triangulos ABH e ACH >determinados pela altura relativa à hipotenusa BC são >respectivamente r ,r1 e r2. Demonstrar que: >r² = r1² + r2² > >Valeu! > >Rafael. > >= >Rafael Werneck Cinoto >ICQ# 107011599 > [EMAIL PROTECTED] >[EMAIL PROTECTED] >http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ > >__ >Do You Yahoo!? >Yahoo! - Official partner of 2002 FIFA World Cup >http://fifaworldcup.yahoo.com >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] t. dos nºs
Lindissimo livro!!! Abracos, olavo. >From: Salvador Addas Zanata <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: [obm-l] t. dos nºs >Date: Tue, 11 Jun 2002 10:50:25 -0300 (EST) > > > >O primeiro problema so pode ter solucao se p=4n+1. > >Para ver isso, observe que a deve ser par e b impar. Logo a^2+b^2 e da >forma: 4c^2+4d^2+4c+1, que e da forma 4n+1. > >De fato todo primo da forma 4n+1 se escreve de um unico jeito como a soma >de 2 quadrados. Tem um livro chamado "100 great elementary problems: Their >history and solutions" Heinrich Dorrie, que tem essa prova e muitas outras >bacanas. Alias esse livro apresenta as "melhores" provas de cada >problema. E da Dover e nao e dificil de achar. > > >Abraco, > >Salvador > > >On Tue, 11 Jun 2002, Adherbal Rocha Filho wrote: > > > > > ajuda: > > > > Mostrar q se o primo p é tal q p==3(mod4), então a equação p^2= a^2 +b^2 > > possui solução inteira > > > > mostre q todo quadrado perfeito pode ser representado como soma dos > > quadrados de racionais ,naum inteiros, r e s. > > > > valeu! > > > > _ > > Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: > > http://explorer.msn.com.br > > > > >= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > > >= > > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Re: Maio01
> Talvez eu não tenha sido claro o suficiente em alguns pontos pq estou >com sono agora, mas os resultados que eu não msotrei são facilmente >comprováveis - vide a relação eentre o lado do polígono regular e o raio da >circunscrita. O único resultado que eu usei e não sei mostrar é o valor do >sen(18). Esse eu realmente "colei" :))) Alexandre Tessarollo Sem figura eh mais dificil, mas trace um triangulo isosceles de lados 1, 1 e x, e angulos de 36, 72 e 72. tracando a bissetriz de um dos angulos de 72, vc encontra outro triangulo semelhante ao primeiro, e acha x por semelhanca. Dahi, a bissetriz do angulo de 36 intercepta x no ponto medio, e... Abracos, olavo _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Soma de fatoriais
Vajavamos eu e o Morgado na semana santa. Fui a Fortaleza. Ainda nao li tudo, alguem deve ter reparado, mas dah pra fazer por 10!. Abracos, olavo >From: Augusto César Morgado <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: [obm-l] Soma de fatoriais >Date: Sat, 30 Mar 2002 10:05:40 -0300 > >De 20! para cima todos os fatoriais são múltiplos de 100, pois contêm os >fatores 20 e 5 _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
