Re: [obm-l] PA de quadrados perfeitos
Em seg., 3 de fev. de 2020 às 14:26, marcone augusto araújo borges escreveu: > > Determine os inteiros positivos a, b e c tais que (a^2, b^2, c^2) é uma PA > -- 2b^2 = a^2+c^2 Se um primo p diferente de 2 dividir a e c ao mesmo tempo, também dividirá b. Assim, podemos supor que o MDC de a e c é da forma 2^k. Se a e c são ambos pares, então (2a1)^2+(2c1)^2=2b^2, e portanto 2a1^2+2c1^2=b^2, e assim b é par também, logo 2a1^2+2c1^2=(2b1)^2, ou a1^2+c1^2=2b1^2. Dessa forma, podemos supor que a e c são primos entre si. Como seus quadrados somam um par, ambos devem ser ímpares. Escrevamos a=x+y, c=x-y, onde x e y são de paridades diferentes. Assim, temos (x+y)^2+(x-y)^2=2b^2, o que nos leva a x^2+y^2=b^2. Agora, basta usar a fórmula das ternas pitagóricas! Se ambos pares > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] PA de quadrados perfeitos
Determine os inteiros positivos a, b e c tais que (a^2, b^2, c^2) é uma PA -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
Suponhamos que a sequência (a1, a2, ..., an) com n >= 3 cumpra a condição
mas não seja PA.
Seja p o menor índice tal que:
(a1, ..., a(p-1)) é PA (digamos, de razão r) mas (a1, ..., a(p-1), ap) não
é PA.
Isso significa que ap - a(p-1) <> r (&&&)
Como (a1, ..., a(p-1)) é PA, vale:
1/(a1*a2) + ... + 1/(a(p-2)*a(p-1)) = (p-2)/(a1*a(p-1))(*)
Além disso, por hipótese:
1/(a1*a2) + ... + 1/(a(p-1)*ap) = (p-1)/(a1*ap)(**)
Subtraindo (*) de (**), obtemos:
1/(a(p-1)*ap) = (1/a1)*((p-1)/ap - (p-2)/a(p-1)) ==>
a1/(a(p-1)*ap) = ((p-1)*a(p-1) - (p-2)*ap)/(ap*a(p-1)) ==>
a1 = a(p-1) + (p-2)*a(p-1) - (p-2)*ap ==>
a(p-1) = a1 + (p-2)*(ap - a(p-1))(***)
Mas, como (a1, ..., a(p-1)) é uma PA, vale a(p-1) = a1 + (p-2)*r (),
onde r = razão da PA.
Comparando (***) e (), obtemos que ap - a(p-1) = r ==> contradição a
(&&&).
Logo, se uma sequência cumpre a condição, ela é PA.
[]s,
Claudio.
On Thu, Aug 30, 2018 at 3:21 PM Luís Lopes wrote:
> Sauda,c~oes, oi Claudio,
>
> Seja S_{k-1} = (n-1)/(a1*an) = \frac{n-1}{a_1a_n}.
>
> Para provar a recíproca escrevi
>
> S_k = S_{k-1} + \frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{n}{a_1a_{n+1}}
>
> e cheguei a
>
> n(a_{n+1} - a_n)=a_{n+1} - a_1 (*).
>
> Fazendo a) n=2 e b) n=3 em (*) tem-se
>
> a) a_3 + a_1 = 2a_2
>
> b) a_4 + a_2 = 2a_3
>
> Mas não consegui provar que a_{k+1} + a_{k-1} = 2a_k .
>
> Usando (*) ou de outra maneira, como provar a recíproca ?
>
> []s
> Luís
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
Sauda,c~oes, oi Claudio,
Seja S_{k-1} = (n-1)/(a1*an) = \frac{n-1}{a_1a_n}.
Para provar a recíproca escrevi
S_k = S_{k-1} + \frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{n}{a_1a_{n+1}}
e cheguei a
n(a_{n+1} - a_n)=a_{n+1} - a_1 (*).
Fazendo a) n=2 e b) n=3 em (*) tem-se
a) a_3 + a_1 = 2a_2
b) a_4 + a_2 = 2a_3
Mas não consegui provar que a_{k+1} + a_{k-1} = 2a_k .
Usando (*) ou de outra maneira, como provar a recíproca ?
[]s
Luís
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
Obrigado a todos! Eu vou verificar se houve um erro de escrita. Provavelmente existe uma inconsistência mesmo. Legal essa propriedade da soma dos inversos dos produtos. Um abraço Kevin Kühl On 29 Aug 2018 11:50 -0300, Claudio Buffara , wrote: > A soma que você quer talvez seja a dos inversos dos produtos de termos > consecutivos. > Numa PA a1, a2, ..., an, vale: > 1/(a1*a2) + 1/(a2*a3) + ... + 1/(a(n-1)*an) = (n-1)/(a1*an). > > E vale também a recíproca: se uma sequência (a1, a2, a3, ...) é tal que para > todo n>=3 vale a igualdade acima, então a sequência é uma PA. > > []s, > Claudio. > > > > > On Wed, Aug 29, 2018 at 9:28 AM Kevin Felipe Kuhl Oliveira > > wrote: > > > Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? > > > > > > Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, > > > nessa ordem. Mostre que > > > > > > (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) > > > > > > Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo > > > provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. > > > > > > Um abraço > > > > > > Kevin Kühl > > > > > > -- > > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
A soma que você quer talvez seja a dos inversos dos produtos de termos consecutivos. Numa PA a1, a2, ..., an, vale: 1/(a1*a2) + 1/(a2*a3) + ... + 1/(a(n-1)*an) = (n-1)/(a1*an). E vale também a recíproca: se uma sequência (a1, a2, a3, ...) é tal que para todo n>=3 vale a igualdade acima, então a sequência é uma PA. []s, Claudio. On Wed, Aug 29, 2018 at 9:28 AM Kevin Felipe Kuhl Oliveira < kevin_k...@usp.br> wrote: > Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? > > Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, nessa > ordem. Mostre que > > (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) > > Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo > provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. > > Um abraço > > Kevin Kühl > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
Isso não é verdade. Se n 3, a1 = 1, a2= 2, a3 = 3 então a1 a2 + a2 a3 = 8 (n - 1) a1 an = 6 Não seria 2/(a1 a2) ... + 1/(a(n -1) an) = (n -1)/(a1 an)? Isso é verdade. Artur Costa Steiner Em qua, 29 de ago de 2018 09:28, Kevin Felipe Kuhl Oliveira < kevin_k...@usp.br> escreveu: > Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? > > Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, nessa > ordem. Mostre que > > (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) > > Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo > provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. > > Um abraço > > Kevin Kühl > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
Tá certo isso? Tome a PA (1,2,3,4) a1 = 1, an = n = 4 soma = 1*2 + 2*3 + 3*4 = 2 + 6 + 12 = 20. Mas (n-1)*a1*an = 3*1*4 = 12. On Wed, Aug 29, 2018 at 9:38 AM Claudio Buffara wrote: > an = a1 + (n-1)r ==> r = (an - a1)/(n-1) ==> r^2 = (an - a1)^2/(n-1)^2. > Use esta expressão pra r^2. Com alguma álgebra você deve chegar lá. > > > On Wed, Aug 29, 2018 at 9:28 AM Kevin Felipe Kuhl Oliveira < > kevin_k...@usp.br> wrote: > >> Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? >> >> Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, >> nessa ordem. Mostre que >> >> (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) >> >> Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo >> provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. >> >> Um abraço >> >> Kevin Kühl >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
an = a1 + (n-1)r ==> r = (an - a1)/(n-1) ==> r^2 = (an - a1)^2/(n-1)^2. Use esta expressão pra r^2. Com alguma álgebra você deve chegar lá. On Wed, Aug 29, 2018 at 9:28 AM Kevin Felipe Kuhl Oliveira < kevin_k...@usp.br> wrote: > Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? > > Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, nessa > ordem. Mostre que > > (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) > > Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo > provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. > > Um abraço > > Kevin Kühl > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, nessa ordem. Mostre que (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. Um abraço Kevin Kühl -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrados em PA
Em 18-10-2013 09:19, marcone augusto araújo borges escreveu: Determine três números inteiros distintos cujos quadrados estão em PA [Upload Photo to Facebook] [Google+] [Twitt] [Send by Gmail] [Upload Video to Facebook] [Google+] [Twitt] [Send by Gmail] Infintas, infinitas soluções. x^2+y^2=2z^2 é equivalente a 'quadrados em PA'. Como x e y têm a mesma paridade, podemos escrever x=a+b, y=a-b. (a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2) Assim, a^2+b^2=z^2 E as boas e velhas trincas pitagóricas voltam com tudo! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] PA
Alguem teria uma solução com menos conta do que a que eu fiz Numa PA com (2n +1) termos, a soma dos n primeiros é igual a 50 e a soma dos n últimos é 140. Sabendo que a razão desta PA é um número inteiro entre 2 e 3, calcule an.
RE: [obm-l] PA
Boa Tarde Marcus, Fazendo w o termo do meio, o termo 1 vale w - nk, o termo 2 vale w - (n-1)k..., o termo 2n+1 vale w + nk, o termo 2n vale w + (n-1)k, percebeu o que esta acontecendo? Ao somarmos o termo x com o termo 2n+2-x obterermos 2w, ou seja, 50 + 140 = n.2w - w = 95/n. A soma dos n primeiros termos vale (95/n)*n -k(1 + 2 + 3 ... + n) = 95 - k.n.(n+1)/2 = 50 - k.n.(n+1) = 90 Fazendo k = 2 - n² + n - 45 = 0, delta = 181, impossível Fazendo k = 3 - n² + n - 30 = 0, delta = 121, n =(-1 +- 11)/2 - n' = 5, n'' = -6, não convém Logo n = 5 []'s João From: marcusaureli...@globo.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] PA Date: Thu, 3 Feb 2011 20:23:31 -0200 Alguem teria uma solução com menos conta do que a que eu fiz Numa PA com (2n +1) termos, a soma dos n primeiros é igual a 50 e a soma dos n últimos é 140. Sabendo que a razão desta PA é um número inteiro entre 2 e 3, calcule an.
RE: [obm-l] Problema de PA e PG
Valeu Bruno, muito obrigado. Um abraço paulo --- Em sáb, 21/8/10, Bruno Pedra da silva santos alcapone142...@hotmail.com escreveu: De: Bruno Pedra da silva santos alcapone142...@hotmail.com Assunto: RE: [obm-l] Problema de PA e PG Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 21 de Agosto de 2010, 0:45 20-2R , 20-R , 20 , 20+R , 20+2R PA (O TERMO CENTRAL EH 100/5) (20-R)²=(20-2R)(20+2R) -- R=8 PG IDADES : 4 , 12 , 20 , 28 , 36 soma das idades dos três homens = 4 + 12 + 36=52 Date: Fri, 20 Aug 2010 13:35:40 -0700 From: paulobarc...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Problema de PA e PG To: obm-l@mat.puc-rio.br Prezados, peço a ajuda de voces para o seguinte problema. Afonso,Bruna,Celia,Danilo e Eduardo são irmãos cujos nomes formam uma sequencia segundo a ordem em que nasceram ,sendo afonso o mais velho. O fato curioso é que as idades dos três homens formam uma PG, e as dos cinco irmãos formam uma PA. Se a soma de todas as idades for igual a 100, a soma das idades dos três homens será igual a quanto? Desde já agradeço qualquer orientação Paulo
[obm-l] Problema de PA e PG
Prezados, peço a ajuda de voces para o seguinte problema. Afonso,Bruna,Celia,Danilo e Eduardo são irmãos cujos nomes formam uma sequencia segundo a ordem em que nasceram ,sendo afonso o mais velho. O fato curioso é que as idades dos três homens formam uma PG, e as dos cinco irmãos formam uma PA. Se a soma de todas as idades for igual a 100, a soma das idades dos três homens será igual a quanto? Desde já agradeço qualquer orientação Paulo
RE: [obm-l] Problema de PA e PG
20-2R ,20-R, 20 , 20+R , 20+2R PA (O TERMO CENTRAL EH 100/5) (20-R)²=(20-2R)(20+2R) -- R=8 PG IDADES : 4 , 12 , 20 , 28 , 36 soma das idades dos três homens = 4 + 12 + 36=52 Date: Fri, 20 Aug 2010 13:35:40 -0700 From: paulobarc...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Problema de PA e PG To: obm-l@mat.puc-rio.br Prezados, peço a ajuda de voces para o seguinte problema. Afonso,Bruna,Celia,Danilo e Eduardo são irmãos cujos nomes formam uma sequencia segundo a ordem em que nasceram ,sendo afonso o mais velho. O fato curioso é que as idades dos três homens formam uma PG, e as dos cinco irmãos formam uma PA. Se a soma de todas as idades for igual a 100, a soma das idades dos três homens será igual a quanto? Desde já agradeço qualquer orientação Paulo
[obm-l] duvida PA
Numa PA com (2n +1) termos, a soma dos n primeiros é igual a 50 e a soma dos n últimos é 140. Sabendo que a razão desta PA é um número inteiro entre 2 e 3, calcule an.
Re: [obm-l] duvida PA
Marcus,
Do enunciado, temos:
50 = (a1 + an)n/2
140 = (a1 + a{2n+1})(2n+1)/2 - 50 - a{n+1}
Logo:
(a1 + an)n = 100
(a1 + a{2n+1})(2n+1) = 380 + 2a{n+1}
Usando o termo geral da PA: an = a1 + (n-1)r
Assim:
(a1 + a1 + (n-1)r)n = 100
(a1 + a1 + (2n)r)(2n+1) = 380 + 2(a1 + nr)
Abrindo tudo, temos:
2a1*n + n^2r - nr = 100
2a1*(2n+1) + 2nr(2n+1) = 380 + 2a1 + 2nr
Assim:
2a1*n + n^2r - nr = 100
4n(a1) + 4n^2r = 380
Dividindo a segunda por 4, temos:
2(a1)n + n^2r - nr = 100
n(a1) + n^2r = 95
Subtraindo as duas equacoes, temos:
(a1)n - nr = 5
(a1)n = 5 + nr
Substituindo nas duas anteriores, temos:
10 + nr + n^2r = 100 nr(n+1) = 90
5 + nr + n^2r = 95 nr(n+1) = 90 [opz, hehehe.. igual]
Vamos analisar agora:
n(n+1)r = 90
Analisando os fatores primos de 90 = 2*5*3*3.
Precisamos do produto de 2 numeros consecutivos...
Temos: 2 e 3, ou, 5 e 6, ou, 9 e 10
Para 2 e 3, teríamos: n=2 e r=15 (não pode ser, visto o enunciado)
Para 5 e 6, teríamos: n=5 e r=3 (opa, parece ser este)
Para 9 e 10, teríamos: n=9 e r=1 (não pode ser, visto o enunciado)
Portanto: n=5 e r=3
Assim, como (a1)n = nr + 5, temos: a1 = (nr+5)/n = (5*3 + 5)/5 = 4
Logo: an = a1 + (n-1)r. an = 4 + 3(n-1)
Como temos 2n+1 termos, nossa sequencia é: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28,
31, 34
Veja: 4+7+10+13+16 = 50, e, 22+25+28+31+34 = 140
abraços,
Salhab
2010/6/5 Marcus Aurelio marcusaureli...@globo.com
Numa PA com (2n +1) termos, a soma dos n primeiros é igual a 50 e a soma
dos n últimos é 140. Sabendo que a razão desta PA é um número inteiro entre
2 e 3, calcule an.
[obm-l] PA
Olá caros colegas, gostaria que vcs ajudassem com os problemas abaixo elencados!!! Digo que os resolvi mas nao tenho certeza quanto as respostas. 1) Obtenha uma P.A de três termos tais que sua soma seja 24 e seu produto seja 440. 2) Três numeros estao em P.A de tal maneira que a soma entre les é 18 e o produto é 66. Calcule os três termos. 3) Qual a soma dos números inteiros entre 1 até 350? 4) Inscrevendo-se nove meios aritimétricos entre 15 e 45, qual o sexto termo da P.A? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] PA
Então vamos lá: 1) número = a incremento = x a + (a + x) + (a+2x) = 24 3a+3x=24 a+x=8 - x=8-a a*(a+x)*(a+2x) = 440 a*(a+8-a)*(a+16-2a) = 440 a*8*(16-a) = 440 chegando na equação: a² - 16a + 55 que resolvendo obtemos doi valores para a: (5,11) para a=5, x=3 para a=11, b=-3 3 e -3 são valores inversos, ou seja, na hora de achar os números acharemos os mesmos números. Vamos considerar de fato somente a primeira equação. ou seja, os números são: (5,8 e 11) Da mesma forma de resolve o segundo 3)Para se calcular uma PA de incremento um usaremos: (n²+n)/2 - (305²+305)/2 = 93330/2 = 46665 4)O 15 e o 45 não conta, assim o incremento da PA é 3. O 6º termo é igual a 16 + 6*3 = 15 + 18 = 33 Date: Wed, 3 Dec 2008 04:24:29 -0800 From: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] PA To: obm-l@mat.puc-rio.br; [EMAIL PROTECTED] Olá caros colegas, gostaria que vcs ajudassem com os problemas abaixo elencados!!! Digo que os resolvi mas nao tenho certeza quanto as respostas. 1) Obtenha uma P.A de três termos tais que sua soma seja 24 e seu produto seja 440.2) Três numeros estao em P.A de tal maneira que a soma entre les é 18 e o produto é 66. Calcule os três termos.3) Qual a soma dos números inteiros entre 1 até 350?4) Inscrevendo-se nove meios aritimétricos entre 15 e 45, qual o sexto termo da P.A? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
RE: [obm-l] PA
A resposta do segundo é 1,6,11. É fácil observar pois 66 = 1*2*3*11, ou seja, tem poucos divisores. Mas dá forma com que resolvi o exercício 1 também dá perfeitamente para se resolver este, só que naõ estou com tempo então não vou postar aqui. Espero ter ajudado Grato Date: Wed, 3 Dec 2008 04:24:29 -0800 From: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] PA To: obm-l@mat.puc-rio.br; [EMAIL PROTECTED] Olá caros colegas, gostaria que vcs ajudassem com os problemas abaixo elencados!!! Digo que os resolvi mas nao tenho certeza quanto as respostas. 1) Obtenha uma P.A de três termos tais que sua soma seja 24 e seu produto seja 440.2) Três numeros estao em P.A de tal maneira que a soma entre les é 18 e o produto é 66. Calcule os três termos.3) Qual a soma dos números inteiros entre 1 até 350?4) Inscrevendo-se nove meios aritimétricos entre 15 e 45, qual o sexto termo da P.A? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA ( lit eral ) e aritmética.
Olá Bruno,
O que você disse está certo em essência, mas eu colocaria um reparo numa
sutileza: não é exatamente demonstrar o que já sabemos, e sim demonstrar
algo que conjecturamos, não concorda?
Acredita-se que uma conjectura é verdadeira, e tenta-se demonstrá-la, e nesse
processo pode-se chegar à conclusão de que, na verdade, nossa conjectura era
falsa. Aliás, como você mesmo disse algumas linhas adiante, em sua mensagem.
Só achei ligeiramente mal colocada a frase demonstar o que já sabemos, que
ficou meio com cara de demonstrar por indução o que já foi demonstrado por
outros meios, e nesse caso a indução seria completamente inútil.
Um abraço a todos,
João Luís.
- Original Message -
From: Bruno França dos Reis
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, November 20, 2008 12:29 AM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
Apenas um comentário sobre a indução finita.
Há bastante tempo li em algum livro cujo nome infelizmente esqueci que a
indução finita é inútil do ponto de vista de procura de coisas novas: ela nos
permite demonstrar o que já sabemos, e apenas isso. Afinal de contas, a indução
finita não é nada mais do que um dos axiomas de Peano que utilisamos para
demonstrar fatos conhecidos.
Isso se torna claro quando prestamos atenção no processo da indução finita:
prove a validade de uma afirmação para um dado número, e prove que a validade
dela para um número implica sua validade para o próximo. Pois bem, nas
hipóteses desse processo temos uma afirmação já formulada.
Ele pode nos ajudar talvez a verificar a falsidade de uma afirmação que
fazemos, mas não vamos buscar novos resultados com ele.
Alguém teria algum exemplo contrário a essa idéia? Nunca achei, mas também
nunca me preocupei em procurar.
Isso tudo para dizer que vc não vai calcular o valor da soma 1 + 2 + ... +
(m-1) pela indução finita, mas vc vai simplesmente poder demonstrar a igualdade
1 + 2 + ... + (m-1) = m(m-1)/2
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: [EMAIL PROTECTED]
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://www.brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
e^(pi*i)+1=0
2008/11/20 Paulo André [EMAIL PROTECTED]
a0 é o primeiro termo da PA e r a razão
A partir dele podemos descobrir os outros, assim nossa soma fica
a0 + (a0 + r) + (a0 + 2*r) + ... + (a0 + (m-1)*r) = N
Repare que a nossa PA tem m termos pois vai de 0 até m-1
Assim a soma será
a0*(m) + r*(1 + 2 + ... + (m-1)) = N
Para calcular a soma 1 + 2 + ... + m-1=m*(m-1)/2 podemos fazer de muitos
jeitos. Pode ser feito por indução finita mas tem um jeito mais simples que é
somar do seguinte modo:
1+ (m-1) + 2 + (m-2) + 3 + (m-3) + ... = m + m + m + ... = m*(m-1)/2
Assim chegamos naquela formula.
Qualquer duvida pode perguntar de novo
Paulo André
2008/11/19 Gustavo Duarte [EMAIL PROTECTED]
Paulo obrigado pela ajuda, porém , desculpa, eu entendi todo o seu
densolvimento, exceto as primeiras equações :
a0*m+m*(m-1)*r/2=N , quem é a0*m ? e porque m*(m-1) ? desde já agradeço .
:- Original Message -
From: Paulo André
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, November 19, 2008 11:14 AM
Subject: Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
O primeiro problema também não é nenhum bicho de sete cabeças.
Aplique a fórmula da soma da PA:
a0*m+m*(m-1)*r/2=N = a0+ r * (m-1)/2=N/m
a0*N+N*(N-1)*r/2=m = a0 + r * (N-1)/2=m/N
Subtraia as duas equações
r(m - N)/2=N/m - m/N=(N^2-m^2)/Nm = (N-m)(N+m)/Nm
Cortando (N-m)
r = - 2 (N+m)/N*m
Paulo André
2008/11/19 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]
2) Se, x ,y e z são inteiros positivos , com : xyz + xy + xz + yz +
x + y + z = 384, quanto vale xyz ?
GAB. 240
Some um dos dois lados e fatore tudo:
(x+1)(y+1)(z+1)=385=5.7.11
Como x,y e z sao inteiros positivos, x+1,y+1,z+1=2. Como aquela ali
eh a fatoracao de 385 em primos, a unica opcao eh que {x+1,y+1,z+1}={5,7,11},
isto eh, x, y e z sao 4, 6 e 10 em alguma ordem. Assim, xyz=240.
Abraco,
Ralph
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritm ética.
OBRIGADO PAULO !! agora ficou mais do que claro, veleu pelo passo a passo !!!
- Original Message -
From: Paulo André
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, November 20, 2008 12:13 AM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
a0 é o primeiro termo da PA e r a razão
A partir dele podemos descobrir os outros, assim nossa soma fica
a0 + (a0 + r) + (a0 + 2*r) + ... + (a0 + (m-1)*r) = N
Repare que a nossa PA tem m termos pois vai de 0 até m-1
Assim a soma será
a0*(m) + r*(1 + 2 + ... + (m-1)) = N
Para calcular a soma 1 + 2 + ... + m-1=m*(m-1)/2 podemos fazer de muitos
jeitos. Pode ser feito por indução finita mas tem um jeito mais simples que é
somar do seguinte modo:
1+ (m-1) + 2 + (m-2) + 3 + (m-3) + ... = m + m + m + ... = m*(m-1)/2
Assim chegamos naquela formula.
Qualquer duvida pode perguntar de novo
Paulo André
2008/11/19 Gustavo Duarte [EMAIL PROTECTED]
Paulo obrigado pela ajuda, porém , desculpa, eu entendi todo o seu
densolvimento, exceto as primeiras equações :
a0*m+m*(m-1)*r/2=N , quem é a0*m ? e porque m*(m-1) ? desde já agradeço .
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From: Paulo André
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, November 19, 2008 11:14 AM
Subject: Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
O primeiro problema também não é nenhum bicho de sete cabeças.
Aplique a fórmula da soma da PA:
a0*m+m*(m-1)*r/2=N = a0+ r * (m-1)/2=N/m
a0*N+N*(N-1)*r/2=m = a0 + r * (N-1)/2=m/N
Subtraia as duas equações
r(m - N)/2=N/m - m/N=(N^2-m^2)/Nm = (N-m)(N+m)/Nm
Cortando (N-m)
r = - 2 (N+m)/N*m
Paulo André
2008/11/19 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]
2) Se, x ,y e z são inteiros positivos , com : xyz + xy + xz + yz + x
+ y + z = 384, quanto vale xyz ?
GAB. 240
Some um dos dois lados e fatore tudo:
(x+1)(y+1)(z+1)=385=5.7.11
Como x,y e z sao inteiros positivos, x+1,y+1,z+1=2. Como aquela ali eh
a fatoracao de 385 em primos, a unica opcao eh que {x+1,y+1,z+1}={5,7,11}, isto
eh, x, y e z sao 4, 6 e 10 em alguma ordem. Assim, xyz=240.
Abraco,
Ralph
Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
2) Se, *x *,*y* e *z *são inteiros positivos , com : xyz + xy + xz + yz +
x + y + z = 384, quanto vale *xyz* ?
GAB. *240*
Some um dos dois lados e fatore tudo:
(x+1)(y+1)(z+1)=385=5.7.11
Como x,y e z sao inteiros positivos, x+1,y+1,z+1=2. Como aquela ali eh a
fatoracao de 385 em primos, a unica opcao eh que {x+1,y+1,z+1}={5,7,11},
isto eh, x, y e z sao 4, 6 e 10 em alguma ordem. Assim, xyz=240.
Abraco,
Ralph
Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
O primeiro problema também não é nenhum bicho de sete cabeças.
Aplique a fórmula da soma da PA:
a0*m+m*(m-1)*r/2=N = a0+ r * (m-1)/2=N/m
a0*N+N*(N-1)*r/2=m = a0 + r * (N-1)/2=m/N
Subtraia as duas equações
r(m - N)/2=N/m - m/N=(N^2-m^2)/Nm = (N-m)(N+m)/Nm
Cortando (N-m)
r = - 2 (N+m)/N*m
Paulo André
2008/11/19 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]
2) Se, *x *,*y* e *z *são inteiros positivos , com : xyz + xy + xz + yz +
x + y + z = 384, quanto vale *xyz* ?
GAB. *240*
Some um dos dois lados e fatore tudo:
(x+1)(y+1)(z+1)=385=5.7.11
Como x,y e z sao inteiros positivos, x+1,y+1,z+1=2. Como aquela ali eh a
fatoracao de 385 em primos, a unica opcao eh que {x+1,y+1,z+1}={5,7,11},
isto eh, x, y e z sao 4, 6 e 10 em alguma ordem. Assim, xyz=240.
Abraco,
Ralph
[obm-l] Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
Paulo obrigado pela ajuda, porém , desculpa, eu entendi todo o seu
densolvimento, exceto as primeiras equações :
a0*m+m*(m-1)*r/2=N , quem é a0*m ? e porque m*(m-1) ? desde já agradeço .
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From: Paulo André
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, November 19, 2008 11:14 AM
Subject: Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
O primeiro problema também não é nenhum bicho de sete cabeças.
Aplique a fórmula da soma da PA:
a0*m+m*(m-1)*r/2=N = a0+ r * (m-1)/2=N/m
a0*N+N*(N-1)*r/2=m = a0 + r * (N-1)/2=m/N
Subtraia as duas equações
r(m - N)/2=N/m - m/N=(N^2-m^2)/Nm = (N-m)(N+m)/Nm
Cortando (N-m)
r = - 2 (N+m)/N*m
Paulo André
2008/11/19 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]
2) Se, x ,y e z são inteiros positivos , com : xyz + xy + xz + yz + x + y
+ z = 384, quanto vale xyz ?
GAB. 240
Some um dos dois lados e fatore tudo:
(x+1)(y+1)(z+1)=385=5.7.11
Como x,y e z sao inteiros positivos, x+1,y+1,z+1=2. Como aquela ali eh a
fatoracao de 385 em primos, a unica opcao eh que {x+1,y+1,z+1}={5,7,11}, isto
eh, x, y e z sao 4, 6 e 10 em alguma ordem. Assim, xyz=240.
Abraco,
Ralph
Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
a0 é o primeiro termo da PA e r a razão
A partir dele podemos descobrir os outros, assim nossa soma fica
a0 + (a0 + r) + (a0 + 2*r) + ... + (a0 + (m-1)*r) = N
Repare que a nossa PA tem m termos pois vai de 0 até m-1
Assim a soma será
a0*(m) + r*(1 + 2 + ... + (m-1)) = N
Para calcular a soma 1 + 2 + ... + m-1=m*(m-1)/2 podemos fazer de muitos
jeitos. Pode ser feito por indução finita mas tem um jeito mais simples que
é somar do seguinte modo:
1+ (m-1) + 2 + (m-2) + 3 + (m-3) + ... = m + m + m + ... = m*(m-1)/2
Assim chegamos naquela formula.
Qualquer duvida pode perguntar de novo
Paulo André
2008/11/19 Gustavo Duarte [EMAIL PROTECTED]
Paulo obrigado pela ajuda, porém , desculpa, eu entendi todo o seu
densolvimento, exceto as primeiras equações :
a0*m+m*(m-1)*r/2=N *, *quem é a0*m ? e porque m*(m-1) ? desde já agradeço
.
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*From:* Paulo André [EMAIL PROTECTED]
*To:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Sent:* Wednesday, November 19, 2008 11:14 AM
*Subject:* Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
O primeiro problema também não é nenhum bicho de sete cabeças.
Aplique a fórmula da soma da PA:
a0*m+m*(m-1)*r/2=N = a0+ r * (m-1)/2=N/m
a0*N+N*(N-1)*r/2=m = a0 + r * (N-1)/2=m/N
Subtraia as duas equações
r(m - N)/2=N/m - m/N=(N^2-m^2)/Nm = (N-m)(N+m)/Nm
Cortando (N-m)
r = - 2 (N+m)/N*m
Paulo André
2008/11/19 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]
2) Se, *x *,*y* e *z *são inteiros positivos , com : xyz + xy + xz + yz
+ x + y + z = 384, quanto vale *xyz* ?
GAB. *240*
Some um dos dois lados e fatore tudo:
(x+1)(y+1)(z+1)=385=5.7.11
Como x,y e z sao inteiros positivos, x+1,y+1,z+1=2. Como aquela ali eh a
fatoracao de 385 em primos, a unica opcao eh que {x+1,y+1,z+1}={5,7,11},
isto eh, x, y e z sao 4, 6 e 10 em alguma ordem. Assim, xyz=240.
Abraco,
Ralph
Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
Apenas um comentário sobre a indução finita.
Há bastante tempo li em algum livro cujo nome infelizmente esqueci que a
indução finita é inútil do ponto de vista de procura de coisas novas: ela
nos permite demonstrar o que já sabemos, e apenas isso. Afinal de contas, a
indução finita não é nada mais do que um dos axiomas de Peano que utilisamos
para demonstrar fatos conhecidos.
Isso se torna claro quando prestamos atenção no processo da indução finita:
prove a validade de uma afirmação para um dado número, e prove que a
validade dela para um número implica sua validade para o próximo. Pois bem,
nas hipóteses desse processo temos *uma afirmação* já formulada.
Ele pode nos ajudar talvez a verificar a falsidade de uma afirmação que
fazemos, mas não vamos buscar novos resultados com ele.
Alguém teria algum exemplo contrário a essa idéia? Nunca achei, mas também
nunca me preocupei em procurar.
Isso tudo para dizer que vc não vai calcular o valor da soma 1 + 2 + ... +
(m-1) pela indução finita, mas vc vai simplesmente poder demonstrar a
igualdade 1 + 2 + ... + (m-1) = m(m-1)/2
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: [EMAIL PROTECTED]
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://www.brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
e^(pi*i)+1=0
2008/11/20 Paulo André [EMAIL PROTECTED]
a0 é o primeiro termo da PA e r a razão
A partir dele podemos descobrir os outros, assim nossa soma fica
a0 + (a0 + r) + (a0 + 2*r) + ... + (a0 + (m-1)*r) = N
Repare que a nossa PA tem m termos pois vai de 0 até m-1
Assim a soma será
a0*(m) + r*(1 + 2 + ... + (m-1)) = N
Para calcular a soma 1 + 2 + ... + m-1=m*(m-1)/2 podemos fazer de muitos
jeitos. Pode ser feito por indução finita mas tem um jeito mais simples que
é somar do seguinte modo:
1+ (m-1) + 2 + (m-2) + 3 + (m-3) + ... = m + m + m + ... = m*(m-1)/2
Assim chegamos naquela formula.
Qualquer duvida pode perguntar de novo
Paulo André
2008/11/19 Gustavo Duarte [EMAIL PROTECTED]
Paulo obrigado pela ajuda, porém , desculpa, eu entendi todo o seu
densolvimento, exceto as primeiras equações :
a0*m+m*(m-1)*r/2=N *, *quem é a0*m ? e porque m*(m-1) ? desde já agradeço
.
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*From:* Paulo André [EMAIL PROTECTED]
*To:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Sent:* Wednesday, November 19, 2008 11:14 AM
*Subject:* Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
O primeiro problema também não é nenhum bicho de sete cabeças.
Aplique a fórmula da soma da PA:
a0*m+m*(m-1)*r/2=N = a0+ r * (m-1)/2=N/m
a0*N+N*(N-1)*r/2=m = a0 + r * (N-1)/2=m/N
Subtraia as duas equações
r(m - N)/2=N/m - m/N=(N^2-m^2)/Nm = (N-m)(N+m)/Nm
Cortando (N-m)
r = - 2 (N+m)/N*m
Paulo André
2008/11/19 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]
2) Se, *x *,*y* e *z *são inteiros positivos , com : xyz + xy + xz +
yz + x + y + z = 384, quanto vale *xyz* ?
GAB. *240*
Some um dos dois lados e fatore tudo:
(x+1)(y+1)(z+1)=385=5.7.11
Como x,y e z sao inteiros positivos, x+1,y+1,z+1=2. Como aquela ali eh a
fatoracao de 385 em primos, a unica opcao eh que {x+1,y+1,z+1}={5,7,11},
isto eh, x, y e z sao 4, 6 e 10 em alguma ordem. Assim, xyz=240.
Abraco,
Ralph
[obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
Se alguém puder ajudar em alguma delas ...,desde já agradeço. 1) Se a soma dos N primeiros termos de uma PA é m e soma dos m primeiros termos é N, com N diferente de m, qual a razão da PA ? GAB. 2( m + N) / (m.N) 2) Se, x ,y e z são inteiros positivos , com : xyz + xy + xz + yz + x + y + z = 384, quanto vale xyz ? GAB. 240
RE: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
E aí Gustavo , como é que estão as coisas , vamos ver se a gente se encontra nessas férias aí ok!!! Espero ter ajudado, como diz meu amigo Alex. Um abraço. Cláudio Thor x(y + z + 1) + y(z + 1) + zxy + z = 384 xy + x(z + 1) + y(z + 1) + xyz + z = 384 (z + 1)(x + y) + xy(z + 1) + z = 384 (z + 1)(xy + x + y) + z = 384 supondo que z = 4, então z + 1 = 5, Daí, xy + x + y = 76 x(y + 1) + y = 76 supondo y = 6 , então y + 1 = 7. dAÍ, x = 10 Logo, xyz = 240 From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.Date: Tue, 18 Nov 2008 23:52:56 -0200 Se alguém puder ajudar em alguma delas ...,desde já agradeço. 1) Se a soma dos N primeiros termos de uma PA é m e soma dos m primeiros termos é N, com N diferente de m, qual a razão da PA ? GAB. 2( m + N) / (m.N) 2) Se, x ,y e z são inteiros positivos , com : xyz + xy + xz + yz + x + y + z = 384, quanto vale xyz ? GAB. 240 _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau.
De 1980 a 1999, são realmente 20 termos: 1999 - 1979 = 20. E porque - 1979? Porque, como o 1980 está incluido nas condições do problema, não deve ser subtraído. Um abraço a todos, João Luís. - Original Message - From: Gustavo Duarte To: Olimpíada Sent: Monday, October 27, 2008 10:59 PM Subject: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. O número em trilhões de cigarros vendiddos, anualmente, é dado pela função C(t) = 0,1t + 4,4 , com t=0 correspondendo a 1980 ( contado a partir do início de 1980). Qual o número em trilhões de cigarros vendidos desde o início de 1980 até o final de 1999 ? a) 109 b) 108 c) 107 d) 106 e) 105 O Gabarito dado é B) 108, fiz e cheguei ao resultado assim , soma de PA, [ ( 4,4 + 6,4)20 ] / 2 = 108, porém depois fazendo uma segunda análise discordei , pois essa PA não tem 20 termos e sim 21, porém o período dado é de 20 anos, e aí ... alguém pode me ajudar na interpretação dessa questão ??? desde já agradeço.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau.
João, desculpe eu não ter entendido,para mim ainda não ficou claro... essa PA tem 20 termos é isso ?, qual seria o primeiro e qual seraia o último, usando na fórmula dá certo ?? onde estou errando ? pensei assim...se a1 = 4,4 , a razão é 0,1 e an = 6,4 , n = ?? não seria 21 ? porém por outro lado vc tem razão ,do início de 1980 ate o final de 1999 realmente são 20 anos, O GABARITO TÀ CERTO È 108 MESMO ?? desde ja agradeço pela atenção !! - Original Message - From: João Luís To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 28, 2008 7:30 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. De 1980 a 1999, são realmente 20 termos: 1999 - 1979 = 20. E porque - 1979? Porque, como o 1980 está incluido nas condições do problema, não deve ser subtraído. Um abraço a todos, João Luís. - Original Message - From: Gustavo Duarte To: Olimpíada Sent: Monday, October 27, 2008 10:59 PM Subject: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. O número em trilhões de cigarros vendiddos, anualmente, é dado pela função C(t) = 0,1t + 4,4 , com t=0 correspondendo a 1980 ( contado a partir do início de 1980). Qual o número em trilhões de cigarros vendidos desde o início de 1980 até o final de 1999 ? a) 109 b) 108 c) 107 d) 106 e) 105 O Gabarito dado é B) 108, fiz e cheguei ao resultado assim , soma de PA, [ ( 4,4 + 6,4)20 ] / 2 = 108, porém depois fazendo uma segunda análise discordei , pois essa PA não tem 20 termos e sim 21, porém o período dado é de 20 anos, e aí ... alguém pode me ajudar na interpretação dessa questão ??? desde já agradeço. __ NOD32 3562 (20081028) Information __ This message was checked by NOD32 antivirus system. http://www.eset.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com F unção do 1 º grau.
Veja Gustavo, na verdade eu não resolvi o problema, apenas disse que essa PA deve ter 20 termos, pois são 20 anos, concorda? 1980 (inclusive) a 1999 (inclusive). De onde você tirou que an = 6,4? Não entendi. DEsculpe-me se estou deixando passar algo óbvio, pois estou analisando as coisas meio na pressa aqui. Mais tarde, olho pro problema com toda a calma do mundo e posto uma mensagem aqui, ok? Um abraço a todos, João Luís. - Original Message - From: Gustavo Duarte To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 28, 2008 10:11 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. João, desculpe eu não ter entendido,para mim ainda não ficou claro... essa PA tem 20 termos é isso ?, qual seria o primeiro e qual seraia o último, usando na fórmula dá certo ?? onde estou errando ? pensei assim...se a1 = 4,4 , a razão é 0,1 e an = 6,4 , n = ?? não seria 21 ? porém por outro lado vc tem razão ,do início de 1980 ate o final de 1999 realmente são 20 anos, O GABARITO TÀ CERTO È 108 MESMO ?? desde ja agradeço pela atenção !! - Original Message - From: João Luís To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 28, 2008 7:30 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. De 1980 a 1999, são realmente 20 termos: 1999 - 1979 = 20. E porque - 1979? Porque, como o 1980 está incluido nas condições do problema, não deve ser subtraído. Um abraço a todos, João Luís. - Original Message - From: Gustavo Duarte To: Olimpíada Sent: Monday, October 27, 2008 10:59 PM Subject: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. O número em trilhões de cigarros vendiddos, anualmente, é dado pela função C(t) = 0,1t + 4,4 , com t=0 correspondendo a 1980 ( contado a partir do início de 1980). Qual o número em trilhões de cigarros vendidos desde o início de 1980 até o final de 1999 ? a) 109 b) 108 c) 107 d) 106 e) 105 O Gabarito dado é B) 108, fiz e cheguei ao resultado assim , soma de PA, [ ( 4,4 + 6,4)20 ] / 2 = 108, porém depois fazendo uma segunda análise discordei , pois essa PA não tem 20 termos e sim 21, porém o período dado é de 20 anos, e aí ... alguém pode me ajudar na interpretação dessa questão ??? desde já agradeço. __ NOD32 3562 (20081028) Information __ This message was checked by NOD32 antivirus system. http://www.eset.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau.
Valeu João !!! pensei assim: 1980 = C (0) =4,4 ; 1981 = C(1) =4,5 : 1982 = C (2) = 4,6 ; . ; 1999 = c (19) = 6,3 ; 2000 = C ( 20) = 6,4. fiz até 2000, pois ele fala no final de 1999. favor observar no final deste e-mail a fórmula que usei. Até mais - Original Message - From: João Luís To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 28, 2008 1:16 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. Veja Gustavo, na verdade eu não resolvi o problema, apenas disse que essa PA deve ter 20 termos, pois são 20 anos, concorda? 1980 (inclusive) a 1999 (inclusive). De onde você tirou que an = 6,4? Não entendi. DEsculpe-me se estou deixando passar algo óbvio, pois estou analisando as coisas meio na pressa aqui. Mais tarde, olho pro problema com toda a calma do mundo e posto uma mensagem aqui, ok? Um abraço a todos, João Luís. - Original Message - From: Gustavo Duarte To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 28, 2008 10:11 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. João, desculpe eu não ter entendido,para mim ainda não ficou claro... essa PA tem 20 termos é isso ?, qual seria o primeiro e qual seraia o último, usando na fórmula dá certo ?? onde estou errando ? pensei assim...se a1 = 4,4 , a razão é 0,1 e an = 6,4 , n = ?? não seria 21 ? porém por outro lado vc tem razão ,do início de 1980 ate o final de 1999 realmente são 20 anos, O GABARITO TÀ CERTO È 108 MESMO ?? desde ja agradeço pela atenção !! - Original Message - From: João Luís To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 28, 2008 7:30 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. De 1980 a 1999, são realmente 20 termos: 1999 - 1979 = 20. E porque - 1979? Porque, como o 1980 está incluido nas condições do problema, não deve ser subtraído. Um abraço a todos, João Luís. - Original Message - From: Gustavo Duarte To: Olimpíada Sent: Monday, October 27, 2008 10:59 PM Subject: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. O número em trilhões de cigarros vendiddos, anualmente, é dado pela função C(t) = 0,1t + 4,4 , com t=0 correspondendo a 1980 ( contado a partir do início de 1980). Qual o número em trilhões de cigarros vendidos desde o início de 1980 até o final de 1999 ? a) 109 b) 108 c) 107 d) 106 e) 105 O Gabarito dado é B) 108, fiz e cheguei ao resultado assim , soma de PA, [ ( 4,4 + 6,4)20 ] / 2 = 108, porém depois fazendo uma segunda análise discordei , pois essa PA não tem 20 termos e sim 21, porém o período dado é de 20 anos, e aí ... alguém pode me ajudar na interpretação dessa questão ??? desde já agradeço. __ NOD32 3562 (20081028) Information __ This message was checked by NOD32 antivirus system. http://www.eset.com __ NOD32 3562 (20081028) Information __ This message was checked by NOD32 antivirus system. http://www.eset.com
[obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau.
Isso. Mas o 2000 não conta, né? é do início de 1980 até o final de 1999, então o ano 2000 tá fora. Na minha opinião, esse problema deve ser resolvido assim: C(0) = 0,1*0 + 4,4 (trilhões de cigarros vendidos em 1980) C(1) = 0,1*1 + 4,4 (trilhões de cigarros vendidos em 1981) C(2) = 0,1*2 + 4,4 (trilhões de cigarros vendidos em 1982) . . . C(19) = 0,1*19 + 4,4 (trilhões de cigarros vendidos em 1999) Observe que essa soma será então 0,1*(0+1+2+ ... +18+19) + 20*4,4 = 0,1*190 + 88 = 107 trilhões de cigarros. É ISSO O QUE ESTÁ SENDO PEDIDO NO ENUNCIADO. Na minha opinião, esse gabarito está errado. Você conhece a origem dessa questão? Um abraço, João Luís. . - Original Message - From: Gustavo Duarte To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 28, 2008 12:01 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. Valeu João !!! pensei assim: 1980 = C (0) =4,4 ; 1981 = C(1) =4,5 : 1982 = C (2) = 4,6 ; . ; 1999 = c (19) = 6,3 ; 2000 = C ( 20) = 6,4. fiz até 2000, pois ele fala no final de 1999. favor observar no final deste e-mail a fórmula que usei. Até mais - Original Message - From: João Luís To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 28, 2008 1:16 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. Veja Gustavo, na verdade eu não resolvi o problema, apenas disse que essa PA deve ter 20 termos, pois são 20 anos, concorda? 1980 (inclusive) a 1999 (inclusive). De onde você tirou que an = 6,4? Não entendi. DEsculpe-me se estou deixando passar algo óbvio, pois estou analisando as coisas meio na pressa aqui. Mais tarde, olho pro problema com toda a calma do mundo e posto uma mensagem aqui, ok? Um abraço a todos, João Luís. - Original Message - From: Gustavo Duarte To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 28, 2008 10:11 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. João, desculpe eu não ter entendido,para mim ainda não ficou claro... essa PA tem 20 termos é isso ?, qual seria o primeiro e qual seraia o último, usando na fórmula dá certo ?? onde estou errando ? pensei assim...se a1 = 4,4 , a razão é 0,1 e an = 6,4 , n = ?? não seria 21 ? porém por outro lado vc tem razão ,do início de 1980 ate o final de 1999 realmente são 20 anos, O GABARITO TÀ CERTO È 108 MESMO ?? desde ja agradeço pela atenção !! - Original Message - From: João Luís To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 28, 2008 7:30 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. De 1980 a 1999, são realmente 20 termos: 1999 - 1979 = 20. E porque - 1979? Porque, como o 1980 está incluido nas condições do problema, não deve ser subtraído. Um abraço a todos, João Luís. - Original Message - From: Gustavo Duarte To: Olimpíada Sent: Monday, October 27, 2008 10:59 PM Subject: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. O número em trilhões de cigarros vendiddos, anualmente, é dado pela função C(t) = 0,1t + 4,4 , com t=0 correspondendo a 1980 ( contado a partir do início de 1980). Qual o número em trilhões de cigarros vendidos desde o início de 1980 até o final de 1999 ? a) 109 b) 108 c) 107 d) 106 e) 105 O Gabarito dado é B) 108, fiz e cheguei ao resultado assim , soma de PA, [ ( 4,4 + 6,4)20 ] / 2 = 108, porém depois fazendo uma segunda análise discordei , pois essa PA não tem 20 termos e sim 21, porém o período dado é de 20 anos, e aí ... alguém pode me ajudar na interpretação dessa questão ??? desde já agradeço. __ NOD32 3562 (20081028) Information __ This message was checked by NOD32 antivirus system. http://www.eset.com __ NOD32 3562 (20081028) Information __ This message was checked by NOD32 antivirus system. http://www.eset.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função d o 1 º grau.
Também tenho sua opinião, o gabarito deveria ser 107 trilhões, vou verificar a fonte caso tenha informação de mudança de gabarito , te mando um e-mail, obg pela atenção. - Original Message - From: João Luís To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 28, 2008 7:25 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. Isso. Mas o 2000 não conta, né? é do início de 1980 até o final de 1999, então o ano 2000 tá fora. Na minha opinião, esse problema deve ser resolvido assim: C(0) = 0,1*0 + 4,4 (trilhões de cigarros vendidos em 1980) C(1) = 0,1*1 + 4,4 (trilhões de cigarros vendidos em 1981) C(2) = 0,1*2 + 4,4 (trilhões de cigarros vendidos em 1982) . . . C(19) = 0,1*19 + 4,4 (trilhões de cigarros vendidos em 1999) Observe que essa soma será então 0,1*(0+1+2+ ... +18+19) + 20*4,4 = 0,1*190 + 88 = 107 trilhões de cigarros. É ISSO O QUE ESTÁ SENDO PEDIDO NO ENUNCIADO. Na minha opinião, esse gabarito está errado. Você conhece a origem dessa questão? Um abraço, João Luís. . - Original Message - From: Gustavo Duarte To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 28, 2008 12:01 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. Valeu João !!! pensei assim: 1980 = C (0) =4,4 ; 1981 = C(1) =4,5 : 1982 = C (2) = 4,6 ; . ; 1999 = c (19) = 6,3 ; 2000 = C ( 20) = 6,4. fiz até 2000, pois ele fala no final de 1999. favor observar no final deste e-mail a fórmula que usei. Até mais - Original Message - From: João Luís To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 28, 2008 1:16 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. Veja Gustavo, na verdade eu não resolvi o problema, apenas disse que essa PA deve ter 20 termos, pois são 20 anos, concorda? 1980 (inclusive) a 1999 (inclusive). De onde você tirou que an = 6,4? Não entendi. DEsculpe-me se estou deixando passar algo óbvio, pois estou analisando as coisas meio na pressa aqui. Mais tarde, olho pro problema com toda a calma do mundo e posto uma mensagem aqui, ok? Um abraço a todos, João Luís. - Original Message - From: Gustavo Duarte To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 28, 2008 10:11 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. João, desculpe eu não ter entendido,para mim ainda não ficou claro... essa PA tem 20 termos é isso ?, qual seria o primeiro e qual seraia o último, usando na fórmula dá certo ?? onde estou errando ? pensei assim...se a1 = 4,4 , a razão é 0,1 e an = 6,4 , n = ?? não seria 21 ? porém por outro lado vc tem razão ,do início de 1980 ate o final de 1999 realmente são 20 anos, O GABARITO TÀ CERTO È 108 MESMO ?? desde ja agradeço pela atenção !! - Original Message - From: João Luís To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 28, 2008 7:30 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. De 1980 a 1999, são realmente 20 termos: 1999 - 1979 = 20. E porque - 1979? Porque, como o 1980 está incluido nas condições do problema, não deve ser subtraído. Um abraço a todos, João Luís. - Original Message - From: Gustavo Duarte To: Olimpíada Sent: Monday, October 27, 2008 10:59 PM Subject: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. O número em trilhões de cigarros vendiddos, anualmente, é dado pela função C(t) = 0,1t + 4,4 , com t=0 correspondendo a 1980 ( contado a partir do início de 1980). Qual o número em trilhões de cigarros vendidos desde o início de 1980 até o final de 1999 ? a) 109 b) 108 c) 107 d) 106 e) 105 O Gabarito dado é B) 108, fiz e cheguei ao resultado assim , soma de PA, [ ( 4,4 + 6,4)20 ] / 2 = 108, porém depois fazendo uma segunda análise discordei , pois essa PA não tem 20 termos e sim 21, porém o período dado é de 20 anos, e aí ... alguém pode me ajudar na interpretação dessa questão ??? desde já agradeço. __ NOD32 3562 (20081028) Information __ This message was checked by NOD32 antivirus system. http://www.eset.com __ NOD32 3562 (20081028) Information __ This message was checked by NOD32 antivirus system. http://www.eset.com __ NOD32 3563 (20081028) Information __ This message was checked by NOD32 antivirus system. http://www.eset.com
Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau.
Eu tambem nao gosto muito da redacao do problema -- o que exatamente eh C(t)? Como o enunciado diz que C(t) eh o numero de cigarros vendidos anualmente, minha interpretacao foi a mesma de voces: C(0) seria o numero de cigarros vendidos em 1980, C(1) o numero em 1981, etc. Entao a resposta seria 107 trilhoes mesmo. Mas algo me chamou a atencao: por que eles estao dizendo tao claramente que t eh medido desde o *INICIO* de 1980? Afinal, com a nossa interpretacao, t soh faz sentido se for inteiro, e representa o total de cigarros no ano, entao t eh simplesmente medido em anos desde 1980... Cada ano seria um bloco indivisivel, entao nao faria sentido tentar falar de inicio, meio ou fim de um ano... Entao acho que o que eles queriam eh o seguinte: que C(t) seja a TAXA DE VENDAS DE CIGARROS, em trilhoes de cigarros POR ANO, NO INSTANTE t (que eh quase a mesma coisa que numero de cigarros vendidos anualmente no instante t, mas acho que a palavra TAXA eh essencial; e sim, faz sentido falar em taxa por ano num instante, o por ano eh soh a unidade de t). Agora faria sentido tomar t sendo um numero nao inteiro! Se C(t) fosse isso, a resposta seria: Integral (t variando de 0 a 20) C(t) dt = Int (0 a 20) 0,1t+4,4 dt = 0,1.t^2/2+4,4t (t de 0 a 20) = 20 + 88 = 108 trilhoes de cigarros. Veja bem, eu discordo desta segunda interpretacao -- repito, esta interpretacao poe C(t) como TAXA de vendas em cigarros/ano, nao como NUMERO de cigarros (que eh o que eles escrevem explicitamente no enunciado). Pessoalmente, se era isso que eles queriam, acho que o enunciado nao estah claro o suficiente... Abraco, Ralph 2008/10/28 João Luís [EMAIL PROTECTED] Isso. Mas o 2000 não conta, né? é do início de 1980 até o final de 1999, então o ano 2000 tá fora. Na minha opinião, esse problema deve ser resolvido assim: C(0) = 0,1*0 + 4,4 (trilhões de cigarros vendidos em 1980) C(1) = 0,1*1 + 4,4 (trilhões de cigarros vendidos em 1981) C(2) = 0,1*2 + 4,4 (trilhões de cigarros vendidos em 1982) . . . C(19) = 0,1*19 + 4,4 (trilhões de cigarros vendidos em 1999) Observe que essa soma será então 0,1*(0+1+2+ ... +18+19) + 20*4,4 = 0,1*190 + 88 = 107 trilhões de cigarros. É ISSO O QUE ESTÁ SENDO PEDIDO NO ENUNCIADO. Na minha opinião, esse gabarito está errado. Você conhece a origem dessa questão? Um abraço, João Luís. . - Original Message - *From:* Gustavo Duarte [EMAIL PROTECTED] *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Tuesday, October 28, 2008 12:01 PM *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. Valeu João !!! pensei assim: *1980* = C (0) =4,4 ; *1981* = C(1) =4,5 : *1982* = C (2) = 4,6 ; . ; *1999 *= c (19) = 6,3 ; *2000* = C ( 20) = 6,4. fiz até 2000, pois ele fala no* final* de 1999. favor observar no final deste e-mail a fórmula que usei. Até mais - Original Message - *From:* João Luís [EMAIL PROTECTED] *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Tuesday, October 28, 2008 1:16 PM *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. Veja Gustavo, na verdade eu não resolvi o problema, apenas disse que essa PA deve ter 20 termos, pois são 20 anos, concorda? 1980 (inclusive) a 1999 (inclusive). De onde você tirou que an = 6,4? Não entendi. DEsculpe-me se estou deixando passar algo óbvio, pois estou analisando as coisas meio na pressa aqui. Mais tarde, olho pro problema com toda a calma do mundo e posto uma mensagem aqui, ok? Um abraço a todos, João Luís. - Original Message - *From:* Gustavo Duarte [EMAIL PROTECTED] *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Tuesday, October 28, 2008 10:11 AM *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. João, desculpe eu não ter entendido,para mim ainda não ficou claro... essa PA tem 20 termos é isso ?, qual seria o primeiro e qual seraia o último, usando na fórmula dá certo ?? onde estou errando ? pensei assim...se a1 = 4,4 , a razão é 0,1 e an = 6,4 , n = ?? não seria 21 ? porém por outro lado vc tem razão ,do início de 1980 ate o final de 1999 realmente são 20 anos, O GABARITO TÀ CERTO È 108 MESMO ?? desde ja agradeço pela atenção !! - Original Message - *From:* João Luís [EMAIL PROTECTED] *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Tuesday, October 28, 2008 7:30 AM *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] PA com Função do 1 º grau. De 1980 a 1999, são realmente 20 termos: 1999 - 1979 = 20. E porque - 1979? Porque, como o 1980 está incluido nas condições do problema, não deve ser subtraído. Um abraço a todos, João Luís. - Original Message - *From:* Gustavo Duarte [EMAIL PROTECTED] *To:* Olimpíada obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Monday, October 27, 2008 10:59 PM *Subject:* [obm-l] PA com Função do 1 º grau. O número em trilhões de cigarros vendiddos, anualmente, é dado pela função C(t) = 0,1t + 4,4 , com t=0 correspondendo a 1980 ( contado a partir *do início de* 1980). Qual o número
[obm-l] PA com Função do 1 º grau.
O número em trilhões de cigarros vendiddos, anualmente, é dado pela função C(t) = 0,1t + 4,4 , com t=0 correspondendo a 1980 ( contado a partir do início de 1980). Qual o número em trilhões de cigarros vendidos desde o início de 1980 até o final de 1999 ? a) 109 b) 108 c) 107 d) 106 e) 105 O Gabarito dado é B) 108, fiz e cheguei ao resultado assim , soma de PA, [ ( 4,4 + 6,4)20 ] / 2 = 108, porém depois fazendo uma segunda análise discordei , pois essa PA não tem 20 termos e sim 21, porém o período dado é de 20 anos, e aí ... alguém pode me ajudar na interpretação dessa questão ??? desde já agradeço.
Re: [obm-l] PA
Olá Vidal, olá amigos da lista, como o enunciado do problema não especifica se a23-a32 = 7 ou se a32-a23 = 7, acho que a resposta mais completa seria: - Se a PA é crescente, então a23 = 17 e a32 = 24; - Se a PA é decrescente, então a23 = 24 e a32 = 17 Veja se concorda. É uma boa questão. Não me parece que consta dos livros conhecidos atuais, ou estou enganado? Abraços, Palmerim Em 23/05/08, *Vidal [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caro Thelio, S54 = (a1+a54)*54/2 = 1107 Logo, a1+a54 = 41 Mas, numa PA: A soma de termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos. Assim, a1+a54 = a2 +a53 = a3+a52 = ... = a23+a32 = ... (observe que a soma dos índices é sempre n+1=55, onde n é o número de termos da PA) Logo, a23+a32 = 41 Como a23-a32 = 7 (do enunciado), a23 = 24 a32 = 17 Espero ter ajudado. Abraços, Vidal. :: [EMAIL PROTECTED] On Fri, May 23, 2008 at 4:37 PM, Thelio Gama [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde, professores, Não consegui resolver esta PA: *A soma dos 54 termos de uma PA é 1107. Determine o valor dos termos a23 e a32 sabendo que a diferença entre eles é igual a 7.* Agradeço a ajuda, Thelio
[obm-l] PA
Boa tarde, professores, Não consegui resolver esta PA: *A soma dos 54 termos de uma PA é 1107. Determine o valor dos termos a23 e a32 sabendo que a diferença entre eles é igual a 7.* Agradeço a ajuda, Thelio
Re: [obm-l] PA
A PA é igual a : a0, a1, a2, a53 invertendo a ordem a53, a52, a51a0 somando os termos a0, a1, a2, a53 a53, a52, a51a0 = a0+a53= a1+a52 = a2+a51 Temos portanto 54 termos (a0+a53). Para chegar à soma total, precisando dividir por 2 por contamos duas vezes. Somatório = 54 (a0+a53)/2 = 27 (a0+a53) = 1107 a0 + a53 = 1107/54 Acontece que a53 = a0 + 53 n n é a razão da PA a0 + a0 + 53 n = 1107/54 2 a0 + 53 n = 1107/54 (Equação 1) a23 = a0 + 23 n a32 = a0 + 32 n a32 - a23 = 9 n = 7 n = 7/9 (Equação 2) 2ao + 53 (7/9) = 1107/54 2ao = 1107/54- 53*7/9 Multiplicando tudo por 6 12 ao = 1107 * 6/54 - 53*7*6/9 12 ao = 1107/9 - 2226/9 12 ao = -1119 ao = -1119/12 a23 = -1119/12 + 23 (7/9) a32 = -1119/12 + 32 (7/9) Seria isso? 2008/5/23 Thelio Gama [EMAIL PROTECTED]: Boa tarde, professores, Não consegui resolver esta PA: *A soma dos 54 termos de uma PA é 1107. Determine o valor dos termos a23 e a32 sabendo que a diferença entre eles é igual a 7.* Agradeço a ajuda, Thelio
RE: [obm-l] PA
vamos lá, primeiro sabemos q a soma da PA é 1107 então 1107= (a1 + a54)27/2 então 41 = a1+ a54 (1) também sabemos que a32 - a23 = 7 e a1+ 31r - a1 + 22r= 7 e 9r= 7 então r= 7/9 pelo termio geral da PG temos que a54=a1+ 53r logo a54= a1+ 477/9 (2) de 2 em 1 vem que: 41 = a1 + (a1 + 477/9) daí vem que a1= -6 logo a23 = a1+ 22r = -6 + 22 . 7/9= 100/9 e a32= a1 + 31r = -6 + 31 . 7/9 = 163/9 espero ter ajudado. Date: Fri, 23 May 2008 16:37:16 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] PA Boa tarde, professores, Não consegui resolver esta PA: A soma dos 54 termos de uma PA é 1107. Determine o valor dos termos a23 e a32 sabendo que a diferença entre eles é igual a 7. Agradeço a ajuda, Thelio _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
Re: [obm-l] PA
Vou começar a PA com o termo a1, cuja razão é r. Então, a23=a1+22r a32=a1+31r, e com isso temos que 7=a23-a32=22r-31r=-9r e portanto r=-7/9. Agora vou supor (não está muito claro no enunciado!) que a soma dos primeiros 54 termos desta PA é 1107. Neste caso 1107=S_54=[54/2](a1+a54)=27[2.a1+53.(-7/9)] = 41=2.a1+53.(-7/9) = 41-53.7/9 =2.a1 = -2/9 =2.a1 = a1=-1/9 Aí vc conclui. Espero não ter errado em contas. Inté, Citando Thelio Gama [EMAIL PROTECTED]: Boa tarde, professores, Não consegui resolver esta PA: *A soma dos 54 termos de uma PA é 1107. Determine o valor dos termos a23 e a32 sabendo que a diferença entre eles é igual a 7.* Agradeço a ajuda, Thelio -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] PA
Caro Thelio, S54 = (a1+a54)*54/2 = 1107 Logo, a1+a54 = 41 Mas, numa PA: A soma de termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos. Assim, a1+a54 = a2 +a53 = a3+a52 = ... = a23+a32 = ... (observe que a soma dos índices é sempre n+1=55, onde n é o número de termos da PA) Logo, a23+a32 = 41 Como a23-a32 = 7 (do enunciado), a23 = 24 a32 = 17 Espero ter ajudado. Abraços, Vidal. :: [EMAIL PROTECTED] On Fri, May 23, 2008 at 4:37 PM, Thelio Gama [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde, professores, Não consegui resolver esta PA: *A soma dos 54 termos de uma PA é 1107. Determine o valor dos termos a23 e a32 sabendo que a diferença entre eles é igual a 7.* Agradeço a ajuda, Thelio
RE: [obm-l] PA
Desculpe, Thelio, na diferença dos termos, eu me enganei na diferança. ao invés de a32-a23 devemos ter a23-a32 o q nos dá uma razão -7/9 e não 7/9 como pensei, o restante é só refazer os calculos com razão negativa, ou pensar como o nosso amigo que fez pela soma dos termos equidistantes q ficou bem mais fácil. vanessa nunes From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: RE: [obm-l] PADate: Fri, 23 May 2008 20:17:09 + vamos lá, primeiro sabemos q a soma da PA é 1107 então 1107= (a1 + a54)27/2 então 41 = a1+ a54 (1)também sabemos que a32 - a23 = 7 e a1+ 31r - a1 + 22r= 7 e 9r= 7 então r= 7/9 pelo termio geral da PG temos que a54=a1+ 53r logo a54= a1+ 477/9 (2) de 2 em 1 vem que: 41 = a1 + (a1 + 477/9) daí vem que a1= -6 logo a23 = a1+ 22r = -6 + 22 . 7/9= 100/9 e a32= a1 + 31r = -6 + 31 . 7/9 = 163/9 espero ter ajudado. Date: Fri, 23 May 2008 16:37:16 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] PA Boa tarde, professores, Não consegui resolver esta PA: A soma dos 54 termos de uma PA é 1107. Determine o valor dos termos a23 e a32 sabendo que a diferença entre eles é igual a 7. Agradeço a ajuda, Thelio Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
[obm-l] Ajuda em PA
Alguém sabe como resolver esse exercício da AFA?
Os números inteiros positivos são agrupados em partes disjuntas, da seguinte
maneira: {1}; {2,3}; {4,5,6}; {7,8,9,10}; {11,12,13,14,15};...Seja S a soma
dos elementos que compõe o 24º conjunto desta seqüência. Calcule S.
Re: [obm-l] Ajuda em PA
Se você fizer Soma = ((1+23)*23)/2 = 276 vai obter o último elemento da 23ª
parte. (Note que o último termo que uma parte é igual ao número de elementos
dela + o último inteiro positivo da parte anterior). Logo a 24ª parte
inicia-se no número 277 e tem 24 elementos, formando a seguinte soma de PA
de razão 1:
S = ((277+ 301)*24)/2 = 6936
Em 17/03/08, Marcus Aurélio [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Alguém sabe como resolver esse exercício da AFA?
Os números inteiros positivos são agrupados em partes disjuntas, da
seguinte maneira: {1}; {2,3}; {4,5,6}; {7,8,9,10}; {11,12,13,14,15};...Seja
S a soma dos elementos que compõe o 24º conjunto desta seqüência. Calcule S.
Re: [obm-l] PA
Marcus, a^2-b^2=(a+b)(a-b) assim você de dois em dois poderá reorganizar essa soma. Faça, se ainda não conseguir poste aqui. Abraços Cabri - Original Message - From: Marcus Aurélio To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 21, 2008 11:53 PM Subject: [obm-l] PA Como resolve este exercício, alguém poderia me ajudar? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 +...+ 99^ - 100^2
[obm-l] PA
Como resolve este exercício, alguém poderia me ajudar? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 +...+ 99^ - 100^2
Re: [obm-l] PA
Ola Fazendo S =(1^2 - 2^2)+(3^2 - 4^2)+(5^2 - 6^2)+...+(99^2 - 100^2) e calculando os termos nos parenteses: S= -3 -7 -11 -15...-199 que é uma PA de 50 termos e razão -4. S=-5050 Abraços - Original Message - From: Marcus Aurélio To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 21, 2008 11:53 PM Subject: [obm-l] PA Como resolve este exercício, alguém poderia me ajudar? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 +...+ 99^ - 100^2
[obm-l] En:Re:[obm-l] Média (Faltou uma pa lavra)
-- Início da mensagem original --- De: Paulo Argolo [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Thu, 15 Nov 2007 10:30:20 -0200 Assunto: Re:[obm-l] Média Resolução: Seja x o número de alunos aprovados por média e seja 500-x o número restante de alunos aprovados. Gasto da escola: 10. 0,87x + 8,7.(500-x) Fazendo os cálculos: 8,7x + 4350 - 8,7x Portanto: O gasto da escola será de R$4.350,00. Paulo Argolo Rio de Janeiro, RJ P.S.: Na resolução encaminhada inicialmente, faltou a palavra aprovados: restante de alunos aprovados. -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Wed, 14 Nov 2007 21:41:43 -0200 Assunto: [obm-l] Média Alguém poderia resolver esta?? Uma escola resolveu conceder prêmios de R$10,00 a cada um de seus alunos aprovados por média e de R$8,70 a cada aluno simplesmente aprovado. No total,foram aprovados 500 alunos. 13% dos alunos aprovados por média recusaram o prêmio. Qual será o gasto da escola, em reais, com o pagamento dos prêmios? A) 4.200,00 B) 4.300,00 C) 4.350,00 D) 4.800,00 E) 4.500,00 Aline = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] (OFF) Nome de Alguns dos Grandes Professores do Pa
I João! Caramba !!! Passo a bola pro Nicolau, pois certamente ele poderá fornecer dicas de Instituições relacionadas à OBM que desenvolvem este tipo de trabalho sem interesse comercial... Sei que há uma série de atividades ligadas à olimpiadas, mas esperemos o Nicolau responder... l Grande abraço, Nehab At 16:21 3/8/2007, you wrote: Nehab, Ponce: Quais são todos professores residentes nos grandes centros que preparam jovens brasileiros para as Olimpíadas de Matemática, e que sejam também partícipes desta bela lista? Desejo-lhes fazer ousada e nobre solicitação. Fraternalmente, João = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PA - do Iezzi
Ola, Ap = Aq + (p-q)r a - b = (p-q)r r = (a-b)/(p-q) A(p+q) = Aq + pr = b + p(a-b)/(p-q) = [bp - bq + ap - bp]/(p-q) = (ap - bq)/(p-q) abracos, Salhab On 4/16/07, Emanuel Valente [EMAIL PROTECTED] wrote: Na PA em que Ap = a e Aq = b com p !=q, calcular o termo Ap+q. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PA - do Iezzi
Na PA em que Ap = a e Aq = b com p !=q, calcular o termo Ap+q. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PA - do Iezzi
a=a1+(p-1)r b=a1+(q-1)r A(p+q)=a1+(p+q-1)r=a+b-a1+r a-b=r(p-q) r=(a-b)/(p-q) a+b=2a1+r(p+q-2) a1=((a+b)(p-q)-(a-b)(p+q-2)/2(p-q) a1=(-2aq+2bp+2(a-b))/2(p-q) a1=(a(1-q)-b(1-p))/(p-q) On 4/16/07, Emanuel Valente [EMAIL PROTECTED] wrote: Na PA em que Ap = a e Aq = b com p !=q, calcular o termo Ap+q. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PA 3 ordem urgente
Determine o termo geral da sequencia {3, 0, 5, 34, 135, 452...,} e calcule
a soma desses termos?
Obrigados a todos
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] ajuda PA
Olá amigos! Preciso de ajuda no seguinte exercício: Nos itens abaixo, Sn indica a soma dos n primeiros termos de uma P. A., para qualquer n E N* a)Se Sn= 3n² + 4n, por qual número a P.A. começa? b)SE Sn = -2n² - 5n, qual a razão da P.A.? c)Qual o terceiro termo da P.A. do item b? Muito obrigado Mário.
Re: [obm-l] ajuda PA
Olá.. a) considere a(n) como sendo o n-ésimo termo, então: a(1)=S(1)=3.1²+4.1=7 b) a(1)=S(1)=-2.1²-5.1=-7 a(2)=S(2)-S(1)=[-2.2²-5.2]-(-7)=-11 Sendo r a razão, temos: r=a(2)-a(1)=-11-(-7)=-11+7=-4 c) sendo a(n)=a(1)+(n-1)r, temos: a(3)=-7+2.(-4) = a(3)=-15 Ou tambem, da questão b, temos a(2)=-11 e r=-4, e sabendo que a(3)=a(2)+r, temos: a(3)=-11-4=-15 Abraços! João Júnior. On 1/29/07, Mário Pereira [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá amigos! Preciso de ajuda no seguinte exercício: Nos itens abaixo, Sn indica a soma dos n primeiros termos de uma P. A., para qualquer n E N* a)Se Sn= 3n² + 4n, por qual número a P.A. começa? b)SE Sn = -2n² - 5n, qual a razão da P.A.? c)Qual o terceiro termo da P.A. do item b? Muito obrigado Mário.
[obm-l] Re: [obm-l]Fw: Olímpica de PA
A soma dos termos da PA é 140 + 161 = 301. A soma de termos equidistantes dos extremos eh igaula aa soma dos extremos.Sendo a_1 e a_n os termos inicial e final, temos a_1 + a_n = 43. A soma dos termos e S = (a_1 +a_n)*n/2 = 301 = 43*n/2 = n= 18. Acho que isso nao e olimpico nao Artur - Original Message From: Gustavo Duarte [EMAIL PROTECTED]To: obm-l@mat.puc-rio.brSent: Saturday, October 7, 2006 1:36:16 PMSubject: [obm-l]Fw: Olímpica de PA Agreadeço desde ja se alguém puder alguma ajuda Em uma certa PA a soma dos termos de ordem IMPAR é 140, a soma dos termos de ordem PAR é 161,e a soma de dois termos equidistantes dos extremos é 43. Qual o numero de termos desa PA ? SOL. 14
[obm-l] Fw: Olímpica de PA
Agreadeço desde ja se alguém puder alguma ajuda Em uma certa PA a soma dos termos de ordem IMPAR é 140, a soma dos termos de ordem PAR é 161,e a soma de dois termos equidistantes dos extremos é 43. Qual o numero de termos desa PA ? SOL. 14
[obm-l] Res: [obm-l]Fw: Olímpica de PA
Oi Gustavo. Eu fiz o seguinte: Escreva a2 + a4 + a6 +...+ a(n) = 161 (I) e a1 + a3+ a5++ a(n - 1) = 140 ( II), agora some ( I) com ( II), e note que 301 = (a1 + a(n))n/2 e que a soma dos termos equidistantes dos extremos é exatamente igual a a1 + a(n) , ou seja, 301 = 43.n/2, o que dá n = 14. Abs - Mensagem original De: Gustavo Duarte [EMAIL PROTECTED]Para: obm-l@mat.puc-rio.brEnviadas: Sábado, 7 de Outubro de 2006 8:36:16Assunto: [obm-l]Fw: Olímpica de PA Agreadeço desde ja se alguém puder alguma ajuda Em uma certa PA a soma dos termos de ordem IMPAR é 140, a soma dos termos de ordem PAR é 161,e a soma de dois termos equidistantes dos extremos é 43. Qual o numero de termos desa PA ? SOL. 14 Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Fw: Olímpica de PA
Olá Gustavo, a soma de todos os termos da PA equivale a soma dos termos de ordem ímpar com os termos de ordem par. Sn = ( A1 + An )*n / 2 logo, Sn = 301 como a soma de dois termos equidistantes dos extremos é 43 então (A1 + An) = 43 substituindo encontramos n = 14. Abraços CleberGustavo Duarte [EMAIL PROTECTED] escreveu:Agreadeço desde ja se alguém puder alguma ajuda Em uma certa PA a soma dos termos de ordem IMPAR é 140, a soma dos termos de ordem PAR é 161,e a soma de dois termos equidistantes dos extremos é 43. Qual o numero de termos desa PA ? SOL. 14 Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
[obm-l] log PA
Por gentileza, usei log(base)(logaritmando)
demonstrar que se os números log(k)(x), log(m)(x), log(n)(x), x diferente de 1, formam uma PA, então:
n^2 = (kn)^{log(k)(m)}
Obrigado mais uma vez!
Re: [obm-l] log PA
Esta questão tem no lidski,mas caso vc não o possua tem uma solução dela no site majorando(www.majorando.com/ prova IME 2004/2005),blz espero ter te ajudado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] log PA
Se forma uma PA então vale a propriedade dos extremoslog(k)[X] + log(n)[X] =2*log(m)[X]Vale também log (a)[b] = 1/log(b)[a], então
1/log(x)[k] + 1/log(x)[n] = 2/log(x)[m]{log(x)[n] + log(x)[k]}/log(x)[k]*log(x)[n] = 2/log(x)[m]Sabemos que log(x)[n] + log(x)[k} = log(c)[nk]
2*log(x)[N] = log(x)[KN]*log(x)[M]/log(x)[K]Ainda 2*log(x)[n] = log(x)[n²] e log(x)[M]/log(x)[K] = log(k)[M]
log(x)[N²] = log(x)[KN]*log(k)[M]log(x)[N²] = log(x)[KN^{log(k)[M]}]Entãox^log(x)[KN^{log(k)[M]}] = N²
N² = KN^(log(k)[M])Q.E.DAcho que essa é a prova, tentei fazer o mais detalhado possível.Em 29/08/06, ilhadepaqueta
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Por gentileza, usei log(base)(logaritmando)
demonstrar que se os números log(k)(x), log(m)(x), log(n)(x), x diferente de 1, formam uma PA, então:
n^2 = (kn)^{log(k)(m)}
Obrigado mais uma vez!
-- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Pa rábola e elipse
On Thu, May 11, 2006 at 03:22:33PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: Considere a única elipse de focos (0,1) e (0,c), c 1, passando pela origem (0,0). Quando você fizer c tender para +infinito a elipse se aproximará da parábola y = x^2/4 (que tem foco (0,1) e passa pela origem). Mas nao eh verdade que uma elipse eh uma curva limitada, ao passo que uma parabola eh sempre ilimitada? Sim, mas a elipse tem quatro vértices: (0,0), (0,1+c) pelo eixo maior e (+-sqrt(c),(1+c)/2) pelo eixo menor. A semielipse de baixo é um arco que começa em (-sqrt(c),(1+c)/2) passa por (0,0) e acaba em (sqrt(c),(1+c)/2). Quando c tende ao infinito este arco vai aumentando e vai se aproximando da parábola, ou, se você preferir, vai se aproximando de trechos cada vez mais longos da parábola. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia de números -PA e PG
Impossivel. Se uma seq. eh simultaneamente uma PA e uma PG, entao a seq. eh constante. Artur --- [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Qual a condição para que uma sequência não constante seja PA e PG ao mesmo tempo? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Sequencia de números -PA e PG
Qual a condição para que uma sequência não constante seja PA e PG ao mesmo tempo? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PG e PA
Quatro numeros sao tais que os tres primeiros formam uma P.A. de razao 6, os tres Multimos uma P.G. e o primeiro numero é igual ao quarto. Determine-os. Obrigada amigos.
Re: [obm-l] PG e PA
Olá, 4 numeros (a, b, c, d) Como os 3 primeiros formam uma PA de razao 6, temos: (a, a+6, a+12, d) o primeiro é igual ao 4, logo: (a, a+6, a+12, a) os 3 ultimos uma PG, logo: (a+12)^2 = a(a+6) a^2 + 24x + 144 = a^2 + 6a 18a = -144 a = -8 logo, os 4 numeros sao: (-8, -2, 4, -8) abraços, Salhab - Original Message - From: marcia.c [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 31, 2006 10:32 PM Subject: [obm-l] PG e PA Quatro numeros sao tais que os tres primeiros formam uma P.A. de razao 6, os tres Multimos uma P.G. e o primeiro numero é igual ao quarto. Determine-os. Obrigada amigos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] PG e PA
Marcia, Vamos ver: PA(x, x+6, x+12), PG(x+6, x+12, x) A razão da PG é: (x+12)/(x+6)=x/(x+12), de onde achamos x=-8. A seqüencia portanto seria: (x, x+6, x+12, x)=(-8, -2, 4, -8) onde r=6 PA(-8, -2, -4) e q=-2 PG(-2, 4, -8) Espero que ainda lembre direito essas coisas... Grato, Rafael Bonifácio IF-USP From: marcia.c [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] PG e PA Date: Fri, 31 Mar 2006 22:32:32 -0300 Quatro numeros sao tais que os tres primeiros formam uma P.A. de razao 6, os tres Multimos uma P.G. e o primeiro numero é igual ao quarto. Determine-os. Obrigada amigos. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PG e PA
Sejam os nmeros a1, a2, a3 e a4. Sabe-se, pelo enunciado, que a1, a2 e a3 esto em PA, de forma que a2=a1+6 e a3=a1+12 Sabe-se, tambm, que a2, a3 e a4 esto em PG, de forma que a2=b1, a3=b1.q e a4=b1.q^2 E, por ltimo, a1=a4, logo: a1=b1.q^2 (1) a2=a1+6=b1 = b1.q^2+6=b1 (2) a3=a1+12=b1.q = b1.q^2+12=b1.q (3) Subtraindo-se (3) de (2): 6=b1(q-1). q1 = b1=6/(q-1) (4) Substituindo-se (4) em (1): q^2+q-2=0 = q=-2 ou q=1, mas q1 = q=-2 (5) De (5) em (4): b1=-2 (6) De (6) em (1): a1=-8 Confira se funcionou fazendo (6) em (2). ok. Desta forma a sequncia : a1=-8 a2=-2 a3=4 a4=-8 marcia.c wrote: Quatro numeros sao tais que os tres primeiros formam uma P.A. de razao 6, os tres Multimos uma P.G. e o primeiro numero igual ao quarto. Determine-os. Obrigada amigos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PA e primos
Vi uma questão esses dias, e fiquei curioso.Em uma PA infinita, com termo inicial a1 natural e razão r natural e diferente de zero. Prove que esta PA não pode ser composta apenas por numeros primos.Consegui provar, mas fiquei um tempão pensando: em qual termo exatamente acontece a primeira ocorrencia de um numero nao primo, em função de r e a1? Isso é uma questao razoavel ou vai ter q desenvolver mta coisa pra chegar no resultado? Iuri
RE: [obm-l] PA e primos
O limite superior e provavelmente o da sua prova. a_(a1+1) = a1 + a1 * r = a1 * ( r + 1 ) e nao primo Mas esse e o pior caso possivel. Seja p um primo tal que r = 1 mod p Entao o primeiro termo composto sera a1 + n * r onde n = p - [a1 mod p] foi o que me veio a cabeca ate agora From: Iuri [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] PA e primos Date: Wed, 29 Mar 2006 10:24:50 -0300 Vi uma questão esses dias, e fiquei curioso. Em uma PA infinita, com termo inicial a1 natural e razão r natural e diferente de zero. Prove que esta PA não pode ser composta apenas por numeros primos. Consegui provar, mas fiquei um tempão pensando: em qual termo exatamente acontece a primeira ocorrencia de um numero nao primo, em função de r e a1? Isso é uma questao razoavel ou vai ter q desenvolver mta coisa pra chegar no resultado? Iuri = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] PA e primos
eu acho que quando se considerar r=1modp voçe particulariza e se r for impar(p diferente de 2).Tem que ser posto um caso mais geral no qual para qualquer r o termo procurado será composto.E a primeira aparição será a_(a1+1) mesmo.Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] escreveu: O limite superior e provavelmente o da sua prova.a_(a1+1) = a1 + a1 * r = a1 * ( r + 1 ) e nao primoMas esse e o pior caso possivel. Seja p um primo tal que r = 1 mod pEntao o primeiro termo composto sera a1 + n * r onde n = p - [a1 mod p]foi o que me veio a cabeca ate agoraFrom: Iuri Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] PA e primosDate: Wed, 29 Mar 2006 10:24:50 -0300Vi uma questão esses dias, e ! fiquei curioso.Em uma PA infinita, com termo inicial a1 natural e razão r natural ediferente de zero. Prove que esta PA não pode ser composta apenas pornumeros primos.Consegui provar, mas fiquei um tempão pensando: em qual termo exatamenteacontece a primeira ocorrencia de um numero nao primo, em função de r e a1?Isso é uma questao razoavel ou vai ter q desenvolver mta coisa pra chegar noresultado?Iuri=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Search Imposto de Renda 2006: o prazo está acabando. Faça já a sua declaração no site da Receita Federal.
[obm-l] PA confuso
UFPE- Um professor resolveu presentear seus cinco melhores alunos com livros de valores equivalentes a quantias diferentes. Os valores dos livros recebidos pelos alunos devem estar em progressão aritmética e a soma dos três maiores deve ser cinco vezes o total recebido pelos outros dois. Se cada um deve receber um livro de valor equivalente a uma quantidade inteira de reais, qual a menor quantia (positiva) que o professor vai desembolsar na compra dos livros? Copa 2006: Sabe como se diz pênalti em alemão? Clique aqui: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Domínio função (pa rte II)
sei que alguns funcionam e outos não esse é o problema por exemplo no winplot ou mathematica e outros... A minha dúvida está em relação as definiçoes esse é o problema []'s - Original Message - From: lopes To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, August 22, 2005 2:24 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Domínio função (parte II) Eu testei no excel e ele plotou... - Original Message - From: Danilo Nascimento To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, August 21, 2005 12:58 AM Subject: Re: [obm-l] Domínio função (parte II) eu acho q o programa q esta sendo utilizado esta ruim. Porque testei no GraphMat. E tah OkTio Cabri st [EMAIL PROTECTED] escreveu: Perguntei qual é o domínio da função y = x^(1/3). Sendo o Universo os números reais, dois colegas responderam (e agradeço pelas respostas) que é o proprio conjunto dos reais. Então porque meus computadores se recusam a esboçar a função no intervalo ]-infinito,0[? []'s Hermann Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: RES: [obm-l] PA e primos
O nome e Teorema de Dirichlet( ou dos Primos de Dirichlet). Para o caso a=1, tem um post no Mathlinks sobre isso. E so usar o engenho de busca com alguma coisa escrito Dirichlet's Theorem. --- Bernardo Freitas Paulo da Costa [EMAIL PROTECTED] escreveu: Eu acho que ele queria o Teorema dos Numeros Primos (é esse o nome?) que deve dizer Se a e r são primos entre si, então a PA de termo inicial a e razão r contém infinitos numeros primos, e do que eu lembro, este teorema não é nem um pouco trivial. Mesmo para o caso a = 1 ele é dificil (se eu não me engano) Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 6/24/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Isto eh falso (supondo-se uma PA em que os termos sao numeros inteiros). Considere, por exemplo, a PA dos numeros pares, a_n = 2*n, n=1,2,3..Nao eh constante e o unico termo primo eh 2. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Felipe Takiyama Enviada em: sexta-feira, 24 de junho de 2005 14:40 Para: OBM-lista Assunto: [obm-l] PA e primos Como provar que em uma PA não constante existem infinitos números primos?(parece ser uma demonstração muito simples, embora eu não saiba nem como começar...). Obrigado, Felipe ___ Que tal uma lupa para entender as ofertas que a concorrência faz para ligações DDD/DDI e acesso à Internet? Use a lupa da Embratel e descubra! www.falaserio21.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PA e primos
Como provar que em uma PA não constante existem infinitos números primos?(parece ser uma demonstração muito simples, embora eu não saiba nem como começar...). Obrigado, Felipe ___ Que tal uma lupa para entender as ofertas que a concorrência faz para ligações DDD/DDI e acesso à Internet? Use a lupa da Embratel e descubra! www.falaserio21.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] PA e primos
Isto eh falso (supondo-se uma PA em que os termos sao numeros inteiros). Considere, por exemplo, a PA dos numeros pares, a_n = 2*n, n=1,2,3..Nao eh constante e o unico termo primo eh 2. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Felipe Takiyama Enviada em: sexta-feira, 24 de junho de 2005 14:40 Para: OBM-lista Assunto: [obm-l] PA e primos Como provar que em uma PA não constante existem infinitos números primos?(parece ser uma demonstração muito simples, embora eu não saiba nem como começar...). Obrigado, Felipe ___ Que tal uma lupa para entender as ofertas que a concorrência faz para ligações DDD/DDI e acesso à Internet? Use a lupa da Embratel e descubra! www.falaserio21.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] PA e primos
Eu acho que ele queria o Teorema dos Numeros Primos (é esse o nome?) que deve dizer Se a e r são primos entre si, então a PA de termo inicial a e razão r contém infinitos numeros primos, e do que eu lembro, este teorema não é nem um pouco trivial. Mesmo para o caso a = 1 ele é dificil (se eu não me engano) Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 6/24/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Isto eh falso (supondo-se uma PA em que os termos sao numeros inteiros). Considere, por exemplo, a PA dos numeros pares, a_n = 2*n, n=1,2,3..Nao eh constante e o unico termo primo eh 2. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Felipe Takiyama Enviada em: sexta-feira, 24 de junho de 2005 14:40 Para: OBM-lista Assunto: [obm-l] PA e primos Como provar que em uma PA não constante existem infinitos números primos?(parece ser uma demonstração muito simples, embora eu não saiba nem como começar...). Obrigado, Felipe ___ Que tal uma lupa para entender as ofertas que a concorrência faz para ligações DDD/DDI e acesso à Internet? Use a lupa da Embratel e descubra! www.falaserio21.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] PA e PG
Ola, o problema e que eu nao consigo ler depois de produto de e nem a expresssao final From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] PA e PG Date: Mon, 11 Apr 2005 11:09:05 -0300 (ART) Oi Saulo Eh 2^25 em vez de 225, 2^5 em vez de 25 e q^2 em vez de q2. Dica:alternativa e). []s Wilner --- saulo bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: 01.Determine os possíveis valores reais a e b para que os números a , ab e 2a , nessa ordem, formem uma progressão geométrica. ab=q*a 2a=ab*q dividindo b/2=1/b b=raiz2 b=q=raiz2 qualquer valor de a 02 Seja (a1, a2, , an) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q 0. O produto de do seus termos é igual a 225 e o termo do meio é 25. Se a soma dos (n - 1) primeiros termos é igual a 2(1 + q) (1 + q2), então: a) a1 + q = 16 b) a1 + q = 12 c) a1 + q = 10 d) a1 + q + n = 20 e) a1 + q + n = 11 nao consegui ler a questao 2 no meu hotmail um abraço, saulo. From: matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] PA e PG Date: Sun, 10 Apr 2005 21:31:05 -0300 01.fz 01.Determine os possíveis valores reais a e b para que os números a , ab e 2a , nessa ordem, formem uma progressão geométrica. 02 Seja (a1, a2, , an) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q 0. O produto de do seus termos é igual a 225 e o termo do meio é 25. Se a soma dos (n - 1) primeiros termos é igual a 2(1 + q) (1 + q2), então: a) a1 + q = 16 b) a1 + q = 12 c) a1 + q = 10 d) a1 + q + n = 20 e) a1 + q + n = 11 __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] PA e PG
Olah Eu interpretei como sendo o produto de seus termos eh igual a 2^25 e 2(1+q)(1+q^2) . matduvidas48 pode confirmar? A proposito, como vc. consegue colocar na lista aquela fonte, e com os expoentes? Eh Latex? Como? Obrigado. Wilner --Z- saulo bastos [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola, o problema e que eu nao consigo ler depois de produto de e nem a expresssao final From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] PA e PG Date: Mon, 11 Apr 2005 11:09:05 -0300 (ART) Oi Saulo Eh 2^25 em vez de 225, 2^5 em vez de 25 e q^2 em vez de q2. Dica:alternativa e). []s Wilner __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] PA e PG
02 Seja (a1, a2, , an) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q 0. O produto den dos seus termos é igual a 2^25 e o termo do meio é 2^5. Se a soma dos (n - 1) primeiros termos é igual a 2(1 + q)*(1 + q^2), então: a) a1 + q = 16 b) a1 + q = 12 c) a1 + q = 10 d) a1 + q + n = 20 e) a1 + q + n = 11 o produto de uma Pg e dadio por Pn=(a1*an)^n/2=2^25(1) termo do meio ak=a1*q^(((n+1)/2)-1)=2^5 =a1*q^(n-1)/2=2^5 a1^2*q^(n-1)=2^10 (2) do produto da PG, equação 1 (a1*a1*q^(n-1))^n/2=2^25 ((a1^2)*q^(n-1))^n/2=2^25 substituindo-se a equação 2 2^5n=2^25 logo n=5 soma dos n-1 primeiros termos 2(1 + q)*(1 + q^2)=a1*(q^(n-1) - 1)/(q-1) rearranjando-se os termos 2(q^2 -1 )(1+q^2)=a1*(q^4 -1) a1=2 da equação 2 (a1^2)*q^(n-1)=2^10 2^2*q^4=2^10 q^4=2^8 q=4 logo a1+q+n=2+4+5=11 Um abraço, saulo. From: saulo bastos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] PA e PG Date: Tue, 12 Apr 2005 18:32:42 + Ola, o problema e que eu nao consigo ler depois de produto de e nem a expresssao final From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] PA e PG Date: Mon, 11 Apr 2005 11:09:05 -0300 (ART) Oi Saulo Eh 2^25 em vez de 225, 2^5 em vez de 25 e q^2 em vez de q2. Dica:alternativa e). []s Wilner --- saulo bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: 01.Determine os possíveis valores reais a e b para que os números a , ab e 2a , nessa ordem, formem uma progressão geométrica. ab=q*a 2a=ab*q dividindo b/2=1/b b=raiz2 b=q=raiz2 qualquer valor de a 02 Seja (a1, a2, , an) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q 0. O produto de do seus termos é igual a 225 e o termo do meio é 25. Se a soma dos (n - 1) primeiros termos é igual a 2(1 + q) (1 + q2), então: a) a1 + q = 16 b) a1 + q = 12 c) a1 + q = 10 d) a1 + q + n = 20 e) a1 + q + n = 11 nao consegui ler a questao 2 no meu hotmail um abraço, saulo. From: matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] PA e PG Date: Sun, 10 Apr 2005 21:31:05 -0300 01.fz 01.Determine os possíveis valores reais a e b para que os números a , ab e 2a , nessa ordem, formem uma progressão geométrica. 02 Seja (a1, a2, , an) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q 0. O produto de do seus termos é igual a 225 e o termo do meio é 25. Se a soma dos (n - 1) primeiros termos é igual a 2(1 + q) (1 + q2), então: a) a1 + q = 16 b) a1 + q = 12 c) a1 + q = 10 d) a1 + q + n = 20 e) a1 + q + n = 11 __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] PA e PG
nao, e escrevendo todas as equações no teclado mesmo. From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] PA e PG Date: Tue, 12 Apr 2005 17:27:47 -0300 (ART) Olah Eu interpretei como sendo o produto de seus termos eh igual a 2^25 e 2(1+q)(1+q^2) . matduvidas48 pode confirmar? A proposito, como vc. consegue colocar na lista aquela fonte, e com os expoentes? Eh Latex? Como? Obrigado. Wilner --Z- saulo bastos [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola, o problema e que eu nao consigo ler depois de produto de e nem a expresssao final From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] PA e PG Date: Mon, 11 Apr 2005 11:09:05 -0300 (ART) Oi Saulo Eh 2^25 em vez de 225, 2^5 em vez de 25 e q^2 em vez de q2. Dica:alternativa e). []s Wilner __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] PA e PG
Obrigado Saulo, mas a consulta sobre a digitacao foi para o matduvidas 48. []s Wilner --- saulo bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: nao, e escrevendo todas as equações no teclado mesmo. From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] PA e PG Date: Tue, 12 Apr 2005 17:27:47 -0300 (ART) Olah Eu interpretei como sendo o produto de seus termos eh igual a 2^25 e 2(1+q)(1+q^2) . matduvidas48 pode confirmar? A proposito, como vc. consegue colocar na lista aquela fonte, e com os expoentes? Eh Latex? Como? Obrigado. Wilner __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] PA e PG
Creio que ele usa todos os caracteres que estao alem dos 7 bits do ASCII (os famosos caracteres especiais). Eu quase nao consegui le-los, pois alguma coisa nao conseguia mostra-los corretamente. From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] PA e PG Date: Tue, 12 Apr 2005 17:27:47 -0300 (ART) Olah Eu interpretei como sendo o produto de seus termos eh igual a 2^25 e 2(1+q)(1+q^2) . matduvidas48 pode confirmar? A proposito, como vc. consegue colocar na lista aquela fonte, e com os expoentes? Eh Latex? Como? Obrigado. Wilner --Z- saulo bastos [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola, o problema e que eu nao consigo ler depois de produto de e nem a expresssao final From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] PA e PG Date: Mon, 11 Apr 2005 11:09:05 -0300 (ART) Oi Saulo Eh 2^25 em vez de 225, 2^5 em vez de 25 e q^2 em vez de q2. Dica:alternativa e). []s Wilner __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] PA e PG
Oi Saulo Eh 2^25 em vez de 225, 2^5 em vez de 25 e q^2 em vez de q2. Dica:alternativa e). []s Wilner --- saulo bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: 01.Determine os possíveis valores reais a e b para que os números a , ab e 2a , nessa ordem, formem uma progressão geométrica. ab=q*a 2a=ab*q dividindo b/2=1/b b=raiz2 b=q=raiz2 qualquer valor de a 02 Seja (a1, a2, , an) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q 0. O produto de do seus termos é igual a 225 e o termo do meio é 25. Se a soma dos (n - 1) primeiros termos é igual a 2(1 + q) (1 + q2), então: a) a1 + q = 16 b) a1 + q = 12 c) a1 + q = 10 d) a1 + q + n = 20 e) a1 + q + n = 11 nao consegui ler a questao 2 no meu hotmail um abraço, saulo. From: matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] PA e PG Date: Sun, 10 Apr 2005 21:31:05 -0300 01.fz 01.Determine os possíveis valores reais a e b para que os números a , ab e 2a , nessa ordem, formem uma progressão geométrica. 02 Seja (a1, a2, , an) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q 0. O produto de do seus termos é igual a 225 e o termo do meio é 25. Se a soma dos (n - 1) primeiros termos é igual a 2(1 + q) (1 + q2), então: a) a1 + q = 16 b) a1 + q = 12 c) a1 + q = 10 d) a1 + q + n = 20 e) a1 + q + n = 11 __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PA e PG
01.fz 01.Determine os possíveis valores reais a e b para que os números a , ab e 2a , nessa ordem, formem uma progressão geométrica. 02 Seja (a1, a2, , an) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q 0. O produto de do seus termos é igual a 225 e o termo do meio é 25. Se a soma dos (n - 1) primeiros termos é igual a 2(1 + q) (1 + q2), então: a) a1 + q = 16 b) a1 + q = 12 c) a1 + q = 10 d) a1 + q + n = 20 e) a1 + q + n = 11
RE: [obm-l] Quest�o de PA
Faltou definir se 0 pertence a N ou nao. Se vc inclui o zero a resposta e n^2 - n. Se vc nao inclui o 0 a resposta e n^2 + n Fica facil de testar escolhendo um n pequeno como 1 ou 2. AAcho que o gabarito esta errado From: Brunno [EMAIL PROTECTED] Se P(x) x^a -1 é divisível por ( x+ 1) e a [pertence a] N, podemos afirmar que a soma dos n primeiros números a que satisfazem esta condição é no gabarito indica n^2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA
Mas claudio pq P(x) tem que ser igual a zero??? - Original Message - From: claudio.buffara To: obm-l Sent: Wednesday, March 30, 2005 4:25 PM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA x + 1 divide x^a - 1 == -1 é raiz de x^a - 1 == a é par, pois: (-1)^a - 1 = 0 se a é par e (-1)^a - 1 = -2 se a é ímpar Se 0 for natural, então os n primeiros valores de a são: 0, 2, 4, ..., 2(n-1) == soma = n(n-1) Caso contrário: 2, 4, 6, ..., 2n == soma =n(n+1) De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 30 Mar 2005 15:58:05 -0300 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA Como vc pode provar isto? Um abraco - Original Message - From: "Qwert Smith" <[EMAIL PROTECTED]> To: <OBM-L@MAT.PUC-RIO.BR> Sent: Wednesday, March 30, 2005 3:34 PM Subject: RE: [obm-l] Questão de PA Faltou definir se 0 pertence a N ou nao. Se vc inclui o zero a resposta e n^2 - n. Se vc nao inclui o 0 a resposta e n^2 + n Fica facil de testar escolhendo um n pequeno como 1 ou 2. AAcho que o gabarito esta errado From: "Brunno" <[EMAIL PROTECTED]> Se P(x) x^a -1 é divisível por ( x+ 1) e a [pertence a] N, podemos afirmar que a soma dos "n" primeiros números "a" que satisfazem esta condição é no gabarito indica n^2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Quest�o de PA
Vc esta confundindo as coisas. P(x) = x^a - 1. P(-1) = 0 Se (x+1) divide P(x) entao a raiz de (x+1) tb e raiz de P(x) -1 e raiz de (x+1) e consequentemente raiz de P(x) Ser raiz significa que substituindo x por -1 o polinomio se anula. em (x+1) = ( -1+1) = 0 em P(x) = P(-1) = 0 = -1^a -1 = 0 Melhorou? From: Brunno [EMAIL PROTECTED] Mas claudio pq P(x) tem que ser igual a zero??? From: claudio.buffara x + 1 divide x^a - 1 == -1 é raiz de x^a - 1 == a é par, pois: (-1)^a - 1 = 0 se a é par e (-1)^a - 1 = -2 se a é ímpar Se 0 for natural, então os n primeiros valores de a são: 0, 2, 4, ..., 2(n-1) == soma = n(n-1) Caso contrário: 2, 4, 6, ..., 2n == soma = n(n+1) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA
Não entendi a sua dúvida. Enfim, eu usei o fato de que se P(x) é divisível por Q(x) então cada raiz de Q(x) deve também ser raiz de P(x) (contando multiplicidade). Você conhece divisão de polinômios? De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 30 Mar 2005 16:46:27 -0300 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA Mas claudio pq P(x) tem que ser igual a zero??? - Original Message - From: claudio.buffara To: obm-l Sent: Wednesday, March 30, 2005 4:25 PM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA x + 1 divide x^a - 1 == -1 é raiz de x^a - 1 == a é par, pois: (-1)^a - 1 = 0 se a é par e (-1)^a - 1 = -2 se a é ímpar Se 0 for natural, então os n primeiros valores de a são: 0, 2, 4, ..., 2(n-1) == soma = n(n-1) Caso contrário: 2, 4, 6, ..., 2n == soma =n(n+1) De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 30 Mar 2005 15:58:05 -0300 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA Como vc pode provar isto? Um abraco - Original Message - From: "Qwert Smith" <[EMAIL PROTECTED]> To: <OBM-L@MAT.PUC-RIO.BR> Sent: Wednesday, March 30, 2005 3:34 PM Subject: RE: [obm-l] Questão de PA Faltou definir se 0 pertence a N ou nao. Se vc inclui o zero a resposta e n^2 - n. Se vc nao inclui o 0 a resposta e n^2 + n Fica facil de testar escolhendo um n pequeno como 1 ou 2. AAcho que o gabarito esta errado From: "Brunno" <[EMAIL PROTECTED]> Se P(x) x^a -1 é divisível por ( x+ 1) e a [pertence a] N, podemos afirmar que a soma dos "n" primeiros números "a" que satisfazem esta condição é no gabarito indica n^2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA
Não seria P(x) = (x-1)Q(x) + R SENDO DIVISÍVEL, O RESTO É ZERO Não vejo o motivo se a raiz de (x-1) tem que ser tb raiz de P(x) - Original Message - From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, March 30, 2005 5:07 PM Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA Vc esta confundindo as coisas. P(x) = x^a - 1. P(-1) = 0 Se (x+1) divide P(x) entao a raiz de (x+1) tb e raiz de P(x) -1 e raiz de (x+1) e consequentemente raiz de P(x) Ser raiz significa que substituindo x por -1 o polinomio se anula. em (x+1) = ( -1+1) = 0 em P(x) = P(-1) = 0 = -1^a -1 = 0 Melhorou? From: Brunno [EMAIL PROTECTED] Mas claudio pq P(x) tem que ser igual a zero??? From: claudio.buffara x + 1 divide x^a - 1 == -1 é raiz de x^a - 1 == a é par, pois: (-1)^a - 1 = 0 se a é par e (-1)^a - 1 = -2 se a é ímpar Se 0 for natural, então os n primeiros valores de a são: 0, 2, 4, ..., 2(n-1) == soma = n(n-1) Caso contrário: 2, 4, 6, ..., 2n == soma = n(n+1) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA
No seu exemplo, se o resto eh zero, quanto vale P(1)? De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 30 Mar 2005 17:35:04 -0300 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA Não seria P(x) = (x-1)Q(x) + R SENDO DIVISÍVEL, O RESTO É ZERO Não vejo o motivo se a raiz de (x-1) tem que ser tb raiz de P(x) - Original Message - From: "Qwert Smith" <[EMAIL PROTECTED]> To: <OBM-L@MAT.PUC-RIO.BR> Sent: Wednesday, March 30, 2005 5:07 PM Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA Vc esta confundindo as coisas. P(x) = x^a - 1. P(-1) = 0 Se (x+1) divide P(x) entao a raiz de (x+1) tb e raiz de P(x) -1 e raiz de (x+1) e consequentemente raiz de P(x) Ser raiz significa que substituindo x por -1 o polinomio se anula. em (x+1) = ( -1+1) = 0 em P(x) = P(-1) = 0 = -1^a -1 = 0 Melhorou? From: "Brunno" <[EMAIL PROTECTED]> Mas claudio pq P(x) tem que ser igual a zero??? From: claudio.buffara x + 1 divide x^a - 1 == -1 é raiz de x^a - 1 == a é par, pois: (-1)^a - 1 = 0 se a é par e (-1)^a - 1 = -2 se a é ímpar Se 0 for natural, então os n primeiros valores de a são: 0, 2, 4, ..., 2(n-1) == soma = n(n-1) Caso contrário: 2, 4, 6, ..., 2n == soma = n(n+1) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Coeficientes em PA
Seja n pertencente aos inteiros positivos tal que os coeficientes dos 5o, 6o e 7o termos, em relação a x, do desenvolvimento de [ log[n](sqrt(2)^n) / log[e](n) * log[n](sqrt(2)^e) + x ] ^ n segundo as potências decrescentes de x, estão em progressão aritmética. Determinar n. Espero que dê para entender a expressão. Tentei desenvolver T_6 - T_5 = T_7 - T_6 Mas cheguei numa expressão bizarra, com n para todos os lados. hehehe E não saiu. Grato, Ariel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Problema interessante de PA
Olá Cláudio,
Problema original
"Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para
que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois
termos, da mesma progressão. "
Fiquei curioso com a definição que você deu para PA
infinita.
"Normalmente, quando falamos numa PA infinita,
queremos dizer infinita em ambas as direcoes, ou seja a PA eh {a + n*r | n
pertence a Z}."
Qual a definição que você utiliza para
PA?
Eu utilizo a seguinte:
"Uma progressão aritmética é uma sequência
(a_n) tal que
a_(n+1) - a_n=r, para todo n natural não nulo.
Aconstante r é chamada razão da progressão aritmética."
Neste pontoé necessário entender uma
sequência como uma função cujo domínio é o conjunto dos números
naturais (ou naturais não nulos dependendo do gosto
de cada um!).
Sabemos que existe uma bijeção entre os números
naturais e os inteiros.
Entretanto eu não consigo
visualizar nenhuma que satisfaça adefinição de PA (que eu
utilizo!).
Além destas questões de definição
háoutra:
Sabemos que algumas vezes em matemática utilizamos
dois como sendo dois ou um. E foi o que você fez!
Eu considerei dois como sendo dois
distintos.
Neste ponto gostaria muito da
colaboração de todos da lista pois as respostas não serão equivalentes se
utilizarmos a palavra dois com significados
diferentes.
Pois:
O enunciado diz que cada termo é a soma de
dois termos desta mesma PA.
E você considera o termo zero duas vezes. Assim
você está considerando apenas um termo.
Outro ponto em que tenho dúvidas é na sua
demonstração.
Você supõe que a PA possui termo não negativo. E
toma a como sendo o menor dentre os termos não negativos, certo? Assim o a teria
que ser o zero necessariamente (0 é o menor termo não negativo!)e a-r
0 para r0.
Outro problema é : uma PA poderia não possuir
termospositivos e negativos por exemplo se
consideramos (0,r,2r,3r,...) com r
negativo.
Para finalizar quero destacar que esta
discussão é bastante salutar e estou aprendendo muito com
ela!
Agradeço sua participação!
[ ],s
Fernando
- Original Message -
From:
claudio.buffara
To: obm-l
Sent: Saturday, July 03, 2004 10:00
AM
Subject: Re:[obm-l] Problema interessante
de PA
Eh sim.
0 = 0 + 0. O enunciado nao fala nada sobre cada termo ser a soma de
termos diferentes, entre si ou do tal termo.
Alem disso, r = r + 0.
Normalmente, quando falamos numa PA infinita, queremos dizer infinita em
ambas as direcoes, ou seja a PA eh {a + n*r | n pertence a Z}.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
"obm-l"
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Fri, 2 Jul 2004 19:22:02
-0300
Assunto:
Re:[obm-l] Problema
interessante de PA
Olá Cláudio, tudo bem?
Acho que a condição não é suficiente pois considerando a PA:
(0, r, 2r,3r,...)
0 pertence a PA maso primeiro termo não é a soma de dois
termos desta mesma PA.
[],s
Fernando
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
"obm-l"
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Fri, 02 Jul 2004 16:23:48
-0300
Assunto:
Re:[obm-l] Problema
interessante de PA
Condição necessária e suficiente: 0 pertence à PA.
Se 0 pertence à PA, então, de duas uma:
a PA é constante (razão = 0)
ou
a razão será igual ao menor termo positivo.
Em todo caso, os termos da PA serão da forma n*r (r = razão) e,
portanto, todo termo será soma de dois termos (por exemplo, n*r = (n-1)*r +
1*r).
Por outro lado, se cada termo é igual a soma de dois outros
termos, então, pondo:
a = menor termo não-negativo da PA, teremos que, dado um
inteiro n, vão existir inteiros x e y tais que:
a + n*r = (a + x*r) + (a + y*r) ==
a = (n - x - y)*r ==
r | a ==
r = a.
Se r a, então a - r pertence à PA e é positivo
==
contradição, pois a é o menor termo não-negativo da PA
==
r = a ==
0 = a - r pertence à PA.
[]s,
Claudio.
"Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser
verificada para que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja
a soma de dois termos, da mesma progressão. "
Re:[obm-l] Problema interessante de PA
Olá Fernando, usando o que vc mesmo disse anteriormente: (-r,0,r,2r,...) satisfaz a condição mas o primeiro termo não é a soma de dois termos desta mesma PA. Abraços, Rogério. From: f_villar Acho que a condição necessária e suficiente é: um dos termos é o simétrico da razão da PA: Ida: Se um dos termos é o simétrico da razão então 0 pertence a PA e a razão também é um de seus termos. Podemos dividir em dois casos: r0 e r0 r 0 Se r0 então o primeiro termo desta PA deve ser um número negativo digamos -nr, com n natural não nulo. Pela definição de PA cada termo a partir do segundo é igual ao anterior mais a razão. Logo todos os termos a partir do segundo serão escritos como a soma de dois termos da própria PA. O problema seria o primeiro termo mas neste caso temos -nr =-(n-1)r-r onde -(n-1)r e -r são dois termos distintos da PA. O caso r0 é analogo. Reciprocamente: Como cada termo da PA é a soma de dois termos desta mesma PA temos: a_1 = a_m+a_n a_1=a_1+(m-1)r+a_1 +(n-1)r donde a_1=r[2-(n+m)] como n,m=1 e nm temos (n+m)2 e por isso [2-(n+m)]0 e se r0 então a_10 ser0 então a_10 considerando o termo a_(n+m+3) temos a_(n+m+3) = a_1=r[2-(n+m)]+ (n+m-2)r = 0 a_(n+m+3)=0 e portanto a_(n+m+2)=-r Logo um dos termos é o simétrico da razão! [],s Fernando Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois termos, da mesma progressão. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Problema interessante de PA
Eh sim.
0 = 0 + 0. O enunciado nao fala nada sobre cada termo ser a soma de termos diferentes, entre si ou do tal termo.
Alem disso, r = r + 0.
Normalmente, quando falamos numa PA infinita, queremos dizer infinita em ambas as direcoes, ou seja a PA eh {a + n*r | n pertence a Z}.
[]s,
Claudio.
De:
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"obm-l" [EMAIL PROTECTED]
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Data:
Fri, 2 Jul 2004 19:22:02 -0300
Assunto:
Re:[obm-l] Problema interessante de PA
Olá Cláudio, tudo bem?
Acho que a condição não é suficiente pois considerando a PA:
(0, r, 2r,3r,...)
0 pertence a PA maso primeiro termo não é a soma de dois termos desta mesma PA.
[],s
Fernando
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
"obm-l" [EMAIL PROTECTED]
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Fri, 02 Jul 2004 16:23:48 -0300
Assunto:
Re:[obm-l] Problema interessante de PA
Condição necessária e suficiente: 0 pertence à PA.
Se 0 pertence à PA, então, de duas uma:
a PA é constante (razão = 0)
ou
a razão será igual ao menor termo positivo.
Em todo caso, os termos da PA serão da forma n*r (r = razão) e, portanto, todo termo será soma de dois termos (por exemplo, n*r = (n-1)*r + 1*r).
Por outro lado, se cada termo é igual a soma de dois outros termos, então, pondo:
a = menor termo não-negativo da PA, teremos que, dado um inteiro n, vão existir inteiros x e y tais que:
a + n*r = (a + x*r) + (a + y*r) ==
a = (n - x - y)*r ==
r | a ==
r = a.
Se r a, então a - r pertence à PA e é positivo ==
contradição, pois a é o menor termo não-negativo da PA ==
r = a ==
0 = a - r pertence à PA.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
"obm-l" [EMAIL PROTECTED]
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Fri, 2 Jul 2004 15:20:43 -0300
Assunto:
[obm-l] Problema interessante de PA
"Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois termos, da mesma progressão. "
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[obm-l] Problema interessante de PA
"Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois termos, da mesma progressão. "
