Re: [obm-l] Re: Equação cotangentes

[Márcio Pinheiro]

Digo, n na forma kpi. 

Em Terça-feira, 26 de Julho de 2016 10:35, Márcio Pinheiro 
<profmar...@yahoo.com.br> escreveu:
 

 Agora que vi a correção. A equação dada equivale a ((cotg1 + i)/(cotg1 - i))^n 
= 1, isto é, ((cos1+isen1)/(cos1-isen1))^n = 1, a qual pode ser reescrita como 
((cos1+isen1)/(cos(-1)+isen(-1)))^n = 1, observando que a função cosseno é par 
e a seno é ímpar. Pela fórmula de Euler, cos1+isen1 = e^i e cos(-1)+isen(-1) = 
e^(-i), do que se segue a equação dada ser equivalente a (e^(2i))^n = 1. 
Fazendo n = x + yi, com x e y reais, é necessário e suficiente que e^(-2y+2xi) 
= 1, ou seja, e^(-2y).e^(2xi) = e^(-2y)(cos(2x)+isen(2x)) = 1. Para tanto, 
deve-se impor que e^(-2y) = 1 e 2x = 2kpi, para k inteiro, em virtude do que y 
= 0 e x = kpi.Desse modo, creio, qualquer expoente n na forma 2kpi, com k 
inteiro, satisfaz a equação solicitada. Caso se impusesse n ser inteiro, o 
único valor servível seria n = 0. 

Em Terça-feira, 26 de Julho de 2016 0:35, Israel Meireles Chrisostomo 
<israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
 

 Opa eu quis dizer (ctg1+i)^n=(ctg1-i)^n com sendo um número complexo
Em 26 de julho de 2016 00:07, Israel Meireles Chrisostomo 
<israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

como eu posso provar que não existe inteiro n que satisfaça a equação

(ctg1+1)^n=(ctg1-1)^n
se 1 é dado em radianos, sem usar a transcendência de cotangente de 1?Alguma 
ideia?


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Re: [obm-l] Re: Equação cotangentes

[Márcio Pinheiro]

Agora que vi a correção. A equação dada equivale a ((cotg1 + i)/(cotg1 - i))^n 
= 1, isto é, ((cos1+isen1)/(cos1-isen1))^n = 1, a qual pode ser reescrita como 
((cos1+isen1)/(cos(-1)+isen(-1)))^n = 1, observando que a função cosseno é par 
e a seno é ímpar. Pela fórmula de Euler, cos1+isen1 = e^i e cos(-1)+isen(-1) = 
e^(-i), do que se segue a equação dada ser equivalente a (e^(2i))^n = 1. 
Fazendo n = x + yi, com x e y reais, é necessário e suficiente que e^(-2y+2xi) 
= 1, ou seja, e^(-2y).e^(2xi) = e^(-2y)(cos(2x)+isen(2x)) = 1. Para tanto, 
deve-se impor que e^(-2y) = 1 e 2x = 2kpi, para k inteiro, em virtude do que y 
= 0 e x = kpi.Desse modo, creio, qualquer expoente n na forma 2kpi, com k 
inteiro, satisfaz a equação solicitada. Caso se impusesse n ser inteiro, o 
único valor servível seria n = 0. 

Em Terça-feira, 26 de Julho de 2016 0:35, Israel Meireles Chrisostomo 
 escreveu:
 

 Opa eu quis dizer (ctg1+i)^n=(ctg1-i)^n com sendo um número complexo
Em 26 de julho de 2016 00:07, Israel Meireles Chrisostomo 
 escreveu:

como eu posso provar que não existe inteiro n que satisfaça a equação

(ctg1+1)^n=(ctg1-1)^n
se 1 é dado em radianos, sem usar a transcendência de cotangente de 1?Alguma 
ideia?


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Re: [obm-l] Equação cotangentes

[Márcio Pinheiro]

Primeiramente, note-se que (cotgx+1)/(cotgx-1) = cotg((pi/4)-x), para todo x no 
domínio de validade, dentre os quais se inclui x = 1 radiano, conforme é 
possível demonstrar. Daí, a equação dada equivaleria a ((cotg1+1)/(cotg1-1))^n= 
1, visto que cotg1 é diferente de 1. Utilizando a identidade dada, a equação 
corresponderia a cotg((pi/4)-1)^n = 1, o que claramente é um absurdo, para n 
inteiro. 

Em Terça-feira, 26 de Julho de 2016 0:38, Israel Meireles Chrisostomo 
 escreveu:
 

 como eu posso provar que não existe inteiro n que satisfaça a equação

(ctg1+1)^n=(ctg1-1)^n
se 1 é dado em radianos, sem usar a transcendência de cotangente de 1?Alguma 
ideia?
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[obm-l] RE: [obm-l] funções injetivas

[Márcio Pinheiro]

Olá.Até onde eu sei, os conceitos são os mesmos quaisquer que sejam as 
naturezas do domínio e do contradomínio da função. Não mudam uma vírgula sequer.

From: dr.dhe...@outlook.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] funções injetivas
Date: Fri, 21 Nov 2014 03:54:55 +0300




Olá pessoal, tudo bem?
Minha dúvida é de cunho teórico. Há, no âmbito de funções de duas variáveis (ou 
mais) f(x,y), alguma generalização do conceito de injetividade, sobrejetividade 
e bijetividade?
Att.Eduardo   
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[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração sobre determinantes

[Márcio Pinheiro]

Supondo que n é a ordem da matriz da qual se está calculando o determinante, 
basta aplicar o teorema de Laplace indutivamente. A propriedade é trivialmente 
verificada para n =1. Suponha-se, apenas para fixar ideias, que todos os termos 
acima da diagonal secundária seja nulos. Assim, o determinante dado é igual ao 
elemento a_1,n (a_i,j representa o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna) 
multiplicado pelo respectivo cofator, já que todos os demais elementos da 1ª 
linha são nulos. Só que o cofator mencionado é igual ao produto de (-1)^(n+1), 
pelo menor complementar de a_1,n. De seu turno, tal menor complementar consiste 
em outro determinante da mesma natureza que o original, só que de ordem n - 1. 
Portanto, após n aplicações do raciocínio precedente, obtém-se o produto dos 
elementos da diagonal secundária por 
((-1)^(n+1))*((-1)^(n))*((-1)^(n-1))*...*((-1)^(1+1)) = 
(-1)^((n+1)+(n)+(n-1)+...+2) = (-1)^((n+3)*n/2) = (-1)^((n-1)*n/2),
 tendo em vista que n+3 e n têm a mesma paridade.
Caso os zeros estejam abaixo da diagonal principal, o raciocínio é plenamente 
análogo, apenas aplicando Laplace a partir da última coluna, para a esquerda, 
ao invés da primeira linha para baixo, como feito aqui.
Espero ter ajudado.
Márcio Pinheiro.

Em qui, 25/9/14, Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com 
escreveu:

 Assunto: [obm-l] Demonstração sobre determinantes
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Quinta-feira, 25 de Setembro de 2014, 21:06
 
 Boa
 noite.
 
 Gostaria de um encaminhamento para mostrar que:
 Se uma matriz possui zeros acima ou abaixo da diagonal
 secundária, o determinante é o produto dos elementos dessa
 diagonal multiplicado por (-1)^(n.(n-1)/2).
 
 Penso que essa potência do (-1) indica uma
 combinação dois a dois, mas não cheguei a uma
 conclusão.
 
 Obrigado 
 
 -- 
 Walter Tadeu Nogueira da Silveira
 
 
 
 
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica

[Márcio Pinheiro]

Se não houver imperiosidade de usar Geometria Analítica, pode-se empregar, tão 
somente, a propriedade reflexiva da elipse, segundo a qual: uma reta tangente a 
uma elipse por um de seus pontos forma ângulos congruentes com os raios vetores 
referentes a tal ponto.Desse modo, sejam F e F' os focos da elipse, O seu 
centro e AB um diâmetro qualquer (A e B pertencentes à cônica). Como O é um 
centro de simetria, AF = BF' e AF' = BF. Portanto, AFBF' é um paralelogramo, 
com diagonais encontrando-se em O. Das congruências entre os triângulos AFO e 
BF'O, bem como entre AF'O e BOF, fica fácil ver, usando a propriedade 
reflexiva, que as retas tangentes formam, por exemplo, alternos internos de 
mesma medida, relativamente à reta transversal AOB. Logo, devem ser 
paralelas.Obviamente, convém acompanhar a resolução usando uma figura.Espero 
ter ajudado.
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 +




Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um 



 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

diâmetro são paralelas.   
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[obm-l] RE: [obm-l] Função trigonométrica sem período

[Márcio Pinheiro]

Basta resolver a equação cos ((x + t)^1/2) = cos (x^1/2), supondo, 
inicialmente, que f é periódica, para concluir que, em qualquer solução, t 
depende de x. Logo, f não pode ser periódica, pois, se fosse, deveria haver t  
0, independente de x (ponto de partida), tal que f (x + t) = f (x), para todo 
x, isto é, não importa qual seja x.

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Função trigonométrica sem período
Date: Fri, 8 Mar 2013 18:52:48 +




O objetivo dessa questao é demonstrar que f(x) = cos(x^1/2),x  = 0,não é 
periódica,ou seja,não existe nenhum numero
real positivo T tal que cos[(x+T)]^1/2 = cos(x^1/2) para todo x  = 0. 
 
a) Encontre todos os valores de T  = 0 para os quais f(T) = f(0) e,a seguir 
encontre todos os valores de T  = 0 para os quais
f(T) = f(2T)
 
b) use o ítem a para mostrar que f(x) não é periodica 
  
  

RE: [obm-l] outra questao!!! geometria!

[Márcio Pinheiro]

Olá,Não sei exatamente o que você quer dizer com solução plana (seria solução 
sintética?), mas fizemos uma solução para o item b que, apesar de utilizar 
alguma Geometria Analítica, tal seria perfeitamente dispensável.O endereço 
éhttp://www.grupoideal.com.br/idealmilitar/pdf/gab_ime_mat_2012_9.pdfEspero ter 
ajudado.Márcio Pinheiro.

Date: Fri, 28 Oct 2011 14:08:48 -0200
From: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] outra questao!!! geometria!



Olá eu estava tentando achar uma solucao plana para a questao numero 9 letra b, 
do ime deste ano 2011, de geometria. a questao é a seguinte:
 9) Considere uma reta r que passa pelo ponto P(2,3). A reta r intercepta a 
curva
xˆ2  – 2xy  – yˆ2  = 0 nos pontos A e B. Determine:
a) o lugar geométrico definido pela curva;
b) a(s) possível(is) equação(ões) da reta r, sabendo que (PA)(PB)=17
Na letra (a) o lugar geométrico dará duas retas perpendiculares que serão 
y=(raiz(2)-1)x   (r)  e y=(-raiz(2)-1)x (s)
Na resposta da b são 4 retas fazendo por analitica y=3,x=2 , y=-x+5 e y=x+1 
então percebi que as duas primeiras são perpendiculares e as duas últimas 
tambem, entao logo vi que se as retas são perpendiculares a única solução será 
essas 4 retas!! 
entao estou tentando mostrar que essas retas fazem um angulo reto entre elas, 
mas esta complicado!!!
qualquer ajudinha é bem vinda!! obrigado
Douglas Oliveira.
  

Res: [obm-l] sequencia

[Márcio Pinheiro]

Prezado,
Se alguém ainda não lhe enviou qualquer resolução, aí vai uma:
Basta inverter a relação de recorrência que lhe foi fornecida, para obter uma 
soma telescópica:
(na sua notação) a(n+1)=an/(1+nan) = (1/a(n+1)) = (1/an)+n = somatório 
(1/a(n+1)) = somatório (1/an) + somatório (n), com n variando de 0 a 1992. 
Notando a telescopia (isto é, que há diversos termos comuns a ambos os membros) 
e a soma da PA:
(1/a1993) = (1/a0) + 1992*1993/2 = 1985029 = a1993 = 1/1985029.
Espero ter ajudado.
Márcio Pinheiro.





De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 16 de Fevereiro de 2011 9:45:44
Assunto: [obm-l] sequencia

 Determinar a1993 para a sequencia definida por a0=1 e  a(n+1)=an/(1+nan),para 
todo n natural.Desde ja agradeço. 



  

[obm-l] Res: [obm-l] Questões do colégio naval 2010

[Márcio Pinheiro]

Para a questão 1, um caminho é observar os possíveis algarismos das unidades do 
quadrado de um número inteiro qualquer (0, 1, 4, 5, 6 ou 9), de um múltiplo de 
5 
(0 ou 5) e de um múltiplo de 11, previamente multiplicados por um quadrado 
(idem 
aos 6 primeiros). Enfim, basta analisar as possibilidades dos algarismos finais 
de 5x^2+11y^2 pra concluir que nenhum pode ser 3 (de 876543).
Para a 2, um caminho (não tão simples, mas educativo) é o seguinte: pode-se 
garantir que o resto deve assumir a forma r(x) = ax + b, com a e b reais. Logo, 
pelo algoritmo da divisão: p(x) = q(x)*Q(x) + r(x), para todo x (até mesmo 
complexo), em que Q(x) é o quociente da divisão. Logo: 2x^2010-5x^2-13x+7 = 
(x^2+x+1)*Q(x) + ax+b, qualquer que seja o x. A ideia é sumir com o Q(x), 
desconhecido e desinteressante, aqui, fazendo x assumir valores convenientes 
(as 
raízes de q(x)). Porém, como se sabe, tais valores não são reais. Sejam m e n 
os 
mesmos (distintos). Então, m^2+m+1 = n^2+n+1 = 0. Multiplicando respectivamente 
por m - 1 e n - 1, conclui-se que: (m - 1)*(m^2+m+1) = (n - 1)*(n^2+n+1) = 0, 
ou 
seja, m^3 - 1 = n^3 - 1 = 0. Observe-se que m^3 = 1 = (m^3)^670 = m^2010 = 1 e 
que m^2 = - m - 1, bem como para n. Logo, fazendo respectivamente x = m e x = n 
no algoritmo da divisão, vem que: (2m^2010-5m^2-13m+7 = 2*1-5(-m-1)-13m+7 = 14 
- 
8m)
14 - 8m = am + b e 14 - 8n = an + b. Subtraindo, conclui-se que a = - 8 
(NOTANDO 
QUE m É DISTINTO DE n). Substituindo, que b = 14. Logo, r(x) = - 8x + 14, do 
que: r(2) = - 2.
Outro caminho, menos laborioso, é fazer no braço a divisão pelo método da 
chave.
Espero ter ajudado.
Márcio Pinheiro.





De: Luiz Paulo paulolui...@yahoo.com.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Sexta-feira, 13 de Agosto de 2010 10:10:04
Assunto: [obm-l] Questões do colégio naval 2010


Bom dia colegas da lista, por esses dias ocorreu o concurso de admissão ao 
colégio naval. Alguns alunos me trouxeram a prova para dar uma olhada e duas 
questões me chamaram a atenção em especial e gostaria da ajuda de vocês.

Questão 1
Estudando o quadrado dos números naturais um aluno, um aluno conseguiu 
determinar corretamente o número de soluções inteiras e positivas da equação 
5x^2+11y^2=876543.
Qual foi o número de soluções que esse aluno obteve?

Questão 2
Sejam p(x)=2x^2010-5x^2-13x+7 e q(x)=x^2+x+1. Tomando r(x) como sendo o resto 
da 
divisão de p(x) por q(x), o valor de r(2) será?
Resolvendo por números complexos fica fácil, só dá trabalho, é só fatorar q(x) 
em produto de dois fatores de 1º grau, só que essas raízes são complexas e 
preferencialmente escritas na forma trigonométrica para poder usar a  fórmula 
de 
moivre quando for substituir em p(x) para obter os coeficientes de r(x) que 
será 
da forma r(x)=ax+b...
Entretanto, essa prova é para alunos que nem entraram no ensino médio e por 
isso 
não conhecem Moivre! Por isso, gostaria de saber se vocês têm uma solução mais 
simples para essa questão.

Muito obrigado, Luiz.


  

RE: [obm-l] Losango C.N. 2001

[Márcio Pinheiro]

Traçando as diagonais do losango, que se cortam ao meio perpendicularmente, 
divide-se o mesmo em quatro triângulos retângulos congruentes (e justapostos). 
Sendo 2x e 2y as medidas dos lados do retângulo, por semelhança, conclui-se que 
x/4=y/6. Como 2x.2y = 24, conclui-se que x = 2 e y = 3. Logo, o valor pedido é 
4x + 4y = 20 cm.

Falou.

Márcio Pinheiro.

 


Date: Thu, 11 Mar 2010 09:51:29 -0300
Subject: [obm-l] Losango C.N. 2001
From: silasgr...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Bom dia senhores,

poderiam me ajudar com a seguinte questao? a figura está em anexo. Agradeço a 
ajuda.

Abraços


Considere um retângulo inscrito em um losango, conforme a figura abaixo. Se as 
diagonais do losango medem, respectivamente, 8cm  e 12cm e a área do retângulo 
é 24 cm², então o perímetro deste retângulo, em cm, é igual a :
-- 
Silas Gruta
  
_
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agora.
http://go.microsoft.com/?linkid=9707132

[obm-l] Re: [obm-l] ESSA É LEGAL

[Márcio Pinheiro]

Completando os quadrados, tem-se que y = a[x + b/(2a)]^2 - (b^2 - 4ac)/(4a), 
que equivale a y + (b^2 - 4ac)/(4a) = 2.a/2.[x + b/(2a)]^2. Comparando com as 
formas tradicionais de equações de parábolas com eixos de simetria verticais 
(paralelos ao eixo y), (x - x0)^2 = 2p(y - y0) ou (x - x0)^2 = - 2p(y - y0), em 
que (x0, y0) são as coordenadas do vértice e p é o parâmetro (distância do foco 
à diretriz), conclui-se que a equação dada, y = ax^2 + bx + c, representa, de 
fato, uma parábola, de vértice em (- b/(2a), - (b^2 - 4ac)/(4a)), foco em - 
(b^2 - 4ac)/(4a) + a/2 e com diretriz y = - (b^2 - 4ac)/(4a) - a/2.
Até mais.


--- Em ter, 10/11/09, Robério Alves prof_robe...@yahoo.com.br escreveu:


De: Robério Alves prof_robe...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] ESSA É LEGAL
Para: OBM Matemática Matemática obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 7:09















Determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola y = ax^2+bx+c




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[obm-l] Re: [obm-l] Duvida nessa questão

[Márcio Pinheiro]

Sem perda de generalidade, adote-se um sistema de coordenadas de tal sorte que 
uma equação para a hipérbole possa ser escrita sob a forma (x/a)^2 - (y/b)^2 = 
1, em que a e b são os semieixos real e imaginário. Nessas condições, as 
assíntotas da hipérbole podem ter suas equações escritas como y = (b/a)x ou y 
= - (b/a)x.
Dessa forma, uma reta paralela a uma assíntota tem sua equação reduzida como y 
= (b/a)x + k ou y = - (b/a)x + k, sendo k uma constante real.
Para obter os pontos de interseção, basta resolver o sistema formado pelas 
equações reduzidas da hipérbole e da reta em questão. Conclui-se facilmente 
que, em qualquer caso, tal sistema tem uma única solução, o que demonstra a 
tese pedida.
Falou.
Márcio Pinheiro.

--- Em ter, 10/11/09, Robério Alves prof_robe...@yahoo.com.br escreveu:


De: Robério Alves prof_robe...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Duvida nessa questão
Para: OBM Matemática Matemática obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 7:09














Como se resolve essa ?

mostre que se uma rela r é paralela a uma assintota de uma hipérbole, então r 
intercepta a hiperbole em apenas um ponto.









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[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO COMPLICADA

[Márcio Pinheiro]

Basta notar que, sendo AB uma dessas cordas, de ponto médio M, e O o centro da 
circunferência, o triângulo retângulo BOM, em que OB = 5 (raio) e MB = 4, 
fornece, qualquer que seja a posição da corda, OM = 3.
Portanto, para toda corda de comprimento 8, seu ponto médio estará a uma 
distância constante (3) de um ponto fixo, O, ou seja, sobre a circunferência C 
de centro O e de raio 3. É fácil ver, enfim, que todo ponto dessa 
circunferência também serve de ponto médio para uma corda de comprimento 8 da 
circunferência original (tais cordas tangenciam a circunferência de raio 3).
Assim, o lugar geométrico procurado é a circunferência C.
Espero ter ajudado.
Márcio.
P.S.: a solução acima, sintética, é uma alternativa à solução analítica. 
Eventualmente, uma é mais facilmente obtida que a outra. Para a solução 
analítica, um caminho é fazer M (xm, ym), notando que A (xa, ya) e B (xb, yb) 
são tais que (xa)^2 + (ya)^2 = 25 e (xb)^2 + (yb)^2 = 25, pois A e B estão na 
circunferência. Logo, como M = (A + B)/2, tem-se que xm = (xa + xb)/2 e ym = 
(ya + yb)/2. Então, (xm)^2 + (ym)^2 = [(xa)^2 + (ya)^2
+ (xb)^2 + (yb)^2 + 2(xa.xb + ya.yb)]/4 = [50 + 2(xa.xb + ya.yb)]/4. Dependendo 
do nível de conhecimento com que se está trabalhando, obter xa.xb + ya.yb pode 
ser mais ou menos complicado. Caso se disponham de ferramentas vetoriais, 
acabou: trata-se do produto escalar dos vetores OA e OB, que pode ser obtido 
por (módulo de OA).(módulo de OB).cos(BÔA) = 5.5.(- 7/25) = - 7. O valor desse 
cosseno pode ser obtido, por exemplo, aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo 
BOA. Consequentemente, (xm)^2 + (ym)^2  = 9, que é a circunferência C obtida na 
solução sintética.

--- Em ter, 10/11/09, Robério Alves prof_robe...@yahoo.com.br escreveu:


De: Robério Alves prof_robe...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] QUESTÃO COMPLICADA
Para: OBM Matemática Matemática obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 7:08














Chamaremos de lugar geométrico todo conjunto de pontos que gozam de uma certa 
propriedade geométrica. Considere a circunferencia x^2 + y^2 = 25. Determine o 
lugar geométrico dos pontos médios de todas as cordas, de comprimento 8, desta 
circunferencia.




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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ESSA É LEGAL

[Márcio Pinheiro]

Retificando, o  foco está em (-  b/(2a), (b^2 - 4ac)/(4a) + a/2).

--- Em ter, 10/11/09, Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br escreveu:


De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] ESSA É LEGAL
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 10:14







Completando os quadrados, tem-se que y = a[x + b/(2a)]^2 - (b^2 - 4ac)/(4a), 
que equivale a y + (b^2 - 4ac)/(4a) = 2.a/2.[x + b/(2a)]^2. Comparando com as 
formas tradicionais de equações de parábolas com eixos de simetria verticais 
(paralelos ao eixo y), (x - x0)^2 = 2p(y - y0) ou (x - x0)^2 = - 2p(y - y0), em 
que (x0, y0) são as coordenadas do vértice e p é o parâmetro (distância do foco 
à diretriz), conclui-se que a equação dada, y = ax^2 + bx + c, representa, de 
fato, uma parábola, de vértice em (- b/(2a), - (b^2 - 4ac)/(4a)), foco em - 
(b^2 - 4ac)/(4a) + a/2 e com diretriz y = - (b^2 - 4ac)/(4a) - a/2.
Até mais.


--- Em ter, 10/11/09, Robério Alves prof_robe...@yahoo.com.br escreveu:


De: Robério Alves prof_robe...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] ESSA É LEGAL
Para: OBM Matemática Matemática obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 7:09















Determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola y = ax^2+bx+c




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RE: [obm-l] produtos notaveis

[Márcio Pinheiro]

Olá.
Não reparei na solução (ou início dela). Como seria? Devo ter apagado a 
mensagem, sem prestar atenção.
Até.

--- Em ter, 5/5/09, Luís Lopes qedte...@escolademestres.com escreveu:

De: Luís Lopes qedte...@escolademestres.com
Assunto: RE: [obm-l] produtos notaveis
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 5 de Maio de 2009, 17:11

Sauda,c~oes, 
Oi Márcio Pinheiro, 
 
Legal, gostei. 
 
Mas me parece que o Bernardo(?) deu uma sugestão 
para um começo de solução. Ou não? 
 
Se sim, como seria esta solução? 
 
[]'s 
Luís 

 
 Date: Thu, 30 Apr 2009 05:41:38 -0700
 From: profmar...@yahoo.com.br
 Subject: Re: [obm-l] produtos notaveis
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Saudações.
 O melhor caminho que vislumbro pra resolver esse tipo de questão não é
exatamente por produtos notáveis, mas por números
complexos.
 LEMA: Sendo x um número complexo, não real, x + 1/x é real se, e
somente se, x tem módulo unitário.
 Adotar-se-á a notação cisk para significar cosk + isenk, sendo k um
número real e i^2 = - 1.
 Seja x = pcisk, em que p = módulo de x (número real positivo, já que x
não é nulo). Pela 1ª Lei de De Moivre, x^n = p^ncis(nk), qualquer que seja n
inteiro.
 PROVA DO LEMA: x + 1/x = x + x^(-1) = pcis k + p^(-1)cis(-k)= (p +
1/p)cosk + i(p - 1/p)senk, que é um número real se, e somente se, p = 1/p,
pois senk é diferente de zero. Daí, p = 1, como se desejava demonstrar.
 Assim, sendo x + x^(-1) = (1+sqrt5)/2 (o número de ouro, por sinal), é
fácil ver que x não pode ser real, porque o discriminante (delta) é negativo.
Logo, de acordo com o lema precedente, x = cisk, com k real. Daí, x + x^(-1) =
2cosk = (1+sqrt5)/2, ou seja, cosk = (1+sqrt5)/4 = cos (pi/5). Portanto, usando
o argumento principal (isto é, de 0 a pi) para o valor de k, pode-se tomar x =
cis (pi/5).
 Pela 1ª Lei de De Moivre, conclui-se que: x^2000 + x^(-2000) =
2cis(400pi) = 2(1 + 0i) = 2.
 Espero ter ajudado.
 Márcio Pinheiro.
 
 --- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu:
 
 De: Marcus marcusaureli...@globo.com
 Assunto: [obm-l] produtos notaveis
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00
 
 Alguem sabe como se faz essa questão?
  
 Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? 
 
 
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=



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Re: [obm-l] produtos notaveis

[Márcio Pinheiro]

Saudações.
O melhor caminho que vislumbro pra resolver esse tipo de questão não é 
exatamente por produtos notáveis, mas por números complexos.
LEMA: Sendo x um número complexo, não real, x + 1/x é real se, e somente se, x 
tem módulo unitário.
Adotar-se-á a notação cisk para significar cosk + isenk, sendo k um número real 
e i^2 = - 1.
Seja x = pcisk, em que p = módulo de x (número real positivo, já que x não é 
nulo). Pela 1ª Lei de De Moivre, x^n = p^ncis(nk), qualquer que seja n inteiro.
PROVA DO LEMA: x + 1/x = x + x^(-1) = pcis k + p^(-1)cis(-k)= (p + 1/p)cosk + 
i(p - 1/p)senk, que é um número real se, e somente se, p = 1/p, pois senk é 
diferente de zero. Daí, p = 1, como se desejava demonstrar.
Assim, sendo x + x^(-1) = (1+sqrt5)/2 (o número de ouro, por sinal), é fácil 
ver que x não pode ser real, porque o discriminante (delta) é negativo. Logo, 
de acordo com o lema precedente, x = cisk, com k real. Daí, x + x^(-1) = 2cosk 
= (1+sqrt5)/2, ou seja, cosk = (1+sqrt5)/4 = cos (pi/5). Portanto, usando o 
argumento principal (isto é, de 0 a pi) para o valor de k, pode-se tomar x = 
cis (pi/5).
Pela 1ª Lei de De Moivre, conclui-se que: x^2000 + x^(-2000) = 2cis(400pi) = 
2(1 + 0i) = 2.
Espero ter ajudado.
Márcio Pinheiro.

--- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu:

De: Marcus marcusaureli...@globo.com
Assunto: [obm-l] produtos notaveis
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00








Alguem sabe como se faz essa questão?
 
Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale?
 


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Re: Res: [obm-l] problema interessante!!!

[Márcio Pinheiro]

De nada.
Fiquei curioso quanto à tua solução por Ptolomeu.
Qual é o ponto P?
Valeu, Cleuber.

--- Em qui, 30/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu:

De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br
Assunto: Res: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: cleubersa...@yahoo.com.br
Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 10:18






Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio  eu tratei o 
problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se 
construíssemos  um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois  ptlolomeu no 
quadriátero APCE e BPCD. E so no final usa-se a lei dos cossenos pra terminar. 
 
Obrigado





De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51
Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!!






A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a 
parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem 
conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss 
em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 
0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de 
uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P 
(m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - 
q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que:
(vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + 
iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y).
Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y 
= (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas de cabeça :D).
Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre 
os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e 
bc também o 
são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria 
acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, 
racional.
É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por 
exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. 
Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra...
Espero ter contribuído.
Márcio Pinheiro.

--- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu:

De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: cleubersa...@yahoo.com.br
Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06






Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a 
forma como o fiz é bastante enfadonha. 
1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC construct
in the exterior the equilateral triangle BCD. Prove that the lengths of the 
segments AB,
AC, and AD cannot all be rational.donha. Obrigado desde já.


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Re: [obm-l] problema interessante!!!

[Márcio Pinheiro]

A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a 
parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem 
conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss 
em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 
0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de 
uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P 
(m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - 
q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que:
(vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + 
iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y).
Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y 
= (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas de cabeça :D).
Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre 
os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e 
bc também o 
são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria 
acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, 
racional.
É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por 
exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. 
Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra...
Espero ter contribuído.
Márcio Pinheiro.

--- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu:

De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: cleubersa...@yahoo.com.br
Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06






Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a 
forma como o fiz é bastante enfadonha. 
1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC construct
in the exterior the equilateral triangle BCD. Prove that the lengths of the 
segments AB,
AC, and AD cannot all be rational.donha. Obrigado desde já.


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Re: [obm-l] Plana

[Márcio Pinheiro]

Basta ligar todos os centros de cada par de circunferências tagentes menores, 
obtendo, assim, um polígono regular de n lados, em que os lados medem 2r (r: 
raio das circunferências menores). Em seguida, ligando o centro da coroa aos 
centros de duas circunferências menores tangentes, obtém-se um triângulo 
isósceles, de base 2r, lados congruentes r + 1 e ângulo central 2pi/n. Assim, 
traçando a altura relativa à base nesse triângulo, conclui-se que: sen (pi/n) = 
r/(r + 1). Logo: r = [sen (pi/n)] / [1 - sen (pi/n)] . Alfim, o raio externo da 
coroa fica 1 + 2r, isto é, [1 + sen (pi/n)] / [1 - sen (pi/n)] .
Sem dúvida, uma figura tornaria a solução mais inteligível.
Até mais.

--- Em sex, 17/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu:

De: Marcus marcusaureli...@globo.com
Assunto: [obm-l] Plana
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 17 de Abril de 2009, 0:21








Alguem poderia me ajudar?
 Em uma coroa circular estão inscritas n circunferências, cada uma tangente às 
duas vizinhas. Se o raio da circunferência interna da coroa mede 1, então o 
raio da circunferência externa da coroa mede?


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[obm-l] Re: [obm-l] Uma difícil de Combinatória

[Márcio Pinheiro]

Olá.
O problema em sua solução é que estás a considerar a ordem em que as caixas são 
pintadas como fator diferenciador de duas pinturas. Sejam A, B, C e D as cores 
azul, amarelo, verde e vermelho, respectivamente. Note como falas em primeira 
caixa, segunda caixa, etc. Assim, as pinturas:
ABCDABCDAB e DCBADCBABA seriam distintas na tua contagem, quando, em verdade, 
não o são, tendo em vista que as caixas são idênticas. Portanto, o que 
interessa é que em ambos exemplos anteriores há 3 caixas pintadas de A, 3 de B, 
2 de C e 2 de D, significando que se trata do mesmo modo de pintá-las.
É conveniente lembrar sempre que, o Princípio Multiplicativo, que usaste pra 
obter os valores 4^10 e 3^10, traz em si a diferenciação pela ordem das 
decisões.
Neste caso, a solução consiste em aplicar o conceito de combinações completas 
(com repetições). Sejam x, y, z e w as quantidades de caixas pintadas de azul, 
amarelo, verde e vermelho., nesta ordem. Deve-se impor que x + y + z + w = 10 
(total de caixas), com a condição adicional de x  0 (e, nitidamente, y, z e w 
inteiros não negativos, bem como x inteiro positivo). Fazendo x = a + 1, 
garante-se que a pode ser qualquer inteiro não negativo, incluindo o zero, o 
que é excelente, tendo em vista que a equação pode ser re-escrita como (a + 1) 
+ y + z + w = 10 = a + y + z + w = 9, e as incógnitas, agora, têm que ser 
todas inteiros não negativos (eventualmente, iguais a zero).
Portanto, a resposta pedida corresponde (biunivocamente) à quantidade de 
soluções inteiras e não negativas de a + y + z + w = 9, que é dada pelo número 
de combinações simples de 12 elementos, tomados 3 a 3 (ou o número de 
permutações de 12 objetos, sendo 9 iguais entre si e outros 3 idênticos entre 
si, mas distintos dos primeiros), ou seja:
12!/(9!3!)=12.11.10/6 = 220.
Suponho que conheces esse último resultado.
Qualquer dúvida, uma explicação pode ser obtida em 
http://www.ime.usp.br/~iesus/verao2008/gablista3.pdf
Até mais.

--- Em seg, 6/4/09, Marcelo Gomes elementos@gmail.com escreveu:

De: Marcelo Gomes elementos@gmail.com
Assunto: [obm-l] Uma difícil de Combinatória
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 6 de Abril de 2009, 18:37


Pessoal esta questão caiu em uma avaliação que fiz e o gabarito foi  bem 
diferente do que ei fiz. Por favor se alguém tiver um tempinho me dê uma 
mão, ok  ?

Questão: Sejam 10 caixas de madeira, exatamente iguais. Queremos pintar cada 
uma delas com uma cor dentre quatro cores disponíveis: Azul, amarelo, verde e 
vermelho. De quantos modos podemos pintar as caixas, sabendo que pelo menos uma 
das caixas deve ser pintada de azul ?

Minha resolução:

Busquei encontrar o número ma´ximo de possibilidades para pintar as caixas. 
Então pensei da seguinte maneira: Na primeira caixa poderiam entra 4 cores, e 
na segunda 4 e na terceira 4 e.assim até a décima caixa. Então o número 
máximo de possibilidades de se pintar as 10 caixas pela minha conta seria 4^10.

Em seguida busquei encontrar o número de possibilidades onde a cor azul não 
aparecesse. Então analisei que na rimeira caixa poderiam entrar 3 cores, na 
segunda 3 cores, na terceira 3 corese na décima 3 cores. Então pela minha 
conta eu teria 3^10 onde o azul não aparece.

Então como preciso ter pelo menos uma caixa azul, fiz:

4^10 - 3^10 = achei 989.527 maneiras

Bem pessoal pelo gabarito eu errei e muito!  O gabarito deu 220 modos.

Não entendi nada!

Peço que vocês me ajudem por favor, para compreender o enorme erro que fiz.

Abração a todos.

Marcelo. 





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[obm-l] Re: [obm-l] LIVRO DE ANÁLISE DO ELON

[Márcio Pinheiro]

04)( =) Se A está contido em B e houvesse x pertencente a A ∩ Complementar de 
B, então haveria x em A e x em Complementar de B, ou seja, x em A e x não em B, 
o que é um absurdo. Logo, não existe tal x, isto é, A ∩ Complementar de B =  Ø.
(=) Reciprocamente, caso A ∩ Complementar de B =  Ø, seja k um elemento 
qualquer de A. Deve-se impor que k não pertence a Complementar de B. Noutras 
palavras, k pertence a B. Assim, k em A implica k em B, quer dizer, A está 
contido em B.
 
05) A = {1}, B = {1, 2}, C = {2, 3}. Tem-se que: ( A U B ) ∩ C = {2}, mas A U ( 
B ∩ C) = {1, 2}.
 
06) (=) Se A = B, então a igualdade  (A ∩ Complementar de B ) U [( 
Complementar de A) ∩ B ] = Ø é trivial, tendo em vista que, para todo X, X ∩ 
Complementar de X é vazio.
(=) No caso em que (A ∩ Complementar de B ) U [( Complementar de A) ∩ B ] = Ø, 
por hipótese, a fim de provar que A = B, é conveniente demonstrar que:
i) A está contido em B.
ii) B está contido em A.
As duas são análogas. Seja, por exemplo, x em A. Se x não pertencesse a B, 
então x estaria no complementar de B. Mas, nestas condições, haveria um 
elemento em A ∩ Complementar de B e, consequentemente, em (A ∩ Complementar de 
B ) U [( Complementar de A) ∩ B ] , que é vazio. Ora, isso é um absurdo. Por 
conseguinte, é impossível que x pertença a A e, simultaneamente, não pertença a 
B. Noutros termos: todo x em A, deve estar em B, o que prova i).

--- Em qui, 2/4/09, Robÿe9rio Alves prof_robe...@yahoo.com.br escreveu:

De: Robÿe9rio Alves prof_robe...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] LIVRO DE ANÁLISE DO ELON
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 2 de Abril de 2009, 22:45














PÁGINA 29 DO LIVRO DE ANÁLISE DO ELON 
 
04) Dados A, B está contido  em E, prove que A está contido em B se, somente 
se, A ∩ Complementar de B =  Ø
 
Questão 5) Dê exemplos de conjuntos A, B, C tais que ( A U B ) ∩ C ≠ A U ( B ∩C)
 
 
QUESTÃO 8)  Prove que A = B se, e somente se, ( A ∩ Complementar de B ) U ( 
Complementar de A ∩ B ) = Ø
 
 



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Re: [obm-l] probabilidade

[Márcio Pinheiro]

Principalmente quando a questão for de probabilidade ou simplesmente de 
contagem, é altamente recomendado que se tenha acesso à literalidade da questão 
(sabes disso). Esta questão é da UFPA-2005, e o texto dela é:
As últimas eleições têm surpreendido os institutos de pesquisa, principalmente  
quando dois candidatos se encontram empatados tecnicamente. Tentando entender 
essa questão, um estudante investigou a opção de votos de seus colegas de 
classe e verificou que, dos trinta investigados, 15 votaram no candidato A e 15 
votaram no candidato B.  Fez-se, então, a seguinte consideração: se um 
instituto de pesquisa fizesse uma sondagem, consultando apenas quatro alunos 
escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de o instituto acertar o resultado 
da eleição na sala, por meio dessa amostra, seria, de, aproximadamente, 
(A)  27 %  (B)  40 %  (C)  50 %  (D)  78 %  (E)  92
Agora sim: o número de modos (igualmente prováveis) de o instituto escolher 
quatro alunos é C (30, 4) - número de combinações simples de 30, 4 a 4. O 
instituto acerta o resultado se, e somente se, seleciona 2 dentre os 15 que 
votaram em A e 2 dentre os que votaram em B, o que pode ser feito de C (15, 
2)xC (15, 2). Assim, probabilidade pedida é de C (15, 2)xC (15, 2)/C (30, 4), o 
que dá em torno de 40%, alternativa B, portanto.

--- Em seg, 15/12/08, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br escreveu:

De: Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] probabilidade
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 15 de Dezembro de 2008, 20:12







Ontem, recebi uma questão que ainda não resolvi, será que alguém pode me ajudar?
Lá vai: Um aluno entrevistou sua turma para saber a intenção de votos numa 
pesquisa para representante dela e notou que houve um empate técnico, metade da 
turma votaria no candidato A, enquanto que a outra metade votaria no candidato 
B. Bem, um instituto de pesquisa escolheu aleatoriamente 4 alunos dessa turma, 
qual será a probabilidade desse instituto chegar à mesma conclusão que o aluno?
Obrigado

--- Em sex, 31/10/08, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Assunto: Re: [obm-l] exercicio simples de probabilidade
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 31 de Outubro de 2008, 23:58



Para mim, estao faltando dados... Agora, se voce me disser que:
 
i) Em cada partida, a chance de A vencer eh p;
ii) As partidas sao independentes entre si;
 
Entao (ainda nao estah claro qual eh a pergunta, entao apresento duas 
respostas):
 
Pr(A vencer exatamente 4 partidas) = C(6,4).p^4.(1-p)^2
Pr(A vencer 4 ou mais partidas) = C(6,4).p^4.(1-p)^2+C(6,5).p^5.(1-p)+p^6
 
Em particular, se p=50%, entao:
 
Pr(A vencer exatamente 4) = 15/64 = 23.4375%
Pr(A vencer pelo menos 4) = 11/32 = 34.375%
 
Abraco,
    Ralph


2008/10/31 Graciliano Antonio Damazo bissa_dam...@yahoo.com.br






Caros amigos da lista, tenho uma questao simples de probabilidade que resultou 
numa discussao na resolução da mesma numa aula de reforço que eu estava 
estagiando la vai...mas não vale rirrsrs(brincadeira):
 
1) Dois times A e B jogam 6 partidas entre si. Qual a probabilidade do time A 
vencer 4 dessas partidas?
 
Gostaria de saber como vocês interpretam essa questão. Muito obrigado pela 
atenção desde já.



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RE: [obm-l] Re: [obm-l] Menor ângulo

[Márcio Pinheiro]

Olá.
Pelo menos essas duas questões fazem parte de uma coletânea de exercícios de 
trigonometria que confeccionei dois anos atrás, para meus alunos do 2º ano, 
aqui em Belém do Pará, colégio Ideal, juntamente com, salvo engano, mais umas 
15 questões.
Em particular, essas que enviaste adaptei, criando alternativas ou o contexto, 
da excelente Coleção do Professor de Matemática, da SBM.
Abraços.
Márcio Pinheiro.



From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Menor 
ânguloDate: Thu, 6 Nov 2008 20:24:58 +

Olá  Márcio, você poderia me dizer de onde vieram essas questões? Meu colega 
apenas mostrou o caderno onde constavam essas duas juntamente com muitas 
outras, e essas nos complicaram a vida.  Aproveito para dizer obrigado (^_ ^)



Date: Wed, 5 Nov 2008 10:34:18 -0800From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Re: 
[obm-l] Menor ânguloTo: obm-l@mat.puc-rio.br




Olá, novamente.
Há um erro no valor da aproximação da raiz quadrada de 2: é 1,414.
Tens dois caminhos pra seguir (pelo menos que percebo agora):
1ª solução:
O triângulo ABC possui, com as aproximações dadas, lados AB = 100sqrt(2), BC = 
x e AC = 100sqrt(3) - x, já que AC + BC = 100sqrt(3). Portanto, semelhante ao 
triângulo retângulo de hipotenusa sqrt(2) e catetos y e sqrt(3) - y. Logo, pelo 
teorema de Pitágoras, encontra-se y a partir da equação 2y^2 - 2ysqrt(3) + 1 = 
0, obtendo-se dois valores: [sqrt(3) + 1]/2 e [sqrt(3) - 1]/2. Como se deseja o 
menor valor possível do ângulo (agudo) BAC, deve-se impor menor BC possível, a 
saber, 100x[sqrt(3) - 1]/2. Por conseguinte, já com essa última condicionante, 
sen (BAC) = {[sqrt(3) - 1]/2}/sqrt(2) = [sqrt(6) - sqrt(2)]/4, de que se 
conclui BAC = 15º (60º - 45º, por exemplo).
 
2ª solução:
Com as mesmas notações da solução precedente, pode-se proceder sem necessidade 
de determinar os lados do triângulo. Basta notar que sen (BAC) = y/sqrt(2) e 
cos (BAC) = [sqrt(3) - y]/sqrt(2). Somando: sen (BAC) + cos (BAC) = 
sqrt(3)/sqrt(2), ou seja, sen (pi/4 + BAC) = sqrt(3)/2 = sen (pi/3) (é só usar 
a identidade sen x + cos x = sqrt(2).sen (x + pi/4). Enfim, BAC + pi/4 = pi/3 + 
2kpi ou pi - [BAC + pi/4] = pi/3 + 2kpi, com k inteiro. Como BAC deve ser 
agudo, necessariamente BAC = pi/3 - pi/4 ou BAC = 3pi/4 - pi/3. Uma vez que BAC 
é mínimo, conclui-se que BAC = pi/3 - pi/4 = 15º.
Até mais, 
Márcio Pinheiro.
P.S.: Já sei de onde vieram as questões.
--- Em qua, 5/11/08, Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Menor ânguloPara: 
[EMAIL PROTECTED]: Quarta-feira, 5 de Novembro de 2008, 12:39


 Uma ajudinha por favor: 1) Três estradas retilíneas devem conectar os pontos 
A, B e C. Sabe-se que a distância entre A e B é igual a 1414m, que o ângulo ACB 
deve ser reto e que o comprimento total do percurso ACB deve ser de 1732m. 
Nestas condições, considerando sqrt[2]=1,4114 e sqrt[3]=1,732, o menor ângulo 
BAC possível deve medir, graus, exatamente a) 15   b)10   c) 5   d) 20   e)30 
Observação:  Sqrt[n] - raiz quadrada de n  

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RE: [obm-l] Lados de um Triângulo

[Márcio Pinheiro]

Olá.
Basta aplicar a lei dos co-senos, relativamente aos lados AB e BC, obtendo cos 
C = 1/8 e cos A = 3/4. Daí, tem-se que tanto A quanto C devem ser agudos. E 
mais:
cos 2A = 2(cos A)^2 - 1 = 1/8 = cos C. Portanto, ou 2A + C = 2kpi (I), ou 2A - 
C = 2kpi (II), para algum inteiro k. Mas, já que 0  A, C  pi/2, é fácil ver 
que 0  2A + C  3pi/2, bem como - pi/2  2A - C  pi. Assim, a partir das 
condições (I) e (II), deve-se impor 2A - C = 0, o que torna o item C correto.
Espero ter ajudado.
Só a título de curiosidade: de onde é oriunda esta questão?Abraços,
Márcio.



From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Lados de um TriânguloDate: 
Wed, 5 Nov 2008 14:28:40 +

  Gostaria de ajuda 1)Os lados de um triângulo ABC têm medidas BC=4, AC=5 e 
AB=6. Sobre os ângulos internos desse triângulo, pode-se afirmar que a) cos Â= 
4/3b) cos C=1/4c) C=2Ad)A=2Ce)A=C Agradeço



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[obm-l] Re: [obm-l] Menor ângulo

[Márcio Pinheiro]

Olá, novamente.
Há um erro no valor da aproximação da raiz quadrada de 2: é 1,414.
Tens dois caminhos pra seguir (pelo menos que percebo agora):
1ª solução:
O triângulo ABC possui, com as aproximações dadas, lados AB = 100sqrt(2), BC = 
x e AC = 100sqrt(3) - x, já que AC + BC = 100sqrt(3). Portanto, semelhante ao 
triângulo retângulo de hipotenusa sqrt(2) e catetos y e sqrt(3) - y. Logo, pelo 
teorema de Pitágoras, encontra-se y a partir da equação 2y^2 - 2ysqrt(3) + 1 = 
0, obtendo-se dois valores: [sqrt(3) + 1]/2 e [sqrt(3) - 1]/2. Como se deseja o 
menor valor possível do ângulo (agudo) BAC, deve-se impor menor BC possível, a 
saber, 100x[sqrt(3) - 1]/2. Por conseguinte, já com essa última 
condicionante, sen (BAC) = {[sqrt(3) - 1]/2}/sqrt(2) = [sqrt(6) - sqrt(2)]/4, 
de que se conclui BAC = 15º (60º - 45º, por exemplo).
 
2ª solução:
Com as mesmas notações da solução precedente, pode-se proceder sem necessidade 
de determinar os lados do triângulo. Basta notar que sen (BAC) = y/sqrt(2) e 
cos (BAC) = [sqrt(3) - y]/sqrt(2). Somando: sen (BAC) + cos (BAC) = 
sqrt(3)/sqrt(2), ou seja, sen (pi/4 + BAC) = sqrt(3)/2 = sen (pi/3) (é só usar 
a identidade sen x + cos x = sqrt(2).sen (x + pi/4). Enfim, BAC + pi/4 = pi/3 + 
2kpi ou pi - [BAC + pi/4] = pi/3 + 2kpi, com k inteiro. Como BAC deve ser 
agudo, necessariamente BAC = pi/3 - pi/4 ou BAC = 3pi/4 - pi/3. Uma vez que BAC 
é mínimo, conclui-se que BAC = pi/3 - pi/4 = 15º.
Até mais, 
Márcio Pinheiro.
P.S.: Já sei de onde vieram as questões.

--- Em qua, 5/11/08, Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED] escreveu:

De: Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Menor ângulo
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 5 de Novembro de 2008, 12:39




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Uma ajudinha por favor:
 
1) Três estradas retilíneas devem conectar os pontos A, B e C. Sabe-se que a 
distância entre A e B é igual a 1414m, que o ângulo ACB deve ser reto e que o 
comprimento total do percurso ACB deve ser de 1732m. Nestas condições, 
considerando sqrt[2]=1,4114 e sqrt[3]=1,732, o menor ângulo BAC possível deve 
medir, graus, exatamente
 
a) 15   b)10   c) 5   d) 20   e)30
 
Observação: 
 
Sqrt[n] - raiz quadrada de n
 
 



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Re: [obm-l] Teoria dos Conjuntos

[Márcio Pinheiro]

Em lógica linear, que embasa a linguagem dos conjuntos, uma condicional p - 
q só é falsa quando a antecedente (p) é verdadeira e a conseqüente (q) é 
falsa. No caso em análise, a antecedente (x pertence a { }) é nitidamente 
falsa. Logo, qualquer que seja o valor lógico da conseqüente (inclusive de x é 
verde), a condicional dada será sempre verdadeira.
Pode-se pensar assim: p - q equivalendo a P está contido em Q, em que P = {x: 
p} e Q = {x: q}. Por conseguinte, p - q só será falsa quando P não estiver 
contido em Q, ou seja, quando houver x: p (pelo menos um elemento em P) para o 
qual x: ~ q (tal elemento não está em Q). Noutros termos, a condicional p - q 
só falha (é FALSA) quando p é VERDADEIRO enquanto q é simultaneamente FALSO. 
Nos casos em que p é falsa, simplesmente se está a falar de um elemento que não 
está em P. Assim, o fato de ele pertencer ou não a Q é irrelevante, uma vez que 
está sendo analisada a inclusão de P em Q. Agora, quando p é verdadeira (x 
pertence a P), a fim de que p - q (P contido em Q), obrigatoriamente q também 
deve ser verdadeira (x pertence a Q). 
Saudações.

--- Em qua, 3/9/08, Luiz Rodrigues [EMAIL PROTECTED] escreveu:

De: Luiz Rodrigues [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Teoria dos Conjuntos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 3 de Setembro de 2008, 14:00

Olá pessoal!!!
Tudo bem???
Um aluno me apresentou uma senteça que, segundo um outro professor, é
verdadeira.
A sentença é:

x pertence { } - x é verde

Na minha opinião, esta sentença é falsa, porque x pertence { }
é falsa.
Segundo o meu aluno, o que o outro professor alegou é que x pode ser
qualquer coisa.
O que vocês acham???
Muito obrigado!!!
Abração para todos!!!
Luiz.

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Re: [obm-l] probleminha da en

[Márcio Pinheiro]

Suponha-se que, em relação a uma quantidade dada de elementos:
a1 (%) pertençam ao conjunto A1;
a2 (%) pertençam ao conjunto A2;
...
an (%) pertençam ao conjunto An;
Logo, trabalhando com os complementares dos conjuntos acima (~X é o 
complementar de X):
(100 - a1)% não pertencem ao conjunto A1 (ou seja, pertencem a ~A1);
(100 - a2)% não pertencem ao conjunto A2 (pertencem a ~A2);
...
(100 - a2)% não pertencem ao conjunto An (pertencem a ~An);
Os elementos que pertencem aos conjuntos Ai, i = 1, 2, ..., n, simultaneamente, 
não pertencem a (~A1 U ~A2 U ... U ~An) = M, estando, assim, em ~M. Mas o 
conjunto M U ~M é fixado (o universo em questão). Como são disjuntos, nota-se 
percentualmente que:
n (M) + n(~M) = 100% (*),
sendo n (X) é o percentual de elementos que pertencem a X.
Logo, conclui-se que n (~M) é mínimo quando n (M) é máximo. Ora, n (M) = n (~A1 
U ~A2 U ... U ~An) é máximo quando os conjuntos são disjuntos dois a dois, como 
se conclui do princípio da inclusão-exclusão. Portanto, n (M) máximo vale:
n (~A1) + n (~A2) + ... + n (~An) = n*100% - (a1 + a2 + ... + an).
Enfim, substituindo este resultado em (*), obtém-se que o valor mínimo de n 
(~M) (e, conseqüentemente, a tese do resultado geral) é tal que:
n*100% - (a1 + a2 + ... + an) + n (~M) = 100%, ou seja:
n (~M) = a1 + a2 + ... + an - (n - 1)*100% (c.q.d.).
No caso particular em que a1 = 70%, a2 = 75%, a3 = 80%, a4 = 85% e n = 4, 
tem-se que:
n (~M) = 70% + 75% + 80% + 85% - (4 - 1)*100% = 10%.
Espero ter ajudado.
 
--- Em qua, 27/8/08, arkon [EMAIL PROTECTED] escreveu:

De: arkon [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] probleminha da en
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 27 de Agosto de 2008, 21:32


Alguém poderia demonstrar (provar), por favor, esse truque. 

Em 11/12/2006 20:21, Carlos Victor   escreveu: 

Olá Arkon,

Como dizia o nosso mestre MORGADO , um  truque para este tipo de 
problema é :

Como são quatro conjuntos , o que ultrapassar a 300% será a 
quantidade da interseção dos conjuntos . Se tivermos n conjuntos , o 
que ultrapasar a (n-1)x100% será o mínimo da interseção , ( tente 
provar) ,ok ?

[]´s Carlos Victor




At 16:58 11/12/2006, arkon wrote:
Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma questão 
da en, por favor:

grato.

Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de 
rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, 
bolero e rock?

a) 5%.
b) 10%.
c) 20%.
d) 45%.
e) 70%.

Obs.: A alternativa correta é a letra b.


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Re: [obm-l] Coisas de alunos

[Márcio Pinheiro]

Acredito que seja interessante incentivar o raciocínio de pesquisa e de 
experimentação que esses alunos mostraram, antes de proceder a qualquer outra 
crítica.
Contudo, a Matemática não é (apenas) empirismo, ou seja, tentativa e erro. Não 
é só porque foi encontrada uma solução que esta deve ser a única solução. Por 
exemplo, um aluno poderia afirmar que o número 1 é a solução de x^2 + 2 = 3x, 
embasando a resposta no fato de que 1^2 + 2 = 3*1, o que, porém, é obviamente 
falso, pois 2 também é raiz. Ainda que um aluno conseguisse notar, de 
antemão, que também 2^2 + 2 = 3*2, ou seja, que 1 e 2 são soluções, ainda é 
incorreto afirmar que são as únicas. A não ser que:
I. testasse todos os números reais (o que é, claramente, ridículo) ou
II. soubesse a priori que equações polinomiais de 2º grau têm no máximo duas 
raízes (reais).
Por conseguinte, é conveniente mostrar ao aluno a imprescindível necessidade do 
raciocínio matemático em casos como este, bem como em outras situações de 
conjecturas, por vezes formuladas pelos próprios alunos. Sem o conhecimento, 
sem as técnicas ou sem o rigor matemático, não há garantias de que determinada 
teoria não poderá ser derrubada no futuro, como acontece na Física e na 
Química, por exemplo. Essa é uma das belezas da Matemática: a certeza de que, 
em dada hipótese, o resultado obtido (corretamente) é inquestionável.
Espero ter ajudado.
Abraços,
Márcio.

--- Em qua, 20/8/08, Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED] 
escreveu:

De: Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Coisas de alunos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 20 de Agosto de 2008, 13:33



Amigos,
 
Nossos alunos fazem coisas que imprevisíveis. Uma ajuda nessa correção.
 
A questão era de exponencial: 3^(x+2)-3^(x)=24
 
Muitos alunos descobriram que 24 = 27 - 3 ou 3^3 - 3^1
 
E montaram a equação: x + 2 = 3 então x = 1.
 
Como discutir essa correção com eles? Alguma sugestão?
 
Grato

 


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RE: [obm-l] Um limite meio chato

[Márcio Pinheiro]

Serve utilizar a noção de funções equivalentes (ou assintoticamente iguais)? 
Isto é: se duas funções de leis f(x) e g(x) são tais que lim (f(x)/g(x)) = 
1, quando x tende a um valor a, então as funções f(x) e g(x) são 
equivalentes, quando x tende ao a. Assim, por exemplo, numa vizinhança de 0, 
senx é equivalente a x, assim como ln(1+x) é assintoticamente igual a x.
É elementar que: o limite da razão entre dois infinitésimos (funções que 
tendem a zero) não se altera se os membros forem substituídos por 
infinitésimos equivalentes (por exemplo, ver Problemas e Exercícios de 
Análise Matemática - Demidovicth, da MIR, página 34). Desse modo, o 
quociente procurado, nas proximidades de 0, é equivalente a:
(xcosx - x)/x^3, o qual, por sua vez, é igual a x(cosx - 1)/x^3, que é igual 
a {2[sen(x/2)]^2}/x^2. Finalmente, a última razão pode ser vista como 
(1/2){[sen(x/2)/(x/2)]^2, cujo limite, quando x tende a zero, é igual a 1/2 
(limite procurado, de acordo com o teorema acima).
Espero ter contribuído com algum raciocínio,
Márcio.

From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 
[EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: RE: [obm-l] Um limite meio chato
Date: Tue, 6 Apr 2004 21:13:10 -0300 (ART)

CONSEGUI!!
Essa e muito legal!Vou deixar um rascunho no fim da mensagem para nao 
atrapalhar quem ainda nao fez...Talvez o Gugu tente essa, e meio no estilo 
deleTem muita conta mas e bem divertido.
PS.:SEM USAR DERIVADA, NEM L'HOSPITAL-BERNOULLI, NEM NADA DISSO!!

 f(x)= (x*cos (x) -sen (x))/(x^3)

Determine lim f(x) se x tende a zero.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] 
wrote:
Ta.Ai o que temos?
sen (x + arctg(-x)), vai dar algo como infinito vezes zero.Nao entendi 
essa...

Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote:

Ki tal reescrever como sqrt[ 1/(x^6) + 1/(x^4)]*sen(x + arctg(-x))?

From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Um limite meio chato
Date: Wed, 31 Mar 2004 16:11:08 -0300 (ART)

Ola pessoal!!!
Certa feita fui desafiado a dizer o limite desta expressao quando x tende 
a
zero:

sen x/x^3- cosx/x^2.

Pequeno detalhe: na epoca usei L'Hopital-Bernoulli mas ai nao tinha
graça...
Agora eu queria que ces me ajudassem nesse sentido:demonstrar
elementarmente essa coisinha.Ai pensei em usar serie de Taylor e consegui
resolver, mas ainda e complicado (nada que toque em derivadas nem muito
alem).
Mas ai me veio uma ideia: que! tal adaptar Taylor?Assim:provar que
x-x^3/3!+x^5/5! e a melhor aproximaçao de um polinomio de grau 5 de sen x 
e
depois algo parecido com xcos x, e demonstrar tudo a prtir dai...
Captaram?E entao, alguma ajuda?

Ass.:Johann



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Para baixo

























Mais um pouco



















Pra so um bocadinho















agora foi!





Bem, escrevi assim:

f(x)=(x*cos(x)-sen(x))/x^3

Tente escrever f(2x) em funçao de f(x) e mais uns trambolhos que tendem a 
algo que ce nao sabe

Primeiro calculamos lim (x-0) ((x-senx)/(x^3))  ( pois e , isso aparece 
sim!)  .Veja que se substituirmos x por 3x, podemos abrir tudo e escrever 
como f(x) mais algo que tende a 1 vezes uma constante facil de determinar 
(bem, use o fato dde que sen 3x= 3 sen x - 4 (sen x)^3 ou algo parecido 
)



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Re: [obm-l] algumas duvidas de PA

[Márcio Pinheiro]

Se eu não me engano, para o primeiro problema, já que nem 100 nem 1000 são 
múltiplos de 11, é imediato verificar que a resposta é [(1000 - 100)/11], 
isto é, o maior inteiro que não supera a razão entre a diferença dos 
extremos e o número do qual são desejados os múltiplos (11, no caso). Como 
(1000 - 100)/11 é igual  a 81, 818181..., a resposta é 81. Quando um dos 
extremos é múltiplo a contar, acrescenta-se uma unidade ao máximo inteiro.
Quanto ao segundo, a melhor saída é a apresentada pelo Rafael, mesmo.
Já em relação ao terceiro, complementando as idéias precedentes, é 
interessante notar (ainda que se usem as fórmulas clássicas de P.A.) que 
qualquer termo da primeira seqüência é dado por 5+3n (n inteiro de 0 em 
diante), ao passo que qualquer termo da segunda sucessão é dado por 3+4m (m 
inteiro a partir de zero). Haverá termos iguais toda vez em que 5+3n=3+4m, 
para alguns m e n inteiros, ou seja, sempre que 4m - 3n = 2. Uma maneira 
útil de resolver essa equação é encará-la como uma equação diofantina linear 
(necessita-se, a partir deste ponto, de rudimentos de teoria dos números). 
Já que m = n = 2 são (as menores) soluções, qualquer solução é dada por m = 
2 + 3t e n = 2 + 4t (é profícuo ainda imaginar como se fossem dois 
movimentos retilíneos uniformes, com velocidade relativa constante). Como 
cada seqüência tem 100 termos, deve-se impor que tanto m quanto n sejam 
inteiros e que variem de 0 a 99, ou seja:
0= 2+3t = 99 e 0=2+4t=99, o que é equivalente a (-2/3)= t =97/3 e 
(-1/2)= t = 97/4. Já que t deve ser inteiro, deve-se ter:
0= t = 32 e 0= t = 24. Logo, t deve pertencer ao conjunto {0, 1, 2, ..., 
24} e, assim, pode assumir um total de 25 valores, quantidade representativa 
do número de termos iguais das duas progressões.
Até mais,
Márcio.



From: Rafael [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: OBM-L [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] algumas duvidas de PA
Date: Wed, 7 Apr 2004 09:19:59 -0300
Guilherme,

Para o problema 1, observe que os extremos do intervalo 100 e 1000 não são
múltiplos de 11. Mas quais serão os mais próximos?
11*9 = 99, que não pertence ao intervalo
11*10 = 110, que pertence no intervalo
Então, já sabemos que o primeiro múltiplo de 11 no intervalo é 110.

Analogamente:

11*90 = 990, que pertence no intervalo
11*91 = 1001, que não pertence ao intervalo
Pronto, montamos a nossa seqüência:

110, ..., 990

Se 110 é o primeiro termo, qual é a posição de 990?

990 = 110 + (n-1)*11 == n = 81

Assim, a_81 = 990 e a P.A. tem 81 termos, isto é, há 81 múltiplos de 11
entre 100 e 1000.
Sobre o problema 2, vamos passar para o matematiquês:

a_1 + a_2 = 5
a_9 + a_10 = 53
Para que se possa definir bem um termo de P.A. ou de P.G., de que 
precisamos
saber? Certamente, o primeiro termo e a razão. Então, reescreveremos as
equações anteriores em função deles:

a_1 + a_1 + r = 5
a_1 + 8r + a_1 + 9r = 53
Ou ainda,

2a_1 + r = 5 (I)
2a_1 + 17r = 53(II)
Como queremos saber apenas a razão, eliminamos 2a1, assim:

(II) - (I): 17r - r = 53 - 5 == 16r = 48 == r = 3

O terceiro problema é o mais interessante dos três. Vamos escrever as
seqüências e calcular o último termo de ambas:
5, 8, 11, ..., 302(302 = 5 + 99*3)

3, 7, 11, ..., 399(399 = 3 + 99*4)

Já sabemos que ambas possuem igualmente o terceiro termo, 11, e que a
segunda seqüência cresce mais rapidamente que a primeira após o terceiro
termo. Assim, vamos procurar qual é o termo da segunda seqüência mais
próximo do último da primeira:
302 = 3 + (n-1)*4 == n = 75,75

Vemos que o termo mais próximo é o septuagésimo quinto. Vamos calculá-lo:

a_75 = 3 + 74*4 = 299

Não deve ser por acaso que o nonagésimo nono termo da primeira seqüência é
299 também, pois 302 - 3 = 299. Assim, já encontramos o primeiro e o último
termos que são iguais para ambas seqüências:
11, ..., 299

Agora, vamos pensar:

a_n = 5 + (n - 1)*3  ==  a_n - 5 = (n - 3)*3

b_n = 3 + (n - 1)*4  == b_n - 3 = (n - 1)*4.

Generalizando,

x_m = x_n + (m - n)*r  == x_m - x_n = (m - n)*r

Se ainda não parecer claro o que estou pretendendo, lá vai: a diferença
entre dois termos de uma P.A. é um múltiplo da razão; para que os termos 
das
seqüências se encontrem (sejam iguais), eles devem ser múltiplos de uma
mesma razão, no nosso caso, 3 e 4. Humm... múltiplos de um mesmo número...
múltiplo comum! Sim, é isso! Tudo se passa como se dentro da nossa última
seqüência (11, ..., 299) tivéssemos despejado uma seqüência de razão 12,
pois mmc(3,4) = 12. Agora, fica fácil. Qual é a posição do último termo 
299?

299 = 11 + (n - 1)*12 == n = 288/12 + 1 = 25

Logo, 25 termos são iguais para as duas seqüências.

Quais são eles?

11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95, 107, 119,
131, 143, 155, 167, 179, 191, 203, 215, 227, 239,
251, 263, 275, 287, 299
Tudo bem, o Mathematica deu uma mãozinha... ;-D

Abraços,

Rafael de A. Sampaio





- Original Message -
From: Guilherme Teles
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, April 06, 2004 10:48 PM
Subject: [obm-l] algumas 

[obm-l] RE: [obm-l] o 0 (zero) é natural ou não é?

[Márcio Pinheiro]

Pelo que sei, a escolha se zero é ou não natural é totalmente arbitrária, 
sendo que matemáticos como Elon Lages Lima criticam bastante tais discussões 
eternas(ver Meu professor de Matemática e Outras Histórias, publicado pela 
SBM). Entretanto, é óbvio que alunos (e, portanto, não profissionais) devam 
adotar uma postura definitiva relativamente a tais questões. Com efeito, não 
é aceitável realizar uma prova de vestibular sem elucidar fatos como esse, 
nem sempre esclarecidos (como deveriam ser) na própria prova. Pela minha 
parca experiência, percebi que, pelo menos nos concursos brasileiros, é 
unânime adotar zero como natural.
Eu, particularmente, quando comento o assunto com meus alunos, deixo claro o 
que realmente interessa sobre o assunto: os números naturais servem para 
ordenar ou contar os elementos de um conjunto, conceitos intimamente ligados 
às idéias de seqüência e de cardinalidade, respectivamente. Caso se deseje 
enumerar os elementos de um conjunto por zero, a rigor não há problema, 
embora esse procedimento, historicamente, não seja tão natural assim. 
Ganham-se algumas coisas, perdem-se outras. Por exemplo, é possível dizer 
que o conjunto vazio possui zero elementos e responder a perguntas do tipo: 
qual a quantidade de seres humanos vivos com 6 bilhões de anos (terrestres) 
de idade?
Em muitos casos, é profícuo enumerar os termos de uma seqüência a partir do 
primeiro termo (noutras palavras, começar o conjunto dos números naturais 
pela unidade). Assim, o termo a24 (leia-se a índice 24), por exemplo, 
representa, exatamente, o vigésimo quarto termo da seqüência. Isso é o que 
freqüentemente ocorre quando se estudam sucessões (como PA e PG), ou em 
Análise Real. No entanto, eventualmente é interessante (apesar de não 
obrigatório) iniciar uma sucessão pelo zerésimo termo, isto é, iniciar o 
conjunto dos números naturais por zero. Exemplo disso, são os problemas 
clássicos (ainda de PA ou de PG) nos quais são dados o valor inicial de uma 
mercadoria (a0), bem como uma lei de depreciação, a cada ano, por exemplo. A 
utilidade consiste no fato de que, daqui a 69 anos, o preço será indicado 
por a69 (a propósito, septuagésimo termo da seqüência). Outro argumento 
famoso que justifica o uso de zero como natural é a presença de um 
elemento neutro na adição em N (conjunto dos números naturais), o que 
introduz precocemente as propriedades formais da referida operação. Isso é 
muito usado quando, em Álgebra, procura-se construir os conjuntos numéricos 
na ordem mais comumente apresentada ao aluno: N, Z, Q, R, C, 
respectivamente, os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, 
reais e complexos.
Para finalizar, ressalto a tradição brasileira (em termos de concursos) em 
considerar o zero natural (lembre-se disso quando for fazer vestibulares em 
que não se definem os conceitos a ser utilizados, ao contrário do ITA, por 
exemplo). É interessante, porém, notar uma contradição uníssona nos livros 
de ensino médio: inicialmente (quando do estudo de conjuntos numéricos), 
diz-se que zero é natural. Em seguida (ao estudar progressões), define-se 
seqüência como sendo qualquer função de domínio N. Por último (não vi 
exceções até hoje), afirma-se que uma sucessão inicia por a1. É engraçado 
como se ressaltam as idéias de COESÃO e de COERÊNCIA, quando se estuda 
Redação, mas, em Matemática, ignoram-se-nas em situações como essa.
Até mais,
Márcio.


From: Daniel Campos Potsch Regufe [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
CC: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] o 0 (zero) é natural ou não é?
Date: Mon, 15 Mar 2004 15:10:27 +
Atenção matemáticos de plantão!
Eu sempre aprendi na minha vida q o número 0 ( zero ) era natural, até q um 
dia um professor meu de geometria analítica na turma IME-ITA provou pra 
todos por indução q o mesmo não era natural ...
ai ficou a minha duvida... é ou não é???
muito obrigado e até a proxima ...
 Daniel Regufe

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[obm-l] Re: [obm-l] o 0 (zero) é natural ou não é?

[Márcio Pinheiro]

A propósito, nunca vi demonstração alguma de que zero é ou não natural. O 
que se faz, usando as idéias de indução, é ACEITAR 1 como o menor natural, 
como por exemplo, nos axiomas de Peano. No entanto, pelo menos teoricamente, 
os axiomas continuam válidos se 0 (ou qualquer outro natural) assumir o 
papel de 1, em todos eles. Como se está interessado em conseqüências 
práticas, é praxe começar por 1.
Acerca da pergunta:afinal o que e numero natural?, conheço duas posturas: 
aceitar o conceito como nõção primitiva, intrínseca aos axiomas de Peano 
(que podem ser encontrados em um dos volumes da Eureka, não me lembro qual, 
por exemplo), ou defini-lo a partir da noção (também primitiva) de conjunto.
Cordialmente,
Márcio.



From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 
[EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] o 0 (zero) é natural ou não é?
Date: Mon, 15 Mar 2004 14:45:54 -0300 (ART)

Desde que voce passe a demo de que zero e ou nao natural, podemos discutir.
Estas questoes sao filosoficas demais...Afinal o que e numero natural?
Daniel Campos Potsch Regufe [EMAIL PROTECTED] wrote:
Atenção matemáticos de plantão!
Eu sempre aprendi na minha vida q o número 0 ( zero ) era natural, até q um
dia um professor meu de geometria analítica na turma IME-ITA provou pra
todos por indução q o mesmo não era natural ...
ai ficou a minha duvida... é ou não é???
muito obrigado e até a proxima ...
Daniel Regufe
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[obm-l] Sistema exponencial

[Márcio Pinheiro]

Olá, pessoal.
Gostaria de ajuda na seguinte questão:
Encontrar os valores de x e de y, para os quais x^y=a e y^x = a+1. Discutir 
as soluções para os possíveis valores de a.
Desde já, agradeço.
Márcio.

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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O perí odo de uma função?

[Márcio Pinheiro]

From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: 
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O perí odo de uma função?
Date: Wed, 28 Jan 2004 12:21:22 -0200

On Wed, Jan 28, 2004 at 08:56:59AM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
 Eh, de fato eu so resolvi a primeira parte do problema. A outra parece 
ser
 bem mais dificil.
 Eu nao conhecia este termo periodo fundamental. Eh o mesmo que periodo
 minimo?

O período fundamental de uma função f é o menor inteiro positivo p
tal que para todo x temos f(x+p) = f(x).
É o menor inteiro positivo p ou o menor REAL positivo p?
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O perí odo de uma função?

[Márcio Pinheiro]

From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: 
[obm-l] Qual O perí odo de uma função?
Date: Tue, 27 Jan 2004 21:17:06 -0200

Tudo o que você disse é verdade mas você não resolveu o problema
de forma completa. O fato de 6 ser um período só garante que o período
fundamental, se existir, é da forma 6/n para algum inteiro positivo n.
Você não esclareceu se existem funções nesta classe com períodos 
fundamentais
3, 2, 3/2, 6/5, 1, 6/7, ...

O período fundamental pode não existir se o conjunto dos períodos
não tiver mínimo; para funções contínuas isto só ocorre se f for constante
mas a função característica de Q, f(x) = 1 se x é racional e f(x) = 0
se x é irracional, tem qualquer número racional como período.
É bem óbvio que a função constante igual a 0 está na nossa classe.
Não conheço esse teorema, qual seja: Uma função contínua não tem período 
mínimo somente se for cnostante. Onde posso encontrar alguma explanação 
dele?
Perdão pela insistência, mas como se resolve o problema de forma completa? É 
possível?

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[no subject]

[Márcio Pinheiro]

 P.S.: Ao Nicolau, ainda estou providenciando o original da questão da 
prova
 da minha última mensagem (UFPA). Em tempo, a notação utilizada nas
 alternativas da prova não era A(300;3), mas a clássica em que os 
números
 estão indexados e separados por vírgula.

Huh? Você acha que fazer estes números virarem um subscrito faz isso
virar uma notação clássica? Para mim não. Para mim uma é tão pouco clássica
quanto a outra e eu mantenho o que eu falei na outra mensagem, estejam
o 300 e o 3 acima, abaixo, de um lado ou do outro.
[]s, N.
Concordo com a posição adotada por vestibulares de intituições como o ITA, 
em que todas as notações e simbologias adotadas são expostas de forma clara 
no início da prova, de modo que não se tenha de adivinhar o que o elaborador 
quer dizer com essa ou aquela notação.
Daí o fato de eu ter utilizado as aspas sobressaltando o termo clássica, uma 
vez que é, sem dúvida, a mais utilizada em livros de ensino médio, os quais 
são a principal (ou única) fonte de estudo da maioria dos alunos de tal 
nível de ensino.
Desculpo-me se não deixei isso claro na mensagem.
Obrigado,
Márcio.
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[obm-l] Qual O período de uma função?

[Márcio Pinheiro]

Uma de minhas várias dúvidas refere-se à seguinte pegunta: qual o período de 
determinada função, não necessariamente dada por uma lei de formação 
explícita, que possui determinada propriedade?
Um exemplo clássico é em relação a uma função real f para a qual vale a 
propriedade:
f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)], para os valores de x em que f(x) difere de 1, 
sendo a um real não nulo.
Manipulações simples permitem concluir que f(x+4a) = f(x), para todo x do 
domínio de f (basta, a princípio, substituir x por x+a, obtendo 
f(x+2a)=-1/f(x); em seguida, nessa última relação, pôr x+2a no lugar de x e 
concluir o desejado).
Desse modo, pode-se CORRETAMENTE afirmar que 4a é UM período de f. Minha 
dúvida é: qual é O período (fundamental ou principal) de f? Como garantir 
que é 4a?
Para quem não lembra, a definição (pelo menos a que eu já vi em vários 
livros) de função periódica é:
Uma função f de A em B é periódica quando existe um número real T0, tal 
que f(x+T)=f(x), para todo x de A. E só, de um modo geral. Em certas 
situações, já vi a definição de período fundamental, To, de uma função como 
sendo o MENOR T, ainda positivo, que cumpre as condições da definição.
Funções como as tradicionais trigonométricas elementares (seno, co-seno, 
tangente, etc.) têm período fundamental 2pi (seno, co-seno, secante ou 
co-secante) ou pi (tangente ou co-tangente). Entretanto, de acordo com a 
definição precedente, entretanto, pode-se afirmar que 4pi, 6pi, 24pi, por 
exemplo, também são períodos (não fundamentais) de tais funções.
Na verdade, o exposto faz parte de um teorema mais geral, que se prova 
facilmente por indução:
(TEOREMA 1) Se T é um período de uma função f, então KT, com K inteiro 
positivo, também o é.
Pesquisando sobre temas periódicos, chegam-se a alguns resultados 
interessantes (e até surpreendentes, para mim), como os seguintes:
a) Toda função constante é periódica. O período pode ser QUALQUER real 
positivo, mas, em compensação, não há período fundamental, uma vez que o 
conjunto ]0,+oo[ não tem elemento mínimo. Tal fato é corolário da definição 
adotada.
b) (TEOREMA 2) Se uma função f admite um período fundamental To e se k.To é 
período de f, então k é, necessariamente, inteiro. Este teorema, que eu 
desconhecia, surgiu intuitivamente durante uma aula ano passado e foi 
demonstrado (em alguns nanosegundos!?) pelo meu colega, professor Marcelo 
Rufino, também membro ilustre desta lista. Tal demonstração utiliza o 
teorema 1 e é feita por absurdo. Se k não fosse inteiro, então [k].To (em 
que [k] denota a parte inteira de k) seria um período, pelo teorema 1. Mas, 
então, para qualquer x, f(x)=f(x-[k].To)=f(x-[k].To+k.To)=
f(x+(k-[k]).To), o que é um absurdo, uma vez que (k-[k]).To seria um período 
MENOR que To, o que é um absurdo.
Assim, não consigo vislumbrar uma maneira eficiente que determine, de fato, 
o período fundamental de uma função não dada explicitamente . O exemplo 
inicial é um dentre vários famosos. Outro clássico consiste em determinar o 
período (fundamental) de todas as funções f que cumprem a equação 
f(x+4)+f(x-4)=f(x). Como livrar-me de tais impasses. Há algum erro? Ou, com 
efeito, é impossível determinar o período fundamental em questões como 
essas?
Previamente obrigado,
Márcio Pinheiro.
P.S.: Ao Nicolau, ainda estou providenciando o original da questão da prova 
da minha última mensagem (UFPA). Em tempo, a notação utilizada nas 
alternativas da prova não era A(300;3), mas a clássica em que os números 
estão indexados e separados por vírgula.

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[obm-l] Coleção do Professor de Matemática e algumas dúvidas

[Márcio Pinheiro]

Olá pessoal.
Sou professor de matemática em Belém do Pará, voltado principalmente para 
concursos militares. Além disso, sou obviamente novo na lista, embora já a 
conheça e acesse seus arquivos há muitos anos (preguiça de inscrever-me).
No ano retrasado adquiri a Coleção do Professor de Matemática, a qual é 
principal responsável por profundas mudanças tanto em minhas aulas, quanto 
em meus pontos de vista sobre educação. Minha opinião é que tal Coleção é a 
melhor referência em língua portuguesa para professores do Ensino Médio , e 
procuro disseminá-la entre vários colegas de profissão (eventualmente, até 
mesmo para alunos mais interessados e amantes da educação, não 
necessariamente matemática).
Entretanto, apesar de ajudar-me muito em correções conceituais e melhoria no 
ensino de diversos tópicos, pretendo deixar uma observação relativamente à 
postura adotada pelos autores, principalmente dos volumes A Matemática no 
Ensino Médio, alguns dos quais, participantes desta lista. Resumindo, 
concordo com grande maioria daquilo que chamo o que o aluno deve saber e 
como estimulá-lo a aprender e pôr em prática, noutros termos, com a 
metodologia e o conteúdo propriamente ditos. No entanto, há de levar-se em 
conta que algumas instituições possuem vestibulares (sem dúvida importantes 
e necessárias peocupações do educador, ou antes, do profissional professor) 
que ainda mantêm uma visão tradicionalista de vários aspectos do ensino de 
Matemática. Só para citar alguns exemplos, considere-se a 2ª etapa do 
processo seletivo seriado da UFPA deste ano. Numa das questões, de 
combinatória, era imprescindível que o aluno soubesse a definição de 
arranjos simples, uma vez que alternativa correta era A (300,3), isto é, 
número de arranjos simples de 300 elementos, tomados três a três. No segundo 
volume de A Matemática no Ensino Médio, ocorre um total descaso 
(justificado) com a definição de arranjos. Gostaria, nesta primeira 
aproximação da opinião de professores em relação a situações como a 
apresentada. Além disso, tenho dúvidas relativas a alguns tópicos sobre os 
quais, infelizmente, não são tratados a fundo na Coleção, devido ao próprio 
nível de dificuldade, mas que ainda são freqüentes, principalmente, em 
concursos militares, como o ITA e o IME, como determinadas propriedades de 
funções periódicas, por exemplo . Porém, como esta mensagem já está 
demasiada grande, postarei tais dúvidas em mensagens subseqüentes.
Obrigado.
Márcio Pinheiro.

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