Re: [obm-l] somatorio formula em f(n)

[Rodrigo Renji]

Opa, valeu por postar o link do Fatos matemáticos (recomendo o blog),

As versões mais recentes dos textos, vou colocar em alguns links abaixo

E uma lista de reprodução de vídeos no youtube com teoria básica
http://www.youtube.com/playlist?list=PLmT_L9MZaC2kzEosTUaAOjjrymbGy84W5

Somatórios
texto I Definição, números de Euler, bernoulli, stirling
https://www.dropbox.com/s/ra4g9mghzgmpvk1/sum1-def-bern-euler-inter-stir.pdf

Texto 2 soma de polinomios ( vários fórmulas), inversos, soma harmonica,
soma usando função gamma
https://www.dropbox.com/s/okrvri90pbq0so3/sum2-poli-inver-harm-gamma.pdf

Texto 3 Soma por partes (parecida com integração por partes), soma com
fatorial, mais harmonicos
https://www.dropbox.com/s/luxel9a8fc57g6g/sum3-partes-fato-harmo.pdf
Texto 4 soma e integral, truque de gauss, soma usando derivada, soma pelo
metodo da função indeterminada
https://www.dropbox.com/s/q1pn22ryghm4tfw/sum4-inte-gaus-deri-indet.pdf
texto 5 desigualdades, função beta, função piso
https://www.dropbox.com/s/4kbect7p8xsz1o8/sum5-confin-beta-piso-desi.pdf
Texto 6 soma de binomiais
https://www.dropbox.com/s/71hegdmg97d0661/sum6-binomiais.pdf
Texto 7 soma de trigonométricos
*https://www.dropbox.com/s/88rnq00mh5zb8yk/sum7-trigonometricos.pdf
*Texto 8 soma usando combinatória
https://www.dropbox.com/s/6ux9jnju0z8j4cj/sum8-combinatoria-divi.pdf


abraço

Rodrigo



Em 10 de julho de 2013 13:30, Rígille Scherrer Borges Menezes <
rigillesbmene...@gmail.com> escreveu:

> Já vi em um site, fatos matemáticos, alguns materiais sobre somatórios.
> Não li ainda, mas talvez você ache útil:
>
> http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/10/tecnicas-para-somatorios.html
>
>
> Em 7 de julho de 2013 09:54, terence thirteen 
> escreveu:
>
> 27, integrais discretas por Eduardo Poço
>> 29, Algoritmo de Gosper, por Humberto Naves
>>
>> O segundo é um artigo um tanto elaborado, merece uma leitura bem detida.
>>
>>
>> Em 6 de julho de 2013 18:15, Hermann  escreveu:
>>
>> **
>>> Agradeço a ajuda, serrá que o Eureka tem um super indice como na RPM?
>>> Pelo visto é realmente complicado e tem a ver com experiências do aluno.
>>> Valeu
>>> Hermann
>>>
>>> ----- Original Message -
>>> *From:* terence thirteen 
>>> *To:* obm-l 
>>> *Sent:* Saturday, July 06, 2013 4:49 PM
>>> *Subject:* Re: [obm-l] somatorio formula em f(n)
>>>
>>>  Em geral isto depende muito dos termos dentro do somatório. Às vezes
>>> estas somas são chatas pra caramba, em outros são fáceis. Por exemplo, no
>>> se caso, você poderia pensar que a soma dos quadrados se comporta como um
>>> polinômio.
>>>
>>> Mas, em geral, isto tem a ver com funções hipergeométricas. Tem um
>>> artigo na Eureka! sobre isto, vou caçar!
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Em 6 de julho de 2013 11:33, Hermann escreveu:
>>>
>>>> **
>>>> Meus amigos gostaria de uma (+1) ajuda:
>>>>
>>>> Qual o metodo ou raciocinio para: dado um somatorio deixá-lo em função
>>>> de n
>>>>
>>>> exemplo S,i=1 a n, (i-1)^2
>>>>
>>>> como chego emn(2n^2-3n+1)/6
>>>>
>>>> obrigado
>>>> Hermann
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> /**/
>>> 神が祝福
>>>
>>> Torres
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>>
>> --
>> /**/
>> 神が祝福
>>
>> Torres
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] somatorio formula em f(n)

[Rígille Scherrer Borges Menezes]

Já vi em um site, fatos matemáticos, alguns materiais sobre somatórios. Não
li ainda, mas talvez você ache útil:
http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/10/tecnicas-para-somatorios.html


Em 7 de julho de 2013 09:54, terence thirteen
escreveu:

> 27, integrais discretas por Eduardo Poço
> 29, Algoritmo de Gosper, por Humberto Naves
>
> O segundo é um artigo um tanto elaborado, merece uma leitura bem detida.
>
>
> Em 6 de julho de 2013 18:15, Hermann  escreveu:
>
> **
>> Agradeço a ajuda, serrá que o Eureka tem um super indice como na RPM?
>> Pelo visto é realmente complicado e tem a ver com experiências do aluno.
>> Valeu
>> Hermann
>>
>> - Original Message -
>> *From:* terence thirteen 
>> *To:* obm-l 
>> *Sent:* Saturday, July 06, 2013 4:49 PM
>> *Subject:* Re: [obm-l] somatorio formula em f(n)
>>
>>  Em geral isto depende muito dos termos dentro do somatório. Às vezes
>> estas somas são chatas pra caramba, em outros são fáceis. Por exemplo, no
>> se caso, você poderia pensar que a soma dos quadrados se comporta como um
>> polinômio.
>>
>> Mas, em geral, isto tem a ver com funções hipergeométricas. Tem um artigo
>> na Eureka! sobre isto, vou caçar!
>>
>>
>>
>>
>> Em 6 de julho de 2013 11:33, Hermann  escreveu:
>>
>>> **
>>> Meus amigos gostaria de uma (+1) ajuda:
>>>
>>> Qual o metodo ou raciocinio para: dado um somatorio deixá-lo em função
>>> de n
>>>
>>> exemplo S,i=1 a n, (i-1)^2
>>>
>>> como chego emn(2n^2-3n+1)/6
>>>
>>> obrigado
>>> Hermann
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
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>> --
>> /**/
>> 神が祝福
>>
>> Torres
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>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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> 神が祝福
>
> Torres
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] somatorio de novo

[terence thirteen]

Ah sim. Vocẽ quer saber qual a soma dos primeiros naturais, usando as dicas
do artigo.

Bem, vou fazer a minha tentativa mesmo.

Queremos saber a integral SIGMA^n(n).


SIGMA^n(INT(1)) = INT(SIGMA^n(1)) + Cn


SIGMA^n(n) = INT(n) + Cn

SIGMA^n(n) = n^2/2 + Cn + D

Para achar C e D, bastará calcular SIGMA pela definição!





Em 7 de julho de 2013 20:19, Giovana Giordano  escreveu:

> Olá, meu email está cadastrado neste grupo equivocadamente.
> O moderador poderia me excluir, por favor?
> Obrigada,
> Giovana.
>
>
>
>
> Enviado do meu Samsung Galaxy Tab 10.1
>
> Hermann  escreveu:
>
> Vc está com a razão
>
> mas olhe a eureka 27 pag 29 (Alguns valores:)
> e lá é que eu não entendi os somatórios com resultados muito proximos do
> valor que eu encontrei
>
> abs
> Hermann
>
> - Original Message -
> *From:* terence thirteen 
> *To:* obm-l 
> *Sent:* Sunday, July 07, 2013 2:07 PM
> *Subject:* Re: [obm-l] somatorio de novo
>
>   É uma notação que lembra um pouco as integrais clássicas.
>
> Imagine por exemplo a função f(x)=x. A integral dela, nos reais, é x^2+C.
> Usamos aquele símbolo parecido com um S estilizado.
>
>
> Aqui, ele define integrais discretas de funções naturais.
> Se f é uma função de N em N, e F é uma função tal que F(n+1)-F(n)=f(n),
> chamamos  F de integral discreta de f. E usamos a notação SIGMA^n (o n
> serve para indicar a variável de integração, mais ou menos como o dx nas
> integrais comuns).
>
>
> Mas, o que tem de mais? Alguma outra coisa está passando que eu não vi? Eu
> mesmo não sei qual página está isto.
>
>
>
>
>
>
> Em 7 de julho de 2013 13:30, Hermann  escreveu:
>
>> **
>> Tentando!! estudar o artigo da eureka 27 : integrais discretas de Eduardo
>> Poço.
>> Me perdi na seguinte notação:
>>
>> Sigma^n (n) = n(n-1)/2
>>
>> e sabemos que Sigma_k=1 ^n  (k) = n(n+1)/2 (soma da PA)
>>
>> alguém pode me explicar o que eu não estou enxergando?
>>
>> abraços
>> Hermann
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
>
> --
> /**/
> 神が祝福
>
> Torres
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>



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神が祝福

Torres

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] somatorio de novo

[Giovana Giordano]

Olá, meu email está cadastrado neste grupo equivocadamente.
O moderador poderia me excluir, por favor?
Obrigada,
Giovana.




Enviado do meu Samsung Galaxy Tab 10.1Hermann  
escreveu:Vc está com a razão
 
mas olhe a eureka 27 pag 29 (Alguns valores:)
e lá é que eu não entendi os somatórios com resultados muito proximos do valor 
que eu encontrei
 
abs
Hermann
- Original Message -
From: terence thirteen
To: obm-l
Sent: Sunday, July 07, 2013 2:07 PM
Subject: Re: [obm-l] somatorio de novo

É uma notação que lembra um pouco as integrais clássicas.

Imagine por exemplo a função f(x)=x. A integral dela, nos reais, é x^2+C. 
Usamos aquele símbolo parecido com um S estilizado.


Aqui, ele define integrais discretas de funções naturais.
Se f é uma função de N em N, e F é uma função tal que F(n+1)-F(n)=f(n), 
chamamos  F de integral discreta de f. E usamos a notação SIGMA^n (o n serve 
para indicar a variável de integração, mais ou menos como o dx nas integrais 
comuns).


Mas, o que tem de mais? Alguma outra coisa está passando que eu não vi? Eu 
mesmo não sei qual página está isto.






Em 7 de julho de 2013 13:30, Hermann  escreveu:
Tentando!! estudar o artigo da eureka 27 : integrais discretas de Eduardo Poço.
Me perdi na seguinte notação:
 
Sigma^n (n) = n(n-1)/2
 
e sabemos que Sigma_k=1 ^n  (k) = n(n+1)/2 (soma da PA)
 
alguém pode me explicar o que eu não estou enxergando?
 
abraços
Hermann
 
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo.



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神が祝福

Torres

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
acredita-se estar livre de perigo.  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] somatorio de novo

[Hermann]

Vc está com a razão 

mas olhe a eureka 27 pag 29 (Alguns valores:)
e lá é que eu não entendi os somatórios com resultados muito proximos do valor 
que eu encontrei

abs
Hermann
  - Original Message - 
  From: terence thirteen 
  To: obm-l 
  Sent: Sunday, July 07, 2013 2:07 PM
  Subject: Re: [obm-l] somatorio de novo


  É uma notação que lembra um pouco as integrais clássicas.


  Imagine por exemplo a função f(x)=x. A integral dela, nos reais, é x^2+C. 
Usamos aquele símbolo parecido com um S estilizado.


  Aqui, ele define integrais discretas de funções naturais.

  Se f é uma função de N em N, e F é uma função tal que F(n+1)-F(n)=f(n), 
chamamos  F de integral discreta de f. E usamos a notação SIGMA^n (o n serve 
para indicar a variável de integração, mais ou menos como o dx nas integrais 
comuns).



  Mas, o que tem de mais? Alguma outra coisa está passando que eu não vi? Eu 
mesmo não sei qual página está isto.










  Em 7 de julho de 2013 13:30, Hermann  escreveu:

Tentando!! estudar o artigo da eureka 27 : integrais discretas de Eduardo 
Poço.
Me perdi na seguinte notação:

Sigma^n (n) = n(n-1)/2

e sabemos que Sigma_k=1 ^n  (k) = n(n+1)/2 (soma da PA)

alguém pode me explicar o que eu não estou enxergando?

abraços
Hermann



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 



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  /**/
  神が祝福

  Torres 

  -- 
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
  acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] somatorio de novo

[terence thirteen]

É uma notação que lembra um pouco as integrais clássicas.

Imagine por exemplo a função f(x)=x. A integral dela, nos reais, é x^2+C.
Usamos aquele símbolo parecido com um S estilizado.


Aqui, ele define integrais discretas de funções naturais.
Se f é uma função de N em N, e F é uma função tal que F(n+1)-F(n)=f(n),
chamamos  F de integral discreta de f. E usamos a notação SIGMA^n (o n
serve para indicar a variável de integração, mais ou menos como o dx nas
integrais comuns).


Mas, o que tem de mais? Alguma outra coisa está passando que eu não vi? Eu
mesmo não sei qual página está isto.






Em 7 de julho de 2013 13:30, Hermann  escreveu:

> **
> Tentando!! estudar o artigo da eureka 27 : integrais discretas de Eduardo
> Poço.
> Me perdi na seguinte notação:
>
> Sigma^n (n) = n(n-1)/2
>
> e sabemos que Sigma_k=1 ^n  (k) = n(n+1)/2 (soma da PA)
>
> alguém pode me explicar o que eu não estou enxergando?
>
> abraços
> Hermann
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>



-- 
/**/
神が祝福

Torres

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] somatorio de novo

[Hermann]

Tentando!! estudar o artigo da eureka 27 : integrais discretas de Eduardo Poço.
Me perdi na seguinte notação:

Sigma^n (n) = n(n-1)/2

e sabemos que Sigma_k=1 ^n  (k) = n(n+1)/2 (soma da PA)

alguém pode me explicar o que eu não estou enxergando?

abraços
Hermann

 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] somatorio formula em f(n)

[terence thirteen]

27, integrais discretas por Eduardo Poço
29, Algoritmo de Gosper, por Humberto Naves

O segundo é um artigo um tanto elaborado, merece uma leitura bem detida.


Em 6 de julho de 2013 18:15, Hermann  escreveu:

> **
> Agradeço a ajuda, serrá que o Eureka tem um super indice como na RPM?
> Pelo visto é realmente complicado e tem a ver com experiências do aluno.
> Valeu
> Hermann
>
> - Original Message -
> *From:* terence thirteen 
> *To:* obm-l 
> *Sent:* Saturday, July 06, 2013 4:49 PM
> *Subject:* Re: [obm-l] somatorio formula em f(n)
>
>  Em geral isto depende muito dos termos dentro do somatório. Às vezes
> estas somas são chatas pra caramba, em outros são fáceis. Por exemplo, no
> se caso, você poderia pensar que a soma dos quadrados se comporta como um
> polinômio.
>
> Mas, em geral, isto tem a ver com funções hipergeométricas. Tem um artigo
> na Eureka! sobre isto, vou caçar!
>
>
>
>
> Em 6 de julho de 2013 11:33, Hermann  escreveu:
>
>> **
>> Meus amigos gostaria de uma (+1) ajuda:
>>
>> Qual o metodo ou raciocinio para: dado um somatorio deixá-lo em função de
>> n
>>
>> exemplo S,i=1 a n, (i-1)^2
>>
>> como chego emn(2n^2-3n+1)/6
>>
>> obrigado
>> Hermann
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
>
> --
> /**/
> 神が祝福
>
> Torres
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>



-- 
/**/
神が祝福

Torres

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] somatorio formula em f(n)

[Hermann]

Agradeço a ajuda, serrá que o Eureka tem um super indice como na RPM?
Pelo visto é realmente complicado e tem a ver com experiências do aluno.
Valeu
Hermann
  - Original Message - 
  From: terence thirteen 
  To: obm-l 
  Sent: Saturday, July 06, 2013 4:49 PM
  Subject: Re: [obm-l] somatorio formula em f(n)


  Em geral isto depende muito dos termos dentro do somatório. Às vezes estas 
somas são chatas pra caramba, em outros são fáceis. Por exemplo, no se caso, 
você poderia pensar que a soma dos quadrados se comporta como um polinômio.


  Mas, em geral, isto tem a ver com funções hipergeométricas. Tem um artigo na 
Eureka! sobre isto, vou caçar!







  Em 6 de julho de 2013 11:33, Hermann  escreveu:

Meus amigos gostaria de uma (+1) ajuda:

Qual o metodo ou raciocinio para: dado um somatorio deixá-lo em função de n

exemplo S,i=1 a n, (i-1)^2

como chego emn(2n^2-3n+1)/6

obrigado
Hermann

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 



  -- 
  /**/
  神が祝福

  Torres 

  -- 
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
  acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] somatorio formula em f(n)

[Hermann]

Meus amigos gostaria de uma (+1) ajuda:

Qual o metodo ou raciocinio para: dado um somatorio deixá-lo em função de n

exemplo S,i=1 a n, (i-1)^2

como chego emn(2n^2-3n+1)/6

obrigado
Hermann
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Somatorio infiniito

[Bruno França dos Reis]

Nenhuma dessas expressões está bem escrita, pois "infinito" não é número.
Assim, não tem nem por onde começar a pensar na sua questão. Formule-a
direito!




--
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +55 11 9961-7732

http://brunoreis.com
http://brunoreis.com/tech (en)
http://brunoreis.com/blog (pt)

GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key

e^(pi*i)+1=0


2010/11/29 João Maldonado 

>  Para quanto tende a expressão:
>
>
> A = h + raiz( h² + (1/infinito)² ) + raiz( h² + (2/infinito)² ) + ... +
> raiz( h² + (x/2)² )
>
> B = x.infinito
>
> C = 2.A/B
>

[obm-l] Somatorio infiniito

[João Maldonado]

Para quanto tende a expressão:


A = h + raiz( h² + (1/infinito)² ) + raiz( h² + (2/infinito)² ) + ... + raiz( 
h² + (x/2)² )

B = x.infinito

C = 2.A/B
  

[obm-l] Somatorio

[Paulo Henrique Souza Lima]

Gostaria de saber se existe e qual é a forma fechada, para todo k, de:
 
\sum j>k  \binom{j}{k} z^j , 0http://www.flickr.com.br/

RE: [obm-l] Somatorio da k-ésima potencia

[Paulo Santa Rita]

Ola Ricardo e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Sim, existe. E trata-se de uma das mais belas formulas em teoria elementar dos 
numeros. Nos a devemos a um dos irmaos Bernoulli,
mas nao me recordo agora se foi o Joham ou o Jacques que a descobriu. Se 
definirmos os NUMEROS DE BERNOULLI pela recorrencia : 

B(0) = 1
Si[0 .. N, Binom(N+1,i)*B(i)] = 0, onde Si e o somatorio com indice "i"

Entao :

1^P + 2^P + 3^P + ... + N^P = ((N + B)^P - B^P)/(P+1), onde:
(N + B)^P deve ser expandido da forma usual (usando o Binômio de Newton), mas 
B^i deve ser interpretado como o i-ésimo número de Bernoulli.

Alguns exemplos de numeros de Bernoulli :

Sabendo B(0) = 1, vem:
Binom(2,0)*B(0) + Binom(2,1)*B(1) = 0   => B(1) = -1/2

Sabendo B(0) e B(1), vem :
Binom(3,0)*B(0) + Binom(3,1)*B(1) + Binom(3,2)*B(2) = 0   =>   B(2) = 1/6

E assim sucessivamente ...

Na formula acima, conforme eu ja falei, devemos desenvolver (N+B)^P usando o 
Binomio de Newton e, a seguir, substituir todo B^i pelo 
i-esimo numero de bernoulli, calculados previamente conforme mostrei acima.

Por exemplo, para acharmos uma formula fechada para S = 1^10 + 2^10 + ... + 
N^10 precisaremos desenvolver (N+B)^10, ou seja,
usar a formula de recorrencia para calcular ate o decimo numero de Bernoulli.

Bom, preciso ir. God Blesses you

Um Abracao
Paulo Santa Rita
3,160D,130207

> From: [EMAIL PROTECTED]
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Somatorio da k-ésima potencia
> Date: Tue, 13 Feb 2007 15:31:43 -0300
> 
> Alguem sabe se existe uma formula fechada para 1^k + 2^k+...+n^k, onde k
> eh um natural qualquer?
> 
> para k=1, 2, 3 a formula eh bastante simples. Gostaria de saber se tem uma
> que valha para todo k.
> 
> Grato pela atencao
> Ricardo

_
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http://toolbar.live.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Somatorio da k-ésima potencia

[Ricardo]

Alguem sabe se existe uma formula fechada para 1^k + 2^k+...+n^k, onde k
eh um natural qualquer?

para k=1, 2, 3 a formula eh bastante simples. Gostaria de saber se tem uma
que valha para todo k.

Grato pela atencao
Ricardo



- Original Message - 
From: "Ricardo J.F." <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Tuesday, February 13, 2007 1:37 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Números de divisores



Excelente a resolução do prof. Nicolau C. Saldanha



Só uma dúvida : na hora de considerarmos os divisores de n deveríamos
desconsiderar o próprio n ,pois ao formarmos os pares ele sobra.



A resposta não seria  3724 - 1919 = 1805 ?!?!



Abraços,Ricardo J.F.

- Original Message - 
From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Tuesday, February 13, 2007 9:22 AM
Subject: Re: [obm-l] Números de divisores



On Mon, Feb 12, 2007 at 12:03:39PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:

Seja n = 2^95 * 3^19. Determine o número de divisores inteiros
positivos de n^2 menores que n que não são divisores de n.


O número de divisores (inteiros positivos) de n^2 = 2^190 * 3^38
é 191*39 = 7449. Exceto pelo divisor n, podemos casar os divisores aos
pares,
casando m com n^2/m: temos 7448/2 = 3724 pares.
O menor elemento de cada par é menor do que n, o maior é maior.
Assim n^2 tem 3724 divisores menores do que n.
O número de n é 96*20 = 1920. Assim a resposta é 3724 - 1920 = 1804.

[]s, N.



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Re: [obm-l] Somatorio

[ivanzovisk]

Parabéns Carlos Yuzo Shine, adorei sua resolução, estou achando até que meu 
professor ditou errado esta questão, talvez seja arctg mesmo, mas ainda não 
tenho certeza.




Puxa, esse não consegui, mas consegui calcular o somatório de 
arctg(1/(k^2+k+1)) com k indo de 1 a n... Como 1/(k^2+k+1) = [(k+1) - k]/[1 + 
k(k+1)] = tg(arctg(k+1) - arctg k), arctg(1/(k^2+k+1)) = arctg(k+1) - arctg(k) 
e aí a soma dá arctg(n+1) - arctg(1) = arctg(n+1) - pi/4.

Eu achei interessante, apesar de não ser o problema pedido.

[]'s
Shine


- Original Message 
From: ivanzovisk <[EMAIL PROTECTED]>
To: obm-l 
Sent: Monday, February 12, 2007 10:32:51 PM
Subject: [obm-l] Somatorio


Alguem por favor pode calcular esse somatório?

Somatório da tangente (1/(k²+k+1)) quando k vai de 1 até n

Agradecido desde já.





Food fight? Enjoy some healthy debate
in the Yahoo! Answers Food & Drink Q&A.

Re: [obm-l] Somatorio

[Ronaldo Alonso]

Acho que não dá para achar expressão analítica.
Mas vários vários enfoques podem ser tentados:
1)  Decompor 1/(k²+k+1) em frações parciais, aplicaria a formula da soma de
tangentes:
eq. 14 do link abaixo:

http://paginas.unisul.br/eqm/download/trig/index.html

isso abre o somatório em 2 aparentemente mais fáceis.

2) Falar que tangente (1/(k²+k+1))  = f(n) e achar uma eq. diferencial em
termos de f(n) que possua
uma solução analítica simples.

3) Aplicar a mesma fórmula 14 da seguinte forma:

  tan(a+b). (1- tan a * tan b) = tan a + tan b

neste caso a complicação é transferida para o lado esquerdo (vc tem que
achar fórmulas para
tan a_1 + tan a_2 + tan a_3  + ... + tan a_n

Nenhuma dessas entretanto me convenceu ainda. Meu palpite é que deve haver
alguma identidade que
venha da Fourier da qual essa expressão é caso particular.




Espero ter ajudado em algo...

[]s
Ronaldo.






On 2/12/07, ivanzovisk <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Alguem por favor pode calcular esse somatório?



Somatório da tangente (1/(k²+k+1)) quando k vai de 1 até n



Agradecido desde já.





--
Ronaldo Luiz Alonso
--
Computer Engeener
LSI-TEC/USP - Brazil.

Re: [obm-l] Somatorio

[Carlos Yuzo Shine]

Puxa, esse não consegui, mas consegui calcular o somatório de 
arctg(1/(k^2+k+1)) com k indo de 1 a n... Como 1/(k^2+k+1) = [(k+1) - k]/[1 + 
k(k+1)] = tg(arctg(k+1) - arctg k), arctg(1/(k^2+k+1)) = arctg(k+1) - arctg(k) 
e aí a soma dá arctg(n+1) - arctg(1) = arctg(n+1) - pi/4.

Eu achei interessante, apesar de não ser o problema pedido.

[]'s
Shine


- Original Message 
From: ivanzovisk <[EMAIL PROTECTED]>
To: obm-l 
Sent: Monday, February 12, 2007 10:32:51 PM
Subject: [obm-l] Somatorio


Alguem por favor pode calcular esse somatório?
 
Somatório da tangente (1/(k²+k+1)) quando k vai de 1 até n
 
Agradecido desde já.


 

Don't get soaked.  Take a quick peak at the forecast
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[obm-l] Somatorio

[ivanzovisk]

Alguem por favor pode calcular esse somatório?

Somatório da tangente (1/(k²+k+1)) quando k vai de 1 até n

Agradecido desde já.

Re: [obm-l] somatorio

[claudio\.buffara]

Extrapolando a partir dos casos n = 2 e n = 3, eu cheguei a:
1/Binom(n,n) + 1/Binom(n+1,n) + ... + 1/Binom(n+k,n) =
= (n/(n-1))*(1 - 1/Binom(n+k,n-1))
A demonstração sai fácil via indução em k.

Alguém achou algum argumento combinatório?

[]s,
Claudio.

De:[EMAIL PROTECTED]

Para:obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:Mon, 27 Nov 2006 16:05:48 -0800 (PST)

Assunto:Re: [obm-l] somatorio

> Hm, acho que para 1/1 + 1/2 + ... + 1/n não tem fórmula fechada bonitinha, 
> mas a soma
> 1/C(n,n) + 1/C(n+1,n) + 1/C(n+2,n) + ... + 1/C(n+k,n)
> tem fórmula bonitinha para n > 1, n inteiro. Ah, aqui, C(m,r) é o binomial m 
> escolhe k.
>
> Pensem nessa, vale a pena!
>
> []'s
> Shine
>

Re: [obm-l] somatorio

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes,

Oi Shine,

É mesmo interessante.

Para n=0 e n=1 deixamos para o leitor.

Para n>1 usando os resultados de

http://www.escolademestres.com/qedtexte/tomo2serieamostra.pdf

e em particular o exercício 98 encontra-se n/(n-1)[1 - 2/((n+1)n)] .

No Megazine (revista do jornal O Globo) de 19/10/04 tem um
simulado com o seguinte problema: prove que

\prod_{k=0}^{m-1} [ \binom{m}{k} + \binom{m}{k+1} ] =
\frac{(m+1)^m}{m!} \prod_{j=1}^m \binom{m}{j} .

\prod é produtório
\binom{m}{k} = m! / k! (m-k)!
\frac{a}{b} = a/b

Sugestão: \binom{m+1}{k} = \frac{m+1}{m+1-k}\binom{m}{k}

Voltando ao seu email

===

Hm, acho que para 1/1 + 1/2 + ... + 1/n não tem fórmula fechada bonitinha

===
Não tem. Ver o capítulo V em

http://www.escolademestres.com/qedtexte/tomo1serieamostra.pdf


[]'s
Luís



From: Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] somatorio
Date: Mon, 27 Nov 2006 16:05:48 -0800 (PST)

Hm, acho que para 1/1 + 1/2 + ... + 1/n não tem fórmula fechada bonitinha, 
mas a soma

  1/C(n,n) + 1/C(n+1,n) + 1/C(n+2,n) + ... + 1/C(n+k,n)
tem fórmula bonitinha para n > 1, n inteiro. Ah, aqui, C(m,r) é o binomial 
m escolhe k.


Pensem nessa, vale a pena!

[]'s
Shine


- Original Message 
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, November 27, 2006 4:20:29 AM
Subject: Re: [obm-l] somatorio

Ele perguntou se ha uma formula fechada para f(n)=1+1/2+...+1/n

Bem, ate onde eu saiba nao ha, mas da pra aproximar por log(n) + uma 
constante...



2006/11/25, Davi de Melo Jorge Barbosa < [EMAIL PROTECTED]>:
Ela não "vale", pois não é uma série convergente.
O limite dessa série quando n -> +inf é +inf, ou seja, ela assume um valor 
tão grande quando você queria.


A demonstração sai assim:

1 + 1/2 + ( 1/3 + 1/4 ) + ( 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ) + ( 1/9 + ... + 1/16 ) 
+ ...
>= 1 + 1/2 + ( 1/4 + 1/4 ) + ( 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 ) + ( 1/16 + ... + 
1/16 ) + ...

= 1 + 1/2 + ( 1/2 ) + ( 1/2 ) + ( 1/2 ) + ...

e assim você pode somar quanto quiser, sem limites.

veja mais em:
http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_%28mathematics%29



On 11/25/06, Renato Godinho <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Alguém sabe quanto vale 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ?
O mais longe que cheguei foi em 1/C1,1 + 1/C2,1 + 1/C3,1 + ... + 1/Cn,1 , 
mas nao soube sair dai. Quem puder ajudar...


[]s,
Renato


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Re: [obm-l] somatorio

[Carlos Yuzo Shine]

Hm, acho que para 1/1 + 1/2 + ... + 1/n não tem fórmula fechada bonitinha, mas 
a soma
  1/C(n,n) + 1/C(n+1,n) + 1/C(n+2,n) + ... + 1/C(n+k,n)
tem fórmula bonitinha para n > 1, n inteiro. Ah, aqui, C(m,r) é o binomial m 
escolhe k.

Pensem nessa, vale a pena!

[]'s
Shine


- Original Message  
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Monday, November 27, 2006 4:20:29 AM 
Subject: Re: [obm-l] somatorio 

Ele perguntou se ha uma formula fechada para f(n)=1+1/2+...+1/n 

Bem, ate onde eu saiba nao ha, mas da pra aproximar por log(n) + uma 
constante... 


2006/11/25, Davi de Melo Jorge Barbosa < [EMAIL PROTECTED]>: 
Ela não "vale", pois não é uma série convergente. 
O limite dessa série quando n -> +inf é +inf, ou seja, ela assume um valor tão 
grande quando você queria. 

A demonstração sai assim: 

1 + 1/2 + ( 1/3 + 1/4 ) + ( 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ) + ( 1/9 + ... + 1/16 ) + 
... 
>= 1 + 1/2 + ( 1/4 + 1/4 ) + ( 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 ) + ( 1/16 + ... + 1/16 ) 
>+ ... 
= 1 + 1/2 + ( 1/2 ) + ( 1/2 ) + ( 1/2 ) + ... 

e assim você pode somar quanto quiser, sem limites. 

veja mais em: 
http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_%28mathematics%29 



On 11/25/06, Renato Godinho <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 
Alguém sabe quanto vale 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ? 
O mais longe que cheguei foi em 1/C1,1 + 1/C2,1 + 1/C3,1 + ... + 1/Cn,1 , mas 
nao soube sair dai. Quem puder ajudar... 

[]s, 
Renato 


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Re: [obm-l] somatorio

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Ele perguntou se ha uma formula fechada para f(n)=1+1/2+...+1/n

Bem, ate onde eu saiba nao ha, mas da pra aproximar por log(n) + uma
constante...

2006/11/25, Davi de Melo Jorge Barbosa <[EMAIL PROTECTED]>:


Ela não "vale", pois não é uma série convergente.
O limite dessa série quando n -> +inf é +inf, ou seja, ela assume um valor
tão grande quando você queria.

A demonstração sai assim:

1 + 1/2 + ( 1/3 + 1/4 ) + ( 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ) + ( 1/9 + ... + 1/16 )
+ ...
>= 1 + 1/2 + ( 1/4 + 1/4 ) + ( 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 ) + ( 1/16 + ... +
1/16 ) + ...
   = 1 + 1/2 + ( 1/2 ) + ( 1/2 ) + ( 1/2 ) + ...

e assim você pode somar quanto quiser, sem limites.

veja mais em:
http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_%28mathematics%29

On 11/25/06, Renato Godinho <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Alguém sabe quanto vale 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ?
> O mais longe que cheguei foi em 1/C1,1 + 1/C2,1 + 1/C3,1 + ... + 1/Cn,1
> , mas nao soube sair dai. Quem puder ajudar...
>
> []s,
>  Renato
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Re: [obm-l] somatorio

[Davi de Melo Jorge Barbosa]

Ela não "vale", pois não é uma série convergente.
O limite dessa série quando n -> +inf é +inf, ou seja, ela assume um valor
tão grande quando você queria.

A demonstração sai assim:

1 + 1/2 + ( 1/3 + 1/4 ) + ( 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ) + ( 1/9 + ... + 1/16 ) +
...

= 1 + 1/2 + ( 1/4 + 1/4 ) + ( 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 ) + ( 1/16 + ... + 1/16

) + ...
  = 1 + 1/2 + ( 1/2 ) + ( 1/2 ) + ( 1/2 ) + ...

e assim você pode somar quanto quiser, sem limites.

veja mais em:
http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_%28mathematics%29

On 11/25/06, Renato Godinho <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Alguém sabe quanto vale 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ?
O mais longe que cheguei foi em 1/C1,1 + 1/C2,1 + 1/C3,1 + ... + 1/Cn,1 ,
mas nao soube sair dai. Quem puder ajudar...

[]s,
Renato

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[obm-l] somatorio

[Renato Godinho]

Alguém sabe quanto vale 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ?
  O mais longe que cheguei foi em 1/C1,1 + 1/C2,1 + 1/C3,1 + ... + 1/Cn,1 , mas 
nao soube sair dai. Quem puder ajudar...
   
  []s, 
  Renato


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Re:[obm-l] somatorio

[claudio\.buffara]

 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Sat, 27 May 2006 03:41:49 + (GMT)




Assunto:
[obm-l] somatorio
> Calcule : sum(k=0->n)k^2*C(n,k)*5^k
>  
> gab: 5n(5n+1)6^(n-2). 
 
Usando repetidamente o fato de que k*C(n,k) = n*C(n-1,k-1), temos:
k^2*C(n,k) = 
k*n*C(n-1,k-1) = 
n*(k-1)*C(n-1,k-1) + n*C(n-1,k-1) =
n*(n-1)*C(n-2,k-2) + n*C(n-1,k-1).
 
Logo, a soma fica:
n*(n-1)*SOMA(k=0...n) C(n-2,k-2)*5^k + 
+ n*SOMA(k=0...n) C(n-1,k-1)*5^k =
 
n*(n-1)*5^2*SOMA(j=0...n-2) C(n-2,j)*5^j +
n*5*SOMA(j=0...n-1) C(n-1,j)*5^j =
 
25*n*(n-1)*(1 + 5)^(n-2) + 5*n*(1 + 5)^(n-1) =
 
(25*n^2 - 25*n + 30*n)*6^(n-2) =
 
5*n*(5*n+1)*6^(n-2)
[]s,
Claudio.
 

[obm-l] somatorio

[Klaus Ferraz]

Calcule : sum(k=0->n)k^2*C(n,k)*5^k     gab: 5n(5n+1)6^(n-2). 
		 
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Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier

[Felipe Amaral]

Valeu Claudio, já ajudou muito...

Eu ainda estou intrigado de onde o meu professor tirou isso pois ele
passou esse exercicio na aula de "Metodos da Fisica Teorica I" durante
Serie de Fourier. Ele tem essa mania de colocar problemas na lista que
nem ele sabe resolver...

Abraco, 

 Amaral

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier

[claudio.buffara]

A coisa é realmente não trivial (exceto possivelmente o caso que eu fiz). Pesquisando na internet eu descobri que isso se chama "soma quadrática de Gauss". 
 
Um demonstração, usando reciprocidade quadrática e séries de Fourier, está aqui: http://math.berkeley.edu/~chillar/files/QuadraticGaussSumProof.pdf
 
[]s,
Claudio.
 
...
>   
> Pra mim, o problema é provar que: 
> se n é inteiro positivo e w = exp(i*2*pi/n), então:
> 1 + w + w^4 + w^9 + ... + w^((n-1)^2) = K(n)*raiz(n)
> onde K(n) = 1+i, 1, 0, i  se n == 0, 1, 2, 3 (mod 4), respectivamente.
> 
 

Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier

[claudio.buffara]

Eu consegui provar o caso N == 2 (mod 4), o qual, obviamente, deve ser o mais fácil...
 
Sejam N = 4m+2 e w = cis(2*pi/N) = cis(pi/(2m+1)) ==> 
w^(2m+1) = -1.
 
Olhando mod 4m+2:
 
(2m+1)^2 = 4m^2+4m+1 == 2m+1

 
Logo, para 0 <= k <= 2m:
(2m+1+k)^2 - k^2 = (2m+1)^2 + 2(2m+1)k == (2m+1)^2 == 2m+1 ==>
(2m+1+k)^2 == k^2+2m+1 ==>
w^((2m+1+k)^2) = w^(k^2+2m+1) = w^(k^2)*w^(2m+1) = -w^(k^2)
 
Assim: 
SOMA(k=0...N-1) w^(k^2) =
SOMA(k=0...2m) ( w^(k^2) + w^((2m+1+k)^2) ) =
SOMA(k=0...2m) ( w^(k^2) - w^(k^2) ) = 0.
 
***
 
Nos outros casos aparece aquela raiz(N), que complica um pouco as coisas...
 
[]s,
Claudio.
 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Mon, 11 Apr 2005 19:42:15 -0300




Assunto:
Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier
> Acho que é isso mesmo.
>  
> Pra mim, o problema é provar que: 
> se n é inteiro positivo e w = exp(i*2*pi/n), então:
> 1 + w + w^4 + w^9 + ... + w^((n-1)^2) = K(n)*raiz(n)
> onde K(n) = 1+i, 1, 0, i  se n == 0, 1, 2, 3 (mod 4), respectivamente.
>  
> Não me parece muito trivial...
>  
> Aliás, alguém conhece alguma fórmula fechada para a soma:
> 1 + x + x^4 + x^9 + ... + x^(n^2)  com x qualquer?
> E como se chama isso? Soma de uma PG de segunda ordem (onde os logs dos termos formam uma PA de 2a. ordem)?
>  
> []s,
> Claudio.
>  
>



De:
[EMAIL PROTECTED]
>



Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
>



Cópia:

>



Data:
Mon, 11 Apr 2005 18:41:49 -0300 (ART)
>



Assunto:
Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier
> > 
> > 
> > Desculpem
> > 
> > Nao havia notado que o somatorio vai so ateh N-1.
> > Assim, o problema deve ser soh para N>1.
> > Alguns testes que fiz indicam que K K eh k^2 e que
> > no segundo somatorio o segundo membro deve ser
> > 
> > ( 1 + cos(Np/2) + sin(Np/2) )(Raiz(N)/2) - 1.
> > Pode confirmar?
> > 
> > Wilner
> > 
> > 
> > --- Eduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]>wrote:
> > > 
> > > Oi Felipe.
> > > 
> > > Tentei adivinhar as expressoes que vc. coloca mas
> > > estah dificil, principalmente o segundo membro da
> > > somatoria dos cosenos.
> > > Veja que para N=1 portanto K=1 (nao sei se K
> > > K=K^2,
> > > i.e. K ao quadrado, mas neste caso nao importa) nao
> > > se
> > > consegue obter a igualdade expressa.
> > > 
> > > Se vc. pouder ser mais explicito...
> > > 
> > > []s 
> > > 
> > > Wilner
> > > 
> > > 
> > > --- Felipe Amaral <[EMAIL PROTECTED]>wrote:
> > > > Oi, esse problema foi passado pelo meu professor
> > > > enquanto ele
> > > > explicava Serie de Fourier mas nem ele e ninguem
> > > > que eu conheca
> > > > conseguiu provar as seguintes identidades:
> > > > 
> > > > Somatorio de K = 1, 2, 3 ... (N-1)
> > > > 
> > > > com p = PI
> > > > 
> > > > sin( 2 p K K / N ) = ( 1 + cos( N p / 2 ) -
> > > sin(
> > > > N p /2 ) ) Raiz(N) / 2
> > > > 
> > > > cos( 2 p K K / N ) = ( 1 + cos( N p / 2 ) + sin(
> > > N
> > > > p /2 ) ) Raiz(N) / 2 - 1
> > > > 
> > > > Grato desde ja
> > > >
> > >
> > =
> > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > > > usar a lista em
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> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
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> > 

Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier

[Felipe Amaral]

Oi, desculpem a zona, mas de qualquer forma, acho que vocês
interpretaram ou "decodificaram" corretamente... Só confirmando:

Somatorio de K = 1, 2, 3 ... (N-1)

sin( 2piK^2/N )   =  ( 1 + cos(Npi/2) - sin( Npi/2 ) )Raiz(N)/2

cos( 2piK^2/N )  = ( 1 + cos(Npi/2) + sin( Npi/2 ) )Raiz(N)/2 - 1

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier

[claudio.buffara]

Acho que é isso mesmo.
 
Pra mim, o problema é provar que: 
se n é inteiro positivo e w = exp(i*2*pi/n), então:
1 + w + w^4 + w^9 + ... + w^((n-1)^2) = K(n)*raiz(n)
onde K(n) = 1+i, 1, 0, i  se n == 0, 1, 2, 3 (mod 4), respectivamente.
 
Não me parece muito trivial...
 
Aliás, alguém conhece alguma fórmula fechada para a soma:
1 + x + x^4 + x^9 + ... + x^(n^2)  com x qualquer?
E como se chama isso? Soma de uma PG de segunda ordem (onde os logs dos termos formam uma PA de 2a. ordem)?
 
[]s,
Claudio.
 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Mon, 11 Apr 2005 18:41:49 -0300 (ART)




Assunto:
Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier
> 
> 
> Desculpem
> 
> Nao havia notado que o somatorio vai so ateh N-1.
> Assim, o problema deve ser soh para N>1.
> Alguns testes que fiz indicam que K K eh k^2 e que
> no segundo somatorio o segundo membro deve ser
> 
> ( 1 + cos(Np/2) + sin(Np/2) )(Raiz(N)/2) - 1.
> Pode confirmar?
> 
> Wilner
> 
> 
> --- Eduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]>wrote:
> > 
> > Oi Felipe.
> > 
> > Tentei adivinhar as expressoes que vc. coloca mas
> > estah dificil, principalmente o segundo membro da
> > somatoria dos cosenos.
> > Veja que para N=1 portanto K=1 (nao sei se K
> > K=K^2,
> > i.e. K ao quadrado, mas neste caso nao importa) nao
> > se
> > consegue obter a igualdade expressa.
> > 
> > Se vc. pouder ser mais explicito...
> > 
> > []s 
> > 
> > Wilner
> > 
> > 
> > --- Felipe Amaral <[EMAIL PROTECTED]>wrote:
> > > Oi, esse problema foi passado pelo meu professor
> > > enquanto ele
> > > explicava Serie de Fourier mas nem ele e ninguem
> > > que eu conheca
> > > conseguiu provar as seguintes identidades:
> > > 
> > > Somatorio de K = 1, 2, 3 ... (N-1)
> > > 
> > > com p = PI
> > > 
> > > sin( 2 p K K / N ) = ( 1 + cos( N p / 2 ) -
> > sin(
> > > N p /2 ) ) Raiz(N) / 2
> > > 
> > > cos( 2 p K K / N ) = ( 1 + cos( N p / 2 ) + sin(
> > N
> > > p /2 ) ) Raiz(N) / 2 - 1
> > > 
> > > Grato desde ja
> > >
> >
> =
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > > usar a lista em
> > >
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > >
> >
> =
> > > 
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> >
> =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
> =
> > 
> 
> __
> Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger 
> http://br.download.yahoo.com/messenger/ 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
> 

Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier

[Eduardo Wilner]

 

   Desculpem

   Nao havia notado que o somatorio vai so ateh N-1.
   Assim, o problema deve ser soh para N>1.
   Alguns testes que fiz indicam que K K eh k^2 e que
no segundo somatorio o segundo membro deve ser

( 1 + cos(Np/2) + sin(Np/2) )(Raiz(N)/2) - 1.
   Pode confirmar?

  Wilner
 

--- Eduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>  
>Oi Felipe.
> 
>Tentei adivinhar as expressoes que vc. coloca mas
> estah dificil, principalmente o segundo membro da
> somatoria dos cosenos.
>Veja que para N=1 portanto K=1 (nao sei se K
> K=K^2,
> i.e. K ao quadrado, mas neste caso nao importa) nao
> se
> consegue obter a igualdade expressa.
> 
>Se vc. pouder ser mais explicito...
> 
>[]s 
> 
>   Wilner
> 
> 
> --- Felipe Amaral <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Oi, esse problema foi passado pelo meu professor
> > enquanto ele
> > explicava Serie de Fourier mas  nem ele e ninguem
> > que eu conheca
> > conseguiu provar as seguintes identidades:
> > 
> > Somatorio de  K = 1, 2, 3 ... (N-1)
> > 
> > com  p = PI
> > 
> >  sin( 2 p K K / N )  =  ( 1 + cos( N p / 2 ) -
> sin(
> > N p /2 ) ) Raiz(N) / 2
> > 
> > cos( 2 p K K / N )  =  ( 1 + cos( N p / 2 ) + sin(
> N
> > p /2 ) ) Raiz(N) / 2 - 1
> > 
> > Grato desde ja
> >
>
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Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier

[Eduardo Wilner]

 
   Oi Felipe.

   Tentei adivinhar as expressoes que vc. coloca mas
estah dificil, principalmente o segundo membro da
somatoria dos cosenos.
   Veja que para N=1 portanto K=1 (nao sei se K K=K^2,
i.e. K ao quadrado, mas neste caso nao importa) nao se
consegue obter a igualdade expressa.

   Se vc. pouder ser mais explicito...

   []s 

  Wilner


--- Felipe Amaral <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Oi, esse problema foi passado pelo meu professor
> enquanto ele
> explicava Serie de Fourier mas  nem ele e ninguem
> que eu conheca
> conseguiu provar as seguintes identidades:
> 
> Somatorio de  K = 1, 2, 3 ... (N-1)
> 
> com  p = PI
> 
>  sin( 2 p K K / N )  =  ( 1 + cos( N p / 2 ) - sin(
> N p /2 ) ) Raiz(N) / 2
> 
> cos( 2 p K K / N )  =  ( 1 + cos( N p / 2 ) + sin( N
> p /2 ) ) Raiz(N) / 2 - 1
> 
> Grato desde ja
>
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[obm-l] Somatorio com Serie de Fourier

[Felipe Amaral]

Oi, esse problema foi passado pelo meu professor enquanto ele
explicava Serie de Fourier mas  nem ele e ninguem que eu conheca
conseguiu provar as seguintes identidades:

Somatorio de  K = 1, 2, 3 ... (N-1)

com  p = PI

 sin( 2 p K K / N )  =  ( 1 + cos( N p / 2 ) - sin( N p /2 ) ) Raiz(N) / 2

cos( 2 p K K / N )  =  ( 1 + cos( N p / 2 ) + sin( N p /2 ) ) Raiz(N) / 2 - 1

Grato desde ja
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Re: [obm-l] Somatorio da Renata

[Artur Costa Steiner]

Eu tambem usei este mesmo processo.
Um abraco
Artur

Caros amigos,

So agora vi a discussao sobre o somatorio e pensei na seguinte solucao:
(tambem cheguei no mesmo resultado do Arthur).


S = sum(1->n) i.A^i = A*sum(1->n) i*A^(i-1) A* (d/dA).sum(1->n)A^i = A* d/dA
( A^(n+1)-A)/(A-1)

Onde d/dA indica a derivada da funcao em relacao a variavel A. Portanto,
derivando o termo em parentesis,usando a regra do quociente, temos,

S = A*[(A-1)*((n+1)A^n – 1)) – (A^(n+1)-A))/(A-1)^2


S = A*[n*A^(n+1) – (n+1)A^n + 1]/(A-1)^2.

Regards,

Leandro Recova.





Ola a todos,

So agora vi esse somatorio e nao vi as solucoes anteriores e pensei na
seguinte resolucao:

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Artur Costa Steiner
Sent: Monday, September 22, 2003 12:25 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] somatorio II

Oi Renata,
Eu testei a formula numa planilha Excel e, para A =3 e n=3, dah de fato 102.
Acho que houve algum erro de digitacao. A formula eh

S = A*[n*A^(n+1) - (n+1)*A^n +1]/(a-1)^2
Abracos
Artur

Obrigada pela ajuda Felipe e Artur,
As duas soluões foram elegantes. Mas não funcionaram. Eu acho que deve ter
sido algum erro de aritmética. Eu mesmo posso corrigir agora com o empurrão
de vocês.

P/ A = 3 e n = 3
somatorio [i=1, n] (i * A ^ i ) = 102

Soluão I
[A^(n+1).(n.A - n -1) - A]/(A-1)^2 = 100.5

Soluão II
A*[ n*A*(n+1) -(n+1)*A^n + 1)/(A-1)^2]   -53.25

Obrigada
Renata Rabakov


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[obm-l] Somatorio da Renata

[Leandro Lacorte Recôva]

Caros amigos,

 

So agora vi a discussao sobre o somatorio e pensei na
seguinte solucao: (tambem cheguei no mesmo resultado do Arthur).

 

 

S = sum(1->n) i.A^i = A*sum(1->n) i*A^(i-1) =
A* (d/dA).sum(1->n)A^i = A* d/dA ( A^(n+1)-A)/(A-1) 

 

Onde d/dA indica a derivada da funcao em relacao a
variavel A. Portanto, derivando o termo em parentesis,usando a regra do
quociente, temos,

 

S = A*[(A-1)*((n+1)A^n – 1)) – (A^(n+1)-A))/(A-1)^2


 

 

S = A*[n*A^(n+1) – (n+1)A^n + 1]/(A-1)^2. 

 

Regards,

 

Leandro Recova. 

 

 

 

 

 

Ola a todos,

 

So agora vi esse somatorio e nao vi as solucoes
anteriores e pensei na seguinte resolucao:

 

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Artur Costa Steiner
Sent: Monday, September 22, 2003 12:25 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] somatorio II

 

Oi Renata,

Eu testei a formula numa planilha Excel e, para A =3 e
n=3, dah de fato 102.

Acho que houve algum erro de digitacao. A formula eh

 

S = A*[n*A^(n+1) - (n+1)*A^n +1]/(a-1)^2

Abracos

Artur

 

Obrigada pela ajuda Felipe e Artur,

As duas soluções foram elegantes. Mas não funcionaram.
Eu acho que deve ter

sido algum erro de aritmética. Eu mesmo posso corrigir
agora com o empurrão

de vocês.

 

P/ A = 3 e n = 3

somatorio [i=1, n] (i * A ^ i ) = 102

 

Solução I

[A^(n+1).(n.A - n -1) - A]/(A-1)^2 = 100.5

 

Solução II

A*[ n*A*(n+1) -(n+1)*A^n + 1)/(A-1)^2] =  -53.25

 

Obrigada

Renata Rabakov

 

 

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Re: [obm-l] somatorio II

[Artur Costa Steiner]

Oi Renata,
Eu testei a formula numa planilha Excel e, para A =3 e n=3, dah de fato 102.
Acho que houve algum erro de digitacao. A formula eh

S = A*[n*A^(n+1) - (n+1)*A^n +1]/(a-1)^2
Abracos
Artur

Obrigada pela ajuda Felipe e Artur,
As duas soluções foram elegantes. Mas não funcionaram. Eu acho que deve ter
sido algum erro de aritmética. Eu mesmo posso corrigir agora com o empurrão
de vocês.

P/ A = 3 e n = 3
somatorio [i=1, n] (i * A ^ i ) = 102

Solução I
[A^(n+1).(n.A - n -1) - A]/(A-1)^2 = 100.5

Solução II
A*[ n*A*(n+1) -(n+1)*A^n + 1)/(A-1)^2] =  -53.25

Obrigada
Renata Rabakov


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[obm-l] somatorio II

[renata rabakov]

Obrigada pela ajuda Felipe e Artur,
As duas soluções foram elegantes. Mas não funcionaram. Eu acho que deve ter sido algum erro de aritmética. Eu mesmo posso corrigir agora com o empurrão de vocês.
 
P/ A = 3 e n = 3 

somatorio [i=1, n] (i * A ^ i ) = 102
 
Solução I
[A^(n+1).(n.A - n -1) - A]/(A-1)^2 = 100.5
 
Solução II
A*[ n*A*(n+1) -(n+1)*A^n + 1)/(A-1)^2] =  -53.25
 
Obrigada
Renata Rabakov
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Re: [obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos

[Henrique Patrício Sant'Anna Branco]

> Bem,o primeiro e razoavelmente facil mas bem chato:se voce conhece alguma
formula para a soma dos cubos de 1 ate n fica facil adaptar.Caso contrario
voce deve obte-la.A dica e:a soma desses cubos e um polinomio de grau 4.

O primeiro é realmente fácil... Depois que mandei a solução pra lista,
consegui fazê-lo. Mas agradeço ao Cláudio.

> O que e triplo pitagorico primitivo? E o que e (20,y,z)

Um Triplo Pitagórico é uma solução natural da equação diofantina x^2 + y^2 =
z^2. Acho que tem esse nome porque x e y podem ser encarados como catetos de
um triangulo retângulo e z, como a hipotenusa. Um Triplo Pitagórico é
primitivo quando mdc(x,y,z) = 1 e (20, y, z) é um triplo da forma 20^2 + y^2
= z^2, os três numeros naturais.

Abraços,
Henrique.

=
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=

Re: [obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem,o primeiro e razoavelmente facil mas bem chato:se voce conhece alguma formula para a soma dos cubos de 1 ate n fica facil adaptar.Caso contrario voce deve obte-la.A dica e:a soma desses cubos e um polinomio de grau 4.
O que e triplo pitagorico primitivo? E o que e (20,y,z)"Henrique P. Sant'Anna Branco" <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Pessoal,
Algumas questões:
1) Ache uma formula fechada para somatorio(k^3, k = n até 2n)
2) Ache todos os triplos pitagóricos (primitivos e não-primitivos) com (20, y, z).
Grato,
Henrique.___Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!

Re: [obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos

[Felipe Pina]

1) Ache uma formula fechada para somatorio(k^3, k = n até 2n)
Sabendo que f(n) := soma(k^2,k=1 ate n) = (1/4)*(n^4 + 2*n^3 + n^2)
Obs : Posso dar uma contrução explícita deste expressão, caso queira.
e que

g(n) := soma(k^3,k=n até 2n) = soma(k^3,k=1 ate 2n) - soma(k^2,k=1 ate n-1)

temos que g(n) = f(2n) - f(n-1) = (1/4)*(15*n^4 + 18*n^3 + 3*n^2)

--
Felipe Pina
=
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=

Re: [obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos



on 16.09.03 17:48, Henrique P. Sant'Anna Branco at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Pessoal, 

Algumas questões: 

1) Ache uma formula fechada para somatorio(k^3, k = n até 2n) 

Sabemos que: 
Soma(1<=k<=m) k^3 = (1/4)*m^2*(m+1)^2

Assim: 
Soma(n<=k<=2n) k^3 = 
= Soma(1<=k<=2n) k^3 - Soma(1<=k<=n-1) k^3 =
= (1/4)*(2n)^2*(2n+1)^2 - (1/4)*(n-1)^2*n^2 =
= (1/4)*[4n^2*(4n^2 + 4n + 1) - (n^2 - 2n + 1)*n^2] =
= (1/4)*[16n^4 + 16n^3 + 4n^2 - n^4 + 2n^3 - n^2] =
= (1/4)*(15n^2 + 18n + 3) =
= (3/4)*n^2*(n+1)*(5n+1) 

(se eu nao errei nenhuma conta)

*

2) Ache todos os triplos pitagóricos (primitivos e não-primitivos) com (20, y, z). 

Esse eh meio sacal. 

A fim de gerar triplos primitivos, use as formulas:
a = m^2 + n^2
b = m^2 - n^2
c = 2mn
onde m e n sao inteiros positivos de paridades distintas e primos entre si.

Com essa formula, gere todos os triplos primitivos onde a, b ou c eh um divisor de 20.

Depois, multiplique a, b e c pelo fator apropriado a fim de fazer um deles igual a 20.

Isso vai gerar todos os triplos pitagoricos (primitivos e nao primitivos) que tem uma das coordenadas iguais a 20.



Um abraco,
Claudio.

[obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos

[Henrique P. Sant'Anna Branco]

Pessoal, 
Algumas questões: 
1) Ache uma formula fechada para somatorio(k^3, k = n até 2n) 
2) Ache todos os triplos pitagóricos (primitivos e não-primitivos) com 
(20, y, z). 
Grato, 
Henrique. 

___
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Re: [obm-l] Somatorio(numeros complexos)

[Nicolau C. Saldanha]

On Sat, Nov 02, 2002 at 07:52:26PM +, leonardo mattos wrote:
> Ola,
> Alguem poderia resolver essa questao pra mim por numeros complexos?!
> 
> S=1+cos(x)+cos(2x)+...cos(nx)  e  S´=1+sen(x)+sen(2x)+...+sen(nx)

Chame S'' = S' - 1 = 0 + sen(x) + ... + sen(nx).

Temos S + i S'' = 1 + z + z^2 + ... + z^n onde z = cos(x) + i sen(x).
Some agora esta PG da forma usual...

[]s, N.
=
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=

[obm-l] Somatorio(numeros complexos)

[leonardo mattos]

Ola,
Alguem poderia resolver essa questao pra mim por numeros complexos?!

S=1+cos(x)+cos(2x)+...cos(nx)  e  S´=1+sen(x)+sen(2x)+...+sen(nx)

Abraços,Leonardo




_
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=

Re: [obm-l] somatorio

[Carlos Yuzo Shine]

Dá para calcular esse somatório com argumentos
combinatórios.

> O resultado final que nos interessa é:
> 
> \sum_{0 <= k <= r}  C(r-k,m) C(s+k,n) =
> C(r+s+1,m+n+1),
> onde inteiro n >= inteiro s >= 0,
>   inteiro m >= 0, inteiro r >= 0.

Veja só:

C(r+s+1, m+n+1) é o número de subconjuntos de m+n+1
elementos de {0;1;2;3;...;r+s}.

C(r-k,m) é o número de maneiras de escolhermos m
dentre r-k números;

C(s+k,n) é o número de maneiras de escolhermos n
dentre r-k números.

Fixe o m+1-ésimo elemento. Se ele for r-k, temos
C(r-m,m) maneiras de escolhermos m elementos entre 0 e
r-m-1 e C(s+k,n) maneiras de escolhermos os outros n
elementos, que junto com o r-k e os outros m
escolhidos formam um conjunto de m+n+1 elementos. O k
pode variar de r a 0, pois se k<0, temos que escolher
n dentre s+k < s elementos, o que é impossível. E se
k>r, o m+1-ésimo elemento é r-k<0, impossível. Não é
difícil ver que a partir de um conjunto de m+n+1
elementos podemos montar dois conjuntos de m e n
elementos e mais o elemento "do meio", estabelecendo
assim uma bijeção.

> Colocando r=n, s=0 e n=m, vem:
> 
> \sum_{0 <= k <= n}  C(n-k,m) C(k,m) = C(n+1,2m+1).
> 
> > C(n+1,2m+1)=som(de k=o ate n) C(n-k,m) C(k,m)
> 

Nesse caso particular, o negócio fica mais simples:

Considere o conjunto X={0;1;2;3;...;n}. Vamos mostrar
que o somatório acima é o número de subconjuntos de
2m+1 elementos de X. Para isso vamos construir uma
bijeção entre os subconjuntos de 2m+1 elementos e uma
tripla ordenada (A,B,c) formada por conjuntos A e B de
m elementos e um número inteiro c, 0<=c<=n, onde todo
elemento de A é menor que c e todo elemento de B é
maior que c (note que o somatório acima conta nada
mais, nada menos que esses ternos).

Claramente, A e B são disjuntos, e portanto associamos
a essa tripla um conjunto A u B u {c} com 2m+1
elementos (aqui u significa união). Observe que
(A,B,c) e (A',B',c') estão associadas a um mesmo
subconjunto se e somente se A = A', B = B' e c = c'.
Logo a associação feita é injetiva. E a cada
subconjunto de 2m+1 elementos está associada uma
tripla (A,B,c). Os primeiros m elementos são os que
pertencem a A, o m+1-ésimo elemento é c e os demais m
elementos pertencem a B. Logo a associação também é
sobrejetiva, sendo assim uma bijeção.

Portanto, o somatório dado é o número de triplas que é
igual ao número de subconjuntos de X com 2m+1
elementos, que é C(n+1,2m+1).

[]'s
Shine

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RES: [obm-l] somatorio

[Ralph Teixeira]

Eu tenho n+1 livros numa estante (volume 1,2,3,...,n+1). Eu quero
escolher uma coleção de 2m+1 livros da estante (pintando o livro do meio de
verde, se você desejar). Quantas maneiras eu tenho de escolher tal coleção?

Se eu estiver sozinho, eu escolho 2m+1 livros dos n+1. Então, há
C(n+1,2m+1) possíveis coleções. Aí eu posso pintar o do meio de verde, mas
isso não faz diferença alguma no número de maneiras... :)

Por outro lado, se eu tiver dois ajudantes Abreu e Beatriz, eu
começo escolhendo o livro do meio (dos 2m+1), pinto-o de verde e é esse que
eu vou carregar. Digamos que eu escolhi o volume k (k poderia ser 0, 1, ...,
n). Agora eu peço ao Abreu para escolher m livros à esquerda do livro verde
(há C(k,m) maneiras de ele fazer isso) e à Beatriz para escolher m livros à
direita do livro verde (há C(n-k,m) maneiras de ela escolher). Em suma, para
uma escolha fixa de k, há C(k,m).C(n-k,m) maneiras de escolher os outros 2m
livros (este número pode até ser zero se eu escolhi um livro muito na
ponta). No total, incluindo o livro verde, há Sum(k=0 a k=n) C(n-k,m).C(k,m)
maneiras de escolher 2m+1 livros a partir dos n iniciais.

Note que para cada escolha dos 2m+1 livros há apenas uma maneira de
fazer este processo do Abreu e Beatriz.

Como o resultado dos processos é idêntico (exceto talvez porque eu
fiquei menos cansado na segunda situação), e cada maneira de fazer um
corresponde a apenas uma maneira de fazer o outro, conclui-se que

C(n+1,2m+1) = Sum (k=0 a k=n) C(n-k,m).C(k,m)

Que tal?

Abraço,
Ralph

Mensagem original-
De: adr.scr.m [mailto:[EMAIL PROTECTED]]
Enviada em: sábado, 6 de julho de 2002 14:29
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] somatorio


Alguem pode me ajudar nesse somatorio, 
 caiu no IME em 1980,

Prove a seguinte identidade
C(n+1,2m+1)=som(de k=o ate n) C(n-k,m) C(k,m)
onde n e m sao inteiros positivos e
C(n,m)=  n! /[ (n-m)! m! ] 
para n >= m   e C(n,m)=0 para n < m.
Obrigado.
Adriano.
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Re: [obm-l] somatorio

[Luis Lopes]

Sauda,c~oes,

Hiii, a solução que conheço é realmente
longa e um pouco difícil. Se não tem outra
mais simples, acho pouco provável algum
candidato ter resolvido a questão na hora.
Logo, questão fora de propósito.

Não poderei apresentar a solução aqui. Ela
usa diversos resultados conhecidos intermediários
que podem ser vistos/deduzidos lendo-se o
livro do Knuth "Fundamental Algorithms", Vol. 1.

O resultado final que nos interessa é:

\sum_{0 <= k <= r}  C(r-k,m) C(s+k,n) = C(r+s+1,m+n+1),

onde inteiro n >= inteiro s >= 0,
  inteiro m >= 0, inteiro r >= 0.

Colocando r=n, s=0 e n=m, vem:

\sum_{0 <= k <= n}  C(n-k,m) C(k,m) = C(n+1,2m+1).

> C(n+1,2m+1)=som(de k=o ate n) C(n-k,m) C(k,m)

[]'s
Luís

-Mensagem Original-
De: adr.scr.m <[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: sábado, 6 de julho de 2002 14:29
Assunto: [obm-l] somatorio


> Alguem pode me ajudar nesse somatorio,
>  caiu no IME em 1980,
>
> Prove a seguinte identidade
> C(n+1,2m+1)=som(de k=o ate n) C(n-k,m) C(k,m)
> onde n e m sao inteiros positivos e
> C(n,m)=  n! /[ (n-m)! m! ]
> para n >= m   e C(n,m)=0 para n < m.
> Obrigado.
> Adriano.
>
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[obm-l] somatorio

[adr.scr.m]

Alguem pode me ajudar nesse somatorio, 
 caiu no IME em 1980,

Prove a seguinte identidade
C(n+1,2m+1)=som(de k=o ate n) C(n-k,m) C(k,m)
onde n e m sao inteiros positivos e
C(n,m)=  n! /[ (n-m)! m! ] 
para n >= m   e C(n,m)=0 para n < m.
Obrigado.
Adriano.

 
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Re: [obm-l] Somatorio de Combinacoes

[Luis Lopes]

Sauda,c~oes,

Vou dar uma resposta parcial.

Lema: para n >= 1,

A_n = \sum_{i=n}^{2n-1} \binom{i-1}{n-1} 2^{1-i} = 1.

Para o seu resultado, temos:

S_n = \sum_{i=n/2-1}^{n-3} \binom{i}{n/2-1} (1/2)^i

Faça n=2l. Podemos escrever:

S_n = \sum_{i=l-1}^{2l-3} \binom{i}{l-1} (1/2)^i

Faça i = k-1 e escreva

S_n = \sum_{k=l}^{2l-2} \binom{k-1}{l-1} 2^{-k+1}

Complete a soma para ficar na forma da do Lema.

S_n = \sum_{k=l}^{2l-1} \binom{k-1}{l-1} 2^{-k+1} - \binom{2l-2}{l-1}
2^{-2l+2}

S_n = 1 - \binom{n-2}{n/2-1} 2^{-n+2}.

Agora resta mostrar que

\binom{n-2}{n/2-1} 2^{-n+2} = \binom{n-3}{(n/2) - 1} (1/2)^{n-3}.

[]'s
Luis

-Mensagem Original-
De: Rodrigo Malta Schmidt <[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: terça-feira, 16 de abril de 2002 01:52
Assunto: Re: [obm-l] Somatorio de Combinacoes


>
> Luis,
>
> A resposta tambem pode ser:
>
>  S_n = 1 - \binom{n-3}{(n/2) - 1} (1/2)^{n-3}.
>
> Interessante eh que as duas formas sao equivalentes.
>
> Voce poderia me dizer como voce chegou na respota. Qual foi o seu
> raciocinio??
>
> Abraco,
> Rodrigo
>
>
> Luis Lopes wrote:
> >
> > Sauda,c~oes,
> >
> > Vc tem a resposta?
> >
> > Encontrei
> >
> > S_n = 1 - \binom{n-2}{(n/2) - 1} (1/2)^{n-2}.
> >
> > []'s
> > Luis
> >
> > -Mensagem Original-----
> > De: Rodrigo Malta Schmidt <[EMAIL PROTECTED]>
> > Para: <[EMAIL PROTECTED]>
> > Enviada em: sábado, 13 de abril de 2002 09:52
> > Assunto: [obm-l] Somatorio de Combinacoes
> >
> > >
> > > Ola pessoal,
> > >
> > > Alguem sabe simplificar este somatorio, dado um numero par n:
> > >
> > > Somatorio em i variando de (n/2)-1 ate n-3 de C[i,(n/2)-1] * (1/2)^i
> > >
> > > onde C[i,j] eh o numero de combinacoes de i elementos agrupados j a j.
> > >
> > > Eu ja tentei varias coisas em cima do Triangulo de Pascal mas nao
obtive
> > > bons resultados.
> > >
> > > Obrigado,
> > > Rodrigo


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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=

Re: [obm-l] Somatorio de Combinacoes

[Rodrigo Malta Schmidt]

Luis,

A resposta tambem pode ser:

 S_n = 1 - \binom{n-3}{(n/2) - 1} (1/2)^{n-3}.

Interessante eh que as duas formas sao equivalentes.

Voce poderia me dizer como voce chegou na respota. Qual foi o seu
raciocinio??

Abraco,
Rodrigo


Luis Lopes wrote:
> 
> Sauda,c~oes,
> 
> Vc tem a resposta?
> 
> Encontrei
> 
> S_n = 1 - \binom{n-2}{(n/2) - 1} (1/2)^{n-2}.
> 
> []'s
> Luis
> 
> -Mensagem Original-
> De: Rodrigo Malta Schmidt <[EMAIL PROTECTED]>
> Para: <[EMAIL PROTECTED]>
> Enviada em: sábado, 13 de abril de 2002 09:52
> Assunto: [obm-l] Somatorio de Combinacoes
> 
> >
> > Ola pessoal,
> >
> > Alguem sabe simplificar este somatorio, dado um numero par n:
> >
> > Somatorio em i variando de (n/2)-1 ate n-3 de C[i,(n/2)-1] * (1/2)^i
> >
> > onde C[i,j] eh o numero de combinacoes de i elementos agrupados j a j.
> >
> > Eu ja tentei varias coisas em cima do Triangulo de Pascal mas nao obtive
> > bons resultados.
> >
> > Obrigado,
> > Rodrigo
> > =
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> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Somatorio de Combinacoes

[Luis Lopes]

Sauda,c~oes,

Vc tem a resposta?

Encontrei

S_n = 1 - \binom{n-2}{(n/2) - 1} (1/2)^{n-2}.

[]'s
Luis

-Mensagem Original-
De: Rodrigo Malta Schmidt <[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: sábado, 13 de abril de 2002 09:52
Assunto: [obm-l] Somatorio de Combinacoes


>
> Ola pessoal,
>
> Alguem sabe simplificar este somatorio, dado um numero par n:
>
> Somatorio em i variando de (n/2)-1 ate n-3 de C[i,(n/2)-1] * (1/2)^i
>
> onde C[i,j] eh o numero de combinacoes de i elementos agrupados j a j.
>
> Eu ja tentei varias coisas em cima do Triangulo de Pascal mas nao obtive
> bons resultados.
>
> Obrigado,
> Rodrigo
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Somatorio de Combinacoes

[Rodrigo Malta Schmidt]

Ola pessoal,

Alguem sabe simplificar este somatorio, dado um numero par n:

Somatorio em i variando de (n/2)-1 ate n-3 de C[i,(n/2)-1] * (1/2)^i

onde C[i,j] eh o numero de combinacoes de i elementos agrupados j a j.

Eu ja tentei varias coisas em cima do Triangulo de Pascal mas nao obtive
bons resultados.

Obrigado,
Rodrigo
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