[obm-l] Como provar?
Eduardo, o que significa sum_ i 2^i ? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
Ambos saem rápido por indução forte. A ideia é, dada uma certa propriedade p(n), mostrar que: a) p(1) é verdadeira b) (Para k=2,3,...) se p(n) é verdadeira para n=1,2,3,...,k-1, então p(k) é verdadeira. De (a) e (b), por indução forte, conclui-se que p(n) é verdadeira para todo n natural positivo. ---///--- Detalhes: 1) a) 1= 2^0 é soma de potências distintas de 2 (bom, onde entendemos soma dum jeito amplo, permitindo uma única parcela) b) Suponha que qualquer número abaixo de k pode ser escrito como soma de potências de 2 distintas. Agora procure a maior potência de 2 que cabe em k, isto é, encontre m tal que 2^m=k2^(m+1). Se k = 2^m; acabou, esta é a soma que procurávamos; senão A=k-2^m pode ser escrito como soma de potências distintas de 2. Mas A2^(m+1)-2^m=2^m, ou seja, nenhuma destas potências pode ser 2^m. Assim, k=A+2^m é soma de potências **distintas** de 2. 2) a) 1=F_1 é soma de números de Fibonacci. b) Suponha que qualquer número abaixo de k pode ser escrito como soma de F_n distintos. Agora procure o maior F_n que cabe em k, isto é, encontre F_m tal que F_m=kF_(m+1). Se k = F_m; acabou, esta é a soma que procurávamos; senão A=k-F_m pode ser escrito como soma de números de Fibonacci distintos. Mas AF_(m+1)-F_m=F_(m-1)F_m, ou seja, nenhum destes números pode ser F_m (nem F_(m-1)). Assim, k=A+F_m é soma de números de Fibonacci distintos (de fato, mostramos que esta soma não contém dois F_m consecutivos!). Abraço, Ralph. 2015-03-26 21:15 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: 1) Prove que todo número natural pode ser representado como soma de diversas potências distintas de base 2 2) Prove que qualquer número natural pode ser representado como a soma de diversos números de Fibonacci diferentes -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Como provar?
Ah, somatório de 2 elevado a i, com indice i nos naturais. Na verdade eu escrevi menos do que eu deveria, pois na verdade temos que é um somatório de alpha sub-indice i vezes 2^i, o índice i pertencente aos naturais. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Como provar? Date: Fri, 27 Mar 2015 12:23:41 + Eduardo, o que significa sum_ i 2^i ? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
Onde encontro essa solução? Em 27 de março de 2015 13:38, Eduardo Henrique dr.dhe...@outlook.com escreveu: Ah, somatório de 2 elevado a i, com indice i nos naturais. Na verdade eu escrevi menos do que eu deveria, pois na verdade temos que é um somatório de alpha sub-indice i vezes 2^i, o índice i pertencente aos naturais. -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Como provar? Date: Fri, 27 Mar 2015 12:23:41 + Eduardo, o que significa sum_ i 2^i ? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Como provar?
Para a 2 tente da mesma forma, vai perceber que é verdade. Em 26/03/2015 22:25, Eduardo Henrique dr.dhe...@outlook.com escreveu: Cara, pro 1) eu posso estar muito errado, mas não sai por indução? Digo, 1= 2^0 2=2^1 supomos que n = sum_i 2^i para n+1 temos n+1 =sum_i 2^i +1 = sum_ i^k 2^i + 2^0. Dai você argumenta um pouquinho que essa soma é da forma que tu quer. Será que falei muita besteira? Abraços Eduardo -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Como provar? Date: Fri, 27 Mar 2015 00:15:46 + 1) Prove que todo número natural pode ser representado como soma de diversas potências distintas de base 2 2) Prove que qualquer número natural pode ser representado como a soma de diversos números de Fibonacci diferentes -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
Para a questão 1 vamos considerar que o zero não esteja incluído nos naturais, assim para números inteiros será perfeitamente possível através das funções geradoras, assim consideremos uma função geradora da forma (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)... Que é a função geradora para as partições de n em partes que são potências diferentes de 2, assim o coeficiente de x^n na expansão nos dará o número de maneiras distintas de se escrever n como soma de potências de base 2. Porém essa questão vai um pouco além nos mostrando que só existe uma única maneira de se escrever como soma de potências de base 2, assim basta mostrarmos que o coeficiente de x^n na expansão será 1. Mas do estudo das funções geradoras teríamos que 1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+..., assim bastaria provar que 1/(1-x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)...porém é verdade pois (1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)... =1 Abraco do Douglas Oliveira Em 26/03/2015 21:22, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: 1) Prove que todo número natural pode ser representado como soma de diversas potências distintas de base 2 2) Prove que qualquer número natural pode ser representado como a soma de diversos números de Fibonacci diferentes -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Como provar?
1) Prove que todo número natural pode ser representado como soma de diversas potências distintas de base 2 2) Prove que qualquer número natural pode ser representado como a soma de diversos números de Fibonacci diferentes -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Como provar?
Cara, pro 1) eu posso estar muito errado, mas não sai por indução? Digo, 1= 2^0 2=2^1 supomos que n = sum_i 2^i para n+1 temos n+1 =sum_i 2^i +1 = sum_ i^k 2^i + 2^0. Dai você argumenta um pouquinho que essa soma é da forma que tu quer. Será que falei muita besteira? Abraços Eduardo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Como provar? Date: Fri, 27 Mar 2015 00:15:46 + 1) Prove que todo número natural pode ser representado como soma de diversas potências distintas de base 2 2) Prove que qualquer número natural pode ser representado como a soma de diversos números de Fibonacci diferentes -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
Muito obrigado a todos pelas contribuições! Ficou muito claro! Abraços, Vanderlei Em 7 de dezembro de 2014 16:15, Carlos Yuzo Shine cysh...@yahoo.com escreveu: Não dá para generalizar porque se n é par dá para formar n/2 pares do tipo z, -z, com z sendo qualquer complexo de módulo 1 e se n é ímpar dá para formar um triângulo equilátero e (n-3)/2 pares do mesmo tipo, entre várias outras possibilidades. []'s Shine On Sunday, December 7, 2014 8:12 AM, Amanda Merryl sc...@hotmail.com wrote: É, acho que vc tem razão. Não dá para generalizar não. O que podemos afirmar é que existem tais complexos, por exemplo. As n raízes da unidade. Amanda Em 07/12/2014, às 01:10, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Hmmm, nao. Por exemplo, se n=4, poderiam ser vertices de um retangulo. 2014-12-06 15:50 GMT-02:00 Artur Steiner artur_stei...@hotmail.com: Aliás, por um raciocÃnio similar, isto pode ser generalizado para n complexos. Seus afixos formam um n-ágono regular convexo. Artur Costa Steiner Em 06/12/2014, à s 14:38, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? *Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que* *z1 + z2 + z3 = 0* *|z1| = |z2| = |z3| = 1* *Então, geometricamente, temos:* *A) Uma reta;* *xB) Um triângulo equilátero;* *C) Um triângulo retângulo;* *D) Um único ponto;* *E) Nenhuma das alternativas anteriores.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
Por favor, não me enviar mais esses emails. Obrigada Em Sábado, 6 de Dezembro de 2014 13:31, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? Sejam três númeroscomplexos z1, z2 e z3 tal quez1 + z2 + z3 = 0|z1| = |z2| = |z3| = 1Então,geometricamente, temos:A) Uma reta;xB) Um triângulo equilátero;C) Um triânguloretângulo;D) Um único ponto;E)Nenhuma das alternativas anteriores. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
É, acho que vc tem razão. Não dá para generalizar não. O que podemos afirmar é que existem tais complexos, por exemplo. As n raízes da unidade. Amanda Em 07/12/2014, às 01:10, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Hmmm, nao. Por exemplo, se n=4, poderiam ser vertices de um retangulo. 2014-12-06 15:50 GMT-02:00 Artur Steiner artur_stei...@hotmail.com: Aliás, por um raciocÃnio similar, isto pode ser generalizado para n complexos. Seus afixos formam um n-ágono regular convexo. Artur Costa Steiner Em 06/12/2014, à s 14:38, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que z1 + z2 + z3 = 0 |z1| = |z2| = |z3| = 1 Então, geometricamente, temos: A) Uma reta; xB) Um triângulo equilátero; C) Um triângulo retângulo; D) Um único ponto; E) Nenhuma das alternativas anteriores. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
Não dá para generalizar porque se n é par dá para formar n/2 pares do tipo z, -z, com z sendo qualquer complexo de módulo 1 e se n é ímpar dá para formar um triângulo equilátero e (n-3)/2 pares do mesmo tipo, entre várias outras possibilidades. []'sShine On Sunday, December 7, 2014 8:12 AM, Amanda Merryl sc...@hotmail.com wrote: É, acho que vc tem razão. Não dá para generalizar não. O que podemos afirmar é que existem tais complexos, por exemplo. As n raízes da unidade. Amanda Em 07/12/2014, às 01:10, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Hmmm, nao. Por exemplo, se n=4, poderiam ser vertices de um retangulo. 2014-12-06 15:50 GMT-02:00 Artur Steiner artur_stei...@hotmail.com: Aliás, por um raciocÃnio similar, isto pode ser generalizado para n complexos. Seus afixos formam um n-ágono regular convexo. Artur Costa Steiner Em 06/12/2014, à s 14:38, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? Sejam três númeroscomplexos z1, z2 e z3 tal quez1 + z2 + z3 = 0|z1| = |z2| = |z3| = 1Então,geometricamente, temos:A) Uma reta;xB) Um triângulo equilátero;C) Um triânguloretângulo;D) Um único ponto;E)Nenhuma das alternativas anteriores. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Como provar?
Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? *Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que* *z1 + z2 + z3 = 0* *|z1| = |z2| = |z3| = 1* *Então, geometricamente, temos:* *A) Uma reta;* *xB) Um triângulo equilátero;* *C) Um triângulo retângulo;* *D) Um único ponto;* *E) Nenhuma das alternativas anteriores.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
Os 3 complexos estão sobre a circunferência unitária de centro na origem. Através de uma mesma rotação em cada um dos vetores correspondentes aos mesmos, podemos fazer com que um deles coincida com o real 1. Como os novos complexos continuam na circunferência unitária e as distância entre eles permanecem iguais às distâncias entre os complexos originais, podemos admitir, sem perda de generalidade, que z3 = 1, que tem argumento nulo. Sendo a1 e a2 os argumentos de z1 e de z2, temos então que cos(a1) + cos(a2) = -1 sen(a1) + sen(a2) = 0 Da 2a equação, temos que a2 = -a2 ou que a2 = pi + a1. Mas como esta segunda opção zera o 1o membro da 1a equação, temos que a2 = -a1. Isto conduz a que cos(a1) = -1/2. Concluímos assim que ou a1 = 2pi/3 e a2 = -2pi/3 ou o contrário. Em ambos os casos, temos exatamente os mesmos complexos, só mudam seus índices. Assim, os vetores destes 3 complexos estão igualmente defasados de 2pi/3. Logo, os respectivos afixos formam um triângulo equilátero. Artur Costa Steiner Em 06/12/2014, às 14:38, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que z1 + z2 + z3 = 0 |z1| = |z2| = |z3| = 1 Então, geometricamente, temos: A) Uma reta; xB) Um triângulo equilátero; C) Um triângulo retângulo; D) Um único ponto; E) Nenhuma das alternativas anteriores. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
Oi Vanderlei, Nessa circunferência que tomastes z1 , suponha um z2 e construa o paralelogramo formado por z1 e z2 ; observe que este é um losango em cuja uma das diagonais é a simétrica de z3 para que a soma dê zero. Conclua daí que o ângulo entre z1 e z2 é de 120 graus. Faça o mesmo para z1 e z3 , e depois para z2 e z3, ok ? Abraços Pacini Em 6 de dezembro de 2014 14:12, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? *Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que* *z1 + z2 + z3 = 0* *|z1| = |z2| = |z3| = 1* *Então, geometricamente, temos:* *A) Uma reta;* *xB) Um triângulo equilátero;* *C) Um triângulo retângulo;* *D) Um único ponto;* *E) Nenhuma das alternativas anteriores.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
Aliás, por um raciocínio similar, isto pode ser generalizado para n complexos. Seus afixos formam um n-ágono regular convexo. Artur Costa Steiner Em 06/12/2014, às 14:38, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que z1 + z2 + z3 = 0 |z1| = |z2| = |z3| = 1 Então, geometricamente, temos: A) Uma reta; xB) Um triângulo equilátero; C) Um triângulo retângulo; D) Um único ponto; E) Nenhuma das alternativas anteriores. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
Somar complexos é completamente equivalente a somar vetores no plano. Soma nula de vetores equivale a um polígono (linha poligonal fechada). Se são 3, é um triângulo. Qual é o triângulo de lados congruentes? [], Leo. 2014-12-06 15:40 GMT-02:00 Artur Steiner artur_stei...@hotmail.com: Os 3 complexos estão sobre a circunferência unitária de centro na origem. Através de uma mesma rotação em cada um dos vetores correspondentes aos mesmos, podemos fazer com que um deles coincida com o real 1. Como os novos complexos continuam na circunferência unitária e as distância entre eles permanecem iguais às distâncias entre os complexos originais, podemos admitir, sem perda de generalidade, que z3 = 1, que tem argumento nulo. Sendo a1 e a2 os argumentos de z1 e de z2, temos então que cos(a1) + cos(a2) = -1 sen(a1) + sen(a2) = 0 Da 2a equação, temos que a2 = -a2 ou que a2 = pi + a1. Mas como esta segunda opção zera o 1o membro da 1a equação, temos que a2 = -a1. Isto conduz a que cos(a1) = -1/2. Concluímos assim que ou a1 = 2pi/3 e a2 = -2pi/3 ou o contrário. Em ambos os casos, temos exatamente os mesmos complexos, só mudam seus índices. Assim, os vetores destes 3 complexos estão igualmente defasados de 2pi/3. Logo, os respectivos afixos formam um triângulo equilátero. Artur Costa Steiner Em 06/12/2014, às 14:38, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? *Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que* *z1 + z2 + z3 = 0* *|z1| = |z2| = |z3| = 1* *Então, geometricamente, temos:* *A) Uma reta;* *xB) Um triângulo equilátero;* *C) Um triângulo retângulo;* *D) Um único ponto;* *E) Nenhuma das alternativas anteriores.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
Hmmm, nao. Por exemplo, se n=4, poderiam ser vertices de um retangulo. 2014-12-06 15:50 GMT-02:00 Artur Steiner artur_stei...@hotmail.com: Aliás, por um raciocínio similar, isto pode ser generalizado para n complexos. Seus afixos formam um n-ágono regular convexo. Artur Costa Steiner Em 06/12/2014, às 14:38, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? *Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que* *z1 + z2 + z3 = 0* *|z1| = |z2| = |z3| = 1* *Então, geometricamente, temos:* *A) Uma reta;* *xB) Um triângulo equilátero;* *C) Um triângulo retângulo;* *D) Um único ponto;* *E) Nenhuma das alternativas anteriores.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Como provar?
Eu entendi a sulução do Lucas para o item a.No mais confesso que fiquei perdido. From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Como provar? Date: Sat, 21 Jan 2012 04:28:55 -0200 Olá Marcone, Quando mandei a solução estava com um pouco de pressa (ia almoçar fora) por isso pedi para ficar atento a algum erro Mas pelo que estou vendo não tem erro algum Para o segundo caso você pode fazer o mesmo processo Sendo s o maior primo até k, sendo w o maior inteiro inteiro ímpar = `à quantidade de múltiplos de s até k pelo lema acima temos temos 1/s (1/1 + 1/3 +...+1/w) é inteiro - (1/1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +... + 1/w) é inteiro, mas w k, absurdo []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Como provar? Date: Fri, 20 Jan 2012 22:03:54 + Desculpe.Eu não entendi o item b. Date: Thu, 19 Jan 2012 01:31:07 -0200 Subject: Re: [obm-l] Como provar? From: lucas.colucci.so...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pra a), considere a maior potência de 2 menor que n, digamos, 2^m, e seja t=mmc(1,2,...,n). Escrevendo essa soma com denominador l, todas as parcelas do numerador, exceto uma (a do 1/2^m) são pares. Assim, o numerador é ímpar e o denominador par, então a soma não pode ser inteira. Pra b), se a soma S=1+1/3+...+1/(2n+1) fosse inteira, 1+1/2+...+1/(2n+2)=1/2(1+1/2+...+1/n)+(1+1/3+...+1/(2n+1)) = S=1/2(1+...+1/n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2))= (1/2+1/4+...+1/2n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2)), o que é um absurdo considerando a maior potência de 2 que aparece nos denominadores, novamente. Lucas Colucci 2012/1/19 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Eu acho que achei uma solução (não tenho certeza se tem alguma falha), agradeceria se alguém corrigisse qualquer tipo de erro nela Seja k o menor natural (maior que 1) para que a soma é inteira Primeiramente vamos provar que LEMA 1) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis não inteiras, sua soma é racional não inteiro se mdc(b, n) = 1 sendo a/b + m/n = P, m/n = P-a/b = (Pb-a)/b = Q/b, se Q fosse inteiro, mdc (Q, b) seria 1 e b = n, absurdo, logo Q não é inteiro Sendo s o maior primo até k, sendo w a quantidade de múltiplos de s pelo lema acima temos temos 1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) é inteiro - (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) é inteiro, mas w k, absurdo Se isso estiver certo o caso 2 é análogo []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Como provar? Date: Thu, 19 Jan 2012 00:13:53 + Prove q os numeros a) 1+ 1/2 + 1/3 + ... 1/n b) 1/3 + 1/5 + ...1/(2n+1) nao sao inteiros Agradeço desde ja
RE: [obm-l] Como provar?
Olá, Marcone Vou tentar explicar por partes (e mudar um pouco a solução) Seja k o menor natural (maior que 1) para que a soma é inteiraPrimeiramente vamos provar que LEMA 1) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis, sem que as duas sejam inteiras, sua soma é racional não inteiro se mdc(b, n) =1 sem problema até aqui sendo a/b + m/n = P, m/n = P-a/b = (Pb-a)/b = Q/b, se Q fosse inteiro, mdc (Q, b) seria 1 e b = n, absurdo, logo Q não é inteiro Q = Pb - a, se P fosse inteiro, Q seria inteiro, mas se Q fosse inteiro, mdc(Pb-a, b) = mdc(a, b) = 1, logo Q/b seria uma fração irredutíiveel Agora pense comigo, se m/n e Q/b são duas frações e irredutíveis, m=Q e n = b, mas mdc(b, n) = 1 absurdo LEMA 2) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis, sem que as duas sejam inteiras, e sendo bn, sua soma é racional não inteiro se mdc(b, n) != n sendo W mdc(b, n), sendo X = b/W e Y = n/W temos que a/b + m/n = 1/W(a/X + m/Y), mas a/X e m/Y são duas duas frações irredutíveis, sem que as duas sejam inteiras, e mdc(X, Y) = 1, pelo lema 1 temos que sua soma não é inteira , lgo a/b a+m/n não é inteiro Aí que veio a mudança, para ficar mais fácil de entender Sendo s o maior primo até k, sendo w a quantidade de múltiplos de s pelo lema acima temos temos 1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) é inteiro - (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) é inteiro, mas w k, absurdo Sendo s o maior primo, temos que, tirando da soma (1/1 + 1/2 +... + 1/k) as frações em que aparecem os múltiplos de s, chamaremos esta soma de x, e a soma das frações com os múltiplos de s de y Sendo x = c/d e y = e/f (irredutíveis), é óbvio que d não é múltiplo de s e f é múltiplo de s, logo se as duas não são inteiras mdc(d, f) != f ou d e pelo Lema 2 a sua soma SERÁ não inteira. Se as duas fossem inteiras, teriamos um absurdo, pois y = 1/s + 1/2s + 1/3s +... +1/ws = 1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) , e (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) é inteiro, mas w k, absurdo []'sJoão From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Como provar? Date: Sun, 22 Jan 2012 19:01:02 + Eu entendi a sulução do Lucas para o item a.No mais confesso que fiquei perdido. From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Como provar? Date: Sat, 21 Jan 2012 04:28:55 -0200 Olá Marcone, Quando mandei a solução estava com um pouco de pressa (ia almoçar fora) por isso pedi para ficar atento a algum erro Mas pelo que estou vendo não tem erro algum Para o segundo caso você pode fazer o mesmo processo Sendo s o maior primo até k, sendo w o maior inteiro inteiro ímpar = `à quantidade de múltiplos de s até k pelo lema acima temos temos 1/s (1/1 + 1/3 +...+1/w) é inteiro - (1/1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +... + 1/w) é inteiro, mas w k, absurdo []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Como provar? Date: Fri, 20 Jan 2012 22:03:54 + Desculpe.Eu não entendi o item b. Date: Thu, 19 Jan 2012 01:31:07 -0200 Subject: Re: [obm-l] Como provar? From: lucas.colucci.so...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pra a), considere a maior potência de 2 menor que n, digamos, 2^m, e seja t=mmc(1,2,...,n). Escrevendo essa soma com denominador l, todas as parcelas do numerador, exceto uma (a do 1/2^m) são pares. Assim, o numerador é ímpar e o denominador par, então a soma não pode ser inteira. Pra b), se a soma S=1+1/3+...+1/(2n+1) fosse inteira, 1+1/2+...+1/(2n+2)=1/2(1+1/2+...+1/n)+(1+1/3+...+1/(2n+1)) = S=1/2(1+...+1/n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2))= (1/2+1/4+...+1/2n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2)), o que é um absurdo considerando a maior potência de 2 que aparece nos denominadores, novamente. Lucas Colucci 2012/1/19 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Eu acho que achei uma solução (não tenho certeza se tem alguma falha), agradeceria se alguém corrigisse qualquer tipo de erro nela Seja k o menor natural (maior que 1) para que a soma é inteira Primeiramente vamos provar que LEMA 1) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis não inteiras, sua soma é racional não inteiro se mdc(b, n) = 1 sendo a/b + m/n = P, m/n = P-a/b = (Pb-a)/b = Q/b, se Q fosse inteiro, mdc (Q, b) seria 1 e b = n, absurdo, logo Q não é inteiro Sendo s o maior primo até k, sendo w a quantidade de múltiplos de s pelo lema acima temos temos 1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) é inteiro - (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) é inteiro, mas w k, absurdo Se isso estiver certo o caso 2 é análogo []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Como provar? Date: Thu, 19 Jan 2012 00:13:53 + Prove q os numeros a) 1+ 1/2 + 1/3 + ... 1/n b) 1/3 + 1/5 + ...1/(2n+1) nao sao inteiros Agradeço desde ja
RE: [obm-l] Como provar?
Desculpe.Eu não entendi o item b. Date: Thu, 19 Jan 2012 01:31:07 -0200 Subject: Re: [obm-l] Como provar? From: lucas.colucci.so...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pra a), considere a maior potência de 2 menor que n, digamos, 2^m, e seja t=mmc(1,2,...,n). Escrevendo essa soma com denominador l, todas as parcelas do numerador, exceto uma (a do 1/2^m) são pares. Assim, o numerador é ímpar e o denominador par, então a soma não pode ser inteira. Pra b), se a soma S=1+1/3+...+1/(2n+1) fosse inteira, 1+1/2+...+1/(2n+2)=1/2(1+1/2+...+1/n)+(1+1/3+...+1/(2n+1)) = S=1/2(1+...+1/n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2))= (1/2+1/4+...+1/2n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2)), o que é um absurdo considerando a maior potência de 2 que aparece nos denominadores, novamente. Lucas Colucci 2012/1/19 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Eu acho que achei uma solução (não tenho certeza se tem alguma falha), agradeceria se alguém corrigisse qualquer tipo de erro nela Seja k o menor natural (maior que 1) para que a soma é inteira Primeiramente vamos provar que LEMA 1) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis não inteiras, sua soma é racional não inteiro se mdc(b, n) = 1 sendo a/b + m/n = P, m/n = P-a/b = (Pb-a)/b = Q/b, se Q fosse inteiro, mdc (Q, b) seria 1 e b = n, absurdo, logo Q não é inteiro Sendo s o maior primo até k, sendo w a quantidade de múltiplos de s pelo lema acima temos temos 1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) é inteiro - (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) é inteiro, mas w k, absurdo Se isso estiver certo o caso 2 é análogo []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Como provar? Date: Thu, 19 Jan 2012 00:13:53 + Prove q os numeros a) 1+ 1/2 + 1/3 + ... 1/n b) 1/3 + 1/5 + ...1/(2n+1) nao sao inteiros Agradeço desde ja
RE: [obm-l] Como provar?
Olá Marcone, Quando mandei a solução estava com um pouco de pressa (ia almoçar fora) por isso pedi para ficar atento a algum erro Mas pelo que estou vendo não tem erro algum Para o segundo caso você pode fazer o mesmo processo Sendo s o maior primo até k, sendo w o maior inteiro inteiro ímpar = `à quantidade de múltiplos de s até k pelo lema acima temos temos 1/s (1/1 + 1/3 +...+1/w) é inteiro - (1/1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +... + 1/w) é inteiro, mas w k, absurdo []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Como provar? Date: Fri, 20 Jan 2012 22:03:54 + Desculpe.Eu não entendi o item b. Date: Thu, 19 Jan 2012 01:31:07 -0200 Subject: Re: [obm-l] Como provar? From: lucas.colucci.so...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pra a), considere a maior potência de 2 menor que n, digamos, 2^m, e seja t=mmc(1,2,...,n). Escrevendo essa soma com denominador l, todas as parcelas do numerador, exceto uma (a do 1/2^m) são pares. Assim, o numerador é ímpar e o denominador par, então a soma não pode ser inteira. Pra b), se a soma S=1+1/3+...+1/(2n+1) fosse inteira, 1+1/2+...+1/(2n+2)=1/2(1+1/2+...+1/n)+(1+1/3+...+1/(2n+1)) = S=1/2(1+...+1/n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2))= (1/2+1/4+...+1/2n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2)), o que é um absurdo considerando a maior potência de 2 que aparece nos denominadores, novamente. Lucas Colucci 2012/1/19 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Eu acho que achei uma solução (não tenho certeza se tem alguma falha), agradeceria se alguém corrigisse qualquer tipo de erro nela Seja k o menor natural (maior que 1) para que a soma é inteira Primeiramente vamos provar que LEMA 1) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis não inteiras, sua soma é racional não inteiro se mdc(b, n) = 1 sendo a/b + m/n = P, m/n = P-a/b = (Pb-a)/b = Q/b, se Q fosse inteiro, mdc (Q, b) seria 1 e b = n, absurdo, logo Q não é inteiro Sendo s o maior primo até k, sendo w a quantidade de múltiplos de s pelo lema acima temos temos 1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) é inteiro - (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) é inteiro, mas w k, absurdo Se isso estiver certo o caso 2 é análogo []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Como provar? Date: Thu, 19 Jan 2012 00:13:53 + Prove q os numeros a) 1+ 1/2 + 1/3 + ... 1/n b) 1/3 + 1/5 + ...1/(2n+1) nao sao inteiros Agradeço desde ja
[obm-l] Como provar?
Prove q os numeros a) 1+ 1/2 + 1/3 + ... 1/n b) 1/3 + 1/5 + ...1/(2n+1) nao sao inteiros Agradeço desde ja
RE: [obm-l] Como provar?
Eu acho que achei uma solução (não tenho certeza se tem alguma falha), agradeceria se alguém corrigisse qualquer tipo de erro nela Seja k o menor natural (maior que 1) para que a soma é inteiraPrimeiramente vamos provar que LEMA 1) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis não inteiras, sua soma é racional não inteiro se mdc(b, n) = 1 sendo a/b + m/n = P, m/n = P-a/b = (Pb-a)/b = Q/b, se Q fosse inteiro, mdc (Q, b) seria 1 e b = n, absurdo, logo Q não é inteiro Sendo s o maior primo até k, sendo w a quantidade de múltiplos de s pelo lema acima temos temos 1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) é inteiro - (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) é inteiro, mas w k, absurdo Se isso estiver certo o caso 2 é análogo []'sJoão From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Como provar? Date: Thu, 19 Jan 2012 00:13:53 + Prove q os numeros a) 1+ 1/2 + 1/3 + ... 1/n b) 1/3 + 1/5 + ...1/(2n+1) nao sao inteiros Agradeço desde ja
Re: [obm-l] Como provar?
Pra a), considere a maior potência de 2 menor que n, digamos, 2^m, e seja t=mmc(1,2,...,n). Escrevendo essa soma com denominador l, todas as parcelas do numerador, exceto uma (a do 1/2^m) são pares. Assim, o numerador é ímpar e o denominador par, então a soma não pode ser inteira. Pra b), se a soma S=1+1/3+...+1/(2n+1) fosse inteira, 1+1/2+...+1/(2n+2)=1/2(1+1/2+...+1/n)+(1+1/3+...+1/(2n+1)) = S=1/2(1+...+1/n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2))= (1/2+1/4+...+1/2n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2)), o que é um absurdo considerando a maior potência de 2 que aparece nos denominadores, novamente. Lucas Colucci 2012/1/19 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Eu acho que achei uma solução (não tenho certeza se tem alguma falha), agradeceria se alguém corrigisse qualquer tipo de erro nela Seja k o menor natural (maior que 1) para que a soma é inteira Primeiramente vamos provar que LEMA 1) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis não inteiras, sua soma é racional não inteiro se mdc(b, n) = 1 sendo a/b + m/n = P, m/n = P-a/b = (Pb-a)/b = Q/b, se Q fosse inteiro, mdc (Q, b) seria 1 e b = n, absurdo, logo Q não é inteiro Sendo s o maior primo até k, sendo w a quantidade de múltiplos de s pelo lema acima temos temos 1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) é inteiro - (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) é inteiro, mas w k, absurdo Se isso estiver certo o caso 2 é análogo []'s João -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Como provar? Date: Thu, 19 Jan 2012 00:13:53 + Prove q os numeros a) 1+ 1/2 + 1/3 + ... 1/n b) 1/3 + 1/5 + ...1/(2n+1) nao sao inteiros Agradeço desde ja
[obm-l] Re: [obm-l] Como provar que C(n,p) é número natura l?
A melhor que eu posso imaginar e simplesmente pensar assim: 1 - Determine, para cada primo p, a maior potencia de p que divide n! (ou seja, descubra na raça a fatoração de n!). E facil: basta contar quanto cada p, 2p, 3p, ... (p-1)p, p^2, etc vai contribuir (voce vai obter um somatorio). Isso tem mais a ver com teoria dos conjuntos que com teoria dos números. 2 - A partir dai, fica facil provar que a potencia de p que aparece no numerador não é menor que no denominador. Em 23/11/10, Pedro Chavesbrped...@hotmail.com escreveu: Amigos da Lista, Como posso provar que C(n,p) é um número natural, usando apenas a definição C(n,p) = n! / [p! (n-p)!]? (p e n são números naturais, com p menor ou igual a n) Meu objetivo é obter uma prova direta, isto é, que não recorra à Análise Combinatória, nem às propriedades dos números binomiais. Muito grato! Pedro Chaves -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Quadrinhos, histórioas e afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Um pouco sobre elétrons em movimento http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Como provar que C(n, p) é número natural?
Amigos da Lista, Como posso provar que C(n,p) é um número natural, usando apenas a definição C(n,p) = n! / [p! (n-p)!]? (p e n são números naturais, com p menor ou igual a n) Meu objetivo é obter uma prova direta, isto é, que não recorra à Análise Combinatória, nem às propriedades dos números binomiais. Muito grato! Pedro Chaves
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Como provar que PI é irraci onal?
A melhor referência, IMHO, é o infame Proofs from THE BOOK, de martin Aigner e Günter Ziegler. Tem um capítulo dedicado aos irracionais, em especial pi e exp(n) para todo n (e alguns outros). Sei que tem como folhear no Google Books, e que tem em algumas faculdades de Matemática de São Paulo. Em 25 de março de 2010 16:54, Maikel Andril Marcelino maikinho0...@hotmail.com escreveu: DÊ UMA LIDA NESSE ARTIGO http://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_da_irracionalidade_de_%CF%80 From: fftone...@uol.com.br Subject: [obm-l] Como provar que PI é irracional? Date: Wed, 24 Mar 2010 13:37:08 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, Sou novo aqui. Meu nome é Felipe Tonello e faço matemática bacharelado na UNIFEI, Universidade Federal de Itajubá. Um professor veio com essa questão. Prove que PI é irracional. Eu tentei e tentei, tentei provar que a constante e é irracional também, mas sem sucesso. Acredito que falta alguma prática pra mim =/ Alguém pode me ajudar? Obrigado Felipe Ferreri Tonello fftone...@uol.com.br http://felipetonello.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Fale com seus amigos do Messenger direto da Caixa de Entrada do Hotmail. Clique aqui -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Como provar que PI é irracional?
Pessoal, Sou novo aqui. Meu nome é Felipe Tonello e faço matemática bacharelado na UNIFEI, Universidade Federal de Itajubá. Um professor veio com essa questão. Prove que PI é irracional. Eu tentei e tentei, tentei provar que a constante e é irracional também, mas sem sucesso. Acredito que falta alguma prática pra mim =/ Alguém pode me ajudar? Obrigado Felipe Ferreri Tonello fftone...@uol.com.br http://felipetonello.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Como provar que PI é irracional?
Em qual cadeira o professor pediu isso? Existem várias demonstrações utilizando diferentes métodos. Procure pela demonstração de Lambert e pela demonstração de Cartwright. A demonstração que e é irracional é bem mais simples. A ideia é olhar a expanção em série de e^x para o caso de x = 1, supor e racional a/b e considerar o numero y= b! (e - Sum[n=1:b]1/n!). E tentar chegar a uma contradição. 2010/3/24 Felipe Ferreri Tonello fftone...@uol.com.br Pessoal, Sou novo aqui. Meu nome é Felipe Tonello e faço matemática bacharelado na UNIFEI, Universidade Federal de Itajubá. Um professor veio com essa questão. Prove que PI é irracional. Eu tentei e tentei, tentei provar que a constante e é irracional também, mas sem sucesso. Acredito que falta alguma prática pra mim =/ Alguém pode me ajudar? Obrigado Felipe Ferreri Tonello fftone...@uol.com.br http://felipetonello.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Como provar que esta funçao é diferenciável?
Seja f definida em (0, oo), nao negativa e monotonicamente decrescente. Podemos provar, sem maiores dificuldades, que lim (n -- oo) [f(1) + f(2)+ f(n) - Int (1 a n) f(t) dt ] existe. Isto é decorrência direta do carater monotonicamente decrescente de f. Mesmo que a serie e a integral infinita divirjam, o limite sempre existe. A sequencia é limitada inferiormente por 0 e eh monotica decrescente. Como f eh monotonica a integral existe em qualquer intervalo compacto. Suponhamos agora que, para cada x = 0 fixo, f_x seja definida em [1, oo) por f_x(t) = 1/t^x. Entao, f_x eh estritamente decrescente para x 0 e constante em 1 pra x = 0. Definamos g(x) = lim (n -- oo) [1/1^x + 1/2^x .1/n^x - Int (1 a n) f_x(t) dt ]. Pelo que vimos, este limite existe para todo x e g estah bem definida. Se x1, g(x) = lim (n -- oo) [1/1^x + 1/2^x .1/n^x - (n^(1 - x) - 1)/(1 - x) ] e , se x=1 g(1) = lim (n -- oo) [1/1 + 1/2 .1/nx - ln(n)] , que é a famosa constante de Euler/Mascheroni, pouco maior que 0, 5 Se x 1, na definição de g a série e a integral convergem, e temos que g(x) = lim (n -- oo) [1/1^x + 1/2^x .1/n^x - 1/(x -1)] = Z(x) - 1/(x -1), sendo Z a funcao zeta de Riemann. Da análise complexa, sabe-se que Zé analítica, apresentando assim derivadas de todas as ordens também na reta real. Logo, g é difrenciavel em (1, oo) e g'(x) = Z'(x) + 1/(x-1)^2 Se x estiver em (0, 1], entao a integral e serie divergem. Ttentei provar que g é derivável tambem em [0,1], mas nap consegui. Tentei representar a derivada como um limite de funcoes, o que nao eh dificil se definirmos g_n(x) = [1/1^x + 1/2^x .1/n^x - (n^(1 - x) - 1)/(1 - x) ] e g'_n(x) = [ -2^(-x)ln(2) -n^(-)x ln(n) - d/dx(n^(1 - x) - 1)/(1 - x)] Esta sequencia de funcoes de fato converge, basta usar o mesmo argumento do inicio desta postagem. Mas a derivada acima resulta em uma expressao complicada e noa consegui provar que a convergencia eh uniforme, nem mesmo em intervalos compactos (tentei usar os teoremas d Dini e de Polya, ams acho que nao se aplicam) Mas acho que esta funcao g eh derivavel e decrescente em [0, oo) e tendo para um limite no infinito. Como podemos provar isso? Ate agora noa consegui. Obrigado por qualquer ajuda Artur
Re: [obm-l] como provar isso?
Temos k^5-k=k(k^4-1)=k(k^2-1)(k^2+1)=k(k-1)(k+1)(k^2+1) 30=2*3*5Modulo 2, ou k ou k-1 e par Modulo 3, ou k ou k+1 ou k-1 da certo Modulo 5, e mais chato... k^2+1=k^2+1-5=k^2-2^2=(k-2)(k+2) (MOD 5) logo k^5-k=k(k-1)(k+1)(k-2)(k+2) (MOD 5) E acabou! Will [EMAIL PROTECTED] wrote: O que me lembra de um dos primeiros exercicios que resolvi no livro deTeoria dos Numeros da Colecao Matematica Universitaria. Prove que N^5 - N édivisível por 30 :-))Will- Original Message -From: "Ricardo Bittencourt" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Fridaay, December 19, 2003 12:52 AMSubject: Re: [obm-l] como provar isso?Robson Jr wrote: Provar que para qualquer número inteiro k, os números k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades).Isso em base 10 né ?Se você não souber o pequeno teorema de Fermat,então dá pra demonstrar isso por indução finita. Se vocêsouber, então fica bem mais fácil!k^5=k (mod 10) é igual às duas afirmações abaixo:k^5=k (mod 2) e k^5=k (mod 5)A parte com mod 2 é simples, se k for ímpar,então k^5 é ímpar também e o mesmo vale pra pares.Pelo pequeno teorema de Fermat, k^(p-1)=1 (mod p)sempre que p for primo. Mas 5 é primo, então:k^(5-1)=1 (mod 5)k^4=1 (mod 5) e portanto:k^5=k (mod 5)Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk[EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou"-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!
Re: [obm-l] como provar isso?
O que me lembra de um dos primeiros exercicios que resolvi no livro de Teoria dos Numeros da Colecao Matematica Universitaria. Prove que N^5 - N é divisível por 30 :-)) Will - Original Message - From: Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, December 19, 2003 12:52 AM Subject: Re: [obm-l] como provar isso? Robson Jr wrote: Provar que para qualquer número inteiro k, os números k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades). Isso em base 10 né ? Se você não souber o pequeno teorema de Fermat, então dá pra demonstrar isso por indução finita. Se você souber, então fica bem mais fácil! k^5=k (mod 10) é igual às duas afirmações abaixo: k^5=k (mod 2) e k^5=k (mod 5) A parte com mod 2 é simples, se k for ímpar, então k^5 é ímpar também e o mesmo vale pra pares. Pelo pequeno teorema de Fermat, k^(p-1)=1 (mod p) sempre que p for primo. Mas 5 é primo, então: k^(5-1)=1 (mod 5) k^4=1 (mod 5) e portanto: k^5=k (mod 5) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] como provar isso?
Provar que para qualquer número inteiro k, os números k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades). Gostaria de saber, grato
Re: [obm-l] como provar isso?
Robson Jr wrote: Provar que para qualquer número inteiro k, os números k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades). Isso em base 10 né ? Se você não souber o pequeno teorema de Fermat, então dá pra demonstrar isso por indução finita. Se você souber, então fica bem mais fácil! k^5=k (mod 10) é igual às duas afirmações abaixo: k^5=k (mod 2) e k^5=k (mod 5) A parte com mod 2 é simples, se k for ímpar, então k^5 é ímpar também e o mesmo vale pra pares. Pelo pequeno teorema de Fermat, k^(p-1)=1 (mod p) sempre que p for primo. Mas 5 é primo, então: k^(5-1)=1 (mod 5) k^4=1 (mod 5) e portanto: k^5=k (mod 5) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
