RES: [obm-l] Dúvida com questão

[Artur Costa Steiner]

Esdtah incompleto. No primeiro membro temos uma expressao, mas nao uma 
proposicao. Estah faltando alguma coisa.


[Artur Costa Steiner]

 --Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Robÿe9rio Alves
Enviada em: terça-feira, 16 de setembro de 2008 10:06
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Dúvida com questão



A afirmação: para todo x real, x diferente de 2,[( x^2+x+1) / (x - 2 )]  3  
<=> x^2+x+1 > 3.(x - 2 ) é verdaeira ou falsa ? Justifique.

Como resolver ???


  _

Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email 
novo
 com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com.

RES: [obm-l] Dúvida

[Artur Costa Steiner]

Sejam a, b e c as idades de cada um deles,. Adriano teve o triplo da idade de 
Carlos n1 anos atrás. Logo

a - n1 = 3(c - n1)
b - n1 = 24

Carlos teve a metade da idade de Bruno n2 anos tras. Logo

c - n2 = (b - n2)/2
a - n2 = 40

Além disto,

abc/(a + b + c) = 384

Temos, assim, um sistema de 5 equacoes e 5 incognitas, a, b, c , n1 e n2 :

a - n1 = 3(c - n1)
b - n1 = 24
c - n2 = (b - n2)/2
a - n2 = 40
abc/(a + b + c) = 384

Agora eh so algebra. Ou use um computador. Depois de resolvido, temos que 
checar a consistencia. a, b e c nao podem ser negativos e nehuma das idades 
citadas pode ser negativa.

Artur





-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Pedro
Enviada em: segunda-feira, 8 de setembro de 2008 11:46
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Dúvida



Amigos como resolvo essa?





Quando o Adriano tinha o triplo da idade do Carlos,o Bruno tinha 24 anos.

Quando o Carlos tinha a metade da idade do Bruno,o Adriano tinha 40 anos.

Hoje o produto das idades deles dividido pela soma de suas idades é igual a 384.

Qual a idade de cada um?

[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida para determi nar a fórmula

[Rubens Kamimura]

Grato, Big Maestro!

Rubens

 

De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcelo Salhab 
Brogliato
Enviada em: sexta-feira, 23 de novembro de 2007 21:26
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Dúvida para determinar a fórmula

 

Olá novamente Rubens,

acabei de ver um deslize.. hehehe
bom.. dm(t)/dt = m_entra'(t) - m_sai'(t)..

vamos demonstrar isso: m(t + d) - m(t) = m_entra'(t)*d - m_sai'(t)*d ... 
dividindo por d e fazendo d->0, esta provado! 

agora: dm/dt = 6*1/3 - 6*m(t)/80 ... 40m'(t) + 3m(t) - 80 = 0 ... m(0) = 80

solucao da homogenea: 40h'(t) = -3h(t)  h(t) = c1*exp[-3/40t]
solucao particular: p(t) = 80/3

logo: m(t) = 80/3 + c1*exp(-3/40t) 
assim: 80 = 80/3 + c1 ... c1 = 160/3

logo: m(t) = 80/3 + 160/3*exp(-3/40t)

solucao um pouco diferente da anterior..

abraços,
Salhab







On Nov 23, 2007 8:26 PM, Marcelo Salhab Brogliato < [EMAIL PROTECTED]> wrote:

Olá Rubens,

acredito que seja uma questão para os engenheiros químicos de plantão, mas vou 
tentar...

Seja m(t) a massa de sal no tanque no instante de tempo t..

temos que: dm(t)/dt = m_sai(t) - m_entra(t) 
derivando em relação à t, temos: m''(t) = m_sai'(t) - m_entra'(t)
m_entra'(t) = 1/3 * 6 = 2 kg sal/min
m_sai'(t) = 6 * m(t) / 80 kg sal/min

logo: m''(t) = 3m(t)/40 - 2 .. multiplicando por 40, temos: 40m''(t) - 3m(t) = 
-80 
basta resolvermos a EDO agora...
a eq. caracteristica da homogenia associada é: 40r^2 - 3 = 0  r = 
+-sqrt(3/40)

logo: m(t) = 80/3 + c1 * exp(sqrt(3/40)t) + c2 * exp(-sqrt(3/40)t)

qto t->inf, m(t) nao pode divergir, logo: c1 = 0 
como m(0) = 80, temos que: 80 = 80/3 + c2  c2 = 160/3

logo: m(t) = 80/3 + 160/3 * exp(-sqrt(3/40)t)

abraços,
Salhab







On Nov 23, 2007 1:29 PM, Rubens Kamimura < [EMAIL PROTECTED]> wrote:

 Caríssimos aprendizes, companheiros, mestres e doutores;

 

1.  Boa tarde,

2.  Como poderíamos encontrar a fórmula para esta questão:

 

a)No instante t = 0, um tanque contém k quilos de sal dissolvido em 80 
galões de água;

 

b)   Suponha que estejamos adicionando ao tanque 1/3 kg de sal por galão, à 
razão de 6 gal/min, e que a solução, bem agitada, esteja sendo drenada do 
tanque à  mesma taxa.

 

Ø  Estabeleça uma fórmula para a quantidade f(t) de sal no tanque no instante t.

 

Sds fraternais

 

上村　ルベース

Rubens

Neófito em matemática

Mens In Corpore Tantun Molen Regit

ANTES DE IMPRIMIR, PENSE NA SUA RESPONSABILIDADE COM O MEIO AMBIENTE!

 

 

 



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[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida

[Rubens Kamimura]

Caro Ronaldo, olá!

 

1.   Bom dia;

2.   Grato, pelas dicas... Valeu!!!

3.   É que sou novo no FORUM... como se percebe, mas agora procederei
como vc recomenda.

 

Sds fraternais;

 

Rubens

Discente em matemática. 

 

De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de ralonso
Enviada em: quinta-feira, 22 de novembro de 2007 16:58
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Dúvida

 

Olá Rubens.  Pode ser que vc tenha colocado questões 
muito difíceis ou então questões que ja' foram respondidas anteriormente, 
suponho.  Vc pode tentar fazer uma pesquisa destas questões na lista 
ou então fazer um re-post delas. 

[]s 
Ronaldo. 
Rubens Kamimura wrote: 

Senhores,

1. Boa tarde; 

2. O que acontece neste FORUM?..., pois não obtive resposta às minhas
indagações? 

Sds, 

Rubens 

Discente em matemática 


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[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida

[Rubens Kamimura]

Caro Anselmo

 

1.   Bom dia;

2.   Muitíssimo grato pela resposta, pelo menos agora sei que mais um
colega leu um dos meus email.

3.   Dá próxima vez serei mais “claro” nas colocações das questões no
FORUM...

4.   Mas, como já foi solucionado as dúvidas pelos meus mentores,
agradeço aos colegas do FORUM pelo esforço dispensado...

5.   No email anterior já citei a solução da dúvida postada...

 

Sds fraternais;

 

Rubens 

Discente em matemática.

 

De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Anselmo Alves de Sousa
Enviada em: quinta-feira, 22 de novembro de 2007 17:28
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RE: [obm-l] Dúvida

 

Bom, 
 
pra mim seus enunciados não deixaram claro o que pede.





  _  

From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Dúvida
Date: Thu, 22 Nov 2007 13:22:27 -0200

Senhores,

 

1. Boa tarde;

2. O que acontece neste FORUM?..., pois não obtive resposta às minhas
indagações?

 

Sds,

 

Rubens

Discente em matemática 

 

  _  

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GRÁTIS!


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[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida Continuidade

[Artur Costa Steiner]

Já foi visto que f(x) = k *x para todo racional x. Já vimos tambem que f eh 
continua em R. Definamos g:R --> R por g(x) = kx. Entao, g eh continua em R e 
concorda com f em Q. Como Q eh denso em R, f e g concordam em Q e f e g sao 
ambas continuas em R, segue-se de conhecido teorema (que, alias, vai alem dos 
espacos Euclidianos) que f = g em todo R. Assim, f(x) = kx para todo real x.

No caso Euclidiano, temos os seguinte:

Sejam f e g funcoes continuas de R^n em R^m que concordem em um subconjunto A 
de R^n, denso em R^n. Entao, f= g em todo o R^n.

Prova.: Seja x pertencente a R^n. Como A eh denso em R^n, existe uma sequencia 
(x_n) em A que converge para x. Como f e g concordam em A, (f(x_n) e (g(x_n)) 
sao a mesma sequencia. Da continuidade de f em R^n, segue-se que lim f(x_n) = 
f(x)e, da continuidade de g em R^n, segue-se que lim g(x_n) = g(x. Como (f_x_n) 
e (g(x_n)) sao a mesma sequencia, segue-se da unicidade do limite que f(x) = 
g(x). Logo, f = g em todo o R^n. f e g sao a mesma funcao.

Artur 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Marcelo Salhab Brogliato
Enviada em: quinta-feira, 12 de julho de 2007 03:26
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Dúvida Continuidade


Olá Kleber,

vamos dar uns chutes para x e y e encontrar umas propriedades dessas funcoes:
y=0... f(x+0) = f(x) + f(0)  f(0) = 0
x=-y... f(x-x) = f(x) + f(-x)  f(-x) = -f(x) [funcao impar]
x=y... f(x+x) = f(x) + f(x)  f(2x) = 2f(x) [por inducao,
facilmente mostramos que f(nx) = nf(x) para todo n natural]
como f(nx) = nf(x), para n natural, e f(-x) = -f(x), temos que:
f(-nx) = -f(nx) = -nf(x) ... assim, podemos extender para os inteiros..
vamos dizer que: p/q = a, mdc(p,q)=1, p, q inteiros..
p = aq ..assim: f(px) = pf(x)... f(aqx) = pf(x) ... mas q é inteiro,
logo: f(qax) = qf(ax)
assim: qf(ax) = pf(x)  f(ax) = p/q f(x) = af(x)  logo, vale
para os racionais tb...
-
[daqui para baixo (até os proximos -) estou chutando.. acredito
que alguem aki da lista pode confirmar o q estou dizendo ou me
corrigir!]
e agora? como generalizar isso para os irracionais?
acredito que é justamente usando o seu exercicio...
supondo que lim {x->a} f(x) = f(a)..
vamos particionar os reais.. R = Q U R\Q ...
para x E Q, temos: lim {x->a} f(x) = lim{k->a} f(kx) = lim{k->a} kf(x) = af(x)
para x E R\Q, temos que ter: lim {x->a} f(x) = af(x), pois, caso
contrario, f(x) nao seria continua em todos os pontos.
logo: f(ax) = af(x) para todo a real...
assim: f(x) = f(1*x) = x*f(1)  f(x) = kx, onde k=f(1)...
portanto, a unica funcao com essas propriedades é: f(x) = kx...
--

agora o que foi pedido:
vamos supor que lim {x->0} f(x) = f(0) [continuidade na origem]
isto é: para todo eps>0, existe um delta>0, tal que: |x| < delta
implica: |f(x)| < eps
fazendo x = y-a, temos: |y-a| < delta implica |f(y-a)| = |f(y) +
f(-a)| = |f(y) - f(a)| < eps..
logo: lim {x->a} f(x) = f(a)... (cqd)

abracos,
Salhab




On 7/11/07, Kleber Bastos <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Seja f: R->R  tq
>
> f(x+y) = f(x) + f(y)  ( para todo x,y E R )
>
> Mostrar que , se f é continua na origem, então f é contínua em R.
>
>
> --
> Kleber B. Bastos

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida Continuidade

[Artur Costa Steiner]

Para iniciar, observemos que f(0) =  f(0 + 0) = f(0) + f(0) =  2 f(0)  => f(0) 
= 0
 
Como todo elemento de R eh ponto de acumulacao de R, a continuidade em 0 
implica que lim ( t --> 0) f(t) = f(0) = 0.
Para todo x e todo t de R, f(x +t) - f(x) = f(x) + f(t) - f(x) = f(t). Logo, 
lim ( t --> 0) f(x + t) - f(x) = lim (t --> 0) f(t) = f(0) = 0, o que equivale 
a dizer que lim (t --> 0) f(x + t) = f(x), justamente a condicao de 
continuidade em x. Como vale para todo x de R, f eh continua em R.
 
Complete agora o problema, mostre que esta eh a funcao linear dada por f(x) = 
k*x, k = f(1), para todo real x.
 
Artur 
 
 
 
 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos
Enviada em: quarta-feira, 11 de julho de 2007 11:10
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Dúvida Continuidade


Seja f: R->R  tq
 
f(x+y) = f(x) + f(y)  ( para todo x,y E R )
 
Mostrar que , se f é continua na origem, então f é contínua em R. 


-- 
Kleber B. Bastos 

Re: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite

[ralonso]

 Pela consistência (não demonstrável) da matemática é difícil definir
o que devemos tomar como base para boas definições. No livro de
Malba Tahan, "as maravilhas da matemática"  há um
capítulo inteiramente dedicado ao "problema das definições em
matemática".

Você pode definir pi como a razão
entre a circunferência e o diâmetro ou
como uma integral de comprimento de arco.  O seno pode ser
definido como a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, ou
como uma série de potências.

  Não importa quais das duas adotamos: no caso real, os resultados
são os mesmos. Historicamente, no entanto, as definições mais simples
surgiram primeiro: Os números reais surgiram antes dos complexos,
e o teorema de pitágoras antes do cálculo ...

  PS: No livro Geometria Diferencial de Manfredo Perdigão do Carmo em
uma discussão sobre arcos geodésicos há um comentário sobre a possibilidade
de demonstrar o quinto postualdo de Euclides a partir dos outros, assumindo
que o arco geodésico é um segmento de reta..

Quando conversei com
o professor sobre essa possibilidade
ele me disse que era complicado seguir esse caminho,
porque havia muita coisa já explorada para saber exatamente
o que era postulado e o que era teorema.  Partindo assim dos teoremas
como axiomas poderíamos chegar nos axiomas como teoremas...  Posso
ter entendido isso errado, mas achei interessante
essa discussão...

Ronaldo.

Artur Costa Steiner wrote:

> Eu acredito que um bom motivo para se definir a funcao exponencial via series 
> de potencias eh que esta definicao vale tambem no corpo dos complexos. Talvez 
> este tambem seja este o motivo pelo qual, frequentemente, definem-se as 
> chamadas funcoes trigonometricas por series de potencias. No livro de Analise 
> Complexa do Ahlfors, o qual jah tive a oportunidade de estudar alguns 
> capitulos, as definicoes sao por series de potencias. Segundo Ahlfors, pelo 
> menos ao que me pareceu, o conceito rigoroso do argumen>
> Uma vez conversei com um matematico de real conhecimento e ele me disse que, 
> embora poucos se deem conta, definir a funcao seno (ou cosseno) pelo circulo 
> trigonometrico ou por "cateto oposto sobre hipotenusa", como aprendi no 
> antigo científico dos anos 60, eh muito mais complicado do que parece, porque 
> a definicao formal de comprimento nao eh assim tao simples, exigindo, na 
> realidade, uma integral. As provas de continuidade e de derivabilidade das 
> funcoes ditas trigometricas basiam-se na conhecida desi>
> Nao estou certo, a definicao da exponencial via EDO pode ser extendida aos 
> complexos? As definicoes via inverso de log e elementar restrigem-se aos 
> reais, certo? No caso da definicao elementar, nao é necessario, para que a 
> funcao fique bem definida, acrescentar a hipotese de que seja continua em 
> pelo menos 1 elemento de R?
>
> Obrigado
> Artur
>
> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> nome de Nicolau C. Saldanha
> Enviada em: sexta-feira, 29 de junho de 2007 10:33
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite
>
> On Thu, Jun 28, 2007 at 12:35:11PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
> > Isso é decorrencia imediata da definicao da funcao exponencial: e^x = 1 + x 
> > +
> > x^2/2! + x^3/3!..Eh uma serie de potencias. Conforme se sabe, funcoes
> > dadas por series de potencia, ditas analiticas, sao continuas em seu dominio
> > e apresentam derivadas de todas as ordens. Logo, em virtude da continuidae 
> > em
> > 0, lim (x -> 0) e^x = e^0 = 1 + 0 + 0  =1.
>
> É um pouco estranho discordar de uma definição, mas eu discordo que esta
> (a definição via séries de potências) seja a melhor definição de exponencial.
> A minha favorita é que e^x = f(x) onde f é a única solução de
> f'(x) = f(x), f(0) = 1 (chamemos esta de definição via EDOs).
> Outra definição popular é definir exp como a inversa de log (ou ln)
> e definir log como a integral de 1/x, i.e., $\log(x) = \int_0^x (1/t) dt$
> (definição via integral). A mais elementar é dizer que para todo a > 1
> existe uma única função crescente f: R -> R satisfazendo
> f(0) = 1, f(1) = a, f(x1+x2) = f(x1)*f(x2); chamemos f(x) de a^x
> (definição elementar).
>
> Existem outras. Pelas três primeiras definições a continuidade é trivial,
> pela definição elementar nem tanto. Por outro lado, o Kleber (que mandou
> a pergunta para a lista) não esclareceu com qual definição de exponencial
> ele está trabalhando. Sem responder isso o problema fica sem sentido.
>
> []s, N.
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite

[Artur Costa Steiner]

Eu acredito que um bom motivo para se definir a funcao exponencial via series 
de potencias eh que esta definicao vale tambem no corpo dos complexos. Talvez 
este tambem seja este o motivo pelo qual, frequentemente, definem-se as 
chamadas funcoes trigonometricas por series de potencias. No livro de Analise 
Complexa do Ahlfors, o qual jah tive a oportunidade de estudar alguns 
capitulos, as definicoes sao por series de potencias. Segundo Ahlfors, pelo 
menos ao que me pareceu, o conceito rigoroso do argumento de um complexo, em 
representacao polar, nao deve ser considerado como angulo. 

Uma vez conversei com um matematico de real conhecimento e ele me disse que, 
embora poucos se deem conta, definir a funcao seno (ou cosseno) pelo circulo 
trigonometrico ou por "cateto oposto sobre hipotenusa", como aprendi no antigo 
científico dos anos 60, eh muito mais complicado do que parece, porque a 
definicao formal de comprimento nao eh assim tao simples, exigindo, na 
realidade, uma integral. As provas de continuidade e de derivabilidade das 
funcoes ditas trigometricas basiam-se na conhecida desigualdade |sen(x| <= |x|, 
com igualdade se e somente se x=0, e esta eh usualmente provada com base no 
famos postulado da geometria Euclidiana segundo o qual a menor distancia entre 
2 pontos eh o segmento de reta que os une. 

Nao estou certo, a definicao da exponencial via EDO pode ser extendida aos 
complexos? As definicoes via inverso de log e elementar restrigem-se aos reais, 
certo? No caso da definicao elementar, nao é necessario, para que a funcao 
fique bem definida, acrescentar a hipotese de que seja continua em pelo menos 1 
elemento de R?

Obrigado
Artur 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: sexta-feira, 29 de junho de 2007 10:33
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite


On Thu, Jun 28, 2007 at 12:35:11PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
> Isso é decorrencia imediata da definicao da funcao exponencial: e^x = 1 + x +
> x^2/2! + x^3/3!..Eh uma serie de potencias. Conforme se sabe, funcoes
> dadas por series de potencia, ditas analiticas, sao continuas em seu dominio
> e apresentam derivadas de todas as ordens. Logo, em virtude da continuidae em
> 0, lim (x -> 0) e^x = e^0 = 1 + 0 + 0  =1.

É um pouco estranho discordar de uma definição, mas eu discordo que esta
(a definição via séries de potências) seja a melhor definição de exponencial.
A minha favorita é que e^x = f(x) onde f é a única solução de
f'(x) = f(x), f(0) = 1 (chamemos esta de definição via EDOs).
Outra definição popular é definir exp como a inversa de log (ou ln)
e definir log como a integral de 1/x, i.e., $\log(x) = \int_0^x (1/t) dt$
(definição via integral). A mais elementar é dizer que para todo a > 1
existe uma única função crescente f: R -> R satisfazendo
f(0) = 1, f(1) = a, f(x1+x2) = f(x1)*f(x2); chamemos f(x) de a^x
(definição elementar).

Existem outras. Pelas três primeiras definições a continuidade é trivial,
pela definição elementar nem tanto. Por outro lado, o Kleber (que mandou
a pergunta para a lista) não esclareceu com qual definição de exponencial
ele está trabalhando. Sem responder isso o problema fica sem sentido.

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite

[Artur Costa Steiner]

Aqui hah um ponto que devemos observar. Se consideramos as funcoes seno e 
cosseno definidas por series de potencias, a continuidae e diferenciabilidades 
de todas as ordens sao consequencias imediatas da definicao. Se consideramos a 
definicao baseada no circulo trigonometrico, a continuiddae, assim como a 
diferenciabilidade soa consequencias fundamentais da desigualdade |sen(u)| <= 
|u| com igualdade se, e somente se, u =0, bem como de identidas 
trigonometricas, como sen(x) - sen(y) = 2 sen((x - y)/2) cos((x + y)/2) .  
Aquela prova que eu dei eh mas geral, mostra que sen e cos sao Lipschitz

Artur 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de ralonso
Enviada em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 13:56
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] dúvida sobre Limite


Olá Sallab, sua solução é simples e elegante e
pode ser usada para outras demonstrações
do mesmo gênero, que podem aparecer em
provas.  Só comentando:

> outro modo seria:
> -delta < x < delta e^(-delta) < e^x < e^(delta)

   Isso é válido porque e^x é monótona crescente para todo x,
isto é, se x_1 > x_2  então e^(x_1) > e^(x_2).  Verificamos isso por inspeção,
porque e>1.  A rigor, analiticamente,
não sei se existe um modo de demonstrar isso sem
uso de derivadas.  Existe?


> assim, se eps = max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1| < eps
>

  Note que esta passagem também é valida porque quando fazemos
max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1} pegamos sempre números positivos.
Isso ocorre porque existe delta tal que e^delta > 1 sempre.
Em demonstrações de limites mais complicados às vezes não  é
tão simples fazer essa passagem porque essa garantia (positividade
de eps a partir da função) não é tão fácil de obter.


> logo: para todo eps > 0, existe um delta>0, tal que |x| < delta
> implica que |e^x - 1| < eps
>

abraços
Ronaldo.


> ==
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite

[Kleber Bastos]

Já havia consertado .. muito obrigado .. estava me perdendo no caminho .

Em 28/06/07, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:


 Ah corrigindo a desigualdade eh |sen(u)| <= |u|, erro de digitacao
Artur

-Mensagem original-
*De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de *Kleber Bastos
*Enviada em:* quinta-feira, 28 de junho de 2007 12:07
*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Assunto:* Re: [obm-l] dúvida sobre Limite

  Valeu Marcelo ,
 Eu havia pensado em fazer assim :

Eu pensei em usar a sequência e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/3! ... ( série de
> taylor em torno de x=0 , e dai por definição de limites sobre série
provar
> isso.
Mas sua solução é mais adequada ...
abs.

Outra coisa , como eu provo  que lim cos(x) = 1 quando x tende para 0 ??

agradeço a resposta .

Em 28/06/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Olá,
>
> um possivel jeito é: f(x) = e^x ... f'(x) = e^x ... opa.. f'(0)
> existe.. logo, f é continua no ponto 0.. deste modo: lim[x->0] f(x) =
> f(0), portanto: lim [x->0] e^x = 1
>
> outro modo seria:
> -delta < x < delta e^(-delta) < e^x < e^(delta) ...  e^(-delta) -
> 1 < e^x - 1 < e^(delta) - 1
> assim, se eps = max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1| <
> eps
> logo: para todo eps > 0, existe um delta>0, tal que |x| < delta
> implica que |e^x - 1| < eps
>
> abracos,
> Salhab
>
>
>
> On 6/28/07, Kleber Bastos <[EMAIL PROTECTED] > wrote:
> >  Como eu faço para provar a seguinte afirmativa :
> >  lim e^(x) = 1 , quando x tende para zero .
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
> =
>

[obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite

[Artur Costa Steiner]

Ah corrigindo a desigualdade eh |sen(u)| <= |u|, erro de digitacao
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos
Enviada em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 12:07
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] dúvida sobre Limite


 Valeu Marcelo , 
 Eu havia pensado em fazer assim :
 
Eu pensei em usar a sequência e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/3! ... ( série de
> taylor em torno de x=0 , e dai por definição de limites sobre série provar
> isso.
Mas sua solução é mais adequada ... 
abs.
 
Outra coisa , como eu provo  que lim cos(x) = 1 quando x tende para 0 ??
 
agradeço a resposta .
 
Em 28/06/07, Marcelo Salhab Brogliato < [EMAIL PROTECTED]> escreveu: 

Olá,

um possivel jeito é: f(x) = e^x ... f'(x) = e^x ... opa.. f'(0)
existe.. logo, f é continua no ponto 0.. deste modo: lim[x->0] f(x) = 
f(0), portanto: lim [x->0] e^x = 1

outro modo seria:
-delta < x < delta e^(-delta) < e^x < e^(delta) ...  e^(-delta) -
1 < e^x - 1 < e^(delta) - 1
assim, se eps = max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1| < eps 
logo: para todo eps > 0, existe um delta>0, tal que |x| < delta
implica que |e^x - 1| < eps

abracos,
Salhab



On 6/28/07, Kleber Bastos < [EMAIL PROTECTED]   > 
wrote:
>  Como eu faço para provar a seguinte afirmativa :
>  lim e^(x) = 1 , quando x tende para zero .

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite

[Artur Costa Steiner]

Soh que na realidade a série de Taylor de e^x eh a propria definicao de e^x.
 
Para o cos, a maneira talvez mais rigorosa, valida inclusive no plano complexo, 
eh tambem considerar a definicao baseda em serie de potencias: cos(x) = 1 - 
x^2/2! + x^4/4! - x^6/6!.a qual implica que o cosseno seja continua em R 
(em C). 
 
Outra forma de ver isso, talvez mais trigonometrica, eh considerar a identidade 
cos(x)  - cos(y) = -2 sen((x +y/2)) sen((x -y/2)). Para todos x e y de R, temos 
entao que | cos(x)  - cos(y)| = 2 |sen((x +y/2)| |sen((x -y/2))|  <= 2  |sen((x 
-y/2))| . Mas sabemos que |sen u | <= u para todo real u, de modo que  | cos(x) 
 - cos(y)| <= 2 |(x-y)/2|  = | x - y|. Isto nos mostra que cos eh Lipschitz com 
constante 1, logo uniformemente continua, logo continua em todo R.
 
A desigualdade |sen (u)| <= u pode ser obtida geometricamente do circulo 
unitario, desde que se aceite a Geometria Euclidiana. Ou entao, de forma talvez 
mais rigorosa, considerando-se series de potencvia e o teorema do valor medio.. 
 
Artur 

[Artur Costa Steiner]  -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos
Enviada em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 12:07
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] dúvida sobre Limite



 Valeu Marcelo , 
 Eu havia pensado em fazer assim :
 
Eu pensei em usar a sequência e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/3! ... ( série de
> taylor em torno de x=0 , e dai por definição de limites sobre série provar
> isso.
Mas sua solução é mais adequada ... 
abs.
 
Outra coisa , como eu provo  que lim cos(x) = 1 quando x tende para 0 ??
 
agradeço a resposta .
 
Em 28/06/07, Marcelo Salhab Brogliato < [EMAIL PROTECTED]> escreveu: 

Olá,

um possivel jeito é: f(x) = e^x ... f'(x) = e^x ... opa.. f'(0)
existe.. logo, f é continua no ponto 0.. deste modo: lim[x->0] f(x) = 
f(0), portanto: lim [x->0] e^x = 1

outro modo seria:
-delta < x < delta e^(-delta) < e^x < e^(delta) ...  e^(-delta) -
1 < e^x - 1 < e^(delta) - 1
assim, se eps = max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1| < eps 
logo: para todo eps > 0, existe um delta>0, tal que |x| < delta
implica que |e^x - 1| < eps

abracos,
Salhab



On 6/28/07, Kleber Bastos < [EMAIL PROTECTED]   > 
wrote:
>  Como eu faço para provar a seguinte afirmativa :
>  lim e^(x) = 1 , quando x tende para zero .

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite

[Artur Costa Steiner]

Isso é decorrencia imediata da definicao da funcao exponencial: e^x = 1 + x + 
x^2/2! + x^3/3!..Eh uma serie de potencias. Conforme se sabe, funcoes dadas 
por series de potencia, ditas analiticas, sao continuas em seu dominio e 
apresentam derivadas de todas as ordens. Logo, em virtude da continuidae em 0, 
lim (x -> 0) e^x = e^0 = 1 + 0 + 0  =1.
 
Artur

[Artur Costa Steiner] 
 -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos
Enviada em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 10:41
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] dúvida sobre Limite



 Como eu faço para provar a seguinte afirmativa :
 lim e^(x) = 1 , quando x tende para zero .

[obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] Dúvida (Funç ão e Divisibilidade)

[Jefferson Franca]

E muito. Valeu!
- Mensagem original De: Qwert Smith <[EMAIL PROTECTED]>Para: obm-l@mat.puc-rio.brEnviadas: Sábado, 7 de Outubro de 2006 15:24:44Assunto: RE: [obm-l] Res: [obm-l] Dúvida (Função e Divisibilidade)
Eu achei que eu ja tinha mostrado isso.Mas eu vou tentar fazer mais obvio.f(a+1) = f(a+2) + f(a)f(a+2) = f(a+3) + f(a+1)somando os dois ladosf(a+3) = - f(a)Ou seja, a cada 3 termos a funcao muda de sinalSe a quantidade de 3 termos (quantidade de mudancas de sinal) e impar a funcao acaba com sinal oposto, se nao acaba com o mesmo sinalse x = 3*n + a, entao f(x) = f(a) se n e par e f(x) = -f(a) se n e impar.Agora troca x por 2006 e a por 2.  Melhorou?>From: Jefferson Franca <[EMAIL PROTECTED]>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br>To: obm-l@mat.puc-rio.br>Subject: [obm-l] Res: [obm-l] Dúvida (Função e Divisibilidade)>Date: Sat, 7 Oct 2006 09:56:32 -0700 (PDT)>>Será que não daria pra provar sua conjectura ? Dizer que f(x) = f(2) se x >for par e que f(x) = - f(2) se x for ímpar é insuficiente, vc não
 acha?>>>- Mensagem original >De: Qwert Smith <[EMAIL PROTECTED]>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br>Enviadas: Quinta-feira, 5 de Outubro de 2006 18:54:26>Assunto: RE: [obm-l] Dúvida (Função e Divisibilidade)>>>Vou tentar a primeira:>>f(3) = f(4) + f(2)>f(4) = f(5) + f(3)>>somando os dois lados>f(5) = -f(2)>>Mas>f(6) = f(7) + f(5)>f(7) = f(8) + f(6)>>e somando temos>f(8)=-f(5)=f(2)>>>logo se x = 3n + 2,  f(x) = f(2) pra n par e f(x) = -f(2) pra n impar>>2006 = 3*n + 2 com n par, logo f(2006) = f(2) = 1>> >From: André Smaira <[EMAIL PROTECTED]>> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br> >To: obm-l@mat.puc-rio.br> >Subject: [obm-l] Dúvida (Função e Divisibilidade)> >Date: Thu, 5 Oct 2006
 14:04:43 -0300 (ART)> >> >Apesar de acertar (foi meio na sorte), não consegui resolver estes dois> >exercícios da Olimpíada Mineira de Matemática. Se vcs souberem resolver >me> >passem a resolucao:> >> >   5-) Considere uma função que tem a seguinte propriedade: f(x+1) + >f(x-1)> >= f(x) com x inteiro. Se f(2) = 1, qual o valor de f(2006)?> >> >   a) -1> >   b) 0> >   c) 1> >   d) 2> >> >> >   8-) Sabendo que n é um número natural e que a divisão de n por 5 deixa> >resto 1; por 7 deixa resto 5 e por 9 também deixa resto 5, qual é o resto> >da divisão (n + 2)*(n + 1)^2 por 315?> >> >   a) 2> >   b) 5> >   c) 11> >   d) 25>
 >> >   Agradeço antecipadamente,> >   André Smaira> >> >> >-> >  Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu> >celular. Registre seu aparelho agora!>>>=>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>=>>>>___>Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. >Registre seu aparelho agora!>http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/>>=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
		 
Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!

[obm-l] Res: [obm-l] Dúvida (Função e Divisibilidade )

[Jefferson Franca]

Será que não daria pra provar sua conjectura ? Dizer que f(x) = f(2) se x for par e que f(x) = - f(2) se x for ímpar é insuficiente, vc não acha?
- Mensagem original De: Qwert Smith <[EMAIL PROTECTED]>Para: obm-l@mat.puc-rio.brEnviadas: Quinta-feira, 5 de Outubro de 2006 18:54:26Assunto: RE: [obm-l] Dúvida (Função e Divisibilidade)
Vou tentar a primeira:f(3) = f(4) + f(2)f(4) = f(5) + f(3)somando os dois ladosf(5) = -f(2)Masf(6) = f(7) + f(5)f(7) = f(8) + f(6)e somando temosf(8)=-f(5)=f(2)logo se x = 3n + 2,  f(x) = f(2) pra n par e f(x) = -f(2) pra n impar2006 = 3*n + 2 com n par, logo f(2006) = f(2) = 1>From: André Smaira <[EMAIL PROTECTED]>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br>To: obm-l@mat.puc-rio.br>Subject: [obm-l] Dúvida (Função e Divisibilidade)>Date: Thu, 5 Oct 2006 14:04:43 -0300 (ART)>>Apesar de acertar (foi meio na sorte), não consegui resolver estes dois >exercícios da Olimpíada Mineira de Matemática. Se vcs souberem resolver me >passem a resolucao:>>   5-) Considere uma função que tem a seguinte propriedade: f(x+1) + f(x-1) >= f(x) com x inteiro. Se f(2) = 1, qual o valor de
 f(2006)?>>   a) -1>   b) 0>   c) 1>   d) 2>>>   8-) Sabendo que n é um número natural e que a divisão de n por 5 deixa >resto 1; por 7 deixa resto 5 e por 9 também deixa resto 5, qual é o resto >da divisão (n + 2)*(n + 1)^2 por 315?>>   a) 2>   b) 5>   c) 11>   d) 25>>   Agradeço antecipadamente,>   André Smaira>>>->  Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu >celular. Registre seu aparelho agora!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
		 
Yahoo! Search 
Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt

[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida - limite

[Artur Costa Steiner]

Sendo 
a_n o termo geral da sequencia, temos para n>=2 que a_n = sqrt(n!)(1 + 
5*e^(2n)) - e^n >  (1 + 5*e^(2n)) - e^n, que claramente vai para oo 
quando n-> oo
Artur
 
 
 
 -Mensagem 
original-De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Douglas 
AlexandreEnviada em: segunda-feira, 11 de setembro de 2006 
10:19Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Dúvida - 
limite
Caros colegas como calculo o limite da sequência:sqrt(n!) 
  + e^2n/(5*sqrt(n!) - e^n)
  
  
  Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre 
  seu aparelho agora!

[obm-l] RES: [obm-l] dúvida fatorial

[Artur Costa Steiner]

Por 
convencao, Eh uma convencao muito conveniente. Fazendo-se  0! =1, a 
matematica fica bem mais facil. As formulas de analise combinatoria e formulas 
de series de Taylor dao certinho.
 
Por 
motivos similares convenciona-se que a^0 = 1 para todo real 
a.
 
Artur

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
  reginaldo.monteiroEnviada em: segunda-feira, 3 de abril de 2006 
  09:50Para: obm-lAssunto: [obm-l] dúvida 
  fatorial
  Bom dia,
  Alguém saberia me informar por que 0! = 1?
  Obrigado
  Reginaldo

[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre notação

[Artur Costa Steiner]

Na 
minha opiniao, o importante aqui eh que fique bem claro quais sao os lados 
proporcionais. . A vantagem de se seguir convencoes eh justamente evitar 
ambiguidades. 
Mas se 
vc trocar a ordem de apreentacao dos vertices e deixar claro quais sao 
os lados prporcionais, eh claro que nao estah errado.
Artur 

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de cleber 
  vieiraEnviada em: terça-feira, 21 de março de 2006 
  12:00Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] RES: 
  [obm-l] dúvida sobre notaçãoEntendi Arthur, apesar de ter 
  errado a notação de acordo com a convenção minha proporcionalidade estava 
  correta porque fiz como sempre tenho feito até mesmo por ser menos 
  trabalhoso, por exemplo,lado oposto ao ângulo 1 no triângulo ABC está para o 
  lado oposto ao ângulo 1 no triângulo KLB... e por ai vai. Eu prefiro 
  escrever os triângulos na ordem em que eu acho mais elegante e com o 
  arrastão determinar os ângulos congruentes para posteriormente evidenciar a 
  relação de proporcionalidade. Pergunta, didaticamente para os meus 
  futuros alunos, se é que um dia os terei, estarei errado ou não faz 
  diferença ?  Artur Costa 
  Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 
  

Acho que, por 
convencao, se vc diz que ABC e KLB são 
semelhantes, entao AB/KL = BC/LB = AC/KB. Se vc troca a ordem dos vertices 
de um dos triangulos, entao  a relacao de proporcionalidade nao mais 
vale . Mas isso eh soh uma convencao para deixar claro quais sao os lados 
prporcionais.. 
 
Artur

  -Mensagem original-De: 
  [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome 
  de clebber vieiraEnviada em: terça-feira, 21 de março de 
  2006 09:38Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] 
  dúvida sobre notação
  
Amigos por favor me respondam.Quando você escreve que os 
triângulos  ABC e KLB são semelhantes faz alguma diferença em 
colocar ABC e BKL(semelhantes), desde que você respeite a razão de 
semelhança ?
 
Um professor pediu para que eu resolvesse um exercício no quadro e 
quando coloquei ABC e KLB semelhantes o mesmo falou que estava errado, e 
o correto, segundo ele, seria ABC e BKL semelhantes mesmo 
estando a razão de semelhança rigorozamente correta. É a segunda 
vez que acontece isso e nunca foi me dito que essa ordem fizesse 
qualquer importância.
  Abraços 
   Cleber
  
  
  Yahoo! SearchDê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big 
  Brother Brasil.
  
  
  Yahoo! doce lar. Faça 
  do Yahoo! sua homepage.

Re: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre nota ção

[cleber vieira]

Entendi Arthur, apesar de ter errado a notação de acordo com a convenção minha proporcionalidade estava correta porque fiz como sempre tenho feito até mesmo por ser menos trabalhoso, por exemplo,lado oposto ao ângulo 1 no triângulo ABC está para o lado oposto ao ângulo 1 no triângulo KLB... e por ai vai. Eu prefiro escrever os triângulos na ordem em que eu acho mais elegante e com o arrastão determinar os ângulos congruentes para posteriormente evidenciar a relação de proporcionalidade. Pergunta, didaticamente para os meus futuros alunos, se é que um dia os terei, estarei errado ou não faz diferença ?  Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:  Acho que, p!
or
 convencao, se vc diz que ABC e KLB são semelhantes, entao AB/KL = BC/LB = AC/KB. Se vc troca a ordem dos vertices de um dos triangulos, entao  a relacao de proporcionalidade nao mais vale . Mas isso eh soh uma convencao para deixar claro quais sao os lados prporcionais..      Artur-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de cleber vieiraEnviada em: terça-feira, 21 de março de 2006 09:38Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] dúvida sobre notação   
 Amigos por favor me respondam.Quando você escreve que os triângulos  ABC e KLB são semelhantes faz alguma diferença em colocar ABC e BKL(semelhantes), desde que você respeite a razão de semelhança ?     Um professor pediu para que eu resolvesse um exercício no quadro e quando coloquei ABC e KLB semelhantes o mesmo falou que estava errado, e o correto, segundo ele, seria ABC e BKL semelhantes mesmo estando a razão de semelhança rigorozamente correta. É a segunda vez que acontece isso e nunca foi me dito que essa ordem fizesse qualquer importância.  Abraços    Cleber  Yahoo! SearchDê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big Brother Brasil.
		 
Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

[obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre notação

[Artur Costa Steiner]

Acho que, por 
convencao, se vc diz que ABC e KLB são 
semelhantes, entao AB/KL = BC/LB = AC/KB. Se vc troca a ordem dos vertices de um 
dos triangulos, entao  a relacao de proporcionalidade nao mais vale . Mas 
isso eh soh uma convencao para deixar claro quais sao os lados 
prporcionais.. 
 
Artur

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de cleber 
  vieiraEnviada em: terça-feira, 21 de março de 2006 
  09:38Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] dúvida 
  sobre notação
  
Amigos por favor me respondam.Quando você escreve que os 
triângulos  ABC e KLB são semelhantes faz alguma diferença em colocar 
ABC e BKL(semelhantes), desde que você respeite a razão de semelhança 
?
 
Um professor pediu para que eu resolvesse um exercício no quadro e 
quando coloquei ABC e KLB semelhantes o mesmo falou que estava errado, e o 
correto, segundo ele, seria ABC e BKL semelhantes mesmo estando a 
razão de semelhança rigorozamente correta. É a segunda vez que 
acontece isso e nunca foi me dito que essa ordem fizesse qualquer 
importância.
  Abraços 
   Cleber
  
  
  Yahoo! SearchDê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big 
  Brother Brasil.

Re: [obm-l] RES: [obm-l] DÚVIDA CRUEL

[Ricardo Bittencourt]

Artur Costa Steiner wrote:


Bom, nao sei porque 2 peguntas que diferem em uma virgula. Eh alguma 
pegadinha? Interprtetando que, na primeira, a virgula signfique que se 
queira ter uma reta com infinitos pontos (toda reta tem infinitos 
pontos) e, alem desta reta, mais um ponto alem daqueles da reta, entao 
eh possivel  Por exemplo, imagine que num plano tenhamos uma reta r e um 
ponto adicional P nao pertencente a r. Entao temos a reta r e mais o 
ponto P!  Se o preco de um ponto for positivo, entao ninguem jamais 
conseguira comprar uma reta, pois nao hah no mundo dinheiro suficiente 
para paga-la


Eu acho que ele está pensando num mapeamento da
reta no círculo. Seja um círculo C e um ponto P desse círculo
por onde passa uma reta tangente R. Seja ainda Q o ponto
de C oposto a P. Se traçarmos uma semi-reta S partindo de Q,
nós conseguimos mapear cada ponto da reta num ponto do círculo,
exceto Q, que é mapeado no "infinito", por assim dizer. Se R
tem infinitos pontos, então C tem infinito mais 1 ponto.


Ricardo Bittencourt   http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED]  "kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita"
-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RES: [obm-l] DÚVIDA CRUEL

[Artur Costa Steiner]

Bom, 
nao sei porque 2 peguntas que diferem em uma virgula. Eh alguma 
pegadinha? Interprtetando que, na primeira, a virgula signfique que se 
queira ter uma reta com infinitos pontos (toda reta tem infinitos pontos) e, 
alem desta reta, mais um ponto alem daqueles da reta, entao eh possivel  
Por exemplo, imagine que num plano tenhamos uma reta r e um ponto adicional 
P nao pertencente a r. Entao temos a reta r e mais o ponto P!  Se o preco 
de um ponto for positivo, entao ninguem jamais conseguira comprar uma reta, pois 
nao hah no mundo dinheiro suficiente para paga-la
 
Deixando de lado estas brincadeiras, detendo-nos na segunda e 
admitindo que a pergunta tenha um proposito serio, entao, da maneira como a 
questao estah colocada, parece-me que estah havendo uma certa confusao com 
relacao ao conceito de infinito. Eu creio que podemos ver o infinito por 
dois aspectos basicos, que nao encerram a questao. Sob um aspecrto, infinito 
designa uma tendencia, signfica que uma dada variavel ou funcao pode se tornar 
arbitriamente grande. Asiim, sob este aspecto, uma variavel ou funcao pode 
tender a infinito, mas nao eh igual a infinito. Por exemplo, 
aumentando-se x podemos fazer com que o valor da funcao f(x) = x^2 torne-se 
maior do que qualquer real M arbitraamente escolhido. Asiim, dizemos que f(x) 
-> oo quando x -> oo, ou seja, f(x) tende a infinito quando x -> 
infinito. 
 
Outra 
forma de ver o infinito eh da forma como foi feito para formar o chamado sistema 
dos reais expandidos. Ao conjunto R, agregamos os simbolos -oo e oo, 
obtendo o conjunto R* = R Uniao {-oo, oo}. Estes simbolos nao sao numeros reais 
e nao valem para eles as regras operativas validas para o reais. Assim, por 
convencao temos x < oo para todo real x. E, tambem por convencao, temos que 
oo + x = oo para todo real x, oo + oo = oo, oo * oo = oo. Se x nao nulo eh 
real, entao x * oo = oo * x = + ou - oo, conforme x seja positivo ou negativo. 
Usualmente, define-se oo * 0 = 0 * oo = o. Para - oo, valem 
convencoes similares, observando-se os sinais. 
 
As 
operacoes oo - oo  e oo/oo nao sao definidas. 
 
Assim 
as leis que definem um corpo, validas em R, nao valem em R* que, portanto, nao 
eh um corpo. Mas, ainda assim,  este conjunto eh em muitos casos bem 
conveniente e torna as coisa mais faceis. Podemo, por exemplo, dizer que o 
compriemento do intervalo (0, oo) eh inf.
 
Mas, 
pelo que vimos, nao faz sentido dizer que um conjunto, seja composto por pontos, 
como uma reta, ou pelo que for, possui infintos elementos + 
1. 
 
Quando 
eu estava fazendo vestibular para engenharia, o curso de Analise nao era muito 
preciso, e as vezes se ouviam coisa assim "como e^x/x -> oo quando x -> 
oo, e ambas as funcoes vao para oo, entao e^x e mais infinita que x. Quer 
dizer, e^x tende a um infinitao e x tende a um 
infinitinho"
 
Artur
  

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Robÿe9rio 
  AlvesEnviada em: domingo, 30 de outubro de 2005 
  18:59Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] DÚVIDA 
  CRUEL
  e POSSÍVEL  ter uma reta com infinitos pontos, mais 1 ponto ? Caso 
  Seja responda matematicamente
   
  
  e POSSÍVEL  ter uma reta com infinitos pontos mais 1 
  ponto ?  Caso Seja responda matematicamente
  
  
  Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada vocêacumula cupons e 
  concorre a mais de 500 prêmios! Participe!

[obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Dúvida - adjacent e

[Felipe Nardes]

Em análise combinatória, sinceramente, eu não sei... quanto à geometria, a 
diferença entre adjacente e consecutivo é a seguinte:


A---BC

Os segmentos AB e BC são adjacentes (só possuem a extremidade B em comum); 
ao passo que, os segmentos AB e AC são consecutivos (possuem pontos internos 
em comum).


O mesmo se aplica aos ângulos, dado um ângulo AÔB, AÔC e BÔC (sendo OC uma 
semi-reta interna a AÔB), temos:


- os ângulos AÔC e BÔC são adjacentes (possuem apenas uma lado em comum, no 
caso, OC)
- os ângulos AÔB e AÔC ou AÔB e BÔC são consecutivos (possuem uma região 
interna em comum)


abraços,

Felipe Nardes


From: Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Dúvida - adjacente
Date: Fri, 23 Sep 2005 10:16:00 -0300

Eu entendo que dois angulos sao adjacentes se tem um lado comum. o mesmo se
aplicando a triangulos. Em analise combinatoria,  acho que depende do
contexto.

Acho que a diferenca entre adjacentes e consecutivos eh mais questao de
Portugues (ou de semantica, talvez) do que de matematica. De modo geral,
dois elementos sao adjacentes se estiverem um ao lado do outro, caso dos
angulos. Consecutivos, se um vem imediatamente depois do outro, segundo uma
ordem estabelecida. Assim, se 2 numeros naturais sao consecutivos, entao um
eh n e o outro eh n+1, porque nao hah nenhum natural entre n e n+1. Mas nao
soa muito bem dizer que dois naturais sao adjacentes.   Consecutivo dah
ideia de ordem e de enumerabilidade. Adjacente dah uma ideia geometrica de
posicao.

Acho que eh isso.j

[Artur Costa Steiner]


 -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome 
de

admath
Enviada em: quinta-feira, 22 de setembro de 2005 11:16
Para: Obm-l
Assunto: [obm-l] Dúvida - adjacente



Olá!

Qual o conceito de adjacente nos assuntos sobre ângulos, triângulos e em
análise combinatória?

Qual a diferença entre adjacentes e consecutivos?

obrigado.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida - adjacente

[Artur Costa Steiner]

Eu 
entendo que dois angulos sao adjacentes se tem um lado comum. o mesmo se 
aplicando a triangulos. Em analise combinatoria,  acho que depende do 
contexto.
 
Acho 
que a diferenca entre adjacentes e consecutivos eh mais questao de Portugues (ou 
de semantica, talvez) do que de matematica. De modo geral, dois 
elementos sao adjacentes se estiverem um ao lado do outro, caso dos 
angulos. Consecutivos, se um vem imediatamente depois do outro, segundo uma 
ordem estabelecida. Assim, se 2 numeros naturais sao consecutivos, entao um 
eh n e o outro eh n+1, porque nao hah nenhum natural entre n e 
n+1. Mas nao soa muito bem dizer que dois naturais sao 
adjacentes.   Consecutivo dah ideia de ordem e de 
enumerabilidade. Adjacente dah uma ideia geometrica de 
posicao.
 
Acho 
que eh isso.j
[Artur Costa Steiner] 
 
 
 -Mensagem 
original-De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de admathEnviada 
em: quinta-feira, 22 de setembro de 2005 11:16Para: 
Obm-lAssunto: [obm-l] Dúvida - adjacente

  Olá!
   
  Qual o conceito de adjacente nos assuntos sobre ângulos, triângulos e em 
  análise combinatória?
   
  Qual a diferença entre adjacentes e consecutivos?
   
  obrigado.
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[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida em Integral

[Artur Costa Steiner]

Uma forma facil de resolver eh observando que cos^2 x = (1 + cos(2x))/2.
Substituindo e integrando, obtemos que Int(cos^2 x)dx = 1/2(x + 1/2sen(2x))
+ C
Artur.

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: segunda-feira, 4 de julho de 2005 11:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Dúvida em Integral


Olá pessoal bom dia.

Estava resolvendo uma equação com Integral, pelo método de substituição
trigonométrica, quando me deparei com a integral de cos^2 xdx. E não sabia a
fórmula dela...e não consegui ir adiante. Existe alguma maneira (sem saber a
fórmula), de olhando para o interior da integral, calcular o resultado ?

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re: RES: [obm-l] dúvida

[kleinad]

Vou ser bem burocrático, perdoe:

O solo é o eixo x.
O pato voa horizontalmente sobre a reta y = h.
A arma do caçador rotaciona sobre o ponto (0, a).
O primeiro disparo, a 60 graus, percorre a reta y = sqrt(3)*x + a e "raspa"
no pássaro no ponto A ((h - a)/sqrt(3) ; h).
O segundo disparo, a 30 graus, percorre a reta y = x/sqrt(3) + a e acerta o
pássaro no ponto B ( sqrt(3)*(h - a) ; h).

Logo, o pássaro percorre AB = 2*(h - a)/sqrt(3) = 2*(h - a)*sqrt(3)/3 , que
envolve a altura "a" que consiste no ponto FIXO a partir do qual a arma
rotaciona de 60 para 30 graus. Eu nao sou caçador, mas essa altura deve
corresponder aos ombros de quem atira. :)

Abraço,

Daniel


Rafael ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:
>
>Se estivéssemos calculando a distância do pássaro até o solo, precisaríamos
>desprezar a altura do observador. Tendo-se a distância do observador ao
>pássaro e o ângulo (com a horizontal) que o observador enxerga o pássaro,
>aplicaríamos a função seno e o problema estaria resolvido. Reitero: a altura
>do observador é desprezada em comparação à distância do pássaro ao solo.
>
>Para o problema em questão, isso é irrelevante, pois a distância calculada é
>a percorrida pelo pato "no ar". Não é comparada ou desprezada a altura do
>observador (ou o ângulo que este enxerga) com a distância do pássaro ao
>solo.
>
>Embora esses problemas sejam clássicos da trigonometria, muitas vezes o
>excesso de cuidado para alguns exercícios é desnecessário para outros.
>
>
>Abraços,
>
>Rafael de A. Sampaio
>
>
>
>
>
>----- Original Message -
>From:
>To:
>Sent: Saturday, March 27, 2004 4:50 PM
>Subject: Re: RES: [obm-l] dúvida
>
>
>Me chama atenção que não está sendo considerado o fato do homem não estar
>com a arma nos pés...
>
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: RES: [obm-l] dúvida

[ariel]

quem caça aves de pé, o melhor eh deitado, assim o passaro nao vai te ver, a 
nao ser que seja um gaviao... hehehe
chega de piadinhas... rs 

[]s
Ariel 

David M. Cardoso escreveu: 

Heheh.. vixe maria... êta galerinha pra gostah de complicar: qdo o problema
eh fácil sempre tem um pra comecar a botar detalhe ateh não saber mais -
hehe... 

Pootz:
h' = h + [altura da arma em relação ao chão] 

onde chão é o "eixo imaginário bla bla bla" . rs 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: sábado, 27 de março de 2004 16:51
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] dúvida 

Me chama atenção que não está sendo considerado o fato do homem não estar
com a arma nos pés... 

ariel ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:
>
>e escrevendo no papel:
>
>Tg[Pi/3] = h / x
>Tg[Pi/6] = h / (x+d)
>
>sqrt(3) = h / x  ==> x = h/sqrt(3)
>sqrt(3)/3 = h / (x+d)
>
>sqrt(3)/3 = h / ((h/sqrt(3)+d)
>h + d.sqrt(3) = 3h
>d = 2h/sqrt(3)
>d = 2h.sqrt(3)/3
>
>bom, o papel retorna o mesmo resultado.. rs
>
>
>
>David M. Cardoso escreveu:
>
>>
>> Colocando esse sistema no mathematica:
>>
>> Tg[Pi/3] = h / x
>> Tg[Pi/6] = h / (x+d)
>>
>> ele retorna:
>> d = 2*h*raiz(3)/3
>>
>>> Um caçador avista um pato voando em direção horizontal, a uma altura
"h"
>>> do solo. Inclina sua arma 60º e dá o primeiro disparo, que atinge a
ave
de
>>> raspão; abaixa a arma para 30º e dá o segundo disparo que atinge a ave
em
>>> cheio. A distância percorrida pela ave, do primeiro ao segundo
>>> disparo,supondo que manteve o vôo na horizontal foi de:
>>> a)30 b)2h c)[2h*raiz(3)]/3 d)h/3 e)raiz(3)/3
>>
>>
>>
=
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>
=
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=
> 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RES: RES: [obm-l] dúvida

[David M. Cardoso]

Heheh.. vixe maria... êta galerinha pra gostah de complicar: qdo o problema
eh fácil sempre tem um pra comecar a botar detalhe ateh não saber mais -
hehe...

Pootz:
h' = h + [altura da arma em relação ao chão]

onde chão é o "eixo imaginário bla bla bla" . rs

> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
> de [EMAIL PROTECTED]
> Enviada em: sábado, 27 de março de 2004 16:51
> Para: [EMAIL PROTECTED]
> Assunto: Re: RES: [obm-l] dúvida
> 
> Me chama atenção que não está sendo considerado o fato do homem não estar
> com a arma nos pés...
> 
> ariel ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:
> >
> >e escrevendo no papel:
> >
> >Tg[Pi/3] = h / x
> >Tg[Pi/6] = h / (x+d)
> >
> >sqrt(3) = h / x  ==> x = h/sqrt(3)
> >sqrt(3)/3 = h / (x+d)
> >
> >sqrt(3)/3 = h / ((h/sqrt(3)+d)
> >h + d.sqrt(3) = 3h
> >d = 2h/sqrt(3)
> >d = 2h.sqrt(3)/3
> >
> >bom, o papel retorna o mesmo resultado.. rs
> >
> >
> >
> >David M. Cardoso escreveu:
> >
> >>
> >> Colocando esse sistema no mathematica:
> >>
> >> Tg[Pi/3] = h / x
> >> Tg[Pi/6] = h / (x+d)
> >>
> >> ele retorna:
> >> d = 2*h*raiz(3)/3
> >>
> >>> Um caçador avista um pato voando em direção horizontal, a uma altura
> "h"
> >>> do solo. Inclina sua arma 60º e dá o primeiro disparo, que atinge a
> ave
> de
> >>> raspão; abaixa a arma para 30º e dá o segundo disparo que atinge a ave
> em
> >>> cheio. A distância percorrida pela ave, do primeiro ao segundo
> >>> disparo,supondo que manteve o vôo na horizontal foi de:
> >>> a)30 b)2h c)[2h*raiz(3)]/3 d)h/3 e)raiz(3)/3
> >>
> >>
> >>
> =
> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >>
> =
> >
> >=
> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >=
> >
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: RES: [obm-l] dúvida

[Rafael]

Talvez, fique mais claro dizer que a arma faz 30° e 
60° com a horizontal, em vez de 30° e 60° com o solo. Assim, evita-se uma 
interpretação dúbia sobre a altura do observador estar sendo 
desprezada.
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Rafael 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Saturday, March 27, 2004 5:03 
  PM
  Subject: [obm-l] Re: RES: [obm-l] 
  dúvida
  
  Na verdade, a altura 'h' é a distância do solo 
  até a reta que contém a trajetória do pato, suposto em movimento retilíneo e 
  uniforme. Por isso, tanto para uma inclinação quanto para a outra da arma, a 
  distância 'h' é a mesma, visto que só se pretende calcular os segmentos de 
  reta percorridos até o instante em que a arma faz 60° com o solo e, 
  posteriormente, até o instante que a arma faz 30° com o solo. A diferença 
  das medidas desses segmentos é, precisamente, o comprimento da 
  distância que o pato percorreu do instante em que foi "quase" 
  atingido até ser atingido pelo segundo projétil.
   
   
  Abraços,
   
  Rafael de A. Sampaio
   

[obm-l] Re: RES: [obm-l] dúvida

[Rafael]

Se estivéssemos calculando a distância do pássaro até o solo, precisaríamos
desprezar a altura do observador. Tendo-se a distância do observador ao
pássaro e o ângulo (com a horizontal) que o observador enxerga o pássaro,
aplicaríamos a função seno e o problema estaria resolvido. Reitero: a altura
do observador é desprezada em comparação à distância do pássaro ao solo.

Para o problema em questão, isso é irrelevante, pois a distância calculada é
a percorrida pelo pato "no ar". Não é comparada ou desprezada a altura do
observador (ou o ângulo que este enxerga) com a distância do pássaro ao
solo.

Embora esses problemas sejam clássicos da trigonometria, muitas vezes o
excesso de cuidado para alguns exercícios é desnecessário para outros.


Abraços,

Rafael de A. Sampaio





- Original Message -
From: <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Saturday, March 27, 2004 4:50 PM
Subject: Re: RES: [obm-l] dúvida


Me chama atenção que não está sendo considerado o fato do homem não estar
com a arma nos pés...


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RES: RES: [obm-l] dúvida

[David M. Cardoso]

> Suponho que h seja a altura de um eixo imaginario (perpendicular ao solo)
> que vai do solo ateh a bala,

Na verdade eu entendi H como sendo a altura [...] q vai do solo ateh o pato.

> ... passando pelo corpo da ave, certo ? Logo h eh
> crescente no intervalo [0,90º[, ou seja, a inclinacao da arma produz um
> angulo alfa, cujo cateto oposto eh h, certo ? Entao quanto maior for alfa
> (de 0 a 90, eh claro) maior sera h. Mas vejamos o sistema:
> 
> Tg[Pi/3] = h / x
> Tg[Pi/6] = h / (x+d)
> 
> Porque o h da primeira equacao eh o mesmo da segunda equacao ? As alturas
> nao serao diferentes de acordo com a declividade da arma ?

Eu entendi q o pato voava no sentido horizontal, paralelo ao chão e
perpendicularmente ao eixo de H. se for assim mesmo, a altura do pato não
varia.

Por esse raciocínio, x seria a distancia, na horizontal, do atirador até o
pato no primeiro disparo. E "d" seria a distância que o pato se afastou
(sempre na horizontal) entre o primeiro e o segundo disparo.

> 
> 
> 
> 
> 
> 
> Em uma mensagem de 27/3/2004 03:18:14 Hora padrão leste da Am. Sul,
> [EMAIL PROTECTED] escreveu:
> 
> 
> 
> 
>   e escrevendo no papel:
> 
>   Tg[Pi/3] = h / x
>   Tg[Pi/6] = h / (x+d)
> 
>   sqrt(3) = h / x  ==> x = h/sqrt(3)
>   sqrt(3)/3 = h / (x+d)
> 
>   sqrt(3)/3 = h / ((h/sqrt(3)+d)
>   h + d.sqrt(3) = 3h
>   d = 2h/sqrt(3)
>   d = 2h.sqrt(3)/3
> 
>   bom, o papel retorna o mesmo resultado.. rs
> 
> 
> 
>   David M. Cardoso escreveu:
> 
>   >
>   > Colocando esse sistema no mathematica:
>   >
>   > Tg[Pi/3] = h / x
>   > Tg[Pi/6] = h / (x+d)
>   >
>   > ele retorna:
>   > d = 2*h*raiz(3)/3
>   >
>   >> Um caçador avista um pato voando em direção horizontal, a uma
> altura "h"
>   >> do solo. Inclina sua arma 60º e dá o primeiro disparo, que atinge
> a ave de
>   >> raspão; abaixa a arma para 30º e dá o segundo disparo que atinge
> a ave em
>   >> cheio. A distância percorrida pela ave, do primeiro ao segundo
>   >> disparo,supondo que manteve o vôo na horizontal foi de:
>   >> a)30 b)2h c)[2h*raiz(3)]/3 d)h/3 e)raiz(3)/3
>   >
>   >
> 
> 
> 
> 



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: [obm-l] dúvida

[kleinad]

Me chama atenção que não está sendo considerado o fato do homem não estar
com a arma nos pés...

ariel ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:
>
>e escrevendo no papel:
>
>Tg[Pi/3] = h / x
>Tg[Pi/6] = h / (x+d)
>
>sqrt(3) = h / x  ==> x = h/sqrt(3)
>sqrt(3)/3 = h / (x+d)
>
>sqrt(3)/3 = h / ((h/sqrt(3)+d)
>h + d.sqrt(3) = 3h
>d = 2h/sqrt(3)
>d = 2h.sqrt(3)/3
>
>bom, o papel retorna o mesmo resultado.. rs
>
>
>
>David M. Cardoso escreveu:
>
>>
>> Colocando esse sistema no mathematica:
>>
>> Tg[Pi/3] = h / x
>> Tg[Pi/6] = h / (x+d)
>>
>> ele retorna:
>> d = 2*h*raiz(3)/3
>>
>>> Um caçador avista um pato voando em direção horizontal, a uma altura "h"
>>> do solo. Inclina sua arma 60º e dá o primeiro disparo, que atinge a ave
de
>>> raspão; abaixa a arma para 30º e dá o segundo disparo que atinge a ave em
>>> cheio. A distância percorrida pela ave, do primeiro ao segundo
>>> disparo,supondo que manteve o vôo na horizontal foi de:
>>> a)30 b)2h c)[2h*raiz(3)]/3 d)h/3 e)raiz(3)/3
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> =
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: RES: [obm-l] dúvida

[Rafael]

Na verdade, a altura 'h' é a distância do solo até 
a reta que contém a trajetória do pato, suposto em movimento retilíneo e 
uniforme. Por isso, tanto para uma inclinação quanto para a outra da arma, a 
distância 'h' é a mesma, visto que só se pretende calcular os segmentos de reta 
percorridos até o instante em que a arma faz 60° com o solo e, 
posteriormente, até o instante que a arma faz 30° com o solo. A diferença 
das medidas desses segmentos é, precisamente, o comprimento da 
distância que o pato percorreu do instante em que foi "quase" 
atingido até ser atingido pelo segundo projétil.
 
 
Abraços,
 
Rafael de A. Sampaio
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Saturday, March 27, 2004 4:27 
  PM
  Subject: Re: RES: [obm-l] dúvida
  Esclarecam-me uma duvida: Suponho que h seja a 
  altura de um eixo imaginario (perpendicular ao solo) que vai do solo ateh a 
  bala, passando pelo corpo da ave, certo ? Logo h eh crescente no intervalo 
  [0,90º[, ou seja, a inclinacao da arma produz um angulo alfa, cujo cateto 
  oposto eh h, certo ? Entao quanto maior for alfa (de 0 a 90, eh claro) maior 
  sera h. Mas vejamos o sistema: Tg[Pi/3] = h / x Tg[Pi/6] = h / 
  (x+d) Porque o h da primeira equacao eh o mesmo da segunda equacao ? 
  As alturas nao serao diferentes de acordo com a declividade da arma ? 
  

Re: RES: [obm-l] dúvida

[Faelccmm]

Esclarecam-me uma duvida:

Suponho que h seja a altura de um eixo imaginario (perpendicular ao solo) que vai do solo ateh a bala, passando pelo corpo da ave, certo ? Logo h eh crescente no intervalo [0,90º[, ou seja, a inclinacao da arma produz um angulo alfa, cujo cateto oposto eh h, certo ? Entao quanto maior for alfa (de 0 a 90, eh claro) maior sera h. Mas vejamos o sistema:

Tg[Pi/3] = h / x
Tg[Pi/6] = h / (x+d) 

Porque o h da primeira equacao eh o mesmo da segunda equacao ? As alturas nao serao diferentes de acordo com a declividade da arma ?






Em uma mensagem de 27/3/2004 03:18:14 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:


e escrevendo no papel:

Tg[Pi/3] = h / x
Tg[Pi/6] = h / (x+d) 

sqrt(3) = h / x  ==> x = h/sqrt(3)
sqrt(3)/3 = h / (x+d) 

sqrt(3)/3 = h / ((h/sqrt(3)+d)
h + d.sqrt(3) = 3h
d = 2h/sqrt(3)
d = 2h.sqrt(3)/3 

bom, o papel retorna o mesmo resultado.. rs 



David M. Cardoso escreveu: 

> 
> Colocando esse sistema no mathematica: 
> 
> Tg[Pi/3] = h / x
> Tg[Pi/6] = h / (x+d) 
> 
> ele retorna:
> d = 2*h*raiz(3)/3 
> 
>> Um caçador avista um pato voando em direção horizontal, a uma altura "h"
>> do solo. Inclina sua arma 60º e dá o primeiro disparo, que atinge a ave de
>> raspão; abaixa a arma para 30º e dá o segundo disparo que atinge a ave em
>> cheio. A distância percorrida pela ave, do primeiro ao segundo
>> disparo,supondo que manteve o vôo na horizontal foi de:
>> a)30 b)2h c)[2h*raiz(3)]/3 d)h/3 e)raiz(3)/3
>  
> 

Re: RES: [obm-l] dúvida

[ariel]

e escrevendo no papel:

Tg[Pi/3] = h / x
Tg[Pi/6] = h / (x+d) 

sqrt(3) = h / x  ==> x = h/sqrt(3)
sqrt(3)/3 = h / (x+d) 

sqrt(3)/3 = h / ((h/sqrt(3)+d)
h + d.sqrt(3) = 3h
d = 2h/sqrt(3)
d = 2h.sqrt(3)/3 

bom, o papel retorna o mesmo resultado.. rs 



David M. Cardoso escreveu: 

Colocando esse sistema no mathematica: 

Tg[Pi/3] = h / x
Tg[Pi/6] = h / (x+d) 

ele retorna:
d = 2*h*raiz(3)/3 

Um caçador avista um pato voando em direção horizontal, a uma altura "h"
do solo. Inclina sua arma 60º e dá o primeiro disparo, que atinge a ave de
raspão; abaixa a arma para 30º e dá o segundo disparo que atinge a ave em
cheio. A distância percorrida pela ave, do primeiro ao segundo
disparo,supondo que manteve o vôo na horizontal foi de:
a)30 b)2h c)[2h*raiz(3)]/3 d)h/3 e)raiz(3)/3
 

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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=

[obm-l] RES: [obm-l] dúvida

[David M. Cardoso]

Colocando esse sistema no mathematica:

Tg[Pi/3] = h / x
Tg[Pi/6] = h / (x+d)

ele retorna:
d = 2*h*raiz(3)/3

> Um caçador avista um pato voando em direção horizontal, a uma altura "h"
> do solo. Inclina sua arma 60º e dá o primeiro disparo, que atinge a ave de
> raspão; abaixa a arma para 30º e dá o segundo disparo que atinge a ave em
> cheio. A distância percorrida pela ave, do primeiro ao segundo
> disparo,supondo que manteve o vôo na horizontal foi de:
> a)30 b)2h c)[2h*raiz(3)]/3 d)h/3 e)raiz(3)/3


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] RES: [obm-l] dúvida

[Hugo Fernando Marques Fernandes - DATAPREVRJ]

Para obter o MESMO lucro, certo?

A resposta é 600 latas.

Perdeu 100. Deixou de ganhar 100 * 5 = 500 reais. Precisa recuperar estes
500.
Para isso sobe o preço 1 real, ou seja, ganha mais 1 real em cada lata. Para
recuperar
os 500, precisa vender portanto 500 latas. Logo ele levava 600... 100 que
perdeu, e mais
500 que vendeu por 6 para recuperar o prejuízo.

[]'s

Hugo.

-Mensagem original-
De: elton francisco ferreira [mailto:[EMAIL PROTECTED]]
Enviada em: sexta-feira, 31 de janeiro de 2003 14:21
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] dúvida


um feirante leva a feira certo números de latas de
óleo que pretende vende-las a R$5,00. Tendo porém,
havido um acidente, perdeu algumas latas. Para obter
lucro, teve que vender as restantes a R$6,00 cada uma.
Quantas latas de óleo levava o feirante, sabendo-se
que o prejuízo foi de 100 latas?

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